Matematika

ZADANIE NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN!

Zopakujte si základní informace ke zkoušce

n Test obsahuje 30 úloh.

n Na jeho riešenie máte 90 minút čistého času.

n Každá úloha má správnu len jednu odpoveď.

n Za každú správnu odpoveď získáte bod, za nesprávnu odpoveď sa vám odčíta 1/4 bodu.

n Najlepšie je riešiť najskôr jednoduché úlohy a k náročnejším sa vrátiť.

n Nebuďte nervózni z toho, že nevyriešite všetko, to sa podarí len málokomu.

NÁRODNÉ POROVNÁVACIE SKÚŠKY

MAREC II 2019

PREHĽAD VZORCOV

© Scio® 2018 Matematika

Kvadratická rovnica: 2 0ax bx c ; 2

1,2

4

2

b b acx

a

; x1 + x2 =

b

a ;

1 2

cx x

a ; 0a

Goniometrické funkcie:

2 2sin cos 1x x

tg cotg 1,2

x x x k

sin 2 2 sin cosx x x ; 2 2cos2 cos sinx x x

xx cos2

πsin

;

πcos sin

2x x

cos

tg cotg ,2 sin

xx x x k

x

π sin π

cotg tg , 2 12 cos 2

xx x x k

x

sin sin cos cos sinx y x y x y

cos cos cos sin sin x y x y x y

2

cos1

2sin

xx ;

2

cos1

2cos

xx

x 0 6

π

4

π

3

π

2

π

sin x 0 1

2

1

22

1

23 1

cos x 1 1

23

1

22

1

2 0

Trigonometria: sínusová veta:

sin

sin

b

a;

sin

sin

c

b;

sin

sin

a

c

kosínusová veta: 2 2 2 2 cosa b c b c ; 2 2 2 2 cosb a c a c ; 2 2 2 2 cosc a b a b

Logaritmus: log log logz z zx y x y ; log log logz z z

xx y

y ; log logk

z zx k x ; log y

z x y x z

Aritmetická postupnosť: 1 1na a n d ; 12

n n

ns a a

Geometrická postupnosť: 1

1

n

na a q ; 1

1, 1

1

n

n

qs a q

q

Geometrický rad: 1

1, 1

1s a q

q

Rozklad na súčin: 1 2 3 2 2 1( )( ... ) n n n n n n na b a b a a b a b a b b

Kombinatorika: ( ) !P n n ;

V k nn

n k( , )

!

!

;

!,

! !

n nC k n

k k n k

;

1; =

1 1

n n n n n

k n k k k k

1 2

1 2

1 2

( ... )!’( , , ..., )

! !... !

k

k

k

n n nP n n n

n n n

; ’ , kV k n n ;

1 1’ ,

1

n k n kC k n

k n

Binomická veta: 1 2 2 1....1 2 1

n n n n n nn n n

a b a a b a b a b bn

Analytická geometria: veľkosť vektoru: 1 2( ; )u u u je: 2 2

1 2u u

Kosínus odchýlky priamok 1 1 1 1: 0p a x b y c a

2 2 2 2: 0p a x b y c je 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cosa a b b

a b a b

Vzdialenosť bodu M[m1;m2] od priamky p: ax + by + c = 0 je 1 2

2 2

a m b m cMp

a b

Stredový tvar rovnice kružnice: 2 2 2x m y n r ; elipsy:

2 2

2 21

x m y n

a b

; e

2 = a

2 – b

2

Stredový tvar rovnice hyperboly:

2 2

2 21

x m y n

a b

;

1

2

2

2

2

b

ny

a

mx; e

2 = a

2 + b

2

Vrcholová rovnica paraboly: 2

2 , ;2

py n p x m F m n

;

22 , ;

2

px m p y n F m n

Objemy a povrchy telies:

Kváder Valec Ihlan Kužeľ Guľa

Objem a b c 2r v 1

3S v

21π

3r v

34π

3r

Povrch 2(ab+ac+bc) 2π r r v S+Q π r r s 24π r

Matematika 

© Scio 2019  3 

1.

Výraz

w w w w

sa rovná výrazu:

(A) 4w

(B) 4

w

(C) 4w (D) 2 2w w (E) 22w

2.

Určte hodnotu nasledujúceho číselného výrazu:

9 81 6 36 3 9

(A) 9 (B) 6 (C) 3 (D) 0 (E) −3

3.

Pre ktoré z nasledujúcich čísel n nemá rovnica

3 2a b n

s neznámymi a, b žiadne riešenie v obore nezáporných celých čísel?

(A) 1n (B) 6n (C) 12n (D) 14n (E) 18n

4.

Zvyšok pri delení čísla 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 − 4 číslom 6 sa rovná:

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

5.

Výrok „Nie je pravda, že 10. 10. 1728 bol štvrtok alebo 24. 3. 1876 bola nedeľa.“ ekvivalentne hovorí, že v príslušných rokoch:

(A) 10. 10. nebol štvrtok alebo 24. 3. nebola nedeľa (B) 10. 10. nebol štvrtok alebo 24. 3. bola nedeľa (C) 10. 10. bol štvrtok alebo 24. 3. nebola nedeľa (D) 10. 10. nebol štvrtok a 24. 3. nebola nedeľa (E) 10. 10. bol štvrtok a 24. 3. bola nedeľa

Matematika 

© Scio 2019  4 

6.

Zamestnanec jedného podniku prvé tri mesiace v roku zarábal 9 600 korún mesačne, ďalšie tri mesiace 10 400 korún mesačne a posledných šesť mesiacov 10 600 korún mesačne. Jeho priemerná mesačná mzda bola:

(A) 10 200 korún (B) 10 250 korún (C) 10 300 korún (D) 10 350 korún (E) 10 400 korún

7.

Negáciou výroku „Aspoň štyri prvočísla sú menšie ako desať.“ je výrok:

(A) Aspoň tri prvočísla sú menšie ako desať. (B) Najviac tri prvočísla sú menšie ako desať. (C) Najviac štyri prvočísla sú menšie ako desať. (D) Najviac štyri prvočísla sú väčšie ako desať. (E) Najviac tri prvočísla sú väčšie ako desať.

8.

Ak sa množina všetkých reálnych riešení sústavy nerovníc

2 5 6 0x x

2 0x c

rovná 5

3,2

, potom hodnota reálneho parametra c sa

rovná:

(A) 0 (B) 3 (C) 2 (D) 5 (E) −3

9.

V rezervácii žijú tri druhy živočíchov: drapúni, klepúni a lapúni. Vieme, že o ich počtoch platia tieto vzťahy:

Klepúnov je presne dvakrát viac ako drapúnov.

Drapúnov je o štyroch menej ako lapúnov.

Aký je vzťah medzi počtom klepúnov a lapúnov?

(A) Klepúnov je o osem menej, ako je dvojnásobok počtu lapúnov.

(B) Klepúnov je o osem viac, ako je dvojnásobok počtu lapúnov.

(C) Klepúnov je o štyroch viac, ako je polovica počtu lapúnov. (D) Klepúnov je o štyroch menej, ako je dvojnásobok počtu

lapúnov. (E) Klepúnov je o dvoch viac, ako je polovica počtu lapúnov.

Matematika 

© Scio 2019  5 

10.

Množina ; 5 3M x x sa rovná množine:

(A) ; 2 8A x x

(B) ; 3 7B x x

(C) ; 3 7C x x

(D) ; 7 3D x x

(E) ; 8 2E x x

11.

Ak je A množina všetkých riešení rovnice

2 22 2 6 1 0x x x x

v obore celých čísel a B množina všetkých riešení tej istej rovnice v obore racionálnych čísel, potom o množinách A, B neplatí:

(A) A B (B) A (C) A B (D) A B A (E) A B B

12.

Ak zväčšíme číslo o 80, získame jeho šesťnásobok. Hľadané číslo leží v intervale:

(A) 10; 28

(B) 28; 46

(C) 46; 64

(D) 64; 82

(E) 82; 100

13.

Lomený výraz

2

3

3

9

x

xx

x

, spolu so svojím definičným oborom,

sa rovná:

(A) 2

3; 3 0

xx x

x

(B) 2

3; 3

xx

x

(C) 2

3; 3 9 0

xx x x

x

(D) 2

3; 3 0

xx x

x

(E) 2

3; 3

xx

x

Matematika 

© Scio 2019  6 

14.

Ak je na geometrická postupnosť daná prvým členom 1 5a

a kvocientom 3q , potom súčet prvých desiatich členov

postupnosti log na sa rovná:

(A) 10log5 45log3

(B) 10log5 100log3

(C) 9log 5 50log 3

(D) 9 log5 100log3

(E) 11(log5 50log3)

15.

Číslo 1 − 2 + 3 − 4 + … − 2018 + 2019, kde sa pravidelne striedajú znamienka − a +, sa rovná číslu:

(A) −1009 (B) −1008 (C) 1008 (D) 1009 (E) 1010

16.

Číslo 1

log11121314151617181920

je:

(A) záporné

(B) väčšie ako 1

20

(C) väčšie ako 1

11

(D) väčšie ako 20

(E) 1

10

17.

Všetky reálne riešenia rovnice

2 5 70

3 5x x

sú:

(A) 1 3x , 2 5x

(B) 1 2x , 2 4x

(C) 1 2 5x x

(D) 1 3x , 2 7x

(E) Rovnica nemá žiadne reálne riešenie.

Matematika 

© Scio 2019  7 

18.

Najmenšia perióda funkcie

2: 4sin 2sin 2 8f y x x

sa rovná:

(A) π

2

(B) π (C) 2π (D) 4π (E) Funkcia nie je periodická. 19.

Funkcia 2 2 14x xy nadobúda minimum v bode:

(A) x = –1 (B) x = 0 (C) x = 1 (D) x = 2 (E) žiadnom 20.

Anička vymaľováva svoju izbu so štyrmi stenami. K dispozícii má červenú, zelenú a žltú farbu. Rozhodla sa, že žiadne dve susedné steny nebudú vymaľované rovnakou farbou, a strop bude vymaľovaný inou farbou ako všetky steny. Počet spôsobov možných ofarbení izby sa rovná:

(A) 4 (B) 6 (C) 12 (D) 20 (E) 27 21.

Výraz ! ! 1 !n n sa pre všetky prirodzené čísla n rovná:

(A) ! !n

(B) ! 1 !n n

(C) 2! !n n

(D) 2! 1n n

(E) 21 !n n

Matematika 

© Scio 2019  8 

22.

Hádžeme červenou a zelenou šesťstennou hracou kockou. Pravdepodobnosť, že na červenej kocke padne číslo práve o dva vyššie ako na zelenej kocke, sa rovná:

(A) 1

18

(B) 1

12

(C) 1

10

(D) 1

9

(E) 1

6

23.

Na koncerte budú hrať 5 skladieb – po jednej od Smetany, Mozarta, Fibicha, Dvořáka a Bacha. Dvořáka musia hrať ako druhého v poradí a Bacha musia hrať skôr ako Mozarta. Počet možností, ako zostaviť program koncertu, sa rovná:

(A) 1 (B) 8 (C) 12 (D) 24 (E) 60

24.

Rovnoramenný lichobežník ABCD má základne s dĺžkami |AB| = 6 cm, |CD| = 4 cm. Obsah vyšrafovanej časti na obrázku zaberá z obsahu lichobežníka ABCD:

(A) 50 % (B) 52 % (C) 55 % (D) 60 % (E) 64 %

Matematika 

© Scio 2019  9 

25.

Pravouhlý trojuholník ABC má dĺžky odvesien 10 cm a 24 cm. Body P, Q, R sú stredy strán tohto trojuholníka. Obvod trojuholníka PQR sa rovná:

(A) 18 cm (B) 24 cm (C) 30 cm (D) 34 cm (E) 36 cm

26.

Tyč dlhá 9 m je z miesta, ktorého vzdialenosť od koncov tyče je 12 metrov a 15 metrov, vidieť pod uhlom α. Kosínus uhla α sa rovná:

(A) 3

10

(B) 2

5

(C) 1

2

(D) 3

5

(E) 4

5

27.

Rotačný valec má polomer podstavy r a výšku v. Ak zmenšíme polomer podstavy o 25 % a zároveň zväčšíme výšku o 20 %, bude objem vzniknutého valca oproti pôvodnému valci menší o:

(A) 10,5 % (B) 15,5 % (C) 20,5 % (D) 25,5 % (E) 32,5 %

Matematika 

© Scio 2019  10 

28.

Trojuholník ABC má vrcholy A[1, 6], B[5, 2], C[9, 10].

Ťažnica bt leží na priamke:

(A) x = 5 (B) y = 6 (C) y = x (D) x − y – 19 = 0 (E) x + 2y – 7 = 0

29.

Sú dané vektory 2; 0u

, 1; 2v

, 1 2;z z z tak, že

platí 3 2v u z

. Súčet 1 2z z sa rovná:

(A) –5 (B) –1 (C) 0 (D) 5 (E) 6

30.

O kužeľosečke vyjadrenej všeobecnou rovnicou

2 216 9 144 0 x y

platí:

(A) Ide o hyperbolu so stredom v počiatku. (B) Ide o hyperbolu so stredom v bode [3, 4]. (C) Ide o elipsu so stredom v počiatku. (D) Ide o elipsu so stredom v bode [3, 4]. (E) Nie je to rovnica kužeľosečky.