zagorka najder

NACRTNA GEOMETRIJA ..

SESTO IZDANJE

~a,1f!!tjiq4 BEOGRAD,1991.

Zagorka Sn~jder NACRTNA GEOMETRIJA

Izdava lOP .Nauna knjiga" Beograd, Uzun-Mirkova 5

Recenzenti Dr Villw NiCe Dr Dragomir Lopalldie Dr BraJIka Alimpi

Za izdavaa Dr Bla!.o Perovi

Urednik Brallis/fJ v Derie

Tehniki urednik GordalIo Krsti

Tira! 1000 primeraka

ISBN 86-23-20240-X

Stampa Stamparsko-izdavako preduzee "Bakar" - Bor

SADRAJ "

l PROJEKTOVANJE. PERSPEKTIVNO KOLINEARNO PRESLIKAVANJE l. Predmet prouavanja . . . . . . . . . . . 9 2. Onovni geometrijski likovi. Bes konano daleki elementi . 9 3. Projektovanje . 14 4. Dezargov stav . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 Perspektivno kolinear;no preslikavanje dvaju ravnih polja taaka 19

Zadaci za I'ebu . . . . . . . . . . .. .. 29 6. Invarijanta perspektivno kolinearnog preslikavanja 29 7: Perspektivno afino preslikavanje . . . . . 33

Zadaci ;:a velm . . . . . . 42 8. Perspektivno kolineamo preslikavanje kruga. . . 42 9. Perspektivno afino preslikavan je krivih drugog reda 47.

Zadaci za vebu.. . .' .'. . . . . . 51

II NORMALNO PROJEKTOVANJE NA JEDNU RAVAN. METODA ODSTOJANJA

l. Taka . 52 2. Prava . . . . . . . . . . . . 54

NorIIlaIna projekcija /J1'liI'e Takel na pravoj. Trag prave. Speci-jalni poloaj prave. Projekcija dui. Razmera II'iju taaka. Oba-ranje prave. Dve prave.

3. Ravan. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 NOI'lIlalna projekcija raviIi. Trag ravni. Prava u ravni. Specijalni poloaji ravni .

.J. Obaranje ravni . . . . . 64 5. Perspektivno afino preslikavanje pri obaranju ravni 65 6. Projekcija ravnog lika . 67'

ZC/daci za Iei.lm . 69 7. Dve ravni . . . . . 71

Paralellte ravl1l. Rami se seku. 8. Prodor prave kroz ravan 74 9. Normalnost pravih i ravni . . 75

Prava i rm'Qlt. Dve ravni. Dve prave. Zadaci :a I'ehll . . . . . . 78

10. Projekcije nekih geometrijskih tela . 78 Piramida; pri~111a; klipa; valjak; lopta. Zadaci za vei m . 84

III NORMALNO PROJEKTOVANJE NA DVE I VISE RAVNI

OV(! pro.icl\ci.isk( I'avni 86 I. Tuka 87 2. Prava . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Projekcije }Jra;~. Takcl ,ra prmoj. Tragol,j prave. Projekcija dui. Prave 1/ speciia};;ill1 polo.ajima. Ob{!rtlnje prave. Obal'atlje dui. D\'c pI'ClI'e.

3. Ravan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Projekcije ravni. Tragovi ravni. Specijalni poloaji ravlli. Prava pri-pada ravni. Taka pripada ravni.

4. Perspektivno afino preslikavanje prvih i drugih projekcija taaka jedne ravni . 101

S. Obaranje reavni . . 102 6. Projekcije ra\'l'log lika 103

Zadaci za vetbu . 109 7. Dve ravni . . . . . . 110

Paralelne ravni. Ravni se seku. 8. Prodor prave kroz ravan 112 9. Normalnost pravih i ravni . . 114

Prava i ravan. Dve ravni. Dve prat'e. Zadaci za vetbu . . . . . . 118

10. Projekcije nekih geometrijskih tela . 118 Piramida; prizma; kupa; valjak; lopta.

11. Uvo~nje nove projekcijske ravni . 126 12. Rotacija oko prave. Rotacione povri 132

Zadaci za vebu . 137

IV PRESECI, PRODORI, SENKE 1. Ravni preseci povri

1.1 Presek lopte . . . . . . 1.2 Presek piramide i presek prizD:le .' 1.3 . Presek kupe i presek valjka. . 1.4 Presek sloenih' povri

Zadaci za vebu . 2. Prodori dveju povri

2.1 Prodor prave kroz povr 2.2 Prodor dveju povri. . 23 Prodor rogljastih povri . . . . . . . . . .

Prodor dveju piramida; prodor piramide i prizme; prodor prizama.

2.4 Prodor oblih povri . . . . . . . . . . Prodor dva valjka; prodor kLIpe i valjka; prodor dve kupe.

2.5 Prodor lopte i oblih povri .1. 2.6 Prodor rogljastih i oblih povri ..

Zadaci za vebu 3. Senka

3.1 Geometrijske osobine senke 3.2 Senka take. prave. dui . . 3.3 Senka ravnog lika. Senka kruga 3.4 Senke tela . . . . . . . 3.5 Senka tela po telu. Metoda vraanja

Zadaci za vebu . . . . . .

V NORMALNA AKSONOMETRUA

1. Trougao tx:agova 2. Projekcijske ravni 3. Obaranje osa x. Y. z i obaranje osnih ravni 4. Taka. prave i ravan . . . 5. Ravni preseci i prodori povri 6. Senka . . . " .. 7. Uglovi skraenja . 8. Izbor trougla tragova

Zadaci za vebu . .

138 143 151 166 167

169 172 172

dveju 179

184 186 188

188 19.0 193 200 208 214

217 218 220 221 229 236 238 241 243

VI KOSO PROJEKTOVANJE l. Kosa projekcija. Paralelna projekcija

Projekcija take, prave, 1"avni ,'. 2. 3:

'3J 3.2 3.3

Metoda prodora . . . . . Metoda posredne projekcije Projekcijski trougao . . . . .

Pro~ekcija ravni 1t, Pr~Jekci.ia take, prave, ravni . .' . . . . . . . . " Tacka. Pray-a. Ravan. Pr~va u ravn!. Dve ravni. Prodor prave kroz ravan. LIl1!la pada ravn!. Prava normalna na ravan. RaVa!l lik.

3.4 Presek, prodor, senka 4. Kosa aksonometrija .

Zadaci za veibu '

VII CENTRALNO PROJEKTOVANJE

l. Centralna projekcija take, prave i ravni . Taka, Prava. Paralelne prave. Rava/l. Prat'a i Iavall. Paralelne ravni.

2. Metoda prodora . . . . . -. . . . . 2.1 Projekcija take, prave i ravni. . . , . . . .

P,ava. Ravan. Pmva u I'avni, ParaleIlle prave. ParaleiIIc ravIIi. Projekcije ravnih i prostornih likova 2.2

2.3 3,

3.1

Konstrukcija senke. . . . '. . M !'I't o d a t r a g o v a i n e d o g le d a Projekcija take, prave i ravni, . Prava. Taka. Ravan.

32 Razni meusobni poloaji pravih i ravni . . . . . Prava i I'avall. Dve prave. Dve ravni. Prodor prave i' ravni.

3.3 Normalne prave i ravni . . . . . . . 3.4 Obaranje ravni i obaranje prave . . . . . . . . . .

Obaranje ravIIi. Nagib1/i ugao ravni. Obara1fje prave. Perspektivno kolinearno preslikavanje ravnih polja taaka ('tj i 'te.

3.5 3,6 3.7 3,8

Projekcija ravnog lika . , Projekcija kruga. . . . Projekcije nekih geometrijskih tela Primeri. . . . Zadaci za vebll .

VIJI UVOD U PROJEKTIVNU GEOMETRIJU

245 248 249 250 252 253

259' 262 26';

267

272 273

275 280 282 282

283

285 288

292 294 295 299 303

l. Projektivni prostor 305 2. Princip dualnosti . . . . . . , 306 3. Harmonijski konjugovani parovi elemenata . . " 308 4. Perspektivno preslikavanje jednodimenzionih mnogostrukosti 313 5. Projektivno preslikavanje jednodimenzionih mnogostrukosti. 315 6. Kriva drugog reda . . . . . . .. . . . . . . 320 7. Projektivno preslikavanje (kolineacija) dvodomenzionih mnogo-

strukosti . . , . , . . , . . . . . . . . . 326 8. Perspektivno preslikavanje dvodomenzionih mnogostrukosti . 328,

Preslikavanje ravni l1a samu sebe. Perspektivno kolil1Camo pre, slikavallje krit'e drugog reda.

PREDGOVQR o

U bogatstvu postojee udbenike literature iz nacrtne geometri je na stranim i na na,em jeziku, potrebu za ovakav udbenik namet-nulo je odabiranje programa po sadraju i obimu za izvoenje nasta-ve nacrtne geometrije na Prirodno matematikom fakultetu na prv.oJ godini studija matematike koji je uslovljen brojem asova nastave t l'redznanjem slualaca. Prema tome, i sadraj i nain izlaganja. treba prihvatiti kao rezultat viegodinje provere da se u okviru rasboJ.t!. ivog broja asova, tj. dva asa predavanja i dva asa vebanja' iii! .. : eleljno (56 + 56), studenti upoznaju sa to vie pmstornih proble",ta ... i njihovim reavanjem ramim metodama nacrtne geometrije, Pret postavka o predznanju je poznavanje srednjokolskog gradiva gea- metrije. Zbog navedene namene, gradivo je izloieno :ra poetnika, bez prethodnog poznavanja iz samog predmeta. Za one koji su se u nekom obliku ve ranije sreli sa bilo kojim delom izlo~enog gradiva, upoznavanje sa ovako izloenom celi'lom, osim to prua raznovrsnost u metodama i jasnije istie povezanost koja meu njima postoji, naroito skree panju na osnovne zadatke samog predmeta sa geometrijskog stanovita. Poslednje poglavlje u kome je izlof.en vrlo mali broj osobina iz projektivne geometrije, a sa kojim je 11 tes-1I0j vezi prvo, uvodno poglavlje, ukazuje da je izlaganje gradiva sa stanovita projektivne geometrije omoguilo saimanje i povezivanje gradiva sa najoptijeg stanovifa. Da bi se bolje istakle specifine osobine nacrtne geometrije i da bi se jasnije uoilo povezivanje reavanja prostornog problema odgo-l'arajuim u ravni, to je sutina ovog predmeta, u ovom su udbe-Izikll takve osobine izdvojene time to su formulisane definicijama i stavovima sa odgovarajuim dokazima. To treba da doprinese boljem razumevanju materije, otklanjanju ablonskog usvajanja gradiva a i razvijanju prostornih predstava, to takoe spada u jedan od ciljeva upoznavanja nacrtne geometrije. Potrebu poznavanja nacrtne geome-trije i l'ie o njenim zadacima i ciljevima PIe bih na ovom mestu isti-cala.

8 Kako naein izlaganja odgovara poetnicima u upoznavanju sa mate-rijom i kako je izloeno vie 11"etoda nacrtne geometrije, knjiga moe da poslui i studentima drugih faklllteta i viih kola_ Zahvaljujem recenzentima i svim saradnicima -koji su korisIlim primedbama poboljali sadraj i tehniku obradu knjige. Na kraju, iz vie razloga treba da se pomene da je, na pl-edio.;', Odseka za matematike, mehanike i astronomske nalike i Prirodno

matematikog fakulteta u Beogradu, Komisija za nastavu i IId~bcl1ike Univerziteta u Beogradu ptihvatila rukopis ovog. udbenika ;;(1 objav-ljivanje krajem 1974. god., a udbenik je tampan polopi/101!l 1976. god

Beograd, juna 1976. Dr Zagorka $l1ajc1er

-'

/ I. PROJEKTOVANJE.

PERSPEKTIVNO KOLINEARNO PRESLIKAVANJE

1. Predmet prouavanja:

Nacrtna geometrija je oblast geometrije u kojoj se pr'Juavaju metode preslikavanja kojima se prostorni likovi predstavljaju odgovarajuim likovTna u ravni. Na taj nain se postie da se I-eavanie prostornog zadatka svodi na reavanje odgovarajueg .zadatka u Iavni. Skup osobina kojima se uspostavlja veza izme-

u prostornog zadarka i odgovarajueg u ravni 'karakterie sadr-aj ove oblasti geometrije. Preslikavanje koje se u nacrtnoj geometriji koristi je projektova. nje, pa se slika u ravni naziva projekcija. Kako je meu likovima u prostoru i njihovim slikama u ravni potrebna obostrano jedno-

znana korespondencija, utvrivanje elemenata u ravni 'kojima se jedr.oznano predstavljaju likovi prostora definie metodu pro-

jekto~nia. UpoZTI~emo se sa nacrtnom geometrijom euklidskog prostora. Kako se osobine invarijantne u odnosu na projektovanje izuavaju II geometriji 'proiektivnog prostora, upoznaemo i neke od osobina projektivne geometrije, kao i primenu ovih osobina u eu-klidskom prostoru;

2. Osnovni geometrijski likovi. Beskonano daleki elementi o s n o v n i g e o m e tri. j s k i l i k o vi. Take, prave i ravni ob-razuju tzv. jednodimenzione i dvodimenzione osnovne Hkove pro-jektivne geometrije koje koristimo za uvoenje projektovanja. Jedl1odimenzioni osnovi likovi (sl. 1). Prav niz taaka je skup

taaka jedne prave. Prava je nosilac, a taka je element niza ta-aka. Pramen pravih je skup pravj.h jedne ravni koje imaju jed-nu zajedniku taku. Taka je nosilac i naziva se centar Hi sredi-te pramena, a prava je element pramena. Pramen ravni je skup ravni koje imaju jednu zajedniku pravu_ Prava je nosilac i na-ziva se osa 'pramena, a ravan je element pramena. Svaki od ovih likova predstavljamo oznakom nosioca pred zagradom II kojoj su oznake jednog proizvoljnog elementa i:li nekoliko e'lemenata koje treba istai. Na primer: prav niz taaka a(M) ili a(A.B, ... ); pramen pravih pep); pramen ravni m(cx).

I

10

a

sl. J

Dvodimen'l.ioni osnovni likovi (sl. 2). Ravno polje taaka je sIrup taa!ka jedne ravni oi ravno polje pravih je 'skup pravih jedne ravni. Ravan je nosrIa1: za oba Irka, ,a take, odnosno prave su elemenH. Snop pravih Je skup pravih u prostoru 'koje imaju jed. nu zajedniku taku i .~nop ravni je skup ravni kQje imaj-u jednu

zajedniku taaIm. Taka je nosi.Jac snopa i naziva se centar ili ,sredite snopa a prave odnosno ravni su elementi. Za predstavlja : nje oVlih llikova stavljax:no ozna:k:u nosioca ispred zagrade, a :u za gradi oznatke elemenata. Na primer: ravno polje ta81ka a.(M) [Ii a.(A,B,C, ... ); ravno polje pravrh a.(m); snop pravih S(p); snop ravni S(a.).

I ~' ~ 'A, 7 );fR 1~7 sL 2

B e s ,k o n a n o d a I e k .i e 1 e m e n t i. Skupovima elemenata navedenih geometrijskih 1i'kova dodajmo beskonano daleke ele mente: beskonano daleku taku skupu taaka na pravoj, besko-nano daleku praw S'kupu !pravih :u ravni i beskonano daleku ravan skupu ravni u prostoru. Definisaemo ih uspostavljajui obostrano jednomaIlo preslikavanje elemenata dvaJu osnovnih geometrijs'kih Jiikova. 1. Beskol1ano daleka taka. Neka je prava a nosjl)ac !pravog niza taaka a (A) i neka je tacka P, koja 'ne pripada pravoj a, sredite pramena pravih P (p) pri emu s'u !prava a i pramen

11

p (p) u istoj ravni (sl. 3). Uspostavimo preslitkavanje :kojim rtakama niza dodel1,ujemo prave pramena rtako da proi!llVOljnoj taki Ak niza dodelimo onu pravu Pt pramena -koja je odreena ovom .takom i sreditem pramena, tj. Pit = AkP. Na .t~j naom -sva!ka taka prave a i sredite @ odreuju jednu -prav-u p.raanena, pa sva'koj

taki niza odgovar~ same Jedna prava pramena. Sva'ka prava pramena je, prema tome, 51~ka jedne taP~e niza, -take u tejoj eva prava see nosilac niza, pravu a. IZll'Zeta!k je prava p pra-mena koja je para:le.].na pravoj a, .jer se, prema _defimciji, para:lel. ne prave p i a ne seku.

Q

sl. 3

Da bi svaka prava pramena bila -slika bar jedne take niza j da bi razliite prave pramena bHe slitke razliLtih taalka oniza, dodajmo skupu taaka prave a jednu beskonano daleku taku Itake 'to je smatramo presenom takom paralelnih pravih p i a. Oznaimo je sa A... Na taj nain je ,i prava p pramena pravih dodeljena taki A.. pravog niza taaika.

Uvoenjem bes:kona:no da'leke take na pravoj po9ti8Iluto je da svakoj taki pravog niza odgovara samo jedna pra'Va pramena i da je svaka prava pramena sl~ka' saano jedne take niza, dakle, uspo-s-tavljene preslilkavanje taaika praveg !Iliza na 'Prave pramena je obostrano jednoznano* preslikavanje. Posledice takvog uvoenja tbesronaDo da'lelke take na pravoj jesu: 1. Paralelne prave imaju jednu !Zajedniku IbeskonaIlo dadeku taku. 2. Prave koje nisu 'parailelne odreuju razliite ,beskonane' da-leke take. 3. Svake dve 'prave jedne ravni se seku. Svaka beskonano daleka ta'ka odreena je jednom od paralel-nih pravih -kejima pripada. KaemO' da je njome daJt pravac ovioh

* biunivoko, bijektivno

12

pravih. Za >razlilku od beSikonanoda'leke take, ostale take jedne prave nazivamo' konanim. 2. Beskonano daleka prava. Neka je ,ravan a. nosi,lac polja pra-vih i taka S, koja toj ne .pripada, neka je sredite snopa ravni (sl. 4). Uspos.tavimo t~vo presHkavanje ravnog polja pravih a.(a) . i 'Snopa ravni S(O') .da p.roizvoljnoj pravoj ak polja pravih dode-lj-ujemo onu ravan O'k snopa ravni ,koja see ravan ct po pravoj ak. Pravom ak i sreditem S odreena je jedna .ravan snopa, prema tome, sva1koj pravoj ravnog polja pravih ct(a) odgovara samo jed-na ravan snopa ravni S(O'). .

sl. 4 sl. 5

Svaka ravan snopa je slika jedne prave polja, prave po ,kojoj ra-van snopa see ravan ct nosilac polja pravih. Izuzetak je ravan rJ koja je paralelna ravni ct jer su, prema definiciji, para,lelne ravni one koje se ne seku. Dodajmo skupu pravih ravnog polja ct{a) jed-nu beskonano daleku pravu ttvko to je smaotramo presenom pm-vom paralelnih ravni rT i a. 'Oznaimo je sa a ... Na taj nain je i rava:n rT snopa S(rJ) slika prave a'" raY-nog polja pravih ct(a). Dakle, preslii.kava.nje

13

Beskonano daleku pravu jedne .ravni moemo uvesti i 'sledeim razmatranjem. Uoimo preslikavanje taaka ravnog polja taaIka ct(A) na prave snopa S(p) (sl. 5). Dodelimo"proN;v()ljnoj taki Ak polja onu pravu Pk snopa 'koja :prodire kroz ravan ct u taki Ak. S\:akom takom Ak ravnog polja .i sreditem S snopa odreena je jedna ,prava snopa, ,tj. svaocoj taki ravnog polja ct(A) odgo-vara samo jedna prava 'pramena Ipra'Vih S('P). Proizvoljna prava Pk snopa je sli:ka one take Ak u kojoj. ona' prodire kroz ravan a., pa 'prave iz snopa S (p) koje 'Su sa a. para-lelne i prema tome ne 'prodiru kl'OZ 'ravan 0., nisu sli:lre 'taaka ravnog polja a.(A). Uoimo jednu od pravih 'Sk 11 i ravan Cl'k koja sadri Sk i 'koj~ see Tavan a. po 'pravoj mk. Tada je mk II Sk. U ravni Cl'k je tada 'presena taka para'lelnih prarvih Sk i mk besko--nano ,daleka taka iMk oo :prave mk. Ova taka Mk .. je prodoma taka prave Sk i ravni a.. Uvoenjem beskonano dalekih -taalka ikao prodornih taaka pravih iz snopa S (p) kaje su paralelne ravni a. dobija se da je sva.ka prava snopa S(p) s'Hka jedne take ravonog polja taaka (A). Prave snopa S(p) koje su paralelne ravni a. pripadaju jeoooj ravni CI' koja sadri S i 'koja je ,para'ielna 'ravni . Ravn\i CI' i a. ima-ju zajednike beskonano da'le:ke take za koje, poto predstav-ljaju skup zajednikih taaka dveju ravni, smatramo da pripa-dajU: jednoj pravoj ,presenoj pravoj ,raV'I1i cr i a.P'rema tome', skup beskonano dalC1kih taaka jedne ravni je beskonano dale-ka prava ove ravni. 3. Beskonano daleka ravan. Skupu svih ravni prostora dodajemo jedIlu beskonano daleku ravan i smatramo je skupom beskona-no dalekih pravih svih ravni prostora, odnosno, skupom besko-11a11o dalekih taaka svih pravih prostora. Ovakvim uvoenjem 'bes'konano .da,lekih elemenata nisu prome-njene osobine meusobnih odnosa prLpadanja taaka, pravih i raImi koji postoje meu konanim elementima. Tako npr. nije promenjena osobina da ravan fr prava ikoja joj ne pri'pa,da imaju jednu zajedniku taku. U prostoru koji jedobijen dodavanjem beskonano dalekih elemenata vai: ravan i njoj paralieina prava imaju zajedniaku beskonano daleku taku, ravan i beskonano daleka prava imaju zajedniku besk()l!1anodaleku taku i prava i beskonano daleka ravan imaju zajedniokll beskonano daleku

taku. Uvoenjem beS'konano dalekih elemenata omogueno je da neki razliiti meusobni poloaji ik:()I!1anih elemenata postaju samo razliiti specijalni s~lJ.lajevi jednog optijeg zajednikog poloaja. Tako je za prethodno navedene primere zajednika osohina: ra-van i prava ,koja joj ne pripada imaju jednu zajedniku taku. Pri tome se meu :konanim .i beskonano dale'k1m elementima ne pravi -razlika, pa je ovim obuhvaena i prava para'lelna ravni i prava 'koja 'nije paralelna ravni. Talkoe je obuhvaena zajed-

nika taka ravni i beskonano daleke 'prave, ,kao i zajednika taka beskonano daleke ravni i 'Prav~

J4

Prostor :koj,i se dobija dodava,njem beSIkonanodalekih eleme-nata euklids:kom prostoru, pri emu se beskonano daleki ele-menti ne razlikuju od 'konanih, naz,iva se 'projektivni prostor. Osobine 'koje vae II ovom pros'toru su projektivne osobine. Upo-

2'll1aemo neke osobine projektivnog prostora da bismo ih kasni-je koristiH II eukJi.dskom .prostoru koji dobijamo iz proje'ktivnog prostora a:ko 1skl j uimo beskonano daleke elementp.

3. Projektovanje U nacrtnoj geomet'riji se prostorni Ii'kovi preslikavaju na ravan i time se postie da se prostorni zadaci reavaju odgovarajuim .zadacima II ravni. Preslikavanje koje se koristi II nacrtnoj geo-metriji je projektovanje. Definicija J. Projek-tovanje prostornog lika na ravan 'It iz centra O, koji- ne pripada Tavni 'It, je presJi.kavanje skupa taaka prostor. nog lika II skup taa'ka ravni 'It kojim se proizvoljnoj taki A prostornog lika 'pridru,uje ona taka A' ravni 'It u Ikojoj prava OA prodire 'ravan 'It (sl. 6). Ravan 'It je projekcijska ravan ili raVlln slike. Taka O je centar ili sredi.~te projektovaIlja. Prava OA je zmk projektovanja, pro-jekcijski zrak, .ili projektttjui zrak take A. Taka A' je projek-cija 'take A. Iz prethodnog sledi defi'nicija: Definicija 2. Projekcija take A prostora na ravan 'It iz centra O je prodorna taka A' zra:ka OA kroz projekcijsku ravan 'It

sl. 6

Prema centru razlikujemo: a) centralno projektovanje kad je centar konana taka O i b) paraleb10 projektovanje kad je centar beskonano daleka ta-

ka O oo. Proj ekcij ski zraci su tada paraklni meu sobom, jer se

15 seku u beskonano dalekoj taki. Kod para:\eln-og .projektovanja razlikujemo normalno projektuvanje 'kada su zraci norma-Ini na 'lt i koso projek-tovanje kada zraci nisu nomla'lni na 'lt, odnosno, 'kada su -kosi prema 'lt, tj. -kada je nagihni ugao p.rojekcijskog

. zraka prema 'It manji od 'pravog .ugla. . p r o j e k c i j a .p r a v e. Na osnovu definicije projekitova:nja pro-stornog lika (defi.nicije 1.) sledi: Definicija 3. Projekcija prave a na ravan 'lt ~z centra O je s,kup projekcija taaka prave a na 'lt (-sl. 7).

Projektujui zraci taa'ka prave a pripadaju ra'Vni od,reenoj pra-vom a i centrom O, pa je skup nj-ih-ovih prodomih taakakroz ravan 'lt presena prava :ove ;ravni sa 'lt. Ravan (O,a) je !Pfojektu-jua ravan prave a. Presena prava ravni (O,a) d ravni 'lt je pro jekcija prave a. Oznaimo pt()je!kciju prave a sa, a'. Projekcija

take koja pripada 'pravoj je taka koja pripada projekciji prave. Smatrajui da se bes,konano daleke take ne nzHku}u od konanih, vae osobine ci za centralno i za paTa-lel.no projek-tovanje): Stav 1. Projek-tovanjem iz centra O prav niz taa

16 Navedene osobine projekcije prave vae za opti poloaj prave. A'ko prava :sadri centar oprojektovanja O, tj. ako je prava pro-jekcijslki zraJk, tada je njena projelkoija taka. -taka prodora kroz ravan 'lt.

sl. 7

Pr o j e k c i j a r a v n i. Iz definicije l. sledi i defii:nicija projekcije rarvni: Definicija 4. Projkcija ravni " na 'ravan 'lt iz centra O ie skup projekcija svih ,taa-ka ravni" na ravan 'lt (,sl. 8). Dokaimo da vae osobine: Stav 3. Projektova.njem iz centra O polje taaka ravni presliika-va se na polje taaka njene projekcije u ravni 'lt obostrano jedno-

znano, ako ravan ne sadri cen.ta'r projek,tovanja. Dokaz. Projektujui zraoi taa:ka ravni "t" obrazuju 'Snop pravih sa sreditem O (1S1. 8). Ako beskonano daleke taJke i 'prave ne razHkujemo od konaJnih, tada se take ravnog polja ,,(M) pre-slikavaju na prave snopa O(OM) obostrano jedn07;nano, pri emu sva,koj taki ravni" odgovara njen projektlUjui traJk (2.2). IstD taJko. zraci snopa O(OM) p.resJi;kavaju se na take ravnog polja taa:ka ,,'(M') u 'raV'Ili 'lt obostrano jdnomano, pri emu svakom zra.~ snopa O( OM) odgovara njegova .prodorna taka M' .kroz 'ravan 'lt. Prema tome. jednom zraku snopa pripada jedna

taka '-raV'Ili " i njena projekcija. taka ravni 'lt. Dakle. navedeno presJitkavanje poj'ja taa:ka ravni " na polje taaka u ravni 'lt je obostrano jednaz.nano ,presHkavanje. Prema tome vai: Stav 4. Projekcija ,,' ravni " je ravan Tt, ili skup projekcija taaka ravnog poljataa.ka ,,(M) je u ravni 'lt ravno polje taaka ,,'(M') ako centar 'Projektovanja One pri-pada ravni "t". A:ko ravan " sadri centar 'projektovanja O, tada je projekcija ravni " pr'ava 'po !kojoj ravan " see projekcijsku ravan 'lt.

17

Ravan je u prostoru odreena t-ri:ma takama Ikoje ne pripadaju jednoj pravoj, pa je u projekcijskoj 'ravni "It predstavI iamo -pro-jekcijama ovih triju taaka.

sl. 8

Pri projektovanju 'ravni 't na 'ravan "It iz centra O, od osnovnog je xnaaja obost.rano jednozm.a6no rpresli'kava'nje meu taka.p1a ravnih polja taaka 't (M) .i 't'CM). Zato emo se !prvo upQlZllati sa osobinama ovog .preslikavanja, da bismo ih kasnije koristiIli 'll raznim zadacima ti vezi sa projekcijama ravnih i 'Prostornih .J.jlkova.

4. Dezargov stav

Dakazaemo jedan od osnovnih stavova projek!tivne geomebrije na kome su zasnovane 'projektjvne osobine koje emo -Clalje ko-ristiti. To je Dezal'gov (Desargues) stav otrouglovima. Dezargov stav. - Direktan: ako se prave koje spajaju odgovarajua temena dvaju trouglova seku u jednoj taki, tada se odgovarajue stranice tih t.rouglova, rH prave kojima pripadaju stranice, seku u takama jedne prave. Vai i .inverzan stav: ako -presene take parova odgovarajuih stranica dvaju trouglova, Hi pravih !kojima stranice pripadaju, pripadaju jednoj pravoj, tada se prave koje spajaju parove odgovarajuih temena trouglova seku u jedno:i

taki. Razlikujemo dva meusobna poloaja trouglov!l: jedan u kome su trouglovi u razliitim ravnima i drugi u kome 'Pripadaju istoj ravni. Dokaimo prvo oba stava, direktan i inverzan, pod pretpostav-kom da Sll trouglovi ABC i A1B1C1 u ra:z:liitim ravnima (J. i (J.I 2 Nncrtn;). geomc-lrija

18

(sl. 9a). Neka je s presena prava ovih ravni, i A i AI, B i BI, C i ct odl!ovarajua temena datih t,re,uglova. 1. U direktnom stavu sc pretpostavlja da sc 'pTave AA1, BBI i CCI seku u jednoj taki S. Polo sc prave AAI i BBI seku u taki S, one odreuJu ravan. Ovoj ravni pripadaju prave AS i AlBI i neka je njihova prosena taka P. Taka P pripada ravni rL, jer je taka praveAB j pripada ravni 0:1, jer je taka 'prave AlBI. Dakle, ta,ka P pripada presenoj pravoj s ravni o: i 0:1. Slino sc pokazuje da se prave BC i BICI seku ulal

19

Dokaimo dalje iste stavove pod pretpostavkom da su trouj!]od ABC i AIBICI u istoj ravni (s). 9b). 3. Neka su trouglovi ABC i 'AIB,C, u ravni a i neka je S presena

taka pravih AA"BB" CC,. Na proizvoljnoj pravoj p kroz S koja nije u ravni a izaberi mo proizvoljne take SI .j Sz. Prave AS2 i A,S. pripadaju istOj ravni i neka je njihova presena 'laka A2. Neka se slino prave BS2 i B,S, 'seku u taki Bl i prave CSl i CIS, u taki C2. Take A2, Bz, Cz odreuju trougao u ravni 2

razliitoj od a. Neka se ravni a i a2 seku po pravoj s . Za dva trougla ABC i A2B2C2 u prostoru sa centrom S2 dokazano je (4.1) da se prave kojima pripadaju odgovarajue stranice AB i A~B2, BC i BIC2, AC i A2Cz seku redom u takama P, Q, R na pravoj 's. Isto tako i za trou!!love AIB,C, i AzBzCz u ravnima a i az sa centrom S. prave kojima pripadaju parovi njihovih odgovarajuih stranica seku se II takama prave s. Kako AlB2 see s u taki P, sledi da 'prava A,B, see s u istoj taki P; slino sc dobija da pra-va B,C. see s u taki Q i A,C, see s_ u taki E,. Dakle, AB i A.B" BC i B,C., AC i A,C, seku se redom u takama P, Q, R prave s. 4. PretpostaV1ka obratnog stava je da se prave kojima pripadaju stranice AB i AlBI, BC i B,C" CA i C,A, trouglova ABC i A,B1C,' . seku redom u takama P, Q, R prave s.' Neka je az proi-zvoljna ravan kroz pravu s i neka je A2BzCl trougao u ravni Cl.2 ije stra-nice AlBl, B2C), C2A2 pripadaju pravim koje prolaze redom hoz taoke P, Q, R. Dokaozano je da (4.2) za trouglo\'e ABC i AzBzCl koji su u razliitim ravnima i ije odgovarajue stranice pri-padaju pravim koje se seku u takama jedne praVE. postuji

taka Sz II kojoj se seku prave AAz. BB2, CCz. Takoe. za trouglove A,B,C1 i AzB2C2 postoji taka S, u kojoj se seku prave A,Al, BIBl i

. C,Cz. Take S, i Sz odreuju pravu p i neka je S taka prodora prave p kroz ravan a. Prave SJA, i S2Al seku se u .taki Al i od're-

uju ravan koja see ravan a 'po pravoj AA t U istoj ravni je i prava SIS2, pa je presek pravih S,S2 i AAI taoka S. Na Usti nain se pO'kazuje da taka S pripada i pravim. BB, i CC . Dakle, AA" BB, i CC l seku se u taki S.

5. Perspektivno kolinearno preslikavanje dvaju ravnih polja taaka

Kao to je dokazano, projektovanje ravni 'T na ravan 7t iz centra' O je obostrano jednoznano pres]j,kavanje dvaju ravnih polja

taaka i u kome par odgovarajuih taaka pripada pravoj koja pro-Jazi kroz taku O koja je izvan nosilaca ovih ravnih polja taaka. Definiimo sledea preslikavanja dvaju ravnih polja taaka: l)efinicija 1. Obostrano jednoznano preslikavanje dvaju ravnih polja taaka u kome parovi odgovarajuih taaka pripadaju pra-vim koje prolaze kroz iednu taku S naziva se pt:rspektil'l1o pre slikavanje. "

20

Taka S je centar perspektive, a prave na .kojima su parovi od ( gov3II"ajuih taaka i koje obrazuju snop sa sreditem S jesu l zraci perspektive.

Definicija 2. Obostrano jednoz.nano presli-kavanje dvaJu ravnih polja taaoka u kome takama jedne prave 'prvog 'Polja Q'd.gova raju u drogom polju take Ikoje takoe pripadaju jec1noj pravoj

na~iva se kolinearno presl~kava-nje. Stav 1. Perspektivno .preslikavanje .dvaju ravnih polja taaka, iji su nosioci dve razliite ravni, je 'kolinea.rno presHkavanje .

.

Neka "su da.ta dva polja taaka koja pripadaju dvema nzliitim ravnima cx, i Ul (-sl. 10a). U polj.u (M) neka je a proizvoljna pra va. Pravom a i cen.trom pel"Spekth'e S odreena je ravan (S,a) kojoj pr~padaj.u Zlraci 'Perspektiv'nog 'preslilkavanja taaka prave a. Prema tome, prodorne take ovih Zlra:kova Ikroz :'avan cx,1 pripada. ju presenoj pravoj al ravni (Sa,) sa cx,1. Iz ovoga sledi da se

take prave a polja cx,(.M) pres1i1kavaj'll II take prave al polja cx,,(M,), dakle, pres'likavanje je kolinearno.

sl. 10

Posledica 1. U perspekt.ivnom presHkavanju ravni a na I prese' na prava s ovih dveju 'l"avni .presJikava se u istu pravu i to tako da 'se .svaka njena. tjlka preslikava u samu sebe. dakle. prava se presUkava u samu sebe ident1ki. Prema prethodno dokazanom stavu, ravan (S,s),' gde je s iz cx" see cx,1 po pravoj '5, i z cx,1. KBlko je s zajednika prava ravni a i al, .-sledi da se s poklapa sa s,. Isto tako, zrak SP, gde je P taka prave s, see ravan !XI u istoj taki, dakle, i take P i P, se pokla. paju. Za taku P kaemo da se flresHkava u samu sebe ili da je P dvojna taka i oznaavamo P iiii P .. Kako je svaoka taka prave s dvojna, kaemo da je i prava s dvojna.,j]j da se prava s presli kava u samu sebe ide'ltiki. to oznaavamo s ai s, .

21

Definicija 3. Prava kO'ja se u perspektivnO' kO'linearnO'm presli,ka-vanju presli-kava u samu sebe identiki naziva se osa perspektive ! ili osa kolil1eacije (sl. IDa) Posledica 2. A'kO' prava a polja a(M) see osu perspektive s u

taki P, tada istu taku sadri prava al polja al(MI) kO'ja u p er-spektivnom presli'kavanju odgO'vara pravoj a. Prema posledici 1. taka preseka prave a i OISe -s je dvO'jna taka preslikavanja, tj. P "" PI. KakO' je presli-kavanje koJinearnO', taka P "'" PI pripada pravDj al, dakle, pra've a i al seku se u taeki P "" PI prave s. Stav 2. Pers'pektivnim preslikavanjima polja taaka ravni a na al iz centra S i iz centra O. kDji ne pripadaju ravnima a i al, od

reena su li ravni al dva pDlia taaka meu 'kDjima je preslika-vanje perspel(tivnO' i ko1ineamo. Dokaz. IzvedimD dva perspektivna preslikavanja ravnDg pDlja taaka a(M) na ravan al iz centara S i O kDji se razJoi:kujlJ i ne pripadaju ravnima a i al Csl. lOb). Presliikavanjem iz centra S dDdeljujemO' -ravnDm PO'lju a(M) polje taaJka al(MI). pri emu

taki M ravni .a odgDvara u ravni al taka MI, 'prodO'rna taka zraka SMo PresHkavan.iem iz centra O dodeljuiemD. ravnO'm polju a(M) pDlje taaka a'(M'), pri emu taki M .ravni a O'dgovara u ravni al taka M' prodorna taka zra'ka OM. Na taj nain u ravni al dobijamo dva PO'lja taaka al(MI) i a'(M'). Meu takama O'vih dvaju ravnih polja uspDstavljenD je O'bostranD jednDznano pres.li-kavanje u kome prDdDrnoj -taki MI zraka SM odgDvara prodDrna

taka M' zraka OM: DokaimO' da .je O'VD preslikavanje perspek-tivnO' i kD1inearno. Ka'kD smO' u prethO'dnom stavudokaza1i da je perspektivriD presli-kavanje ravnih polja taa ka lO'linearno, sledi da su Dba preslikavanja pDlja a na ravan al iz centara S i O ko1i-nearna, tj. take prave a pDlja 'c1. preslikavaju ,se u take prave al. DdnDsnD u take prave a' ravni al. Prema tome, talka.ma prave al odgO'varaju take prave a', pa je pres,U,kavaJl1je pDlja taaka 'al(MI) i a'(M') koJi.nearnD. Najzad, uDimD ravan Ddreenu pravima SMI i OM' 'kDje se seku u taki M. Ova ravan -see ravan al pO' pravDj MIM', a prava OS kO'ja pripada ov Dj ravni prO'dire krDz ravan (XI

-u taki S' prave MIM'. Dakle. pravO'j kDja spaja par DdgDvarajuih taaka MI i M' pripada taka S'. Preslikavanje taaka ravnih pDlja al (MI) i. a'(M') je 'perspektivnD jer PDStDji centar perspektive S'. Prema tome, preslikavanje PO'lja taaka al(MI) i a'(M') je koli-nearnD i perspektivnO'. U oba preslikavanja iz centra S i iz centra O Dsa preslikavanja je prava s, presena prava ravni a i a). Pre-ma tO'me je i upreslikavanju ioz centra S' osapresl'ikavanja 'prava s. Ka:kO' je preslikavanje pDlja taaka CXJ(MJ)i a'CM') nastalO' iZVD-

enjem dva preslikavanja taaka 'ravni a na al, ,kaemo da je O'nD proizvO'd Dva dva preslikavanja. Definicija 4. Preslikavanje dvaju ravnih polja taa ka Ikoje je per-spektivno i kDlinearnD nazivamO' perspektivno kolinearno presli-ka1'al1je, perspektivna kolineacija ili centralna kolineacija. Centar ..

22

i osu perspektive nazivamo centar i osa kolineacije. Nosioci dva-ju perspektivno kolinearnih polja taa'ka jesu ili dve razliile ravni ili .jed7l(l ista. U daljem izlaganju, ukoliko je potrebno, bie naglaeno da li je nosilac jedna Hi dve ravni, u protivnom, obuhvaena 'Su oba slu-

aja. Ka:ko ravan odreuju tri nekolineame take, perspektivno koli-nearno preslikavanje zadaje se sa tri para odgovarajuih taaka, pri emu par odgovarajuih taa:kapripada zraku 'perspektive koji sadri centar perspektive. Stav 3. Ako u kolinearnom presli!kavanju dvaju polja taaka po-stoji centar perspektive, tada postoji i osa perspektive.

sl. 11

Kao to smo dokazali, aiko je preslilkavanje ravnog polja taaka Cl(M) na ClI(MI) 'PerspektiJv-no sa cenrtrom S, ono je ikolinearno (stav 1.). Takoe je dokazano .da 'Presenoj pravoj s ravni cl i Cl, odgovara u ovom preslikavanju ista prava i svakoj taki prave s odgovara ista taka (pooled. 1). Ova prava je, dakle, osa per-spektive (sl. 10a). Ako su ,polja taaka Cl(A,B,C, ... ) i

23

se seku preostala dva para odgoyarajuih stranica. Dokaimo dn ova osob-ina vai za proizvoljnu ,taku T -prave s. Uoimo -kroz T proizvoljnu pravu polja a(M), npr. 'pravu AT i oznaimo sa D presek ove prave sa pavom BC. Zrak perspektive SD upreseku sa pravom BIC. odreuje preslikanu taku DI, pa prava AIDlodgo-vara pravoj AD. Dokaimo da se prave AD i AID. seku u ta-ki T

ime dokazujemo da se taka T prave AD poklapa' sa njoj odgo-varajuom takom TI prave AIDI. Prave AAr, .BBI i DD. spajaju odgovarajua temcna trouglova ABD i AIBIDI i pro.)aze kroz taku S. Prave kojima pripadaju odgovarajue s1ranice AB i A.B. seku se II taki P, a BD i BIDI u taki Q. Take P i Q odreuju pravu na 'kojoj se, prema Dezargovu stavu, seku i prave koJima 'Pripa-daju odgovarajue stranice AD i AIDI. Kako je takama P i Q odreena prava s, prave AD i AIDI seku se u ta6ki prave 's. Prava AD sece s II -taki T, ,dakle, AID. pr()ilaozi kroz taku T. Prema tome je T 55 T . Na isti na~in, 'koristei Dezargov stav II prostoru. mogli. smo da jzvedemo prvi deo -dokaza ovog stava koji se odnosi na dve razliite ravni u prostoru. . Stav 4. Ako ukolinearnom presli-kavanju dvaju polja taaJka:postOji osa, tada postoji i centar perspektive. Dokaz. Neka polja taa,ka a(A,B,C, ... ) i al(AI,B.,CI, ... ) pripada-ju dvema razlii-lim ravnima a i al. Neka je s presena prava OVIih ravni (Hb). Ona je dvojna 'prava, tj. osa s,. SJ. Na s su .tada

presene take P, Q. R parova odgovarajuih pravih AB i AlB., BC i BIC., AC i AlCI i one su dvojne. Na osnovu j.nverznog Dezar-gova stava pos,toji taka S u k'Ojoj se seku prave AA., BBI iCCI.

Doka~imo da prava koja s>paja ma kojedve odgovaraj-ue take L i L. ravni

24

tar S. Prese6noj taki A, prave AAI sa osom s odgovara ista taka, ti. A.t'" A, (.s,l. 12), Prema -tome, pravoj AA, odgovara u datom kolinearnom preslikavan:iu 'prava AIA.I kqja se sa njom poklapa. Da1kle, p-rava AAI pramena 'Sa sreditem S -preslikava se u samu sebe. Isto vai i za !pravu BBI pramena, gde je B, Bl -hilo koji dru-j!;i 'Par odgovarajuih 1aa'ka istog preslitkayan.ia iR"" BI .presek 'ia osom. Sledi da presenoj taki S pravih AA, i BB. odgovara ista taka kao presek odogova1rajuih -pravih AIA,I i BIB,I. Dakle, S je dvojna taka, tj. S'" SI. Sva'ka prava 'Pramena .ie dvoj'na jer sadri dve dvojne take preslikavania: centar S "" St i pr.:sek sa osom, npr. Ms'" Mt. i S su dxojne take prave MM;.

sl. 12

Preslikavanje pravih -pramena nije identino (kao to je preslika-. vanje ose s), dvojne take 'na svakom zra,ku su' samo centar S oj

presena taka prave pramena sa osom s. Definicija 5. Perspektivna koHneaaija u kojoj centar S ne pripada osi zove se i homologija, a u 'kojoj pripada osi zove se elacija. Definicija 6. U perSlpektivno kol.inearnom preslikavanju dvaju ravnih polja taaka prava .iednog ;polja koja odgovara beskonano dalekoj pravoj dTUgog polja na-ziva se protiv - osa.

u

v

s

sl. 13

25

Neka su Cl(M) i CllMI) dva polja taaka u razli6tim ravnima i neka je s- njihova 'presena 'prava. Centar S perspekt.i-vno ,ko].ine-arnog 'preslikava'n:ja i beskonano ,daleka prava v'" polja

26

Primeri

Primer l. Da-tom -kvadratu ABCD polja taaka (I(M) konstruisati odgovarajuretvorougao A,B,C,DI u polju aleMi) ako su ova dva pol'ja taaka u jstoj ravni i ako je perspektivno koHneaorno preslika-vamje dato centrom S, oSe>m s i parom -odgovarajuih taa.ka A, A, (sl. 14). Pre nego to preemo na konstrukciju elvorougla A,B,C,D, kon struiimo protiv-osu pol-Ja a(M) u kome je kvadra-t. Uoimo zato par odgovarajuih pravih ovog 'Preslikava'nja, npr. pravu AB po-lja a(M) koja see osu s u taki P ... P, ii njoj odgovarajuu pra-vu A,PI u polju al(MI). Preslikajmo bcsko,I\ano daleku taku U, "" prave A,PI u taku U prave AP. Taoka lJ( je odreena upreseku prave AP sa zrakom SU, .. -koji je paoralelan pravoj AlPI. Prava u kroz taku U, .paralelna osi s, jeste traena pre>biv-osa polja a(M). Kvaodra.t ABCD ima Hi nema zajednikih laa,ka sa pro-ri,v-osom. Pretposta'Vimo da nijedna taka kvadrata nepri-pada pro tiv-osi. Tada se sve take kvadrata preslikavaju u konane take.

u

sl. 14

Iz uslova da je presli:kava-nje kolinearno, take A, B, P, koje pri-padaju jednoj praV'oj..--tt-p'olju (M). presI.ikavaju se u take AI. Bl, PI koje talkoe prnpa.daju jednoj pravoj u polju al(MI). Da.kle,

taka BI pripada praIVoj AIP,. Iz uslova da je preslikavanje :per-spektivno, par odgovarajuih taaka B, B, pripada zraku kroz cen-taT S. Da!kl,e;' taka. Bl pripada pravoj SB. Prema tome, Bl je presena taka: pravih AlPI i SB. Taoke dui AB presJ.i-kavaju se tl

take .dui AlB,. Ne:) -taj nabin odreena je i stranica A,B, traenog etv6rougla. . Na isti nai'n odredimo -taku C,. Prava BC see osu s u taki Q "" OI pa je njoj odgovarajua prava B,O, i na njoj je taka C,

27

odreena u presek u sa zrakom sc. Za pres.lika:vanje take C mo-gli smo da koristimO' i pravu AC. Poto ll!i'smO', upotreibimopra'll'u AC za kontrolu preciznosti izvedene konstrukcije. Par odgovarajuih pravih see se u taki ose, da'lde, AC i AlCI seku se u taki R "" Rl ose s. (Ukoli'kO' to na crteu nije 'ispunjeno, crte nije ip'recil7..no izveden.) . Na isti nai'n 'konstrui:imo taki D odgovarajuu taku D" presH-

kavaj-ui jednu oo pravih CD, AD, BD: . Kako su suprotne stranice kvadrata para.lelne, prave .kojima one pripadaju seku se II takama beskonano daleke 'pra"le. Prema to-me, suprotne stranice c!rorougla AIBICIDI pvipadaju 'pravima koje

~C seku na protiv-osi VI polja (l1(MI). dakle, na pravoj paralelnoj osi s. Primer 2. Dati kvadrat ABCD presli.ka'ti 'perspek,tivno koli-ne amo ako su dati centar S, osa s iprotvi-osa u polja taalka u kome j~kvadra-t i ako: a) jedno teme kvadrata pripada protiv-osi u (sl. ISa) i b) ako ,protiv-osa u see okva'drat (sl. 15b). a) Ako je teme A kva:drata ABCD na prO'tiv-osi U, tada se taka A presli'kava u beskonano daleku taku AI" zraka SA. Da bismo konstrui'Sa,)j taku BI, odredimo presenu .la,ku . P "" PI ose: .. ~. sa pravom AB. Prava AP preslikava se u pravu AI .. PI, 'dakle, to je prava 'kroz PI parale1.na pravoj SA. Kaiko je -laka B na pravoj AP, taka BI je na pravoj PIAI" i d()bija 'Se upreseku. sa zrakom SB. Preslikajmo na pravu AI .. PI jo jednu taku du-ili AB. npr. taku M u MI. Pomou take Mt zaklJuujemo da se stranica AB kvadrata presli.kava u onu polupravu ;prave AI"PI

ij

28

Sl. 15b

Ostctie take C i D presHkawa.mo u t.ake CI i DI kao u pret-hodnom primeru. Stranica AD se takoe presli1kava u jednu od polupravi!h pra've D/AI .. sa kraljem DI na kojoj je taka NI, pre-sUkana taka N stranice AD kvadrata. Stranice kvadrata se, pre-ma tome, presliika'Vajou u otvorenu izlomljeriu lini'j.u. Deo ravnoi

ogranien ovom 1inij()IIIJ., kome' prilpadaju np'r. take dui BIDI, II koju se preslikava du BD, je gkup preslikan'ih taaka povi-i kvadrata. b) Ako protiv.o()sa 'Il see kvadra-t ABCD. i t'O stranicu AB u taki U i stiralJliou ~D u taki V, tada se take U lj V presHkavaju II be&konano-da:leke 'take Ul" zraka SU i Vl .. zraka SV. Da bismo preslikaU straJll'icu AB, uoimo presek P - PI ose s sa pravom AB. Tada se prava UP, na kojoj je AB, preslilkava u pravu UI"PI koja je paralelna zra!k'll SU. Na njoj odredimo AI i BI upreseku sa zracima SA i SB. Ka!ko se ta'ka U dui AB preslikava u beskonano dalleku taku Ul .. , stranica kvadrata se presl.i,kava u dve polu:prave prave UI .. PI iji su 'kT8'jevi take Al i BI. Slino, ako je Q ... OI presek ose IS i prave CD, na ikojoj je taka V protiv-ose u, tada se stranica CD presli:kava u dve poll.Lprave pra-ve OIVI .. paralel.ne zraku SV, u poluprh:ve iji su krajevi take Cl i Dl.

29 Najzad, svaka od stra-nka AD -i BC, koje nemaju zaJjednikih

laaka sa Ipr.DItJiv-osom u, presltkavaj-u se u dui AIDI i BICI_ Stranice kvadrata se, prema tome, -presHkavaju u dve OJtvorene izlomljene linije koje ograniavlIIju de\oove ravni u -koje se preslika-va pOVT kvadrata.

Zadaci za vebu 1. Data su tri para odgovarajuih taaka perspetkivno kolinea-rnog preslika-vanja sa centrom S. Konstruisati osu i protiv-ose ovog preslikavanja. 2. Dati paralel9gram ABCD preslilka-ti perspektivno lroJ.inearno ako je dat centar S i taIkama A, B, C odgovarajue take A" B" Cio 1. Dati su centar S- osa s i par odgovarajuih taa ka A i A, perspektivno kolinearnog preslikavanja. Konstruisati protiv-ose ovog preslikavanja_ 4. Dati su centar S, protiv-osa u i par odgovarajuih taaka A i A. perspek-tivno kolinearnog preslikavanja. Konstruisati osu i drugu protiv-osu ovog preslikavanja. 5. Dati su centaT S, osa s i protiv:Osa u perspektivno kolineamog presHka-vanja. Preslikati datu du AB ako je: a) du AB i protiv-osa u nemaju zajednikih taaka b) krajnja taka B dui AB pripada- protiv-osi u c) du AB see -protiv-osu u; 6. Dati su centar S, osa s i protiv-osa u perspekth-no -kolinearnog presli-kavanja. Preslikati- dve prave p i q: a) koje se seku na protiv-osi u b) koje su paralelne. 7. Dati su centar S, osa 5 i proliv-osa u perspektivno kolineamog preslika. vanja. Preslikati proizvoljan trougao ABC ako je: a) trougao ABC i protiv osa u nemaJu zajednikih taa.ka b) jedno teme trougla pripada protiv osi u c) trougao ABC see protiv osu u. 8. Pravilan estougao koJi nema zajedn-ikih taaka sa protiv-osom preslikati perspektivno kolinearno ako su dati centar S, osa s i protiv-osa u. Dokazati da se prave, kojima pripadaju swprotne stl-anice presHkanQg estougla, seku u takama jedne prave paralelne osi s. -9. Dati su centar S, osa s i protiv-osa u perspekt-ivno koHnearnog presli-kavanja. Preslikati dati trougao ako je jedno njegovo teme centar S i: a) trougao ne see protiv-osu u b) trougao see protiv-osu u. 10. Dati su centar S, osa s i protiv-osa u perspektivno kolinearnog preslika-vanja. Preslikati dati kvadrat ako je centar S u kvadratu i: a) kvadrat ne see proliv-osu, b) kvadrat see protiv-csu.

6. Invarijanta perspektivno kolineamog preslikavanja Definicija 1,,: Dvorazmera etvorke taa,ka A, B, C, D jedne prave . cl AC AD d cl Je razmera veJu razmera -- : -- , g e su AC, BC, AD, BD u-

BC BD ~ine dui odreene takama A, B, C, D. ObeleavaemQ je [A-BCD].

30

Ka!ko su duine dui 'pozitivni brojevi, dvorazmera je broj [ABeD] = k. Ako C, odnosno D, nije izmeu A i B, parovi A, B i C, D se ne ;razdvajaju (sl. 16a), u protivnom oni se razdvajaJu (s1. lOb). Ako se 'PaTovi taaka razdvajaju) neka je k < 0, a ako se ile rarovajaju, neka je ,k > O.

A B e D A e B D

e A B A D B e

sl. 16

Stav 1. Ako je jedna od taaka etvorke A,B,C,Dbeskonano daleka, tada je dvora~era jedna'ka razmeri ,trojke konanih taaika. Neka je npr. D ... Kako je IABCD .. ) = AC AD.. AD .... l

BC BD.. BD.. '

sleduje da je [ABCD] = AC BC

Definicija 2. Cetvorka taaka za koju je -k = -1 naziva se harmo-nijska etvorka taaka, Hi, parO'Vi A, B i C, D nazivaju se hanno-nijski konjugovani parovi taaka. Iz AC : AD = -1 sleduje da je AC = AD

BC BD BC BD da se 'parovi A,B

C.D razdvajaju. Stav 2. A!ko su a, b, e, d zraci pramena sa sreditem S, 'p i 'PI pro-izvol}ne prave 'koje ne pro-laze

31

U paralelogramu ALSK je AL = SK i u paralelograrmu BNSM je .AC AL SK BN = SMo Sleduje, da je: '- = - = - . Isto ta'ko, iz BC BN SM

para-ielograma AIL1SK1 i BIN1SMI je A,LI = SKI i BINI = SMI iJZ ega l>leduje: Al Cl = AI LI = SKI.

BI CJ B] Nl SM]

. ABCD _ AC .AD = SK .AK _ SK .SM Prema tome Je: I ) - BC 'BD SM 'BM - AK 'BM

SM SMI tro uglova 5MB i SM1BI je - = --BM Bl Ml .

P>rema tome je: SK ; SM = SKJ : SM] odnosno AK BM AJ KJ Bl MJ'

[ABeD] = [AIBICIDd.

sl. 17 sl. 18

Posledica. Dvora2lIllera etvorke .taaka jedne 1>ra've je invarijanta perspektivno ko1ineamog presli:bvan.ja (sl. 18), Ako su p .i PI paJr odgovarajuih pravih perspek!tivno kO'Hneaor-

no~ :preslikavan-ja dvajou rarvnd-h pol'ja taaka 'Sa centrom S i osom s l AI, ~I' CI, DI taJke prave !Pl, 'koje u d!lJtom pres.Jihkavanju odgovara,]u redom takarma A, B, C, D praove op, tada je na osnovu prethodnog stava [ABCD] = [AIBICIDI]'

32

Stav 3. Ako je perspektivno kdlineamo presHkavanje dvaju polja taaka (M) i I(MI) dato osom s, centrom S i 'parom odgova.

raju~h taaka A i AI i ako je M, MI proizvo]'jan pal[ odgova-rajuih taa;ka zadatog pres\ilkav3inja i A., M, presene take ose s redom sa zracima AAI, MM1, tada je [MMISM.] = [AAISA.] (-s]. 19). Prave AM :i AlMI seku se u jed'noj taki T = TI ose s. Zraci TA, TAl, TS i TA. pramena sa sreditem T p-reseeni su p.ravim SA j SMo P'rema :prethodno dokazanom stavu d:vorazmere etvorki pre-

senih taaka jednake su, dakle je [MMISM.] = [AAISA.].

sl. 19 sl. 20

Definicija 3. Broj k = [MMISM.], gde je M, MI par odgovarajuih taaka presltka'Vanja, S centar, M. presek zraka MMI i ose s; na~ xi'vamo konstantom perspektivno ikoJi.nearnog pres'iilkava:nja. Perspektivno kolinearno prestIilkavanje sa konstantom k = -1 nazivamo harmonijska kolineacija. Na osnovu d()lkaza:nih osobina, lro.nstruisaemo na pravoj 'p taku D tako da sa'mma datim takama A, B;'C, gde je B izmeu A i C, tj. A-B-C, :ini etvorku taaka ija je dV'Orazmera

3 [ABCD] =- (sl. 20). 2

Neka je PI proizvoljna prava krorz taku A. Konstruiimo na pra-voj PI etvorku -taa.ka AI, B .. CI, DI ija je dV'or~mera [AIBICIDI] = 3 '. . AC 3

=-,pri emu je A ... AI i DI ... Tada je [AlICID I ... ] = _l _l = -, 2 BICI 2

pa je za proi.zvolj.no i2abranu jedinicu duine AlCI = 3 i BICI = 2 i AI-BI-C ..

~matrajui B, BI i C, CI parOVima odgovarajuih taaika perspek-tlvno kolinearnog preslikavanja, presek zrakova BBI i CCI odre-uje centar S perspek!tive. Kako je DI OD beskonano daleka taka prave PI, prava kroz S paTaleina pravoj PI presHkava DI" tl

33

taku D na pravo~ p. Prema dokazanom s'tavu je [ABeD] = . 3

== [AIBICIDI oo]. Da;kle Je [ABCD] = -. 2

Ovakonstrurkcija omoguuje da ,se perspektivno 'kolinearno pre-slikavanje zada centIrom S, osam s i konsta'O'tom preslikavanja k.

7. PerspektivIlo afino preslikavanje Razhku}ui ,sluajeve II -kojima su centar i osa konani od sluajeva u ,kojima su beskonano daleiki, dobiemo razliita specijalna perspektivno kolinearna pres'likavanja ravnih polja taaka euklid-skog prostora za koji su bes,konano da1eki elementi nesvoj&tveni.

Razli,kovaemo

34 sl.ib 'beskonano daleke .prave je beskonano daleka prava. Dokaz vai i za s,luajkada su

35

Dokaz se moe izvesti i na o$lnovu stava da Ml oaseci illa kracima ugla APA] odreeni u presek-u 'sa paot"a!le'lnim :PJ'a'Vim A~B~I , CC I proporcionalni. Dakle je AC = Al Cl.

BC Bl~ Posledica. SredUte dui preslikava se u sredite odgovarajue dui.

Ms

sl_ 23 sl. 24

Stav 3. Kons-tanta perspektiv-no afinog presliokavanJa dvaj.u ,pd].ja taaka koja pripadaju istoj ravni, u kome je cen1ar S .. t osa s , i M, MI par odgovarajuih taaika, a M. preseooa taka 1Jl"alka afi-nosti MMI sa osom preslikavanja s, jednaIka je razrneri k = MIM,.

~M. Polazei od -konsta-nte perspektivno ;kO']i.nea.rnog presHka'll'anja, k = [MMISM.], i dokazane osobine da je dvorazmera etvoI1ke

taaka jedne prave, od kojih je jed-na beskonano d~eka, jednaka razmeri tro.i'ke -konanih taaka, dobijamo za -S .. : k = [MM] S .. Msl = MS .. : MM. = l: MM, = Ml M .

. MIS.. Ml M, Ml M. MM, Stav 4. Ako je konstanta p:r;eslikavanja k = -1 i ako su 2Iraci afi.nosti normalni na osu, preslikavanje dvaju 'Polja taaka, koja pripadaju istoj ravni, je osna simetrija (sl. 24). Kako je k < O, pa-rovi M, Ml i S, M, -se ra:mvaja.ju, pa je za S ...

MM M. izmeu M i MI . Za vrednost I k I = 1 je _1 __ , = l odnosno MM. '

MIM. = MM, __ Dakle, na proizvoljnom zra,ku afi.no-s-ti, koji je na osu s normalan, nalazi se par odgovarajuih taaka sa ratlJli-itih strana ose i na jednakim odstojaonjima. Kalko ovu osobinu ima svaki par odgovarajuih taa-ka datog presli!kava:nja. a na-vedene o:;obinc defi-niu sim~riju u odnosu na osu -s , ovo per-spektivno arino presli-kavanje je simetrija u odnosu na osu s .

36 3. Neka je preslikavanje dvaju ravnih polja taaka odreeno ko-

nanim centrom S i beskOlJlano dalekom asom s" . Iz osobina opteg perspek1.ivno i

37

Stav 7. Konstanta preslilkavanja, u kome je centar S osa 's, M, MI d . 'h v k . d k . . k MS par o govarajU l taca' a, Je -na a Je razmen = --o

M]S Ka'ko je osa beskonano dal0'ka prava s oo, presena taoka zratka MMI sa osam s je beskonano daleka taka M, oo. Dvora'Z!l1era k = [MMISM, oo] kojom je koostanta perspelk,tiV1no kolin ea rnog pre-slikavanja definisana, jednaka je, prema tome, razmeri 'trojke ko-

nanih taaka. Da'kle je k = MS. - M] S

Stav 8. Dva ravna !ilka koji se jedan u .drugi preslikavaju perspek-tivno afino sa centmm S i osom s oo, jesu perspektivno slini ili homotetini (sl. 26). Neka su trouglovi ABC i AIBICI dva odgovarajua troug-Ia datog presliikavanja. Dokaimo da su perspektivno slini. Trouglovi su u perspektivnom 'poloaju jer 'parovi odgovarajuih temena A i AI, B i BI, C i CI p'r~padaju zracima 'perspekti,v-nog preslikavanja sa centrom S. Ka'ko su AB i AlBI odgova'rajue

38

A e sm/ / A/ ! e 9'~--------------~~A'

sl. 27 sl. 28

4. Ako je u perspektivno kolinearnom preslikavanju c.entar besko nano da-leka taka S oo i osa perspektive beskonano daleka pra-va s oo, tada su zraci perspektive paralelni i osa je 'beskonano daleka prava s .. i odgovara sama sebi. Prema dokazanim osobi-nama .u 2. i 3. ovo preslikavanje je perspektivno afino. Stav 10. Dva odgovarajua ravna Iika 'presJi:kavanja u kome je centar S ooj osa s .. , podudarni su i mogu se dobiti jedan iz drugog paralelnim pomera'njem e pravcu zra!ka afi-nosti. Ovo pres:]ixa-vanje je trans.Jacija iIi translatorna podudarnost. Dokaimo da su dva odgovarajua trou-gla ABC i A,B,C, poduda.rna (sl. 28). Zraci preslikavanja AA, i BB, paralelni su, a ta,koe su paralelne i odgovarajue prave AB i AlB, . U paralelogramu ABB,A, je AB = A,B, i AA, = BB, . Slino dokazujemo da je BC = B,C, , BB, = CC, .j AC = A,C, ,M, = CC, . Prema tome su trouglovi ABC i A,B,C, podudami. Kako su odgovarajua temena na paralelnim zracima, a odgovara-

jue stranice paralelne, i kako je AAl == BBI = CCl ,preslikavanje predstavlja paralelno pomeranje u pravcu zraka afinosti. Ovo per-spektivno afino preslikavanje je, dakle, translacija. Trouglovi ABC i A,B,C, su translatorno podudarni. Rastavljanjem proizvoljnog mnogougla na trouglove dokazuje se da su bHo koja dva odgovarajua mnogougla ovog preslikavanja translatorno podudarni. PremadQkazanim osobinama preslikavanja u sluajevima 2. i 3., karla su ili centar ,ili osa beskonano daleki i preslikavanje II

sluaju 4. u kome su i centar j osa beskonano daleki, je perspek-tivno afino. Za ova preslikavanja vae zajednike osobine: 1. paralelne prave presli.kavaju se u paralelne prave, 2. razmera triju 1aa;ka (ili razmera duinna dveju dui) jedne pra ve je inva rij anta ovih presJi.kavanja.

39

Primeri "

Primer 1. Pravougaoni'k ABCD pres.Jiikati 'peJ.'spek,hvno aFino ako je dM zrak afinost.i, osa afinosti s 5 -teme nu A odgovarajua

taka Al (sl. 29), Kroz teme A prarougaoni.ka ABCD konst'l'ui;imo. 2Jra;k paralelan datom zraJku afinosti i na njemu izaberi'ffio taaku Al. Prava AB

see osu s u taki P "" PI i preslikava sc II p'ravu AlPI na kojoj se dobija BI u preseku sa zmkom afinosti kroz B, Slino se da-bija. taka Cl u preseku zraka aHnosti kroz C sa pravom BIOI, gde je O "" OI presck pl'ave BC sa osom s, Kako su suprotne s-tranice pravougaoni.ka .pa-ralelne, a paraldnost je invarijanta afi-nog -preshkavanja, paralelne su i suprotne stn-lIn-ice u proslikanom etvorouglu AIB,CIDI. Preslilkani -etvorougao je paralelogram, pa se teme DI dobija II preseku pravih AIDI li BICI i CIDl II AlBI. Uglovi u paralelogramu AIB1C,DI su u optem sIuaju razHiti od pravog, Preciznost konstrll\kdje proven'avamo kori;stei osobinu da se parovi odgovarajuih p~avih AD i AID" CD i C1DI sc-ku na osi s. Par odgovarajuih taa1ka A i A, moe se zada'ti konstan,tom 'pre~' sHkavanja, npr. k = AA, = _2 (sl. 29). Tada treba na zraku aH-

A]A, 2 nos-ti kroz taku Akojoi 'see s u A, konstruisati. taku AI tatko da su A i AI sa razliitih strana take A, i A,A, = ~AA" Dalje 3 . nastavljamo konstrukciju ,kao to je u prethodnom na\edeno.

sl. 29 sl. 30

PrimcI' 2. Pravilan estougao ABCDEF presl'ika

40

Neka su na ?racima afi'l1osti -kroz ,temena A. B. C datog pfavilnog estougla ABCDEF date redom take AI, BI, C. Kako je za ko'n-strukcij.u odgovarajuih taa ka ostalih temena potrebna o'sa pre-slikavanja. odredimo presene take P "" PI i O s OI parova od-govarajuih-pravih AB i AlB . BC i BIC. 'kojima je osa odreena, tj. PO == PIOI"'" s. Teme DI konstmiemo upreseku zra,ka afiner st!i kroz D sa pravom RICI, gde je R .. Rl presek prave CD sa osoms. Slinu konstrukciju :ponavljamo za odreivanje taaka El i Fl koje odgovaraju temen1ma E i F, Ukoliko neka o:l stra. nica. kojoj odnosno teme 'Pripada. ne 'see osu. -tada za izvoenje ko

41

polupreni,kom CP. Taoka M je taka kruga, jer je ugao PMQ prav. Zl'ak af'i'nosti kroz M see krug ti taki M . koja predstavlja

taku odgovamjuu taki M i koja sa Plooreuje .pravu al, a sa O,pravu b,. Ka'ko je uga'o P,M,Q, prav, prave al i bl su uza jamno normalne. Isto se reava i zadataik u !kome date prave a i 'b 'nisu uzajamno normalne (sl. 31b). Po'to se kons-tmie krug prenika PQ, zra'k afi.n()sti kroz taku M see krug u ,dvema takama MI i M2 , pa, prema tome, postoje dva reenja; al i bl seku se II 'taki M., i az i b2 seku se II taki lvb. U oba sluaja presliikane prave su uza, jamn-onormalne. Primenima izvedenu konstrU'koiju u sledeem pri-meru.

Primer 3. Kvadrat ABCD preslika't,i u pravougaonilk acko jc data osa s i zrak afinog 'pre-sUkavanJa ('501. 32). Prave kojima pripadaju s{ranice AB i AD kvadrata seku se II taki A .pod pravim uglom li seku osu s redom u tal,ama P "'" P. i O E OI. Ka:o'i u prethodnom pri-meru konstruiimo krug iji je preOrij,k du P,OI, a zatim presenu ta'ku AI kruga i ZJraka aifno-std .kroz A, Prave PIA. i OIA. su normalne i nj,ima 'pr.i'padaju stra-nice AlB, i AID!.' etvorougla . A,BICIDI u koji se presl,jikava kva-drat. Kako je 'pa'ra'ldnost iol1'varijanta, su'protne 'stranice ovog etvorougla su paralelne, a po-to je uga'O BIAIDI o,vog paralelograma prav, prav,i 'StU i svi ostali uglovi, d'akle, ArBICIDI je pravougaonik.

sl. 32 sl. 33

Primer 4. Paralelogram ABCD preslika-ti pers.pektivno atimo ako je AS 1 {lat centar S, osa s., i konS'ta'i1'ta lk = --- = -' preSiJitkavanja

AJ S 2 (sl. 33). Na iraku afinost-i SA :kroz teme A datog pa:raJelogrnma ABeD konstruiimo taku A, tako da je AIS = 2AS .i S lIlije i.zrr.",u A i AI. Na zratku SB odredimo BI II preseku sa pravom AlB, il AB . Prave AB Ii AlBI su odgovarajue prave ovog .pres-J,ikavanja i seku

42

seu taki ose afinosti, a Ikako je ona beskonano daletka prava s co, odgovarajue prave su para-leIne. Slino konstruiemo C. na zraku afinosti SCI kor~stei osobinu da su BIC, i BC odgovarajue pra-ve, pa; prema tome, paralelne. Ka/ko je paralelnost invarija:nta af-i-nog presljkavanja, etvorougao AJB,C,D, je paraleliagram, pa se etVlrto teme DJ kons.tru-ie kao etvrto teme parallelograma AIB,C,D, u presek u pravih C,D, ,i A,D,. Paralelo~ami ABCD i A,B,C,D, su perspekti:vno -slini Likovi.

Zadaci za vebu 1. Dati pr

43

projektivnim pramenovima. sJeduje da i preslika.ni pramenovi ob-razuju krivu drugog reda. Takoe vai i osobina da se tangenta kriVe 'pres'Hkava u tangentu a seica u seicu preslikane krive. Zavisno od polo~.ja huga prema protiv-osi po}ja kome krug pri-pada. razHkujemo krive u koje se -krug perspektivno ko1inearno preslikava. To su: elipsa - kada krug nema zajednikih taaka sa

pro~iv-osom. parabola - 'kada :krug dodiruje pro-Hv-osu i hiperbola - kada krug se e protiv-osu. Koristei poznate osobine perspek-tivno kolinearnog ,presUkava:nja. 'konstruiimo redom elipsl1. pa-rabolu i hiperbolu 'kao slikukPuga. ako je perspektivno kolinear-no presJi;kavanje meu ravnim poljima taaka !X(M) i !XI(MI) za-dato centrom S osom s i protiv-osom II u polj-u taa'ka II kome je krug. 1. Neka je krug k zadat u polju !X(M) i neka Sa protiv-osom u ovog polja nema zajednikih taaka (sJ. 34). Neka je AB preni'k kruga k koji je normalan na osu :preslikavanja s i P i U prese-

ne take prave AB redom saosom s i p-rotiv"osQm - ou. Taka P pripada osi. pa se preslikava u listu taku PI "'" P, a taka V pro-tiv-ose preslikava se u beskonano daleku taku VI"" zralka SV . Prava PV preslikava se u pravu P,VI .. , tj. II pravu kroz P paralelnu pravoj SU . Du AB prave PV preslilkava se u du AlBI prave PIVI". Tangente a i b kruga;kroz take A i B pa:ra-Ielne su osi S. ZaJto se preslikavaju II prave al i bl

44

raleIna osi s. Zracima perspektive SC i SD odredimo take Cl i DI. Du CIDI jeopreslikana tetiva CD. Kalko su CD i C,DI l?~raleIneosi s, sledi da je CM: MD = CIMI : MIDI . Dakile, CIDI Je

prenik elipse kOnjugov

45

Taka B pripada protiv osi i preslikava se u beskonano da1eku taku B, .. 7lrCllka SB. P-rava AB preslikava se u pravu PIB ,oo , tj. tl pravu .krOz talku P le P, paralelnu pravoj SB. Pienik AB kruga presl~kava se upolupravu AfB,oo sa krajem A, prcwe PIB,oo Tan-

g~nta a kroz taku A !krutga k 'Para'leIna je osi s d presli/kava se II tangent'll al kI1irve .kl Ik,roz taku A, i ,paralelna je osi s. Pro-izvoljna teHva KL koja je paralelna osi s i ije je 'STeclite H na

preni.lw AB presli!kava se u tetiVIU KILI ~oja je ,takoe pCllralleIna osi s i i'je je s'red-ite HI 'Ila AlBI'" Tetiva KILI je paraleLna 1a'n-geriti al.

sl. 35

Navedene osobine jesu osobine ,parabole iji je jedan prenik AlBI .. , a tangenta al i seica KIL, imaju pravac !konjugovan pre niku AlBI,,' Dakle, krug se presH1kava u paTfI'boJu.

Konstrukcija ose parabole. (sl. 35) Za 'konstrukciju ose parabole OI koristimo paralelnost ose sa poznClltim .prenikom A,B, oo, odnos-no nonnalnost ose prema seici A,CI koja je paraldna tangenti parabole t, kroz teme TI paraibole. PresHkajmo zato prvo nc>r-malu prave AlBu. kroz AI u 'Seicu AC kruga lk ii -abc-Ieimo sa U presek prave AC i protiv 'Ose u. Zralk SC ooreuje. na ovoj nor-mali taku CI parabole. Tangenta t iz take U dodiruje k!rug k U taki T i 'preslikava se II pravu ,koja je paralelna sa AlCI I jer se

zajechti'ka taika U 'pravih t i AC. ,kao taka protiv ose, preslika-va u beskonano daleku taku Ulao prave A,C,. Zraik ST see t, u taki T, koja je teme parabole, a pra'\"a .kroz T, koja je para-

46

leIna sa AlBI"', odnosno koja je sli-ka prave BI, je traena osa OI pa;rahole. Tangentu tl u temenu TI :i osu para!bO'le moemo konstruisati ne

koristei tetivu AlCI pa.ra,bole. Kalko je 'ta.ngenta tl parabole kroz teme TI normalna na osu, odnosno na prenilk ArBI" parabole, slika U njene beskonano daleke take Ul" dobija se na protiv-osi u u preseku sa zraikom SUI." -koji je 'Paralelan tangenti tl, od-nosno ,koji je normalan na preni!k AlBI'" ili na njemu paralelan zrak SB. Prema tome, taku U .dobijasmo na protiv-osi u u pre-seku sa zralkom SUI" koji je normalan na zrak SB. Tangenta t hugakonstruisana iz take U dodiruje ,krug u taki T i presli-kava se u pravu tl normalnu na prenik AlBI". Zra'k ST see tl u ta'ki TI Ikoja je teme parabole, a prava kroz tl -koja je para-lelna preni!ku AlB, oo je osa parabole. 3. Neka krug k see protiv-osu u u takama Q, R i neka prenik AB, koji je normalan na osu 'S, see s u taild P "" PI i protiv-osu u u taki U (sl. 36). Pravoj AB odgovara prava A,B I kroz ta6ku P, paralelna zraku SU, jer se taka U protiv-ose presli-kava u

bes-konanodaleku taku Ul oo eraika SU. Pren~k AB kruga presli-kava se u dve 'poh.l:pra'Ve prave AlBI 'sa krajevima AI i BI. Tangen-te a i b kroz take A i B i proizvolj\l1a tetiva KL kruga, koje su paralelne OSli s, presbiikavaju se redom u tangente a, oj bl i tetivu KILI paralelne osi s. Sredite H tetive KL, kojepripa'da prenhku AB, presliikava se u taku HI prave AlBI koje je sredite dui KILI i HI pripada dui AlBI. . Neka su q i r tangente kruga ,k u ;takama Q i R proti'v-ose u . One se preslitkavaju u tangerrte ql i rl okrive kl ije su dooime take beskonano daleke taike O,,, i Rl" zra'kova SQ oj SR. Prave q i r seku 'pravu AB u taki M, pa se ivfl'o ,koli-neamim -presJiikavanjem i~ S se ova etvorka taa'ka prosEkava u A,BIM,UI". Kako je dvorazmera e t-vOl'ke taaJka imra-rijanta navedenog -preslikavanja, sledi da je [AMBU] = [A,BIMIUI,,] -pa je ~A1Mll . 1----. := l, tj. AlMI = BIM,. jBJ M 11 KOl1strukcija ose hiperhole (sl. 36) Kako ose hiperbole pripadaju nOJ.1IDalnim pravim .kroz sredite MI hiperbole i realna osa o, po-

47

lovi unakrsne ug].ove poznatih ll'simptota gl li n lU ,kojima je prenik AlBI, konstrUli-imo simet.ra

48

kava se u du C,DI na pravoj kroz O, koja je paraleLna oSli, od-nosno tangentama al i b,. Taka O koja je sredite dui CD pre-sHkava se u sredite O, dui CID r Dakle. AlB, i C,D, su ikonju-govani prenici eld'p5e. Ka!ko se perspektivno afi.nim preslikavanjem paraleJ.ne prave pre sHkavaju u .paraleme prave, nije 'potrebno da su tangente a i b paralelne osi s, odnosno, nije !patrebno da je prenik AB norma-lan na osu s. Daikle, bHo Ikoja dva uzajamno normalna prenika kruga presJ.ilkavaju se II 'konjugovane prenike cUpse.

sl. 37

Alko tre'ba konstruisati ose elipse, tada se sledeom konstrukci-jom odreuju preonici kruga koji se pres!ilkavaju II ose eJ.ipse (sl. 37b). Konstrui'ilIDo simetralu dui 001 i neka je M njen presek sa osam s. Krug sa centrom M i polupreIli,kom OM prolazi Ikroz OI i see s -ll takama L i N. P.rave OL i ON su uzajamno normakIe je.r se se~u u taki O kruga iji je preniik du LN. Njima :pripadaj-u dva normalna preoni'ka PO i RT kruga >ko Kako se take ose s presliIkavaju u same sebe, "tj. L 55 LI i N "" NI, prave LO i NO preslika'laj-u se redom u prave LOI i NOI koje su taikoe normalne jei' prolaze 'kroz krajnje take L i N p'J'cn~ka i saku se u taki OI polukruga prenilka LN. Slike PIO, i RITI dui PO i RT su ose elipse, jer predstavJ.jaju par .konju-gova-nih prenika :koji su meu sab-om norma!l1l.

2. Elipsa (sl. 38). Neka je pTcshkavanje zooMa centrom S .. osom s ci parom odgovaraj-uih tnaka O i O,. Neka je data eJipsa iji jc centar O i PO i RT ose date eJi.pse. Prcni'k PO presli-kava se II

pre6n~k PIO, .koji sadri tacku OJ, Kako je O sredite dui PO. sledi da je OI sredite dui PIOI. Tangente p i q II taka ma P i Q su pa-ralelne meu sobom i prenil{u RT, pa se preslikava.iu u paralel-ne prave p .. q" RITI redom kroz take PI, O" O . Kako je O s're-dite dui RT. sledi da je OI srediMe duoi RITI. Dakle, PIO. i R.TI su konjugovani pre'nici elipse u koju se opresJi.kava data elipsa.

r I'

49

sl. 38

3. Parabola (sl. 39aJ. Neka je data pau-abolla osom o, tangentom t u temenu T i takom A i neka je dato 'Presli'kavanje centro-m S .. osam s i parom odgovarajuih taa-ka T i TI. Normalne prave o i t kroz T presHka.vaju se u 'Pl'ave 01 i tj kroz Tl koj~ 'nisu nor_ malne. Tetiva AC paralelna tangenti ot ije je 's'redite D na osi o preslFka-va se II ,du AJCI paralelnu pravoj tl ije je sredite DI na pravoj 01. Prava OI i paralelne prave AlCI i tl jesu konjugavani pravci paraJbole u koju se data parabola preslilkava i 'navedeni elementi je .odreujot.i .. 4. Hiperbola (sl. 39b J. Neka je aruta realna osa AB i asimptote p, q hiperbole. Ako jepoq:nata {)Osa s centar S", i par odgovaraju-ih -taaka O i OI preslIkavanja, gde je O centa'r hiperbole, ,presH-kajmD, kao u prethDdnim p rimerima , pre6ni'k AB u AlBI, sredite Odui AB u sredite Oj dui AlBI, ta'ngente 'a, ob III para:]elne prave aj, bl i asimptote p, q u prave Pl, ql. Kons'truisani elementi od

reuju presl,tka'llu hiperbolu za ikoju je A,B. jedan prenbk, a prave al ibl su tangente konjug.ova'lle pravou AlBI i PI .j ql jesu asimp1o-te jer sa krivom imaju zajedni!ke beskonano ,daleke taake Pl "" QI'" koje su s.Ji,ke beskonano ,dale!kioh 1aaJka P oo i Q", pravih p i q.

sl. 39

4 Nacrtna geomelrija

50

Neka je pres!ilkavanje zadato centrom S, asom s .. -i parom odgo-vara'juih taaka. Dokazali smo da se ovim presIrkava.njem ravan Hk 'presli1kava u rperspek1:iV'no sLian, pa se 'Prema tome presli'ka-va: ,kJrug u krug, eli psa tl eli!psu, parabola II parabolu, hiperbola u hipeJibdlu (sJ. 40).

sl. 40

Zada-tim preslikava'njem konstruiemo samo -neophodne elemente kaJi odreuju .presHkanu k.rivu. Tako, za presli!kavanje kruga k do-voljno je da se konstruie preslikani centar 01 i preslikana jedna

taka kruga, taka Al (sl. 40a), za elipstl centar -i po jedno teme na maloj i velikoj osi (sl 40b), za parabolu teme, osa i ta-ngenta kroz teme i jo jedna proiozvolj.na taka -krive (sl. 4Oc), najzad za hiperbolu realna osa i. asi mptote (sl. 40d). Najzad, a'ko je preslikavanje zadato centrom S" i asom s '" per-spektivno koJi.nearno preslikavanje predstavlja transiaci;u, pa sc li-k presHkava u podudaran lik paralelno pomeren. Za kons-truk-

SI ciju presli'kanog lika -dovolJno je, kao tl prethodnom, Qdrediti ne-ophodne elemente koji presJi.kanu 'krivu odreuju .i omoguuju

izvoenje pribline konstrukcije krive. Oni "su ve navedeni u prethodnom preslikavanju.

Zadaci za velhu

l. Konstruisati perspektivno kolinearnu sliku kruga 6ko su dati osa s, cen-tar S perspektivno kolinearnog preslikavanja i protiv-osa u polja taaka u kome je krug. Centar S preslikavanja i prenik AB datog kruga pripadaju istoj normali na osu s preslikavanja, krug dodiruje osu s u taki A i pro tiv-osa u: a) nema zajednikih taaka sa krugom, bl dodiruje krug, e) se e krug. 2. Data su tri para .odgovarajuih taaka A i A" B i Bh C i C, perspektivno koiinearnog preslikavanja sa centrom S. Ispitati u koju se krivu preslikava krug koji je odreen takama A, B, C, a zatim konstruisati ovu kriVU. 3. Oko datog trougla PQR opisati krug k a zatim preslikati trougao i krug ako je perspektivno kolinearno preslikavanje zadato centrom S, osom s i protivosom u u polju taaka u kome je krug, ako: a) protiv osa u see tro-ugao PQR, b) teme P je na protiv-osi u, e) trougao i opisani' krug nemaju zajednikih taaka sa proliv osom U. 4. U dati kvadrat ABCD upil,ati krug k, a zatim preslikati perspektivno' afi nim preslika.vanjem kvadrat i ~m~g ak? je pre~likavanje zadato: a) cent~.: S .. osom s I parom odgovarajuih taeaka A I A

II. NORMALNO PROJEKTOVANJE NA JEDNU RAVAN METODA ODSTOJANJA

l. Taka

Objekte prostora projektujemo na jednu projekcijsku ravan 'lt proizvoljnog poloaja II prostoru zra-cima iz centra O .. , gde je O .. 'beskonano daleka taka prave TI normalne 'm. 'lt. Projekcijski zraci su, prema tome, meU'sdb[lo paraleJ.ni i normalni na rava!:l 'lt. T!1lko odreenu projekciju objekta prostora nazivamo normal-na projekcija. P'rema tome, ako je A proizvoljna taka prostora, tada je (prema 1.3): Definicija 1. Projekcijs'ki zrak OooA, koji je normalan rna ravan r;, prodire raV3!l1 7tu tatki A' koja je normalna projekcija take A (sl. 41a).

o ..

n lt.

A'

q 1 2 3 o 11! _______ ....I

..

sl. 41

Normalnu projekciju take oznaavamo istim slovom kojim i taku,

53

ka O roA' kroz izabranu taku A' Iwji je na 1t normalan. Iz ovoga sledi da nije dovoljna samo jedna projelcija take za odreivanje poloaja take u prostoru. Dodajmo zato i odstojanje take od projekcijske ravni. Odstojanje ,take od projekcij-skc ravni, du AA', zadajemo Hi memim brojem odstojanja - kOLOm u odnosu na izabranu jedi-nicu merenja (sl. 41b) ili podudanlO11l dui OAo (sl. 41c). Jedinica meren'ja se ?redstavlja u projekcij:;~,;oj ravni 1t tzv. me-rilom (sl. 41b). Na pravoj je data izabr:lna jcd:nica merenj"a, du 01. jedlninom dui lWTlstruisane take 2, 3, "!', .. , kao i jedhina du podeljena na 10 jC'dnakih delova. DUljna dui je poz:Hivan broj. ali da bismo razlikovalipo.]uprostore u odnosu na ravan 1', ozna-avamo pozitivnim brojem kote tae,ka jednog 'po]uprostora, a ne-gativnim kote taaka drugog poluprostora. Ako je mera odstoja-nja take A tri jedinice j ako takepoluprostora u kome je A ima-ju pozitivno oznaene kote, tada se broj +3 ili samo 3 upisuje uz oznaku za projekciju, tj. A'(3) (sl. 41b). Uobiajeno je, ako je ravan it horizontalnog poloaja, da se odsto-

j~a1ja nazivaju visinama i da take gornjeg polupwstora imaju pozitivno oznaene kote; ako je ravan 1t vertikaLna, frontalnog poloaja, take prednjeg pohtprostoTa imaju pozitivno oznaene k~~ . .

Odstojanje AA' take A predstavlja se u projekcijskoj ravni 1t podudarnom dui OAo na tzv. liniji odstojanja (sl. 41c). Linija odstojanja je prava u ravni lt na kojoj je oznaena poet11a taka O kojom je prava podeljena na dve poluprave; gde svaka polu-prava odgovara jednom od poluprostora koje odreuje ravan 1t. Odstojanje je predstavljeno jednom dui OAo ija je jedna kraj-nja taka O, a druga krajnja taka Ao na jednoj od polupravih. Odstojanja taaka istog poluprostora predstavljaju se na liniji odstojanja na istoj polupravoj, da:kle, sa iste strane take O. Alko se linija odstojanja orijentie, tada na njoj kons~ruisane dui od

take O u naznaenom smeru 'predstavljaju odstojanja taaka 'kojima odgovaraju pozitivne kote. Na osnovu ovogadokazujemo

sledei stav: Stav 2. Poloaj take u prostoru odreen je ako je poznata nor-malna projekcija i odstojanje take od projekcijske ravni, kao i o7Jnaka za poluprostor II kl)me je 1aOka, a koji je odreen pro-jekcijskom ravni 1t. Dokaz. Neka je u projekcijs'koj ravni 1t zadala taka A' i du ikojoj je jednako odstojanje take A od projekcijske ravni1t, tj. du OAo na liniji odstOjanja sa odreene strane ta:ke O (iH njen merni broj). Odgovarajua taka A ,u ,prostoru odreuje se ta-ko to 'Se na pravoj O .. A', tj. na normahkroz A' na rava.n 1t, sa od-

reene stTane ravni 7t, tj. sa odreene strane take A', konstruie du AA' .podudama datoj dui OAo. Krajnja taka A ove dui je traena taka. Dakle, taka A je u .prostoru jednoznano od-

ree.na.

i

54

Na slici 42a predstavl1ene su take B, C, D, i E razliitih poloaja prema projekcijskoj ravni 'lt. Odstojanja taaka B i e su -pozitivna (sl. 42b), odnosno, 'na ,liniji odstojanja predstavljena Sl! sa iste 9tFane take O (;sl 42c). Dakle, take B i e su tl istom poJ-upro-~toru. Take B i D su u razliitim 'poluprostorima. jer je ods-to-janje take D negativno, od-nosno, na li-niij odstojanja ,nije sa iste strane take O sa koje je odstojanje take B.

Taka E pripada projekcijskoj ravni 7t (sl. 42), pa proje'ktujui zrak take E prodire ravan 7t II istoj taki, tj. E "" E'. Dakle. ako

taka pripada projekcijskoj ravni 7t, ona se poklapa sa svojom normalnom projekcijom na ravan 7t. Uspostavljena korespondencija meu tackama prostoraj taokama projekcij.ske ravni 7t u ikojoj taki prostora odgovara par eleme-na.ta: taka ravni 'lt i jedna du, ili 'njen merni broj, sa oznakom poluprostora na koje ravan 'lt deli prostor je, kao to smo doka-zai, stavovima 1. i 2., obostrano jednoznana. Prema 'tome, utvr-diH smo da upr. taki A prostora dodeljujemo II projekcijskoj ravni 'lt projekciju A' i odstojanje OAo na liniji ods-tojanja sa od-reene strane -take 0, Hi memi broj odstojanja pozitivno ili ne-gaotivno oznaen, 'to piemo A(A',OAo) ili A(A'( +3. Prema tome. navedimo definiciju: Definicija. Ako obje-ka't prostora, .koji smatramo skupom taaka, predstavimo u raV'ni 'lt projekcijama i odstoja.njima potrebnog broja njegovih taa.ka, tada je objekat predstavljen u projekcij-skoj ravni 'lt metodom odstojanja. Specijalno, a:ko su odstojanja predstavljena mernim brojevima, tada se metoda naziva metoda kotirane projekciie.

~' Bo ee' C o CD

c C'1l) P'

~. o

11 lD~

sl. 42

2, Prava

N o r m a l n a p r o j e k ci j a p r a v e. Projekt'ltjui zraoi sv,ih ta-aka prave prolaze kroq; centar O .. , koji pripada pravoj n.l 'lt,

meu sobom su paralelni i normalni na ravan 1t. Zato je pre-ma (I.3):

55

Definicija 2. Ako su projektujui zraci taaka .prave nOImal.ni na 'lt, skup 'projekcija taa'ka prave nazivamo normalna projekc;a prave. .' Ravan (O .. ,p) = vp je projektujua ravan prave p i kako ona sadri projektujue zralke taa ka vrave ikoii su normal-ni na 'It, ona je normalna na 'It (sl. 43a). Prema poznatom sota-vu u (1.3), i-skaimo odgova.rajui stav za normalno projektovanje prave: Stav 3. Normalna 'projekcija prave p, koja' nije nor-malna na pro-jekcijsku ravan 'It, je presena prava projekcij~ke rav.ni 'It i proje,k.

tujue ravni Vp koja je na 'It onormallna. Projekciju prave oznaa-vamo i'sotim slovomkojim i pravu doda-jui crtu kao gornji indeks. Npr. p' je ;l}"OIlffialJna projekcija pra-ve p (sl. 43).

No : .... -.

PaP' M' N' Mo .~ ".:'-p'

o

st. 43

T a k a 'll a pravo j. Ka!ko 'projekcijski zradi ISvlh taMa prave p prod~!'Ukroz ravan 'It u takama projekdje p', projekcija ma koje take prave p pripada projekciji p' te prave (1.3). Na tprimer, projekcija M' take M prave P prilpada .projekciji p' prave n (sl. 43). PremaprethocJonom, alko je projek>tujua ra .... am Vp prave p nor malna na 'It, k,raz .pravu ,p prola~i samo jedna ravan Vp koja u pre-seku sa 'It odreuje projek~iju ,p' 'prave p. a!kle, vai s-tav: . Stav 4. Pravoj p prostora odgovara osama jedna 'prava 1>' u .raVlni "lt kao .njena nor-malna 'Projekcija, Obrabno, ako se proi'1!voljna prava projekcijslke 'ravni 11: izabere za projekciju, prava, koja joj u .prostoru odgovara, nije jedn~a.n.o

odreena. N'pr, pravoj p' odgovara .u prostol'u svaka prava pro-jektujue ravni Vp ,koja sadri 'pravu p' i normalna je na ravan 11: (sl. 43a). Prema tome, poloaj pra-ve u prostoru .nije odreen samo jednom normalnom projekcijom. Kako je prava u prosotoru

odreena dvema 'talkama, vai: Stav 5. Poloaj prave prema proje!kcijs'koj ra'v:ni od'reen je ak.o su u projekcijskoj ravni 'Ir date projekcije i odSlojQ/1ja bi/o kojih dveju taaka te prave. .

,. fl

56 Na sl. 43b predstavljena je u ravni 'lt joona prava odreenog po loaja u prostoru jer 'Su poznate projekcije i odstojanja njenih dvejou 1at~a M i N. T r a g p r a v e. Ako prava nije paralelna ravni 'lt, ona sa njom ima jednu zajedniku taku, odnosno, prava prodire kroz ravan ". Definicija 3. Taku u kojoj 'Prava prodire >kroz projekdjs'ku ra-van 'lt nazivamo trag prave.

Pravu i 'njen trag obeleavamo istim slovom, pn c:el1111 se prava obeleava malim, a trag velikim slovom. Npr. tatka P je tra!:: prave p (sl. 43). Kako je trag pra'Ve taka tl ravni '" ona se poklapa sa svojom projekcijom, tj. P = P' (11.1).

'II

sl. 44

MoeNo Lo

b'e.L' o

s p e e i j a l n i p 'o 10 a j ii P r a v e. Ako je ,prava paralelna pro-jekcijskQj ravni 'lt, presek 'projek1'lljue ravni prave i ravni 'lt je njoj 'para,teJna prava. P.rema tome, projekcija prave koja je paralel-na ravni 'lt je prava paralelna toj pravoj, tj. alko je a II 'lt tada je a' I\a (sl. 44a). U projekaijslkoj ravni zadajerno je projekcijama dveju taa/ka jednakih ods1ojanja od ravni 'lt (sl. 44b). Ova prava nema traga, ili je njen 'trag beskonano ,daleka taka pJ;'ave a'. Ako je prava normalna na projekcijs,lm ravan 'lt, projektujui zraci svih taaka prave poklapaju se sa njom i prodiru kroz ravan 'lt II jednoj taki, u 'tragu 'prave. Prema tome, projekcije! prave koja je normalna na ravan 'lt je taka u kojoj ona prodire kroz ravan 'lt. Dakle, ako je b l 'lt, ,projekci.ia b' je taka B = b' (sl. 44a). Prava norma,lna na 'lt zadaje se dvema takama ije se pro-jekcije poklapaju, a odstojanja su im razliita (sl. 44h).

r

P 'r o j e k c i j a d u i. Dve ta'ke P i Q na ,pravoj 'fi odreuju du PQ (sl. 45). Kako su 'Projekcije P' i Q' talka P i Q na projekoij'i m' prave m, apwjekcije ostalih taaka dui PQ na pravoj m' iZImeu tali!ka P' i Q', projek"i:ija dui PQ je du P'Q' prave m' Ako prava m ima kos poloaj prema ;ravni 'lt, P' i 'Q' su ra.zliite

take i projekcija je du P'Q'.

57

Ako je PP' < OO' ,konstruiimo II i>rojek,tujuoj ,ravni prave m ,kroz taku P pravu POIII P'O', gde je O, presek ove prave i z.raka OO'. Kako je etvorougao PP'Q'OJ i>ravougaonik, iednake su su-protne stranice P'O' i POl, U pravoug)om trouglu POlO ;kateta ie manja od hipotenuze, dak'le, PQl < PO,' Prema tome je P'O' < PO, ti; ako du ima. kos poloaj prema pm;ekcijsko; ravni, njena nor-malna projekcija je manja od ove dui (sl. 45).

/ SJ' T. p' Q.

~" R' R,;-' 'JU. , p. "r~U' 'lO

11

sl. 45

Ako du RSpdpada pravoj paralelnoj ravni "It, tada je R'S' II RS (sl. '45). Kako ~u i projekci}ski zraci RR' i SS' paralelni, etvorougao RR'S'S je paralelogram, pa .ie j' R'S' == RS. Najzad. akci. je du, TU na pravoj h l "It. proiekcija T'U' dui TU re, taka T' == U' (sl. 45). Prema tome, ,dokazali smo: Stav 6. NormaJ.na p~oiekci.ia dui ie taka ili du koja Je manja ili jedna:ka dui u prostoru. R a z m e r a t r i j u t a a k a j e d n e p r a v e. Neka su K, L, M tri proizvolJne take prave p i K', L', M', njihove normalne projek cije na projekciji p' (sl. 46). Kraci ugla MPM' preseeni su paralel-nim pravim, projekcijskim :tradma KK', LL', MM'. Na osnovu 'poznatog glaV'nog s,tava slinosti sledi da su odseci na kracima ugla odreeni u preseku sa paralelnim pra:vim proporcionalni tj. K'L': L'M' == KL : LM, Da!kle, vai; Stav 7. Razmera projekcija triju taa,ka jedne prave jednaka je razme!'i tih triju taa:ka prave u prostoru. Ra7:mera triju 'taa~ka jedne prave je, prema tome, mvari.iama nOT~" malnog projektovanja.

sl. 46

58 Posledica 1. Sredite L dui KM projektuje se II sredite L' pro-jekcije K'M'. Ako je ta"ka L sredite dui ~M, tj. KL = LM, iz prethodnog sta-Va sledi da je i K'L' = L'M', tj. L' je sredi-tc dui K'M', Posledica 2. Jednake dui jedne prave projekJtuju se u jednake dw.i. O ob a r a n j e p r 'a v e. Rotacijom ravni Vp '01100 ose p" dovodi se ravan Vp do pokla.pa;n:ja 'sa ra\'ni Tt, ime se u projekciJskoj ra.vna r. dobijaju svi geometrijski oblici ravni Vp u istom meusobnom po-loaju u kome su oni u ravni Vr, ,tj. u 'prostom (sI}. 47a). Rotirani poloaj ravni Vp u ravan 'It omoguuje da se II ravni 'lt izvedu sve konstrukcije koje se izvode u ravni Vp' Njima se dovode u vezu

take prave. p i nj-rhove projekpi'je i ods.tvjaIlJja od projekdjske ravni 'It, dui na pravoj p oi nJi!hove projelkdje, odreuje se nagi-bni ugao prave p prema projekcijslkoj ravni u pravoj velii'ni. Uvedi mo definicijom ovu prostomu konstrukciju, a za>tim izvp-dimo odgovaraJuu 'konstrukciju 'll ravni 11'.

sl. 47

Definicija 4. Rotacija projektujue ravni Vp prave p oko ose p' kojom se ravan Vp dovodi ,do poklapanja sa projekcijs.kom ravni 11' naziva se obaranje prave p. Poloaj prave p dobijen u ravni 11' rotacijom narzi'Vamo oboreni poloaj 'Prave i oznaavamo [p], (p), {p} Hi po. Smer rotacije je proizvoljan. Kako je ravan Vp l 'lt, ugao rotacije je prav. Oboreni poloaj ('P) prave 'p odreuje se u ravni 'It i1: projekcije p', oborenim :poloajem njenih dveju taaka (sl. 47b). Konstru-iioma zato iz 'Poz.natih taaka M' i N' normale 'na p' i na njima odreJd!imo redom take (M) i (N) tako da je M'(M) = OMo i N'(N) = ONo. Prave M'(M) i N'(N) jesu projekcijski zraci 'll obo-renom poloaju. Take (M) i (N) jesu oboreni poloaji taa'ka M i N i one odreuju pravu 'p u oborenom poloaju, tj. (M){N) = = (p). Oboreni poloaj prave Ltcrtavamo is'prekidanom linijom (sl. 47b). Ka-ko su take M i N sa iste strane projekcijSlke ravni 'lt, konstruiemo (M) i (N) sa iste strane prave p'. Ovom 'konslJ'IUk. oijom obaranja ,prave reavamo vie clementa,rni'h zadataka. Na-vedimo neke:

59

Data je prava P 'Projekcijama i ods,tojanjima 'Svojih .dveJu rtaa.ka M(M',OMo) i N(N',oNo). Konstruisati: a) trag prave p (sl. 471b); b) pravu veliinu

60 Isti zakljuak moemo izves1i ,koristei se projektujuim ravni ma \I. i \lb pravih a i h. Ravni \I. i \lb su normalne na ravan rc, pa ,kako imaju zajedniku taku P, one se seku po pravoj kroz P koja je normalna Ina 1t. Ova Ipreseena prava je 'Projektujui zrak take P, zrak PP'. Taka P' je -tada zajednika taka triju ravni \I" \lb i rc, da:kle, P' pr1pada presenoj pravoj ravni \I. i 'lt, pravoj a' i presenoj pravoj ravni \lb i 1t, pravoj h'. Prema tome, projekcije a' i b' imaju zajedniku ta!ku P', projekciju zajednike take P pravih a i b. Ako su u ravni 1t date samo dve -prave koje se seku, npr. a' i b', a odstojanja .potrebnog broja taaka ovih praV1ih od 'ravni r: nisu d3lta, tada se

61

Pravima a' i b' odgovaraju u prostoru dve odreene 'prave a i b samo ako su po:z,nate projekcije i odstojanja ,po dve take na sva-koj pravoj, .ili ukupno triju 'taa ka, 'uJkolilko je jedna od datih ta-

aka prese6na taka. Paralelne prave. - Stav Sb. Alko su prave c id paralelne, t3lda su njihove projekcije c' i d' paralelne (sl. 48b). Dokaz. Projektujoueravni Vc i Vd pravih e i d saldre 'PI"ojekdj-$Ike zr3lke taaka ovih pravih koji su pa'raleIni, pa kalku su ~ prave e i d pCi'ralelne, sledi da su 'ravni Vc ti Vd para:le1ne. Pa'ralllll1e ravni Vc i Vd seku ravan 'It 'po 'paraleiInim pravim, !pa kalko je preSeJk Vc j 7: projekcija e: i .presek Vd i 'It projeJwija d' sledi da su projekcije e' .j d' pravih c i rl !pamleJ.ne_ Kao u prethodnom i ovde moemo zakiljuiti da dvema izahranim panilelnim pravim u ravni 'It, npr. projekdjama c' i d', odgovaraju u prostoru Hi dve prave lroje su paralelne (:sl. 48b) Hi dve mimo-ilazne prave (sl. 4&1). Odgovarajue pra've u 'Prostoru su odreenog poloaja alko su pozmate projel.kdje i odstoj3IDJa po dve take na svakoj pravoj. MimoilaZl1e prave. - Stav Bc. A'ko se dve prave mi'(noilaze, ;tada se njihove projekcije ili seku ~1i su parale1ne. . Dokaz. Kao to smo videli, !projek,tujue ravni ovih pravih se ili seku, V.' i V, ('siJ. 48c) ili 'su paralelne, Vg i Vh (sl. 48d). P.rema tome, projekcije pravih se ~li 'seku, e' i f', ili su paralelne, g' i h'. Samo ako su 'poznate .projekcije i odstojanja po dve take svaike prave, moe se ZaiMjuiti da 1i im u prostoru odgovaraju mimoi1azne rra ve ili ne. UkO'li'ko 'se projekcije pravih seku, a u 'prostoru im odgovaraju mi moilazneprave, npr. e' i f' se seku, njihova presena ,taka je pro-jekcija dveju razliitih 'taaka p i Q u prostoru a koje ~malju isti .projekcijski zrak, i jedna taka pr1pada pravoj e, a druga pravoj f (osI. 48c). Ukoliko dve prave pri'padaju istoj ,projeiktujuoj ravni, dakle ravni normalnoj na ravan 'It, projekcije pravih 'se poklapaju. To je mo-gue u sluaju kada se prave u prostoru seku iM su paralelne (s:!. 48e, 48f). Dve mimoilazne prave ne pripadaju jednoj ravni, -dajde, projekcije mimoLlazl1ih pravih se ne pdklapaju.

3. Ravan

N o r m a l n a p '[o j e k c i j a r a v n i. Projektujui zraci svih ta-a,ka ravni prolaze kroz centar projektovanja O oo, koji pripada pravoj n l 'It, .pa 'su meu sobor.1 paralelni .j normalni na projek-cijsku rava.n 'It. Zato je, prema (1.3): Definicija 5. A'ko su projcktl.ljui zraci taaka ravni nonna'lni na proj. ravan r.,skup njihovih prodomih ta3'ka naziva se l10rmal1w projekcija ravni. . Snop paraleln;ih projektujuih zra:kova sa centwm O~, normalan je na projekciJ$lku ravan 'lt i perspektivno a,finopreshkava ravno polje taaka 't" na polje tawka T

62 prcsJi,kavanje jeobos

63

Definicija 7. P'rava s u ravni 't koja je paralelna 'Dragu t ravni. na-ziva se sutrarnca, ili ,glavna liIllija ili visinska linija ra'VOIi (sL 50a)_ Kako je s II t, S'leduje da je s' II t' (sl. SOb). Ka'ko je s.1I t i t pripada ravni n, sleduje da je slln. Dakle, odstoj3!llja taaka sutranice s od n su jednaka. Prema tome, sutranica jedne ravni odreena je ako 'Su P07ll1&tJi projekdja i odSJtojanje jeidne 'njene taIke. Do-kazalll je, dakle, stav: . . Stav 11. SU!tramica s je pra-va u ravni 't' paralelna tragll t, pa je ona paralelna n, i njena projekcija s' je para~ellna tragu:t ravni 't i take sutranice imaju jednaka odstojanja od ravni 1t_ Definicija 8. Prava U raWli 't norma).na na trag t naziva se linija

najveeg pada Hi samo 'billlija pada ravn ili nagi'hnica (sJ. 50a). Meu pravima jedne ravni najvei na.gibni ugao 'prema ravni n je ugao pravih norma'lni;h na trag ravni. Zato se one i zovu ,Mnije naj-

veeg pada. Neka je p jedna linija pada rayni 't (sl. 50). Trag P prave 'p .pripada tragu t ravni 't. Neka je M proizvoljna taka prave _ p. Tragom P j projekcijom M' odreena je proj~cija p' prave p. Kako je MM' 1 1t i P 1 t, na osnO'Vu tzv. stava o trima normalama je p' 1 t. Da:kle, vai stav: Stav 12. Liruja pada 'p ravni 't Q'lomJ.a'lna je :na trag t i na su:t:r~~;;: nicu'S ove ravni, pa je njena 'Projekcija p' normalna na trag t i na. projeJkcij.u s' sut-ramice. Nag;ihni ugao ,linije pada ravni 't 'prema projekcijskoj ravni n na-ziva se nagiobni ugao ravni 't 'prema pTojekci}s.koj ravni 1t ('SI. 50a). Zato se prava .p naziva i na.gi'bnica ravni. A'ko je ravan 't da.ta tra-gom t i taikom M, tada se u ravni n konS'1l"uie prava veliina na-gi!bnog ugla ravni 't obar3[}1em linije pada p -ravni 't koja pro).azi kroz taku M (sl. SOb). P'reselk pr3lVih p' i t je trag P -prave p. Ko-ristei se taIkama P i M -kOl!ls:trui1mo dboreni poloaj prM] = ['P] prave -p. Traena prava veliina nagibnog ugla je ugao pravih [p] i p', jer je [M]PM' = MPM'.

~' Mo P

\ p'

O I [\

Ml 11 i'

sl. 50

S-pecijaln'j poloaji ravni. A'koje ravan ~lIn, tada su odsto.ianja svih njenih taaka od projckcijSlke rav.ni 7t jednaka (sL Sla).

,..

: J

64

A.ko je ravan ~ l "It, tada projektujui zraci svih taaka ravni !3 pripadaju .raV'Ili 13 i prodi}1U krozprojelkoiJsku ravan "It u takama traga 1J ravna 13. Prema tome, sve take ravni !3 'projektu1u se II take traga b, ,tj. W = b (sL Slb).

sl. 51

4. Obaranje ravni Definicija 9. Rotacija ravni 't oko traga t ,kojom 'se -ravan 't dovodi do :poklapanja sa projekcijskom ravni "It nazi.va se obaranje .avni. Prema ,tome, osa rQltacije je trag ravni, ugao rotacije Je nagihni ugao ravni, ,Hi njemu 9uplomentan, zavis'no od iZaibranog smera ro tacije, keji moe bi,ti proizvoljan. Poloaj raVoni 't dobijen nave-denom -rotacijom nazivame oboreni poloaj i obeleavamo ('t) ['tJ ili {'t} (~l. 52). Wroizvoljna taka M -ravna 't opisuje IU'k kruga koji 'pripada rav-nii norma:1noj na osu 'rotacije, trag 't. Ova je 'ravan, prema tome, normalnfl na ravni 't i "It, pa 'See 't po pravoj p l t, po liniji pada, a "It po pravoj p' l t, projekciji prave p. Trag P oprave P pripada tragu t i P je centar, a MP pdlU!prenilk Ikruga rotacije take M. Poloaj -take M II ravni "It 'Odreen rotacijom n.azi'Van1e oborena poloaj i obeleaIV8lIDo (M), [M], {M} ili MO. Poiluprenik kruga rotacije je du MP normalna na t, pa se rotacijom dobija (M)P l t i (M)P = MP. Pr8fVa (M)P je ()'oorel1li poloaj (p) 'liI1lije 'pada p. Kak'O je M' na p' i M'P l t, Siledi da su iaoke (M), p, M' na istoj n'OrmaM. na trag ot 'kr'Oz taku P. U 'J>ravouglom trouglu MM'P je M'P < MP pa je M'P < (M)P (sl. 52). Trougao MP(M) je jedsnaikokralki i pri'pa.da projektujuoj ravni

. prave p koja jenormalna na osu rotacije. Spoljanji ugao pri vrhu p ,tlrOugla je nagiboni ugao CI> I'alVni 't, pa je unutranji ugao nalegao na osnovicu, ugao M(:M}p jednak 'iJ/2. Ovaj ugao je nagilbni ugao prave M(M) prema projekcij'skoj ravni "It. Dakle, taaa M nvni 't i njen