Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 1

CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TOÁN THỰC TẾ

ÔN THI HỌC KỲ II TOÁN THPT 12 VÀ ÔN LUYỆN THPT QUỐC GIA

Câu 1: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t t m / s 160 10 . Hỏi rằng

trong 3s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét ?

A. 16 m B. 130 m C. 170 m D. 45 m.

Phân tích:

Vật chuyển động chậm dần với vận tốc tại giây thứ t là v t t m s 160 10 / . Ta

biết rằng quãng đường vật đi được s t chính là nguyên hàm của vận tốc v t

.

Khi vật dừng hẳn là thời điểm t sao cho v t t t s 0 160 10 0 16 . Suy ra

sau khi bắt đầu chuyển động chậm dần thì vật đi thêm được trong thời gian 16s thì

dừng lại.

Vậy quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3s trước khi dừng hẳn chính là

tích phân của hàm v t t m s 160 10 / từ t 13s đến khi t 16s .

Hướng dẫn giải:

Vật chuyển động chậm dần cho đến khi dừng hẳn thì

v t t t s 0 160 10 0 16 .

Quãng đường vật đi được từ giây thứ 13 đến giây thứ 16 là

16 16

13 13

160 10S v t dt t dt .

y(160p10Q))$13E16=

Vậy chọn đáp án D.

Bình luận: Trong câu hỏi này, các em cần nhớ rằng: Đạo hàm của quãng đường đi được

s(t) chính là vận tốc v(t) của vật tại thời điểm t, và ngược lại, nguyên hàm của vận tốc v(t)

chính là quãng đường s(t). Quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian nào bằng

tích phân của hàm vận tốc v(t) khi biến t chạy trong khoảng thời gian đó.

Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 2

Câu 2: Một vật chuyển động với gia tốc a(t) (m / s )t

23

1 .Vận tốc ban đầu của vật là

6m/s. Hỏi vận tốc của vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu ?

A. m / s10 B. , m / s15 2 C. , m / s13 2 D. m / s12

Phân tích:

Đề bài cho biểu thức gia tốc của vật chuyển động là a t m st

23( ) ( / )

1.

Ta biết rằng vận tốc chuyển động v(t) của vật chính là nguyên hàm của gia tốc a t( ) .

Từ đó ta lập công thức tính v t a t dt ( ) , kết hợp với điều kiện vận tốc ban đầu

v m s0

6 / .

Suy ra công thức tính vận tốc v t của vật tại thời điểm t và tính được v(10).

Hướng dẫn giải:

Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức

v t a t dt dt t Ct

3

( ) 3ln 11

.

Vì vận tốc ban đầu (lúc t 0 ) của vật là v m s0

6 / nên

v C C v t t 0 3ln 0 1 6 6 3ln 1 6 .

Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là v m s 10 3ln 10 1 6 13,2 / .

Chọn đáp án C.

Bình luận : Trong câu này các em cần nhớ: Đạo hàm của vận tốc v(t) tại thời điểm t

chính là gia tốc của vật chuyển động tại thời điểm đó.

Câu 3: Một xe mô tô phân khối lớn đang chạy với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc

a(t) t t(m / s ) 2 23 . Hỏi quãng đường của xe đi được trong quãng thời gian 10s đầu

tiên sau khi tăng tốc ?

A. 3200

3m/s B. 1500m/s C. 1200m/s D.

4300

3m/s.

Phân tích và hướng dẫn giải:

Xe mô tô tăng tốc với gia tốc a t t t m s 2 2( ) 3 ( / ) . Vận tốc v t chính là nguyên hàm

của hàm số a t( ) .

t t

v t a t dt t t dt C 3 2

2( ) 3 33 2

.

Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 3

Vận tốc ban đầu (tại thời điểm t 0

0 ) của xe là v m s0

10 / nên

t t

v C C v t 3 2 3 20 0

0 10 3 10 10 3 103 2 3 2

.

Mặt khác, đạo hàm của quãng đường s(t) chính là vận tốc v(t) của xe chuyển động tại

thời điểm t. Suy ra, quãng đường đi được của xe sau 10s đầu tiên bằng tích phân của

hàm v t khi biến t từ 0s đến 10s.

10 10 3 2

0 0

3 103 2

t tS v t dt dt .

y(aQ)^3$$3$+a3Q)dR2$+10)$0E10=

Chọn đáp án D.

Bình luận (nếu có): v t a t dt dt t Ct

3

( ) 3ln 11

Câu 4: Một xe ô tô chuyển động với vận tốc tại giây thứ t là v t t t m / s 34 2 3 . Hỏi

xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu kể từ lúc bắt đầu t 0 cho đến lúc t s 5 .

A. 365m B. 665m C. 625m D. 565m.

Hướng dẫn giải:

Nguyên hàm của vận tốc v t chính là quãng đường đi được s t . Suy ra quãng

đường đi được trong khoảng thời gian từ 0t s đến 5st là:

5 5 5

3 4 2

00 0

4 2 3 3 665S v t dt t t dt t t t m.

Câu 5: Vận tốc chuyển động của máy bay là v t t m / s 23 5 . Quãng đường máy bay

đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là :

A. 36m B. 252m C. 1134m D. 966m.

Hướng dẫn giải:

Quãng đường đi được của máy bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 bằng tích phân của

hàm vận tốc v t khi 4st đến 10st .

Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 4

10 10 10

2 3

44 4

3 5 5 966S v t dt t dt t t m .

Câu 6: Một vật chuyển động với vận tốc t

v t , m / st

2 41 2

3. Quãng đường đi được

của vật đó trong 4s đầu tiên bằng bao nhiêu ?

A. 18,82m B. 11,81m C. 4,06m D. 7,28m.

Hướng dẫn giải:

Quãng đường đi được của vật trong 4 giây đầu tiên là

4 4 2

0 0

41,2

3

tS v t dt dt

t.

y(1.2+aQ)d+4RQ)+3$)$0E4=

Câu 7: Anh An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và

kích thước giống như hình vẽ kế bên, biết đường cong

phía trên là một parabol. Giá m21 cửa rào sắt có giá là

700000 đồng. Vậy anh An phải trả bao nhiêu tiền để

làm cài cửa rào sắt như vậy. (làm tròn đến hàng

nghìn)

A. 6417000 đồng. B. 6320000 đồng

C. 6520000 đồng. D. 6620000 đồng.

Phân tích và hướng dẫn giải

Ta mô hình hóa cánh cửa rào bằng hình thang cong ADCB vuông tại C và D, cung

AB như hình vẽ.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho 2 điểm A, B nằm trên trục Ox như hình vẽ.

Vậy diện tích cánh cửa sẽ bằng diện tích hình chữ nhật ABCD cộng thêm diện tích

miền cong AIB. Để tính diện tích miền cong AIB ta cần dùng tích phân.

Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 5

Đầu tiên ta tìm cách viết phương trình Parabol 2y ax bx c biểu thị cho đường

cong AIB. Parabol có đỉnh

10; ,

2I và cắt trục hoành tại 2 điểm

5 5;0 , ;0

2 2A B

2

2

2

1.0 .0 1

22

2 10 0

2a 25 22

5 525. . 0

2 2

a b cc

bb y x

aa b c

.

Diện tích miền cong AIB được tính bằng công thức

2,5

2

2,5

2 1 5

25 2 3x dx .

Suy ra diện tích cánh cửa là 25 551,5.5

3 6m .

Giá 1m2 cửa rào sắt giá 700.000. Vậy giá tiền cửa rào sắt là 6416666

Câu 8: Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt

đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục

được biểu thị bằng đồ thị là đường cong

Parabol có hình bên. Biết rằng sau 10 s thì xe

đạt đến vận tốc cao nhất 50 m/s và bắt đầu

giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc

cao nhất thì xe đã đi được quãng đường bao

nhiêu mét ?

A. m1000

3. B. m

1100

3. C. m

1400

3. D. m300 .

Câu 9: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số

B t , t, t

2

10000

1 0 25, trong đó B(t) là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày

thứ t. Số lượng vi khuẩn ban đầu là 600 con trên mỗi ml nước. Biết rằng mức độ an toàn

t(s)

v(m)

O 10

50

Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 6

cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 4000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau

bao nhiêu ngày thì người ta phải xử lí và thay nước mới cho hồ bơi.

A. 23 ngày. B. 22 ngày. C. 24 ngày. D. 25 ngày.

Câu 10: Người ta thay nước mới cho 1 bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là

h cm1 300 . Giả sử h(t) là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm

t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ t là h t t 313

500 và

lúc đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau khoảng bao lâu thì nước bơm được 3

4 độ sâu

của hồ bơi?

A. 2 giờ 7 phút. B. 1 giờ 7 phút. C. 4 giờ 7 phút. D. 3 giờ 7 phút.

Câu 11: Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện A đã xả lũ trong 30 phút với tốc độ lưu

lượng nước tại thời điểm t giây là v t t m / s 310 500 . Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì

có hồ chứa nước của nhà máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu ?

A. 17,1 triệu khối nước. B. 16,1 triệu khối nước.

C. 18,1 triệu khối nước. D. 19,1 triệu khối nước.

Câu 12: Sau t giờ làm việc một người thợ có thể sản xuất với tốc độ là , tq t e 0 5100

đơn vị sản phẩm trong 1 giờ. Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ lúc 7 giờ sáng. Hỏi

người đó sẽ sản xuất được bao nhiêu đơn vị sản phẩm giữa 8 giờ sáng và 11 giờ trưa ?

A. 401 đơn vị sản phẩm. B. 403 đơn vị sản phẩm.

C. 601 đơn vị sản phẩm. D. 501 đơn vị sản phẩm.

Câu 13: Một khối cầu có bán kính 5 dm, người ta cắt bỏ

2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc bán kinh và cách

tâm 3 dm để làm một chiếc lu đựng (như hình vẽ). Thể

tích của cái lu là :

A. dm 3132 . B. dm 341 .

Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 7

C. dm 3100

3. D. dm 343 .

Câu 14: Một cái nêm được tạo thành bằng cách cắt ra từ một khúc gỗ hình trụ có bán

kính bằng cm4 bởi hai mặt phẳng gồm mặt phẳng thứ nhất vuông góc với trục của

hình trụ, mặt phẳng thứ hai cắt mặt phẳng thứ nhất dọc theo một đường kính của hình

trụ và góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 030 . Tính thể tích cái nêm đó ?

A. cm364 3

9 . B. cm

3128 3

9. C. cm3128 3

9. D. cm

364 3

9.

Câu 15: Việc thở là những vòng tuần hoàn, mỗi vòng tính từ lúc bắt đầu hít vào đến lúc

kết thúc thở ra, thường kéo dài trong 5s. Vận tốc cực đại của khí là V l / s ,vì thế nó được

mô hình hoá bởi t

v(t) V sin

2

5 . Tính thể tích khí hít vào phổi sau thời gian 2s.

A. 2,5V lít. B. 1,44V lít. C. 2V lít. D. 3,6V lít.

Câu 16: Giả sử rằng sau t năm, vốn đầu tư của một doanh nghiệp phát sinh lợi nhuận

với tốc độ P t t 2126 (triệu đồng/năm). Hỏi sau 10 năm đầu tiên thì doanh nghiệp

thu được lợi nhuận là bao nhiêu (đơn vị triệu đồng)?

A. 4780

3. B. 1235. C.

3257

3. D. 5020.

Câu 17: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t t m / s 150 10 . Hỏi rằng

trong 4s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét ?

A. m15 . B. m520 . C. m80 . D. m125 .

Câu 18: Một vật chuyển động với gia tốc a(t) (m / s )t

22

2 .Vận tốc ban đầu của vật là

7m/s. Hỏi vận tốc của vật tại giây thứ 5 bằng bao nhiêu ?

A. , m / s3 89 . B. , m / s9 51 . C. , m / s7 38 . D. , m / s10 89 .