А.С. Байда ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ С ...bek.sibadi.org/fulltext/EPD35.pdf5.График зависимости периода колебаний маятника

А.С. Байда

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УСТАНОВКИ ЛКМ-3

Часть 1. Колебания. Обработка результатов измерений.

Динамика вращательного движения

1

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная

академия (СибАДИ)»

А.С. Байда

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УСТАНОВКИ ЛКМ-3

Часть 1. Колебания. Обработка результатов измерений.

Динамика вращательного движения

Омск

СибАДИ 2010

2

УДК 681.2.08 ББК 34.9 Б 18

Рецензенты: канд. техн. наук, доц. И.А. Реброва (СибАДИ); канд. техн. наук, доц. Д.Н. Коротаев (СибАДИ)

Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве лабораторного практикума для специальностей 200503 «Стандартизация и сер-тификация», 220501 «Управление качеством» по дисциплинам «Физические ос-новы измерений» и «Автоматизация измерений, контроля и испытаний».

Байда А.С. Б 18 Лабораторный практикум с использованием установки ЛКМ-3. – Омск: СибАДИ, 2010. – Ч.1. Колебания. Обработка результатов измерений. Ди-намика вращательного движения. – 60 с.

Рассмотрены методики измерения параметров колебаний простых и слож-ных тел, обработки результатов измерений. Приведены аналитические зависи-мости параметров, характеризующих колебания и движение тел, а также мето-дики определения погрешностей при выполнении измерений. Ил. 16. Табл. 22. Библиогр.: 10 назв.

© ГОУ «СибАДИ», 2010

3

Содержание

Лабораторная работа №1. Математический маятник .......................................4

Лабораторная работа №2. Физический маятник ...............................................9

Лабораторная работа №3. Ангармонические колебания ................................14

Лабораторная работа №4. Исследование колебаний балки............................19

Лабораторная работа №5. Исследование торсионных колебаний .................25

Лабораторная работа №6. Статистика времени реакции человека ................29

Лабораторная работа №7. Вращательное движение сложного тела ..............37

Лабораторная работа №8. Измерение моментов инерции..............................43

Лабораторная работа №9. Маятник Обербека ................................................49

Библиографический список.....................................................................................55

Приложение 1...........................................................................................................56

Приложение 2...........................................................................................................57

4

Лабораторная работа №1

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

Цель работы Приобретение практических навыков при работе с измеритель-

ными приборами. Измерение периода колебаний математического маятника. Изучение метода измерений времени и периода колебаний маятника. Выявление зависимости периода колебаний от длины нити.

Материальное обеспечение 1. Лабораторный комплекс ЛКМ-3. 2. Модель математического маятника.

1. Теоретические положения В физике под маятником понимают твёрдое тело, совершающее

под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки оси. Колебания – движения или процессы, обладающие той или иной

степенью повторяемости во времени. Колебания называют периоди-ческими, если значения физических величин, изменяющихся в про-цессе колебания, повторяются через равные промежутки времени.

Амплитуда колебаний – максимальное значение отклонения те-ла от положения равновесия.

Фаза колебаний – периодически изменяющийся аргумент функ-ции, описывающий колебательный или волновой процесс. Фаза ха-рактеризует состояние этого процесса в данный момент времени.

Математическим называют такой маятник, который совершает гармонические колебания. Представляет собой материальную точку, в которой сосредоточена масса тела, совершающего колебания, подве-шенную на тонкой невесомой и нерастяжимой нити, закрепленной в неподвижной точке.

Гармонические колебания – это периодическое изменение во времени физической (или другой) величины, происходящее по закону синуса или косинуса.

Математический маятник является идеализированной физиче-ской моделью колебательной системы, поскольку совершает гармо-нические колебания. Модель математического маятника не учитывает потери энергии на трение о воздух и потери при деформации нити.

5

Свободные колебания реальных колебательных систем всегда яв-ляются затухающими.

Затухающие колебания – собственные колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени.

Период колебаний T – это наименьший промежуток времени, через который система, совершающая колебания, возвращается в пер-воначальное состояние.

В случае малых отклонений (до ≈ 4°) математический маятник совершает гармонические колебания, период которых не зависит от амплитуды. Период колебаний измеряется в секундах и определяется следующей зависимостью:

glT 2 , (1)

где l – длина нити; g – ускорение свободного падения. Частота колебаний – величина, равная числу колебаний, совер-

шаемых в единицу времени. Циклическая (угловая) частота ω является характеристикой

гармонических колебаний. Циклическая частота равна числу полных колебаний, совершающихся за 2π единиц времени.

Циклическая частота малых колебаний математического маятни-ка определяется зависимостью

lg

. (2)

Рис. 1. График зависимости квадрата периода колебаний

от длины подвеса

T 2

l

6

В данной лабораторной работе используется модель математиче-ского маятника – диск на легкой планке. Планка имитирует нерастя-жимую нить, диск значительно тяжелее планки, что имитирует сосре-доточение массы в одной точке.

С целью получения кратковременных гармонических колебаний амплитуда колебаний маятника ограничена 10º.

На основании графической зависимости (рис. 1) квадрата периода колебаний от длины подвеса определяют область, в которой маятник можно считать математическим – в этой области график линеен.

2. Порядок выполнения работы 1. Установить на лабораторный комплекс ЛКМ-3 модель матема-

тического маятника, как показано на рис. 2. Планку математического маятника закрепить на штыре шкива стойки (использовать наиболее удаленное отверстие от груза). Для устранения паразитных колебаний на ось шкива надеть пластмассовую втулку-фиксатор, прижимающую планку к шкиву.

2. Включить электропитание установки. Переключатель «Пери-од» выставить в положение «ΔТ» – измерение периода одного коле-бания, переключатель «Измерения» в положение «Циклические» – для измерения повторяющихся колебаний.

3. Нажать кнопку «Готов», для обнуления таймера. 4. Отвести маятник на угол 10º и отпустить. 5. Зафиксировать значение периода колебаний на цифровом таб-

ло лабораторного комплекса и занести в отчет (таблица). 6. Изменить точку подвеса маятника (отверстия в планке следуют

с шагом 20,0 мм) и повторить операции с пункта 3. 7. Определить циклическую частоту колебаний маятника по фор-

муле (2) и квадрат периода колебаний маятника при разных точках подвеса.

8. Построить график зависимости квадрата периода от значения точки подвеса (см. рис. 1) на основании данных таблицы.

9. Определить область на графике, в которой маятник можно счи-тать математическим.

7

Рис. 2. Схема установки модели математического маятника

3. Содержание отчета

1. Название, цель, материальное обеспечение лабораторной работы. 2. Теоретические положения (амплитуда, фаза, период колеба-

ний; гармонические и затухающие колебания). 3. Схема установки модели математического маятника на лабо-

раторном комплексе (см. рис. 2). 4. Результаты измерений и расчетов, занесенные в таблицу. 5. График зависимости квадрата периода от значения точки подвеса

с выделенной областью, в которой маятник считается математическим. 6. Результаты и выводы по лабораторной работе.

Результаты измерений и расчетов Длина подвеса l,

м Частота ω, с-1 Период колебаний Т, с T2

1 2 3 4 0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

8

Окончание таблицы

1 2 3 4 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30

Контрольные вопросы

1. Что называют амплитудой колебаний? 2. Что называют периодом колебаний? 3. Какой зависимостью определяется частота колебаний? 4. Что называют фазой колебаний? 5. Какие колебания называются гармоническими? 6. Что называют математическим маятником? 7. С помощью какой зависимости определяется период колебаний ма-

тематического маятника? 8. Как рассчитывается циклическая частота математического маятни-

ка? 9. Каким образом в данной лабораторной работе моделируется мате-

матический маятник?

9


ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК


ными приборами. Изучение метода измерений времени и периода ко-лебаний маятника. Выявление зависимости периода колебаний от по-ложения точки подвеса. Определение ускорения свободного падения.

Материальное обеспечение 1. Лабораторный комплекс ЛКМ-3. 2. Тяжелый стержень с отверстиями.

1. Теоретические положения

В физике под маятником понимают твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки оси.

Колебания – движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания называют периоди-ческими, если значения физических величин, изменяющихся в про-цессе колебания, повторяются через равные промежутки времени.



Физическим маятником называется твёрдое тело, способное со-вершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции. Физический маятник совершает затухающие коле-бания, поскольку на него значительное влияние оказывают силы со-противления. Физический маятник является колебательной системой.

Колебательная система – система, способная совершать сво-бодные колебания.


Колебания предоставленной самой себе системы, вызванные перво-начальным кратковременным внешним возбуждением (сообщением на-чального запаса энергии), называются свободными или собственными.

10

В данной лабораторной работе используется модель физического маятника – тяжелый стержень квадратного сечения. Поверхности стержня создают значительное сопротивление движению при трении о воздух, в связи с этим зависимость периода колебаний от координа-ты точки подвеса нелинейна.

Начало отсчета координаты x точки подвеса устанавливается в крайнем отверстии стержня.

Рис. 1. График зависимости периода колебаний

от координаты точки подвеса При установке маятника на шкиве стойки так, что центр масс

стрежня лежит на оси шкива, колебания отсутствуют – стержень со-вершает вращательное движение. На рис. 1 эта область показана раз-рывом – центральная часть.


Период колебаний физического маятника со временем уменьша-ется, но в пределах 2-3 колебаний является величиной постоянной. Для получения одинаково точных значений колебаний маятника с разными координатами подвеса амплитуда колебаний маятника должна быть ограничена 10º.

Период колебаний маятника определяется зависимостью

ghT

22 4 , (1)

где h – приведенная длина маятника; g – ускорение свободного падения. Приведенная длина маятника h – это характеристика физиче-

ского тела, для которого она является величиной неизменной.

T

x

h

11

Приведенная длина маятника в данной лабораторной работе мо-жет быть определена графически: на графике находят пары точек подвеса по разные стороны от центра масс стержня и несимметрич-ные относительно центра масс, соответствующие одинаковым перио-дам колебаний (координаты x1 и x2) , расстояние между этими точка-ми равно приведенной длине маятника (см. рис.1). При известном пе-риоде колебаний и приведенной длине маятника формула (2) позво-ляет определить ускорение свободного падения (метод 1).

Значение ускорения свободного падения также может быть опре-делено методом «двух качаний» (метод 2). Использование этого ме-тода возможно только тогда, когда известно с высокой степенью точ-ности положение центра масс маятника.

Если при расстоянии 1L от центра масс до точки подвеса период колебаний маятника равен 1T , а при расстоянии 2L период колебаний равен 2T , то ускорение свободного падения определяется зависимостью

2

221

21

22

21

24LTLTLLg

. (2)

2. Порядок выполнения работы

1. Установить на лабораторный комплекс ЛКМ-3 тяжелый стер-жень с отверстиями, как показано на рис. 2. Стержень закрепить на штыре шкива стойки (использовать крайнее отверстие). Для устране-ния паразитных колебаний на ось шкива надеть пластмассовую втул-ку-фиксатор, прижимающую стержень к шкиву.

2. Включить электропитание установки. Переключатель «Пери-од» выставить в положение «ΔТ» – измерение периода одного коле-бания, переключатель «Измерения» в положение «Циклические» – для измерения повторяющихся колебаний.


ло лабораторного комплекса после 2-3 качаний маятника. Результат занести в табл.1.

6. Изменить точку подвеса маятника (отверстия в планке следуют с шагом 20,0 мм) и повторить операции с пункта 3.

7. Построить график зависимости периода колебаний маятника от координаты точки подвеса (рис.1) на основании данных табл. 1.

12

8. Найти на графике пары точек подвеса по разные стороны от центра масс стрежня и несимметричные относительно центра масс, соответствующие одинаковым периодам колебаний. Расстояние меж-ду этими точками равно приведенной длине маятника.

9. По формуле (1) рассчитать ускорение свободного падения. По-лученные результаты занести в табл. 2.

10. Используя метод двух качаний, определить ускорение сво-бодного падения по формуле (2), значение 1L принять равным наи-большему расстоянию от центра масс до точки подвеса, 2L – наи-меньшему расстоянию. Результаты занести в табл. 3.

Рис. 2. Схема установки модели физического

маятника

3. Содержание отчета 1. Название, цель, материальное обеспечение лабораторной ра-

боты. 2. Теоретические положения. 3. Схема установки модели физического маятника на лаборатор-

ном комплексе (см. рис. 2). 4. Результаты измерений и расчетов, занесенные в табл. 1, 2, 3. 5.График зависимости периода колебаний маятника от значения

точки подвеса, с указанной приведенной длиной маятника (на отдель-ном формате А4).

6. Результаты и выводы по лабораторной работе.

13

Таблица 1. Период колебаний маятника в зависимости от расстояния

до точки подвеса Координата x, м 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 Расстояние до точки подвеса L, м 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0

Период колебаний Т, с

Координата x, м 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 Расстояние до точки подвеса L, м 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16

Период колебаний Т, с Таблица 2. Определение ускорения свободного падения (метод 1)

№ п/п

Период колебаний Т, с

Координата x1, м

Координата x2, м

Приведенная длина h, м

Ускорение сво-бодного паде-ния g, м/с2

1 2

Таблица 3. Определение ускорения свободного падения (метод 2)

1L , м 1T , с 2L , м 2T , с g, м/с2 g, м/с2 (таблич-ное)

9,81


1. Что называют амплитудой, периодом, частотой колебаний? 2. Какой маятник называют физическим? 3. Что такое приведенная длина физического маятника? 4. Как графически определяют приведенную длину физического ма-

ятника? 5. Оказывает влияние ускорение свободного падения на период коле-

баний физического маятника?

14


АНГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ


ными приборами. Изучение метода измерений времени и периода ко-лебаний маятника. Выявление зависимости периода колебаний от по-ложения точки подвеса. Выявление зависимости периода колебаний от амплитуды.

Материальное обеспечение

1. Лабораторный комплекс ЛКМ-3. 2. Модель математического маятника. 3. Тяжелый стержень с отверстиями.


В физике под маятником понимают твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки оси.


Амплитуда колебаний A – максимальное значение отклонения тела от положения равновесия.



Математическим называют такой маятник, который совершает гармонические колебания. Представляет собой материальную точку, в которой сосредоточена масса тела, совершающего колебания, подве-шенную на тонкой невесомой и нерастяжимой нити, закрепленной в неподвижной точке.

15

Гармонические колебания – это периодическое изменение во времени физической (или другой) величины, происходящее по закону синуса или косинуса.

Физическим маятником называется твёрдое тело, способное со-вершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции. Физический маятник совершает затухающие коле-бания, поскольку на него значительное влияние оказывают силы со-противления.


Сложные (ангармонические) периодические колебания харак-терны тем, что изменение физической величины с течением времени не происходит по закону синуса или косинуса.

Рис. 1. График зависимости периода колебаний маятника от амплитуды

Получение гармонических колебаний, с использованием лабора-

торного комплекса ЛКМ-3, возможно при малых колебаниях – ам-плитуда не должна превышать 10°. С увеличением амплитуды коле-баний изменения физической величины не происходит по закону си-нуса или косинуса, колебания переходят в разряд ангармонических.

Для изучения ангармонических колебаний в данной лаборатор-ной работе используются модели математического маятника – диск на легкой планке и физического маятника – стержень квадратного сечения.

T

А 10°

16

2. Порядок выполнения работы Эксперимент с математическим маятником

1. Установить на лабораторный комплекс ЛКМ-3 модель матема-тического маятника, как показано на рис. 2. Планку математического маятника закрепить на штыре шкива стойки. Для устранения паразит-ных колебаний на ось шкива надеть пластмассовую втулку-фиксатор, прижимающую планку к шкиву.

Рис. 2. Схема установки модели

математического маятника 2. Включить электропитание установки. Переключатель «Пери-

од» выставить в положение «ΔТ» – измерение периода одного коле-бания, переключатель «Измерения» в положение «Циклические» – для измерения повторяющихся колебаний.


ло лабораторного комплекса и занести в отчет (табл.1). 6. Повторить операции с пункта 3, изменяя угол отклонения ма-

ятника на: 10, 20, 30, 45, 60, 90º. 7. Изменить точку подвеса маятника (отверстия в планке следуют

с шагом 20,0 мм) и повторить операции с пункта 3. 8. Построить график зависимости периода колебания маятника от

амплитуды (см. рис.1) и точки подвеса, на основании данных табл. 1.

17

9. Выделить область на графике, в которой маятник совершает гармонические колебания.

Эксперимент с физическим маятником 1. Установить на лабораторный комплекс ЛКМ-3 тяжелый стер-

жень с отверстиями, как показано на рис. 3. Стержень закрепить на штыре шкива стойки. Для устранения паразитных колебаний на ось шкива надеть пластмассовую втулку-фиксатор, прижимающую стер-жень к шкиву.

Рис. 3. Схема установки модели

физического маятника 2. Нажать кнопку «Готов», для обнуления таймера. 3. Отвести маятник на угол 5º и отпустить. 4. Зафиксировать значение периода колебаний на цифровом таб-

ло лабораторного комплекса после 2-3 качаний маятника. Результат занести в табл.2.

5. Повторить операции с пункта 3, изменяя амплитуду колебаний маятника на: 10, 20, 30, 45, 60, 90°.

6. Изменить точку подвеса маятника (отверстия в планке следуют с шагом 20,0 мм) и повторить операции с пункта 3.

7. Построить график зависимости периода колебаний маятника от амплитуды (см. рис.1) и точки подвеса на основании данных табл. 2.

8. Выделить область на графике, в которой маятник совершает колебания, близкие к гармоническим.

18

3. Содержание отчета 1. Название, цель, материальное обеспечение лабораторной работы. 2. Теоретические положения. 3. Схема установки модели математического маятника на лабора-

торном комплексе (см. рис. 2). 4. Схема установки модели физического маятника на лаборатор-

ном комплексе (см. рис. 3). 5. Результаты измерений и расчетов, занесенные в табл. 1, 2. 6. График зависимости периода колебаний математического ма-

ятника от амплитуды и точки подвеса. 7.График зависимости периода колебаний физического маятника

от амплитуды и точки подвеса. 8. Результаты и выводы по лабораторной работе.

Таблица 1. Период колебаний математического маятника в зависимости от

амплитуды и точки подвеса Амплитуда А, град. 5 10 20 30 45 60 90 Длина подвеса

l=280 мм Период Т, с Амплитуда А, град. 5 10 20 30 45 60 90 Длина подвеса

l=200 мм Период Т, с Таблица 2. Период колебаний физического маятника в зависимости от ам-

плитуды и точки подвеса Амплитуда А, град. 5 10 20 30 45 60 90 Длина подвеса

l=160 мм Период Т, с Амплитуда А, град. 5 10 20 30 45 60 90 Длина подвеса

l=120 мм Период Т, с


1. Что называют амплитудой, периодом, фазой колебаний? 2. Какой маятник называют физическим (математическим)? 3. Что называют гармоническими и ангармоническими колебаниями? 4. Объяснить полученную графическую зависимость периода колеба-

ний маятника от амплитуды. 5. Оказывает влияние ускорение свободного падения на период коле-

баний маятника?

19


ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ БАЛКИ


ными приборами. Изучение методик определения модуля Юнга: по колебаниям балки, по смещению при изгибе.


1. Лабораторный комплекс ЛКМ-3. 2. Цилиндрический кронштейн, нить, подвеска с грузом. 3. Набор цилиндрических стержней.


Деформация – изменение взаимного расположения частиц мате-риальной среды, которое приводит к изменению формы и размеров тела. Простейшие деформации: растяжение, сжатие, изгиб, кручение.

Деформация называется упругой, если она полностью исчезает после прекращения действия, вызвавшей ее внешней силы. При этом тело восстанавливает свои прежние размеры и форму. Для упругих деформаций выполняется закон Гука.

Пластической называется деформация, не исчезающая полно-стью после прекращения действия пластических сил и приводящая к необратимым изменениям в структуре твердого тела. При пластиче-ской деформации тело не восстанавливает полностью своих прежних размеров и формы (остаточная деформация). Все тела обладают пла-стическими свойствами в большей или меньшей степени.

Закон Гука для упругих деформаций сжатия – растяжения: мо-дуль силы упругости, возникающей при деформации, прямо пропор-ционален абсолютному удлинению:

lkFупр , (1)

где k – коэффициент жесткости; Δl – абсолютное удлинение (дефор-мация). Коэффициент жесткости k – величина, характеризующая упру-

гие свойства тела, равная отношению силы упругости, возникающей

20

при деформации тела, к абсолютному удлинению. Размерность коэф-фициента жесткости в СИ – ньютон на метр [Н/м].

Модуль упругости E – величина, характеризующая упругие свойства материалов при малых деформациях. При упругой деформа-ции стержня модуль упругости называют модулем Юнга.

Относительное удлинение ε – величина, показывающая, какую часть от длины недеформированного тела составляет изменение дли-ны тела при деформации. Относительное удлинение равно отноше-нию абсолютного удлинения тела к его длине в недеформированном состоянии.

Механическое напряжение σ – величина, характеризующая со-стояние деформированного тела, равная отношению модуля силы уп-ругости, возникающей в теле при деформации, к площади поперечно-го сечения деформируемого тела. При этом считают, что сила пер-пендикулярна сечению тела.

Зависимость механического напряжения, возникающего в твер-дом теле при односторонней деформации (растяжении, сжатии, изги-бе) от относительного удлинения, описывается диаграммой дефор-мации (рис.1).

Рис. 1. График зависимости механического напряжения от относительного удлинения

Участок диаграммы ОА соответствует области упругих деформа-ций, где справедлив закон Гука. Максимальное механическое напря-жение, при котором выполняется закон Гука, называют пределом

σ

ε О

С

В

D

E

А

21

пропорциональности. На диаграмме пределу пропорциональности соответствует точка А.

При увеличении нагрузки деформация приобретает нелинейную зависимость. Однако при небольших нелинейных деформациях после снятия нагрузки форма и размеры тела практически восстанавливают-ся – участок диаграммы АВ. Точке В соответствует максимальное ме-ханическое напряжение, называемое пределом текучести материа-ла, при котором в твердом теле еще не возникают остаточные дефор-мации.

При достижении механического напряжения значения, соответ-ствующего точке С на диаграмме, относительное удлинение увеличи-вается практически без увеличения нагрузки. Это явление называют текучестью материала – участок CD.

Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к росту механическо-го напряжения, которое достигает максимального значения, называе-мого пределом прочности, соответствует точке Е на диаграмме.

В данной лабораторной работе в качестве балки используется ме-таллический стержень. Коэффициент жесткости стержня определяет-ся его размерами, формой, способом закрепления и модулем упруго-сти (модулем Юнга) материала. Для круглого стержня с неподвиж-ным закреплением («заделкой») одного конца коэффициент жестко-сти рассчитывается по формуле

3

4

643

LdEk

, (2)

где k – коэффициент жесткости стержня; E – модуль Юнга; d – диа-метр стержня; L – длина стержня от точки «заделки» до точки крепления нити. Для определения модуля Юнга может быть использован метод

расчета коэффициента жесткости стержня без учета массы стержня и шкива (метод 1). Этот метод основан на изменении периода колеба-ний в зависимости от массы подвешенного груза.

Значение коэффициента жесткости стержня определяется зави-симостью

2

12

2

1224TTmmk

, (3)

22

где 1m , 2m – массы грузов, подвешенных к стержню; 1Т , 2Т – перио-ды колебаний стержня при массах 1m , 2m соответственно.


Модуль Юнга может быть определен по смещению (деформации) стержня (метод 2). Для этого определяют смещение нижней точки подвески с грузом, при изменении массы груза на некоторое значение Δm.

Коэффициент жесткости стержня определяется зависимостью

xmgk

, (4)

где g – ускорение свободного падения; Δx – изменение смещения нижней точки подвески; Δm – изменение массы груза (разность между 1m и 2m ).

Модуль Юнга – механическая характеристика конструкционных материалов. Значения модуля Юнга для различных материалов пред-ставлены в табл. 1.

Таблица 1. Значения модуля Юнга

Материал Сталь Латунь Алюминий Текстолит Е, 109 Н/м2 200 ~ 110 68-72 4-10


1. Установить на лабораторный комплекс ЛКМ-3 цилиндриче-ский кронштейн, как показано на рис. 2.

2. В прорези кронштейна установить испытуемый стержень. 3. Закрепить один конец нити на свободном конце стержня, пере-

бросить нить через шкив и на крючке подвесить наборный груз (со-гласно заданию).

4. Поворачивая цилиндрический кронштейн, относительно собст-венной оси, сориентировать испытуемый стержень перпендикулярно нити, с погрешностью не более 10º.

5. Включить электропитание установки. Переключатель «Пери-од» выставить в положение «ΔТ» – измерение периода одного коле-

23

бания, переключатель «Измерения» в положение «Циклические» – для измерения повторяющихся колебаний.

6. Расположить зазор фотодатчика напротив положения «0» на отсчетной шкале стойки. Установку зазора фотодатчика «на ноль» следует контролировать по светодиодному индикатору №2; свечение индикатора свидетельствует о правильной установке.

7. Нажать кнопку «Готов», для обнуления таймера. 8. Отвести стержень вниз и отпустить (смещение стержня вниз не

должно превышать 2 мм). 9. Зафиксировать значение периода колебаний на цифровом таб-

ло лабораторного комплекса; повторить операции с пункта 7 дважды, убедившись в точности полученных данных, занести результат в табл. 2.

10. Изменить массу груза (согласно заданию). Зафиксировать смещение подвески с грузом, значение Δx занести в табл. 3. Повто-рить операции с пункта 6.

11. В прорези цилиндрического кронштейна установить второй испытуемый стержень и повторить операции с пункта 3.

Рис. 2. Схема установки стержня с наборным грузом

3. Содержание отчета 1. Название, цель, материальное обеспечение лабораторной работы. 2. Теоретические положения. Описание методик определения мо-

дуля Юнга.

24

3. Схема установки стержня с наборным грузом на лабораторном комплексе (см. рис.2).

4. Результаты измерений и расчетов, занесенные в табл. 2, 3. 5. Выводы по лабораторной работе.

Таблица 2. Определение модуля Юнга (метод 1)

Материал Показатель

Стержень 1 Стержень 2 Диаметр стержня d, м Длина стержня L, м

Масса груза 1m , кг


Период колебаний 1T , с

Период колебаний 2T , с Коэффициент жесткости k, Н/м Модуль Юнга E, ·109 Н/м2

Таблица 3. Определение модуля Юнга (метод 2)


Стержень 1 Стержень 2 Масса груза 1m , кг


Смещение 1x , м

Смещение 2x , м Смещение Δx, м Коэффициент жесткости k, Н/м Модуль Юнга E, ·109 Н/м2


1. Что называют деформацией (пластической, упругой)? 2. Что характеризует модуль упругости (какую величину называют мо-

дулем Юнга)? 3. Описать зависимость механического напряжения, возникающего в

твердом теле при односторонней деформации, от относительного удлинения.

25


ИССЛЕДОВАНИЕ ТОРСИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ


ными приборами. Изучение методики определения коэффициента же-сткости и модуля сдвига по колебаниям балки.


1. Лабораторный комплекс ЛКМ-3. 2. Цилиндрический кронштейн, зажим. 3. Тяжелый стержень с отверстиями (подвеска). 4. Набор цилиндрических стержней.


Торсион – упругий стержень, работающий на кручение. При скручивании возникают упругие силы, стремящиеся вернуть стержень в первоначальное состояние.




Деформация – изменение взаимного расположения частиц мате-риальной среды, которое приводит к изменению формы и размеров тела. Простейшие деформации: растяжение, сжатие, изгиб, кручение.

Деформация называется упругой, если она полностью исчезает после прекращения действия вызвавшей ее внешней силы. При этом тело восстанавливает свои прежние размеры и форму. Для упругих деформаций выполняется закон Гука.

Пластической называется деформация, не исчезающая полно-стью после прекращения действия пластических сил и приводящая к необратимым изменениям в структуре твердого тела. При пластиче-

26

ской деформации тело не восстанавливает полностью своих прежних размеров и формы (остаточная деформация). Все тела обладают пла-стическими свойствами в большей или меньшей степени.

Коэффициент жесткости при кручении q – величина, характе-ризующая упругие свойства тела, равная отношению ΔM к углу за-кручивания Δψ:

Mq . (1)

Коэффициент жесткости цилиндрического стержня (торсиона) в данной лабораторной работе определяется зависимостью

2

12

2

21

2224

TTrr

mq

, (2)

где m – суммарная масса грузов, установленных на торсионе; 1Т – пе-риод колебаний торсиона при расстоянии 1r (от центра тяжелого стержня до грузов); 2T – период колебаний торсиона при рас-стоянии 2r (от центра тяжелого стержня до грузов). Модуль сдвига определяет механические свойства материала, из

которого изготовлен стержень (см. табл. 1). Для круглого стержня с неподвижным закреплением одного кон-

ца модуль сдвига может быть определен по формуле

432

dLqG

, (3)

где q – коэффициент жесткости цилиндрического стержня; L – длина цилиндрического стрежня, между точкой закрепления и точкой подвеса тяжелого стержня; d – диаметр цилиндрического стержня.

Таблица 1. Значения модуля сдвига

Материал Сталь Латунь Алюминий G, 109 Н/м2 75 35 26


1. Установить на лабораторный комплекс ЛКМ-3 цилиндриче-ский кронштейн, как показано на рисунке.

2. В прорези кронштейна установить конец цилиндрического стержня; сориентировать стержень вертикально.

27

3. На свободном конце стержня, с помощью специального зажи-ма, закрепить тяжелый стержень с отверстиями.

4. Включить электропитание установки. 5. На тяжелом стержне с отверстиями установить симметрично

два груза (расстояние от центра определяется исходя из задания). 6. Нажать кнопку «Готов». 7. Закрутить цилиндрический стержень за свободный конец и от-

пустить. 8. Нажать кнопку «Ручн.», для запуска таймера в ручном режиме. 9. Отсчитать 10 колебаний торсиона и повторно нажать кнопку

«Ручн.», для остановки таймера; повторить операции с пункта 6 дважды, убедившись в точности полученных данных, занести результат в табл.2.

10. Изменить расстояние от центра тяжелого стержня до грузов (согласно заданию). Повторить операции с пункта 6.

11. В прорези цилиндрического кронштейна установить второй испытуемый стержень и повторить операции с пункта 3.

12. Определить коэффициент жесткости при кручении и модуль сдвига по формулам (2) и (3), результаты свести в табл. 2.

Схема установки цилиндрического стержня

с тяжелой подвеской

3. Содержание отчета 1. Название, цель, материальное обеспечение лабораторной работы. 2. Теоретические положения. 3. Схема установки цилиндрического стержня с тяжелой подвес-

кой на лабораторном комплексе (см. рисунок).

28

4. Результаты измерений и расчетов, занесенные в табл. 2. 5. Выводы по лабораторной работе.

Таблица 2. Жесткость цилиндрического стержня при кручении


Стержень 1 Стержень 2 Диаметр стержня d, м

Длина стержня L, м

Масса груза m1 и m2, кг

Суммарная масса грузов m, кг Расстояние от оси стрежня до центра груза, м

Время 10 колебаний, с

Период колебаний, с

Коэффициент жесткости q, Н/м

Модуль сдвига G, ·109 Н/м2


1. Что называют деформацией (пластической, упругой)? 2. Дать определения терминам: колебания, амплитуда, период коле-

баний. 3. Что называют торсионом? 4. Какие свойства торсиона характеризует модуль сдвига? 5. Описать методику расчета коэффициента жесткости стержня при

кручении. 6. Какой зависимостью определяется модуль сдвига стержня круглого

сечения, с неподвижным закреплением одного конца?

29


СТАТИСТИКА ВРЕМЕНИ РЕАКЦИИ ЧЕЛОВЕКА

Цель работы Приобретение практических навыков при работе с приборами

измерения времени. Изучение методики оценки истинного значения измеряемой величины и точности измерения.


1. Лабораторный комплекс ЛКМ-3. 2. Выносной пульт управления. 3. Справочные материалы.


Время реакции человека на дискретные независимые раздражи-тели меняется в широких пределах. Для простой реакции среднее время реакции человека в самых благоприятных случаях не менее 0,15 с.

Исследования подтвердили, что реакция на звук быстрее, чем на свет, среднее время реакции на звук 0,14 - 0,16 с, а среднее время ре-акции на зрительный раздражитель 0,18 - 0,2 с. При этом на распозна-вание зрительных образов необходимо не менее 0,4 с.

Изображение, воспринимаемое разными областями глаза, влияет на время реакции. Самое быстрое время реакции, когда человек смот-рит непосредственно на раздражитель, при периферийном зрении время реакции увеличивается, но его можно сократить тренировками.

Тренировки уменьшают время реакции, причем результат, полу-ченный упражнениями, сохраняется на протяжении, как минимум, трех недель. При этом уменьшение времени реакции способствует увеличению ошибок.

Любое отвлечение внимания увеличивает время реакции (фоно-вый шум, сложный вопрос, разговор по телефону). Противоположное воздействие оказывает наличие предупреждения, что значительно со-кращает время реакции. Однако предупреждение нередко вызывает преждевременную реакцию человека, до того как свершилось событие.

30

Во всех возрастных группах время реакции у мужчин меньше, чем у женщин того же возраста. При этом разницу во времени реак-ции невозможно компенсировать упражнениями и тренировками.

Результаты измерений времени реакции человека являются случайной величиной. Случайные погрешности измерения проявля-ются в рассеянии значений времени реакции.

Случайные величины характеризуются определенным законом распределения, то есть зависимостью между числовыми значения-ми случайной величины и вероятностью их появления (рис. 1). В об-ласти технических измерений наиболее часто встречаются следую-щие законы распределения:

- нормальный (закон Гаусса); ему подчиняются случайные вели-чины, на которые оказывают влияние большое количество факторов, каждый из которых не является основным и имеет небольшое значе-ние в общей совокупности;

- закон равной вероятности; ему подчиняются случайные вели-чины, на которые оказывает влияние один основной фактор, посто-янно изменяющийся во времени в пределах некоторого интервала;

- закон равнобедренного треугольника (Симпсона); ему подчи-няются случайные величины, на которые действуют два основных фактора.

Рис. 1. Графическое изображение законов распределения случайных

величин: а – нормальный закон; б – закон равной вероятности; в – закон равнобедренного треугольника

Наиболее вероятно распределение значений случайных величин

времени реакции человека по нормальному закону.

31

Статистический метод обработки результатов измерений Теоретической базой статистического анализа результатов изме-

рений служат математическая статистика и теория вероятностей. Для построения закона распределения необходимо расположить

результаты измерений в порядке возрастания (строится ранжирован-ный ряд).

Между крайними значениями ранжированного ряда вычисляется разность, называемая размахом выравнивания или широтой рас-пределения:

minmax xxR . (1)

В данной лабораторной работе наиболее оптимальным является число интервалов q, равное 5, исходя из числа полученных экспери-ментальных значений. Ширина интервала

qRx , (2)

где q – число интервалов. Начало первого интервала равно значению minx , конец последне-

го интервала равен значению maxx . Частота А – это количество результатов измерений попадающих

в каждый интервал. На основе данных частоты и значения ширины интервала строится гистограмма, по оси абсцисс откладывается ши-рина интервала, по оси ординат – частота (рис.2).

Рис. 2. Гистограмма разброса

результатов измерений

32

Математическое ожидание или среднее арифметическое значение

n

iix

nx

1

1, (3)

где xi – отдельные экспериментальные данные; n – число эксперимен-тальных данных. Среднеквадратичное отклонение среднего арифметического

показывает рассеяние значений случайных величин относительно центра группирования и определяется зависимостью

)1()( 2

nn

xxix . (4)

Доверительный интервал – это интервал, между границами ко-торого с определенной (заданной) вероятностью находится значение измеряемой величины. Чем больше величина доверительного интер-вала, тем с большей вероятностью истинное значение измеряемой ве-личины попадет в этот интервал. Границы доверительного интервала задаются величиной полной абсолютной погрешности Δx, которая включает абсолютную случайную и приборную погрешности.

В случае, если неизвестна (не задана) приборная погрешность, то границы доверительного интервала определяют по формуле

npxгр tx ; , (5)

где Δгр – граница доверительного интервала; tp;n – коэффициент по таблице функции Стьюдента, при известном числе измерений и определенной доверительной вероятности P. Окончательный результат многократных измерений записывается

в виде

грxx ; при P = , (6)

где x – среднее арифметическое значение измеряемой величины; Δгр – граница доверительного интервала; P – доверительная вероят-ность, вероятность того, что истинное значение измеренной вели-чины x попадает в указанный доверительный интервал.

Правила записи и округления результатов измерений Точность результатов измерений и последующих вычислений

при обработке данных должна быть согласована с необходимой точ-ностью результатов измерений.

33

При записи результатов расчетов необходимо следовать правилу: точность значений, полученных с помощью расчетов, не может быть выше точности значений, полученных экспериментальным путем, на основе которых выполняются расчеты. Например: 1,24±0,13 (непра-вильная запись: 1,24±0,137).


1. Подключить выносной пульт к разъему №2, расположенный на верхней стенке лабораторного комплекса ЛКМ-3 (рис. 3).

2. Включить электропитание установки. Переключатель «Пери-од» выставить в положение «1», переключатель «Измерения» в поло-жение «Однократные».

3. Нажать кнопку «Готов», для обнуления таймера.

Работу выполняют вдвоем. 4. «Исследователь» запускает таймер нажатием кнопки на вынос-

ном пульте, при этом раздается звуковой сигнал и загорается индикатор. 5. «Испытуемый» должен нажать кнопку «Ручн.», на панели лабо-

раторного комплекса, как только прозвучит звуковой сигнал и (или) загорится контрольный индикатор, при этом таймер будет остановлен.

6. Зафиксировать значение времени реакции на цифровом табло лабораторного комплекса; повторить операции с пункта 3, занести ре-зультаты в табл.1.

7. Отключить звуковой сигнал и повторить операции с пункта 3, результаты занести в табл.2.

8. «Исследователь» и «Испытуемый» меняются местами. Выпол-няются операции с пункта 3.

9. Заполнить табл. 3, с результатами исследования времени реакции человека на световой и звуковой сигналы, выполнив необходимые рас-четы. Построить гистограмму по данным табл. 3.

10. Заполнить табл. 4 для результатов исследования времени ре-акции человека на световой сигнал. По данным табл. 4 построить гис-тограмму.

11. Записать окончательный результат многократных измерений для двух экспериментальных исследований.

12. Заполнить табл. 5 по результатам исследований времени ре-акции человека на световой и звуковой сигналы в учебной группе.

13. Построить графические зависимости по данным табл. 5.

34

Рис. 3. Схема подключения выносного пульта

3. Содержание отчета

1. Название, цель, материальное обеспечение лабораторной работы. 2. Теоретические положения. Описание статистического метода

обработки результатов измерений. Правила записи и округления ре-зультатов измерений.

3. Результаты измерений, занесенные в табл. 1, 2. 4. Формулы и расчетные значения, согласно методике расчета. 5. Результаты расчета, занесенные в табл. 3 и 4. 6. Гистограммы по данным табл. 3 и 4. 7. Результаты исследований, занесенные в табл. 5. 8. Графические зависимости по данным табл. 5. 9. Выводы по лабораторной работе.

Таблица 1. Время реакции человека на световой и звуковой сигналы

Время реакции t, с

Таблица 2. Время реакции человека на световой сигнал

Время реакции t, с

35

Таблица 3. Результаты измерений времени реакции человека на световой и звуковой сигналы

Границы интервала Номер интер-вала начало конец

Частота А

1 2 3 4 5

Таблица 4. Результаты измерений времени реакции человека на

световой сигнал

Границы интервала Номер интер-вала начало конец

Частота А

1 2 3 4 5

Таблица 5. Время реакции человека на световой и звуковой сигналы (сред-

ние арифметические значения всех операторов в группе) Время реак-ции на све-товой и зву-ковой сиг-налы t, с

Ранжиро-ванный ряд

Время реак-ции на све-товой сиг-нал t, с

Ранжиро-ванный ряд

36


1. От чего зависит величина времени реакции человека на раздражи-тель?

2. Каким образом возможно повысить скорость реакции человека? 3. Что называют законом распределения (основные разновидности)? 4. Что называют размахом выравнивания? 5. Порядок определения доверительного интервала. 6. Какой зависимостью определяется среднеквадратичное отклонение

среднего арифметического значения? 7. Правила записи и округления результатов измерений. 8. Какой зависимостью определяется среднее арифметическое значе-

ние?

37


ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЛОЖНОГО ТЕЛА


ными приборами. Изучение методики определения углового ускоре-ния и угловой скорости вращающегося тела, момента инерции слож-ного тела.


1. Лабораторный комплекс ЛКМ-3. 2. Цилиндрический кронштейн с поворотным блоком. 3. Подвеска с набором грузов. 4. Нить, крепежные винты.


Вращательное движение – вид движения, при котором все точки абсолютно твёрдого тела описывают окружности, расположенные в па-раллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и назы-ваемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения может быть как подвижной, так и не-подвижной.

Угловая скорость – векторная величина, характеризующая ско-рость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени, а направлен по оси вращения со-гласно правилу буравчика, то есть в ту сторону, в которую ввинчивал-ся бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.

dtd

z

. (1)

Единица измерения угловой скорости, принятая в системах СИ и СГС, – радианы в секунду. (Примечание: радиан, как и любые еди-ницы измерения угла, – физически безразмерен, поэтому физическая размерность угловой скорости – просто [1/секунда]). В технике также используются обороты в секунду, намного реже – градусы в секунду.

38

Значение угловой скорости тела при вращательном движении оп-ределяется следующей зависимостью:

0 , (2)

где ω0 – начальная скорость вращения (в данной лабораторной работе равна 0, т.к. в начале эксперимента поворотный стол затормо-жен); β – угловое ускорение тела; τ – время поворота тела под воздействием ускорения (в данной работе принимается время первого поворота стола). Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение. Угловое ускорение – векторная величина, характеризующая бы-

строту изменения угловой скорости твёрдого тела. При вращении вокруг неподвижной точки вектор углового уско-

рения определяется как первая производная от вектора угловой ско-рости ω по времени:

dtd

. (3)

Значение углового ускорения может быть определено по времени поворота тела τ на определенный угол φ:

22

. (4)

Движение с постоянным вектором угловой скорости называется равномерным вращательным движением, в этом случае угловое ускорение равно нулю.

Вращение тела вокруг неподвижной оси, когда его угловая ско-рость ω растёт (или убывает) равномерно, называют равноперемен-ным. При равнопеременном вращении угловое ускорение остается величиной постоянной, выполняется условие

const 122

12 /)/( , (5)

где 1 – время поворота тела на угол 1 ; 2 – время поворота тела на угол 2 . Момент инерции – скалярная физическая величина, характери-

зующая распределение масс в теле, равная сумме произведений элемен-тарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости). Единица измерения в системе СИ – кг·м², обо-значение – I или J.

39

Поворотный стол приводится во вращение при помощи потенци-альной энергии подвешенного груза, при этом момент инерции может быть определен по следующей зависимости:

MJ , (6)

где М – момент сил, действующих на стол; β – угловое ускорение стола. mgRМ , (7)

где m – масса подвески с грузом; g – ускорение свободного падения; R – радиус шкива поворотного стола. Механическая работа – это физическая величина, являющаяся ко-

личественной характеристикой действия силы на процесс. Работа сил тя-жести в данной лабораторной работе может быть рассчитана по формуле

2 mgRA , (8)

где m – масса подвески с грузом; g – ускорение свободного падения; R – радиус шкива поворотного стола. Энергия – скалярная физическая величина, являющаяся мерой раз-

личных форм движения материи и мерой перехода движения материи из одних форм в другие. Энергия вращательно движения определяется зависимостью

2

2JW , (9)

где J – момент инерции; ω – угловая скорость поворотного стола.

2. Порядок выполнения работы 1. Установить на лабораторный комплекс ЛКМ-3 поворотный

блок цилиндрического кронштейна, как показано на рисунке. 2. Включить электропитание установки. 3. Ввести в действие тормозное устройство поворотного стола. 4. На большой шкив стола (R = 25 мм) намотать нить (не менее 2

полных оборотов), перекинуть через поворотный блок цилиндриче-ского кронштейна, затем через шкив стойки и на конце нити закре-пить подвеску с грузом (согласно заданию).

5. Переключатель «Период» выставить в положение «1» – изме-рение времени одного оборота стола τ1, переключатель «Измерения» в положение «Однократные» – для измерения времени первого оборота.

40

6. Расположить зазор фотодатчика напротив положения «0» на отсчетной шкале поворотного стола. Установку зазора фотодатчика «на ноль» следует контролировать по светодиодному индикатору №1; свечение индикатора свидетельствует о правильной установке.

7. Нажать кнопку «Готов», для обнуления таймера. 8. Отпустить тормозное устройство (стол начнет вращаться) и

зафиксировать значение на цифровом табло, эксперимент повторить дважды, результаты занести в табл. 1.

9. Переключатель «Период» выставить в положение «2» – изме-рение времени двух оборотов стола 2 , переключатель «Измерения» в положение «Однократные».

10. Повторить пункты 3, 4, 6, 7, 8. Заполнить табл. 1, выполнив необходимые расчеты.

11. На поворотном столе разместить груз массой 500 гр. Повто-рить пункты с 3 по 10, результаты занести в табл. 2.

12. На поворотном столе разместить груз (согласно заданию), по-вторить пункты с 3 по 7. Отпустить тормозное устройство, зафикси-ровать значение на цифровом табло. Эксперимент повторить, среднее значение по двум исследованиям занести в табл. 3.

13. Изменить расположение грузов на поворотном столе (соглас-но заданию), повторить пункт 12.

14. Заполнить табл. 3, выполнив необходимые расчеты. 15. Построить графики зависимостей углового ускорения и мо-

мента инерции от расстояния размещения грузов до оси вращения стола, с учетом массы подвешенного груза.

Схема расположения блока, нити и подвешенного груза

41

3. Содержание отчета 1. Название, цель, материальное обеспечение лабораторной работы. 2. Теоретические положения. Основные характеристики враща-

тельного движения. 3. Схема расположения на установке ЛКМ-3 блока, нити и под-

вешенного груза (рисунок). 4. Результаты измерений и расчетов, занесенные в табл. 1, 2, 3. 5. Формулы и расчетные значения, согласно методике расчета. 6. Графические зависимости по данным табл. 3. 7. Выводы по лабораторной работе.

Таблица 1. Проверка равнопеременного вращения поворотного стола

№ п/п

Время поворота стола τ1 на угол 2π

Время поворота сто-ла τ2 на угол 4π Контроль

1 2

Таблица 2. Проверка равнопеременного вращения поворотного стола

№ п/п

Время поворота стола τ1 на угол 2π

Время поворота сто-ла τ2 на угол 4π Контроль

1 2

Таблица 3. Исследование углового ускорения поворотного стола

Схема размещения грузов

Масса подвески с грузом m, кг Расстояние от грузов до оси вращения r, м

Время первого оборота τ, с

Угловое ускорение β, с-2

Угловая скорость ω, с-1

Момент инерции I, кг·м2

Контроль ΔI/Δr2

Работа сил тяжести А, Дж

Энергия вращательного движе-ния W, Дж

42

Контрольные вопросы 1. Какое движение называют вращательным? 2. От чего зависит величина угловой скорости? Единицы измерения

угловой скорости. 3. От чего зависит величина углового ускорения? Единицы измерения

углового ускорения. 4. Методика определения углового ускорения, используемая в данной

лабораторной работе. 5. Что называют моментом инерции? 6. Оказывает влияние величина подвешенного груза на значение уг-

лового ускорения? 7. При каком условии вращение тела вокруг неподвижной оси счита-

ется равномерным? 8. Что называют механической работой? 9. Какой зависимостью определяется величина механической работы? 10. От чего зависит величина энергии вращательного движения?

43


ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ


ными приборами. Изучение методики определения момента инерции сложного тела, проверка теоремы Штейнера.


1. Лабораторный комплекс ЛКМ-3. 2. Цилиндрический кронштейн с поворотным блоком. 3. Подвеска с набором грузов. 4. Нить, крепежные винты.


Момент инерции – скалярная физическая величина, характери-зующая распределение масс в теле, равная сумме произведений элемен-тарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости). Единица измерения в системе СИ – кг·м², обо-значение – I или J.

Различают несколько моментов инерции. Осевым моментом инерции механической системы относитель-

но неподвижной оси a называется физическая величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

n

iiia rmJ

1

2 , (1)

где mi – масса i-й точки; ri – расстояние от i-й точки до оси. Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела

во вращательном движении вокруг оси a подобно тому, как масса те-ла является мерой его инертности в поступательном движении.

Для тела с непрерывно распределенной массой осевой момент инерции может быть определен следующей зависимостью:

)( )(

22

m Va dVrdmrJ , (2)

44

где dm = ρdV – масса малого элемента объёма тела dV; ρ – плотность; r – расстояние от элемента dV до оси a. Если тело однородно (его плотность всюду одинакова), осевой

момент инерции определяется по формуле

)(

2

Va dVrJ . (3)

Таблица 1. Моменты инерции однородных тел простейшей формы

Тело Положение оси a Момент инерции Ja

Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) радиусом R и массой m Ось цилиндра (кольца) 2mR Сплошной цилиндр (диск) ра-диусом R и массой m Ось цилиндра (диска) 2

21 mR

Конус радиусом R и массой m Ось конуса 2

103 mR

Шар радиусом R и массой m Ось проходит через центр шара 2

52 mR

Тонкостенная сфера радиусом R и массой m

Ось проходит через центр сфе-ры

2

32 mR

Прямой тонкий стержень длиной l и массой m

Ось перпендикулярна к стерж-ню и проходит через его сере-

дину

2

121 ml

Прямой тонкий стержень длиной l и массой m

Ось перпендикулярна к стерж-ню и проходит через его конец

2

31 ml

Момент инерции всего тела сложной конфигурации обычно опре-деляют экспериментально.

В данной лабораторной работе для определения момента инерции поворотного стола используют колебательную систему, состоящую из тела сложной конструкции (поворотный стол), упругих элементов (пружины) и соединительного элемента (нерастяжимая нить).

Колебательная система – система, способная совершать сво-бодные колебания.

Колебания предоставленной самой себе системы, вызванные пер-воначальным кратковременным внешним возбуждением (сообщением начального запаса энергии), называются свободными или собствен-ными.

45

Момент инерции поворотного стола, входящего в состав колеба-тельной системы, определяется уравнением

2

22

4

TRkJ пруж , (4)

где kпруж – коэффициент жесткости пружины (пружин); R – радиус

шкива, через который переброшена нить; T – период колебаний стола. Момент инерции ненагруженного стола 0J может быть найден двумя

методами. При известной жесткости пружин и измеренном периоде колебаний

стола по формуле 4 рассчитывается момент инерции (метод 1). На поворотном столе размещается «эталонное тело» – два цилиндра

одинаковой массы, симметрично относительно центра стола (метод 2). Момент инерции грузов определяется по формуле

22

202

1R

rmJ , (5)

где m – масса цилиндров; r – расстояние от центра стола до точки крепления грузов; 0R – радиус цилиндра.

Измерив период колебаний ненагруженного поворотного стола и период колебаний стола с «эталонным телом», учитывая соотношение

10 JJJ , получим:

20

2

21

TTTJ

J

; (6)

20

2

201

0 TTTJ

J

; (7)

20

221

24TTR

Jkпруж

, (8)

где J – момент инерции стола с «эталонным грузом»; 1J – момент инерции грузов; 0J – момент инерции ненагруженного стола; Т – период колебаний стола с грузами; 0T – период колебаний не-нагруженного стола; kпруж – уточненный коэффициент жесткости

46

пружины (пружин); R – радиус шкива, через который перебро-шена нить.


1. Перекинуть через большой шкив поворотного стола лабора-торного комплекса нить, к концам которой присоединить пружины. Пружины закрепить на стойке лабораторной установки, как показано на рисунке.

Схема колебательной системы

с поворотным столом 2. Включить электропитание установки. 3. Разблокировать тормозное устройство поворотного стола. 4. Переключатель «Период» выставить в положение «ΔТ» – изме-

рение времени одного колебания, переключатель «Измерения» в поло-жение «Циклические» – для измерения повторяющихся колебаний.

5. Расположить зазор фотодатчика напротив положения «0» на отсчетной шкале поворотного стола. Установку зазора фотодатчика «на ноль» следует контролировать по светодиодному индикатору №1; свечение индикатора свидетельствует о правильной установке.

6. Нажать кнопку «Готов», для обнуления таймера. 7. Повернуть стол на угол 10-20º и отпустить, стол начнет совер-

шать колебания. Зафиксировать значение на цифровом табло, экспе-римент повторить дважды, результаты занести в табл.1.

47

8. Заполнить табл. 1, выполнив необходимые расчеты при извест-ном коэффициенте жесткости системы пружин (согласно заданию).

9. На поворотном столе разместить грузы, симметрично относи-тельно центра (согласно заданию), повторить пункты с 4 по 6. Зафик-сировать значение на цифровом табло. Эксперимент повторить, сред-нее значение по двум исследованиям занести в табл. 2.

10. Заполнить табл. 2, выполнив необходимые расчеты.

3. Содержание отчета 1. Название, цель, материальное обеспечение лабораторной работы. 2. Теоретические положения. Методика определения момента

инерции при известном коэффициенте жесткости и использовании «эталонного тела».

3. Схема колебательной системы с поворотным столом (см. рисунок). 4. Результаты измерений и расчетов, занесенные в табл. 1, 2. 5. Формулы и расчетные значения, согласно методикам расчета. 7. Выводы по лабораторной работе.

Таблица 1. Определение момента инерции ненагруженного стола (метод 1)

№ п/п

Коэффициент жестко-сти пружины kпруж, Н·м

Период колебаний ненагруженного

стола 0T , с

Момент инерции 0J , кг·м2

1 2 3

Среднее арифметическое зна-

чение

Таблица 2. Определение момента инерции ненагруженного стола (метод 2)

Показатель Ненагруженный стол Стол с грузами

1 2 3 Расстояние от центра стола до грузов r, м -

Масса грузов m, кг - Радиус цилиндра R0, м - Радиус шкива, через который переброшена нить R, м

Период колебаний стола, с T0= T=

48

Окончание табл. 2 1 2 3

Момент инерции грузов J1, кг·м2 -

Момент инерции стола, кг·м2 J0= J= Уточненный коэффициент же-сткости пружины (пружин) kпруж, Н·м


1. Какое движение называют вращательным? 2. Что называют осевым моментом инерции? 3. Что называют осевым моментом инерции сложного тела? 4. От чего зависит момент инерции прямого тонкого стержня? 5. Какой зависимостью определяется момент инерции стола, входя-

щего в состав колебательной системы? 6. Каким образом рассчитывается момент инерции грузов, размещен-

ных на поворотном столе? 7. При расчете коэффициента жесткости пружины (пружин) необхо-

дим учет радиуса шкива, через который переброшена нить? 8. Чем объяснить разницу между коэффициентом жесткости пружин,

установленным заводом-изготовителем, и значением, получен-ным в данной лабораторной работе?

49


МАЯТНИК ОБЕРБЕКА

Цель работы Приобретение практических навыков при работе с измерительны-

ми приборами. Изучение методики определения углового ускорения и угловой скорости вращающегося тела, момента инерции стержня.


1. Лабораторный комплекс ЛКМ-3. 2. Подвеска с набором грузов. 4. Нить.


Вращательное движение – вид движения, при котором все точки абсолютно твёрдого тела описывают окружности, расположенные в па-раллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и назы-ваемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения может быть как подвижной, так и не-подвижной.

Маятник Обербека состоит из стержня, укреплённого на втулке, к которой также наложено два шкива разных размеров. Вся конструк-ция свободно вращается вокруг горизонтальной оси. На один из шки-вов наматывается нить с закреплённым на конце грузом массы m, бла-годаря чему маятник приводится в движение

Угловая скорость – векторная величина, характеризующая ско-рость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени, а направлен по оси вращения со-гласно правилу буравчика, то есть в ту сторону, в которую ввинчивал-ся бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.

dtd

z

, (1)

Единица измерения угловой скорости, принятая в системах СИ и СГС – радианы в секунду. (Примечание: радиан, как и любые еди-

50

ницы измерения угла, физически безразмерен, поэтому физическая размерность угловой скорости – просто [1/секунда]).

Значение угловой скорости тела при вращательном движении оп-ределяется следующей зависимостью:

0 , (2)

где ω0 – начальная скорость вращения (в данной лабораторной работе равна 0, т.к. в начале эксперимента шкив заторможен); β – угло-вое ускорение тела; τ – время поворота тела под воздействием ус-корения (в данной работе принимается время первого поворота шкива). Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение. Угловое ускорение – векторная величина, характеризующая бы-

строту изменения угловой скорости твёрдого тела. При вращении вокруг неподвижной точки вектор углового уско-

рения определяется как первая производная от вектора угловой ско-рости ω по времени:

dtd

. (3)

Значение углового ускорения может быть определено по времени поворота тела τ на определенный угол φ:

22

. (4)

Движение с постоянным вектором угловой скорости называется равномерным вращательным движением, в этом случае угловое ускорение равно нулю.

Вращение тела вокруг неподвижной оси, когда его угловая ско-рость ω растёт (или убывает) равномерно, называют равноперемен-ным. При равнопеременном вращении угловое ускорение остается величиной постоянной, выполняется условие

const 122

12 /)/( , (5)

где 1 – время поворота тела на угол 1 ; 2 – время поворота тела на угол 2 . Момент инерции – скалярная физическая величина, характери-

зующая распределение масс в теле, равная сумме произведений элемен-

51

тарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости). Единица измерения в системе СИ – кг·м², обо-значение – I или J.

Шкив приводится во вращение при помощи потенциальной энергии подвешенного груза, при этом момент инерции может быть определен по следующей зависимости:

MJ , (6)

где М – момент сил, действующих на шкив; β – угловое ускорение шкива.

mgRМ , (7)

где m – масса подвески с грузом; g – ускорение свободного падения; R – радиус шкива, на который намотана нить. Механическая работа – это физическая величина, являющаяся ко-

личественной характеристикой действия силы на процесс. Работа сил тя-жести в данной лабораторной работе может быть рассчитана по формуле

2 mgRA , (8)

где m – масса подвески с грузом; g – ускорение свободного падения; R – радиус шкива, на который намотана нить. Энергия – скалярная физическая величина, являющаяся мерой раз-

личных форм движения материи и мерой перехода движения материи из одних форм в другие. Энергия вращательно движения определяется зависимостью

2

2JW , (9)

где J – момент инерции; ω – угловая скорость шкива.

2. Порядок выполнения работы 1. Установить на лабораторный комплекс ЛКМ-3 тяжелый стер-

жень с отверстиями, как показано на рисунке. Стержень закрепить на штыре шкива стойки (использовать среднее отверстие). Для устране-ния паразитных колебаний на ось шкива надеть пластмассовую втул-ку-фиксатор, прижимающую стержень к шкиву.

2. Включить электропитание установки.

52

Схема установки на лабораторном комплексе с маятником Обербека

3. На большой шкив стойки (R = 26 мм) намотать нить (не менее

2 полных оборотов) и на конце нити закрепить подвеску с грузом (со-гласно заданию).

4. Переключатель «Период» выставить в положение «1» – измере-ние времени одного оборота шкива 1 , переключатель «Измерения» в положение «Однократные» – для измерения времени первого оборота.

5. Расположить зазор фотодатчика напротив положения «0» на отсчетной шкале шкива стойки. Установку зазора фотодатчика «на ноль» следует контролировать по светодиодному индикатору №2; свечение индикатора свидетельствует о правильной установке.

6. Нажать кнопку «Готов», для обнуления таймера. 7. Отпустить шкив и зафиксировать значение на цифровом табло,

эксперимент повторить дважды, результаты занести в табл. 1. 8. Переключатель «Период» выставить в положение «2» – изме-

рение времени двух оборотов шкива стойки 2 , переключатель «Из-мерения» – в положение «Однократные».

9. Повторить пункты 3, 5, 6, 7. Заполнить табл. 1, выполнив необ-ходимые расчеты.

10. Изменить массу груза на подвеске (согласно заданию), повто-рить пункты с 3 по 6. Отпустить шкив, зафиксировать значение на

53

цифровом табло. Эксперимент повторить, среднее значение по двум исследованиям занести в табл. 2.

11. Заполнить табл. 2, выполнив необходимые расчеты. 12. Построить графики зависимостей углового ускорения и угло-

вой скорости от величины массы подвешенного груза.

3. Содержание отчета 1. Название, цель, материальное обеспечение лабораторной работы. 2. Теоретические положения. Основные характеристики враща-

тельного движения. 3. Схема установки на лабораторном комплексе ЛКМ-3 маятника

Обербека (см. рисунок). 3. Результаты измерений и расчетов, занесенные в табл. 1, 2. 4. Формулы и расчетные значения согласно методике расчета. 5. Графические зависимости по данным табл. 2. 6. Выводы по лабораторной работе.

Таблица 1. Проверка равнопеременного вращения маятника

№ п/п

Время поворота шкива 1 на угол 2π

Время поворота шкива 2 на угол 4π Контроль

1 2 3

Таблица 2. Исследование углового ускорения маятника

Масса подвески с грузом m, кг 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15

Время первого оборота τ, с

Угловое ускорение β, с-2

Угловая скорость ω, с-1

Момент инерции I, кг·м2

Работа сил тяжести А, Дж

Энергия вращательного движения W, Дж

54


1. Какое движение называют вращательным? 2. От чего зависит величина угловой скорости? Единицы измерения

угловой скорости. 3. Оказывает влияние величина подвешенного груза на значение угло-

вой скорости? 4. Что называют моментом инерции? 5. От чего зависит величина углового ускорения? Единицы измерения

углового ускорения. 6. При каком условии вращение тела вокруг неподвижной оси счита-

ется равнопеременным? 7. Что называют механической работой? 8. От чего зависит величина энергии вращательного движения?

55

Библиографический список

1. Гончаров А.А. Метрология, стандартизация и сертификация: учебное пособие / А.А. Гончаров, В.Д. Копылов. - 2-е изд., стер. - М.: Академия, 2005. - 240 с.

2. Демидченко В.И. Физика: учеб. для вузов / В.И. Демидченко. - Ростов н/Д : Феникс, 2008. - 508 с.

3. Ивлиев А.Д. Физика: учебное пособие/ А.Д. Ивлиев. - 2-е изд., испр. - СПб.: Лань, 2009. - 672 с.

4. Кабардина С.И. Измерения физических величин: учебное пособие / С.И. Кабардина, Н.И. Шефер. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2005. - 151 с.

5. Никифоров А.Д. Метрология, стандартизация и сертификация: учебное пособие/ А.Д. Никифоров, Т.А. Бакиев. - 3-е изд., испр. - М.: Высшая школа, 2005. - 422 с.

6. Павлов П.В. Физика твердого тела: учеб. для вузов/ П.В. Павлов, А.Ф. Хохлов. - 3-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 2000. - 494 c.

7. Радкевич Я.М. Метрология, стандартизация и сертификация: учебник/ Я.М. Радкевич, А.Г. Схиртладзе, Б.И. Лактионов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 2007. - 791 с.

8. Тартаковский Д.Ф. Метрология, стандартизация и технические средства измерений: учеб. для вузов/ Д.Ф. Тартаковский, А. С. Ястребов. - М.: Высшая школа, 2001. - 205 с.

9. Трофимова Т. И. Физика в таблицах и формулах: учебное пособие/ Т.И. Трофимова. - 3-е изд., испр. - М.: Академия, 2009. - 448 с.

10. Федеральный закон «О техническом регулировании» [Электрон. ресурс]. – Введен 27 декабря 2002 года// КонсультантПлюс: Высшая школа. – М., 2009.

56

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Коэффициенты Стьюдента tP,n

P n 0,6 0,8 0,95 0,99 0,999

2 1,376 3,078 12,706 63,657 636,61 3 1,061 1,886 4,303 9,925 31,598 4 0,978 1,638 3,182 5,841 12,941 5 0,941 1,533 2,776 4,604 8,610 6 0,920 1,476 2,571 4,032 6,859 7 0,906 1,440 2,447 3,707 5,959 8 0,896 1,415 2,365 3,499 5,405 9 0,889 1,397 2,306 3,355 5,041

10 0,883 1,383 2,262 3,250 4,781 11 0,879 1,372 2,228 3,169 4,587 12 0,876 1,363 2,201 3,106 4,437 13 0,873 1,356 2,179 3,055 4,318 14 0,870 1,350 2,160 3,012 4,221 15 0,868 1,345 2,145 2,977 4,140 16 0,866 1,341 2,131 2,947 4,073 17 0,865 1,337 2,120 2,921 4,015 18 0,863 1,333 2,110 2,898 3,965 20 0,861 1,328 2,093 2,861 3,883 21 0,860 1,325 2,086 2,845 3,850 22 0,859 1,323 2,080 2,831 3,819 23 0,858 1,321 2,074 2,819 3,792 24 0,858 1,319 2,069 2,807 3,767 25 0,857 1,318 2,064 2,797 3,745 26 0,856 1,316 2,060 2,787 3,725 27 0,856 1,315 2,056 2,779 3,707 28 0,855 1,314 2,052 2,771 3,690 29 0,855 1,313 2,048 2,763 3,674 30 0,854 1,311 2,045 2,756 3,659 31 0,854 1,310 2,042 2,750 3,646 40 0,851 1,303 2,021 2,704 3,551 60 0,848 1,296 2,000 2,660 3,460 120 0,845 1,289 1,980 2,617 3,373 ∞ 0,842 1,282 1,960 2,576 3,291

57

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Значения модуля Юнга и модуля сдвига для некоторых материа-

лов

Материал Модуль Юнга, ГПа Модуль сдвига, ГПа Иридий 520 206

Вольфрам 350 130 Хром 300 120

Никель 210 84 Кобальт 210 84

Сталь 200 76 Титан 120 46 Цинк 120 46 Медь 110 44

Латунь 95 36 Серебро 80 32 Бронза 75-125 36

Алюминий 70 26 Кадмий 50 20 Магний 45 18 Олово 35 - Свинец 18 -

Лед 3 -

Для большинства однородных изотропных тел модуль сдвига со-ставляет по величине приблизительно 0,4 численного значения моду-ля Юнга.

58

Для заметок

59

Для заметок

60

Учебное издание

Александр Сергеевич Байда

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УСТАНОВКИ ЛКМ-3

Часть 1. Колебания. Обработка результатов измерений. Динамика вращательного движения

***

Редактор Т.И. Калинина

***

Подписано к печати 20.04.10 Формат 6090 1/16. Бумага писчая

Оперативный способ печати Гарнитура Times New Roman Усл. п. л. 3,75; уч.-изд. л. 2,72

Тираж 120 экз. Заказ № 53 Цена договорная

***

Издательство СибАДИ 644099, г. Омск, ул. П. Некрасова, 10

Отпечатано в подразделении ОП издательства СибАДИ

Documents

А.С. Байда ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ С ...bek.sibadi.org/fulltext/EPD35.pdf5.График зависимости периода колебаний маятника