Nichtstandard-AnalysisMathematik-Didaktik B

Referenten: Alexander Hochstein Christian Herrmann

Friedrich- Schiller Universität JenaJena, d. 20.01.2009

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Gliederung

1. Einleitung / Motivation 2. Eine Einführung in die

Infinitesimalzahlen3. Eine Einführung in das hyperreelle

Zahlensystem4. Anwendungen der Infinitesimalzahlen

in der Nichtstandard-Analysis5. Literatur

3

1. Einleitung

Was ist ein Differential?

→ dx, dy, dz

Differentialquotient

dxdy

hxfhxfx

dxdy )()(lim)( 00

0

0h

→ →

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1. Einleitung

Wieso kann man mit Differentialen rechnen?

Beispiel: Integration durch Substitution

1

02 12 dxxx

12 xz dxxdzxdxdzx

dxdz

2

22

2

1

21 2ln1ln2ln|]|[ln

22 z

xdz

zx

5

2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

Tangentenproblem

o Gegeben: Funktion f(x)=x²

o Gesucht: Tangente im Punkt P=(0.5,0.25)

o Grundproblem: Wie erhält man den Anstieg der Tangente?

6

7

8

2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

Sekantensteigung 1,11,011,0

5,06,025,036,0

sm

o Die Sekante liegt ,,nah“ bei der Tangente→ ihre Steigung wird ,,nah“ bei der Tangente liegen

→ noch besseres Resultat, wenn eine Sekante durch die Punkte P=(0.5,0.25) und B=(0.51,0.2601) gelegt wird

9

10

2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

Sekantensteigung 01,101,00101,0

5,051,025,02601,0

sm

→ Sekantensteigungen geben nur Näherungswerte

→ mit Hilfe von Infinitesimalzahlen wird die Tangente durch eine Sekante approximiert, welche nicht von der Tangente zu unterscheiden ist

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Was sind Infinitesimalzahlen?

2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

o sie sind unglaublich ,,winzig“, aber nicht Null

o sie sind kleiner als jede reelle positive Zahl

→ wir ,,erfinden“ neue Zahlen

o wir betrachten einen zweiten Punkt C=(0.5+,(0.5+)²),welcher vom gegeben Punkt P=(0.5,0.25) unendlich wenig entfernt ist, infinitesimal

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(0.5+)²

0.25

0.5+

0.5

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2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

1²25,0²25,05,0)5,0(25,0)²5,0(

sm

1Tm

Sekantensteigung

o da eine unendlich kleine Zahl ist (infinitesimal), kann 1+ nicht von 1 unterschieden werden →

25,025,05,0125,0 xynn T

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2. Eine Einführung in die Infinitesimalzahlen

o bei den Rechnungen wurde das reelle und das hyperreelle Zahlensystem benutzt

o das hyperreelle Zahlensystem enthält alle reellen Zahlen, Infinitesimalzahlen und andere hyperreelle Zahlen

o Mangel an ,,Strenge“ verhinderte, dass die Infinitesimalmethode als Begründung für die Analysis akzeptiert wurde

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3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

o Axiom der Infinitesimalzahlen:Es gibt hyperreelle Zahlen ≠0, so dass für jede positive reelle Zahl b gilt: -b<<b. Eine solche Zahl heißt Infinitesimalzahl

0

0

16

3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

o es gibt riesig große Zahlen, größer als jede reelle Zahl,

1..Bz , infinitesimal

1

17

3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

1

0

0

² ³ /5 /2

21

101

2

1 7

1

18

3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

o b reell und infinitesimal → b+ ist unendlich benachbart zu b

o Definition: Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen unendlich benachbart, wenn x-y eine Infinitesimalzahl ist, Bez.: x ≈ y

o Definition: Eine hyperreelle Zahl x heißt endlich, wenn es eine reelle Zahl b gibt, so dass –b<x<b. Andernfalls heißt x unendlich.

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3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

traditionell unkonventionellGrenzwert reelle Zahl 0

bestimmt eine unendlich kleine Zahl

Grenzwert reelle Zahl 0

bestimmt eine andere unendlich kleine Zahl

kein Grenzwert bestimmt eine unendlich große Zahl

kein Grenzwert bestimmt eine andere unendlich große Zahl

,...41,

31,

21,11

1

nn

,...161,

91,

41,11

12

nn

,...4,3,2,11 nn

,...16,9,4,112

nn

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3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

o Standardanteilaxiom: Für jede endliche hyperreelle Zahl x gibt es genau eine reelle Zahl b mit x ≈ b.b heißt Standardanteil von x, Bez.: b=st(x)Beispiel: 5+, infinitesimal → st(5+)=5

o Rechnen mit hyperreellen Zahlen Beispiel 1: infinitesimal, x endlich → x∙ infinitesimal

Beispiel 2: ,ß infinitesimal u. nicht 0 → /ß kann infinitesimal sein, oder endlich und nicht infinitesimal, oder sogar unendlich

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3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

Beweis: für =ß²: /ß=ß infinitesimal für =ß: /ß=1 endlich und nicht infinitesimal für ß=²: /ß=1/ unendlich

o ,ß Infinitesimalzahlen

o c,d endliche nicht infinitesimale Zahlen

o A,B unendliche Hyperzahlen

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3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

+ß infinitesimal+c oder c+

endlich, nicht infinitesimal

B+c oder B+

unendlich

A+B kann infinitesimal, endlich oder unendlich sein

-ß infinitesimal-c oder c- endlich, nicht

infinitesimalB-c oder B-

unendlich

A-B kann infinitesimal, endlich oder unendlich sein

Addition Subtraktion

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3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

∙ß infinitesimal∙c infinitesimal

B∙c unendlichB∙ kann

infinitesimal, endlich oder unendlich sein

/c infinitesimal

c/ unendlich

/B infinitesimal

c/d endlich

B/ unendlich

Multiplikation Division

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3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

Aufgaben ( infinitesimal; c u. d endlich; A unendlich groß)

o c(d+)

o (4-)²-16

562

AA 1

)()4²()³4²(

st

o

o

o

25

AAAAAA

AAAAAA

11

11

1)1()1(

3. Eine Einführung in das hyperreelle Zahlensystem

24)4()4(4)4( 22

2

232

)(

ststst

Lösung

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5. Literatur

Laugwitz, D.; Schnitzspan, W.: Nichtstandard-Analysis. MU, Jg. 29, Heft 4, August 1983.

Laugwitz, D.: Infinitesimalkalkül. Eine elementare Einführung in die Nichtstandard - Analysis. BI, Mannheim, Wien, Zürich 1978.