Wstęp do mechaniki

dr inż. Ireneusz Owczarek

CMF PŁireneusz.owczarek@p.lodz.plhttp://cmf.p.lodz.pl/iowczarek

2013/14

1 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Plan wykładu

1 Zjawiska ruchu

Algebra wektorów

Kinematyka

2 Zasady dynamiki Newtona

I zasada dynamiki

Układy inercjalne i mechanika klasyczna

Siła bezwładności

II zasada dynamiki

III zasada dynamiki

3 Praca i energia

Praca w polu sił zachowawczych

Zachowanie energii

2 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zjawiska ruchu Algebra wektorów

Wektory

przedstawia się (na płaszczyźnie lub w przestrzeni) zazwyczaj w ujęciu:

graficznym,

analitycznym, czyli w postaci układu liczb.

Każdy wektor można przedstawić

w postaci

þA = Axþi+Ayþj

Długość wektora þA: A =√

A2x +A2y.

Cx = Ax +Bx

Cy = Ay +By

3 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zjawiska ruchu Algebra wektorów

Mnożenie wektorów

Iloczyn skalarny

dwóch wektorów jest skalarem (liczbą):

c = þA · þB =∣

∣ þA∣

∣

∣

∣ þB∣

∣ · cosφ = AxBx +AyBy

gdzie φ jest kątem pomiędzy wektorami.

Przykłady zastosowania:

W = þF · þs = F · s · cosφ

Ek =1

2m · þv · þv =

1

2m · v2.

4 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zjawiska ruchu Algebra wektorów

Mnożenie wektorów . . .

Iloczyn wektorowy

dwóch wektorów jest wektorem:

þC = þA× þB

o zwrocie określonym regułą śruby prawoskrętnej

oraz o długości

C =∣

∣ þC∣

∣ =∣

∣ þA∣

∣

∣

∣ þB∣

∣ · sinφ

gdzie φ jest kątem pomiędzy wektorami.

Przykłady zastosowania:

þM = þr × þF ,

þFL = q · þv × þB.

5 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zjawiska ruchu Algebra wektorów

Mnożenie wektorów . . .

Iloczyn wektora przez liczbę

jest wektoremþC = þA · b

o długości

C =∣

∣ þC∣

∣ =∣

∣ þA∣

∣ · b

i zwrocie zgodnym ze zwrotem wektora þA, gdy b jest dodatnie oraz zwrocie

przeciwnym dla b ujemnego.

Ponadto, jeżeli b > 1 to długość wektora þC jest większa niż wektora þA.

Przykłady zastosowania:þF = m · þa

þp = m · þv

6 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zjawiska ruchu Kinematyka

Układ odniesienia

to ciało lub zbiór ciał względem, których opisuje się ruch innego ciała.

Torem ruchu ciał nazywa się krzywąutworzoną przez punkty określające

kolejne położenia ciał w przestrzeni.

Gdy tor jest linią prostą to ciało

porusza się ruchem prostoliniowym,gdy linią krzywą – ruch jest ruchemkrzywoliniowym.

7 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zjawiska ruchu Kinematyka

Opis ruchu

Droga jest to długość toruzakreślonego podczas ruchu.

Wektor położenia

þr(t) = x(t) ·þi+ y(t) ·þj + z(t) · þk

gdzieþi,þj,þk są wersorami odpowiednio osi x, y i z.

8 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zjawiska ruchu Kinematyka

Prędkość

Prędkość średnia

þvsr =∆þr(t)

∆t=

=∆x

∆tþi+∆y

∆tþj +∆z

∆tþk

Prędkość chwilowa

þvch = lim∆t→0

∆þr(t)

∆t=dþr

dt=

=dx

dtþi+dy

dtþj +dz

dtþk

Interpretacją geometryczną prędkości

średniej jest sieczna.

Wektor prędkości chwilowej ciała jest

styczny do toru, po którym to ciało się

porusza.

9 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zjawiska ruchu Kinematyka

Prędkość i przyspieszenie

Składowe prędkości chwilowej

vx =dx(t)

dt, vy =

dy(t)

dt, vz =

dz(t)

dt.

Wartość wektora prędkości

v =√

v2x + v2y + v2z .

Przyspieszenie chwilowe

þach = lim∆t→0

∆þv(t)

∆t=dþv

dt=dvx

dtþi+dvy

dtþj +dvz

dtþk

Wektor przyspieszenia chwilowego jest styczny

do toru tylko w ruchu prostoliniowym.

10 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona I zasada dynamiki

Zasada bezwładności

Oddziaływanie między ciałami ilościowo opisuje

Siła

to wielkość wektorowa stanowiąca miarę oddziaływań pomiędzy ciałami,

które powodują zmiany kształtu lub stanu ruchu.

Jednostką siły w układzie SI jest niuton

1N =1kg ·m

s2.

Pierwsza zasada dynamiki

Każde ciało pozostaje w spoczynku lub w ruchu prostoliniowym jednostajnym

względem spoczywającego lub poruszającego się ruchem jednostajnym

prostoliniowym układu odniesienia, dopóki działanie innych ciał nie zmusi je

do zmiany tego stanu.

Siła jest przyczyną zmian ruchu, a nie jest przyczyną samego ruchu, tzn.

ciało może się poruszać nawet, gdy nie działają na nie żadne siły

(bezwładność).

11 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona I zasada dynamiki

Zasada bezwładności . . .

Zasada bezwładności

Każde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego

i jednostajnego jeżeli siły przyłożone nie zmuszają ciała do zmiany tego

stanu.

Zasada bezwładności lub pierwsza

zasada dynamiki leży u podstaw

statyki punktu materialnego,

n∑

i

þFi = 0.

Wnioski

Wszystkie ciała mają własność bezwładności.

Istnieją inercjalne układy odniesienia.

12 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona I zasada dynamiki

Układ inercjalne i nieinercjalne

Newton zakładał istnienie "absolutnego" układu odniesienia.

Układ inercjalny

to układ, w którym obowiązują zasady dynamiki Newtona.

lub Jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne to

Układ inercjalny

to taki układ odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza się ruchem

jednostajnym prostoliniowym.

Każdy układ poruszający się względem układu inercjalnego ze stałą co do

wartości i kierunku prędkością jest też układem inercjalnym.

Jaki układ można uznać za inercjalny ?

Heliocentryczny układ odniesienia.

Laboratoryjny układ odniesienia.

13 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona I zasada dynamiki

Układ inercjalne i nieinercjalne . . .

W układach inercjalnych

þFwyp =

n∑

i

þFi.

þFbezw = 0.

Czy Ziemia jest układem inercjalnym ?

Wartości przyspieszenia normalnego:

ruch obrotowy wokół własnej osi

(obrót dobowy) – 0, 034ms2

,

ruch obrotowy wokół Słońca –

0, 0044ms2

.

małe w porównaniu z g ≈ 9, 81ms2

.

14 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona I zasada dynamiki

Układ inercjalne i nieinercjalne . . .

W układach inercjalnych

þFwyp =

n∑

i

þFi.

þFbezw = 0.

Czy Ziemia jest układem inercjalnym ?

Wartości przyspieszenia normalnego:

ruch obrotowy wokół własnej osi

(obrót dobowy) – 0, 034ms2

,

ruch obrotowy wokół Słońca –

0, 0044ms2

.

małe w porównaniu z g ≈ 9, 81ms2

.

Ziemia może z dobrym przybliżeniem być traktowana jako układ inercjalny.

14 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Układy inercjalne i mechanika klasyczna

Pojęcia względne i absolutne

Zasada względności (Galileusza)

prawa fizyki w dwóch inercjalnych układach odniesienia są takie same.

Pojęcia względne, np. ruch, prędkość, tor ruchu.

15 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Układy inercjalne i mechanika klasyczna

Przekształcenie współrzędnych

Niezależny postulat mechaniki klasycznej

Czas i długość są wielkościami absolutnymi.

Z tych założeń wynika

Transformacja Galileusza

Jeżeli osie X i X ′ układów inercjalnych poruszają

się ze względną prędkością v zgodnie z osią X, to

x = x′ + vt,

y = y′,

z = z′,

t = t′.

Klasyczne prawo składania szybkości

u = |u′ ± v|.

16 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Układy inercjalne i mechanika klasyczna

Prędkość i pęd

Prawo zachowania pędu w układzie S

m1 þu1 +m2 þu2 = const.

Prędkości w układzie S

þu1 = þv + þu′1,

þu2 = þv + þu′2,

wobec tego

m1(þv + þu′1) +m2(þv +þu′2) = const.

oraz

m1þv+m1 þu′1+m2þv+m2þu′2= const. i (m1+m2)þv = const.

Prawo zachowania pędu pozostaje niezmiennicze we wszystkich układach

inercjalnych

m1 þu′1 +m2þu′2= const.

17 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Układy inercjalne i mechanika klasyczna

Przyspieszenie

Dodawanie prędkości w transformacji Galileusza

þu = þu′ + þv.

Po obliczeniu pochodnych:

dþu

dt=dþu′

dt+dþv

dt.

Ponieważ układ porusza się ze stała prędkością

dþv

dt= 0

to

Przyspieszenie

jest niezmiennicze w transformacji Galileusza

þa = þa′.

18 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności

Układy nieinercjalne

Siła bezwładności

þFbezw jest siłą pozorną, gdyż nie wynika ona z żadnego oddziaływania

między ciałami.

Układ nieinercjalny

porusza się ze stałym przyspieszeniem względem układu inercjalnego.

W układach nieinercjalnych

þFwyp = þFbezw +

n∑

i

þFi

þFbezw = −m · þauk Ó= 0

19 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności

Układy nieinercjalne . . .

Przykłady:

siła bezwładności podczas ruszania pojazdu,

siła bezwładności podczas hamowania pojazdu,

siła Coriolisa,

siła odśrodkowa.

þFn = mþg + þw = mþg +mþa

a) jazda do góry

Fn = mg +ma = m(g + a)

b) jazda do dołu

Fn = mg −ma = m(g − a)

20 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności

Stan nieważkości ciał

Wypadkowa siła działająca na ciało znajdujące się w swobodnie spadającej

windzie, w polu grawitacyjnym, jest równa zeru.

21 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności

Układ nieinercjalny obracający się

Ziemia obracająca się wokół własnej osi jest nieinercjalnym układem

odniesienia.

Promień krzywizny ruchu po okręgu

określony jest przez szerokość

geograficzną φ:

Fodsi = mω2RZ · cosφ.

Siła odśrodkowa powoduje zmianę efektywnego przyspieszenia ziemskiego

∆g ≈ −0, 033 · cosφm

s2.

Efekt jest większy od oczekiwanego ze względu na spłaszczenie Ziemi.

22 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności

Układ nieinercjalny obracający się . . .

W układzie nieinercjalnym obracającym się z prędkością kątową ω występuje

siła pozorna składająca się z dwóch części: siły odśrodkowej i siły Coriolisa

þFods = mþω × (þr × þω),

þFCorr = 2mþv × þω.

Siła Coriolisa pojawia się tylko wtedy, gdy ciało ma niezerową prędkość

w układzie nieinercjalnym i jest prostopadła do prędkości ciała

(obserwowanej w układzie nieinercjalnym).

mþa = þF −mþω × (þr × þω)− 2mþv × þω.

23 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności

Układ nieinercjalny obracający się . . .

Siła Coriolisa powoduje następujące efekty:

na półkuli północnej wiatr skręca w prawo, a na południowej – w lewo;

na półkuli północnej mocniej podmywane są prawe brzegi rzek (na

południowej – lewe);

na półkuli północnej wiry wodne oraz cyklony poruszają się odwrotnie do

ruchu wskazówek zegara, a na południowej zgodnie z ruchem

wskazówek zegara.

24 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności

Układ nieinercjalny obracający się . . .

Na półkuli północnej siła Coriolisa odchyla tor ciała w kierunku wschodnim.

Spadek z 5, 5km zajmie t = 100s, a końcowe odchylenie toru od pionu:

∆l =aCt

2

2≈ 40 · cosφ m,

dla Łodzi około 25m.

start wahadła z maksymalnego

wychylenia

Dla obserwatora na Ziemi płaszczyzna

ruchu wahadła Foucault’a obraca się

z prędkością kątową

ω1 = ω · sinφ,

dla Łodzi φ = 52o

ω1 ≈ 12o

h.

Pełny obrót płaszczyzny drgań: 32h.

M = 28kg, l = 67m,T = 16, 4s.

25 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona II zasada dynamiki

Zasady dynamiki

Masa jest miarą bezwładności ciała w ruchu postępowym.Jeżeli dwa ciała pod wpływem tej samej siły doznają przyspieszeń, to iloraz

mas tych ciał jest odwrotnie proporcjonalny do ich przyspieszeń

m1

m2=a2

a1.

26 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona II zasada dynamiki

Zasady dynamiki . . .

Druga zasada dynamiki

Ciało, na które działa siła niezrównoważona, porusza się ruchem

przyspieszonym z przyspieszeniem proporcjonalnym do wartości tej siły,

skierowanym i zwróconym tak samo, jak działająca na ciało siła:

þa =þF

m.

lub w innej postaci:

þF = mdþv

dt=d

dt(mþv)

Pęd ciała

to wielkość wektorowa równa iloczynowi masy ciała i jego prędkości.

þFdt = d(mþv) = dþp

27 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona II zasada dynamiki

Zasady dynamiki . . .

Druga zasada dynamiki

Przyrost pędu ciała jest równy popędowi siły działającej na to ciało.

mdþv = þFdt.

W przypadku ruchu bezwładnego, tj. gdy þF = 0, pęd ciała jest stały

d

dt(mþv) = þF = 0

czyli

mþv = const.

28 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona III zasada dynamiki

Zasady dynamiki . . .

Trzecia zasada dynamiki

Gdy ciało A działa na ciało B siłą þFAB wtedy ciało B działa jednocześnie na

ciało A siłą þFBA równą co do wartości, równoległą i przeciwnie zwróconą do

siły þFAB :þFAB = −þFBA.

Siły zawsze występują parami, czyli

nie można mówić o pojedynczej

wyizolowanej sile.

Układ ciał nazywamy odosobnionym albo zamkniętym

jeżeli dla każdego ciała tego układu wszystkie siły, działające na nie,

pochodzące od ciał zewnętrznych równoważą się.

W układzie odosobnionym uwzględnia się tylko siły wzajemnego

oddziaływania między ciałami układu, zwane siłami wewnętrznymi.

29 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona III zasada dynamiki

Pęd układu ciał

Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki

dþp

dt=d

dt

∑

i

miþvi

albo

þp =∑

i

miþvi = const.

Zasada zachowania pędu

Wektor pędu zamkniętego układu ciał nie zmienia się z upływem czasu.

lub

Zasada zachowania pędu

W inercjalnym układzie odniesienia pęd całkowity układu ciał, na który nie

działają siły zewnętrzne lub suma sił zewnętrznych jest równa zero, jest

stałym wektorem, niezależnym od zjawisk, zachodzących wewnątrz układu.

30 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Zasady dynamiki Newtona III zasada dynamiki

Pęd układu ciał . . .

Klasyczne i podstawowe założenie – siły zewnętrzne są zaniedbywane:

1 działają krótko,

2 znacznie mniejsze od sił wewnętrznych.

Przykłady:

zderzenia sprężyste i niesprężyste, opis eksplozji,

rozpad promieniotwórczy, reakcje jądrowe, emisja i absorpcja światła,

napęd odrzutowy (rakietowy).

31 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Praca i energia Praca w polu sił zachowawczych

Praca

Proces zmiany energii ciała spowodowany działaniem siły nazywamy

procesem wykonania pracy, a przyrost energii ciała w tym procesie

nazywamy pracą, którą ta siła wykonała.

Praca elementarna dW wykonana przez siłę þF dla małego przesunięcia dþr

dW = þF · dþr

lub

dW = F cosΘ ·∆x

Jeżeli kąt Θ < 90◦, siłę nazywamy siłąnapędową.

Jeżeli kąt Θ > 90◦, to þF jest siłąoporu.

32 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Praca i energia Praca w polu sił zachowawczych

Praca . . .

Jednostką pracy w układzie SI jest J (1J= 1N·1m).

Często używa się jednostki eV (elektronowolt) (1eV = 1, 6 · 10−19J).

W =

∫

Fdx

Praca wykonana w jednostce czasu to moc

P =dW

dt=þFdþr

dt= þFþv.

33 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Praca i energia Praca w polu sił zachowawczych

Siły zachowawcze

Siła jest zachowawcza

jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza

się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru.

(WAB)1 + (WBA)2 = 0

(WAB)2 = −(WBA)2

(WAB)1 = (WAB)2

Praca siły zachowawczej

nie zależy od drogi, a tylko od położenia punktu początkowego i końcowego.

Siłami zachowawczymi są np. siła grawitacji, siła powodująca ruch

harmoniczny, siła elektrostatyczna.

Siła dysypatywna (rozpraszająca)

gdy praca siły po drodze zamkniętej nie równa się zeru.

34 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Praca i energia Zachowanie energii

Energia potencjalna

Jeśli praca dotyczy sił zachowawczych, wówczas jej wykonanie powoduje

zmianę energii.

Energia potencjalna

ciała w danym punkcie (względem określonego punktu odniesienia) równa

jest pracy jaką wykonują siły zachowawcze przy przemieszczeniu ciała

z danego punktu do punktu odniesienia.

Związek pracy na odcinku AB z energią potencjalną w punktach A i B:

WAB = EpA − EpB = −(EpB − EpA) = −∆Ep

lub

dW = −dEp = F · dx.

Ogólnie

WAB =

B∫

A

þF · dþr

35 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Praca i energia Zachowanie energii

Energia kinetyczna

Praca wykonana przez siłę działającą na ciało równa jest zmianie jego

energii kinetycznej.

WAB = mv2B2−mv2A2= EkB − EkA .

Energia kinetyczna

to energia ciała związana z jego ruchem

Ek = mv2

2

Dlaczego energia kinetyczna rośnie bardziej ze wzrostem prędkości niż

masy?

36 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Praca i energia Zachowanie energii

Prawo zachowania energii

Praca siły zachowawczej przy przesunięciu z punktu A do B:

WAB = EpA − EpB = EkB − EkA

⇓

EpA + EkA = EpB + EkB

⇓

Ep + Ek = const.

Zasada zachowania energii mechanicznej

Całkowita energia mechaniczna ciała, na które działają tylko siły

zachowawcze, jest stała.

−∆Ep = ∆Ek

37 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Praca i energia Zachowanie energii

Prawo zachowania energii . . .

Ogólna zasada zachowania energii

Energia całkowita układu odosobnionego jest stała.

Układ odosobniony to taki układ, który nie wymienia energii z otoczeniem.

Zasada zachowania energii całkowitej

Energia może być przekształcona z jednej formy w inną, ale nie może być

wytwarzana ani niszczona; energia całkowita jest wielkością stałą.

lub

Zasada zachowania energii całkowitej

Całkowita energia izolowanego układu jest taka sama przed, jak i po

wystąpieniu przemian w tym układzie.

38 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Praca i energia Zachowanie energii

Prawo zachowania energii . . .

39 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki

Praca i energia Zachowanie energii

Literatura

Halliday D., Resnick R, Walker J.

Podstawy Fizyki t. 1-5.

PWN, 2005.

Praca zbiorowa pod red. A. Justa

Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagadnień z fizyki.

Wydawnictwo PŁ, Łódź 2007.

Jaworski B., Dietłaf A.

Kurs Fizyki t. 1-3.

PWN, 1984.

Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ

http://cmf.p.lodz.pl/efizyka

e-Fizyka. Podstawy fizyki.

Kąkol Z. Żukrowski J.

http://home.agh.edu.pl/˜kakol/wyklady_pl.htm

Wykłady z fizyki.

40 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki