Notas Postulados Mecanica Cuantica

7/24/2019 Notas Postulados Mecanica Cuantica

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1. Los postulados de la mecánica cuántica

Aquí resumen de los postulados y (en lo posible) de su historia. Buscar estado del arte.

1.1. Primer postulado: Denición de estado cuántico

Para un tiempo dadot o , el estado de un sistema físico queda denido especicando un ket de esta

|Ψ (t o) el cual pertenece a un espacio vectorial complejo denominado el espacio de estados ε .

El hecho fundamental y físicamente necesario de que al espacio ε se le asigne un producto interior

lleva a la denominación del Espacio de Hilbert. La existencia de un producto interior nos perm

denir la propiedad de ortogonalidad entre vectores.

Dado que ε es un espacio vectorial implica un principio de superposición, luego:

|α = a | β + b | γ

tambien es un estado. Este principio de superposición tiene consecuencias físicas importantes

cuales veremos con más detalle mas adelante.

Segundo postulado: Denición de observables

Toda cantidad medible A es descrita por un operador ˆ A en elementos de ε , asÃ- ˆ A es un observable.

Estados −→ Vectores

Observables −→ Operadores

1



Tercer postulado: Medición de observables

Los únicos resultados posibles de la medida de una cantidad física A es uno de los valores propios

de su correspondiente observable ˆ A.

Por ejemplo:

Spın −→ S −→ h2

−1 0

0 1−→±

h2

Los operadores deben cumplir las siguientes condiciones:

1. ˆ A debe ser Hermítico para que sus valores propios sean reales.

2. Si el espectro de ˆ A es discreto al medir A, se obtendrá un conjunto discreto de resultados

diferentes, entonces se dice que A está cuantizado.

Es importante resaltar que este postulado nos da el espectro completo de valores que se obtie

al hacer una medición sobre un estado cuántico; no obstante no nos dice qué valor especíc

obtendrá cada vez que se realice la medición.

Descomposición espectral

De acuerdo con el análisis vectorial, los estados propios de operadores (o conjuntos de operado

correspondientes a observables físicos, conforman bases plausibles sobre las cuales podem

expandir cualquier estado genérico de un sistema cuántico dado. El hecho de tener la libe

de cambiar de base, o en breve, la libertad de representación está relacionado con los difere

procesos de medición que se pueden realizar sobre un mismo sistema. Dependiendo de

2



cardinalidad del conjunto de valores propios tendremos representaciones discretas o continuas

un mismo cuántico; como se presenta a continuación.

Espectro discreto no degenerado

Supongamos que el espectro de valores propios de ˆ A es enteramente discreto y no degenerado

entonces para cada valor propio existe un único vector propio| a n tal que:

ˆ A | a n = an | a n (1)

dado que| a n ∈ε .

El primer postulado nos dice que cualquier estado|Ψ expandido por| a n tambien pertenece a ε :

|Ψ = ∑ cn | a n (2)

Es decir, un sistema físico puede tambien encontrarse en un estado de superposición.

Espectro continuo no-degenerado.

Para este caso tenemos una base continua de estados| aα donde α ∈

I ⊆

R tal que:

ˆ A | aα = aα |aα (3)

| Ψ =

I c(α )

|aα d α (4)

Cuarto postulado: Inuencia de la medición

klasefng

3



Sistemas con espectro discreto no-degenrado.

Si la medida de la cantidad física A sobre el sistema cuántico en el estado|Ψ da como resultado

a n el estado del sistema habrá cambiado de manera inevitable del estado|Ψ al estado|a n con su

respectivo valor propio. A este proceso se le llama reducción de estado.

Toda medida sobre un sistema cuántico conlleva una perturbación intrínseca que no puede

reducida y que está diréctamente relacionada con el caracter fundamental de los cuantos: M

A hace que el sistema salte de|Ψ a alguno de los estados propios|a n de A. Nunca se sabrá con

certeza a cual saltará pero si se puede calcular la probabilidad de salto de uno a otro.

Sistemas con espectro continuo no-degenerado.

Si

|Ψ = I c(α ) |aα d α (5)

donde

α ∈

I ⊆

R

con

ˆ A|aα = aα |aα

Si como resultado de la medición se obtiene que aα o ‹ aα ‹ aα o+ ∆α entonces el sistema se encuentra

en la superposición:

Ψ f inal = aα o+ ∆α

α oc(α ) |aα d α (6)

4



1.2. Herramientas matemáticas

kjnadfg

Espacio de los Bra o espacio dual.

Para todo espacio vectorial se puede construir una base dual siempre y cuando el espacio

dotado de un producto interno. A este espacio se le conoce como espacio de Hilbert.

La notación para los vectores en este espacio dual viene dada de la siguiente forma:

Bra → α |Ket → |α

Por ejemplo:

|α = ( i, −2i, 2−4i)

α | =−i

2i

2+ 4i

Propiedades de los vectores duales.

ñasmlfgas

5



Producto interno.

Sean dos vectores|α y |β que pertenecen al espacio de Hilbert, por denición:

α | β ≡ α | · |β (7)

α | β = β |α ∗ (8)

α |α ≥ 0 (9)

α |α = α |α ∗ (10)

α |α ∈ R (11)

Dos vectores|α y |β del espacio dual son ortogonales si:

α | β = 0 (12)

Un ket normalizado es un vector para el cual:

|α = 1

α |α |α (13)

donde

α |α es la norma de|α .

Todo producto interno dene una norma, asi para un vector|α normalizado tenemos que:

α |α = 1 (14)

6



Multiplicación de operadores.

Para tres operadores ˆ X ,Y y ˆ Z y dos vectores|α , |β del espacio dual se cumplirán las siguientes

propiedades:

ˆ X ·Y = Y · ˆ X (15)

ˆ X (Y ˆ Z ) = ( ˆ X Y ) ˆ Z = ˆ X Y ˆ Z (16)

ˆ X (Y |α ) = ( ˆ X Y ) |α = ˆ X Y |α (17)

( β | ˆ X )Y = β |( ˆ X Y ) = β | ˆ X Y (18)

ˆ X |α ←→ α | X † (19)

( ˆ X Y )† = Y † X † (20)

ˆ X

ˆY |α ←→ α |Y

† X

†

(21)

Producto exterior

Sea ˆ A ≡|β α | un operador tal que:

ˆ A|γ = ( |β α |) ·|γ ≡ α | γ |β (22)

γ | ˆ A = γ |(|β · α |) ≡ γ | β α | (23)

Al operador ˆ Aαα ≡|α α | se le denomina operador proyección en la base|α de tal forma que:

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(|α α |) |β ≡α | β |α (24)

GR ´ AFICO −PAG −16

TAREA:

Demuestre que si ˆ A ≡ |β α |⇒ ˆ A† ≡ |α β |.

Axioma asociativo

Sea ˆ X un operador y|α , |β dos vectores de modo que:

( β |)( ˆ X |α ) = ( β | ˆ X )(|α ) ≡ β | ˆ X |α (25)

β |( ˆ X |α ) = ( α | ˆ X †) |α ∗ = ( α | ˆ X † |β )∗ (26)

Teorema de ortogonalidad

En lo sucesivo utilizaremos el siguiente teorema que establece la ortogonalidad de los esta

propios de operadores hermíticos (ver Sakurai pag 17 - 18).

Un operador hermítico denido por:

A = A† (27)

8



tiene valores propios reales, siendo los estados propios correspondientes a valores prop

diferentes ortogonales entre si, es decir:

ˆ A|a = a |a (28)

a| ˆ A† = a∗a|= a∗a|= a a| a∗ = a

⇒a i | a j = δ i j =

1 i = j

0 i = j

(29)

Todo operador hermítico puede representar un observable (una cantidad medible) ya que susvalo

propios son reales. En lo concerniente al operador ˆ A el conjunto |a i i= 1,.., n constituye una base

del espacio de estados para los cuales ˆ A es medido de tal manera que cualquier estado|α puede

ser escrito como:

|a = Σici |a i (30)

Donde ci son numeros complejos.

Por ejemplo:

|α = c+ |α + + c−|α −

Determinemos ahora la forma como se denen los coecientes ci, para ello multipliquemos por laizquierda el bra α j al ket|α denido por (30):

α j |α = α j (Σici |α i )

9



= α j (Σici |α i )

= Σici α j |α i

= Σiciδ i j

⇒ α j |α = c j (31)

Asi podemos escribir:

|α = Σi

α i |α |α i (32)

El cálculo para el caso continuo de los coecientes c(α ) en la expansión (5)|Ψ =

I c(α )

|a

α d α

requiere el uso de deltas de Dirac y se deja como ejercicio. En tal caso tenemos:

c(α ) = aα |Ψ (33)

por lo tanto podemos escribir:

|Ψ = I aα |Ψ |aα d α (34)

1.2.1. Relación de completez

Reescribamos la ecuación (30) de la siguiente forma:

|α = Σi |α i α i |α

= ( Σi |

α i α i

|)

|α

= |α

de lo anterior se deduce que

Σi |α i α i| ≡1 (35)

10



Se dice que el conjunto de estados|a i i= 1,.., n es completo si cumple la ecuación anterior, ya

que esto implica que todo estado |α del espacio de Hilbert ε del sistema es representable como

superposición de los estados|a i i= 1,.., n . A su vez la ecuación anterior es denominada la relació

de completez para el conjunto|a i i= 1,.., n .

Para el caso continuo la relación de completez asociadas al conjunto de estados|aα está dada por

|Ψ = I |aα aα |d α ≡1 (36)

1.3. Quinto postulado: Probabilidades

El quinto postulado establece la relación entre el principio de superposición y la medición

observables.

1.3.1. Sistemas con espectro discreto no degenerado

Los coecientes ci en la expansión |Ψ = Σici |a i deben ser interpretados como amplitudes de

probabilidad de salto del estado|Ψ a cada uno de los estados|a i , como resultado del proceso de

medir el observable ˆ A. previa la normalización de|Ψ :

Ψ |Ψ = 1 (37)

así, la probabilidad P|Ψ →|a i (a i) de obtener el valor propio no degenerado a i del observable ˆ A está

dado por

P|Ψ →|a i (a i) = |ci|2 = | a i|Ψ |

2

donde|a i es el vector propio normalizado de ˆ A con valor propio a i.

11



La condición de normalización (37) establece que la suma total de las probabilidades debe ser i

a la unidad. Sutituyendo la expansión |Ψ = Σici |a i y su correspondiente dual Ψ | = Σ

ic∗i a i| en

(37) obtenemosΨ |Ψ = Σ

j, ic∗ jci a j a i = 1

aplicando la ortogonalidad de los estados|a i representada en la delta de Kronecker a j a i = δ i j

conduce a la expresión

Σ j

c∗ jc j = 1 (38)

la cual establece precisamente la normalización de la suma de probabilidades.

Es importante enfatizar que la normalización del estado|Ψ conlleva la interpretación probabilística

de la mecánica cuántica; en ese sentido tanto |Ψ como eiα |Ψ con α un ángulo arbitrario

representan el mismo estado.

1.3.2. Sistemas con espectro continuo no degenerado

Similarmente para el caso continuo las funciones c(α ) = aα |Ψ en la expansión (34) |Ψ =

I c(α ) |aα d α deben ser interpretadas como densidades de amplitud de probabilidad, de tal mane

que la probabilidad dPα de obtener un resultado a α con aα < a α < aα + d α está dada por

dPα = | aα |Ψ |2 d α (39)

donde|aα es el correspondiente vector propio de ˆ A con valor propio aα .

Similarmente la condición de normalizaciónΨ |Ψ = 1conduce, utilizando las deltas de Dirac al

siguiente resultado (tarea):

Ψ |Ψ = I | aα |Ψ |2 d α = 1 (40)

12



Tarea : complementar los postulados cuarto y quinto para el caso de espectros degenerad

(discretos y continuos). Ver Cohen-Tannoudji cap 3 214 - 221.

1.4. Sexto postulado: Evolución temporal y la ecuación de Schrödinger

La pregunta básica que responde el sexto postulado de la mecánica cuántica es ¿Como cambi

ket de estado en el tiempo?

t 0

→ t

|α , t 0 → |α , t

El tiempo es un parámetro continuo tanto en la teoría cuántica de sistemas no relativistas com

la relativista; por consiguiente existe una secuencia continua de estados desde el tiempo inici t 0

hasta el tiempo t , y podemos denir el límite

l ımt →t 0 |α , t = |α , t 0

. La pregunta por el estado del sistema en cada instante de tiempo está, por lo tan

conceptualmente fundamentada.

1.4.1. Operador evolución

En principio se puede construir un operador que haga evolucionar|α , t 0 en |α , t para cada instante

de tiempo t . Llamaremos a este operador, el operador evolución del sistema:

U (t , t 0) |α , t 0 = |α , t (41)

13



En la denición anterior U (t , t 0) debe entenderse como el operador que evoluciona el estado d

sistema de t 0 a t . El operador evolución debe cumplir las siguientes propiedades:

1. Unitariedad: Debe preservar la suma unitaria de las probabilidades.

2. Composición: La evolución de estados entre dos tiempos dados se puede descomponer

evoluciones sucesivas incluyendo tiempos intemedios.

3. El operador evolución debe coincidir con el operador unidad en el límite para t 0 = t .

4. Finalmente, debe ser expandible en serie de Taylor y tener componentes diferentes de ce

primer orden (Por qué?).

(42)

La propiedad 1 . de unitariedad se expresa matemáticamente estableciendo la igualdad a la unid

de la norma al cuadrado del estado del sistema para todo tiempo t :

α , t 0 |α , t 0 = α , t |α , t = 1 (43)

El bra correspondiente a la denición en (41) está dado por

α , t 0| U † (t , t 0) = α , t | (44)

Al sustituir las deniciones (41) y (44) en el producto escalar (43) obtenemos

α , t |α , t = α , t 0| U † (t , t 0) U (t , t 0) |α , t 0 = 1 = α , t 0 |α , t 0

14



lo cual nos conduce directamente a la condición de unitariedad para el operador evolución:

U † (t , t 0) U (t , t 0) = 1 (45)

(y la condición contraria?)Tal y como hemos obtenido la ecuación anterior, vemos que esta

condición necesaria y suciente para establecer la conservación de la suma de probabilidades;

deberá entenderse de aquí en adelante.

Si t 1 es un punto intermedio entre t 0 y t 2 , es decir t 0 ≤t 1 ≤t 2 entonces la propiedad 2 . de

composición implica que U (t 2, t 0) siempre puede ser representado como el producto sucesivo d

operadores

U (t 2, t 0) = U (t 2, t 1) U (t 1, t 0) (46)

lo cual es equivalente a decir que la evolucíon del sistema de t 0 a t 2 se puede interpretar como la

evolución de t 0 a t 1 seguida de la evolución de t 1 a t 2. Dado que el sentido de aplicación de U a

los kets es hacia la derecha; el orden de acción de los operadores en el lado derecho de la ecua

(46) es el apropiado.

Dado que t es un parámetro continuo, y haciendo uso de la propiedad de composición, podem

establecer propiedades para las composiciones innitesimales de U (t , t 0) con el objeto de hallar una

ecuación diferencial. Esta es la denominada ecuación de Schrödinger para el operador evoluc

la cual conduce a la correspondiente ecuación de Schrödinger para las funciones de onda. Las

últimas propiedades denidas para U (t , t 0) en (42) apuntan hacia el objetivo mencionado.

La propiedad 3. se puede expresar por el límite

lım∆t →0

U (t 0 + ∆t , t 0) = 1 (47)

15



adicionalmente la propiedad 4 nos dice que

U (t 0 + ∆t , t 0) = 1+ F ∆t

con F = 0. En la siguiente sección obtendremos la mencionada ecuación de Schrödinger par

operador evolución U (t , t 0), empleando sus cuatro propiedades básicas. El paso hacia la ecuació

de Schrödinger para los kets es, como lo veremos, inmediato.

1.4.2. La Ecuación de Schrödinger

Un ansatz apropiado para operador evolución innitesimal U (t 0 + ∆t , t 0) que cumpla las

propiedades 1. a 4. descritas en la sección anterior está dado por

U (t 0 + ∆t , t 0) = 1−i Ω∆ t (48)

donde Ω debe ser un operador hermítico, es decir Ω = Ω†, con lo cual U † = 1+ i Ω†∆t = 1+ i Ω∆ t

y por lo tanto

U †U = 1+ i Ω†∆t 1−i Ω∆ t = 1+ i∆t Ω†− Ω + O ∆t 2

≈ 1

es decir U denido en (48) es unitario a primer orden en ∆t . El operador Ω así escogido, por ser

hermítico, puede reresentar un observable físico.

Tarea: vericar que tambien se cumple a primer orden la propiedad de composición.

Es claro que el operador evolución es adimensional; los estados mismos en el espacio de Hil

de un sistema cuántico tambien son adimensionales. En tal caso la denición (48) nos indica

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Ω es un operador hermítico con dimensiones de frecuencia. Podemos llamar a Ω , ´por lo tanto,

el operador frecuencia. Recurriendo (heurísticamente) a la relación de Planck para la energí

los cuantos ε = ω h vemos que un observable ˆ H denido como ˆ H = h Ω tendrá dimensiones deenergía. Este observable no puede ser otro que el Hamiltoniano. En tal sentido se puede decir,

su relación directa con el operador evolución, que el Hamiltoniano es el observable que gene

evolución temporal innitesimal del sistema cuántico. El razonamiento dimensional anterior, n

ni mucho menos una demostración rigurosa de este hecho (buscar Ref); no obstante lo daremos

sentado. En tal caso podemos reescribir la ecuación (48) como

U (t 0 + ∆t , t 0) = 1−i ˆ H h

∆t (49)

donde ˆ H es le operador hamiltoniano del sistema.

La ecuación de Schrödinger para U (t , t 0) se obtiene al sustituir (49) en la siguiente composición d

operadores evolución, donde hacemos avanzar al sistema en un elemento innitesimal de tiem

∆t :

U (t + ∆t , t 0) = U (t + ∆t , t ) U (t , t 0)

= 1−i ˆ H h

∆t U (t , t 0)

o equivalentemente

ih U (t + ∆t , t 0)

− U (t , t 0) = ˆ H U (t , t 0) ∆t

Al hacer límite cuando ∆t tiende a cero en el lado izquerdo no tenemos otra cosa que la deriva

temporal de U :

ih lım∆t →0

U (t + ∆t , t 0) − U (t , t 0)∆t

= ih ∂ ∂ t

U (t , t 0) = ˆ H U (t , t 0) (50)

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donde hemos escrito una derivada parcial, dando la posibilidad para U de depender de otros

parámetros. Llegamos así a la ecuación buscada. La correspondiente ecuación de Schrödin

para el estado |α , t se obtiene aplicando el estado |α , t 0 a ambos lados de (50) y sabiendo que

U (t , t 0) |α , t 0 = |α , t :

ih∂ ∂ t

U (t , t 0) |α , t 0 = ˆ H U (t , t 0) |α , t 0

dado que|α , t 0 no depende de t podemos igualmente escribir

ih ∂ ∂ t

U (t , t 0) |α , t 0 = ˆ H U (t , t 0) |α , t 0

lo cual es equivalente a

ih ∂ ∂ t |α , t = ˆ H |α , t (51)

donde hemos llegado nalmente a la ecuación de Schrödinger para el estado|α , t .

2. Imagen de Schrödinger

Espectros continuos, posición y momentum , función de onda, ecuación de Schrodinder p

las funciones de onda (representación en el espacio de las posiciones)

Funciones de onda en el espacio de momentum

Relaciones canónicas de conmutación−→Ecuación de Schrödinger para funciones de onda

Imagen de Schrödinger.

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Espectros continuos

Observables como ˆ x o ˆ p tienen un espectro continuo, es decir:

ˆ x | x′ = x′ | x′ con x∈

R

ˆ p | p′ = p′ | p′ con p∈

R (52)

genericamente tenemos:

ζ |ζ ′ = ζ |ζ ′ (53)

la regla de ortogonalidada i | a j = δ i j para espectros discretos debe ser representada por:

ζ ′ | ζ ′ = δ (ζ ′−ζ ′′) (54)

donde δ es la función delta de Dirac denida como:

δ ( x′−

x) =∞ si x′ = x

0 si x′ = x

además:

b

a δ ( x′− x′′)dx ′ = 1 si x′′∈(a , b)

b

a δ ( x′− x′′)dx ′ = 0 en otro caso

b

a δ ( x′−

x′′) f ( x′)dx ′ = f ( x′′) si x′′∈

(a , b)

b

a

d dx ′

δ ( x′− x′′) f ( x′)dx ′ = − f ′( x)

Revisar Arfken para otras propiedades de la delta de Dirac.

19



Relación de completez:

∑i | a i a i |−→ d ζ ′ | ζ ′ ζ ′ |= 1 (55)

Representación de un estado cualquiera:

1 |α = d ζ ′ ζ ′ |α |ζ (56)

La suma total de las probabilidades es igual a 1:

α

|1

|α = 1

d ζ ′ ζ ′ |α α | ζ ′ = d ζ ′ ζ ′ |α 2 = 1 (57)

de tal manera que d ζ ′| ζ ′ |α |2 es la probabilidad de que al medir ζ ′ se obtenga un resultado ζ 0

donde ζ ′ < ζ 0 < ζ ′+ d ζ ′.

Representación de un producto escalar

α | β = α | 1 | β

= α | (∑i | a i a i |) | β

= ∑i

α | a i a i | β

donde α | a i y a i | β son números complejos.Similarmente:

α | β = α | 1 | β

= α | ( d ζ ′ | ζ ′ ζ ′ |) | β

20



= d ζ ′ α | ζ ′ ζ ′ | β (58)

donde, al igual que en el caso anterior,α | ζ ′ y ζ ′ | β son números complejos.

Representación en componentes de un operador en sus estados propios

a i | A | a j = a jδ i j

similarmente:

ζ ′ | ζ |ζ ′′ = ζ ′′δ (ζ ′−ζ ′′) (59)

Operadores posición y momentum, funciones de onda

Para el caso en que ζ ≡ ˆ x tenemos en (53):

ˆ x | x′ = x′ | x′ x′ | x′′ = δ ( x′− x′′)

y (56) toma la forma:

|α = dx′ x′ |α | x′ (60)

denimos x′ |α como la función de ondaΨ α ( x′):

x′ |α ≡Ψ α ( x′)

Podemos hablar del estado | α o de la función de onda Ψ α ( x′) que lo representa (mecánica

ondulatoria).

21



Originalmente, la ecuación de Schrödinger fue propuesta para Ψ α ( x′), la cual es una función de

cuadrado integrable donde el producto escalar es igual a 1

α |α = 1

α | ( dx′ | x′ x′ |) |α = 1

a x′Ψ∗α ( x′)Ψ α ( x′) = 1

dx′ Ψ α ( x′) 2 = 1 (61)

Representación del producto escalar:

α | β = α | 1 | β

α | β = dx′ α | x′ x′ | β

= dx′∗β ( x′)Ψ α ( x′) (62)

Representación de las componentes de un operador

α | B | β = α | 1B1 | β

α | B |β = dx′ dx′′ α | x′ x′ | B | x′′ x′′ | β

α | B | β = dx′dx ′′∗α ( x′)Ψ β ( x′′) x′ | B | x′′ (63)

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si B = ˆ x2, entonces:

α | ˆ x2 | β = dx′dx ′′∗α ( x′)Ψ β ( x′′) x′ | ˆ x2 | x′′

α | ˆ x2 | β = dx′dx ′′∗α ( x′)Ψ β ( x′′) x′′2δ ( x′− x′′)

α | ˆ x2 | β = dx′∗α ( x′)Ψ β ( x′) x′2 (64)

o en general:

α | f ( ˆ x) | β = dx′∗α ( x′)Ψ β ( x′) f ( x′)

Dado que ˆ x

| x′ = x′

| x , se dice que la multiplicación por x′ es la representación de ˆ x en las

coordenadas x.

Relaciones de conmutación para ˆ x, ˆ p

Denición: Se dene el conmutador cuántico entre dos operadores A , B como:

[A , B]≡ AB −BA

En 1925, Heinsenberg propuso las siguientes relaciones de conmutación para los operadores xi y

ˆ pi:

[ˆ xi , ˆ x j] = 0, [ ˆ pi, ˆ p j] = 0, [ˆ xi , ˆ p j] = ihδ i j (65)

Con las relaciones anteriores Heisenberg fué capaz de deducir el Principio de Incertidumbre:

∆ x∆ p ≥ h2

además logró (en conjunto con Born y Jordan) una formulación independiente de la Mecán

Cuántica.

23





De esta manera el operador Hamiltoniano para una partícula puede ser escrito en la representa

de las x como:

ˆ H = ˆ p2

2m + V ( ˆ x)

ˆ H = − h2

2m∂ 2

∂ x2 + V ( x) (67)

En tal caso la ecuación de Schródinger se puede escribir de la siguiente manera:

x | ih d dt |α , t = x | ˆ H |α , t

Este paso se puede demostrar más rigurosamente (Ver Sakurai .O

perador traslaciónτ pags 46-49 y54).

ih ∂ ∂ t

x |α , t = ( − h2

2m∂ 2

∂ x2 + V ( x)) x |α , t

ih ∂ ∂ t

Ψ α ( x, t ) = − h2

2m∂ 2

∂ x2 Ψ α ( x, t )+ V ( x)Ψ α ( x, t ) (68)

Esta es la ecuación propuesta por Schrödinger.

Imagen de Schrödinger

Los kets de estado evolucionan en el tiempo.

El operador evolución actua sobre los kets de estado.

Los operadores que representan observables no evolucionan en el tiempo.

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3. Imagen de Heisenberg

Compatibilidad e incompatibilidad de observables, degeneración, relaciones de incompat

lidad.

Imagen de Heisemberg.

Ecuación de movimiento de Heisemberg.

Sexto postulado de la Mecánica Cuantica (Imagen de Heisenberg).

Tarea: Investigar sobre la Imagen de Dirac o Imagen de Interacción.

Dos observables A y B se denen formalmente como compatibles si el conmutador entre lo

operadores se anula:

[A , B]≡ AB −BA = 0 (69)

Si [Â ,

ˆB] = 0 se dice que

Â y

ˆB son incompatibles.

Ejemplo:

[S1, S2] = S3

En general:

[Si , S j] = iε i jk Sk

donde ε i jk es el simbolo de Levi-Civita el cual se dene como:

ε i jk =

+ 1 si (i, j, k ) es una permutación par de (1, 2, 3)

−1 si (i, j, k ) es una permutación impar de (1, 2, 3)

0 si dos índices son iguales

26



Tarea :

Demostrar que:

[Si , S2] = 0 i = x, y, z

Si existen dos o más eigenkets (kets propios) que tienen el mismo valor propio a del observable

A, se dice que este valor propio es degenerado. En tal caso la notación |a para el ket de estado

es incompatible, ya que esta representaría innitas probabilidades de superposición de los esta

propios degenerados. Afortunadamente, en aplicaciones practicas de la Mecánica Cuántica si B es

otro obsevable que conmuta con A, sus valores propios sirven para etiquetar los estados propio

degenerados.

Teorema II

Si A y B conmutan y además|ψ es estado propio de A, entonces B |ψ es estado propio de B con

el mismo valor propio que el de|ψ .

Demostración:

(Cohen-Tannoudji pag 138).

Supongamos que|ψ es un vector propio de A, entonces:

A |ψ = a |ψ

aplicando B a ambos lados tenemos:

BA |ψ = aB |ψ

27



pero, BA = AB es decír

AB |ψ = aB |ψ

de modo que si denimos

|ψ ′ = B |ψ

podemos escribír

A |ψ ′ = a |ψ ′

q.e.d.

Analisis:

Tenemos dos casos posibles:

i Si a es no degenerado quiere decir por denición que no pueden existir dos estados distin

con el mismo valor propio a , es decir, B |ψ y A |ψ representan el mismo estado o lo que

es igual, solo los diferencia una fase:

B |ψ = eiα |ψ

ii Si a es degenerado B | ψ y |ψ pueden representar dos estados diferentes de tal manera

que estos pertenecen mas bien a un subespacio de ε llamado ε a donde los vectores tienen el

mismo valor propio:

Figura 1

28



En ambos casos la acción de B no cambia el valor propio de ningún estado en ε a . En este caso se

dice que ε a es globalmente invariante (o estable) bajo la acción de B.

Lo que hemos demostrado es lo siguiente:

Si dos operadores A y B conmutan, todo subespacio expandido por estados de A es globalmente

invariante bajo la acción de B y viceversa.

Teorema III

Si dos observables A y B conmutan y si|ψ 1 y |ψ 2 son dos vectores propios de A con distintos

valores propios, el elemento matricialψ 1 | B |ψ 2 es igual a cero.

Demostración:

Dado que A y B conmutan, tenemos:

[A, B] = 0

ψ 1 | [A, B] |ψ 2 = 0

ψ 1 | (AB −BA) |ψ 2 = 0

ψ 1 | AB |ψ 2 −ψ 1 | BA |ψ 2 = 0

Pero A es hermítico,por lo tanto.

a1 ψ 1

| B

|ψ 2

−ψ 1

| B

|ψ 2 a2 = 0

(a1−a2) ψ 1 | B |ψ 2 = 0

Dado que a1 = a2 por hipótesis, entonces:

ψ 1 | B |ψ 2 = 0

29



Teorema IV (Importantísimo!)

Si dos observables A y B conmutan, se puede construir una base ortonormal del espacio de estad

con vectores propios comunes a A y B, tanto si el espectro es degenerado como no-degenerado. Eeste sentido se dice que A y B son observables compatibles.

Demostremos que| a i son estados propios de B:

Si el espacio de A es no-degenerado, podemos utilizar el teorema III para escribir:

a i | B | a j = δ i j a i | B | a j

Con, A | a i = a i | a i y A | a j = a j | a j donde a i = a j para i = j. En tal caso podemos representar

B en los estados propios| a i aplicando la relación de completez

∑i | a i a i |= 1

es decír

1B1 = ( ∑i | a i a i |)B(∑

j | a j a j |)

B = ∑i, j

a i | B | a j |a i a j |B = ∑

i, jδ i j a i | B | a j |a i a j |

ˆB = ∑i a i |

ˆB | a i |a i a i | (70)

Ahora, hagamos actuar el operador B, escrito en la anterior forma, sobre el vector| a l :

B | a l = ∑i

a i | B | a i |a i a i | a l

30



B | a l = ∑i

a i | B | a i |a i δ il

B | a l = a l | B | a l |a l

En conclusión| a l es un estado propio de B con valor propioa l | B | a l . Asi vemos pues que| a l

es vector propio simultaneamente tanto de A como de B:

A | a l = a l | a l , B | a l = a l | B | a l |a l

Denotemos un ket propio sumultaneo de los operadores A y B por:

| a l ⊗ |bl ≡|a l , bl

donde⊗

denota el producto tensorial, tal que:

A | a l , bl = a l | a l , bl

B | a l , bl = bl | a l , b l

(71)

Para el caso degenerado puede haber varios (incluso innitos) bl con un mismo a l :

| a l , b1 , | a l , b2 , | a l , b3 , . . ., | a l , bm con m representando la dimensión de la degeneración.

Observables incompatibles

Dos observables A y B se denominan incompatibles si [A, B] = 0 . Los observables incompatibles

no tienen un conjunto de kets propios simultaneos, si así fuese entonces

AB | a l , bl = a l bl | a l , bl

BA | a l , bl = a lbl | a l , bl

31



⇒ AB | a l , bl = BA | a l , bl

(AB −BA) | a l , bl = 0

⇒ (AB −BA) = 0 lo cual está en contradicción con la hipótesis.

3.1. Relaciones de incertidumbre

Denimos el operador∆A como:

∆A ≡ A − A 1 (72)

con A el valor esperado de A para algun estado|ψ dado.

Se dene la dispersión de la cantidad A como el valor esperado de (∆A)2:

(∆A)2 = (A − A 1)(A − A 1)

(∆Â)

2=

Â

2

−2Â

Â +

Â

2ˆ1

(∆A)2 = A2 −2 A 2 + A 2

(∆A)2 = A2 −A 2 (73)

también se habla de la varianza o de la desviación media cuadrática.

Si |ψ = | a i es un estado propio en A, tenemos para A :

A | a i = a i | a i

⇒ A = a i | A | a i

A = a i a i | a i

32



A = a i

Similarmente paraA2 tenemos:

A2 = a i | a i a2i

Por lo tanto en este caso la dispersión resulta ser idénticamente nula:

(∆A)2 = a2i −a2

i

(∆A)2 = 0

Precisamente la dispersión es= 0 si el estado no es estado propio de A. Habra una incertidumbre

en el resultado de medir A si el sistema se encuentra en un estado no propio de este operador.

Denimos:

∆ A = (∆A)2 (74)

Por ejemplo:

(∆S x)2

|S z+ = h2

4

∆S x = (∆S x)2 = h2

S x = 0

3.1.1. Relación general de incertidumbre

Para dos observables cualesquiera se puede desmostrar

(∆A)2 (∆B)2 ≥ 14 | [A , B] |2 (75)

⇒ (∆A)2 (∆B)2 ≥ 12 | [A, B] |

33



Problema:

LLenar los pasos de la demostración de la ec. (75), en Sakurai. Además probar la relación

incertidumbre para: A = S x, B = S y y |ψ = | s z+

Interpretar sicamente el resultado.

Imagen de Heisenberg

En la imagen de Heisenberg de la mecánica cuantica se cumplen las siguientes características:

Los operadores que representan observables evolucionan en el tiempo

Los kets de estado se mantienen jos (no evolucionan en el tiempo)

El operador evoluciÃ3n actÃoa sobre los operadores de los observables

3.1.2. Equivalencia entre la imagen de Schrödinger y de Heisenberg

Recordemos que el producto escalar α | β es invariante bajo transformaciones unitarias, en

especial bajo la transformación de evolución temporal. La evolución temporal actúa de ig

manera sobre todos los estados:

| β −→ U |β

|α −→ U |α

34



α | ←→ α | U +

⇒ α | β −→α | U + U |β = α | β

Sin embargo cuando hay observables “de por medio”, tenemos:

α | ˆ X |β t −→ ( α | U + ) ˆ X ( U |β )

aplicando la asociatividad, podemos escribir:

α | ˆ X |β t = α | U + ˆ X U |β

Si mantenemos α | y |β intactos y en contraposición cambiamos ˆ X por U + ˆ X U , entonces

α | ˆ X |β t es independiente de la imagen de evolución, ya sea de Schrödinger o Heisenberg.

Para la imagen de Schrödinger:

|α −→ U |α

| β −→ U |β

ˆ X f i jo

Para la imagen de Heisenberg:

ˆ X −→ U + ˆ X U

|α , | β fijos

La imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica es más cercana a la mecánica clasica ya qu

observables evolucionan en el tiempo.

35



3.2. Soluciones a la ecuación de Schrödinger para el operador evolución

Bajo ciertas condiciones U (t , t 0) puede representarse como:

U (t , t 0) = e−i ˆ H h (t −t 0) (76)

Problema:

Explicar cuales son las condiciones para que el operador U (t , t 0) pueda representarse a traves de la

ec. (87) y para el caso de que no se cumplan.

Ecuación de movimiento de Heisenberg

Observaciones:

La deducción que haremos de la ecuación de movimiento de Heisenberg es independiente

la escogencia de la ec. (87).

Tomaremosmos t 0 = 0.

Denamos el operador A( H )(t ) de Heisenberg asociado al observable A como:

Â

( H )

(t ) ≡ Û

+ Â

(S ) Û (77)

Con A(S ) el operador corrspondiente en la imagen de Schrödinger:

A(S ) = A( H )(t = 0)

36



A su vez denimos el ket de estado de Heisenberg como:

|α , t H ≡|α , t 0 S si t 0 = 0 (78)

Es decir, el ket de estado no evoluciona.

El valor esperadoA α es el mismo para los dos imagenes y para todo tiempo t :

A α = S α , t | A(S ) |α , t S

A α = S α , t | U + A(S )U |α , t S

A α = S α , t | A( H ) |α , t S

Para hallar la ecuación de movimiento de A( H )(t ) derivamos la ec. (88) con respecto al tiempo:

d dt

A( H )(t ) = d dt

[ U + (t )A(S )U (t )]

d dt

A( H )(t ) = [ d dt

U + (t )]A(S )U (t )+ U + (t )A(S )[ d dt

U (t )]

Utilizando la ecuación de Schrödinger (?) para el operador de evolución U (t , t 0 = 0) obtenemos:

d dt

A( H )(t ) = A( H )(t ) − 1ih

U + H U U + A(S )U + U + A(S )[( 1ih

) H U ]

d dt

A( H )(t ) = 1ih

[A( H )(t ), H ( H )(t )] (79)

Esta es la ecuación de movimiento de Heisemberg.

La formulación de la mecánica Cuántica segun la imagen de Heisenberg es análoga a la formulaci

con corchetes de Poisson de la mecánica clásica.

37



4. EL Oscilador Armónico Cuántico

Operador Hamiltoniano, operadores de creación y destrucción, operador número

ocupación.

Valores propios y estados propios del operador Hamiltoniano.

Evolución temporal en la imagen de Heisenberg −→ Mecánica Clásica.

ˆ H = ˆ p2

2m+

mω 2 ˆ x2

2 (80)

Es conveniente por razones que veremos pronto, denir los siguientes operadores no-hermítico

a = mω 2h

( ˆ x+ i ˆ pmω

) (81)

a+ = mω 2h

( ˆ x− i ˆ pmω

) (82)

conocidos como los operadores de aniquilación y creación respectivamente (despues verem

porque).

Problema

Sabiendo que:

[ˆ x, ˆ p] = ih1

compobar que los operadores de aniquilación y creación cumplen la siguiente relación

conmutación:

[a , a+ ] = 1 (83)

38



Operador Número (de que?) −→ de estados de ocupación desde el estado base (n = 0) a los

excitados (n = 1, 2, 3, ... ).

ˆ N = a+

a (84)

Problema

Teniendo en cuenta que:

a+ a =ˆ H

hω −121

demostrar:

ˆ H = hω ( ˆ N + 121) (85)

Como consecuencia todo estado propio de ˆ N es estado propio de ˆ H :

ˆ N | n = n | n

ˆ H | n = hω (n + 12) | n

E n = hω (n + 12) (86)

donde n es un número natural.

¿Por qué creación y aniquilación?

Para ello primero veamos que:

[ ˆ N , a ] = [a+ a , a ]

[ ˆ N , a ] = a+ [a , a]−[a+ , a ]

utilizando la expresión (83) obtenemos:

[ ˆ N , a ] = −a 1

39



⇒ [ ˆ N , a ] = −a (87)

similarmente:

[ ˆ N , a+ ] = a+ (88)

Problema

Demostrar la expresión (88).

De la ec. (87) se concluye:

ˆ N a

−a ˆ N =

−a

⇒ ( ˆ N a −a ˆ N ) | n = −a | n

( ˆ N a −an ) | n = −a | n

resultando:

ˆ N a | n = ( n −1)a | n (89)

Si ˆ N |n = n | n entonces ˆ N ( a | n ) = ( n −1)a | n , es decir, â | n se comporta como |n −1 .

Digamos entonces:

a | n = C 1 | n −1 (90)

“destruye un cuanto de energíaa hω ”

similarmente de la expresión (88) tenemos:

ˆ N a+ −a+ ˆ N = a+

⇒ ( ˆ N a+ −a+ ˆ N ) | n = a+ | n

( ˆ N a+ −a+ n) | n = a+ | n

40



ˆ N (a+ | n ) = ( n + 1)( a+ | n ) (91)

es decir, â+ | n se comporta como| n + 1 :

a+ | n = C 2 | n + 1 (92)

“crea un cuanto de energía hω ”

Hallemos las constantes C 1 y C 2:

a | n = C 1 | n −1

n | a+

= n −1 |C ∗1

n | a+ a | n = n −1 | n −1 |C 1 |2

n | ˆ H | n = n −1 | n −1 |C 1 |2

n n | n = |C 1 |2

⇒ n = |C 1 |2

sin pérdida de generalidad podemos escoger:

C 1 = √ n (93)

ya que multiplicar al ket| n −1 por una fase global arbitraria no cambia en general el estado físic

representado por ese ket.De esta manera podemos escribír

a | n = √ n | n −1 (94)

Problema

41



Demostrar que podemos escoger

C 2 = √ n + 1 (95)

obteniendo como resultado

a+ | n = √ n + 1 | n + 1 (96)

utilizando para ello la identidad

[a , a+ ] = 1

Problema

Demostrar que los n deben ser estrictamente enteros, de lo contrario se violan algún postulado

propuesto. Ver Sakurai pags 91 - 92.

Con â+ podemos construir a partir del estado base|0 , todos los estados excitados:

|1 = a+ |0

⇒ 1 |1 = 0 | a a+

|0 = 0 | ˆ N + 1 |0

1 |1 = 1

| γ = a+ |1 −→ γ |= 1 | a

⇒ γ | γ = 1 | a a+ |1 = 1 | ˆ N + 1 |1

γ | γ = 2

|2 = | δ = |γ

γ | γ

42



|2 = a+ |1

√ 2 = (a+ )2 |0

√ 2

Problema

Demostrar utilizando el método de inducción matemática que:|3 = (a+ )3

√ 3∗2 |0 , . . ., | n = (a+ )n

√ n! |0para todo n natural.

Conclusión: el problema de vetores propios y valores propios del hamiltoniano del oscilad

armónico se puede resolver de manera iterativa utilizando la base de estados propios del opera

número denido en (84), de tal manera que

ˆ H | n = E n | n

con E n = hω (n + 12) y los estado| n se pueden construír a partír del estado base|0 :

| n = (a+ )n

√ n! |0

De esta manera hemos resuelto de forma iterativa y con la introdución de los operadores de crea

y destrucción, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el problema del oscila

armónico cuántico unidimensional. El procedimento aquí utilizado es un ejemplo particular

un método más general para resolver ecuaciones diferenciales lineales denominado método

factorización.

Ecuación de Heisenberg para el Oscilador Armónico Unidimensional

Recordemos la ecuación de Heisenberg para el observable ˆ A H obtenida en la sección anterior:

d ˆ A H

dt =

ih

[ ˆ H H (t ), ˆ A H (t )]

43



Para el caso del oscilador armónico unidimensional, el operador hamiltoniano en la representa

de Heisenberg está dado por:

ˆ H H

(t ) = ˆ p2(t )

2m + mω

2 ˆ x2(t )

Donde ˆ p(t ) y ˆ x(t ) son respectivamente los operadores momentum y posición dependientes d

tiempo, tal y como se deneien en la imagen de Heisenberg1.

Procedemos ahora a hallar la ecuacion de Heisenberg para estos operadores.

Problema:

Demostrar las sigueintes indentidades:

[ ˆ H (t ), ˆ p(t )] = ihmω 2 ˆ x , ˆ H (t ), ˆ x(t ) = −ihm

ˆ p (97)

sabiendo que [ˆ x, ˆ p] = ih1 y ˆ A ˆ B, C = ˆ A[ ˆ B, C ] + [ ˆ A, C ] ˆ B. De esta manera la ecuación de Heisenberg

para cada operador toma la forma

d ˆ pdt

= −mω 2 ˆ x ,d ˆ xdt

= ˆ pm

(98)

Las cuales coinciden, a traves de la identicación de entre corchetes de Poisson y corch

cuántico,con las ecuaciones de Hamilton para el problema del oscilador armónico clás

unidimensional. Se puede observar que las ecuaciones (98) son ecuaciones diferenciales ordina

de primer orden acopladas en ˆ x y ˆ p. Se puede muy facilmente demostrar que los operadores d

creación y destrucción â + y a desacoplan estas ecuaciones. Para el caso de â denido en (81)

tenemos

d adt

= mω 2h

(d ˆ xdt

+ imω

d ˆ pdt

) = −iω mω 2h

( ˆ x+ i ˆ pmω

)

1A partír de ahora se sobreentiende que todos los operadores en esta sección, están representados en la imagen

Heisenberg; por lo tanto omitiremos por simplicidad el superíndice H que la denota.

44



Por lo tanto la ecuación de Heisenberg resulta ser

d adt

= −iω a (99)

Haciendo el transpuesto conjugado de (99) obtenemos inmediatamente la respectiva ecuación

Heisenberg para â+ :

d a+

dt = iω a+ (100)

La integración de (99) y (100) es directa:

a = a (0)e−iω t , a+ = a+ (0)eiω t (101)

Problema:

A partir de la ec. (101) y las deniciones de los operadores de creación y destrucción demos

que:

ˆ x(t ) = ˆ x(0)cos ω t + ˆ p(0)mω sen ω t

ˆ p(t ) = −mω ˆ x(0)sen ω t + ˆ p(0)cos ω t (102)

Es decir ˆ x y ˆ p oscilan tal cual como lo hacen las correspondientes variables clasicas x y p.

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Notas Postulados Mecanica Cuantica