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Nombres et calculs Niveau 5ème
Objectifs fondamentaux :
• Résoudre des problèmes et limiter les activités de technique pure
• Pratiquer le calcul mental, automatisé ou réfléchi, le calcul posé,
le calcul avec emploi de la calculatrice
• Poursuivre l’initiation au calcul littéral : premières transformations
d’écriture
Nombres et calculs Niveau 5ème
Priorités :
• Pratiquer le calcul exact ou approché sous toutes ses formes
• Prévoir des ordres de grandeur
• Opérer en conservant l’écriture fractionnaire dans les calculs
• Utiliser le vocabulaire approprié
• Contrôler ou anticiper des résultats par des calculs mentaux ou
approchés
Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres entiers et décimaux positifs
Enchaînement d’opérationsa
b
c
a
b
c
a
peut selon le cas désigner bc
Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres entiers et décimaux positifs
Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
Sur des exemples numériques ou
utiliser les égalités dans les deux sens
littéraux,
Introduction des notations a2 et a3 utilisées dans les
formules d’aires et de volumes
1 cm 1 cm = 1 cm²
Ce carré a une aire de 1 cm²
1 cm
1 cm a cm = a cm²
Ce rectangle a une aire de a cm²
a cm
1 cm
Exemples :
Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres entiers et décimaux positifs
A l’aide d’un compas, d’une règle non graduée et des deux segments ci-dessus, construis un rectangle d’aire 2 cm², un carré d’aire a² cm², un rectangle d’aire 2a cm², un rectangle d’aire 2a² cm².Parmi ces quatre rectangles, quel est celui qui a le plus grand périmètre ?
Nombres et calculs Niveau 5ème
Exemples :
Nombres entiers et décimaux positifs
a cm1 cm
Ces pièces sont construites à partir de cubes de côté a cm.
Quelle est celle qui a le plus grand volume ?
Quelle est celle qui a la plus grande aire ?
Nombres et calculs Niveau 5ème
Exemples :
Nombres entiers et décimaux positifs
Division par un décimal
Exemple :
Multiples et diviseurs, divisibilitéReconnaître, dans des cas simples, si un nombre entier positif est multiple ou diviseur d’un autre nombre entier positif
24
62,4 : 0,6 = = = 4
2,4
0,6
Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres entiers et décimaux positifs
Sens de l’écriture fractionnaire
Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire
a b
est un nombre
a b
est le nombre qui multiplié par b donne a
a b
peut être approché par des nombres décimaux
Sens de l’écriture fractionnaire
Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire
Utiliser l’écriture fractionnaire comme expression
d’une proportion
sera justifié à l’aide d’un exemple
générique
ac a = bc b
Considérons le nombre n tel que n =
Conclusion :
Ce qui se traduit par 3 n = 5.
Donc 2 ( 3 n) = 2 5.
On obtient alors (2 3) n = 2
5,
c’est-à dire 6 n = 10.Par définition du quotient n =
53
106
53 =
106
Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire
Pour montrer que 53 =
106
Comparer deux nombres en écriture fractionnaire dans
le cas où les dénominateurs sont les mêmes et dans
le cas où le dénominateur de l’un est un multiple du
dénominateur de l’autre
Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire
comparaison à un même entier
mise au même dénominateur dans des cas accessibles au calcul mental
calcul des quotients approchés
Quand numérateurs et dénominateurs sont différents,
la comparaison pourra être envisagée dans des cas
simples.
Différentes procédures pourront alors être envisagées :
Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire
Exemples :
7 5 x 8 3
22 6 x 7
5,4 2 x 2,1 3
Addition et soustraction de deux nombres en écriture fractionnaire dans le cas où les dénominateurs sont les mêmes et dans le cas où le dénominateur de l’un est un multiple du dénominateur de l’autre
54,8 x 11
Effectuer le produit de deux nombres écrits sous forme fractionnaire ou décimale
Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire
La nouvelle unité est le septième .
6 227 = (6 22)
17
Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire
Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire
a = 13 et b =
17
Que vaut ab ? On traduit l’énoncé : 3a =1 et 7b =1 Pour faire apparaître ab l’idée est de calculer (3a)(7b). D’après les deux égalités précédentes : (3a)(7b) = 1 Dans un produit de plusieurs nombres on peut supprimer les parenthèses et changer l’ordre des facteurs. On obtient : (3a)(7b) = 21(ab) On a donc : 21(ab) = 1
Par définition du quotient ab =1
21
Conclusion : 13
17 =
121
a = 13 et b =
17
Que vaut ab ? On traduit l’énoncé : 3a =1 et 7b =1 Pour faire apparaître ab l’idée est de calculer (3a)(7b). D’après les deux égalités précédentes : (3a)(7b) = 1 Dans un produit de plusieurs nombres on peut supprimer les parenthèses et changer l’ordre des facteurs. On obtient : (3a)(7b) = 21(ab) On a donc : 21(ab) = 1
Par définition du quotient ab =1
21
Conclusion : 13
17 =
121
a = 13 et b =
17
Que vaut ab ? On traduit l’énoncé : 3a =1 et 7b =1 Pour faire apparaître ab l’idée est de calculer (3a)(7b). D’après les deux égalités précédentes : (3a)(7b) = 1 Dans un produit de plusieurs nombres on peut supprimer les parenthèses et changer l’ordre des facteurs. On obtient : (3a)(7b) = 21(ab) On a donc : 21(ab) = 1
Par définition du quotient ab =1
21
Conclusion : 13
17 =
121
a = 13 et b =
17
Que vaut ab ? On traduit l’énoncé : 3a =1 et 7b =1 Pour faire apparaître ab l’idée est de calculer (3a)(7b). D’après les deux égalités précédentes : (3a)(7b) = 1 Dans un produit de plusieurs nombres on peut supprimer les parenthèses et changer l’ordre des facteurs. On obtient : (3a)(7b) = 21(ab) On a donc : 21(ab) = 1
Par définition du quotient ab =1
21
Conclusion : 13
17 =
121
a = 13 et b =
17
Que vaut ab ? On traduit l’énoncé : 3a =1 et 7b =1 Pour faire apparaître ab l’idée est de calculer (3a)(7b). D’après les deux égalités précédentes : (3a)(7b) = 1 Dans un produit de plusieurs nombres on peut supprimer les parenthèses et changer l’ordre des facteurs. On obtient : (3a)(7b) = 21(ab) On a donc : 21(ab) = 1
Par définition du quotient ab =1
21
Conclusion : 13
17 =
121
Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire
Notion de nombre relatif
Que peut-on dire de la différence d = 3 - 5,7 ?
d + 5,7 - 3 = 3 - 3 on enlève 3 à deux quantités qui lui sont égales
d + 5,7 = 3 définition de la différence
d + 2,7 = 0
d = 0 - 2,7 définition de la différence
Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres relatifs entiers et décimaux
-2,7-2,7
0 1 2 3 4 5 6
Notion de nombre relatif
Utiliser la notion d’opposé
On décide de noter d = - 2,7
Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres relatifs entiers et décimaux
-2,7-2,7
0 1 2 3 4 5 6
Ranger des nombres relatifs courants en écriture décimale
Calculer la somme ou la différence de deux nombres relatifs
Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres relatifs entiers et décimaux
Calculer, sur des exemples numériques, une expression dans laquelle interviennent +, - et éventuellement des parenthèses
Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres relatifs entiers et décimaux
Sur des exemples numériques écrire, en utilisant correctement
des parenthèses, un programme de calcul
la suppression des parenthèses sera étudiée en 4ème
Tester si une égalité est vraie
ce qui disparaît :Trouver le nombre par lequel diviser un nombre
pour obtenir un nombre donné
Nombres et calculs Niveau 5ème Equation
3
x = 5Exemple du type :
Nombres et calculs
Niveau 4e
Objectifs fondamentaux :
• Résoudre des problèmes et ne pas privilégier les activités
de technique pure
• Pratiquer le calcul numérique
• Poursuivre l’étude du calcul littéral.
Nombres et calculs
Niveau 4e
Priorités :
• Calcul mental, calcul posé, calcul avec la machine ou l’ordinateur
• Maîtrise des procédures de calcul effectivement utilisées
• Acquisition de savoir-faire dans la comparaison des nombres
• Réflexion et initiative dans le choix de l’écriture appropriée d’un
nombre suivant la situation
• Développement du calcul littéral
Nombres et calculs
Niveau 4e
Généralisation de règles : addition réitérée
Calculer le produit de nombres relatifs simples
3 (-2) = (-2) + (-2) + (-2)
3 (-2) = (-6)
Calcul numérique
Opérations sur les nombres relatifs en écritures décimales
Donner une valeur approchée du quotient de deux nombres
Nombres et calculs
Niveau 4e
Sur des exemples, la distributivité de la multiplication
par rapport à l ’addition est utilisée pour justifier la règle
des signes
Calcul numérique
Opérations sur les nombres relatifs en écritures décimales
Nombres et calculs
Niveau 4e
Donc les nombres (-15) et (-3)(-5) sont opposés.Conclusion : (-3)(-5) = (+15)
(- 3) 5 + (-3) (-5) = (-3) 0
(- 3) 5 + (-3) (-5) = 0
Calcul numérique
(-3) 5 + (-3) (-5) = (-3) [5 + (-5)]
Or (-3) 5 = (-15)
Pour montrer que (-3)(-5) = (+15)
Opérations sur les nombres relatifs en écritures décimales
Nombres et calculs Niveau 4e
Produit, quotient
Pour la somme : recherche d’un multiple commun des dénominateurs dans les cas où un calcul mental est possible
Calcul numérique
Opérations sur les nombres relatifs en écritures fractionnaires
Connaître et utiliser l’égalité
Nombres et calculs Niveau 4e
La suppression de parenthèses dans une somme algébrique est étudiée
Calcul numérique
Opérations sur les nombres relatifs en écritures fractionnaires (ou décimales)
Nombres et calculs
Niveau 4e
Puissances d’exposants entiers
Comprendre les notations an a-n
et
Calcul numérique
Utiliser ces notations en s’appuyant sur leur signification et non par l’application de formules
4² 43 = (4 4) (4 4 4) = 4 4 4 4 4 = 45
(5a)² = (5a) (5a) = (5a) (5a) = 5 5 a a = 5² a² = 25a²
Nombres et calculs
Niveau 4e Calcul numérique
Puissances de 10
Utiliser sur des exemples numériques les égalités :
notation scientifique, ordre de grandeur
Nombres et calculs
Niveau 4e
Racine carrée
Racine carrée à utiliser dans un problème ; elle disparaît de ce chapitre et apparaît en géométrie
Calcul numérique
Nombres et calculs
Niveau 4e
Calcul numérique de la valeur d’une expression littérale
Intérêt de tester des valeurs dans une égalité.
Calcul littéral
Nombres et calculs
Niveau 4e
Utilisation du calcul littéral sur trois axes :
- calculs numériques
- mise en équation et résolution de problèmes
- preuve d ’un résultat général
Calcul littéral
Exemples :
• La somme de deux multiples de 13 est un multiple de 13
• La somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de 3
Nombres et calculs
Niveau 4e
Reconnaissance de la structure (somme, produit)
Factorisation avec un facteur commun
Formes réduites visées ax + b ou ax2 + bx + c
Calcul littéral
a ou ax ou x²
Développement, factorisation
Développement
Développement d’une expression du type (a+b)(c+d)
Factorisation
Identification des termes, des facteurs
Nombres et calculs
Niveau 4e
Ordre et opérations
Connaître et utiliser :
l’équivalence entre
l’équivalence entre
l’équivalence entre
ab =
cd et ad = bc
a b et a – b 0
a b et a – b 0
Calcul littéral
Nombres et calculs
Niveau 4e
Ordre et opérations
Mise en évidence de l’effet de la multiplication sur l’ordre par des tests de substitution, ou démonstration à partir des signes de a – b et ac - bc, c étant positif ou négatif.
Calcul littéral
effet de l’addition sur l’ordre
Ecriture d’encadrements à la troncature ou à l’arrondi à un rang donné
Problèmes conduisant à une équation du 1er degré
à une inconnue.
les équations du type ax + b = cx + d permettent de mettre en évidence les limites des méthodes arithmétiques
Nombres et calculs
Niveau 4e Calcul littéral
Exemple : Alice et Bertrand disposent chacun d’une calculatrice. Ils rentrent le même nombre sur leur calculatrice. Alice multiplie le nombre affiché par 3, puis ajoute 4 au résultat obtenu. Bertrand, lui, multiplie le nombre affiché par 2, puis ajoute 7 au résultat obtenu. Quand ils ont terminé, ils s’aperçoivent que leurs calculatrices affichent exactement le même résultat. Quel nombre ont-ils affiché au départ ?
Nombres et calculs
Niveau 4e Calcul littéral
Problèmes conduisant à une équation du 1er degré à une inconnue