Топологическая семантика для S4часть вторая

Константин Соколов

Mathlingvo, СПбГУ, i-Free

http://nlu-rg.ru

Санкт-Петербург, 2014

План

• Топологическая семантика для S4 (окончание)

• семантика для логики первого порядка• семантика для S4 с кванторами

1

Предварительные замечания

2

Предварительные замечания

• Задача – расширить топологическую семантикуТарского-МакКинси на модальную логику первого порядка

• Нам понадобится обширный аппарат:• общая топология• теория пучков• некоторые сведения из алгебраической топологии

3

Конструкции и понятия

4

Конструкции и понятия

• топологическое пространство (повторение)

• предпучок и пучок (повторение)• немного алгебраической топологии:

• накрытие• сечение• поднятие

• пучок непрерывных сечений накрытия• гомоморфизм пучков• расслоенное произведение пучков

5

Топологическое пространство

Дано множество X . Система подмножеств O ⊆ 2X называетсятопологической структурой (или топологией) на X , если:

• ∅,X ∈ O• объединение

⋃Ui произвольного числа подмножеств

Ui ∈ O принадлежит O• пересечение

⋂Ui конечного числа подмножеств Ui ∈ O

принадлежит O

Пара (X ,O(X )) называется топологическим пространством.

6

Предпучок

• Топологическое пространство (X ,O(X ))

• Каждому открытому множеству U ⊂ O(X ) сопоставляетсямножество со структурой F(U) (сечение)

• Для любых двух открытых множеств U,V ⊂ O(X ), т. ч.U ⊇ V , определим гомоморфизм ρU

V : F(U)→ F(V )(ограничение)

• Если U = V , то ρUV = ρV

U = 1U

• Если U ⊃ V ⊃W , то ρVW ◦ ρU

V = ρUW

F - предпучок над топологическим пространством (X ,O(X )).

7

Пучок

• Аксиома локальности

• Если U =⋃

Ui , то для любых Ui ,Uj ⊂ U определеныморфизмы ρU

Uiи ρU

Uj

• Тогда, если ρUUi(x) = ρU

Uj(y), то x = y

• Аксиома склейки

• Если U =⋃

Ui , то для любых Ui ,Uj ⊂ U, т.ч. Ui ∩ Uj 6= ∅,определены морфизмы ρU

Ui, ρU

Ujи ρU

Ui∩Uj

• Тогда, если x ∈ F(U), то(ρ

UjUi∩Uj

◦ ρUUj)(x) = (ρUi

Ui∩Uj◦ ρU

Ui)(x)

Если эти условия выполнены, то F называется пучком.

8

Расслоенное пространство (1)

Расслоенное пространство (X , p) с базой X :

• X и X – топологические пространства• отображение p : X → X непрерывно• сечение sU : U → X , U ∈ O(X ), p ◦ sU = 1U

• слой p−1(U) = {sU : U → X | p ◦ sU = 1U}

9

Расслоенное пространство (2)

Пучок ростков сечений расслоенного пространства (X , p):

• F(U) – множество сечений в (X , p)• sU |V – ограничение сечения над U на V ⊆ U• росток сечений – класс эквивалентности сечений sUi

• F(V ) = p−1(U)|V = {sU |V : p ◦ sU |V = 1V }

База X , сечения F(U), U ⊆ O(X ) и отображения ограниченияρUV : F(U)→ F(V ) образуют пучок.

10

Накрытие (1)

Накрытие p : X → X :

• покрытие пространства X открытыми множествами {Uα}• p−1(Uα) =

⋃Ui – объединение непересекающихся

открытых множеств в X• p гомеоморфно отображает Ui на Uα• возможно p−1(Uα) = ∅

11

Накрытие (2)

12

Накрытие (3)

:

• определим сечение над точкой x ∈ X как индуктивныйпредел множеств F(U)

• определим F =⋃F(x)

13

Накрытие (4)

Пучок непрерывных сечений накрытия:

• Годеман, теорема 1.2.1 (стр. 132): “Всякий пучок множествс базой X изоморфен пучку ростков сечений некоторогонакрывающего пространства над X , определенногооднозначно с точностью до изоморфизма”.

• Годеман, замечание 1.2.1 (стр. 132): “В дальнейшем мы небудем делать никакого различия между пучком множествF и накрывающим пространством (F , p)”.

14

Накрытие (5)

Накрытия и фундаментальная группа:

• поднятие f : Y → X отображения f : Y → X , p ◦ f = f• критерий существования поднятия и подгруппы π1(X , x0)

• множество накрытий {pi : Xi → X} и подгруппы π1(X , x0)

15

Понятия

• Гомоморфизм пучков• Расслоенное произведение пучков

16

Cемантика для FOL

17

FOL (1)

• Язык L с сигнатурой σ = {Ri , fj , ck}i∈I ,j∈J,k∈K

• Ri – реляционные символы• fj – функциональные символы• ck - константы

• Структура M = 〈D,RMi , f

Mj , cM

k 〉i∈I ,j∈J,k∈K

• домен D• RM

i ⊆ Dn – интерпретация реляционного символа Ri• f M

j : Dn → D – интерпретация функционального символа fj• cM

k ∈ D – интерпретация константы ck

• Истинность формулы φ(x1, . . . , xn) в модели M

• M |= φ(a1, . . . , an)

18

FOL (2)

[[ x |φ ]] – интерпретация формулы φ со свободной переменной x

• [[σ ]] ⊆ D0

• [[ x1, . . . , xn, y |φ ]] = [[ x1, . . . , xn |φ ]]× D ⊆ Dn+1

• [[ x , y | x = y ]] = { (a, a) ∈ D × D | a ∈ D }

• [[ x1, . . . , xn |R(x1, . . . , xn) ]] = RM ⊆ Dn

• [[ x1, . . . , xn |φ ∧ ψ ]] = [[ x1, . . . , xn |φ ]] ∩ [[ x1, . . . , xn |ψ ]]

• [[ x1, . . . , xn | ¬φ ]] = Dn \ [[ x1, . . . , xn |φ ]]

• [[ x1, . . . , xn | ∃yφ ]] ={ (a1, . . . , an) ∈ Dn | (a1, . . . , an, b) ∈ [[ x1, . . . , xn, y |φ ]], b ∈ D }

19

FOL (3)

Геометрический смысл: проекция pn : Dn+1 → Dn

• если D0 = {∗} – синглетон• p0(>) = ∗• p0(⊥) = ∅

• pn(a1, . . . , an, b) = (a1, . . . , an)

• [[ x1, . . . , xn | ∃yφ ]] = pn([[ x1, . . . , xn |φ ]])• [[ x1, . . . , xn, y |ψ ]] = p−1

n ([[ x1, . . . , xn |ψ ]])

20

FOL (4)

21

Cемантика для FOS4

22

FOS4 (1)

Интерпретация:

• топологическое пространство X и пучок π : D → X – домен

• [[Ri ]] ⊆ Dn, где Dn – расслоенное произведение пучков –интерпретация n-местного реляционного символа Ri

• гомоморфизм пучков [[ fj ]] : Dn → D – интерпретацияn-местного функционального символа fj

• гомоморфизм пучков [[ ck ]] : D0 → D, D0 = X – интерпретацияконстанты ck

23

FOS4 (2)

Для каждого слоя Dp над p ∈ X функция интерпретации [[ · ]]p

• [[Ri ]]p ⊆ Dnip

• [[ fj ]]p : Dnjp → Dp

• [[ ck ]]p ∈ Dp

〈Dp, [[Ri ]]p, [[ fj ]]p, [[ ck ]]p〉i∈I ,j∈J,k∈K – прежняя структура для FOL

24

FOS4 (3)

Переход к объединению по слоям:

• [[ x1, . . . , xn |φ ∧ ψ ]] =⋃

p∈X [[ x1, . . . , xn |φ ∧ ψ ]]p =

=⋃

p∈X ([[ x1, . . . , xn |φ ]]p ∩ [[ x1, . . . , xn |ψ ]]p) =

=(⋃

p∈X [[ x1, . . . , xn |φ ]]p)∩(⋃

p∈X [[ x1, . . . , xn |ψ ]]p)=

= [[ x1, . . . , xn |φ ]] ∩ [[ x1, . . . , xn |ψ ]]

• [[ ∃yφ ]] =⋃

p∈X [[ ∃yφ ]]p = π([[ y |φ]]) ⊆ X

25

FOS4 (4)

26

FOS4 (5)

Интерпретация 2:

• [[ x1, . . . , xn |2φ ]] = intDn [[ x1, . . . , xn |φ ]]p ⊆ Dn

• [[2σ ]] = intX [[σ ]]p ⊆ X

27

FOS4 (6)

28

Спасибо!