PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

CHỦ ĐỀ 1:

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG, TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC GÓC NHỌN

Câu 1. Cho là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của hình chữ nhật . Chứng minh rằng .

Câu 2. Cho tứ giác có . Chứng minh rằng

.

Câu 3. Cho tam giác vuông tại , đường cao . Lấy thuộc cạnh , điểm thuộc tia đối của tia sao cho

. Chứng minh rằng .

Câu 4. Cho hình vuông . Qua vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các canh và (hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại

các điểm và .Chứng minh rằng: Câu 5.

Cho hình thoi với . Tia tạo với tia góc

bằng và cắt cạnh tại , cắt đường thẳng tại

. Chứng minh rằng: .

Câu 6. Cho tam giác cân , . Chứng minh rằng:

.

Câu 7. Cho tam giác có ba góc nhọn,

. Chứng minh rằng: .

Câu 8. Cho tam giác có . Chứng

minh rằng: .

291

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

Câu 9. Cho góc vuông và điểm cố định thuộc tia , điểm sao cho Điểm chạy trên tia . Đường vuông góc với tại cắt ở . Chứng minh tổng

không đổi.

Câu 10. Cho hình thang vuông có . Điểm thuộc

cạnh sao cho

a) Chứng minh: b) Tính

CHỦ ĐỀ 2: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN, QUAN HỆ HAI ĐƯỜNG TRÒN, GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

Câu 11. Cho đường tròn , . vẽ dây cung , là điểm trên dây cung sao cho . Vẽ vuông góc với tại . Tính độ dài đoạn thẳng .

Câu 12. Cho đường tròn , và là hai đường kính . Xác định vị trí của hai đường kính và để diện tích tứ giác lớn nhất.

Câu 13. Cho đường tròn từ điểm bên ngoài đường tròn ta kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt đường tròn tại các điểm và biết . Chứng minh rằng .

Câu 14. Cho đường tròn đường kính là dây cung

của , , cắt tại ( nằm giữa và )

và . Tính độ dài các đoạn thẳng theo .

Câu 15. Cho điểm nằm giữa hai điểm và . Gọi là đường tròn bất kỳ đi qua và . Qua vẽ đường thẳng vuông

292

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

góc với , cắt đường tròn ở và . Chứng minh rằng các

độ dài không đổi.

Câu 16. Cho đường tròn , hai bán kính và vuông góc tại . và là các điểm trên cung sao cho và hai dây cắt nhau tại . Chứng minh rằng .

Câu 17. Cho điểm ở ngoài đường tròn . Vẽ cát tuyến

và tiếp tuyến với đường tròn . là tiếp điểm.

Chứng minh rằng .

Câu 18. Cho đoạn thẳng , đường thẳng và lần lượt vuông góc với tại và . là trung điểm của . Lấy

lần lượt trên sao cho . Chứng minh rằng là tiếp tuyến của dường tròn đường kính .

Câu 19. Từ điểm nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp

tuyến và tới đường tròn với và là các tiếp điểm. Gọi là chân đường vuông góc vẽ từ đến đường kính

của đường tròn. Chứng minh rằng cắt tại trung điểm của .

Câu 20. Một đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với lần lượt tại . Cho điểm thuộc đoạn thẳng ;

cắt tại . Chứng minh rằng .

Câu 21. Cho đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc

với tại . Vẽ đường kính cắt tại . Chứng minh rằng .

Câu 22. Cho tam giác . Một đường tròn tâm nội tiếp tam giác và tiếp xúc với tại . Đường tròn tâm là đường tròn bàng tiếp trong góc của tam giác và tiếp xúc với

293

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

tại . Vẽ đường kính của đường tròn . Chứng minh

rằng thẳng hàng.

Câu 23. Đường tròn tâm nội tiếp tam giác tiếp xúc với lần lượt ở . Đường thẳng qua song song với

cắt lần lượt ở . Chứng minh rằng là trung điểm của đoạn thẳng .

Câu 24. Cho tam giác nhọn . Gọi là trung điểm của . Dựng đường tròn tâm đường kính . Vẽ đường cao của tam giác và các tiếp tuyến với đường tròn (

là các tiếp điểm). Gọi là giao điểm của với . Hãy chứng minh rằng .

Câu 25. Cho tứ giác có đường tròn đường kính tiếp xúc với và đường tròn đường kính tiếp xúc với . Chứng minh rằng .

Câu 26. Cho tam giác đều . Trên nửa mặt phẳng bờ không chứa điểm vẽ nửa đường tròn đường kính , là điểm trên nủa đường tròn sao cho . Gọi là giao điểm của với . Chứng minh rằng .

Câu 27. Cho đường tròn và tiếp xúc trong tại

. Tiếp tuyến tại điểm bất kỳ của cắt tại

và . Chứng minh rằng .

Câu 27. Cho tam giác nội tiếp đường tròn , là

đường cao . Chứng minh rằng: .

Câu 28. Cho tam giác có nhọn nội tiếp trong đường tròn

. Chứng minh rằng: .

294

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

Câu 29. Cho hai đường tròn và cắt nhau tại và . Qua vẽ hai cát tuyến và ( và nằm trên đường tròn , và nằm trên đường tròn ) sao cho

. Chứng minh rằng .

Câu 30. Cho đường tròn đường kính . là điểm trên

cung ( khác và ). Vẽ . Vẽ đường

tròn cắt đường tròn tại và . cắt tại . Chứng minh rằng .

Câu 31. Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Vẽ là

đường cao của tam giác . Chứng minh rằng .

Câu 32. Cho hình bình hành . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường thẳng tại . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với .

Câu 33. Cho đoạn thẳng . là điểm di động trên đoạn thẳng ( khác và ). Vẽ đường thẳng vuông góc với tại . Trên tia lần lượt lấy và sao cho

. Đường tròn đường kính cắt đường tròn đường kính tại ( khác ). Chứng minh rằng đường thẳng luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 34. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn có

đỉnh cố định, đỉnh di động.Dựng hình bình hành . Chứng minh rằng trực tâm của tam giác là điểm cố định.

Câu 35. Cho tam giác nhọn . Vẽ đường tròn đường kính . Vẽ là đường cao của tam giác , các tiếp tuyến

với đường tròn ( là các tiếp điểm). cắt tại . Chứng minh rằng là trực tâm của tam giác .

295

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

Câu 36. Cho tam giác nhọn , trực tâm . Từ vẽ các tiếp tuyến với đường tròn đường kính ( là các

tiếp điểm). Chứng minh rằng thẳng hàng.

Câu 37. Cho tam giác cân đỉnh , đường trung trực của cắt tại . Chứng minh rằng là tiếp tuyến của đường

tròn ngoại tiếp tam giác .

Câu 38. Cho tam giác và . Vẽ đường

tròn tâm bán kính cắt tại , cắt tại . Chứng minh rằng .

Câu 39. Cho tam giác vuông nội tiếp đường tròn

. Đường tròn qua tiếp xúc với

tại , cắt đường thẳng tại . Chứng minh rằng .

Câu 40. Cho đoạn thẳng có trung điểm là . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ dựng nửa đường tròn đường kính

và nửa đường tròn đường kính . Trên lấy điểm

(khác và ), tia cắt tại , gọi là giao điểm thứ

hai của với .

a) Chứng minh tam giác cân.

b) Tiếp tuyến tại của cắt tia tại , xác định vị trí

tương đối của đường thẳng đối với và .

Câu 41. Cho đường tròn tâm có đường kính . Gọi là điểm di động trên đường tròn . Điểm khác ; dựng đường tròn tâm tiếp xúc với tại . Từ và kẻ hai tiếp tuyến và với đường tròn tâm vừa dựng.

296

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

a) Chứng minh lần lượt là các tia phân giác của các góc và .

b) Chứng minh ba điểm nằm trên tiếp tuyến của đường tròn tâm tại điểm .

c) Chứng minh không đổi, từ đó tính tích theo .

d) Giả sử ngoài trên nửa đường tròn đường kính không chứa có một điểm cố định. gọi là trung điểm của , kẻ vuông góc với . Khi chuyển động thì chuyển động trên đường cố định nào.

Câu 42. Cho nửa đường tròn đường kính , điểm thuộc

nửa đường tròn. Gọi là điểm chính giữa , là giao điểm của và . Gọi là giao điểm của và .

a) Chứng minh rằng .

b) Gọi là điểm đối xứng với qua . Chứng minh là tiếp tuyến của .

c) Chứng minh rằng .

d) Nếu . Gọi là giao điểm của và .

Chứng minh .

Câu 43. Cho đường tròn đường kính , điểm thuộc

đường tròn . Trên nửa mặt phẳng bờ chứa

điểm , kẻ tia tiếp xúc với đường tròn . Gọi là điểm

chính giữa cung nhỏ . Tia cắt tại , tia cắt tại .

a) Chứng minh các tam giác và cân.297

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

b) Khi , tính theo .

Câu 44. Cho đường tròn đường kính . Trên đoạn thẳng

lấy điểm và vẽ đường tròn có đường kính . Gọi là trung điểm của , qua kẻ dây cung vuông góc với cắt đường tròn tại và . Nối cắt đường tròn tại .

a) Tứ giác là hình có đặc tính gì? Vì sao?

b) Chứng minh và là tiếp tuyến của đường tròn .

c) Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Chứng minh .

Câu 45. Cho tam giác đều, dựng nửa đường tròn tâm đường kính tiếp xúc với lần lượt tại . Lấy điểm

thuộc cung nhỏ , dựng tiếp tuyến với nửa đường tròn tại cắt các cạnh lần lượt tại .

a) Chứng minh rồi suy ra .

b) Chứng minh .

c) Gọi lần lượt nằm trên các cạnh sao cho chu vi bằng một nửa chu vi . Chứng minh rằng

.

Câu 46. Cho tam giác có nội tiếp đường tròn . Các tiếp tuyến của đường tròn tại cắt nhau tại

. cắt đường tròn tại . Chứng minh rằng:

a) b)

.

298

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

c) . d) cân.

Câu 47. Trên nửa đường tròn tâm , đường kính lấy hai

điểm theo thứ tự . Hai đường thẳng và cắt nhau tại , và cắt nhau tại .

a) Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp và vuông góc với .

b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng .

c) Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại và của đường tròn cắt nhau tại một điểm thuộc .

d) Cho . Tính diện tích tam giác theo .

Câu 48. Cho tam giác đều, gọi là trung điểm của cạnh . Các điểm lần lượt di động trên các cạnh sao

cho bằng .

a) Chứng minh không đổi,

b) Chứng minh rằng tia là tia phân giác của .

c) Dựng đường tròn tâm tiếp xúc với . Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với và .

d) Gọi lần lượt là tiếp điểm của với . và lần

lượt là giao điểm của với và . Chứng minh rằng .

Câu 49. Cho đường tròn và điểm ở bên ngoài đường

tròn. Vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn ( là các tiếp điểm). Gọi là trung điểm .

299

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp và xác định tâm của đường tròn này.

b) Chứng minh rằng .

c) Gọi là trọng tâm tam giác . Chứng minh .

d) Chứng minh vuông góc với .

Câu 50) Cho đường tròn nội tiếp , tiếp xúc với

cạnh lần lượt ở và

a) Gọi là tâm đường tròn nội tiếp , tính theo .

b) Các đường phân giác trong của và cắt đường thẳng lần lượt tại và . Chứng minh tứ giác nội tiếp được đường tròn.

c) Chứng minh .

300