Wstęp do mechaniki

dr inż. Ireneusz Owczarek

CNMiF PŁ

ireneusz.owczarek@p.lodz.plhttp://cmf.p.lodz.pl/iowczarek

1 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zjawiska ruchu Algebra wektorów

Wektory

przedstawia się (na płaszczyźnie lub w przestrzeni) zazwyczaj w ujęciu:graficznym,analitycznym, czyli w postaci układu liczb.

Każdy wektor można przedstawićw postaci

~A = Ax~i+Ay~j

Długość wektora ~A: A =√A2x +A2y.

Cx = Ax +BxCy = Ay +By

2 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zjawiska ruchu Algebra wektorów

Mnożenie wektorów

Iloczyn skalarny

dwóch wektorów jest skalarem (liczbą):

c = ~A · ~B =∣∣ ~A∣∣ ∣∣ ~B∣∣ · cosφ = AxBx +AyBy

gdzie φ jest kątem pomiędzy wektorami.

Przykłady zastosowania:

W = ~F · ~s = F · s · cosφ

Ek =12m · ~v · ~v = 1

2m · v2.

3 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zjawiska ruchu Algebra wektorów

Mnożenie wektorów . . .

Iloczyn wektorowy

dwóch wektorów jest wektorem:

~C = ~A× ~B

o zwrocie określonym regułą śruby prawoskrętnejoraz o długości

C =∣∣ ~C∣∣ = ∣∣ ~A∣∣ ∣∣ ~B∣∣ · sinφ

gdzie φ jest kątem pomiędzy wektorami.

Przykłady zastosowania:

~M = ~r × ~F ,

~FL = q · ~v × ~B.

4 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Notatki

Notatki

Notatki

Notatki

Zjawiska ruchu Algebra wektorów

Mnożenie wektorów . . .

Iloczyn wektora przez liczbę

jest wektorem~C = ~A · b

o długościC =

∣∣ ~C∣∣ = ∣∣ ~A∣∣ · bi zwrocie zgodnym ze zwrotem wektora ~A, gdy b jest dodatnie oraz zwrocieprzeciwnym dla b ujemnego.

Ponadto, jeżeli b > 1 to długość wektora ~C jest większa niż wektora ~A.

Przykłady zastosowania:~F = m · ~a

~p = m · ~v

5 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zjawiska ruchu Kinematyka

Układ odniesienia

to ciało lub zbiór ciał względem, których opisuje się ruch innego ciała.

Torem ruchu ciał nazywa się krzywąutworzoną przez punkty określającekolejne położenia ciał w przestrzeni.Gdy tor jest linią prostą to ciałoporusza się ruchem prostoliniowym,gdy linią krzywą – ruch jest ruchemkrzywoliniowym.

6 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zjawiska ruchu Kinematyka

Opis ruchu

Droga jest to długość toruzakreślonego podczas ruchu.

Wektor położenia

~r(t) = x(t) ·~i+ y(t) ·~j + z(t) · ~k

gdzie~i,~j,~k są wersorami odpowiednio osi x, y i z.

7 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zjawiska ruchu Kinematyka

Prędkość

Prędkość średnia

~vsr =∆~r(t)

∆t=

=∆x∆t~i+

∆y∆t

~j +∆z∆t

~k

Prędkość chwilowa

~vch = lim∆t→0

∆~r(t)∆t

=d~r

dt=

=dx

dt~i+

dy

dt~j +

dz

dt~k

Interpretacją geometryczną prędkościśredniej jest sieczna.

Wektor prędkości chwilowej ciała jeststyczny do toru, po którym to ciało sięporusza.

8 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Notatki

Notatki

Notatki

Notatki

Zjawiska ruchu Kinematyka

Prędkość i przyspieszenie

Składowe prędkości chwilowej

vx =dx(t)dt

, vy =dy(t)dt

, vz =dz(t)dt

.

Wartość wektora prędkości

v =√v2x + v2y + v2z .

Przyspieszenie chwilowe

~ach = lim∆t→0

∆~v(t)∆t

=d~v

dt=dvxdt~i+

dvydt~j +

dvzdt~k

Wektor przyspieszenia chwilowego jest stycznydo toru tylko w ruchu prostoliniowym.

9 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona I zasada dynamiki

Zasada bezwładności

Oddziaływanie między ciałami ilościowo opisuje

Siła

to wielkość wektorowa stanowiąca miarę oddziaływań pomiędzy ciałami,które powodują zmiany kształtu lub stanu ruchu.

Jednostką siły w układzie SI jest niuton

1N =1 kg ·ms2

.

Pierwsza zasada dynamiki

Każde ciało pozostaje w spoczynku lub w ruchu prostoliniowym jednostajnymwzględem spoczywającego lub poruszającego się ruchem jednostajnymprostoliniowym układu odniesienia, dopóki działanie innych ciał nie zmusi jedo zmiany tego stanu.

Siła jest przyczyną zmian ruchu, a nie jest przyczyną samego ruchu, tzn.ciało może się poruszać nawet, gdy nie działają na nie żadne siły(bezwładność).

10 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona I zasada dynamiki

Zasada bezwładności . . .

Zasada bezwładności

Każde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowegoi jednostajnego jeżeli siły przyłożone nie zmuszają ciała do zmiany tegostanu.

Zasada bezwładności lub pierwszazasada dynamiki leży u podstawstatyki punktu materialnego,

n∑i

~Fi = 0.

Wnioski

Wszystkie ciała mają własność bezwładności.

Istnieją inercjalne układy odniesienia.

11 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona I zasada dynamiki

Układ inercjalne i nieinercjalne

Newton zakładał istnienie "absolutnego" układu odniesienia.

Układ inercjalny

to układ, w którym obowiązują zasady dynamiki Newtona.

lub Jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne to

Układ inercjalny

to taki układ odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza się ruchemjednostajnym prostoliniowym.

Każdy układ poruszający się względem układu inercjalnego ze stałą co dowartości i kierunku prędkością jest też układem inercjalnym.

Jaki układ można uznać za inercjalny ?

Heliocentryczny układ odniesienia.

Laboratoryjny układ odniesienia.

12 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Notatki

Notatki

Notatki

Notatki

Zasady dynamiki Newtona I zasada dynamiki

Układ inercjalne i nieinercjalne . . .

W układach inercjalnych

~Fwyp =n∑i

~Fi.

~Fbezw = 0.

Czy Ziemia jest układem inercjalnym ?Wartości przyspieszenia normalnego:

ruch obrotowy wokół własnej osi(obrót dobowy) – 0,034

ms2

,

ruch obrotowy wokół Słońca –0,0044

ms2

.

małe w porównaniu z g ≈ 9,81 ms2

.

Ziemia może z dobrym przybliżeniem być traktowana jako układ inercjalny.

13 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Układy inercjalne i mechanika klasyczna

Pojęcia względne i absolutne

Zasada względności (Galileusza)

prawa fizyki w dwóch inercjalnych układach odniesienia są takie same.

Pojęcia względne, np. ruch, prędkość, tor ruchu.

14 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Układy inercjalne i mechanika klasyczna

Przekształcenie współrzędnych

Niezależny postulat mechaniki klasycznej

Czas i długość są wielkościami absolutnymi.

Z tych założeń wynika

Transformacja Galileusza

Jeżeli osie X i X ′ układów inercjalnych poruszająsię ze względną prędkością v zgodnie z osią X, to

x = x′ + vt,

y = y′,

z = z′,

t = t′.

Klasyczne prawo składania szybkości

u = |u′ ± v|.

15 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Układy inercjalne i mechanika klasyczna

Prędkość i pęd

Prawo zachowania pędu w układzie S

m1 ~u1 +m2 ~u2 = const.

Prędkości w układzie S

~u1 = ~v + ~u′1,

~u2 = ~v + ~u′2,

wobec tego

m1(~v + ~u′1) +m2(~v + ~u′2) = const.

oraz

m1~v+m1 ~u′1+m2~v+m2 ~u′2 = const. i (m1+m2)~v = const.

Prawo zachowania pędu pozostaje niezmiennicze we wszystkich układachinercjalnych

m1 ~u′1 +m2 ~u′2 = const.

16 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Notatki

Notatki

Notatki

Notatki

Zasady dynamiki Newtona Układy inercjalne i mechanika klasyczna

Przyspieszenie

Dodawanie prędkości w transformacji Galileusza

~u = ~u′ + ~v.

Po obliczeniu pochodnych:

d~u

dt=d~u′

dt+d~v

dt.

Ponieważ układ porusza się ze stała prędkością

d~v

dt= 0

to

Przyspieszenie

jest niezmiennicze w transformacji Galileusza

~a = ~a′.

17 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności

Układy nieinercjalne

Siła bezwładności

~Fbezw jest siłą pozorną, gdyż nie wynika ona z żadnego oddziaływaniamiędzy ciałami.

Układ nieinercjalny

porusza się ze stałym przyspieszeniem względem układu inercjalnego.

W układach nieinercjalnych

~Fwyp = ~Fbezw +n∑i

~Fi

~Fbezw = −m · ~auk 6= 0

18 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności

Układy nieinercjalne . . .

Przykłady:siła bezwładności podczas ruszania pojazdu,siła bezwładności podczas hamowania pojazdu,siła Coriolisa,siła odśrodkowa.

Odśrodkowa siła bezwładności

~F = mv2

r

~r

r= mω2~r.

Dla obserwatora nieruchomego kulkapoleci po stycznej.

Dla obserwatora znajdującego się natarczy kulka oddali się wzdłużpromienia.

19 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności

Stan nieważkości ciał

~Fn = m~g + ~w = m~g +m~a

a) jazda do góry

Fn = mg +ma = m(g + a)

b) jazda do dołu

Fn = mg −ma = m(g − a)

20 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Notatki

Notatki

Notatki

Notatki

Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności

Układ nieinercjalny obracający się

Ziemia obracająca się wokół własnej osi jest nieinercjalnym układemodniesienia.

Promień krzywizny ruchu po okręguokreślony jest przez szerokośćgeograficzną φ:

Fodsi = mω2RZ · cosφ.

Siła odśrodkowa powoduje zmianę efektywnego przyspieszenia ziemskiego

∆g ≈ −0, 033 · cosφ ms2.

Efekt jest większy od oczekiwanego ze względu na spłaszczenie Ziemi.

21 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności

Układ nieinercjalny obracający się . . .

W układzie nieinercjalnym obracającym się z prędkością kątową ω występujesiła pozorna składająca się z dwóch części: siły odśrodkowej i siły Coriolisa

Siła Coriolisa

m~a = ~F ′ − 2m~v × ~ω − m~ω × (~r × ~ω) − m~r × d~ωdt

Siła odśrodkowa

Siła styczna

Siła Coriolisa dla zewnętrznego obserwatora nie istnieje.Dla niego to układ zmienia położenie, a poruszające się ciało zachowuje swójstan ruchu zgodnie z I zasadą dynamiki.

22 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności

Układ nieinercjalny obracający się . . .

Siła Coriolisa pojawia się tylko wtedy, gdy ciało ma niezerową prędkośćw układzie nieinercjalnym i jest prostopadła do prędkości ciała(obserwowanej w układzie nieinercjalnym).

Jeżeli prędkość kątowa ciaław układzie nieruchomym jest mniejszaniż ω, to siła Coriolisa zmniejsza siłęodśrodkową.W przeciwnym przypadku zwiększa jejwartość.

Ciało spadające swobodnie doznajeodchylenia na wschód.

Ruch wzdłuż południka na północ –odchylenie na zachód na półkulipołudniowej i na wschód na półkulipółnocnej.

23 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności

Układ nieinercjalny obracający się . . .

Na półkuli północnej siła Coriolisa odchyla tor ciała w kierunku wschodnim.Spadek z 5,5 km zajmie t = 100 s, a końcowe odchylenie toru od pionu:

∆l =aCt

2

2≈ 40 · cosφ m,

dla Łodzi około 25m.

start wahadła z maksymalnegowychylenia

Dla obserwatora na Ziemi płaszczyznaruchu wahadła Foucault’a obraca sięz prędkością kątową

ω1 = ω · sinφ,

dla Łodzi φ = 52◦

ω1 ≈ 12o

h.

Pełny obrót płaszczyzny drgań: 32 h.

M = 28 kg, l = 67m,T = 16,4 s.

24 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Notatki

Notatki

Notatki

Notatki

Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności

Układ nieinercjalny obracający się . . .

Siła Coriolisa powoduje następujące efekty:

na półkuli północnej wiatr skręcaw prawo, a na południowej –w lewo;

na półkuli północnej mocniejpodmywane są prawe brzegi rzek(na południowej – lewe);

na półkuli północnej wiry wodneoraz cyklony poruszają sięodwrotnie do ruchu wskazówekzegara, a na południowej zgodniez ruchem wskazówek zegara.

25 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona II zasada dynamiki

Zasady dynamiki

Masa jest miarą bezwładności ciała w ruchu postępowym.Jeżeli dwa ciała pod wpływem tej samej siły doznają przyspieszeń, to ilorazmas tych ciał jest odwrotnie proporcjonalny do ich przyspieszeń

m1m2

=a2a1.

26 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona II zasada dynamiki

Zasady dynamiki . . .

Druga zasada dynamiki

Ciało, na które działa siła niezrównoważona, porusza się ruchemprzyspieszonym z przyspieszeniem proporcjonalnym do wartości tej siły,skierowanym i zwróconym tak samo, jak działająca na ciało siła:

~a =~F

m.

lub w innej postaci:~F = m

d~v

dt=

d

dt(m~v)

Pęd ciała

to wielkość wektorowa równa iloczynowi masy ciała i jego prędkości.

~Fdt = d(m~v) = d~p

27 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona II zasada dynamiki

Zasady dynamiki . . .

Druga zasada dynamiki

Przyrost pędu ciała jest równy popędowi siły działającej na to ciało.

md~v = ~Fdt.

W przypadku ruchu bezwładnego, tj. gdy ~F = 0, pęd ciała jest stały

d

dt(m~v) = ~F = 0

czylim~v = const.

28 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Notatki

Notatki

Notatki

Notatki

Zasady dynamiki Newtona III zasada dynamiki

Zasady dynamiki . . .

Trzecia zasada dynamiki

Gdy ciało A działa na ciało B siłą ~FAB wtedy ciało B działa jednocześnie naciało A siłą ~FBA równą co do wartości, równoległą i przeciwnie zwróconą dosiły ~FAB :

~FAB = −~FBA.

Siły zawsze występują parami, czylinie można mówić o pojedynczejwyizolowanej sile.

Układ ciał nazywamy odosobnionym albo zamkniętym

jeżeli dla każdego ciała tego układu wszystkie siły, działające na nie,pochodzące od ciał zewnętrznych równoważą się.

W układzie odosobnionym uwzględnia się tylko siły wzajemnegooddziaływania między ciałami układu, zwane siłami wewnętrznymi.

29 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona III zasada dynamiki

Pęd układu ciał

Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki

d~p

dt=

d

dt

∑i

mi~vi

albo~p =

∑i

mi~vi = const.

Zasada zachowania pędu

Wektor pędu zamkniętego układu ciał nie zmienia się z upływem czasu.

lub

Zasada zachowania pędu

W inercjalnym układzie odniesienia pęd całkowity układu ciał, na który niedziałają siły zewnętrzne lub suma sił zewnętrznych jest równa zero, jeststałym wektorem, niezależnym od zjawisk, zachodzących wewnątrz układu.

30 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona III zasada dynamiki

Pęd układu ciał . . .

Klasyczne i podstawowe założenie – siły zewnętrzne są zaniedbywane:1 działają krótko,2 znacznie mniejsze od sił wewnętrznych.

Przykłady:

zderzenia sprężyste i niesprężyste, opis eksplozji,

rozpad promieniotwórczy, reakcje jądrowe, emisja i absorpcja światła,

napęd odrzutowy (rakietowy).

31 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Praca i energia Praca w polu sił zachowawczych

Praca

Proces zmiany energii ciała spowodowany działaniem siły nazywamyprocesem wykonania pracy, a przyrost energii ciała w tym procesienazywamy pracą, którą ta siła wykonała.

Praca elementarna dW wykonana przez siłę ~F dla małego przesunięcia d~r

dW = ~F · d~r

lubdW = F cosΘ ·∆x

Jeżeli kąt Θ < 90◦, siłę nazywamy siłąnapędową.Jeżeli kąt Θ > 90◦, to ~F jest siłąoporu.

32 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Notatki

Notatki

Notatki

Notatki

Praca i energia Praca w polu sił zachowawczych

Praca . . .

Jednostką pracy w układzie SI jest J (1 J= 1N·1m).Często używa się jednostki eV (elektronowolt) (1 eV = 1,6 · 10−19J).

W =

∫Fdx

Praca wykonana w jednostce czasu to moc

P =dW

dt=

~Fd~r

dt= ~F~v.

33 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Praca i energia Praca w polu sił zachowawczych

Siły zachowawcze

Siła jest zachowawcza

jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który poruszasię po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru.

(WAB)1 + (WBA)2 = 0

(WAB)2 = −(WBA)2(WAB)1 = (WAB)2

Praca siły zachowawczej

nie zależy od drogi, a tylko od położenia punktu początkowego i końcowego.

Siłami zachowawczymi są np. siła grawitacji, siła powodująca ruchharmoniczny, siła elektrostatyczna.

Siła dysypatywna (rozpraszająca)

gdy praca siły po drodze zamkniętej nie równa się zeru.

34 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Praca i energia Zachowanie energii

Energia potencjalna

Jeśli praca dotyczy sił zachowawczych, wówczas jej wykonanie powodujezmianę energii.

Energia potencjalna

ciała w danym punkcie (względem określonego punktu odniesienia) równajest pracy jaką wykonują siły zachowawcze przy przemieszczeniu ciałaz danego punktu do punktu odniesienia.

Związek pracy na odcinku AB z energią potencjalną w punktach A i B:

WAB = EpA − EpB = −(EpB − EpA) = −∆Ep

lubdW = −dEp = F · dx.

Ogólnie

WAB =

B∫A

~F · d~r

35 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Praca i energia Zachowanie energii

Energia kinetyczna

Praca wykonana przez siłę działającą na ciało równa jest zmianie jegoenergii kinetycznej.

WAB = mv2B2−mv

2A

2= EkB − EkA .

Energia kinetyczna

to energia ciała związana z jego ruchem

Ek = mv2

2

Dlaczego energia kinetyczna rośnie bardziej ze wzrostem prędkości niżmasy?

36 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Notatki

Notatki

Notatki

Notatki

Praca i energia Zachowanie energii

Prawo zachowania energii

Praca siły zachowawczej przy przesunięciu z punktu A do B:

WAB = EpA − EpB = EkB − EkA

⇓

EpA + EkA = EpB + EkB

⇓

Ep + Ek = const.

Zasada zachowania energii mechanicznej

Całkowita energia mechaniczna ciała, na które działają tylko siłyzachowawcze, jest stała.

−∆Ep = ∆Ek

37 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Praca i energia Zachowanie energii

Prawo zachowania energii . . .

Ogólna zasada zachowania energii

Energia całkowita układu odosobnionego jest stała.

Układ odosobniony to taki układ, który nie wymienia energii z otoczeniem.

Zasada zachowania energii całkowitej

Energia może być przekształcona z jednej formy w inną, ale nie może byćwytwarzana ani niszczona; energia całkowita jest wielkością stałą.

lub

Zasada zachowania energii całkowitej

Całkowita energia izolowanego układu jest taka sama przed, jak i powystąpieniu przemian w tym układzie.

38 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Praca i energia Zachowanie energii

Prawo zachowania energii . . .

39 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Praca i energia Zachowanie energii

Literatura

Halliday D., Resnick R, Walker J.Podstawy Fizyki t. 1-5.PWN, 2005.

Praca zbiorowa pod red. A. JustaWstęp do analizy matematycznej i wybranych zagadnień z fizyki.Wydawnictwo PŁ, Łódź 2007.

Jaworski B., Dietłaf A.Kurs Fizyki t. 1-3.PWN, 1984.

Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁhttp://cmf.p.lodz.pl/efizykae-Fizyka. Podstawy fizyki.

Kąkol Z. Żukrowski J.http://home.agh.edu.pl/˜kakol/wyklady_pl.htmWykłady z fizyki.

40 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Notatki

Notatki

Notatki

Notatki

Zjawiska ruchuAlgebra wektorówKinematyka

Zasady dynamiki NewtonaI zasada dynamikiUklady inercjalne i mechanika klasycznaSila bezwladnosciII zasada dynamikiIII zasada dynamiki

Praca i energiaPraca w polu sil zachowawczychZachowanie energii