Fundamentos Mecanica Cuantica

8/17/2019 Fundamentos Mecanica Cuantica

1/38

PROBLEMAS DE DEMOSTRACIONES

2.10 Verificación de la Ecuación de Schrödinger es lineal en la función de onda

t,x

212211 c..y..c;t,xct,xct,x Constantes de valor arbitrario

0t

ihVxm2

h2

22

Probando la combinación lineal

0tc

tcihccV

xc

xc

m2h 221122112

2

2

221

2

1

2

De otra forma

0t

ihVxm2

hc

tihV

xm2

hc 222

2

22

21

12

1

22

1

0t

ihVxm2

hc 112

1

22

1

todo valor de 21 c....y...c

0t

ihVxm2

hc 222

2

22

2

2.11 La función de onda , x t para el estado de energía más bajo de unoscilador armónico simple, que consiste de una partícula de masa “m” actuadapor una fuerza de restitución lineal con constante de fuerza C, se puedeexpresar como:

2/ 2 / 2 /

, Cm h x i C m t

x t Ae e


2/38

2

,2

x t x

CxV V

La fuerza correspondiente es una fuerza de restitución lineal con constante de fuerza

C.

xdV

F Cxdx

La ecuación de Schrödinger para este potencial es:

2 22

22 2

C x i

m x t

Primero se desarrollan sus derivadas:

2

2

22

2 2

_________ 2

22 2

2

i C y

t m

Cm Cm x x

x

Cm Cm Cm x x

x

Cm Cm x

x

Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger dan.

2 22 2

2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

h Cm Cm C i C x x i

m m m

simplificando

C C C C x x

m m

2 2

_ _ _

quedando

C C

m m

Se comprueba la validez

2.12 Demostrar que t,xt,x* es necesariamente real y positivo o cero.

Solución:

t,xiJt,xR t,x


3/38

donde: t,xR parte real

t,xJ parte imaginaria

t,xiIt,xR t,x*

Multiplicando miembro a miembro

22222 JR IiR *

iJR iJR *

Entonces

22 t,xIt,xR t,xt,x* es real, t, y cero

2.13 Evaluar la densidad de probabilidad para la función del estado de menorenergía del oscilador armónico simple.

Solución:

La función de onda es:

tm/c2/iexx2/cmAet,x 22

la densidad de probabilidad es:

tcm2/ixh2cmtm/c2/ih2/cm eAeeAe*P2

2xh/cmAeP

0x

P

un máximo, punto de equilibrio del oscilador

La mecánica cuántica predice que es más probable encontrar a la partícula en un

dx localizado en el punto de equilibrio.


4/38

2.14 Evaluar las predicciones de la mecánica clásica para la densidad de

probabilidad del oscilador armónico simple del ejercicio 4) y compararlas con

las predicciones de la mecánica quántica que se encontraron en ese ejercicio.

Solución: En la mecánica clásica se tiene

2 B P

v Siendo P = impulso definido y v=velocidad definida

Donde2 B es alguna constante

Considerando la energía

2 2

2 2

mv Cx E K V

C es la constante de Fuerza E, K, V = energías total, cinética y potencial

Entonces se tiene que:

2

CxE

2

mv 22 o

2

CxE

m

2v

2

2

CxE

m

2

BP

2

2

En x=0 se tiene un mínimo y cuando empieza a crecer la energía potencial es igual a su

energía total


5/38

2

2

Cx E

C

E2x

La densidad de probabilidad cae bruscamente a cero fuera de los limites del movimiento de la

partícula

2

2 /

22 /1

2 / / 2

E C

E C

B dx Pdx

m E Cx

Y2 B se puede determinar imponiendo el requisito de que la probabilidad total de encontrar a

la partícula en algún lugar debe ser igual a uno.

2.15 Evaluación de la densidad de probabilidad del oscilador armónico simple.

Solución: Nota:

v

BP

2

P = impulso definido

considerando la energía v = velocidad definida

2

cx

2

mvvK E

22

x = desplazamiento

Energía potencial en términos de x y C E, K, V = energías totales

2

CxE

2

mv 22 c = Ctte. de fuerza del oscilador

2

CxE

m

2v

2

2

Cx

Em

2

BP

2

2

0x

P

; P tiene su mínimo en el punto de equilibrio

K ET Energía potencia

2

CxE

2


6/38

C

E2x

N/E2

1

2/CxE

dx

m/2

BPdx

2

2

N/E2

2.16 Normalización de la función de onda t,x

Solución:

1dxe22xh/cm

Adx*Pdx

Función por

0

dxxh/cm2xh/cm2 22 eA2dxeA Nota:

1 Función por.- Estado es su valor para

cierta x es igual a su valor para x

Según tablas

0 4/1

2/1

xh/cm

cm2

hdxe

2

4/1

8/1

h

cmA

tm/c2/ixh2/cm

4/1

8/1

eeh

cmt,x

2

1dx*Pdx existe la partícula

2.17 Estas integrales dan la posibilidad total de encontrar a la partícula descrita por

la función de onda en alguna parte. Comprobar que la función es

solución de la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico. Relacionar

con la constante de fuerza del oscilador y la masa de la partícula, y calcular la

energía correspondiente a esa solución.


7/38

Solución:

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el osciladorarmónico monodimensional es

Para comprobar que es solución tenemos que sustituir ,para lo que necesitamos la segunda derivada

que será solución si

o lo que es lo mismo, si reordenamos


8/38

que será nulo para todo valor de si

De la segunda ecuación obtenemos el valor de

y de la primera el valor de la energía correspondiente a dicho estado

2.18 Verificar que la función de onda es una solución de la ecuación de

Schrödinger (-a/2 < x < a/2) y determine el valor de la energía total E

2

/ 2 / 2,

0 / 2 / 2

iE t x

Asen e a x a x t a

x a o x a

Solución: Como no hay fuerza que actúan sobre la partícula se considera a solución

constante que es igual a cero.

2 2

2:

2Si y i

m y t

2 2

22ih

m x t

en 2/2/ a xa


9/38

Si /2 iEt x Asen e

a

Verificamos:

/2 2cos iEt x

A e x a a

2 2

/2 2 2 *iEt x

Asen e x a a a

/2 *iEt iE x iE

Asen e x a

Substituimos en la ecuación de Schrödinger

a)2 2

2 *2

E dt i im a h dt

/Verificado

2 2

2

2* E

ma

b)2 2

2

2 E

ma

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

2.19 (a) Determinar la frecuencia ν de la parte dependiente del tiempo de la funciónde ondapara el estado de energía más bajo de un oscilador armónico simple.

(b) Utilice este valor de ν y la relación de De Broglie-Einstein E = hν para evaluar la energía total E del oscilador.

(c) Utilice este valor de E para demostrar que los límites del movimiento clásico delOscilador se pueden escribir como

Solución:

(a) Sea una partícula de masa m ligada en el potencial de oscilador armónico simple


10/38

V(x)= 1 Cx2, donde,2

C es la constante restauradora lineal. Como sabemos, por lotanto, podemos escribir el término dependiente del tiempo como

donde hemos escrito

(b) Como la energía total de la partícula E = hv = (h/4 ) mC / , se tendra

(c) En el caso clásico, la conservación de la energía nos dice quec

Como E = (1/2) Cx2max, min, los puntos en los que la energia potencial se hace igual ala total son:

x max, min = C E /2 = (Cm) 1/4

2.20 Hallar el valor medio de x 2 y P en el estado h =2 de una partícula en un

pozo de potencial infinito de ancho “a”

v v

dx x x x xdv f f 22 *ˆ*

a

x sen

a x

a

xh sen

a xh

22;

22

dxa

x

sen xadxa

x

sena xa

x

sena x

aa 222222 2

0

22

0

2

a aa

dx dxa

x x x

adx

a

x x

a0 0

2

0

22 4

cos12

cos12

2

xdxd xdxa

x xsen

za

a

x sen

a x

x

a

a a

24

4

4

43

1 2

0 0

23

dxa x

sendv x

4

; dxa

xdv

4cos


11/38

a

xavdxd

4cos

4;

a

x sen

av

4

4

dx

a

xa

a

x xaa

a

x sen x

aa

a

4cos

4

4cos

44

24

43

1 23

a

x sen

a

a

a

x xaa

a

x sen x

aa

a

44

4

4cos

44

24

43

1 23

a

x sen

a

a

x x

a

a

x sen x

aa

a

4

4

24cos

16

24

43

12

22

3

a

a

x

sen

a

a

x

x

a

a

x

sen x

aa

a0

2

22

3 4

4

24

cos8

14

43

1

2

22

2

3

2

23

24

38

8

1

3

1

8

1

3

1

a

a

aaaa

a

dv f f v

ˆ*

)

2222

0 dxa

x

senadx

d

iha

x

sena f

a

aq

a

x senih

adx

a

x

a

x sen

aih

a p

0

2

0

4

2

142cos

222

0112

4cos

2

4cos

4

2

0

2 a

ih

a

x

a

ih

a

xa

aih p

a

2.21 Hallar el valor medio de x y p 2 en el estado fundamental de un oscilador

armónico lineal simple.

0h 22

122 xa

u ea

x

d ea

x22

1

xdxad

xa

2

22

2


12/38

1

2

2

1

2

122

e

a

ad e

a

a

0

2

1

2

1 22

ee

ae

a x xa

dxea

dx

d h

a p

xae

xa

22

1

2

22

2

1

2

222

22

222

2

1

22

1

2 122

xaeaa

ha

p xa

dxe xadxeha xa xa 2222 22

3

22 222 x x e xadxeha

3

53

3

53

3

223

222

1

a

ha

a

hahahaah

a

mhwh

mwh

hahahahaha

2

1

2

1

22

2

2

222222222

22

2.22 Calcular los valores esperados para la energía cinética y la energía

potencial para una partícula en su estado más bajo de energía de un oscilador

armónico simple.

pdf f f ˆ*ˆ

dxea

dx

d he

a p

xa xa

22

1

2

222

1

2

2222

dx xaehaa xa

2222 122

Nota.-


13/38

Estado más bajo = n = 0

22

1

0

22 xa

ea

x

dxe xadxehaa x x 22 2222

3

22

ha

a

2222

3

222

2

1

2

1haha

aa

aha

a

222222

2

1

2

2ha

haha

mhwh

mwh px

2

1

2

1 22

hwmhwm

E C 4

1

2

1

2

1

222

1

2

1 xk Epkx Ep

dxe xa

dxea

xea

x xa xa xa

22

2222

222

1

222

1

2

mw

h

aa

aa x

2

1

2

1

2

1

2

1233

2

mw

hmw

mw

h

mw

kh

mw

hk Ep

24

1

4

1

22

1 2

hw Ep4

1

2.23 Calcular los valores esperados para la energía cinética y la energía

potencial para una partícula en su estado más bajo de energía de un oscilador

armónico simple.


14/38

*

ˆ ˆ, ,ˆ

r t r t V f f dV

2 2 2 2

2 2

2

2

2 22

2

2 2

2 22

2 2 2

ˆ ˆ

_

ˆ2

2

1

a x a x

a x

f p

f p

y ademas

d p

m dx

reemplazando

a d a p e e

m dx

a p e a x dx

Con el estado más bajo n = 0

2 2

2ˆ,

a x

r t

ae

2 2

2 2 21a xa

e a x dx

2 2 2 22 2 2a x a xa e dx a x e dx

32

2 6

aa

a a

3 2

32

a a

a a

32 21

2

aa a

a a

21

2 p a

2 mwa

Reemplazando a


15/38

1 1

2 2

mw p mw

1 1 1

2 2 4C

E mw wm

222

1

2

1 xk Epkx Ep

2 22 2 a xa x x e dx

2

3 3 2

2

2

2

1 1 1

2 2 2

1

2

1 1

2 2 4

1

4

1

4

a a x

a a a

mwa

xmw

k Ep k

mw mw

Ep mwmw

Ep w

2.24 Calcular la probabilidad de que la partícula asociada con la función de

onda pueda ser encontrada en una medida dentro de una distancia de a/3.

Solución: Datos: hiEt ea

x At x /cos,

Donde2

Aa

Si * 1 Pdx dx

/ /2 2cos cosiEt iEt x x

P e e dxa a a a

dxa

x

a P dx

a

x P

a

a

a

a

cos1

2

12cos

2/

3/

2/

3/

2


16/38

dxa

x

adx

a P

a

a

a

a

2/

2/

2/

2/

2cos

11

2/

2/

2/

2/

2

2

11 a

a

a

a a

x sen

a

a x

a P

32

2

2

1

22

1 aa

a sen

aa

a P

6

232

2

1

6

231 aa

a sen

aa

a P

1 1 2

6 2 6

0.304

P sen

P

Evaluamos para x2

2 2* x x dx

/ 2

2 / 2 /

/ 2

2 2a

iEt iEt

a

x x x Asen e x Asen e dx

a a

dx xa

x Adx x

a

x sen A x

a

a

a

a

2

2/

2/

22

2/

2/

222 4cos12

12

dxa

x xdx x

A x

4cos

2

222

2

Por integración por partes

2 x dxa

xdv

4cos

xdxd 2 a

x sen

av

4

4

dxa

x xsen

a

a

x sen

a x x

A x

4

4

24

43

1

2

232


17/38

x dxa

x sendv

4

dxd a

xav

4cos

4

dxa

xa

a

x xaa

a

x sen

a x x

A x

4cos

4

4cos

44

24

43

1

2

23

22

4

324cos4

43

1

2 3

3

2

333

22 sen

a x

d

a x sen

aa

A x

2

32322

24

38

2

aa A x

2

2322

24

38

2

a A x

a A

2

2

222

24

38

a x

2.25 Calcular el valor de expectación de p

/2, __ __ 2 2iEt x a a x t Asen e en x

a

Solución:

* __ __ *d

p p dx entonces p dxdx

/ /2 2iEt iEt x d x p Asen e i Asen e dx

a dx a

/ /2 2 2

cosiEt iEt x x x

p Asen e i A ea a a

2 2 1 2 2 2 2

2

x x x x p i A sen sen dx

a a a a a

/ 2

2

/ 2

2 1 4

2

a

a

x p i A sen dx

a a


18/38

2.26 Normalizar la función de onda, que ajustando el valor de la constante

multiplicativa A la probabilidad sea igual a 1.

Solución: /2

: , iEt x

Si x t Asen e

a

2/2/ a xa

a) * Pdx dx

Entonces para normalizar

/ /2

2iEt iEt x

Pdx Asen e Asen xe dxa

2 2 2 x A sen dxa

Si 2 2 2 1 4

cos2

x x A sen dx A

a a

entonces

2 4cos 4 cos

2

A x x dx

a

2/

2/

2 4

42

a

aa

x sen

a x

A

122

22

a A

a A

2 A

a

2.27 Calcular el valor de la expectación de x y el valor de expectación x2 para

la partícula asociada con la función de onda.

Solución: /2: , iEt xSi x t Asen ea

2/2/ a xa

.Evaluamos para x

* x dx

/ 2

/ /

/ 2

2 2a

iEt iEt

a

x x x Asen e x Asen e dx

a a

dx x

a

x Adx x

a

x sen A x

a

a

a

a

2/

2/

2

2/

2/

22 4cos1

2

12


19/38

2/

2/

2/

2/

2 4cos

2

a

a

a

a

dxa

x x xdx

A x

Integrando por partes

x dxa

xdv

4cos

dxd a

x sen

av

4

4

221 4 4

2 2 4 4

A a x a x x x x sen sen dx

a a

a

xa

a

x sen

ax x

A x

4cos

4

4

42

1

2 2

22

2

2

22222

2

16

8

2162

1

2

aa A x

aa

A x

Luego

2 cos44

a p i A

a

2

4

i A p Sia

A 2

Queda

2

i p

a

2.28 Con2

2 2 8 3

24 x a

y

2 22

2

4 p

a

calcular los productos de las

incertidumbres en posición e impulso, luego comprobar con la

incertidumbre del producto 0.57 x p

Solución:

Entonces el producto de las incertidumbres será:

22 p x D x


20/38

22 2 2 2

2

8 30,32

24 x a x a

2 20,32 x a 2 0,566 x a

Luego:2 2

2

2

4 p

a

2 22

2

4 p

a

2

2 p

a

2 2 2

0,5660 x p x pa

3,56 x p

Donde se puede apreciar que cumplen con la condición de incertidumbre donde

/ 2 x p . También se observa que varía, esto es debido a nuestra función de

onda que es una función seno y de ángulo doble.

a senh

a

a

a

a senh

aasenh

a

P E

kt

z p

cosh41

0

2

2

aaCotgh P p

10

J aCotg nP p 0

2.29 Derive respecto al tiempo el valor esperado del momento, que se da la

ecuación de Schrödinger para encontrar la ecuación cuántica

correspondiente a la 2da ley de Newton.

Solución: Derivando la ecuación.

*dPx d d

dxdt i dt dx

*d d d

dx dxi dt dx i dxdt

2

*

*

d i d i

vdt zm dx


21/38

2 2 2

2 2

** * *

2

dPx d d d d d dx v v dx

dt m dx dx dx dx dx

2 2

2

** *

2

dpx d d d d dvdx dx

dt m dx dx dx dx dx

2 2

2

** *

2

d d d dvdx

m dx dx dx dx

lim , 0 x t

dPx dv F

dt dx

2.30 Calcule el valor esperado de la energía cinética de una partícula que se

encuentra dentro de una caja de longitud L, y cuya función de onda es:

2

n

x x i sen

L L

Solución: Sabemos que la energía cinética se puede expresar en la forma.

m

Pxk 2

2

Y su operador es:

d Px

i dx

2 2

2 2

2

d d Px

i dx dx

2

2

0

*

Ld

K dxdx

Sustituyendo valores

2

0

2

2

L x

K i senm L L

2

2

2d xi sen dxdx L L


22/38

2 22

3

0

L x

K sen dxmL L

2 2

2 0

1 2

2 4

L x

senmL L L

2 2

2

3 3

2

2

1

2

K mL

K mL

2.31 Hallar el valor medio de x2 y p en el estado n=2 y una partícula de un pozo

de potencial infinito de ancho “a”.

Solución:

2

2

2 * 2

, ,

,

*

,

2 2

2 2

x t x t

iE t

x t

iE t

x t

x x dx

x sen e

a a

x sen e

a a

2

0

2 2 2 2a

n

x x x sen x sen dx

a a a a

2 2

0

2 2a

x x x sen dx

a a


23/38

0

2 2 2 2a

x d x p sen i sen dx

a a dx a a

0

2 2 2 2 2cos

a x x

sen i dxa a a a a

2

0 0

2 2 2 2 4 2 2cos cos

a a x x x x

i sen dx i sen dxa a a a a a a

2

2

0

4 1 2

4

a

xi sen

a a

2 2

2 2

0

2 20

0

ai x i a

sen sena a a a

p

2.32 MQ: Pozo de Potencial Impenetrable 1D

Sea una partícula de masa m dentro de un pozo impenetrable 1D de longitud L:

Encuentre el valor esperado de la posición de la partícula.

I) La Ecuación de Schrödinger para arroja la autofunción- La Ecuación de Schrödinger dentro del pozo (V = 0) es:

- Solución:

II) Condiciones de Borde:

Por lo tanto:


24/38

- Observemos que la mínima energía de la partícula no puede ser cero, sino:

III) Autofunción

- Por ahora:

- ¿Cuánto vale A? ---> Condición de normalización:

- Finalmente:

IV) Valoesperado de la posición:


25/38

2.33 BARRERA DE POTENCIAL E>Vo

V(x)

Vo

(I) (II) (III)

0 a

Solucion:

Condiciones:

1) I (x=0) = II (x=0)

2) ’I (x=0) = ’II (x=0)3) II (x=a) = III (x=a)

4) ’II (x=a) = ’III (x=a)

5) III (x=- ) = 0

Region I

I (x) = A ei x

+ B e-i x

........................................... E m2

2 2

Region II

II (x) = C ei x

+ D e-i x

........................................... )(2

2

2 Vo E m

Region III

III (x) = F ei x

+ G e-i x

........................................... E m2

2 2

De la condición 5 tenemos que:

Si III (x=- ) = 0 G =0 III (x) = F ei x


26/38

’I (x) = i k A ei x

- i k B e-i x

’II (x) = i C ei x

- i D e-i x

’III (x) = i k F ei x

De la condición 1 tenemos:

A + B = C + D


i k A - i k B e = i C - i D

De la condicion 3 tenemos:

C ei a

+ D e-i a

= F e

i a


i C ei a

- i D e -i a

= i k F e

i a

TENEMOS:

A + B = C + D 1

A – B =

(C- D) 2

C ei a

+ D e-i a

= F e

i a 3

-

(C e

i a - D e

-i a ) = - F e

i a 4

Sumando 1 y 2

2A = C 1 +

+ D 1 -

H H*

2A = C H + D H*

5


27/38

Sumando 3 y 4

C ei a

1 -

+ D e

-i a 1 +

= 0 C e

i a H

*+ D e

-i aH =0

C = - DH e-i a

6

H*

ei a

DE 5 y 6 tenemos

2A = - DH e -2i a H + DH* = DH*2 - DH2 e -2i a D = 2A H* 7

H*

H*

H*2

- H2 e

-2i a

H2 = 1 +

2

= 1 +

2 +

2

2

H

2= 1 +

2 +

2

2

H*2

= 1 -

2

= 1 -

2 +

2

2

H

*2= 1 -

2 +

2

2

Entonces:

H*2

- H2 e -2i a = e -i

ae

i a H

*2- e -i

a H2 = e -i

a( 1+

2

2

) (e

i a- e -i a) -

2( e

i a- e -i a)

H*2

- H2 e -2i a = e -i

a 2i

2

2

2

sen a -

2 2 cos a

H*2 - H2 e -2i a = 22

e -i a ( 22 ) i sen a - 2 cos a

Finalmente:

2A

2

2

e

-i a i ( 22 ) sen a - 2 cos a

A ( 22 ) e i a

i ( 22 ) sen a - 2 cos a

D =

D =


28/38

Reescribiendo 6 tenemos:

CH* e

i a

H e-i

a

Reemplazamos en 5

2A = CH - CH* e

i a H

* 2A = CH - CH

*2 e 2i

a = CH2 - CH*2 e 2i

a

H e-i a

H H

2AH = - C e2i a

( H*2

- H2

e-2i a ) 2AH

e2i a

( H*2

- H2

e-2i a )

2A

e2i a

2

2

e

-i a ( 22 ) i sen a - 2 cos a

A ( ) e -i a

i ( 22 ) sen a - 2 cos a

Reemplazando C y D en 3

C ei a

+ D e-i a

= F e

i a- A ( ) e -i

a e

i a+A ( ) ei a e

-

- A ( ) e -i a e

i a+A ( ) ei a e

-i a = F ei a

i ( 22 ) sen a - 2 cos a

e-i a

A ( )

i ( 22 ) sen a - 2 cos a

-2 A e-i a

i ( 22 ) sen a - 2 cos a

F 2

-2 e -i a - 2 e i a

A 2 {i ( 22 ) sen a - 2 cos a}{-i ( 22 ) sen a - 2 cos a}

C = -

C = -

C = -

F =

F =

T = =


29/38

4 22 ; sen 2 a + cos 2 a = 1

4 22 cos 2 a +( 22 ) 2 sen 2 a cos 2 a = 1 - sen 2 a

4 22 4 22

4 22 (1 - sen 2 a) +( 22 ) 2 sen 2 a 4 22 +( 22 ) 2 sen 2 a

4 22 +( 22 ) 2 sen 2 a - 4 22

4 22 +( 22 ) 2 sen 2 a

( 22 ) 2 sen 2 ( a)

4 22 + ( 22 ) 2 sen 2 ( a)

1 + sen 2 a 1

4 22

( 22 ) 2

1 + sen 2 a 1

4Vo

E Vo

E - 1

T =

T == Sol.¡¡¡

R = 1 – T =

R =Sol.¡¡¡

T =

T = Sol.¡¡¡


30/38

2.34 BARRERA DE POTENCIAL E < Vo

V(x)

Vo

(I) (II) (III)

0 a

Solucion:

Condiciones:

1) I (x=0) = II (x=0)

2) ’I (x=0) = ’II (x=0)

3) II (x=a) = III (x=a)

4) ’II (x=a) = ’III (x=a)

5) III (x=- ) = 0

Region I

I (x) = A ei x

+ B e-i x

........................................... E m2

2 2

Region II

II (x) = C e x

+ D e- x

........................................... )(2

2

2 E Vom

Region III

III (x) = F ei x

+ G e-i x

........................................... E m2

2 2

De la condición 5 tenemos que:

Si III (x=- ) = 0 G =0 III (x) = F ei x

’I (x) = i k A ei x

- i k B e-i x


31/38

’II (x) = C e x

- D e- x

’III (x) = i k F ei x


A + B = C + D


i k A - i k B e = C - D


C e a

+ D e- a

= F e

i a


C e a

- D e- a

= i k F e

i a

TENEMOS:

A + B = C + D 1

A – B = i (C- D) 2

C e a

+ D e- a

= F e

i a 3

i (C e

a - D e

- a ) = - F e

i a 4

Sumando 1 y 2

2A = C 1 -

i + D 1 +

i

H*

H

2A = C H*

+ D H 5

Sumando 3 y 4

C e

a

1 +

i

+ D e

- a

1 -

i

= 0 C e

a

H + D e

- a

H

*

=0


32/38

C = - DH*

e- a

6

H ei a

DE 5 y 6 tenemos

2A = - DH*e

-2 aH

* + DH

= DH

2- DH

*2e

-2 aD = 2A H 7

H

H*

H2

- H*2

e-2 a

H2 = 1 + i

2 = 1 + 2i

-

2

2 H2 = 1 + 2i

-

2

2

H*2

= 1 - i

2

= 1 -2i

-

2

2

H

*2= 1 -

2i

-

2

2

Entonces:

H2 - H

*2 e -2

a = e -

ae

a H

2- e -

a H

*2 = e

- a( 1 -

2

2

) (e

a- e - a) +

2i

( e a + e - a)

H2 - H

*2 e -2

a = e -

a 1 -

2

2

2 sen h a + 4 i

cos h a

H2 - H

*2 e -2

a = 2e -

a ( 2 2 )sen h a +2i cos h a

2

Finalmente:

2Ai

2 e - a

( 2 2 ) sen h a +2i cos h a

2

A ( i ) e a


D =

D =


33/38

Podemos Reexpresar D como : (Barrera De Potencial E < Vo)

De 6 tenemos:

CH e

a

CH e

2 a

H* e

- aH

*

Reemplazamos en 5

2A = CH*+ - CH e 2

a H

= CH

*2 - CH

2 e 2

a = - C e 2

a(H2 - H*2 e -2

a)

H*

H* H

*

2A H*

e2 a

(H2 - H*2 e -2 a)

2Ai

e2 a

2 e- a


2

A ( i ) e - a


Reemplazando C y D en 3

C e a

+ D e- a

= F e

i a- A ( ) e -i

a e

i a+A ( ) ei a e

-

ei a

- A ( i ) e - a e

a+A ( i ) e a e

- a


e-i a

A ( i i )


-2A i e-i a


F

2

2 i e-i a

- 2 i ei a

C = -

C = -

C = -

F =

F =

T = =

D = - D = -

F =


34/38

A2

( 22 ) 2 sen 2h a +4 2 2 cos 2h a

4 2 2 ; cos 2h a- sen 2h a = 1

( 22 ) 2 sen 2h a +4 2 2 (1+ sen 2h a) cos 2h a = 1 + sen 2h a

4 2 2

4 2 2 + ( 22 ) 2 sen 2h a

1 + ( 2 2 ) 2 sen 2h a 1

4 2 2

1 + sen 2h a 1

4 2 2

( 2 2 ) 2

1 + sen 2h a 1

4Vo

E 1 -

Vo

E

4 2 2 + ( 2 2 ) 2 sen 2h a - 4 2 2

4 2 2 +( 2 2 ) 2 sen 2h a

( 2 2 ) 2 sen 2h a

4 2 2 + ( 2 2 ) 2 sen 2h a

T =

T = Sol.¡¡¡

R = 1 – T =

R =Sol.¡¡¡

T =

T =

T = Sol.¡¡¡


35/38

PROBLEMAS PROPUESTOS

2.35 Verificar si la funcion de onda:

2

3 cosu

Aue ;1/ 4

1/ 2

( )cmu x

Respuesta: No es Solucion

2.36 Calcule los niveles de energia y las funciones de onda de una particulaque se mueve en una caja de potencial localizado entre x =0 y x = a [nm]

V(x)

(I) (II) (III)

0 a

Respuesta:

2112

( , ) E n

t

n x t senKnxea

; 21n E E n

2

1n E E n ;2 2

1 22 E

ma

2.37 Un electrón con energia de 5 [eV] incide sobre una barrera depotencial de 0.3 [nm] de ancho y 10 [eV] de altura. ¿Cuál es la probabilidadde que el electrón sea reflejado?

O


36/38

Respuesta: R = - 1

2.38 Considere el escalón de potencial que se muestra en la figura.Encuentre la función de onda para las dos regiones para el caso E


37/38

x x

III

ikxikx

II

xi xi

I

Ge Fe

Be Ae

DeCe

)(2

2

2

2

E Vom

mE k

Respuesta:)(

4222

2

k

k

A

C

ae

k

k

A

F

)(

4222

2

2.40 Considere el pozo de potencial que se muestra en la figura.Encuentre la función de onda para las tres regiones para el caso Vo


38/38

2 x Be ………………………..para x>=0

Donde4

23 3

B

es una constante real y positiva. Encuentre el valor de

la constante B y obtenga la posición mas probable.

Respuesta: A)4

23 3

B

B) 0mp X posición del maximo de la

probabilidad Espacial

2.43 Calcule la probabilidad de encontrar un electrón en la region [0, ]

sometido a un potencial de la forma 2( )

2

x

cV x en su segundo estado

excitado.

Respuesta: P = 0.5

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Fundamentos Mecanica Cuantica