Matematika

ZADANIE NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN!

Zopakujte si základní informace ke zkoušce

n Test obsahuje 30 úloh.

n Na jeho riešenie máte 90 minút čistého času.

n Každá úloha má správnu len jednu odpoveď.

n Za každú správnu odpoveď získáte bod, za nesprávnu odpoveď sa vám odčíta 1/4 bodu.

n Najlepšie je riešiť najskôr jednoduché úlohy a k náročnejším sa vrátiť.

n Nebuďte nervózni z toho, že nevyriešite všetko, to sa podarí len málokomu.

NÁRODNÉ POROVNÁVACIE SKÚŠKY

MÁJ I 2019

PREHĽAD VZORCOV

© Scio® 2018 Matematika

Kvadratická rovnica: 2 0ax bx c ; 2

1,2

4

2

b b acx

a

; x1 + x2 =

b

a ;

1 2

cx x

a ; 0a

Goniometrické funkcie:

2 2sin cos 1x x

tg cotg 1,2

x x x k

sin 2 2 sin cosx x x ; 2 2cos2 cos sinx x x

xx cos2

πsin

;

πcos sin

2x x

cos

tg cotg ,2 sin

xx x x k

x

π sin π

cotg tg , 2 12 cos 2

xx x x k

x

sin sin cos cos sinx y x y x y

cos cos cos sin sin x y x y x y

2

cos1

2sin

xx ;

2

cos1

2cos

xx

x 0 6

π

4

π

3

π

2

π

sin x 0 1

2

1

22

1

23 1

cos x 1 1

23

1

22

1

2 0

Trigonometria: sínusová veta:

sin

sin

b

a;

sin

sin

c

b;

sin

sin

a

c

kosínusová veta: 2 2 2 2 cosa b c b c ; 2 2 2 2 cosb a c a c ; 2 2 2 2 cosc a b a b

Logaritmus: log log logz z zx y x y ; log log logz z z

xx y

y ; log logk

z zx k x ; log y

z x y x z

Aritmetická postupnosť: 1 1na a n d ; 12

n n

ns a a

Geometrická postupnosť: 1

1

n

na a q ; 1

1, 1

1

n

n

qs a q

q

Geometrický rad: 1

1, 1

1s a q

q

Rozklad na súčin: 1 2 3 2 2 1( )( ... ) n n n n n n na b a b a a b a b a b b

Kombinatorika: ( ) !P n n ;

V k nn

n k( , )

!

!

;

!,

! !

n nC k n

k k n k

;

1; =

1 1

n n n n n

k n k k k k

1 2

1 2

1 2

( ... )!’( , , ..., )

! !... !

k

k

k

n n nP n n n

n n n

; ’ , kV k n n ;

1 1’ ,

1

n k n kC k n

k n

Binomická veta: 1 2 2 1....1 2 1

n n n n n nn n n

a b a a b a b a b bn

Analytická geometria: veľkosť vektoru: 1 2( ; )u u u je: 2 2

1 2u u

Kosínus odchýlky priamok 1 1 1 1: 0p a x b y c a

2 2 2 2: 0p a x b y c je 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cosa a b b

a b a b

Vzdialenosť bodu M[m1;m2] od priamky p: ax + by + c = 0 je 1 2

2 2

a m b m cMp

a b

Stredový tvar rovnice kružnice: 2 2 2x m y n r ; elipsy:

2 2

2 21

x m y n

a b

; e

2 = a

2 – b

2

Stredový tvar rovnice hyperboly:

2 2

2 21

x m y n

a b

;

1

2

2

2

2

b

ny

a

mx; e

2 = a

2 + b

2

Vrcholová rovnica paraboly: 2

2 , ;2

py n p x m F m n

;

22 , ;

2

px m p y n F m n

Objemy a povrchy telies:

Kváder Valec Ihlan Kužeľ Guľa

Objem a b c 2r v 1

3S v

21π

3r v

34π

3r

Povrch 2(ab+ac+bc) 2π r r v S+Q π r r s 24π r

Matematika

© Scio 2019 3

1.

Aké čís lo je potrebné dosadiť za p remennú x , aby p lat ila

rovnosť 3 0,546

x

= ?

(A) 8 (B) 6 (C) 3 (D) 1 (E) žiadne z p redchádzajúcich 2.

Uvedený graf znázorňuje hodnotenie všetkých žiakov jednej triedy v teste z matematiky. Koľko žiakov malo známku horšiu, ako bol priemer tejto triedy? (A) 3 (B) 6 (C) 8 (D) 9 (E) 12 3.

Martin má dvakrát viac peňazí ako Tomáš. Rado má naopak trikrát menej peňazí ako Tomáš. A keď sa všetci traja zložia dokopy, majú presne na pizzu za 120 korún. Koľko peňazí má Rado?

(A) 12 korún (B) 14 korún (C) 15 korún (D) 18 korún (E) 24 korún

Matematika

© Scio 2019 4

4.

Počet nezáporných celých čísel n splňujúcich rovnicu 2 1 3n nn n+ +=

sa rovná: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) Rovnica má nekonečne veľa nezáporných celočíselných

riešení. 5.

V rovine je daný rovnostranný trojuholník ABC s dĺžkou strany a. Ak necháme trojuholník ABC rotovať okolo priamky AB, vznikne teleso, ktorého objem sa rovná:

(A) 21 π6

a

(B) 33 π4

a

(C) 31 π4

a

(D) 31 π2

a

(E) 2 31 π2

a

6.

Riešením rovnice

x log 6 – x log 3 = x log 2

je len jed iné číslo: (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) Riešením rovnice je ľubovoľné reálne číslo.

Matematika

© Scio 2019 5

7.

Mnohouholník na obrázku vznikol zložením šiestich zhodných štvorcov. Aby sme ho rozdelili na dve časti so zhodným obsahom, musíme bod X spojiť úsečkou s bodom:

(A) A (B) B (C) C (D) D (E) S žiadnym z vyššie uvedených bodov. 8.

Auto má spotrebu x litrov benzínu na 100 kilometrov, liter benzínu stojí y korún. Cena benzínu, ktorý auto spotrebuje na prejdenie z kilometrov, je v korunách:

(A) 100 xy z⋅⋅

(B) 100

x yz

⋅⋅

(C) 100

x zy

⋅⋅

(D) 100

x y z⋅ ⋅

(E) 100 x y z⋅ ⋅ ⋅ 9.

V postupnosti ( )na je 22na n n= + . Jedná sa o postupnosť:

(A) súčasne aritmetickú i geometrickú (B) len aritmetickú s kladnou diferenciou (C) len aritmetickú so zápornou diferenciou (D) len geometrickú s kvocientom väčším ako 1 (E) ani aritmetickú ani geometrickú

Matematika

© Scio 2019 6

10.

Najmenší počet zhodných štvorcov, ktorých strana má dĺžku vyjadrenú prirodzeným číslom a ktorými môžeme úplne a bez presahu pokryť obdĺžnik s rozmermi 48 cm x 60 cm, sa rovná:

(A) 20 (B) 60 (C) 80 (D) 180 (E) 320 11.

Trojciferných prirodzených čísel takých, že ich ciferný súčin sa rovná číslu 8, je: (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10 12.

Počet všetkých podmnožín X množiny { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , pre

ktoré platí { } { }3, 5, 7 1, 2, 3, 5, 7X ∪ = , sa rovná:

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8 13.

Záhradkár prikúpil k svojej obdĺžnikovej parcele susedný pozemok. Dĺžka krátkej strany parcely tak bola zväčšená o 20 % a dĺžka dlhšej strany zostala nezmenená. Jej výmera vzrástla o:

(A) 20 % (B) 28 % (C) 34 % (D) 40 % (E) 44 % 14.

Ak sú k , l, m celé čísla také, že k je deliteľné tridsiatimi, l je deliteľné dvanástimi a m je deliteľné osemnástimi, potom číslo k + l + m je určite deliteľné číslom:

(A) 5 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 60

Matematika

© Scio 2019 7

15.

Rovnica

( ) 21 2 3 3 0− + − + − =p x x p p ,

kde p je reálny parameter, má práve jedno riešenie v obore reálnych čísel. Potom o čísle p p latí: (A) 2p = − (B) 1p = alebo 1p = −

(C) 3p =

(D) )1; 2p∈ (E) 4p > 16.

Kladný zlomok má čitateľa o jedna väčšieho ako menovateľa. Ak vynásobíme čitateľa štyrmi a k menovateli pripočítame deväť, hodnota zlomku sa nezmení. Zlomok má tvar:

(A) 65

(B) 54

(C) 43

(D) 32

(E) 21

17.

Na obrázku je časť grafu funkcie 2( ) 1f x x= − .

Počty riešení rovnice 2 1x p− = v závislosti na reálnom

parametre p tvoria množinu: (A) {0, 2, 4} (B) {0, 1, 2, 4} (C) {0, 1, 3, 4} (D) {0, 2, 3, 4} (E) {0, 1, 2, 3, 4}

Matematika

© Scio 2019 8

18.

Rozklad výrazu 4x x+ na súčin sa pre každé x∈ rovná:

(A) ( )( )21 1x x x x− − +

(B) ( )( )21 1x x x+ +

(C) ( )( )21 1x x x x+ + +

(D) ( )( )21 1x x x− −

(E) ( )( )21 1x x x x+ − +

19.

Ak ( ) ( ) ( )0;1 , 1; 2 , 2; 3 ,a b c∈ ∈ ∈ potom výraz ⋅a bc

určite

patrí do množiny:

(A) 10;2

(B) ( )0;1

(C) 1 ;12

(D) ( )1; 2

(E) ( )2; +∞ 20.

Číslo

314

314

16 22

4−

⋅

⋅

je možné tiež zap ísať ako:

(A) 232

−

(B) 1

(C) 1

122

(D) 732

(E) 2 21.

22 2 2 9x x+ ≤ −

9x > −

Počet celých čísel x, ktoré súčasne splňujú oba vyššie uvedené vzťahy, sa rovná: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) väčší ako 4

Matematika

© Scio 2019 9

22.

Grafy funkcií

: 1 sin 2f y x= − ,

( )2g : sin cosy x x= −

majú v intervale 0; π tento počet spoločných bodov:

(A) žiadny (B) práve jeden (C) práve dva (D) práve štyri (E) nekonečne veľa 23.

Počet riešení sústavy nerovníc

cos 2 1≤ −x ,

2 8x + ≤ ,

3 5x− ≤

v obore reálnych čísel sa rovná: (A) 0 (sústava nemá riešenie) (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 24.

Postupnosť ( )na je zadaná rekurentným vzorcom 1 3 2n na a+ = − ,

4 10a = . Hodnota 1a sa rovná:

(A) 12

(B) 1

(C) 43

(D) 32

(E) 3

Matematika

© Scio 2019 10

25.

Divadlo Járy Cimrmana uvádzalo v minulosti hru Hospoda Na mýtince v obsadení, ktoré udáva nasledujúca tabuľka:

Rola Herec

Hostinský Zdeněk Svěrák alebo Jan Hraběta

Gróf Zeppelin Miloň Čepelka alebo Lad islav Smoljak

Väzeň Kulhánek Petr Brukner alebo Petr Reidinger alebo Lad islav Smoljak

Z tohto obsadenia sa do predstavenia vždy náhodne vyberali herci, na každú rolu práve jeden herec, a každý herec hrá najviac jednu rolu. Pravdepodobnosť, že Zdeněk Svěrák a Lad islav Smoljak spoločne účinkovali v tom istom predstavení, bola:

(A) 310

(B) 13

(C) 38

(D) 25

(E) 12

26.

Tri rôzne priamky prechádzajú spoločným bodom, štyri iné rôzne priamky prechádzajú iným spoločným bodom. Každé dve z týchto siedmich priamok sa pretínajú práve v jednom bode. Počet priesečníkov všetkých týchto priamok sa rovná:

(A) 12 (B) 14 (C) 18 (D) 20 (E) 24 27.

Počet všetkých štvorciferných prirodzených čísel deliteľných piatimi, v ktorých dekadickom záp ise sa každá z desiatich číslic vyskytuje najviac raz, sa rovná: (A) 946 (B) 948 (C) 950 (D) 952 (E) 954

Matematika

© Scio 2019 11

28.

Hosť v reštaurácii pri čakan í na obed odtrhol zo štvorcového obrúska roh v tvare pravouhlého rovnoramenného trojuholníka s ramenami, ktoré mali dĺžky rovné dvom tretinám strany pôvodného štvorca. Pomer obsahov odtrhnutého trojuholníka a zvyšného päťuholníka bol:

(A) 1:3 (B) 2:3 (C) 2:7 (D) 2:9 (E) 4:9 29.

Priamka, ktorá prechádza bodom [ ]2; 4− kolmo k priamke

: 2 3 , 1 ,p x t y t t= + = − ∈ , má rovnicu 3 0x by c+ + = , kde: (A) 2, 5b c= = (B) 2, 5b c= − = −

(C) 1, 10b c= − = −

(D) 1, 5b c= − = − (E) 1, 10b c= = − 30.

Hyperbola 2 22 4 0x y y− − = má stred v bode:

(A) [ ]2 ; 0

(B) [ ]0; 2

(C) [ ] 0; – 2

(D) [ ] – 2; 0

(E) [ ]2 ; 2