Méthodes mathématiques pour la physique

Méthodes mathématiques pour la physique

2e édition

Méthodes mathématiques pour la physique

Vladimir Dotsenko

Axel Courtat

Gaëtan Gauthier

2e édition

Professeur à Sorbonne Université - Faculté des Sciences et de l’ingénierie (Paris)

Diplômé en Physique de Sorbonne Université - Faculté des Sciences et de l’ingénierie (Paris)

Doctorant et chargé d’enseignement à Sorbonne Université - Faculté des Sciences et de l’ingénierie (Paris)

© Dunod, 2018, 202111, rue Paul Bert, 92240 Malakoff

www.dunod.comISBN 978-2-10-081578-4

Couverture : ©Julio-Adobe Stock.com

Table des matières

1 ANALYSE VECTORIELLE 91.1 Rappel, définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.2 Fonctions scalaires et fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Bases mobiles dans les coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1 Rappel sur la base des coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . 131.2.2 Bases mobiles des coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3 Les relations entre les vecteurs des bases de coordonnées cartésiennes,

cylindriques et sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.4 Exemples de projections des champs de vecteurs sur des bases mobiles 21

1.3 Intégrales dans R2 et R3, théorème de Fubini et exemples de calculs . . . . . 271.3.1 Intégrales dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.2 Intégrales dans R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4 Gradient d’une fonction scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.5 Complément sur les fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . 52

1.5.1 Développements en série des fonctions de plusieurs variables . . . . 521.5.2 Différentielles des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.5.3 Extrema d’une fonction de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.6 Divergence d’une fonction vectorielle et théorème d’Ostrogradski . . . . . . 651.6.1 Divergence d’un champ de vecteurs �A(�r) dans les coordonnées carté-

siennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.6.2 Divergence d’un champ de vecteurs �A(�r) dans les coordonnées cur-

vilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.6.3 Premier théorème intégral : théorème d’Ostrogradski . . . . . . . . . 721.6.4 Complément : exemples de calculs de flux des champs de vecteurs . . 74

1.7 Rotationnel d’une fonction vectorielle, circulation et théorème de Stokes . . . 881.7.1 Rotationnel d’un champ de vecteurs �A(�r) dans les coordonnées car-

tésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881.7.2 Rotationnel d’un champ de vecteurs �A(�r) dans les coordonnées cur-

vilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921.7.3 Deuxième théorème intégral : théorème de Stokes . . . . . . . . . . . 941.7.4 Complément : exemples de calculs de circulations en coordonnées

cartésiennes et en coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . 961.8 Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

1.8.1 L’opérateur laplacien dans les coordonnées cartésiennes . . . . . . . 1121.8.2 L’opérateur laplacien dans les coordonnées curvilignes . . . . . . . . 115

1

2 TABLE DES MATIÈRES

1.9 Formules différentielles et identités de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161.10 Complément : formulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

1.10.1 Formulaire 1 - Opérateurs différentiels exprimés en coordonnées sphé-riques et cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

1.10.2 Formulaire 2 - Développements en séries entières des fonctions clas-siques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 1232.1 Équations différentielles d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.1.1 Équations différentielles d’ordre 1 solubles par la séparation de va-riables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.1.2 Équations différentielles linéaires d’ordre 1 à coefficients et secondmembre variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2.2 Équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants et secondmembre variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3 ALGÈBRE LINÉAIRE 1553.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553.2 Opérations algébriques avec des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.2.1 Opérations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563.2.2 Matrices n×n comme des opérations (applications) linéaires . . . . . 157

3.3 Trace, déterminant et mineurs d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653.4 Matrice inverse, propriétés de la trace et du déterminant d’une matrice . . . . 173

3.4.1 Propriétés de la trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1733.4.2 Propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743.4.3 Matrice inverse M−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

3.5 Spectre d’une matrice : ses valeurs et ses vecteurs propres . . . . . . . . . . . 1863.6 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

3.6.1 Transformations des vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1903.6.2 Transformations des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

3.7 Diagonalisation des matrices et premières applications . . . . . . . . . . . . 1933.7.1 Diagonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1933.7.2 Puissance m-ième d’une matrice diagonalisable . . . . . . . . . . . . 1963.7.3 Exponentielle d’une matrice M diagonalisable . . . . . . . . . . . . . 1983.7.4 Exponentielles des matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2003.7.5 Solution de systèmes d’équations différentielles linéaires du 1er ordre 2013.7.6 Solution de systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

3.8 Dégénérescence, matrices diagonalisables et non diagonalisables . . . . . . . 2083.9 Matrices hermitiennes, matrices unitaires et leurs propriétés . . . . . . . . . . 219

3.9.1 Conventions et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2193.9.2 Matrices hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2213.9.3 Matrices unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

3.10 Applications aux systèmes des oscillateurs couplés . . . . . . . . . . . . . . 2323.10.1 Oscillateurs couplés avec des oscillations longitudinales . . . . . . . 2323.10.2 N oscillateurs couplés. Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . 239

3.11 Supplément : triangularisation des matrices qui ne sont pas diagonalisables . 244

TABLE DES MATIÈRES 3

4 ANALYSE RÉELLE : SUITES ET SÉRIES 2494.1 Suites convergentes et non convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2494.2 Séries convergentes et non convergentes. Critères de convergence . . . . . . 257

4.2.1 Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2574.2.2 Critères de convergence des séries numériques . . . . . . . . . . . . 262

4.3 Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2744.3.1 Théorème d’Abel et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . 2744.3.2 Détermination du rayon de convergence de la série entière . . . . . . 2754.3.3 Dérivation des séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2774.3.4 Séries de puissances de x−a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

4.4 Séries de Taylor et développement en série entière de fonction classique . . . 2794.5 Notion de prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

4.5.1 Exemples particuliers de prolongement analytiques des séries . . . . 2894.5.2 Exemple physique : l’effet de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . 2904.5.3 Deux exemples mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

4.6 Exercices sur les calculs des séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

5 ANALYSE RÉELLE : INTÉGRALES 3035.1 Intégrale : définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

5.1.1 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3045.1.2 Formule de Newton-Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3075.1.3 Table des primitives des fonctions classiques . . . . . . . . . . . . . 307

5.2 Calcul des intégrales par la primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3095.3 Intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

5.3.1 Intégrales impropres du type 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3145.3.2 Intégrales impropres du type 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

5.4 Autres méthodes de calculs des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3395.4.1 Dérivation par rapport au paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3395.4.2 Intégrales d’une fonction gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3425.4.3 Intégration par un développement en série . . . . . . . . . . . . . . . 345

5.5 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3515.5.1 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3515.5.2 Applications de la série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

6 NOTIONS DE THÉORIE DES PROBABILITÉS 3556.1 Evénements et leur probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

6.1.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3556.1.2 Probabilités conditionnelles, probabilités totales, indépendance . . . . 3576.1.3 Dénombrements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

6.2 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3716.2.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3716.2.2 Distributions des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3726.2.3 Moyenne, variance, écart-type d’une variable aléatoire . . . . . . . . 374

6.3 Exemples de distributions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3786.3.1 Distribution normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3786.3.2 Distribution binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3796.3.3 Fréquence d’événements rares. Distribution de Poisson . . . . . . . . 381

6.4 Appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3966.4.1 Appendice A : liste des distributions classiques . . . . . . . . . . . . 396


6.4.2 Appendice B : distribution de la somme de deux variables aléatoires,intégrale de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

6.4.3 Appendice C : théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 4006.4.4 Appendice D : la forme limite de la distribution binomiale pour n et

k grands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4036.4.5 Appendice E : formule de Stirling pour la factorielle . . . . . . . . . 4056.4.6 Appendice F : quelques formules utiles pour les intégrales avec une

fonction gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4066.4.7 Appendice G : table des valeurs numériques de la fonction de réparti-

tion pour la distribution normale, centrée (x0 = 0) et réduite (c ≡ σ =

1) : F(t) = 1√2π

´ t−∞ dt ′ exp(− t ′2

2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

7 ANALYSE COMPLEXE 4097.1 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

7.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4097.1.2 Dérivée, fonctions holomorphes et Conditions de Cauchy-Riemann . 4107.1.3 Fonction holomorphe dans un domaine, singularités et classements . 4137.1.4 Fonction réciproque d’une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . 4177.1.5 Fonctions harmoniques de deux variables. Application physique . . . 4217.1.6 Fonctions avec des points de branchement, une suite d’exemples.

Transformation de monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4267.2 Intégration des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

7.2.1 Intégrale sur une courbe dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4427.2.2 Intégrale d’une fonction holomorphe et théorème de Cauchy . . . . . 4447.2.3 Primitive d’une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . 4507.2.4 Formule intégrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4517.2.5 Théorèmes sur des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . 4527.2.6 Complément : théorème de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

7.3 Dérivabilité et développements en série des fonctions holomorphes et prolon-gement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4637.3.1 Dérivées successives d’une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . 4637.3.2 Développement en série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4647.3.3 Zéros des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4697.3.4 Prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4707.3.5 Prolongement analytique d’une fonction multiforme autour d’un point

de branchement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4747.3.6 Application : calcul d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

7.4 Série de Laurent et théorème des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4827.4.1 Série de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4827.4.2 Points singuliers isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4857.4.3 Résidu en un point singulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4907.4.4 Théorème des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4927.4.5 Application 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4967.4.6 Application 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4987.4.7 Application 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5017.4.8 Application physique : l’effet Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . 503


8 TRANSFORMATIONS DE FOURIER ET DE LAPLACE 5298.1 La transformée de Fourier : définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . 529

8.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5298.1.2 Propriétés générales de la transformation de Fourier . . . . . . . . . 5308.1.3 Propriétés par rapport au changement de la variable . . . . . . . . . . 5308.1.4 Calcul de la transformée de Fourier de la fonction 1/xγ . . . . . . . . 5368.1.5 Continuité de f̂ (p), pour f (x) ∈ L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . 537

8.2 Dérivabilité et décroissance à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5428.2.1 Transformation de Fourier des dérivées d’une fonction . . . . . . . . 5428.2.2 Dérivées de la transformée de Fourier d’une fonction . . . . . . . . . 5498.2.3 Transformée de Fourier d’une fonction gaussienne . . . . . . . . . . 550

8.3 Réciprocité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5548.4 Convolution et transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

8.4.1 Le produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5598.4.2 Transformée de Fourier d’un produit de convolution . . . . . . . . . 5608.4.3 Formule de Parseval-Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5618.4.4 Applications, exercices et remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

8.5 Transformation de Fourier dans L1(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5668.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5668.5.2 Transformation de Fourier d’une fonction radiale dans R3 . . . . . . 5668.5.3 Transformation de Fourier d’une fonction radiale dans R2 . . . . . . 567

8.6 Transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5718.6.1 Définition, propriétés et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5718.6.2 Transformation de Laplace et convolution . . . . . . . . . . . . . . . 5738.6.3 Transformation de Laplace inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5738.6.4 Application de la transformation de Laplace aux solutions des équa-

tions différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5788.7 Exercices sur l’ensemble du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5818.8 Supplément 1 : listes de base des transformées . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

8.8.1 Liste de base des transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 5938.8.2 Liste de base des transformées de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 595

8.9 Supplément 2 : la fonction δ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

9 ESPACE DE HILBERT 5999.1 Espace L2, espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599

9.1.1 Produit scalaire hermitien dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5999.1.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6009.1.3 La norme ‖ ‖2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6019.1.4 Relations métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6029.1.5 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602

9.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6069.2.1 Séries de Fourier dans L2([0,1]) et complétude des bases . . . . . . . 6069.2.2 Démonstration de la complétude de la base {φn(x)} . . . . . . . . . . 612

9.3 Bases hilbertiennes et polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 6159.3.1 Exemples de bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6159.3.2 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6179.3.3 Séries de Fourier, application 1 : l’équation de propagation de la chaleur6279.3.4 Séries de Fourier, application 2 : l’équation d’une corde vibrante . . . 631

9.4 Opérateurs dans un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6359.4.1 Opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6359.4.2 Opérateur adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6369.4.3 Opérateur hermitien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6389.4.4 Opérateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640

9.5 Application : réponse linéaire, fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . 6509.5.1 Dynamique de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6509.5.2 Oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6549.5.3 Le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656

10 ÉLÉMENTS D’ANALYSE DES DISTRIBUTIONS 66310.1 Fonctions généralisées et distributions : définitions, opérations, formes limites 663

10.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66310.1.2 Définitions et opérations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . 66610.1.3 Distributions singulières comme limites de distributions régulières . . 66810.1.4 Dérivée d’une fonction avec une discontinuité . . . . . . . . . . . . . 67010.1.5 Autres formes limites de δ (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671

10.2 Une suite d’exemples de distributions singulières . . . . . . . . . . . . . . . 67410.2.1 Les fonctions sgn(x), 1a,b(x), |x|, etc. vues comme des distributions

singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67410.2.2 Les distributions δ+(x), δ−(x), vp 1

x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67510.3 Étude approfondie de la fonction δ (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683

10.3.1 Dérivées de δ (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68310.3.2 Application : équation de Schrödinger avec un potentiel U(x) = λδ (x) 686

10.4 Transformation de Fourier des distributions. Convolutions des distributions . 69210.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69210.4.2 Exemples sur les transformations de Fourier des distributions singu-

lières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69210.4.3 Convolution des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694

10.5 Fonction δ (�r) de Dirac dans l’espace tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . 69610.5.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69610.5.2 Remarque mathématique justifiant l’introduction de la fonction δ (�r) . 69710.5.3 Application en l’électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699

11 SUJETS D’EXAMENS CORRIGÉS 70111.1 Analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70111.2 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71711.3 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71811.4 Analyse réelle : suites et séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72211.5 Analyse réelle : intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72711.6 Notions de théorie de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73111.7 Analyse complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73511.8 Transformations de Fourier et de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74311.9 Espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75111.10 Éléments d’analyse des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756

INDEX 760


AVANT-PROPOS

Ce livre est fondé, en grande partie, sur les notes des différents cours que j’ai donné pro-gressivement, période par période, à l’Université Pierre et Marie Curie (UPMC) entre 1996et 2017.

À l’origine du projet se trouvent mes anciens étudiants ; Axel Courtat et Gaëtan Gauthierqui ont fortement apprécié les cours et ont beaucoup insisté sur l’idée de transformer lesnotes de mes cours en un livre. Finalement, ils m’ont convaincu de l’utilité d’un tel ouvragepour les futurs étudiants et nous avons réalisé ce projet ensemble.

Pendant mes années d’enseignements, j’ai beaucoup bénéficié des compétences de mes col-lègues. Ils sont trop nombreux pour tous les évoquer.Je suis particulièrement reconnaissant envers Jérome Sirven, pour le travail que nous avonseffectués ensemble durant 12 ans. Avec lui ainsi qu’avec d’autres collègues, nous avons en-seigné les quatre parties de ces cours, qui correspondent aux chapitres 1, 2, 3 et 6. Nous avonsdéveloppé, Jérome et moi, une grande majorité des exercices des chapitres 1 à 3 et une partiedes cours sur les équations différentielles (chapitre 2).Une autre contribution importante dans ces enseignements est dûe à Paul Ravary et RichardWilson qui ont développé des exercices de la partie probabilité (chapitre 6). J’ai beaucoupappris à leur contact.

L’ambiance dans mon laboratoire (LPTHE), à Jussieu, a été également très positive, encou-rageante. Tout particulièrement, je suis reconnaissant envers mon collègue Marco Picco pourson soutien permanent, dans nos collaborations de recherche, dans les enseignements et pourle soutien de tout genre pendant mon travail sur le livre.

Finalement, toutes mes notes d’enseignement, anciennes et actuelles, pendant le travail sur lelivre, ont été tapées et préparées à partir de mes notes manuscrites en format "brouillon", parma femme Valentina Dotsenko. En plus des notes d’enseignements, elle avait préparé tousles articles de recherche, au cours de ma carrière, ceci en trois langues (plus LATEX), tout encorrigeant les fautes dans les équations. Grand merci à elle.

Vladimir Dotsenko


Au cours de notre formation universitaire, nous avons suivi et appliqué, de manière régu-lière et approfondie, l’ensemble des méthodes proposées dans cet ouvrage. L’intérêt de cesméthodes mathématiques est qu’elles furent développées en premier lieu pour la résolutionpratique des équations rencontrées lors d’études concrètes en physique, tant théoriques qu’ex-périmentales. Il est impossible de comprendre les bases des théories physiques (électroma-gnétisme, physique statistique, physique quantique, etc.) sans une bonne compréhension desmathématiques sur lesquelles elles reposent. Ces méthodes mathématiques pour la physiqueont la volonté de rendre accessible aux étudiants le langage de la physique actuelle. Celase fait autour de notions, d’exemples d’illustration et d’exercices d’application de difficultécroissante, dont certains sont directement appliqués à des phénomènes physiques. C’est cetteconstruction qui fait la grande force de ces méthodes.

Pour ma part (Axel Courtat), ces méthodes m’ont été et me sont encore d’une utilité pri-mordiale lors de ma formation en physique théorique. Je travaille avec ces méthodes depuisquatre ans, dans l’ordre qui est présenté dans ce livre. Elles m’ont d’abord servi de manièrecruciale tout au long de mes études, pour la résolution mathématique des nombreuses équa-tions que l’on trouve dans tous les enseignements d’une formation en physique. Mais ellesm’ont été tout aussi utile lors des différents stages de recherche que j’ai effectué, sur des su-jets théoriques d’un niveau bien plus élevé que celui requis pour les apprendre. Ces méthodesne se limitent pas à cet ouvrage et m’ont apporté une aisance calculatoire indispensable.

Pour ma part (Gaëtan Gauthier), j’ai été confronté l’ensemble à des méthodes présentéesdans ce livre, de nombreuses fois, depuis que je les ai découvertes, depuis quatre ans pendantmes études en physique. Elle jouent un rôle crucial dans le développement et la traductionde l’Univers en équations. Mon parcours est plus expérimental mais ces méthodes m’ont étéet me sont encore extrêmement utiles. Pour comprendre et appliquer les méthodes mathéma-tiques, la répétition est un principe clé (surtout lorsque le problème se complexifie).

Bonne lecture,A. Courtat & G. Gauthier

Cette seconde édition du livre a fait l’objet de plusieurs ajouts :1. Remarque sur le d’alembertien, (section 1.8.1)

2. Identités de Green (section 1.9)

3. Application physique de l’analyse complexe (sous-section 7.4.8)

4. Et surtout, le 11e chapitre qui contient des sujets d’examens corrigés relatifs à tous leschapitres du livre.

Ces sujets d’examens corrigés constituent un vaste terrain supplémentaire pour s’entraînersur les méthodes présentes dans le livre.

Chapitre 1

ANALYSE VECTORIELLE

1.1 Rappel, définitions

1.1.1 Systèmes de coordonnéesUn point P dans l’espace réel à trois dimensions spatiales R3, sera représenté par un vecteur�r = �OP, avec des composantes (x,y,z) qui sont les coordonnées cartésiennes de ce point,(Figure 1.1) :

�OP ≡�r =

xyz

(1.1.1.1)

O

x

y

z

P(x,y,z)

r

FIGURE 1.1 – Coordonnées cartésiennes dans l’espace R3.

10 Chapitre 1. ANALYSE VECTORIELLE

Dans les coordonnées sphériques, ce même point sera représenté par les paramètres (r,θ ,φ),(Figure 1.2), tels que :

r =√

x2 + y2 + z2

θ = arctan

√x2 + y2

z= arcsin

√x2 + y2√

x2 + y2 + z2

φ = arctanyx= arcsin

y√x2 + y2

(1.1.1.2)

O

r

x

y

z

P(r,θ,φ)

θ

φ

cosφ

φy = r sin sin

z = r cos θ

x = r sin θ

θ

FIGURE 1.2 – Coordonnées sphériques.

Dans les coordonnées cylindriques le vecteur�r représentant ce même point P, aura commeparamètres (ρ,φ ,z), (Figure 1.3), définis tels que :

ρ =√

x2 + y2

φ = arctanxy= arcsin

y√x2 + y2

z = z (1.1.1.3)

Dans le cas de l’espace réel à deux dimensions spatiales R2, le point P sera représenté par unvecteur �ρ , avec des composantes (x,y) qui sont les coordonnées cartésiennes de ce point,(Figure 1.4) :

�OP =�ρ =

(xy

)(1.1.1.4)

Dans les coordonnées polaires (dans R2), ce même point sera représenté par les paramètres(ρ,φ), (Figure 1.5), tels que :

ρ =√

x2 + y2

φ = arctanxy= arcsin

y√x2 + y2

(1.1.1.5)

1.1. Rappel, définitions 11

O

r

x

y

z

φ

z=z

x= cos

y= sin

ρ

ρ

φ

φ

z

ρ ρφP( , ,z)

FIGURE 1.3 – Coordonnées cylindriques.

O

y

x

P(x,y)

ρ

FIGURE 1.4 – Coordonnées cartésiennes dans l’espace R2.

1.1.2 Fonctions scalaires et fonctions vectoriellesUne fonction f (�r)≡ f (x,y,z) définie dans R3, est une règle particulière qui fait correspondreles points de R3 et les nombres réels (ou complexes). Symboliquement :

f (�r)≡ f (x,y,z) : R3 → R (ou C) (1.1.2.1)

Exemples

1.f (�r) =

1r≡ 1√

x2 + y2 + z2(1.1.2.2)

représente le potentiel de Coulomb, en électrostatique (U(r) = 14πε0

qr ), produit par la

charge électrique ponctuelle placée à l’origine (nous avons posé q/4πε0 → 1, poursimplifier les formules).


O

ρ

x

y

P(ρ,φ)

φ

ρ φy= sin

x= cosρ φ

FIGURE 1.5 – Coordonnées polaires dans l’espace R2.

2.g(�r) =

1a2 + r2 ≡ 1

a2 + x2 + y2 + z2 (1.1.2.3)

a est un paramètre réel constant.3.

h(�r) =�p ·�rr3 ≡

pxx+ pyy+ pzz(x2 + y2 + z2)3/2 (1.1.2.4)

où �p = (px, py, pz) est un paramètre vectoriel (l’ensemble de trois paramètres réels quenous notons px, py, pz), h(�r) est un potentiel électrique créé par un petit dipôle placé àl’origine et �p ·�r est un produit scalaire usuel.

Dans la suite, nous allons appeler f (�r) fonction scalaire pour la différencier des fonctionsvectorielles que l’on peut également définir dans l’espace R3. Une fonction vectorielle (ouun champ de vecteurs, dans la terminologie des physiciens) �A(�r) ≡ �A(x,y,z) définie dansR3, est une règle particulière qui fait correspondre les points de R3 et les points d’un autreespace R3, ou du même espace.

�A(�r)≡ �A(x,y,z) =

Ax(x,y,z)Ay(x,y,z)Az(x,y,z)

(1.1.2.5)

En d’autres termes, une fonction vectorielle est un ensemble de trois fonctions scalaires,notées Ax(x,y,z), Ay(x,y,z) et Az(x,y,z).

Exemples

1.�E(�r) =

�rr3 (1.1.2.6)

Détaillons :

�E(�r) =1r3

xyz

=

xr3yr3zr3

=

x(x2+y2+z2)3/2

y(x2+y2+z2)3/2

z(x2+y2+z2)3/2

(1.1.2.7)

1.2. Bases mobiles dans les coordonnées curvilignes 13

Dans cet exemple Ex(x,y,z) = x/(x2 + y2 + z2)3/2, etc. �E(�r) est un champ électriquecréé par une charge ponctuelle placée à l’origine (toujours en admettant que q/4πε0 →1).

2.�G(�r) =

2�r(a2 + r2)2 (1.1.2.8)

Il est évident que dans le cas de l’espace bidimensionnel R2, une fonction vectorielle sera dela forme :

�B(�ρ)≡ �B(x,y) =(

Bx(x,y)By(x,y)

)(1.1.2.9)

qui correspond à un ensemble de deux fonctions scalaires dans R2.

Exemple

�B(�ρ) =�ρρ2 =

1ρ2

(xy

)=

(x

ρ2y

ρ2

)=

(x

x2+y2y

x2+y2

)(1.1.2.10)

1.2 Bases mobiles dans les coordonnées curvilignes

1.2.1 Rappel sur la base des coordonnées cartésiennesDans les coordonnées cartésiennes, un vecteur quelconque �p de composantes (px, py, pz) peutêtre représenté soit sous la forme présentée dans la section précédente, c’est-à-dire par unecolonne :

�p =

pxpypz

(1.2.1.1)

soit sous la forme d’une décomposition dans les vecteurs de la base :

�p = px�ex + py�ey + pz�ez (1.2.1.2)

Les vecteurs�ex,�ey,�ez, montrés dans la Figure 1.6, forment une base orthonormée de coor-données cartésiennes, à savoir :

‖�ex‖= ‖�ey‖= ‖�ez‖= 1�ex ·�ey =�ey ·�ez =�ez ·�ex = 0 (1.2.1.3)

‖�ex‖ représente le module (aussi la norme, ou encore longueur) du vecteur�ex :

‖�ex‖2 =�ex ·�ex, ‖�ex‖=√�ex ·�ex (1.2.1.4)

Très souvent, les vecteurs�ex,�ey,�ez de la base de coordonnées cartésiennes sont notés respec-tivement�i, �j,�k, c’est-à-dire :

�ex ≡�i, �ey ≡ �j, �ez ≡�k (1.2.1.5)La forme (1.2.1.1) du vecteur �p, représenté sous la forme d’une colonne des composantespx, py, pz, correspond implicitement à la décomposition (équation (1.2.1.2)) de �p dans lesvecteurs de la base.


O

p

ex

ey

ez

px

py

pz

z

y

x

x x y y zp = p e + p e + p e

z

FIGURE 1.6 – Décomposition d’un vecteur �p quelconque dans l’espace R3 sur la base carté-sienne formée par les vecteurs (�ex,�ey,�ez).

1.2.2 Bases mobiles des coordonnées curvilignesLorsque la symétrie du problème est appropriée, il est parfois plus facile de faire des cal-culs avec d’autres coordonnées. Par exemple les coordonnées sphériques et cylindriques sontsouvent utilisées dans le cas de l’espace R3. Dans l’espace R2, les coordonnées polaires sontemployées très souvent.Par la suite nous allons définir des bases orthonormées qui permettent de décomposer lesvecteurs, afin de les exprimer selon ces coordonnées. Autrement dit, nous allons définir desbases qui remplacent la suite des vecteurs (�ex,�ey,�ez) des coordonnées cartésiennes.Nous nous placerons dans un premier temps dans le cadre plus général des coordonnéescurvilignes quelconques de l’espace R3, mais qui sont soumises à la condition qu’elles soientlocalement orthogonales. Si (u1, u2, u3) sont ces nouvelles coordonnées, alors l’orthogonalitélocale implique que les vecteurs suivants soient orthogonaux entre eux :

�e1 =∂�r

∂u1, �e2 =

∂�r∂u2

, �e3 =∂�r

∂u3(1.2.2.1)

Dans l’équation (1.2.2.1), �r est censé s’exprimer en fonction des nouvelles coordonnées :�r =�r(u1, u2, u3) = (x(u1,u2,u3),y(u1,u2,u3),z(u1,u2,u3)).Prenons un exemple simple, celui de l’espace bidimensionnel R2 et des coordonnées polaires.Nous notons�ρ les vecteurs qui représentent les points d’espace R2, au lieu de�r de R3. Alors :

�ρ =

(xy

)=

(ρ cosφρ sinφ

)(1.2.2.2)

ρ et φ étant les coordonnées polaires, curvilignes, de l’espace R2. Les vecteurs �e1 et �e2,analogues aux vecteurs de l’équation (1.2.2.1), sont déterminés comme suit :

�e1 ≡�eρ =∂�ρ∂ρ

=∂

∂ρ

(ρ cosφρ sinφ

)=

(cosφsinφ

)(1.2.2.3)

�e2 ≡�eφ =∂�ρ∂φ

=∂

∂φ

(ρ cosφρ sinφ

)=

(−ρ sinφρ cosφ

)(1.2.2.4)


Ces vecteurs sont montrés dans la Figure 1.7. Ils sont orthogonaux entre eux, en tout point �ρde l’espace R2.

O

ρ

φ

e

eρ

φ

y

x

FIGURE 1.7 – Base mobile (�eρ ,�eφ ) des coordonnées polaires.

Il est également facile de déterminer les vecteurs �e1, �e2, �e3 (équation (1.2.2.1)) pour descoordonnées sphériques et cylindriques de l’espace R3.Pour les coordonnées sphériques de la Figure 1.2 :

�e1 ≡�er =∂�r∂ r

=∂∂ r

r sinθ cosφr sinθ sinφ

r cosθ

=

sinθ cosφsinθ sinφ

cosθ

(1.2.2.5)

�e2 ≡�eθ =∂�r∂θ

=∂

∂θ


r cosθ

=

r cosθ cosφr cosθ sinφ−r sinθ

(1.2.2.6)

�e3 ≡�eφ =∂�r∂φ

=∂

∂φ


r cosθ

=

−r sinθ sinφr sinθ cosφ

0

(1.2.2.7)

Ces vecteurs sont montrés dans la Figure 1.8. Il est facile de vérifier qu’ils sont orthogonauxpour tout�r (tous r, θ , φ ).Pour les coordonnées cylindriques (Figure 1.3) on trouve :

�e1 ≡�eρ =∂�r∂ρ

=∂

∂ρ

ρ cosφρ sinφ

z

=

cosφsinφ

0

(1.2.2.8)

�e2 ≡�eφ =∂�r∂φ

=∂

∂φ

ρ cosφρ sinφ

z

=

−ρ sinφρ cosφ

0

(1.2.2.9)

�e3 ≡�ez =∂�r∂ z

=∂∂ z

ρ cosφρ sinφ

z

=

001

(1.2.2.10)

voir la Figure 1.9. Ces vecteurs sont orthogonaux entre eux.


O

x

y

z

θ

φ

e

er

eφ

θ

r

FIGURE 1.8 – Base mobile (�er,�eθ ,�eφ ) des coordonnées sphériques.

O

r

x

y

z

φ

z

ρ

ez

eφ

eρ

FIGURE 1.9 – Base mobile (�eρ ,�eφ ,�ez) des coordonnées cylindriques.

Revenons au cadre général des coordonnées curvilignes quelconques u1, u2, u3 (localementorthogonales) et des vecteurs �e1, �e2, �e3 (équation (1.2.2.1)). Ces vecteurs forment une baselocale, ou une base mobile, pour un point d’espace donné (Figure 1.10). Elle sert à décompo-ser les vecteurs : à les exprimer dans ces coordonnées. Cette base est censée être orthogonalemais elle n’est pas nécessairement normée. Autrement dit, en général ‖�ei‖ �= 1, i = 1,2,3.Les échelles le long des axes de cette base locale sont définies par les modules (longueurs)des vecteurs {�ei}. Nous allons les noter ei ≡ ‖�ei‖, i = 1,2,3. Ces quantités sont appeléesfacteurs d’échelle ou facteurs géométriques des coordonnées curvilignes correspondantes.Nous introduisons également les vecteurs normés de cette base locale :

�̂e1, �̂e2, �̂e3 (1.2.2.11)


O

r

x

y

z

e1

e2

e3

FIGURE 1.10 – Base mobile des coordonnées quelconques u1, u2, u3, au point�r dans R3.

‖�̂e1‖= ‖�̂e2‖= ‖�̂e3‖= 1, de telle façon que :

�̂e1 =�e1

e1, �̂e2 =

�e2

e2, �̂e3 =

�e3

e3,

�e1 = e1�̂e1, �e2 = e2�̂e2, �e3 = e3�̂e3 (1.2.2.12)

Pour des coordonnées sphériques on trouve, à partir des équations (1.2.2.5)–(1.2.2.7), lesfacteurs géométriques suivants :

e1 ≡ er = 1, e2 ≡ eθ = r, e3 ≡ eφ = r sinθ (1.2.2.13)

Pour des coordonnées cylindriques (équations (1.2.2.8)–(1.2.2.10)), on obtient :

e1 ≡ eρ = 1, e2 ≡ eφ = ρ, e3 ≡ ez = 1 (1.2.2.14)

Observons par ailleurs que le volume élémentaire, ou la mesure d’intégration, dans lesintégrales dans l’espace R3, est égal au produit des facteurs géométriques multipliés par lesdifférentielles des coordonnées. Dans le cas général des coordonnées curvilignes orthogo-nales :

dV ≡ d3�r = e1e2e3du1du2du3 (1.2.2.15)

Les notations dV et d3�r sont équivalentes. Les deux sont utilisées couramment dans la litté-rature physique.

En effet, on peut réécrire les équations (1.2.2.1), qui définissent les vecteurs {�ei}, de la ma-nière suivante :

d�r(1) =�e1du1, d�r(2) =�e2du2, d�r(3) =�e3du3 (1.2.2.16)

où les petits vecteurs d�r(i), i = 1,2,3, représentent les petits déplacements, à partir du point�rdans R3, qui correspondent à des variations des coordonnées dui, i= 1,2,3. Les trois vecteursd�r(1), d�r(2), d�r(3) sont orthogonaux entre eux, étant proportionnels aux vecteurs�e1,�e2,�e3 de labase locale. Le volume élémentaire (dans des intégrales) s’obtient par le produit des longueurs


des trois vecteurs {d�r(i)} (équation (1.2.2.16)), ce qui nous donne la mesure d’intégrationdans l’équation (1.2.2.15).Dans les coordonnées sphériques :

dV ≡ d3�r = ereθ eφ dr dθ dφ = r2 sinθ dr dθ dφ (1.2.2.17)

Dans les coordonnées cylindriques :

dV ≡ d3�r = eρ eφ ez dρ dφ dz = ρ dρ dφ dz (1.2.2.18)

Finalement, les bases mobiles orthonormées de coordonnées sphériques et cylindriques sontformées par les vecteurs

�̂er =�er

er, �̂eθ =

�eθeθ

, �̂eφ =�eφ

eφ(1.2.2.19)

et

�̂eρ =�eρ

eρ, �̂eφ =

�eφ

eφ, �̂ez =

�ez

ez(1.2.2.20)

Selon la base cartésienne, les vecteurs de la base mobile orthonormée de coordonnéessphériques, s’expriment comme suit :

�̂er =

sinθ cosφsinθ sinφ

cosθ

, �̂eθ =

cosθ cosφcosθ sinφ−sinθ

, �̂eφ =

−sinθ sinφsinθ cosφ

0

(1.2.2.21)

Ou encore :

�̂er = sinθ cosφ�ex + sinθ sinφ�ey + cosθ�ez

�̂eθ = cosθ cosφ�ex + cosθ sinφ�ey − sinθ�ez

�̂eφ =−sinθ sinφ�ex + sinθ cosφ ey +0�ez (1.2.2.22)

Tandis que les vecteurs de la base mobile orthonormée de coordonnées cylindriques, s’ex-priment selon la base cartésienne tels que :

�eρ =

cosφsinφ

0

, �eφ =

−ρ sinφρ cosφ

0

, �ez =

001

(1.2.2.23)

ou de manière équivalente

�̂eρ = cosφ�ex + sinφ�ey +0�ez

�̂eφ =−sinφ�ex + cosφ�ey +0�ez

�̂ez = 0�ex +0�ey +�ez (1.2.2.24)

Il est évident que la base mobile orthonormée de coordonnées polaires est formée par lesvecteurs :

�̂eρ =

(cosφsinφ

), �̂eφ =

(−sinφcosφ

)(1.2.2.25)

également sous la forme suivante

�̂eρ = cosφ�ex + sinφ�ey

�̂eφ =−sinφ�ex + cosφ�ey (1.2.2.26)


Par la suite nous n’allons utiliser que des bases orthonormées. Pour simplifier les écritures,une fois les vecteurs définis par les méthodes exposées précédemment, nous allons supprimerles accents circonflexes des vecteurs des bases �̂er →�er, �̂eθ →�eθ etc.

1.2.3 Les relations entre les vecteurs des bases de coordonnées carté-siennes, cylindriques et sphériques

D’après les projections orthogonales des figures 1.11 et 1.12 on trouve les décompositionssuivantes :

�eρ = cosφ�ex + sinφ�ey

�eφ =−sinφ�ex + cosφ�ey (1.2.3.1)

dans le plan (x,y) (Figure 1.11), et

�er = sinθ�eρ + cosθ�ez

�eθ = cosθ�eρ − sinθ�ez (1.2.3.2)

dans le plan méridien (Figure 1.12).

φ

ρ

φ

eρ

y

xO

e

ex

ye

FIGURE 1.11 – Plan (x,y).

Nous observons que les décompositions inverses s’obtiennent par la transposition des ma-trices des coefficients dans les équations (1.2.3.1) et (1.2.3.2). On trouve :

�ex = cosφ�eρ − sinφ�eφ

�ey = sinφ�eρ + cosφ�eφ (1.2.3.3)

et

�eρ = sinθ�er + cosθ�eθ

�ez = cosθ�er − sinθ�eθ (1.2.3.4)


z

θe

er

θ

O

z

r

ρ

e

eρ

FIGURE 1.12 – Le plan méridien, dans cette figure, est le plan qui passe par l’axe z et levecteur�r dans les figures 1.8 et 1.9. Autrement dit, le plan méridien est le plan (x,z) tournéselon l’angle φ autour de l’axe z des figures 1.8 et 1.9. La variable ρ de l’axe horizontalcorrespond à la distance de l’axe z, sur le plan.

En effet, les décompositions dans les équations (1.2.3.1) et (1.2.3.3) peuvent être réécritescomme suit :

�eρ = (�eρ ·�ex)�ex +(�eρ ·�ey)�ey

�eφ = (�eφ ·�ex)�ex +(�eφ ·�ey)�ey (1.2.3.5)

et

�ex = (�ex ·�eρ)�eρ +(�ex ·�eφ )�eφ

�ey = (�ey ·�eρ)�eρ +(�ey ·�eφ )�eφ (1.2.3.6)

Les produits scalaires sont symétriques : (�ex ·�eρ) = (�eρ ·�ex), etc. En comparant les deux dé-compositions on voit clairement que les matrices de coefficients, dans les équations (1.2.3.5)et (1.2.3.6), sont transposées, l’une par rapport à l’autre.Autrement, on retrouve les décompositions inverses par les projections correspondantes dansles figures 1.11 et 1.12 .De même, les décompositions des vecteurs �ex, �ey, �ez dans la base sphérique �er, �eθ , �eφ s’ob-tiennent par la transposition de la matrice des coefficients dans l’équation (1.2.2.22). Ontrouve :

�ex = sinθ cosφ�er + cosθ cosφ�eθ − sinθ sinφ�eφ

�ey = sinθ sinφ�er + cosθ sinφ�eθ + sinθ cosφ�eφ

�ez = cosθ�er − sinθ�eθ +0�eφ (1.2.3.7)

Observons que l’on peut également retrouver les décompositions (1.2.3.7) par les décompo-sitions, dans un premier temps, des vecteurs�ex,�ey dans la base de�eρ ,�eφ (équation (1.2.3.3)),le vecteur�ez restant inchangé. Et ensuite en décomposant les vecteurs�eρ ,�ez dans la base de�er,�eθ (équation (1.2.3.4)), le vecteur�eφ restant inchangé.


En résumé, on peut trouver toutes les relations entre les vecteurs des trois bases, cartésienne,cylindrique et sphérique, en employant les projections orthogonales des figures 1.11 et 1.12 .Les vecteurs des bases mobiles, de coordonnées cylindriques et sphériques en particulier, ontinitialement été définis dans la section 1.2.2 par les dérivées par rapport aux variables corres-pondantes. Mais, une fois les orientations de ces vecteurs établies et les facteurs géométriquesdéterminés, il est en principe possible de ne se servir que des projections orthogonales pourobtenir (ou retrouver) les relations entre tous ces vecteurs.

D’une manière générale, concernant les transformations des champs de vecteurs entre lesdifférentes bases, les relations ci-dessous sont utiles en complément des décompositions desvecteurs de bases présentées précédemment :

ρ = r sinθ , z = r cosθ (1.2.3.8)x = ρ cosφ , y = ρ sinφ (1.2.3.9)

r =√

x2 + y2 + z2, ρ =√

x2 + y2, r =√

ρ2 + z2 (1.2.3.10)

�r = x�ex + y�ey + z�ez = r�er (1.2.3.11)�ρ = x�ex + y�ey = ρ�eρ (1.2.3.12)− y�ex + x�ey = ρ�eφ (1.2.3.13)�r = x�ex + y�ey + z�ez =�ρ + z�ez = ρ�eρ + z�ez (1.2.3.14)

1.2.4 Exemples de projections des champs de vecteurs sur des bases mo-biles

Exemple 1Soit le champ de vecteurs dans R2 (Figure 1.13)

�v =(−yx

)≡−y�ex + x�ey (1.2.4.1)

Ses décompositions dans les bases cartésienne et polaire sont montrées sur les figures 1.14 et1.15.À partir du champ�v exprimé en coordonnées cartésiennes (équation (1.2.4.1)), on peut passervers son expression en coordonnées polaires de manière plus algébrique :

�v =−y�ex + x�ey =−ρ sinφ (cosφ�eρ − sinφ�eφ )+ρ cosφ (sinφ�eρ + cosφ�eφ )

= (ρ sin2 φ +ρ cos2 φ)�eφ = ρ�eφ , �v = ρ�eφ (1.2.4.2)

Nous avons utilisé les décompositions des vecteurs�ex et�ey dans l’équation (1.2.3.3).On trouve un accord avec la forme du champ�v en coordonnées polaires obtenue de manièregraphique dans la figure 1.15.

Exemple 2Soit le champ de vecteurs dans R3 (Figure 1.16)

�w(�r) = z�ez (1.2.4.3)

Dans la base cartésienne, sa décomposition est de la forme :

�w(�r) = 0�ex +0�ey + z�ez ≡

00z

(1.2.4.4)


O

y

x

FIGURE 1.13 – Champ de vecteurs �̃v = 12 (−y�ex+x�ey) dans R2. Le facteur 1

2 a été ajouté poursimplifier l’image, la taille de flèches s’accordant plus ou moins à la formule. L’image duchamp�v =−y�ex + x�ey sera la même mais avec des flèches deux fois plus longues.

O

y

x

ρey

ex

ey

ex

ρ )v(

La valeur du champ

au point

quelconque

de vecteurs v( )ρ

ρ

v = xy

xv = −y

FIGURE 1.14 – Décomposition du champ de vecteurs�v(�ρ) = −y�ex + x�ey dans la base carté-sienne (�ex,�ey) de R2.

Ses décompositions graphiques dans les bases mobiles des coordonnées sphériques et cylin-driques sont données sur les figures 1.17 à 1.19.Par la méthode algébrique on fait passer le champ �w = z�ez vers les coordonnées sphériquesde la manière suivante :

�w = z�ez = r cosθ (cosθ�er − sinθ�eθ ) = r cos2 θ�er − r cosθ sinθ�eθ

Nous avons utilisé la décomposition (équation (1.2.3.4)) du vecteur�ez dans les vecteurs de labase sphérique.


O

ρ

ρ )v(y

x

e

e

φ

ρ

= ρ0 e + eρ φ

FIGURE 1.15 – Décomposition du champ de vecteurs�v(�ρ) =−y�ex +x�ey dans la base mobiledes coordonnées polaires.

O y

z

x

w( r )

FIGURE 1.16 – Champ de vecteurs �w(�r) = z�ez dans R3.

Exercices

1. Dessiner le champ de vecteurs défini dans le plan par l’expression�v(�r) = x�ex+y�ey. Donnerson expression en coordonnées polaires planes dans la base (�eρ ,�eφ ).

2. Dessiner dans le plan méridien le champ de vecteurs défini dans l’espace par l’expression�v(�r) = r�eθ . Pourquoi demande-t-on le dessin seulement dans un plan méridien? Donner sonexpression en coordonnées cartésiennes dans la base (�ex,�ey,�ez).

3. Soit le champ de vecteurs�v(�r) = x�ex + y�ey +2z�ez. Donner son expression en coordonnéescylindriques dans la base (�eρ , �eφ , �ez) puis en coordonnées sphériques dans la base (�er, �eθ ,�eφ ).

4. Soit le champ de vecteurs�v(�r) = (x2+y2)(�ex+�ey). Donner son expression en coordonnéescylindriques dans la base (�eρ ,�eφ ,�ez) puis en coordonnées sphériques dans la base (�er,�eθ ,�eφ ).


O

x

y

z

φ

r

e

e

e

w( r )

(1)

θ

r

φ

θ

FIGURE 1.17 – Le champ de vecteurs �w(�r) = z�ez et la base mobile de coordonnées sphériques.

O

z

(1)

θ

θ

e

e

w( r )

r

θ

FIGURE 1.18 – Le champ �w(�r) = z�ez, montré dans le plan (z,(1)) de la figure 1.17, qui est leplan méridien de cette figure. Il se décompose dans la base mobile de coordonnées sphériquescomme suit : �w(�r) = zcosθ�er −zsinθ�eθ +0�eφ = r cos2 θ�er −r cosθ sinθ�eθ . C’est-à-dire quewr = r cos2 θ , wθ =−r cosθ sinθ sont les composantes de �w(�r) par rapport à la base mobilede coordonnées sphériques.

5. Soit le champ de vecteurs�v(�r) = ρ(�eρ +ρ sinφ�eφ ). Donner son expression en coordonnéessphériques dans la base (�er,�eθ ,�eφ ) puis en coordonnées cartésiennes dans la base (�ex,�ey,�ez).6. Soit le champ de vecteurs�v(�r) = r(�er + r sinθ�eθ ). Donner son expression en coordonnéescylindriques dans la base (�eρ , �eφ , �ez) puis en coordonnées cartésiennes dans la base (�ex, �ey,�ez).


O

x

y

z

φ

r

e

w( r )

(1)

φρ

z ez

eρ

FIGURE 1.19 – Décomposition du champ de vecteurs �w(�r) = z�ez dans la base mobile decoordonnées cylindriques. On a : �w= 0�eρ +0�eφ +z�ez. C’est-à-dire que wρ = 0, wφ = 0, wz = zsont les composantes de �w(�r) par rapport à la base mobile de coordonnées cylindriques.

Corrections1. Le dessin est donné dans la figure 1.20. Évidemment que

�v(�r) = ρ�eρ (1.2.4.5)

car�v(�r) = x�ex + y�ey =�ρ = ρ�eρ (1.2.4.6)

2. Le dessin est donné dans la figure 1.21. Le dessin dans le plan méridien est suffisant car lechamp�v(�r) = r�eθ est de symétrie axiale (ne dépend pas de φ ). Par l’équation (1.2.2.22),

�v(�r) = r�eθ = r (cosθ cosφ�ex + cosθ sinθ�ey − sinθ�ez)

= z cosφ�ex + z sinθ�ey −ρ�ez

= zx√

x2 + y2�ex + z

y√x2 + y2

�ey −√

x2 + y2�ez

�v(�r) =1√

x2 + y2(zx�ex + zy�ey − (x2 + y2)�ez) (1.2.4.7)

3. Le calcul direct, par la substitution des expressions des x, y, z, �ex, �ey, �ez en coordonnéeset vecteurs de la base sphériques serait long, tout en restant faisable. En profitant de la formeparticulière de ce champ de vecteurs, on effectue un calcul plus rapide :

�v(�r) = x�ex + y�ey +2z�ez = x�ex + y�ey + z�ez + z�ez

=�r+ z�ez = r�er + r cosθ (cosθ�er − sinθ�eθ )

�v(�r) = (r+ r cos2 θ)�er − r cosθ sinθ�eθ (1.2.4.8)

en coordonnées sphériques, et�v(�r) = ρ�eρ +2z�ez (1.2.4.9)

en coordonnées cylindriques.


x

y

FIGURE 1.20 – Dessin du champ�v(�r) = x�ex + y�ey = ρ�eρ dans le plan (x,y).

ρ

z

ρ

FIGURE 1.21 – Dessin du champ de vecteurs�v(�r) = r�eθ dans le plan méridien.

Réponses4. En coordonnées cylindriques :

�v = ρ2[(cosφ + sinφ)�eρ +(cosφ − sinφ)�eφ ] (1.2.4.10)

En coordonnées sphériques :

�v = r2 sin2 θ [(cosφ + sinφ)sinθ�er

+(cosφ + sinφ)cosθ�eθ +(cosφ − sinφ)�eφ ] (1.2.4.11)

5.

�v = r sin2 θ�er + r sinθ cosθ�eθ + r2 sin2 θ sinφ�eφ (1.2.4.12)

�v = (x− y2)�ex +(y+ xy)�ey (1.2.4.13)

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Méthodes mathématiques pour la physique