VI ежегодная научная конференция школьников Иркутской области «Человек и космос»

Исследование колебаний гитарных струн

Автор: Ишин Михаил Андреевич 8 кл. (группа 8-3,4) МБОУ ЛИЦЕЙ №1 г. Иркутска Научный руководитель: Ишин Артём Борисович н.с. ИСЗФ СО РАН Руководитель: Захарова Ольга Валентиновна учитель физики МБОУ г. Иркутска Лицей №1 г.Иркутск, 2016 г.

Ишин М.А. Исследование колебаний гитарных струн 2

Содержание: Введение ........................................................................3 Глава 1. Теоретическая часть.......................................4 Глава 2. Изготовление измерительного стенда ..........4 2.1 Прибор для измерения частоты .............................4 2.2 Использование гитары............................................5 2.3 Изготовление измерительного стенда...................5 Глава 3. Проведение измерений ..................................7 3.1. Методика измерений .............................................7 3.2 Результаты проведённых экспериментов .............7 3.3 Вычисление плотности струны .............................10 Заключение....................................................................11 Список использованных источников ..........................12 Приложение № 1. Результаты измерений...................13

Ишин М.А. Исследование колебаний гитарных струн 3

Введение

В связи с тем, что я уже несколько лет играю на гитаре, я решил исследовать колебания гитарной струны и всё что с этим связанно. Гитара - это музыкальный инструмент с натянутыми струнами, с помощью которого получают звуки разной частоты. Звук – это раздражитель, имеющий физическую природу, который человек ощущает слухом. Струна, с жестко закрепленными концами, при возмущении совершает колебания. Струна, толкая воздух, смещает его частицы из исходных положений. Таким образом, от частицы к частице окружающих струну воздух приводится в колебательное состояние, другими словами, происходит распространение звуковых колебаний, и мы можем их слышать [1,2].

Однако, сами колебания струны описываются довольно сложными уравнениями [3]. Этим вопросом занимались в 17-18 веках очень крупные ученые, такие как Галилей, Декарт, Гюйгенс. “Спор о струне”, который вели ученые, повлиял на развитие множества разделов математики, так как различные математические методы пытались применить для описания колебания струны [4-7].

Таким образом, в работе передо мной стояла следующая цель: на практике исследовать колебания гитарных струн, выявить зависимость характера колебаний от длины струны и силы натяжения.

Для достижения данной цели передо мной стояли следующие задачи: 1) Изучить литературу по данному вопросу, найти формулы, которые могут помочь с работой и применить их.

2) Соорудить макет, который позволит сделать нужные нам измерения зависимости частоты колебания от длины и силы натяжения, используя нейлоновые струны от акустической гитары. А так же надо было найти прибор, позволяющий измерять частоту колебаний струны.

3) На изготовленном оборудовании провести исследования частоты колебаний струны от различных параметров.

4) Вычислить плотность используемых струн.

Ишин М.А. Исследование колебаний гитарных струн 4

Глава 1. Теоретическая часть

В 1625 г. Марин Мерсонн установил зависимость частоты колебаний струны от её длины и силы натяжения [4]. Частота колебания струны прямо пропорциональна корню квадратному от силы натяжения струны и обратно пропорциональна длине струны, т.е.

(1)

где: F - сила натяжения струны (Н), - частота колебаний (Гц), - длина

струны (м), k- некий коэффициент пропорциональности. Что касается коэффициента пропорциональности, то как оказалось, он

зависит от плотности материала, из которого изготовлена струна и от толщины струны. При этом зависит следующим образом:

(2)

где: d - диаметр струны, ρ– плотность материала, из которого изготовлена струна.

Таким образом, собственная частота колебаний струны определяется через диаметр поперечного сечения (т.е. толщину струны) формулой:

(3)

или формулой через площадь поперечного сечения струны:

(4)

где: S – площадь поперечного сечения струны. Используя эти формулы спокойно можно найти неизвестные

параметры, такие как плотность материала.

Глава 2. Изготовление измерительного стенда

2.1 Прибор для измерения частоты

Для измерения частоты колебания струны я использовал свой телефон. В настоящее время в Google Play много разных приложений, позволяющих использовать возможности телефона для нужных мне задач. К примеру, для настройки своей гитары я давно пользовался тюнером «gString» (рис. 1).

Ишин М.А. Исследование колебаний гитарных струн 5

Рис. 1. Скриншот приложения, используемого в работе.

Именно эта программа и использовалась в моей работе.

2.2 Использование гитары.

Изначально я пробовал проводить измерения непосредственно на гитаре. Используя открытую струну и прижимая её к ладам с 1 по 12, я построил зависимость частоту колебаний от длины. Для каждой длины было произведено по 5 измерений с последующим усреднением результатов. Полученная зависимость представлена на рисунке 2. Исследования на гитаре ограничивались рядом факторов. Первое: я не могли измерить силу натяжения струн на гитаре. Второе: конструкция гитары не позволяла мне провести измерения на малых длинах струн. Для того, чтобы избежать эти ограничения и провести более подробные эксперименты был изготовлен измерительный стенд.

2.3 Изготовление измерительного стенда.

Из найденных в гараже старых алюминиевых уголков с использованием болтов для крепления мы изготовили макет измерительного стенда (рис. 3).

На нём мы могли менять длину, передвигая поперечные элементы нашего стенда. Также имелась возможность изменять силу натяжения, подвешивая грузы разной массы (рис. 4). После первых измерений было

Ишин М.А. Исследование колебаний гитарных струн 6

замечено, что трение струны о поперечный элемент нашего макета сильно влияло на частоту колебания струны.

Рис. 2. Зависимость частоты колебания первой гитарной струны от длины.

Рис. 3. Измерительный стенд,

изготовленный для данной работы.

Рис. 4. Грузы, используемые в

работе.

Чтобы избавиться от погрешностей в измерениях, в нашу конструкцию были добавлены металлические ролики (рис. 5) с малым трением. После их

Ишин М.А. Исследование колебаний гитарных струн 7

установки показания стали более стабильными. Однако первый комплект струн был испорчен острыми краями и нам пришлось их выкинуть.

Рис. 5. Ролики, установленные на стенде.

В таком виде стенд и использовался на протяжении всей нашей последующей работы.

Глава 3. Проведение измерений

3.1. Методика измерений.

Для получения более точных показаний (чтобы избавиться от случайных погрешностей) проводились 10 измерений частоты колебаний струны для каждого набора параметров (длина, вес). В дальнейшем эти результаты усреднялись в программе Microsoft Excel, и усреднённое значение мы считали истинным.

3.2 Результаты проведённых экспериментов.

На основе посчитанных усреднённых значений частоты были получены зависимости частоты колебаний от длины струны. В частности, мною были исследованы частотные характеристики для гитарных нейлоновых струн диаметром 0,79 мм (рис. 6) и диаметром 0.69 мм (рис. 7). Подробные результаты для того, чтобы не загромождать текст, были вынесены в приложение 1.

При увеличении длины струны, частота колебаний струны уменьшается. Видно, что эти характеристики подобны обратно пропорциональной функции (рис. 8), что согласуется с зависимостью, установленной Мерсонном (формула 1).

Ишин М.А. Исследование колебаний гитарных струн 8

Рис. 6. Зависимость частоты колебаний от длины

для струны диаметром 0,79 мм.

Рис. 7. Зависимость частоты колебаний от длины

для струны диаметром 0,69 мм.

Кроме того, из этих же графиков (рис. 6, 7) мы можем видеть, что при увеличении силы натяжения частота колебания струны растёт (подробнее об этом смотрите ниже). Также можно заметить, что тонкая струна давала звук выше, чем толстая при одинаковых величинах длины и силы натяжения.

Ишин М.А. Исследование колебаний гитарных струн 9

Рис. 8. Пример обратно пропорциональной зависимости.

Помимо этого, нами были проведены эксперименты по исследованию

зависимости частоты колебания от силы натяжения нашей струны (прил. 1). Для этого эксперимента мы использовали новую гитарную нейлоновую струну диаметром 0,8 мм. В результате была получена зависимость, изображённая на рисунке 9.

При увеличении силы натяжения струны, частота колебаний увеличивается. Видно, что эта зависимость хорошо согласуется с формулой 3. Изменяемый параметр в формуле 3 находится под корнем. Аналогичная зависимость видна на рисунке 10.

Рис. 9. Зависимость частоты колебаний от силы натяжения струны

диаметром 0,8 мм.

Ишин М.А. Исследование колебаний гитарных струн 10

Рис. 10. Пример функции от квадратного корня.

3.3 Вычисление плотности струны

Помимо силы натяжения и длины струны на частоту колебаний влияет плотность материала, из которого изготовлена струна, а также её диаметр (формула 3). Толщина струны была измерена микрометром (рис. 11).

Рис. 11. Измерение диаметра струны микрометром.

Ишин М.А. Исследование колебаний гитарных струн 11

На основе формулы 3. была выведена формула для плотности:

(5)

Все параметры из формулы 5 в процессе проведения экспериментов были нами либо посчитаны, либо померены. Толщину струны в процессе выполнения измерений мы считали неизменной. На основе данных эксперимента по выявлению зависимости частоты колебаний от силы натяжения нами была вычислена плотность материала струны (рис. 12).

Рис. 12. Плотность струны по данным нашего эксперимента.

Как и в любом опыте у нас имелись ошибки измерений. Из-за этого

вычисленные плотности незначительно различаются. В среднем плотность струны равна 1118 кг/м3.

Заключение За время проведения моей научно-исследовательской работы, я узнал

много нового и интересного для себя из истории физики, математики и музыки. Так же научился работать с некоторыми измерительными приборами, такими как: микрометр, тюнер (измеритель частоты). Познакомился с возможностями часто используемых мною программ. В частности, научился производить расчёты и строить графики в “Microsoft Excel”.

В ходе выполнения моей работы я ознакомился с формулами для расчёта частоты колебаний струн. Был создан макет, в процессе изготовления

Ишин М.А. Исследование колебаний гитарных струн 12

которого, были обнаружены и решены некоторые технические проблемы. Для себя я открыл, что при проведении экспериментов стоит проводить много измерений, с последующим усреднением результатов. Это позволяет достичь более точных результатов, так как положительные и отрицательные ошибки измерений взаимно компенсируются.

Целью моей работы было экспериментальное исследование колебаний струн моей гитары. В частности, я хотел узнать, как зависит частота колебаний от длины и силы натяжения струн. Результаты проведённых экспериментов вполне согласуются с теоретическими предсказаниями. Также, используя данные, полученные мною в ходе экспериментов, была посчитана плотность струны. В дальнейшем я планирую создать программу, позволяющую моделировать различные струнные музыкальные инструменты. А помимо этого, если хватит энтузиазма, хочу самостоятельно изготовить гитару или похожий музыкальный инструмент (мандолину, домру, балалайку).

Список использованных источников 1) М. А. Сапожков, Электроакустика. Москва, 1978. 2) П.А. Кошель, Большая школьная энциклопедия. Москва: ОЛМА-ПРЕСС,

2000. - 717с. 3) Web-ресурс: http://studopedia.ru/3_33629_uravnenie-kolebaniy-struni.html 4) А. А. Ларин, Зарождение математической физики и теории колебаний континуальных систем в «Споре о струне». Вестник Национального технического университета «Харьковский политехнический институт». История науки и техники. 2008 г. № 8.

5) Web-ресурс: http://ru.math.wikia.com/wiki/Спор_о_струне 6) J. R. Ravetz, Vibrating Strings and Arbitrary Functions. The Logic of Personal

Knowledge: Essays Presented to M. Polanyi on his Seventieth Birthday. London: Routledge, 1961.

7) G. F. Wheeler, Crummett W. P. The vibrating string controversy. American Journal of Physics. — American Association of Physics Teachers, 1987. Vol. 55, № 1.

Ишин М.А. Исследование колебаний гитарных струн 13

Приложение № 1. Результаты измерений Нейлоновая струна диаметром 0,69 мм. Натяжение 39,2 Н (4 кг). Номер измерения→

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Средняя частота

Длина (м) ↓

716 199 199,1 198,8 198,9 198,6 199,3 198,2 198,4 198,2 198,5 198,7

639 217,9 215,7 216 216,1 216,5 216,7 216,6 216,6 216,5 216,8 216,54

562 248,1 246,9 247,1 246,9 247,2 246,8 246,8 246,4 246,3 246,9 246,94

493 288,4 285,9 286,1 285,5 286,2 285,7 285,1 286 284,7 284,8 285,84

416 336,8 335,5 335,1 334,9 334,1 333,8 334,7 333,5 333,9 335,3 334,76

341 411,5 418,4 416,3 415,2 414,7 413,9 413,6 414,7 412,3 412,3 414,29

268 529,7 529,5 527,8 526 527,7 525,8 525,9 524,7 524,6 523,2 526,49

191 734,2 733,1 731,8 732,2 733,2 734,4 735,8 737,9 737,4 735,3 734,53

114 1244 1245 1249,8 1247 1257 1251 1258 1253 1251 1257 1251,3

Нейлоновая струна диаметром 0,69 мм. Натяжение 18,6 Н (2 кг).

Нейлоновая струна диаметром 0,79 мм. Натяжение 39,2 Н (4 кг).

Номер измерения→

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Средняя частота

Длина (м) ↓

716 143,8 142,7 143 141,9 142 141,8 141,1 140,7 140,4 140 141,74

639 167,7 167,6 167,2 166,4 166,2 166,5 165,8 165,5 165,5 165,2 166,36

562 187,9 187,5 185,6 184,2 183,5 183,6 183,7 183,9 183 183,8 184,67

493 206,5 205 204,7 204,7 204 204,3 205,6 204,6 203,3 203,4 204,61

416 232,7 236,4 236,2 237,9 239,7 239,4 236,6 238,8 238,7 238,9 237,53

341 303,3 303,1 305,4 300,6 300,4 300,4 301,8 303,5 300,6 299,6 301,87

268 368,1 370,5 382 383 383,1 383,5 384,1 384,1 383,4 382,9 380,47

191 544,9 543,7 543,3 541,6 542,3 538,6 539,1 541,3 542,8 546 542,36

114 915 919,2 911,9 910,8 909,8 911,5 911,5 910 914,8 909,6 912,41

Номер измерения→

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Средняя частота

Длина (м) ↓

716 156,7 155,8 155,7 155,5 155,1 154,7 154,7 154,4 154,5 154,3 155,14

639 174,5 172,7 172,8 172,8 172,2 172,4 171,5 171,2 171 171,3 172,24

562 228,2 223,7 222,1 220,8 218,3 217,7 216,7 216,5 216,4 216 219,64

493 226,3 226,8 227,9 227,8 227,6 228,2 228,6 228,1 228,2 228,2 227,77

416 271,6 270,3 270,1 268,9 269 271,5 272 271,2 270,5 270,8 270,59

341 329,6 327,2 327,3 327,9 326,1 326,5 327,1 327 328,3 328,3 327,53

268 415 418 420,3 421,7 422,7 423,9 424,3 424,3 421 422,4 421,36

191 600,6 597,6 597,1 598,6 598,7 598,8 598,7 599,4 598,7 600 598,82

117 1003 1005 1006 1010 1013 1000 998,8 988 991,4 987,4 1000,26

Ишин М.А. Исследование колебаний гитарных струн 14

Нейлоновая струна диаметром 0,79 мм. Натяжение 18,6 (2 кг).

Нейлоновая струна диаметром 0,79 мм. Длина 493 мм.

Номер измерения→

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Средняя частота

Длина (м) ↓

716 112,7 112,2 113,2 113,2 113,7 113,2 113,7 113,8 113,3 114 113,3

639 146,5 143,2 142,6 142,3 141,8 141,7 141,2 141,2 141,2 140,6 142,23

562 152,4 152,5 152 152,2 151,2 150,7 150,5 150,9 149,7 149,6 151,17

493 172,6 172,4 173 171,8 174,3 173,3 172,3 172,4 172,8 175,6 173,05

416 202,3 202 202 201,9 201,3 202 200,6 200,3 202,1 201,2 201,57

341 277,2 275,3 272,6 273,7 271,9 272 270,4 272,1 270,4 271,5 272,71

268 326,3 325,9 323,6 325 327,1 326,3 326,2 324,7 325,7 236 316,68

191 447,1 446,7 449,2 446,3 447,8 447,5 448,4 449,1 448,5 449,8 448,04

117 816,5 819,5 817,3 818 818,6 817,6 816,1 816,8 816,8 815,6 817,28

Номер измерения→

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Средняя частота

Вес груза (кг) ↓

0,5 92 96,9 95,8 95,5 96,1 95,9 96,1 95,4 94,1 94,9 95,27

1 134,9 134,6 134 132 133,2 133,4 132,6 132,8 132 133 133,25

1,5 165 164,1 164,7 163,3 163,8 163 162,6 162,6 162,6 162,7 163,44

2 191,3 190,7 188 190,7 189,1 189,1 190,8 189,3 190,6 190 189,96

2,5 217,3 216,1 215,6 215,5 215 214,5 214,6 213,6 213,1 212,4 214,77

3 229,6 229,7 231 229,7 230,4 230,1 230,2 230,2 229,9 230,9 230,17

3,5 249,2 248,6 248,5 248,5 248,9 249 248,6 249,1 248,6 248,9 248,79

4 263,3 263,9 264,4 264 264,1 264,3 264,5 264,5 264,5 264,6 264,21

4,5 282,2 282 282,2 282,1 281,8 282,1 282,4 282,3 281,5 282,1 282,07

5 296,7 294,7 297,6 297,5 297,6 297,8 297,4 297,9 297,4 297,6 297,22

5,5 311,8 312 312,1 311,8 312,4 312,2 311,9 311,7 312 312,2 312,01

6 330,7 330,5 331,2 330,8 331,3 331,6 331,1 331,5 330,5 331,4 331,06

6,5 346,2 345,9 345,3 345,7 345,2 345,6 345,6 345,3 345,5 345,6 345,59

7 358,9 358,9 359,3 358,8 358,9 358,8 358,6 358,8 358,8 358,8 358,86