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NOMBRE DEL ALUMNO:________________________________________________
GRUPO _________________________ SEMESTRE_________________________
UNIDAD 1 1. NOCIONES Y CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA.
De estos diagramas se derivan varios conceptos que deben ser definidos:
Estadística: Ciencia de recolectar, organizar, describir e interpretar datos. La estadística se
divide a su vez en estadística descriptiva e inferencial. La estadística descriptiva se encarga
de recoger, almacenar, ordenar, realizar tablas o gráficos y calcular parámetros básicos sobre
el conjunto de datos.
La estadística inferencial se presenta cuando a partir de una muestra significativa se deducen
(infieren) propiedades o características de interés de una población. La inferencia siempre se
realiza en términos aproximados y declarando un cierto nivel de confianza.
Población: Es la colección, o conjunto, de individuos, objetos o eventos cuyas propiedades
serán analizadas.
Muestra: Es un subconjunto de la población.
Variable: Característica de interés sobre cada elemento individual de una población o muestra.
Variable cualitativa o de atributos: Variable que clasifica o describe un elemento de una
población. Las operaciones aritméticas, como sumar y obtener promedios no son significativas
para datos que resultan de una variable cualitativa.
Variable cuantitativa o numérica: Variable que cuantifica un elemento de una población. Las
operaciones aritméticas, como sumar y obtener promedios si son significativas para datos que
resultan de una variable cuantitativa.
Dato: Valor de la variable asociada a un elemento de una población o muestra. Este valor
puede ser un número, una palabra o un símbolo.
Datos: Conjunto de valores recolectados para la variable de cada uno de los elementos que
pertenecen a la muestra.
Experimento: Actividad planeada cuyos resultados producen un conjunto de datos.
Parámetro: Valor numérico que resume todos los datos de una población completa.
Estadístico: Valor numérico que resume los datos de la muestra.
La probabilidad juega un papel muy importante en la estadística, pues proporciona las bases
para realizar inferencias sobre los estadísticos y parámetros de la población a partir del análisis
de una muestra (estadística descriptiva), así como para realizar inferencias sobre el
comportamiento de la población en el futuro (estadística inferencial).
El término probabilidad proviene de lo probable, o sea, de aquello que es más posible que
ocurra, y se entiende como el mayor o menor grado de posibilidad de que un evento aleatorio
ocurra, expresado en una cifra entre 1 (posibilidad total) y 0 (imposibilidad absoluta), o bien en
porcentajes entre el 100% o el 0%, respectivamente.
Para obtener la probabilidad de un suceso, generalmente se determina la frecuencia con la
que ocurre (en experimentos aleatorios bajo condiciones estables), y se procede a realizar
cálculos teóricos. Para ello se sigue lo establecido por la Teoría de la probabilidad, una rama
de las matemáticas dedicada al estudio de la probabilidad. Esta disciplina es largamente
empleada por otras ciencias naturales y sociales como disciplina auxiliar, ya que les permite
manejar escenarios posibles en base a generalizaciones.
El origen de la probabilidad reside en la necesidad del ser humano de anticiparse a los hechos,
y de predecir en cierta medida el futuro. Así, en su empeño por percibir patrones y conexiones
en la realidad, se enfrentó constantemente al azar, o sea, a lo que carece de orden.
Ejemplo:
Un estudiante de estadística está interesado en determinar algo sobre el promedio del valor
en dólares de los automóviles que pertenecen al cuerpo docente de nuestra universidad. Cada
uno de los términos descritos pueden identificarse en esta situación:
1. La población es la colección de todos los automóviles que pertenecen a todos los
miembros del cuerpo docente de la universidad.
2. Una muestra es cualquier subconjunto de esa población. Por ejemplo, una muestra
serían los automóviles que pertenecen a los profesores del departamento de matemáticas.
3. La variable es el “valor en dólares” de cada automóvil individual.
4. Un dato podría ser el valor en dólares de un automóvil en particular. El automóvil del
señor Sánchez, por ejemplo, está valuado en 9400 dólares.
5. Los datos serían el conjunto de valores que corresponden a la muestra obtenida
(9400,8700, 15950, …).
6. El experimento serían los métodos aplicados para seleccionar los automóviles que
integren la muestra y determinar el valor de cada automóvil de la muestra. Podría efectuarse
preguntando a cada miembro del departamento de matemáticas, o de otras formas. (Es el
cómo se va a llevar a cabo).
7. El parámetro sobre el que se está buscando información es el valor “promedio” de todos
los automóviles de la población.
8. El estadístico que se encuentre es el valor “promedio” de todos los
automóviles de la muestra.
Ejercicios:
1. Relaciona las columnas según los conceptos y proposiciones dadas:
1) Probabilidad Valor numérico que resume todos los datos de una población completa.
2) Estadística Descriptiva
Conjunto de valores recolectados para la variable de cada uno de los elementos
que pertenecen a la muestra.
3) Estadística Inferencial Actividad planeada cuyos resultados producen un conjunto de datos.
4) Población
Se refiere a la posibilidad de que ocurra un suceso aleatorio, se cuantifica entre
cero y uno.
5) Muestra
Son aquellas que pueden tomar solo algún valor dentro de un intervalo y se
expresa en números enteros.
6) Datos
Son las que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo y se expresa con
cualquier valor decimal.
7) Experimento
Disciplina que se encarga de recoger, almacenar, ordenar, realizar tablas o
gráficos y calcular parámetros básicos sobre el conjunto de datos.
8) Variables Discretas Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico.
9) Variables Continuas
Estadística que busca deducir y sacar conclusiones acerca de situaciones
generales más allá del conjunto de datos obtenidos.
10) Parámetro Es un subconjunto de la población.
2. Identifica las siguientes expresiones como ejemplos de variables 1) de atributos
(Cualitativas) o 2) numéricas (Cuantitativas)
• La resistencia a la rotura de un tipo de cuerda dado.
• El color del cabello de los niños que se presentan a una audición para la revista
musical Annie.
• El número de señales de alto que hay en poblaciones con menos de quinientos
habitantes.
• Si un grifo es o no defectuoso.
• El número de reactivos contestados correctamente en una
prueba estandarizada.
• El tiempo necesario para contestar una llamada telefónica en cierta oficina de bienes
raíces.
2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: TABLAS Y GRÁFICAS PARA ORDENAR DATOS.
PARA DATOS CUALITATIVOS: DIAGRAMAS DE PASTEL Y GRAFICAS DE BARRAS
Los diagramas de pastel muestran la cantidad de datos que pertenecen a cada categoría como
una parte proporcional de un círculo. El diagrama de pastel se usa para resumir datos de
atributo. Se representan cantidades en porcentajes:
Las gráficas de barras muestran la cantidad de datos que pertenecen a cada categoría como
áreas rectangulares de tamaño proporcional.
DIAGRAMA DE PARETO: Gráfica de barras con estas dispuestas de la categoría más
numerosa a la menos numerosa. Incluye una gráfica hecha a base de rectas que muestra los
porcentajes acumulados y la cantidad de datos representada por cada barra. Su mayor uso es
en el área de control de calidad.
El Principio de Pareto o la regla del 80/20 fue descubierto por Vilfredo Pareto, quién observó
que, en Italia, el 20 por ciento de la población poseía el 80 por ciento de la propiedad.
Aunque no hay que tomar los números 80 y 20 literalmente (también puede ser 60 y 40), se
puede observar el principio de Pareto en muchas situaciones. En muchas empresas, el 80%
de la facturación viene de solo 20% de los clientes y los departamentos técnicos saben que un
20% de los usuarios causan el 80% de los problemas.
Por lo que reconociendo el 20% de los problemas se pueden solucionar el 80 % del total.
Ejemplo: Un fabricante de accesorios plásticos desea analizar cuáles son los defectos más
frecuentes que aparecen en las unidades al salir de la línea de producción. Para esto, empezó
por clasificar todos los defectos posibles en sus diversos tipos:
Tipo de defecto Detalle del problema
Mal color El color no se ajusta a lo requerido por el cliente
Fuera de medida Ovalización mayor a la admitida
Mal terminación Aparición de rebabas
Rotura El accesorio se quiebra durante la instalación
Desbalanceo El accesorio requiere contrapesos adicionales
Aplastamiento El accesorio se aplasta durante la instalación
Incompleto Falta alguno de los insertos metálicos
Mal alabeo Nivel de alabeo no aceptable
Otros Otros defectos
Posteriormente, un inspector revisa cada accesorio a medida que sale de producción
registrando sus defectos de acuerdo con dichos tipos. Al finalizar la jornada, se obtuvo una
tabla como esta:
Tipo de
defecto
Detalle del
problema
Frec. Frec.% Frec.
Acumul. %
Aplastamiento El accesorio se aplasta durante la instalación
40 42.6 % 42.6 %
Rotura El accesorio se quiebra durante la instalación
35 37.2 % 79.8 %
Fuera de medida
Ovalización mayor a la admitida
8 8.5 % 88.3 %
Mal color El color no se ajusta a lo requerido por el cliente
3 3.2 % 91.5 %
Mal alabeo Nivel de alabeo no aceptable
3 3.2 % 94.7%
Mal terminación
Aparición de rebabas 2 2.1 % 96.8 %
Incompleto Falta alguno de los insertos metálicos
2 2.1 % 98.9 %
Desbalanceo El accesorio requiere contrapesos adicionales
1 1.1 % 100 %
Otros Otros defectos 0 0 % 100 %
TOTAL 94 100 %
La tercera columna muestra el número de accesorios que presentaban cada tipo de defecto,
es decir, la frecuencia con que se presenta cada defecto. En lugar de la frecuencia numérica
podemos utilizar la frecuencia porcentual, lo cual se indica en la cuarta columna. En la última
columna se escribe el porcentaje acumulado.
Para hacer más evidente los defectos que aparecen con mayor frecuencia hemos ordenado
los datos de la tabla en orden decreciente de frecuencia. Vemos que la categoría “otros”
siempre debe ir al final, sin importar su valor. De esta manera, si hubiese tenido un valor más
alto, igual debería haberse ubicado en la última fila. Podemos ahora representar los datos en
un histograma como el siguiente:
Ahora resulta evidente cuales son los tipos de defectos más frecuentes. Podemos observar
que los 2 primeros tipos de defectos se presentan en el 79,8 % de los accesorios con fallas.
Por el Principio de Pareto, se concluye: La mayor parte de los defectos encontrados en el lote
pertenece sólo a 2 tipos de defectos (los “pocos vitales”), de manera que si se eliminan las
causas que los provocan desaparecería la mayor parte de los defectos.
Otro análisis complementario y sumamente útil e interesante, es calcular los costos de cada
problema, con lo cual podríamos construir un diagrama similar a partir de ordenar las causas
por sus costos. Este análisis combinado de causas y costos permite obtener la mayor
efectividad en la solución de problemas, aplicando recursos en aquellos temas que son
relevantes y alcanzando una mejora significativa.
PARA DATOS CUANTITATIVOS
DISTRIBUCIÓN: Patrón de variabilidad mostrado por los datos de una variable. La distribución
muestra la frecuencia de cada valor de la variable.
GRAFICA DE PUNTOS: Presenta los datos de una muestra mediante la representación de
cada porción de datos con un punto ubicado a lo largo de una escala. Esta escala puede ser
vertical u horizontal. La frecuencia de los valores está representada a lo largo de la otra escala.
La grafica de puntos es una técnica que conviene utilizar al inicio del análisis de los datos. Da
por resultado una imagen y una clasificación de los datos en orden numérico.
REPRESENTACIÓN DE TALLO Y HOJAS: Presenta los datos de una muestra mediante el
empleo de los dígitos que constituyen los valores de los datos. Cada dato numérico se divide
en dos partes: el (los) digito(s) principal(es) se convierte(n) en el tallo, y el (los) digito(s)
posterior(es) se convierte(n) en la hoja. Los tallos se escriben a lo largo del eje principal y por
cada porción de datos se escribe una hoja para mostrar la distribución de los datos. Se usan
para resumir datos numéricos.
Ejemplo: La siguiente tabla muestra la masa de 50 estudiantes universitarios, escriba su
diagrama de tallo y hoja:
ESTUDIANTE HOMBRE/ MUJER
PESO (Kg)
ESTUDIANTE HOMBRE/ MUJER
PESO (Kg)
1 M 45 26 M 52 2 H 68 27 H 74 3 M 49 28 H 71 4 H 72 29 H 70 5 H 74 30 H 64 6 M 51 31 M
46 7 M 54 32 H 65 8 H 76 33 H 66 9 H 77 34 M 49
10 H 55 35 H 70 11 H 80 36 M 50 12 H 85 37 H 70 13 M 87 38 M 53 14 M 58 39 H
73 15 H 61 40 H 75 16 M 89 41 M 65 17 H 62 42 H 84 18 H 93 43 M 55 19 H 86 44 H 77 20 M 55 45 H 89 21 H 85 46 M 60 22 H 80 47 M
59 23 M 54 48 H 98 24 H 76 49 H 80 25 M 52 50 H 83
Para elaborar un gráfico de tallo y hoja se realiza una tabla, en la primer columna se escriben
las decenas y en la segunda columna la unidad, esto se realiza para cada valor encontrado en
la tabla de datos original, enseguida se muestra el diagrama de tallo y hoja.
4 5 9 6 9
5 1 4 5 8 5 4 2 2 0 3 5 9
6 8 1 2 4 9 0 3
7 2 4 6 7 6 4 1 0 0 0 3 5 7 8 0 5 7 9 6 5 0 4 9 0 3
9 3 8
Ordenando el diagrama de tallo y hoja queda:
4 5 6 9 9
5 0 1 2 2 3 4 4 5 5 5 8 9
6 0 1 2 3 4 8 9
7 0 0 0 1 2 3 4 4 5 6 6 7 7 8 0 0 0 3 4 5 5 6 7 9 9
9 3 8
También se puede realizar un diagrama de tallo y hoja por género. Por ejemplo:
HOMBRES MUJERES
4 5 6 9 9
5 4 5 0 1 2 2 3 4 4 5 5 8 9 8 6 5 2 1 6 5 0
7 7 6 6 5 4 4 3 2 1 0 0 0 7
9 6 5 5 3 0 0 0 8 4 7 9
8 3 9
Usando los resultados obtenidos en la tabla anterior, se puede concluir que las estudiantes
(mujeres) pesan menos que los estudiantes (hombres).
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA E HISTOGRAMAS
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS: Listado, a menudo expresado en forma de diagrama,
que asocia cada valor de una variable con su frecuencia.
DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS NO AGRUPADAS: se usa para agrupar por cantidad
(frecuencia) datos obtenidos de una muestra.
Ejemplo: De los siguientes datos:
3 2 2 3 2
4 4 1 2 2
4 3 2 0 2
2 1 3 3 1
Se obtiene:
DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS AGRUPADAS: Se usa para agrupar en clases los valores
obtenidos de la encuesta, experimento o investigación.
Ejemplo:
60 47 82 95 84 72 67 66 68 98
90 77 86 58 64 95 74 72 88 74
77 39 90 63 68 97 70 64 70 70
58 78 89 44 55 85 82 83 72 77
72 86 50 94 92 80 91 75 76 78
PROCEDIMIENTO:
1) Identifique los puntajes máximo y mínimo (Max = 98, Min = 39) y determine el rango:
Rango = Máx - Min = 98 – 39 = 59
2) Elija un número de clases (m=7) y un ancho de clase (c=10) de modo que el producto (mc
= 70) sea ligeramente mayor que el rango (rango = 59)
3) Elija un punto inicial, que debe ser algo menor que el puntaje más bajo, Min. Suponga que
se empieza en 35; al contar a partir de ahí de diez en diez (el ancho de clase) se obtienen 35,
45, 55, …,95,105. Estos números se denominan límites de clase.
35 o más hasta menos que 45 → 35 x 45
45 o más hasta menos que 55 → 45 x 55
. → 55 x 65
. → 65 x 75
. → 75 x 85
. → 85 x 95
95 o más hasta menos que 105 → 95 x 105
El ancho de clase es la diferencia entre los límites de clase superior e inferior.
Número de clase Límites de clase Frecuencia
f Marca de clase X
1 35 x 45 2 40
2 45 x 55 2 50
3 55 x 65 7 60
4 65 x 75 13 70
5 75 x 85 11 80
6 85 x 95 11 90
7 95 x 105 4 100
50
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS: Gráfica de barras que representa una distribución de
frecuencias de una variable cuantitativa. Un histograma está integrado por los siguientes
componentes:
1. Un título, que identifica la población o la muestra de interés.
2. Una escala vertical, que identifica las frecuencias que hay en las diversas clases.
3. Una escala horizontal, que identifica la variable x. los valores de los límites de clase o de las
marcas de clase deben identificarse a lo largo del eje x. el empleo de cualquier método para
identificar el eje presenta mejor a la variable El histograma de frecuencia representa una
distribución de frecuencias de una variable cuantitativa.
Existe la siguiente clasificación de histogramas de frecuencia:
Ejercicios:
1. Un policía de una ciudad, usando radar, verificó la velocidad de los automóviles (en m/s)
que circulaban por una calle de la ciudad:
100 80 90 60 80 60
75 80 50 98 60 85
80 70 100 65 90 98
60 60 100 110 70 90
110 90 60 75 90 110
Elabora una gráfica de puntos para estos datos.
2. Considerando las edades de 20 personas elabora una representación de tallo y hojas:
36 25 37 24 39 20 36 45 31 31
39 24 29 23 41 40 33 24 34 40
3. A continuación se presentan los puntajes de la ronda de apertura del torneo de la Ladie’s
Professional Golf Association en el Locust Hill Country Club:
69 73 72 74 77 80 75 74 72 83 68 73
75 78 76 74 73 68 71 72 75 79 74 75
74 74 68 79 75 76 75 77 74 74 75 75
72 73 73 72 72 71 71 70 82 77 76 73
72 72 72 75 75 74 74 74 76 76 74 73
74 73 72 72 74 71 72 73 72 72 74 74
67 69 71 70 72 74 76 75 75 74 73 74
74 78 77 81 73 73 74 68 71 74 78 70
68 71 72 72 75 74 76 77 74 74 73 73
70 68 69 71 77 78 68 72 73 78 77 79
a) Elabore una distribución de frecuencias no agrupadas para estos puntajes.
b) Trace un histograma de los puntajes de la primera ronda de golf (use la distribución de
frecuencias del inciso a).
4. En un grupo de 40 alumnos de la materia de Matemáticas se obtuvieron las siguientes
calificaciones, elaborar el histograma de frecuencias con datos agrupados.
10 9 8 10 7 8 8 8
8 7 8 8 8 6 9 8
9 8 7 6 9 9 5 9
10 8 7 8 6 8 8 7
8 8 5 7 8 10 9 10
3.TÉCNICAS DE MUESTREO.
TOMA DE DATOS: Para que la estadística pueda ser exacta y verdadera, la recopilación de
datos debe ser cuidadosa y precisa, haciendo uso de los medios, recursos y procedimientos
que faciliten objetivamente su recopilación.
DATOS ORIGINALES: Son aquellos datos recopilados por nosotros mismos, es decir que son
comprobables en forma rigurosa.
DATOS INDIRECTOS: Son aquellos datos recopilados de enciclopedias, libros de registro,
sucesos grabados en audio y video.
RECOLECCION DE DATOS: La recolección de datos para el análisis estadístico es un proceso
que incluye los pasos siguientes:
1.- Definir los objetivos de la investigación o del experimento.
Ejemplo: comparar la eficacia de un nuevo medicamento con la eficacia del medicamento
normal; estimar el ingreso familiar medio en algún municipio.
2.- Definir la variable y la población de interés.
Ejemplo: Duración del tiempo de recuperación de los pacientes que sufren alguna enfermedad
particular; ingreso total de los hogares en algún municipio.
3.- Definir los esquemas para recolectar y medir los datos.
Esto incluye los procedimientos de muestreo, el tamaño de la muestra y el instrumento de
medición (cuestionario, por teléfono, etc.) de los datos.
4.- Determinar las técnicas idóneas para realizar el análisis de datos: descriptivas e
inferenciales.
Ejemplo: La oficina de inscripciones de nuestra universidad desea estimar el costo “Promedio”
actual de los libros de texto por semestre, por estudiante. La oblación de interés es la “matricula
estudiantil actual” y la variable es la “cantidad total gastada en libros de texto” por cada
estudiante en este semestre.
Los dos métodos que se utilizan para recolectar datos son: los experimentos y las encuestas.
Experimento: En esta parte el investigador controla o modifica el entorno y observa el efecto
sobre la variable bajo estudio. Por ejemplo, cuando se trabaja en un laboratorio con ratas para
determinar el efecto sobre algún medicamento
Encuesta: Los datos se obtienen al muestrear alguna parte de la población de interés.
Censo: Es una encuesta al 100%. Sería muy complicado elaborar un censo de cada objeto de
estudio por lo que existen otras alternativas como son:
Marco muestral: Es una lista de elementos que pertenecen a la población de la cual se
obtendrá la muestra.
Diseño de la muestra:
Muestreo de juicio (o de selección intencional): Las muestras son elegidas con base en el
hecho de que son “típicas” o representativas de la población.
Muestreo probabilístico: Son muestras en que los elementos a seleccionar se obtienen con
base en la probabilidad. Cada elemento de una población tiene cierta probabilidad de ser
elegido como parte de la muestra.
Muestreo aleatorio: Una muestra es seleccionada de modo que todos los elementos de la
población tienen la misma probabilidad de ser elegidos. De igual manera, todas las muestras
de tamaño n tienen la misma probabilidad de ser elegidas. Las muestras aleatorias se obtienen
por muestreo con remplazamiento en una población finita o por muestreo sin reemplazamiento
en una población infinita.
Ejercicios:
1. Realiza una encuesta entre tus familiares o compañeros donde se les pregunte el peso y
talla, posteriormente realizan un diagrama de tallo y hojas.
2. Realiza un cuadro comparativo de las diferentes técnicas de muestreo, indicando sus
características, ventajas y desventajas.
UNIDAD 2 4. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MODA Y PROMEDIOS.
Ejemplo: Considere la muestra 5, 7, 7, 9, 6, 8. Encuentre lo siguiente:
a) La media b) La mediana c) La moda d) El rango medio
a) La media es la suma de los valores divida entre el número de ellos, los cuales son N=6
∑ = 5 + 7 + 7 + 9 + 6 + 8 = 42
�̅� =42
6= 7
b) Para obtener la mediana ordenamos los valores de menor a mayor: 5, 6, 7, 7, 8, 9
Ubicamos el valor central, en este caso son dos valores (7 y 7), por lo que se obtiene su
promedio:
Mediana = 14/2 = 7
c) La moda es el valor que más se repite, el cual es 7.
d) El rango medio se obtiene restando al valor máximo menos el valor mínimo y dividiendo el
resultado entre dos, para el ejemplo el valor máximo es 9 y el valor mínimo es 5, su suma es
14, por lo que el rango medio es:
Rango medio = 14/2 = 7
Ejercicios:
1. Considere la muestra 2, 4, 7, 8, 9. Encuentre lo siguiente:
a) La media b) La mediana c) La moda d) El rango medio
2. Considere la muestra 6, 8, 7, 5, 3, 7. Encuentre lo siguiente
a) La media b) La mediana c) La moda d) El rango medio
3. A quince estudiantes universitarios, elegidos aleatoriamente, se les solicitó mencionar el
número de horas que durmieron la noche anterior. Los datos resultantes fueron 5, 6, 6, 8, 7, 7,
9, 5, 4, 8, 11, 6, 7, 8, 7. Encuentre lo siguiente:
a) La media b) La mediana c) La moda d) El rango medio
4. En un artículo de una revista se enumeraron las siguientes cuotas de enseñanza por escuela
y por año escolar de 14 universidades: 1554, 2291, 2084, 4443, 2884, 2478, 3087, 3708, 2510,
2055, 3000, 2052, 2550, 2013.
a. Encuentre la media por año escolar
b. Encuentre la mediana por año escolar
c. Encuentre la moda por año escolar
d. Encuentre el rango medio por año escolar.
5. A los reclutas de una academia de policía se les solicitó presentar un examen que mide la
capacidad que tienen para hacer ejercicio. Esta capacidad (medida en minutos) se obtuvo para
cada uno de los 20 reclutas:
25 25 33 31 30 32 27
26 30 31 32 34 30 30
27 29 30 32 34 33
a) Encuentre la media, la mediana, la moda y el rango medio.
b) Elabore una gráfica de puntos para estos datos y localice la media, la mediana, la moda y
el rango medio sobre la gráfica.
c) Describa la relación que hay entre los cuatro “promedios” (semejanza) y qué propiedades
muestran los datos por las que dichos promedios son semejantes.
5. MEDIDAS DE DISPERSIÓN: RANGO Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR.
Ejemplos:
Una muestra aleatoria de diez corredores NASCAR de la copa Nextel 2005 produjo las
siguientes edades: 33, 48, 41, 29, 40, 48, 44, 42, 49, 28
a) Encuentre el rango
b) Encuentre la varianza
c) Encuentra la desviación estándar
Ordenamos los datos: 28, 29, 33, 40, 41, 42, 44, 48, 48, 49
a) El rango es el valor máximo menos el valor mínimo:
R= Vmax – Vmin = 49 – 28 = 21
b) Para determinar la varianza y la desviación estándar se sugiere realizar una tabla como la
que se muestra a continuación, observa que estamos utilizando una muestra aleatoria, por lo
que los símbolos para representar la varianza y la desviación estándar cambian de la siguiente
manera:
Varianza = s2
Desviación estándar = s
Ejercicios:
1. Considere la muestra 2, 4, 7, 8, 9. Encuentre lo siguiente:
a) Rango b) Varianza c) Desviación estándar
2. Considere la muestra 6, 8, 7, 5, 3, 7. Encuentre lo siguiente
a) Rango b) Varianza c) Desviación estándar
3. A 15 estudiantes universitarios, elegidos aleatoriamente, se les solicitó mencionar el número
de horas que durmieron la noche anterior. Los datos resultantes fueron 5, 6, 6, 8, 7, 7, 9, 5, 4,
8, 11, 6, 7, 8, 7. Encuentre lo siguiente:
a) Rango b) Varianza c) Desviación estándar
4. Considere los siguientes conjuntos de datos:
Conjunto 1: 46 55 50 47 52
Conjunto 2: 30 55 65 47 53
Ambos conjuntos tienen la misma media, que es igual a 50. Compare la desviación estándar y
el rango, comente sobre el significado de estas comparaciones.
6. MEDIDAS DE POSICIÓN (DECILES, CUARTILES Y PERCENTILES).
Las medidas de posición se llaman en general cuantiles y se pueden clasificar en tres grandes
grupos: Cuartiles, deciles y percentiles, las cuales dividen los datos (distribución de los datos)
en partes iguales. Para calcularlas es necesario que los datos estén ordenados de menor a
mayor.
a - Los Cuartiles (Qn): son los tres valores de la variable de una distribución que la dividen en
cuatro partes iguales, es decir, al 25%, 50% y 75%. Para calcular el valor de uno de los cuatro
cuartiles, se utiliza la siguiente fórmula que nos da la posición del cuartil:
Qk = 𝑘(𝑛+1)
4
En donde:
Qk = Cuartil número 1, 2 o 3
n = total de datos de la distribución.
Se advierte que la posición del segundo cuartil corresponde a la ubicación de la mediana, es
decir que el segundo cuartil será siempre igual a la mediana.
Para calcular los cuartiles (datos no agrupados) debes seguir los siguientes pasos:
1º Se ordenan los datos de menor a mayor.
2º Se determina la posición que ocupa cada cuartil mediante la fórmula: Qk = k(n+1)/4
El primer cuartil (Q1) es el valor de la variable que supera a lo más el 25 % de los datos y es
superado por a lo más el 75 % de ellos en la distribución ordenada de menor a mayor.
Ejemplo:
Dado el siguiente conjunto de datos: 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. ¿Cuál es el valor de cada cuartil?
1° ordenamos los datos de menor a mayor: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, el valor de n = 7
Primer Cuartil: Q1 = 1(7+1)
4 = 2da posición que corresponde al valor de 3.
Segundo Cuartil: Q2 = 2(7+1)
4 = 4ta posición que corresponde al valor de 5.
Tercer Cuartil: Q3 = 3(7+1)
4 = 6ta posición que corresponde al valor de 7.
Observa que el cuartil dos es la mediana de los datos.
Ejercicios:
1. En una empresa que fabrica envases de vidrio se lleva a cabo un muestreo de un lote de
producción para determinar si se aprueba para la venta, la variable a medir es la resistencia a
la ruptura en psi, por especificación debe soportar al menos 200 psi. Si se toma una muestra
de 15 botellas, determinar lo siguiente:
a) La media
b) La mediana
c) La moda
d) El rango
e) La variancia
f) La desviación estándar
g) El cuartil 2
h) El decil 1
i) El percentil 15
j) Construye el histograma de Frecuencias con el procedimiento establecido (5 puntos)
k) ¿Se aprueba el lote para la venta?
Los datos recogidos son:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
201 202 203 201 201 199 203 200 202 202 204 202 200 202 201
UNIDAD 3 7. TÉCNICAS DE CONTEO: DIAGRAMA DE ÁRBOL, PERMUTACIÓN,
COMBINACIÓN.
DIAGRAMA DE ARBOL: Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un
experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de
maneras de ser llevado a cabo.
Ejemplo:
Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a su sexo (masculino o femenino), tipo
de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante
un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este
médico.
PERMUTACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que
ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y
solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no
se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.
Entonces, ¿qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que
se cuenta?
Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces:
nPn = 𝑛!
(𝑛 –𝑛)! =
𝑛!
0! =
𝑛!
1 = n!
Como 0! = 1 de acuerdo a demostración matemática, entonces
nPn = n!
Ejemplo 1:
¿Cuántas representaciones diferentes serán posibles si se desea que consten de Presidente,
Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser
formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.
Por principio multiplicativo:
25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representación de ese sindicato
que conste de presidente, secretario, etc., etc.
Por Fórmula: n = 25 y r = 5
25P5 = 25!
(25 –5)! =
25!
20! =
(25 𝑥 24 𝑥 23 𝑥 22 𝑥 21 𝑥....𝑥 1)
(20 𝑥 19 𝑥 18 𝑥 ...𝑥 1) = 6,375,600 maneras de formar el comité.
Ejemplo 2:
¿Cuántos puntos de tres coordenadas (x, y, z) será posible generar con los dígitos 0, 1, 2, 4,
6 y 9?, Si a) No es posible repetir dígitos y b) Es posible repetir dígitos.
a) Por fórmula: n = 6 y r = 3
6P3 = 6!
(6 – 3)! =
6!
3! =
6 𝑥 5 𝑥 4 𝑥 3!
3! = 6 x 5 x 4 = 120 puntos posibles.
Nota: este inciso también puede ser resuelto por el principio multiplicativo.
b) Por el principio multiplicativo 6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles
COMBINACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición
que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. En una combinación nos
interesa formar grupos y el contenido de los mismos. La fórmula para determinar el número de
combinaciones es:
nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos.
Donde se observa que:
La expresión anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n
objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n
objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos,
entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos
quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de otra forma, también si
deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar
estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas.
nPr = nCr * r!
Y si deseamos r = n entonces:
nCn = 𝑛!
(𝑛 –𝑛)!𝑛! =
𝑛!
0!𝑛! = 1
¿Qué nos indica lo anterior?
Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de elementos con que se cuenta
solo es posible formar un grupo.
Ejemplo 1:
Una señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. ¿Cuántas maneras tiene de
invitarlos?
Por fórmula: n = 11 y r = 5
11C5 = 11!
(11 – 5 )!5! =
11!
6!5!
= 11 𝑥 10 𝑥 9 𝑥 8 𝑥 7 𝑥 6!
6!5!
= 462 maneras de invitarlos
Es decir que se pueden formar 462 grupos de cinco personas para ser invitadas a cenar.
Ejemplo 2:
a) Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec,
cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno
de ellos:
Por fórmula: n = 14 y r = 5
14C5 = 14!
(14 – 5 )!5! =
14!
9!5!
= 14 𝑥 13 𝑥 12 𝑥 11 𝑥 10 𝑥 9!
9!5!
= 2002 grupos
Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos que
contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres.
b) Si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuántos de los grupos de limpieza tendrán a 3
mujeres?
n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r = 5
En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan 3 mujeres y 2 hombres
8C3 * 6C2 = (8!
(8 –3)!3! ) ∗ (
6!
(6 – 2)!2! )
= (8!
5!3!) ∗ (
6!
4!2! )
= 8 𝑥7 𝑥 6 𝑥 5
2!
= 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5 personas
c) ¿Cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?
En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres o más. Los grupos de interés
son = grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres
= 6C4*8C1 + 6C5*8C0
= 15 x 8 + 6 x 1 = 120 + 6
= 126
Ejercicios:
1. Seis personas se deben formar para subir a un autobús:
a) ¿De cuántas formas lo pueden hacer?
b) ¿De cuántas formas lo pueden hacer si tres insisten en seguirse?
c) ¿De cuántas formas lo pueden hacer si dos rehúsan en seguirse?
2. Con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar, si solo se
utiliza una vez cada uno?
3. ¿Cuál es el número de formas posibles de seleccionar a 3 candidatos de un total de 8
graduados de una universidad si poseen las mismas cualidades?
5. ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si se
permite la repetición?
6. De entre 8 personas debemos formar un comité de cinco miembros. ¿Cuántas diferentes
posibilidades existen para formar el comité?
7. ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si no
se permite la repetición?
8. ¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 3, 4, 5 y 6 si se permite
la repetición?
9. Un entrenador de baloncesto dispone de 12 jugadores. ¿Cuántos diferentes equipos de
cinco jugadores se pueden formar?
10. De una clase de 20 niñas se escogerán 6 para ir a un paseo. ¿Cuántos posibles grupos de
6 se pueden formar?
8. TEORÍA DE CONJUNTOS (DIAGRAMA DE VENN).
SIMBOLO SIGNIFICADO
∈ Es un elemento de…
∉ No es un elemento de . . .
{ } Conjunto
= Es igual a
| Tal que
n(a) Cardinalidad del conjunto A
… Y así sucesivamente
μ Conjunto universal
ø Conjunto vacío
N Conjunto de los números naturales
≠ No es igual a
< Es menor que
> Es mayor que
≤ Es menor o igual que
≥ Es mayor o igual que
∪ Unión con
∩ Intersección con
‘ Complemento de
⊆ Subconjunto de . . .
⊈ No es subconjunto de . . .
⇒ Símbolo de implicación
⇔ Doble implicación o equivalencia
CONJUNTO: Colección o agregado de ideas y objetos de cualquier especie siempre y cuando
estas ideas u objetos estén tan claros y definidos como para decidir si pertenecen o no al
conjunto.
Ejemplos de conjuntos:
a) Días de la semana.
b) Alumnos del grupo de segundo semestre de la especialidad de Procesos de Gestión
Administrativa.
c) Total de alumnos con promedio mayor a nueve en un Plantel determinado.
d) Los autores de un libro.
e) Los actores en una película.
Glosario:
Cardinalidad: El número de elementos contenidos en un conjunto.
Ejemplo: Si V= {m, n, o, p, q, r}
Su cardinalidad es de 6 y se expresa n(V) = 6, que se lee cardinalidad de V igual a 6.
Elemento: Las ideas u objetos que forman un conjunto se denominan elementos conjuntos.
Conjunto verdad: Los elementos del conjunto de reemplazamiento que hacen que la oración
sea verdadera forman.
Variable: Es una letra usada para representar a cualquier elemento de un conjunto.
Conjunto finito: Es aquel en que es posible determinar el número de elementos que a él
pertenecen.
Conjunto infinito: Es aquel en que no es posible terminar de enumerar a sus elementos.
Conjunto universal: Conjunto formado por la totalidad de los elementos considerados para una
determinada operación.
Conjunto vacío: Conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo.
Subconjunto: Dados dos conjuntos A y B en que todos los elementos de A pertenecen al
conjunto B, entonces decimos que el conjunto A es subconjunto de B.
OPERACIÓNES CON CONJUNTOS
UNION ENTRE CONJUNTOS:
Sean A y B dos conjuntos, entonces:
A∪B = {x | x ∈ A ó x ∈ B }
Ejemplo 1: Considera los conjuntos P = {1, 2, 3, 4, 5} y Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Diagrama de Venn:
Ejemplo 2:
Determina la unión de los conjuntos L y M que están formados por: L= {I, O, W, A, E} y M =
{A, E, B, D, G, C, F}
L ∪ M = {I, O, W, A, E, B, D, G, C, F}
La representación del diagrama de Venn es:
Al colorear o sombrear los dos círculos se entiende que se trata de una unión de los elementos
de los dos conjuntos.
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS:
Sean A y B dos conjuntos, entonces:
A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}
Ejemplo: Sea L = (a, e, i, o, u} y M = {a, b, c, d, e, f, g, h}
L ∩ M = {a, e}
Diagrama de Venn:
Ejemplo B:
CONJUNTO COMPLEMENTO:
Sea U el conjunto universal y S un subconjunto cualquiera de U. El conjunto de los elementos
que falta a S para completar U, es el “complemento de S” (S’). Es decir, es el conjunto de todos
los elementos del universo que no están comprendidos en el conjunto indicado.
Ejemplo:
Sea S = {azul, rojo, morado, verde}
Sea U = {amarillo, azul, verde, rojo, morado, violeta, café, negro}
S’ = {amarillo, violeta, café, negro}
Diagrama de Venn:
DIAGRAMA DE VENN: El diagrama de Venn es la representación gráfica mediante círculos
donde se indica los elementos pertenecientes a cada grupo y aquellos que se encuentren
repetidos se sobreponen los círculos de tal manera que quedan encerrados los números en
común y se sombrea esta parte.
Ejemplo:
Sean los conjuntos: A= {1, 3, 5, 7}; B = {2, 4, 6}; C= {1, 2} y D = {5, 6}
Diagrama de Venn:
Ejercicios:
1. Tome el conjunto U= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 como el conjunto universal y si:
A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} C = {4, 5, 6, 7}
B= {2, 3, 4, 5} D = {7, 8, 9, 10}
Determine los conjuntos que se indican y represente la operación gráficamente sombreando
el resultado.
a) A ∪ C
b) D∪ B
c) B ∩ C
d) A ∩ D
e) A ∪ B’
f) B ∪ ø
g) C’ ∩ D
h) (A∩ B)’
i) (C ∪ D)’
j) C ∪ (A ∩ D)
k) (B ∩ D) ∪ (B ∩ C)
l) (C ∩ D) ∩ (A ∪ B)
2. Escribe el conjunto que se relacione con cada diagrama, de las sugerencias realizadas a
continuación:
* C’ ∩ D= {8, 9, 10} * (C ∪ D)’ = {1, 2, 3}
* B ∪ø = B * A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
* A ∪ B’ ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} = u * A ∩ D= { }
* D ∪ B = {2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10} * B ∩ C = {4,5}
a)
b)
c)
d)
e)
9. PROBABILIDAD CLÁSICA Y CONDICIONAL.
El cálculo de las probabilidades se lleva a cabo según la fórmula siguiente:
Probabilidad = Casos favorables / casos posibles x 100 (para llevarlo a porcentaje)
Ejemplo:
Calcular la probabilidad de que una moneda salga cara en un único lanzamiento, pensando
que sólo puede salir una cara (1) de las dos que hay (2), esto es, 1 / 2 x 100 = 50% de
probabilidad.
En cambio, si decidimos calcular cuántas veces saldrá la misma cara en dos lanzamientos
seguidos, deberemos pensar que el caso favorable (cara y cara o sello y sello) es uno entre
cuatro posibilidades de resultado (cara y cara, cara y sello, sello y cara, sello y sello). Por ende,
1 / 4 x 100 = 25% de probabilidad.
PROBABILIDAD CONDICIONAL: Una probabilidad condicional es la frecuencia relativa con la
cual un evento puede esperarse que ocurra, bajo la condición de que se conozca la información
preexistente acerca de algún otro evento. P(A|B) se usa para simbolizar la probabilidad de que
el evento A ocurra bajo la condición de que se sepa que el evento B ya existe.
Algunas formas de decir o expresar la probabilidad condicional, P(A|B) son:
- La “probabilidad de A, dada B”
- La “probabilidad de A, conociendo B”
- La “probabilidad de que A ocurra, sabiendo que B ya ha ocurrido”
Ejemplo:
De un sondeo de salida para elección nacional hecho a 13,660 votantes en 250 distritos
electorales en todo el país, el 2 de julio de 2002, tenemos lo siguiente:
GÉNERO PORCENTAJE DE VOTANTES
PORCENTAJE PARA EL CANDIDATO DEL PARTIDO ROSA
PORCENTAJE PARA EL CANDIDATO DEL PARTIDO MORADO
PORCENTAJE PARA OTROS
Hombres 46 55 44 1 Mujeres 54 48 51 1 Edad
18 – 29 17 45 54 1 30 – 44 29 53 46 1 45 – 59 30 51 48 1 60 y más 24 54 46 0
Una persona ha de ser seleccionada al zar de la muestra de 13,600 votantes, con el uso de la
tala encuentre las respuestas a las siguientes preguntas de probabilidad:
1.- ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada sea hombre?
Revisando los datos proporcionados en la tabla se debe ubicar el porcentaje total de hombres
siendo el resultado 0.46, esto debido a que la tabla habla de porcentajes y la probabilidad se
expresa como máximo 1.
Expresado en forma de ecuación:
P(votante seleccionado es hombre) = 0.46
2.- ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada tenga de 18 a 29 años de edad?
Revisando los datos proporcionados en la tabla el resultado es 0.17
Expresado en forma de ecuación:
P(Votante seleccionado tiene entre 18 y 29 años) = 0.17
3.- Sabiendo que el votante seleccionado fue mujer, ¿Cuál es la probabilidad de que ella votó
por el candidato del partido morado?
Revisando los datos proporcionados en la tabla el resultado es 0.51
Expresado en forma de ecuación:
P(Candidato del partido morado |mujer) = 0.51
4.- ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada votó por el candidato del
partido rojo si el votante tenía 60 años o más?
Revisando los datos proporcionados en la tabla el resultado es 0.54
Expresado en forma de ecuación:
P( candidato del partido rosa | 60 años o más )
NOTA: el ejercicio 1 y 2 son probabilidades sencillas mientras que el ejercicio 3 y 4 son
probabilidades condicionales.
Ejercicios:
1. Halle la probabilidad de obtener exactamente una espada en 4 extracciones de una baraja
española de 40 cartas, cuando las extracciones se hacen:
a) Con reemplazo.
b) Sin reemplazo.
2. En un pueblo se consumen dos tipos de bebidas alcohólicas: A y G. El 30% de las personas
consume al menos la bebida A, el 60% consume al menos la bebida G y se sabe que el 5%
consume ambas bebidas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que elegida una persona al azar tome bebidas alcohólicas?
b) ¿Qué probabilidad hay de que una persona elegida al azar no consuma bebidas
alcohólicas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que elegida una persona al azar tome la bebida A solamente?
d) Si elegimos dos personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas tomen bebidas
alcohólicas?
e) Se elige una persona al azar y resulta ser consumidora de bebidas alcohólicas, ¿cuál es la
probabilidad de que tome A?
3. Al seleccionar aleatoriamente una letra del alfabeto inglés (26 letras), encuentre la
probabilidad:
a) De que sea una vocal.
b) De que se encuentre en cualquier lugar antes de la j.
c) De que se encuentre en algún lugar después de la g.
4. Dos cartas se sacan sin reemplazo de un paquete inglés completo, ¿cuál es la probabilidad
de que ambas sean mayor que 2 y menor que 8?
5. Una muestra de 200 adultos se clasifica de la siguiente manera:
HOMBRE MUJER
PRIMARIA 38 45 83
SECUNDARIA 28 50 78
BACHILLERATO 22 17 39
88 112 200
Al seleccionar aleatoriamente a una persona, encontrar la probabilidad de que sea hombre
dado que tiene educación de nivel secundaria.
6. A trescientos televidentes se les preguntó si estaban satisfechos con la cobertura de un
reciente desastre por TV:
GÉNERO FEMENINO MASCULINO
SATISFECHO 80 55
NO SATISFECHO 120 45
Un televidente se ha de seleccionar al azar de entre los encuestados.
a) Encuentre la probabilidad de que el televidente esté satisfecho.
b) Encuentre la probabilidad de que el cliente esté satisfecho dado que es del género femenino.
c) Encuentre la probabilidad de que el cliente esté satisfecho dado que es del género
masculino.
7. Determine si cada uno de los siguientes pares de eventos es independiente:
a) Lanzar un par de dados y observar un “1” en el primer dado y un “1” en el segundo dado.
b) Sacar una “espada” de un “monte” regular de cartas y luego sacar otra “espada” del mismo
monte sin restituir la primera carta.
c) Ser dueño de un automóvil rojo y tener cabello castaño.
d) Poseer un automóvil rojo y tener hoy una llanta sin aire.
e) Estudiar para un examen y reprobarlo.
f) Lanzar un par de dados y observar un “2” en uno de los dados y tener un “total de 10”.
g) Llover hoy y pasar el examen hoy.
h) Llover hoy y jugar al golf hoy mismo.
i) Completar la tarea hoy y estar a tiempo para la clase.
8. A y B son eventos independientes, si la P(A) = 0.7 y la P(B) = 0.4, encuentre P(A y B).
9. A y B son eventos independientes, si la P(A) = 0.5 y la P(B) = 0.8, encuentre P(A y B).
10. Si la P(A) = 0.3 y P(B) = 0.4, siendo A y B eventos independientes, ¿cuál es la probabilidad
de cada uno de los siguientes incisos?
a) P( A y B)
b) P(B|A)
c) P(A|B)
