Upload
tranthuy
View
260
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
����. �-� ����� ������� ����. ����� ����������
������� ��������
�� ���� ������ �� �������� – ��������� ������
Со решение на Министерот за образование и наука на Република Македонија бр. 22-4678/1 од 27.08.2010 година се одобрува употребата на овој учебник.
CIP - Каталогизација во публикацијаНационална и универзитетска библиотека “Св.Климент Охридски” , Скопје
514 . 18 (075.3)КРСТЕСКА, БилјанаНацртна геометрија за прва година на градежно-геодетска струка / Билјана Крстеска, Весна Христовска. - Скопје : Министерство за образование и наука на Република Македонија, 2010. - 142 стр. : цртежи ; 30 см
Библиографија: стр.140ISBN 978-608-226-191-1COBISS.MK-ID 84327690
Издавач: Министерство за образование и наука за Република Македонија
Печати: Графички центар дооел, Скопје
Тираж: 450
Автори д-р Билјана Крстеска
професор на „Природно-математички факултет“ - Скопје
дипл.инг.арх. Весна Христовска професор во СГГУ на Град Скопје „Здравко Цветковски“ - Скопје
Рецензенти д-р Валентина Миовска
професор на „Природно-математички факултет“ – Скопје
дипл.инг.арх. Ружица Јосифовска професор во СГГУ на Град Скопје „Здравко Цветковски“ – Скопје
дипл.инг.арх. Снежана Трајковска професор во СУГС „Георги Димитров“ - Скопје
Лектор Виолета Јовановска
Компјутерска обработка и корица Стоиле Давчевски
Предговор
П р е д г о в о р
��������� ������� �������� ��
���� ������ �� ��������������� ������� ����-������� � ������� ������ ���������� ������-�� �� ����������� ���������� ������� �� ���� ������ �� ��������������� ������� ����-�������. ������� � ���� �é, ������ ���������� ��� �� ��������� �� �������� - ����������� ������ �� ����������� ������ ��!���������� ��!�����, �������� ��!����� � ��������� ��!-�����.
"������� ��������� �� �� ��������� ����-�������� �������� �� ��������� �� �����-����� - ���������� ����� �� ��������� �� ���������. ��������� �� ������ �� ����� ��-������ �����. �� ������� �� ����� �������� ���� ���������� �� ������������ �������� ���, �� ������, �� ���������� �� ������ ������� � ������. �� ����� �� ����� �������� ������� ������ �� ������ �� ��������� ����-�� �� ����� �� �� ������� ������, ��� ����-������� ���������#� �� �������� �� ����� � ��� � ������� ������ �� ��������� ������ �� ��������.
$����� �������� ���� ,, ���� �� �����-�� ����������’’ ��� �� �� ������� ��� �� ����-�� �� ����������� �����, ���������, ����� � ���������� �� ��������� ���������.
%�������#��� �� ��������� ������ �� ������� �������� ���� ,,����� �� ������-������� �����������’’ ���� ������� �� ����-����#� �� ����#� � ����������� �� ����� �� ���������� ���������#� �� ��������� ������ � ����������� ��� �� ��� ������� �� ��� �������.
&������ �������� ���� ,,!��� ���������’’ � �������� ��� ��������#� �� ������ ���� ��������, ���� � ��� ��������#� �� ������ �������� �� ��������� ������ � ����������� ���. $������ �������� � ��������� �� �����-���� �� ������ �������� �� �������������� � ��!����������.
%� ��������#� �� ��������� �� �� �������� �� ��������� �������� ���� ,,�����-��’’ �������� '� �� ������ �� ������� ����#� � ����������� �� ���� �� �������
3
Предговор
4
������� �� ������� �� ������������ ���-����.
�� ������ ���� ,,�����"�������’’ ���-������ �� ��������� �� �������#� �� �������� �� ������������� �� ����������� ������ � ������������ ���, ���� � �� ��� �� ��������-��.
%�������#��� �� ��������� ������ �� ������� ���� ,,�#�� �������’’ ��������-�� ���������#� �� �������#��� �� ��������� � �����������#��� �� �������� ����� �� ������� ��(������ ������.
)�������� ������ �� ������ ,,!�����-�� ���������’’ ���������� ���������#� �� �������� �� ���������� ��������, ���� � ����-���� ������� �� ������#� �� ������� �� �������������� � ��!����������.
$�� ��������#� �� �������� ��� ���
������� ����������� ���� ���� �� �������� �� ��������� ������ �� ������ �� ���������.
$������ ����������� ������ �� �����-
������� �� ��� �������, ��� �������� � ����-���� ���������� �� ���������#� �� �������� �������.
"������� �������� '� ����� ��������� �� ����� ������������ ������� �� �������� �� ���������#� �� ����������, ����'� ����-���� ���� ���� ����� '� ��������� ��������� �� �������� � ����������� ������ �� �� �����-���� �� �������� ��� '� �� ����� �� ������ �� ������� ����������� ������������ �����-����#�.
*���, 2010
"�������
&������� �����
1 . ����� �� ����� ����� ��
�� ���� �������� ����� �������� ���� � �� �� �������� �� ����� � ����������
�� ���������, ����������� �������� �
��������� �� ������� ��������
��������
����� �� ����� ��� �����
6
������ ��� �� 1. ����� �� ����� ����� �� 1.1. ����� �� ������� ����������
����� �� ����� ��� �����
7
+������ )��� (1746 - 1818)
1. ����� �� ����� ����� ��
1.1. ����� �� ����� ����� ��
������� ��������� � ������ �� ��������-���, ��� �� �������� �o ��������#� �� ������ �� ��� �� ���������� �����������#� �� ������ �� ��������� �� ����� �� �����.
Mo�e �� �� ���� ���� ��������� ������-��� � ����� ���� ��� � ����� � �����������. �� ����� ����� ���� ������� ��������� �� ��������� �� XVIII ���, ���� ��������� ����-�������� � �������� ���������� ������� �� �������� �� �����������#� �� �������� �� ���������. $� ������ ����������#� �� ��� ������ ������� �� ������ ����������� ����-��� ���!�� ���" �� �� ����� �� ,,����� �� ��������� ���������". &� ��� ����� XVIII ��� ����� ���� ��!���� �� ������#� �� ������-����� �������, ������ ������ ���� �������-��� �� ����� ��������#�. &�� �������� �����-�� �� �������� �� ������ ����� ,,������� ���������”. 9� ����� �� �� ����� ��������� ��������� ����� ��� � ���������� �����, ������� �� ����� �� �������� �������.
%� ��� �� �������� ��������� ������-���?
������� ��� ����� � ������ ���-
������ ���� �� ���� ��� �� �������� �� ����� �� ��� ��������� ������� �� ������������ �� ��������� ������� �� � ����.
�� �� �����, �� ����� �� �������� ��
��������� ��������� ������#��� �� ����� ������ �� ��������� �� ������������ �� ������#� �� ��������� ������ �� �������. %��� ������� ��� � ������������ ������� �� ����������� ������ � ����������� �� �����-�� � ��������������� ���������� �� �������-�� ���������.
:������ � ������� �������� �� �������#� �� ��!������. ;���� ������� �� ����� ���� ���� �� ����������, � ������� ��������� ���� ������ ���������.
����� �������!
����� �� ����� ��� �����
8
%����� ���, ���� �� ���#��� �� ��!��-���� �� ��������� ��������� � �����. 9� ���� ������ ��� �� ��� ���� �� �������� ���� ����� �� �� ������ �� �� ����������, � �� ����� ������ �� � ������� ����������� ��� ������ �� ����� �� ������� ��������� ��������� �� ���������� �����.
+������ ��������� ��� ������#��� �� ��������� �� ��������� ��������� �����-����� �� ������ ���� �������� �� ���������, ���� � ������ ������� �� �� ��������� ��� ��� ��������, ������ ����������� ������, ���� � ������� ����� ��� ��������. ;� ��������#� �� ���� ���������� �������� �� ����������� ����������� ��������, ��� �� �������� ������-����� ������ �� ��������� ���������.
<�������� ������ � ��!���� �� �� ����� ������� �� ������������ ����� � ��������, ������� �� �������������, ��!����������, ��-����� � �� ���������. ;� ��� � �� ������� ������� ��������� �� ��������� ��������� �� ��������������. 9����� � ��������� � ����-������� �� ��������� ��������� �� ���������� �������� ��� ���������� ���� �� ���������: �������� �����������, ��!����� ����#�, �����-����#� � ��������� ���.
>��������� ����� ������� ������� �� ��������� ���������. $��� �é, �������� � �� �� ������ �� !����� ���� ���� � ������ �� ���� ����� �� ��� '� �� �������� ������ ���-��� ���������.
@������ �� ������� ���������� �����-��� ������������ ���� � �������� ������� �� ��������� ��������� �� ���� ������� �� ����������� �����#�.
$����#� � ������ 1. ������ �� ����������� ������� �� �������-���� ����� �� ��������� ���������. 2. A�� � ������� �� ��������#� �� ��������� ���������? 3. �� ��� ������� �� ������������ �����#� � �������� ��������� ��������� ���������?
4. �� ��� �������� ��� �� �������� �� �����-���� ��������� ���������?
&������� ����� 2. ����� �� ���������� #��� �$�
�� ���� �������� ����� �������� ���� � �� �� �������� �� ������������
������� � ������������ ���������#�
�� ������� �� ���������
� �� ����� �� �������� ����������
� �� ����� �� �������� ��������� �
���������� �����������#� ��
������� ��� ������������ �������
� �� ����� ���������� �������� ��
����� � ����� �� �������� ������
� �� ����� ���������� �������� ��
����� � �������
� �� ����� ���������� �������� ��
������� �� �������� ������
� �� ����� �� ������� ������� �� �����
� �� ����� �� � ������� �����������
������� � �������� ��� �� �������
� �� ����� �� ���� ����������� ���� ��
��� ��������
� ��������� �� �������� ����� ��
���������� �������
� ��������� �� ���������� ����� ��
����������� � ������ ���
������ �� ������������ ���������
10
������ ��� �� 2. ����� �� ���������� #��� �$� 2.1. #�������� � ��������%�� !�������&��'� �� �(��)���� 2.2. #���)����'� � ������ !���)��� 2.3. ��������%�� !���)����'� �� ��*)� 2.4. ��������%�� !���)����'� �� ��*)� �� �!�����%�� !�%�"(� 2.5. ���������. ���������� �� ��*)� 2.6. ��������%�� !���)����'� �� ����*)� 2.7. ��������%�� !���)����'� �� ����*)� �� �!�����%�� !�%�"(� 2.8. �������)��� ��%����� �� ����*)��� � ��)%����� ��%� 2.9. ��������%�� !���)����'� �� !���� 2.10. #��(��� �� !���� � ��)%����� ��%� 2.11. ���� !���)���)� �������. ��������%�� !���)����'� �� ��*)� 2.12. ��������%�� !���)����'� �� ���������)� +��&�� 2.13. ��������%�� !���)����'� �� ���������)� ��%�
������ �� ������������ ���������
11
:���� 2.1
2. ����� �� ���������� #��� �$�
2.1. #����� ��������� #����,��$� �� �-��� �
��� ��� ��'� ������� ���� �� �������-��� ��� �� ����� �� ��������� ��������� � ������ ���� �������� �� ��������� ����� ��� ��������: ������, ������ � ������, � ����� �� �� ������ ��� ���� ��� ��������. ;���� � �������� �������� �� ����� �������� ���� ��� �� ������� �� �� ����� ������� ��������� �������, ���������� � �������a �� ������� �� ���������. �� ������� ��������� ������� ��� ������ �� �����������#� �� �������� �� ��������� ���:
� !�������� !�������&��'� � � ��������%�� !�������&��'� ��
�(��)���� � �� �������� '� �� �������� ������ ��
��� ��� ������ �� �������� �� ������. <�� �� ������� ������ �� �� �������� �������, �������� ����� � ������ �� ��������� �� �� � ������ �������� ����������� �������.
#���������� !�������&��'� �� �(��)���� $���������� �����������#� �� ��������
������� ������� ��������� �� ������� ��� � ����������. 9� ������� ���������� �� �����-���� ����� �������� � �������� �� ����-��������� �����. �� ��� ����� �� ���������-��#� �� �������� ��� ��� ����������. >����, �� ������� �� ������ �� �� �������� ����������� ������� � ������� �� �������. &�� � �������� ���� �� �� ������ ���� ������� ����� �� �����������#� �� �� �������� ����� �� ������� (�� ������, ���� ��� �� ��������� ���� ����� �� ��� ���).
�� ����� 2.1 ��������� � ���������� ����� �������. 9� ������� ���� �� ������ ����� �������� �� ��������� ���� � �������� ����� C�����. �� ������� C����� �� ��������� �� ������������, ��� ���� �� �� �������� ���� ������������. &�� �� ���� �� ������ ���� ����� ��(� ������� ������ �� ����� ���, ��(���� ��� �� ������� �� �� �����.
������ �� ������������ ���������
12
������ (I)
�������� (II)
�������� (III)
:���� 2.2
:���� 2.3
��������%�� !�������&��'� �� �(��)���� %� �� �� �� ���������� �������������
�� ����������� �����������#�, �������� ���� �� �� ����������� � �� ���� �����.
%� ������������ �����������#� ������-�� �� ������������� �� ������ �� ������� ��������. ;� ��� �� ������� �� ���������� �� ������� ������ ��� �� ������� �� ������� ��������. ������� ��� �� ������� ������, �������� � ��������. ;� ���� ������ �������� ������� �����.
�� ����� 2.2 � ��������� ���������� �����������#� �� �������, �� ���� ���� ��������� �� ������ ������� �� �������� ����� ������, ������, �������� � ��������.
��� ��������� �� ������ ������ (����� I) ������� ������ S3 � S6 '� �� �������� �� ��������� �������. ����� � �������� �� ������ ". ��� �� ���(� ������ " �� �������? 9� ����� �������� �� ��������� �� ��������� ������� '� �� ������ �������� (�) � �������� (b). �� ��� ���� ����������� ���������� �� ��������� �� �������� (c).
��� ��������� �� ������ �������� (����� II) ������� ������ S1 � S4 '� �� �������� �� ��������� �������. ��� �� ���(� ������ " �� �������? 9� ����� �������� �� ��������� �� ��������� ������� '� �� ������ �������� (�) � �������� (c). ����������� ���������� �� ��������� �� �������� (b).
��� ��������� �� ������ �������� (����� III) ������� ������ S2 � S5 '� �� �������� �� ��������� �������. ��� �� ���(� ������ " �� �������? 9� ����� �������� �� ��������� �� ��������� ������� '� �� ������ �������� (b) � �������� (c). �� ��� ���� ����������� ���������� �� ��������� �� �������� (�).
;� �� �� �� ������ ��� ���� �� ����� ����� ������ �� ��������� �� ������������ ���� �� ����� 2.3. >����, ���� �� ������ ������� ������ (����� I), ��� ���� �� ������ �� ���� ������ (�) ������� �������� (����� II), � ��� �� ���� �� ���� ������ (c) �� ������ ������� ��������. $������� �� ��� ����� '� �� ������ ���� ��������, � ����������� ����-�������#� �� ���������� '� ���� ���� ����-��� ����� �� ����� �����������#�.
������ �� ������������ ���������
13
:���� 2.4
:���� 2.5
$����#� � ������
1. �� ���� ������ ���� �� �� ����������� �������� �� ��������� ���? 2. ������ �� ������������� �� ����������� �����������#� �� ��������. 3. ������ � �������� �� ������ �������, � ����� ������ �� ���������� �� �������� � ����� �� ���������� �� ��������. 4. ;� �������o� ������� �� ��������� ����� �� ����� 2.4 ������ �� �������� ������ ������, �������� � ��������, � ����� �� ���� �� ��� ������ ������� � �������� �� ������� B.
2.2. #��� �$� � ��� #����
��� ��� ����������, ����������� ������ �� ��������� ��������� � �������� ������� �� ����������. �� ���������� '� ��������� ������ ������ ��������.
������%�� !���)����'� �� ����� 2.5 �������� � ����� ��
������� S � ������� �. 9� ������� �� �����-�� �� ���������������� �������� ����� �� ���� ������ ��� � ���������� ��������� �. "�� ��(� ������� �� ������� S � ��������� � �������� ��������� ����� & ��� ��� � ����������, ��� '� �� ����� ��� �������� ���� �� ��� ��(� �� ���. &���� �� ��������� '� �� ����� ����� ����� CT ��� � ����� ���-�� �� ������� &. &������ CT � ���� ����� �� ��� ������ ST ������ �� ������� & �� � ������� ��������� �, ��� �� ��������� �� ���������.
"�� ��(� ������� �� ������� � ��������� � ��������� ��������� �� ���������� ������, �� '� �� ����� ���� ����� ��� ��(��� �� ����. &���� �� ��������� � '� �� ����� ����� ��������� CCC CBA �� � ����� ����� �� �� ���������. &������ ,AC CB � CC �� ���� ����� �� ��� ������� ������� ,SA SB � SC ������� �� ������� ,A B � C �� � ������� ��������� �, ��� �� ��������� �� ���������.
������ �� ������������ ���������
14
:���� 2.6
<� �o ��������� �����������o� ������ �� ���������� �� ������#� �� ������� ����� �� ������� & � ����������� ABC.
������������ ����� S � �������� �� ������� & �� ������� ST � �� ��� � ��������-�� ��������� � �� ������� .TC >��� ����, ������������ ����� S � �������� �� �������
,A B � C �� ������� ,SA SB � SC � �� ��� � ���������� ��������� � �� ������� ,AC CB �
,CC �� ��� �� ������� �������� �� ��������-��� .CBA CCC
"�� ������������ ����� S � ������� �� ������� & � �� ��������� �������� �� ����-����� ����� �� ��������� �, ����� ����� ���� ������� T ��� � ���������� �� ������� S �� ��������� �. &������ S �� ���� ������ �� !���)����'���, ������� ST �� ���� !���)-����*)� !�����, ������� cT �� ���� ������%-�� !���)���� �� ������� &, � ��������� � �� ���� ������� �� ������%�� !���)����'�. �� ��� ����� ����������� CCC CBA � �������� �������� �� ����������� ABC �� ������� S �� ��������� �, � ������� ,SA SB � SC �� ������ ������������ ������.
������� ����� �� ���������#� �� ����-�� �� ���� ����� �� ���� ������%�� !���)��-��'�, ����'� ���� ����� �� ������� �� �����-������ �� �����, �������� ������, ��� ����� ������� �.
��������%�� !���)����'� �� ����� 2.6 � ��������� ������� � ���
��� ��(��� ������� ����� s ��� ���� ���. ;����� ������� ������� �� ��� ��� ���(��� ��������� �����, ������ �� ������� ���� ���� ��� �� ��(����� �������. "�� ��(� %������ � ��������� � ��������� ��������� ����� & � ���������� ��������� ABC, ��� '� ���� ����� ��� ��������� �, � ��� '� ����� ������� &’ � ����������� '.C'B'A
<� �o ��������� �����������o� ������ �� ���������� �� ������#� �� ������� ����� �� ������� & � ����������� ABC.
��� ������� & ��������� ������ ��� ��������� � � �� ������� �������� �������
'.T >��� ����, ��� ����� �� ����#��� �� ����-������� ABC ��������� ������ �� �������-�� � � �� ������� ������� ������� ,'A 'B �
������ �� ������������ ���������
15
:���� 2.7
,'C �� ��� �� ������� ����#��� �� ������-����� '.C'B'A
"�� �� ����� T �������� ������ �� ������� �, � ����� �� ��������� �������� ������� ,'T ����� ����� ���� ������� & ��� � ���������� ���������� (�������) �� ��������� �. $������ 'TT �� ���� !����� �� ��������%���� !���)����'�, � ��������� � �� ���� ������� �� ��������%���� !���)��-��'�. �� ��� ����� ����������� 'C'B'A � ��������%�� !���)���� �� ����������� ABC �� ��������� �.
������� ����� �� ���������#� �� ���� �� ���� ����� �� ���� ��������%�� !���)��-��'�, ����'� ���� ����� �� ������� �� �����-������ ���������� ��� ����� ������� �.
���� !���)����'� �� ����� 2.7 � ��������� ������� � ���
��� ��(��� ������� ����� s ��� ����'��� �� ��������� ��� �. "�� �������� ��(� %������ � ��������� � ��������� ��������� ����� & � ���������� ��������� ABC, ��� '� ���� ����� ��� ��������� �, � ��� '� ����� ������� T � ����������� .CBA
<� �o ��������� �����������o� ������ �� ���������� �� ������#� �� ������� ����� �� ������� & � ����������� ABC.
��� ������� & ��������� ����� �����-�� �� �������������� ������ s � �� ������� �������� ������ �� ��������� �. >��� ����, ��� ����� �� ����#��� �� ����������� ABC ��������� ����� ������� �� ����������-���� ������ s � �� ������� ������� �������
,A B � C ��������� �, �� ��� �� ������� ����#��� �� ����������� .CBA
"�� �� ����� T �������� ����� �����-�� �� �������������� ������ s � �� ������ �������� ������ T �� ��������� �, ����� ����� ���� ������� & ��� � ���������� ���� �� ��������� �. $������ TT �� ���� !����� �� )����� !���)����'�, � ��������� � �� ���� ������� �� )����� !���)����#�. �� ��� ����� ����������� CBA � )��� !���)���� �� ����������� ABC �� ��������� �.
������� ����� �� ���������#� �� ����-�� �� ���� ����� �� ���� )��� !���)����'�,
������ �� ������������ ���������
16
:���� 2.8
����'� ���� ����� �� ������� �� ����������� ���� ��� ����� ������� �.
�� ���, �� ��������� ���� ������������ � ������ ���������#� ����� ��������� �����-��, � ��� � ���� �������������� ������ �� �� �������, �� ������ �� ���������� �����-����#� ���� ��� �������������� ������ ����-���� ��� ���� �����. ;���� ������������ � ������ ���������#� ����� �� ��������� ���� !���%�%�� !���)����'�.
$����#� � ������
1. �� ������ ���������#� �� ���������? 2. 9������� � ���������� �� ��� �� ������ ���������� �� ������ ����� �� �) �������� ���������#�; �) ���������� ���������#�; �) ���� ���������#�. 3. ;����� ���� ������ ������� ���� � �����-�� �� ���������#�. ������� ���� �� ������-����� �� ������ � ������� �� ��� ��������� ����. 9����� ��� '� ���� �������� �������� �� �������� ���������#� �� ������ �� ����-���� �� ����������� �� ��� �� ���(��. 4. >������� ���� �� ������� �� ������ � ������� �� ��� ��������� ����. 9����� ��� '� ���� �������� �) ���������� ��������; �) ���� ��������.
2.3. ��������� #��� �$� �� �:��
K��� �� ��������� ������ �� ��������� ��������� � ������������ ���������#� �� ��� �������.
���� �� ������ !���������� ������� �1 � ����� ", ��� �� ��� �� ��� (����� 2.8). ��� ��� ��'� �������, ������� "’ �� ��� ��� �������� �������� �� ������ " � ��������� ��������� � � ���������� �������� �� �����-�� " ��� ��������� �1. ����'� �� ������� " ���� �� �������� ���������� ������ ��� ��������� �1 ���������� ���� ����� ����� �� ��������� ��� ���������� ���������� �����-��� �� ��������� �1.
������ �� ������������ ���������
17
:���� 2.9
%� ��������� �����#���, ��� �� ������-#� �� ���������� �������� A’ �� ������� " �� ��������� �1 ������ � ��������� �������� ������ �� ���������?
9�������� �� ��� �����#� � ���������, ������� �� ������������ �������� A’ �� ������� " ���� �� �������� ���� ���� ��� ����� ��� �� �������� ��������� �� ������� A’, �� �� ������ ���� � ��� ����� ��������� �� ��������� �1. %��� ����� �� ��� ������ � ����� �� ���������� �������� ������� ".
;� �� � ��������� �������� �� ������� " �� ��������� ���������� ��������� �����-�� �2, ������� �� �������� ������� �1. &������ "” e o��������� �������� ������� " �� ��������� �2 (����� 2.9).
9����������� �������� A’ �� ������� " �� ��������� �1 �� ���� !��� !���)���� �� �%���� �� ������� ", � ������������ �������-� A’’ �� ������� " �� ��������� �2 �� ���� ����� !���)���� �� ����� �� ������� ". ������������� ������� �1 �� ���� !��� !���)���)� ������� �� �%������ �������, � ����������� ������� �2 �� ���� ����� !���)���)� ������� �� ������� �������. $������ �� ��� �� ����� ������������ ������� �� ���� x–����.
"�� ��� ������� AA’ � AA’’ ��������� ������� ����� ���� � ���� ��� ������� '� ���� ������� �� ��������� �1 � �2, ���� ���� � �� x-������. &��� ����������� ������� '� � ���� ��������� �1 �� ������� A’Ax, � ��������� �2 �� ������� A’’Ax. N������������� AA’AxA’’ e �����������, �� ����� xA''A'AA � �
.A'A''AA x� &�� ����� ���� ����������� �� ������� " �� !������������ ������� �1 � ������� �� ����������� �� �������� ����� A’’ �� x-������, � ����������� �� ������� " �� ����������� ������� �2 � ������� �� �����-������ �� �������� ����� A’ �� x-������.
���� �� ������� "’ �� ������� " � ����-��� � �������� ����� "”. ;� �� � ��������� �������� �� ������� " �� ��������� �� ������� "’ ����������� ������ �� �1, � ����� �� ������� "” ����������� ������ �� �2. &���� ������� " � �� ���������� ����� �� ��� ������. %����� ��� �������� �� ���� ����� �� �� �������� � ������ ��������� ��
������ �� ������������ ���������
18
:���� 2.10
:���� 2.11
�������� ����� � �������� �����. �� ����� 2.9 � ��������� ���� �� �������-
�� �� ��������� ��������� �1 � �2, � �����-����� A’ � A’’. %� ��������� �����#� ���� ���������� � ����� ������� �� �� �������� �� ���� ���� ������� – �� ��������� �� ����� �� ����#�. &�� �� ������������ �� �� ����� ��� ��������� �1 � �������� ���� x-������ ����-� �� 90� ���� ��� �� �� �������� �� �������-�� �2 (����� 2.10).
$���� ���� ���������� ������� �� �����-����� ���� ����� �� ����#� � �� �������� ����� 2.11. ������� ��������#� �� ��������� �1 �� ��������#� �� ����� ������� '� �� �������� ���)%�!&��'� �� !���)���)��� �������.
&������ A’ � ������� A’’ �� ������� " �� ���� ����������� ������� �� ���������� !����&"��� !���)��� �� ������� ". 9������-�� A’Ax � A’’Ax �� ������� �� x-������, �� ������� A’A’’, �������� ������%�, � ������� �� x-������.
��� ��� � ����� �� ������ ���� ������ �� ������ �� ������������ �������� �� ���� ����� �� ���������, ���� ���� ����� � �� ������ ���� ������ �� � ��������� �������� �� ���� ����� �� ��������� ��� �� ������ �������� ���������� �������� (����� 2.11).
9� ������� "” ����������� ������ �� ��������� �� �������, � ����� �� ������� "” �� �������� � ���������� �������� ,'AAx ����'� ,'AAA"A x� �� ���� � �������� ����-���� �� ������� " �� ���������. &���:
��������� �� ���� ����� �� �����-�� � ������� ��������� �� ��������� �������� ������.
$����#� � ������
1. >������ �� ������ � ������� ���������� �������. 2. A�� �� ���������� �������� �� �����? 3. 9����� ����� �������� �� ���� ����� ��
������ �� ������������ ���������
19
:���� 2.12
:���� 2.13
:���� 2.14
�� ��������� � ������ ��������� �� ������-�� ���������� ��������. 4. >������� ���� ���� �� ���������� �����-�� �� ������� �����. ������ �� ���� ������ ����������� �� ������ 26cm � ������ 15cm, � ����� �� ��������� ������ � x-������ (����� 2.12). >���� �� �������������, �� �������� � �������� ����� ������� ����� x-������ ���� ��� �� ����'� ���� ��� �� ������ ������� (����� 2.13). "�� ���� �� �������� ������ �� �1 �� !���������� �������, ������� �� '� ���� �� ��������� �������. 5. ������ �� ������ �� ������ 3. ;��� ����� �� ���� � ��� ���� ������� ���. �) >���� ������ � ���������� �� !������-������ �������. "�� ������� �� �������� ���� ����� �� ���������, ��� ������ �������� � ����? �) >���� ������ � ���������� �� �����-������ �������. "�� ������� �� �������� ���� ����� �� ���������, ��� ������ �������� � ����?
2.4. ��������� #��� �$� �� �:�� �� �#�� ����� #���;-�
&������ ��� ����� �� � ����������� �� �������� ���� ���� �� ��� �� !������-������ �� ����������� �������, �� ���, �� ������ x-����.
�� ���������� '� �� ��������� ������-���� �����.
� <� �������� ���� ������ ����� " � �������� �� ������ ������������ ����� AA’ ��� !������������ ������� �1. &���� ����-���� ����� A’’ �� ������ ��� x-������. �� �������� ���� ������� '� ����� �� ���������, �������� ����� '� ����� �� x-������ (����� 2.14).
��� ����� ���� �� ����� �������� � ���� �1, ����� ��������� ���� � �� ������ �����, � ��������� ��� ���� �� x-������.
������ �� ������������ ���������
20
:���� 2.15
� "�� ������ ����� B � �������� �� ������� ������������ ����� BB’’ ��� �������-���� ������� �2 (����� 2.14), ����� �������� ����� B’ �� ������ ��� x-������. �� �������� ���� ������� '� ����� �� ���������, �������� ����� '� ����� �� x-������.&���:
��� ����� ���� �� ������ ����-���� � ���� �2, ����� ��������� ��� � �� ������ �����, � ��������� ���� ���� �� x-������.
� "�� ������� C ��� �� x-������, ����� �������� ���������� �������� '� �� ������-��� �� ������ �����, �������
��� ����� ���� �� x-������, ����� ��������� �������� ������ ����� �� x-������.
�� ����� 2.15 �� ��������� ����� " ��� ��� �� !������������ ������� �1, ����� B ��� ��� �� ����������� ������� �2 � ����� C ��� ��� �� x-������.
$����#� � ������
1. ������ �� ������ �� ������ 4 � ������ 5, �� ������ 2.3. �) &������ �� ���� ������ �� �� !��������-���� �������. "�� ������� �� �������� ���� ����� �� ���������, ������� �� �������� �������� �� ����� �� ������������ �������. �) &������ �� ���� ������ �� �� ����������� �������. "�� ������� �� �������� ���� ����� �� ���������, ������� �� �������� �������� �� ����� �� ������������ �������. �) &������ �� ���� ������ �� �� x-������. "�� ������� �� �������� ���� ����� �� ���������, ������� �� �������� ���������� ��������. 2. ������ �� ��������� �������������� �� ������������ �������� �� ����� ��� ���
�) �� �1, �) �� �2, �) �� x-������.
������ �� ������������ ���������
21
:���� 2.16
:���� 2.17
2.5. ������ . ���� �� �� �:��
����������� � !������������ ��������-�� ������� �� ���� ��������� �� ������ ����-�����: !�� )������� (I), ���� )������� (II), ���� )������� (III) � *����� )������� (IV) (����� 2.16).
9� ������� ����������� ���� ������� " � �� I �������� � �� ���(� ��� �1 � ���� �2, ������� B � �� II �������� � �� ���(� ��� �1 � ��� �2, ������� C � �� III �������� � �� ���(� ��� �1 � ��� �2, � ������� D � �� IV �������� � �� ���(� ��� �1 � ���� �2. �� ����� 2.17 ������ �� ������� ���������� ��������.
"�� �� ��������� ������������ ������� '� �� ������� ����� 2.17 �� �� �� ��������� ������������ �������� �� ����� ����� �� ����������� �����������#� �� ����� 2.16, �� ���� ��� ���������� ���������� ����:
� ��� ������� � �� ����� �������, ����� ��������� ���� � ��� x-������, � ��������� ��� � ��� x-������.
� ��� ������� � �� ������ ����-���, ����� ��������� ���� � ��� �� ��� x-������.
� ��� ������� � �� ������ ����-���, ����� ��������� ���� � ��� x-������, � ��������� ��� � ��� x-������.
� ��� ������� � �� �������� ����-���, ����� ��������� ���� � ��� �� ��� x-������.
�� ����� 2.17 ����������� OAx � 0,5 cm, ����������� AxA’ � 1,5cm, ����������� AxA’’� 2cm. %� ���� ��� ������ ������ � ������-��� �������� �� ������������ �������� �� ������� ", � ����� ��� � �������� �� ������� " �� ���������.
&������ 9 � ��������� ������� ����� �� x-������, �������� )���������� !�*���); ���-�������� OAx �� �������� �!����� �� ������� ", AxA’ �� �������� �������� �� ������� ", � ����������� AxA’’ �� �������� �!%�)��� �� ������� ". &�� ������ �� ��������� ��� �� ���������� )��������� �� ��*)��� " �� ����-������� ���������� ����������� ������ Oxyz � �������� "(0,5;2;1,5).
������ �� ������������ ���������
22
� "�� ������� "x � �� ������� ������ �� ������� 9 ������ �������� ������� �� ���� ��������� ���, � ��� � �� ����� ������ ������ �������� ������� �� ���� ��������� ���.
� "�� ������� �� ������� � ��� x-������ ������ �������� �������� �� ���� ��������� ���, � ��� � ��� x-������ ������ �������� �������� �� ���� ��������� ���.
� "�� ������� �� ������� � ��� x-������ ������ �������� ������� �� ���� ��������� ���, � ��� � ��� x-������ ������ �������� ������� �� ���� ��������� ���.
%����� ��� ������� �� ������� �� ����� 2.17 �����
"(0,5;2;1,5), B(2,5;�2,5;1), C(3;�1,5;�2) � D(1,5;1;�2,5).
$����#� � ������ 1. ��� ���� �� ��������� ������� �� ���
4x � cm?
2. ������ �� ������� � ������� �� ������� ��� �� �� ������� ��������� (�� ������ 2cm) �� ����� ���������� �������. ��� ����� ����� ���? �� �� �������� �� ���(� ����� �� ���? 3. ������ �� ������������ �������� �� ����� A ��� ��� ������� 3cm � � ��������� 2cm �� �1, � 4cm �� �2. 4. ������ �� ������������ �������� �� ���-���� �����: A(2;1;5), B(3,5;2;4), C(–3;2;3), D(0;6;1), E(5,5;3;0), F(7;0;3), G(–1;2;0), H(–4;0;6), I(8;0;0), J(0;0;3), K(0;9;0), O(0;0;0). a) �� ����� �� ������� ��������� �� �1, � ��� �� �2? �) �� ����� ���� �� �1, ��� �� �2, � ��� �� x-������? 5. ������ �� ������������ �������� �� ����-���� ����� � �� ����� �� ��� ������ �� �� �������� �� ���(�: �) A(1;3;3); �) B(3,5;2;4); �) C(3;–2,5;–2,5); �) D(4;3;–3).
������ �� ������������ ���������
23
:���� 2.18
:���� 2.19
2.6. ��������� #��� �$� �� ���:��
�� ����� 2.18 ������ � ������� AB ��� � �� ����� ������ �� ����� �� ������������ �������. $����������� �������� �� ��������� AB �� ���������� �� �� ����� ��� �� ���������� �������� A’ � B’, � ����� �������� A’’ � B’’, �� �������� ����� ����� A � B. %� ����� �������-#� �� �������� ������� A’B’ � ������� A’’B’’ �� ��������� AB. %����� ���:
���������� ������ �� ������� �� ����� ������� �� ����� �� ������-���� � ���� �� �������.
$�� ���������#� �� ������������ �����-��, �� �������� ������������ �������� (����� 2.19). > ����� ���������� �������� �� ��� ���� �� �� ����� ������ �� ��������� AB, � �� �� ������� �� ���. "�� ������� C � �������� ����� �� �����-���� AB, ����� �������� ����� C’ � �������� ����� �� ������� A’B’, � �������� ����� C’’ �������� ����� �� ������� A’’B’’. %����� ���:
������� ����� �� ������� �� ����-��� �� ������� ����� �� ���������� ������ �� ���������.
�� ����� 2.19 �������� �� ���������� �������� �� ��������� AB, ��� ��� ����� ����� ����� ���������� "(0,5;2;1,5) � B(3;2,5;2,2), ��� ������ �� �������� �� AB[A(0,5;2;1,5), B(3;2,5;2,2)]. $����#� � ������ 1. A�� ������������� ������������ �������� �� �������? 2. �� ��� �� ��������� ���������� ����� �� �������? 3. ������ �� ������������ �������� �� �����-���� AB, �������� �� AB["(1; 2,5; 3,5), B(4; 1,5; 4)]. $���� ������� �� ������������ �������� �� ������������ ����� C �� ��������� AB.
������ �� ������������ ���������
24
:���� 2.20
:���� 2.21
:���� 2.22
2.7. ��������� #��� �$� �� ���:�� �� �#�� ����� #���;-�
�� ���������� '� ��������� ������ �������� ������ �� ������� �� ����� �� ������������ �������.
� 9��������� AB �� ����� 2.20 � �����-�� �� ������������ ������� �1 � �2. &���� �������� ���������� �������� �� ������� �� x-������, ��� � �������� ����� �� �����-����. 9� ������������� ABB’A’ ����� ���� ������� A’B’ �� ��������� AB � ������� � ������� �� ���. %����, �� ������������� ABB”A” ���������� ���� ������� A”B” �� ��������� AB � ������� � ��� ������ ������� �� �������� ������. &���:
��� ������� � �������� �� ������-���� � ����, ����� ��������� ������ �� �������� �� x-������ � � ��� ������� ������� �� ��������� �� ���������.
�� ����� 2.21 �������� �� ���������� �� ������� AB ��� � ������� �� ������������ �������, ���� � ,cm5,2 ��������� � cm2 �� �1, � cm5,1 �� �2.
� 9��������� AB �� ����� 2.22 � �����-�� �� ������������ ������� �1. �� �� ���� ������������ �������� A’ � B’ �� ������� ����� A � B �� �����(���. 9����� ������ ���� � ������������ �������� �� ���������� ����� �� ��������� �� �����(���, �� ������ ��� ����� �� ��������� AB � ������� A’=B’. <� ��������� ���� ��������� AB � ����-��� �� ������������ ������� �2, 9� �����-�������� ABB”A” ���������� ���� ,AB"B"A � �� ������� "B"A �� ��������� AB � ������� �� x-������ �� ������ ������� �� �������� ������. &���:
��� ������� � �� ���� �� ������-���� � ���� �1, ����� ��������� ���� � �����, � ����� � ������� �� ���� �� x-������ �� ������� ������� �� ��������� �� ���������.
������ �� ������������ ���������
25
:���� 2.23
:���� 2.24
:���� 2.25
� 9�������� CD �� ����� 2.22 e ������� �� ������������ ������� �2. $����������� ���������� �������� C” � D” �� ������� ����� C � D �� �����(���. 9����� ������ ���� ����-�������� �������� �� ���������� ����� �� ��������� �� �����(���, �� ������� �� �����-���� CD � ������� C”=D”, � ������� C’D’ � ������� ������� �� x-������ �� ������ ������� �� �������� �� ��������� CD. <� ��������� ���� ��������� � ����-��� �� ������������ ������� �1. 9� �����-�������� CDD’C’ ���������� ���� �������
'D'C �� ��������� CD � ������� �� x-������ �� ������ ������� �� �������� ������. %����� ���:
��� ������� � �� ���� �� ������-���� � ���� �2, ����� ��������� ��� � �����, � ������ � ������� �� ���� �� x-������ �� ������� ������� �� ��������� �� ���������.
�� ����� 2.23 �������� �� ������������ �������� �� ������� AB ������� �� �1, ����
,cm5,1 ��������� cm5,0 �� �1 � cm2 �� �2, ���� � ������������ �������� �� ������� CD ������� �� �2, ���� ,cm5,1 ��������� cm2 �� �1 � cm5,0 �� �2.
� 9�������� AB �� ����� 2.24 ��� �� ������������ ������� �1. �������� ����� A’B’ �� �����(� �� ������ �������, � �������� ����� "’’B’’ � �� x-������. (����� 2.25).
9�������� CD �� ����� 2.24 ��� �� ���-��������� ������� �2. �������� ����� C’D’ � �� x-������, � �������� ����� C’’D’’ �� �����(� �� ������ ������� (����� 2.25). &���:
��� ������� ���� �� ���������� � ���� �1, ����� ��������� ���� � ��- ��� �������, � ����� � �� x-������.
��� ������� ���� �� ���������� � ���� �2, ����� ��������� ���� � �� x-������, � ����� � �� ��� �������.
� 9�������� AB �� ����� 2.26 � ������� �� ������������ ������a �1 � � �� ����� ������ �� ����� �� ������������ ������� �2.
9� ������������� ABB’A’ ����� ���� ������� A’B’ � ������� ������� � ������� �� ������ �� ��������� AB, � ����'� �������
������ �� ������������ ���������
26
:���� 2.26
:���� 2.27
:���� 2.28
����� " � B �� ��������� �� ������� �����-���� �� �1, ������� ������ �� ������� �����-���� �� x-������, �� ������ ��� ������� A’’B’’ � ������� ������� �� x-������.
��� ������� � �������� �� ������-���� � ���� �1, ����� ��������� ���� � �������� �� ��� � � � ������� ������� �� ��������� �������, � ����� � �������� �� x-������ � � � �� ��� ������� �� ��������� �������.
�� ����� 2.27 �������� �� ���������� �������� �� ������� AB ���� cm5,2 , �����-�� �� �1, ��������� cm5,1 �� ���, � �� �2 ����'� ��� �� 30�. �������� ����� ����� " � ��������� cm2 �� �2.
� 9�������� AB �� ����� 2.28 � ������� �� ������������ ������� �2 � � �� ����� ������ �� ����� �� ������������ ������� �1.
9� ������������� ABB”A” ����� ���� ������� A”B” � ������� ������� � ������� �� ������ �� ��������� AB, � ����'� ������� ����� " � B �� ��������� �� ������� �����-���� �� �2, ������� ������ A’ � B’ �� ������� ��������� �� x-������, �� ������� A’B’ � ������� ������� �� x-������.
��� ������� � �������� �� ������-���� � ���� �2, ����� ��������� ���� � �������� �� x-������ � � � ������� �� ��� �� ��������� �������, � ��������� ��� � �������� � �� ������� ������� �� ��������� �������.
�� ����� 2.29 �������� �� ���������� �������� �� ������� AB ���� cm3 , ����-��� �� �2, ��������� cm5,1 �� ���, � �� �1 ����'� ��� �� 30�. �������� ������� ����� " � ��������� cm5,2 �� �1.
$����#� � ������
1. >������� ���� �� ���������� ������� �� ������. $������ �� ����� ���� ���� ������ ���� ��� �� ��: �) ���� �����e� �� ��������� �1 � �2; �) ���� ������� �� ��������� �1;
������ �� ������������ ���������
27
:���� 2.29
:���� 2.30
�) ���� ������� �� ��������� �2; �) ��� �� ��������� �1; �) ��� �� ��������� �2; () ���� ������� �� ��������� �1; �) ���� ������� �� ��������� �2. "�� ������ �� �������� ���� ������� �� ���������, ������� �� ���������� �� ����� �� �������� �� �) �� �). 2. �� ��� �������� �� ������ ����������� ������� �� ���������, ��� ��� �: �) ������� �� ��������� �1 � �2; �) ������� �� ��������� �1; �) ������� �� ��������� �2; �) ��� �� ��������� �1; �) ��� �� ��������� �2; () ������� �� ��������� �1; �) ������� �� ��������� �2.
3. ������ ���������� �������� �� ������� AB ��� � ���� 3cm, ������� � �� ��������� �1 � ��������� 3cm �� ���, � �� ��������� �2 ����'� ��� �� 450. �������� ������� ����� " � ��������� 3cm �� �2.
4. ������ ���������� �������� �� ������� CD ��� � ���� 3,5cm, ������� � �� ��������� �2 � ��������� 3cm �� ���, � �� ��������� �1 ����'� ��� �� 450. �������� ������� ����� C � ��������� 4cm �� �1.
2.8. � � ���� ����� �� �� ���:�� ������� ���
��� ��� �������, ���������� �������� �� 'B'A � "B"A �� ������� AB �� ����� ����-�� �� �� ����� ������ �� �������� �� ��������� � �� �� ������� �� ���. �� �� ��-�� ����������� ������� �� ��������� ������ �� � ��������� ����. ������������ �� ���-�������� ������� �� ������ ������� ���� �� �� ������ �� ����'� ������, �� ��� ���� '� �������� ��� �� ���. ����� �� ���!�< �� ���e� 2.30 ��������� � ��������� AB, ��� � �� ����� ������, �������� �����
'B'A � �������� ����� "B"A . �� ������� �� ��������� ����� ������������� ABB’A’ � ABB’’A’’. &�� ������������� �� ������� � ����� ��������� ������ AB. %��� �� ��� ��� �� ��� ����� ���, ��� �� ����#��� "’ � B’, � ��� �� ����#��� A” � B”.
������ �� ������������ ���������
28
:���� 2.31
:���� 2.32
����������� ������� �� ��������� AB ������ �� � ��������� ��� �������� ABB’A’, ������� !�� !���)����*)� ���!�<, �� ����-���� �� ��������� �1 (�� �������� �� 900 ���� ������ 'B'A ). %����, ����������� ������� �� ��������� AB ������ �� � ��������� ��� �������� ABB’’A’’, ������� ���� !���)����*)� ���!�<, �� �������� �� ��������� �2 (�� ����-���� �� 900 ���� ������ "B"A ).
"�� � ��������� ��������� AB � ����-���� ����� A’B’ �� �������� ����� ��(� ��� ^1, ������� !�� ��)%���� ���%, ������ ��� � ��������� ��������� AB � �������� ����� A”B” �� �������� ����� ��(� ��� ^2, ������� ���� ��)%���� ���%.
��� �� ������ �������� �� ������-������ �������� �� ��������� AB, ����� �� ����� ���� ������� �������� �� ����������� �� ��������� ABB’A’ � ABB’’A’’, ����'� �� ������ ������ ���� ''AAA'A x� � ,''BBB'B x� ������ �� ������� ������ ����� 'AAA''A x� �
.'BBB''B x�
%��������� ������� �� ������������ �� ������� �����: ���������� ������ �� A’B’ �� ������� A’ � B’ � �� ��� ������ �� ����-������ ��������� �������� ''AAA'A x0 � � .''BBB'B x0 �
&��� �� ������� �������� A’B’B0A0 (����� 2.31). %� ���(�#� �� ��������� A0B0 ����� ���� ��� � ������� ����������� ������� �� ��������� "B. "�� �� ��������� ��������� AB � A0B0 ����� ����� ��(� ��� � !����� ��)%���� ���% �������� �� ��������� �������. %����, ���� �� �������� ������ �� A’’B’’ �� ������� A’ � B’ � �� ��� ������ �� ���������� ��������� �������� 'AAA''A x0 � � .'BBB''B x0 �
&��� �� �������� �������� A’’B’’B0A0 (����� 2.32). %� ���(�#� �� ��������� A0B0
����� ���� ��� � ������� ����������� ������� �� ��������� "B. "�� �� ��������� ��������� AB � B0A0 ����� ����� ��(� ��� � ������� ��)%�-��� ���% �������� �� ��������� �������. "�� ������������� �� ����� ������� � �������� �������, ����� ���� .BABA 00
00 �
������ �� ������������ ���������
29
:���� 2.33
:���� 2.34
%����� ���, �� ���(�#� �� ����������� �����-�� �� ������� ������ � ��� �� � �������� ���� ����� (�� �1 �� �� �2), ��, ��� ����� �� �� ��������� �������� ������ ��� ^1 � ^2, ����� ��� ����� �� � �������� � �� �1 � �� �2. ����������� ������� �� ��������� �� ������� �� ���� – ����� – ���� ����. ����� �� ��+��������%�� ������%��)
�� ����� 2.33 ������ �� ��������� AB � �������� ���������� �������� A’B’ � A”B”. 9� ������� B �������� � ����� BC ������� �� A’B’, � ����� �� ������� " �������� � ����� AD ������� �� A”B”. &��� �� �������� ������������ ���������� ABC, ������� !�� ��+��������%�� ������%��), � ABD, ������� ���� ��+��������%�� ������%��). &�� ����� ��������� !��������� AB. ;� �������� �� ������ ������������ ��������� �����
'B'ACB � � ,"BB"AAB'BA'ACA xx ���� � �� ������� ������������ ��������� ''A''BDA � � .'AA'BBA''AB"BDB xx ���� %����� ���, ���� �� �� �������� ������������ �������� �� ��������� AB, �� ����� ���� ������� �������� �� ����������� �� ����� ������������ ����������.
��� �� ����� 2.34 ���������� ���� ����� ������� �� x-������ �� ������� A’ � ��� B”, ������� ��� ���� ����� ����� ��� ��� ����� ����� ���������� � �� �������� �����-�� D’ � C”. $���� �� ������� "’ ����������� ������ �� ��������� A’B’ � �� ��� ������ ���������� .''A''CA'A 0 � 9� ��������� �� ������������ A’B’A0 � ABC ������ ���� �� ���������#� �� ��������� A0B’ ��� � �������� ����������� ������� �� ��������� AB. "���� ��(� A0B’ � 'B'A � ������ ������� ��� ^1. >�, ����������� ������ �� �������-�� "B"A �� ������� ,"B �� �� ��� ������ ���������� .B''B 0 9� ��������� �� ������-������ A”B”B0 � ADB ������ ���� �� ������-���#� �� ��������� A”B0 ��� � �������� ����������� ������� �� ��������� AB. "���� ��(� A”B0 � "B"A � ������� ������� ��� ^2. $� ��������#��� �� ������������� �������� ���� .B''A'BA 0
0 �
���� ������� & � ��� ��������� AB ��
������ �� ������������ ���������
30
:���� 2.35
����� �����, ������� .kBT:AT � >������� ����� &0 �� ��������� A0B’ ��� � ��� ��������� �� ������ �����, .kT'B:TA 000 � "�� �� ����� �� ������� &0 �� ������ ������-������ �������� T’ � T’’ �� ������� &, ����� T’ � T’’ �� ���� ������������ �������� �� ��������� AB �� ������ �� �����, �������, .''T''B:''T''A'T'B:'T'AT'B:TA 000 �� %����� ��� ����� ����:
��� ������� ! �� ���� ��������� AB �� ����� �����, ����� ���������� ��-���� �� ������� ! �� ����� ��������-�� ������ �� ��������� AB �� ������ ��� �����.
$����#� � ������ 1. >������� ���� �� ���������� ������� �� ������ �� ���������#� �� ��������� �����-�� �� ������� �� ������� �� ������. 2. ������ �� ������� � ������� �� ��������� AB �������� �� AB[A(–1;4;6),B(3;1;2)] � ���� � �������� ��������� ������� �� ������� �� ������. ���� � ��������� �� �������� ���.
3. ������ �� ������� � ������� �� ��������� CD �������� �� CD[C(1;2;0),D(5;5;2)] � ���� � �������� ��������� ������� �� ������� �� ���������. ���� � ��������� �� �������� ���.
4. ������ �� ������� � ������� �� ��������� EF �������� �� EF[E(2;0;2),F(6;4;5)] � ���� �� ������������ �������� �� ������� & ��� � ������� �� ��������� EF.
2.9. ��������� #��� �$� �� #���
��� ��������� ����� � ����������� ���-���� �1, ������� �� ������������ ������� �1, � ������� �2 ������� �� ������������ ���-���� �2. $������� �� ��������� �1 � �1 � ����� a’ ��� � ����� �� ������� �. %����, �������� �� ��������� �2 � �2 � ����� a’’ ��� � ����� �� ������� a. ;����:
���������� ������ �’ � �” �� ���� � �� ���� �� � ���� �1 � �2.
������ �� ������������ ���������
31
:���� 2.36
:���� 2.37
:���� 2.38
:���� 2.39
�� ����� 2.35 ������ �� ������������ �������� �� ����� a=(a’,a’’) ��������� �� ���-���� A � B, ������� a=AB[A(0,5;1;1,5),B(3;2;2)]. &������ C ��� �� ������� �, ����'� ����-���� ���������� �������� ���� ��������� �� ������������ �������� �� �������, ������� C’�a’ � C’’�a’’. &������ E � D �� ���� �� ������� �, ����'� E’�a’ � D’’�a’’. �� ���������� '� ��������� ������ �������� ������ �� ����� �� ����� �� ������������ �������.
$������ b=(b’,b’’) � ������� �� �����-������� ������� �1 � �2. �������� ���������� �������� b’ � b’’ �� ������� �� x-������ (����� 2.36).
$������ c=(c’,c’’) � ������� �� �����-������� ������� �1. �������� ����� c’ � �����, � ������� c’’ � ������� �� x-������ (����� 2.37).
$������ d=(d’,d’’) � ������� �� �����-������� ������� �2. �������� ����� d’’ � �����, � ������� d’ � ������� �� x-������ (����� 2.37).
$������ e=(e’,e’’) ��� �� ������������ ������� �1. �������� ����� e’ �� �����(� �� ������� �, � ������� �’’ � �� x-������ (����� 2.38).
$������ f=(f’,f’’) ��� �� ������������ ������� �2. �������� ����� f’’ �� �����(� �� ������� f, � ������� f’ � �� x-������ (����� 2.38).
$������ g=(g’,g’’) � ������� �� �����-������� ������� �1. �������� ����� g’’ e ����� ������� �� x-������ (����� 2.39). $������ �� ����� ������ �� ������ =���<����%�.
$������ h=(h’,h’’) � ������� �� �����-������� ������� �2. �������� ����� h’ e ����� ������� �� x-������ (����� 2.39). $��-���� �� ����� ������ �� ������ +�����%�.
>���*� 1. �� ������� a=(a’,a’’) ��������� �� ������� A � B, ����� �� ��������� ����� D ��� � �� ��������� d �� ������� A (����� 2.40).
%� ������� �� ������������ ������-��� � ����������� ���������� ��������� A’B0 �� ��������� AB.
�� ���������� ����� �0 �� ��������� d �� ������� A’ � �� ���(� ������� D0. $���� ������ ������ �� a’. $��������� ����� D’ �� �����-��� � ������ �������� �� ������� D. �������
������ �� ������������ ���������
32
:���� 2.40
:���� 2.41
�������� � ���(��� �� ���������, ��� ���� D’’ �� ��� �� a’’.
%� ����� �������� �� ������� � ������ �� ��������� � ����� ����� ��� ���������� ��������� �����. �� ������, ������� K � ����� �� ������� � ��� ��� ������ �� �����-���� AB.
$����#� � ������ 1. >������� ���� �� ���������� ������� �� ������. $������ ���� ������ ���� ������ ���� ��� ��� ��: �) ���� ������� �� ��������� �1 � �2; �) ���� ������� �� ��������� �1; �) ���� ������� �� ��������� �2; �) ��� �� ��������� �1; �) ��� �� ��������� �2; () ���� ������� �� ��������� �1; �) ���� ������� �� ��������� �2. "�� �������� � �������� ���� ����� �� ���������, ������� �� ���������� �� ����� �� �������� �� �) �� �). 2. ������ �� ������������ �������� �� �����-�� m �������� �� m=AB[A(0;3;2),B(7;4;6)] � ������� � �������� ������ �� ���������. 3. ������ �� ������������ �������� �� ����� n ��� ������ ��� ������� N(3,6,7) � �) � ������� �� ��������� �1 � �2; �) � ������� �� ��������� �1; �) � ������� �� ��������� �2; �) ��� �� ��������� �1; �) ��� �� ��������� �2; () � ������� �� ��������� �1; �) � ������� �� ��������� �2.
2.10. #�-�� �� #��� ������� ���
�� ����� 2.41 ������ � ����� a=(a’,a’’) ��� � ��������� ��������� �1 �� ������� "1, � ��������� �2 �� ������� "2.
&������ "1 �� �������� !��� !��(���� ��*)�, � ������� "2 ����� !��(���� ��*)� �� ������� �.
&������ A1’ �� �����(� �� ������� "1, � �������� ����� A1’’ � �� x-������. %����, ������� A2’’ �� �����(� �� ������� "2, � ����-���� ����� A2’ � �� x-������.
������ �� ������������ ���������
33
:���� 2.42
9������ ��� �1 ��� �� ����'� ������� � �� ������� a’ �� �������� !�� ��)%���� ���%, � ������� ��� �2 ��� �� ����'� ������� � �� ������� a’’ �� �������� ���� ��)%���� ���%.
>���*� 1. ���� �� ������������ �����-��� �� ���������� ����� � �������� ��� �� ����� � ������ �� ������ ���������� �������� a’ � a’’ (����� 2.42).
�� �������� �� ������� �� ������� �” � x-������ �� ���(� ������� A1’’ �� ���a�� ������-�� ����� A1. "�� ��� ������� A1’’ �������� �������, ��� '� �� ���� ������� �� ������� a’ �� ���������� ������� A1 ��� �� �����(� �� ������� A1’.
�� �������� �� ������� �� ������� �’ � x-������ �� ���(� ������� A2’ �� ������� ���-����� ����� A2. "�� ��� ������� A2’ �������� �������, ��� '� �� ���� ������� �� ������� �” �� ���������� ������� A2 ��� �� �����(� �� ������� A2’’.
��� � ������ ������� � �� �������� �� ���������#� �� �1, ������� ������ '� �� ����-�� ���� ���� �� ������� �� � ��� �1. ����-���� �� �� ������� �� ������ �� ���� ����, � ���������� �� ����������� ����. %����� ���, �� ���� ���� �� ������ ���� ��� �� ������ �������� ����� A1, � �� ����������� ���� ���� ����� �� A1.
"�� � ���������� ������� � �� �������� �� ���������#� �� �2, ������� �������� '� �� ������ ���� ���� �� ������� �� � ���� �2. ;����, �� ���� ���� �� ������ ���� ����� �� ������� �������� ����� A2, � �� ����������� ���� ���� ��� �� A2.
;� �� �� ������ ��������� �� �������� ��� 1^ � 2^ �� ���������� ������������ ��������� 'AAA 221 ���� �������� 'AA 21 �� �1 � ������������ ��������� "AAA 121 ���� �������� "AA 12 �� �2. ;���� �� ������� 'A2 ���������� ������ �� �’ � �� ��� ������-���� ,A'AA'A 22
022 � � ����� � ��������� ���-
���� 02A �� .A1 &��� �� ������� ������������
��������� 'AAA 20
21 �� �� ������ ������� ��� 1^ � �� ��������� �������. $�������, �� ������� "A1 ���������� ������ �� �” � ��
��� ���������� ,A"AA"A 110
11 � � ����� �
������ �� ������������ ���������
34
:���� 2.43
��������� ������� 01A �� .A2 &��� �� ��������
������������ ��������� "AAA 120
1 �� �� ������� ������� ��� 2^ � �� ��������� ���-����.
<������� �� ��������� 021AA � �������
�� �������� �� ��������� 20
1 AA ����'� ��� �� ������� �� ����������� ������� �� �����-���� 21AA �� ������� � ��� � ��������� �� ��� �������� �����. $����#� � ������ 1. >������� ���� �� ���������� ������� �� ������ �� ���������#� �� �������� ����� �� ����� �� �������. 2. ���� �� ������������ �������� �� ������-���� ����� �� ������� �="B[A(1;3;1),B(6;1;4)] �� ������������ �������.
3. ���� �� �������� ��� 1^ � 2^ �� ������� p=AB[A(0;4;4),B(5;6;1)].
4. ���� �� �) ������ ������� ��� 1^ �� ������� m=MN[M(1;2;4),N(3;2;2)]; �) ������� ������� ��� 2^ �� ������� k=LM[L(1;4;3),M(3;2;3)].
2.11. �� #���� ��� ��� ��. ��������� #��� �$� �� �:��
��� ��������� �� ���� ����������� ��-
���� � ������� �� x-������, �������� �� ��������� �� ������� � �� ���� � �� ����� ��������, �� �� �������� ���������� �����-��� �� ���� �� �� ������ �������� �����, ������� � �������� �� ���������. �� �� ���� � ������ ��� �� �� ��������� �� ���� ����, ����� �������, ������� �� ��������� �1 � �2, �������� ����� !���)���)� �������, ��� '� � ���������� �� �3 (����� 2.43).
@�������� �1, �2 � �3 �� ����� �� ��� ������ ������� ����� x, y � z, ��� �� ����-������ )���������� ��)�. &�� ����� �������-�� ����� 9, �������� )���������� !�*���).
&������ �������� �� ������� " '� � ��������� �� ��� ����� ���� ��� �� �������-
������ �� ������������ ���������
35
:���� 2.44
����� ������� � �������. 9� ������� " ����-���� ������ �� ��������� �3. $��������� ����� �� �������� ��� ��������� �3 �� �������� ����� !���)���� �� ������� ", � '� � ���������� �� A’’’. �� ����� 2.43 ��������� � ����� " � �������� �������� A’, A’’ � A’’’ �� ��������� �1, �2 � �3 .
9� ������������� AA’’’AzA’’ ����� ���� .''AAA'''A z � ����'� xA'A''AA � ����� ���� ,A'AA'''A xz � �������
!����� ������� �� ����� � � ����-������ �� z-������ �� ������ ����� ��� � ��������� ��������� ���� �� x-������.
9� ������������� AA’’’AyA’ ����� ���� .'AAA'''A y � ����'� xA''A'AA � ����� ����
,A''AA'''A xy � �������
!����� ������� �� ����� � � ����-������ �� y-������ �� ������ ����� ��� � ��������� ��������� ��� �� x-������.
%��� �� ��������� ���� �� �� �������� ���������� � ����� ������� �� ���� ���� ������� – ��������� �� ����� �� ����#�. ;� ��� �� ��������� �1 � �������� ���� x-������ ����� �� 900 ���� ��� �� �� �������� �� ��������� �2, � ��������� �3 � �������� ���� z-������ ����� ��� �� 900 ���� ��� �� �� �������� �� ��������� �2. $���� �������-���� ������� �� ���������� ���� ����� �� ����#� � �� �������� ����� 2.44, �� �� ��� � ��������� ���� �� ������ ������� �������� A’’’ �� ������� ", ��� �� ������ ������� A’ � ������� A’’. ;������ ���� �������������� ����� �� ������#� �� ������� �������� A’’’ �� ������� " � �� �� ������ ������ �� z-������ ��� A’’, � ����� �� ��� �� �� ������� ������-����� A’Ax ����� �� z-������. $����#� � ������ 1. >������� ���� �� ������ �� ����� �����-����� �������. 2. ���� ja ����a�� �������� �� �������: a) "(3;2;4), �) B(5;7;2).
3. ���� ja ����a�� �������� �� �������: a) M(0;2;4), �) N(4;0;2), �) K(5;7;0).
������ �� ������������ ���������
36
:���� 2.45
:���� 2.46
:���� 2.47
2.12. ��������� #��� �$� �� ��� ��� ? �,
�� ����� 2.45 �� ��������� ����� �����-
����� ������� �1, �2 � �3, ����� ��������� AB � ������ ��� ��������. "�� A’’’ � ������� �����-��� �� ������, � B’’’ � ������� �������� �� ������� ����� ����� �� ��������� AB, ����� ��������� A’’’B’’’ � ����� �������� �� ��������� AB.
>���*� 1. <����� �� ������� � ������� �� ��������� AB. ���� � ������� �������� �� ��������� AB.
;� �� � ������ ������� �������� �� ��������� AB ����� �� �� ������ ������� �������� A’’’ � B’’’ �� �������� ����� ����� A � B.
;� ��� �� ���������� ������ �� z-������ �� A” � ����� �� ��� �� ����������� ����������� �� A’ �� Ax ����� �� z-������. %����, ���������� ������ �� z-������ �� B”, � ����� �� ��� �� ����������� ���������-�� �� B’ �� Bx ����� �� z-������.
&������ �������� �� ��������� AB '� � ������ �� �������#� �� ������� �������� A’’’ � B’’’ �� �������� ����� ����� A � B (����� 2.46).
>���*� 2. <����� �� ������� � ������� �� ����������� ABC. ���� � ������� �����-��� �� ����������� ABC.
&������ �������� �� ����������� ABC '� � ������ �� �������#� �� ������� �������� A’’’, B’’’ � C’’’ �� �������� ����#� A, B � C (����� 2.47).
��� ��� ���������� �� ���������, ����-����#��� �� ������� �������� ���������� �� � �������� �������, ��������� � ����-���� �� ������� �� ���������, �� ���� ���� ��� �� � ����� �� �� ������ �� ������ � ������� ��������. <� � ��������� ������� ������.
>���*� 3. <����� �� ������� � ������� �� �������������� ABCD. ���� � ������� �������� �� �������������� ABCD.
&������ �������� �� �������������� ABCD '� � ������ �� �������#� �� ������� �������� A’’’, B’’’, C’’’ � D’’’ �� �������� ����#� A, B, C � D (����� 2.48).
������ �� ������������ ���������
37
:���� 2.48
:���� 2.49
:���� 2.50
$����#� � ������ 1. �������� �� ������ �� ������ 1, �� �����-� 2.11. >���� a) ���������; �) �������; �) ����������; �� ������ � ������� �� ���� ������. A�� ������������� ������� ���������� ��������? 2. ������ � ������� �������� �� ����������� ABC, ��� A(3;2;3), B(6,4,5) � C(4,7,1). 3. ������ � ������� �������� �� ���������-����� ABCD, ��� A(1;2;3), B(3,1,5), C(5,3,1) � D(7,1,5).
2.13. ��������� #��� �$� �� ����� �� ���
9����������� ���������� �� �����������
��� �� �������� �� ���������#� �� ������-���� ��� �� ����������� ����� ��� ����� ���������� ������� (����� 2.49).
$��������� ��� �� ����������� ����� �� ��������� �� ������ �� �����, �� ������� �������� �� �������� �� ���������#� �� ����-���� �� �������. %�������, �������� �� ����������� �� ���������#� �� ������� ����-��. ;����, ��� �� ������� ���������� �� ���� ������ �� �����, � ��� ��� �� ������ �� ������ ������� ���� ��� �� ��� ������ ������� �� ���������, �� �������� ���������� �� ������-�� � ���������� �� ��� � ��������� �����.
��� ���� ����������� ��� �� ������ �� �������� �� ���������#���, ���� �� �� ���-�� �� ������, � ������� �� �� ������. @�����-�� �� ������� ��� �� ���������� �������� �� ���������� �� � ����� �����-���� �� ��������� �� ����� �� ����� �� ��������� ������ �� ���������#�, � �����-����� �� ��� ������ �� ����� �� ������������ ������� � ����� ��������� �� ��������� �� ����� �� ����� �� ��������� ������ �� ���������#�.
"�� �� ������ ����� ��������� �� ����� 2.49, �� ������ �� ������������ �����-����#� �� ��������� �1, '� �� ������ ���� �������������� EFGH � FIJG. ;� ��� ������ �� ���������#�, ����������� �����������
������ �� ������������ ���������
38
:���� 2.51
:���� 2.52� :���� 2.52�
:���� 2.53� :���� 2.53�
EFIJGH � �������, � ������� E’F’I’J’G’H’ � ������� �� ������� �� �����.
%����, ��� �� ���������� ����� �� ������ �� ������������ ���������#� �� ���-������ �2, ������������� ABIFE � ������� �� �����, � ������� A’’B’’I’’F’’E’’ � ������� �� ������� �� �����.
�� ������ �� ������������ ���������#� �� ��������� �3, ����������� ����������� BCJGFI � ������� �� �����, � B’’’C’’’J’’’G’’’F’’’I’’’ � ������� �� ������� �������� �� �����.
�� ����� 2.50 ������ �� ����� �������� �� ����� ��������� �� ����� 2.49.
�� ����� 2.51 ������ �� ����� �������� �� ����� �� ���� ������� �� ��������� �1. �������� ������ �� �������� r=1cm, �������� �� �������� � �� ������� S(1,5;1,5;0), � �������� h=2,5cm.
&������ � ���� �� ������ r=1cm � ������ �� ������� S’. �� �� ���� �� ��������� � ��������� �� �������, � �� �������� �� ������ � ������� V’ �� ����� V, ���� � ������� o’ �� ������ �. @�������� �� �� ���� �� �������� �� ����������� �� �������. %��� ��������� �� ������ �� �������.
+�������� �� ������� �� ������� � ����������� A’’B’’V’’. &�� � �������� ������� �� �������� ������ �� ������� �� � ������� �� ��������� �2 � �� ��� ������� �� ��� ���, ������ � ����� ��. >���������� AV � BV �� �������� ��������� �� �������� � ������� ��, �� ����� �� ������� �� ������.
+�������� �� ������� �������� �� ����-��� � ����������� C’’’D’’’V’’’. &�� � ������� �������� �� �������� ������ �� ������� �� � ������� �� ��������� �3 � �� ��� ������� �� ��� ���, �� � ����� ��. >���������� CV � DV �� �������� ���������, �� ����� �� ����� �������� �� ������.
$����#� � ������
1. ������ �� ����� �������� �� ����� ������ �� ����� 2.52� � ����� 2.52�.
2. ������ �� ����� �������� �� ����� ������ �� ����� 2.53� � ����� 2.53�.
&������� ����� 3. ���� #���� ��
�� ���� �������� ����� �������� ���� � �� ����� ���������� ������ ��
���������� �������� �� ��
����������� �� ���� ��������
� �� ����� ���� ������ �� � ���������
�� ������� ������� ��������
"��� �������
40
������ ��� �� 3. ���� #���� �� 3.1. #��� <� )��� !���)���� 3.2. ���� !���)���� �� ���������)� +��&�� � !������ 3.3. ���� !���)���� �� ���������)� ��%� � !������
"��� �������
41
:���� 3.1
:���� 3.2
3. ���� #���� ��
3.1. #� � >� ���� #���� ��
����� �������� �� �������� �� ������-���� ����� �� ��!���������� � ��������������, ����'� �� ������ ����� �� ������ ���� ����-����� �� ������� � �� ���� ����� �� �����-������ ��������� ��������� ������.
"�� �� ����� T (����� 3.1) �� ��������� �������� ���� ����� s � �� ������ �������� T �� ����������� ������� �2, ����� ����� ���� ������� & ��� � ���������� ���� �� ���-������ �2. &������ T �� ���� )��� !���)���� �� ������� & �� ��������� �2. $������ s �� ���� !����� �� !���)����'���, � ��������� �2 �� ���� ������� �� !���)����'���. �� ������� T �� ����� �������������� ������ s � �������� ���������� �������� s” �� �2.
<� ��������� ���� ��� ���������� ���������#� ��������� ��� �� ��� �������, ������ ��� ���� ���������#� ��������� ���� �������.
�� ����� 3.1 � �������� ������� AB ��� � ������� �� ��������� �2. 9�������� A”B” � ����� �����, ������ ��������� BA � ������ �������� �� ��������� AB. 9� ������������
BBAA ������ ���� ��������� BA � ������� �� ��������� AB � ��� ������� ������ �� ���. �� ������ ����� � ������� ��������� CDE �� � ������� �� ��������� �2. &����������
EDC � ���� �������� �� ����������� CDE. ����'� ���� ������ ������ �� ������ �� �������� �� ����������� CDE, �����������
EDC � ������ �� CDE. %����� ���:
"��� ������� �� � ������ #���� ���� � �������� �� � ������ �� ������-��� � #���� ������� � �������� �� ���.
�� ����� 3.2 �������� �� ��������� �2 � ��� ������� ������� �� ������� ������:
n4BA � � .n3DC � 9�������� BA � ���� �������� �� ��������� AB, ������ ���������
DC � ���� �������� �� ��������� .DC ����'� ��������� ��� BBAA � ������� �� �������-�� ��� ,DCDC ��� �� ����� �� ��������� �� ���������#� �2 �� ������� �����. &���:
"��� �������
42
:���� 3.3
�������� ������� � ��� �������� � �� ��� �� � ���������, ������� ���-���� ���� ������.
9� ��� ������ ������ ����:
�������� � ������� ������� � ��� �������� � ������� ���� ������.
�� ����� 3.2 �������� � ������� EF ��� � ������� �� ��������� �2 � �������� ����� ����� K ��� �� �2. ����� �������� E �� ������� K � �� ������ �����. �������� �� ������ �������� ,F1 2F � 3F �� ������� ����� ����� F �� ��� ������� ���� �������������� ������ ,s1 2s � 3s �� ��������� �2 ����'��� ��� �1>45o, �2=45o � �3<45o, ���������. ����� �������� �� ��������� EF '� ���� ,FE 1 2FE �� .FE 3 ��� ��� ����������� ������ �����-��� �� ��������� EF ���� �� ���� �����, ������� �� ������� �� ���, �� �������� �� ����� ��� �� ����'��� �������������� ������ �� ��������� �2. $��������� '� ���� ����� �� ���������, ��� �� ��� � ������ �� 45o, '� ���� ������� �� ���������, ��� �� ��� � ������� �� 45o, � ���������� '� ���� ������� �� ��������� ��� �� ��� � ������ �� 45o. %����� ���:
"��� ������� �� �������, ���� � �� ���� �� � ������ �� ��������� ��� �� ���� �� ���, ������� ��� ������ � �� ���������, �� ��������� ���� ������ ��� �� ��#�$� ������������ ���� �� � ������ �2 � ������ , ������� ��� �� �� �� 45�.
�� ����� 3.3 �������� �� ������������ �������� �� ����� & ��� � ��������� �� ��������� �1 � �2 �� .cm2 �������� �� � ������������ �������� 's � "s �� �������-������� ������ s �� ������ ��� ������� & � �� � ������� �� ���� ���� �� ��������� �1 � �2. "�� � ������ ���������� ����� �� �������-������� ������ s �� ��������� �2 '� � �����-�� ������ �������� T �� ������� & �� �����-���� �2 ��� �������-����� ������ .s
�� ������ ����� ������ �� ������� � ������� �� ����� ��� � �� �������� ������, �� ��� � .cm5,1 "�� ��� ����#��� ,A ,B C � K
"��� �������
43
�������� ����� ������� �� �������������� ������ s � �� ������ ������� �������� ����� �� ��������� �2 '� �� ������� ������� ���� �������� ,A ,B C � .E "�� � ������ ������� B �� ������� ,A C � E '� �� ������� ������ �������� ,AB CB � EB �� �������� ,BA BC � BE ��� ����� ������� ������, ���������. ����� �������� �� ���������� ������ ����� �� �� ����� �������.
$������� ������� ABCD �� �������, ���� � �������� ����� ������� OEFG �� ����������� �� ������ ��������.
@������� OA, EB, FC � GD ��(������ �� ������� � ������� �� ��������� �2. �����-�� ���� �������� �� �������, ����� ������� ������ � ����'��� ��� � �� ������ ��������
EO �� ����� 9K, �� � ������� �� ��������� �� ���������#� �2. &���� ������ �������� �� ��� ������ ����� �� ����� �����, ������� �� ������� �� �������� �� �������� �� ���������. ���������� �� ������, �������� ��� �� ������� �� ��������� �2 �� ������ ������ �� ����� 1/2, 2/3 �� 3/4 �� ������� ��������� �������. 9��� ������ �� ������-���� �� ������� q � �� ���������� )��+������ �� �)���&��'�. "�� �� ������� ����� � � ������������ �� ���������#� q, ����� ����-�� e �������� � �������� �� ���������#���
.s ;���� � � q �� ������ !������� �� )����� !���)����'�.
9� ������ 9 �� ��������� ���(��� ��� ���� �� ������� 9K, 9" � 9G. "�� �� �����-���� ���� ������ �������� ��� ����� x, y � z, �� ������ �� ��������, �������� � �������� �� �������, ��� �� ������ ������� � ���������� ����������� ������ 9(x,y,z) �� �� � �������� �������. ����� �������� ,x y � z �� ������� x, y � z �� ������ ��)� �� )����� !���)����, � ������� 9 )���������� !�*���).
���� ����� �� �������� ��� �� ���-����� �� x-������, ������� z-������ �� ���� �������� �� x -������, ������� z -������ � ��� �� ��������� ���� ���, � ���� ����� ��� �� �������� �� y-������ �� ���� �� ���� ��� �� x -������ ��#�$� ���� �, �� ����� q �� ����������� ���� ���.
"��� �������
44
:���� 3.4
:���� 3.5
;� ���� ����� ���� �� �� ������ ���� �������� ���� ��� � ��� ��������� �� �������
�� ��� ��� cm5,1 �� �=30� � 21q � (����� 3.4).
�� ������� ��� �) ������� � ������ �����-��, ����'� �� ��� �� ������ ������� ������ � ������� ����� C��, � �� ������� ��� �) ������� � ������ ��%���, ����'� �� ��� �� ������ ������� ������ � ����� ����� C��. �� ������� ��� �) � ��� �) ������� � ���<��%�, � ��� �� �) �������, � �� �) ��%���. $����#� � ������
1. A�� ����������� ������ ��������? 2. ���� � �������� ������ �� ������ �����-��� �� ������� �������? 3. ����� �� ���������� �� ������ ���������-#�? 4. >����� �� �������� �� ����#� �� ���� �������� �� ��������� �2 �� ����� �� ��� � �� �������� ������. 5. ����� �� �������� ����� C����� �� ������� �� ����� 3.4 �� ���� �� �������� �����.
3.2. ���� #���� �� �� ��� ��� ? �, # ���
>���*� 1. ������ ���� �������� �� ����� "(2;3;3,5) (����� 3.5).
�� ����� ���������� ����������� ���-��� O(x,y,z) ����� ��� ����������� ���� x,y,z ��� �� ������ ������� � ��� ����������� ������� �1=(x,y), �2=(x,z) � �3=(y,z) ��� �� ���� ���� ������ �������. �� ����� 3.5 �������� �� ���������� �� ����� ����������� ���� � ���������� �� ����� " ( ,cm2OAx � cm3'AAx � � cm5,3"AAx � ). ;� �� ������ �� �������� ���� �������� �� ������� " ���� �� �������� ���, ���������� �� ��������#� q � ������� �� ������ �� �� ������� �� �� ����������� ������ �� ������ ��������. ����, �� ������, �=45�, ,2/1q � ������� � ������ � �������.
"�� � ������ ������������� ������� �2 �� ������� �� ���������#�, ����� ������ �������� �� ������ x � z �� ������ ����, � ������ �������� y �� y �� x-������ ����� ��
"��� �������
45
:���� 3.6
:���� 3.7
����'� ��� �=45�. K�������� �� ������ x � y �� ���������� �� ��������� �������, � �����-���� �� ������ y �� ���������� �� ������� �� ����������� �������, ����'� .2/1q � %����� ���: xAO '� ���� ���� ,cm2 ����� ,y||'AAx
'AAx '� ���� ���� ,cm5,1cm32/1 � z||A'A � A'A '� ���� ���� .cm3 &������ 'A � ����
�������� �� ������� �� ������� " �� �����-���� �1, � ������� A � ���� �������� �� ������� ".
>���*� 2. ������ ���� �������� �� ����-����� �� ����#� B(3;1;1), C(5;4;3,5), D(6;2;2,5).
"�� ������������� ���� ����������� BCD �� ���(� �� ������ ����������� ������ �� �� �� ���(��� ������� ", ����� ������������� �� ������ �������� �� �������� �� ������-����� � ���� �� ������������� �� ������ �����-��� �� ������� ". &���������� 'D'C'B � ���� �������� �� ������� �� ����������� �� ��������� �2, � ����������� BCD � �������� ���� �������� (����� 3.6). %����� ���:
"��� ������� �� ���������, �����-�� ����������� �� ���%� ���� ��� �� ���-����� ������ ������� �� �������� ����, � ����� �� ����� �� � �� ������ ������� �� ������ �� ������ ���� �������� �� z-������ � �� ���������� ���������� �� ��� �� �. !��� �� ������ ������ ������� �� �� ����� �� ��-���������, ������� �������������.
�� ������� ������ '� �������� ���� ���� ��������� �� �� ������� ��������� ���-�����.
>���*� 2. ������ ���� �������� �� ���-���� ���������� ABCDEF �� ������ ����
cm5,1 � �������� �=30� � .2/1q �
+� ������ ������������ �� ��������� ������� ��� x-������ (A0B0C0D0E0F0). $���� �� x-������ �������� ��������� ����� &1. 9� ���-���� &1 ���������� ��� ��������, ���� ������ �� x-������ � ���� �������� �� ��� �=30� �� x-������. �� ������ �������� ������-���� ��������� �������� ������, � �� ���-������ �������� ��� �������� ������, ����'� 2/1q � (����� 3.7). &��� �� ��������
"��� �������
46
:���� 3.8
������� T � &0 ��� ������ �� ������� &1 �� ����#� �� !���@���� ������%��) .TTT 10
$�������, �� ����#��� �� ������������ A0B0C0D0E0F0 ���������� ����� ������� �� &0&1 � �� �������� ������� A1, B1, C1, D1, E1 � F1 . 9� ������� A1, B1, C1, D1, E1 � F1 ������-���� �������� ������� �� .TT1 9� ������� A0 , B0 , C0 , D0 , E0 � F0 ���������� �������� ������� �� .TT0 �� �������� �� ����� ��� ��������� �������� �������� �� A1 � A0, B1 � B0, C1 � C0, D1 � D0, E1 � E0, F1 � F0, �� �������� ������� ,A ,B ,C ,D E � ,F �� ��� ��� ��������#� � �������� ������ ��������
FEDCBA �� ������������ ABCDEF.
>���*� 3. ������ ���� �������� ���� �� ������ r � �������� �=45� � .2/1q �
+� ������ ������ �� ��������� ������� ��� x-������ (����� 3.8). $���� ������ ������-���� �� ������ ��������� ��������� .TTT 10
����'� ��������� �� ������ ���� ��������� �����, �� �� � ��������� �������� ���� �������� ����� �� �������� �������� ��� �� ����� �� ���������� (��������� �� ������) � �� �� ������ ������� ���� �������� ��� �������� '� �� ������� �� ���� ����� ����. ��� ����'� ����� ����������� ���� ���������� '� � ��������� ������ �������� �� ������.
+� ���������� ���������� "0B0, �� � ������� �� x-������ � �� ���������� �� ��������� ��� ������� �����, �� ������, ������ ������� �����. $���� ��� ������� ����� "0 � B0, ���� � ��� ����� ������� ������ ����� ���������� ������ �� ���������� "0B0. &�� � ����� ���������� �� ������� C0, D0, E0, F0, G0 � H0, � x-������ �� ������� "1, C1=91=D1, E1=F1, G1=H1 � B1.
$��������#��� �� ��������� ����� "0, B0, C0, D0, E0, F0, G0 � H0 �� ���������� �� �����-���� �2 �� ���������� ���� ���, ��� ������� "1, C1=91=D1, E1=F1, G1=H1 � B1 ���������� ���-����� ������� �� ,TT1 � ��� ������� "0, B0, C0, D0, E0, F0, G0 � H0 ���������� �������� ������� �� .TT0 �� �������� �� ����� ��� �� ��� ��������� �������� �� ����� ���������
"��� �������
47
:���� 3.9
:���� 3.10
:���� 3.11
�������� �� �������� ������� ,A ,B ,C ,D E , ,F G � H �� ��� ��� ������������ ������-
��#� � �������� ������ �������� �� ����-������, ������� ������. <� ��������� ���� ��������� �������� �� ���������� � �������-�� ����� ��� �� ���� �%�!��. $����#� � ������ 1. ������ ���� �������� �� ���������� ����-����� ABC �� ������ ���� cm2 � �������� �=45� � .2/1q �
2. ������ ���� �������� �� ������� ABCD �� ������ ���� cm3 � �������� �=30� � .4/3q �
3. ������ �� ������ 1:10 �� �=45� � 3/2q � ���� �������� �� !���������� ������ �� �������� ���� �������� �� ����� 3.9 �� ������ 1:15.
4. ������ �� ������ 1:20 �� �=45� � 2/1q � ���� �������� �� �� �� �������� ������ �������� �� ����� 3.10 �� ������ 1:40.
3.3. ���� #���� �� �� ����� �� ��� # ���
>���*� 1. ������ ���� �������� �� ����� �� ��� ��� cm2 � �������� �=45� � .2/1q �
���� ������� �� ������ ������ ��� �� ��������� �1 ���� ����������� ������� �2, ���� ��� ��� ������ ����� C����� �� ������� �� ��������� �2 � �� �� ��������� ��������� �� ���.
*� ������ ������ ������ �� �������, ������� ��������� A0B0C0D0, ��� x-������ �� ��������� ������� � �� ���� ��� ������� �� x-������. $���� � ������ ������ �������� �� ��������� A0B0C0D0 �� ��������� �2, ������ ���� �� ����� ����!���� ������� ������ (�� ������������� ������� �� ������� ������-��� TTT 10 ). &��� �� �������� ������������
,DCBA �� � ���� �������� �� ������ ������ �� �������, ������� �� ��������� A0B0C0D0 (����� 3.11).
"��� �������
48
:���� 3.12
������� ������ �� ������� �� ������� �� ��������� �2, �� ��� '� �� ����������� �� ������� ������� �� ������ ������� �� ���. ;� �� �� �������� ������� �������� ������ � �� ������� ,A ,B C � D �� ��������� ������ �� ��������� �2 � �� ��� �� �������� ������ �� cm2 (���� ��� �� ���� ������� ������ �� �������). <�������� ����� ,E ,F G � H �� ���� �������� �� ����#��� �� ������� ������ �� �������. %� ����� ��������#� �������� ���� �������� �� ������� ������ �� �������, � �� ��� � �������� ������� �� ���� ��������. &��� ���������� ���� �������� �� ������� �� ������� ����� �������� ���� ���� ��� � ���u������� ������ � �������. �� �� ���� ��� C������� �� ������� �� ����������, ��(� �������� ������ '� ��� � ����� ��� �� �� ������. &�� �� �������� ,DA CD � ,DH � ��� �� ������ �� ����������� ����, � ���������� - �������� ������ ���� �� �����������. >���*� 2. ������ ���� �������� �� ����� ������� ����������� �������� �� ������� ��� ��� cm2 � ����� ��� ��� ,cm4 ��� �������� �=30� � .2/1q �
$�� x-������ � ������������ �������� �� ���������� – ��������� A0B0C0D0 �� ������ ���� .cm2 �� ���� �� ���(��� �������� 90 �� ��������� �������� ���� ��������� ���� �������� ����� �� ���������� �� ���������. $���� � ������������ ������ �������� �� ��������� ������ �� ���������� �� �������� ������ (����� 3.12). ����'� �������� �� ���������� �� � ������, ��� � ����������� �������������. �������� �� ���������� � ������� �� �������� (���������), �� ������ ���, ��� � ���-���� � �� ���������� �� ���������. &�� ���-�� ���� �������� �� ���������� � ���������� �� ���������� �� ��������� �� ������, � ���-���� ��� � !��������� �� ���������� ������-���. %� ����������� �� ������������ ������-��� ��� ���������� �� ���������� �� ����-����� � �������� �������� ������ �� ������-���� O0S.
%��� �� ������� O ����������� ������ �� ��������� SO ��� x-������, ��� �� ������ � ������� �� ������� O0S �� ����������, ��
"��� �������
49
:���� 3.13
���� � ����������� ������ �������� �� S �� ����� �� ����������. �� �����, ���������'� �� ����� �� ���������� S �� ����#��� ,A ,B C � D � �������� �������� ���� �������� �� ����������.
�������� ������ �� �������� ,DC DA � .SD
>���*� 3. ������ ���� �������� �� ���� ������� �� ������ �� �������� cm5,1r � � ������ ,cm3h � ��� �������� �=30� � .2/1q �
;��������� ���� ��������� ��� �� ������ ���� ������ �� ��������� �1. �� �� ���� � ���� ���� �������� � ���� ���������-�� �� ��������� '� ����� ������� �� ��������� �2, �� '� �� ����������� �� ��� �� ��������� ������� (����� 3.13).
$��� '� � �������� ������ �������� �� ���o���� �� ���������, ��� ��� ����������� ����. $���� �� ����� ����� �� ��������� �� ������ �������� �� ��������� �� �������� (����������) �� ���������, ��� ��� � �����, ����������� ������ �� x-������, ��� �� ������ �� ������� �� �������������, ������� �������� �� ���������. +������ ����� ����� �� ��� �������, ���� '� �� ������� ��������-���� ���� �� �����, � ������ ������ �������� �� ������� ������ �� ���������.
9� ���� ��������� ����������� �������-���� ���� ��� – ���� ��� ���� �� ���������. �� ����� � ����������� ���������. $���-��� � ������ � �������, �� ����� ������� ��� ������� ������ � ������ �����, � �� �����-�� ��� ������ ������ ����� � ���� �������� �� ��(� ���������� �����������. $����#� � ������ 1. ����� �� ������ ,cm5 ������ cm3 � ������ cm2 � �������� �� ��������� �1, ���� ��� ��� ������ ������� ������ �� ������� �� x-������, � ��������� � �������� �� ��� �� .cm5,1 ������ ���� �������� �� �������� ��� �������� �) �=30� � ;2/1q � �) �=60� � .3/1q �
"��� �������
50
:���� 3.14
2. ������ ���� �������� �� ����� ������� ��������� ������ �� ������� ��� ��� cm5,3 � ������ cm5,4 ��� �������� �) �=45� � ;2/1q � �) �=30� � .4/3q �
3. ������ ���� �������� �� ������� �����-���� �� ������� ��� ��� cm4 ��� �������� �) �=30� � ;2/1q � �) �=45� � .3/2q �
4. ������ ���� �������� �� ����� �� ��������: �) ,cm2r � ;cm5h � �) ,cm3s � ;cm5,4h � ��� �������� �=45� � .2/1q �
5. ������ �� ������ 1:10 ���� �������� �� ������� �����, ��� �������� ������ �� ������������� ������ O(x,y,z) � ���� �� ����� 3.14 �� ������ 1:15, ��� �������� �=45� �
.2/1q �
&������� ����� 4. ��� �
�� ���� �������� ����� �������� ���� � �� ����� �� �� �������� ������������
�� ���������
� �� �� ������� ������� �� ���������
� ��������� �� �������� ���� ��
������� �� �������� ������
� ��������� �� �������� ���� ��
����������� ���� � ��� ��� ���� ��
�������� �� �������������� �������
� �� ����� �������� �� �����, ����� �
����������� ����
� �� �� ����� �� �������� ������������
�������
� �� ����� �������� �� �����, ����� �
����������� ���� ��� ��� ��
�������������� �������
� �� ����� ������ �� ����� ���
�������������� �������
� �� ����� �� ���� ����������� ��� ���
�� �������� ���� �� ��������������
�������
&� ����
52
������ ��� �� 4. ��� � 4.1. ���� �� ������� 4.2. ���������� �� ������� 4.3. ������ !���%�%�� �� !���)���)��� ������� 4.4. ���������)� +��&�� �� ������� !���%�%�� �� !���)���)��� ������� 4.5. ������ �����%�� �� !���)���)��� ������� 4.6. �*)� � !���� �� !���)����*)� ������� 4.7. #��(�� �� !���� ��< !���)����*)� ������� 4.8. ��(��&��'� �� !���)����*)� ������� 4.9. ���������)� +��&�� )�� %�"�� �� !��)����*)� ������� 4.10. ���������)� ��%� )�� %�"�� �� �������� �� !���)����*)� �������
&� ����
53
:���� 4.1
:���� 4.2
4. ��� �
4.1. �� �� ��� ��
9� ��������� �� � ������� ���� ���� ������� � ��������� �� ��� ����� ��� �� �����. %� �������� ��������� ��������� �� � ��������� �� ��� ������ ����� ��� �� ����� ��� �� �� �������� ������. &�� �� ����� ����� �� ��� ��������� �� ���� ������������ ������� �1 � �2 (����� 4.1). &�� ����� �� ���������� ����� �� ��������� � ���������� �� ���������� �� ��� ����� �� ��������� ������ ��� �������� �� ������� ����� �� ��� � �������� ���������. �� ��� ����� 1e � !��� �����, � 2e � ����� ����� �� ��������� K, ������ 1d � !��� �����, � 2d � ����� ����� �� ��������� �. &������ �� ��������� �� ����� �� ����� ��� ��� �� x-������, ����'� ��� � ���������� ����� �� x-������ �� ���������. &��� ������� �� ��������� K �� ����� �� ������� ,Ex ������� �� ��������� � �� ����� �� ������� .Dx &�� ����� �� ���������� �� ����� ����� �� ��������� ������ ��� �������� �� ������� ����� �� ��� � �������� ���������.
���������� �� ���� �� ���� ���� ��� ��� �� �� ������ ����� �� � ���� ��������� �1, ���� � ���� �� ������� ����� �� � ��� ��������� �2.
����'� ������ ����� �� ��������� � �� �1, ��� �� �����(� �� ����� �����, � �������� ����� � �� x-������. &��� 'ee 11 � � ,'dd 11 � ������ "e1 � "d1 �� �� x-������. ������� ����� �� ��������� � �� �2, �� ��� �� �����(� �� ����� �����, � �������� ����� � �� x-������. &��� "ee 22 � � ,'dd 22 � ������ 'e2 � 'd2 �� �� x-������.
@������� K � � �� ���������� ��������� �� ���������� �� ������ ����� (����� 4.2). "�� � �������� ��������� �1 �� ������� ���� x-������ �� ��������� ������, ����� �� �����-�� 1e � ,e2 ������� 1d � 2d ���������� �� ��������� ��������� K � �. %���� ����� �� ������ �����, �� ������, ������� " ��� ����� �� ������ �����, � ����� �� x-������, ������ ����� ����� �� ������� �����, �� ������, ������� B ��� ����� �� ������ �����, � ����� �� x-������.
&� ����
54
@�������� K � � �� �� �!@�� !�%�"(�, �� ����� ��� �� ���������� �� ��� ��� ������� �� ��������� K �� �� ����� ������ �� ������� ,Ex ������ ������� �� ��������� � �� �� ������� ������ �� ������� .Dx ;� ��������� K ����� ���� ��� )����������� �����, ������ �� ���-������ � ����� ���� ��� ����������� �����. <� ��������� ���� ����� ��� �� ����'��� ������� 1e � 2e �� ��������� K � ���� �� 90�, ������ ����� � ��� �� ����'��� ������� 1d �
2d �� ��������� � � ������ �� 90�. ;����:
&� ���� ��� ��� ���� ��#�$��� ���� �� �� �� 90� � � ����������� ����, � � ���� ��� ��� ���� ��#�$��� ���� ������ �� 90� � � ���������� ����.
<� ��������� ���� ��� ��������� ��� ������������ �����, ����� ���� � ������ �� �������� �� ���������#� �� �1 �� �2, � ����-�� �������� ����� ������. "�� ��������� ��� ����������� ����� ����� ���� � ������ �� �������� �� ���������#� �� �1 � ������ �������� ����� ������, � ���� ������ �� �������� �� ���������#� �� �2 � ������ �������� ���� ������.
�� ������, �� ���������� �� ������� '� ������� ���� ������ �� ������ � ������� �����, � '� �� ��������� �������� �� ������� � ������� �� ������ � ������� �����.
$����#� � ������
1. A�� �� ����� �� �������? 2. �) �� ����� �� ������� �� ���������� ������������, � ��� �����������? �) ���� ��� ����'��� �������������� �����, � ����� �������������? 3. >������� ���� �� ��� ���������� ������� �� ������ � ���� ���� ������� ���������� ����� �� ������, �� ������ ������ ������ �� ���� ���, � �� ������� ������ ������ �� ������ ���. $���� �� ������ ������ �� ���� ������� �� ���������. $����� �� ������� �� ��������� � ������� � ����� �� �������� �� ����� ��� � �����, ���� �� �������� �� ���������#� �� �1, � ����� �� �������� �� ���������#� �� �2, ��� ��������� ���: �) ������������ �����; �) ����������� �����.
&� ����
55
:���� 4.3
:���� 4.4
:���� 4.5
4.2. ���� �� �� ��� ��
���� ��� ���������#��� �� ��������� K �������� ����� ���������� ������� �3. $��-������� ����� 3e �� ��������� K �� ������� ���������� ������� �3 �� �������� ����� ����� �� ��������� K (����� 4.3).
"�� �� ������ ������ � ������� ����� �� ��������� K � ������� ,Ex yE � zE ��� �� �������� ����� �� ������������� ���� x, y � z �� ��������� K, ����� ������� ����� �� ������ �� ��������#� �� ������� yE � .Ez
"�� �� ��������� �2 �� ��������� ���-������ �1 � �3 �� �������� ������������ �������� �� ������� ,e1 2e � 3e (����� 4.4).
���� 'x, Ey � Ez �� ��������� ����� �� ������������ ���� x, y � z �� � ������ '. (����� ����� �� �������-�� �� ��������� �'x, OEy � OEz �� �����-���� ��������� �� � ������ '.
����������� �� ������� ���������� �� ���������� �� ����� ����� �� ������� ������. @�������� K �� ����� 4.4 ��� ����������:
cm5,2�� cm8,1�� � .cm2�� �� �� ���� �������� K(2,5;1,8;2). >���*� 1. ������ �� ������� �� �������-
�� �(2;2,5;-1,5) � �(-1,5;-1;-2).
<� �� ��������� ������� xD ( cm2ODx � ) � yD ( cm5,2ODy � ) (����� 4.5). ����'� z ������������ �� ��������� � � ����������� � � ������� �� -1,5, ������� zD '� �� ���(� �� ����������� �� �� z-������, ��� ������� O, ������� .cm5,1ODz �� $������ yx1 DDd � � ������ ����� �� ��������� �, ������ �������
zx2 DDd � � �������� ����� �����. %� ���� ���� �� ������ ��� �� �� ������ ����� �� � ��� x-������ � ���� �� ������� ����� �� � ��� x-������, ������ ������� ����� �� ������� �� ������ �� ����������� ���� �� �������� �� �� ������.
&���� ���������� �� ��������� � �� ���������, �� ������� xS '� ���� ��� �� ������������� ������� 9, ������� yS '� ���� ��� 9, � ������� zS ��� 9. �������� ����
&� ����
56
:���� 4.6
:���� 4.7
:���� 4.8
����� � ������� ,SSs yx1 � � ������� ����� � ������� .SSs zx2 �
$����#� � ������
1. A�� ����������� ������� ����� �� ���� ���-����? 2. �� � ������������� ������#� �� ������-������ �� ���� �������? 3. ������ �� ����� ����� �� ���������: a) �(3;2;4); �) �(3;7;5). 4. ������ �� ������ � ������� ����� �� �����-����: a) �(3;-2;-3); �) �(-3,5;-4;2).
4.3. ��� � #������ �� #���� �� � ��� �
������ !���%�%�� �� �1 $��� ���� �� ��� ���������� ������� ��
������ ����������� ���������� ����� �� ������, ������� �� ��������� �1. "�� �����-�� �� ������ �� �������� ���� ������� �� ���������, ����������� ���� ��� ��� ���� ����� � ����� �����. &�� �� ���� x-������ � y-������ �� ������������. �������� ����� ����� � ������� �� x-������ � ������� ����� � ����-��� �� y-������ (����� 4.6).
&� ���� ���� � �������� �� �1 � � ���� ���� �������� �� x-������, � ���� ���� �������� �� y-������.
�� ����� 4.7 �������� �� ������� �� ���-������ )7,1;;( ��� ��� � ������� �� �����-���� �1.
������ !���%�%�� �� �2 $�������, ���� ���� �� ��� ����������
������� �� ������ ����������� ���������� ����� �� ������, �� ���� ������� �� �����-���� �2. "�� ������� �� ������ �� �������� ���� ������� �� ���������, ����������� ���� ��� ��� ���� ���� � ����� �����. &�� �� ���� x-������ � z-������ �� ������������. �������� ���� ����� � ������� �� x-������ � ������� ����� � ������� �� z-������ (����� 4.8).
&� ����
57
:���� 4.9
:���� 4.10
:���� 4.11
&� ���� ���� � �������� �� �2 � � ��� ���� �������� �� x-������, � ���� ���� �������� �� z-������.
�� ����� 4.9 �������� �� ������� �� ���-������ );5,1;( ��� ��� � ������� �� �����-���� �2.
������ !���%�%�� �� �3 $��� ���� �� ��� ���������� ������� ��
������ ����������� ���������� ����� �� ������, ������� �� ��������� �3. "�� �����-�� �� ������ �� �������� ���� ������� �� ���������, ����������� ���� ��� ��� ���� ���� � ����� �����. &�� �� ���� y-������ � z-������ �� ������������. �������� ���� ����� � ������� �� y-������ � ������� ����� � ����-��� �� z-������ (����� 4.10).
&� ���� ���� � �������� �� �3 � � ��� ���� �������� �� y-������, � ���� ���� �������� �� z-������.
�� ����� 4.11 �������� �� ������� �� ���-������ );;2( ��� ��� � ������� �� �����-���� �3.
$����#� � ������
1. ������ �� ������� �� ������� �������: a) );;;5,2(M �� �) ).;;4(N �� ���� � �������� �� ��������� �� ����� �� ������������ �������?
2. ������ �� ������� �� ������� �������: a) );;3;(T �� �) ).;4;( ��� ���� � �������� �� ��������� �� ����� �� ������������ �������?
3. ������ �� ������� �� ������� �������: a) );6;;(L �� �) ).5,3,;( ��� ���� � �������� �� ��������� �� ����� �� ������������ �������?
4.4. ����� �� ? �, �� ��� � #������ �� #���� �� � ��� �
�� ��� ������ '� ����������� ������-���� �������� �� ����������� ������ ��� �-��� �� ������� ������� �� ������������ �������.
&� ����
58
:���� 4.12
:���� 4.13
:���� 4.14
"�� ������ ����� " ��� �� ������� K ������� �� �1, ����� �������� ����� �����-��� "” '� ��� �� ������� ����� 2e �� �����-����, ������ �������� ����� �������� A’’’ '� ��� �� ������� ����� 3e �� ��������� (����� 4.12).
"�� ������ ����� " ��� �� ������� K ������� �� �2, ����� �������� ���� �����-��� "’ '� ��� �� ������ ����� 1e �� �����-����, ������ �������� ����� �������� A’’’ '� ��� �� ������� ����� 3e �� ���������.
>���*� 1. ������ �� ����� �������� �� ������� B(x;1,5;2,5) ��� ��� ��� �� ���������
).;;3(E ��
&������ B ��� �� ��������� K ��� � ������� �� �3, �� �������� ���� �������� B’ '� ��� �� ������ ����� 1e �� ���������, ������ �������� ����� �������� B’’ '� ��� �� ������� ����� 2e �� ���������. %����� ���, ������ ���������� 3x � (����� 4.13)
"�� ������ ����� p ��� �� ������� � ������� �� �1, ����� �������� ����� �����-��� p” '� ��� �� ������� ����� 2s �� �����-����, ������ �������� ����� �������� p’’’ '� ��� �� ������� ����� 3s �� ���������.
>���*� 2. ������ �� ����� �������� �� ������� p=AB[A(2;y;1),B(3;y;1,5)] ��� ��� ��� �� ������� ).;3;( ���
$������ p ��� �� ������� � ��� ��� � ������� �� �2, �� �������� ���� �������� p’ '� ��� �� ������ ����� 1s �� ���������, ������ �������� ����� �������� p’’’ '� ��� �� ������� ����� 3s �� ��������� (����� 4.14). %����� ���, ������� ���������� �� ������� " � B e 3y � (����� 4.14).
"�� ������ ����� p ��� �� ������� � ������� �� �3, ����� �������� ���� �����-��� p’ '� ��� �� ������ ����� 1s �� �����-����, ������ �������� ����� �������� p’’ '� ��� �� ������� ����� 2s �� ���������.
>���*� 3. ������ �� ����� �������� �� ��������� AB[A(0,5;1,5;z),B(2,5;0,5;z)] ��� ��� ��� �� ������� ).5,1;;(T ��
&� ����
59
:���� 4.15
:���� 4.16
:���� 4.17
9�������� AB ��� �� ������� T ��� ��� � ������� �� �1, �� �������� ����� �����-��� A”B” '� ��� �� ������� ����� 2t �� �����-����, ������ �������� ����� �������� A’’’B’’’ '� ��� �� ������� ����� 3t �� ��������� (����� 4.15). %����� ���, ������� ���������� �� ������� " � B e .5,1z � �� ���� �������� ��������� AB �� ��������� �� ��������� �������, ������� �� ������� A’B’ �� ������ ������� �� AB.
>���*� 4. ������ �� ����� �������� �� ����������� ABC, �� ��� �� ���������
),;5,1;(T �� ��� A(1;y;1), B(2;y;0,5) � C(3;y;2).
&���������� ABC ��� �� ������� T ��� ��� � ������� �� �2, �� �������� ���� �������� A’B’ '� ��� �� ������ ����� 1t �� ���������, ������ �������� ����� �������� A’’’B’’’ '� ��� �� ������� ����� 3t �� �����-���� (����� 4.16). %����� ���, ������� ������-���� �� ������� ", B � C e .5,1y � �� ����� �������� ����������� ABC �� ��������� �� ��������� �������.
>���*� 5. ������ �� ����� �������� �� ���� �� ������ �� ������� S(x;1,5;2,5) � ������ r=1 �� ��� �� ��������� ).;;5,1(T ��
����� ��� �� ������� T ��� ��� � ������� �� �3, �� �������� ���� �������� '� ��� �� ������ ����� 1t �� ���������, ������ �������� ����� �������� '� ��� �� ������� ����� 2t �� ��������� (����� 4.17). %����� ���, ������ ���������� �� �������� S e .5,1x � �� ����� �������� ������ �� ��������� �� ��������� �������. ����� �� ������������ �������� �� ���������� AB � CD.
$����#� � ������
1. >������� ���� �� ��� ���������� ������� �� ������ � ���� ���� ������� ���������� ����� �� ������, ������� �� ���������
�) �1; �) �2; �) �3. $������ ������ ������ �� ���� ������� �� ���������. ��� ��������� ������� ����� �� ������ �� �o��� �� ����������. $����� �� ����� �������� �� ������������.
&� ����
60
:���� 4.18
:���� 4.19
:���� 4.20
2. ������ �� ����� �������� �� ������� p=[)(4;2;z),N(7;5;z) ��� ��� ��� �� �������
).3;;( ���
3. ������ �� ����� �������� �� ����������� ABC, �� ��� �� ��������� ),;;4(T �� ��� A(x;0,5;1), B(x;4;3,5) � C(x;2;2). 4. ������ �� ����� �������� �� ������������� ABCD, �� ��� �� ��������� ),;5,2;(T �� ��� A(1;y;1), B(3;y;1) � C(3;y;7).
4.5. ��� � ������ �� #���� �� � ��� �
@������ ��� ��� �� ������� �� �����-������� ������� �� ���������� !���)����*)� �������.
������ �����%�� �� �1 $��� ���� �� ��� ���������� ������� ��
������ ����������� ���������� ����� �� ���-���, ������� �� ��������� �1. "�� ������� �� ������ �� �������� ���� ������� �� ������-���, ����������� ���� ��� � ���� z-������ �� ������������, ������� ������� � ������� ����� �� ������� �� z-������ (����� 4.18).
@������ ��� ��� � ������� �� �1 �� �������� !���!���)����*)� �������.
������������� � ���� � � ���� � ���� ���� �������� �� z-������.
�� ����� 4.19 �������� �� ������� �� ���������������� ��������� );5,1;5,2( �� .
������ �����%�� �� �2 $��� ���� �� ��� ���������� ������� ��
������ ����������� ���������� ����� �� ������, ������� �� ��������� �2. "�� �����-�� �� ������ �� �� �������� �� ���� ������� �� ���������, ����������� ���� ��� � ���� y-������ �� ������������, ������� ������ � ������� ����� �� ������� �� y-������ (����� 4.20).
@������ ��� ��� � ������� �� �2 �� �������� �����!���)����*)� �������.
�������������� � ���� � � ��� � ���� ���� �������� �� y-������.
&� ����
61
:���� 4.21
:���� 4.22
:���� 4.23
�� ����� 4.21 �������� �� ������� �� ����������������� ��������� )5;1;;2( �� .
������ �����%�� �� �3 $��� ���� �� ��� ���������� ������� ��
������ ����������� ���������� ����� �� ���-���, ������� �� ��������� �3. "�� ������� �� ������ �� �������� ���� ������� �� ����-�����, ����������� ���� ��� � ���� x-������ �� ������������, ������� ������ � ������� ����� �� ������� �� x-������ (����� 4.22).
@������ ��� ��� � ������� �� �3 �� �������� �����!���)����*)� �������.
!������������� � ���� � � ��� � ���� ���� �������� �� x-������.
�� ����� 4.23 �������� �� ������� �� ����������������� ��������� )2;1,(T � .
$����#� � ������ 1. ������ �� ������� �� ������� �������: a) );;7;5,2(M � �) ).;3;5,3(N � ���� � �������� �� ��������� �� ����� �� ������������ �������?
2. ������ �� ������� �� ������� �������: a) );2;3;(T � �) ).5,5;3;(�� ���� � �������� �� ��������� �� ����� �� ������������ �������?
3. ������ �� ������� �� ������� �������: a) );6;;3(L � �) ).5,3;;2( �� ���� � �������� �� ��������� �� ����� �� ������������ �������?
4.6. �:�� #��� �� #��� �:�A ��� �A
�� ��� ������ '� ����������� ������-���� �������� �� ����� � �����, �� ���� ���� ��� ���� �� ������������ �������.
"�� ������ ����� " ��� �� �����������-����� ������� K, ����� �������� ���� �����-��� "’ '� ��� �� ������ ����� 1e �� �����-����.
���� � ���������, ��� ������ �������� A’ �� ������ ����� " ��� �� ������ ����� 1e ��
&� ����
62
:���� 4.24
:���� 4.25
:���� 2.26
������������������ ������� K, ����� ������� " ��� �� ��������� K (����� 4.24).
$� ���������#��� �� ������������ ���-���� �� �������� ����� 4.25.
&������ B ��� �� ����������������� ��������� K, �� �������� ����� �������� B” '� ��� �� ������� ����� 2e �� ��������� K (����� 4.26). ���� � ���������, ��� ������� B’’ �� ������ ����� B ��� �� ������� �����
2e �� ������������������� ������� K, ����� ������� B ��� �� ��������� K.
"�� ������ ����� C ��� �� ������� K ������� �� �3, ����� �������� ����� �����-��� C’’’ '� ��� �� ������� ����� 3e �� �����-����. ���� � ���������, ��� ������� �������� C’’’ �� ������ ����� C ��� �� ������� �����
3e �� ������������������� ������� K, ����� ������� C ��� �� ��������� K.
"�� ������ ����� p ��� �� ������� � ������� �� �1, ����� �������� ���� �����-��� p’ '� ��� �� ������ ����� 1s �� �����-���� (����� 4.27).
$�����, ������� p �� ���� ���� ����� ��� ���� �� ��������� � �� �� ������� �� ���. %����� ���, ��� �� ���� ����� ����� 1s � 2s �� ��������� �. $��������� ����� �� �������� ���������� ����� 1P � 2P �� ������� p �� ���-��������� ������� �1 � �2, ���������.
���� � ���������, ��� ������ �������� p’ �� ������ ����� p ��� �� ������ ����� 1e �� ������������������ ������� �, ����� ������� p ��� �� ��������� �. $� ���������#��� �� ������������ ���-���� �� �������� ����� 4.28.
>���*� 1. ������ �� ����� �������� �� ������� p=AB[A(2;1;z),B(3;1,5;z)] ��� ��� ��� �� ��������� ).2;;5,4( ��
<����� ����� p ��� �� ������� � ���-���� �� �2, �� �������� ����� �������� p” '� ��� �� ������� ����� 2s �� ���������. &�� �� ���������� �� �� ��������� ����������� ���������� �� ������� " � B, �� ��� � ������� p” �� ������� p.
&������ p’ � �������� �� �������� A’ � B’ �� ������� A � B.
&� ����
63
:���� 4.27
:���� 4.28
:���� 4.29
"�� ������ ����� p ��� �� ������� � ������� �� �3, ����� �������� ����� �����-��� p’’’ '� ��� �� ������� ����� 3s �� �����-����.
���� � ���������, ��� ������� �������� p’’’ �� ������ ����� p ��� �� ������� ����� 3s �� ������������������� ������� �, ����� ���-���� p ��� �� ��������� �.
$����#� � ������
1. ������ �� ����� �������� �� ������� A(2;3;z) ��� ��� ��� �� ��������� ).4;;5(E �
2. ������ �� ����� �������� �� ������� B(3;y;3) ��� ��� ��� �� ��������� ).6;5;(E �
3. ������ �� ����� �������� �� ������� a=AB[A(1;1;z),B(4;3;z)] ��� ��� ��� �� �����-���� ).4;;6( ��
4. ������ �� ����� �������� �� ������� m=MN[M(2;y;1),N(6;y;4)] ��� ��� ��� �� ��������� ).5;4;(��
5. &���������� ABC[A(1;y;1),B(3;y;4),C(5;y;2)] ��� �� ��������� ).;4;7( �� ������ �� ����-���� ���������� ��������.
4.7. #�-�� �� #��� � > #��� �:�A ��� �A
�� ��� ������ '� �� ����������� ����-���� �� ������ �� ����� ��� ������������ �������.
#��(�� �� !���� ��< !���!���)����*)� �������
�� ����� 4.29 ��������� � �����������-����� ������� P �� ����� 1r � ,r2 ���� � ����� � �� ������ ���������� �������� a’ � a”. $����-��� " � ����������� ����� �� ��������� @ � ������� �. ����'� ������� �� ���� ����� �� ��������� @ �� ���(��� �� �������� ���� �����
,r1 ������� "’ �� �������� " '� ��� �� .r1 9� ����� ������, ������� " ��� � �� ������� �, �� �������� ����� "’ ���� �� ���� �� �������� �� ������� 1r � �’. ��� ������ �� ���� �������� �� ����� 4.30 �� ��������� ������������ �������� �� �������� �� �����������������
&� ����
64
:���� 4.30
:���� 4.31
:���� 4.32
������� @ � ������� �. &������ �� �������� "’ � �������� �� ������� 1r � �’, � ������� "” � �������� �� ������� �” �� ��������� ����-���� �� ������� "’.
��� �� ������ ��������� @ � ������� � ������, � ������ ����� ����� ����'� �����-���� @ �� ��������� ���� ������� ,r1 �� ����� �� ����� 4.30 ������� �� ������� � � ������� �� ���� ����. "�� ���, ��������� @ � ������� � �� ������ ��������, �� �� ������ ��� �� �� ������� �� � ����� �� �������� " ����'� �� ������� ���������, �� ������ ��� ������� �� �� �� �� ������� � ������� �� ����������� ����.
#��(�� �� !���� ��< �����!���)����*)� ������� �� ����� 4.31 ��������� � ������������-
����� ������� � �� ����� 1s � ,s2 ����� � �� ������ ���������� �������� a’ � a”, ���� � ���-����� " �� ������������ �������� "’ � A”. ����'� ������� " ��� �� ��������� �, �������� ����� "” �� ���(� �� ������� �����
.s2 9� ����� ������, ������� " ��� � �� ������� �, �� �������� ����� "” ���� �� ��� �� ������� �” �� ������� �, �� ������ ��� A” �� ���(� �� �������� �� ������� 2s � �”. ��� ������ �� ���� �������� �� ����� 4.32 �� ��������� ������������ �������� �� �����-��� �� ������������������ ������� � � �����-�� �. ������� �� �������� "” � �������� �� ������� 2s � �”, ������� "’ � �������� �� ������� �’ �� ��������� �������� �� ������� "”.
��� �� ������ ��������� � � ������� � ������, �� �� ������ ��� �� �� ������� �� � ��� �� �������� ", �� ����� �� ����� 4.32 ������� �� �� �� �� ������� � ������� �� ����������� ����. "�� ���, ��������� � � ������� � �� ������ �������� � ������ ����� ����� ����'� ��������� � �� �������-�� ���� ������� ,s2 �� ����� ������� �� �����-�� � � ������� �� ���� ����.
#��(�� �� !���� ��< �����!���)����*)� ������� �� ����� 4.33 ��������� �� ������� � ,t1
2t � 3t �� ����������������� ������� &, ����-������ �������� a’, �” � a”’ �� ����� � �
&� ����
65
:���� 4.33
������������ �������� "’, A” � A”’ �� �������� ". ;� ���������#� �� ������� �������� a”’ �� ������� � � ��������� ������� �������� "1”’ �� �������� ��� ������ "1 � ������� �������� B”’ �� ��� ��� ������ ����� B. ����'� �����-�� " ��� �� ��������� T, �����a�� ����� �������� "”’ �� ���(� �� ������� ����� .t3
9� ����� ������, ������� " ��� � �� ������� �, �� �������� ����� �������� "”’ ���� �� ��� �� ����� �������� �”’ �� ������� �, �� ������ ��� A”’ �� ���(� �� �������� �� ������� 3t � �”’. ��� ������ �� ���� �������� ������ �� �� ��������� ������������ �����-��� �� �������� �� ������������������ �����-�� & � ������� �. ������� �� �������� "” � �������� �� ������� �” � ��������� ������-�� �� "”’ ������� �� z-������, � ������� "’ � �������� �� ������� �’ �� ��������� ������-�� �� ������� "” ������� �� x-������.
��� �� ������ ��������� & � ������� � �������� �� ��������, �� �� ������ ��� �� �� ������� �� � ��� �� �������� ", �� ����� �� ����� 4.33 ������� � ������� �� �� �� �� ������� �� ������� �� ����������� ����. "�� ���, �� ������ ��������� & � ������� � �� ������ �� ���������#��� �� �3, � ������ ����� ����� ����'� ��������� & �� �������-�� ���� ������� ,t3 �� ����� ������� �������� �� ������� � � �������� �� ���� ����.
$����#� � ������ 1. >������� ���� �� ��� ���������� ������� �� ������ � ���� ���� ������� ���������� ����� �� ������, ������� �� ���������
�) �1; �) �2; �) �3. $������ ������ ������ �� ���� ������� �� ���������. $������ � ��������� �� ����� ����. $����� � ���������� ����� � ������ � ��������� �� �������. 2. ���� �� �������� �� ������� �=AB[A(1;1;1),B(6;2;3)] �� ��������� T(5;3;�). 3. ���� �� �������� �� ������� m=MN[M(1;2;1),B(5;4;3)] �� ��������� E(5;�;4). 4. ���� �� �������� �� ������� r=PQ[P(1;1;1),Q(5;5;6)] �� ��������� T(�;4;5).
&� ����
66
:���� 4.34
:���� 4.35
:���� 4.36
4.8. ��-�,��$� �� #��� �:� ��� �
;� �� � ������� ����������� ������� ��
�������, ��� �� ��������� ������ ��� ��� �� �������������� �������, ��������� � ����-���� ���� �������� ����� ���� ��� �� �� �������� �� ���� �� ������������ �������.
��(��&��'� �� !���!���)����*)� ������� �� ����� 4.34 � ����� 4.36 ��������� �
���������������� ��������� T. ��� ���� �� � �������� �� �1 �� �� �2, �� ��������� �� ��� ��� '� � �������� ���� ������ �� ������� �����.
�������� '� �������� ���� ��������� & ������ �� � �������� �� �1, ������'� �� 90° ���� ������ ����� t1 (����� 4.34). ����'� ����� ����� t1 � t2, �� ������� ����(� ����, ��� � �� ��������#��� �� ��������� '� ����� ������� ���� �� �����. ;���� �� ������� Tx ���������� ������ �� t1 �� �� � ������� ������� ����� �� ���������� ������ t20. %� ��������#��� �� ��������� &, �� ���������� � ���� ����� ������ ���� �� ���. <� � �������� �� "0 ������� " �� �������� ������. ;�����
0x A'A"AAAA ��� ������� "0 �� ������ �� ��-����� A’ ��� ������� �� t1 � �������� z ������������ �� ������� ", ������� ������-����� "AAx (����� 4.35). %���� �� �������� � ����� ����� ��� ���� �� ��������� & �� �������� ������.
�� ����� 4.36 �������� � ������� ����� �� ��������#� �� ��������� &. @�������� & � �������� (���������� �� ������ ��� �), ���� ������� ����� t2, ��� � ������� �� x-������, �� ������ ��� �� �� �������� �� ������� ���������� ������� �2. $� ��������#���, ���-���� ����� t2 ���������� ������� �� !-������. &������ ", ������'� �� ������ �� ��������� &, ������� ������ �� �� ��� � �� ������� ������� �� �1 � ������� �� �2. :������� �� �������� �� �� ���(� �� t2. $����� �������� l’, �� �������� �� l, '� ���� �� ��������� ���-����, �� ������ 'ATx � ������ �� &�. ������� �������� l”, '� ���� ��������� A”(A), �����-�� �� !-������. ;����, �� &! �� ������ 'ATx ��������� �� �� �������� A’ �� !-������.
&� ����
67
:���� 4.37
:���� 4.38
:���� 4.39
9� (A’) ���������� ������ �� !-������, � �� A” ������� ����� �� !-������. �� ������� ������ � �������� ������� (A) (����� 4.37).
��(��&��'� �� �����!���)����*)� ������� ������������������� ������� �� ������-
���� �� ����� ����� ���� � ��������������-����, �� ��� ������ ��� ������ �� ���������� �� ���������. �� ����� 4.38 ��������� � ��������#��� �� ��������� & �� �2 �� ����-��� ���� ������� ������� t2, � �� ����� 4.39 ��������� � ��������#��� �� ��������� & �� �1 �� ������� ���� ������ ����� t1. ;� �� � �������� ��������� & �� �2, �� &� ������-���� ������ �� t2 � � �������� ������ ����� t10 �� �������� ������. &������ " �� �������� ������ "0 ja �������� ���, �� "” �������� ������ �� t2, � ����� � �������� y ������-������ �� ������� ".
��� � ���������� ��������� & �� �1, ����� ������� ����� t2 �� �����(� �� !-������. &������ " �� �������� ������ (") �� ������ ��� �� ������ xT"A ������� ������ �� �� ������ �� �� &� �� �������� �� !-������. �� �������� �� ������ ������� (A”). 9� "’ ������-���� ������� ����� �� x-������, � �� ("”) ������ �� x-������. �� �������� � �������� ("), ������� ������� " �� �������� ������ (����� 4.39).
��(��&��'� �� �����!��!���)����*)� ������� �� ����� 4.40 ��������� � ������������-
������� ������� &. &������ t1 � t2 , ������� �� �� ������� ���������� ������� �3, �� ������ ��� ������� �� � �� ������� ����� t3. @����-���� & '� � �������� �� �3, ��� � �������� �� 90° ���� ������� ����� t3. &��� ��� '� �� ���-����� �� �������� �3. ����'� ������� t1 � t2 �� ������� �� ������� t3, ��� � �� ��������#��� '� ����� ������� �� t3.
%����� ���, �� &y � &z ������� �� t3 �� ���������� ���������� ������ t10
� t20 , ��
������� t1 � t2 (����� 4.41). }���� l �� ��� �� ������� ������� A ��� ��������� ���� �����-�� t3 �� ������� �������� �� ��������� ���� ������� "”’Ao ������� �� ������� t3. %�������-�� ������ A0 �� ������� A �� ������ ��� ������� �� ������� t3 �� "”’ � �������� x
&� ����
68
:����.4.40
:���� 4.41
:���� 4.42
������������ �� ������� A, ����'� .OAA'"A'"AA x0 �� �� ��� ����� �� ��������
���������� ������ � �� ������� ����� ��� ��� ���� �� ��������� T.
$����#� � ������ 1. >������� ���� �� ��� ���������� ������� �� ������ � ���� ���� ������� ���������� ����� �� ������, ������� �� ��������� �) �1; �) �2; �) �3. $������ ������ ������ �� ���� ������� �� ���������. ;��� ����� �� ���� � ��� ���� ������� ���. >���� ������ � �� �������. ;����� �� ������� ���� ����� �� ���������, � ����� ������ �� ���� ��������� �������� �� ��������#� �� ���������. ���u����� � �������� �� ������� ��� ��������#���. 2. ������ � ���������� ������ �� ������� "(5;y;7) ��� ��� �� ��������� &(8;5;�), �� ��������#� �� ��������� �� �) �1; �) �2. 3. ������ � ���������� ������ �� ������� B(5;7;z) ��� ��� �� ��������� &(6;�;10), �� ��������#� �� ��������� �� �) �1; �) �2.
4.9. ����� �� ? �, �� ��;� �� #��� �:� ��� �
"�� ������ ���� �� ������ ��������
�������� �� ����� ��� ��� �� ������������ �������, ����� ���� ���� �� �������� ���-�������� ������ ��� ���� �� ������������ �������. 9�� '� �� ���������� �� ������ �������.
>���*� 1. ������ � ����������� �����-�� �� ����������� ABC �� ��� ��� �� ��������� &(8;6,�), ��� "(5,5;�;2), B(3,5;�;4), C(2;�;0,5) (����� 4.42).
9����� '� �� �������� ������� �� �����-���� &, �� ���������� ������������ �� ������� ABC. ����'� ��������� & � ��������������-��, ������ �������� A'B'C �� ����������� ABC e �� ������� t1. %����� ���, ������ �������� �� ����������� ABC '� � ������� ��� �� "”, B” � C” �������� ������ �� �������� �� ������ ����� t1.
&� ����
69
:���� 4.43
:���� 4.44
@�������� & '� � �������� �� �1. 9� ������� &x ������� �� t1 � ������ �������� ������ t20 �� ������� ����� t2. $���� �� ������� A’, �� ������ ", ������� �� ������ ����� t1 � ���������� z ������������ �� �����-�� A. &��� � �������� ������� "0, ������� ������� " �� �� �������� ������. >����� '� �� ������� � �� ������� B � C, �� ��� '� �� ������� B0 � C0, ������� ������� B � C �� �������� ������. %� �������#� �� ������� A0, B0 � C0 �� �������� ����������� A0B0 C0, ������� ����������� ABC �� ��������� ���-����.
>���*� 2. &������ "(1;y;1,5) � ���� �� ��������� ABCD �� ��� ��� �� ��������� &(4,5;4,5;�). ������ �� ������������ �������� �� ���������, ��� �������� AB � ���� 3 ������� � � ������� �� �1 (����� 4.43).
9����� '� � �������� ��������� & ������ �� ������� A, �� A0 ������� �� t1 ���������� ������ �� 3 �������, �� ��� � �������� ������� B0. ;����� ���� ��� ����� �� ������� � ������� �� �1, ��� �� �������� ������ '� ���� ������� �� t1. +� ������ ��������� �� ��������� �������, �� �� �������� ������� C0 � D0. 9� ������� B0, C0 � D0 ���������� ������ ��� ������� t1. �� �������� �� ��� �� �������� �������� "’, B’, C’ � D’, ������� ������� �� ��������� ABCD. @�������� �� ������� A0, B0, C0 � D0 �� ������� t1, �������� �� z ������������ �� ��� �����. %� ��������� ��������#� �� z ������������ �� x-������ �� �������� ������� A”B”C”D” �� ���������.
>���*� 3. �� ��������� &(6,5;�;3,5) ��� ����������� ABCD �� ����#� A(1,5;1,5;z), B(5;1,5;z), C(5;4;z) � D(1,5;4;z)]. ������ �� ���-���������� �� ��������� ������� (����� 4.44).
"�� �� ������� "’, B’, C’ � D’ �������� ������ �� x-������ �� �������� �� ������� t2, '� � ������� ������� �������� A”B”C”D” �� �������������. @������� & � ���������� �� �2.
"�� �� �������� A”, B”, C” � D”, ������� �� ������� t2, �� �������� y ������������ �� ������� A, B, C � D, '� � ������� ���������� ������ "0B0C0D0 �� ������������� ABCD, ��� � � ������ ��������� �������.
&� ����
70
:���� 4.45
:���� 4.46
>���*� 4. $������ ��������� �� ������ AB ���� 3 ������� ��� �� ������� &(5;�;5). ������ �� ������������ �������� �� ������-�����, ��� �������� AB � ������� �� ������� t1 � ��������� �� ��� �� 2 ������� (����� 4.45).
@�������� & � �������� ���� ������� t1, ���� �� �� �������� �� ��������� �1. ������� ����� t2 �� �������� ������ '� �� �������� �� x-������. %��� ����� ��� ���� �� ��������� &, ������'� ���� ������� t1, ��������� ������ ��� �� ������ �� ������� t1. 9��� ��� �� ������� �������� �� ����������� �� ��������� �������, ������ �� ������ �������� �� �����-������ �� ������� ������� �� ������� t1. 9����� '� � �������� ���������� ������ (")(B) �� �������� AB, �� ������ ����������� (")(B)(C)(D)(E), ������� ����������� ABCDE �� ��������� �������. ��� �� �������� ��-����� A’B’C’D’E’ � ������� A”B”C”D”E” �� ����-������� '� �������� ����� ������� ", ����'� � ���������� ����� �� �������� �� ��� �����.
%� ������ 2 ������� �� &x ������ ������ �� �� �������� �� ������� t2 � � �������� A”. 9� (") ���������� ������ �� ������� t1, � �� A” ������ �� x-������. �� �������� �� ����� ������ �� ������ A’.
>���*� 5. ������� �� ������ 3 ������� � ������ �� ������� S(3;y;3) ��� �� ��������� T(6;5;�). ������ �� ������������ �������� �� ���������� (����� 4.46).
@�������� & � ���������� �� ��������� �2, ������'� � ���� ������� t2. &���� ������� t1 '� �� �������� �� x-������. $��� � ���(��� ������� (S), � ����� �� �������� ������ ������ ��������, �� ��� � �������� ���������� �� �������� ������. $���� ���������� ��� ������ ������� �������� (")(B) � (C)(D), ���� ��� ���������� (")(B) � ������� �� ������� t2, � ���������� (C)(D) � ������� �� ������� t2. 9��� �������� �� ���'��� ����� �� ���� � ����� �������� �� ����!���� �����-���� ����� � �� �������� ������ �� �������.
K������ � ������ �� ���� �� ��������-����� �� ����� �� �� ���'�#� ����� �� ��-���� ���� ��� �� ����� �� �������.
>���*� 6. ������ �� ������������ ���-����� �� ����������� ABCD �� ��� �� ���-���� T(�;5;6), ��� " (2,5;y;1), �������� "� �
&� ����
71
:���� 4.47
���� 4 ������� � ����'� ��� 30º �� ������� t3, ������ �������� �% � ���� 3 ������� (����� 4.37).
��� ��������� � �����������������, ���� ��� � ������ �� ��������� T, ��������� � ���������� �� �3. 9����� �� � ������� "0, �� �������� ����� �� �������� �� ������ �����-�������� A0B0C0D0 �� �������� ����-��, � ����� �� ���(��� ������ �������� A’B’C’D’ � ������� "”�”%”D” �������� �� �������������, �� ����� ����� ���� ��� � ������� �� ����!������ ������, ���� ��� ����� ������ �� ��������#� �� ����������������� �������.
$����#� � ������ 1. ������ � ����������� ������� �� ������-��� "�% �� ��� ��� �� ��������� &(7;�;6), ��� A(0;4;z), B(2;1;z) � C(5;3;z). 2. &������ "(1;y;2) � ���� �� ������� ������-��� ABCDE �� ������ ���� 3�m, �� ��� ��� �� ��������� &(5;5;�). ������ �� ���������� �� �����������, ��� �������� "� � ������� �� ��������� �1. 3. &������ M(4;y;4) � ������ �� ��������� �������� ���� ���������� �� ������ ���� 3�m. ������ �� ���������� �� ������������, ��� �� ��� �� ��������� &(�;8;8). 4. ������ �� ���������� �� �������� �� ������ �� ������� S(4;3;z) ��� ��� �� ��������� &(7;�;6) � � ������ ��������� �2.
4.10. ����� �� ��� �� ��;� �� ������� �� #��� �:� ��� �
�� ��� ������ '� ������ ���������� ��
����������� ��� ��� ������ � �� ����������-�� �������. %� ������ ������� '� � ������-���� ���������� �� ������#� �� ����� ������.
>���*� 1. ������ �� ���������� �� ����� ������� �������� ��� ��� ������ ABCD ��� �� ���������������� ������� & � �����-���� ��� AB �� ��������� �1 ����'� ��� �� 300 (��� 4.48).
9� ������� "0, ��� ��� �� 300 ��� ������� t1 � ���������� ����������� ������� ��
&� ����
72
:���� 4.48
:���� 4.49
��������� ��� "� � �� �������� A0B0. +� �����-������� ��������� A0B0C0D0 � �� ���������� ���������� �� ��� � �������� ������� S0, ��� � ������� �� �������� �� ����������. $���� �� ������ ������� A’B’C’D’ � ������� A”B”C”D” �� ��������. >��� ����, �� ���(��� ������� S’ � ������� S” �� ������� S, �� ��'� ����!���� ��������� �����.
����'� �������� � ������� �� ��������, � �������� ��� �� ��������� &, �� S’ ���-���� �� ������� t1 ���������� ������ n’, � �� S” ������� �� ������� t2 ���������� ������ n”.
�������� �� ���������� SV � ������� � �� �1, �� �� ������ �������� �� ��������� �� �� ��������� �������. ;���� �� S’ �� n’ � ���������� �������� �� �������� SV � �� �������� ������� V’ �� ����� V. ������� �������� V” �� ������ ���� �� V’ '� �� ������� ������ �� !-������ �� �������� �� n”. "�� �� ������� V �� ������� ����#� �� �������� �� �������� ���������� �� ����������.
�� ���� �������� '� ���� ������ �����-���� � ����� C’V’, ����� ��� ������� % � ����-���� �� �������� �� ����#�, ������ ������� " � �������, �� ����� A’V’ '� ���� �������.
�� ����� �������� '� ���� ������ �����-���� � ����� D”V”, ������ ����� B”V” '� ���� �������, ����� ��� ������� � � ����������� �� �������� �� ����#�.
>���*� 2. ������ �� ���������� �� ����� ������ �� ������� ������ AB, CD � ������ h, ��� �� �������� ��� �� ���������������� ������� &, � ��������� ��� AB �� ��������� �2 ����'� ��� �� 300 (����� 4.49).
@�������� & '� � �������� �� �2 ������-'� � ���� ������� t2.
9� ������� (A) ��� ��� �� 300 ��� ������� t2 �� ���������� ��������� ��� AB, � ����� �� ������ ������������� (")(B)(C)(D), ������� ����������� ������� �� ��������. $���� �� ������ ������� A’B’C’D’ � ������� A”B”C”D” �� ��������. 9� ������� �� ����#��� �� �������� ������ ������ ��� ������� t2, � �� ������� �� �������� ������ ������ ��� ������� t1. �������� �� ���� �������� �� ��������� �� ��������� �������, �� ����� �� �������� �� ���� �������� � ���������� �������� h, �� ��� �� �������� ����#��� �� ������� ������
&� ����
73
:���� 4.50
�� �������� �� ���� ��������. "�� �� ��� ��������� ������� �� �������� �� ���������-�� ������ �� ����� ��������, '� �� ������� ������� �������� �� ����#��� �� ������� ������ �� ��������.
�� ���� �������� '� ���� ������ �����-���� � ����� B’B1’, ����� ��� � ������� �� �������� �� ����#�, ������ ����� D’D1’ ���� �� ���� ����� ����'� � ������� �� �������� �� ����#�.
�� ����� �������� '� ���� ������ �����-���� � ����� C”C1”. ����������� ����� �� �������� �� ����#� � ������� ", �� ���� ������ ��� ��� �� ������� �� ��������.
>���*� 3. ������ �� ���������� �� ����� ������� ����a���� ������ �� ������� AB � ������ H, ��� �� �������� ��� �� �����-������������ ������� & � ������� ~ � ������ �� ��������� �������� ���� ������������ (����� 4.50).
@�������� & � ���������� �� �2 � � �������� ������ S0. $���� ������ ���� �� ������� �������� ������ A0B0C0D0E0F0 �� ������������ ABCDEF, � ����� ���� ����#� �� ���'��� ����� �� ���� � ����� ��������, �� ��� �� �������� ������ �������� A’B’C’D’E’F’ � ������� �������� A”B”C”D”E”F” �� �������� �� ��������.
�� �������� ��������� �� ������� �����-��� �� ����#��� �� t2 � ���������� �������-���� ������� �� ��������, �� �� �������� ������� �������� �� ����#��� �� ����a�� ������ �� ��������. $���� � ���(��� ������ �������� �� ������� ������.
�� ������ �������� ������ '� ���� ���-������ � �������� ��� �� ��������� ������� %1’ � D1’ ����'� ������� %1 � D1 �� �������� �� �������� �� ����#�. &������ " � F �� �������, �� �������� �� �������� ��� ��� �� ��������� '� ����� ��������.
�� ������� �������� ������ '� ���� ���-������ �� �������� � �������� K”K1” � F”F1”, ����'� �� ������� �� �������� �� ����-#�. &������ � � % �� ����������� �� �������� �� ����#�, �� ���������� �� �������� ��� ��� �� ��������� '� ����� ��������.
>���*� 4. ������ �� ���������� �� ���� ������ �������, �� ����� ������, ������ �
&� ����
74
:���� 4.51
:���� 4.52
������ �� �������� S, �� ��� ��� ��� �� ����������������� ������� & (����� 4.51).
9����� '� � �������� ��������� &, ����-�� �� ������� S, ������ �������� �� �������� ������ �� ������ �� (S). $��������� ��� �������� ����� ��� (A)(B) � ������� �� ������� t1 � (C)(D) � ������� �� ������� t1. +� ���(��� ������ �������� A’B’ � C’D’ � ������� �������� A”B” � C”D”. �� ���� �������� � ������ ������� �� ���� �� ��������� �����-������ �� �� ����� �� ������ ���� ��� �� ����� �� �������.
����'� �������� �� ����� �������� �� ��������� �� ��������� �������, � ��������-�� �� �������� ��������� �� S” � � �������� S1”. ������� �������� �� ������ � ������� ������ �� ������� �� ������ ������� �� ���������� �� ������, �� ��� ������ '� ��� �� ������� t2, � ������� � ������� �� ���. $���� �� ���������� ���������� ��������� C”C1” � D”D1”.
9����� '� �� �������� ������� �� �����-�� ������ �� ��������� � '� �� �������� ���������� ��������� A’A1’ � B’B1’, � �������-���� ��������� �� ���������. �� ���� �������� '� ���� ������ ��������� � ������� ������ �� ���������. +������ �� �������� � ���������� �������� �� ��������� '� ����� ����������� A’A1’� B’B1’.
�� ����� �������� ������ '� ���� ���-������ �� ���������, � ��������� �� ����-���� � ���������� �������� �� ��������� '� ����� ����������� C”C1” � D”D1”.
>���*� 5. ������ �� ���������� �� ����� ������� ��������� ������ �� ������ h, ��� ���� ������ ������ ABC ��� �� ��������-��������� ������� & (����� 4.52).
@�������� & � ���������� �� �3. 9����� '� � �������� ���������� ������ A0B0C0 �� �������� �� �������� ��� ��� ��� �� ��������� &, ���� ����� �� ���'��� ����� �� ���� �������� A’B’C’, ����� �������� A”B”C” � ����� �������� A’’’B’’’C’’’.
����'� ������� ������ �� ������� �� ��������� &, ��� �� ����� �������� '� �� ����������� �� ��������� �������. ;���� �� �������� ��������� �� A’’’B’’’C’’’ �� ������� t3 � ���������� �������� �� �������� h �� ��� �� �������� ������� �������� �� ����#��� ��
&� ����
75
������� ������, ��� �� ������� �������� '� �� ��������� ���� �������, ������ ������ ������ '� ���� �� t3.
$����� �������� A1’B1’C1’ �� ������� ������ �� �������� '� ���� �� �������� �������� �� A’B’C’ �� ������� t1.
������� �������� A1”B1”C1” �� ������� ������ �� �������� '� ���� �� �������� �������� �� A”B”C” �� ������� t2.
�� ������ �������� ������ '� ���� ��������� �� ��������, ������ �������� ��� �� ������� ������� "’ '� ����� ��������, ����'� �o����� " � ������� �� �������� �� ����#�.
�� ������� �������� ������ '� ���� ��������� �� ��������, � ������� '� ���� ����� �”%”, ����'� ����� BC � ���������� �� �������� �� ����#�.
�� ������� �������� ������ '� ���� ��������� � ����� B’’’B1’’’, ����'� ����� B’B1’ � ������� �� �������� �� ����#�. $����#� � ������ 1. ������ �� ���������� �� ����� �� ������� ��� 3 �������, ��� ���� ����� ����� C�� ��� �� ���������������� ������� & � ��������� ��� �� ��������� �1 ����'� ��� �� 450 . 2. ������ �� ���������� �� ����� �������� �� ������� ������ AB, CD � ������ h, ��� �� �������� ��� �� ���������������� ������� &, � ��������� ��� AB �� ��������� �2 ����'� ��� �� 600. 3. ������ �� ���������� �� ����� ������� ����a���� �������� �� ������� ��� 2 �����-�� � ������ 5 �������, ��� ��� ������ ��� �� ����������������� ������� &. &������ ~(8;6;7) � ������ �� ��������� �������� ���� ������������. 4. ������ �� ���������� �� ���� ���������� ������� �� ������ 3 ������� � ������ �� �������� S(7,6,5) �� ��� ��� �� ������������-����� ������� &. 5. ������ �� ���������� �� ����� ������� ����������� ������ �� ������� ��� ��� 3 ������� � ������ 5 �������, ��� ��� ������ ��� �� ����������������� ������� &.
&� ����
76
&������� ����� 5. ���?���� ��
�� ���� �������� ����� �������� ���� � �� ����� ������������� �� �����,
����� � ����������� ���
� �� ����� ������������� �� ��� ��
����������
!���#� ����
78
�����)� ��%��� 5. ���?���� �� 5.1. #��� <� �����+�������� 5.2. ����+�������� �� ��*)� 5.3 .����+�������� �� ���������)� +��&�� 5.4. ����+�������� �� ���������)� ��%�
!���#� ����
79
:���� 5.1
5. ���?���� ��
5.1. #� � >� ���?���� ��
����� �������� �� ���� ��������� ��� ������� ����� �������� ���� ������ �� �� ������ ��� ������������ ������� �3 �� � ������� �� ����� ���������� ������� �1 � �2, ���� � ������� ���� �� ��������� �1 �� ���� �� ��������� �2. &������ ���������� ������� �3 ��� �� � ��������� ����� ���� ��������� �� ��������� �� ���� �����+�������)� �����-��, � ��������� �������� �� ��������� �� ��� ������� �� ���� �����+�������� !���)-���� �� ���������.
$��������� �� ��������#� �� ���� �����-�� � ���������#� �� �������� �� ��� �� ���� �����+��������.
%� ����� �� ������������� ����� ��!-����� �������� ������ ������ �� �� �����-����. >��� ���� ��� � ��!����� ������ ��� ���� ������ �� �� ����� ��� �� ��������� �1 � �2 �� ������ ������������ ������� �3 ��� � ������� ���� �� ���� �� ���, � ����� ��� ��� ����� �������� ������ �� ����� �� ����� ������� �� �������� ��� ����� �� � ������.
5.2. ���?���� �� �� �:��
� ������������ �� ����� '� ��������
������ ��� ����� �� ��������� �� �������� �� ����������������� �������.
���� ����������������� ������� �3 � ���-���� ���� �� ��������� �1.
�� ����� 5.1 ��������� �� ������������ ������� �1 � �2, ������� " �� ��������� ������ �� �������� ����� "’ � ������� "”. �� �����-���� �1 � �2 �� � �������� ���� � ����������-������� ������� �3 ��� � ������� �� �1, � �� �2 ����'� ��� �2. &�� � ���� ��������� �1 �� ����� ��� � �������� �� 1x3.
"�� �� ������� " �������� ������ �� ����������������� ��������� �3 ����� ����-���� ������� AIII � �������������� �������� �� ������������� �� ������� " �� ���������
�3 .��� � ������� ���� �� ��������� �1. @��-������ ��� � ���������� �������� ""’ � ""III
!���#� ����
80
:���� 5.2
:���� 5.3
�������� �� ������� " �� �1 � �� �3 � ������� �� 1x3-������ �� ��� ��� �� ����� ��� ��� �������. "�� ��� ������� � ���� 1x3-������ �� ������� , ����� ��������� "’ � AIII �� ������� �� ��� ����. 9� �������������� ""’ AIII � AA’AxA” ������ ,"AAA'AKA x
III ��
������� ."AAKA xIII �
&����������� �� ��������� AIII �� ������� � �� 1x3–������ ������o � �� ����������� �� ����� �” �� ������� � �� x-������.
"�� ���� ����������������� ������� �3 � �������� ���� 1x3-������ �� ��� ������ �� ��������� �1 ����� ������� AIII �� ��������� �3 ������� �� �������� �� �������� �� �������-��� ��������� �������� �� ��� ������� � ������ � ��(� �� �1 �� ������� AIII ��� �� �����-�� "’ � �� ������ �������� �� "’ ��� 1x3 ������. &��� �� ������� ������ �������� "’ � AIII �� ������� ", �a�� ��� ����!���� ��� "’ � "” �������� �� ������� ".
>���*� 1. <����� �� ������� "’ � ������� "” �� ������� ". ������ � ��������������� �� ������� ", ��� ����������������� ������� � ������� �� ��������� �1 � �� ��������� �2 ����'� ��� �� 60º (����� 5.2).
9� ������� "’ �� ������� " ���������� ������ �� ������ 1x3–���� ��� �� x-������ ����'� ��� �� 60º. �� ��� ������ ���� �� ���� ��������������� AIII ��� �� ������ �� ������ .z"AAKA x
III ��
���� ����������������� ������� �3 � ���-���� ���� �� ��������� �2.
�� ����� 5.3 ��������� �� ������������ ������� �1 � �2, ���� � ������� " �� ������ �������� "’ � "”. $���� ��� ������ � �����-������������ ������� �3 ��� � ������� �� ��������� �2, � �� ��������� �1 ����'� ��� �1. $������ �� ��� �� ����� ��������� �2 � �3 �������a � �� 2x3. $�������� �� �������� �������� �� ������� " �� ��������� �3 � ���������������� �������� AIII �� ������� " �� ����������������� ��������� �3 ��� � ������� ���� �� �2. @�������� �� �������� "A’’ � "AIII �������� �� ������� " �� �2 � �� �3 � ������� �� 2x3-������ �� ��� �� ����� ���
!���#� ����
81
:���� 5.4
:���� 5.5
��� �������. "�� ��� ������� � ���� 2x3-������ �� ������� L ����� ��������� A’’L � AIIIL �� ������� �� ��� ����. 9� �������������� "A’’LAIII � "A’AxA’’ ������ ,AAA"ALA x
III ��
������� .AALA xIII �
&����������� �� ��������� AIII �� ������� � �� 2x3-������ e ������o �� ����������� �� ������ �’ �� �����-�� � �� x-������.
"�� ���� ����������������� ������� �3 � �������� ���� 2x3-������ �� ����� ������ �� ��������� �2, ����� ������� AIII �� ��������� �3 ������� �� �������� �� �������� �� ���������� ��������� �������� �� ��� ������� L � ������ � ��(� �� �2 �� ������� AIII ��� �� ������� A’’ � �� ������ �� A’’ ��� 2x3-������.
>���*� 2. <����� �� ������� "’ � ������� "” �� ������� ". ������ � ��������������� �� ������� ", ��� ����������������� ������� � ������� �� ��������� �2, � �� ��������� �1 ����'� ��� �� 60º (����� 5.4).
9� ������� A’’ �� ������� " ���������� ������ �� ������ 2x3–���� ��� �� x-������ ����'� ��� �� 60º. �� ��� ������ ���� �� ���� ��������������� AIII ��� �� ������ �� ������ .y'AALA x
III ��
�� ����� 5.2 � �� ����� 5.4 ���������� ��������������� ������� ��������� � �� ����������� ��� ��� ���� ������ � �� 1x3-������, ������� 2x3-������.
���� ����������������� ������� �4 � ���-���� �� ����������������� ��������� �3. �� ����� 5.5 ��������� �� ������������ ������� �1 � �2, ������� " �� ���������, ���� � �������� ����� "’ � ������� A’’. $���� � ��������� ����������������� ������� �3 ��� � ������� ���� �� ��������� �1 � ��������-�������� �������� AIII �� ������� " �� ��� �������. �� ����� ��������� � ���� � �����-���������� ������� �4 ��� � ������� ���� �� ��������� �3 � ��� � ���� �� 3x4-������. $�������� �� �������� �������� �� ������� " �� ��������� �4 � ���������������� �����-��� "IV �� ������� ". @�������� �������� �� �������� "AIII � ""IV ��� �� ��������� ��
!���#� ����
82
:���� 5.6
������� " �� �3 � �� �4 � ������� �� 3x4 ������, �� ������ ��� ��������� AIIIJ � "IV* �� ������� �� ��� ����. 9� ������������� "AIII*"IV � "AIII "’ ������ ,'KAIA"AJAIV ��
������� .'KAJAIV �
&����������� �� ��������� �IV �� 3x4-������ � ������� � �� ����������� �� ������ �’ �� ������� � �� 1x3–������.
"�� ���� ��������������� ������� �4 � �������� ���� 3x4-������ ������ ���� �� ��������� �3, ����� ������� "IV �� ��������� �4 ������� �� �������� �� �������� �� ���������� ��������� �������� �� ��� ������ � ������� * � ��(� �� �3 �� ������� "IV ��� �� ������� AIII �� ���(� �� ����� ��� ������� AIII ������� �� 3x4-������. �� ����� ����������-������� ��������� �3 ������ �� ������� AIII � "IV � ���������� ���� 1x3-������ �� ����� ������ �� ��������� �1, ���� �� ����� 5.1.
>���*� 3. <����� �� ������� "’ � ������� "” �� ������� " � ������ 1x3 � 3x4. ������ �� ���������������� �������� "III � "IV �� ������� " (����� 5.6).
$��� �� ���� ��������������� AIII �� ��� ����� ���� �� ����� 5.2, � ����� �� ������� AIII �� ��������� ������ �� 3x4-������. $���� �� ���(� ������� "IV ���� ��� .u'KAJAIV ��
$����#� � ������
1. ������� ���� �� ������ �� ���������� �������. >���� ���������� ����� ������ ��� '� �� ����������� ��������������� �������. ;��� ����� �� ���� � ��� ���� ������� ���. >���� ������ � ���������� �� ��������-��������� ������� ��� � ������� ���� �� �) !������������ ������� �) ����������� ������� � ����� ������ �. "�� ������� �� �������� ���� ����� �� ���������, ������� � �������� �������������� ��������. 2. ������ � ��������������� �� ������� ", ������ �� ������������ �������� "’ � "”, ��� ����������������� ������� � a) ������� �� �1 � �� �2 ����'� ��� �� 45º. �) ������� �� �2, � �� �1 ����'� ��� �� 30º.
!���#� ����
83
:���� 5.7
:���� 5.8
5.3. ���?���� �� �� ����� �� ? �,
�� ����� 5.7 ������ �� ���������� ��
������� "B. $���� � ��������� 1x3-������ �� ��� �� ����� ��������� �1 � �������������-���� ������� �3 ��� � ������� ���� �� �����-������� ������� �1.
���������� �� ��������������� �� ��������� �� �������� �� ����� �������� �� ����!������ ������ �� ����� �� ������� ����� �� ���������, �� ������, "’AIII� 1x3,
"AAKA xIII � ���. &�������������� �� �������-
�� AIIIBIII � �������� �� �������#� �� �����-������������� AIII � BIII �� ������� �����.
%�������, ��� ����������������� ���-���� � ������� �� ��������� "B ����� �����-���� �� ���������������� �������� '� �� ������� �� ��������� �������.
�� ����� 5.8 ������ �� ���������� �� ������� a=AB. $�������� � 1x3-���� �� ��� �� ����� ��������� �1 � ����������������� ���-���� �3 ��� � ������� ���� �� ������������ ������� �1.
���������� �� ��������������� �� ���-���� �� �������� �� ������������� �� ��� ��������� ����� " � B �� �������, �� ����� �������� �� ����!������ ������, �� ������, "’AIII� 1x3, "AAKA x
III � ���. &�������������� �� ������� �IIII � �������� �� �������#� �� ���������������� �������� AIII � BIII �� ����� ������� �����, ������� �IIII=AIIIBIII.
%�������, ��� ����������������� ���-���� � ������� �� ������� �="B ����� �� ���������������� �������� ������ �� ����-���� ������� ������� �� ���������.
�� ����� 5.9 ������ �� ���������� �� ����������� ABC �� � ������� �� ����a�� �1. $�������� � 2x3-���� �� ��� �� ����� ��������� �2 � ����������������� ���-���� �3 ��� � ������� ���� �� ��������� �2.
���������� �� ��������������� �� ����������� �� �������� �� ����� �������� �� ����!������ ������ �� ����� �� ����#��� �� �����������, "”AIII� 2x3, 'AALA x
III � ���. &�������������� �� ����������� "IIIIBIIICIII j� �������� �� �������#� �� ����������������
!���#� ����
84
:���� 5.9
�������� AIII, BIII � CIII �� ����#��� �� ������-�����.
$����#� � ������
1. %� ����� �� ������������� ������� � ����������� ������� �� ��������� � ������� ������ ���: �) AB[A(1;3;4),B(4;1;0)] �) CD[C(2;1;2),D(5;6;1)]. 2. %� ����� �� ������������� ������� �� ����������� �� ������� " �� ��������� BC, ��� �) A(3;1;1), BC[B(1;5;1),C(5;2;5)] �) A(3;1;5), BC[B(0;1;2),C(4;5;2)]. 3. %� ����� �� ������������� ������� �� ����������� ��(� ��������� ����� � � b, ��� �) a=AB[A(1;3;1),B(5;6;1)] b=CD[C(4;2;3),D(x;y;z)] �) a=AB[A(1;3;1), B(4;2;4)] b=CD[C(4;4;4),D(x;y;z)]. 4. %� ����� �� ������������� ������� �� ����������� ��(� �������������� ����� �=AB � b=CD, �� A(1;3;1), B(4;2;4), C(0;2;6), D(5;5;4)].
5.4. ���?���� �� �� ����� �� ���
�� ����� 5.10 ������ �� ���������� ��
����� ��� � �� �������� ������, �� ���� ������ ABCD � ����� ������ "1�1%1D1. $���� � ��������� 1x3-������ �� ��� �� ����� �����-���� �1 � ����������������� ������� �3 ��� � ������� ���� �� ������������ ������� �1.
���������� �� ��������������� �� ���-���� �� �������� �� ����� �������� �� ����!������ ������, �� ������ "’AIII� 1x3,
"AAKA xIII � ���. &�� ������������� �� ���
������� �� ������� �� ������� ���� ��� �� �� �� ���(�� �� �������� ������. ��� ������� �� ���� �� ������ �� ��������� ���������#� �� ��������� �3 – ������ �������� �� ��� ������ �� ���������#� �������� � �� ������ �� 3's – ���a� ��� ��� ������������� �� ������ �������� ""1, BB1 � CC1, � �� �� ���� ����� DD1. "�� ������ �� ������� ��������� ��������� �� ������� '� ���������� �
!���#� ����
85
:���� 5.10
��������������� ������� �4 ��� � ������� �� ����������������� ������� �3 � � ���� �� 3x4-������.
9� ���������������� �������� �� ���� ��� �� ������� '� ��������� ������ �� 3x4–������ � '� �� �������� �� 3x4–������ ������-����� �� ������ �������� �� �� ��� �� 1x3–������, �� ������ .K'AJAIV � ���. "�� � ����-�� ������� �� �������� �� ��������� �����-����#� �� ��������� �4 – ������� �������� �� �������� �� ���������#� �������� �� ������� �� III
4s – '� � ������ �������� ���� ������ ABCD � �������� BB1, CC1 � DD1, � ���� �� � ������ �������� ����� ������ A1B1C1D1 � ����� ""1. N�������� �������� �� ������� ���� �������� ���� ������� �� � ������ ����� � �� �������� ����� ������.
9� ����!������ ������ ��������� ���� ������ �� ���������� ��� ���������������
!���#� ����
86
:���� 5.11
������� �� �� ������� ���� �� ����� ��� � �������� �� �������� ������, � ���� �� ������� � ������� �� ����� ��� �� � �� ����-���� ������ ������ � ���� �� ���� �����-���������� ������� �� � ������� � �������� ����.
&��� �� ����� 5.11 �������� �� �� ������ @=1:10 ������� � ������� �� ����������� ��� ��� �� � �� �������� ������, �� � ������ ���� � ������������ �� ����� �� ���� ���� ��������������� �������. &���������-������ ������� �3 � ��������� ������� �� ��������� �1 � ����'� ��� �� 45º �� �������-�� �2.
���������� �� ��������������� ����-���� � �� ������� �����. $��� �������� �� �������� ������ �� ���������� �� ������� � ������� �� �������� �� 1 �� 7, ����� �� ������� � ������� �� ���� ��� � ���(��� ������ �������������. �� ������, �������� ����� 1III � �� ��������� �� 1I ������� �� 1x3-������, � �� ����� �� �������� .1111 II
xIII � ���
'� �� ������� ��������������� �� ���� ��� ������ �� ��� �� ������ ��������������� �� �������� ������. 9� ������������� �� ������� ������ ������ � �� ��������� ����-��������� �� ���� ����� ���. 9�������� � ��������������� 8III �� ������� 8 ��� �� ������� 1 �� ������� ������� ��� ,81 ��� ������������� � 1III8III. ����'� ���� ����� ������ �� ����� �� ������� � ������� � ������� ������������� '� ���� �� ����� ������� � ��(� ���� �������. ��� '� �� �������� ��������������� �� ���� ����� ���-�� ������ � ���� '� �� ������� ��������� ������� ����� ����� �� ������� ������ '� � ������� ������������� �� ������� ������.
$�� ���� ������� ������ �� ����� � ������ �� ����������������� �������, ����-����������� ������� ��������� ��������� ���� �� �� ������ ����� ������ �� �������� ��� ������.
�� ����� 5.12 ������ �� ���������� �� ���������� ����� ��� ��� ������ � ������� �� ��������� �1. &���� �� ������������ �����-�������� �� ������� �� ��������� �3 ��� � ������� �� ��������� �2, ��������� ����� �� ������� � ������� �� ����� ������ �� ����-���.
!���#� ����
87
2x3–������ �� ������� ��(� ����, � ��� ����� ���� �� ��������� �3 �� ��(� ���� �������. ������������ �� �������������-�� �� ��������� ����� �� ������� �� ��������
:���� 5.12 �� ������� �������� �� ����!������ ������, �� ������ VIIVIII� 2x3, 'BBKV x
III � � .'VVLV xIII �
;� �� ja ������� ������� � ����� ���� �� ������� ��� � ������������� �� ������-���� �� ������� �� ���������� ���������� �� ����� �������� �� ���������� AB � CD, �� ��� ��� ���������� AB � ������� �� �3, � ���-������� CD � ������� �� ���������� "B. &������������ �� ���������� AB � ������� ���a AIIIBIII, � ��������������� �� ���������� CD � ����� ���� CIIIDIII �� �������. &�������� �������� �� VIII �� ������� � ��������� ��������������� �� �������.
>��'� �� ��� ���� ��������� �3 �� ��(� ���� �������, ��������� �� ��� ��������-����� �� ������, �� ��� ������ ��� �� �����-���������� �� ������� �� ��������� �3 ��� �� �������� ����� ������ �������� � ������, .
!���#� ����
88
:���� 5.13
:���� 5.14
:���� 5.15�
������ �� ��������������� �� ��������� �3 ��� � �� ������ ��� ������ �������� � �����-���. $����#� � ������ 1. ������ ������������� �� ���������� ���-������ �� ����� 5.13, ��� ����������������� ������� �3 � ������� �� ��������� �2, � 2x3 -������ � ��������� ������� �� "”V” � ��� ��: a) ����� ������ �� ������� �� ����������, �) ������� ������ �� ������� �� ����������. 2. ������ ������������� �� ����������� ������� �������� �� ����� 5.14, ��� �����-������������ ������� �3 � ������� �� ���-������ �2, � 2x3-������ � ��������� ������� �� S1”S2” � ��� ��: a) ����� ������ �� ������� �� ���������, �) ������� ������ �� ������� �� ���������. 3. ������ �� �� ������ P=1:1 ������� � ������� �� ��������� �������� �� �) ����� 5.15� �) ����� 5.15� �) ����� 5.15� ��� ��� ������ ������� ���� ����'��� �� x- ������ ��� �� 30�. $���� ���������� � ������-�� �������������, ��� ����������������� ������� �3 � ������� �� ��������� �2, � 2x3 -������ ����'� �� x-������ ��� �� 60� � �� ���(� �� ����� ������ �� ������� �� ����-�����.
:���� 5.15� :���� 5.15�
&������� ����� 6. �#B� ��� ��
�� ���� �������� ����� �������� ���� � �� �� ��������� ������ �������#� ��
��������� � �����������#��� ��
�������� ��������� ����� ��
������� ��(������ ������
� �� ����� ���� ������ ��������� �� ��
���������
� �� ����� �� �� ������� �������� ��
���������
� �� ����� �� ������� ������ �� �����
��� �������
� �� ����� ���� ����� � ����� ���� ��
����� �������
� �� �� ����� ������� �����
� �� ����� �� ������� ����� �� �������
� �� ����� �� �������� ����� �������
� �� �� ����� ���������� �� �����������
���� ��� ���� �� ����� �������
� �� ����� �� ����� ������� ��
�������
� �� ����� �� ���� ��� �� ������ ��
����� �������
����� � ����
90
������ ��� �� 6. �#B� ��� �� 6.1. �*)� � !���� �� �!@�� ������� 6.2. �%���� !���� � ����� !������ 6.3. �!����%&��'� �� ����� �� ������� <������� �� !���� � ��*)� 6.4. #����) �� ��� ������� 6.5. #��(�� �� !���� ��< �!@�� ������� 6.6. �����%� �� �!@�� ������� 6.7. ��(��&��'� �� �!@�� ������� 6.8. ���������)� +��&�� )�� %�"�� �� �!@�� ������� 6.9. ���������)� ��%� )�� %�"�� �� �������� �� �!@�� �������
����� � ����
91
:���� 6.1
:���� 6.2
6. �#B� ��� ��
6.1. �:�� #��� �� �#B� ��� ��
�� ����� 6.1 ��������� � ����� ������� K � ����� a ��� ��� �� ���. $������ � �� ���� ������� �1 � �2 �� ��������� K �� ������� "1 � "2. $����� ������� "1 � ������ �������� ����� �� �������, � ������� "2 � ������� �������� ����� �� ������� �. %���� ����� ��� ��� ��� �� ��������� K �� ���� �������� ����� �� ������ �������� �����. %����� ���,
������ � ���� �� ���� �� � ������ ' ��� � �� � ��� ��������� �� ����� ���� �� ����� ����, � ��������� ��� ����� ���� �� ������ ���� �� � ��-���� '.
%� ����� �� ���������� ����� �� ����� 6.1 �� ��������� ���������� �������� � � �” �� ������� �. 9���� ��� �� ��������� ����� & �� ������� � �������� �� �������� ������-���� �������� T’ � T”.
>���*� 1. <����� �� ������� �1 � �2 �� ��������� K � ������� �’ �� ������� �. ������ �� �������� ����� a” (����� 6.2).
&������ �’ �� ������� � � ���� ������ ����� �1 �� ��������� K �� ������ ������ "1 �� �� ������� �, � !-������ �� ������� A2’ �� ������� ������ "2 �� ������� �. $���� �� ����� �� ��������� �� ������� A1 � A2’ �� ���(��� ������� "1” �� ������ ������ "1 � ������� ������ A2. �������� ����� �” �� �����-�� � � ������� "1”"2.
�� ����� 6.2 �������� �� ���� � ������-������ �������� T’ � T” �� ��������� ����� & �� ������� �.
:���� 6.2 ���� �� �� ������ � �� ����-��#� �� ������� ������.
>���*� 2. <����� �� ������� �1 � �2 �� ��������� K � ������� &’ �� ������� & ��� ��� ��� �� ��������� K. ������ �� �������� ����� &”.
"�� �������� ���� ��� ������� & ������ ��� ��� ����� �� ��������� K (����� 6.1), ����� �’ '� ������ ��� &’, � �” ��� &”. ;����� ��� ��� ������� &’ ���������� ���������
����� � ����
92
:���� 6.3
:���� 6.4
����� �’ (����� 6.2), � ����� �� ������ a”. �� ��� ��� ������� &’ ���������� �������, ��� � ���� ������� �” �� �������� ����� &” �� ������� &.
>���*� 3. <����� �� ������� �1 � �2 �� ��������� K � ������� �” �� ������� �. ������ �� �������� ����� a’ (����� 6.3).
������� �” �� ������� � � ���� !-������ �� ������� "1” �� ������ ������ "1 �� ������� �, � ������� ����� �2 �� ��������� K �� ������� ������ "2 �� ������� �. $���� �� ����� �� ��������� �������� �� ������� "2 � "1” �� ���������� ������ ������ "1 � ������� "2’ �� ������� ������ "2. �������� ����� �’ �� ���-���� � � ����� "1"2’
>���*� 4. <����� �� ������� �1 � �2 �� ��������� K � ������� &” �� ������� & ��� ��� ��� �� ��������� K. ������ �� �������� ����� &’.
"������ ���� �� ������ 2, ��� �������� ���� ��� ������� & ������ ��� ��� ����� �� ��������� K (����� 6.1), ����� �’ '� ������ ��� &’, � �” ��� &”. ;����� ��� ��� ������� &” ���������� ��������� ����� �” (����� 6.2), � ����� �� ������ a’. �� ��� ��� ������� &” ���������� �������, ��� � ���� ������� �’ �� �������� ����� &’ �� ������� &.
>���*� 5. <����� �� ������� �1 � �2 �� ��������� K � ������� "”B”C” �� ����������� ABC �� ��� ��� �� ��������� K. ������ �� �a����� �� ����������� (����� 6.4).
"�� �� ��������� �������� "”C” � "”B” �� ����������� "”B”C”, �� �������� �������� b”= "”C” � c”="”B” �� ��� ������� ����� b � c ��� ��� ���� �� ��������� K.
$����, ���� �� ������ 3 �� ����������� ������� ������ b’ � c’, � �� ��� �� ����� �� ��������� �������� �� ������� "”, B” � C” � �� ���(��� �������� "’, B’ � C’. $����#� � ������
1. ������ �� ������� �� ������� �=AB["(3;2,5;z),B(5;1;z)] ��� ��� �� ��������� E(10;7;8). 2. ������ �� ������� �� ������� &(5,y,2) ��� ��� ��� �� ��������� E(4;4,5;4).
����� � ����
93
:���� 6.5
:���� 6.6
3. ������ �� ������� �� ����������� ABC �� ��� ��� �� ��������� E(7;4,5;5), ��� � ����� �������� ����� ["(2;2;z),B(3;0,5;z),C(5;1;z)]. 4. ������ �� ������� �� ����������� ABC �� ��� ��� �� ��������� E(10;7;5), ��� � ����� �������� ����� ["(1;y;3),B(2,5;y;4),C(5;y;2)].
6.2. ����� #�� � ��� # ����
������ ���� �� � ���� ���� � ���-����� �� ���� ������� ���� �� ���� ������ ����.
;����� ���� ���� ������� ��� ��� �����, ���� �����, ����� ����� � ����� �����. %����� ��� ���������� ��� ���� ����� �����, ����� ��� �� ������� �� ������ ����� �� �������-��, ����� ��� �� ������� �� ������ ����� �� ��������� � ����� ��� �� ������� �� �����-�� ����� �� ���������.
$������ '� �� �������� ������ ��� ���� �� ����� �����. �� ����� '� �� �������� �� ������� ������� �� ������#��� �� ��������� ������.
������ ���� �� � ���� ���� � ���-����� �� ��������� ��� ���� �� ���� )���������.
�� ���� ������� ��� ���������� ����� !���������. �� ����� 6.5 ��������� � ���� !��������� m �� ��������� K. �������� ���� ������ )2 �� ���(� �� ������� ����� �2 �� ���������, � �������� ��� ������ � �������� ����� �� ������ ����� �� ���������.
����'� !����������� m � ������� �� ������ ����� �1, �������� ����� m’ � �����-�� �� �1, � �������� ����� m” � ������� �� x-������ ����'� ��� � ������� �� ��������� �1.
>���*� 1. <����� �� ������� �1 � �2 �� ��������� K. ������ �� ������������ �����-��� �� ��������� !��������� m �� �������-�� K (����� 6.6).
$��������� ��������� ����� m’ ����-��� �� ������ ������� �1, �� �������� ��e��� �� x�������. $���� �� ���������� ���������, ������� )2’ �� ������� ������ )2 �� !���-�������� � ������� ������ )2.
����� � ����
94
:���� 6.7
:���� 6.8
:���� 6.9
�� ��� �� ������� )2 ���������� ����� m” ������� �� x-������.
������ ���� �� � ���� ���� � ���-����� �� ��������� ������ ���� �� ���� #������.
�� ���� ������� ��� ���������� ����� �������. �� ����� 6.7 ��������� � ���� �������� n �� ��������� K. �������� ��� ������ N1 �� ���(� �� ������ ����� �1 �� ���������, � �������� ���� ������ � �������� ����� �� ������� ����� �� ���������.
����'� ��������� n e ������� �� ������� ����� �2, �������� ����� n” � �����-�� �� �2, � �������� ����� n’ � ������� �� x-������ ����'� ��� � ������� �� ��������� �2.
>���*� 2. <����� �� ������� �1 � �2 �� ��������� K. ������ �� ������������ �����-��� �� ��������� ������� n �� ��������� K (����� 6.8).
$��������� ��������� ����� n” ����-��� �� ������� ������� �2, �� �������� ��e��� �� x-������. $���� �� ���������� �����-����, ������� N1” �� ������ ������ N1 �� ��������� � ������ ������ N1. �� ��� �� ������� N1 ���������� ����� n’ ������� �� x-������.
>���*� 3. <���� � ������� A’ �� ����� " �� ��������� & �� ����� t1 � t2. ���� �� ����-���� ����� "” (����� 6.9).
��� ������� "’ �� ������ ������� h’ �� !��������� h ��� ��� �� ��������� & (h’ e ������� �� ������ ����� t1 �� ��������� &), �� �������� ������ �� x-������, ���� ��� �� ���(��� ������� H2’ �� ������� ������ H2. 9� ������� H2’ ���������� ������� �� �������� �� ������� ����� t2 ���� ��� �� ���(��� �����-��� H2. ��� H2 �� ������ ������� h” �� !���-�������� h. �� ��� ��� ������� "’ ������-���� �������, ��� � ���� !����������� h” �� �������� ����� A” �� ������� A.
>���*� 4. <���� � ������� "” �� ����� " �� ��������� T �� ����� t1 � t2. ���� �� ����-���� ����� "’ (����� 6.10).
��� ������� "” �� ������ ������� f” �� ��������� f ��� ��� �� ��������� & (f” e ������� �� ������� ����� t2 �� ��������� &),
����� � ����
95
.
:���� 6.10
:���� 6.11
�� �������� ������ �� x-������, ���� ��� �� ���(��� ������� F1” �� ������ ������ F1. 9� ������� F1” ���������� ������� �� �������� �� ������ ����� t1 ���� ��� �� ���(��� �����-��� F1. ��� F1 �� ������ ������� f’ �� ����-����� f. �� ��� ��� ������� "” ���������� �������, ��� � ���� ��������� f’ �� ����-���� ����� A’ �� ������� A.
"�� � ������ ����������� ������ ��� ��� �� ������ �������, ��� ���������#��� �� ������ ��������, � ����������� ���� ��������� �������� �� ����� ������ ����. %����� ���, ����� ����
��� �� ���� ����� � ���� �������� �� ������ ���� � ������ ������ ����-��� �� ����� ��� ��� ������ #����, ������ ������� ������� �� ��������� ������������� �� ������� �� �������� ����.
>���*� 5. <����� � ��������� &(9;7;6,5) � ��������������
ABCD["(1;2;z),B(1;5;z),C(5;2,5;z),D(4;1;z)] �� ��� ��� �� ���. ���� �� ������� �� ����-���������� (����� 6.11).
;������� '� � ������ �� ��������#� ������� ��� �������� A’, B’, C’ � D’, ��� ��� �� ���(��� �� �������� ���������� �� ������� A, B, C � D. &���, ��� ������� A’ �� ���������� ������� f �� ��������� �� �� ������� t1 ���� ��� �� ���(� ������ ������ F1. 9� ������� F1 ���������� ������� �� �������� �� !-������ ���� ��� �� �������� �������� ����� F1”.9� F1” �� ���������� ������� f”, �� �� �������-�� ��������� �� ������� "’ �� ���� �� �������� �������� "” �� ������� ". $��������� � ����������� � �� ������� ����#� �� ������-��������. $����#� � ������
1. �� ����� �� ���������� !���������, � ��� �������? 2. �� ��������� &(8;6;7) ������ !��������� h ��� ��� � 2cm ��� �1 � ������� f ��� ��� � 1cm ���� �2. 3. "�� �� ���� ����� ������� � ������ ������ �������� �� ����� �� ����������� ������, ��
����� � ����
96
:���� 6.12
:���� 6.13
� �������������� ����� �� ���������#� �� ������� ��������?
4. ���� �� ������� �� ����������� ABC �� ��� �� ��������� &(10;7;6), ��� "(3;1;z), B(2;5;z) � C(6;1;z). 5. ���� �� ������� �� �������������� ABCD �� ��� �� ��������� &(11;7;6), ��� "(2;1;z), B(1;5;z), C(4;y;1) � D(6;y;2).
6.3. �#����,��$� �� �� �� ��� �� >������� �� �:� #��
9� ��������� � ������� ���� ���������
���� �� ���� ��������� �� ��� �������� �����, �� ��� ������� �����, �� ����� � ����� ��� �� ��� �� ��� �� �� ��� �����-������ �����.
������ �!����%��� �� ��� !����*�� !���� �%� ��� !���%�%�� !���� �� ������� 6.12 ��������� � ������� � ��
���������� ����� "1 � A2, � ������� b �� ���������� ����� B1 � B2. <������� ����� �� ����� �� ������� S � ����������� ������� K. ;����� ���� ������ �������� ����� �� �����-�� ���� �� ���� �� ������ ����� �� �������-��, � ������� �������� ����� �� ������� ����� �� ���������. &���, ���������� ����� A1 � B1 � ���������� ������ ����� �1, � ���������� ����� A2 � B2 � ����������� ������� ����� �2. ����'� ����� ������� �1, �2 � K ���� �� ����� ���� ���� ��������� �����, ������� �1 � �2 � ����� !-������ �� ����� Kx.
&������ �� ��������� K, ��� � �������� �� ��� ����� ��� �� ����� �� ������������ ���� ��� ���� �� ���(��� ���������� ����� �� �������� �����, � ����� ��� ����������� ���-���� � ������ ����������� �����. %����� ���, ������ ����� �1 ������ ��� ������ ���������� ����� "1 � B1, � ������� ����� �2 ������ ��� ������� �������� ����� A2 � B2. "�� ��������-����� � ������� ��������, ������� �1, �2 � !-������ �� ����� �� ���� ���� ����� (����� 6.13).
%� ������� �������� �� ������������ ������� �� ������� �������� �� ��� ������� �����.
����� � ����
97
:���� 6.14
:���� 6.15
������ �!����%��� �� ��*)� � !���� > �� ��� ���� ���������#��� ��
������� �� ������� �������� �� ����� � ����� ��� �� ��� �� ������� �� ������� �� ���!������ ����, ����'� ��� �������� ����� ���� �� �� ������ ����� ��� � ���� �� � ������� �� �������� �����. $��������� ��������� �� ������� ��� ��������� !���-������ �� ������� �� ��������� ��� ����� �� ������.
>���*� 1. <����� � ����� p="C � ����� B ��� �� ��� �� ������� �. ��������� �� ������� �� ��������� ��������� �� ������� p � ������� B.
�� ������� 6.14 ��������� �� ��������-���� �������� �� ������� p=AC � ������� B. ;������� '� � ������ �� ���������#� �� !��������� ��� ������� B.
��� B” �� ���������� ������� h” �� !���-�������� h, �� �� ���� ������� p” �� ������� p �� ������� ”. &������ K’ �� ���(��� �� �����-�� p’. A�� �� ������� ������� ’ � B’ �� ������-�� � ������� h’ �� !����������� h, ��� �� ��������� �������� �� ������ ����� t1. ;� �� � �������� �������, ����� �������� ������, �������� �� � ���� ������ �����. ;� ��� �� �� ���(��� �������� �� ������� p �� ��������� �1, ������� ������� P1. $���� ��� P1 � ������-���� ������� t1 ������� �� h’.
������� ����� t2 �� ��������� & '� � ��������� ������ '� � ������ ������� ���-����� ����� P2 �� ������� � � � ������� �� ������� &! (���������� ����� �� t1 � x-������).
��� �������� �� ��������� '� �� ����-�� ���������� ����� �2 �� !����������� h �� ������� �2.
;������� ���� �� �� ���� � �� �������#� �� �������.
>���*� 2. <����� �� ������� p=MN[M(9;4;7),N(6;1,5;4)] � ������� A(14;5;3). ��������� �� �������
�� ��������� T ��������� �� ���. �� ������� 6.15 ������ � ��������� ��
��������. >����, ��� ������� "’ �� ������� " �� ���������� ������� f’ �� ��������� f ��� ��� � ���� ������� p’ �� ������� p �� ������� K’. &������ K” �� ���(��� �� ������� p”. "�� � ������� ������� "” �� ” �� �������� ������� f”
����� � ����
98
:���� 6.16
�� ��������� f, �� ��� � �������� �������� �� ������� ����� t2. %� ����� �� ��������� P1, P2, F1 �� ������� p � f �� ������ ������� t1 � t2 �� ��������� T.
������ �!����%��� �� ��� ��)�%������� ��*)� (������%��)) > ��� ���� ���� �� �� ����� �� ����-
!������ ����'� ��� ����� ����������� ��� ����� ��� �� �����, �� ��� ������� �����. )�(����, �� ���������#� �� ������� �� ���� ���������� ������� '� ��������� !��������� � ������� �� ��� ������ ���� �� ����� ����-���� �� �������� �����.
>���*� 3. ��������� �� ������� �� ���-������ & ��������� �� ������� ", B � C (����� 6.16).
��� ������� "” �� ������� �� ���������� ������� h” �� !����������� h ��� �� ���� ������� B”C” �� �������� BC �� ������� ”. &������ K’ �� ���(� �� ��������� �������� �� ������� ”, � �� �������� B’C’. %� �������#� �� ������� A’ � K’ �� �������� ������� h’ �� !����������� h. ;� �� �� �������� ������-������ �������� �� ��������� f, ��� B’ ����-������ ����� ������� �� !-������, �� ��� ja �������� f’. &�� �� ���� �� �������� "’C’ �� ������� L’. 9� ������� L’ ���������� ������� �� �� �������� �� �������� "”C” �� ��� � �������� L”. $������ B”L” �� ����������� ������� f” �� ��������� f. ����'� ������ ����� t1 � ������� �� h’, � ������� ����� t2 � ������� �� f”, ���� t1 � t2 �� �������� ������� �� ��������� ��������� �� ����� �������� �����, �������� �� ������� t1 � t2 �� ������ ���������. ��, �� �� �� ������������ �������, ����� �������� �������� � ����� ���� ����� �� �������. ;� ��� �� �� ���(��� ��������� H2 � F1 � ��� ��� �� ���������� ������� t1 � t2, ������� t1 ������ ��� F1 � � ������� �� h’, � t2 ������ ��� H2 � � ������� �� f”.
��� �������� �� �������� �� ��������-����� �� ���� ������� &! �� ��� �� ����� ������� t1, t2 � x-������.
$����#� � ������
1. �� ��� ������ ���� �� �� ��������� ������� �� ���� ������� ������� ���� �� �� �������� �������� ����������?
����� � ����
99
:���� 6.17
:���� 6.18
:���� 6.19
2. <����� �� ������� A(7;2,5;2), B(10;1;5) � C(12;7;2). ��������� �� ������� �� ��������� �������� �� ��� �� ���������#� ��: �) ��� �������� �����; �) ��� ������� �����; �) ����� � ����� ��� �� ��� �� ���. 3. 9������ �� ������� �� ��������� & ����-���� �� ����������� ABC["(4;1;0,5),B(7;3;4),C(3;5;2)]. 4. 9������ �� ������� �� ��������� & ������-�� �� ������� �=AB[A(2;5;0),B(4;1;3)] � b=BC[B(4;1;3),C(0;0;6)].
6.4. #���� �� ��� ��� � <�� ������� �� ����� �� ����� ��� ��� �
���������� !����*)� � ��� �� �����(� �� ����� �������. �� ��� ������ '� ��������� ��� ������� �����.
#����) �� ��� !���)����*)� ������� �� ����� 6.17 �������� � ������ �� ���
���������������� ������� & � �. ������� �������� �, ����'� �� �����(� �� ����� �������, ���� ����, � ������� �� ��������� �1.
&������ p’ �� ���������� p �� ��������� �� �����, ������� �� ���������� ����� �� �����-�� t1 � s1. �������� ����� p” � ����� ������� �� ������� t2 � s2, ������� ������� �� x-������ (����� 6.18).
�� ����� 6.19 � �������� ������ �� ����-������������ ������� " � ����������������� ������� B.
�� ��� ���� ������� p’ �� ���������� p �� �����(� �� ������ ����� �1 �� ��������� ", � ������� p” �� �����(� �� ������� ����� b2 �� ��������� B (����� 6.20).
#����) �� !���)����*)� ������� �� �!@�� ������� �� ����� 6.21 � �������� ������ �� ����-
������������ ������� � � ����� ������� &. > ����� ������� �� �������� �� ������-
������ �������� �� ������ ����� s1, s2 � t1, t2. ����'� ��������� � � ����������������, �� ��� ��� �� ��� ��� ����� �� ������ ����� s1, ������ ��� � ������� p’ �� ���������� p ��� �� s1. &������ p’ '� �� ��������� �� ������
����� � ����
100
:���� 6.20
:���� 6.21
:���� 6.22
������� p �� ��� �� ��������� &, ������� ���������� ����� P1 � P2 �� ���� ��������� �� �������� ����� t1 � t2. $���� �� ���(��� ������� P1” � P2, � �� ��� � ������� p” �� ���������� p (����� 6.22).
"�� ����� ������ �� ����������������� ������� �� ����� �������, ����� ������� �� ������������ '� �� �������� �� ������� ����� �� �������������� �������.
%����� ���, ���� �� �������� ����:
�� ����� �� ���������� � ���� �� ����� � ���� ������� ������ ����-��� �� ��������� �� �����%� �� ������ �� ����������� � ���� �� ���� ��� �� �������.
#����) �� ��� �!@�� ������� �� ����� 6.23 �� ��������� ��� �����
������� K � � ��� �� ����� �� �������� �. ����'� ������� � ��� �� ����� �������,
�������� ��� ������ P1 �����(� �� ������ ����� �� ������ � �� ������� �������, ��� ����� � ����� �������� �����.
%����� ���, ���� �� �������� ������� e1, e2 � d1, d2 �� ��������� K � � ��������� �� � ��������� P1 (�������� ����� �� ������� e1 � d1) � P2 (�������� ����� �� ������� e2 � d2) �� ���������� �, � �� ��� � ������ ��������, ����'� ����� ����� � ��������� �� ��� ������ �����.
�� ����� 6.24 ��������� � ������������� �� ���������� � �� ����� ����� ������� K � �, ��� ����� �� ������������. �������� �� ���(�-�� ��������� P1 (�������� ����� �� ������� e1 � d1) � P2 (�������� ����� �� ������� e2 � d2). $����� ������� P1” � P2’ ��a� �� !-������.
&������ p’ ������ ��� ������� P1 � P2’, � ������� p” ������ ��� ������� P1” � P2.
�� ����� 6.25 ��������� � ������������� �� ���������� �� ���������� � �� ������� ������� K � �, �� ���� ���� ��������� K ��� ������������, � ��������� � ��� ����������� �����. $��������� � ������� �� ����!���� ���������.
����� � ����
101
:���� 6.23
:���� 6.24
:���� 4.26
>���*� 1. <����� �� ��������� &(-3;2;1) � R(5;3,5;-6). ���� � ������� ��������.
@�������� �� �������� � ��������� �� ����� 6.26. $��������� �� ������ ������#� ��������� �� ���������#� �� ���������� �� ��������� P1 � P2. &���� ������� p’ ������ ��� ������� P1 � P2’, � ������� p” ������ ��� ������� P1” � P2.
$����#� � ������ 1. 9����� � ���������� �� ���(�#� ������ �� �) ��� ������������ �������; �) ������������ ������� �� ����� �������; �) ��� ����� �������.
:���� 6.25
2. ������ �� ������������ �������� �� ���-������� p �� ��������� T(7;�;3) � R(3;�;-4). 3. ������ �� ������������ �������� �� ���-������� p �� ��������� �(5;4;4,5) � �(�;2;2). 4. ������ �� ������������ �������� �� ���-������� p �� ��������� a) "(-3;2;1,5) � B(3;3;4); �) �(2;4;-4) � B(-4;-3;2).
����� � ����
102
:���� 6.27
:���� 6.28
:���� 6.29
6.5. #�-�� �� #��� � > �#B� ��� ��
#��(�� �� !���� ��< �!@�� ������� $������� " �� � ��������� ����� �� ���-
���� ������� K � ������� � ������ �� �� ������ ���� ��� ������� � '� ��������� ��� ��� ������� ������� � � '� � ��������� ���������� b �� ��������� K � � (����� 6.27). ����'� �� ���������� b �� ���(��� ���� ����-����� ����� �� ��������� K � �, �� ��� '� ��� � �������� ������ ". %����� ���, �������� " '� �� ���(� �� �������� �� ������� � � ������-���� b.
��� ������� � ���� �� �� �������� �����-����� ����� �������, � ��(� ��� �� ���(��� � �������������� �������. $�� ���������#� �� �������� ����� ��������� � �� �� �������� �������������� �������, ����'� �����������-�� �� ���������� �� ��������� �� ���� �� �������������� ������� � ������������, �� ������������� �� �������� �� ��� ����� ���-����.
�� ����� 6.28 � ���������� ���������� �� ���������#� �� �������� " �� ������� � �� ��������� K, �� ����� �� ���������������� ������� @, ��� � ��������� ��� ������� �. $�� ���������#��� �� ���������������� ������� ��� �����, ������ ����� r1 �� ��������� @ �� �����(� �� ������� a’ �� ������� a, ������ �������� ����� ����� r2 � ������� �� x-������. @�������� K � @ �� ����� �� ������� b ��� ��� ������ ��� ������� B1 � B2, �������� ������ � ���������� ����� �� ������� � � b. %��� ������ �� � ������ ������� ������.
>���*� 1. <����� �� ������� �1 � �2 �� ��������� K � ���������� a’ � a” �� ������� �. ������ �� ���������� �� �������� " �� �����-�� � �� ��������� K.
a) @�������� K ��� ������������ ����� $����� ����� r1 �� ��������� @ ���������
��� ������� � �� �����(� �� �’, ������ ������� ����� r2 � ������� �� x-������. $��������� b’ � b” �� ���������� b �� ��������� K � @ �� ���(��� �� ���������� �� ���������#� �� �������� �� ��� �������, ��������� �� ����-!������ ������. �� �������� �� ������� a” � b” � ������� A” �� �������� ������ ", � �������� ����� A’ �� ���(� �� ������� a’.
����� � ����
103
:���� 6.30
:���� 6.31
$������� " � �� ���� �� ��������� K �� � �� ������ ��������, � ����'� ��������� ��� ������������ �����, � ������ ������� ������ �� ��� ������� � �������� ", ��� �� �� ������ ������ �� ��������. "�� ��������� K � ����������, ����� ��� �� �� ������� ���� �� ������� � �� � ��� ���, � ��� � ��� �� �� ������� ��� �� �������� ", �� ����� �����-����� �� �� �� �� ������� �� �������� �� ����������� ���� (����� 6.29).
�) @�������� K ��� ����������� ����� ��� ������� � ����������� �����������-
����� ������� @ � �� ���(��� ���������� �� ���������� b �� ��������� K � P. $����� ����� �� ��������� K � @ �� ����� �� ������� B1 � ������� ����� ����� �� ����� �� ������� B2, ��� �� � ��� x-������ ���� ����!����, ���� � ��� ���. $���� �� x-������ �� ���(��� ������� B1” � B2’, �� ������� b’ �� ���������� b � ������� ��������� �� ������� B1 � B2’, � �������� ����� b” � ������� ��������� �� ������� B1” � B2. $�������� �� �������� ������ " �� ���������� ����� �� ������� a”, b” � a’, b’, ���������. ����'� ��������� K ��� ����������� ����� ���� � ������ ������ � ������ �������� ����� ������, � ���� � ������ �������� � ������ �������� ���� ������ (����� 6.30). %����� ���, ���� ������ ������ ��������� �� �� ������� ��� �� �� ������� � �� � ��� ���, ������� ��� �� �� ������� �� ��� � ��� �� �������� ", �� ����� ������� �� �� �� �� ������� � ������� �� ����������� ����. "�� � ������ ��������� ��������, ��� �� �� ������� ��� �� �� ������� � �� � ������ ���, ������� ��� �� �� � ����� �� �������� ", �� ����� ������� �� �� �� �� ������� � ������� �� ����������� ����.
"�� ��� ������� � ��������� ����������-������� ������� �, ����� ������� ����� s2 �� ��������� �� �����(� �� ������� a” �� ������� �, � �������� ���� ����� s1 � ������� �� x-������. $��������� b’ � b” �� ���������� b �� ��������� � � K �� ���(��� ���� �� ������ ���� ����������� ���������������� �������, � ���������� �� �������� ������ " �� ������-���� ����� �� ������� a’, b’ � a”, b”, ��������� (����� 6.31).
����� � ����
104
:���� 6.32
#��(�� �� !���� ��< ������%��) ������ �� ������ ���������� �� �����
����#� �� ����������� � ���������� �� ���-���� � (����� 6.32).
$�������� ������� @ ��� � ����������� ��� ������� � ���� � �����������������, ��� ����� ���� �������� ����� ����� r2 �� �����(� �� ������� �” �� ������� �, � �������� ���� ����� r1 � ������� �� x-������. 9� �������� �� ��������� ������� ���������� ���� ������� p” �� ���������� p �� �����(� �� ������� ����� r2. &���� �� �� ��������� � ������� p’ �� ���������� p. ;� ��� �� ������ ��� ������� ����� ��� ���� �� �������� �� �����������. %� 1” '� � �������� ���������� ����� �� ������� p” �� �������� A”B”, a �� 2” '� � �������� ���������� ����� �� ������� p” � �������� B”C”. ������� ������ 1’ � 2’ '� ���� �� ����������� ������ A’B’ � B’C’. �� �� ����� � �������� ������ ���������� � �� �����(� �� ��������� ��������� �� �����������. $��������� ����� �� ������� p’ � a’ � S’, � ��� � � ������� �� ���������� ����� S �� ������� � ��� ��������� �� �����������. �������� ����� S” ����� �� ��� �� ������ �”, ������� �� ���(� �� �������� �� ��������� �������� �� S’ � �”.
��������� �� ��������� �� ����� �� �������� �����. ;� ��� �� �� ���� �������� �������� ��� ������� ����� �� �������� �� ������� a’ �� �������� A’C’, � ��� 3’ �� �������� A’C’ � 4’ �� ������� a’. ������� ����-�� ���� ��������� �� �������� A”C”, ������� �� ������� a”. ;���������� ���� ������� 3” � �������� �� ������� 4”. ����'� ������ ������, ������� 3 � ������� ������� 4, ��� ����� ���� �������� AC �� �� �� �� ������� ������� �� ������� � �� ��� �� ������� �� �������� S’ � �������. <������ �� �� �����-�� � ��� �����������, �� �� � �����.
"������ ����������� ��� ���������#� �� ��������� ���� ������ ��������. $����#� � ������ 1. ���� �� �������� �� ������� �=AB[A(1;1,5;1),B(3;2,5;4)] ��� ��������� &(5;5;3). 2. ���� �� �������� �� �������
����� � ����
105
:���� 6.33
c=CD[C(1;1,5;3),D(3;3;0,5)] ��� ��������� &(3;4;-2). 3. ���� �� �������� �� ������� e=EF[E(3;5;5),F(7;1;1)] ��� ��������� ��������� �� ������� "(2;3;2), B(6;5;1) � C(8;2;5). 3. ���� �� �������� �� ������� m=MN[M(0;7;1),N(10;0;4)] ��� ��������� ��������� �� ������������ ABCD["(6;0;1),B(10;1;2),C(3;4;4),D]. ��������. ;� ���������#� �� ���������� �� ������� D ������� �� ��������� ���� ������� ������� ����� ������� ��������.
6.6. ������ �� �#B� ��� ��
9� ����������� � ������� ���� ��� ����� � � ������� �� ������� K, ����� ��� � ������� �� ����� ����� �� ���������. 9����� ������ ���� ������� � '� ���� ������� �� !����������� m � ��������� n �� ��������� ��� �������� ��� ���������� ����� " �� �������� � (����� 6.33).
����'� !����������� m � ������� �� �1, ������� ��� ��� �� ����'��� !��������-��� m � �������� � '� �� ��������� �� ���� ��� �� ��������� �1. %����� ���, ����� ��(� ������� �’ �� �������� � � ������� m’ �� !����������� m '� ���� ���� ���. ����'� ������� m’ � ������� �� ������ ����� �� ��������� K � ����� ��(� ������� �’ �� �������� � � ������ ����� �1 �� ��������� K '� ���� ���� ���.
%����, ����'� ��������� n � �����-�� �� �2, ������� ��� ��� �� ����'��� ������-��� n � �������� � '� �� ��������� �� ���� ��� �� ��������� �2. %����� ���, ����� ��(� ������� �” �� �������� � � ������� n” �� ��������� n '� ���� ���� ���. ����'� ������� n” � ������� �� ������� ����� �� ��������� K � ����� ��(� ������� �” �� �������� � � ������� ����� �2 �� ��������� K '� ���� ���� ���. %����� ���, ����� ����
��� ���� � �� ���� �� � ����, ����� ��������� ���� � �� ���� �� ����� ���� �� � ������, � ��������� ��� � �� ���� �� ������ ���� �� � ������.
����� � ����
106
:���� 6.34
:���� 6.35
>���*� 1. <����� �� ������� �1 � �2 �� �������� K � ���������� T’ � T” �� ������� &. ������ �� ���������� a’ � a” �� ������� � ��� ������ ��� ������� & � � ������� �� �������-�� K (����� 6.34).
&������ �’ �� ������� � ���� �� ������ ��� ������� &’ � ���� �� ���� ������� �� ������ ����� �1 �� ��������� K. %����, ������� �” �� ������� � ���� �� ������ ��� ������� &” � ���� �� ���� ������� �� ������� ����� �2 �� ��������� K.
>���*� 2. <����� �� ���������� T’ � T” �� ������� & � ���������� a’ � a” �� ����� �. ������ �� ������� �1 � �2 �� �������� K ��� ������ ��� ������� & � � ������� �� ������� � (����� 6.35).
%����� ������� ������, ������ ����� �1 �� �������� K ���� �� ���� ������� �� ������� �’, � ������� ����� �2 ���� �� ���� ������� ������� �”. ����'� �� �� ������� �������� �� ������� ������ �� �� �������� ���������� �� ���� !��������� �� ������-� �� ��������� K ��� ������ ��� ������� &. &������ m’ �� !����������� m ��� ������ ��� ������� & ���� �� ������ ��� ������� T’ ������� �� a’, � �������� ����� m” ���� �� ������ ��� ������� T” ������� �� x-������. "�� �� ����� �� m’ � m” � ������ ������� �������� ����� M2 �� !����������� m, ����� ����� ���� ����� �� ������� ����� �2 �� �������� ������� K.
��� ������� M2 ������ ������� ����� �2 ������� �� �” �� ������� Kx �� x-������, � ��� Kx ������ � ������ ����� �1 �� ��������� ������� �� a’.
$����#� � ������ 1. ��� ������� "(4;4;3) ������ ������ ��� ��������� &(6;4;�). 2. ��� ������� &(3;4;1) ������� ������� K ������� �� ������� p=AB[A(1;4;6),B(5;1;2)]. 3. <����� � ��������� AB[A(2;3;2),B(6;5;4)]. ��� ������� B ������� ������� K ������� �� ��������� AB. 4. �� ��������� &(7;4;8] ��� ������� A(3;y;4). 9� ������� " ������� ������ �� ��������� & � �� ��� ������� ����� D, ���� ��� .cm5AD �
����� � ����
107
:���� 6.36
:���� 6.37
6.7. ��-�,��$� �� �#B� ��� ��
��(��&��'� �)�%& !����� ����� �� ����� 6.36 ����������� �� ���������
�1 � �2, ���� � ���� �� ������� ������� K ��� �� ���(� ��(� �������� ����� �1 � �2. >��� ����, ��������� � ����� " �� ��������� K, ����� p ��� ��� � ������� �� ������ ����� �1 � ������ ��� ������� ", �������� ���� ������ P2 � ������� p’.
"�� ��������� K � �������� ���� ����-���� ���� ����� �1 �� �1, ����� ����� ������ ����� ������� ������ �� �� �������� �� ������ �� �1 ��� ��� � ������� �� �1. &���� ������� P2 ������� �� P2(P2) �� �������� �� ������ �� ���������� ����� P1 �� ������� � ��� ��� ������ ��� P2, �� ������ .PP 21 &������ " ��� ��� �� ������� � ������� ������ �� "(") �� �������� �� ������ �� P1 � ������ .AP1 $������ � � ������� �� ������ ����� �1 � � ���� �1 �� ������� @1, �� ���������� ����� (�) '� ���� ������� �� �1 � '� ������ ��� ������� P1. %��������� ����� (P2) '� ��� �� ���������� ����� (�), � �������� �� ��������� P1(P2) '� ���� ������� �� �������� �� ��������� P1P2. >��� ����, ���������� ����� (") '� ��� �� ���������� ����� (�), � �������� �� ��������� P1(") '� ���� ������� �� �������� �� ��������� P1". "�� ������� Kx �� ��� �� ����� ������� �1 � �2 � ������� �� ������� (P2) � �������� ������� (�2), ������� ����� ����� �� ��������� �� �������� ����-��. ��� ������ �� ������� �������� ������ �� � ������ ������� ������.
>���*� 1. <����� �� ������� �1 � �2 �� ��������� K � ������� "’ �� ������� ". %����� �� �� ��������� �1, ���� ������ ����� �1, ������� ����� �2 �� ��������� � ������� " (����� 6.37).
�������� �� ����������� ������� A” �� ������� " �� ����� �� ������� � �� ��������� K ��� ������ ��� ������� " � � ������� �� �������� ���� ����� �1. $���� � ������ ���������� ����� (�) �� ������� � ��� ������ ��� ������� @1 � � �o����� �� �1. �� ������� (�) ���� �� ��� �������� ����� �������� ������� (@2). %��� �� �� ��������� ������-����� �� ������� @2 �� ������ ����� �1, ������� ����������� ������� �� ���������
����� � ����
108
:���� 6.38
@1P2. "�� @2’P20 � ������� �� p’ �
,P'PP'P 220
22 � ����� .PPPP 210
21 � "�� � ��������� ��������� @1P2
0 �� @1 �� (p) � �������� ���������� ����� �������� (@2) �� ������� �, �� ������� Kx(@2) e ���������� ����� ����� (�2). %��������� ����� (") '� � ������ ��� � �������� ����������� ������� @1"0 �� �����-���� @1" (��� "’"0 � ������� �� �’ �
,"AAA'A x0 � ����� )A(PAP 101 � ), �� �������'� �� @1 � �������� �� (�).
��(��&��'� �)�%& ������� ����� $�� ��������#� �� ��������� K ���� ������� ����� �2, ����� ������ ����� ������� �� �� �������� ������� �� �2 � �� ������ �� �2. @������� �� ���������� � ������� �� ���� �� ������� q ��� ��� �� ��������� � � ������� �� ������� �����, �������� �� �������� ���� ������ � �������.
>���*� 2. <����� �� ������� �1 � �2 �� ��������� K � ������� "” �� ������� ". %����� �� �� ��������� �2, ���� ������� ����� �2, ������ ����� �1 �� ��������� � ������� ".
�������� �� ����������� ������� A” �� ������� " �� ����� �� ������� q �� ��������� K ��� ������ ��� ������� " � � ������� �� �������� ������� ����� �2. $���� � ������ ���������� ����� (q) �� ������� q ��� ������ ��� ������� Q2 � � �o����� �� �2. $���� �� ����������� ����������� ������� Q2Q1
0 � Q2A0 �� ��������� Q2Q1 � Q2A (Q1”Q1
0 ������� �� q”, 0
110
11 QQQ"Q � , A”A0 ������� �� q”,
'AAA"A x0 � ). "�� ���� ������� �� ��������
�� ������� (q) �� �������� ������� (Q1) � ("). $������ Kx(Q1) e ���������� ���� ����� (�1), � ������� (") � ��������#��� �� ������� ".
$����#� � ������ 1. >������� ���� �� ��� ���������� ������� �� ������ � ���� ���� ������� ���������� ����� �� ������, ��� '� �� ������� ���� ������� �� ���������. ;��� ����� �� ���� � ��� ���� ������� ���. >���� ������ � ��
����� � ����
109
:���� 6.39
�������. ;����� �� ������� ���� ����� �� ���������, � ����� ���u����� � �������� �� ������� ��� ��������#���. 2. <����� � ��������� &(5;4;3) � �� ��� �����-�� "(1;2;z). %����� �� �� ��������� �1, ���� ������ ����� �1, ������� ����� �2 �� ��������� � ������� ". 3. <����� � ��������� &(6;6;6) � �� ��� �����-�� "(3;y;1,5). %����� �� �� ��������� �1, ���� ������ ����� �1, ������� ����� �2 �� ��������� � ������� ". 4. <����� � ��������� &(6;5;6) � �� ��� �����-�� "(1,5;1;z). %����� �� �� ��������� �2, ���� ������� ����� �2, ������ ����� �1 �� ��������� � ������� ".
6.8. ����� �� ? �, �� ��;� �� �#B� ��� ��
%� ��������#� �� ����� �������, ������ �� ������ ��� ������� � ���: �� ��������� ��������� ������� �� ���-�������� ������ ���� �� �������� �������� ���������� ��������, � �� �������� ���������� �������� �� ���-�������� ������ ���� � ������ �������� ���-������ �������.
> �� ����� ����� ������������� ������ ��� �� ��������� �������. @�����#��� �� ���������� ������� '� �� ���������� �� �������.
>���*� 1. <����� �� ������� �1 � �2 �� ��������� K � ������� A’B’C’ �� ����������� ABC �� ��� �� ���. ������ �� ����������� �� ��������� ������� (����� 6.39).
$��� �� ����� �� !��������� m ��� ������ ��� ������� A '� �� ��������� ������� A” �� ������� ". $���� �� ����� �� ������ ������ C1 �� ������� AB � ������ ������ B1 �� ������� AC �� ���(��� ������� �� ������� B � C.
$������� � ���������� ������� " ���� ������� �1 �� �1 �� ���������� ������� �� ����!������ ������. >����, � ������ ����-������ ����� (�) �� ������� � ��� ������ ��� ������� " � � �o����� �� �1. &���� p’ ������ ��� "’ � � ������� �� �1. 9� "’ ������ ������ �� p’ � �� ��� �� ����������
����� � ����
110
:���� 6.40
����������� �� Ax �� A”. &��� � �������� ������� "0. %��������� ����� (") � ���(��� �� ������ .)A(PAP 101 �
;� �� �� �� ���������� ������� B � C �� ������ �������� ������ � �� �� ������� �������: $�� ��������#��� �� ��������� K ���� ������� �1 ����� ����� �� ������� �������� �� ������ �����. %����� ��� � ������� C1 � B1 �� ��� ������� �� ��� ���� �������� �� ������-����� �� ����� �� ������� �1 '� ������� �� ������ �����. &��� ��������� C1(A), ������� B1(A) '� ���� �������� �� �������� C1A, ������� B1A. "�� ���� �� B’ �������� ���-��� �� �1, ��� '� ja ���� ��������� C1(A) �� �������� ����� (B), ������ �������� ������-�� �� C’ �� �1’ '� ja ���� ��������� B1(A) �� �������� ����� (C). &���������� (A)(B)(C) e ��������� ������� �� ����������� ABC.
>���*� 2. <����� �� ������� �1 � �2 �� ��������� K � ������� A’B’ �� ������� ��� ��� ��� �� ���. ������ �� ���������� �� ��������� ABCD �� ��� ��� �� ��������� K (����� 6.40).
%� ����� �� !��������� m ��� ������ ��� ������� A '� �� ��������� ������� A” �� ������� ". $���� �� ����� �� ������ ������ K1 �� ������� AB � �������� ����� E1”A” �� ����������� ������� B” �� ������� B.
����'� ���������� �� ��������� ���� �� ����� ��������, ������ ��������� K ������ �� ��������� AB �� � �������� ���� �1 �� �2. $���� �� ����� �� ���������� ������� '� �� �������� ���������� �������, � �� ������ ����� '� �� �������� �������� ��������.
%��������� �������� AB �� �1 ���� �����-�� �1 '� � ������ �� ����� �� ���������� ����� (") � ������ ������ K1 �� ������� AB, � ����� ��� �������� (A)(B) '� �� �������� ���������.
����'� ������ �� �������� ��� ������-��, ���� �� ������, � ���� �� ������� ������, �������� ��� ��� �������. �� ������� � ������� ��������� (A)(B)(C)(D) �� �� ���(� �� ����� ������ �� ���������.
;� �� �� �������� ������� D’ �� ������ D ��� ���� ���������� ����� � ��� ��� �� ��������� � � ������� �� ������� �1. &����
����� � ����
111
:���� 6.41
�������� ����� �’ � ���������� ����� (�) ���� �1 �� �1 �� �����(��� �� �������� �������� �� (D) ��� �1. %��� ����� ��� ���� �� ��������� K � �� ������� �� ������ ����� �1 ����'��� ��� ��� �1 �� ��������� �1, �� ����� ��� ��� F1 �������� ����� ������� �� ��������� P1A0 '� � ������� ������� �0 ��� � �������� ����� �� ������� � �� �1 ���� ����� ����� a’. "�� ������� �0 � ��������� �� �������� �� ������ �� F1 ������� �� ������� (D), '� � ������� ������� D0. $������ ������-�� �� D0 ������� �� a’ � ���� a’ �� ������� D’ �� ������� D.
;� �� �� ��������� ������� C’ �� �����-�� C ��� ������� (C) ���������� ������ �� �1, ����'� �� ��� ����� �� ��� C’. $���� ��� B’ ������ ����� ������� �� A’D’. ����'� ������� ������ ����� ������� ��������, �� �� �������� �� ���� ��� ����� �� ���(� ������� C’. ������� C” �� ������� C ���� �� ���� �� �������� �� ��������� �������� �� C’ � ������� �������� ��� ������� B” �����-�� �� A”D”.
"�� ���� ����������� �� ����� ��������, ����� �� ����� ����� �� ���� C’D’ ������� �� A’B’ � C”D” ������� �� A”B”.
>���*� 3. ������ �� ���������� �� ����-���� ��� ��� �� ��������� K �� ����� �1 � �2, �� ������ �� ������� S � ������ r (����� 6.41).
%� ��������#� �� ��������� K ���� ���-���� �1 �� �1 '� � ������� ���������� ������ (S) �� ������� S. 9�������� �������� (k) �� ������ �� (S) � ������ r. &��� � �������� ���������� �������� �� �������� ��������.
�� ���������� (k) ������ ��� ������ ���-���� �������� (A)(B) � (C)(D), �� ��� (A)(B) ������� �� �1 � (C)(D) ������� �� �1. &���� �� �������� �� ���� �������� ����� ���� A’B’ e ������� �� �1 � C’D’ � ������� �� �1. &��� �������� ���� ,r2)B)(A('B'A �� �� ���� ��� ������ ���� "’B’ � ������� ���� �� �������, � C’D’ � ����� ���� �� �������.
������������ �� ������� � ���������� �� ����� �� ��������� �������� �� ����������� �� �����. "���������� ������� ������ �� � ������������ �� ���(�#� �� ���������� �� ������ ���� ��� ����� �� �������.
����� � ����
112
$����#� � ������ 1. �� ��������� K (7;6;5) ��� ������������ ABCD[A(0,5;3;z),B(2,5;3;z),C(3,5;1;z),D]. ������ �� �������� �����, � ����� ���� � �������� ��������� ������� �� ��������#� �� �����-���� K
�) ���� ������ ����� �� �1; �) ���� ������� ����� �� �2. 2.�� ��������� K (4;5;-5) ��� ������������ ABCD[A(2;y;2),B(5;y;3),C(6;y;5),D]. ������ �� �������� �����, � ����� ���� � �������� ��������� ������� �� ��������#� �� �����-���� K
�) ���� ������ ����� �� �1; �) ���� ������� ����� �� �2. 3. ������ �� ���������� �� ������� �����-����� �� ��� ��� �� ��������� K(10;7;6), ��� ������� S(3;2,5;z) � ����� ������, � ������� A(2,5;4;z) � ���� ������ ����. 4. ������ �� ���������� �� �������� ��� ��� �� ��������� K, �� ������ �� ������� S(3;2,5;z) � ������ r=2,5. 6.9. ����� �� ��� �� ��;� �� ������� �� �#B� ��� ��
�� ��� ������ '� ������ ���������� �� ����������� ��� ��� ������ � �� ����� ���-����. %� ������ ������� '� � ���������� ���������� �� ������#� �� ����� ������.
>���*� 1. <����� �� ������� �1 � �2 �� ��������� K � ������� A’C’ �� ��������� AC ��� ��� �� ���. ������ �� ���������� �� ����� ������� ������������ ������ ��� ��� ������ ��� �� ��������� K, ��� ��������� AC � �������� �� ��������, � �������� h=3cm (����� 6.42).
;� �� �� �������� ���������� �� �������� ABCD �������� '� �������� !��������� m ��� ������ ��� ������� A �� �� �� �� ��������� ������� A” �� ������� ". $���� �� ���(��� ������� C” �� ������� C �� ����� �� ������� A”F” �� ������� �� ��� ��� �������-��� AF �� ����� A’F’. $������� � ������
����� � ����
113
:���� 6.42 ���������� ������ (A)(C) �� ���������� AC �� ��������� �1 ���� ������ ����� �1 �� ��������� K, �� �� ����� �� ��� �� ������ ��������� (A)(B)(C)(D) ��� ��� �������� �� ����� �� ������� (S). %��� '� �� ��������� ������� S’ � ������� S” �� ������� S ��� ��� � �� ���������� AC, �� �� ����� �� �����-����� �� ������� S � ���(��� ���������� �� ���������� BD. "�� ������� �� ��� ��� ���������� (B)(D) � ���� ������ ����� �1 �� ������� G’, ����� ������� G’S’ � ����� �� ������� �� ��� ��� ��� ��������, � �� ��� ���� ������� B’ �� ������� B � ������� D’ �� ������� D. $������ G”S” � ����� �� ������� �� ��� ��� ��� ��������, � �� ��� ���� ����-���� B” �� ������� B � D” �� ������� D. �� �� ����� � �������� ������� � ������� �� ����-���� ABCD.
����� � ����
114
����'� ������� ��� � �� �� ������� ����-#��� " � "1 �� �������� � ������� �� �����-���� K, �������� �������� �’ � a” '� ����� ������� �� ����������� ����� �� ���������. �� ���������� '� � ������� ��������-�� �� ���(�#� �� ���������� �� ������ "1 �� ����� �. ����'� ����� � �� �� ������� ����#�-�� " � "1 � ������� �� ��������� K, �� � ������� �� ������� � ��� ������ ��� ������� " � � ������� �� ������ ����� �� ���������. ;����� ��� ��� ������� " ���������� ������ �� ���������� ����� �0 � ���������� .cm3AAa 100 �� "�� ��� ������� "1
0 �������� ����� ��-����� �� ��������� "0"’, ����� ��� '� � ���� ������� �’ �� ������� "1’. ������� "1” �� ������ "1 '� �� ������� �� ������� a” �� ����� �� ��������� �������� �� ������� "1’. ����'� ������� ������ �� �������� �� ������� � �������, ��� ����� ������� � ������� ��������. ;���� �� ������� � ������� ��������� A’A1’, B’B1’, C’C1’ � D’D1’, ���� � ��������� A”A1”, B”B1”, C”C1” � D”D1”. "�� ���� �� ������� ��(� ���� ��������, � ����� �������� �� ������� A1, B1, C1 � D1, '� �� ������� ���������� �� ������� ������ �� ��������. �� ����� ����� �� ��������� ��� ����-�� �� �������� �� ������, � ��� �� �� ����-��. %��� ������ �� �������� ��� �����(��� �� ��������� �� ����� �������� �� �������� �� ������ �� ��� ��������. ;����� ��� �� ���� ���� �� ������ ��������� �� ����� �������� �� ��������, � ����� � ���������� ��������� �� ���� ����#� �� �������� ��� ��� �������� �� �� ������������ �� ��������� �� ��������. ����'� �� ������������ �� ��������� �� ������� �� �������� ������� ���� ������� C’ � A1’, ����� �� �������� ��� �� ����� ����� C’ � A1’ � ������. ����'� ������� A1” �� ������� A1 � ��� ������� C” �� ������� C, ���������� ���� �� ������� ������� A1 � ������, � �����-�� C �� � ������. %����� ���, �� ������� �� ������ ���� ���� ������ ��� ��������� �� ������� �� ������ A1, � �� �� ������ ���� ���� ��� ��������� �� ������ C. �� ��������� �� ������� �� �������� �� ���(��� ������� B” � D1”. ����'� ������� D1’
����� � ����
115
�� ������� D1 � ���� ������� B’ �� ������� B, ���������� ���� �� ������� ������� D1 �� ����, � ������� B �� �� ����, �� �� ������� �� ������ ���� ���� ������ ��� ��������� �� ������ D1, � ���� ���� ��� ��������� �� �����o B �� �� ������. �� �����, ������ ���� ����� �� ������� �� ��������� K ��� ������� ��� ���������� �� �������� �� �� �������� �� ����������� ����.
>���*� 2. ������ �� ���������� �� ���� ������� �� ������ �� ��������� K(8;7;6), ��� �������� �� �������� � S(2,5;2,5;z), �������� �� �������� � 3cm, � �������� � h=5cm. (����� 6.43).
:���� 6.43
����� � ����
116
$��� ������ !��������� m ��� ������ ��� ������� S �� �� �� �� ��������� ������� S” �� ������� S. $���� �� ������ ������� A’B’ � ������� A”B” �� ��� �������� AB �� ������ ������ �� ��� �� !����������� m, ���� � ������� C”D” � ������� C’D’ �� ��� �������� CD �� ������ ������ �� ��� �� ��������� n ��� ������ ��� ������� S.
;� ������� k’ ��� ��� � ����� �� ����-���� �� ��������� � ����� ������� ���� A’B’ � ��� ����� C’ � D’, � �� ������� k” ��� ��� � ����� �� ��������, ��������� C”D” � ������� ����, � A” � B” �� ��� ������ �����. %����� ��� ������ �� �� �������� ������� k’ � k”.
;� �� �� �������� ���������� �� ������� ������ �� ���������, ������ �� �� �������� ���������� o’ � o” �� ������ �� ��������� � ���������� S1’ � S1” �� �������� S1 �� ��� ������. $������ o’ � ������� �� ������� e1, � ������� o” � ������� �� ������� e2.
<� � ��������� ���������� �� ���(�#� �� ���������� S1’ � S1” �� �������� S1 �� ������� ������. �� ���������� �� ������ �� ��������� �� ���������� ���������� T’ � T” �� ��������� ����� T. $���� � ����������� ����������� ������� S’T0 �� ��������� ST �� ����� �� ������������� ��������� S’T’T0 (T’T0 � ������� �� S’T’ � "NTT'T 0 � ). %��� �� ���������� ���� o0 ��� ������ ��� ������� S’ � T0 � ���(��� ������� S1
0 ���� ��� ,cm5hS'S 1 �� �� �� ����� �� ������� S1
0 �� ����������� ������� S1’ � ������� S1” �� �������� S1 �� ������� ������.
$��������� �� ������� ������ �� ����-����� �� ������� k1’ � k1” ��� �� ������ � �� ����������� �������� �� ������ ������, >���������� AA1 � BB1 �� �������� ��������� �� ������� �� ���������, ������ ���������-�� CC1 � DD1 �� �������� ��������� �� ����-���� �����.
@�������� K ��� ������������ ����� � ������ ������ �� ��������� � �� ���������, � ������� ������ � ������� �� ���. %����� ���, �� ������� � ������� '� � ������ ������ ������ �� ������� ������ �� ���������, � �������� ���� ������ ���� �� � ������. ���� �� �� ������ ���� ��� �� �� ������
����� � ����
117
����� �1 �� � ��� ���������, ���� � ��� �� �� ������� ����� �2 ��� ������ ������ ����. $����#� � ������ 1. ������ �� ���������� �� ����� ��� �� ���� ������ ��� �� ��������� @(8;7;6), ��� �����-��� �� ��� ������ � S(2,5;2,5;z), � ������� A(4;2;z) � ���� ������ ����. 2. ������ �� ���������� �� ����� ������� ��������� �������� ��� ��� ������ ��� �� ��������� K(-10;8;10), ��� �������� �� ������-�� � S(-3,5;3;z), ������� A(-2;2,5;z) � ���� ���� �� ��������, � �������� �� ���������� � h=6cm. 3. ������ �� ���������� �� ���� ������� �� ������ �� ��������� K(10;7;6), ��� �������� �� �������� � S(3,5;2,5;z), �������� �� �������� � 3cm, � �������� � h=5cm. 4. ������ �� ���������� �� ���� ����� �� ������ �� ��������� K(-10;7;6), ��� �������� �� �������� � S(-3,5;2,5;z), �������� �� ������-�� � 3cm, � �������� � h=7cm.
����� � ����
118
&������� ����� 7. �� ��� #���� ��
�� ���� �������� ����� �������� ����
� �� ����� ��������� ��������� �� ��
��������� ��� �����#� �� ����� �
������ �������� �����������#�
� �� ����� �� ������� ��������� ������
�� ���������#� �� ������ ��
�����������, ������������ �
!����������
� �� ����� �� ������� ����� ����� �
�������
� �� ����� �� �������� �����
� �� ����� �� ������� ������� � ���
�� �����
� �� �� ����� ������� �� ��������
������ � ������ ������ �� ���
�����
� �� ����� �� ������� � ������ �� ���
�������
� �� �� ����� ������������� �������� -
�����
� �� ����� �� ��������� ��������
�������� (����� � �����)
� �� ����� �� ����� � ����� ��
!���������� �������� �� ����
�������
� �� ����� �� ��� �� ����� �� �����
������� �� ���!����
"������ �������
120
������ ��� �� 7. �� ��� #���� �� 7.1. �������� !���)���� �� ��*)� 7.2. �������� !���)���� �� !���� � ����*)� 7.3. >����� !�%�"(� �� ��� !���� 7.4. #�������&��'� �� ������� 7.5. #����) �� ��� ������� 7.6. #�������&��'� �� ��!����+�)� !���@��� – ����� 7.7. �)�! (&��)) � ����! 7.8. #�� �� ��)%�� �� )��� �������
7.9. #�� �� ��)%�� �� ����� <������ �� �<�=�!��
"������ �������
121
:���� 7.1
:���� 7.2
:���� 7.3
7. �� ��� #���� ��
7.1. �� ��� #���� �� �� �:��
��'� ��������� ���� ���� ����� �� ��������� � ������ �������� �� ��� ����-������ ��������. ��, ��� ����� ��������-�� �������� �� ����� ��� ���� ���� �����-����� ������� � �� ������ ����������� �� ���������� ��� ����� �� ������������ ���-����, ������� �� ��������� '� ���� ������ ��������. ;� ���������� ������� � ����-���� !������������ �������. @��������-�� �� ������� �� ��������� �� ������������ ������� �� �������� �� ����� � �� ������-���� )���. ;���� ��� ����� � ������ ���� )������� !���)����'�, � ���������� ��� � �������� ���� )������� !���)����.
��������� �������� ��� ������� ������� ��� �����������#� �� ����� �� �������� ��������, ���� �� ������ �� �������������, ��� ���������#� �� �����-��, ��������, �����, ��� �������#��� �� �������� �������� ���.
��� ��� ��'� �������, �� ���������� �������� ������ ���� ������������ �����-�� � � �� !���������� ������ � �������� �� ���������#� � ������� �� ���. 9� ��������� ����� ", ��� � ������ �� �����-������� ������� ���������� ������ �� ������������ ������� � ��� ��� � �������-�� ��������� � �� ������� "’. &������ "’ ����������� �������� �������� �� ������� " (����� 7.1).
%� ���������� ���� ����� ��� ��� � ��� ������������ ������� � ��� ��������� ���� � ��� � ������, ������ ����� ��� ��� � ��� ��������� � �� ��� ��������� ���� � ��� �� � ������.
&������ " ��� ��� � 3,6m ��� �����-���� � �� �������� �������� �� ��� ����������� ���� "’(3,6). &������ B � ��� ��������� � �� 2,4m � �� ��� ����������� �� B’(-4). &������ C ��� �� ��������� � � ��� ���� ���, ������� %=%’(0) (����� 7.2 � ����� 7.3).
$��������� �� ����� ����� ��� � ��������� ���� � ���������� )������� ��*)�.
"������ �������
122
:���� 7.4
9� ������� �������� ������ �� ����-���� ����
������ ����� �� ������� � �����-�� ��������� �� ������� ���������� ������� � �� ������.
$����#� � ������ 1. A�� �� ��� ����? 2. ;� ��� �������� ����� ���� � �������� ��������? 3. ��� �� ���������� ������� �� ���������� ��������? 4. ������ �������� �������� �� ����� " ��� ��� �
�) 5m ��� ��������� �; �) 3,5m ��� ��������� �; �) �� ��������� �.
7.2. �� ��� #���� �� �� #��� ���:��
�������� !���)���� �� !���� K��� ����� �� ��������� � ������ �������� �� ��� ������ �����, �� ����� �������� ���e���� �� ����� �� ��������� �� ����� �� ���������� �������� �� ��� ����� ��� �� ������ �������. �� ����� 7.4 ��������� � ������� �="�[A(0),B(hb)] �������� �� ���������� �������� �� ��� ������ ����� "="’ � �’(hb); a’=A’B'. $������� �� ������� � ��� ��������� � ��� ���� ��� � ����������� ������� �� �������� �� ���������� �� �� �������. <��� �� ������� ��� ��������� � (������ ����� �� ��������� ����) � ����� � �� ������ �� ���� ����, ������ ���� �� ������� ��� ��������� � (������ ����� �� ��������� ����) �� � ����� � �� ������ �� ����������� ����. "�� ������� � �������� �� �������� ������ ������ �� � ��������� ������-����� ������� �� �������� ��� �� ������� �� ��������� � �� ����� ��
"������ �������
123
:���� 7.5
:���� 7.6
:���� 7.7
:���� 7.8
������������ ������ �� ������������ ���������. �� ����� 7.5 �� ��������#� �� �������� ��’C’C ���� �’ �� � �� �������� �������� �’B0C0C’. %� ��� ������� � � ���������� �� �������� ������ �0 � �� ����������� �������� ��� �0 �� ������-��� �������. ����'� ��� ����� ���� ����'� ������� �� ��������� ���, ������� ������� � � ���������� �� ������� �� ������� �� ������������ ��������� (����� 7.6). �������� !���)���� �� !���� � ����*)� �� �!�����%�� !�%�"(� <� �� ��������� ����� 7.7 � ����� 7.8. $������ � � ������� �� ������������ ������� �. �������� �������� �������� � ������� �’. <� ������� ���� ���� ������ ����� ����� ������� ����. $������ b ��� �� ������������ ������� � � ��� �� �����(� �� ������ �������� �������� b’. $������ c � ������� �� ������������ ������� � � �������� �������� �������� c’ � ��������-�� ����� �� ������������ ������� �.
����&���'� �� !���� � ����*)� $�� ������ ����&���'� �� !���� �%�
����*)� �� ���������� ���������#� ���-����� �� ����� ��� ��� ���� �� ��������-���� ��� ������. +�������#��� �� �����-�� �� ��������� �� ��������������� ��-�����. $������ ��� ������ �� ��������#� �� ����� �� �������.
$����� �� ������� �� ��������#� �� ������� �� ��������� �� ����� �� �������-����� ������ (�� ������������ ������-���), ���������#� �� �������� ������-������ ���� � ����� ����������� �� �����-���.
������� �����, �� � ������������, �������� � �� ����� 7.9. <������� ������� "’(2) � �’(6,6) � ���������� ���� ��� �� ������� "’ ���������� ��������� ������-�� m, �� ��� ����������� ��������� �����-�� �������, �� ������, 1cm. $� ���������� m ����������� 4,6cm, ����'� ���������� ������ ��(� " � � �������� 4,6m. <����-���� ����� 6,6 �� ���������� m �� �������-���� ���� � ��������� �� �’(6,6). 9� ���-������� ����� �� m ���������� ������� ������� �� ��������� �� ����� ����� 6,6 �
"������ �������
124
:���� 7.9
:���� 7.10
:���� 7.11
:���� 7.12
�’(6,6). �� �� ����� ��� � ��������� ��������� � ��� �� ����� ���������� �� ������� 3’, 4’, 5’ � 6’, ��� �� ��(� ���� ������� ���������. $��������� �� ��������#� �� ����� � ������� ���� � �� ��������#� �� �������. �� ����� 7.10 ���������� � ������� a’=A’B’[A’(3,6),B’(-1,5)].
#�� (��)%��) � �������% �� !���� �� ����� 7.11 ������ � ������� � ��
������� �’(1) � C’(2). <� � �������� ������� � �� �������������� ������� � � �� �� ����-���� ����������� ��� �� ������� �� �����-������� ������� �� � (����� 7.12). 9� ���-��������� ��������� "%’C0 �� ����������-
�� ��������� �� ����� ^, .A'C
'CC^tg 0� 9��
����� � ���������� ��� �� ������� � � �� �������� !�� (��)%��) �� ������� �, � �� �������� �� .nn a�
�� ����� 7.12 ����� ���� .'C'B'AB � "�� ������ ���������� ������ ��(� " � B �� �������� 1m, ����������� 'B'A �� ����-������ �������% �� ������� � � �� ������-���� �� .ii a� 9� ������������ ���������
AB’B0 ����� i1
A'BB'B^tgn 0 ��� , �������
n1i � �� .1in �
$���� n � ��������� i �� ���� ����� �� �������������������� �������, ����-��� ���� ���� �� �������� ����� �� ���� ���� �� ������� ���������.
�������� �� ����� �� ������� � �����-������ �� ������, �� ���������� ����� ��� ���������.
%����� ���, ����� ����� �� �������� �������� � ��������� ��:
��� ������ �������� �����; �� �������� ��������, ������ �� ����
������ �����, ����� (�� ���������) � �������� �� �����.
$���� ���� �� ���� ������� �� ����'� ������, �� ������, �� ��� �� �������, ������, �������� ��� ���.
"������ �������
125
:���� 7.13
:���� 7.14
:���� 7.15
�� ����� 7.13 ��������� � ���������� �� �������� ���������#� �� �����, � �� ��� � ��������� �� ���� �����.
$����#� � ������ 1. 9����� � ���������� �� ���������#� �� ��������� ������� �� �) �������; �) �����; �� �������� �������� �� ��������#�? 2. +������� �� ������� �������:
�) ,m14'R'P � ��� ),4,12('P ),8,17('R �� ������ @=1:200; �) ,m50'F'E � ��� ),2,121('E ),8,115('R �� ������ @=1:1000. 3. +������� �� ������� �����: a) a’=A’B’[A’(4,2),B’(9,6)]; �) a’=A’B’[A’(-8,5),B’(-13,4)].
��� m9'B'A � � @=1:150.
4. �) A�� � ��� (�����) �� �����, ���� �� ��������� � ���� �� ��������? �) A�� � ������� �� �����, ���� �� ������-��� � ���� �� ��������? 5. ���� �� ��������� �� ������� � ������ �� @=1:150, ��� ������� �� ������� �
�) ;15:1na � �) ;15:1na � �) .3,1na �
7.3. >����� #���;-� �� ��� #�� ;����� ���� ��� ����� �� ��������� ���� �� �� �������, �� �� ����� �� �� �� ������������. "�� ��� ��� ������� ����� a � b ��������� ������� ������� �� ��������-���� ������� �, ��� '� � ����� ������������ ������� �� ��� ������� ����� a’ � b’ (����� 7.14). �������� ������� a’ � b’ �� ���������� �������� �� ������� a � b. 9���� ���, ����'� ������� � � b �� �����-��, ��� ����� ������� ������ � ��������, ���� � ������� ������ �� �����. �� ����� 7.15 ��������� �� �������� �������� a’ � b’ �� ��� ������� ����� a � b.
"������ �������
126
:���� 7.16
:���� 7.17
:���� 7.18
:���� 7.19
<�� �������� ����� ����� ��������� ����� �� ���� ���� ���� �� ����� �� ����� �� ���. $������ � � b �� ����� 7.16 �� ����� �� ������� S. ������� �������� �������� a’ � b’, ���� � ���������� �������� �� ������� �������� ����� S’(2,3) �� ��������� �� ����� 7.17.
;����� ���� ��� ����� �� ����������-�� ��� �� �� ������� � �� �� �����. %����� ���, ������� �������� �������� �� �� ������� � �� �� ����� �� ����� �� ���� ���� ���� �� ����� �� ����� �� ���. &��� ������� � � a’; c’ � d’; e’ � f’ �� ������������ (����� 7.18). $����#� � ������ 1. ���� �� ���������� �������� �� ���: �) ������� �����; �) �������� �����; �) ������������ �����? 2. �� ������ P=1:200 ������ � ����� � �� ��� %,25na � ��� ��� ������ ��� ������� A’(8,6). ��� ����� B’(10,4) ��� ��� �� ��� �� ������� �, ������ ����� b ��� � ���� ������� �. 3. �� ������ P=1:200 ������ � ����� � �� ��� ,5,1i � ��� ��� ������ ��� ������� A’(4,5). ��� ����� B’(6) ��� ��� �� ��� �� ������� �, ������ ����� b ��� � ������� �� ������� �.
7.4. #����,��$� �� ��� ��
@������ ��� ��� � ������� �� �����-������� ������� � �� ���� �������� !���)-����*)� �������. K��� ������������ ���-���� � ��������� �� ������ �����.
@������ ��� ��� � ������� �� ���-��������� ������� � �� �������� =���<��-��%�� �������. &�� � ��������� �� ����-�� ����.
$�� ������ �� ����� ������� �� !���-������� ������� �������� !���������� ������� ����� (����� 7.19). <�������� ����� �� ���������� �%������ �� ���� %���� �� ���������. %������� �� ���-����� ���� �� ���������� �%���� �%������.
"������ �������
127
:���� 7.20
:���� 7.21
:���� 7.22
:���� 7.23
�� �������� �������� ������� ���� �� ���� ����������� �� ������ ��� ������, ���� ��� � ��������� �� ����� 7.20. &���� �� ��������� � �������� �� ���� ��� (s0=s).
$���� ��� ��� ��� �� ��������� � � ������� �� ������� (��������) �� ������-�� !���� %����� �� ���������). @������ ���� �� �� ��������� �� ������ ����� ����. ��� � ������ �� ���� ����� � ���� ����� �����, ��� ��� ��� ������� ����� �� ������ � ����������� �������� �� ����� �� ���������.
+������ ������ �� ��������� � ���-������� ������� ���� � ��� �� ������� �� ���. ���� ������������ ����� ���� � ���������� ����%� �� !�� (��)%��) �� ���������. �� ����� 7.21 � ����������� ������� �� �������� ����� �� �������. �������� ��� �� ��������� �� ��������� � � ������� �� �������� ��� �� �������� ����� ����.
&���� ��� �� ������� ��� �����(� �� ���� ������ ������, ������� ��� ��� ���� ���� ���� ��������. �� ����� 7.22 ������� "’(5) ��� �� ������ s’5, � ������� �’(3,5) ��� �� �������� s’3,5. ;���� � ����� ����� �����(��� �� ���������. &������ C’(7,8) �� ��� �� ���� ���� ������ �� ���������, ��� �� ���(� ��� ���������.
"�� ������ ����� ��� �� �������, ���������� ����� �� ������� �� �������� ����� ������� ����. %� ����� �������, ����-���� ������ � ���������� �������, ���� ��� � ��������� �� ����� 7.23.
��� ������ !���������� ����� ���� �� ��������� ���������� ����� �������. "�� � ����� ������� �� ���������, ����� ��� �������� !���������� ����� ���� �� ��������� ��� �������.
>���*� 1. ��� !������������ ����� � �� ���� 12, ������� ������� @ �� ������� ��� �.
<������� ����� � ����������� ���� ������ �� �������� ������� @ �� ����-��� ��� �. ������� �� �’ � ������ �����-�� ���� �� ��������� @. >�������� ��
"������ �������
128
:���� 7.24
:���� 7.25
:���� 7.26
��������� �� ����������� �� �������� ������� ��� � � �� ���������� �� ����� ������ �� ������� ���� (����� 7.24).
$����#� � ������
1. A�� ����������� �) ������ �� �������; �) ����� ���� �� �������; �) ����� �� ����� �� �������? 2. ��������� ������ ������ �� �����-���� @, ��� � �������� �� ������ ����� r � �������� �����:
a) ;23n� � �) ;5,0n� � �) %.75n� �
3. ���� �� ������� �� ������� � ����-������ ��� �� ��������� ��������� �� ������� �) "’(1,8), B’(0) � C’(5); �) "’(-3,5), B’(2,2) � C’(6,4); ��� ���������� "’, B’ � C’ ���������� �����-����� ��������� �� ������ 7m, �� ������ P=1:100. 4. $�������� � ��������� & �������� ��
�) s’0, �=750;
�) s’3, ;21n� �
�) s’2 (0), ;5,1i� �
��� ������ P=1:150.
7.5. #���� �� ��� ��� � 9� ��������� � ������� ���� ��� ���-
���� ���� �� ����� ������� �� �� �� �����.
@�������� @ � � �� ����� 7.25 �� �������. &�� ����� ������� ������, ������� ����� �� ������ (������� �����-���), �� ������� ������ �� ������.
@�������� @ � � �� ����� 7.26 �� ����� �� ������� t. %� �������#� �� ���������� ����� 3 � 0 �� ����������� ������ �� ���-�� ������� s �� r � s’3 �� r’3, � �������� ���������� ����� t’=03’ (����� 7.27).
"������ �������
129
:���� 7.27
:���� 7.28
:���� 7.29
:���� 7.30
���� �� ������ ��� ������� @ � � �� ������� ������ ( �� nn � �� �� ii � ) ��� ����� ������� �������, �� �� ��������� ��� (����� 7.28). ;� �� � ��������� ������� �������� ����� ������ � �� ������� ��� ����� �� ������� ����. &��� � �������� ������� L’. $��������� ����� l’ ������ ��� ������� L’ � � ������� �� �������� �� �������� �������.
<�� ������� �� ������� ������ (��������) ����� �������� ����� t, ��� ��� �������� t’ � ���������� �� ����� �, ��� �� ����'��� ����������� ������ �� ��������� (����� 7.29). �� ��������� �� ���������� �������� �� �������������� ����� ����� �� ������� ������ �� ��� ���� ������� �� ��� �����.
$����#� � ������ 1. 9����� � ���������� �� ���(�#� �� ���-��� �� ��� �������. 2. ���� �� �������� �� ��������� @ � &, ��� @ � �������� �� ������� �� �������, � & �� ������� A’, B’ � C’, ������ ����� 7.30. 3. ���� �� �������� �� ���������
�) @ � &; �) @ � �; �) & � �; ������ ����� 7.31. A�� ����������� �����-��� �� ����� ������� @, & � �?
:���� 7.31
"������ �������
130
:���� 7.32
:���� 7.33
7.6. #����,��$� �� �#���?�� #��B � – ���
$�� ����������� �������� �� ����� ������������ ����� �� �� �� ;������� ��������. "�� ������� �� ������� ������-���� �� ����������� �� !���������� ���������� ������� (����� ������ ���� �� ���� ���, �� ����� !���������� �����-��) � �� �������� ������� ����, ����� ���� ������� ��� �� ���������� �� �������� ��������, ������� �� ������ ������ (����� 7.32).
;��������� ���� ������� � �������� �� !���������� ������� ��� ��� �� �����-�� ��������� ����(� ����. &�� '� �� ����� ������� �� ��������� ��������� ����� ���� �������� ������. %������� �� ��������� ���� �� ���������� �<�=�!�� (�������� ������), � �� ��������� �<�(��� (�������� ������). ���������� ������ ��(� �������� � ������� �� ���������� ������ ����(� !������������ ������� �� ��� �� ������ �������.
<� ���� ���!������ �� ������� ���� �� �����, ������� � �� ������ ����� – ��������, � �������. 9� ����� 7.33 �� ���� ���� ������� �� ������ ����� (�� ����� ������) � ���������� �� ������� ���!����, ������ �� ������� �� ���� ����� (�� ���-���� ������) ���!������ �� ���������� – ����� ����� �����.
"�� �������� ���� ��� �� ������� ������� �� ��������� ������� ��� � ����-���� �� �������� �����, ����� ��� �� ����-���� ���������� ����� �� �������. (����� 7.34). &���� �� � �������� �������-�� �� ����������� �����. ����������� ���-���� � ������� �� ���������� �� �����-������� �� �� ��� ��� !���������� ���-����.
>���*� 1. �� ����� 7.34 ���������� � � ����� �� ���!����. �� ������� ������� ��� ������� ����� �� �������� I’– I’.
��� �� ������ ����������� ��������� ������� � �� ����� f=I’–I’ ��� �� ���� �����-����� �� ���!������ �� ������� "’,B’,...J’. @���������� ��(� ������� �� l1 l2…l9. ��
"������ �������
131
:���� 7.34
:���� 7.35
�������� �� ���� ������� ��� (�� ��� ��� ������� ��� �� ��������� ������� �� �������� ��������) �� ����������� ������-����� l1 l2 ….l9 � �� ������� A’,B’,...,J’ �����-������ ������. ����'� ���!������ �� �� ������� ����, ��������#��� �� ������� '� �� ��������� �� !���������� ������� �� ���� 100. ;���� �� �������� �� ��� ����� �� ���������� �������� ������� �� 100m, �� ������ ��� � ����� ��������. &��� ��������� ����� "0,...,*0, �� ������� ������-��#� �� ��������� ������� �� �������. �������� ������� �����������#� �� ������-���� �� ������ �����#� �� �� �����.
�� ���, �� ���������� ���� ������-�� ����� �� ����� �������� � �������. $����#� � ������ 1. A�� �� ���!����, � ��� �� �������? 9���-�� ���� �� ��������. 2. �� ������� 7.35 ���������� � ����� �� ���!����. ������� ����� �� �������� I’–I’. $����, ��� ������ �� ���������� �������� �� ������� ������� ���� �� ������, ����, ����, �� �������� ��u�� (�������� �����) �� �������� ������. 3. ;������� � �� �� ���� �� ��� V’ (70) � �������� �� ������ ������ (���!����) �� �������� ������ �� 5m �� ������ 1:500, ���� � ��������� ������� �� ������ ����� (����� 7.36). ���� �� ���������� ����� �� �������.
:���� 7.36
"������ �������
132
7.7. ���# (,���) ��� #
$�� ��������#� �� ������, ������� ������� �� � ����� ��������, ���� ��� � �������� �� ��������� �����, ������� ��������. ;� �� ������� ����� �������� ��� � !���������� �� �� �������� ���-��, ����!���� � ������� �� ����� ����� �� �� ������, � �� ����� �� �� ������. ���� '� ���� �������, � ����� �������, ������ �� ����'� �������, ���� �� ������ �� �����-��������� �� �������, ���������� �� �����-�������� �����, ������� � �������� �� ���-���� �� �������. $�� ���������#��� �� ������ ���� �� �������� ������� ������ ������ �� ����-���� ������� � ������� �� �� �������� ������� �� ����������.
*���� (����) ���������� ��������-�� �� ������, � ����� ���������� �� ������.
�)�! (&��)) �� �������� ���� !������-���� �������� �� �������� ���� � ������� �� ���������� �������. ������ �� �� �������� ���������, ������ �������� �� �� ������, ���� �� ��� �� ���������. >�������� �� ������ � ny=1:1, ������� iy=1m.
:���� 7.37
"������ �������
133
����! �� �������� ��� ����� !������-���� �������� �� �������� ����, ����� �� �� ������ ��� ������ �� �������. &� �� ���� �� ���� ������� ���������, ����'� ������ '� �� �������� � ������� '� �� �����. ������� �� ��������� �� ����� ������ �� ��������� ���� nn=1:1,5, ������� in=1,5m. $���(� ��������� �� ����� (����) � �������� �� �������� ���� �� ����� �� ������������� ����. ����� � �� �������� �� ����� 50�m � �������� ����� �� 1% (����� 7.37).
�� ���������� '� ������ ������ �� ��������#� �� ���� � ����� �� !���������� �������� ��� �������.
>���*� 1. �� ����� 7.38 �� ������ �������� � ����� �� ��� �� ������� & �� ����� �� � ����� ��������. �� ���� ����� �� �� ������ !���������� �������� A’B’C’D’ �� ���� 23, �� �������� � ������ ������ �������.
:���� 7.38
"������ �������
134
;� �� �� ������ ����������, ����'� ������� � �� �����, ������ ����� �� ���� �� �� ������, � ������� �� �� ������. �� �������� �� �������� 23 �� ������� �� ���������� �� �������� ������� K’ � F’ ��� �� �������� ����(� ������� � �������. &������ R’ �� ���� 25 � �������� �� ����������, ��� � �� ���� 23 ��� ����� ���� �� ��� ����� ������� ����� �� �� ������. &������ Q’ �� ���� 22 � ������� �� ���������� � ����� ������� �� ��� ����� ����� �� �� ������. >�������� in=1,5m, ������� ������� �� ��������� �� ����� � nn=1:1,5. $������� �� ��������� �� ������� �� ������� �� ������� G’,H’,I’,J’. %� ��������#� �� E’G’ � ������� ���������� n’1, ����� �� ��������-#� �� H’I’ � ������� n’2, �� F’J’ �� ������ n’3.
>�������� �� ����� (������) � ny=1:1, ������� iy=1m. <���� �� ���������� ����� E’ � F’ �� ����������� ��������� �� �������.
:���� 7.39
"������ �������
135
$���!���� �� ������ ������� �� ����� �� ������������� ���� �� �������� 3!0,5m �� �������� ������ &������ K’, L’, M’, N’, O’, P’ �� �������� ����� �� ���������� �� ����-���� �� ������� �� ���o����� �������� �� �������� �� ��������� �� ������, �� �� ������#� �� �������� �������� �������� K’L’=u’1, M’N’=u’2 � O’P’=u’3. $����#� � ������ 1. A�� e ����� (����), � ��� �����? 2. ��� � ������� �� ��������� �� ����? 3. ��� � ������� �� ��������� �� �����? 4. ��� �� �������� �����, � ���� �����? 5. �� ����� 7.39 ������ � ��������� & �� ��� �� ����� 25%. $������ ���������� !���������� �������� "’,B’,C’,D’ �� ���� 39m �� �������� � ������ ������ �������.
7.8. #� �� ������ �� ���� ��� ��
>���*� 1. �� ����� 7.40 ����� �� �� ������ ��� �� ������ ��������, ����� �� 8% � ������ ������. �� ������ �� ����� � ������ ���� �����, �� ������ "’ �� ���� 31, ��� � ������� �� �� ��� �� ������.
*� ������ ���������� �� ����� �� �������� �������� ������. ������� �� ����� � n=8% �� i=1/n=12,5m. >�������� �� ���������� �� ������ �� �����, �������'� �� A’ � �� �������� ������� B’(32), C’(30) � D’(29) ��� ��� ����������� �������� ������, ������� ������ ������� �� ������ �� �����. ��� ��� ���� ���������� ������� ��������� ������� ������ �� ����� ����� � �������� �����. $������ I’-I’ �������� ��� A’(31) � ���� �������� 31 �� ������� M’(31), � ������� III’-III’ �������� ��� C’(30) � ���� �������� 30 �� ������� N’(30). %� ����������� ���� �� �������� M’ � N’ ��� ��� �� ������ �� �������� �� ����� �� ���� ������� O’ � P’. &�� �� ������-�� ����� ����(� ������� � ������.
$������ I’-I’ �� ���������� ���� ��-������ �� ���� 31. %�������#��� ������� �� ���������� ���� �������� �� ���������
"������ �������
136
�� �������� ������� ������� �� ������ �� ����� ��� ��� � �������� �������� (�����-��).
$������ II’-II’ �� ���������� ���� �������� �� ���� 32 ���. �� ������� ���� ��� �� ��������� �������� I’-I’, II’-II’ ����-��� � ������� �� ������������� ���, �� ���� �� �� ��������. 9�� �� ���� ��� '� �� �����-���� �������� III’-III’ � IV’-IV’ ������� � ������� � ����� �� �� ���� �����. $��� ����� �� �� �������� ������� �� ����� �� ������������� ���� �� �������� 3!0,5m.
:���� 7.40 $����#� � ������ 1. ��� �� ���� ��������#� �� �������� �� �������? 2. �� ����� 7.41 ����� �� �� ������ ��� �� �������� 4m �� ��� �� ����� 25% � ����� �� 12,5%. �� ������ �� ����� � ������ ���� �����, �� ������ P’ �� ���� 33, ��� � ��-����� �� �� ��� �� ������.
"������ �������
137
:���� 7.41
7.9. #� �� ������ �� ��� >������ �� >�E #�
>���*� 1. �� ����� 7.42 ���������� � ������� ����� �� ���!����. �� ���� ����� �� �� ������ ��� �� ��������� ��������, ����� 1:12 � ������ �� �������. �� ������ �� ����� � �������� ������� "’(21).
������� ����� �� �� �������� ����� �� ������ ��������. 9� ������� "’ �� �������-���� ��������� 12m �� �������� ������ �� ������ �� ����� � �� �������� ������� B’(20), C’(19), D’(18), E’(17), ��� ��� �������-���� �������� ������. &������ �� ����������� ������� �� ������� III’-III’ � ���� ���!������ 19 �� ����� F’, � ������� IV’-IV’ �� ���!������ 18 �� ����� G’. +��������� ���� � �������� ���� ����'� ������� � �������. ;� ������ ������� ����������#� '� �������� ��������#� �� ���� ��, �� ����� ���!����. $���(� ���!������ 18 � 19 '� �������� ������ ������� ��� ��� 90º. >�������� ����(� C’ � D’
"������ �������
138
�� ����� �� ��� ������� �����. $������� �� ���!������ 18,35 � 18,70 �� ������ ���������� ����� H’ � I’. %� ��������#� �� F’, H’, I’, G’ � ������ ���������� ����� ���� ��� �� ������ �� �������� �� ����� �� ��������� �������� �������� ����� J’ � K’. ��� D’(18) � E’(17) ��������� �������� ������ ��� ��� �� �� ���� �� ����� ��� ����� �� �� ������. +� ���(��� ������� �� �������� ������. 9� ����� �� ����� �� �������� ������ �� ����������� �������-�� �� ������� �� ����� 1:1,5 �� �������� �� ������� �� �������. 9� ���������� ����� 70 � 80, 90, � 100 �� ������������ ������� �������� 7’ � 8’, 9’ � 10’ �� ������ ������� �� ������� �� ����������� ������� �� ���-����. %� ������� �������#� '� �� ������� ������� �� ������� n’1 � n’2 ���� ������ �� ������� �� ��������� �������.
<��� �� ����� ���� �� ���������� ������ I’-I’, II’-II’, III’-III’ � �� ����� � �� ���� �� ���������� ������� �����.
:���� 7.42
"������ �������
139
@�������� �� ������ �� �� ����� 1:1.
&�� ��(� ���� �� ����� �� ���������� ����� 10, 20,...,60 �� ��� �� ���������� ���������� 1’,2’,...,6’ � �� ���������� �� ���������� ����� J’1 � K’1 � �� ��� '� �� ������� ������� �� ������ u’1 � u’2. $����#� � ������ 1. 9����� � ���������� �� ������#� �� �������� ����� �� �����. 2. 9��� ��� ������ �� ����������� ����-���� ������� �� ���������� ������� �� ����� �� �����? 3. 9����� � ���������� �� ������#� �� ��� �� ����� � !���������� �������� �� ������� �����.
Користена литература
К о р и с т е н а л и т е р а т у р а 1. *. *�����������', ������� ���������, A����� �����, 1965, ;�����. 2. <. �����, <. <�����, &�!����� ����#� �� ������� ���������, $�������� ���, 1996, %����. 3. . &���������, �. �������, }. ��������, *. ������', +. &���������, K��������� ������ � ���������, $�������� ���, 2002, %����. 4. <. �������, . )���������, %. )������, ". 9��', �. &��������, ������� ���������, $�������� ���, 1982, %����. 5. �. ����, <���������� ���������, A����� �����, 1992, ;�����. 6. ;. A�����, ������� ���������, ������ �����, 1991, ������. 7. �. ������', ������� ���������, ������ �����, 1993, ������.
140
Содржина
С о д р ж и н а 1. ���� �� ������� ����������............................................................................. 7 1.1. ����� �� ������� ���������.......................................................................... 7
2. ����� �� ������������� �����������........................................................... 11 2.1. $�������� � ���������� �����������#� �� ��������............................... 11 2.2. $��������#� � ������ ��������................................................................... 13 2.3. 9��������� ���������#� �� �����.............................................................. 16 2.4. 9��������� ���������#� �� ����� �� �������� ������...................... 19 2.5. ��������. ��������� �� �����................................................................... 21 2.6. 9��������� ���������#� �� �������.......................................................... 23 2.7. 9��������� ���������#� �� ������� �� �������� ������.................. 24 2.8. ����������� ������� �� ��������� � �������� ���............................... 27 2.9. 9��������� ���������#� �� �����............................................................. 30 2.10. $������ �� ����� � �������� ���............................................................ 32 2.11. &���� ���������� �������. 9��������� ���������#� �� �����......................................................................................................... 34 2.12. 9��������� ���������#� �� ����������� ������................................... 36 2.13. 9��������� ���������#� �� ����������� ��� ...................................... 37 3. !��� ���������...................................................................................................... 41 3.1. $��� �� ���� ��������................................................................................... 41 3.2. ��� �������� �� ����������� ������ � ������� ...................................... 44 3.3. ��� �������� �� ����������� ��� � �������............................................ 47 4. �������.................................................................................................................. 53 4.1. &���� �� �������............................................................................................. 53 4.2. ��������� �� �������................................................................................... 55 4.3. @������ ������� �� ������������ �������............................................. 56 4.4. +���������� ������ �� ������� ������� �� ������������ �������..... 57 4.5. @������ ������� �� ������������ �������.............................................. 60 4.6. &���� � ����� �� ������������ �������....................................................... 61 4.7. $����� �� ����� ��� ������������ �������................................................. 63 4.8. %�������#� �� ������������ �������.......................................................... 66 4.9. +���������� ������ ��� ���� �� ����������� �������............................. 68 4.10. +���������� ��� ��� ���� �� �������� �� ������������ �������........ 71 5. �����"��������.................................................................................................... 79 5.1. $��� �� �������������............................................................................... 79 5.2. &������������ �� �����............................................................................... 79 5.3. &������������ �� ����������� ������...................................................... 83 5.4. &������������ �� ����������� ���.......................................................... 84 6. �#�� �������...................................................................................................... 91 6.1.&���� � ����� �� ����� �������. .................................................................. 91 6.2. +���� ����� � ����� �������...................................................................... 93 6.3. 9��������#� �� ����� �� ������� �������� �� ����� � �����.............. 96 6.4. $����� �� ��� �������................................................................................... 99 6.5. $����� �� ����� ��� ����� �������.......................................................... 101
Содржина
6.6. ������ �� ����� �������.......................................................................... 105 6.7. %�������#� �� ����� �������.................................................................... 107 6.8. +���������� ������ ��� ���� �� ����� �������......................................109 6.9. +���������� ��� ��� ���� �� �������� �� ����� �������.................... 112 7. !������� ��������� ........................................................................................... 121 7.1. ������� �������� �� �����......................................................................... 121 7.2. ������� �������� �� ����� � �������....................................................... 122 7.3. ;����� ������ �� ��� �����...................................................................... 125 7.4. $����������#� �� �������.......................................................................... 126 7.5. $����� �� ��� �������.................................................................................. 128 7.6. $����������#� �� ����������� �������� – �����.................................... 130 7.7. >���� (����) � �����....................................................................................... 132 7.8. $�� �� ����� �� ���� �������.................................................................... 135 7.9. $�� �� ����� �� ����� ������� �� ���!����.............................................. 137 �������� ���������.............................................................................................. 140