NLU/RG , pt. 3

Константин Соколов

Mathlingvo, СПбГУ, i-Free

http://nlu-rg.ru

Санкт-Петербург, 2013

План

• Домашнее задание (структура группы)• Отображения, морфизмы, стрелки• Обоснование выбора статей• Огден, Ричардс “Значение значения”• Карнап “Значение и необходимость”• Голдблатт “Теория топосов”, гл. 1

1

Домашнее задание (1)

В абелевой группе единица единственна

• a · e = e · a = a (аксиома)• Пусть e1 и e2 - единицы, и e1 6= e2, тогда• a = a · e1 = a · e2 (по аксиоме)• a · e1 6= a · e2 (по предположению)

2

Домашнее задание (2)

Ввести структуру группы на множестве {0, 1} с операциейсложения (mod 2)

• умножение задается правилами 1+ 0 = 0+ 1 = 1,0+ 0 = 1+ 1 = 0

• умножение ассоциативно: 1+ (1+ 0) = (1+ 1) + 0 и т.д.(всего 8 случаев)

• у каждого элемента есть обратный: 0−1 = 0, 1−1 = 1,• единица - 0 (напр., 1+ 0 = 0+ 1 = 1)

3

Домашнее задание (3)

Ввести структуру группы на множестве {−1, 1} с обычнойоперацией умножения

• умножение задается правилами 1 · (−1) = −1 · 1 = −1,1 · 1 = −1 · (−1) = 1

• умножение ассоциативно: −1 · (1 · (−1)) = (−1 · 1) · (−1) ит.д.

• у каждого элемента есть обратный: 1−1 = 1, (−1)−1 = −1• единица - 1 (напр., 1 · (−1) = −1 · 1 = −1)

4

Домашнее задание (4)

Построить гомоморфизмы групп между двумя получившимисягруппами.• G1 = ({0, 1},+),G2 = ({−1, 1}, ·)• f : G1 → G2, f (0) = 1, f (1) = −1• g : G2 → G1, g(−1) = 1, g(1) = 0• f и g - гомоморфизмы групп, т.к. сохраняют групповуюструктуру (отображают единицу в единицу и пр.)

• более того, как отображения между множествами онибиективны, значит f и g - изоморфизмы (иными словами,с точностью до изоморфизма G1 и G2 - это одна и та жегруппа).

5

Домашнее задание (5)

Подгруппы GLn(R): групповая структура индуцирует структуруч. у. множества с отношением ⊆

GLn(R)

GLn(Q) SLn(R)

SLn(Q)

SLn(Z)

e6

Отображения, морфизмы, стрелки (1)

Пусть A и B - множества, отображение f : A→ B сопоставляетэлементу из A элемент из B

• A = Dom(f ) - домен (область отправления)• B = Cod(f ) - кодомен (область прибытия)• Im(f ) = {f (x) : x ∈ Dom(f )} - образ• Ker(f ) = {x ∈ Dom(f ) : f (x) = 0} - ядро

7

Отображения, морфизмы, стрелки (2)

Отображение f : A→ B• сюръективно, если Cod(f ) = Im(f )• инъективно, если f (x) = f (y)⇒ x = y , где x , y ∈ Dom(f )• биективно, если оно сюръективно и инъективно

8

Отображения, морфизмы, стрелки (3)

Пусть A и B - множества со структурой

Гомоморфизм (морфизм, стрелка) - это отображениеf : A→ B , сохраняющее структуру

• эпиморфизм (эпистрелка) - сюръективный морфизм(A � B)

• мономорфизм (монострелка) - инъективный морфизм(A � B)

• изоморфизм (изострелка) - биективный морфизм

9

Обоснование выбора статей (1)

Основные семантические концепции интенсиональной логики:

• Семантика смысла и денотата Г. Фреге• Теория объектов и пропозиций Б. Рассела• Концепция истины А. Тарского• Семантика возможных миров С. Крипке• Теоретико-типовая концепция К. Айдукевича

10

Обоснование выбора статей (2)

• Огден, Ричардс о магии слов• Ранний Карнап об интенсионалиях• Поздний Карнап о языковом каркасе

11

Огден, Ричардс “Значение значения”

• Треугольник отнесенности: символ, мысль, вещь.• Контексты внутренние (психологические) и внешние• Теория знаковых ситуаций

12

Ранний Карнап

• Интенсионал и экстенсионал• Универсальная иерархия понятий

13

Карнап “Значение и необходимость”

• Статус абстрактных понятий• Языковой каркас• Интенсиональный изоморфизм и когнитивная синонимия• Описание состояния

14

Голдблатт “Теория топосов”, гл. 1

15

Реклама

• FProg - 25 октября, http://lanyrd.com/2013/fprog-10• Mathlingvo - http://mathlingvo.ru• NLPSeminar - http://nlpseminar.ru

16

Спасибо!