O ravninskim krivuljamaDefinicija 1. Svaki skup od 1 toaka ili pravaca u ravnini neprekinuto povezanih nekim zakonom naziva se ravninskom krivuljom.Ovisno o matematikom zakonu koji ih definira, krivulje se dijele na algebarske i transcendentne, ve prema tome je li ih mogue u pravokutnom Kartezijevu koordinatnom sustavu predoiti algebarskom ili transcendentnom jednadbom. Algebarske krivulje mogu se klasificirati u odnosu na neka svojstva: red, razred i stupanj.Definicija 2. Red realne algebarske krivulje jednak je broju n svih sjecita, realnih i imaginarnih, te krivulje i bilo kojeg pravca njezine ravnine.Definicija 3. Razred realne algebarske krivulje jednak je broju m svih tangenata, realnih i imaginarnih, koje je mogue poloiti na tu krivulju iz bilo koje toke njezine ravnine.Ako su za neku krivulju red i razred jednaki, n = m, krivulja ima stupanj n.Teorem. Dvije realne ravninske algebarske krivulje km i kn od kojih je jedna m-tog, a druga n-tog reda sijeku se u m n toaka. Sjecita mogu biti realna i konjugirano imaginarna.

O zakrivljenosti krivuljaSvaka krunica sijee svaku krivulju kn n-tog reda svoje ravnine u 2n toaka. Napomena. Hiperoskulacijska krunica postoji samo u tjemenima krivulje, odnosno u tokama u kojima zakrivljenost poprima ekstremne vrijednosti.Definicija 4. Zakrivljenost krivulje u toki T jednaka je recipronoj vrijednosti polumjera oskulacijske krunice u toj toki.Dvije krivulje 2. reda sijeku se u etiri toke.

O krivuljama drugog stupnjaKrivulja drugog reda ima s nekim pravcem dva sjecita koja mogu biti:Krivulje drugog stupnja zovu se jo unjosjenice ili konike.Vano! Prostor u kojemu e se provoditi daljnja razmatranja bit e realni projektivni prostor, odnosno uobiajeni prostor naeg zamiljanja, nadopunjen beskonano dalekim elementima na sljedei nain: Svaki pravac ima jednu beskonano daleku toku u kojoj ga sijeku svi s njim paralelni pravci. Svaka ravnina ima jedan beskonano dalek pravac u kojem se sijee sa svima njoj paralelnim ravninama. Sve beskonano daleke toke svih pravaca jedne ravnine lee na njezinu beskonano daleku pravcu.

Klasifikacija krivulja 2. stupnja prema vrsti sjecita s beskonano dalekim pravcem ravnine:

elipsa (krunica) parabola hiperbola Svaki pravac ravnine, pa i beskonano dalek pravac, sijee svaku koniku te ravnine u dvjema tokama. Slijedi:konjugirano imaginarna sjecita realna sjecita pala zajedno realna i razliita sjecita

Beskonano daleki pravac

O promjerima krivulja drugog stupnja

Definicija 5. Promjer krivulje 2. reda skup je polovita meusobno paralelnih tetiva.Sredite krivulje 2. reda polovite je svakog promjera.Konjugirani promjeri konikaDefinicija 6. Dva su promjera konike konjugirana ako prvi raspolavlja tetive paralelne s drugim promjerom, i obratno.Definicija 7. Dva su promjera konike konjugirana ako su tangente na koniku u krajnjim tokama jednog promjera paralelne s drugim promjerom, i obratno.Par konjugiranih promjera konike koji su meusobno okomiti zovu se osi konike.Iz def.7. Svaka dva meusobno okomita promjera krunice konjugiran su par promjera.

Beskonano daleki pravac