Notas de Precalculo Unidad II-b

NOTAS DE PRECÁLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.

Q.F.I. Rogelio Deheza Cruz ~ 1 ~ AGO-DIC-2011

Contenido

2.1 Sistema de coordenadas rectangulares……………………………………………….2 2.2 Representación de una ecuación de dos variables…………………………………2 2.2.1 La recta…………………………………………………………………………………3 2.2.2 La parábola……………………………………………………………………………11 2.2.3 La circunferencia……………………………………………………………………..16 2.2.4 La hipérbola equidistante……………………………………………………………16 2.3 Propiedades de las funciones…………………………………………………………17 2.3.1 Simetría de una función……………………………………………………………..19 2.3.2 Intersección con los ejes “𝑥” y “𝑦”………………………………………………….20 2.4 Transformación de funciones…………………………………………………………22 2.4.1 Desplazamiento vertical de gráficas……………………………………………….22 2.4.2 Desplazamiento horizontal de gráficas…………………………………………….24 2.4.3 Reflexión de gráficas………………………………………………………………...25 2.5 Desigualdades………………………………………………………………………….29 2.5.1 Conjuntos e intervalos……………………………………………………………….29 2.5.2 Desigualdades lineales………………………………………………………………30 2.5.3 Desigualdades cuadráticas………………………………………………………….31 2.5.4 Desigualdades racionales…………………………………………………………...32 2.5.5 Desigualdades con valor absoluto………………………………………………….32 2.6 Definición de función…………………………………………………………………...35 2.6.1 Dominio y contradominio de la función…………………………………………….35 2.6.2 Funciones continuas y discontinuas……………………………………………….40 Funciones racionales……………………………………………………………….42 Funciones por intervalos……………………………………………………………50 2.6.3 Combinación aritmética de funciones……………………………………………...52 2.6.4 Composición de funciones…………………………………………………………..57 2.6.5 Inversa de funciones…………………………………………………………………63



Cuadrante I

(X,Y)

Cuadrante II

(-X,Y)

Cuadrante III

(-X,-Y)

Cuadrante IV

(X,-Y)

2 Gráficas y funciones

2.1 Sistema de coordenadas rectangulares Un sistema de ejes coordenados rectangulares o cartesianos consiste de dos rectas o dos ejes perpendiculares, que se cortan en el punto (0,0) llamado origen. A una de las rectas la representamos horizontalmente y la llamamos el eje de abscisas o eje de x. A la otra recta le representamos verticalmente y la llamamos el eje de ordenadas o eje de y.

El sistema de coordenadas rectangulares que se describe divide al plano en cuatro regiones o cuadrantes.

A cada eje o recta se representan los números reales a escala. En los semiejes de la derecha y de arriba (del origen), que limita el primer cuadrante, se representan los números positivos; y a la izquierda y abajo del origen, se representan los números negativos. Con el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares se representan o localizan puntos en el plano, asignándole una pareja o par ordenado de números reales (x,y) a cada punto.

2.2 Representación de una ecuación de dos variables Dos cantidades se relacionan a veces por medio de una ecuación o fórmula que contiene dos variables, las ecuaciones se pueden representar geométricamente por una gráfica en el plano de coordenadas.

En las gráficas se puede ilustrar cambios en cantidades, o bien descubrir propiedades de las cantidades que no son evidentes sólo de la ecuación. En una gráfica un ingeniero o físico puede ilustrar la información en la forma en que la presión de un gas confinado aumenta cuando se calienta el gas, un meteorólogo puede usar una gráfica para indicar la forma en que vario la temperatura en todo un día, Estas ayudas visuales por lo general revelan el comportamiento de cantidades con más facilidad que una larga tabla de valores numéricos.



Una ecuación con dos variables, que puede ser x y y, sólo es una afirmación o declaración matemática que asevera que dos cantidades que contienen esas variables son iguales

• La grafica de una ecuación en x y y es el conjunto de todos los puntos (x,y) del plano coordenado que satisface la misma. • Es conveniente construir una tabla de valores y hallar las intersecciones con los ejes coordenados cuando vamos a trazar la grafica de una ecuación. Resulta de gran utilidad ubicar los puntos en los que la gráfica de una ecuación cruza los ejes coordenados, cuando se traza a mano una gráfica. Las intersecciones en el eje x de la gráfica de una ecuación son los puntos en los que la gráfica cruza al eje x. ya que todo punto del eje x tiene la ordenada (coordenada y) o las abscisas (coordenada x) de esos puntos, si las hay, se pueden determinar a partir de la ecuación dada, haciendo que y=0 y despejando x. a su vez, las intersecciones en el eje y de la gráfica de una ecuación son los puntos en los que su gráfica cruza al eje y. Las ordenadas de esos puntos se pueden determinar igualando x=0 en la ecuación, y despejando a y.

2.2.1 La Recta Por experiencia sabemos que dos puntos determinan el segmento de recta por el que pasa una recta, y que esa recta es única. En el plano cartesiano, una ecuación con dos variables de primer

grado tiene como grafica una recta. La fórmula general de la recta es 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, escrita en forma implícita, o bien 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 en forma explícita.

Para trazar una recta, lo más práctico es buscar sus puntos de intersección con los ejes X e Y. conocida la ecuación, los puntos de intersección se calculan dando el valor de cero a cada una de las variables, dado lo anterior se tiene lo siguiente:

a) Eje X se obtiene cuando y=0, y se denota por (x,0) b) Eje Y se obtiene cuando x=0, y se denota por (0,y)

En la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, el valor de m destaca la característica inclinación de la recta respecto al eje X, llamada pendiente de la recta, y el valor de b indica el corte con el eje Y.

Definición de la pendiente de una recta

Sea 𝑙 una recta que no es paralela al eje 𝑦 y sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) puntos distintos de 𝑙 ,

la pendiente m de 𝑙 es: m = y2 −y1

y2 −y1

Si 𝑙 es paralela al eje 𝑦, entonces la pendiente de 𝑙 no esta definida



-6

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

-10 -5 0 5 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-6 -4 -2 0 2 4 6

La letra griega Δ se usa en matemáticas para denotar “cambio en”. Así, podemos pensar en

la pendiente como: m = y2 −y1

y2 −y1 =

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑦

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑥

La pendiente m mide la inclinación de la recta

respecto al eje x. podemos hallar entonces, a

partir de la pendiente del ángulo α que forma

dicha recta con el eje x teniendo en cuenta

que: m = tg α

La ordenada al origen, es el punto de

intersección entre la recta y el eje y, es decir,

es el valor de la ordenada para x=0, o sea la

imagen de cero

Analíticamente, la ecuación de una recta puede estar perfectamente determinada si se

conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de inclinación.

Pendiente mayor a cero

Pendiente menor a cero Pendiente igual a cero

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )

Forma de punto pendiente para la ecuación de una recta

Una ecuación para la recta que pasa por el punto (x1,y1) con pendiente 𝑚 es:



Normalmente dos variables 𝑥 y 𝑦 están linealmente relacionadas si 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde 𝑎 y

𝑏 son números reales y 𝑎 ≠ 0. Las relaciones lineales entre variables se presentan con

frecuencia en problemas aplicados.

Ejemplo 1. Hallar la intersección con los ejes coordenados y hacer la gráfica del siguiente

segmento de recta: 2𝑥 − 𝑦 + 6 = 0

Solución: si y = 0 si x = 0

2𝑥 + 6 = 0 𝑦 = 2 0 + 6

2𝑥 = −6 𝑦 = 6

𝑥 = −6

2 = 𝑥 = −3

Intersección de la recta con los ejes: (-3,0) y (0,6)

Ejemplo 2. Se desea conocer la concentración de Riboflavina (vitamina del grupo b), en

una muestra de pescado, experimentalmente se realizo una curva de calibración en el

espectrofotómetro s21D, dicha curva cumple con la ley de Bouger Lambert-Beer (la

absorbancia es directamente proporcional a la concentración), a continuación se muestran

los datos iníciales y finales de la curva.

a) Hallar la relación matemática entre absorbancia y % de concentración b) Si la muestra dio una absorbacia de 0.047, ¿qué porciento de concentración le

corresponde? c) Si la muestra dio una absorbacia de 0.095, ¿qué porciento de concentración le

corresponde?

0

1

2

3

4

5

6

7

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

% DE CONCENTRACION ABSORBANCIA 0.06 0.017

0.42 0.12



Relación matemática entre absorbancia y % de concentración

Cálculo de la pendiente: m = 𝐲𝟐 −𝐲𝟏

𝐲𝟐 −𝐲𝟏 =

𝟎.𝟎𝟏𝟕−𝟎.𝟏𝟐

𝟎.𝟎𝟔−𝟎.𝟒𝟐 = 0.29

Cálculo de la ordenada: 𝐲−𝐲𝟏 = 𝐦(𝐱− 𝐱𝟏 )

𝐲−𝟎.𝟏𝟐 = 𝟎.𝟐𝟗(𝐱− 𝟎.𝟒𝟐)

𝐀 = 𝟎.𝟐𝟗𝐂 − 𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟖

Cálculo de la concentración a una absorbancia de 0.047

𝑐 = 𝐴+0.0018

0.29 = 𝑐 =

0.047 +0.0018

0.29 = 0.16

Cálculo de la concentración a una absorbancia de 0.095

𝑐 = 𝐴+0.0018

0.29 = 𝑐 =

0.095+0.0018

0.29 = 0.32

Ejemplo 3. Los productos farmacéuticos deben especificar dosis recomendada para adultos y niños. Dos formulas para modificar los niveles de medicamento para adulto y para niños, son:

Regla de Cowling: 𝑦 = 𝑡+1 𝑎

24

Regla de Frend: 𝑦 =2𝑡𝑎

25

Sea "𝑦" la dosis de adulto (en miligramos) y t denota la edad del niño (en años). Si 𝑎 = 100

a) ¿Para qué edad las dos formulas especifican la misma dosis?

b) ¿Qué dosis se tiene para dicha edad?

Solución:

a) Si a = 100 entonces se tiene:

𝑦 = 𝑡𝑎

24 +

𝑎

24 = 𝑦 =

100𝑡

24 +

100

24 = 4.166𝑡 + 4.166 Cowling

𝑦 = 2𝑡𝑎

25 =

200𝑡

25 = 8t Frend

Si las dosis son iguales para ambas ecuaciones y despejando a t tenemos que: 4.166𝑡 + 4.166 = 8t

8𝑡 − 4.166𝑡 = 4.166

3.834𝑡 = 4.166 𝑡 = 1.09 𝑎ñ𝑜𝑠

b) 4.166𝑡 + 4.166 = 4.166 1.09 + 4.166 = 8.7 𝑚𝑔

8t = 8 1.09 = 8.7 𝑚𝑔



Ejercicios propuestos

Ejercicio 1. Un segmento de recta pasa por los puntos A (-3,-1) y B (2,-6). Hallar su

ecuación. Solución: 𝑦 = −𝑥 − 4 Ejercicio 2. Determinar la ecuación del segmento de recta con pendiente 6 que pasa por el

punto P (−1

2 , 2) Solución: 𝑦 = 6𝑥 + 5

Ejercicio 3. En los países anglosajones suelen usar la escala Fahrenheit para medir

temperaturas. En esta escala el punto de congelación del agua se alcanza a 32ºF, y el de

ebullición a 212ºF. Nosotros usamos la escala Celsius en la que estos puntos se alcanzan a

0ºC y 100ºC respectivamente.

a) Hallar la ecuación que relacione ºC con ºF y dibujarla.

b) ¿A cuántos ºC equivalen 80ºF?

c) ¿A cuántos ºF equivalen 36ºC?

Solución: a) ºF = 1.8ºC + 32, b) 80 ºF = 26.7 ºC, c) 36 ºC = 96.8 ºF

Ejercicio 4. Un bebé pesa 10 libras al nacer y 3 años más tarde el peso del niño es 30 libras. Suponga que el peso W (en libras) en la infancia está linealmente relacionado con la edad t (en años).

a) Exprese w en términos de t b) ¿Cuál es el peso en el sexto cumpleaños del niño? c) ¿A qué edad el niño pesará 70 libras?

Solución: a) 𝑤 𝑡 = 10 + 6.66𝑡 b) 49.96 libras c) 9 años

Ejercicio 5. Si la dosis de un medicamento que se recomienda para un adulto es D en mg,

entonces para determinar la dosis aceptable 𝑐 para un niño de edad 𝑎, los farmacéuticos

usan la ecuación 𝑐 = 0.0417𝐷(𝑎 + 1), suponga que la dosis para un adulto es 200 mg.

a) Determine la pendiente y que representa

b) ¿cuál es la dosis para un recién nacido?

Solución: a) pendiente = 8.34 y represente el incremento en la dosis por cada año en la

edad, b) 8.34 mg



Ejercicio 6. La relación entre las escalas de temperatura Fahrenheit (ºF) y Celsius (ºC) se

expresa mediante la relación: ºF = 1.8ºC + 32 Completar la siguiente tabla y determinar la temperatura a la cual las dos escalas tienen el mismo valor.

Solución: -76ºF, -4ºF, 14ºF, 32ºF, -12.22ºC, 10ºC, 23.88ºC, 37.77ºC y ambas escalas son iguales en el valor de -40.

Ejercicio 7. En el juego de video que se muestra en la figura, un avión vuela de izquierda a

derecha a lo largo de la trayectoria dada por y = 1 + 1

𝑋 y dispara balas en la dirección

tangente a criaturas colocadas sobre el eje X, en X= 1, 2, 3 y 4

Mediante un cálculo se encontró que la pendiente de la recta tangente a la trayectoria en P

(1,2) es m = -1 y en Q(3

2 ,

5

3) es m = -

4

9, determine si alguna criatura será blanco de balas

cuando el avión esté en:

a) P b) Q

ºC ºF

-60

-20

-10

0

10

50

75

100



Ejercicio 8. A partir de las siguientes figuras, obtener la ecuación lineal que relacione la

distancia y el tiempo

Ejercicio 9.

En la superficie del mar, la presión es equivalente a la presión atmosférica y tiene un valor de 14.6885 lbf/plg2 , por debajo de la superficie la presión aumenta 4 lbf/plg2 por cada 10 pies que se desciende.

a) Determine una ecuación para la relación entre presión y profundidad del mar b) Trace una grafica de esta ecuación obtenida c) ¿Qué representa la pendiente y la ordenada al origen de la grafica?



Temperatura

Ejercicio 9. La presión del gas es directamente proporcional a su temperatura (Ley de Gay

Lussac). •Si aumentamos la temperatura, aumentará la presión. •Si disminuimos la temperatura, disminuirá la presión. En la siguiente gráfica hallar la ecuación que relacione presión y temperatura

Ejercicio 10. En el laboratorio de química se elaboró una solución, en la cual se midió la temperatura en dos tiempos diferentes, las temperaturas fueron de 5ºC y 50ºC. Para estudiarla es más conveniente establecer una nueva escala de temperatura, a la cual la llamaremos grados OMEGA (ºΩ), si a 0º Ω le corresponden -10ºC y a 100ºΩ le corresponden 90ºC, determinar:

a) La función lineal, para calcular los grados Celsius como una función de los grados

OMEGA.

b) Utilizando la función del inciso anterior calcula los grados Celsius que le

corresponden a 60ºΩ.

c) Calcula los grados omega que le corresponden a 5ºC y 50ºC.

Ejercicio 11. Un auto inicia su movimiento en el kilometro 20 de una carretera, siendo las

13:00 hrs del día y 9 horas después de haber comenzado, cruza el kilometro 70. Si este

movimiento es rectilíneo uniforme en todo momento (función lineal), determina:

a) La función lineal, para calcular el desplazamiento como una función del tiempo

b) Utilizando la función del inciso anterior calcular a que kilometro llegará en el

momento en que han transcurrido 11 horas de viaje. (las condiciones del movimiento

se mantendrán)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 100 200 300 400 500

P r e s i ó n

K

atm



Ejercicio 12. Un ingeniero químico fabrica cosméticos y observa que cuesta 2200 pesos

manufacturar 100 labiales rojo carmín en un día, y 4800 pesos producir 300 labiales en un día.

a) Si se supone que la relación entre costo y número de labiales fabricados es lineal, encuentre una ecuación que exprese esta relación. Luego grafique la ecuación.

b) ¿Cuál es la pendiente de la recta del inciso anterior y qué representa? c) ¿cuál es la ordenada al origen de esta recta y qué representa?



2.2.2. La parábola

Las cónicas de Apolonio Pergamo (262-190 a.C), constaban de ocho libros. Esta obra es

el resultado de estudiar las secciones de un cono a las que denominó cónicas. Apolonio

descubrió que se obtenían al cortar mediante una superficie plana un cono circular en

diversas posiciones. Depende de cómo se corten, las secciones resultantes serán círculos,

elipses, hipérbolas o parábolas. Aunque estos conceptos no tuvieron posibilidad de ser

aplicados a la ciencia de su época, su importancia ha quedado plenamente justificada con

el paso del tiemp

Una parábola es un lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Uno de los puntos de la parábola es el punto medio entre el foco y la directriz, este punto es el vértice. En este caso el vértice es el origen.

La distancia que hay entre el vértice y el

foco, así como entre el vértice y la

directriz es p. la recta que une al vértice

con el foco y que es perpendicular a la

directriz se conoce como el eje de

simetría. Un segmento de recta que

Definición de una ecuación cuadrática

Es una ecuación cuadrática si f(x) = ax2 + bx + c , donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales

con 𝑎 ≠ 0



-5

0

5

10

15

20

25

30

-6 -4 -2 0 2 4 6 -30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

-6 -4 -2 0 2 4 6

une dos puntos de una parábola se conoce como cuerda de la parábola. La cuerda que pasa por el foco y es paralela a la directriz, y por tanto perpendicular al eje de simetría es el lado recto. La longitud del lado recto es 4p, o sea 4 veces la distancia del foco al vértice. Esta longitud indica qué tan abierta o cerrada es la parábola.

Graficas. La grafica de una función cuadrática tiene la misma forma básica que la función

de elevar al cuadrado, 𝑦 = 𝑥2, en general las graficas de las funciones cuadráticas solo son

transformaciones de la grafica 𝑦 = 𝑥2.

La forma común para graficar una parábola es completando el trinomio cuadrado perfecto, esta forma da la información inmediata del vértice V (h,k) y el eje de simetría x=h. para trazar una parábola son suficientes tres puntos, un punto puede ser el vértice y los otros dos puntos pueden ser las intersecciones con los ejes coordenados.

Recordemos que la forma estándar o normal de la parábola 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑕)2 + 𝑘

Un valor máximo o mínimo de una función es el valor más grande o más pequeño de la función en un intervalo.

Valor máximo o mínimo de una función cuadrática, sea 𝑓 una función cuadrática con forma estándar 𝑓 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑕)2 + 𝑘. El valor máximo o mínimo de 𝑓 ocurre en x=h

Si a >0, entonces el valor mínimo de 𝑓 es 𝑓 𝑕 = 𝑘

Si a <0, entonces el valor máximo de 𝑓 es 𝑓 𝑕 = 𝑘



-20

5

30

55

80

105

130

155

180

205

230

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6

Ejemplo 1. Graficar la siguiente función completando el trinomio cuadrado perfecto.

Y = 5𝑥2 + 20𝑥 + 17

Se desea la forma: 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑕)2 + 𝑘

Se procede a factorizar los términos en x: 𝑦 = 5 𝑥2 + 4𝑥 + 17

Se completa el cuadrado: 5 𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 4 + 17

5 𝑥 + 2)2 − 4 + 17

5(𝑥 + 2)2 − 3

Vértice: V(-2,-3)

Intersecciones con los ejes de coordenadas

Si y = 0

A partir de la ecuación obtenida: Y = 5(𝑥 + 2)2 − 3

5(𝑥 + 2)2 − 3 = 0

Se despeja x-. x = ± 3

5 − 2 o bien x1 =

3

5 − 2 y x2 = −

3

5 − 2

Si x = 0 en Y = 5𝑥2 + 20𝑥 + 17 entonces se tiene: y = 17

V(-2,-3)



Ejemplo 2. Obtener el vértice y las intersecciones de la función 𝑦 =𝑥2

2 + 2𝑥, haciendo uso

del trinomio cuadrado perfecto. Solución:

Se desea la forma: 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑕)2 + 𝑘

Se procede a factorizar los términos en x: 𝑦 =1

2 𝑥2 + 4𝑥

Se completa el cuadrado: 𝑦 =1

2 𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 4

𝑦 =1

2[ 𝑥 + 2 2 − 4]

𝑦 =1

2 𝑥 + 2 2 − 2

Vértice: V(-2,-2)


Si y = 0

A partir de la ecuación obtenida 𝑦 =1

2 𝑥 + 2 2 − 2

0 =1

2 𝑥 + 2 2 − 2

1

2 𝑥 + 2 2 = 2

𝑥 + 2 2 = 4

𝑥 + 2 = 4

𝑥 = ±2 − 2 por lo tanto se tiene (0,0) y (-4,0)

Si x = 0 en 𝑦 =1

2 𝑥 + 2 2 − 2

𝑦 =1

2 0 + 2 2 − 2

Y = 0 la intersección es en (0,0)

Ejemplo 3. La rapidez de crecimiento 𝑦 (en libras por mes) de un infante está relacionada

con el peso actual 𝑥 (en libras) por la fórmula 𝑦 = 𝑐𝑥(21 − 𝑥), donde 𝑐 es una constante positiva y 0<x<21. ¿A qué peso se presenta la máxima rapidez de crecimiento?

Solución:

𝑦 = 𝑐𝑥(21 − 𝑥)

𝑦 = 21𝑥(21 − 𝑥)

𝑦 = 441𝑥 − 21𝑥2

𝑦 = −21 𝑥2 − 21𝑥

Completando el trinomio cuadrado perfecto: 𝑦 = −21 𝑥2 − 21𝑥 +441

4−

441

4

𝑦 = −21[(𝑥 −21

2)2 −

441

4]

𝑦 = −21(𝑥 −21

2)2 +

(−21)441

4

Por lo tanto el peso será de 21

2 o bien 10.5 libras




Ejercicio 1. Graficar la siguiente función completando el trinomio cuadrado perfecto.

Y = −𝑥2 − 2𝑥 + 8

Solución: Vértice: V(-1,9)


(2,0), (−4,0), (0,8)

Ejercicio 2. Graficar la siguiente función completando el trinomio cuadrado perfecto.

Y =𝑥2 − 4𝑥 Solución: Vértice: V(2,-4) Intersecciones con los ejes de coordenadas (4,0), −4,0 , (0,0)

Ejercicio 3. Obtener el vértice y las intersecciones de la función 𝑦 = 3 − 𝑥 −𝑥2

2, haciendo

uso del trinomio cuadrado perfecto.

Solución: V(−1,7

2)

Intersecciones: 7 ,−1 , − 7 ,−1 , 0, 3

Ejercicio 4. Obtener el vértice y las intersecciones de la función 𝑦 = −𝑥2

3 + 2𝑥 + 7,

haciendo uso del trinomio cuadrado perfecto. Solución: V(3,10)

Intersecciones: 30 + 3, 0 , − 30 + 3, 0 , 0, 7

Ejercicio 5. El número de manzanas que produce cada árbol en una huerta depende de la

densidad de árboles plantados. Si se plantan 𝑛 arboles en un acre de tierra, entonces cada

árbol produce 900 − 9𝑛 manzanas, así que el número de manzanas producidas por acre es 𝐴 𝑛 = 𝑛 900 − 9𝑛 , ¿cuántos árboles se deben plantar por acre a fin de obtener la producción máxima de manzanas?

Solución: 𝑎 = 50 arboles de acre

Ejercicio 6. Cuando un objeto extraño en la tráquea fuerza a una persona a toser, el diafragma empuja hacia arriba causando un incremento de presión en los pulmones. Al mismo tiempo la tráquea se contrae, y provoca que el aire expelido se mueva más rápido e incremente la presión. De acuerdo con el modelo matemático de toser, la velocidad 𝑣 de la corriente de aire por la tráquea de una persona de tamaño promedio se relaciona con el radio 𝑟 de la tráquea (en centímetros) mediante la función: 𝑣 𝑟 = 3.2(1 − 𝑟)𝑟2 donde 1

2≤ r ≤ 1. Determine el valor de 𝑟 para el cual 𝑣 es un máximo.

Solución: 0.67 Cm



Ejercicio 7.

Graficar las siguientes funciones, obteniendo el vértice e intersecciones con los ejes.

a) 2𝑥2 + 𝑥 = 1

b) 𝑓 𝑥 = −3X2 + 5X − 2

c) 𝑓 𝑥 = 3 − 4𝑥 − 4𝑥2 d) 𝑓(𝑋) = 1 − 6𝑥 − 𝑥2,

Ejercicio 8. la trayectoria que sigue una persona al saltar desde una plataforma de 7

metros de altura esta dada por la ecuación 𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 8, donde 𝑥 es la distancia

horizontal y 𝑦 es la altura, ambas variables están dadas en metros.

a) ¿A qué distancia entrara al agua a partir del punto máximo? b) ¿Cual es la altura máxima total que alcanza la persona a

partir del nivel del agua

Solución: a) 9 metros; b) 3 metros

Ejercicio 9. Cuando cierto fármaco se toma oralmente, su concentración en el torrente

sanguíneo del paciente después de 𝑡 minutos está dada por 𝑐 𝑡 = 0.06𝑡 − 0.0002𝑡2 donde 0 ≤ t ≤ 240 y la concentración se mide en mg/L. ¿cuándo se alcanza la concentración máxima, y cuál es esa concentración máxima?

2.2.3 La circunferencia (tema para investigación del alumno)

2.2.4 La hipérbola equidistante (tema para investigación del alumno)

Y

X

Y



2.3 Propiedades de las funciones

Al usar los objetos y personas que nos rodean, es fácil establecer una regla de correspondencia que asocie, haga coincidir, los miembros o elementos de un conjunto con los miembros de otro conjunto.

• A cada libro de una biblioteca le corresponde el número de páginas en el libro.

• A cada ser humano corresponde una fecha de nacimiento.

•Si la temperatura del aire se registra durante todo el día, entonces a cada instante corresponde una temperatura.

Se acostumbra representar una función por una letra, como por ejemplo, f, g o h. entonces,

se puede representar una función f de un conjunto X a un conjunto Y con la notación

f:X→Y. El conjunto X se llama dominio de f. el conjunto de elementos correspondientes y

del conjunto Y se llama contradominio o rango de la función.

Las flechas curvadas indican que los elementos de X corresponden a los elementos de f(x).

a cada elemento de X hay designado exactamente un valor de función en f(x); no obstante,

diferentes elementos de X, pueden tener el mismo valor en f(x).

f (x) f (3)

f (1)

1 3 x

Y

x

Rango

Dominio

y = f (x)

x

Y

Definición de función

Una función de un conjunto 𝑥 a un conjunto 𝑦 es una regla de correspondencia que

asigna a cada elemento x de 𝑥, exactamente un elemento y de 𝑦.



x

x = a

x

Como el valor de f(x) depende de la elección de X, a Y se le llama variable dependiente; a

X se le llama variable independiente.

La gráfica de una función f es la gráfica del conjunto de pares ordenados (x, f(x)), donde x

está en el dominio de f. en el plano xy, un par ordenado (x, f(x)), es un punto, y entonces la

gráfica de una ecuación es un conjunto de puntos. Si una función está definida por una

ecuación y= f(x), entonces la gráfica de f es la gráfica de la ecuación. Para obtener puntos

de la gráfica de una ecuación y= f(x) se escogen números adecuados x1, x2, x3 … en su

dominio, se calculan f(x1), f(x2), f(x3) … se grafican los puntos correspondientes (x1, f(x1)),

(x2, f(x2)), (x3, f(x3)), … y a continuación se unen esos puntos con una curva.

Prueba de la recta vertical. De acuerdo con la definición de una función, sabemos que a cada x en el dominio de f, corresponde sólo un valor f(x) en el contradominio. Eso significa que una recta vertical que cruce a la gráfica de una función y= f(x) (equivale a escoger a una x), sólo lo puede hacer una vez. Al revés, si cada recta vertical que cruza una gráfica de una ecuación lo hace cuando mucho en un punto, entonces la gráfica es la gráfica de una función. A esa afirmación se le llama prueba de recta vertical, para una función.

y

y x = a

La curva es la gráfica de

una función

La curva no es la gráfica

de una función

Gráfica de una función La gráfica de una función f es la gráfica de la ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥) para 𝑥 en el dominio de 𝑓.



-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-15 -10 -5 0 5 10 15

-1000-900-800-700-600-500-400-300-200-100

0100200300400500600700800900

1000

-10 0 10

2.3.1 Simetría de una función

Simetría. Una grafica es simétrica con respecto al eje y si siempre que (𝑥,𝑦) es un punto

de la grafica, −(𝑥, 𝑦) también es un punto de la grafica. Se dice que una grafica es simétrica

con respecto al eje 𝑥 si siempre que (𝑥,𝑦) es un punto de la grafica, (𝑥,−𝑦) también es un

punto de la grafica. Finalmente, una gráfica es simétrica respecto al origen si cuando (𝑥, 𝑦)

está en la gráfica, (−𝑥,−𝑦) también es un punto de la gráfica.

Simetría con respecto al eje 𝑦 Función PAR

Simetría con respecto al eje 𝑥 NO aplica para funciones

Simetría con respecto al origen función IMPAR



2.3.2 Intersecciones con los ejes “X” y “Y”

Las coordenadas 𝑥 de los puntos donde una gráfica corta al eje 𝑥 se denominan

intersección con el eje 𝑥 de la gráfica y se obtiene haciendo 𝑦 = 0 en la ecuación de la

gráfica. Las coordenadas 𝑦 de los puntos donde una grafica corta al eje 𝑦 se llama

intersección con el eje 𝑦 de la gráfica y se determina haciendo 𝑥 = 0 en la ecuación de la

gráfica.

Ejemplo 1. Hallar las intersecciones con los ejes y la simetría de la siguiente función: Intersecciones con los ejes 𝑓(𝑥) = −3𝑥

si 𝑥 = 0 si 𝑦 = 0 𝑓(𝑥) = −3(0) 0 = −3𝑥 𝑓(𝑥) = 0 𝑥 = 0

Intersección (0,0) Intersección (0,0) Simetría de la función Sustituyendo (-x) sustituyendo (-y) sustituyendo (-x,-y) 𝑓 −𝑥 = −3 −𝑥 = 3𝑥 𝑓 −𝑦 = −3 −𝑦 = 3𝑦 𝑓 −𝑥,−𝑦 = −3 −𝑥 = 3𝑥

𝑦 = −3𝑥 Simetría con respecto al origen Ejemplo 2. Hallar las intersecciones con los ejes y la simetría de la siguiente función:

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 − 2 Intersección con los ejes si 𝑥 = 0 si 𝑦 = 0

𝑓 𝑥 = 02 − 2(0) − 2 0 = 𝑥2 − 2𝑥 − 2

𝑓(𝑥) = 0 despejando "𝑥" x1 = − 3 + 1 x2 = 3 + 1

(0,−2) (− 3 + 1,0) ( 3 + 1,0)

Sustituyendo (-x) sustituyendo (-y) sustituyendo (-x,-y) 𝑓 −𝑥 = (−𝑥2 ) − 2 −𝑥 − 2 𝑓 −𝑦 = (−𝑥2 ) − 2 𝑥 − 2 𝑓 −𝑥,−𝑦 = (−𝑥2 ) − 2 −𝑥 − 2

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 − 2 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 2𝑥 + 2 𝑓 −𝑥,−𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 2

Ejemplo 3. Hallar las intersecciones con los ejes y la simetría de la siguiente función:

𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥2

si 𝑥 = 0 si 𝑦 = 0

𝑦 = 4 − 0 4 − 𝑥2 = 0

𝑦 = ± 4 𝑥2 = 4, x1 = 2 x2 = -2

(0,2) (2,0) (-2,0)

Sustituyendo (-x)

𝑓 −𝑥 = 4 − (−𝑥)2

𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥2 Simetría con respecto al eje y




Hallar la simetría y la intersección con los ejes de las siguientes funciones: 1) − 𝑥 + 2𝑦 − 1

R. intersecciones 0,1

2 , −1,0 no hay simetría

6) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 3

2) 2𝑥 − 𝑦 − 6 R. intersecciones 3,0 , 0,−6 no hay simetría

7) 𝑥 + 𝑦 = 3

3) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4 R. intersecciones (0,-4) (2,0), (-2,0) Simetría con respecto al eje 𝑌

8) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2

4) 𝑥2 + 𝑦2 = 4 R. intersecciones 4,0 , 0,−2 Simetría con respecto al eje 𝑋

9) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 3

5) 𝑓 𝑥 = − 9 − 𝑥2 R. (0,-3), (3,0), (-3,0) simetría con respecto al

eje 𝑌

10) 𝐹(𝑥) = 81 − 𝑦2

6) 4𝑦 = 𝑥3

R. intersecciones 1

2 , 0 simetría con respecto

al origen

11) 𝑥 = − 81 − 𝑦2



2.4 Transformación de funciones

La transformación de una función afecta su grafica. Esto proporciona una mejor

comprensión de cómo graficar funciones. Las transformaciones que se estudian son

desplazamiento, reflexión y estiramiento.

Transformaciones rígidas. Una transformación rígida de una gráfica es aquella que sólo

cambia la posición de la gráfica en el plano 𝑥𝑦, pero no su forma.

Transformaciones no rígidas. Si una función 𝑓 se multiplica por una constante 𝑐 > 0, cambia

la forma de la gráfica, pero se conserva aproximadamente, su forma original. La gráfica de

𝑦 = 𝑐𝑓(𝑥) es la de 𝑦 = 𝑓(𝑥) deformada de manera vertical; la gráfica de 𝑓 se estira (o se

alarga, o se elonga) verticalmente, o se comprime (o se aplana) de manera vertical,

dependiendo del valor de 𝑐. El estiramiento o la compresión de una gráfica son ejemplos de

transformaciones no rígidas.

2.4.1 Desplazamiento vertical de gráficas

Desplazamientos verticales de graficas

Supóngase que 𝑐>0 Para graficar 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑐, desplace 𝑐 unidades hacia arriba la grafica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) Para graficar 𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑐, desplace 𝑐 unidades hacia abajo la grafica de 𝑦 = 𝑓(𝑥)



-5

0

5

10

15

20

25

30

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

15

20

25

30

35

40

-6 -4 -2 0 2 4 6

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-6 -4 -2 0 2 4 6

𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑐

𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑐



-5

0

5

10

15

20

25

30

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

5

10

15

20

25

30

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4

0

5

10

15

20

25

30

-10 -5 0 5 10 15

2.4.2 Desplazamiento horizontal de gráficas

Desplazamientos horizontales de graficas

Supóngase que 𝑐>0 Para graficar 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑐), desplace la grafica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) a la derecha 𝑐 unidades.

Para graficar 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑐), desplace la grafica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) a la izquierda 𝑐 unidades.

𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑐

𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑐



0

5

10

15

20

25

30

-6 -4 -2 0 2 4 6-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

-6 -4 -2 0 2 4 6

2.4.3 Reflexión de gráficas

Reflexión de graficas

Para graficar 𝑦 = −𝑓(𝑥), refleje la grafica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el eje 𝑥

Para graficar 𝑦 = 𝑓(−𝑥), refleje la grafica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el eje 𝑦

𝑦 = −𝑓 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥

Estiramiento y acortamiento vertical de graficas

Para graficar 𝑦 = 𝑐𝑓(𝑥)

Si 𝑐 > 1, alargue verticalmente la grafica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) por un factor de 𝑐.

Si 0 < 𝑐 < 1, acorte verticalmente la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) por un factor de 𝑐.



1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

5 10 15 20 25 30

-1

-0.5

0.5

1

𝑦 = 𝑓 𝑐𝑥

𝑦 = 𝑓 𝑥

𝑐

Acortamiento y alargamiento horizontal de gráficas La gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑐𝑥)

Si 𝑐 > 1, acorte la grafica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) horizontalmente por un factor de 1

𝑐.

Si 0 < 𝑐 < 1, alargue la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) horizontalmente por un factor de 1

𝑐.

𝑦 = 𝑓 𝑥



2 4 6 8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

2 4 6 8 10

-6

-5

-4

-3

-2

-14 5 6 7 8 9 10

-5

-4

-3

-2

-1

Ejemplo1.

Graficar 𝑦 = 2 − 2 𝑥 − 3 Es esta función se tienen un producto de cuatro transformaciones de la función básica

𝑓 𝑥 = 𝑥

𝑦 = 2 − 2 𝑥 − 3

Desplazamiento vertical hacia arriba Desplazamiento horizontal hacia la

derecha

Reflexión en el eje x Estiramiento vertical

𝑦 = 𝑥

Punto de partida

𝑦 = 2 𝑥

Estiramiento vertical

𝑦 = −2 𝑥

Reflexión en el eje 𝑥

𝑦 = −2 𝑥 − 3

Desplazamiento hacia

la derecha



4 5 6 7 8 9 10

-3

-2

-1

1

Se comenzo con la gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥, a continuación, se estira verticalmente esa

gráfica, por un factor de 2, para obtener 𝑦 = 2 𝑥 . se refleja esta segunda gráfica en el eje

𝑥, para obtener 𝑦 = −2 𝑥, la tercer gráfica se desplaza 3 unidades hacia la derecha, para

obtener 𝑦 = −2 𝑥 − 3. Por último, la cuarta gráfica se desplaza 2 unidades hacia arriba,

para obtener 𝑦 = 2 − 2 𝑥 − 3. Es importante notar que el punto (0,0) de la gráfica de

𝑓 𝑥 = 𝑥 queda fijo en el estiramiento vertical y en la reflexión en el eje 𝑥, pero bajo el

primer desplazamiento (horizontal), el punto (0,0) se mueve a (3,0) y en el segundo

desplazamiento (vertical), el punto (3,0) se mueve a 3,2 .


Bosqueje la gráfica de la función, no mediante la graficación de puntos, sino iniciando con

la grafica de una función estándar y aplicando transformaciones.

1. 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 2)2 9. 𝑓 𝑥 = (𝑥 + 7)2 2. 𝑓 𝑥 = −(𝑥 + 1)2 10. 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥2

3. 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 2 11. 𝑓(𝑥) − 𝑥3

4. 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥 12 . 𝑓 𝑥 = 2 − 𝑥 + 1

5. 𝑓 𝑥 =1

2 𝑥 + 4 − 3 13. 𝑦 = 3 − 2(𝑥 − 1)2

6. 𝑓 𝑥 = 5 + (𝑥 + 3)2 14. 𝑦 =1

3 𝑥3 − 1

7. 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 15. 𝑦 = 𝑥 − 1

8. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 + 2 16. 𝑦 = 2 − 𝑥

𝑦 = 2 − 2 𝑥 − 3

Desplazamiento hacia arriba



2.5 Desigualdades

Resolver ecuaciones, por ejemplo, −6𝑥 + 17 = 8 ó 𝑥2 − 2𝑥 − 5 = 0 es una de las tareas

tradicionales de las matemáticas. Pero es casi de la misma importancia en cálculo saber

resolver una desigualdad por ejemplo, −2𝑥 + 6 < 7 ó 𝑥2 − 2𝑥 + 46 ≥ 0. Resolver una

desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales que la hacen verdadera.

En contraste con una ecuación, cuyo conjunto solución en general, consta de un número o

quiza un conjunto finito de números, el conjunto solución de una desigualdad por lo común

consta de un intervalo completo de números o, en algunos casos, la unión de tales

intervalos.

Propiedades de las desigualdades.

Dados dos números reales, siempre podemos compararlos y decir si son iguales o cúal es más grande.

Escribimos 𝑎 < 𝑏 para decir que a es menor que b y que 𝑎 ≤ 𝑏 para decir que 𝑎 es

menor o igual que 𝑏. En la recta, 𝑎 < 𝑏 significa que el punto correspondiente a 𝑎 está a la izquierda del

que corresponde a 𝑏. El orden de los números reales tiene las siguientes propiedades:

a) Si 𝑎 y 𝑏 son números reales, sucede una y sólo una de las siguientes relaciones

(propiedad tricotomía). 𝑎 = 𝑏, 𝑎 > 𝑏, 𝑎 < 𝑏

b) Si 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑏 < 𝑐, entonces a< 𝑐 (propiedad transitiva)

c) Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑐 ∈ 𝕹, entonces 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐

d) Si 𝑎 < 𝑏, y 𝑐 > 0 entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐

e) Si 𝑎 < 𝑏, y 𝑐 < 0 entonces 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐. podemos tener los tres casos siguientes.

−𝑏𝑐 < −𝑎𝑐 𝑏𝑐 < 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 < 𝑎𝑐

2.5.1 conjunto e Intervalos

Definición: Dados dos números 𝑎,𝑏 en 𝕹, con 𝑎 menor que 𝑏, el intervalo definido por 𝑎 y 𝑏

es el conjunto de números 𝑥 en 𝕹 que están entre 𝑎 y 𝑏.

Los puntos 𝑎 y 𝑏 pueden o no pertenecer al intervalo, entonces podemos tener los siguientes casos.

a) Si 𝑎 y 𝑏 pertenecen al intervalo, éste se llama intervalo cerrado, y escribimos: 𝑎,𝑏 = 𝑥 ∈ 𝕹|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.



b) Si 𝑎 y 𝑏 no pertenece al intervalo, éste se llama intervalo abierto y escribimos: (𝑎,𝑏) = 𝑥 ∈ 𝕹|𝑎 < 𝑥 < 𝑏.

c) Si alguno de los extremos, pero no ambos, pertenecen al intervalo tenemos estos

dos casos (intervalos semiabiertos o semicerrados)

(𝑎,𝑏] = 𝑥 ∈ 𝕹|𝑥 ≤ 𝑏.

[𝑎,𝑏) = 𝑥 ∈ 𝕹|𝑥 ≥ 𝑎.

2.5.2 Desigualdades lineales

Ejemplo 1.

Hallar la solución de la siguiente desigualdad 3𝑥 + 11 ≤ 6𝑥 + 8

Ordenar terminos sejantes 3𝑥 − 6𝑥 ≤ 8 − 11

(-1) −3𝑥 ≤ −3 3𝑥 ≥ 3

𝑥 ≥ 1 por lo tanto el conjunto es [1,∞)

Ejemplo 2. Hallar la solución de la siguiente desigualdad

5 ≤ 3𝑥 − 4 ≤ 14

La desigualdad se separa en dos desigualdades. 5 ≤ 3𝑥 − 4 y 3𝑥 − 4 ≤ 14

5 ≤ 3𝑥 − 4 3𝑥 − 4 ≤ 14

5 + 4 ≤ 3𝑥 3𝑥 ≤ 18

9 ≤ 3𝑥 𝑥 ≤18

3

𝑥 ≥9

3 𝑥 ≤ 6

𝑥 ≥ 3 [3,∞) (−∞, 6]

Se multiplica la desigualdad por un

número negativo y se cambia el

orden de la desigualdad



Se construye una tabla de valores y se sustituyen en la desigualdad original

(−∞, 3] [3,6] [6,∞) X= 0 X=3 X=10

X=5

X=6

Finalmente el intervalo que cumplen con la solucion es: [3,6] o bien (−∞, 6] U [3,∞)

2.5.3 Desigualdades con término cuadrático

Ejemplo 3 Hallar la solución de la siguiente desigualdad

2𝑥2 − 𝑥 < 3

2𝑥2 – 𝑥 − 3 < 0

Factorizando: 𝑥 + 1 (2𝑥 − 3) < 0

Se tienen dos casos: i) 𝑥 + 1 < 0 2𝑥 − 3 < 0 𝑥 < −1 2𝑥 < 3

(−∞,−1) (−∞,3

2)

ii) 𝑥 + 1 > 0 2𝑥 − 3 > 0 𝑥 > −1 2𝑥 > 3

(−1,∞) (3

2 ,∞)

Tabla de valores propuestos

(−∞,−1) (−1,3

2 ) (

3

2,∞)

X= -5 X=-1 X=2

X=0

X=3

2

Solución: los valores que cumplen con la desigualdad están en el intervalo (−1,3

2 )

Ejemplo 4. Hallar la solución de la siguiente desigualdad 5𝑥2 + 3𝑥 ≥ 3𝑥2 + 2

Ordenando la desigualdad se tiene 2𝑥2 + 3𝑥 − 2 ≥ 0 Factorizando la desigualdad 𝑥 + 2 (2𝑥 − 1) Se tienen dos casos: i) 𝑥 + 2 ≥ 0 2𝑥 − 1 ≥ 0

𝑥 ≥ −2 2𝑥 ≥ 1

[−2,∞) [1

2 ,∞)

ii) 𝑥 + 2 ≤ 0 2𝑥 − 1 ≤ 0

𝑥 ≤ −2 2𝑥 ≤ 1

(−∞,−2] (−∞,1

2]



Tabla de valores propuestos

(−∞,−2] [−2,1

2 ] [

1

2,∞)

X= -3 X=-2 X=1

X=0

X=1

2

Solución: −∞,−2 ∪ [1

2,∞)

2.5.4 Desigualdades racionales

Ejemplo 5.

Hallar la solución de la siguiente desigualdad Es esencial que todos los términos diferentes de cero estén en el mismo lado del signo de desigualdad.

4𝑥

2𝑥 + 3 > 2

Se ordena la desigualdad 4𝑥

2𝑥+3 − 2 > 0

Se resuleve la fracción 4𝑥−2(2𝑥+3)

2𝑥+3 > 0

−6

2𝑥+3 > 0

Solución: (−∞,−3

2 )

Ejemplo 6.

Hallar la solución de la siguiente desigualdad

−2 <𝑥 + 1

𝑥 − 3

Ordenando la desiguialdad 𝑥+1

𝑥−3 + 2 > 0

3𝑥 − 5

𝑥 − 3 > 0

Solución: 𝕹-3

2.5.5 Desigualdades con valor absoluto

Propiedades de las desigualdades con valor absoluto Desigualdad forma equivalente

|𝑥| < 𝑐 −𝑐 < 𝑥 < 𝑐

|𝑥| ≤ 𝑐 −𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐

|𝑥| > 𝑐 𝑥 < −𝑐 𝑜 𝑐 < 𝑥

|𝑥| ≥ 𝑐 𝑥 ≤ −𝑐 𝑜 𝑐 ≤ 𝑥



Ejemplo 7.


|𝑥 + 1

2 | ≥ 4

Aplicando las reglas de valor absoluto se tienen dos desigualdades: 𝑥+1

2 ≤ −4

𝑥+1

2 ≥ 4

𝑥+1

2 + 4 ≤ 0

𝑥+1

2 − 4 ≥ 0

𝑥+9

2 ≤ 0

𝑥−7

2 ≥ 0

(−∞, 9] [7, ∞) Tabla de valores propuestos

(−∞,−9] [−9,7] [7,∞) X= -10 X=-9 X=10

X=0

X=7

Solución: (−∞,−9] 𝑈 [7,∞)

Ejemplo 8.


|𝑥 − 2

3 | < 2

Aplicando la propiedad del valor absoluto −2 <𝑥−2

3 < 2

−2 <𝑥−2

3

𝑥−2

3 < 2

−6 < 𝑥 − 2 𝑥 < 6 + 2

𝑥 > −4 𝑥 < 8 (−∞,−4) (−∞, 8)

Solución: (−4, 8)



Ejercicios propuestos Hallar el conjunto suloción para las siguientes desigualdades 1. 2𝑥 − 5 > 3 R . (4,∞)

11. 5 − 3𝑥 ≤ −16

2. 3𝑥 + 11 < 5 R. (−∞, 2)

12. 1

2𝑥 -

2

3 > 2

3. 1 < 3𝑥 + 4 ≤ 16 R. [−1,4]

13. − 3 ≤ 3𝑥 + 7 ≤1

2

4. − 2 < 8 − 2𝑥 ≤ −1 R. [9

2, 5]

14.

1

6 <

2𝑥 − 13

12 ≤

2

3

5. − 2 <𝑥+1

𝑥−3 R. −∞,

−5

3 𝑈 (3,∞)

15.

2𝑥 + 6

𝑥 − 2 < 0

6. 𝑥

𝑥+2 < 4 R. −∞,

−8

3 𝑈 (−2,∞) 16. − 5 ≤

4 − 3𝑥

2 < 1

7. |𝑥 − 5| ≤ 3 R. [2,8]

17. |𝑥 − 2

3| < 2

8. 7 𝑥 + 2 + 5 > 4 R. 𝔑

18. 8 − 2𝑥 − 1 ≥ 6

9. 𝑥2 > 7𝑥 − 10 R. (-∞,2) U (5,∞)

19. 𝑥(2𝑥 + 3) > 5

10. 𝑥 + 2 (𝑥 − 5) R. (-∞,-2) U (5,∞)

20. 9 − 4𝑥 (𝑥 + 1) ≥ 0



2.6 Definición de función Una función es una regla. Para hablar acerca de una función, se requiere asignarle un nombre. Se emplearán letras como 𝑓,𝑔,𝑕,….para representar funciones. Por ejemplo, se

puede usar la letra 𝑓 para representar una regla como sigue: "𝑓" es la regla “cuadrado del número” Cuando se escribe 𝑓(2), se entiende “aplicar la regla 𝑓 al número 2”. Al aplicar la regla se

obtiene 𝑓 2 = 22= 4. De manera similar, 𝑓 3 = 32= 9 y en general 𝑓 𝑥 = 𝑥2.

2.6.1 Dominio y contradominio de la función Dominio de una función: es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen.

Los intervalos que le damos a “X” (variable independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo observamos en el eje horizontal (abscisas). Leyendo como escribimos de izquierda a derecha. Rango de una función: Es el conjunto formado por la imágenes. Son los valores que toma la función “Y” (variable dependiente), por eso se denomina “f(x), su valor depende del valor que le damos a “X”. La manera más efectiva pare determinar el rango de una función consiste en graficar la función y ver los valores que toma “Y” de abajo hacia arriba. Funciones polinómicas Aquellas funciones cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómicas tienen como dominio todo el conjunto de los números reales: 𝕹, puesto que a partir de una expresión polinómica, se puede sustituir el valor de “X” por cualquier número que hayamos elegido y se puede calcular sin ningún problema el número real imagen “Y”. Son funciones polinómicas: la recta (función lineal o a fin), la parábola (función de segundo grado) y los polinomios de grado superior. Ejemplo 1. Determinar el dominio y rango de la función 𝑓/𝑥) = 𝑥 + 5 Solución:

Dom 𝑓 𝑥 = 𝕹 también se puede expresar » Dom 𝒇 𝒙 = (−∞,∞)

Definición de función

Una función 𝑓 es una regla que asigna a cada elemento 𝑥 en un conjunto A exactamente un elemento, llamado 𝑓(𝑥), en un

conjunto B.



-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15

-322477297

122147172197222247

-10 -5 0 5 10

Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los números reales (−∞,∞). El rango será todo el conjunto de los números reales, seguimos el eje “Y” de abajo hacia arriba y leemos los valores (−∞,∞). Ejemplo 2.

Determinar el dominio y rango de la función: Y = 5𝑥2 + 20𝑥 + 17

Solución: como es una función polinómica de segundo grado el dominio será todo el conjunto de los números reales (−∞,∞).

Para determinar el vértice de la función es necesario factorizar completando el trinomio cuadrado perfecto (ver sección de la parábola).

5(𝑥 + 2)2 − 3

Vértice: V(-2,-3)

Por lo tanto el rango de la función es de [-3,∞)

Ejemplo 3.

Determinar el dominio y rango de la función: 𝑓 𝑥 =𝑥+2

𝑥−3

Solución: igualando el denominador a cero

𝑥 − 3 = 0 ; 𝑥 = 3 El dominio estará formado por todos los reales excepto el número 3 es decir, Df: 𝕹-3.



1 2 3 4 5 6

-150

-100

-50

50

100

150

-10 -5 5 10

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

Al graficar observamos el rango de la función el cual es: 𝕹 -1. Esta gráfica presenta una asíntota horizontal en y=1, luego la función estará definida en todos los valores de y menos en y=1.

Ejemplo 4.

Determinar el dominio y rango de la función: 𝑓 𝑥 =4𝑥2 +4

2𝑥2 +8

Solución: al igualar el denominador a cero se puede notar que el polinomio no tiene raíces reales, por lo tanto no existen valores que anulen al denominador y el dominio estará representado por todos los números reales. La grafica presenta una asíntota horizontal en Y=2, pero además se puede notar que la

curva corta al eje “Y” en el punto 0,1

2 , por lo tanto el rango será [

1

2 , 2)



Ejemplo 5.

Determinar el dominio y el rango de la siguiente función:

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 5 Como es una raíz cuadrada la condición para que exista dicho dominio en la función es la siguiente: 𝑥 + 5 ≥ 0

𝑥 ≥ −5 𝐷: [−5,∞) Rango:[0,∞) Ejemplo 6. Determinar el dominio y el rango de la siguiente función:

𝑓 𝑥 = −4𝑥 + 83

Solución: Es una raíz de índice impar, por lo tanto el dominio de la función es de (−∞,∞) El rango es de (−∞,∞)

Ejemplo 7.

Determinar el dominio de la siguiente función:

𝑓 𝑥 = 2𝑥

3𝑥 − 1

Solución: Analizando en numerador: el numerador es una función lineal, esto significa que la variable “x” puede tomar cualquier valor. Analizando el denominador: es una raíz de índice par, por lo tanto la cantidad de la raíz tiene que ser mayor o igual a cero. Como la división entre cero no existe, el denominador nunca puede ser igual a cero

3𝑥 − 1 > 0

3𝑥 > 1

𝑥 >1

3

Por lo tanto el dominio de la función es: (1

3 ,∞)

Ejemplo 8. Determinar el dominio de la siguiente función:

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 + 8 Solución: Factorizar y resolver la desigualdad 𝑥 − 4 (𝑥 − 2) ≥ 0



Este tipo de desigualdades ya fueron analizadas anteriormente. Dominio (−∞, 2] ∪ [4,∞) Ejercicios propuestos

Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones. 1. 𝑓(𝑥) = −3𝑋 + 2 R. Dominio y rango todos los reales

16. 𝑓 𝑥 =3𝑥2 −10𝑥+7

2𝑥2−7𝑥+5

2. 2𝑥 + 3 = 7 R. Dominio y rango todos los reales

17. 𝑓 𝑥 = 𝑥3 +3𝑥2 +2𝑥

𝑥2 +3𝑥+2

3. 3 + 2 𝑥 + 4 = 6 18.𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 4 Df:[−5,∞) Rf: [0,∞)

4. 3𝑥+1

2 = 5 19.𝑓 𝑥 = 15 − 5𝑥

5. 3 − 𝑥 −𝑥2

2 Df: 𝕹 , Rf: (−∞,

7

2 ) 20. 𝑓 𝑥 =

4

3− 7𝑥

6. 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 5𝑥 − 4 21.𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 + 8

7. 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 Df: 𝕹 , Rf: 𝕹 22.𝑓 𝑥 = 3 − 4𝑥 − 4𝑥2 Df: [

−3

2 ,

1

2 ]

8.𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 1 23.𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 − 12 Df: (-∞,-3]∪[4,∞)

9. 𝑥−1

2𝑥+3 Df: 𝕹--

3

2, Rf: 𝕹-

1

2 24.𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 7𝑥 + 6

10. 𝑓 𝑥 =𝑥−1

2𝑥+3 Df: 𝕹--

3

2, Rf: 𝕹-

1

2. 25.𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 3𝑥 − 14

11. 𝑓 𝑥 =5𝑥+3

2𝑥−5 26. 𝑓 𝑥 =

𝑥−2

𝑥−1 Df: (1,∞)

12. 𝑓 𝑥 =4𝑥+9

1−2𝑥 27. 𝑓 𝑥 =

𝑥−1

𝑥−2 Df: (2, ∞)

13. 𝑓 𝑥 =𝑥2 −1

𝑥−1 Df: 𝕹-1. Rf: 𝕹-2. 28. 𝑓 𝑥 =

4𝑥−2

5𝑥−4

14. 𝑓 𝑥 =5𝑥

𝑥2 −3𝑥−4 Df: −∞,−1 ∪ −1,4 ∪ (4,∞)

29. 𝑓 𝑥 = 2𝑥

𝑥−2

15. 𝑓 𝑥 =𝑥2 +2𝑥−3

𝑥2+5𝑥+6



2.6.2 Funciones continuas y discontinuas

Al mirar con un poco de cuidado las graficas anteriores se pueden deducir intuitivamente,

resultados que permitirán comprender con mayor claridad la definición precisa de lo que

significa “ser una función continua en un punto dado de su dominio”.

El tema de continuidad de funciones se tratara a fondo en el curso de cálculo diferencial e

integral.

Función continúa

Una función es continua si su gráfica

puede dibujarse de un solo trazo, es

decir, no tiene saltos o cuando el trazo

de la gráfica no tiene “huecos”.

Función discontinúa

Una función es discontinua si su gráfica

puede dibujarse de un solo trazo, es

decir, no presenta puntos de

discontinuidad.



Funciones Racionales

Una función racional se define como aquella que se puede expresar como el cociente de

dos funciones polinomiales. Por consiguiente, si 𝑓 y 𝑔 son funciones polinomiales y 𝑆 es la

función definida como

𝑠 𝑥 =𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

El dominio de una función racional consiste en los números reales 𝑥 excepto aquellos para

los que el denominador es cero. Al graficar una función racional, se recomienda tener

cuidado en el comportamiento de la grafica cerca de esos valores.

Ejemplos de funciones racionales:

𝑓 𝑥 =𝑥+5

𝑥−2 𝑠 𝑥 =

𝑥2 +2

𝑥−1 𝑔 𝑥 =

𝑥2

𝑥2 −16 𝑕 𝑥 =

3𝑥

𝑥2 +3

Ejemplo 1.

Bosquejar la siguiente grafica 𝑓 𝑥 =1

𝑥

𝑓 𝑥 =1

𝑥

x puntos

𝑓 −4 = −1

4= −

1

4

-4 (−4,−

1

4 )

𝑓 −2 = −1

2= −

1

2

-2 (−2,

1

2)

𝑓 −1 = −1

1= −1

-1 (−1,−1)

𝑓 −1

2 = −1 −

1

2 = −2 −

1

2 (−

1

2 ,−2)

𝑓 −1

4 = −1 −

1

4 = −4 −

1

4 (−

1

4 ,−4)

𝑓 1

2 = −1

1

2 = −2

1

2 (

1

2 ,−2)

𝑓 1

4 = 1

1

4 = 4

1

4 (

1

4 , 4)

𝑓 1 = 1

1 = 1

1 (1,1)

𝑓 2 =1

2 =

1

2

2 (2,

1

2 )



-10 -5 5 10

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

símbolo significa

x→a-

x→a+ x→-∞ x→∞

𝑥 tiende a 𝑎 por la izquierda 𝑥 tiende a 𝑎 por la derecha

𝑥 tiende a menos infinito; es decir, 𝑥 disminuye sin cota

𝑥 tiende a infinito; es decir, 𝑥 incrementa sin cota

Asíntota: verticales una línea recta x a para la cual mientras más se acerca "x ” al valor

“ a ” el valor de f x aumenta o disminuye sin restricción “sin cota”.

Asíntota: horizontal una línea recta g x L a la cual se acerca más f x mientras el valor

de " "x aumenta o disminuye sin restricción “sin cota”.

𝑓 𝑥 → ∞ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 0+

𝑓 𝑥 =→ 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞

𝑓 𝑥 =→ −∞ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 0-

𝑓 𝑥 =→ 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → −∞

Asíntota horizontal

Asíntota vertical



-10 -5 5 10

-30

-20

-10

10

20

30

Transformaciones de 𝑦 =1

𝑥

Ejemplo 2.

Bosqueje la siguiente función

𝑔 𝑥 =3

𝑥 − 5

Tenemos una función racional de la forma 𝑕 𝑥 = 𝑎𝑥+𝑏

𝑐𝑥+𝑑, se puede graficar si se desplaza,

alarga o refleja la grafica de 𝑓 𝑥 = 1

𝑥 . (Recordar el tema 2.4)

𝑔 𝑥 = 3(1

𝑥−5 ) factor 3

𝑔 𝑥 = 3(𝑓 𝑥 − 5 ) puesto que 𝑓 𝑥 =1

𝑥

Podemos observar que la grafica de 𝑔(𝑥) se obtiene de la grafica de 𝑓(𝑥) desplazando 5

unidades a la derecha y alargando verticalmente por un factor de 3. Así 𝑔(𝑥) tiene una

asíntota vertical en 𝑥 = 5 y una asíntota horizontal en 𝑦 = 0



-10 -5 5 10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

-10 -5 5 10

5

10

15

Ejemplo 3.

Bosqueje la siguiente función

𝑡 𝑥 =6𝑥 + 23

𝑥 + 4

Al hacer la división larga tenemos 𝑡 𝑥 = 6 −1

𝑥+4

𝑡 𝑥 = −1

𝑥 + 4

𝑡 𝑥 = −1

𝑥

Reflexión de la grafica 𝑓 𝑥 =1

𝑥 Desplazamiento horizontal de cuatro

unidades a la izquierda

Desplazamiento vertical de seis

unidades hacia arriba

𝑡 𝑥 = 6 −1

𝑥 + 4



-10 -5 5 10

5

10

15

-10 -5 5 10

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

Finalmente se puede observar que la grafica de 𝑡(𝑥) se desplaza 5 unidades a la izquierda,

y se desplaza hacia arriba 6 unidades. Así 𝑡(𝑥) tiene una asíntota vertical 𝑥 = −4 y una

asíntota horizontal 𝑦 = 6.

Ejemplo 4. Bosqueje la siguiente función

𝑝 𝑥 = 2𝑥 + 3

𝑥 − 1

Al realizar la división larga se tiene 𝑝 𝑥 = 2 +5

𝑥−1

𝑡 𝑥 =6𝑥 + 23

𝑥 + 4

𝑝 𝑥 = 1

𝑥



-10 -5 5 10

-40

-20

20

40

-10 -5 5 10

-40

-20

20

40

-10 -5 5 10

-40

-20

20

40

0bservamos que la grafica de 𝑝(𝑥) se desplaza 1 unidad a la derecha, y se desplaza hacia

arriba 2 unidades. Así 𝑡(𝑥) tiene una asíntota vertical 𝑥 = 1 y una asíntota horizontal 𝑦 = 2.

y su intersección con el eje 𝑦 es en el punto (0,−3) y (−3

2 , 0) con el eje 𝑥.

𝑝 𝑥 = 5

𝑥 𝑝 𝑥 =

5

𝑥 − 1

𝑝 𝑥 = 2 + 5

𝑥 − 1



-10 -5 5 10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

-10 -5 5 10

-30

-20

-10

10

20

30

-2 2 4 6 8 10

-30

-20

-10

10

20

30


De las siguientes funciones encuentre las intersecciones con los ejes, asíntotas y grafique

la función.

1.𝑓 𝑥 =1

𝑥 − 1 5. 𝑟 𝑥 =

4𝑥 − 4

𝑥 + 2

2.𝑝 𝑥 =1

𝑥 + 4 6.𝑛 𝑥 =

4 − 3𝑥

𝑥 + 7

3.𝑕 𝑥 =3

𝑥 + 6 7. 𝑗 𝑋 =

2𝑥 + 6

−6𝑥 + 3

4.𝑔 𝑥 =−2

𝑥 − 2 8. 𝑖 𝑥 =

2𝑥 + 3

𝑥 − 1

Soluciones

𝑓 𝑥 =3

𝑥 + 6

𝑓 𝑥 =1

𝑥 + 4

𝑓 𝑥 =1

𝑥 − 1

𝑓 𝑥 =−2

𝑥 − 2



-10 -5 5 10

-100

-50

50

100

-10 -8 -6 -4 -2

-400

-200

200

400

-2 2 4 6 8 10

-20

-15

-10

-5

5

10

15

-10 -5 5 10

-40

-20

20

40

𝑓 𝑥 =4 − 3𝑥

𝑥 + 2

𝑓 𝑥 =4𝑥 − 4

𝑥 + 7

𝑓 𝑥 =2𝑥 + 6

−6𝑥 + 3

𝑓 𝑥 =2𝑥 + 3

𝑥 − 1



Funciones por intervalos

En muchas ocasiones se requiere más que una sola fórmula para describir una función. Se

dice que estas funciones son funciones definidas por tramos.

Ejemplo 1.

Ejemplo 2.

Funciones definidas por intervalos:

El dominio de la función (a) y el rango de es [3, ∞) y [-4, ∞) respectivamente, el dominio de

la función (b) −∞, 3 𝑢[5,∞) y el rango es [0,∞).

𝑥2 − 4 𝑠𝑖 𝑥 < 3

1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3

𝑎) 𝑓 𝑥 =

𝑥2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 < −1

𝑥 + 1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 3

4 𝑠𝑖 𝑥 > 5

𝑏) 𝑓 𝑥 =

𝑦 = 𝑥2 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 2 ≤ 𝑥 < 0

𝑦 = 𝑥 − 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 2

𝑦 = 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 2 < 𝑥 ≤ 4

La función 𝑓 𝑥 no es una función que

representa tres funciones, es una sola

función en la cual el dominio esta

definido por todos los reales, la grafica

se divide en tres secciones:

Rango de la función: [−1,4]




Graficar las siguientes funciones y encontrar sus respectivos dominios

4𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < 1

𝑥3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1 1. 𝑓 𝑥 =

−𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 > 1

𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

2. 𝑔 𝑥 =

𝑥2 + 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

−𝑥3 𝑠𝑖 𝑥 < 1 3. 𝑓 𝑥 =

𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 4. 𝑔 𝑥 =

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 5. 𝑓 𝑥 =

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1

𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 > −1 6. 𝑔 𝑥 =

−𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < 0

3 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1

2𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < −1

2 − 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 1

1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1

7. 𝑕 𝑥 = 8. 𝑗 𝑥 =

9. 𝑝 𝑥 =

𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 < 0

2 − 𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 2

𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2



2.6.3 Combinación aritmética de funciones

Se pueden combinar dos funciones,𝑓 𝑦 𝑔, de varias maneras para crear nuevas funciones.

Entre ellas tenemos operaciones aritméticas y operación de composición de funciones.

Combinaciones aritméticas. Dos funciones se pueden combinar mediante las cuatro

conocidas operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división.

Los dominios de 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, y 𝑓 ∗ 𝑔 son la intersección I de los dominios de 𝑓 𝑦 𝑔, es decir,

los números que son comunes a ambos dominios. El dominio de 𝑓

𝑔 es el subconjunto de I

formado por toda 𝑥 en I tal que 𝑔(𝑥) ≠ 0

𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥

𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥

𝑓 ∗ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)

COMBINACIONES ARITMÉTICAS

Si 𝑓 𝑦 𝑔 son dos funciones, entonces la suma 𝑓 + 𝑔, la diferencia

𝑓 − 𝑔, el producto 𝑓 ∗ 𝑔 y el cociente 𝑓

𝑔 se definen como sigue:

(𝑓

𝑔 ) 𝑥 =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) Siempre que 𝑔(𝑥) ≠ 0

𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥

𝑓 𝑎 + 𝑏 ≠ 𝑓 𝑎 + 𝑓(𝑏)

RECORDAR:



Ejemplo 1.

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 𝑔 𝑥 = 2𝑥2 − 𝑥 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 1 + 2𝑥2 – 𝑥 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 1 − 2𝑥2 –𝑥

= 𝑥2 + 1 + 2𝑥2 –𝑥 = 𝑥2 + 1 − 2𝑥2 + 𝑥

= 3𝑥2 − 𝑥 + 1 = −𝑥2 + 𝑥+1

Df: 𝕹 Df: 𝕹

𝑓 ∗ 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 1 2𝑥2 – 𝑥 𝑓

𝑔 𝑥 =

𝑥2 +1

2𝑥2 −𝑥

= 2𝑥4 − 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 El denominador debe ser diferente a cero

Df: 𝕹 para que la función exista, por lo tanto: 2𝑥2 − 𝑥 = 0 𝑥 2𝑥 − 1 = 0

Df: 𝕹 - 0,1

2

Ejemplo 2.

𝑓 𝑥 = −3𝑥2 + 2 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 𝑓 + 𝑔 𝑥 = −3𝑥2 + 2 + 𝑥2 − 2𝑥 𝑓 − 𝑔 𝑥 = −3𝑥2 + 2 − (𝑥2 − 2𝑥) = −2𝑥2 − 2𝑥 + 2 = −3𝑥2 + 2−𝑥2 + 2𝑥

Df: 𝕹 = −4𝑥 2 + 2𝑥 + 2 Df: 𝕹

𝑓 ∗ 𝑔 𝑥 = −3𝑥2 + 2 ( 𝑥2 − 2𝑥) 𝑓

𝑔 𝑥 =

−3𝑥2 +2

𝑥2−2𝑥

−3𝑥4 + 6𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 El denominador debe ser diferente a cero Df: 𝕹 para que la función exista, por lo tanto: 𝑥2 − 2𝑥 = 𝑥 𝑥 − 2 = 0 Df: 𝕹 - 0,2 Ejemplo 3.

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3 𝑔 𝑥 = 2𝑥 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 3 + 2𝑥 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 3 − 2𝑥 Para que exista la función se tiene: Para que exista la función se tiene: 𝑥 + 3 ≥ 0 𝑥 + 3 ≥ 0

𝑥 ≥ −3 𝑥 ≥ −3

Df: [-3,∞ Df: [-3,∞

𝑓 ∗ 𝑔 = 𝑥 + 3 (2𝑥) 𝑓

𝑔 𝑥 =

𝑥+3

2𝑥

Df: [-3, ∞) Numerador: [-3, ∞ Denominador: 𝕹 - 0 Df: [-3, ∞ - 0



Ejemplo 4.

𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 − 1 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 − 1 𝑥 − 1 ≥ 0 Df: 1, ∞ 𝑥 ≥ 1 Df: 1, ∞

𝑓 ∗ 𝑔 = 𝑥 𝑥 − 1 𝑓

𝑔 𝑥 =

𝑥

𝑥−1

Df: 1, ∞ Df: 1, ∞

Ejemplo 5.

𝑓 𝑥 =2𝑥

𝑥−4 𝑔 𝑥 =

𝑥

𝑥+5

𝑓 + 𝑔 𝑥 = 2𝑥

𝑥−4+

𝑥

𝑥+5 𝑓 − 𝑔 =

2𝑥

𝑥−4−

𝑥

𝑥+5

𝑓 + 𝑔 𝑥 = 3𝑥2 +6𝑥

𝑥−4 (𝑥+5) 𝑓 − 𝑔 𝑥 =

𝑥2 +14𝑥

𝑥−4 (𝑥+5)

Para el numerador: Df: 𝕹 Para el numerador: Df: 𝕹 Para el denominador: - -5,4 Para el denominador: 𝕹 - -5,4 Por lo tanto el Df: 𝕹 - -5,4 Por lo tanto el Df: 𝕹 - -5,4

𝑓 ∗ 𝑔 𝑥 = (2𝑥

𝑥−4 )(

𝑥

𝑥+5 )

𝑓

𝑔 𝑥 =

2𝑥

𝑥−4 ÷

𝑥

𝑥+5

𝑓 ∗ 𝑔 𝑥 =2𝑥2

𝑥 2 +𝑥−20

𝑓

𝑔 𝑥 =

2(𝑥+5)

𝑥−4

𝑓 ∗ 𝑔 𝑥 =2𝑥2

𝑥−4 (𝑥+5) Df: 𝕹 - 4

Df: 𝕹 - -5,4

Ejemplo 6.

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 𝑔 𝑥 = 5 − 5𝑥

𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 + 5 − 5𝑥 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 − 5 − 5𝑥

𝑥 + 2 ≥ 0 5 − 5𝑥 ≥ 0 Se observa que se plantean las mismas desigualdades 𝑥 ≥ 2 𝑥 ≤ 1 de la suma, por lo tanto Df:[−2 ,1] Df:[−2 ,1]

𝑓 ∗ 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 ∗ 𝑔 𝑥 = 5 − 5𝑥 𝑓

𝑔 𝑥 =

𝑥+2

5−5𝑥

𝑓 ∗ 𝑔 𝑥 = 5 𝑥 + 2 (1 − 𝑥) para que el cociente exista se debe cumplir:

Df:[−2 ,1] 𝑥 + 2 ≥ 0 5 − 5𝑥 ≥ 0 Por lo tanto: Df:[−2 ,1] .



0 1

Ejemplo 7.

Calcular 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)

𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 =

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 2 − 𝑥 + 1 − 2𝑥 = 3 − 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 2 − 𝑥 + 1 = −𝑥 + 3 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 1

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1 + 1 = 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

Finalmente

Ejemplo 8. Calcular 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 2 − 𝑥 − 1 − 2𝑥 = 1 + 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 2 − 𝑥 − 1 = −𝑥 + 1 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 1

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1 − 1 = 𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

Ejemplo 9.

𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

2 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 1

1 𝑠𝑖 𝑥 > 0

1 − 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥 − 1 2 − 𝑥

1 1 − 2𝑥

3 − 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

−𝑥 + 3 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 1

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) =

1 + 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

−𝑥 + 1 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 1

𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) =



0

Calcular 𝑓 𝑥 ∗ 𝑔(𝑥)

−𝑥3 𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 0

−𝑥3 𝑥 + 1 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1

𝑥2 + 2𝑥 𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

𝑓 𝑥 ∗ 𝑔 𝑥 =


Encuentre 𝑓 + 𝑔,𝑓 − 𝑔,𝑓𝑔 𝑦 𝑓

𝑔, así como sus respectos dominios de la función resultante.

1.𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 5 𝑔 𝑥 = −4𝑥 + 8 6. 𝑓 𝑥 =2𝑥−1

𝑥+3 𝑔 𝑥 =

𝑥−3

4𝑥+2

2.𝑓 𝑥 = 5𝑥2 𝑔 𝑥 = 7𝑥 − 9 7. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 − 4 3.𝑓 𝑥 = 3𝑥2 𝑔 𝑥 = 4𝑥3 8. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑔 𝑥 = 𝑥 4.𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 9. 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 𝑔 𝑥 = 4𝑥3 − 4𝑥2

5.𝑓 𝑥 =𝑥

𝑥+1 𝑔 𝑥 =

1

𝑥 10. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1

𝑥2 + 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

−𝑥3 𝑠𝑖 𝑥 < 1 𝑓 𝑥 =

𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 𝑔 𝑥 =

−𝑥4 + 𝑥3 𝑠𝑖 𝑥 < 0

−𝑥4 − 𝑥3 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1

𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

1

𝑥2 + 2𝑥 −𝑥3

𝑥 − 1

𝑥 + 1



2.6.4 Composición de funciones

Para ilustrar el concepto supongamos que para una 𝑥 dada en el dominio de g, el valor de la función 𝑔(𝑥) es un número en el dominio de la función 𝑓. Eso quiere decir que se puede

evaluar 𝑓 𝑒𝑛 𝑔(𝑥); en otras palabras, se puede evaluar 𝑓 𝑔 𝑥 .

El dominio de 𝑓0𝑔 es el conjunto de toda 𝑥 en el dominio de 𝑔 tal que 𝑔(𝑥) está en el

dominio de 𝑓.

En la figura anterior se ilustra las relaciones entre 𝑓,𝑔 𝑦 𝑓0𝑔. nótese que para 𝑥 en el dominio de 𝑔, primero hallamos 𝑔(𝑥) (que debe estar en el dominio de 𝑓) y luego, en

segundo término, encontramos 𝑓(𝑔 𝑥 ). Para la función compuesta 𝑔⁰𝑓, invertimos este

orden, primero hallamos 𝑓(𝑥) y en segundo término hallamos 𝑔(𝑓 𝑥 ). El dominio de 𝑔⁰𝑓 es el conjunto de toda 𝑥 en el dominio de 𝑓 tal que 𝑓(𝑥) está en el dominio de 𝑔. Ejemplo 1.

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1

⁰𝑔 𝑥 = ( 𝑥 − 1 )2 + 1 𝑔0𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 − 1

⁰𝑥 𝑥 = 𝑥 − 1 + 1 = 𝑥 𝑔0𝑓 𝑥 = 𝑥2 = x

Df: 𝕹 Df: 𝕹

𝑓0𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 )

𝑔0𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 )

COMBINACIONES ARITMÉTICAS

Si 𝑓 𝑦 𝑔 son dos funciones, la composición de 𝑓 𝑦 𝑔, representada

por 𝑓⁰𝑔, es la función definida por:

La composición de 𝑔 𝑦 𝑓, representada por 𝑔⁰𝑓, es la función

definida por:

x

g(x)

f(g(x))



Ejemplo 2.

𝑓 𝑥 =1

2𝑥−1 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 1 𝑔0𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 − 1

⁰𝑔 𝑥 = 1

2 𝑥2 +1 −1=

1

2𝑥2 +2−1 =

1

2𝑥2 +1 𝑔0𝑓 𝑥 =

1

4𝑥2 −4𝑥+1=

4𝑥2 −4𝑥+2

4𝑥2 −4𝑥+1

Df: 𝕹 Df: 𝕹-1

2

Ejemplo 3.

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 5 𝑔0𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 + 5

⁰𝑔 𝑥 = 𝑥 + 5 − 2 se debe cumplir: 𝑥 − 2 + 5 ≥ 0 El dominio de 𝑔 𝑥 = [−5, ∞) el dominio de 𝑓 𝑥 = [2,∞)

𝑥 + 5 − 2 ≥ 0 , 𝑥 + 5 ≥ 0 así mismo: 𝑥 − 2 + 5 ≥ 0 𝑦 𝑥 − 2 ≥ 0

al resolver las siguientes desigualdades, 𝑥 ≥ 27 entonces Df: [27,∞)

tenemos 𝑥 ≥ −1, por lo tanto Df: [−1,∞) 𝑥 ≥ 2 entonces Df: [2,∞)

y 𝑥 ≥ −5 Df: [−5,∞)

Se debe cumplir que el Dominio de 𝑓⁰𝑔 el dominio de (𝑔0𝑓) debe estar en el

este en el dominio de 𝑔(𝑥), por lo tanto dominio de 𝑓(𝑥) . por lo tanto Df⁰g: [2,∞) los valores serán: [−1,∞)

Ejemplo 4.

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 𝑔0𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 ⁰𝑔 𝑥 = ( 𝑥 + 2 )2 − 3 𝑥 + 2 Resolver 𝑥 − 2 (𝑥 − 1) ≥ 0 , (−∞, 1] ∪ [2,∞)

⁰𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 − 3 𝑥 + 2 Dominio de 𝑓 𝑥 es 𝕹

Resolver 𝑥 + 2 ≥ 0 , [−2,∞) Dg⁰f = (−∞, 1] ∪ [2,∞)

El dominio de 𝑔 𝑥 = [−2,∞)

El dominio de ⁰𝑔 𝑥 es [−2,∞)

Ejemplo 5.

𝑓 𝑥 = 3 − 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 𝑔0𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2

⁰𝑔 𝑥 = 3 − 𝑥 + 2 𝑔0𝑓 𝑥 = 3 − 𝑥 + 2 Dominio de 𝑔 𝑥 = [−2,∞) Dominio de 𝑓 𝑥 = (−∞, 3]

Resolver: 3 − 𝑥 + 2 ≥ 0 𝑦 𝑥 + 2 ≥ 0 Dominio de Dg⁰f = (−∞, 3] Por lo tanto el dominio de la desigualdad anterior es: (−∞, 7] y Df⁰g = [−2,7]



Ejemplo 6.

Calcular 𝑓°𝑔 𝑥

𝑓 𝑔 𝑥 =

Por lo tanto las desigualdades que se cumple cuando 𝑥 > 0 𝑦 𝑥 ≤ 0 en la función

obtenidas son:

Ejemplo 7.

Para las funciones 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 determinar, 𝑓 + 𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 𝑦 𝑓 𝑔 𝑥 . 𝑓 + 𝑔 𝑥 ,

𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

2 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 1

1 𝑠𝑖 𝑥 > 0

1 − 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 =

𝑓 1 𝑠𝑖 𝑥 > 0

𝑓(1 − 2𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

1 𝑠𝑖 1 < 1

0 si 1≥ 1

2𝑥 − 1 𝑠𝑖 1 − 2𝑥 < 1

−2𝑥 si 1−2𝑥 ≥ 1

0 𝑠𝑖 𝑥 > 0

−2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑓 𝑥 =

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 < −1

4𝑥 + 4 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −1

𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 =

2𝑥

𝑥

4𝑥 + 4

𝑥 + 1 −1 0



𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 1 = 2𝑥 + 1 𝑥 < −1

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 4𝑥 + 4 = 5𝑥 + 4 − 1 ≤ 𝑥 < 0

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 4𝑥 + 4 = 6𝑥 + 4 𝑥 ≥ 0

𝑓𝑔 𝑥

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑥 + 1 = 𝑥2 + 𝑥 𝑥 < −1

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 (4𝑥 + 4) = 4𝑥2 + 4𝑥 − 1 ≤ 𝑥 < 0

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 2𝑥 (4𝑥 + 4) = 8𝑥2 + 8𝑥 𝑥 ≥ 0

2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 < −1

5𝑥 + 4 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 0

6𝑥 + 4 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 =

𝑥2 + 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −1

4𝑥2 + 4𝑥 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 0

8𝑥2 + 8𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 =

𝑓 𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 < −1

𝑓 4𝑥 + 4 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −1

𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 + 1 < 0

2 𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 + 1 ≥ 0

𝑥 + 1 𝑠𝑖 4𝑥 + 4 < 0

2(4𝑥 + 4) 𝑠𝑖 4𝑥 + 4 ≥ 0

𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 < −1

2(4𝑥 + 4) 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −1 𝑓 𝑔 𝑥 =

𝑓 𝑔 𝑥 =




Encuentre 𝑓°𝑔 𝑦 𝑔°𝑓 y el dominio de la función resultante

1. 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 2 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 6 10. 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑔 𝑥 = 25 − 𝑥2

2. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 10 𝑔 𝑥 =1

2 𝑥 − 5 11. 𝑓 𝑥 =

1

𝑥2 –𝑥−12 𝑔 𝑥 = 𝑥2

3. 𝑓 𝑥 = 4𝑥 + 1 𝑔 𝑥 = 𝑥2 12. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 −4

𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 1

4. 𝑓 𝑥 =3

𝑥 𝑔 𝑥 =

𝑥

𝑥+1 13. 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 1

5. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 4 𝑔 𝑥 =1

2𝑥+4

6. 𝑓 𝑥 =𝑥−1

𝑥+2 𝑔 𝑥 =

𝑥−2

𝑥+1

7. 𝑓 𝑥 = 6 𝑔 𝑥 = 𝑥3 + 9

8. 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 5 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 53

9. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥2


Para cada una de las funciones 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 determinar, 𝑓 + 𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 𝑦 𝑓 𝑔 𝑥 .

4𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < 1

𝑥3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1 14. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 𝑔 𝑥 =

3𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

5𝑥 + 4 𝑠𝑖 𝑥 > 0 15. 𝑓 𝑥 =

2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

−𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 > 0 𝑔 𝑥 =

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < 0

−𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 16. 𝑓 𝑥 =

−𝑥2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑥2 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 𝑔 𝑥 =

−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −1

𝑥4 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 1

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −1

𝑥5 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1

2𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 > 1

17. 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 =



2.6.5 Inversa de una función

Recordar que una función 𝑓 es una regla de correspondencia, que se asigna a cada valor 𝑥

en su dominio X, un solo valor único, y, su contradominio. Esta regla no excluye que el

mismo número 𝑦 esté asociado con varios valores diferentes de 𝑥.

Prueba de la recta horizontal. La interpretación geométrica de de lo que es una recta

horizontal (𝑦 = constante) puede cruzar la gráfica de una función uno a uno cuando mucho

en un punto. Además, si toda línea horizontal que cruza la gráfica de una función lo hace

cuando mucho en un punto, necesariamente la función es uno a uno. Una función no es

uno a uno si alguna recta horizontal cruza a su gráfica más de una vez.

Inversa de una función uno a uno, sea una función 𝑓 uno a uno cuyo dominio es X y

contradominio Y. Ya que todo número 𝑦 en Y corresponde precisamente a un número 𝑥 en

X, la función 𝑓 en realidad debe determinar una función “reversa” 𝑓-1, cuyo dominio es Y y

su contradominio es X.

Función uno a uno

Se dice que una función 𝑓 es uno a uno o biunívoca si cada

número en el contradominio de 𝑓 está asociado con

exactamente un número en su dominio X.

Definición de Función uno a uno

Una función f con dominio D e imagen R es una función

biunívoca si cualquiera de las dos condiciones equivalentes

siguientes se satisface:

1) siempre que a≠ 𝑏 𝑒𝑛 𝐷, entonces 𝑓 𝑎 ≠ 𝑓 𝑏 en R

2) siempre que 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 en R, entonces 𝑎 = 𝑏 en D

Dominio de 𝑓 Contradominio de 𝑓

Dominio de 𝑓-1 Contradominio de 𝑓-1

X Y

X Y

𝒇-1

𝒇



Propiedades de las funciones inversas

Ejemplo 1. Hallar la inversa de las siguientes funciones y comprobar si son inversas una de

la otra

a) 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 + 𝟓 Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Despejar 𝑥 en términos de 𝑦

𝑥 =𝑦 − 5

3

Si 𝑥 = 𝑓-1 (𝑦): esto es: 𝑓-1 (𝑦) =𝑦−5

3

Como el símbolo empleado para la variable no tiene importancia, también se puede escribir:

𝑓-1(x) =𝑥−5

3

Comprobación: 𝑓(𝑓-1(𝑥)) = 3(𝑥−5

3 ) + 5 = 𝑥

𝑓-1 𝑓 𝑥 =3𝑥+5−5

3 = 𝑥 estas verificaciones demuestran que la función

inversa de 𝑓 está dada por 𝑓-1(x) =𝑥−5

3

Función Inversa

Sea una función uno a uno con dominio X y contradominio

Y. la inversa de 𝑓 es la función 𝑓-1 cuyo dominio es Y y

contradominio es X, para los cuales

𝑓(𝑓-1(𝒙)) = 𝒙 para toda 𝑥 en Y,

𝑓-1 𝑓 𝑥 = 𝒙 para toda 𝑥 en X

Dominio de 𝑓-1 =contradominio de 𝑓

Contradominio de 𝑓-1 = dominio de 𝑓

𝑦 = 𝑓(𝑥) equivalente a 𝑥 = 𝑓-1 (𝑦)

Una función inversa 𝑓-1 es uno a uno

La inversa de 𝑓-1 es 𝑓

La inversa de 𝑓 es única



b) 𝑓 𝑥 =1

3𝑥−2

Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥)


𝑥 =1+2𝑦

3𝑦; Si 𝑥 = 𝑓-1 (𝑦): esto es: 𝑓-1 (𝑦) =

1+2𝑦

3𝑦

𝑓-1(x) =1+2𝑥

3𝑥

Comprobación: 𝑓(𝑓-1(𝑥)) =1

3 1+2𝑥

3 −2

= 𝑥

𝑓-1 𝑓 𝑥 =1+2(

1

3𝑥−2)

3(1

3𝑥−2 )

= 𝑥

c) 𝑓(𝑥) =3𝑥+2

2𝑥−5



𝑥 =2+5𝑦

2𝑦−3 Si 𝑥 = 𝑓-1 (𝑦): esto es: 𝑓-1 (𝑦) =

2+5𝑥

2𝑥−3

𝑓-1(x) =2+5𝑥

2𝑥−3


2+5𝑥

2𝑥−3 +2

2 2+5𝑥

2𝑥−3 −5

= 𝑥

𝑓-1 𝑓 𝑥 =2+5(

3𝑥+2

2𝑥−5 )

2 3𝑥+2

2𝑥−5 −3

= 𝑥

d) 𝑓(𝑥) =1

3𝑥−2



𝑥 =1+2𝑦

3𝑦 Si 𝑥 = 𝑓-1 (𝑦): esto es: 𝑓-1 (𝑦) =

1+2𝑥

3𝑥


3 1+2𝑥

3𝑥 −2

= 𝑥

𝑓-1 𝑓 𝑥 =1+2(

1

3𝑥−2 )

3(1

3𝑥−2 )

= 𝑥




Encuentre la función inversa de 𝑓 y demuestre que la función 𝑓-1 corresponde a 𝑓

1. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1 11. 𝑓 𝑥 = 𝑥4 𝑥 ≥ 0

2. 𝑓 𝑥 = 4𝑥 + 7 12. 𝑓 𝑥 = 6 − 𝑥

3. 𝑓 𝑥 =𝑥

2 13. 𝑓 𝑥 = 3 − 5𝑥

4. 𝑓 𝑥 =1

𝑥+2 14. 𝑓 𝑥 =

1

𝑥2 𝑥 > 0

5. 𝑓 𝑥 =1+3𝑥

5−2𝑥 15. 𝑓 𝑥 =

𝑥−2

𝑥+2

6. 𝑓 𝑥 = 2 + 5𝑥 16. 𝑓 𝑥 = 5 − 4𝑥3

7. 4 − 𝑥2 𝑥 ≥ 0 17. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 𝑥 ≥ −1

2

8. 𝑓 𝑥 = 4 + 𝑥3

18. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1

9. 𝑓 𝑥 = 1 + 1 + 𝑥 19. 𝑓 𝑥 = (2 − 𝑥3 )5

10. 9 − 𝑥2 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 20. 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥3

Documents

Notas de Precalculo Unidad II-b