Naturliga tal

1 2 3 4 5

Hur maringnga gubbar

Naturliga tals storlek

1 2 3 4 5

Fyra gubbar aumlr mindre aumln fem

Vad aumlr det minsta antal som kan finnas

Vilket aumlr det minsta tal som finns

1 2 3 4 5

Talet noll

1 2 3 4 50

Matematiken gjorde ett stort steg framaringt naumlr man infoumlrde talet nollTalet noll aumlr det minsta naturliga talet

0

Rationella tal

1 2 3 4 50

2513

Rationella tal kan uttryckas som braringk

Irrationella tal

1 2 3 4 50

Irrationella tal kan inte uttryckas som braringk

3 e π

Hur litet kan naringgot bli

4 aumlr mindre aumln 51 aumlr mindre aumln 214 aumlr mindre aumln 131100 aumlr mindre aumln 110

Hur lite kan man ha av naringgot Vad aumlr det minsta tal som kan finnas

Hur litet kan naringgot bli

1 2 3 4 5

Mindre

1 2 3 4 5

Minst

1 2 3 4 5

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Mindre aumln ingenting

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot

Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte

fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal

Negativa tal

Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa

tal trots att de egentligen inte finns

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25

De reella talen

Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25 313

17

Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje

Varfoumlr inte infoumlra en axel till

-1 1 2 3-2-3

Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra

-1 1 2 3-2-3

Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Naturliga tals storlek

1 2 3 4 5

Fyra gubbar aumlr mindre aumln fem

Vad aumlr det minsta antal som kan finnas

Vilket aumlr det minsta tal som finns

1 2 3 4 5

Talet noll

1 2 3 4 50

Matematiken gjorde ett stort steg framaringt naumlr man infoumlrde talet nollTalet noll aumlr det minsta naturliga talet

0

Rationella tal

1 2 3 4 50

2513

Rationella tal kan uttryckas som braringk

Irrationella tal

1 2 3 4 50

Irrationella tal kan inte uttryckas som braringk

3 e π

Hur litet kan naringgot bli

4 aumlr mindre aumln 51 aumlr mindre aumln 214 aumlr mindre aumln 131100 aumlr mindre aumln 110

Hur lite kan man ha av naringgot Vad aumlr det minsta tal som kan finnas

Hur litet kan naringgot bli

1 2 3 4 5

Mindre

1 2 3 4 5

Minst

1 2 3 4 5

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Mindre aumln ingenting

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot

Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte

fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal

Negativa tal

Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa

tal trots att de egentligen inte finns

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25

De reella talen

Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25 313

17

Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje

Varfoumlr inte infoumlra en axel till

-1 1 2 3-2-3

Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra

-1 1 2 3-2-3

Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Vilket aumlr det minsta tal som finns

1 2 3 4 5

Talet noll

1 2 3 4 50

Matematiken gjorde ett stort steg framaringt naumlr man infoumlrde talet nollTalet noll aumlr det minsta naturliga talet

0

Rationella tal

1 2 3 4 50

2513

Rationella tal kan uttryckas som braringk

Irrationella tal

1 2 3 4 50

Irrationella tal kan inte uttryckas som braringk

3 e π

Hur litet kan naringgot bli

4 aumlr mindre aumln 51 aumlr mindre aumln 214 aumlr mindre aumln 131100 aumlr mindre aumln 110

Hur lite kan man ha av naringgot Vad aumlr det minsta tal som kan finnas

Hur litet kan naringgot bli

1 2 3 4 5

Mindre

1 2 3 4 5

Minst

1 2 3 4 5

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Mindre aumln ingenting

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot

Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte

fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal

Negativa tal

Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa

tal trots att de egentligen inte finns

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25

De reella talen

Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25 313

17

Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje

Varfoumlr inte infoumlra en axel till

-1 1 2 3-2-3

Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra

-1 1 2 3-2-3

Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Talet noll

1 2 3 4 50

Matematiken gjorde ett stort steg framaringt naumlr man infoumlrde talet nollTalet noll aumlr det minsta naturliga talet

0

Rationella tal

1 2 3 4 50

2513

Rationella tal kan uttryckas som braringk

Irrationella tal

1 2 3 4 50

Irrationella tal kan inte uttryckas som braringk

3 e π

Hur litet kan naringgot bli

4 aumlr mindre aumln 51 aumlr mindre aumln 214 aumlr mindre aumln 131100 aumlr mindre aumln 110

Hur lite kan man ha av naringgot Vad aumlr det minsta tal som kan finnas

Hur litet kan naringgot bli

1 2 3 4 5

Mindre

1 2 3 4 5

Minst

1 2 3 4 5

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Mindre aumln ingenting

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot

Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte

fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal

Negativa tal

Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa

tal trots att de egentligen inte finns

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25

De reella talen

Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25 313

17

Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje

Varfoumlr inte infoumlra en axel till

-1 1 2 3-2-3

Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra

-1 1 2 3-2-3

Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Rationella tal

1 2 3 4 50

2513

Rationella tal kan uttryckas som braringk

Irrationella tal

1 2 3 4 50

Irrationella tal kan inte uttryckas som braringk

3 e π

Hur litet kan naringgot bli

4 aumlr mindre aumln 51 aumlr mindre aumln 214 aumlr mindre aumln 131100 aumlr mindre aumln 110

Hur lite kan man ha av naringgot Vad aumlr det minsta tal som kan finnas

Hur litet kan naringgot bli

1 2 3 4 5

Mindre

1 2 3 4 5

Minst

1 2 3 4 5

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Mindre aumln ingenting

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot

Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte

fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal

Negativa tal

Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa

tal trots att de egentligen inte finns

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25

De reella talen

Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25 313

17

Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje

Varfoumlr inte infoumlra en axel till

-1 1 2 3-2-3

Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra

-1 1 2 3-2-3

Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Irrationella tal

1 2 3 4 50

Irrationella tal kan inte uttryckas som braringk

3 e π

Hur litet kan naringgot bli

4 aumlr mindre aumln 51 aumlr mindre aumln 214 aumlr mindre aumln 131100 aumlr mindre aumln 110

Hur lite kan man ha av naringgot Vad aumlr det minsta tal som kan finnas

Hur litet kan naringgot bli

1 2 3 4 5

Mindre

1 2 3 4 5

Minst

1 2 3 4 5

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Mindre aumln ingenting

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot

Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte

fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal

Negativa tal

Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa

tal trots att de egentligen inte finns

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25

De reella talen

Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25 313

17

Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje

Varfoumlr inte infoumlra en axel till

-1 1 2 3-2-3

Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra

-1 1 2 3-2-3

Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Hur litet kan naringgot bli

4 aumlr mindre aumln 51 aumlr mindre aumln 214 aumlr mindre aumln 131100 aumlr mindre aumln 110

Hur lite kan man ha av naringgot Vad aumlr det minsta tal som kan finnas

Hur litet kan naringgot bli

1 2 3 4 5

Mindre

1 2 3 4 5

Minst

1 2 3 4 5

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Mindre aumln ingenting

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot

Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte

fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal

Negativa tal

Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa

tal trots att de egentligen inte finns

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25

De reella talen

Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25 313

17

Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje

Varfoumlr inte infoumlra en axel till

-1 1 2 3-2-3

Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra

-1 1 2 3-2-3

Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Hur litet kan naringgot bli

1 2 3 4 5

Mindre

1 2 3 4 5

Minst

1 2 3 4 5

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Mindre aumln ingenting

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot

Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte

fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal

Negativa tal

Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa

tal trots att de egentligen inte finns

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25

De reella talen

Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25 313

17

Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje

Varfoumlr inte infoumlra en axel till

-1 1 2 3-2-3

Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra

-1 1 2 3-2-3

Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Mindre

1 2 3 4 5

Minst

1 2 3 4 5

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Mindre aumln ingenting

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot

Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte

fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal

Negativa tal

Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa

tal trots att de egentligen inte finns

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25

De reella talen

Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25 313

17

Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje

Varfoumlr inte infoumlra en axel till

-1 1 2 3-2-3

Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra

-1 1 2 3-2-3

Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Minst

1 2 3 4 5

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Mindre aumln ingenting

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot

Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte

fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal

Negativa tal

Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa

tal trots att de egentligen inte finns

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25

De reella talen

Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25 313

17

Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje

Varfoumlr inte infoumlra en axel till

-1 1 2 3-2-3

Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra

-1 1 2 3-2-3

Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Mindre aumln ingenting

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot

Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte

fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal

Negativa tal

Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa

tal trots att de egentligen inte finns

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25

De reella talen

Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25 313

17

Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje

Varfoumlr inte infoumlra en axel till

-1 1 2 3-2-3

Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra

-1 1 2 3-2-3

Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Mindre aumln ingenting

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot

Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte

fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal

Negativa tal

Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa

tal trots att de egentligen inte finns

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25

De reella talen

Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25 313

17

Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje

Varfoumlr inte infoumlra en axel till

-1 1 2 3-2-3

Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra

-1 1 2 3-2-3

Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Kan man ha mindre aumln 0 av naringgot

Rent logiskt kan man knappast ha mindre aumln ingenting av naringgot

Trots det har matematiken infoumlrt verktyg att raumlkna med saringdant som aumlr mindre aumln ingentingndash Varfoumlr skulle tallinjen sluta just vid noll Varfoumlr inte

fortsaumltta med tallinjen aringt vaumlnster foumlrbi talet noll Vi kan raumlkna med negativa tal

Negativa tal

Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa

tal trots att de egentligen inte finns

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25

De reella talen

Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25 313

17

Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje

Varfoumlr inte infoumlra en axel till

-1 1 2 3-2-3

Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra

-1 1 2 3-2-3

Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Negativa tal

Talet 1 aumlr mindre aumln talet 2Talet 0 aumlr mindre aumln 1 Och noll aumlr ingentingTalet -1 aumlr mindre aumln 0 Talet -1 aumlr mindre aumln ingentingTalet -2 aumlr mindre aumln -1 osvMan raumlknar precis likadant med de negativa talen som med de positivandash Nu upplever vi det naturligt att raumlkna med negativa

tal trots att de egentligen inte finns

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25

De reella talen

Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25 313

17

Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje

Varfoumlr inte infoumlra en axel till

-1 1 2 3-2-3

Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra

-1 1 2 3-2-3

Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

De reella talen

Laumlngs tallinjen ligger de reella talen De reella talen kan indelas indash Naturliga tal (0 1 2 3 osv)ndash Hela tal (tex 1 -1 12 -17)ndash Rationella tal (tex 4 -23 325)ndash Irratonella tal (tex e π )

-2 -1 0 1 2-3-4

minus14 -25 313

17

Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje

Varfoumlr inte infoumlra en axel till

-1 1 2 3-2-3

Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra

-1 1 2 3-2-3

Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Varfoumlr maringste alla tal ligga paring en raumlt linje

Varfoumlr inte infoumlra en axel till

-1 1 2 3-2-3

Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra

-1 1 2 3-2-3

Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Varfoumlr inte infoumlra en axel till

-1 1 2 3-2-3

Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra

-1 1 2 3-2-3

Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Nya axeln maringste skiljas fraringn den andra

-1 1 2 3-2-3

Vi maringste kunna skilja tal som ligger paring den nya axeln fraringn de som ligger paring den gamla tallinjen

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Infoumlr enheten i foumlr tal som ligger laumlngs den nya axeln

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Vi har infoumlrt den imaginaumlra enheten i

i

2i

3i

-i

0

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Maringste talen noumldvaumlndigtvis ligga paring naringgon av linjerna

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

Nej vi kan tillaringta tal i hela det plan som axlarna bildar

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

De komplexa talen

-1

i

2 3-2-3 1

2i

3i

-i

-2 + 3i

1 + i

3 + 2i

-3 + -i2 - i

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Samma raumlkneregler foumlr alla tal Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de negativa

heltalen som foumlr de postiva heltalen Samma raumlkneregler gaumlller foumlr de rationella talen

som foumlr de naturliga talen Samma raumlkneregler boumlr gaumllla foumlr alla typer av

tal Daring boumlr samma raumlkneregler gaumllla foumlr de

komplexa talen som foumlr de reella talen

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Samma raumlkneregler1 + 1 = 2

x + x = 2x

i + i = 2i

3 3 = 32

x x = x2

i i = i2

1 ndash 3 = -2

x ndash 3x = -2x

i ndash 3i = -2i

(1 + x)(2 + x)= 2 + 3x +x2

(1 + i)(2+i) = 2 + 3i + i2

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus

Egenskap hos det imaginaumlra talet i

2 1i = minus