NUMBER THEORY

030513122 - Discrete Mathematics

Asst. Prof. Dr. Choopan Rattanapoka

Credit: Benchaporn JantarakongkulBurapha University

ทฤษฎี�จำ��นวน ทฤษฎี�จำ��นวน เป็�นหั�วข้�อเกี่��ยวกี่�บคุ�ณสมบ�ติ�ข้อง

จำ��นวนเติ ม ซึ่"�งม�บทบ�ทในกี่�รน��ไป็ป็ระย�กี่ติ'ใช้�กี่�บ algorithm ท��ส��คุ�ญติ*�งๆ เช้*น Hash function Cryptography

Divides, Factor, Multiple

กี่��หันดใหั� a,b Z โดยท�� a 0 นิ�ยาม: a|b “a divides b” : (cZ: b=ac)

“ม�จำ��นวนเติ ม c จำ��นวนหัน"�งท�� c น�.นคุ/ณกี่�บ a แล้�วเท*�กี่�บ b” เช้*น: 312 True, แติ* 37 False

ถ้�� a หั�ร b ได�ล้งติ�ว, แล้�วเร�กี่ล้*�วได�ว*� a เป็�นติ�วป็ระกี่อบ(factor) หัร3อเป็�นติ�วหั�ร(divisor)ข้อง b, แล้ะ b เป็�นพหั�คุ/ณ(multiple) ข้อง a

ตั�วอยาง: “b เป็�นเล้ข้คุ/* ” :≡ 2|b หัร3อ b=2c 0 เป็�นเล้ข้คุ/* ? -4 เป็�นเล้ข้คุ/* ?

แบบฝึ6กี่หั�ด 1 ข้�อใดติ*อไป็น�.เป็�นจำร�ง ?

77 | 7 7 | 77 24 | 24 0 | 24 24 | 0

Divides Relation

Theorem: a,b,c Z: a≠0 a|0 แล้ะ a|a (a|b a|c) a | (b + c) a|b a|bc (a|b b|c) a|c [a|(b+c) a|b)] a|c

ตั�วอยาง : 17 | 0 17|34 17|170 17|204 17|34 17|340 6|12 12|144 6 | 144

จำ��นวนเฉพ�ะ (Prime number)

จำ��นวนเติ ม p>1 เป็�นจำ��นวนเฉพ�ะ(prime) กี่ ติ*อเม3�อ จำ��นวนเติ มน�.น ไม*เป็�นผล้คุ/ณข้องจำ��นวนเติ มสองติ�วใดๆท��ม�กี่กี่ว*� 1:

p>1 a,bN: a>1, b>1, ab=p ข้�อส�งเกี่ติ: 1 ไม*เป็�นจำ��นวนเฉพ�ะ ติ�วป็ระกี่อบท��เป็�นบวกี่ข้องจำ��นวนเฉพ�ะ p คุ3อ 1 แล้ะ p (ติ�วข้อง

ม�นเอง) เท*�น�.น เช้*น: 2, 3, 5, 7, 11, 13... จำ��นวนเติ มท��ไม*ใช้*จำ��นวนเฉพ�ะท��ม�คุ*�ม�กี่กี่ว*� 1 เร�ยกี่ว*�จำ��นวน

ป็ระกี่อบ(composite), เพร�ะจำ��นวนด�งกี่ล้*�วเกี่�ดจำ�กี่กี่�รคุ/ณกี่�นข้องจำ��นวนเติ ม ท��ม�กี่กี่ว*� 1 สองจำ��นวน

คำ�าถาม : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 จำ��นวนใดเป็�นจำ��นวนเฉพ�ะบ��ง ?

กี่�รหั�จำ��นวนเฉพ�ะ

ป็ร�บป็ร�งอ�ล้กี่อร�ท"มในกี่�รหั�จำ��นวนเฉพ�ะ (1) ไม*จำ��เป็�นติ�องทดสอบด�วยจำ��นวนท��ม�กี่กี่ว*� n/2

ตั�วอยาง : 30 ม�ติ�วป็ระกี่อบคุ3อ 2, 3, 5, 10, 15 100 ม�ติ�วป็ระกี่อบคุ3อ 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 จำะเหั นว*�คุ*�ม�กี่ท��ส�ดคุ3อแคุ*เพ�ยงคุร"�งเด�ยว

เม3�อทดสอบด�วย 2 แล้�วย�งหั�รไม*ล้งติ�ว ไม*จำ��เป็�นติ�องทดสอบด�วยจำ��นวนคุ/*อ3�นๆ อ�กี่ เพร�ะทร�บแล้�วว*� n เป็�นจำ��นวนคุ�� (รวมกี่�บโกี่งอ�กี่หัน*อยเพร�ะร/ �ว*� 3 เป็�นจำ��นวนเฉพ�ะถ้��จำ��นวนไหันม� 3 หั�รล้งติ�วจำะไม*เป็�นจำ��นวนเฉพ�ะ)

ป็ร�บป็ร�งอ�ล้กี่อร�ท"มในกี่�รหั�จำ��นวนเฉพ�ะ (2)

พ�จำ�รณ�องคุ'ป็ระกี่อบอ�กี่คุร�.ง 100 ม�ติ�วป็ระกี่อบคุ3อ 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 เกี่�ดจำ�กี่ 2 x 50 = 4 x 25 = 5 x 20 = 10 x 10 = 20 x 5 = 25 x

4 = 50 x 2 จำร�งๆ เร�ไม*จำ��เป็�นติ�องหั�จำนจำ��นวน n/2 เพ�ยงแคุ* กี่ เพ�ยงพอแล้�ว เน3�องจำ�กี่ n

=

ป็ร�บป็ร�งอ�ล้กี่อร�ท"มในกี่�รหั�จำ��นวนเฉพ�ะ (3)5 6 7 8 9 1

011

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

ทดสอบด�วย n = 1073676287บนเคุร3�องCore-i5 @2.40 GHzRam: 8 GBWindows 7 64 bitJava SE version 1.7.0_60

กี่�รแยกี่ติ�วป็ระกี่อบ (Prime Factorization) จำ��นวนเติ มบวกี่ท�กี่ติ�วส�ม�รถ้แยกี่ติ�วป็ระกี่อบ แล้ะ

เข้�ยนในร/ป็ผล้คุ/ณข้องช้�ดจำ��นวนเฉพ�ะท��เร�ยกี่จำ�กี่จำ��นวนเฉพ�ะท��ม�คุ*�น�อยไป็ม�กี่ได�เพ�ยงแบบเด�ยวเท*�น�.น

ตั�วอยาง : 1 = 1 2 = 2 4 = 2 x 2 100 = 2 x 2 x 5 x 5 = 22 x 52

2000 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 = 24 x 53

จำงหั�ติ�วป็ระกี่อบข้อง 124 ?

กี่�รหั�ร (The Division)

Theorem: ส��หัร�บจำ��นวนเติ มใดๆ ติ�วติ�.ง(dividend) a แล้ะติ�วหั�ร(divisor) d≠0, ม�จำ��นวนเติ มเพ�ยงคุ*�เด�ยวท��เป็�นผล้หั�ร(quotient) q แล้ะ เศษ(remainder) rN โดยท�� a = dq + r แล้ะ 0 r < |d|

จำ�กี่ทฤษฎี�ข้��งบน, d เร�ยกี่ว*� ติ�วหั�ร(divisor), a เร�ยกี่ว*� ติ�วติ�.ง(dividend), q เร�ยกี่ว*� ผล้หั�ร(quotient), แล้ะ r เร�ยกี่ว*� เศษเหัล้3อ(remainder)

กี่�รหั�รย�ว (1)

117 = 31·3 + 24a = dq + r

311731

24

93

q the quotien

t

r the remainde

r

d the divisor

a the dividen

d

กี่�รหั�รย�ว (2)

-11 = 3·(-4) +1 ข้�อส�งเกี่ติ: เศษเหัล้3อจำะเป็�นจำ��นวนล้บไม*ได�

a = dq + r

4113

12

q the quotien

t

r the remainde

r

d the divisor

a the dividen

d

1

ติ�วหั�รร*วมม�กี่ (Greatest Common Divisor) ติ�วหั�รร*วมม�กี่(หั.ร.ม.) หัร3อ gcd(a, b) ข้องจำ��นวนเติ ม a, b

(โดยท�.งสองจำ��นวนไม*เป็�น 0) คุ3อจำ��นวนเติ มบวกี่ท��ม�กี่ท��ส�ด d ท��เป็�นติ�วหั�รท��ม�คุ*�ม�กี่ท��ส�ดท��หั�ร a แล้ะ b ได�ล้งติ�วd = gcd(a,b) = max(d: d|a d|b)

d|a d|b eZ, (e|a e|b) → d ≥ e

ตั�วอยาง: gcd(24,36)=? จำ��นวนท��หั�ร 24 ล้งติ�ว ได�แกี่* 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 จำ��นวนท��หั�ร 36 ล้งติ�ว ได�แกี่* 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18,

36 ติ�วหั�รร*วม คุ3อ 1, 2, 3, 4, 6, 12 เพร�ะฉะน�.นติ�วหั�รรว*มท��ม�กี่ท��ส�ดคุ3อ 12

GCD shortcut

ถ้��จำ��นวนเติ มบวกี่แติ*ล้ะจำ��นวนเข้�ยนแทนติ�ว Prime Factorization ได�ด�วย

ด�งน�.น GCD ข้องจำ��นวนท�.งสองจำะหั�ได�จำ�กี่สมกี่�ร

ตั�วอยาง : จำงหั� GCD ข้อง 84 แล้ะ 96 84 แยกี่ติ�วป็ระกี่อบได�เป็�น 2 x 2 x 3 x 7 = 22 x 31 x 71

96 แยกี่ติ�วป็ระกี่อบได�เป็�น 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 25 x 31

GCD (84, 96) = 2min(2,5) x 3min(1,1) x 7min(1,0) = 22 x 31 = 12

),min(),min(2

),min(1

2211),gcd( nn ban

baba pppba

nan

aa pppa 2121 nb

nbb pppb 2121

ติ�วคุ/ณร*วมน�อย (Least Common Multiple) คุ.ร.น. หัร3อ lcm(a, b) ข้องจำ��นวนเติ มบวกี่ a, b, คุ3อ

จำ��นวนเติ มบวกี่ท��เล้ กี่ท��ส�ดท��เป็�นพหั�คุ/ณข้องท�.ง a แล้ะ b เช้*น lcm(6,10)=30

m = lcm(a,b) = min(m: a|m b|m) a|m b|m nZ: (a|n b|n) → (m ≤ n)

ถ้�� prime factorizations ข้องจำ��นวนเติ มสองจำ��นวนเข้�ยนแทนด�วย

ด�งน�.น LCM หั�ได�โดย

จำงหั� lcm ข้อง 9 แล้ะ 21 ?

nan

aa pppa 2121 nb

nbb pppb 2121

),max(),max(2

),max(1

2211),(lcm nn ban

baba pppba

คุว�มส�มพ�นธ์'ข้อง GCD แล้ะ LCM

Theorem : a x b = gcd(a, b) x lcm(a, b) ตั�วอยาง :

a = 60 = 22 31 51

b = 54 = 21 33 50

gcd(a, b) = 21 31 50 = 6 lcm(a, b) = 22 33 51 = 540

a x b = 60 x 54 = gcd(a, b) x lcm(a, b) = 6 x 540

Mod operator

mod เป็�นติ�วด��เน�นกี่�รกี่�บจำ��นวนเติ มเพ3�อหั�เศษท��เหัล้3อจำ�กี่กี่�รหั�ร

กี่��หันดใหั� a, dZ โดย d>1 ด�งน�.น a mod d แทนเศษ r ท��เหัล้3อจำ�กี่กี่�รหั�รติ�วติ�.ง a ด�วยติ�วหั�ร d

ส�ม�รถ้คุ��นวณคุ*� (a mod d) ได�โดย: a d · a/d ในภ�ษ� C/C++/Java , “ใช้�เคุร3�องหัม�ย %” แทนกี่�ร

mod “ผล้จำ�กี่กี่�รใช้� %” ในภ�ษ�โป็รแกี่รมจำะได�ผล้ล้�พธ์'ท��เป็�น

บวกี่หัร3อล้บกี่ ได� แติ*ในทฤษฎี�จำ��นวนเร�สนใจำเศษท��เป็�น บวกี่เท*�น�.น เช้*น

-10 mod 3 = 2 –แติ*ใน ภ�ษ�โป็รแกี่รมจำะได� 10%3 = -1

ติ�วอย*�งกี่�รหั�คุ*� mod

1. 113 mod 24:

2. -29 mod 7

411324

17

96

5297

35

6

Modular Congruence

กี่��หันดใหั� a, b Z, m Z+ โดยท�� Z+= {n Z | n>0} = N−{0} (จำ��นวนเติ มบวกี่)

ด�งน�.น a คุอนกี่ร/เอนซึ่'(congruent) กี่�บ b มอด�โล้ m, “เข้�ยนได�ว*� ab (mod m)”

กี่ ติ*อเม3�อ m | ab เร�ยกี่ m ว*� มอด�ล้�ส หัร3อเข้�ยนได�ว*�: (ab) mod m = 0 ข้�อสั�งเกตั 1. ab (mod m) กี่ ติ*อเม3�อ a mod m = b mod m

2. ab (mod m) กี่ ติ*อเม3�อม�จำ��นวนเติ ม k ซึ่"�งท��ใหั� a= b + km คำ�าถาม : ข้�อใดติ*อไป็น�.เป็�นจำร�ง

1. 3 3 (mod 17)

2. 3 -3 (mod 17)

3. 172 177 (mod 5)

4. -13 13 (mod 26)

Spiral Visualization of mod

≡ 3(mod 5)

≡ 2(mod 5)

≡ 1(mod 5)

≡ 0(mod 5)

≡ 4(mod 5) 0

123

4

5

6

78

9

10

11

1213

14

15

16

1718

19

20

21

22

ติ�วอย*�ง แสดงกี่�ร modulo 5

ทฤษฎี�ท��น*�สนใจำเกี่��ยวกี่�บ Modular Congruence Theorem: กี่��หันดใหั� a,b,c,dZ, m,nZ+

1. ถ้�� ab (mod m) แล้ะ cd (mod m), ด�งน�.น:▪ a+c b+d (mod m), แล้ะ▪ ac bd (mod m)

2. ถ้�� ab (mod m) แล้ะ bc (mod m), ด�งน�.น a c (mod m)

3. ถ้�� ab (mod m) ด�งน�.น anbn (mod m) คำ�าถาม: จำงหั�คุ*�ข้อง

3071001 mod 102 (45 · 77) mod 17

Hash Function

เป็�นกี่�รใช้�คุอนกี่ร/เอนซึ่'ในกี่�รกี่��หันดติ��แหัน*งข้องหัน*วยคุว�มจำ��ท��ส�มพ�นธ์'กี่�บข้�อม/ล้ในคุอมพ�วเติอร'

เรคุอร'ดข้�อม/ล้แติ*ล้ะเรคุอร'ดระบ�ได�โดยกี่�รใช้�คุ�ย'(key) ซึ่"�งคุ*�ข้องคุ�ย'ติ�องไม*ซึ่�.�กี่�นในแติ*ล้ะเรคุอร'ด

แฮช้ช้��งฟั>งกี่'ช้�น h เป็�นกี่�รกี่��หันดติ��แหัน*งข้องหัน*วยคุว�มจำ�� h(k) ใหั�กี่�บเรคุอร'ดข้�อม/ล้ท��ม�คุ�ย'แทนด�วย k

h(k) = k mod mโดยท�� m เป็�นข้น�ดข้องหัน*วยคุว�มจำ��ท��ส�ม�รถ้ใช้�ง�นได�(ข้น�ดข้องติ�ร�งแฮช้ท��ใช้�เกี่ บข้�อม/ล้)

กี่�รใช้�ง�น Hashing Function

ตั�วอยาง: กี่��หันดใหั� m=111 เรคุอร'ดข้องน�กี่เร�ยนท��ม�รหั�สน�กี่เร�ยน 64212848 แล้ะ 37149212 จำะถ้/กี่กี่��หันดใหั�เกี่ บในหัน*วยคุว�มจำ��ติ��แหัน*งท�� 14 แล้ะ 65 เน3�องจำ�กี่ h(64212848) = 64212848 mod 111 = 14 h(37149212) = 37149212 mod 111 = 65

ป็>ญหั�พ3.นฐ�นข้องกี่�รใช้� Hash ส��หัร�บน�กี่เร�ยนรหั�ส 24666707 จำะถ้/กี่กี่��หันดใหั�เกี่ บใน

หัน*วยคุว�มจำ��ติ��แหัน*งท�� 65 เน3�องจำ�กี่ h(24666707) = 24666707 mod 111 = 65 จำะเหั นว*�กี่รณ�น�.เกี่�ดกี่�รช้นกี่�น(Collision)

Pseudo-random numbers

กี่�รสร��งติ�วเล้ข้ส�*มแบบเท�ยมโดยกี่�รใช้�คุอนกี่ร/เอนซึ่' เร��มด�วยกี่�รเล้3อกี่จำ��นวนเติ มบวกี่ 4 จำ��นวน ได�แกี่* : มอด�ล้�ส(modulus) m, พหั�คุ/ณ(multiplier) a, คุ*�ท��เพ��มข้".น(increment) c, แล้ะ คุ*�เร��มติ�น(seed) x0

โดยท�� 2 ≤ a < m, 0 ≤ c < m, 0 ≤ x0 < m

เพ3�อท��กี่�รสร��งล้��ด�บเล้ข้ส�*มเท�ยม {xn} ซึ่"�ง 0 ≤ xn < m โดยใช้�:xn+1 = (axn + c) mod m

กี่�รสร��งช้�ดเล้ข้ส�*มเท�ยมท��ด�น�ยมเล้3อกี่คุ*� a, c, m เป็�นจำ��นวนเฉพ�ะ

ติ�วอย*�ง: Pseudo-random numbers กี่��หันด มอด�ล้�ส m = 1,000 = 23·53

เพ3�อสร��งช้�ดเล้ข้ส�*มเท�ยมท��ม�คุ*� 0-999 เล้3อกี่คุ*�ท��เพ��มข้".น c = 467 (ซึ่"�งเป็�นจำ��นวนเฉพ�ะ),

คุ*�พหั�คุ/ณ a = 293 (ซึ่"�งเป็�นจำ��นวนเฉพ�ะ), แล้ะคุ*� เร��มติ�น x0 = 426

Caesar’s Cipher

กี่�รน��ทฤษฎี�จำ��นวนไป็ใช้�ในกี่�รเข้��รหั�สแบบง*�ยท��ส�ด เร�ยกี่ว*� Caesar’s cipher โดยกี่�รแทนติ�วอ�กี่ษรภ�ษ�อ�งกี่ฤษเป็�นติ�วเล้ข้

กี่�รเข้��รหั�สข้�อม/ล้ ใช้�สมกี่�ร (n คุ3อจำ��นวนกี่�รเล้3�อนติ�วอ�กี่ษร)

กี่�รถ้อดรหั�ส ใช้�สมกี่�ร

A B C D E F G H I J K L M

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

ติ�วอย*�ง: Caesar’s Cipher

กี่��หันดใหั� n = 3 จำงเข้��รหั�สคุ��ว*� “COMPUTER” ด�วย Caesar’s cipher

C O M P U T E R2 14 12 15 20 19 4 17

5 17 15 18 23 22 7 20

F R P S X W H U

+ 3

Euclid’s Algorithm for GCD

กี่�รหั� GCD โดยกี่�รเป็ร�ยบเท�ยบ prime factorizations เป็�นว�ธ์�ท��อ�จำจำะท��ได�ย�กี่ในกี่รณ�ท��ไม*ส�ม�รถ้แยกี่ติ�วป็ระกี่อบข้องจำ��นวนน�.นๆได�procedure gcd(a, b: positive integers)

while b 0 begin

r ≔ a mod b; a ≔ b; b ≔ r;

endreturn a

ติ�วอย*�ง: Euclid’s Algorithm for GCD จำงหั� gcd(33, 77)

a = 33, b = 77r = 33 mod 77 = 33, a = 77, b = 33

a = 77, b = 33r = 77 mod 33 = 11, a = 33, b = 11

a= 33, b = 11r = 33 mod 11 = 0, a = 11, b = 0

gcd (33, 77) = 11

กี่�รเข้��รหั�ส RSA

กี่�รเข้��รหั�สแบบ RSA (Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adlemand)

เป็�นกี่�รใช้� key 2 ป็ระเภทคุ3อ public key แล้ะ private key โดย Private key จำะใช้�ส��หัร�บเข้��รหั�สข้�อม/ล้ท��ติ�องกี่�รส*ง Public key ผ/�ร �บข้�อม/ล้จำะใช้�ส��หัร�บกี่�รถ้อดรหั�สข้�อม/ล้ (n, e)

ข้�.นติอนกี่�รท��ง�น1 . เล้3อกี่จำ��นวนเฉพ�ะ 2 จำ��นวนท��ไม*ซึ่�.�กี่�น เช้*นใหั� p = 61 แล้ะ q = 53

2. คุ��นวณ n = pq n = 61 x 53 = 3233

3. คุ��นวณ Euler’s totient function φ(n) = (p − 1)(q − 1) φ(n) = 60 x 52 = 3120

4. เล้3อกี่ติ�วเล้ข้ e ท��  1 < e < 3120 ซึ่"�ง e จำะติ�องเป็�นจำ��นวนเฉพ�ะท��หั�ร 3120 ไม*ล้งติ�ว (กี่��หันดใหั� e = 17)

5. คุ*�คุ*� d โดยท�� e x d mod φ(n) = 1 จำะได� d = 2753

6. กี่�รเข้��รหั�สข้�อม/ล้จำะใช้� public key จำ�กี่ส/ติร c(m) = me mod n ถ้��ใช้�ข้�อคุว�มท��ส*งคุ3อ 65

c = 6517 mod 3233 = 2790

7. กี่�รถ้อดรหั�สข้�อม/ล้จำะใช้� private key จำ�กี่ส/ติร m(c) = cd mod n

m = 27902753 mod 3233 = 65

แบบฝึ6กี่หั�ด (ท��ส*ง)

จำงจำ��นวนเฉพ�ะท��อย/*ระหัว*�งจำ��นวน 30 – 40 จำงหั� gcd ข้องจำ��นวนติ*อไป็น�.ด�วยว�ธ์� GCD

shortcut แล้ะ Euclid’s Algorithm for GCD gcd(372, 164) gcd(164, 44)

จำงหั� lcm ข้องจำ��นวนติ*อไป็น�. lcm(15, 20) lcm(8, 36)

จำงถ้อดรหั�สข้�อคุว�ม ท��ถ้/กี่เข้��รหั�สด�วย Caesar’s Cipher ท��ม� n = 4 โดยข้�อคุว�มท��เข้��รหั�สคุ3อ “M PSZI CSY”