Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Netradicní dukaz Eulerovy vetyo mnohostenech
Antonín SlavíkKatedra didaktiky matematiky MFF UK
50. výrocí KDM MFF UK30. zárí 2015
Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech
Eulerova veta o mnohostenech
Pro každý konvexní mnohosten platí:
pocet vrcholu + pocet sten = pocet hran + 2
Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech
Príklady
Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech
Strucná historie Eulerovy vety
kolem 1630: Descartesova veta o souctu hranovýchúhlu v mnohostenu1750: Euler v dopise Goldbachovi zminuje vzorecH + S = A + 2, neumí jej dokázat1751: Euleruv kombinatorický induktivní dukaz(odrezávání ctyrstenu) – nekorektní1794: Legendre publikuje první správný dukaz1813: Cauchy dokazuje Eulerovu vetu pro rovinné grafy,veta o mnohostenech je jednoduchým dusledkem
Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech
Hlavní kružnice a sférické mnohoúhelníky
Hlavní kružnice na sfére = kružnice, kteráje prunikem sféry s rovinou procházejícístredem sféry
Sférický mnohoúhelník = útvar na sféreohranicený oblouky hlavních kružnic
Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech
Obsah sférického dvojúhelníku
Sférický dvojúhelník = cást sféry ohranicená dvema hlavnímipolokružnicemi
obsah sférického dvojúhelníkuobsah sféry
=a
2π
Na jednotkové sfére:
obsah sférického dvojúhelníku = 2a
Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech
Obsah sférického trojúhelníku na jednotkové sfére
S(ADE) + S(AGH) = 2aS(BFG) + S(BDI) = 2bS(CHI) + S(CEF ) = 2c
S(ADE)+S(AGH)+S(BFG)+S(BDI)+S(CHI)+S(CEF ) = 2(a+b+c)
obsah hemisféry + 2S(ABC) = 2(a + b + c)
S(ABC) = a + b + c − π
Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech
Obsah sférického n-úhelníku (1)
Obsah sférického n-úhelníku na jednotkové sfére, jehož vnitrníúhly mají velikosti a1, . . . ,an, je a1 + · · ·+ an − (n − 2)π.
Dukaz rozdelením n-úhelníku na n − 2 trojúhelníku:
Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech
Obsah sférického n-úhelníku (2)
S = a1 + · · ·+ an − (n − 2)π= a1 + · · ·+ an − nπ + 2π
Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech
Dukaz Eulerovy vety (1)
Dán konvexní mnohosten; predpokládejme, že jej lzeumístit do jednotkové sféry tak, aby stred sféry ležel uvnitrmnohostenu.Stredové promítání ze stredu sféry: hrany precházejív oblouky hlavních kružnic, sféra rozdelena na sférickémnohoúhelníky.
Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech
Dukaz Eulerovy vety (2)
obsah jednotkové sféry = soucet obsahu sférických mnohoúhelníku
4π = 2π · pocet sten− π · 2 · pocet hran + 2π · pocet vrcholu
2 = pocet sten− pocet hran + pocet vrcholu
Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech
Hvezdicove konvexní mnohosteny
Pozorování (Louis Poinsot, 1809):Konvexita není nezbytná, Legendreuv dukaz funguje i prohvezdicove konvexní mnohosteny.
Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech
Golf, chemie a fotbal
Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech
Petiúhelníku je vždy dvanáct
Steny mnohostenu jsou pouze petiúhelníkové nebošestiúhelníkové.Každá hrana je spolecná pro dve steny.V každém vrcholu se stýkají tri steny.
P = pocet petiúhelníku, H = pocet šestiúhelníku
pocet sten = P + H,
pocet hran =5P + 6H
2,
pocet vrcholu =5P + 6H
3Eulerova veta:
P + H +5P + 6H
3=
5P + 6H2
+ 2 ⇒ P = 12
Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech
Literatura
David S. Richeson, Euler’s gem. The polyhedron formulaand the birth of topology, Princeton University Press, 2008.Jirí Matoušek, Jaroslav Nešetril, Kapitoly z diskrétnímatematiky, Karolinum, Praha, 2002.Stanislav Horák, Mnohosteny, Škola mladýchmatematiku 27, Mladá fronta, Praha, 1970.http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/403721
David Eppstein, Twenty Proofs of Euler’s Formula:V − E + F = 2.http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/
Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech