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Calculo

1. Nociones basicas

Oct, 2007

Nociones basicasNumeros complejosFunciones reales de variable realValor absolutoFunciones polinomicas y racionalesFuncion exponencial y logartmicaFunciones trigonometricasFunciones trigonometricas inversasLmitesContinuidadDerivacion de funciones reales de variable real

Conjuntos de numeros

IN ZQ IR CDensidad de Q en IR: dados a,b IR, a< b, existe q Q t.q. a< q< bSea un subconjunto A IR, A 6= .DefinicionDecimos que s IR es cota superior de A si:

x s, x A

En este caso, decimos que A esta acotado superiormente

I De manera analoga, se dice que i IR es cota inferior del conjunto A sii x, x A, y decimos que A esta acotado inferiormente

I Si un subconjunto de IR esta acotado superior e inferiormente, lollamamos acotado

I Las cotas superior e inferior no son necesariamente unicas

Conjuntos de numeros

DefinicionDecimos que s IR es supremo de A si s es cota superior de A y cualquierotra cota superior, s , de A verifica: s s . Decimos que i IR es nfimo de Asi i es cota inferior de A y cualquier otra cota inferior, i , de A verifica: i iI El supremo e nfimo de A se representan por sup(A) e nf(A), resp.I Si, ademas, pertenecen al propio conjunto A, se les llama maximo y

mnimo:sup(A) A = sup(A) =max(A)nf(A) A = nf(A) =mn(A)

Axioma del supremo. Sea A un subconjunto de IR no vaco y acotadosuperiormente. Entonces existe sup(A)

Numeros complejosDefinicionEl conjunto de los numeros complejos es

C= {a+bi / a,b IR},

donde i=1 es la unidad imaginaria.

En C operaremos de la siguiente manera:I (a+bi)+(c+di) = (a+ c)+(b+d)iI (a+bi) (c+di) = (acbd)+(ad+bc)i

Distintas representaciones de un numero complejo z:

a+ ib= (a,b) = |z||z|=a2+b2 es el modulo, o distancia al origen [0,2pi) se denomina argumento

Propiedades:I Sea a IR; entonces a= a+0i C. Podemos considerar IR CI Todo polinomio p(x) = anxn+an1xn1+ ...+a1x+a0 (ai C) tiene

n races en C

Funcion real de variable real

Sea A IRDefinicionLa correspondencia f : A IR es una funcion si a cada x A lecorresponde una unica imagen f (x) IRLlamamos:I dominio: D(f ) = {x/ existe f (x)}= {x/f (x) IR}I imagen: Im (f ) = {y IR/y= f (x) para algun x IR}

DefinicionDecimos que f es una funcion acotada si su imagen es un conjunto acotado(respectivamente, hablaremos de funcion acotada inferiormente y/o acotadasuperiormente).

Funcion real de variable real

Sea f : A IR una funcion real de variable real.DefinicionSea B A. f es creciente en B si

x1 < x2 = f (x1) f (x2) , x1,x2 B

I Analogamente se define funcion estrictamente creciente, decrecientey estrictamente decreciente

DefinicionDecimos que f es inyectiva si:

x1 6= x2 = f (x1) 6= f (x2)

Funcion real de variable real. SimetrasDefinicionDecimos que una funcion f es par si f (x) = f (x), y decimos que es imparsi f (x) =f (x)

Funcion par Funcion impar

NotaEl nombre proviene de los monomios fundamentales. Los monomios conexponente par (x2, x4, x6,...) tienen simetra par y los monomios conexponente impar (x, x3, x5,...) tienen simetra impar.

Funcion real de variable real. Periodicidad

DefinicionSea f : R R. Diremos que f es periodica, con perodo T si

f (x) = f (x+T), x R.

El ejemplo mas clasico de funciones periodicas son las funcionestrigonometricas.Si sabemos que una funcion tiene un perodo T nos sera suficiente conrepresentarla en [0,T]. Despues se repetira.

T

Composicion de funciones

DefinicionSean f : A R R, g : B R R, con f (A) B. Definimos la funcioncompuesta g f (se lee f compuesta con g) a la funcion

g f : A R Rx A (g f )(x) := g(f (x)) .

x A f f (x) g g(f (x)) .

Funcion inversaDefinicionSea f : A R R una funcion inyectiva. Existe una unica funcionh : im f R tal que h(f (x)) = x, x A.Esta funcion se denomina inversa de f y suele denotarse como f1.

Es decir, f1 f = Id. Ademas, en este caso se verifica que la composicion esconmutativa, es decir, que f f1 = Id (la funcion Id es la funcion identidad,es decir, Id(x) = x, x R).

x

y= f1(x)

No se debe pensar que f1 = 1f !La forma practica de calcular una funcion inversa es despejar la x en funcionde la y (es decir, de f (x)) e intercambiar sus papeles.

Valor absolutoSea x IRDefinicionLlamamos valor absoluto de x a la cantidad:

|x|={ x, si x< 0,

x, si x 0.

DefinicionSean x, y R. Definimos la distancia entre estos dos puntos como

d(x,y) := |x y|.

Valor absoluto

PropiedadSean x,y IRI |x| 0I |x|= 0 x= 0I |x+ y| |x|+ |y| (desigualdad triangular)I |xy|= |x| |y|,

xy= |x||y| .

I Si C > 0, |x| C C |x| x |x| C

Funciones polinomicas

Las funciones polinomicas son funciones del tipo

p(x) = anxn+an1xn1+ ...+a1x+a0,

con a0, a1, ..., an R, y an 6= 0.

Diremos queI grado del polinomio es n,I coeficiente principal es an.

Ejemplos de polinomios son1. p1(x) = 5x34x+2,2. p2(x) = 8x3

2,

3. p3(x) = pix4+2x33x.El dominio de una funcion polinomica es siempre R, mientras que suimagen vara en cada caso.

Funciones racionales

Las funciones racionales son cocientes de funciones polinomicas, es decir,

f (x) =p(x)q(x)

.

Ejemplos de funciones racionales son

1. f1(x) =5x34x+28x32 ,

2. f2(x) =1

x3+2.

El dominio de estas funciones son todos los reales, excepto aquellos queanulen el denominador,

Dom f = R{x R : q(x) = 0} ,

mientras que su imagen vara en cada caso.

Funcion exponencialSea a> 0. Definimos la funcion exponencial de base a como

f (x) = ax.Siempre que a 6= 1,I Dom f = R,I Im f = (0,+),I f (0) = a0 = 1.

1. a< 1. En este caso,I f (x) = ax es una funcion estrictamente decreciente,

x< y ax > ay,I lm

xax =+,

I lmx+a

x = 0.

2. a> 1. En este caso,I f (x) = ax es una funcion estrictamente creciente,

x< y ax < ay,I lm

xax = 0,

I lmx+a

y =+.

Funcion exponencial

4 2 0 2 40

2

4

6

8

10

12

14

162x

0.5x

El caso mas importante es la funcion f (x) = ex (recordemos quee= 2,7182818...). A esta funcion es a la que se suele conocer, por defecto,como funcion exponencial.

Propiedadi) ax+y = axay, x,y R,ii) (ax)y = axy, x,y R,iii) ax =

1ax

x R (consecuencia de la anterior propiedad).

Funcion logartmicaEs la inversa de la funcion exponencial.

DefinicionDado a> 0, a 6= 1, decimos que y es el logaritmo en base a de x si ay = x,

y= loga(x) : ay = x.

PropiedadPara cualquier valor de a,I el dominio de la funcion logaritmo lo forman los numeros positivos

(Dom log= (0,+)),I la imagen es todo R,I loga(1) = 0.

Propiedad

i) loga (xy) = loga (x)+ loga (y) , x,y R,ii) loga (x

y) = y loga (x) , x,y R,iii) loga

(xy

)= loga (x) loga (y) x,y R, y 6= 0.

Funcion logartmica1. a< 1. En este caso,

I f (x) = loga(x) es una funcion estrictamente decreciente,

x< y loga(x)> loga(y),I lm

x0+loga(x) = +,

I lmx+ loga(x) =.

2. a> 1. En este caso,I f (x) = loga(x) es una funcion estrictamente creciente,

x< y loga(x)< loga(y),I lm

x0+loga(x) =,

I lmx+ loga(y) = +.

0 1 2 3 46

4

2

0

2

4

6log2(x)log0.5(x)

Funcion logartmica

0 1 2 3 46

4

2

0

2

4

6log2(x)log0.5(x)

El logaritmo mas importante es el que tiene como base el numero e,f (x) = loge(x). Se denomina logaritmo neperiano, y suele denotarse porln(x) o, simplemente, log(x). Cualquier otro logaritmo se puede expresar enfuncion del ln mediante la formula

loga (x) =ln(x)ln(a)

.

Funciones trigonometricas

Funcion senoLa funcion f (x) = sin(x), verificaI su dominio es todo R,I su imagen es [1,1],I es una funcion impar,I es una funcion periodica con perodo 2pi .

10 5 0 5 10

0.80.60.40.2

00.20.40.60.8

sen(x)


Funcion cosenoLa funcion f (x) = cos(x), verificaI su dominio es todo R,I su imagen es [1,1],I es una funcion par,I es una funcion periodica con perodo 2pi .

10 5 0 5 10

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

cos(x)


El seno y el coseno pueden entenderse como las longitudes de lasproyecciones sobre los ejes del angulo, en radianes, dibujado sobre lacircunferencia de radio unidad.

sin(x)

cos(x)

x

1

Propiedad

I sin2(x)+ cos2(x) = 1 x,I sin(x+ y) = sin(x)cos(y)+ cos(x)sin(y),I cos(x+ y) = cos(x)cos(y) sin(x)sin(y).

Funciones trigonometricasDefinimos la funcion tangente como

tan(x) :=sin(x)cos(x)

.

El dominio de esta funcion lo forman todos los puntos de R en los que elcoseno no se anule, es decir,

Dom tan= R{pi2+ kpi : k Z

},

mientras que su imagen es todo R. Ademas, es una funcion impar yperiodica, con perodo pi .

6 4 2 0 2 4 6

6

4

2

0

2

4

6

tan(x)


Otras funciones trigonometricas

I Cosecante, cosec(x) :=1

sin(x),

I Secante, sec(x) :=1

cos(x),

I Cotangente, cotan(x) :=1

tan(x).

Funciones trigonometricas inversas

Funcion arco-senoEs la inversa de la funcion seno. Como esta no es una funcion inyectiva,restringimos su dominio, quedandonos con el seno definido solo en elintervalo [pi2 , pi2 ].

Definimos entonces la funcion arco-seno, arcsin(x), como la funcion que,dado un x [1,1], le asocia el unico y en [pi2 , pi2 ].

x

y= asin(x)


Funcion arco-seno

Por tanto la funcion arcsin(x) tiene como dominio el intervalo [1,1] ycomo imagen el [pi2 , pi2 ]. Es una funcion impar.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

asin(x)


Funcion arco-cosenoEs la inversa de la funcion coseno. En este caso, restringimos el dominiopara quedarnos con el coseno definido en el intervalo [0,pi].

Definimos entonces la funcion arco-coseno, arccos(x), como la funcion que,dado un x [1,1], le asocia el unico y en [0,pi] tal que x= cos(y).

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

acos(x)


Funcion arco-tangenteEs la inversa de la funcion tangente. Restringimos su dominio al intervalo(pi2 , pi2 ).Definimos entonces la funcion arco-tangente, arctan(x), como la funcionque, dado un x R, le asocia el unico y en (pi2 , pi2 ) tal que x= tan(y).

y= arctan(x)

x

Funciones trigonometricas inversasFuncion arco-tangente

Por tanto la funcion arctan(x) tiene como dominio todo R y como imagen elintervalo

(pi2 , pi2 ). Es una funcion impar.

4 3 2 1 0 1 2 3 4

1

0

1

atan(x)

Definicion de lmite. Introduccion

Figura: Eligiendo x en el intervalo azul, f (x) estara en el verde

Figura: Si x esta en el intervalo azul, f (x) esta dentro del rectangulo verde

Lmite de una funcion en un punto

Sea f : (a,b) IRDefinicionDecimos que ` IR es lmite de f en x0 (a,b) si:

> 0, > 0 tal que 0< |x x0|< = |f (x) `|<

Se representa por lmxx0

f (x) = `

PropiedadEl lmite de una aplicacion en un punto, si existe, es unico.

PropiedadSupongamos que lm

xx0f (x) = `1 y lmxx0

g(x) = `2. Entonces,

I lmxx0

(f (x)+g(x)) = `1+ `2

I lmxx0

(f (x)g(x)) = `1 `2

I lmxx0

(f (x)g(x)

)=

`1`2

si `2 6= 0

Lmites laterales

DefinicionI Diremos que el lmite de f , cuando x se acerca a x0 por la derecha, es l

si

lmxx+0

f (x)= l :[ > 0, > 0

/0< x x0 < = |f (x) l|<

].

I Diremos que el lmite de f , cuando x se acerca a x0 por la izquierda, esl si

lmxx0

f (x)= l :[ > 0, > 0

/0< x0 x< = |f (x) l|<

].

Lmites laterales

x0 x0

Lmite por la derecha Lmite por la izquierda

PropiedadExiste lm

xx0f (x) si y solo si existen lm

xx+0f (x) y lm

xx0f (x) y son iguales.

Lmites infinitos

DefinicionI lm

xx0f (x) =+ :

[M > 0, > 0

/0< |x x0|< f (x)>M

],

I lmxx0

f (x) = :[M > 0, > 0

/0< |x x0|< f (x)

Lmites en el infinito

DefinicionI lm

x+ f (x) = l :[ > 0,M > 0

/x>M |f (x) l|<

],

I lmx f (x) = l :

[ > 0,M > 0

/x

Decimos que la funcion f tiene:I una asntota horizontal en y= l si: lm

x f (x) = l

I una asntota vertical en x= x0 si: lmxx0f (x) =

I una asntota oblicua si lmx (f (x) (mx+n)) = 0.

Para calcular m y n: m= lmx

f (x)x

y n= lmx (f (x)mx);

la ecuacion de la asntota es: y= mx+n

Continuidad

Sea f : (a,b) IR, x0 (a,b)DefinicionDecimos que la aplicacion f es continua en x0 si y solo si:

> 0, > 0 tal que |x0 x|< = |f (x0) f (x)|<

o bien, teniendo en cuenta la definicion de lmite, si lmxx0

f (x) = f (x0)

En caso de no cumplir la condicion anterior, decimos que f es discontinuaen x0. Las discontinuidades pueden ser de varios tipos:I evitable: lm

xx0f (x) 6= f (x0)

I esencial: no existe el lmite de f en x0, porque:I lm

xx0f (x) 6= lm

xx+0f (x)

I alguno de los lmites laterales (o ambos) no existe

PropiedadSi f ,g : (a,b) IR son funciones continuas en x0 (a,b),I f es continua en x0, R,I (f g) y (f g) son continuas en x0,I si g(x0) 6= 0, entonces fg es continua en x0.

PropiedadLa composicion de funciones continuas es una funcion continua. Ademas, sif y g son funciones tales que lm

xx0f (x) = ` y g es continua en `, entonces

lmxx0

g(f (x)) = g(`)

PropiedadEl lmite conmuta con las funciones continuas. Es decir, sean f y g funcionestales que existe lm

xx0f (x) = l R y g es una funcion continua en l. Entonces

lmxx0

g(f (x)) = g(lmxx0

f (x))= g(l).

Continuidad en intervalos

DefinicionSea f : (a,b) R R. Diremos que f es continua en (a,b) si es continuaen todos los puntos de (a,b).

DefinicionSea f : [a,b] R R. Diremos que f es continua en [a,b] si1. f es continua en (a,b),2. f es continua en a por la derecha,3. f es continua en b por la izquierda.

Teorema de Bolzano

Teorema (de Bolzano)Sea f : [a,b] IR continua. Supongamos que f (a)f (b)< 0. Entoncesx0 (a,b) tal que f (x0) = 0

Teorema de Bolzano. Comentarios1. Pueden existir varias races,

ba

2. Si se suprime alguna de las hipotesis, el teorema no es valido (engeneral),

f (a)f (b)> 0 f no continua en [a,b]

a b a b

Teorema de Weierstrass

Teorema (de Weierstrass)Si f : [a,b] IR es continua, entonces f alcanza el maximo y el mnimo enel intervalo [a,b], es decir, existen x1,x2 [a,b] tales que:

f (x1) f (x) f (x2) , x [a,b]

Derivada. IntroduccionRecordemos la definicion de pendiente de una recta:

y0

y1

x1x0

Pendiente= m= tan =y1 y0x1 x0

Y ahora consideremos las pendientes de las rectas secantes a una funcion, loque, en el lmite, sera la definicion de derivada:

x0 x0 +h

f (x0 +h)f (x0)

h 0x0

f (x0)

tan =f (x1) f (x0)

x1 x0 tan =f (x0 +h) f (x0)

h

x x0

f (x)

x

Definicion de derivada

Sea f : (a,b) IRDefinicionSe dice que f es derivable en el punto x0 (a,b) si existe el siguiente lmite:

lmxx0

f (x) f (x0)x x0 = lmh0

f (x0+h) f (x0)h

en cuyo caso dicho lmite se representa por f (x0).

Definicion de derivada. Observaciones

1. Vemos la utilidad de no incluir el punto x0 (en este caso, el punto h= 0)

en la definicion de lmite. En la expresion lmh0

f (x0+h) f (x0)h

no

podemos hacer nada si h= 0, ya que tendramos una division entre 0.

2. El cociente f (x)f (x0)xx0 mide la variacion de la funcion respecto a lavariacion de la variable. Por ese motivo a f (x0) se le denomina, enocasiones, coeficiente de variacion de f , o razon de cambio de lafuncion f , en el punto x0.

3. Ahora ya podemos calcular la ecuacion de la recta tangente utilizandola formula punto-pendiente,

y y0 = m(x x0) = y= y0+m(x x0) .

En este caso, (x0,y0) = (x0, f (x0)), m= f (x0). Y la recta tangente,

y= f (x0)+ f (x0)(x x0) .

Derivadas laterales

DefinicionSea f : (a,b) R, x0 (a,b). DefinimosI derivada por la izquierda de f en x0 como

f (x0 ) := lmh0f (x0+h) f (x0)

h,

I derivada por la derecha de f en x0 como

f (x+0 ) := lmh0+f (x0+h) f (x0)

h.

PropiedadSea f : (a,b) R, x0 (a,b). f es derivable en x0 si y solo si es derivablepor la izquierda y por la derecha en x0 y ambas derivadas coinciden.

Derivable continua

PropiedadSi f es derivable en x0, entonces f es continua en x0. El recproco no siemprees cierto.

Consecuencia: Si f no es continua en x0 entonces f no puede ser derivableen x0.

Recuerda:I Derivable en x0 continua en x0I No continua en x0 no derivable en x0

Derivadas elementales

.ddx

xn = nxn1,

.ddx

logx=1x,

ddx

loga x=1xloga e,

.ddx

ex = ex,ddx

ax = ax loga,

.ddx

sinx= cosx,ddx

cosx=sinx,

.ddx

tanx=1

cos2 x,

.ddx

arcsinx=1

1 x2 , arccosx=11 x2 ,

.ddx

arctanx=1

1+ x2.

Propiedades aritmeticas de la derivadaPropiedadSean f ,g : (a,b) R, dos funciones derivables en un punto x0 (a,b).EntoncesI para cualquier R, la funcion f es derivable en x0 y

( f ) (x0) = f (x0),

I f g es derivable en x0 y

(f g) (x0) = f (x0)g(x0),I fg es derivable en x0 y

(fg) (x0) = f (x0)g(x0)+ f (x0)g(x0),

I si g(x0) 6= 0, entonces fg es derivable en x0 y(fg

)(x0) =

f (x0)g(x0) f (x0)g(x0)g(x0)2

.

Regla de la cadenaSean f y g dos funciones tales que f es derivable en x0 y g es derivable enf (x0). Entonces (g f ) es derivable en x0 y

(g f ) (x0) = g (f (x0)) f (x0)

Derivacion implcitaSe trata de calcular el valor de dydx a partir de expresiones de la formaF(x,y) = 0. Para hacerlo debemos tener en cuenta que al derivar unaexpresion que dependa de y debemos derivar de la forma ordinaria y anadiral final dydx = y

.

Derivacion logartmicaPara obtener la expresion de y a partir de formulas como

y= f (x)g(x),

tomaremos logaritmos, logy= g(x) log(f (x)), y despues aplicaremosderivacion implcita para obtener

y = f (x)g(x)(g(x) log(f (x))+

g(x)f (x)f (x)

).

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