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Natural beauty of the standard model I

-A possible origin of a U(1) gauge degree of freedom-

西川　美幸

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歴史的背景（ディラック）P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A133, 60 (1931)

• 波動関数の位相は、観測可能量　　　　　　　　　　　　　　　　　　　さえ　　　　一意な

らば良い。

• 積分路の隣接する点で稼ぐ位相の差は決まっているが、　　全積分区間にわたる位相は一価でなくても良いとする。• 　　　　　　　　　　と書いたとき、位相の一価部分は打ち 消す。故に物理的意味を持つのは微分値　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の

み。

• 非可積分部　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　が寄与。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　、ポテンシャル　　　　　　　　　。　　　　　　　

zdydxdV nm *

βie1

zyx zyx

,,

C S

yx Sdsdxy

＝,

積分の仕方によらず

1

xi h

xhie

xhi ＋－－ ＝

eh

A

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ポアンカレ群に唯ひとつ複素位相が

内在していること• ミンコフスキー空間における２体問題では、　一方の座標系の局所的ローレンツ変換に帰着

できない自由度が（複素）１次元だけ存在する。

• （理由）ローレンツ変換の一般形　　　　 Λ ＝ＲＬＲ’　　Ｒ、Ｒ’ ：空間回転　Ｌ：１軸方向のブー

スト　　回転は２回必要！

4

3

1

2

Xω X

3

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Y

ωY

(step 1) Rotate the 1st axis of X to be parallel to XY.(step 2) Rotate the 1st axis of Y to be parallel to XY. (step 3) Rotate the 2nd axis of Y to be parallel to that of X.

A general position of a pair of coordinates

5

3

1

2

X

ωX

ωY

3

1

2

Y

The standard position of the two coordinates

(step 4) Boost along XY.(step 5) Superpose X and Y by a parallel motion along XY.

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r :=XY

X

ωX rω

Y

Y

Decomposition of angular momentums

ωY r

Vr

VY

－ Vr

VXC

(step 6) Neglect VX and VY orthogonal to XY.(step 7) Only ωX and ωY are internal, and origin of the spins.

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X Y≅

Spin synthesis

　　　 spinning 　　 rotating static

X Y

X Y≅rotating 　　　　　 spinning spinni

ng

X Y≅

general spins 　　　　　 spinning 　　　　　　　 is important!

α

β

　 ｰ α 　ｰ β ≅　ｰ α 　ｰ β

X Y

General relativity ⇒

≅X Y

α α

X Y

X YSX1

SX⊥ S Ｙ

⊥

S Ｙ 1 SX1 ｰ S Ｙ

1

SX⊥ S Ｙ

⊥ ⇒Only

this inner product

SX⊥S Ｙ

⊥

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この複素位相から重力場や電磁場などが定義できること

Θ （ｘ μ ）＝ Θ ０＋∇ μΘ ｄｘ μ ＋∇ μ∇νΘ ｄｘ μ ｄｘ

ν 　　

　　　　　　　　　　　　　　　＋…

　　　　　　　 ＝ Θ ０＋∇ μΘ ｄｘ μ ＋（ iG+F ） μν ｄｘ μ ｄｘ ν

　　　　　　　　　　　　　　　＋…

U(1)⇒G μν はエルミート、 Fμν は反エルミート。

重力場　　　　　　　　電磁場　　とみなす。

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話は飛躍、とある大学院試問題

には、解が無限個ある（図を参照）。多価性がポイント

02

2

2

2

＝＝yx

２次元空間における関数 ψ は半径 の円の外部で有界で、２次元のラプラス方程式

を満たし、円周上の極座標　　　　 で表される点では

という値をとる。 Ψ を決定せよ。

2cos),( ＝a

),( a

円上で値が一致、負の ｘ 軸上に cut

ｘ

y

a

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物理学におけるマーフィーの法則• （ TA 経験から） ε ー δ 論法は一長一短。　厳密な分、勘違いし易い（木を見て森を見

ず）　使わないと大雑把な理解はし易いが、　　 log の多価性に注意しない傾向がある。• 試験問題を読み間違える人もいる。　試験というのは学生が

　一定の理解をしていることの証明にはなる が、 解けなかったからといって

理解していないことの証明にはならない。

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結論• 多価性は、とても重要。　特に物理学で偏微分方程式の境界条件は　測定可能量と限らないので、注意深く扱う

べき。　ポアンカレ群に内在する内部自由度が　電磁場の量子論に本質的な位相の起源？　 （∵　運動量と位置は非可換！期待値の

み）⇒ 博士論文（継続審査中）に乞う、ご期待