Aula 01

Números Complexos

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Números Complexos01. Representação Algébrica :

z z x y i , x , y 2e i 1

Parte Real : Re z

Parte Imaginária : Im z

02. Classificação :

z

Real : Im z 0

Imaginário : Im z 0

Imaginário Puro : Im z 0 e Re z 0

Exemplos :

1

2

3

2

4

z 2 2 i :

z :

z 24 i :

z 1 i :

1Re z 2 1

e Im z 2 Número Imaginário

2Re z 2

e Im z 0 Número Real

3Re z 0 3

e Im z 24 Número Imaginário Puro

2 2

4z 1 2 1 i i 2 i Número Imaginário Puro

03. Potências de i :

n niRi ,em R é o resto da divisão de n por 4.

Exemplos :

37i

37 4

9 1 37 1i i i

2427i 2427 4

6063 2427 3i i 2i i

1

i

37i i

2427i i

24i 24 4

60 24 0i i 1 24i 1

04. Conjugado de um Complexo :

z , z x y i , x , y z x yi

Exemplo :

2 i

3 2i

3 2i

3 2i

2

22

6 4i 3i 2i

3 2i

2

6 4i 3i 2

9 4i

1

1

8 i

13

8 1i

13 13

Pr of. Jorge Helton

Questões de FixaçãoNivel0 :

12

PUC RJ O valor de 1 i , onde i é unidade imaginária, é de :

a) 2 b) 64 c) 64 d) 64i e) 64i

Re solução :

12

1 i 6

21 i

62 21 2 1 i i

1

6

2i 6 62 i

6 4

12

264 i

1

64

Nivel 1:

2

EFOMM Se os números reais x e y são soluções da equação

1 i 11 i, então 5x 15y é :

1 i x yi

a) 0 b) 1 c) 1 d) 2 e) 2

Re solução :2

1 i 11 i

1 i x yi

2

2

1 i 11 i

x yi1 i

2

2

1 2i i 11 i

x yi1 2i i

2i 11 i

2i x yi

12 i

x yi

1x yi

2 i

2 i

2 i

2 2

2 ix yi

2 i

2 ix yi

5

2 1x yi i

5 5

2x

5

1y

5

5x 15y 2 1

5 155 5

2 3 1

Nivel 2 :

2

3 2

2 2

ITA Sejam x e y números reais, com x 0, satisfazendo

x iy x y i. Então :

a) x e y são números irracionais.

b) x 0 e y 0

c) x é uma raiz da equação x 3x 2x 6 0

d) x 0 e y x

e) x xy y 0,5

Re solução :

2

x iy x y i 2 2 2x 2xyi i y x y i 2 2x y 2xyi x y i

2 2x y 0

2xy x y

2 2x y y x

y x 22x x x 22x 2x x 1 ,y 1

y x 22x 0 22x x x x 0

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Pr of. Jorge Helton

Números Complexos05. Representação Gráfica : Plano de Argand Gauss

z z x y i , x , y

x

y

z

x

y x,yafixo

z

z 2 2x y

Módulo

Argumento

tg y

x

06. Pr opriedades do conjugado e do Módulo :

z,w

z w z w , z w z w

z

w

z

w

z,

w

z

w

z w z w

nn, z

nz

07. Reprensentação Trigonométrica :

z z z cos isen z cis

Exemplo :

z 3 3 i

z 2

23 3 12 2 3

tg 3

3

sen

cos

tg

3

3

x6

26

11

6

z 2 311 11

cos isen6 6

08. Multiplicação e Divisão na Forma Trigonométrica :

z z cis

w w cis

z w z w cis

z

w

zcis

w

z z 2

z

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Pr of. Jorge Helton

Questões de FixaçãoNivel0 :

2UFSE Se o número complexo z é tal que z 3 2i, então z é :

a) 5 b) 5 6i c) 5 12i d) 9 4i e) 12 13i

Re solução :

2

z 2

3 2i 2 2 23 2 3 2i 2 i 9 12i 4 5 12i

Nivel1:

n

j

j 1

AFA O valor de n tal que 1 i 31 i, sendo i a unidade

imaginária, é :

a) par menor que 10

b) primo maior que 8

c) ímpar menor que 7

d) múltiplo de 9

Re solução :

n

j

j 1

1 i 31 i

2 3 n

1 i 1 i 1 i 1 i 31 i

PG :1

a 1 i e q 1 i

n

n 1

q 1S a

q 1

n

1 i 11 i 31 i

1 i 1

n 1 21 i 1 i 31i i

n 1

1 i 32 i

n 1

1 i 32 i

2

1 i 32 i

n 11 i 32 i

n 12 2 2 21 1 0 32

n 11

22 32

n 1522 2

n 15

2

n 10 1 n 9

Nivel 2 :

3 2ITA A soma das raízes da equação z z z 2z 0, z ,

é igual a :

a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2

Re solução :

3 2z z z z 2z 0 2z z z z 2 0

z x yi

1z 0

2z z z 2 0

2

x yi x yi x yi 2 0 2 2 2x 2xyi y i x yi x yi 2 0

2 2x y 2 i 2xy 2y 0

2 2x y 2 0 2xy 2y 0

, x e y

2y 0

x 1 0 2y x 1 0

y 0

x 1

y 0 2x 2 x 2

x 1 2y 3 y 3

1z 0,

2z 1 3 i

3e z 1 3 i 0 1 3 i 1 3 i 2

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Ficamos por aqui!

Professor Jorge Helton

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