Họ và Tên: Tạ Minh HiếuChức vụ : Giáo viênĐơn vị công tác: Trường THCS yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc. CHUYÊN ĐỀCÁCH KHAI THÁC BÀI TẬP TỪ MỘT ĐỊNH LÝ TRONG

SÁCH GIÁO KHOA Đối tượng bồi dưỡng: Đội tuyển HSG lớp 9. Số tiết:

A.Lý do chọn chuyên đề: Trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp tôi thấy rằng học sinh thường mất nhiều điểm khi không giải được các bài tập hình học. Nhiều học sinh cho rằng đó là bài tập mà các em thường không giải được ,do tính chất đặc thù của loại toán mang tính tư duy và trừu tượng cao. Nên học sinh thường bỏ bài tập hình học. Qua nhiều năm dạy đội tuyển tôi rất trăn trở và suy nghĩ mình phải làm thế nào để học sinh yêu thích giải các bài tập hình học hơn. Vì nếu các em có phương pháp giải các bài tập hình một cách thành thạo thì việc tư duy và thuật toán để giải các loại bài tập khác sẽ nhanh nhẹn hơn, giúp các em có thể đạt được kết quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Vì những lý do trên đây tôi mạnh dạn viết chuyên đề “ Cách khai thác bài tập từ một định lý trong sách giáo khoa”. Nhằm giúp các em có cách nhìn tổng quát và những suy nghĩ để mở rộng các kiến thức đã học trong sách giáo khoa. Từ đó các em tự vận dụng phát triển tư duy với các bài tập tương tự, tổng quát và liên hệ một cách lô gich với các dạng toán đã học. Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm, với cách làm trên tôi thấy rằng học sinh của tôi đã bắt đầu yêu thích các bài tập hình học, các chuyên đề hình học lôi cuốn học sinh học tập say mê hơn. Từ đó tôi thấy rằng trong các kỳ thi học sinh giỏi nếu làm được bài tập hình học là chúng ta sẽ tự tin rằng chất lượng đội tuyển nâng lên rõ rệt và sẽ đạt thành tích cao. Vì các lý do trên đây mà tôi thấy rằng hướng dẫn học sinh biết cách tìm tòi khám phá những điều mới lạ, xuất phát điểm từ những điều giản đơn, từ sách giáo khoa, từ những kiến thức chuẩn kỹ năng. Học sinh sẽ làm được những điều phi thường từ những điều giản đơn đó. Thực tế cho tôi thấy rằng mình đã phần nào có được kết quả mong đợi. Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2010-2011, đội tuyển tôi phụ trách đã có rất nhiều em làm được bài hình, nhờ đó mà chất lượng đội tuyển nâng lên rõ rệt. Do vậy tôi đã mạnh dạn trình bày chuyên đề: “Cách khai thác bài tập từ một định lý trong sách giáo khoa”. Để bồi dưỡng cho đội tuyển học sinh giỏi lớp 9, với kỳ vọng các em sẽ yêu thích các bài tập hình khô khan, trừu tượng, nhưng vô cùng hấp dẫn và lý thú. Với mục tiêu phát hiện và bồi dưỡng nhân tài cho huyện,cho tỉnh

nhà , cho đất nước của chúng ta. Thực hiện lời dạy của Bác trước lúc người đi xa: “ Vì lợi ích mười năm trồng cây, vì lợi ích trăm năm trồng người”

B. Nội dung của chuyên đề: I.Định lý( SGK 88) Trong một tứ giác nội tiếp , tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 .

O

D

C

B

A

Các hệ quả: Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

FO

E

J

I

H

K

d

D C

B

A

1. Ta có . 2. Ta có . Khi thì DC là đường kính của (O). 3. Nếu thì BD là đường kính. 4. Nếu AB//CD thì ABCD là hình thang cân. 5. Gọi thì FA.FC=FB.FD 6. Nếu AB không song song với CD,gọi thì KA.KB=KC.KD. 7. Từ D kẻ . Khi đó ba điểm J,H,I thẳng hàng.( Đường thẳng qua ba điểm J,H,I gọi là đường thẳng Simson) 8. Ta có AB.CD+BC.AD=AC.BD ( Định lý Ptô-Lê-Mê).

II. Định lý đảo( SGK 88) Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Các hệ quả: Các dấu hiệu chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp là: 1. Tứ giác ABCD có hoặc 2. Tứ giác ABCD là hình thang cân. 3.Tứ giác ABCD có hoặc 4. Tứ giác ABCD tồn tại điểm O sao cho OA=OB=OC=OD. 5.Gọi của tứ giác ABCD mà FA.FC=FB.FD. 6. Tứ giác ABCD có AB không song song với CD,gọi mà KA.KB=KC.KD. 7. Từ D của tứ giác ABCD kẻ mà J,H,I thẳng hàng. III. Các dạng bài tập:

1. Chứng minh các yếu tố hình học.2. Dựng hình3. Bất đẳng thức và cực trị hình học.4. Tìm điểm cố định và hình cố định5. Tìm tập hợp điểm6. Vận dụnh định lý Ptô-lê-mê7. Vận dụng đường thẳng Sim-son8. Bài tập tổng hợp.

IV. Phương pháp giải và các ví dụ minh họa1.Các phương pháp đặc trưng để giải các bài toán chứng minh các yếu tố hình học:Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Hai đường cao của tam giác ABC là BD và CE. Chứng minh rằng OA vuông góc với DE.

Cách 1:

x

OD

E

CB

A

-Kẻ tiếp tuyến Ax của (O;R). -Ta có suy ra tứ giác BEDC nội tiếp -Mà ( cùng chắn cung AC) (2).

-Từ (1) và (2) suy ra .

Cách 2:

IO

E

D

F

CB

A

-Vẽ đường kính AF ; Gọi -Ta có suy ra tứ giác BEDC nội tiếp .- Mà ( cùng chắn cung AC); ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Cách 3:

D

E

O

M

N

CB

A

- Gọi giao điểm của DE với (O;R) là M và N ( E nằm giữa M và D)- Ta có suy ra tứ giác BEDC nội tiếp- Hay (sđ +sđ ): 2=(sđ +sđ ): 2

Nhận xét: -Với bài toán trên ta có thể chứng minh được bài toán ngược sau:Bài tập 1.1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho DE vuông góc với OA. Chứng minh rằng tứ giác BDEC nội tiếp.

- Khi điểm A di động trên đường tròn (O;R) thì đường thẳng vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định . Ta có bài toán về tìm điểm cố định sau:

Bài tập 1.2: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O;R) và BC không phải là đường kính của (O;R). Điểm M chuyển động trên (O;R) sao cho tam giác MBC nhọn. BD và CE là hai đường cao của tam giác MBC. Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ M vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định.

- Ta tiếp tục kẻ AF vuông góc với BC nên BD,CE và AF cắt nhau tại H. từ đó chứng minh được . Các tứ giác AEOD,BEOF,ODCF đều có hai đường chéo vuông góc và có liên quan đến ba cạnh của tam giác EDF.Ta có bài tập hay và khó sau :

H

F

D

E

O

CB

A

Bài tập1.3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao BD,CE và AF cắt nhau tại H. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EDF. Tính tỉ số diện tích tam giác DEF và diện tích tam giác ABC theo R và r.

Ví dụ 2: ( HSG Vĩnh Phúc 2009-2010) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn ( ). là ba đường cao

. Đường thẳng cắt tại đường thẳng cắt lại đường tròn tại điểm .a, Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.b, Gọi là trung điểm cạnh và là trực tâm tam giác . Chứng minh rằng Giải:

ND

K

M

G

F

E

HO

B C

A

a,Chưng minh răng bôn điểm cung năm trên một đường tron.Tứ giác AMBC nội tiếp, ta được GM.GA=GB.GC.Tứ giác nội tiếp, ta được .Suy ra Do đó, tứ giác nội tiếp.

b. Chưng minh răng -Theo kết quả phần 1, và tứ giác AEHF nội tiếp suy ra nằm trên đường tròn đường kính , do đó . -Tia cắt lại đường tròn tại , khi đó do nên là đường kính của . -Từ đó suy ra . Suy ra , do đó là hình bình hành. Suy ra đi qua

Nhận xét về phương pháp giải:- Ở phần a, Để chứng minh tứ giác AMFE nội tiếp đường tròn , nếu không biết sử dụng nhận xét : “Tứ giác ABCD có AB không song song với CD,gọi mà KA.KB=KC.KD thì tứ giác ABCD nội tiếp” thì việc chứng minh bài toán sẽ gặp nhiều khó khăn và không có lời giải đúng.- Để chứng minh được phần b, chúng ta vẫn cần phải sử dụng tứ giác nội tiếp AEHF . Suy ra được M nằm trên đường tròn đường kính AH. Từ đó chỉ ra được HM vuông góc với MA.

2. Các bài toán dựng hìnhVí dụ : Cho tam giác nhọn ABC ( AB<AC), điểm D di động trên cạnh BC . Vẽ DE và DF vuông góc với AB và AC. Xác định vị trí của điểm D để : a, EF có độ dài nhỏ nhất. b, EF có độ dài lớn nhất. Giải:

O

M F

E

D C B

A

Tứ giác AFDE có . Nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD.- Gọi O là tâm của đường tròn này . Vẽ OM vuông góc với EF thì ME=MF.-Đặt . Xét tam giác vuông MOE có: a, Do không đổi nên từ (*) suy ra EF nhỏ nhất khi và chỉ khi AD nhỏ nhất

là hình chiếu của A trên BC.b, Mặt khác . Từ (*) suy ra EF lớn nhất khi và chỉ khi AD lớn nhất khi D trùng với C ( vì AC>AB)Nhận xét:* Về phương pháp giải: Điều quan trọng nhất là trong cách giải trên là chứng minh được tứ giác AFDE nội tiếp đường tròn và EF là một dây của đường tròn đó. Ta biến đổi điều kiện EF đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là AD đạt cực trị cho đến khi trả lời được câu hỏi của đề bài.* Về kết quả: -Kết quả của bài toán trên vẫn đúng khi góc A là góc vuông hoặc góc tù. - Bài toán trên có thể đưa về dạng toán tìm cực trị hình học.

3.Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học:Ví dụ : Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm M chuyển động trên đường tròn (O). Gọi D,E theo thứ tự là hình chiếu của điểm M trên các đường thẳng AB,AC. Tìm vị trí của điểm M sao cho DE có độ dài lớn nhất. Giải

KM

OE

D

CB

A

Từ các tứ giác nội tiếp ADME và ABCM, ta có

.

- Ta lại có . Do đó max DE=BC ( K đối xứng với A qua O)

Chú ý: nhưng không thể kết luận max DE=AK vì dấu bằng không thể xảy ra. Thật vậy:

DE đi qua trung điểm của AM và AM đi qua O.

Điều này không xáy ra vì khi AM đi qua O thì DE=BC, mà BC không đi qua O, tức là DE không đi qua trung điểm của AM.

4.Dạng toán: Tìm điểm cố định và hình cố địnhVí dụ1: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O)ta vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Lấy điểm D nằm giữa B và C. Qua D vẽ một đường thẳng vuông góc với OD cắt AB, AC lần lượt tại E và F, cắt đường tròn tại M và N. a, Chứng minh rằng ME=NF b, Khi điểm D di động Trên BC, chứng minh rằng đường tròn (AEF) luôn đi qua một điểm cố định khác A. Giải.

B

E

O

FC

A

N

D

M

a, -Tứ giác OBED có nên tứ giác OBED nội tiếp đường tròn.

- Tương tự , mà suy ra tam giác OEF cân.- Vì

b, -Tứ giác OBED nội tiếp -Tứ giác ODCF nội tiếp , nên tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn, suy ra đường tròn (AEF) đi qua điểm cố định O.

Bài tập 4. 1 : Cho đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại điểm C nằm giữa A và B. Tia Ax tiếp xúc với (O) tại D ( D không trùng với C). Trên tia Ax lấy điểm M. Dựng thẳng qua O vuông góc với BM cắt CD tại E. AE cắt BM tại F. Chứng minh rằng F nằm trên một tia cố định khi M ( M khác A) di động trên tia Ax.HD:

y

x

OF

M

D

G

E

IC H

B

A

Vẽ vài vị trí của M nhận ra rằng FI là đường trung bình của tam giác MAB.Như vậy F nằm trên tia Iy cố định song song với Ax, I là trung điểm của AB.Từ E vẽ đường thẳng song song với MB cắt AB , AM lần lượt tại H và G .Chỉ cần chứng minh được GE=EH là đạt được điều phải chứng minh.

Bài tập 4.2: Cho tam giác ABC, M là điểm di động trên cạnh AC, N là điểm di động trên trên tia đối của tia BA sao cho BN=CM. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua một điểm cố định khác A. HD;

O

M

N

D

CB

A

Gọi D là trung điểm của cung BC. Suy ra D cố định và DB=DC.Xét hai tam giác BDN và CDM có:

Tứ giác AMDN nội tiếp.Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua điểm cố định D.

Bài tập 4.3: Cho đường tròn (O) đường kính BC , trên đường tròn (O) có điểm A di động . Gọi D là chân đường cao AD của tam giác ABC và M,N lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABD,ACD. Chứng minh rằng đường vuông góc với MN kẻ từ A luôn đi qua một điểm cố định.

Q

P

HM

N

O

I

D

CB

A

HD: Gọi P và Q là giao điểm của MN với AB,AC.Ta có Tứ giác MDBP nội tiếp . Nên tam giác APQ vuông cân đỉnh A, AH là đường cao nên cũng là đường phân giác.Suy ra I cố định. 5.Dạng toán: Tìm tập hợp điểmVí dụ: Cho hình vuông ABCD , tâm O. Một đường thẳng xy quanh O cắt hai cạnh AD và BC lần lượt tại M và N. Trên CD lấy điểm K sao cho DK=DM. Gọi H là hình chiếu của K trên xy. Tìm quĩ tích của điểm H. Giải

NO

H

M

K ID C

BA

* Phần thuận: Ta có CN=AM ( tính chất đối xứng) Vì DK=DM nên CK=CN. Tứ giác MHKD,NHKC nội tiếp đường tròn nên:

Vậy điểm H nằm trên đường tròn đường kính CD.Giới hạn: Điểm H chỉ nằm trên một nửa đường tròn đường kính CD nằm trong hình vuông.* Phần đảo: Lấy điểm H bất kỳ trên nửa đường tròn đường kính CD. Vẽ đường thẳng HO cắt cạnh AB,BC lần lượt tại M và N. Lấy K trên CD sao cho DK=DM, ta phải chứng minh H là hình chiếu của K trên MN.Thực vậy, Vì nên tứ giác HOCD nội tiếp

Mặt khác Tứ giác HKDM nội tiếp. H là hình chiếu của K trên MN.

* Kết luận: Vậy quĩ tích điểm H là nửa đường tròn đường kính CD, nửa đường tròn này nằm trong hình vuông. Nhận xét về phương pháp giải: Trong phần thuận nhờ chứng minh các tứ giác MHKD,NHKC nội tiếp đường tròn mà ta tính được , từ đó xác định được điểm H nằm trên đường tròn đường kính BC. Trong phần đảo , cũng nhờ chứng minh các tứ giác nội tiếp HOCD,HKDM mà ta tính được , từ đó chứng minh H là hình chiếu của K trên MN.6.Dạng toán: Vận dụnh định lý Ptô-lê-mê* Định lý Ptô-Lê-Mê: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Ta có AB.CD+AD.BC=AC.BD Chứng minh:

OE

C

B

D

A

Trên đoạn BD lấy điểm K sao cho

(1)

Chứng minh tương tự ta có: AB.CD=AC.BE (2)Cộng (1) và (2) ta được AD.BC+AB.CD=AC.DE+AC.BE=AC.(DE+BE)=AC.BDBài 6. 1 : Trong các tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) , tìm tứ giác có tổng AB.CD+AD.BC lớn nhất.Bài 6. 2 : Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng AB.CD+AD.BC≥AC.BD. Dấu của đẳng thức xảy ra khi nào ?Bài 6. 3: Qua đỉnh B và C của tam giác ABC vẽ tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC , chúng cắt nhau tại M. Gọi N là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng . 7.Dạng toán: Vận dụng đường thẳng Sim-sonVí dụ : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).Gọi H,I theo thứ tự là hình chiếu của B trên AC,CD. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của AD,HI. Chứng minh rằnga, Tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBI.b, . Giải

O

1

1N

H

B

CID

M

A

K

a, ( do ABCD nội tiếp)(do BHIC nội tiếp). Tương tự

b, Kẻ BK vuông góc với AD.

Ta thấy I,H,K thuộc đường thẳng ( Đường thẳng Sim-son)BKMN là tứ giác nội tiếp.

Từ đó suy ra .Chú ý:- Để giải bài toán trên ta liên tiếp sử dụng các tứ giác nội tiếp và vận dụng đường thẳng Sim-son để giải bài tập trên.- Tuy nhiên ta cũng không cần dùng đến đường thẳng Sim-son. Từ các tam giác đồng dạng ABD và HBI, có BM và BN là các đường trung tuyến tương ứng nên

Do đó

8 . Bài tập tổng hợp:

Bài tập 1: ( HSG Tỉnh Phú Thọ năm học 2010-2011) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O). MN là một đường kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B). Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D.

a) Chứng minh .b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích .c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC thuộc một đường thẳng

cố định. d) Gọi I là giao điểm của CO và BM. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F. Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàngBài tập 2: ( Đề thi HSG tỉnh Thái Bình Năm học 2010-2011) Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB. Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O'). Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khác với điểm A). Đường thẳng DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng:

a) b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

Bài tập 3: ( Đề thi HSG tỉnh Thái Bình Năm học 2010-2011) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động trên đoạn AD. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Vẽ NH vuông góc với PD tại H. Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhấtBài tập 4(HSG Thành Phố Hà Nội năm 2010-2011) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC.

a) Vẽ về phía ngoài tam giác ABC nửa đường tròn (I) đường kính AB và nửa

đường tròn (K) đường kính AC. Đường thẳng qua A cắt hai nửa đường trong (I), (K) lần lượt tại các điểm M, N (M khác A, B và N khác A, C).

Tính các góc của tam giác ABC khi diện tích tam giác CAN bằng 3 lần diện tích tam giác AMB.

b) Cho AB<AC và điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD=AB. Gọi điểm E là hình chiếu của điểm D trên đường thẳng BC và điểm F là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng DE.

Bài tập 5: ( HSG Tỉnh Thanh Hóa Năm học 2010-2011) Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định ( ). P là điểm di động trên

đoạn thẳng AB ( và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (

).1) Chứng minh rằng và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.

2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động.

Bài tập 6 ( HSG Tỉnh Hải Dương năm học 2010-2011)Cho tam giác ABC nhọn có trung tuyến CM. Các đường cao AH, BD, CF cắt nhau

tại I. Gọi E là trung điểm của DH. Đường thẳng qua C và song song với AH cắt BD tại P; đường thẳng qua C và song song với BD cắt AH tại Q.

a) Chứng minh PI.AB = AC.CIb) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH. Chứng minh MD là tiếp tuyến

của đường tròn (O).c) CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại R (R khác C); CM cắt đường

tròn (O) tại K (K khác C). Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR.Bài tâp 7: ( HSG Vĩnh Phúc năm học 2011-2012). Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt đường thẳng BH ở D, đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng CH tại E. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BE,CD.1, Chứng minh rằng M,H,N thẳng hàng.2, Đường thẳng NM cắt trung tuyến AL của tam giác ABC tại P. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP tiếp xúc với BC.Bài tập 8:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).a, Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng .b,Kẻ đường kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt AN tại P và Q. Chứng minh rằng bốn điểm P,C,B,Q cùng thuộc một đường tròn.Bài tập 9:

Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn tại A, lấy điểm M khác A. Từ M kẻ cát tuyến MCD ( C nằm giữa M và D). Đường thẳng BC và BD cắt đường thẳng OM lần lượt tại E và F.

Chứng minh rằng OE=OF.Bài tập 10: Cho góc nhọn xBy. Từ điểm A trên tia Bx kẻ AH vuông góc với By tại H và kẻ AD

vuông góc với đường phân giác của góc xBy tại D.a, Gọi O là trung điểm của AB, chứng minh OD vuông góc với AH.b, Tiếp tuyến tại A với đường tròn đường kính AB cắt By tại C; BD cắt AC tại E.Chứng minh rằng tứ giác HDEC nội tiếp. HƯỚNG DẪNBài tập 1: ( HSG Tỉnh Phú Thọ năm học 2010-2011) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O). MN là một đường kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B). Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D.

a) Chứng minh .b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích .c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC thuộc một đường thẳng

cố định. d) Gọi I là giao điểm của CO và BM. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F. Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàngHướng dẫn:

EIK

D

d

N O

P

A P

B

A

M

N

B

C

F

C

M

D

a, , . Suy ra: .Do đó và đồng dạng

b, Ta có: (1). Lại có (2)Từ (1) và (2), suy ra .c, Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp , K là trung điểm của CD, S là giao điểm của AK với MN.Ta thấy tứ giác MNDC là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm P nên ,

. Suy ra: MN vuông góc với AKLại có: PO vuông góc với MN nên AK song song với OP, mà PK song song với AO. Suy ra: tứ giác AOPK là hình bình hành, hay KP = AO =RVì d là đường thẳng cố đinh, PK = R không đổi nên P thuộc đường thẳng song song với d, cách d một khoảng R cố định.d, Trước hết ta chứng minh bài toán: Nếu tam giác ABC có các điểm M, N, P thẳng hàng và lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC, CA thì:

= 1.

Thật vậy: Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt MN tại D, ta có:

và .

Do đó ta có điều phải chứng minh.Áp dụng bài toán trên vào tam giác ACO với ba điểm thẳng hàng là B, I, M, ta có:

(1)

Tương tự với tam giác BCO và ba điểm thẳng hàng là A, I, F ta có: (2)

Từ (1) và (2) ta có . Do đó MF // AB (định lí Ta lét đảo)

Mà AB BC MF BC Ta có (cùng phụ với góc EAB) (tứ giác AMEB nội tiếp) Tứ giác MEFC nội tiếp

. Do đó: ME EC (3)Lại có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ME EN (4) Từ (3) và (4) suy ra C, E, N thẳng hàng.

Bài tập 2: ( Đề thi HSG tỉnh Thái bình Năm học2010-2011) Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB. Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn

tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O'). Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khác với điểm A). Đường thẳng DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng:

a) b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

Giải

N

Q

H

K

I

M

D

E

B

A

OO'

C

a, Ta có: (cùng chắn cung BE của đường tròn tâm O) (cùng chắn cung BN của đường tròn tâm O')

hay BDMI là tứ giác nội tiếp (cùng chắn cung MI)mà (cùng chắn cung AE của đường tròn tâm O) mặt khác (chứng minh trên) MBI ~ ABE (g.g)

MI.BE = BI.AE

b, Gọi Q là giao điểm của CO và DE OC DE tại Q OCD vuông tại D có DQ là đường cao OQ.OC = OD2 = R2 (1)Gọi K giao điểm của hai đường thẳng OO' và DE; H là giao điểm của AB và OO' OO' AB tại H.

Xét KQO và CHO có chung KQO ~ CHO (g.g)

Từ (1) và (2)

Vì OH cố định và R không đổi OK không đổi K cố định

Bài tập 3: ( Đề thi HSG tỉnh Thái Bình Năm học 2010-2011) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động trên đoạn AD. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Vẽ NH vuông góc với PD tại H. Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất. Giải

O

A

H'

H

E

PN

D CB

M

ABC vuông cân tại A AD là phân giác góc A và AD BC D (O; AB/2)Ta có ANMP là hình vuông (hình chữ nhật có AM là phân giác) tứ giác ANMP nội tiếp đường tròn đường kính NPmà H thuộc đường tròn đường kính NP (1)Kẻ Bx AB cắt đường thẳng PD tại E tứ giác BNHE nội tiếp đường tròn đường kính NEMặt khác BED = CDP (g.c.g) BE = PCmà PC = BN BN = BE BNE vuông cân tại B

mà (cùng chắn cung BN)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra H (O; AB/2)gọi H' là hình chiếu của H trên AB

lớn nhất HH' lớn nhất

mà HH' ≤ OD = AB/2 (do H; D cùng thuộc đường tròn đường kính AB và OD AB)Dấu "=" xẩy ra H D M DBài tập 4(HSG Thành Phố Hà Nội năm 2010-2011) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC.

a) Vẽ về phía ngoài tam giác ABC nửa đường tròn (I) đường kính AB và nửa đường tròn (K) đường kính AC. Đường thẳng qua A cắt hai nửa đường trong (I), (K) lần lượt tại các điểm M, N (M khác A, B và N khác A, C).

Tính các góc của tam giác ABC khi diện tích tam giác CAN bằng 3 lần diện tích tam giác AMB.

b) Cho AB<AC và điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD=AB. Gọi điểm E là hình chiếu của điểm D trên đường thẳng BC và điểm F là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng DE

N

KI

O CB

A

M

M

F

E

D

C

A

B

a,Tính các góc…* Chứng minh được * Chứng minh được AMB và CAN đồng dạng

* Suy ra =

* ==tg300= tg = 300

* Vậy = 600 và kết luận.b,So sánh …* Kẻ AH BC có AFEH là hình chữ nhật* ABD vuông cân = 450

* Tứ giác ADEB nội tiếp = = 450

* Do đó AHE vuông cân AH=HE=AF

* ABC vuông:

* Từ = cos450 = cos

* Từ = cos450= cos

* Kết luận

Bài tập 5: ( HSG Tỉnh Thanh Hóa Năm học 2010-2011) Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định ( ). P là điểm di động trên

đoạn thẳng AB ( và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (

).1) Chứng minh rằng và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.

2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động.

2.Gọi E là trung điểm OQ, suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi qua các điểm N, O, D, C. Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố định.

Bài tập 6( HSG Tỉnh Hải Dương năm học 2010-2011)

Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến chung của (O) với (C), (D) tại A, B tương ứng. Suy ra Ta có

, suy ra NAQB nội tiếp (1).Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2)Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, Bcùng nằm trên một đường tròn.Suy ra các điểm O, N, A, B cùng nằm trên một đường tròn.Ta có ,suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.

A

ON

C D

BP

Q

E

H

Cho tam giác ABC nhọn có trung tuyến CM. Các đường cao AH, BD, CF cắt nhau tại I. Gọi E là trung điểm của DH. Đường thẳng qua C và song song với AH cắt BD tại P; đường thẳng qua C và song song với BD cắt AH tại Q.

d) Chứng minh PI.AB = AC.CIe) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH. Chứng minh MD là tiếp tuyến

của đường tròn (O).f) CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại R (R khác C); CM cắt đường

tròn (O) tại K (K khác C). Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR.

1H

Q

P

I

MF

E

D

C

BA

a,Chứng minh Ta có :

Chứng minh tứ giác ADIF nội tiếp Từ (1) và (2)

(đpcm)

b,Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn (O)Chứng minh tứ giác CDIH nội tiếp đường tròn (O)

là góc nội tiếp chắn cung DI (3) có DM là đường trung tuyến

cân tại M Ta lại có (cùng phụ với ) (5)Từ (4) và (5) Từ (3) và (6) suy ra MD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c,Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KRMD là tiếp tuyến của (O)

R

K

A B

C

DE

F M

I

H

- Chứng minh tứ giác ADHB nội tiếp

Ta lại có : Từ (7), (8), (9) BA là phân giác của Chứng minh tương tự ta được AB là phân giác của Từ đó suy ra AB là đường trung trực của KR.

Bài tập 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).a, Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng .b,Kẻ đường kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt AN tại P và Q. Chứng minh rằng bốn điểm P,C,B,Q cùng thuộc một đường tròn.

D

E

PQ

N

O

I

M

CB

A

Bài tập 9:(Vô địch Anh 2005)Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn tại A, lấy

điểm M khác A. Từ M kẻ cát tuyến MCD ( C nằm giữa M và D). Đường thẳng BC và BD cắt đường thẳng OM lần lượt tại E và F.

Chứng minh rằng OE=OF.Bài tập 10: Cho góc nhọn xBy. Từ điểm A trên tia Bx kẻ AH vuông góc với By tại H và kẻ AD

vuông góc với đường phân giác của góc xBy tại D.a, Gọi O là trung điểm của AB, chứng minh OD vuông góc với AH.b, Tiếp tuyến tại A với đường tròn đường kính AB cắt By tại C; BD cắt AC tại E.Chứng minh rằng tứ giác HDEC nội tiếp. HD

z

x

C

E

D

A

H

O

B

Ta có suy ra điều phải chứng minh.

C. Kết luận: Trên đây là một số dạng bài tập được khai thác từ một định lý có nhiều ứng

dụng trong sách giáo khoa. Trong tất cả các kỳ thi học sinh giỏi hầu hết đều có sử dụng đến định lí trên. Nếu biết khai thác triệt để các ứng dụng của định lý trên , giúp cho học sinh giải quyết các bài tập về tứ giác nội tiếp dễ dàng hơn.

Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi chúng ta có thể hướng đẫn các em cách khai thác bài tập cũng như xây dựng các bài toán mang tính tổng quát và các bài toán liên quan đến nó. Giúp học sinh tiếp thu bài và sáng tạo hơn trong lời giải.

Trong khi viết chuyên đề không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đóng góp thêm các ý kiến đê chuyên đề hoàn thiện và có hiệu quả hơn. Tôi xin chân thành cám ơn.

Yên lạc, ngày 31 tháng 12 năm 2011 Người viết chuyên đề

Tạ Minh Hiếu.

CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO.

1. Toán nâng co và phát triển lớp 9.2. Vẽ thêm yếu tố phụ hình 9.3. Bài tập nâng cao và các chuyên đề toán 9.4. Chuyên đề bồi dưỡng HSG hình học.5. Toán nâng cao và các chuyên đề hình học 9.6. 23 chuyên đề và 1001 bài toán sơ cấp.7. Bất đẳng thức và cực trị hình học.8. Hình học tổ hợp.9. Các đề thi vô địch các nước trên thế giới.10. Thư viện đề thi và kiểm tra.