NOC II_Uvod

Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI18/09/2011 1

NAUKA O ČVRSTOĆI II(2+1)

Predavanja: prof. dr. sc. Goran TURKALJprof. dr. sc. Josip BRNIĆ

Vježbe: asist. Edin MERDANOVIĆasist. Igor PEŠIĆ


Literatura:

• Brnić, J., Turkalj, G.: Nauka o čvrstoći II, Zigo, Rijeka, 2006.

• Alfirević, I.: Nauka o čvrstoći II, Golden marketing, Zagreb, 1999.

• Šimić, V.: Otpornost materijala II, Školska knjiga, Zagreb, 1995.

• Brnić, J., Turkalj, G.: Nauka o čvrstoći I, Sveučilište u Rijeci, Tehnički fakultet, Rijeka, 2004.

• Seed, G. M.: Strength of Materials, Saxe-Colburg Publication, Edinburgh, UK, 2000.

• Nash, W.: Strength of Materials, McGraw-Hill, New York, 1998.

• Gere, J. M.: Mechanics of Materials, Brooks/Cole–Thomson Learning, Belmont, CA, 2004.


NOČ I – osnovni oblici opterećenja:

Mt

ravno savijanje silama

3F

uvijanje (torzija)

F1 2

F

F

Mt

M

F F F

izvijanje

smicanje

F

M

F

aksijalno opterecenje

cisto ravno savijanje


NOČ I – složeni oblici opterećenja:

F

koso savijanje

x

yz

F

ekscentrično opterećenje

y

z

x

F

B

A

y0

x0

z

y

Mx

My

Mt

x

D

savijanje & uvijanje opruge = aksijalno opterećenje & savijanje & uvijanje

z'

z

x, x'

y

y'

My

MR

Mz

QN

90o

Fop

F

D

d

y

z

x

op

Fop


NOČ II – sadržaj:

• energijske metode (1)

• analiza naprezanja dinamički opterećenih konstrukcija (4)

• debelostijene posude i rotirajući diskovi (6)

• mehanika loma (7)

• kontaktna naprezanja (8)

• zakrivljeni gredni nosači (3)

• kontinuirani gredni nosači (2)

• materijalno nelinearne linijske konstrukcije (5)


VRSTA AKTIVNOSTI

ECTSiISHODI UČENJA

SPECIFIČNA AKTIVNOST METODA PROCJENJIVANJABODOVI MAX.

Pohađanje nastave 1.5 1-8

Prisutnost studenta: 75-80 % = 1 bod81-85 % = 2 boda86-90 % = 3 boda91-95 % = 4 boda96-100 % = 5 bodova

Evidencija prisutnosti na predavanjima i vježbama. 5

Laboratorijske vježbe 0.5 1, 7 Izrada 2 laboratorijske

vježbe.

Bodovi se dodjeljuju temeljem aktivnosti na vježbama. Prva vježba nosi 3 boda, a druga 2 boda. Student mora sakupiti minimalno 2 boda.

5

Kontrolne zadaće 1.5

1, 4, 6-82 obvezatne kontrolne zadaće. Na svakoj zadaći student rješava 5 zadataka.

Svaki zadatak nosi 6 bodova. 60

1, 43. kontrolna zadaća – nije obvezatna. Student rješava 4 zadatka.

Svaki zadatak nosi 5 bodova. 20(max. 60)

Završni ispit(min. 50 bodova)

1 2, 3, 5

Pismeni ispit. Student rješava 5 zadataka.

Svaki zadatak nosi 6 bodova. Student mora sakupiti minimalno 15 bodova.

30

Popravni ispit(min. 40 bodova)

Pismeni ispit. Student rješava 2 zadataka.

Svaki zadatak nosi 5 bodova. Student mora sakupiti minimalno 5 bodova, a u ukupnom zbiru mora imati minimalno 50 bodova.

10

UKUPNO 5 100


Deformacija

y

z

xAB

D C

Fn

F1

A

B

D

C

1

1

1

1

s

Oblici deformacije:

• promjena volumena (dilatacija)

• promjena oblika (distorzija)

Vektor pomaka točke A:

s i j k= + + = + +u v w u v w

��

{ }( , , )

( , , ) ( , , )

( , , )

x y z

s x y z s x y z

x y z

= =

u

v

w

�


Deformacija okoliša točke A:

• duljinske (normalne) deformacije, (dilatacija)

• promjena oblika (distorzija)

• promjena volumena

1 1x

B A

A B ABlim

ABε

→

−= 1 1

yC A

A C AClim

ACε

→

−= 1 1

zD A

A D ADlim

ADε

→

−=

( )xy yx 1 1 1B AC A

lim ABC A B Cγ γ→→

= = −∡ ∡ ( )yz zy 1 1 1C AD A

lim ACD A C Dγ γ→→

= = −∡ ∡

( )zx xz 1 1 1B AD A

lim ABD A B Dγ γ→→

= = −∡ ∡

0liml

l

lε

→

∆=

v x y z x y y z z x x y z0

limV

V

Vε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε

→

∆= = + + + + + +X X X X

male deformacije ( 1)ε ≪


Tenzor deformacije:

x xy xz

xx xy xz

ij yx yy yz yx y yz

zx zy zz

zx zy z

1 1

2 2

1 1[ ]

2 2

1 1

2 2

ε γ γε ε ε

ε ε ε ε ε γ ε γ

ε ε εγ γ ε

= = =

Cauchyjev tenzor malih deformacija:

x y z

xy yx yz zy zx xz

; ;

; ;

x y z

y x z y z x

ε ε ε

γ γ γ γ γ γ

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + = = + = = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

u v w

u v v w u w

( )jiij i,j j,i

j i

1 1

2 2x xε

∂∂= + = + ∂ ∂

uuu u

1

2

3

0 0

[ ] 0 0

0 0

ε

ε ε

ε

=

T[ ] [ ]ε ε=


Rastavljanje tenzora deformacije:

[ ] [ ]o o

ij ij ijilie eε ε ε ε = + = +

o o

ijε ε = → sferni dio tenzora deformacije

0

o

0

0

0 0

0 0

0 0

ε

ε ε

ε

=

x y z1 2 30

3 3

ε ε εε ε εε

+ ++ += = → srednja duljinska deformacije

• opisuje promjenu volumena


[ ] ije e= → devijatorski dio tenzora deformacije

• opisuje promjenu oblika

[ ] [ ]1 0

o

2 0

3 0

0 0

0 0

0 0

e

ε ε

ε ε ε ε

ε ε

− = − = − −

[ ] [ ]

x 0 xy xz

o

yx y 0 yz

zx zy z 0

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

e

ε ε γ γ

ε ε γ ε ε γ

γ γ ε ε

−

= − = − −


Naprezanje

nF

F1

F2

3F

iF

i+1F

I

II

(R)

I

(R)

n

A∆

O

nFiF

i+1F

∆F

M∆


Vektor srednjeg naprezanja naelementarnoj površini ∆A:

a

Fp

A

∆=

∆

��

Srednje naprezanje na elementarnoj površini ∆A:

a a

Fp p

A

∆= =

∆

�2

NPa

m

=

I

(R)

n

∆ FM

A∆

ap

O

∆

nFiF

i+1F

npd F

Vektor ukupnog (totalnog, punog)naprezanja u točki O:

n0

dlim

dA

F Fp

A A∆ →

∆= =

∆

� ��

Ukupno naprezanje u točki O:

( )n nPa

d

d

Fp p

A= =

�n np t=��

→ kontaktna sila(engl. traction)

Za površinske točke:


Komponente vektora naprezanja u točki O:

n n n np n tσ τ σ τ= + = ⋅ + ⋅��

2 2 2

n n np σ τ= +

I

n

np

O t(R)

Komponente vektora tangencijalnognaprezanja:

n nl nm nm nlm lτ τ τ τ τ= + = ⋅ + ⋅��

Vektor naprezanja:

n n nm nlp n m lσ τ τ= ⋅ + ⋅ + ⋅��

2 2 2 2

n n nm nlp σ τ τ= + +

nσ → normalno naprezanje

nτ → tangencijalno naprezanje

m

l

nl

nmn

n


n n n; 0p σ τ= =��

n np σ=

I

n

O t(R)

=p nn

nσ → glavno naprezanje

(R) → glavna ravnina naprezanja

n →�

glavni pravac naprezanja

n 1 n 2 n 3σ σ σ σ σ σ= = =

(1) (2) (3)n n n= = =

(1) (2) (3)⊥ ⊥


Ravnotežne jednadžbe – Navier

xx x

y

y y

zy

zy zy

d

d

d

xx

yy

zz

σσ σ

σσ σ

ττ τ

∂′ = + +

∂

∂′ = + +

∂

∂′ = + +

∂

…

…

⋮

…

Taylorov red:

{ } { }vdiv[ ] 0fσ + =

ij

i ij, j i

j

+ 0f fx

σσ

∂+ = =

∂

x

y

z

d

d

d

z

y

x

O

yxx zxx x

xy y zy

y y

yzxz zz z

0 0

0 0

0 0

F fx y z

F fx y z

F fx y z

τσ τ

τ σ τ

ττ σ

∂∂ ∂= + + + =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= + + + =

∂ ∂ ∂

∂∂ ∂= + + + =

∂→

∂

→

∂

→∑

∑

∑

yσ

yxτ

yzτ

xσxyτ

xzτ

zσ

zyτzxτ

yσ ′

yxτ ′

yzτ ′

xσ ′

xyτ ′xzτ ′

zσ ′

zyτ ′

zxτ ′

vf�


1

1

1

x xy yx

y yz zy

z zx xz

0

0

0

M

M

M

τ τ

τ τ

τ τ

→

→

= =

→

= =

= =

∑∑∑

1 1 1( , , ) ( , , )x y z x y z�

1O težište paralelopipeda≡

T[ ] [ ]σ σ=

Konjugiranost tangencijalnih naprezanja:

x

y

z

d

d

d

z

y

x

O

yσ

yxτ

yzτ

xσxyτ

xzτ

zσ

zyτzxτ

yσ ′

yxτ ′

yzτ ′

xσ ′

xyτ ′xzτ ′

zσ ′

zyτ ′

zxτ ′

vf�


Konjugiranost tangencijalnih naprezanja:


Ravnotežne jednadžbe – Cauchy

x nx x yx zx

y ny xy y zy

z nz xz yz z

0

0

0

F p l m r

F p l m r

F p l m r

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

→= = + +

= = + +

= = +

→

→ +

∑∑∑

cos

cos

cos

l

m

r

α

β

γ

=

=

=

ni ij jp nσ=

{ } { }n [ ]p nσ=

y

z

x

O

dy

d x

d z

d A

n

nxp

nyp

nzp

{ }nx

n n ny

nz

p

p p p

p

= =

�

yzτ

yσ

yxτ

zσ

zyτ

zxτ

xzτxyτ

xσ


Tenzor naprezanja:

x xy xz

ij yx y yz

zx zy z

[ ]

σ τ τ

σ σ τ σ τ

τ τ σ

= =

1

2

3

0 0

[ ] 0 0

0 0

σ

σ σ

σ

=

Osi (x, y, z) = glavni pravci naprezanja:

1 2 3, ,σ σ σ → GLAVNA naprezanja 1 2 3

σ σ σ> >


Rastavljanje tenzora naprezanja:

[ ] [ ]o o

ij ij ijiliS Sσ σ σ σ = + = +

o o

ijσ σ = → sferni dio tenzora naprezanja

[ ]0

o

0 m

0

0 0

0 0

0 0

σ

σ σ σ

σ

= =

x y z1 2 30

3 3

σ σ σσ σ σσ

+ ++ += = → srednje normalno naprezanje


0σ σ= − → hidrostatički tlak

zd

yd

xd


[ ] ijS S= → devijatorski dio tenzora naprezanja

[ ] [ ]1 0

o

2 0

3 0

0 0

0 0

0 0

S

σ σ

σ σ σ σ

σ σ

− = − = − −

[ ] [ ]x 0 xy xz

o

yx y 0 yz

zx zy z 0

S

σ σ τ τ

σ σ τ σ σ τ

τ τ σ σ

−

= − = − −


Vrste naprezanja:

• normalno (vlačno ili tlačno)

• tangencijalno (posmično, smično)

Klasifikacija naprezanja

Prema složenosti naprezanja:

• osnovno stanje

• složeno satnje

Prema glavnim naprezanjima:

• linearno ili jednoosno

• ravninsko ili dvoosno

• prostorno ili troosno


Osnovno stanje naprezanja:

x

y

x x

xy=yx

xy

d d x

d

d y

x

z

dy

d z

z

- aksijalno opterećenje, čisto savijanje (samo normalno naprezanje):

- čisto uvijanje, smicanje (samo tangencijalno naprezanje):

max dopσ σ≤

max dopτ τ≤

Dimenzioniranje prema kriteriju čvrstoće (KČ):

jednoosno stanje naprezanja čisto smicanje


Složeno stanje naprezanja:

yx

xy

zd

yd

xd

xz

y

yx

xy

zd

yd

xd

yz

zy

zx

xz

x

z

x x

y

y y

dvoosno stanje naprezanja troosno stanje naprezanja

Tenzor naprezanja:

x xy

ij

yx y

[ ]σ τ

σ στ σ

= =

x xy xz

ij yx y yz

zx zy z

[ ]

σ τ τ

σ σ τ σ τ

τ τ σ

= =


zd

yd

xd

zd

yd

xd

2

31

1 1

2

2

1

2

3

Složeno stanje naprezanja:

Tenzor naprezanja:

1

ij

2

0[ ]

0

σσ σ

σ

= =

1

ij 2

3

0 0

[ ] 0 0

0 0

σ

σ σ σ

σ

= =

dvoosno stanje naprezanja troosno stanje naprezanja


Kriteriji dimenzioniranja kod složenog stanja naprezanja?

duktilni materijali

Hipoteze o tečenju(plastifikaciji) i

lomu materijala

Teorije (hipoteze) čvrstoće

Teorije čvrstoće:

kriteriji tečenja (engl. yielding criteria)

krhki materijali kriteriji loma (engl. failure criteria)

Teorije čvrstoće nastoje predvidjeti pojavu kritičnog stanja u točkinapregnuta tijela kod složenog stanja naprezanja.

Kritično stanje = pojava loma ili trajnih (plastičnih) deformacija.


Kriterij dimenzioniranja kod složenog stanja naprezanja:

ekv dopσ σ≤

SLOŽENO STANJE

NAPREZANJA

JEDNOOSNO STANJE

NAPREZANJA

ekvσ → ekvivalentno (efektivno, reducirano normalno) naprezanje

dopσ → dopušteno normalno naprezanje:

T Mdop dop

T M

ilif f

σ σσ σ= =


Granica tečenja (granica plastičnosti, granica razvlačenja, yield stress):

T Y y ef Rνσ σ σ= = = =

Tehnička (konvencionalna) granica tečenja:

T 0.2 p 0.2Rσ σ= = →

Vlačna čvrstoća (ultimate tensile stress):M u m

f Rσ = =

T

P

Opl

T

=0,002 (0,2 %)

pR – proof stress


- teorija najvećeg normalnog naprezanja (Rankine):

- teorija najveće duljinske deformacije (Saint-Venant):

- teorija najvećeg tangencijalnog naprezanja (Tresca):

- teorija najveće distorzijske energije (von Mises, HMH):

Ekvivalentno naprezanje:

( )ekv max 1 2 3 dopmax , ,σ σ σ σ σ σ= = ≤

( ) dop

max 1 2 3 dopmax , ,

E

σε ε ε ε ε= ≤ = ( )ekv i j k dop

i j kmaxσ σ ν σ σ σ

≠ ≠= − + ≤

( ) dop

max I II III dopmax , ,

2

στ τ τ τ τ= ≤ = ekv i j dop

i jmaxσ σ σ σ

≠= − ≤

0d 0d, dop≤U U ( ) ( ) ( )2 22

ekv 1 2 2 3 3 1 dop

1

2σ σ σ σ σ σ σ σ = − + − + − ≤


Hookeov zakon – izotropan materijal:

( )( )

( )( )

( )( )

xy

x x x x x y z xy xy

y

x y z

x y z z

y y y y y x z yz yz

zxz z z z z x y zx z

x y z

x

2 11,

2 11,

2 11,

E G E

E G E

E G E

τ νε ε ε ε σ ν σ σ γ τ

τ νε ε ε ε σ ν σ σ γ τ

ντε ε ε ε σ ν σ σ γ τ

+ = + + = − + = =

+ = + + = − + = =

+ = + + = − + = =

( )( )( ) ( )[ ]

( )

( )( )( ) ( )

( )

( )( )( ) ( )

( )

x x x z xy xy xy

y y x z yz yz yz

z z x y zx zx zx

1 ,1 1 2 2 1

1 ,1 1 2 2 1

1 ,1 1 2 2 1

E Ev v G

v v

E Ev v G

v v

E Ev v G

v v

σ ε ε ε τ γ γν



= − + + = =+ − +

= − + + = = + − +

= − + + = = + − +


Vektorski zapis tenzora naprezanja i tenzora deformacije:

{ } { }

x x

y y

z z

ij ij

xy xy

yz yz

zx zx

ε σ

ε σ

ε σε ε σ σ

γ τ

γ τ

γ τ

= = = =

{ } [ ]{ } { } [ ]{ },S Cε σ σ ε= =

Hookeov zakon – matrični zapis:

ij ijkl kl ij ijkl kl,S Cε σ σ ε= =

Hookeov zakon – indeksni zapis:

[ ] [ ] 1S C

−⇒ =


[ ]ijklS S= → tenzor podatljivosti

[ ]( )

( )

( )

10 0 0

10 0 0

10 0 0

2 10 0 0 0 0

2 10 0 0 0 0

2 10 0 0 0 0

E E E

E E E

E E ES

E

E

E

ν ν

ν ν

ν ν

ν

ν

ν

− −

− − − − = +

+

+

Izotropan materijal:


[ ]ijklC C= → tenzor elastičnosti (tenzor elastičnih konstanti)

[ ]( )( )

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 20 0 0 0 0

21 1 21 2

0 0 0 0 02

1 20 0 0 0 0

2

vEC

v vv

v

ν ν ν

ν ν ν

ν ν ν

− −

−

− = + − −

−

Izotropan materijal:


Duhamel-Neumanov zakon (Hookeov zakon) – izotropan materijal:

( )

( )

( )

x x x x y z

y y y y x z

z z z z x y

1

1

1

T

T

T

TE

TE

TE

σ

σ

σ

ε ε ε σ ν σ σ α



= + = − + + ∆

= + = − + + ∆

= + = − + + ∆

( )

( )

( )

xy

xy xy

yz

yz yz

zxzx zx

2 1

2 1

2 1

G E

G E

G E

τ νγ τ

τ νγ τ

ντγ τ

+= =

+= =

+= =

Documents

NOC II_Uvod