1 NOTAS DE MATEMATICAS Pablo Gallo Fernndez M.B.A en Administracin E.A.E-Barcelona,Especialista en GerenciaDocente T.C. CEIPA Versin 2 2011 2 TABLA DE CONTENIDO 1.Objeto de aprendizaje 1: Lgica y Teora de Conjuntos1.1. Proposiciones simples y compuestas y tablas de verdad de los conectivos lgicos 1.2. Equivalencia y Leyes de la lgica 1.3. Implicacin material y sus variantes 1.4. Argumentos lgicos y formas clsicas MPP y MTT 1.5. Cuantificadores1.6. Conjuntos y clases 1.7. Operaciones entre conjuntos 1.8. Aplicaciones de los conjuntos: grficos, operaciones y problemas. 1.9. Conjuntos numricos. 1.10. Principales propiedades de los nmeros Reales 2.Objeto de aprendizaje 2: lgebra Bsica 2.1. Definicin de trminos: monomios, binomios, polinomios, trminos semejantes2.2. Teora de Exponentes y Radicales 2.3. Operaciones con expresiones algebraicas: suma, resta, multiplicacin y divisin 2.4. Productos y cocientes Notables2.5. Factorizacin 2.6. Fracciones Algebraicasy Operaciones: simplificacin, multiplicacin y divisin, sumas y restas combinadas, y racionalizacin de denominadores.

3.Objeto de aprendizaje 3: Ecuaciones e inecuaciones3.1. Definicin y clasificacin 3.2. Ecuaciones de primer grado enteras y fraccionarias 3.3. Ecuaciones Literales 3.4. Ecuaciones de segundo grado 3 3.5. Ecuaciones con radicales 3.6. Sistemas 2x2 de ecuaciones simultneas 3.7. Sistemas 3x3 de ecuaciones simultneas 3.8. Inecuaciones: solucin grafica y por intervalos 3.9. Planteamiento y solucin de problemas sobre ecuaciones e inecuaciones 4.Objeto de aprendizaje 4: Funciones y Grficas 4.1. Definicin de funcin, dominio y rango 4.2. Clasificacin de las funciones: constantes, polinomiales,racionales y por tramos 4.3. La funcin lineal: definicin y caractersticas, concepto de pendiente, ecuaciones de la recta y aplicaciones 4.4. La funcin cuadrtica: Definicin y caractersticas: vrtice, intercepto y, interceptos x, dominio y rango, y aplicaciones. 4.5. La funcin exponencial: Definicin y caractersticas: intercepto y,dominio y rango, y aplicaciones 4.6. La funcin logartmica: Definicin y bases para los logaritmos,propiedades de los logaritmos, ecuaciones exponenciales y logartmicas , ygrficos de la funcin logartmica :intercepto x, dominio y rango, y aplicaciones 5.Objeto de aprendizaje 5: Lmites y Continuidad de Funciones 5.1. Definicin y concepto de limite 5.2. Propiedades de los limites 5.3. Manejo algebraico : indeterminaciones 0/0,, lmites al infinito y lmites de funciones por tramos 5.4. Continuidad : definicin y concepto, aplicaciones a funciones racionales y por tramos

6.Objeto de aprendizaje 6: Derivacin y Antiderivacin6.1. La derivada: definicin y concepto, razn de cambio, crecimiento y decrecimiento, puntos de mxima, mnima einflexin6.2. Aplicaciones de la derivada al trazado de curvas 6.3. Aplicaciones de la derivada a problemas de mximos y mnimos 6.4. Integracin o Antiderivacin indefinida: definicin y concepto 6.5. Frmulas de integracin indefinida: constante, potencia, sumas y restas6.6. La integracin definida: definicin y concepto 6.7. Aplicaciones de la antiderivacin en el clculo de reas 4 BIBLIOGRAFIA ANEXO 1: RESPUESTASA LOS EJERCICIOS PROPUESTOS ANEXO 2: CASOS MATEMATICOS APLICADOS A LA ADMINISTRACION 5 INTRODUCCION La modalidad educativa por ncleos temticos, le dio al CEIPA a finales de la dcada anterior, una diferenciacin altamente competitiva frente a las dems universidades con facultades de administracin de su gnero, al permitir que se logre la misma intensidad horaria totalde los programas tradicionales de 5 aos, en tan solo 4 aos. Una vez consolidada esta primera etapa se opto porintroduciralametodologadeenseanzaaprendizaje,elapoyoenlas nuevastecnologasdelainformacin,paralocualsedisearonlos materiales EAR (Enseanza Asistida por Red) para cada uno de los ncleos temticosdelosprogramasofrecidosporlainstitucin,lograndoampliarla cobertura de la oferta, a nivel regional, nacional e internacional.Parafinalesdelao2008,unadelasmetasdelaEscuelade Administracin,fueladedisearcartillasparacadaunodelosncleos temticos de fundamentacin de los programas acadmicos, para facilitar los aprendizajes de los alumnos, evitando los apuntes en las clases presenciales yfacilitandoalosalumnosvirtualesunacercamientomsrpidoalos contenidos de los textos especializados. Presentamosenestaoportunidadalacomunidaduniversitarialaversin 2012 de la Cartilla Matemtica CEIPA, con los contenidos de los 6 objetos de aprendizaje siguientesy los objetivos de aprendizaje: 1.Lgica y Teora de Conjuntos. 2.lgebra Bsica. 3.Ecuaciones e Inecuaciones. 4.Funciones y Grficas. 5.Lmites y Continuidad6.Derivacin y Antiderivacin. Objetivo General de Aprendizaje 6 Generarpensamientolgicoydeductivomediantelaaplicacindelos conceptosbsicosdelalgica,lasmatemticasoperativasyelclculo diferencialeintegral,conelfindeformular,resolvereinterpretar problemasenelrea delaadministracinparalatomade decisionesenla organizacin. Objetivo especficosde Aprendizaje Desarrollar la capacidad de razonamiento lgico y de abstraccin. Manejarhbilmentelasherramientasmatemticasoperativasydel clculo. Solucionarproblemasadministrativosyeconmicosatravsdel planteamiento de modelos matemticos que los representan.Servir de apoyo a otros ncleos Identificar,medianteelrazonamientolgico,elementosdeanlisisen situaciones de la vida diaria que comnmente pasan inadvertidas Esperamos que este material sea del completo agrado de nuestros alumnos y profesores y estaremos siempre dispuestos a recibir las sugerencias que lo mejoren cada da ms. Pablo Gallo Fernndez 7 1. OBJETO DE APRENDIZAJE 1: LOGICA Y TEORIA DE CONJUNTOS 1.1Proposicionessimplesycompuestas.Tablasde verdad de los conectivos lgicos. Unaproposicinesunaoracinenlacualseafirmaoniegaalgoque puede ser falso o verdadero. Las proposiciones simples expresan una sola idea y se denotan con letras minsculas: p, q, r, s, p1, p2, etc. El valor de verdad de una proposicin simple es su verdad o su falsedad. Ejemplos: Son proposiciones simples: -No hace fro.... -Sacar5.0en el prximo examen de matemticas. -LasaccionesdeECOPETROLsonlasmstransadasenelmercadode valores de Colombia actualmente. -El logaritmo en base 10 de 1000 es 3. Lasproposicionescompuestassonlacombinacindedosoms proposicionessimples,unidasmediantelosconectoreslgicos.Latabla siguiente presenta los conectores lgicos, sus nombres y smbolos. ConectivoNombreSmbolo yConjuncin. oDisyuncin Inclusiva v Si...........entoncesCondicional Si y solo si...............Bicondicional

Elvalordeverdaddeunaproposicincompuestadependededos aspectos: a. El valor de verdad de las proposiciones simples que la conforman. b. El conectivo lgico que las enlaza. 8 La tabla siguiente presenta los valores de verdad de los conectivos lgicos: p q q p . q p v q p q p vvvvvv vffvff fvfvvf ffffvv 1.2 Equivalencia y leyes de la lgica. Dosproposicionessonlgicamenteequivalentessitienenlamismatabla de verdad. Cuando enla tabla final de una proposicin compuesta, todos los valoresdeverdadsonverdaderos,sedicequeesunatautologa;silos valores de verdad son todosfalsos, se dice que es una contradiccin; y si losvaloresdeverdadobtenidossonunacombinacindeverdaderosy falsos,sedicequeesunaindeterminada.Lasleyeslgicasoriginan proposicionesequivalentes.Lasprincipalesleyeslgicas,paralas proposiciones p, q y r, son: a. Conmutativa: p q q p . .p q q p v vb. Asociativa:r q p r q p . . . . ) ( ) (r q p r q p v v v v ) ( ) (c. Distributiva: ) ( ) ( ) ( r p q p r q p . v . v .) ( ) ( ) ( r p q p r q p v . v . vd. Demoran:q p q p v . ) ( q p q p . v ) ( Donde los smbolos y significan negacin y equivalencia lgica. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Encadacasoindicarsielenunciadodadoesunaproposicinsimplee indicar su valor de verdad y luego negarla. a.Laraz cuadrada de 5 es 2.13. b.Por qu compr acciones de ISA en la pasada emisin? c.El presupuesto nacional en Colombia para el presente ao es superior a los 25.000 millones de dlares. d.Pronto habr paz en Colombia!e.Hace calor. 2.Sean las proposiciones simples: p = Juan est especializado en economa 9 q = Juan tomo un curso de mercadeo Expresa con palabras las siguientes proposiciones simblicas: a.q p . b. q p vc.q p d.q p e.q p . f.q p vg.) ( p h. ) ( q i. ) ( q p . j. ) ( q p k.) ( q p v 3.Hallar la tabla final de las siguientes proposiciones compuestas y decir si son indeterminadas, tautologas o contradicciones a.| | p q p . ) (b.| | ) ( ) ( q p q p . . .c.| | p q r p . v ) (d.q q p v ) (e.) ( ) ( q p p q v v v f. | | ) ) ( p q q p . 1.3 Implicacin material y sus variantes. Al unir dos proposiciones simples mediante el conectivo si.........entonces, se obtieneunaproposicincondicional.Notodaslasproposicionesformadas astienensentido,ymenossepuedenconsiderarcomoverdaderas. Ejemplo: Si sube el dlar, entonces aumentarn las lluvias en Colombia. A la lgica le interesa las proposiciones condicionales con sentido, es decir, quemuestrenrelacionescausa-efectoentreelantecedenteyel consecuente. Ejemplo: Si coloco agua en el congelador, entonces se forma hielo. La tabla siguiente presenta las variantes del condicional: DirectaReciprocaContra-reciprocaInversa q p p q p q q p Ejercicio: Culesdelasvariantesdelcondicionalsonequivalentes?Construyelas tablas de verdad. 1.4 Argumentos lgicos y formas clsicas MPP y MTT. 10 Un argumento lgico est conformado por una serie de proposiciones, de las cualesunadeellasllamadaconclusin,seobtienedelasotrasllamadas premisas.Losargumentosseconsideranvlidosonovlidos.Un argumento es vlido si al ser transformado en una funcin proposicional, su tabla de verdad final da una tautologa. Existendosformasclsicasdeargumentoscondospremisasquesiempre son vlidos. La tabla siguiente presenta sus estructuras. FormaEstructura Modus Ponens, MPP 1.q p 2. pluego 3. qModus Tollen, MTT 1.q p 2. q luego 3. p EJEMPLO: Sea el argumento: 1. Si tengo apendicitis, entonces me deben extraer el apndice. 2. Tengo apendicitis Luego 3. Me deben extraer el apndice Elanteriorargumentosepuedeescribirsimblicamente.Seap=tener apendicitis, sea q =extraer el apndice.1.q p 2. pLuego 3. q que corresponde a una forma clsica Modus Ponens, MPP EJERCICIOS PROPUESTOS: 11 1.Conviertalasformasdeargumentosanterioresenunaproposicin compuesta.Utilicetablasdeverdadparaverificarquelatablafinaldelos argumentos clsicos MPP y MTT dan una tautologa. 2.En cada caso indicarsi el argumento dado es o no vlido. a.1. Si este es un lobo, entonces es feroz. 2. Este es un lobo. Luego 3. Es feroz. b.1. Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrella. 2. El astro no es una estrella. Luego 3. El astro no tiene luz propia. c. 1. Si el delfn es un pez, entonces es ovparo y tiene branquias. 2. No es cierto que: el delfn es ovparo y que tiene branquias. Luego 3. No es cierto que el delfn es un pez. d.1.Sielaguasesometeaunatemperaturainferiora0C,entonces se forma hielo. 2. Carlos no tenia hielo. Luego 3. Carlos olvido introducir la cubeta en el congelador. e.1. Si en la luna hay vida, entonces en la luna hay agua. 2. No ocurre que en la luna hay vida. Luego 3. No es cierto que en la luna hay agua. 3.Escriba la recproca, contra-recproca y la inversa de las proposiciones dadas: a.q p b.q p c.q p d.Si est lloviendo, entonces el pasto est mojado e.Si no est nublado, entonces est lloviendo. f. Si un nmero es impar, entonces su cuadrado es impar. 12 g. Silaempresainvierteendlaresesteao,entoncesalcanzara obtener utilidades. h.Siestudiomatemticasfrecuentemente,entoncesalcanzarunbuen nivel al finalizar el curso. 1.5 Cuantificadores Uncuantificadoresunapalabraofrasequeindicacantidad.Existendos clases de cuantificadores: a.Universal,:Loscuantificadores:todo,todos,cada,cualquiera significan lo mismo. Ejemplo: Todo ser humano es inteligente. Equivale a decir: -cada ser humano es inteligente -cualquier ser humano es inteligente -todos los seres humanos son inteligentes b.Existencial,-:Loscuantificadores:algn,alguno,existealmenos unosonintercambiables.Ejemplo:Algnestudiantedelgruponovinoa clase hoy Equivale a decir: -alguno de los estudiantes del grupo no vino a clase hoy -existe al menos un estudiante del grupo que no vino a clase hoy. Lanegacindeuncuantificadoruniversal,sehacecambindoloporel existencialynegandolafuncinproposicional.Ejemplo:Lanegacin correcta de las proposiciones de los dos ejemplos anteriores, son: -Algn ser humano no es inteligente. -Todos los alumnos del grupo vinieron a clase hoy. EJEMPLO: Existe al menos un nmero x, perteneciente a los enteros tal que cumple la propiedad: 1 =xx Simblicamente se puede escribir:

1 , = e -xxZ x Su valor de verdad es verdadero, ya que 100= 13 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Paralasproposicionessiguientes:Escribirlasenlenguajesimblico, encontrar su valor de verdady luego negarla (en smbolos) a. ParatodonmeroxquepertenecealosNaturales,secumplela propiedad:5 3 > + x b. Existe al menos un nmero Realque cumple la propiedad:12 = x

c. Para todo nmero xperteneciente a los enteros se cumple la propiedad: 1 =xx

d. Existe al menos un nmero Racionalque cumple la propiedad: x x = e. Existen nmeros, x, y , pertenecientes a los naturales , tales que cumplen la propiedad: 2 2 2) ( y x y x = f.Todos los nmeros enteros cumplen la propiedad:

3 3 3) ( y x y x + = + g. Existe algn Realque cumple la propiedad : 02s x h. Paratodonmeronaturalsecumpleque:sinespar,entoncesnes mltiplo de 4. i.Para todo nmero real secumple la propiedad : 0 12> + x 1.6Conjuntos y clases. Un conjunto es una reunin de objetos llamados elementos. Existen varias clases de conjuntos: 14 a.Vaco, | : No tiene elementos. Ejemplo:{ } 3 5 , = + e = x N x x Ab.Unitario:Tieneun(1)soloelemento.Ejemplo: } { DCEIPA UNIVERSIDA rectordela x x B , =c.Universal,U:Conjuntoreferencial,arbitrario,utilizadopararealizar operaciones entre conjuntos. d.Finito:Aquelconjuntoenelcualsepuededeterminarconprecisinsus elementos. Ejemplo:} { } { 5 , 4 , 3 , 2 , 1 5 , = s e = x N x x Ce.Infinito:Aquelenelcualnosepuededeterminarsuselementos. } { } { ......... 16 , 12 , 8 , 4 4 , = e = E xMULTIPLOD N x x Df.Disyuntos:Dosconjuntossondisyuntossinotienenelementos comunes. Ejemplo: Son disjuntos los conjuntos siguientes:

} { 10 , s e = x z x x E } { 10 , > e = x z x x F NOTA: Nmeros naturales, N: Surgieron de la necesidad de contar. } { ....... ,......... 4 , 3 , 2 , 1 = N Nmeros enteros, Z:

} { ....... ,......... , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ....... = Z 1.7. Operaciones entre conjuntos: Se definen las siguientes operaciones: a.Unin,) ( B A : } { B x A x x B A e v e = ) ( b.Interseccin,) ( B A : } { B x A x x B A e . e = ) ( c.Complemento,A' : } { A x x A e = ' 15 d.Diferencia,) ( B A } { B x A x x B A e . e = ) ( NOTA:LosdiagramasdeVennutilizanunrectnguloparasimbolizarel conjuntouniversalycurvascerradaspararepresentarlosdemsconjuntos, como en los grficos que se presentan a continuacin 1.8Aplicaciones de los conjuntos: a.Graficar el conjunto para no disjuntos:B A ' ' U A U B U A B AB A B AB 16 Elaboracin propia

GRAFICA 1 b.Graficar para conjuntos no disjuntos:) ( ) ( B A C A U AC U U AB A B C AB C 17 U U (AC)-(AB)

Elaboracin propia GRAFICA 2 c.Operaciones entre conjuntos Dados los conjuntos:} { 10 5 , s s e = x Z x x U } { 7 3 , s s e = x Z x x M} { 5 0 , < s e = x Z x x N} { 4 4 , < s e = x Z x x L Hallar:N M L ' ') ( Solucin: Escribimos cada uno de los conjuntos por extensin. } { 10 , 9 ,..... 2 , 1 , 0 ,....... 4 , 5 = U } { 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 = M } { 4 , 3 , 2 , 1 , 0 = N } { 3 , 2 , 1 , 0 , 1 2 , 3 , 4 = L ? ) ( = ' ' N M L Pasos? } { 10 , 9 , 8 , 4 , 5 = ' MAB C 18 } { 4 ) ( = ' M L } { 10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 = ' N | = ' ' N M L ) ( Hallar:) ( ) ( N L N M ' } { 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ) ( = N M } { 10 , 9 , 8 , 4 , 5 ) ( = ' N M } { 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ) ( = N L } { 10 , 9 , 8 , 5 ) ( ) ( = ' N L N M d.Problemasdeconjuntos:Unaencuestarealizadaa800trabajadoresde una empresa, revel los siguientes resultados: 280 tenan casa propia, 327 tenan auto y 490 tenan televisor; de estos, 120 tenan auto y casa; 152 tenan auto y televisin; y 135 tenan casa y televisor; y 85 personas tenan los tres: auto, casa y televisin. Hallar: -Cuntas personastienen solamente auto? R/140 -Cuntas personas tienen auto y televisin, pero no casa? R/67 -Cuntas personas no tienen auto? R/473 Solucin:800 = U 280 = C 327 = A 490 = T 120 ) ( = C A152 ) ( = T A 135 ) ( = T C 85 ) ( = T C A Ver grafica Elaboracin propia GRAFICA 3 EJERCICIOS PROPUESTOS: 50 25288 67 140110 35 85 AC T U 19 1.En cada caso resolver el problema dado: a. En una encuesta a 75 personas se encontr que de los tres peridicos: elColombiano,elTiempoyelMundo,23leanelTiempo,18leanel Colombiano, 14 lean el mundo; 10 lean el Tiempo y el Colombiano; 9 lean el Tiempo y el Mundo; 8 lean el Colombiano y el Mundo; y 5 personas lean los tres peridicos. Hallar:-Cuntos no leen ninguno de los tres peridicos?-Cuntos leen solo el Tiempo?-Cuntos no leen ni el colombiano ni el Tiempo ?-Cuntos leen el Tiempo o el colombiano o ambos? b.Unaencuestasobrehbitosbibliotecariosenlauniversidadarrojlos siguientesresultadossobre120estudiantesconsultados:A57lessirveel horariode8-12M;a63lessirveelhorariode12-4PM;a45lessirveel horario de 4-8 PM; a 11 les sirve el horario de 8-12 y 12-4; a 21 les sirve el horario de 8-12 y 4-8; a 32 les sirve el horario de 12-4 y 4-8; a 9 les sirve los tres horarios.Encontrar:-A cuntos les sirve solamente el horario de 12-4?-A cuntas personas no les sirve ni el horario de 8-12 ni el horario de 4-8?-A cuntas personas les sirve al menos un horario?-A cuntas personas les sirve el horario de 12-4 y el horario de 4-8, pero no el horario de 8-12?-A cuntas personas no les sirve por lo menos dos horarios? c.En un examen de estadstica sobre 3 preguntas se dieron los siguientes resultadosalaplicarloa75alumnos:30alumnosacertaronlastres preguntas; 45 alumnos acertaron la 1 y 2 preguntas; 35 alumnos acertaron la 2 y 3 preguntas; 43 alumnos acertaron la 1 y 3 preguntas; 60 alumnos acertaronla1pregunta;53alumnosacertaronla2pregunta;49alumnos acertaron la 3 pregunta.Hallar: -Cuntos estudiantes aprobaron la 2 y la 3, pero no la 1?-Cuntos no aprobaron ni la 1 ni la 3?-Cuntos aprobaron por lo menos dos preguntas?-Cuntos no aprobaron al menos una pregunta? 20 d.De100estudiantes, 30estudian matemticas,15estudianmatemticas y estadstica y 42 ni matemticas ni estadstica. Encontrar: -El nmero que estudian estadstica, pero no matemticas?-Los alumnos que solo estudian matemticas? e.Enuncursoel53%delosestudiantesapruebanLgica,el52% aprueban lgebra y el 20% ninguno de los dos temas. Hallar el porcentaje de alumnosqueapruebanambasmateriasyelporcentajedealumnosque aprueban solamente lgebra? 2.Dados los conjuntos:} { d c b a U , , , , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 =

} { 4 , , , 1 c a A =} { c b M , 5 , 2 , = } { d a N , 4 , , 2 =Hallar: a.) ( N M A b.N A M ) ( c.A N M ' ') ( d.N M A ' ' ) ( e.A N M ) ( 1.9 Conjuntos numricos. a.Nmeros naturales, N: Surgieron de la necesidad de contar. } { ....... ,......... 4 , 3 , 2 , 1 = N b.Nmeros enteros, Z: } { ....... ,......... , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ....... = Z c.Nmeros Racionales, Q: Aquellos nmeros que se pueden escribir como el cociente de dos (2) nmeros enteros. }= e . e = = 0 , , a Z b Z aabx x Q Entonces, de acuerdo a esta definicin, son racionales: 21 -Losnmerosenteros:Ejemplos:5,20,-7.......yaquesepueden escribir como: 17,120,15 , respectivamente. -Los decimalesfinitos: Ejemplos: 0.2, 0.15,1.25.......ya que se pueden escribir como: 45,203,51, respectivamente. -Losdecimalesinfinitosperidicos:Ejemplos:0.6666...,1.33333...ya que se pueden escribir como: ,34,32respectivamente. d.NmerosIrracionales:Aquellosnmerosquenosepuedenescribir como el cociente de dos (2) nmeros enteros. Son irracionales: -Losdecimalesinfinitosnoperidicos.Ejemplos: ...... 41421356 . 1 2 =, ..... 141528 . 3 = t, ...... 64575131 . 2 7 =, ....... 718283 . 2 = e. e.NmerosReales,R:esunconjuntoformadoporlaunindelos RacionalesylosIrracionales.Escribimos: Q Q R ' = .Ladenominadarecta Real contiene los anteriores conjuntos numricos. -RECTA REAL: Elaboracin propia GRAFICA 4f.NmerosImaginarios,I:Aparecenalresolverecuacionescomo: 0 12= + x, 0 252= + x, 0 492= + x,lascualesnoencuentransolucinenlos nmeros reales. Se define la expresini = 1 comocantidad imaginaria. As,lasolucindelasanterioresecuacionesseescribe,respectivamente: i x = , i x 5 = , i x 7 =. g.NmerosComplejos,C:Aquellosnmerosquesepuedenescribirde la forma bi a , donde la primera parte de esta expresin se denomina parte realylasegundasedenominaparteimaginaria.Simblicamente escribimos: 22 } { 1 , , = e . e = = i R b R a bi a x x C. Ejemplos:sonnmeroscomplejos: i 2 3 , i 2, i 10.Lajerarquadelos conjuntosnumricos,entrminosdeinclusinsepresentaenlasiguiente tabla. CIRQQZ N c c'c c NOTA: El smbolo c significa inclusin o subconjunto. 1.10 Principales propiedades de los nmeros Reales: SiR a,b,c,d e, entonces se cumplen las siguientes propiedades: PropiedadPropiedad b a b a = + ) ( aa=1 b a b a + = ) ( |.|

\|=baba 1. ) ).( 1 ( a a = bababa == ac ab c b a + = + ) .( baba= ac ab c b a = ) .( 0 , 1 = = siaaa b a b a = + ) ( 0 , 00= = siaa b a b a + = ) ( 0 , 11. = = siaaa a a = ) ( bcacbacb a. ..|.|

\|=|.|

\|= 0 ) 0 ).( ( = a cb acb acb acb a .) (. ). ( ) .( === ab b a b a = = ) ).( ( ) ).( ( bcac bac bac ba === .) (). ( ) .(. ab b a = ) ).( ( bcacccbaba=|.|

\||.|

\|= . 23 24 2. OBJETO DE APRENDIZAJE 2: LGEBRA BSICA 2.1.Definicin de trminos. 1.Monomio: Expresin algebraica con un (1) solo termino. Ejemplos: Son monomios :a 3;x21;2x ; 32 ; 2 35 y x; 4 245z y x 2.Binomio: Expresin algebraica con dos (2) trminos. Ejemplos: Son binomios: b a + ;23 x ; y x 241+3.Trinomio: Expresin algebraica con tres (3) trminos. Ejemplos: Son trinomios:z y x + ; 2 22 b ab a + + ;y x + 543 4.Polinomio: Expresin algebraica con dos (2) o ms trminos. Ejemplos: Son polinomios:ab + 3 ;7 4 + y x;3 2 2 33 3 b ab b a a + + +5.Trminos semejantes: Son aquellos que tienen la misma parte literal, elevada al mismo exponente. Ejemplos: Son semejantes:a) x 5;x21 ; xb)22ab ;265ab ; 2ab 2.2.Teora de Exponentes y Radicales Las propiedades ms importantes, son: 25

NombrePropiedadesEjemplos Potenciacin . .. .......... . . x x x x xn= 81 ) 3 )( 3 )( 3 )( 3 ( 34= =Exponentes Negativos nnxx1= nnxx=1 221aa = ;125 55133= = Multiplicacin m n m nx x x+= . 7 4 3. b b b =Divisin m n m nx x x= 4 2 6a a a = Potenciacin m n m nx x.) ( = ( )824c c =Radicacin nmn mx x =2 5 10b b =Potencias ( )n n ny x y x . . = ( )12 634 2. b a c a =Potencias nnnyxyx=||.|

\| 106253dcdc=||.|

\| Radicales ( )( )n nnxy y x = . ( )( ) ( ) a a a a = =3 3 3 3 2.Radicales nnnyxyx=||.|

\| 324128cbcb=Otra propiedadm n n mx x.= ....... 423645 . 1 200 20015 5 3= = Otra propiedad ( )mnn mx x = ( )355 3d d =Otra propiedad 10= x 12103 4= |.|

\|y x EJERCICIOS PROPUESTOS: Encadacasorealizalasoperacionesindicadasysimplifica.Escribela respuesta con exponentes positivos. a)( )34 3 22 z y x 26 b)( )21 4 23 c b a c) 3 231) (y x d) 40 1 553|.|

\|z y x e) 3652xyyx f)6543baba g) ( ) ( )( ) (((

33 222 143 284 . 2y xy x y x h) 255413 5 4 2232) () .( ) ((((

b ab a b a i) 4522131.yxyx j) 5 20 15 1032 z y x k) 3 9 12 654 z y x l) 7 15 91029 y x m) 62 24 4 2) () (xyy x n) 62 33 4 2) () (abb a 27 o)( )( )3 7 4 3 3 2. b a b a 2.3.Operaciones con expresiones algebraicas: suma, resta, multiplicacin y divisin 1. Suma: Sumarlaexpresinalgebraica:9 6 3 52 3 + x x x ,conlaexpresin: 3 10 8 72 3+ + x x xSolucin: Indicamos la operacin a efectuar:) 3 10 8 7 ( ) 9 6 3 5 (2 3 2 3+ + + + x x x x x x-Destruimos los signos de agrupacin:3 10 8 7 9 6 3 52 3 2 3+ + + + x x x x x x-Reunimos trminos semejantes y obtenemos la solucin:6 4 5 122 3 + x x x 2. Resta:Delaexpresinalgebraica2 3 4 92 3 + a a a ,restarlaexpresin 4 11 2 102 3 + a a a . Solucin: Indicamos la operacin a efectuar:) 4 11 2 10 ( ) 2 3 4 9 (2 3 2 3 + + a a a a a a-Destruimos los signos de agrupacin:4 11 2 10 2 3 4 92 3 2 3+ + + a a a a a a-Reunimos trminos semejantes y obtenemos la solucin: 2 8 22 3+ a a a 3. Multiplicacin: a. Monomio por monomio Efectuar:( )( )3 5 6 2 2 4 3 215 5 . 3 z y x z y x z y x =b. Monomio por polinomio Efectuar: 2 4 2 5 3 2 3 24583523.41c b a c b a bc ab c b a + = |.|

\|+c. Polinomio por polinomio Efectuar:( )2 2 2 220 3 2 20 5 8 2 ) 4 .( 5 2 y xy x y xy xy x y x y x + = + = + 4. Divisin: a. Monomio por monomio Efectuar:( )( ) b a c b a c b a3 2 2 3 52 4 8 = b.Polinomio por monomio 28 Efectuar:( ) x x x 3 ) 1 6 12 (3 + Expresamoscomococienteysimplificamos: ( )xxx xxxxxx x312 4313631231 6 1223 3+ = + =+ c. Polinomio por polinomio Efectuar:( )( ) 2 3 6 8 62 3+ + + x x x x ...............verificarqueelresultadodela operacin es exacto y da la expresin:3 4 22+ x x 2.4.Productos y cocientes notables El cuadro siguiente presenta las expresiones algebraicas ms importantes consus ejemplos: NombreFormulasEjemplos Producto de la forma ( )( ) b x a x . ( ) ab x b a x b x a x + + + = + + ) ( ) (2 ( )( ) 45 14 9 . 52+ + = + + x x x x( )( ) 21 10 7 . 32+ = x x x x( )( ) 120 7 8 . 152 + = + x x x x( )( ) 120 2 10 . 122 = + x x x xCuadrado de binomios ( )2 2 22 b ab a b a + + = +( )2 2 22 b ab a b a + = ( )2 2 225 20 4 5 2 y xy x y x + + = +2 221631694432y xy x y x + = |.|

\|Producto de suma por diferencia de binomios ( )( )2 2. b a b a b a = + 2 29254352. 352y x y x y x = |.|

\| |.|

\|+Cubo de binomios ( )3 2 2 3 33 3 b ab b a a b a + + + = + ( )3 2 2 3 33 3 b ab b a a b a + = ( )3 2 2 3 327 54 36 8 3 2 y xy y x x y x + + + = + 3 2 2 3364 24 381421y xy y x x y x + = |.|

\| Cociente de la forma 2 23 3b ab ab ab a+ =++ 234 16464x xxx+ =++ 29 Cociente de la forma 2 23 3b ab ab ab a+ + = 25 5512523+ + =x xxx EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.Completelosespaciosenlasexpresiones,utilizandolosproductos notables: a.(x+3)2 = x2 +x + 9 b.(x+2)2 = 2 + 4x + c.(4x+ y)2 =16 x2 +xy + d.(x-3)(x+3) = x2 - e.(x+7)3 = x3 + + + 343 f.(x1)3 = x3 - + 3x 1 g.(5x2y)2 =- 20xy + 24yh.(2x3)2 = x4 -+ 9 i.(4x+5)(4x5) = 16x2 - j.(x6)2 = x2 -x + k.(x +10)(x +3) = x2 +x + l.(x - 12)(x-8) = x2 -x + m. (x + 17)(x 15) = x2 +x - n. (x- 24)(x +13)= x2 -x - o. (4x+ 7)3 =64 x3 + + + 343 2.Encadacasosiguienteaplicarlafrmulaapropiadadelosproductosy cocientes notables. a.) 3 ).( 3 ( + m mb. 2) 7 ( c 30 c. 332|.|

\| yx d.( )( ) 20 . 2 + a ae.) ).( ( c b c b +f.) 10 ).( 1 ( + b bg. 2) 2 ( + x xh. 327412aa i. 3 2 3) ( d c +j. mm43 64 2.5.Factorizacin Esunprocedimientoquepermitetransformarunaexpresinalgebraicaenfactoresoproductos.Elcuadrosiguientepresentaloscasosalgebraicos ms corrientesconsus ejemplos: CasoSubcasosFormulaEjemplos Factor comn Monomio ) ( b a x bx ax + = +4 3 2b b b b + ( )3 21 b b b b + =Factor comn: Polinomio ) ).( ( ) ( ) ( y x b a b a y b a x + + = + + + ) ( 5 ) ( 3 d c y d c x + +) 5 3 ).( ( y x d c + =Factor comn: Agrupacin by ay bx ax + + +) ( ) ( b a y b a x + + + =) ).( ( y x b a + + =ny nx my mx 3 3 2 2 +) 3 3 ( ) 2 2 ( ny nx my mx + + =) ( 3 ) ( 2 y x n y x m + + =) 3 2 ).( ( n m y x + =Diferencia de Cuadrados Perfectos ( )( ) b a b a b a + = .2 2) 6 ).( 6 ( 362 2 4 + = x x x 31 EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.Completelosespaciosenlasexpresiones,utilizandoloscasosde factorizacin. a.88 32 x x = (x -8).(+) b.16 82+ + x x = ( x +) 2 c.273 x = (x - 3).(x2 ++)d. 2 249 70 25 y xy x + =( -) 2 e.40 222+ x x =( - ).( x 2 ) f.1002 x =( x + 10).( - ) g. 3 381y x + =( + ).( - xy + ) Factorizacin de Trinomios TCP(Trinomio Cuadrado Perfecto) ( )2 2 22 b a b ab a + = + +( )2 2 22 b a b ab a = + 2 2 49 6 d d c c + 2 2) 3 ( d c =Factorizacin de Trinomios Forma c bx x + +2 ( )( ) k x j x .84 52 +b b) 7 ).( 12 ( + = b b Factorizacin de Trinomios Forma c bx ax + +2 ( )( ) k ex j dx . (Tanteo y error) 45 8 42 c c) 5 2 ).( 9 2 ( + = c cFactorizacin de Trinomios Por completacin Combinacin de dos casos (TCP y Diferencia de. Cuadrados) 4 2 2 4y y x x + +2 2 4 2 2 4) 2 ( y x y y x x + + =2 2 2 2 2) ( y x y x + =( ) | || | xy y x xy y x + + + =2 2 2 2. Suma de Cubos Perfectos ) ).( (2 2 3 3b ab a b a b a + + = +86+ x) 4 2 ).( 2 (2 4 2+ + = x x xDiferencia de Cubos Perfectos ) ).( (2 2 3 3b ab a b a b a + + = 1253 m) 25 5 ).( 5 (2+ + = m m m 32 h.10 7 62 x x =( + 5).( - 2) i.21 76 202+ x x =( 7 ).( - ) j.108 32 x =. (x + 6 ). (- ) 2.En cada caso siguiente factorizar completamente la expresin algebraica dada. a.) 12 6 4 (5 3 2m m m + b.c b c b x + + 1 ) 1 (c.) 300 20 (2 a ad.16 xe. 2 29 30 25 c bc b + f.15 20 442 + c cg.50 182 bh.yz xz xy x + + +2 i.14 cj. 32161y + 2.6.Fracciones Algebraicasy Operaciones 1.Simplificacin. -Ejemplo 1: Simplificar la expresin algebraica : Primerofactorizamoseltrinomio,tantoenelnumeradorcomodeldenominador, obtenindose:. Al simplificar, obtenemos: 5628 322 + x xx x) 8 )( 7 () 7 )( 4 (+ +x xx x) 8 () 4 (++xx 33 -Ejemplo 2: Simplificar la expresin algebraica: Primero factorizamos el numerador en su factor comn 2 y luego la diferencia de cuadrados resultante. El denominador tieneun factor comn 2 y luego lo factorizamoscomountrinomiodelaformac bx ax + +2,obtenindose:. Al simplificar, obtenemos: 2.Multiplicacin y divisin: -Ejemplo 1: Simplificar: Debemos factorizar primero los polinomios de cada expresin, obtenindose: . Al simplificar trminos iguales del numerador y denominadorse obtiene la expresin: (x-1)/(x-2). 3.Sumas y restas combinadas -Ejemplo 1: Simplificar : Elcomndenominadores(x+3).................Entoncespodemosefectuarlas operaciones indicadas en el numerador: . Al destruir los signos de agrupacin en el numerador, se obtiene: -Ejemplo 2: Simplificar : El comn denominador es: Efectuando operaciones obtenemos: Realizando operaciones en el numerador: 4.Racionalizacin de denominadores: 30 22 418 222+ x xx) 3 )( 5 2 ( 2) 3 )( 3 ( 2) 15 11 2 ( 2) 9 ( 22 + =+ x xx xx xx) 5 2 () 3 (+xx((

+ ((

12 41.12 1172 62222x xxx xx x((

++ ((

+ +) 2 )( 6 () 1 )( 1 (.) 1 )( 12 () 12 )( 6 (x xx xx xx x) 3 (5) 3 () 2 () 3 () 1 (++++++x xxxx) 3 (5 ) 2 ( ) 1 (++ + +xx x) 3 (4) 3 (5 2 1+=++ +x xx x) 2 (3) 2 (52++ x x2) 2 (+ x2) 2 () 2 ( 5+ + xx2 2) 2 (3) 2 (2 5+=+ xxxx 34 -Ejemplo 1:Simplificar :Multiplicamosydividimosporparaeliminarelradicaldeldenominador: . Al efectuar operaciones obtenemos: -Ejemplo 2: Simplificar :Paraeliminarelradicaldeldenominador,multiplicamosydividimosporla CONJUGADA:.Alefectuaroperacionesobtenemos: NOTA: La conjugada de una expresin algebraica es otra expresin tal que almultiplicarlasdancomoresultadounadiferenciadecuadrados,asla conjugadade(a+b)es(ab),yviceversa.Laexpresinalgebraicaes: ( )( )2 2b a b a b a = + EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Verifiqueencadacasoquealfactorizarysimplificarlaexpresin algebraicadelaizquierdaseobtienelasolucindadaenlaexpresindel lado derecho. a.Simplificar:14 535 16 322 b bb b=25 3++bb b.Simplificar: ||.|

\| + ||.|

\|+ 32 41.8 9642222x xxx xx =41+xx c.Simplificar:6 74126 112222+ +a aaaa a=) 2 ).( 1 () 6 ).( 13 (+ + +a aa a d.Racionalizar : 4223y xy x=43 2. 3 y x xx4xxxx.4xxxx 4 42=34+ x33.34+ xxx( )912 4) 3 () 3 ( 422=xxxx 35 e.Racionalizar: 2 52 5+= 232 10 39 f.Simplificar:157185103 x x x+ =x4522 g.Simplificar: 3 210 8 5x x x+ = 3210 8 5xx x + h.Simplificar: 6 53 44 418 72222+ + + + a aa aa aa a = ) 2 ).( 2 () 5 3 ( 4 + a aa 2. En cada caso simplificar la expresin: a.Simplificar 28 622 + a aa a b.Simplificar : 366 722 + cc c c.Simplificar :||.|

\|||.|

\|+ + 2 2222 24.24 4y xxxy xy xy x d.Simplificar :124 36231 + + c c c e.Simplificar:24 521212 2 + + +a a a aa f.Simplificar: ||.|

\|||.|

\|+ +1) (.) (13322ad ad aa a g.Simplificar: ) 1 (8) 1 (6) 1 (1522++ x xxxx h.Racionalizar la expresin:325aa i.Racionalizar la expresin : aa 5 36 j. ||.|

\| +||.|

\|+ +12133 844 1521 42222xx xx xx x k. 2 2d ady ay dx ax+ + + l.Racionalizar la expresin: 577xx m.Racionalizar la expresin: 77xx n. 10 5 55 5630 710 375 102 2222 + + + +x xxx xx xx xx x o. 25 10350 2140 3136 92 2 22+ + + + a aaaaa aa a 37 3.OBJETO DE APRENDIZAJE 3: ECUACIONES E INECUACIONES 3.1 Definicin y clasificacin Unaecuacinesunaproposicinqueindicaquedosexpresiones algebraicassoniguales.Elcuadrosiguienteclasificalasecuacionesde acuerdo a diferentes criterios de inters: EJEMPLOTIPOGRADO N VARIABLES N SOLUCIONES 0 10 5 = + x Entera11 una ) 2 ( = x 04181= x Fraccionaria 11 una ) 2 (= x 0 12 72= + x x Entera21 dos (4 = x;3 = x) 0 83= x Entera31tres ) ) 1 ( 2 ( ); 1 ). 2 ( ( ); 2 (323 = = = x x x 50 = + y x Entera12 Infinitas: 10 ; 40 = = y x ; 15 ; 35 = = y x 1 ; 49 = = y x............... = = +925y xy x Sistema 2x2 Entero 12(una para cada variable) ) 8 ; 17 ( = = x x = += + = + +6 27 212z y xz y xz y x Sistema 3x3 Entero 13(una para cada variable) ) 5 ; 4 ; 3 ( = = = z x x 38 3.2Ecuacionesdeprimergradoenterasy fraccionarias -Ejemplo 1:Resolver la ecuacin entera:20 7 ) 4 ( 3 = + x xAplicando la propiedad distributiva:20 7 12 3 = + x xTransponiendo trminos: 12 20 7 3 = x xReuniendo trminos semejantes:32 4 = xMultiplicando por 1 en ambos lados: 32 4 = xLuego:8 = x-Ejemplo 2: Resolver la ecuacin fraccionaria:648 923 7=+ x x Igualando a cero la ecuacin:01648 923 7= + x x Sacando comn denominador:0424 ) 8 9 ( ) 3 7 ( 2= + x x Efectuando operaciones:) 4 ).( 0 ( 24 8 9 6 14 = + + x xReuniendo trminos semejantes:0 10 5 = xTransponiendo trminos:10 5 = xLuego:2 = x EJERCICIOS PROPUESTOS: En cada caso resolver la ecuacin dada 1.) 6 5 ( 2 4 ) 7 ( 2 3 = + x x x x 2.03645= x x 3. 8 21245 324 32 =++x x xxxx 3.3Ecuaciones Literales 39 -Ejemplo1:Delafrmula,t P C Pr + = ,despejartentrminosdelas demsvariables.Porpropiedaddelasecuaciones,podemosescribir: C t P = +PrTransponiendo trminos: P C t = Pr Luego: PrP Ct= -Ejemplo2:Delafrmula,t P C Pr + = ,despejarPentrminosdelas dems variables. Por propiedad de las ecuaciones, podemos escribir:C t P = +PrFactorizando:C rt P = + ) 1 (Luego: ) 1 ( rtCP+= EJERCICIOS PROPUESTOS: En cada caso resolver la ecuacin literal para la variable solicitada. 1.Delafrmula |.|

\| =aRT V S ,despejarTentrminosdelasdems variables 2.De la frmula |.|

\|+ + =4 21 da C R, despejar d en trminos de las dems variables 3.Delafrmula ||.|

\|+ =aSR T 1 ,despejarSentrminosdelasdems variables 3.4 Ecuaciones de segundo grado (cuadrticas) Sondelaforma02= + + c bx ax ,dondeR c b a e , , ,con0 = a .Lasolucinpuedeobtenersesiempreaplicandolafrmulageneral: aac b bx242 = o tambin mediante la factorizacin, cuando el trinomio es factorizable. -Ejemplo 1: Resolver la ecuacin cuadrtica,0 122= + x x , aplicando frmula general. 40 En este caso:12 , 1 , 1 = = = c b aReemplazando en la frmula: ) 1 ( 2) 12 )( 1 ( 4 ) 1 ( 12 = xEfectuando operaciones: 248 1 1 + = xLuego, 27 1 = xy as obtenemos las dos soluciones:4 , 32 1 = = x x -Ejemplo2:Resolverlaecuacincuadrtica, 0 122= + x x ,mediante factorizacin. Factorizando el trinomio:0 ) 4 ).( 3 ( = + x xDe ac se deduce:0 ) 4 ( 0 ) 3 ( = + v = x xLuego,4 , 32 1 = = x x EJERCICIOS PROPUESTOS: En cada caso resolver la ecuacin cuadrtica 1.0 2 32= x x2.0212 413=+ ++ x x x, 3. 224 42432 2+=+ ++ x x x x 3.5Ecuaciones con radicales La estrategia a utilizar frecuentemente es: a.Silaecuacintieneunsoloradical,aislarloyelevaralcuadradoen ambos lados. b.Silaecuacintienedosradicales,separarlosacadaladoyelevaral cuadrado. -Ejemplo 1: Resolver la ecuacin3 332= + x x . Transponiendo trminos:3 332+ = + x xElevando al cuadrado:( ) ( )2223 33 + = + x xEfectuando operaciones:9 6 332 2+ + = + x x x 41 Transponiendo trminos:33 9 6 02 2 + + = x x xReuniendo trminos semejantes:24 6 0 = xAs obtenemos:4 = x ... (Puedes verificar que cumple la ecuacin original) -Ejemplo 2: Resolver la ecuacin3 3 = y y . Transponiendo trminos:3 3 = y yElevando al cuadrado:( ) ( )2 23 3 = y yEfectuando operaciones:( ) 9 6 32+ = y y yTransponiendo trminos: y y y 6 9 3 = Reuniendo trminos semejantes y elevando al cuadrado:( ) ( )226 12 y = Efectuando operaciones:y 36 144 = Asobtenemos:4 = y ...(Puedesverificarquenocumplelaecuacin original).Entonces la solucin es vaca,| . EJERCICIOS PROPUESTOS: En cada caso resolver la ecuacin con radicales. 1.5 8 = + x x 2.7 3 1 + = + x x 3.7 16 1 7 9 = + x x 3.6Sistemas 2x2 de ecuaciones simultneas Mtodo de solucin: Reduccin Consisteenencontrarfactoresqueeliminenunadelasvariablesdeambas ecuaciones: -Ejemplo: Resolver el sistema= = +19 2 513 4 7y xy x Para eliminar la variable y, basta con multiplicar la segunda ecuacin por (2) y dejar la primera intacta. Efectuando operaciones: = = +38 4 1013 4 7y xy x 42 Reuniendo trminos semejantes:51 17 = x As obtenemos:3 = x .... Para eliminar la variable x, basta con multiplicar la primeraecuacin por (-5)y la segunda por (7): = = 133 14 3565 20 35y xy x Reuniendo trminos semejantes:68 34= yAsobtenemos:2 = y ...(Puedesverificarqueambosvaloresdelas variables cumplen las ecuaciones originales) EJERCICIOS PROPUESTOS: En cada caso resolver sistema 2x2 de ecuaciones. 1. = = +19 3 824 5 2y xy x 2. = + = +8 5 31 3 2y xy x 3. = = +23 3 420 6 5y xy x 3.7Sistemas 3x3 de ecuaciones simultneas Mtodo de solucin: Reduccin a.En los sistemas completos se pasa de un sistema 3x3 a un sistema 2x2, mediante la eliminacin de una de las variables. b.En los sistemas incompletos se halla la solucin rpidamente por la bsqueda de expresiones que eliminen la variable de inters en dos de las ecuaciones. Luego se resuelveel sistema 2x2 conformado por la ecuacin no utilizada hasta ahora y la resultante del proceso anterior. = += + = + +6 27 212z y xz y xz y x 43 -Ejemplo 1: Resolver el sistema 3x3: Cogiendo las ecuaciones 1 y 2, eliminando y (multiplicando la ecuacin 2 por 2) nos queda:19 2 3 = + z xCogiendo las ecuaciones 2 y 3, eliminando y nos queda:20 5 = + z xResolviendo el sistema 2x2 resultante: = += +20 519 2 3z xz x Eliminemos z, multiplicando la segunda ecuacin por (-2): = = +40 2 1019 2 3z xz x Reuniendo trminos semejantes:21 7 = xAs obtenemos:3 = x ... Reemplazandoelvalordexencontradoen19 2 3 = + z x ,obtenemosque 5 = z . Reemplazando el valor de xy z en encontrado en12 = + + z y x , obtenemos que4 = y .(Puedesverificarquelostresvaloresdelasvariablescumplen las ecuaciones originales). -Ejemplo 2: Resolver el sistema 3x3: = = += 28 413 5 2z y xz yy x Cogiendolaprimerayterceraecuacin,eliminandox,tenemos: 17 2 3 = + z yCogiendo el sistema 2x2 conformado por la segunda ecuacin y la resultante anterior, tenemos: = + = +17 2 38 4z yz y Eliminandolavariablez,reuniendotrminossemejantes,obtenemos: 33 11 = yAs obtenemos:3 = y ... Reemplazandoelvalordeyencontradoen8 4 = + z y ,obtenemosque 4 = z . Reemplazandoelvalordeyencontradoen13 5 2 = y x ,obtenemosque 1 = x .(Puedesverificarquelostresvaloresdelasvariablescumplenlas ecuaciones originales). EJERCICIOS PROPUESTOS: En cada caso resolver sistema 3x3 de ecuaciones. 44 1. = + = += +2 2 39 7 5 26 4z y xz y xz y x 2. = += + = 8 5 37 61 5 4z yy xz x 3.

= += + = +15 2 4 543 5 3 20z y xz y xz y x 3.8 Inecuacionesodesigualdades:solucingrfica y por intervalos Unadesigualdadesunaproposicinqueestablecequeunaexpresin algebraicaesmayor(omenor)queotra.Lasdesigualdadessepueden manipularalgebraicamentecomolasecuaciones,exceptocuandosemultipliqueodividaambosladosporcantidadesnegativas,loque cambia el sentido de la desigualdad. La solucin final, en la mayora de los casos,estardadaporunconjuntoinfinitodevaloresdelavariable,los cuales se denotan mediante intervalos. -Ejemplo: Encontrar la solucin de la inecuacin4 ) 3 ( 2 < xEfectuando operaciones:4 6 2 < xTransponiendo trminos: 6 4 2 + < xReuniendo trminos semejantes: 10 2 < xAs obtenemos la solucin:5 < xLa cual se puede representar grficamentey por intervalo: intervalo:) 5 , ( Elaboracin propia +++++++++++++++++++++++++ 05 45 GRAFICA 5 3.9Planteamientoysolucindeproblemassobre ecuaciones e inecuaciones Ejemplo1: Las calificaciones obtenidashastael momento por un estudiante en matemticas generales, son: 2.5 3.2 3.7 4.03.9 , faltando una sola nota. Se desea saber, Cual debe ser la nota faltante para que la calificacin promedio le quede en 3.6? Solucin: Seax= la calificacin faltante Planteamoslaecuacincorrespondientealascondicionesdelproblema:6 . 369 . 3 0 . 4 7 . 3 2 . 3 5 . 2=+ + + + + x Efectuando operaciones:6 . 363 . 17=+ x Transponiendo trminos:) 6 . 3 )( 6 ( 3 . 16 = + xLuego:3 . 4 3 . 17 6 . 21 = = x -Ejemplo 2: El producto de dos nmeros positivos es 176. Si un nmero es 5 unidades mayor que el otro, cuales son los nmeros? Seax= nmero mayor 5 x= nmero menor Al multiplicarlos:176 ) 5 ( = x xEfectuando operaciones:0 176 52= x xFactorizando:0 ) 11 ).( 16 ( = + x xEntonces planteamos:0 ) 11 ( 0 ) 16 ( = + v = x xObtenemos:11 16 = v = x x (descartamoslasolucinnegativa,porno cumplir las condiciones del problema) As obtenemos la solucin final:x= nmero mayor 5 x= nmero menor =11 -Ejemplo3:Encontrartresnmerosenterosconsecutivoscuyasumasea 54. Seax = nmero mayor 1 x = nmero mediano 2 x = nmero menor Al sumar los tres nmeros, obtenemos:54 3 3 = xTransponiendo trminos: 57 3 = xObtenemos la solucin final: x = nmero mayor =19 46 1 x = nmero mediano =18 2 x = nmero menor =17 -Ejemplo4:Uninversionistatiene20.000dlaresydecidecolocarlosen dosalternativasAyB,lascualesdanrendimientosenelperiododel5%y 7%, respectivamente. Si al final se tiene una ganancia total de 1160 dlares, Cuales son las cantidades invertidas en las dos alternativas? Seax = cantidad invertida en la alternativa A. y= cantidad invertida en la alternativa B Planteamos las ecuaciones: = += +1160 07 . 0 05 . 0000 . 20y xy x Efectuando operaciones para cancelar la variable x: = + = 1160 07 . 0 05 . 01000 05 . 0 05 . 0y xy x Al reunir trminos semejantes:160 02 . 0 = y Entonces,obtenemoslasolucin:x=cantidadinvertidoenalternativaA =8000 y = cantidad invertida en la alternativa B =12000 Ejemplo 5: Una persona tiene $ 80.000.000 parainvertir entres alternativas denegocios.Sienlaprimerainvierte$27.000.000al1.5%;enlasegunda alternativainvierte$35.000.000aunatasadel1.8%.Aqutasadeber invertireldinerosobranteparatenerunosingresostotalesdelastres alternativas de por lo menos $1.400.000 pesos? Seax= la tasa de inters buscada. Los ingresos por intereses en cada alternativa, son: -ALTERNATIVA 1: (27.000.000)(0.015)=405.000 -ALTERNATIVA 2: (35.000.000)(0.018)=630.000 -ALTERNATIVA 3: (18.000.000)(x) La inecuacin de ingresos queda planteada as: 000 . 400 . 1 000 . 000 . 18 000 . 630 000 . 405 > + + xEfectuando operaciones, tenemos: 000 . 400 . 1 000 . 000 . 18 000 . 035 . 1 > + x 000 . 365 000 . 000 . 18 > xDespejando,0202 . 0000 . 000 . 18000 . 365=> > xLuego la tasa solicitada es por lo menos del 2.02% 47 Ejemplo6:UnaempresadeTVporcabletieneactualmente10.500 suscriptoresquepagancadaunounatarifamensualde40.000pesos. Segnproyeccionesinstitucionales,puedeconseguir700clientesmspor cada1.000pesosquedisminuyaelvalordelatarifamensual.Cunto deber cobrarse en la tarifa mensual si se desean ingresos de 500 millones de pesos al mes? Seax= numero de disminuciones de $1.000 en la tarifa mensual. La ecuacin de ingresos queda planteada as: ) . . ).( . ( Mensual Unitario pago s Suscripore numero ingreso = 000 . 000 . 500 ) 1000 40000 )( 700 10500 ( = + x x000 . 000 . 500 000 . 700 000 . 000 . 28 000 . 500 . 10 000 . 000 . 4202= + x x x Transponiendo trminos y reuniendo los semejantes, tenemos: 0 000 . 000 . 80 000 . 500 . 17 000 . 7002= + x x Dividiendo la ecuacin por 1.000.000 , obtenemos: 0 80 5 . 17 7 . 02= + x xResolviendo la ecuacin cuadrtica: ) 7 . 0 ( 2) 80 )( 7 . 0 ( 4 ) 5 . 17 ( 5 . 172 = x 4 . 107 . 9 5 . 174 . 125 . 82 5 . 17) 4 . 1 (224 25 . 306 5 . 17 = = = x = Los valores de x, son aproximadamente 6 y 19, con lo que las tarifas posibles para la empresa serian: -de$34.000yconloquesetendranunnmerodeusuariosde14.700e ingresos de 499.800.000 pesos. - de $21.000 y con lo que se tendran un nmero de usuarios de23.800 e ingresos de 499.800.000 pesos. Ejemplo7:Enuna empresasesabequeel costounitariode fabricacinde un producto es $3.70 dlares, incluyendo la mano de obra y el material. Los costosfijossonde$7000dlaresmensualesElarticulodevendea$5 dlares.Culeselnmeromnimodeunidadesdeunidadesquedeben 48 fabricarse y venderse al mes para que la compaa obtenga utilidades de por lo menos 6000 dlares? Seax= el nmero de unidades a fabricar mensualmente.. UTILIDAD=INGRESOS COSTOS INGRESOS=(PRECIO UNITARIO)(NUMERO DE UNIDADES VENDIDAS) COSTO TOTAL=COSTOS FIJOS + COSTOS VARIABLES 6000 ) 7 . 3 7000 ( 5 > + x xEfectuando operaciones: 6000 7 . 3 7000 5 > x xSimplificando: 13000 3 . 1 > x, luego: 10000 > x Unidades..Entoncessedebenfabricar,como mnimo10000 unidades al mes. Ejemplo8.Unfabricantede mueblesproduceenserie3productos:mesas, sillas y sillones. Las materias primas son la madera, aluminio y plstico. Cada mesanecesita1unidaddemadera,2unidadesdealuminioy1unidaddeplstico; Cada silla necesita 1 unidad de madera, 3 unidades de aluminio y 1 unidad deplstico; Cada silln necesita 1 unidad de madera, 5 unidadesde aluminioy2unidadesdeplstico.Enbodegasetienealmacenadas400 unidades de madera, 1500 unidades de aluminio y 600 unidades de plstico. Cuntasmesas,sillasysillonesdebernfabricarsesisedeseautilizar todas las materias primas en inventario? Seax= Numero de mesas a fabricar.. y= Numero de sillasa fabricar. z= Numero de sillones a fabricar. El sistema 3x3 de ecuaciones est conformado por: -Primera ecuacin para la madera:400 = + + z y x . -Segunda ecuacin para el aluminio:1500 5 3 2 = + + z y x . -Tercera ecuacin para el plstico :600 2 = + + z y x . Cogiendo las ecuaciones 1y 3 se eliminan dos variables: 400 = + z y x 600 2 = + + z y x 49 Sumando obtenemos ,200 = zsillones a fabricar. Sisustituimosestevalorobtenidoenlasecuaciones1y2,tendremosel sistema 2x 2 siguiente: 200 = + y x500 3 2 = + y xEliminando la variable x: 400 2 2 = y x500 3 2 = + y xSumando obtenemos:100 = ysillas a fabricar. Luego,100 = xmesas a fabricar. EJERCICIOS PROPUESTOS: En cada caso encontrar la solucin del problema planteado. 1.Costo de fabricacin. Un fabricante de muebles produce mensualmente 80escritoriosquevendealdobledeloquelecuestafabricarlos.Sitiene unos costos fijos de 1.400.000 mensuales, cul es el costo de producir cada escritorio, si sus utilidades son de 3.800.000 mensuales? 2.Diseodeproductos.Unacompaadedulcesfabricaunabarrade chocolate de forma rectangular con 10 cm de largo, 5 cm de ancho y 2 cm de espesor. A causa de los incrementos en los costos, la compaa ha decidido disminuir el volumen de la barra en un drstico 28%; el grosor seguir siendo elmismo,peroellargoyelanchosereducirnenlamismacantidad, cules son las dimensiones de la nueva barra? 3.Inversiones.Unacompaadeinversionescomprunbonodeuna compaamuy famosa a nivel mundialpor $5.000 dlares. El bono produce un rendimiento del 8% de intersanual. Quiere ahora invertir en acciones de unacompaamuyacreditadaenlabolsa.Elpreciodecadaaccinesde $20 dlares y da un dividendo de $0.50 dlares al ao por accin Cuntas accionesdebecomprarlacompaademodoquedesuinversintotalen acciones y bonos obtenga un rendimiento del 5% anual? 4.Ecuacindecostos.Unacompaafabricacalculadorascientficasen dos plantas distantes. En la planta A los costos fijos son de$25000dlares mensuales, y el costo unitario de fabricacin de cadacalculadora es de $20 50 dlares.EnlaplantaBloscostosfijossonde$15000dlaresycada calculadoracuestafabricarla$25dlares.Paraunpedidosespecialse requierenfabricarenelperiodosiguiente4000calculadoras,Cuntasse deben fabricar en la planta A y cuantas en la planta B si loscostos totales en cada planta deben iguales? 5.Dimensionesdeunterreno.Elpermetrodeuncamporectangulares de2000metros.Siellargoes4veceselancho,Culessonlas dimensiones del terreno? 6.Inversiones: Hace varios meses una compaa adquiri un portafolio de 6 millones de dlares que contiene bonos del gobierno y acciones. Ahora, lainversinenbonoshasehaincrementadoenun15%,mientrasquela inversin en acciones ha disminuido su valor en un 8%. Si el valor actualdel portafolio es de 6.440.000, Cul es el valor original de la inversin en bonos y el valor original de la inversin en acciones? 7.EstacindeServicio.Eldasbadoenunaestacindeserviciose registrountotalde996galonesvendidosdegasolinacorrienteyextrapor un valor total de $7.889.100 pesos. Cuntos galones de gasolina corriente y cuantosdegasolinacorrientesevendieron,sicadagalndegasolina corrientecostabaeseda$7500ycadagalndegasolinaextracostaba $8600? 51 4. OBJETO DE APRENDIZAJE 4: FUNCIONES Y GRFICAS 4.1.Definicin de funcin, dominio y rango Sean A y B dos conjuntos no vacos ysupongamos que mediante alguna regla o condicin, le asignamos a cada elemento del conjunto A un elemento del conjunto B (y solamente uno), como lo muestra la grfica. La funcin as definida puede representarse por medio de pares ordenados: } { ) , 4 ( ), , 3 ( ), , 2 ( ), , 1 ( : n p n m f . A los elementos del conjunto de partida se les denomina dominio de la funcin; y los elementos del conjunto de llegada se les denomina rango de la funcin. Elaboracin propia GRAFICA 6 -Ejemplo1: Sea la funcin con dominio losreales y rangolos reales definida como:1 2 ) ( + = = x x f yEncontrar:) ( ); 1 ( ), 3 ( ); 2 ( ); 0 ( h x f x f f f f + Solucin:1 1 ) 0 ( 2 ) 0 ( = + = f3 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( = + = f7 1 ) 3 ( 2 ) 3 ( = + = f1 2 1 2 2 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( = + = + = x x x x f1 2 2 1 ) ( 2 ) ( + + = + + = + h x h x h x fAB 1 2 3 4 m n p f 52 4.2.Clasificacin de las funciones algebraicas. La tabla siguiente da la clasificacin general de las funciones algebraicas: TipoFormaEjemplosDominioRango Constantec x f y = = ) ( 5 ) ( = = x f y R : ) , ( 5 Polinomial nn na x a x a x f y + + + = =..... ) ( (12 1 3 2 ) ( + = = x x f y1 ) (2+ = = x x f y3) ( x x f y = =R : ) , ( R : ) , ( R : ) , ( R : ) , ( ) , 1 ( R : ) , ( Racional ) () (x Mx Q xx f y1) ( = =} {0 R } {0 RPor Tramos .,,,) (222 11> + +< < < s = =4 , 104 2 , 6) (sixx six f yDominio:) , 2 ( Rango:} { 10 , 6 EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.Sea1 6 3 ) (2+ = = x x x f y. Calcular:) ( ); 1 ( ); 2 ( ); 4 ( ); 0 ( h x f x f f f f + + 2.En cada caso siguiente encontrar el dominiode la funcin. a.0 ) ( = = x f yb.x x f y31) ( = =c. 21 2) (= =xxx f yd. 11) (2= =xx f ye.3 4 ) ( + = = x x f y f. >s < += =7 , 57 0 , 1 2) (xx si xx f yR/ Dominio:) , 0 ( ; Rango:) 15 , 0 ( 4.3.La funcin lineal. Esdelaformab mx x f y + = = ) ( ,dondemeslapendienteybesel intercepto con el eje y. El dominio y el rango de la funcin lineal es) , ( . 54 Si+ = m ,lafuncinlinealescreciente;Si = m ,lafuncinlineales decreciente;Si0 = m ,lafuncinlinealesunarectahorizontal;ysi = m(indefinida), la funcin lineal es una recta vertical.

Elaboracin propia GRAFICA 7 La tabla presenta las ecuaciones de la lnea recta, de acuerdo a diferentes criterios: Nombre Ecuacin Forma dos puntos ( )11 21 21x xx xy yy y ||.|

\|= Forma Punto-pendiente ( )1 1x x m y y = Forma pendiente-intercepto b mx x f y + = = ) (Forma General 0 ) ( = + + = = C By Ax x f y pendientex xy ym =||.|

\|=1 21 2 -Ejemplo 1: Encontrar la ecuacin de la lnea recta que pasa por los puntos) 3 , 2 (1 P y ) 1 , 4 (2P . Aplicamos la forma dos puntos:( ) 22 4) 3 ( 1) 3 ( |.|

\| = x y 55 Efectuando operaciones:( ) 2243 |.|

\|= + x ySimplificando:( )( ) 2 2 3 = + x y La pendiente,2 = m , nos indica que la funcin es creciente y ademsla razn de cambio 12= =AAmxy, nos indica que por cada unidadque cambia x, la variable y cambia 2 unidades. Efectuando operaciones:4 2 3 = + x yLlevando a la forma general:0 7 2 = + + y x -Ejemplo 2: Encontrar la ecuacin de la lnea recta que tiene las siguientes propiedades: Es horizontal y pasa por) 3 , 5 ( P . Aplicamos la forma punto-pendiente:( ) 5 0 3 = x yEfectuando operaciones :0 3 = y . Que es la ecuacin en la forma general. Vemos que3 = yes una recta horizontal que corta al eje de las ordenadas en 3. -Ejemplo 3: Problema de aplicacin. Una empresa de alquiler de autos cobra $ 60 dlares como cargo fijoms $0.30 dlares por kilmetro recorrido. Otra compaa de alquiler de autos tiene una tarifa de $70 dlares de cargo fijo ms $0.25 por kilmetro recorrido. Determinar, Cul de las dos empresas tiene el mejor contrato para el cliente? Seax= nmero kilmetros recorridos. C = Costo total del contrato -Paralaprimeraempresa,laecuacindecostosenfuncindex,es: x x C 30 . 0 60 ) ( + =-Paralasegundaempresa,laecuacindecostosenfuncindex,es: x x C 25 . 0 70 ) ( + = .Igualandolasdosecuacionesencontraremoselvalordexparaelcuallos dos contratos tienen el mismo costo para el cliente: x x 25 . 0 70 30 . 0 60 + = + Transponiendo trminos tenemos:60 70 25 . 0 30 . 0 = x xEntonces:10 05 . 0 = x 56 Luego: 200 = xKilmetros Anlisis: Si el nmero de kilmetros es menor de 200 es MEJOR el contrato 1ypararecorridossuperioresa200kilmetrosesMEJORelcontrato2. Verifiquemos estas afirmaciones con dos ejemplos en los cuales calculemos los costos de cada contrato. Six=100 kilmetros, los costos son: -contrato 1: C(x)=60+0.30(100)=$90 dlares -contrato 2: C(x)=70+0.25(100)=$95 dlares Six=300 kilmetros, los costos son: -contrato 1: C(x)=60+0.30(300)=$150 dlares -contrato 2: C(x)=70+0.25(300)=$145 dlares Laconclusingeneraldeesteproblemasepuedevisualizarclaramentesi realizas en un solo diagrama Cartesiano las graficas de las dos funciones de costos. -Ejemplo4:Problemadeaplicacin.Lastarifasparaelconsumode energaen una ciudad son diferencialesde acuerdo a los siguientes rangos: $2.50 dlares por kilovatio para los primeros 100 consumidos. $5.00 dlares por kilovatio para los siguientes 200 consumidos $10.00dlaresporkilovatioparalosconsumidosdeahenadelante. Expresar el valor de la factura mensual de energa para cualquier vivienda en funcin de la cantidad de kilovatios consumidos. Seax= nmero kilovatios consumidos. C = Costo total de la facturaConstruyamos una funcin por tramos para las condiciones dadas, as: -Paralosprimeros100kilovatioselvalordelafacturaes:$2.50x.Siuna persona consume 75 se le cobra: 2.50 (75)=$187.5 -Paralosconsumossuperioresa100yhasta300kilovatioslafuncin calcula, el costo de los primeros 100 a $2.50 y los EXCESOS por encima de 100 a $5. La funcin se escribe: 5 ) 100 ( ) 100 ( 50 . 2 +x-Para los consumos superiores a 300 kilovatios la funcin calcula, el costo de los primeros 100 a $2.50, los 200 siguientes a $5 y los EXCESOS por encima de 300 a $10. La funcin se escribe: 10 ) 300 ( ) 200 ( 5 ) 100 ( 50 . 2 + + xLa funcin completa queda definida: 57 > + +s < +s=300 , 10 ) 300 ( ) 5 ( 200 ) 100 ( 5 . 2300 100 , 5 ) 100 ( ) 100 ( 5 . 2100 , 50 . 2) (six xx si xsix xx CSimplificando tenemos: > +s < +s=300 , 10 ) 300 ( 1250300 100 , 5 ) 100 ( 250100 , 50 . 2) (six xx si xsix xx C EJERCICIOS PROPUESTOS: En cada caso encontrar la ecuacin de la recta, en la forma general, y graficar la funcin con las propiedades siguientes: a.Tiene pendiente 2 y corta al eje y en 4. b.Corta al eje x en 1 y al eje y en -3 c.Pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente 23. d.Es vertical y pasa por) 4 , 2 ( Pe.Pasa por el punto) 1 , 5 ( P y es paralela a la recta que tiene por ecuacin 0 5 3 4 = + y x RECTAS ESPECIALES:La tabla siguiente presenta las diferentes categoras. Tipo Caractersticas Horizontales0 = m , Ecuacin:C x f y = = ) (Verticales = m , Ecuacin:C x =Paralelas 2 1m m =; 2 1b b =Perpendiculares 1 .2 1 = m m; 2 1b b = 58 Elaboracin propia GRAFICA 8 -Ejemplo 1: Verificar si las rectas dadas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores:1 3 :1= x y L; x y L 3 4 :2= Escribimos ambas ecuaciones de la forma b mx x f y + = = ) (

1 3 :1+ = x y L; 4 3 :1+ = x y L Vemos que cumplen las condiciones de las rectas paralelas:32 1= = m m ;4 12 1= = = b b -Ejemplo 2: Verificar si las rectas dadas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores:3 4 :1= + x y L; 2 4 :2= x y LEscribimos ambas ecuaciones de la forma b mx x f y + = = ) ( 59

3 4 :1+ = x y L;2141:1+ = x y L Vemos que cumplen las condiciones de las rectas perpendiculares: 141) 4 ( .2 1 = |.|

\| = m m EJERCICIOS PROPUESTOS: En cada caso verificar si las rectas dadas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos. Graficarlas. a.1 2 :1= x y L; 2 3 :2 = x y Lb.15 2 5 :1= x y L; 0 8 2 5 :2= + y x Lc.4 7 2 :1 = x y L; 4 2 7 :2= + y x L 4.4. La funcin cuadrtica. Es de la formac bx ax x f y + + = =2) (, dondeR c b a e , ,y0 = a . La grfica de unafuncincuadrticaesunacurvallamadaparbola;si0 > a lafuncin se abre hacia arriba indefinidamente y su vrtice es unpunto de mnima; si 0 < a lafuncinseabrehaciaabajoindefinidamenteysuvrticeesunpuntodemxima.Enlaparbolatodoslospuntos,exceptoelvrtice cumplenlapropiedad deestaraigualdistanciadeunalnearectallamada ejede simetra. El intercepto con el eje y es el punto) , 0 ( c P . Las coordenadas del vrtice, son:( ) |.|

\| abfabV2,2. El dominio de la funcin cuadrtica es:) , ( El rango es: |.|

\| ),2(abf si la parbola se abre hacia arriba y|.|

\| )2( ,abfsi la parbola se abre hacia abajo. . 60 Elaboracin propia GRAFICA 9 -Ejemplo1: Graficar la funcin cuadrtica12 4 ) (2+ = = x x x f y . Enestecaso12 ; 4 ; 1 = = = c b a .Laparbolaseabrehaciaabajoysu vrtice es un punto de mxima. El intercepto y es:) 12 , 0 ( PCalculemos:2) 1 ( 2) 4 (2 = = ab

16 12 8 4 12 ) 2 ( 4 ) 2 ( ) 2 (2= + + = + = fLas coordenadas del vrtice, son:) 16 , 2 ( PEncontremos los interceptos con el eje x :12 4 02+ = x x . Multiplicando por 1 en ambos lados:12 4 02 + = x x . Factorizando:0 ) 2 ).( 6 ( = + x xLuego:2 6 = v = x xAs obtenemos los nuevos puntos de la curva: ) 0 , 6 ( P y) 0 , 2 ( P . Finalmente por simetra se obtiene el punto:) 12 , 4 ( P . 61 Elaboracin propia GRAFICA 10 Ejemplo 2: Aplicacin-Ingreso mximo. Lafuncindedemandaparaunproductoes:q p 2 1000 = ,dondepesel precioendlaresporunidadcuandoqunidadessondemandadaspor semanaporlosconsumidores.Encontrarelniveldeproduccinque maximiza el ingreso total y determinar el ingreso. Por definicin:) ).( ( unidades n precio ingreso =Simblicamente:) ).( ( q p I =Por sustitucin:) ).( 2 1000 ( ) ( q q q f I = =Efectuando: q q q f I 1000 2 ) (2+ = =Vemosqueesunaparbolaqueseabrehaciaabajo.Pararesponderlas preguntasdelproblemabastaconencontrarlascoordenadasdelvrtice, ) , ( I q V . En este caso0 ; 1000 ; 2 = = = c b aCalculemos:250) 2 ( 2) 1000 (2= = ab

125000 25000 125000 ) 250 ( 1000 ) 250 ( 2 ) 250 (2= + = + = fLas coordenadas del vrtice, son:) 125000 , 250 ( VEntonces, la solucin es: Cuando se fabrican q =250 unidades, se obtiene un ingreso mximo de 125.000 dlares. Ejemplo 3: Aplicacin-Minimizacin de costos. 62 La funcin de costo total de un fabricante est dada por400 341) (2+ = x x x C,dondexeselnmerodeunidadesproducidas.Paraqunivelde produccin ser mnimo el costo total? En este caso400 ; 3 ;41= = = c b aVemosqueesunaparbolaqueseabrehaciaarriba.Pararesponderlas preguntasdelproblemabastaconencontrarlascoordenadasdelvrtice, ) , ( C x V . Calculemos:6412) 3 (2=|.|

\| = ab 391 400 18 9 ) 6 ( 3 ) 6 (41) 12 (2= + = = fLas coordenadas del vrtice, son:) 391 , 6 ( VEntonces,lasolucines:CuandosefabricanX=6unidades,seobtieneun costo total mnimo de 391 dlares. EJERCICIOS PROPUESTOS: a.Graficar la funcin cuadrtica7 6 ) (2+ = = x x x f yb.Graficar la funcin cuadrtica2 5 3 ) (2+ = = x x x f y 4.5. La funcin exponencial. Lafuncindelaforma xb x f y = = ) ( ,dondeR x b b e = > , 1 , 0 ,esllamada funcin exponencial de base b (constante). Si1 > b ,la funcin es creciente y corta al eje y en) 1 , 0 ( P ; Si1 0 < < b ,la funcin es decreciente y corta al eje y en) 1 , 0 ( P . El dominio de la funcin exponencial es) , ( y el rango) , 0 ( . Elaboracin propia 63 GRAFICA 11 Ejemplo1: Son funciones exponenciales: xx f y 3 ) ( = = , creciente xx f y 5 ) ( = = , creciente xx f y |.|

\|= =31) ( , decreciente ( )xx f y .. 7182 . 2 ) ( = = , creciente -Ejemplo 2: Graficar la funcin exponencial xx f y 2 ) ( = = x0-11-22-33 y10.520.2540.1258 Elaboracin propia GRAFICA 12-Ejemplo3:Aplicacin-Interscompuesto.Uncapitalde10.000dlareses colocado a una tasa de inters del 7% compuesto semestralmentedurante 3 aos. Cul ser el monto acumulado? Cul es el inters ganado? La frmula que da el valor futuro de una inversin con inters compuesto es :

tr P C ) 1 ( + = ,dondeC=MONTOACUMULADO;P=10.000; r=0.07/2=0.035 ;t=3 Reemplazando, tenemos:

17 . 11087 ) 035 . 0 1 ( 000 . 103= + = CDlares El inters ganado es: 1087.17 64 -Ejemplo4:Aplicacin-Trabajadores.Elnmerodetrabajadoresenuna compaamultinacionaldisminuyearazndel2.5%anual.Sienestos momentos hay350.000 Trabajadores, Cul ser su nmero en 4 aos? La frmula apropiada es similar a la queda el valor futuro de una inversin con inters compuesto pero con disminucin. :

tr T T ) 1 (0 = ,dondeT=Numerodetrabajadoreseneltiempot; T0=Nmeroactualdetrabajadores=350.000;r=tasadedisminucin=0.025;t=4 aos Reemplazando, tenemos:

= =4) 025 . 0 1 ( 000 . 350 T 316290.71 El nmero de trabajadores ser de 316.291 aprox. EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.En cada caso graficar la funcin exponencial a. xx f y |.|

\|= =21) ( x0-11-22-33 y b. xe x f y = = ) ( x0-11-221.5-1.5 y c.Aplicacin-Inters compuesto: Un capital de 1500 dlares es colocado a una tasa de inters del 12% compuesto anualmentedurante 5 aos. Cul ser el monto acumulado? cul es el inters ganado?d.Aplicacin-Poblacin:Acausadeunarecesineconmica,lapoblacin deciertareginruraldisminuyearazndel4.5%anual.Sienestos momentos la poblacin es de 15.000 habitantes, Cul ser su nmero en 8 aos? 65 4.6. La funcin logartmica. Lafuncindelaformax x f yblog ) ( = = ,donde +e = > R x b b , 1 , 0 ,es llamadafuncinlogartmicadebaseb(constante).Si1 > b ,lafuncines creciente y corta al eje x en) 0 , 1 ( P ; Si1 0 < < b ,la funcin es decreciente y cortaalejexen) 0 , 1 ( P .Eldominiodelafuncinexponenciales) , 0 ( yel rango) , ( . Elaboracin propia GRAFICA 13 Ellogaritmodeunnmeroeselexponentequesecolocaalabasepara obtenerlo.Simblicamente,escribimos:x b y xyb= = log .Latabla siguientepresentaejemplosdetransformacionesdelaformaexponenciala la logartmica y viceversa. Forma exponencialForma logartmica Forma logartmica Forma exponencial 125 53= 3 125 log5= 2 16 log4= 16 42=128 27= 7 128 log2=218 log64=8 ) 64 (21=81 34= 4 81 log3= 5 32 log2= 32 25=100 ) 10 (2=2 100 log10=2251log5 =25152= 66 1 40= 0 1 log4=4161log21=161214= |.|

\| Existeninfinitasbasesparalogaritmos, 1 , 0 = > b b ,perotradicionalmentese trabaja con dos bases clsicas: a.Base 10 o Logaritmos decimales o de Briggs b.Base ..... 7182 . 2 = e o logaritmos naturales o de Neper. La tabla siguiente presenta ejemplos en ambas bases. Forma logartmica Forma exponencial Forma logartmica Forma exponencial ... 3010 . 0 2 log =2 10... 3010 . 0=.... 6931 . 0 2 ln =2..... 6931 . 0= e..... 1760 . 1 15 log =15 10..... 1760 . 1=.... 7080 . 2 15 ln =15.... 7080 . 2= e Las principales propiedades de los logaritmos se resumen en la siguiente tabla. NombrePropiedad Fundamental x b y xyb= = logLogaritmo de la base1 log = bb Logaritmo de 10 1 log =b Logaritmo de producto| | N M N Mb b blog log . log + = Logaritmo de cociente N MNMb b blog log log =((

Logaritmo de potencia | | M N MbNblog log =Cambio de base bmmaablogloglog = -Ejemplo1: Graficar la funcin logartmicax x f y ln ) ( = =para los valores dados en su dominio. x0.250.51248 y-1.38-0.6900.691.382.07 67 Completamos la tabla y obtenemos la grafica siguiente: Elaboracin propia GRAFICA 14-Ejemplo 2: Encontrar? 200 log15=Aplicamoslafrmuladecambiodebase,llevandoabase10:10 , 15 , 200 = = = a b m........ 956506 . 115 log200 log200 log15= =Nota:Siaplicamoslafrmuladecambiodebase,llevandoalabasee , obtenemos el mismo resultado: e a b m = = = , 15 , 200........ 956506 . 115 ln200 ln200 log15= = -Ejemplo 3: Resolver la ecuacin exponencial:0 45= xeTransponiendo trminos:45=xeAplicandolapropiedadfundamentalparallevaralaformalogartmica: x 5 4 ln =Utilizando la calculadora:x 5 ..... 3862 . 1 =Luego,277324 . 0 = x -Ejemplo 4: Resolver la ecuacin logartmica3 ) 5 2 ( log2= + x 68 Aplicandolapropiedadfundamentalparallevaralaformalogartmica: ) 5 2 ( 23+ = xEfectuando operaciones y transponiendo trminos:x 2 5 8 = Luego,5 . 1 = x -Ejemplo 5: Resolver la ecuacin logartmica:x x ln 2 2 ln ) 4 ln( = + Aplicando la propiedad del producto al lado izquierdo y de la potencia al lado derecho:| |2ln ) 4 ( 2 ln x x = Transponiendo trminos:| | 0 ln ) 4 ( 2 ln2= x xAplicando la propiedad del cociente:0) 4 ( 2ln2=((

xx Aplicando la propiedad fundamental: 20) 4 ( 2xxe=Efectuando operaciones: 22 81xx =Transponiendo trminos:0 8 22= + x xFactorizando:0 ) 2 ).( 4 ( = + x xAsobtenemoslosvaloresdex,descartandoelvalornegativoyaqueno cumple la ecuacin original:2 4 = v = x x -Ejemplo 6: La ecuacin que da el monto acumulado de un capital de 8000 dlares,colocadoal4%compuestoanualmentees:tM ) 04 . 0 1 ( 8000 + = .Encontrareltiemporequeridoparaqueel capital se duplique.

Al duplicarse quedara el valor futuro en 16.000. Entonces la ecuacin queda: t) 04 . 0 1 ( 8000 16000 + = . Efectuando operaciones: t) 04 . 1 (800016000=. Luego:t) 04 . 1 ( 2 = -Ejemplo7:Laecuacindecostototalparaunacompaafabricarq unidadesdeunproductoestdadaporlaexpresin:1492 ln + = q c . Encontrar el nivel de produccin que genera un costo total de1500 dlares. Reemplazando en la ecuacin el costo, tenemos: 1492 ) ( 1500 + = q Ln 69

Entonces,8 ) ( = q Ln Luego,95 . 29808= = e q Cuando se fabrican 2981 unidades se tiene un costo total de 1500 dlares. EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.Encadacasograficarlas funcioneslogartmicasparalosvaloresdados en sus dominios: a.x x f y2log ) ( = = x0.250.51248 y b.) 1 ln( ) ( = = x x f y x21.52.5348 y c.Resolver la ecuacin exponencial: 913) (2=x x d.Resolver la ecuacin logartmica:6 log ) 1 2 log( log = + x x e.La ecuacin que da el monto acumulado de un capital de 5.000 dlares,colocadoal7.5%compuestoanualmentees:tM ) 075 . 0 1 ( 5000 + = . Encontrar el tiempo requerido para que el capital se triplique. f.La ecuacin de oferta de un fabricante est dada por la expresin: 75 . 1 )4( + =qLog p , Donde q es el nmero de unidades ofertadas a un precio de p dlares la unidad. Cuntas unidades deber ofertar cuando el precio del producto sea de $2.50 dlares? 70 g.Elprecio,p,endlarespormetrocuadradodeunapropiedadencierta zonadeunaciudadestafuncindeladistancia,d,en millasdelcentro de la ciudad , segn la ecuacin logartmica: 1100 ) 300 ( 105 + = d Log p Cul es precio de una propiedad ubicada a 3 millas de distancia del centro?

71 5. OBJETO DE APRENDIZAJE 5: LMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1.Definicin y concepto de lmite. El lmite de f(x) cuando x tiende (o se aproxima) a un valor a es el numero L, escrito:L x fa x=) ( lim, siempre que f(x) est arbitrariamente cercano a L para todo x lo suficientemente cerca, pero diferente de a. -Ejemplo 1: Sea 2) ( x x f y = = . Encontrar el lmite cuando x tiende 3. La tabla siguiente presenta los clculos de los lmites laterales. Izquierda Derecha 41 . 8 ) ( , 90 . 2 = = x f x 61 . 9 ) ( , 10 . 3 = = x f x94 . 8 ) ( , 99 . 2 = = x f x 06 . 9 ) ( , 01 . 3 = = x f x99 . 8 ) ( , 999 . 2 = = x f x 006 . 9 ) ( , 001 . 3 = = x f x9 ) ( lim3=x fx9 ) ( lim3=+x fx Luego,9 ) ( lim3=x fx Elaboracin propia 72 GRAFICA 15 Para que el lmite de una funcin exista deben cumplirse dos condiciones: a.Que existan los lmites laterales.b.Que los lmites laterales sean iguales. -Ejemplo 2: Sea xx f y1) ( = = . Encontrar el lmite cuando x tiende 0. La tabla siguiente presenta los clculos de los lmites laterales. IzquierdaDerecha 10 ) ( , 10 . 0 = = x f x 10 ) ( , 10 . 0 = = x f x100 ) ( , 01 . 0 = = x f x 100 ) ( , 01 . 0 = = x f x1000 ) ( , 001 . 0 = = x f x 1000 ) ( , 001 . 0 = = x f x =) ( lim0x fx (no existe) =+) ( lim0x fx(no existe) Luego, =) ( lim0x fx (no existe) Elaboracin propia GRFICA 16 5.2. Propiedades de los lmites La siguiente tabla sintetiza las propiedades elementales de los lmites: Si c es una constante y

y

existen, entonces se cumplen las siguientes propiedades para los lmites: 73 a. Limite de una constante:

b. Limite de una suma:

c. Limite de un producto:

d. Limite de un cociente:

5.3. Manejo algebraico de los lmites. Para evaluar el lmite de una funcin reemplazamos el valor al cual tiende. Si obtenemosunnmeroReal,esesersuvalor;perosielresultadoesuna indeterminacin se aplica el procedimiento apropiado para removerla. -Ejemplo 1: Encontrar el limite?1 415 2lim35=+xxx

Reemplazamos: 7451 ) 5 ( 415 ) 5 ( 21 415 2lim3 35=+=+xxx -Ejemplo 2: Encontrar el limite?18lim8=xxx

Reemplazamos: 0701 88 818lim8= ==xxx Las indeterminaciones de los lmites pueden ser de las siguientes formas: a.Lmites al infinito: -Ejemplo 1: Encontrar el lmite? 1 lim2= + xx

= + = + 1 1 ) ( lim2x -Ejemplo 2: Encontrar el lmite? 1 lim = xx = + = = 1 ) ( 1 1 lim xx -Ejemplo 3: Encontrar el lmite?5lim = xx

74 05 5lim == xx b.Indeterminacionesdelaforma0/0:Seaplicalafactorizacinpara eliminar la indeterminacin. -Ejemplo 1: Encontrar el limite?918 3lim223= +xx xx

Reemplazamos y obtenemos: 009 ) 3 (18 ) 3 ( 3 ) 3 (918 3lim22223= += +xx xx Factorizando: ) 3 ).( 3 () 3 ).( 6 (lim3 + +x xx xx Simplificando y sustituyendo: 233 36 3) 3 () 6 (lim3=++=++xxx -Ejemplo 2: Encontrar el limite?11lim31=xxx

Reemplazamos y obtenemos: 001 11 ) 1 (11lim3 31==xxx Factorizando:=+ + 1) 1 ).( 1 (lim21xx x xx Simplificando y sustituyendo:3 1 1 ) 1 ( ) 1 ( lim2 21= + + = + +x xx

c.Indeterminaciones de la forma : Se divide por la mayor potencia de la variable para eliminar la indeterminacin.

Ejemplo 1: Encontrar el lmite?3 41 5lim32 3=+ + xx xx Reemplazamos y obtenemos: =+ + =+ + 3 ) ( 41 ) ( ) ( 53 41 5lim32 332 3xx xx 75 Dividiendo por 3xy simplificando:=+ + 3 333 32333 41 5limx xxx xxxxx450 40 0 5341 15lim33= +=+ + xx xx -Ejemplo 2:Encontrar el lmite?1 6 24 3lim421= ++ +x xx xx

Reemplazamos y obtenemos: = + + + = ++ +1 ) ( 6 ) ( 24 ) ( 31 6 24 3lim42421x xx xx Dividiendo por 4xy simplificando:= ++ + 4 4 444 4 421 6 24 3limx xxxxx xxxxx0200 0 20 0 01 624 1 3lim4 34 3 2= = ++ += + + x xx x xx d.Lmites de funciones por tramos. -Ejemplo: Sea > + < < s += =1 , 21 3 , 23 , 8 2) (2six xx sisix xx f yEncontrar los siguientes lmites: ? ) ( lim1=+x fx? ) ( lim1=x fx ? ) ( lim1=x fx ? ) ( lim3=+ x fx ? ) ( lim3= x fx ? ) ( lim3= x fx ? ) ( lim = x fx? ) ( lim = x fx Solucin: 1 2 ) 1 ( 2 ) ( lim2 21= + = + =+x x fx 2 ) ( lim1=x fx existe no x fx, ? ) ( lim1= 2 ) ( lim3=+ x fx2 8 ) 3 ( 2 4 2 ) ( lim3= + = + = x x fx2 ) ( lim3= x fx 76 = + = + = 2 ) ( 2 ) ( lim2 2x x fx = + = + = 8 ) ( 2 8 2 ) ( lim x x fx 5.4.Continuidad: definicin y concepto. Una funcin f(x) es continua en x =asi se cumplen las tres condiciones siguientes: a.Que f(x) est definida en x =a, es decir, si a est en el dominio de la funcin. b.Que exista el lmite de la funcin en el punto x =a , es decir: existe x fa x=) ( limc.Que los dos valores anteriores sean iguales, es decir:) ( ) ( lim a f x fa x= -Ejemplo: Para la funcin dada en el ejemplo anterior: a.f(x) es continua en3 = x ? Verificamos si se cumple cada una de las condiciones: Hallemos? ) 3 ( = f2 8 ) 3 ( 2 8 2 ) 3 ( = + = + = x fEncontremos el lmite cuando x tiende a 3: 2 ) ( lim3=+ x fx 2 8 ) 3 ( 2 4 2 ) ( lim3= + = + = x x fx 2 ) ( lim3= x fx Verificamoslos dos valores anteriores sean iguales, es decir:2 ) 3 ( ) ( lim3= = f x fx Luego, f(x) es continua en3 = x . b.f(x) es continua en1 = x ? Verificamos si se cumple cada una de las condiciones: Hallemos? ) 1 ( = f1 2 ) 1 ( 2 ) 1 (2 2= + = + = x f Encontremos el lmite cuando x tiende a 1: 1 2 ) 1 ( 2 ) ( lim2 21= + = + =+x x fx 2 ) ( lim1=x fx existe no x fx, ? ) ( lim1= Luego, f(x) no es continua en1 = x . 77 EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.Encontrar el lmite de cada funcin: a.?4 516lim224=+ x xxx b.?4 5 23lim22=+ x xxx c.?2 7 61 2lim23 5=+ + + x xx x xx 2.Lmites de funciones por tramos. Sea > < s< + = =4 , 144 2 , 12 , 3) (2six xx sisix xx f y Encontrar los siguientes lmites: a.? ) ( lim2=+x fx? ) ( lim2=x fx ? ) ( lim2=x fx

b.? ) ( lim4=+x fx? ) ( lim4=x fx? ) ( lim4= x fx c.? ) ( lim = x fx ? ) ( lim = x fx 3.Aplicando la definicin de continuidad, verificar si la funcin anterior es continua en 2 = x yen 4 = x . 4.Aplicacin-Tarifa telefnica: La tarifa telefnica de larga distancia entre Medelln y Miami es de $0.10 dlares por el primer minuto y de $0.06 dlares porcadaminutoofraccinadicional.Si) (x f y = esunafuncinquedael costo totalypor una llamada detminutos de duracin, grafique la funcin para5 . 4 0 s < t .Utiliceestagraficaparadeterminarlosvaloresdet enlos cuales la funcin es discontinua. 78 6. OBJETO DE APRENDIZAJE 6: DERIVACIN Y ANTIDERIVACIN 6.1.La derivada: definicin y concepto, razn de cambio, crecimiento y decrecimiento, puntos de mxima, mnima einflexin. Laderivadadeunafuncin) (x f ,denotadacomo) (x f ' ,estdefinida como: hx f h x fh) ( ) (lim0 +,siemprequeellimiteexista.Elprocesode encontrar la derivada de una funcin se denomina diferenciacin; por ello a la rama de las matemticas que estudia las derivadas y sus aplicaciones se ledenominaclculodiferencial.Laderivadadeunafuncinsepuede representar de las siguientes maneras: dxdy ) (x f '

| |dxx f d ) ( y' Geomtricamente, la derivada representa la pendiente de la recta tangente alacurvaencualquierpunto(vergrafica);tambinseinterpretaenlas aplicacionescomounarazndecambio: xyAA,esdecir,cuantocambiala variable y cuando cambia la variablex. Entonces, de acuerdo al signo de la derivada, podemos decir acerca de la funcin en un punto: + =dxdy Creciente =dxdy Decreciente0 =dxdy Punto de mxima, mnima o inflexin =dxdy Punto de discontinuidad 79 Los puntos de mxima se caracterizan, adems de la derivada valer cero (0), por un cambio de signo de la derivada de + a -. (Ver grfica anterior, puntos 3xy 6x ). Los puntos de mnima se caracterizan, adems de la derivada valer cero (0), por un cambio de signo de la derivada de - a +. (Ver grfica anterior, punto 5x ). Lospuntosdeinflexinsecaracterizan,ademsdeladerivadavalercero (0), por no tener cambio de signola derivada. (Ver grfica inferior). La grfica siguiente presenta un ejemplo de funciones con punto de inflexin, una creciente, la roja , y otra decreciente, la verde. Elaboracin propiaGRAFICA 17 FRMULAS DE DIFERENCIACIN. NombreFrmulaEjemplos Derivada de funcin constante | |0 =dxC d 43) ( = = x f y043=((

dxd 80 Derivada de potencia | |1.=nnx ndxx d 7) ( x x f y = =| |6 1 777 . 7 x xdxx d= = Derivada de constante por una funcin | | | |dxx f dCdxx f C d ) (.) ( .=45 ) ( x x f y = =| | | |34 420). 5) . 5xdxx ddxx d= =Derivada de sumas y restas de funciones | | | | | |dxx g ddxx f ddxx g x f d ) ( ) ( ) ( ) ( = 8 63 2 ) ( x x x f y = =| | | |dxx ddxx dx f8 63 2) ( = '7 53 8 12 x x =Derivada de producto de funciones | | | | | |dxx f dx gdxx g dx fdxx g x f d ) (). () (). () ( ). (+ =

) 4 7 ).( 2 3 ( ) (5 3x x x x f + =) 9 ).( 4 7 () 4 35 ).( 2 3 ( ) (2 53x x xx x x f++ + = ' Derivada de cociente de funciones | | | || |2) () (). () (). () () (x gdxx g dx fdxx f dx gdxx gx fd=((

) 7 2 () 5 4 () (24+=xxx f= ' ) (x f2 24 3 2) 7 2 () 4 ).( 5 4 ( ) 16 )( 7 2 (+ +xx x x x EJERCICIOS PROPUESTOS: En cada caso encontrar la derivada de la funcin. a.2 ) ( = = x f y b. 5 2) ( x x f y = = 81 c. xxx f y99) ( = = d.) 4 3 ).( 2 6 ( ) (2 3 4x x x x x x f y + + = = e. ) 9 2 () 3 2 () (53+ = =x xx xx f yf.e x x f y = =534) (g. 85) (xx f y= =h. 97) (+= =xx f yi.x x f y 3 ) ( = =j. xx f y3) ( = = 6.2.Aplicaciones de la derivada al trazado de curvas. -Ejemplo 1: Graficar la funcinx x x x f y 12 9 2 ) (2 3+ = =Primero, derivamos la funcin: 12 18 6 ) (2+ = ' = ' x x x f yIgualamos a cero (0) para determinar los puntos crticos:12 18 6 02+ = x xFactorizamos el trinomio:) 1 ).( 2 ( 6 ) 2 3 ( 6 02 = + = x x x xPlanteamos:0 ) 1 ( 0 ) 2 ( = v = x xLuego:1 2 = v = x x Analizamoslosintervalosdecrecimientoydecrecimiento,apoyadosenla derivada de la funcin: Elaboracin propiaGRAFICA 18 Intervalo ) 1 , ( : Si0 = x ,+ = = + = ' 12 12 ) 0 ( 18 ) 0 ( 6 ) 0 (2fCreciente. Intervalo) 2 , 1 ( : Si5 . 1 = x , = = + = ' 9 12 ) 5 . 1 ( 18 ) 5 . 1 ( 6 ) 5 . 1 (2fDecreciente. Intervalo ) , 2 ( : Si, 3 = x + = + = + = ' 12 54 54 12 ) 3 ( 18 ) 3 ( 6 ) 3 (2f Creciente. 12 ++++++++++++++++ ++++++++++++++++------------------- 82 Luego, utilizamos la funcin original para determinar las coordenadas de los puntos crticos:x x x x f y 12 9 2 ) (2 3+ = =5 ) 1 ( 12 ) 1 ( 9 ) 1 ( 2 ) 1 (2 3= + = f ,luego,tenemosqueelpuntodemximaes: ) 5 , 1 (2P4 ) 2 ( 12 ) 2 ( 9 ) 2 ( 2 ) 1 (2 3= + = f ,luego,tenemosqueelpuntodemnimaes: ) 4 , 2 (1PAhoradeterminamoslosinterceptosdelafuncinconlosejesde coordenadas. Interceptoconelejey:Hacemos0 = x enlafuncin: x x x x f y 12 9 2 ) (2 3+ = =0 ) 0 ( 12 ) 0 ( 9 ) 0 ( 2 ) 0 (2 3= + = f, as obtenemos el tercer punto:) 0 , 0 (3P . Interceptoconelejex:Hacemos0 = y enlafuncin: x x x x f y 12 9 2 ) (2 3+ = =x x x 12 9 2 02 3+ =Factorizandolaexpresin:) 12 9 2 ( 02+ = x x x ,comoeltrinomionoes factorizable, planteamos:0 ) 12 9 2 ( 02= + v = x x xAlaplicarlasolucinporfrmulageneral: 415 9) 2 ( 2) 12 )( 2 ( 4 ) 9 ( 92 = = xLocualoriginadossolucionesimaginarias,indicandoquelafuncinsolo corta al eje x en el punto) 0 , 0 (3P . La grfica sera: Elaboracin propia 83 GRAFICA 19 Ejemplo 2: Graficar la funcin 4 22 ) ( x x x f y = =Primero, derivamos la funcin:34 4 ) ( x x x f y = ' = 'Igualamos a cero (0) para determinar los puntos crticos: 34 4 0 x x =Factorizamos la expresin:) 1 )( 1 ( 4 ) 1 ( 4 02x x x x x + = =Planteamos entonces:0 ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 4 = + v = v = x x xLuego:1 1 0 = v = v = x x x Analizamoslosintervalosdecrecimientoydecrecimiento,apoyadosenla derivada de la funcin: Elaboracin propia GRAFICA 20 Intervalo ) 1 , ( : Si2 = x ,+ = + = = ' 32 8 ) 2 ( 4 ) 2 ( 4 ) 2 (3f(Creciente). Intervalo) 0 , 1 ( : Si5 . 0 = x , = + = = ' 5 . 0 2 ) 5 . 0 ( 4 ) 5 . 0 ( 4 ) 5 . 0 (3f(Decreciente). Intervalo ) 1 , 0 ( : Si, 5 . 0 = xC+ = = = ' 5 . 0 2 ) 5 . 0 ( 4 ) 5 . 0 ( 4 ) 5 . 0 (3f(Creciente). Intervalo ) , 1 ( : Si, 2 = xC = = = ' 32 8 ) 2 ( 4 ) 2 ( 4 ) 2 (3f(Decreciente). Luego, utilizamos la funcin original para determinar las coordenadas de los puntos crticos: 4 22 ) ( x x x f y = =1 1 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 (4 2= = = f , luego, tenemos el punto de mxima:) 1 , 1 (1 P0 ) 0 ( ) 0 ( 2 ) 0 (4 2= = f , luego, tenemos el punto de mnima:) 0 , 0 (2P1 1 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 (4 2= = = f , luego, tenemos el punto de mxima:) 1 , 1 (3PAhoradeterminamoslosinterceptosdelafuncinconlosejesde coordenadas. Intercepto con el eje y: Hacemos0 = xen la funcin: 4 22 ) ( x x x f y = =0 ) 0 ( ) 0 ( 2 ) 0 (4 2= = f, as obtenemos el cuarto punto:) 0 , 0 (4P . Intercepto con el eje x: Hacemos0 = yen la funcin: 4 22 ) ( x x x f y = = 4 22 0 x x =Factorizando la expresin:) 2 )( 2 ( ) 2 ( 02 2 2x x x x x + = =Planteamos:0 ) 2 ( 0 ) 2 ( 02= v = + = v = x x xEsto nos origina los puntos:) 0 , 0 (5P ,) 0 , 2 (6 P ,) 0 , 2 (7PEntonces, la grafica seria: --------------------------++++++++++++++++----------+++++ 0-1 1 84 Elaboracin propia GRAFICA 21 6.3. Aplicacionesdeladerivadaaproblemasde mximos y mnimos. -Ejemplo 1: Maximizacin de produccin.Unfabricantedeterminaquenempleadosenciertalneadeproduccin producenqunidadespormes,donde 2 480 1 . 0 n n q + = .Paraobteneruna produccinmensualmxima,cuntosempleadosdebenasignarseala lnea de produccin? Comovamosamaximizarlaproduccin,derivamoslafuncin: n ndndq160 4 . 03+ =En la produccin mxima la derivada es cero (0):n n 160 4 . 0 03+ =Factorizando:) 20 ).( 20 ( 4 . 0 ) 400 ( 4 . 0 02 + = = n n n n nPlanteamos:0 ) 20 ( 0 ) 20 ( 0 04 . 0 = v = + = v = n n nLuego :20 20 0 = v = v = n n n . Entonces la solucin es20 = n trabajadores. -Ejemplo2:Utilidad.Lafuncindedemandaparaelproductodeun monopolista esq p 2 400 =y el costo promedio por unidad para producirq unidades es:1602000_+ + =qq c, donde p es el precio, en dlares por unidad. 85 Encuentre la utilidad mxima que el monopolista puede lograr A qu precio? Cuntas unidades debe fabricar? Como vamos a maximizar la utilidad, escribimos su funcin: tos Ingresos Utilidad cos =tos unidades N precio Utilidad cos ) )( ( = Adems, qcc =_ Reemplazando, escribimos: ) ).( 1602000( ) ).( 2 400 ( ) .( ) ( ) ).( (_qqq q q q c q p U + + = =Obtenindose la funcin: 2000 240 3 ) 160 2000 ( ) 2 400 (2 2 2 + = + + = q q q q q q UDerivamos la funcin y la igualamos a cero (0):0 240 6 = + = qdqdU Resolviendo la ecuacin, obtenemos:40 = qunidades. El precio, ser:320 ) 40 ( 2 400 = = pdlares. La utilidad es:2800 2000 ) 40 ( 240 ) 40 ( 3 2000 240 32 2= + = + = q q Udlares. -Ejemplo 3: Diseo de empaque. Una caja cerrada con base cuadrada debe tenerunvolumende750 3cm ;elmaterialparaelsueloylatapacuesta65 2$cmyelmaterialparalosladoscuesta40 2$cm.Culesdebenserlas dimensiones de la caja de costo mnimo? Cul es el costo mnimo? Sean: x = lado de la base y = altura de la caja M = costo total de material El volumen de la caja sera: y x y x x V2) )( )( ( 750 = = =Comodebemosminimizarelcostodelmaterial,escribimoslasiguiente ecuacin:) ( cos ) ( cos lados to tapa base to M + + =Reemplazando:xy x xy x M 160 130 ) 4 )( ( 40 ) 2 )( ( 652 2+ = + =Despejando la variable y del volumen: 2750xy =Sustituyendo: xxxx x M120000130750160 130222+ = |.|

\|+ =Derivemos la funcin: 2120000260xxdxdM = 86 En el costo mnimo la derivada es cero (0): 2120000260 0xx =Obteniendo un comn denominador: 33120000 2600xx =Luego,podemos escribir:120000 2603= xAs, obtenemos los valores:55 . 12 ; 73 . 7 = = y xElcostomnimodelmaterialdelacajaseria: pesosxx M 8 . 2329173 . 7120000) 73 . 7 ( 1301200001302 2= + = + = -Ejemplo 4: Maximizacin de ingresos.Unaempresadetelevisinporcabletieneactualmente3.500sociosque pagan$25dlaresderentamensual,cadauno.Lacompaaha determinadoqueporcadadisminucinenelcostomensualde$1dlar, aumentara en 180 elnmero de clientes. Cul deber ser la tarifa mensual a cobrar para maximizar los ingresos de la compaa? Seax =nmero de disminuciones de $1 dlar en la tarifa mensual. Comodebemosmaximizarelingreso,escribimossuecuacin: ) ).( ( clientes N tarifa Ingreso =) 180 3500 ).( 25 ( x x I + =Efectuando operaciones obtenemos la ecuacin:87500 1000 1802+ + = x x IDerivamoslafuncindeingresoeigualamosacero(0): 0 1000 360 = + = xdxdI As, obtenemos el valor:77 . 2 = xLa tarifa mensual, seria: 25-2.77=$22.23 dlares El ingreso mximo de la compaa es: $88.888.88 dlares -Ejemplo 5: Minimizacin de Costos. Unfabricanteencuentraqueelcostototal,C,deproducirunproductoest dado por la funcin de costos500 5 05 . 02+ + = q q C . Cul ser el nmero de unidades a fabricar para obtener el costopromedio mnimo por unidad? Sea q= nmero de unidades a fabricar. La ecuacin para el costo promedio por unidad es: qq qqC 500 5 05 . 02+ +=Simplificando obtenemos: = + + = CqqqC 5005 05 . 0En el costo promedio mnimo la derivada es cero (0). 87 050005 . 02 = =q dxC d Despejando x: 0 500 05 . 02= qLuego: 1000005 . 05002= = q , entonces: 100 = qUnidades que deben fabricarse.

EJERCICIOS PROPUESTOS: a.Cercado.Uncamporectangularde1500metroscuadradosdebeser cercado y dividido en cuatro lotes iguales mediante cercas paralelas a uno de loslados.Hallarlasdimensionesdelcampoparaminimizarlacantidadde cerca utilizada. Cul esla cantidad de cerca usada? b.Utilidad.Un fabricantehaestadovendiendocierto artculoa $450cada unidadyaestepreciolosconsumidoreshanadquirido2500unidadesal mes.Sedeseaincrementarelprecioyseestimaqueporcada$50de incremento en el precio se vendern 200 unidades menos cada mes. El costo de produccin de cada unidad es de $150. Cul debe ser el precio de ventadecadaunidadparamaximizarlasutilidadesdelaempresa?Culesla utilidad mxima?c.Produccinmxima.UncultivadordeNaranjassabeporexperiencia que si se plantan 65 rboles por hectrea, la produccin promedio por rbol esde 300unidadesporcosecha.Adems, consideraquelaproduccinpor rbol aumentara en 10 unidadespor cada rbol menosque deje de sembrar porhectrea.Cuntosarbolesse debenplantarporhectreaconel finde maximizarlaproduccindenaranjas?Cualeslaproduccinmximapor hectrea? d.Diseo de empaque. Un fabricante est diseando una caja abierta para empacarsuproductoapartirdeunalminacuadradadecartnde dimensiones18x18centmetros. Elproceso serealizaquitandounpequeo cuadradodecadaesquinadelalminayplegandoparaformarloslados. Cul es el volumen mximo posible con este diseo y las dimensiones de la caja? 88 e.Producto mximo. Encontrar dos nmeros positivos cuya suma sea 70 y el producto de los mismos sea mximo?Cual es el producto mximo? f.MaximizacindeUtilidad.Lasecuacionesdedemandaycostototal para el producto de un fabricante monopolista, son: -ecuacin de demanda:q p 4 . 0 1200 + =-ecuacin de costo total:600 78 4 . 12+ + = q q cCulserelprecioyelnmerodeunidadesafabricarquemaximizanla utilidad?Cual es la utilidad mxima? 6.4.Integracin o Antiderivacin indefinida. Laantiderivadaointegraldeunafuncinf esotrafuncinF talque: ) ( ) ( x f x F = ' . El smbolo de integracin es: }. La antiderivada de una funcin nosdalafuncinprimitiva.Latablasiguientepresentaunejemplodelos conceptos anteriores: Funcin,) (x f Antiderivada,) (x F Derivada,) (x F'5C x + 5 5x 5Cx+252 x 525xCx+353 25x LaCsedenominaconstantedeintegracin.Poresto alasantiderivadas obtenidas de esta forma se les llama integrales indefinidas. 6.5.Frmulas de integracin indefinida. La tabla siguiente presenta lasfrmulas ms sencillas de antiderivacin: NombreFormulaEjemplos Integral de funcin constante }+ = C kx kdx}+ = C x dx 5 5 89 Integral de una potencia }++=+Cnxdx xnn11 }+ = Cxdx x10109 Integral de una constante por unafuncin | | dx x f k dx x f k} }= ) ( ) ( . | |} }+ = = Cxdx x dx x577 754 4 Integral de sumas y diferencias de funciones | |} } } = dx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( ) ( ) (| |} } } = dx x dx x dx x x4 2 4 26 2 6 2C x x + =5 35632 Integral de xe}+ = C e dx ex x }+ = C e dx ex x EJERCICIOS PROPUESTOS: En cada caso encontrar la antiderivada o integral de la funcin. a. }dx x6 b. }xdx 9 c. }dx 3 d. }dx ex21 e. } dx x x ) 7 3 (8 10 f. }dxx36 g. }dx x (

h. }dx ex5 90 i. }dxxe3 6.6. La integracin definida. Entreloslmitesaybparalavariablexsesimboliza: }badx x f ) ( . Geomtricamente representa el rea bajo la curva o funcin entre los lmites dados. Entonces escribimos: } = =baa F b F dx x f Area ) ( ) ( ) (Es decir, se evala la integral entre los lmites indicados.-Ejemplo: Encontrar el valor de la integral definida: }6335 dx xAplicamos las frmulas de integracin:} = = = =234 42343432544054804) 3 ( 54) 2 ( 5455xdx x 6.7.Aplicacionesdelaintegraldefinidaalclculode reas. -Ejemplo 1: Seax x f y = = ) ( . Encontrar el rea bajo la funcin entre 0 y 3. El rea equivale a la integral:|}= = = =302 23022920232xxdx Area Elaboracin propia 91 GRFICA 22 -Ejemplo 2: Sea2 ) ( = = x f y . Encontrar el rea bajo la funcin entre 0 y 5. El rea equivale a la integral: |}= = = =505010 ) 0 ( 2 ) 5 ( 2 2 2 x dx Area Elaboracin propia GRFICA 23 -Ejemplo 3: Sea 2) ( x x f y = = . Encontrar el rea bajo la funcin entre -2 y 2.rea equivale a la integral: |}= = = =223 322323163) 2 (3) 2 (3xdx x Area Elaboracin propia GRFICA 24 EJERCICIOS: En cada caso hallar la integral definidade la funcin entre los lmites dados. 92 a. }33dx ex b. }4234 dx xc. }513xdxd. }418dxx e. }+625 2) 2 ( dx x 93 BIBLIOGRAFIA -Haeussler, E (2008), Matemticas para Administracin y Economa. Mexico.Pearson-Prentice Hall. -Harshbarger, R (2004), Matemticas aplicadas a la Administracin, Economa y ciencias sociales. Mexico.Mc Graw Hill. -Tan, S (2005), Matemticas para Administracin y Economa. Mexico.Thomson. 94 ANEXO 1 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS Seccin 1.2: Equivalencia y leyes de la lgica. 1.En cada caso indicar si el enunciado dado es una proposicin simple e indicar su valor de verdad y luego negarla.a.La razcuadradade 5es2.13.R/si esproposicinsimple.Negacin: La raz cuadrada de 5 no es 2.13.b.PorqucompraccionesdeISAenlapasadaemisin?R/Noes proposicin. c.El presupuesto nacional en Colombia para el presente ao es superior a los25.000millonesdedlares.R/Siesproposicinsimple.Negacin:El presupuesto nacional no es superior a los 25.000 millones de dlares. d.Pronto habr paz en Colombia! R/No es proposicine.Hace calor. R/ Si es proposicin simple. Negacin: No hace calor. 2.Sean las proposiciones simples: p = Juan est especializado en economa q = Juan tomo un curso de mercadeo Expresa con palabras las siguientes proposiciones simblicas: a.q p . :Juanestespecializadoeneconomaytomouncursode mercadeo. b.q p v :Juanestespecializadoeneconomaotomouncursode mercadeo. c.q p SiJuanestespecializadoeneconoma,entonces,tomoun curso de mercadeo. d.q p SiysolosiJuanestespecializado,tomouncursode mercadeo. e.q p . Juannoestespecializadoeneconomaytomouncursode mercadeo. 95 f.q p v Juanestespecializadoeneconomaynotomouncursode mercadeo. g.) ( p Juan est especializado en economah.) ( q Juan tomo un curso de mercadeo. i.) ( q p . Noesciertoqu