GİRİŞ

Kinetik dengelenmemiş kuvvetler ile onların harekette yarattıkları

değişiklikler arasındaki bağıntıyı inceleyen dinamiğin bir koludur.

Dengelenmemiş kuvvetler sistemine maruz bir cismin hareketi temelde üç

genel yaklaşım kullanılarak incelenir:

a) Newton’ un 2. yasasının direkt uygulanması (Hareket Denklemi)

b) İş-Enerji ilkesi

c) İmpuls-Momentum yöntemleri

Belirli bir problem için en uygun yöntemin seçimi kuvvet sisteminin

doğasına (sabit veya değişken) ve bulunması istenen bilgiye (tepkiler,

ivmeler, hızlar gibi) bağlıdır.

Üzerine F1, F2, �, Fn gibi n tane eş noktasal kuvvetin

(concurrent forces) etkidiği m kütleli parçacığı göz önüne

alalım. n tane kuvvetin bileşkesi ΣF olsun. Newton’ un 2.

yasasına göre dengelenmemiş kuvvetlerin etkisindeki parçacık

ivmeli hareket yapar. Kinetik, bu dengelenmemiş kuvvetle onunivmeli hareket yapar. Kinetik, bu dengelenmemiş kuvvetle onun

yol açtığı hareket ve bu hareketteki değişim arasında bağ

kurar. Temel formül Newton’ un 2. yasasıdır.

Newton’ un 2. yasasına göre:

Eğer bir parçacığın üzerine etkiyen bileşke kuvvetsıfırdan farklı ise, parçacık bileşke kuvvetin şiddetile orantılı ve bu kuvvetin yönünde bir ivmeyesahip olur. Orantı katsayısı parçacığın kütlesineeşittir.

amFrr

=∑

eşittir.

(1)

(Hareket Denklemi)

(1) bağıntısı hareket denklemi adını alır. Bağıntıyı aynı parçacık üzerineuygulanan değişik kuvvetler ve bunların oluşturduğu değişik ivmelerle

Ca

F

a

F

a

F

n

n ==== ...2

2

1

1

şeklinde yazarsak bu oranların birbirine eşit ve sabit olduğu deneysel olarakda gösterilebilir. Uygulanan kuvvetin doğurduğu ivmeye oranı sabittir. Busabit (C) parçacığın değişmeyen bir özelliğini simgeler. C maddeyle ilgiliatalet (eylemsizlik) özelliğidir. Eylemsizlik parçacığın ivmelenmesineatalet (eylemsizlik) özelliğidir. Eylemsizlik parçacığın ivmelenmesinegösterdiği dirençtir. m ile gösterilen kütle ise bu eylemsizlik özelliğinin nicelölçüsüdür.

kma

FC ==

yazılabilir. SI birim sisteminde k=1’ dir. F, m ve a birbirinden bağımsıztanımlanamazlar. SI’ da [F]’ in birimi mutlak kütle biriminden giderektanımlandığı için SI sistemine "mutlak sistem" adı verilir.

Birincil (Temel) Eylemsizlik Sistemi

(Primary Inertial System)

Bu sistem uzayda ötelenme ve dönme yapmadığı varsayılan

sanal bir eksen takımıdır. (1) no’lu hareket denklemi böyle bir

sistemde geçerli olduğu gibi bu sisteme göre sabit hızla

ötelenme yapan bir sistemde de geçerlidir. Birçok makina ve

yapı elemanlarının hareketleri göz önüne alındığında

yeryüzüne iliştirilmiş bir eksen takımı “Birincil Eylemsizlik

Sistemi” yerine geçer. Dünya üzerindeki küçük boyutlu

hareketlerde formülün verdiği sonuç mühendislik

hesaplarındaki kabul edilen hata sınırları içinde ve çok küçük

kalır.

Öte yandan roket ve uzay aracı dizaynı gibi giderek sayılarıartan birçok problemde harekete, dünyanın hareketindenkaynaklanan ivme bileşenlerinin de doğru ve anlaşılırbiçimde katılması gerekir.

Zaman, Newton mekaniğinde mekandan (uzaydan)

bağımsız mutlak bir kavramdır. Einstein ise klasik mekaniğin

yasalarını yeniden formüle eden bir yaklaşım ortayayasalarını yeniden formüle eden bir yaklaşım ortaya

koymuştur (Theory of Relativity). Bu teoriye göre Einstein

“mutlak zaman diye bir kavram yoktur, biri diğerine göre

bağıl hıza sahip iki koordinat sisteminde yapılan zaman

ölçümleri farklı sonuçlar verir” demiştir. Bununla beraber

incelenen cismin hızı ışık hızı mertebesine yaklaşmadığı

sürece iki mekaniğin sonuçları birbirine pratik olarak eşittir.

Dinamikte Karşılaşılan Problem Tipleri

1) İvme ya verilir veya verilerden kinematik bağıntılar yardımıyla bulunur. Aranan ise kuvvet veya kuvvetlerdir. Böyle bir durumda, hareket denklemi skaler formda yazıldıktan sonra sağ tarafı oluşturan veriler yerine konarak kuvvet veya kuvvetler bulunur.

amFrr

=∑

kuvvetler bulunur.

2) Eğer kuvvet zamanın, konumun veya hızın veya bunların bileşiminin bir fonksiyonu ise hareket denklemi bir bir diferansiyel denkleme dönüşür. Hızı ve yer değiştirmeyi bulmak için denklemin integralialınır. Eğer kuvvetler sabit ise ivme de sabittir. Bazı durumlarda bu integralin çözümü çok karmaşık ise grafik veya nümerik integrasyon teknikleri kullanılır.

Serbest ve Kısıtlanmış Hareket (Constrained and Unconstrained Motion) (Serbestlik Derecesi-Degree of Freedom)

Bir parçacığın konumunun belirlenmesindeki bağımsız koordinat sayısı serbestlik derecesini verir.

Fiziksel olarak iki farklı tip problem vardır:

İlki, parçacığın uzayda serbestçeİlki, parçacığın uzayda serbestçehareket edebildiği ve herhangi birmekanik bağ ile bağlı olmadığıserbest harekettir. Parçacık, ilkhareketi ve dış kaynaklardan üzerineetkiyen kuvvetlerin belirlediği biryörünge izler. Bir uçak, roket veyatopun hareketi bu tip serbest birharekettir.

Kısıtlanmış harekette ise, bir trenin ray üzerinde gitmesi,şaftın üzerindeki bileziğin hareketi gibi parçacığınyörüngesi mekanik bağlar ile kısmen veya tamamenbelirlenmiş durumdadır. Mil üzerinde hareket edenbilezik tek serbestlik derecesine sahiptir. Hareketinincelenmesi amacıyla kullanılacak olan koordinat sistemive bu sistemdeki eksen sayısı genel olarak bağ koşullarıve bağın geometrisi tarafından belirlenir.ve bağın geometrisi tarafından belirlenir.

Örneğin uzayda bir parçacığın serbest hareketinde, birroketin serbest uçuşta kütle merkezinin konumu gibi,konum üç bağımsız koordinat tarafından saptanıyorsaparçacık üç serbestlik derecesine sahiptir ve hareketinbelirlenmesi için üç denklem kullanılır.

Düz bir yüzeydeki birbilyanın hareketindeolduğu gibi konum yineolduğu gibi konum yinebirbirinden bağımsızfakat iki koordinatlabelirlenebiliyorsa cisimiki serbestlik derecesinesahiptir ve hareketi ikidenklemle ifade edilir.

Serbest Cisim Diyagramı (SCD)

[Free-Body Diagram (FBD)]

Hareket denklemlerinin uygulanmasından önce incelenen

cisme etkiyen tüm kuvvetleri bir şekil üzerinde göstermek

gerekir. Bu şekle SCD denir. SCD’nın doğru ve eksiksiz bir

biçimde çizilmesi gerekir. SCD’ de incelenen cisme etkiyen

tüm kuvvetler gösterilir. Bunlar yüzey kuvvetleri ve hacimsel

kuvvetleri kapsar. Bu kuvvetlerden bazıları bilinmiyorsa tahmin

yapılarak bir yön verilir. Seçilen koordinat sisteminin doğrultu

ve yönleri kinematikte gördüğümüz kurallara ve problemin

geometrisine uygun seçilmelidir. Temas kuvvetlerinin

doğrultuları için statikte görülen kurallar geçerlidir.

Statik ile dinamikteki serbest cisim

diyagramı kavramı tek bir nokta dışında

aynıdır, o da, statikte kuvvetlerinaynıdır, o da, statikte kuvvetlerin

bileşkesinin sıfıra eşit olması ,

dinamikte ise kuvvet ivme ile kütlenin

çarpımına eşit olmasıdır.

0=∑Fr

amFrr

=∑

Hareket Denkleminin Doğrusal Harekete Uyarlanması

Bu durumda hareket düz bir doğru boyuncadır ve eğer

koordinat sistemi, hareket x ekseni boyunca olacak

şekilde seçilmiş ise, parçacığın konum, hız ve ivmesi

tamamen x bileşenleri ile tanımlanırlar.tamamen x bileşenleri ile tanımlanırlar.

0

0

=Σ

=Σ

=Σ

z

y

xx

F

F

maF

Düzlemde Parçacığın Kinetiği ile İlgili Formüller

1) Kartezyen Koordinatlarda:

xx maF =∑

xva xx&&& ==

yy maF =∑

yva yy&&& ==

( ) ( )22∑∑∑ += yx FFF

22yx aaa +=

1) 2)

2) Doğal Koordinatlarda:

tt maF =∑ nn maF =∑1) 2)

sva t &&& == ( )ρ

=ρ

=22

n

sva

&

( ) ( )22∑∑∑ += nt FFF

22nt aaa +=

3) Kutupsal Koordinatlarda:

rr maF =∑ θθ =∑ maF1) 2)

2

r rra θ−= &&& θ+θ=θ&&&& r2ra

( ) ( )22∑∑∑ θ+= FFF r

22 22θ+= aaa r

Uzayda Parçacığın Kinetiği ile İlgili Formüller

1) Kartezyen Koordinatlarda:

xx maF =∑

xva xx&&& ==

yy maF =∑

yva yy&&& ==

1) 2) zz maF =∑zva zz&&& ==

3)

( ) ( ) ( )222∑∑∑∑ ++= zyx FFFF

222zyx aaaa ++=

2) Silindirik Koordinatlarda:2) Silindirik Koordinatlarda:

rr maF =∑ θθ =∑ maF1) 2)

2

r rra θ−= &&& θ+θ=θ&&&& r2ra

( ) ( ) ( )2z

22

r FFFF ∑∑∑∑ ++= θ

2

z

22

r aaaa ++= θ

zz maF =∑

zva zz&&& ==

3)

3) Küresel Koordinatlarda:

RR maF =∑ θθ =∑ maF φφ =∑ maF

222

R RcosRRa φ−θφ−= &&&&

θφφ−θφ+θφ=θ&&&&&& sinR2cosR2cosRa

2sincosRR2Ra θφφ+φ+φ=φ&&&&&

( ) ( ) ( )222∑∑∑∑

1) 2) 3)

( ) ( ) ( )222∑∑∑∑ φθ ++= FFFF R

222φθ ++= aaaa R

1. Şekildeki blok A noktasından geçerken v1=20 m/s ve B noktasından

geçerken v2=10 m/s hıza sahiptir. x=75 m and θ=15o için eğik düzlem ile

blok arasındaki µk kinetik sürtünme katsayısını hesaplayınız.

Doğrusal HareketDoğrusal Hareket

2. Başlangıçta hareketsiz olan arabaya P kuvveti uygulanmaktadır. P1 ve P2

kuvvet durumlarına göre t=5 s’deki hızını ve yer değiştirmesini belirleyiniz.

Doğrusal HareketDoğrusal Hareket

3. A ve B elemanları rijit hafif bir çubuk ile birbirine bağlanmışlar ve

yatay düzlemdeki sürtünmesiz kanallarda hareket etmektedirler. Görülen

konum için, A’nın hızı sağa doğru 0.4 m/s ise her bir elemanın ivmesi ile

çubuktaki kuvveti hesaplayınız.

Doğrusal HareketDoğrusal Hareket

4. 0.8-kg kütleli kayar eleman düşey düzlemde yer alan dairesel çubuk

üzerinde A noktasında yukarı doğru harekete zorlanmaktadır. B’den geçerken

hızı 4 m/s ise (a) sabit çubuktan kayar elemana etkiyen kuvveti (b) hızının

şiddetindeki değişimi belirleyiniz. Sürtünmeyi ihmal ediniz.

Eğrisel HareketEğrisel Hareket

5. Bileziğin kütlesi 5 kg olup yatay düzlemde yer alan sürtünmesiz dairesel

çubuk üzerinde harekete zorlanmaktadır. Bağlı olduğu yayın serbest uzunluğu

200 mm’dir. β=30o iken bileziğin hızı v=2 m/s ise çubuktan bileziğe etkiyen

normal kuvvet ile bileziğin ivmesini hesaplayınız.

Eğrisel HareketEğrisel Hareket

6. 1 kg kütleli bilezik düşey düzlemde yer alan sürtünmesiz parabolik çubuk

üzerinde O noktasında doğru kaymaktadır. Yay sabiti k=600 N/m ve yayın

serbest uzunluğu 1 m’dir. Şekildeki konumda bileziğin hızı 3.5 m/s ise bu an

için parabolik çubuktan bileziğe etkiyen kuvveti hesaplayınız.

Eğrisel HareketEğrisel Hareket

y

3/4 m

1 m

k

B

O

m

x

y

2x9

32y =

0.375 m

7. Kanallı kol yatay düzlemde O noktasından geçen düşey eksen etrafında

dönmektedir. 2 kg kütleli C elemanı S kablosu çekilerek sabit 50 mm/s oranı ile

O noktasına doğru çekilmektedir. r=225 mm iken, kol saatin tersi yönünde ω=6

rad/s açısal hıza sahiptir 2 rad/s2 ile yavaşlamaktadır. Bu an için kablodaki

çekme kuvveti T ile kanaldan C’ye etkiyen kuvveti belirleyiniz. A ya da B

kenarına temas ettiğini belirleyiniz.

Eğrisel HareketEğrisel Hareket

8. Kanallı OB kolu yatay düzlemde sabit dairesel kamın O noktası etrafında

sabit 15 rad/s açısal hızı ile dönmektedir. Yay sabiti 5 kN/m ve θ=0 iken yay

serbest boyundadır. A’nın kütlesi 0.5 kg’dır. θ=45o iken A’ya kamdan ve

kanaldan etkiyen kuvvetleri hesaplayınız. Sürtünmeyi ve A’nın çapını ihmal

ediniz.

Eğrisel HareketEğrisel Hareket

9. B piminin ağırlığı 1.2 N olup hem kanallı OC kolu hem de dairesel DE kanalı

içinde hareket etmektedir. B’ye etkiyen radyal ve transvers kuvvetleri

belirleyiniz. 15 rad/s, 250 rad/s2, θ=20o alınız. Sürtünmeyi ihmal

ediniz. Sürtünmeyi ihmal ediniz.

=θ& =θ&&

Dr

CB

Eğrisel HareketEğrisel Hareket

D

b

C

E

θO

B