HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH - Tilado.edu.vn · Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn. Trên Ax lấy điểm

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốnsách này là phiên bản in của sách điện tử tại http://tilado.edu.vn.Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:

1. Vào trang http://tilado.edu.vn2. Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng

ký.3. Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những

chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.

Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vàođường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.

5. Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.

Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách incùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tươngứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.

Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giảichi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèmđể tiện truy cập.

Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®

Tilado®

CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP

BÀI TẬP1. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax, Byvới nửa đường tròn. Một góc vuông quay quanh O cắt Ax, By lần lượt tại C và D.Hai đường thẳng OD và Ax cắt nhau tại E. Chứng minh rằng:

a. AC. BD = R2

b. ΔCDE cânc. CD là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).

Xem lời giải tại:http://tilado.edu.vn/703/96614

2. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửađường tròn. Trên Ax lấy điểm M sao cho AM = R√3. Vẽ tiếp tuyến MC (C là tiếpđiểm) của (O). Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BC tại D. Gọi E là giaođiểm của AD với OM, F là giao điểm của MC với OD.a. Chứng minh BD // OMb. Các tứ giác OBDM, AODM là hình gì?c. EF là tiếp tuyến của (O).


3. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Vẽ các đường kínhAOC, AO’D. Đường thẳng AC cắt (O’) tại E. Đường thẳng AD cắt (O) tại F. Chứngminh:a. Ba điểm C, B, D thẳng hàngb. Tứ giác CDEF nội tiếpc. A là tâm đường tròn nội tiếp của ΔBEF.


4. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AT và cát tuyến ABC (B nằmgiữa A và C) với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của T trên OA. Chứng minh:

http://tilado.edu.vn/703/96614



a. AT2 = AB. ACb. AB. AC = AH. AOc. Tứ giác OHBC nội tiếp.


5. Cho ΔABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Vẽ dây AD // BC. Tiếp tuyến tạiA và B của đường tròn cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứngminh rằng:

a. ^AIB =

^AOB

b. Năm điểm E, A, I, O, B cùng nằm trên một đường trònc. IO⊥IE.


6. Cho hình vuông ABCD. Trên hai cạnh CB và CD lần lượt lấy hai điểm di độngM và N sao cho CM = CN. Vẽ CF⊥BN tại E (F ∈ AD).a. Chứng minh tứ giác FMCD là hình chữ nhậtb. Chứng minh năm điểm A, B, M, E, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định

tâm O của đường tròn đó.c. Đường tròn (O) cắt AC tại điểm thứ hai là I. Chứng minh ΔIBF vuông când. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng FI tại K. Chứng minh ba

điểm K, C, D thẳng hàng.


7. Cho đường tròn (O; R). Vẽ hai dây AC và BD bằng nhau và vuông góc với nhautại I (điểm B thuộc cung nhỏ BC). Chứng minh:a. Tứ giác ABCD là hình thang cânb. Tổng diện tích hai hình quạt tròn AOB và COD bằng tổng diện tích hai hình

quạt tròn AOD và BOC (các hình quạt tròn ứng với các cung nhỏ).


8. Cho ΔABC, AB = AC. Từ một điểm M trên cạnh BC kẻ MD / /AB (D ∈ AC);





ME / /AC (E ∈ AB). Gọi N là điểm đối xứng với M qua DE. Chứng minh:a. ΔBEN cânb. Các tứ giác ADEN, ANBC nội tiếp.


9. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và M là điểm chính giữa của cungAB ( không chứa điểm C và D). Gọi giao điểm của MC và MD với AB lần lượt là Evà F, giao điểm của AD và MC là I, giao điểm của BC và MD là K. Chứng minh:

a. ^CID =

^CKD

b. Tứ giác CDFE nội tiếpc. IK // ABd. Giả sử ba điểm A, B, C cố định còn D di động trên cung ACB. Chứng minh tâm

đường tròn ngoại tiếp ΔAFD chuyển động trên một đường thẳng cố định.


10. Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự cùng nằm trên một đường thẳng. Qua A kẻđường thẳng d⊥AC. Vẽ đường tròn (O) đường kính BC và trên đó lấy điểm Mbất kì. Tia CM cắt đường thẳng d tại D, tia AM cắt (O) tại N (N ≠ M), tia DB cắt(O) tại P (P ≠ B). Chứng minh: a. Tứ giác ABMD nội tiếpb. Tích CM.CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (O)c. AD // NP


11. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng cố định (B nằm giữa A và C). Một đường tròn(O) thay đổi đi qua B và C. Vẽ đường kính MN vuông góc với BC tại D (M nằmtrên cung nhỏ BC). Tia AN cắt đường tròn (O) tại một điểm thứ hai là F. Hai dâyBC và MF cắt nhau tại E. Chứng minh:a. Tứ giác DEFN nội tiếpb. AD. AE = AF. ANc. Đường thẳng MF đi qua một điểm cố định.





12. Cho ΔABC đều. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm di động M và Nsao cho AM = CN. Gọi O là giao điểm của BN và CM.a. Chứng minh BN = CMb. Đường tròn ngoại tiếp ΔOMN luôn đi qua một điểm cố địnhc. Tìm quỹ tích điểm O.


13. Trên đường tròn (O; R) cho dây cung BC cố định. Một điểm A di chuyển trêncung lớn BC (A ≠ B, C). Hai đường cao AE và BF của ΔABC cắt nhau tại H (E ∈ BC, F ∈ AC). Đường thẳng AE cắt đường tròn (O) tại I. Gọi K là hình chiếucủa O trên BC. Chứng minh:a. Tứ giác ABEF nội tiếpb. ΔABC ∼ ΔEFCc. H và I đối xứng với nhau qua BC

d. Tỉ số AHOK

không đổi và H di chuyển trên một cung tròn cố định khi A di

chuyển trên cung lớn BC.


14. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC = 2R. Lấy điểm A thuộc trên nửađường tròn sao cho BA = R. Gọi D là chính giữa của cung BC. Vẽ các nửa đườngtròn (O1) đường kính AB và nửa đường tròn (O2) đường kính CD ra phía ngoài ΔABC và ΔDBC, chúng cắt AD lần lượt tại E và F.a. Chứng minh BE // CFb. ΔAEB, ΔAFC là các tam giác vuông cânc. Tính diện tích các hình viên phân giới hạn bởi cung và dây AB, CD của nửađường tròn (O) theo R.


15. Cho ΔABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ dây AD // BC (AD <





BC), AC cắt BD tại I. Tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M.Đường cao AH của ΔABC (H ∈ BC), kéo dài AH cắt (O) tại E. a. Chứng minh tứ giác ABOI nội tiếp

b. Tính ^

MIO = ?

c. ^

BCE =^

OCA.


16. Cho đường tròn (O; R), đường kính ND. Lấy A sao cho N là trung điểm củaAO. Từ A ta vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Tia CNcắt AB tại điểm M. Chứng minh:a. Tứ giác ABOC nội tiếp

b. MB2 = MC.MNc. AC // BDd. Tứ giác ABDC là hình thoi. Tính diện tích hình thoi đó.


17. Cho nửa đường tròn đường kính BC và một điểm A thuộc nửa đường trònđó. Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Vẽ về cùng một phía với nửa đường trònđã cho các nửa đường tròn (I) và (K) có đường kính theo thứ tự là HB và HC,chúng cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E. Chứng minh:a. Tứ giác ADHE là hình chữ nhậtb. Tứ giác BDEC nội tiếpc. DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).


18. Cho ΔABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), ba đường cao AA’, BB’,CC’ cắt nhau tại H. Vẽ hình bình hành BHCD. Đường thẳng qua D và song songvới BC cắt đường thẳng AH tại M. Gọi K là trung điểm của BC, đường thẳng AKcắt OH tại G. Chứng minh:a. Năm điểm A, B, C, D, M cùng thuộc một đường trònb. Ba điểm A, O, D thẳng hàng, BM = CD




c. G là trọng tâm ΔABC.


19. Cho (O; R) và một dây cung BC của đường tròn sao cho ^

BOC = 1200. Các tiếptuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại A. Gọi M là điểm tùy ý trên cungnhỏ BC (M không trùng B, C). Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt AB tại Evà cắt AC tại F.

a. Tính ^

EOF = ?b. Chứng minh: ΔABC đều, tính chu vi ΔAEFc. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BC với OE và OF. Chứng minh tứ giác OIFCnội tiếp và các đường thẳng OM, EK, FI đồng quy

d. Chứng minh: ΔOIK ∼ ΔOFE và FE = 2KI.


20. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng đi quaB và vuông góc với AB cắt hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C, D khác điểmB. Gọi E là điểm thuộc cung nhỏ BC của (O), đường thẳng BE cắt (O') tại điểmthứ hai là F. Hai đường thẳng CE và DF cắt nhau tại M. Gọi N là giao điểm củađường thẳng AM và (O’).a. Chứng minh tứ giác ACMD nội tiếpb. Chứng minh BN // CMc. Gọi K là điểm đối xứng của D qua F. Chứng minh K thuộc đường tròn cố địnhkhi E thay đổi trên cung nhỏ BC của (O)


21. Cho đường tròn (O; R) có AB và CD là hai đường kính khác nhau của đườngtròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng AC, AD thứ tựtại E và F.a. Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật.b. Chứng minh ΔACD ∼ ΔCBEc. Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.




d. Gọi S, S1, S2 thứ tự là diện tích của ∆AEF, ∆BCE và ∆BDF. Chứng minh: S1+ S

2= √S.


22. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Lấy I thuộc cạnh AB,

M thuộc cạnh BC sao cho: ^

IEM = 900 (I và M không trùng với các đỉnh của hìnhvuông ).a. Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b. Tính số đo của góc ^

IMEc. Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC; K là giao điểm của BN và tia EM.Chứng minh CK ⊥BN.


23. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC vớiđường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MI⊥AB, MK⊥AC (I ∈ AB, K ∈ AC)a. Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b. Vẽ MP⊥BC (P ∈ BC). Chứng minh: ^

MPK =^

MBC.c. Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trịlớn nhất.


24. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tạiI (I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CDtại F. Chứng minh:a. BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b. AE. AF = AC2.c. Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộcmột đường thẳng cố định.

√ √





25. Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Trên tia AB lấy một điểm C nằm ngoàiđường tròn. Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ, cắt dâyAB tại D. Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I. Các dây AB và QI cắt nhau tạiK.a. Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếpb. Chứng minh CB. CA = CK. CDc. Chứng minh IC là tia phân giác của góc ngoài đỉnh I của ΔAIB.


26. Cho ΔABC, A = 900, M là một điểm thuộc cạnh AC (M khác A và C ). Đườngtròn đường kính MC cắt BC tại N và cắt tia BM tại I. Chứng minh rằng:a. ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp

b. NM là tia phân giác của ^

ANI

c. BM. BI + CM. CA = AB2 + AC2.


27. Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB(CD không đi qua tâm O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) tạiđiểm thứ hai là M.a. Chứng minh ΔSMA ∼ ΔSBC.b. Gọi H là giao điểm của MA và BC; K là giao điểm của MD và AB.Chứng minh

BMHK là tứ giác nội tiếp và HK // CD.

c. Chứng minh: OK. OS = R2.


28. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phíavới nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC vớinửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tạiD (D khác B).





a. Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp.

b. Chứng minh ^

ADE =^

ACOc. Vẽ CH vuông góc với AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểmcủa CH.


29. Cho hai đường tròn (O) và (O ′ ) cắt nhau tại A và B. Vẽ AC, AD thứ tự làđường kính của hai đường tròn (O) và (O ′ ).a. Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng.

b. Đường thẳng AC cắt đường tròn (O ′ ) tại E; đường thẳng AD cắt đường tròn(O) tại F (E, F khác A). Chứng minh 4 điểm C, D, E, F cùng nằm trên mộtđường tròn.

c. Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt (O) và (O ′ ) thứ tự tại M và N.Xác định vị trí của d để CM + DN đạt giá trị lớn nhất.


30. Cho ΔABC, A = 900. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn tâm (O) cóđường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm (O) tại D, đường thẳng ADcắt đường tròn tâm (O) tại S.

a. Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là tia phân giác của ^

BCS.b. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh các đường thẳng

BA, EM, CD đồng quy.c. Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp ΔADE.


31. Từ đỉnh A của hình vuông ABCD, ta kẻ hai tia tạo với nhau một góc 450. Mộttia cắt cạnh BC tại E và cắt đường chéo BD tại P. Tia còn lại cắt cạnh CD tại F vàcắt đường chéo BD tại Q.a. Chứng minh 5 điểm E, P, Q, F, C cùng thuộc một đường trònb. Chứng minh SΔAEF = 2SΔAQP




c. Kẻ đường trung trực của cạnh CD cắt AE tại M. Biết ^

CPD =^

CMD, tính ^

MAB = ?


32. Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đườngthẳng OA cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O’A cắt (O),(O’) lần lượt tại điểm thứ hai E, F.a. Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I.b. Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn.c. Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (P ∈ (O), Q ∈ (O’)). Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.


33. Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm Ođường kính BC; AT là tiếp tuyến vẽ từ A. Từ tiếp điểm T vẽ đường thẳng vuônggóc với BC, đường thẳng này cắt BC tại H và cắt đường tròn tại K (K ≠ T). Đặt OB= R.

a. Chứng minh OH. OA = R2.

b. Chứng minh TB là phân giác của ^

ATH.c. Từ B vẽ đường thẳng song song với TC. Gọi D, E lần lượt là giao điểm củađường thẳng vừa vẽ với TK và TA. Chứng minh rằng ΔTED cân.

d. Chứng minh HBHC

=ABAC


34. Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên cung lớnBC sao cho AC > AB và AC > BC. Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Cáctiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của cáccặp đường thẳng AB với CD; AD với CE.a. Chứng minh rằng: DE // BCb. Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn.




c. Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F. Chứng minh hệ thức:

1CQ

+1CF

=1CE


35. Cho ΔABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàngtiếp A, O là trung điểm của IK.a. Chứng minh 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn (O).b. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).c. Tính bán kính của đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm.


36. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C trên đường tròn (C khôngtrùng A, B) dựng một đường tròn (O’) tiếp xúc với (O) tại C và tiếp xúc với AB tạiD. Các dây CA, CB cắt đường tròn (O’) tại lần lượt tại E, F. Chứng minh:a. EF là đường kính của đường tròn (O’)

b. CD là tia phân giác của ^

ACB và đường thẳng CD luôn đi qua một điểm K cốđịnh

c. Tích CK. KD không đổi.


37. Cho đường tròn (O; R) và điểm A ở ngoài đường tròn (O). Vẽ tiếp tuyến AM,AN với (O). Đường thẳng chứa đường kính của đường tròn song song với MNcắt AM tại B, cắt AN tại C. Gọi I là giao điểm của AO với (O).a. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp ΔAMNb. Chứng minh tứ giác MNCB là hình thang cân

c. Chứng minh MA.MB = R2

d. Lấy D thuộc cung nhỏ MN. Vẽ tiếp tuyến qua D của (O) cắt AM, AN lần lượt tại

P và Q. Chứng minh rằng BP. CQ =BC2

4.

Xem lời giải tại:






38. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm chính giữa của cung AB,M là một điểm trên cung BC. Vẽ CH là đường cao của ΔACM, OH giao với MB tạiNa. Chứng minh tứ giác CHMN là hình vuôngb. OH cắt BC tại I, MI cắt (O) tại D. Chứng minh CM // BDc. Xác định vị trí của M để ba điểm D, H, B thẳng hàng


39. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (AB > CD). Gọi giao điểm của ACvà BD là I. Đường tròn ngoại tiếp ΔADI cắt AB tại E, cắt CD tại F. EF cắt AC và BDlần lượt tại M và N.

a. Chứng minh IE =

IF

b. Chứng minh EF // BC và tứ giác AMND nội tiếpc. Gọi Q là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔADI. Chứng minh QI⊥BCd. Tìm điều kiện để các đường tròn ngoại tiếp ΔADI và ΔBIC tiếp xúc nhau.


40. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ tiếp tuyến MA đến đường tròn. Elà trung điểm của AM. Gọi I, H lần lượt là hình chiếu của E và A trên MO.a. Chứng minh I nằm ngoài đường tròn (O; R)b. Qua M vẽ cát tuyến MBC (B nằm giữa M và C). Chứng minh tứ giác BHOC nội

tiếpc. Từ I vẽ tiếp tuyến IK với (O) (K là tiếp điểm). Chứng minh HA là tia phân giác

của ^

BHC và ΔMIK cân.






Documents

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH - Tilado.edu.vn · Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn. Trên Ax lấy điểm