Embed Size (px)
Citation preview
Numericka analiza - Prof. Aleksandar Ivic
1 Osnovi numericke analize
1.1 Teorija interpolacije
1.1.1 Opste o problemu interpolacije
Neka je dato n + 1 tacaka x0, x1, . . . , xn(x0 < x1 < · · · < xn), i neka su poznate vred-nosti f(x0) = y0, f(x1) = y1, . . . , f(xn) = yn neke funkcije u tim tackama. Opsti probleminterpolacije se sastoji u nalazenju neke funkcije F (x) (za koju se pretpostavlja da imajednostavan oblik i koja se naziva funkcija interpolacije), za koju vazi F (x0) = y0, F (x1) =y1, . . . , F (xn) = yn. Vrednosti funkcije f(x) (obicno u intervalu [x0, xn], ali cesto i vannjega) tada se priblizno izracunavaju preko funkcije interpolacije F (x), tj. uzima se pri-blizno f(x) ≈ F (x), ili f(x) = F (x)+R(x), gde je R(x) izvesna greska koja se cini prilikominterpolacije. Prilikom interpolacije tako -de se tezi i proceni greske R(x), tj. gleda se da sena -de i eksplicitni izraz, odnosno nejednakost za |R(x)|.
U opstem slucaju za F (x) nema nekih ogranicenja, no u praksi se najcesce uzima da jeF (x) polinom stepena ne veceg od n, tj.
F (x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn.
Uslov F (x0) = y0, F (x1) = y1, . . . , F (xn) = yn svodi se tada na sistem linearnihjednacina:
a0 + a1x0 + · · ·+ anxn0 = y0,
a0 + a1x1 + · · ·+ anxn1 = y1,
......
. . .... =
... (1)
a0 + a1xn + · · ·+ anxnn = yn.
Ovde ima n+1 jednacina sa n+1-om nepoznatom a0, a1, . . . , an. Determinanta sistema(1) je
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 x0 x20 · · · xn
0
1 x1 x21 · · · xn
1...
......
. . ....
1 xn x2n · · · xn
n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣,
i poznata je u literaturi pod imenom Vandermondeova determinanta. Njena vrednost je
D = (xn − x0)(xn−1 − x0) · · · (x1 − x0)(xn − x1) · · ·× (x2 − x1) · · · (xn − xn−1) =
∏
i>j
(xi − xj) 6= 0,
1
jer su po pretpostavci svi brojevi x0, x1, . . . , xn me -dusobno razliciti. Prema tome, ako jebarem jedno yj 6= 0, sistem (1) ima jedinstveno resenje, te je polinom F (x) = a0 + a1x +· · · + anx
n jednoznacno odre -den. Me -dutim i pored jednoznacne resivosti, odre -divanje ko-eficijenata a0, a1, . . . , an polinoma F (x) putem determinanti je zametno. Zato su razvijenirazni posebni postupci za odre -divanje forme polinoma F (x), koji nose imena pojedinihmatematicara zasluznih za tu problematiku.
1.1.2 Lagranzeov interpolacioni polinom
Ovaj interpolacioni polinom je opsteg karaktera. Neka je dato n + 1 tacaka x0 < x1 <· · · < xn. Treba formirati polinom Pn(x) stepena ne veceg od n tako da bude
Pn(xi) = yi, (i = 0, 1, . . . , n).
Direktnom proverom se ustanovljava da je takav polinom dat preko formule:
Pn = y0L0(x) + y1L1(x) + · · ·+ ynLn(x) =n∑
i=0
yiLi(x),
gde je:
Li(x) =(x− x0) · · · (x− xi−1)(x− xi+1) · · · (x− xn)
(xi − x0) · · · (xi − xi−1)(xi − xi+1) · · · (xi − xn).
Naime vazi:
Li(xj) =
{1 i = j,0 i 6= j,
(i = 0, 1, . . . , n),
pa je neposredno Pn(xi) = yi. U razvijenom obliku, na primer, za n = 3 dobija se
P3(x) = y0(x− x1)(x− x2)(x− x3)
(x0 − x1)(x0 − x2)(x0 − x3)+ y1
(x− x0)(x− x2)(x− x3)
(x1 − x0)(x1 − x2)(x1 − x3)+
+ y2(x− x0)(x− x1)(x− x3)
(x2 − x0)(x2 − x1)(x2 − x3)+ y3
(x− x0)(x− x1)(x− x2)
(x3 − x0)(x3 − x1)(x2 − x0).
Ako se stavi Rn(x) = f(x)−Pn(x), onda je |Rn(x)| greska koja se dobija ako se vrednostfunkcije zameni vrednoscu interpolacionog polinoma u odgovarajucoj tacki. Vazi procena
|Rn(x)| ≤ |(x− x0)(x− x1) · · · (x− xn)|(n + 1)!
maxx0≤x≤xn
∣∣∣f (n+1)(x)∣∣∣ , (2)
pod pretpostavkom da f ima neprekidan n + 1-vi izvod u intervalu [x0, xn].
2
1.1.3 Njutnov interpolacioni polinom za nejednake razlike
Opet se pretpostavlja da je dat sistem tacaka x0 < x1 < · · · < xn koje leze u intervalu [a, b]i vrednosti f(xi) = yi (i = 0, 1, . . . , n). Za izvo -denje Njutnovog interpolacionog polinomaza nejednake razlike potreban je pojam podeljenih razlika, koje se definisu rekurzivno nasledeci nacin. Naime, podeljene razlike prvoga reda za funkciju f(x) se definisu kao
f(x0; x1) =f(x1)− f(x0)
x1 − x0
,
f(x1; x2) =f(x2)− f(x1)
x2 − x1
, . . . ,
f(xn−1; xn) =f(xn)− f(xn−1)
xn − xn−1
.
Slicno tome se definisu podeljene razlike drugoga reda kao
f(x0; x1; x2) =f(x1; x2)− f(x0; x1)
x2 − x0
,
f(x1; x2; x3) =f(x2; x3)− f(x1; x2)
x3 − x1
, . . . ,
f(xn−2; xn−1; xn) =f(xn−1; xn)− f(xn−2; xn−1)
xn − xn−2
.
U opstem slucaju, ako su vec poznate podeljene razlike k-tog reda f(xi; xi+1; . . . ; xi+k),tada se podeljene razlike k + 1-og reda definisu kao
f(xi−1; xi; . . . ; xi+k) =f(xi; xi+1; · · · ; xi+k)− f(xi−1; xi; · · · ; xi+k−1)
xi+k − xi−1
.
Indukcijom se lako pokazuje da za podeljenu razliku k-tog reda f(xi, xi+1, . . . , xi+k)(ona se cesto oznacava kao [xi; xi+1; . . . ; xi+k]) vazi formula
f(xi; xi+1; · · · ; xi+k) =f(xi)
(xi − xi+1)(xi − xi+2) · · · (xi − xi+k)+
+f(xi+1)
(xi+1 − xi)(xi+1 − xi+2) · · · (xi+1 − xi+k)+ · · ·
+f(xi+k)
(xi+k − xi)(xi+k − xi+1) · · · (xi+k − xi+k−1).
Tada polinom
Pn(x) = f(x0) + (x− x0)f(x0; x1) + (x− x0)(x− x + 1)f(x0; x1; x2) + · · ·++ (x− x0)(x− x + 1) · · · (x− xn−1)f(x0; x1; · · · ; xn)
3
ima osobinu Pn(xi) = f(xi) = yi za i = 0, 1, . . . , n, i on predstavlja Njutnov interpolacionipolinom za nejednake razlike, tj. za opsti sistem tacaka x0 < x1 < · · · < xn. Ako se slicnokao kod Lagranzeovog interpolacionog polinoma formira izraz
Rn(x) = f(x)− Pn(x) = (x− x0)(x− x1) . . . (x− xn)f(x; x0; x1; . . . ; xn),
tada se, u slucaju da f ima n + 1 neprekidan izvod u [a, b], dobija primenom teoreme osrednjoj vrednosti da je
f(x; x0; x1; · · · ; xn) =f (n+1)(ξ)
(n + 1)!,
gde je ξ neka tacka iz intervala koji sadrzi sve tacke x, x0, . . . , xn. Stoga se za ostatak uNjutnovoj interpolacionoj formuli dobija ista procena kao u prethodnom slucaju, tj. ne-jednakost (2). Interesantan je slucaj kada se tacke x0, x1, . . . , xn poklapaju. Tada Njutnovinterpolacioni polinom prelazi u Tejlorovu formulu
f(x) = f(x0) +(x− x0)
1!f ′(x0) + · · ·+ (x− x0)
n
n!f (n)(x0) +
(x− x0)n+1
(n + 1)!f (n+1)(ξ),
gde je ξ neka tacka iz intervala [x, x0]. Polsednji clan u gornjoj formuli je klasican ostataku Tejlorovoj formuli, sto pokazuje da se Njutnov interpolacioni polinom moze upotrebiti iza dokazivanje stavova iz Analize.
Primer 1. Naci polinom P (x) treceg stepena koji prolazi kroz tacke (0,-4), (1,-1),(2,2) i (4,32).
Primenom bilo Lagranzeove ili Njutnove interpolacione formule dobija se da je trazenipolinom
P (x) = x3 − 3x2 + 5x− 4.
1.1.4 Njutnov interpolacioni polinom za jednake razlike
Za ovaj oblik interpolacionog polinoma definise se uopsteni n-ti stepen broja x kao
x[n] = x(x− h)(x− 2h) . . . (x− (n− 1)h),
a po definiciji je x[0] = 1, gde je h neki fiksni realni broj. Ovde se posmatra funkcijay = f(x) zadata vrednostima yi = f(xi) na skupu me -dusobno jednako udaljenih tacaka xi
(i = 0, 1, . . . , n), gde je
∆xi = xi+1 − xi = h = const.
Konacne razlike za zavisno promenljivu y zapisuju se kao
∆yi = yi+1 − yi,
∆2yi = ∆yi+1 −∆yi = yi+2 − 2yi+1 + yi, · · · ,
∆nyi = ∆n−1yi+1 −∆n−1yi = yi+n −(n
1
)yi+n−1 +
+
(n
2
)yi+n−2 + · · ·+ (−1)n
(n
n
)yi,
4
sto se lako pokazuje matematickom indukcijom. Interpolacioni polinom se zapisuje u obliku
Pn(x) = a0 + a1(x− x0)[1] + a2(x− x0)
[2] + · · ·+ an(x− x0)[n],
gde je xi = x0 + ih (i = 1, 2, . . . ), a koeficijenti polinoma ai dati su izrazima
ai =∆iy0
i!hi(i = 0, 1, 2, . . . , n).
Tako se dobija tzv. prvi Njutnov interpolacioni polinom u obliku
Pn(x) = y0 +∆y0
1!h(x− x0)
[1] +∆2y0
2!h2(x− x0)
[2] + · · ·+ ∆ny0
n!hn(x− x0)
[n].
Ako se uvede oznaka q =x− x0
h, onda gornja formula postaje
Pn(x) = y0 + q∆y0 +q(q − 1)
2!∆2y0 + · · ·+ q(q − 1) · · · (q − n + 1)
n!∆ny0.
Isti polinom se moze napisati i u drugom obliku, koji se zove druga Njutnova interpo-laciona formula. Ona glasi:
Pn(x) = yn + q∆yn−1 +q(q + 1)
2!∆2yn−2 + · · ·+ q(q + 1) · · · (q + n + 1)
n!∆ny0,
i ona je obicno pogodnija ako je x blize xn, dok je prva Njutnova formula obicno pogodnijaza vrednosti x blize x0.
1.1.5 Interpolacioni polinom sa sredisnim razlikama
I ovde se radi o interpolacionim polinomima za sistem tacaka koje su jednako udaljene,samo se radi o nesto drukcijem formiranju razlika. Ako je dat 2n + 1 interpolacioni cvorx−n, x−(n−1), . . . x−1, x0, x1, . . . xn−1, xn, gde je ∆xi = xi+1 − xi = h, i = −n, · · · , n − 1,onda se trazi polinom stepena ne veceg od 2n za koji je P (xi) = yi (i = 0,±1, · · · ± n).Takav polinom glasi:
P (x) = y0 + q∆y0 +q(q − 1)
2!∆2y−1 +
(q + 1)q(q − 1)
3!∆3y−1 + · · ·+
+(q + n− 1) · · · (q − n + 1)
(2n− 1)!∆2n−1y−(n−1) +
+(q + n− 1) · · · (q − n + 1)(q − n)
(2n)!∆2ny−n,
gde je q =x− x0
hi zove se prvi Gausov interpolacioni polinom. Tu se javljaju tzv.
“sredisne” razlike
∆y0, ∆2y−1, ∆3y−1, ∆4y−2, ∆5y−2, ∆6y−3, · · · ,
5
dok se kod tzv. drugog Gausovog interpolacionog polinoma javljaju razlike
∆y−1, ∆2y−1, ∆3y−2, ∆4y−2, ∆5y−3, ∆6y−3, · · ·
Taj polinom glasi, u razvijenom obliku:
P (x) = y0 + q∆y−1 +(q + 1)q
2!∆2y−1 +
(q + 1)q(q − 1)
3!∆3y−1 +
+(q + 2)(q + 1)q(q − 1)
4!∆4y−2 + · · ·+
+(q + n− 1) · · · (q − n + 1)
(2n− 1)!∆2n−1y−n +
+(q + n)(q + n− 1) · · · (q − n + 1)(q − n)
(2n)!∆2ny−n,
gde je P (xi) = yi za i = 0,±1, · · · ,±n. Postoji i tzv. Stirlingov interpolacioni polinom
koji se formira kao aritmeticka sredina Gausovih polinoma, tj. kao1
2
(P (x) + P (x)
). Ako
se polazi od parnog broja cvorova, tj. od tacaka
x−n, x−(n−1), . . . , x0, . . . , xn−1, xn, xn+1
sa rastojanjem ∆xi = xi+1 − xi = h i uslovom yi = f(xi), onda se cesto formira i Beselovinterpolacioni polinom, koji je stepena ne veceg od 2n + 1. Dakle
Q(xi) = yi (i = −n,−(n− 1), . . . , n, n + 1),
pri cemu Beselov interpolacioni polinom ima oblik
Q(x) =y0 + y1
2+
(q − 1
2
)∆y0 +
q(q − 1)
2× ∆2y−1 + ∆2y0
2+
+
(q − 1
2
)q(q − 1)
3!∆3y−1 +
q(q − 1)(q + 1)(q − 2)
4!× ∆4y−2 + ∆4y−1
2+
+
(q − 1
2
)q(q − 1)(q + 1)(q − 2)
5!∆5y−2 +
+q(q − 1)(q + 1)(q − 2)(q + 2)(q − 3)
6!× ∆6y−3 + ∆6y−2
2+ · · ·+
+q(q − 1)(q + 1)(q − 2)(q + 2) · · · (q − n)(q + n− 1)
(2n)!×
× ∆2ny−n + ∆2ny−(n+1)
2+
+
(q − 1
2
)q(q − 1)(q + 1)(q − 2)(q + 2) · · · (q − n)(q + n− 1)
(2n + 1)!∆2n+1y−n.
6
1.1.6 Inverzna interpolacija
Neka je y = f(x) funkcija zadata tablicno. Zadatak inverzne interpolacije je da se pozadanoj vrednosti y na -de odgovarajuca vrednost x. Ako su date tacke (xi, yi) (i =0, 1, . . . , n), y = f(xi), onda se moze konstruisati (Njutnov i Langrazeov) interpolacionipolinom po y sa cvorovima u tackama yi, recimo
Pn(y) =n∑
i=0
xiLi(y),
Li(y) =(y − y0) · · · (y − yi−1)(y − yi+1) · · · (y − yn)
(yi − y0) · · · (yi − yi−1)(yi − yi+1) · · · (yi − yn).
Za dato y sada se moze naci x ≈ Pn(y) kao priblizna vrednost interpolacionog polinomaPn(y).
1.1.7 Interpolacija kod periodicnih funkcija
U slucaju kada funkcija f(x) koju interpoliramo nad [a, b] ima osobinu da je f(a) = f(b),prirodno je ograniciti se na aproksimaciju f(x) funkcijama ϕ0(x), · · · , ϕn(x) koje su peri-odicne (sa osnovnim periodom T = b− a) i zadovoljavaju ϕj(a) = ϕj(b) (j = 0, 1, . . . , n).Najprostiji sistem periodicnih funkcija cine funkcije
1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, · · · , sin nx, cos nx, . . . ,
ciji je osnovni period 2π. Od ovih funkcija se formira tzv. trigonomertijski polinom
Tn(x) =a0
2+
n∑
k=1
(ak sin kx + bk cos kx) , (3)
gde su ak, bk realni (ili kompleksni) koeficijenti koje treba odrediti. Osnovna osobinatrigonometrijskih polinoma tipa (3), vazna za interpolaciju, je sledeca: ako se dva polinomapoklapaju u 2n + 1 razlicitih tacaka x0, x1, . . . , x2n, tada su ti polinomi identicni. Ako jef(xi) = yi (i = 0, 1, . . . , 2n), tada se za Tn(x) moze napisati eksplicitna formula
Tn(x) =2n∑
i=0
yi
sinx− x0
2· · · sin x− xi−1
2sin
x− xi+1
2· · · sin x− x2n
2
sinxi − x0
2· · · sin xi − xi−1
2sin
xi − xi+1
2· · · sin xi − x2n
2
. (4)
Naime, iz same konstrukcije Tn(x) neposredno sledi da vazi Tn(x) = yi = f(xi) za i =0, 1, . . . , 2n, a uz pomoc trigonometrijskih formula
sin kx sin lx =1
2[cos(k − l)x− cos(k + l)x] ,
sin kx cos lx =1
2[sin(k + l)x + sin(k − l)x] ,
cos kx cos lx =1
2[cos(k − l)x + cos(k + l)x] ,
ustanovljava se da se Tn(x), dato preko (4), svodi na trigonomertijski polinom oblika (3).
7
1.1.8 Interpolacija funkcija od dve nezavisne promenljive
Interpolacija funkcije z = f(x, y) koja je zadata na sistemu tacaka (xi, yi) oblika xi =x0 + ih, yj = y0 + jk (i = 0, 1, 2, . . . , j = 0, 1, 2, . . . ) moze se vrsiti na sledeci nacin. Uvodese oznake zi,j = f(xi, yj) i formiraju konacne razlike na
∆xzi,j = zi+1,j − zi,j,
∆yzi,j = zi,j+1 − zi,j,
∆m+nzi,j = ∆m+nxmynzi,j = ∆n
yn (∆mxmzi,j) = ∆m
xm
(∆n
ynzi,j
),
∆0+0zi,j = zi,j.
Za funkciju dveju promenljivih (i slicno za funkciju od vise promenljivih) postoji Njut-nova interpolaciona formula, koja je sasvim slicna Njutnovom (obicnom) interpolacionompolinomu iz odeljka 1.1.4.
Sa oznakama
p =x− x0
h, q =
y − y0
k,
prvih nekoliko clanova te interpolacione formule glasi
P (x, y) = z0,0 +1
1!
[p∆1+0z0,0 + q∆0+1z0,0
]+
+1
2!
[p(p− 1)∆2+0z0,0 + 2pq∆1+1z0,0 + q(q − 1)∆0+2z0,0
]+
+1
3!
[p(p− 1)(p− 2)∆3+0z0,0 + 3p(p− 1)q∆2+1z0,0+
3pq(q − 1)∆1+2z0,0 + q(q − 1)(q − 2)∆0+3z0,0 +
+1
4!
[p(p− 1)(p− 2)(p− 3)∆4+0z0,0+
4p(p− 1)(p− 2)q∆3+1z0,0 +
6p(p− 1)q(q − 1)∆2+2z0,0 +
4pq(q − 1)(q − 2)∆1+3z0,0 +
q(q − 1)(q − 2)(q − 3)∆0+4z0,0
]+ . . . .
1.2 Numericko diferenciranje i integracija
1.2.1 Numericko (priblizno) diferenciranje
Ovaj problem se sastoji u nalazenju izvoda nekog reda funkcije y = f(x), koja je zadanatablicno, ili su izvodi previse slozeni analiticki da bi racunanje izvoda preko eksplicitnihformula imalo prakticnu vrednost.
8
Ako je funkcija zadana na sistemu tacaka sa jednakim razlikama, onda je jedan odnacina da se sprovede priblizno diferenciranje koriscenjem prvog Njutnovog interpolacionog
polinoma (v. odeljak 1.1.5). Uz oznaku q =x− x0
hmnozenjem sledi
y(x) = y0 + q∆y0 +q2 − q
2∆2y0 +
q3 − 3q2 + 2q
2∆3y0 +
+q4 − 6q3 + 11q2 − 6q
24∆4y0 + · · · ,
gde je y = y(x) = f(x) identifikovano sa Njutnovim interpolacionim polinomom. Zbog
y′ =dy
dx=
dy
dq
dq
dx=
1
h
dy
dq
sledi
y′(x) =1
h
[∆y0 +
2q − 1
2∆2y0 +
3q2 − 6q + 2
6∆3y0 +
+4q4 − 18q2 + 22q − 6
24∆4y0 + · · ·
],
a slicno se nalazi i
y′′(x) =
1
h2
[∆2y0 +
6q − 6
6∆3y0 +
12q2 − 36q + 22
24∆4y0 + · · ·
].
Analognim postupkom mogu se dobiti i formule za izvode viseg reda. U opstem slucaju,kada tacke xi nisu na jednakom rastojanju, moze da se koristi Lagranzeov interpolacionipolinom (v. odeljak 1.1.2). Naime, uzima se
y = y(x) = f(x) ≈ Pn(x) =n∑
i=0
yiLi(x),
te je onda
y(k) ≈ P (k)n (x) =
n∑
i=0
yiL(k)i (x).
Nedostatak ovog postupka je sto i za malo k, greska koja se cini aproksimacijom y(k)
sa P (k)n (x) moze da bude jako velika.
1.2.2 Numericka integracija
Numericka integracija ima za zadatak da razvije postupke za priblizno izracunavanje inte-grala
I =
b∫
a
f(x) dx (a < b),
9
gde je f(x) data integrabina funkcija na [a, b] . Takav postupci su cesto neizbezni u praksi,kada primitivna funkcija od f(x) ima suvise slozen oblik ili ju je nemoguce odrediti prekoelementarnih funkcija, kao recimo u slucaju funkcije
f(x) = e−x2
,
koja je jednostavnog oblika, ali je poznato da se njena primitivna funkcija ne moze pred-staviti preko elementarnih funkcija u konacnom obliku. Najjednostavniji nacin numerickeintegracije je da se f(x) zameni Lagranzeovim ili Njutnovim interpolacionim polinomomPn(x) stepena n, te da se za pribliznu vrednost I uzme
I ≈b∫
a
Pn(x) dx,
pri cemu je bitno i kakva se greska cini prilikom takvog postupka. Uz oznake
y = f(x), h =b− a
n, x0 = a, xi = x0 + ih, yi = f(xi) (i = 0, 1, . . . , n)
onda se dobija
xn∫
x0
y dx ≈n∑
i=0
Aiyi,
gde je
Ai =
xn∫
x0
(−1)n−1q[n+1]
i!(n− 1)!(q − i)dx; q =
x− x0
h,
x[n] = x(x− h)(x− 2h) · · · (x− (n− 1)h).
Uproscavanjem sledi:
xn∫
x0
y dx ≈ (b− a)n∑
i=0
Hiyi,
Hi =(−1)n−1
i!(n− 1)!n
q∫
0
q[n+1]
q − idq.
(5)
Formule za pribliznu integraciju (5) zovu se u literaturi Njutn-Kotesove formule. Speci-
jalno za n = 1 i n = 2, te primenom tih formula za svaki integralxi+1∫xi
posebno, dobijaju se
klasicne formule numericke integracija. To su tzv. trapezna i Simpsonova formula.Trapezna formula za pribliznu integraciju glasi
b∫
a
y dx =h
2[y0 + yn + 2(y1 + · · ·+ yn−1)] + R,
10
pri cemu za gresku R vazi procena
|R| ≤ b− a
12h2 max
ξ∈[a,b]
∣∣∣y′′(ξ)∣∣∣ ,
gde se pretpostavlja da y(x) ima neprekidan drugi izvod u [a, b]. Ako je n = 2m, h =(b − a)/2m (paran broj interpolacionih tacaka) onda Simpsonova formula za pribliznuintegraciju glasi
b∫
a
y dx =h
3[(y0 + y2m) + 4(y1 + y3 + · · ·+ y2m−1) + 2(y2 + y4 + · · ·+ y2m−2)] + R,
pri cemu za gresku R ovde vazi procena
|R| ≤ b− a
180h4 max
ξ∈[a,b]
∣∣∣y(4)(ξ)∣∣∣ .
Ovde se pretpostavlja da y(x) ima neprekidan cetvrti izvod u [a, b].Postoje dva nacina procene greske kod Simpsonove metode priblizne integracije.
a) Ukupna greska. Ova greska je jednaka
R + r,
gde je R dato gornjim izrazom, a
|r| ≤ εk(b− a),
gde je εk = 12·10−k (greska zaokrugljivanja) ako radimo sa k decimala. Nacin za odre -divanje
optimalne vrednosti parametra h (koraka integracije) je upore -divanje sa unapred zadatomgreskom. Ukoliko je odre -divanje izvoda koji se javljaju previse komplikovano, onda se mozekoristiti
b) Rungeova ocena greske. Neka je primenjena Simpsonova metoda sa podelom 2m1
tj. 2m2, pri cemu je m1 < m2, sa koracima h1 odnosno h2, pri cemu je h2 < h1, tj. drugapodela je finija. Tada je ukupna greska po apsolutnoj vrednosti ne premasa
|Ih1 − Ih2|(h1
h2
)4 − 1,
pri cemu Ih oznacava vrednost integrala Simpsonovom metodom kao sume u (1.3) sa ko-rakom h. Podela se na ovaj nacin “usitnjuje” sve dok konacna greska ne bude manja odunapred zadate. Znaci da se uzima
∫ b
af(x) dx ≈ Ih1 + R,
11
gde apsolutna vrednost greske R ne premasa gornji izraz.
Drugi tip formule za numericku integraciju predstavljaju tzv. Gausove formule. Pret-postavimo da smo odredili polinom ωn(x), stepena n, za koji je
b∫
a
p(x)ωn(x)q(x) dx = 0
za sve polinome q(x) stepena ne veceg od n− 1, pri cemu je p(x) data neprekidna funkcija(tzv. ”tezinska funkcija”) nad [a, b]. Ako je f(x) proizvoljan polinom, onda je
b∫
a
f(x) dx =n∑
i=0
C(n)i f(xi), (6)
gde su x1, x2, . . . , xn koreni ωn(x), a C(n)i konstante (koeficijenti) koje ne zavisi od f i koje
treba odrediti. U posebno interesantnom slucaju p(x) ≡ 1 moze se uzeti
ωn(x) =n!
(2n)!
dn
dxn[(x− a)n(x− b)n] , (7)
pri cemu se uzastopnom primenom Rolove teoreme o srednjoj vrednosti pokazuje da svikoreni polinoma u (7) leze u (a, b).
Ako je sada f(x) data neprekidna funkcija nad [a, b], onda se Gausova interpolacija vrsiu obliku
b∫
a
p(x)f(x) dx =n∑
i=0
C(n)i f(xi) + R(f), (8)
gde je R(f) greska koja zavisi samo od funkcije f(x). U slucaju p(x) ≡ 1 ostatak u formuli(8) postaje
R(f) =(b− a)2n+1(n!)4
[(2n)!]3(2n + 1)f (2n)(ξ)
za neko ξ koje zadovoljava a ≤ ξ ≤ b. Ovde valja napomenuti da interval integracije [a, b]
u (8) postaje [−1, 1] pomocu smene promenljive x =1
2(b + a) +
1
2(b− a)t. Ovo je podesno
uvek uciniti da bi se koeficijenti C(n)i racunati jednoobrazno, a ne u zavisnosti od intervala
[a, b]. Tako se za interpolacionu formulu
1∫
−1
f(x) dx =n∑
i=1
C(n)i f(xi) +
22n+1(n!)4
[(2n)!]3(2n + 1)f (2n)(ξ), (9)
12
a < ξ < b nalaze sledece vrednosti za C(n)i : n = 1
x1 = 0,
1
2C
(1)1 = 1,
R1 =1
3f′′(ξ),
n = 2
−x1 = x2 = 0, 577350269 . . . ,
1
2C
(2)1 =
1
2,
R2 =1
135f (4)(ξ),
n = 3
−x1 = x3 = 0, 774596669 . . . ,
x2 = 0,
1
2C
(3)1 =
1
2C
(3)3 =
5
18,
1
2C
(3)2 =
4
9,
R3 =1
15750f (6)(ξ),
n = 4
−x1 = x4 = 0, 861136311 . . . ,
−x2 = x3 = 0, 339981043 . . .
1
2C
(4)1 =
1
2C
(4)4 = 0, 173927422 . . . ,
1
2C
(4)2 =
1
2C
(4)3 = 0, 326072577 . . . ,
R4 =1
3472875f (8)(ξ),
n = 5
−x1 = x5 = 0, 906179845 . . . ,
−x2 = x4 = 0, 538469310 . . .
1
2C
(5)1 =
1
2C
(5)5 = 0, 118463442 . . . ,
1
2C
(5)2 =
1
2C
(5)4 = 0, 239314335 . . . ,
R5 =1
1237732650f (10)(ξ).
13
U slucaju kada se za p(x) uzme funkcija p(x) = 1/√
1− x2, a za interval integracije(−1, 1), dobija se sledeca formula za pribliznu numericku integraciju
1∫
−1
f(x)√1− x2
dx =n∑
i=1
C(n)i f(xi) + R(f),
gde su xi koreni polinoma ωn(x) stepena n, a koji je ortogonalan u odnosu na 1/√
1− x2
na sve polinome stepena ne veceg od n−1. Ovakva formula se naziva Hermite-ova formulaza numericku integraciju, a za ωn(x) se moze uzeti
ωn(x) =1
2n−1cos(n arccos x),
pri cemu nije tesko proveriti da je ωn(x) polinom po x stepena n. Tada se moze uzeti
xi = cos(2i− 1)π
2nza (i = 1, 2, . . . , n), te sledi
1∫
−1
f(x)√1− x2
dx =π
n
n∑
i=1
f(xi) +π
(2n)!2n−1f (2n)(ξi), (10)
xi = cos(2i− 1)π
2n.
Slicnog tipa su i formule Markova i Cebiseva za numericku intergaciju. Zadrzimo se naformuli Cebiseva, koja je tipa
1∫
−1
p(x)f(x) dx = Kn∑
i=1
f(xi) + R(f). (11)
Problem je da se odrede apscise x1, x2, . . . , xn i koeficijent K tako da je R(f) = 0 u (11) kadje f(x) polinom najviseg moguceg stepena. Zatim se za proizvoljnu funkciju f(x) nad [a, b]integral u (11) aproksimira sumom K
∑ni=1 f(xi), sto predstavlja numericku integraciju
Cebiseva.Za f(x) ≡ 1 koeficijent K u (11) se lako nalazi preko formule
K =1
n
1∫
−1
p(x) dx,
pri cemu se pretpostavlja da je tezinska funkcija p(x) takva da se poslednji integral lakoracuna. U vaznom slucaju f(x) ≡ 1 sledi K = 2/n, a tada se apscisa xi za razne vrednosti
14
n racunaju po sledecoj tablici:
n = 2, −x1 = x2 = 0, 577350 . . . ,n = 3, −x1 = x3 = 0, 707107 . . . ,n = 4, −x1 = x4 = 0, 794654 . . . , −x2 = x3 = 0, 187592 . . .n = 5, −x1 = x5 = 0, 832498 . . . , −x2 = x4 = 0, 374541 . . .
x3 = 0, . . .n = 6, −x1 = x6 = 0, 866247 . . . , −x2 = x5 = 0, 422519 . . .
−x3 = x4 = 0, 266635n = 7, −x1 = x7 = 0, 883862 . . . , −x2 = x6 = 0, 529657 . . .
−x3 = x5 = 0, 323912x4 = 0.
1.2.3 Priblizno izracunavanje visestrukih integrala
Najjednostavniji nacin za priblizno izracunavanje visestrukih integrala je preko ponovljenogizracunavanja jednostrukog (obicnog) integrala. Naime, ako je recimo G pravougaonik{a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, onda je
I =∫∫
G
f(x, y) dxdy =
b∫
a
dx
d∫
c
f(x, y)dy
. (12)
Stoga se moze prvo izracunati integral po y, po nekoj od pribliznih formula numerickeintegracije, a zatim ponavljanjem postupka i integral po x, Ako se upotrebi Simpsonovaformula za numericku integraciju, onda se za I u (12) dobija
I =(b− a)(d− c)
36
{f(a, c) + f(a, d) + f(b, c) + f(b, d) +
+ 4
[f
(a,
c + d
2
)+ f
(b,
c + d
2
)+ f
(a + b
2, c
)+ f
(a + b
2, d
)]+
+16f
(a + b
2,c + d
2
)}+ R.
U ovoj formuli R je ostatak, koji je identicki jednak nuli ukoliko je f(x, y) polinom pox i y stepena ne veceg od 3. Ukoliko f(x, y) poseduje neprekidne paecijalne izvode osmogareda u G, onda se moze naci i eksplicitni izraz za ostatak R. On glasi
R = −(b− a)5(d− c)
26· 45
∂4f(ξ1, η1)
∂x4− (d− c)5(b− a)
26· 45
∂4f(ξ2, η2)
∂x4−
−(d− c)5(b− a)5
212· 452
∂8f(ξ3, η3)
∂x4∂y4,
gde su (ξ1, η1), (ξ2, η2) i (ξ3, η3) neke tacke iz G.
15
Ukoliko je zadat integral
I =
b∫
a
dx
ϕ2(x)∫
ϕ1(x)
f(x, y) dy,
gde su ϕ1(x) i ϕ2(x) zadate krive, onda se moze postupiti i na sledeci nacin. Za izracunavanje
I =
b∫
a
F (x) dx, F (x) =
ϕ2(x)∫
ϕ1(x)
f(x, y) dy
upotrebljava se neka od formula za pribliznu integraciju. Tako je
I ≈n∑
k=1
CkF (xk) =n∑
k=1
ϕ2(xk)∫
ϕ1(xk)
f(xk, y) dy.
Ako se za izracunavanje svakog integrala
In =
ϕ2(xn)∫
ϕ1(xn)
f(xn, y) dy
iskoristi podesna formula za numericku integraciju
Ik ≈nk∑
k=1
C(k)i f(xk, yi),
onda se dobija krajnja formula u obliku
I ≈n∑
k=1
Ck
nk∑
i=1
C(k)i f(xk, yi).
Navedeni postupci mogu se preneti i na n-tostruke integrale.
1.3 Izracunavanje i aproksimacija funkcija
Najjednostavnija funkcija je polinom, koji u opstem slucaju ima oblik
P (x) = a0xn + a1x
n−1 + · · ·+ an,
pri cemu pretpostavljamo da su koeficijenti a1, a2, . . . , an realni brojevi i a0 6= 0. Problemizracunavanja P (t) za dato t resava se na sledeci nacin. Postupno se izracunavaju brojevi
b0 = a0,b1 = a1 + b0t,b2 = a2 + b1t,b3 = a3 + b2t, . . . ,bn = an + bn−1t.
16
Neposrednom proverom sledi da je bn = P (t), stavise vazi
P (x) = Q(x)(x− t) + bn,
gde je
Q(x) = b0xn−1 + b1x
n−2 + · · ·+ bn−1.
U slucaju P (x) = 3x3 − 5x2 + 7x − 2, t = 2, ovo se moze shematski prikazati na sledecinacin:
3 −5 7 −2 |23 1 9 16
Ovde je u donjem redu b0 = 3, b1 = 1, b2 = 9, b3 = P (2) = 16. Ovaj postupak senaziva Hornerova shema i posebno je pogodan za rad sa racunarima. Hornerova shema imai drugih primena. Njom se, recimo, mogu resavati jednacine sa celobrojnim koeficientima.Naime, ako algebarska jednacina
f(x) = xn + a1xn−1 + · · ·+ an−1x + an = 0
sa celobrojnim koeficijentima ak ima celobrojni koren c, onda taj koren mora c biti deliteljbroja an. Ako su d1, · · · , dk svi delitelji (i pozitivni i negativni) broja an, onda se Hornerovomshemom racuna f(d`), pa ako je ta vrednost za neko ` nula, odmah se dobija faktorizacija
f(x) = (x− d`)g(x),
gde je stepen polinoma g(x) sada n− 1. Sada se psotupak moze primeniti dalje na g(x) isl., i na kraju ce se f(x) dobiti u faktorisanom obliku
f(x) = (x− α1) · · · (x− αn),
gde su α1, · · · , αn celi brojevi, naravno pod pretpostavkom da su svi koreni f(x) celibrojevi.
Primer 2. Resiti jednacinu
x4 + 3x3 − 50x2 + 12x− 216 = 0.
Delitelja 216 ima ukupno 32: od ±1 do ±216. Lako se nalazi da je
1 3 −50 12 −216 |61 9 4 36 0
Stoga je x = 6 jedan koren jednacine, a vazi
x4 + 3x3 − 50x2 + 12x− 216 = (x− 6)(x3 − 50x2 + 12x + 36),
17
pri cemu je polinom x3−50x2+12x+36 treceg stepena, te je njegovo faktorisanje, odnosnoresavanje odgovarajuce jednacine jednostavnije od resavanja polazne jednacine. Na krajuse dobija
x4 + 3x3 − 50x2 + 12x− 216 = (x− 6)(x + 9)(x2 + 4),
pa su koreni jednacine x1 = 6, x2 = −9, x3 = 2i, x4 = −2i.
Za izracunavanje vrednosti slozenijih funkcija najpovoljnije je koristiti Tejlorovu for-mulu. Ako je f(x) analiticka funkcija za |x− x0| < R, onda Tejlorova formula glasi
f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f′′(x0)
2(x− x0)
2 + · · ·+
+f (n)(x0)(x− x0)
n
n!+ Rn(x), (13)
gde je za neko −1 < θ < 1
Rn(x) =f (n+1)(x0 + θ(x− x0))
(n + 1)!(x− x0)
n+1.
Vrlo cesto Tejlorova formula se koristi za x0 = 0, kada se obicno naziva Maklorenovaformula i glasi
f(x) = f(0) +f ′(0)
1!x +
f ′′(0)
2!x2 + · · ·+ f (n)(0)
n!xn + Rn(x),
Rn(x) =f (n+1)(θx)
(n + 1)!xn+1, |θ| < 1.
Za pojedine elementarne funkcije Tejlorova, odnosno Maklorenova formula poprimajednostavan oblik. Tako, na primer, za eksponencijalnu funkciju f(x) = ex vazi Tejlorovaformula
ex = 1 + x +x2
2!+ · · ·+ xn
n!+ Rn(x),
Rn(x) =eθxxn1
(n + 1)!, |θ| < 1.
U praksi se izracunavanje ex vrsi najcesce na sledeci nacin. Uvek se moze napisatix = [x] + r, gde je [x] ceo broj od x (npr. [3, 19] = 3, [−0, 325] = −1), a r zadovoljava0 ≤ r < 1 i predstavlja razlomljeni deo od x. Tada je
ex = e[x]er,
pri cemu se e[x] izracunava direktno, koristeci vrednosti
e = 2, 718281828459045 . . . ,1
e= 0, 367879441171442 . . . ,
18
u zavisnosti od toga da li je [x] > 0 ili [x] < 0. Za izracunavanje er koristi se Maklorenovaformula u obliku
er =n∑
j=0
rj
j!+ Rn(r),
pri cemu se Rn(r) moze eksplicitno proceniti kao
0 ≤ Rn(r) <3
(n + 1)!rn+1.
Odakle se moze lako odrediti za koje n ce vaziti |Rn(r)| < ε za neko zadato ε > 0. Zaizracunavanje vrednosti logaritamske funkcije koriste se razvitci u redove
ln(1 + x) = x− x2
2+
x3
3− x4
4+ · · · ,
ln(1− x) = −x +x2
2− x3
3+
x4
4− · · · ,
koji vaze za |x| < 1. Kako je njihova konvergencija dosta spora, oduzimanjem se dobija
ln1− x
1 + x= −2
(x +
x3
3+
x5
5+ · · ·
).
Ako se stavi1− x
1 + x= z, onda je x =
1− z
1 + z, pa se dobija
ln z = −2
[1− z
1 + z+
1
3
(1− z
1 + z
)3
+1
5
(1− z
1 + z
)5
+ · · ·],
pri cemu ova poslednja formula vazi za 0 < z < ∞, i podesna je za numericka izracunavanja,tj. sada je konvergencija brza nego samo koriscenjem redova ya ln(1± x).
Trigonometrijske funkcije, kao i hiperbolicne, se racunaju, slicno kao i eksponencijalnefunkcije, preko Maklerenove formule, odnosno Maklerenovog reda. Ti redovi, koji vaze zasvako x, glase
sin x =∞∑
j=0
(−1)j x2j+1
(2j + 1)!, cos x =
∞∑
j=0
(−1)j x2j
(2j)!,
shx =∞∑
j=0
(−1)j x2j+1
(2j + 1)!, chx =
∞∑
j=0
(−1)j x2j
(2j)!,
gde je, kao sto je uobicajeno,
shx =1
2
(ex − e−x
), chx =
1
2
(ex + e−x
).
19
U opstem slucaju prilikom aproksimacije funkcije f(x) dolazi do sledecih problema.
1. Data je klasa funkcija R, definisanih na [a, b] i neki podskup R funkcija te klase. Zadatu funkciju f(x) ∈ R i dato ε > 0 treba odrediti takvu funkciju ϕ(x) ∈ R da vazi
|f(x)− ϕ(x)| < ε
za svako x ∈ [a, b].
2. Za datu funkciju f(x) ∈ R odrediti funkciju ϕ0(x) ∈ R takvu da vazi nejednakost
maxx∈[a,b]
|f(x)− ϕ0(x)| = infϕ∈R
maxx∈[a,b]
|f(x)− ϕ(x)| .
Za R se obicno uzima skup funkcija C[a, b] neprekidnih nad [a, b], a za R neki skupalgebarskih ili uopstenih polinoma. Za funkciju ϕ0(x) iz zadatka 2, ukoliko postoji, kaze seda je funkcija najbolje ravnomerne aproksimacije za funkciju f(x) u klasi R. Posebno suod interesa aproksimacije u tzv. linearnim normiranim prostorima. Skup R se zove linearninormirani prostor, ako je linearni vektorski prostor nad skupom realnih brojeva Re i akosvakom f ∈ R odgovara realan broj ||f ||. Taj broj ||f || se zove norma od f i zadovoljavasledece uslove:
a) ||f || ≥ 0 i ||f || = 0, ako i samo ako je f ≡ 0,b) ||cf || = |c|||f ||, za proizvoljno c ∈ Re,c) ||f1 + f2|| ≤ ||f1||+ ||f2||.
Svaki linearni normirani prostor je ujedno i metricki prostor (prostor sa rastojanjem).Za rastojanje d(f1, f2) dva elementa f1, f2 ∈ R moze se jednostavno uzeti
d(f1, f2) = ||f1 − f2||.
U slucaju da je R = C[a, b], skup svih neprekidnih funkcija na [a, b], onda se cestouzima
||f || = maxx∈[a,b]
|f(x)| . (14)
Moze se pokazati da u svakom linearnom normiranom prostoru R za proizvoljan elementf ∈ R postoji element najbolje aproksimacije u R, tj. element Φ0 ∈ R za koji se dostize
infΦ∈R
||f − Φ||.
Da bi se ovo pojasnilo na primeru, uzmimo da je dat polinom
Q(x) = xn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0.
Zelimo da vrsimo interpolaciju polinoma Q u intervalu [−1, 1] polinomom P (x) stepenan−1, tako da se maksimalna greska |Q(x)− P (x)|minimizira, sto je saglasno sa definicijom
20
datom preko (14). Problem je kako odrediti cvorove interpolacije x0, x1, . . . , xn−1 i kolikoje velika najmanja moguca maksimalna greska? Ako se napise
Q(x)− P (x) = L(x) = (x− x0)(x− x1) · · · (x− xn−1),
onda se problem svodi na izbor tacaka x0, x1, . . . , xn−1 tako da je velicina
max−1≤x≤1
|(x− x0)(x− x1) · · · (x− xn−1)|
minimalna. Ovaj problem je sredinom proslog veka resio znameniti ruski matematicar P.L.Cebisev. Za L(x) se uzima (v. tako -de (10))
L(x) =1
2n−1Tn(x) =
1
2n−1cos(n arccos x),
gde jeTn(x) = cos(n arccos x)
tzv. polinom Cebiseva, pri cemu se iz gornje formule moze eksplicitno izracunati u = Tn(x).Tako -de u = Tn(x) zadovoljava sledecu linearnu diferencijalnu jednacinu drugog reda:
(1− x2)u′′ − xu′ + n2u = 0.
U ovom slucaju interpolacioni cvorovi x0, x1, . . . , xn−1 dati su onda preko formule
xk = cos
(2k + 1
2nπ
), k = 0, 1, . . . , n− 1.
Za vrednosti L(x) u intervalu [−1, 1] ocito vazi
|L(x)| ≤ 21−n,
te je 21−n maksimalna greska, koja se cini prilikom interpolacije.Recimo da je postavljeno konkretno pitanje koliko se dobro moze aproksimirati funkcija
f(x) = x2 + ax + b u [−1, 1] pomocu prave linije? To je slucaj n = 2 prethodne diskusije.Cvorovi interpolacije su tacke
x0 = cosπ
4=
√2
2, x1 = cos
3π
4= −
√2
2.
Interpolacioni polinom P (x) dat je u ovom slucaju kao
P (x) =f(x0)(x1 − x) + f(x1)(x0 − x)
x1 − x0
= ax + b +1
2.
Maksimalna greska je
≤ max−1≤x≤1
∣∣∣x2 + ax + b− P (x)∣∣∣ = max
−1≤x≤1
∣∣∣∣x2 − 1
2
∣∣∣∣ =1
2,
21
kao sto je i predvi -deno teorijom.U opstem slucaju aproksimacija funkcija moze se postaviti pitanje aproksimacije funkcije
f(x) funkcijom
T (x) = a0 +n∑
j=1
(aj cos jx + bj sin jx) , (15)
gde su aj i bj realni koeficijenti koje treba odrediti. Funkcija u (15) se naziva trigonometri-jski polinom stepena n. Za aproksimaciju funkcija trigonometrijskim redom vazi tzv. drugaVajerstrasova teorema:
ako je f(x) neprekidna periodicna funkcija sa periodom 2π, tada za proizvoljno ε > 0postoji takav trigonometrijski polinom T (x) oblika (15) da za svako realno x vazi
|f(x)− T (x)| < ε.
Ova teorema omogucava ravnomernu aproksimaciju funkcije f(x) trigonometrijskim poli-nomom. Ovde valja pomenuti i tzv. prvu teoremu Vajerstrasa o aproksimaciji neprekidnihfunkcija, koja glasi:
ako je f(x) neprekidna funkcija na [a, b], tada za svako ε > 0 postoji prirodan brojm i polinomom Qm(x) stepena m tako da je
|f(x)−Qm(x)| < ε, x ∈ [a, b].
Druga vrsta aproksimacija su tzv. srednje-kvadratne aproksimacije. Pod srednjekva-dratnim odstupanjem funkcija f(x) i Q(x) na skupu tacaka X = {x1, x2, . . . , xn} po-drazumeva se velicina
∆n =
√√√√ 1
n
n∑
i=1
|f(xi)−Q(xi)|2. (16)
Ako se vrsi aproksimacija funkcija pomocu integrala, onda je srednjekvadratno odstupanjedato kao
∆ =
√√√√√ 1
b− a
b∫
a
|f(x)−Q(x)|2 dx. (17)
Formula (17) se moze shvatiti kao granicni slucaj formule (16) kad n →∞, ako je a = x1,b = xn,
∆xi = xi+1 − xi =b− a
n, (i = 1, 2, . . . , n− 1).
22
Onda vazi
∆2n =
1
n
n∑
i=1
|f(xi)−Q(xi)|2 =1
b− a
b∫
a
|f(x)−Q(x)|2 dx.
Srednjekvadratno odstupanje (17) ima preimucstvo da je neosetljivo na lokalna kole-banja |f(x)−Q(x)| za pojedine velicine x, te daje preciznu sliku o globalnom ponasanjupomenute tacke.
Ak se za prostor R uzme skup svih funkcija ciji je kvadrat integrabilan nad [a, b], ondase za f, g ∈ R moze uvesti skalarni proizvod (f, g) ∈ Re kao
(f, g) =
b∫
a
f(x)g(x) dx,
te norma ||f || preko relacije
||f || =√
(f, f) =
√√√√√b∫
a
f 2(x) dx.
1.4 Priblizno resavanje jednacina
1.4.1 Priblizno resavanje obicnih jednacina
Ovde se radi o resavanju jednacine
f(x) = 0, (18)
gde je f(x) neprekidna nad [a, b]. Pretpostavlja se da su svi koreni gornje jednacine u [a, b]izolovani, tj. f(x0) = 0 za x0 ∈ [a, b], onda postoji okolina od x0 u kojoj nema drugihkorena.
Najjednostavnija metoda resavanja jednacine (18) je tzv. metoda polovljenja. Pret-postavlja se da je f(a)f(b) < 0, tj. da su vrednosti funkcije na krajevima intervala ra-zlicitog znaka. Tada zbog neprekidnosti jednacine (18) mora imati koren u [a, b]. Ako je
f
(a + b
2
)= 0, onda je ξ =
a + b
2trazeni koren. Ako je f
(a + b
2
)6= 0, bira se onaj
od intervala
[a,
a + b
2
],
[a + b
2, b
]na cijim krajevima f(x) ima suprotne znake. Tako se
dobija niz intervala [a1, b1], [a2, b2], . . . , [an, bn], . . . , pri cemu je f(an)f(bn) < 0 i
bn − an =b− a
2n.
Tada postoji
ξ = limn→∞ an = lim
n→∞ bn
23
i f(ξ) = 0. Ovaj postupak se moze prakticno uvek primeniti, i lako se programira naracunaru. Nedostatak mu je sto se cesto mora uzeti mnogo clanova niza an, (ili bn), da bise dobila dobra aproksimacija korena ξ.
Drugi opsti postupak resavanja jednacina je postupak iteracije (ponavljanja). On sesastoji u tome da se proizvoljno odabere tacka x0 i zatim konstruise niz
xn = f(xn−1), (n = 1, 2, . . . ). (19)
Ukoliko niz xn konvergira ka ξ, onda je ξ resenje jednacine
x = f(x). (20)
Jednacina (18) i (20) su ekvivalentne; iz (18) sledi
x = F (x), F (x) = x + f(x),
i obrnuto, iz (20) sledi
F (x) = 0, F (x) = x− f(x).
Moze se pokazati da niz (19) konvergira ka resenju ξ jednacine (20), ako je
a) f(x) ∈ [a, b] za x ∈ [a, b]
b)∣∣∣f(x′)− f(x
′′)∣∣∣ ≤ L
∣∣∣(x′ − x′′)∣∣∣ za neko 0 ≤ L < 1 i x′, x
′′ ∈ [a, b].
Uslov b) se naziva Lipsicov uslov, a L Lipsicova konstanta. On je sigurno ispunjen,ako je |f ′(x)| < 1 za x ∈ [a, b]. Ako su ispunjeni uslovi a) i b), onda je stavise resenje ξjednacine (20) jedinstveno. Naime, ako postoje dva resenja s1 i s2 jednacine (20) i s1 6= s2,onda je
|s1 − s2| = |f(s1)− f(s2)| ≤ L(s1 − s2),
te deljenjem sa |s1 − s2| > 0 sledi 1 ≤ L, sto je kontrakcija. U praksi se formira niz (19) iako uslovi a) i b) nisu ispunjeni, jer su oni samo dovoljni (ali ne potrebni) da bi niz (19)konvergirao ka resenju jednacine (20). Ukoliko niz xn ipak konvergira, postupak iteracijedaje resenje jednacine (20). Postavlja se pitanje kolika se greska cini, ako je pri postupkuiteracije resenje jednacine (20) ξ zameni sa xn. Matematickom indukcijom sledi
|xn+1 − xn| ≤ Ln |x1 − x0| , (n = 0, 1, 2, . . . ).
Neka je sad n fiksirano i m > n. Tada je
xm − xn = (xm − xm−1) + (xm−1 − xm−2) + · · ·+ (xn+1 − xn),
te sledi
|xm − xn| ≤ |xm − xm−1|+ |xm−1 − xm−2|+ · · ·+ |xn+1 − xn|≤
(Lm−1 + · · ·+ Ln
)|x1 − x0|
≤ Ln(1 + L + L2 + · · ·
)|x1 − x0| = Ln |x1 − x0|
1− L,
24
jer je 0 ≤ L < 1. Ako m → ∞, onda xm → ξ, gde je ξ koren jednacine (20). Otuda sledida je
|xn − ξ| ≤ Ln
1− L|x1 − x0| ,
ukoliko se pretpostavi da vaze uslovi a) i b). Poslednja nejednakost onda ustvari predstavljaprocenu greske prilikom iteracije. Iz nje se jasno vidi da je greska manja ukoliko je n vece, odnosno L manje.
Primer 3. Resiti jednacinu x = e−x. Najzgodnije je prvo nacrtati grafike funkcijay = x i y = e−x. Vidi se da postoji samo jedna tacka preseka, cija je apscisa probliznox0 = 0, 5. Dalje se proverava da je za a = 0, 5 i b = ln 2 ispunjeno i a) i b) iz uslova zaprimenljivost iteracije, jer je |f ′(x)| = e−x ≤ e−1/2 = 0, 6065 . . . . Iteracija daje
x0 = 0, 5
x1 = e−x0 = 0, 6065306559 . . .
x2 = e−x1 = 0, 545239211 . . .
x3 = e−x2 = 0, 579703094 . . .
x4 = e−x3 = 0, 560064627 . . .
x5 = e−x4 = 0, 571172149 . . .
x6 = e−x5 = 0, 564862947 . . .
x7 = e−x6 = 0, 568438047 . . .
x8 = e−x7 = 0, 566409452 . . .
x9 = e−x8 = 0, 567559634 . . .
x10 = e−x9 = 0, 566907212 . . .
x11 = e−x10 = 0, 567277196 . . .
x12 = e−x11 = 0, 567067351 . . .
x13 = e−x12 = 0, 56718636 . . .
x14 = e−x13 = 0, 567118864 . . .
x15 = e−x14 = 0, 567157143 . . .
x16 = e−x15 = 0, 567135433 . . . .
Sledi da je priblizno resenje jednacine, na cetiri tacna decimalna mesta, x = 0, 5671.
Prilikom iteracije treba voditi racuna da oblik (20) u kojem se resava jednacina nikakonije jedinstven. Ponekad je dobar izbor oblika (20) presudan, u smislu da od dobrog izborazavisi da li ce proces konvergirati ili ne. Recimo da treba resiti jednacinu x3 − x− 2 = 0,za koju se graficki lako ustanovljava da ima koren u intervalu [1, 2]. Me -dutim, ako se tajednacina napise u obliku
x = f(x) = x3 − 2,
25
onda je f ′(x) = 3x2 i uslov b) ocigledno nije ispunjen na intervalu [1, 2]. Stoga je podesnojednacinu napisati u obliku
x = f(x) = 3√
x + 2.
Sada je
f ′(x) =1
3(x + 2)−
23 i
∣∣∣∣1
3(x + 2)
∣∣∣∣− 2
3
<1
3,
te iteracioni niz (19) glasi u ovom slucaju
x0 = 1,x1 = 1, 44224 . . . ,x2 = 1, 50989 . . . ,x3 = 1, 51972 . . . ,x4 = 1, 52114 . . . ,x5 = 1, 52134 . . . ,x6 = 1, 52137 . . . .
Priblizno resenje jednacine (na tri tacne decimale) je x = 1, 521.
Postoji citav niz postupaka za iterativno resenje jednacine (18), poznat kao Njutnovametoda. U svom najjednostavnijem obliku ta metoda se sastoji u biranju x0 proizvoljno ikonstruisanju niza xn pomocu relacije
xn+1 = xn − F (xn)
F ′(xn), (n = 0, 1, 2, . . . ). (21)
Ukoliko niz xn, definisan preko (21), konvergira, onda sledi limn→∞ F (xn) = 0, tj. xn kon-vergira ka resenju jednacine F (x) = 0. Geometrijski ovaj metod predstavlja aproksimacijufunkciju F u tacki xn sa tangentom u toj tacki, cija je jednacina
y = F (xn) + (x− xn)F ′(xn),
a presek tangente sa x-osom je upravo xn1 . Stoga se ovaj metod naziva i metod tangente.Mada je gornja konstrukcija intuitivno veoma privlacna, nista nam ne govori pod kojimuslovima niz xn iz (21) konvergira, niti kako se metod moze poopstiti na sisteme jednacina.Moze se pokazati da niz (21) konvergira ka (jednom) resenju jednacine F (x) = 0 u intervalu[a, b] ako su ispunjeni sledeici uslovi:
a) F (x) poseduje neprekidan drugi izvod u [a, b];
b) F (x) 6= 0 u [a, b];
c) F′′(x) je ili pozitivno ili negativno za x ∈ [a, b];
26
d) F (a)F (b) < 0;
e) ako je c krajnja tacka [a, b] u kojoj je |F ′(x)| manje, tada je∣∣∣ F (c)F ′(c)
∣∣∣ ≤ b− a.
Jedna od modifikacija Njutnovnog metoda je tzv. metoda secice ili regula falsa. Tu seza resavanje jednacine F (x) = 0 umesto (21) koristi niz
xn+1 = xn − (xn − xn−1)F (xn)
F (xn)− F (xn−1). (22)
Geometrijska interpretacija je da se sada mesto funkcije F aproksimira odgovarajucomsecicom. Tada je brzina konvergencije ka trazenom resenju ista kao i kod prve varijanteNjutnove metode.
Kao primer moze se koristiti postupak za odre -divanje kvadratnog korena iz datog brojac > 0. Tu je F (x) = x2 − c, i cilj je da se resi F (x) = 0, tj. da se odredi
√c. Njutnova
metoda poprima oblik
xn+1 = xn − F (xn)
F ′(xn)=
1
2
(xn +
c
xn
).
Ovaj niz prilicno brzo konvergira ka√
c i vrlo je jednostavan za prakticna izracunavanja.Za c = 10, x0 = 3 dobija se
x0 = 3 c/x0 = 3, 3333333x1 = 3, 1667 c/x1 = 3, 1746x2 = 3, 1622 c/x2 = 3, 16225532x3 = 3, 16227766 c/x3 = 3, 16227766.
Otuda je x4 = x3 na sedam decimalnih mesta, pa se moze uzeti da je priblizno
√10 = 3, 1622776.
Slican postupak se moze napravitii za iteracioni niz koji konvergira ka kubnom korenubroja c (> 0). On glasi
xn+1 =1
3
(2xn +
c
x2n
),
pri cemu postupak konvergira za proizvoljno pozitivno x0, ali je konvergencija brza ukolikose uzme da je x0 blize c1/3, u sta se citalac sam moze lako na primerima uveriti.
Iterativni postupci za resavanje jednacina mogu se primeniti i na resavanje sistemajednacina. Uzmimo, jednostavnosti radi, sistem jednacina
x = f(x, y), y = g(x, y), (23)
gde su f i g funkcije od dve promenljive u nekoj podesnoj oblasti u xOy ravni. Iteracionipostupak se sastoji u tome da se uzme proizvoljna tacka (x0, y0) (u praksi je pozeljno da
27
je ona sto blize tacki koja je stvarno resenje sistema (23)), a zatim se konstruise niz tacaka(xn, yn) gde je
xn = f(xn−1, yn−1), yn = g(xn−1, yn−1), (n = 1, 2, . . . ). (24)
Za konvergenciju ovako konstruisanog niza tacaka (xn, yn) ka resenju sistema (23) pos-toje uslovi slicni onima koji su dati za slucaj iteracije na jednacini (20). U praksi niz (24)najcesce konvergira ako je ispunjen uslov
max(x,y)∈R
√√√√(
∂f
∂x
)2
+
(∂f
∂y
)2
+
(∂f
∂z
)2
< 1,
gde je R podesna oblast u kojoj se nalazi resenje sistema (23).Postoji i Njutnova metoda za dve promenljive. Ona se sastoji u nalazenju resenja
sistema
F (x, y) = 0, G(x, y) = 0, (25)
gde F i G imaju neprekidne druge parcijalne izvode u nekom pravougaoniku R u xOy ravni,koji sadrzi resenje sistema (25). Njutnov iterativni postupak se sastoji u konstruisanju nizatacaka
xn+1 = f(xn, yn), yn+1 = g(xn, yn), (n = 0, 1, 2, . . . ) (26)
gde je (x0, y0) proizvoljna tacka, a
f(x, y) = x + δ(x, y), g(x, y) = y + ε(x, y),
δ(x, y) =G∂F
∂y− F ∂G
∂y∂F∂x
∂G∂y− ∂F
∂y∂G∂x
, ε(x, y) =F ∂G
∂x−G∂F
∂x∂F∂x
∂G∂y− ∂F
∂y∂G∂x
.
U praksi se obicno konstruise niz (26), i ukoliko on konvergira (tj. u praksi ukolikose odre -deni broj decimala brojeva xn i yn stalno ponavlja), onda (xn, yn) tezi ka resenjusistema (25). Kao primer, recimo da imamo sistem
F (x, y) = x− 0, 7 sin x− 0, 2 cos y = 0
G(x, y) = y − 0, 7 cos x + 0, 2 sin y = 0.
Polazeci od (x0, y0) = (0, 0) i konstruisuci niz (26) nalazi se:
n xn yn
1 0, 66667 0, 583332 0, 53624 0, 508843 0, 52656 0, 507934 0, 52652 0, 507915 0, 52652 0, 50791.
28
Kako se decimalni zapisi (x4, y4) i (x5, y5) poklapaju, moze se smatrati da je pribliznoresenje pomenutog sistema x = 0, 52652, y = 0, 50791.
Iterativne metode se mogu koristiti i za resavanje sistema linearnih jednacina. Sistemod n jednacina sa n nepoznatih moze se svesti na oblik
x1 = β1 + α11x1 + α12x2 + · · ·+ α1nxn,
x2 = β2 + α21x1 + α22x2 + · · ·+ α2nxn,
......
.... . .
...
xn = βn + αn1x1 + αn2x2 + · · ·+ αnnxn,
(27)
gde su x1, . . . , xn nepoznate, a β1, . . . , βn, α11, . . . , αnn dati brojevi ili koeficijenti. U matematickomobliku ovaj sistem se moze zapisati kao
x = β + αx,
gde je
α =
α11 α12 . . . α1n
α21 α22 . . . α2n...
.... . .
...αn1 αn2 . . . αnn
, β =
β1
β2...
βn
, x =
x1
x2...
xn
.
Za prvu aproksimaciju (u matricnom obliku) se uzima x(0) = β, a dalje
x(k) = β + αx(k−1), (k = 1, 2, . . . ).
Ako postoji x = limk→∞ x(k), onda ce to biti (jedinstveno) resenje sistema (27). Ako suispunjeni uslovi
n∑
j=1
|αij| < 1, (i = 1, 2, . . . , n), (28)
ili
n∑
i=1
|αij| < 1, (j = 1, 2, . . . , n), (29)
onda ce niz x(k), konstruisan na gore opisan nacin, konvergirati ka resenju sistema (27) i tonezavisno od pocetne aproksimacije x(0) = β. Ako je determinanta sistema (27) razlicitaod nula, onda se pomocu linearnog kombinovanja pocetnog sistema (27) moze zamenitiekvivalentnim sistemom istog tipa tako da (28) ili (29) bude ispunjeno te se iteracija mozeuspesno primeniti.
29
Postoji i varijacija ove metode koja se naziva Zajdelova (Seidel) metoda. Ako je datsistem (27), onda se po toj metodi niz x(k) konstruise na sledeci nacin. Pocetna velicinax(0) se bira proizvoljno, ako je x(k) poznato onda se x(k+1) odre -duje preko relacije:
x(k+1)1 = β1 +
∑nj=1 α1jx
(k)j ,
x(k+1)2 = β2 +
∑nj=1 α2jx
(k)j +α21x
(k+1)1 ,
......
......
x(k+1)i = βi +
∑i−1j=1 αijx
(k+1)j +
∑nj=i αijx
(k)1 ,
......
......
x(k+1)n = βn +
∑n−1j=1 αnjx
(k+1)j +αnnx
(k)n .
Ukoliko konvergira ka resenju sistema (27), onda niz obicno konvergira brze nego mal-opre -dasni niz, dat preko formule x(k) = β + αx(k−1).
Primer 4. Resiti iteracijom sistem linearnih jednacina
4x + 3y + 3z = 19
5x + y − z = 4
x + 4y − 2z = 3.
Gornji sistem nije podesan za direktnu primenu iteracionog postupka. Ako se od prvejednacine oduzme treca, onda se dobija ekvivalentan sistem
5x + y − z = 4
x + 4y − 2z = 3
3x− y + 5z = 16.
Ovaj sistem se onda moze napisati u obliku
x = 0, 8− 0, 2y + 0, 2z
y = 0, 75− 0, 25x + 0, 5z
z = 3, 2− 0, 6x + 0, 8y.
Poslednji sistema je podesan za iteraciju, a moze se uzeti da je
(x0, y0, z0) = (0, 8, 0, 75, 3, 2).
Onda se nalazi da je (priblizno)
(x3, y3, z3) = (0, 9989, 1, 942, 3, 00061).
Ovo je vec sasvim blizu pravom resenju x = 1, y = 2, z = 3 koje sa lako dobija tacnimresavanjem gornjeg sistema, recimo Gausovim postupkom. Izborom (x0, y0, z0) koji je blizistvarnim resenjem dobija se iteracioni niz koji brz e konvergira.
30
1.4.2 Priblizno resavanje diferencijalnih jednacina
Opsta diferencijalna jednacina prvog reda glasi
y′ = f(x, y), y(x0) = y0, (30)
pri cemu je f(x, y) data neprekidna funkcija dve promenljive u nekoj zatvorenoj oblastix0 − a ≤ x ≤ x0 + a, y0 − b ≤ y ≤ y0 + b. Uslov y(x0) = y0 se naziva pocetni uslov iu praksi obicno proizilazi iz prirode problema, koji se opisuje jednacinom (30). U slucjukada je |f(x, y)| ≤ M u pomenutoj oblasti kao i
|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L|y1 − y2|
za neko L > 0 (tzv. Lipsicov uslov), tada jednacina (30) ima jedinstveno resevnje y = ϕ(x),definisano i neprekidno za x0 − h ≤ x ≤ x0 + h, h = min(a, b
M). Ovo je sadrzina poznate
Kosi-Pikarove teoreme (Cauchy-Picard), koja resenje daje u konstruktivnom obliku
yn = y0 +
x∫
x0
f(t, yn−1) dt, (n = 1, 2, . . . , ). (31)
Niz yn = yn(x) je niz funkcija koji uniformno konvergira ka resenju diferencijalne jednacine(30), te se moze iskoristiti za efektivno nalazenje tacnog ili pribliznog resenje, ako se vrsiaproksimacija y ≈ yn, za neko podesno n. Ovde se, me -dutim, javljaju dva problema.
Niz (31) se izracunava pomocu uzastopnih integracija, koje mogu biti veoma kompliko-vane, a osim toga konvergencija ka resenju jednacine (30) moze biti veoma spora. Stoga suse osim ove metode razvile jos mnoge druge za priblizno resavanje diferencijalne jednacine(30), kao i drugih slozenijih jednacina. Ovde ce biti samo pregled nekoliko postupaka zapriblizno resavanje diferencijalne jednacine (30).
Jedan od nacina pribliznog resavanja jednacine (30) je da se resenje trazi u oblikustepenog reda
y = y0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx
n + · · · (32)
i da se formalno odrede koeficijenti an iz uslova jednacine. Potom se ispituje konvergen-cija dobivenog reda i za priblizno resenje uzima njihovih prvih n cvorova. Recimo da seposmatra jednacina (30) sa f(x, y) = xy − 1, koja ima tacno resenje
y = y0ex2
2 + ex2
2
x∫
0
e−t2
2 dt, (33)
koje nije prakticno, jer integral (33) nije elementarna funkcija. Diferenciranjem reda (32)
31
iz uslova jednacine dobija se da je
a0 = y0 a4 =y0
2· 4 ,
a1 = 1 a4 =1
1· 3· 5 ,
a2 =y0
1· 2 a6 =y0
2· 4· 6 ,
a3 =1
1· 3 a7 =1
1· 3· 5· 7 , . . . ,
te je
y = y0
(1 +
x2
2+
x4
2· 4 +x6
2· 4· 6 + · · ·)
+
+
(x +
x3
1· 3 +x5
1· 3· 5 +x7
1· 3· 5· 7 + · · ·)
.
Ovaj red predtavlja tacno resenje jednacine. On konvergira za svako x, a suma njegovihprvih n clanova predstavlja jedno priblizno resenje diferencijalne jednacine y′ = xy + 1.
Druga priblizna metoda, koja nosi naziv Ojler-Kosijeva metoda (Euler-Cauchy), dajepriblizno resenje jednacine (30) u intervalu [x0, a], koji je podeljen na n jednakih delovaduzine h, tako da je x0 + nh = a, i xn = x0 + (n− 1)h. Ako je yn vrednost tacnog resenjajednacine (30) u tacki xn, onda se Ojler-Kosijevom metodom dobija priblizno
yn+1 = yn + hf
(xn +
h
2, yn +
h
2f(xn, yn)
).
Pri istoj podeli intervala [x0, a] kao i malopre, priblizna resenja jednacine (30) mogu sedobiti i metodom Runge-Kuta. Tada je priblizno
yn+1 = yn +1
6[k1 + 2(k2 + k3) + k4] ,
gde je
k1 = hf(xn, yn),
k2 = hf
(xn +
h
2, yn +
k1
2
),
k3 = hf
(xn +
h
2, yn +
k2
2
),
k4 = hf(xn + h, yn + k3).
Ova metoda, u opstem slucaju, daje vecu tacnost resenja od Ojler-Kosijeve metode.
32
U praksi se cesto koristi tzv. Adamsova metoda za priblizno resavanje jednacine (30).Ta metoda daje yn+1 preko formule
yn+1 = yn +h
24[55f(xn, yn)− 59f(xn−1, yn−1)+
+37f(xn−2, yn−2)− 9f(xn−3, yn−3)] .
Na osnovu ove formule vidi se da je za izracunavanje yn+2 potrebno znati cetiri prethodnevrednosti y. U praksi se to svodi na to da je potrebno znati y1, y2, y3, jer je y0 = y(x0)po pretpostavci poznato. Za odre -divanje y1, y2, y3 moze se koristiti Ojler-Kosijeva iliRunge-Kuta metoda.
2 Parcijalne diferencijalne jednacine
Parcijalne diferencijalne jednacine drugog reda sa dve promenljive su jednacine gde sejavljaju parcijalni izvodi drugog reda od nepoznate funkcije u = u(x, y). Opsti slucajtakve jednacine drugog reda glasi
F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0, (34)
gde su
ux =∂u
∂x, uy =
∂u
∂y, uxx =
∂2u
∂x2
uxy =∂2u
∂x∂yuyy =
∂2u
∂y2,
(35)
parcijalni izvodi prvog, odnosno drugog reda od u = u(x, y). Svaka funkcija u = u(x, y)koja zadovoljava (34) zove se resenje parcijalne diferencijalne jednacine. Vazan slucajjednacine (34) je tzv. linearna parcijalna jednacina drugog reda, koja glasi
A∂2u
∂x2+ 2B
∂2u
∂x∂y+ C
∂2u
∂y2+ a
∂u
∂x+ b
∂u
∂y+ cu = F (x, y), (36)
gde su A = A(x, y), B = B(x, y), C = C(x, y), a = a(x, y), b = b(x, y), c = c(x, y) iF = F (x, y) poznate funkcije. Kaze se da je jednacina (36) u nekoj oblasti G u xOy ravni
a) elipticna, ako je D = AC −B2 > 0 za (x, y) ∈ G,b) parabolicna, ako je D = AC −B2 = 0 za (x, y) ∈ G,c) hiperbolicna, ako je D = AC −B2 < 0 za (x, y) ∈ G,d) mesovitog tipa, ako je D = AC −B2 promenljivog znaka za (x, y) ∈ G.
Graficki resenje jednacine (34) ili (36) predstavlja povrs (v. sliku 8.1) u prostoru, kojaje definisana u nekoj dvodimenzionalnoj oblasti G u zOy ravni.
Obicno se u problemima osim same parcijalne diferencijalne jednacine kao poznati javl-jaju jos neki uslovi vezani za u = u(x, y) u oblasti G. To su najcesce:
33
a) pocetni uslovi Kosijevog tipa, ako se zna da je
u(x, y0) = f1(x),∂u
∂y(x, y0) = f2(x)
za date funkcije f1(x), f2(x) i
b) granicni uslovi
u(x0, y) = F1(y), u(x1, y) = F2(y)
gde su F1(y), F2(y) zadate funkcije, a x0 i x1 granicne tacke promenljive x u odnosuna G.
2.1 Pojedini primeri parcijalnih diferencijalnih jednacina
Jednacina (36) za A = C = 1, B = a = b = c = F = 0 glasi
∂2u
∂x2+
∂2u
∂y2= 0 (37)
i zove se Lapalasova diferencijalna jednacina, koja je elipticna, jer je D = AC − B2 = 1.Od uslova datih za funkciju u = u(x, y) u oblasti G razlikuju se:
a) Dirihleov granicni problem, ako se osim (37) zahteva i
u(0, y) = g1(y), u(L, y) = g2(y),
u(x, 0) = f1(y), u(x, L) = f2(x),
gde su f1, f2, g1 i g2 date funkcije jedne promenljive. Drugim recima, poznate suvrednosti funkcije i na stranicama peravougaonika u xOy ravni sa temenima (0, 0),(0, L), (L, 0) i (L,L).
b) Nojmanov granicni problem, ako se osim (37) zahteva i
∂u(0, y)
∂x= α1(y),
∂u(L, y)
∂x= α2(y),
∂u(x, 0)
∂y= β1(x),
∂u(x, L)
∂y= β2(x),
gde su α1, α2, β1 i β2 date funkcije jedne promenljive. Drugim recima, poznate suvrednosti prvih parcijalnih izvoda funkcije i na stranicama peravougaonika u xOyravni sa temenima (0, 0), (0, L), (L, 0) i (L,L).
c) Problem mesovitog tipa, ako se osim (37) zahteva i
a1∂u
∂x+ a2u = a3, b1
∂u
∂y+ b2u = b3
za date brojeve a1, a2, . . . , b3 na rubu oblasti G (u posebnom slucaju na stranicamapravougaonika kao u Dirihleovom ili Nojmanovom problemu).
34
Jednacina
∂u
∂y= a2∂2u
∂x2(a− poznat broj) (38)
je parabolicna jednacina tipa (36) i naziva se jednacina provo -denja toplote.Jednacina
∂2u
∂y2= a2∂2u
∂x2(a− poznat broj) (39)
je hiperbolicna jednacina tipa (36) i naziva se jednacina treperenja zice.Egzaktno (tacno) resenje parcijalne diferencijalne jednacine je u odre -denim slucajevima
moguce, no u praksi se vrlo cesto uspesno koriste razne priblizne metode. Ovde ce bitiizlozena jedna od tih cestih metoda, koja se zove metoda konacnih razlika.
2.2 Konacne razlike
U praksi se koristi nekoliko tipova konacnih razlika (za razliku od izvoda, gde se javljajubeskonacno male razlike, tj. granicni procesi, ove razlike ne teze nuli i otuda i naziv konacnerazlike). To su ∆ (delta), ∇ (nabla) i p, koje se definisu kao:
∆f(x) = f(x + h)− f(x), (operator za razliku unapred) (40)
∆f(x) = f(x)− f(x− h), (operator za razliku unazad) (41)
pf(x) = f
(x +
h
2
)− f
(x− h
2
), (operator centralne razlike). (42)
Tako -de je korisno simbolicki uvesti operator D, kao operator izvoda
Df(x) = f ′(x) =df(x)
dx. (43)
Cest slucaj u praksi je kada je x dato preko niza brojeva xn = x0 + nh (h > 0, n =0, 1, 2, . . . ). Ako se oznaci
fn = f(xn) = f(x0 + nh), (44)
onda vazi
∆fn = fn+1 − fn, ∇fn = fn − fn−1. (45)
Operatori razlike i izvoda se mogu uzastopce vise puta primenjivati, te se tako drugerazlike definisu kao
∆2f(x) = ∆(∆f(x)) = ∆(f(x + h)− f(x)) = f(x + 2h)− 2f(x + h) + f(x),
∇2f(x) = ∇(∇f(x)) = ∇(f(x)− f(x− h)) = f(x)− 2f(x− h) + f(x− 2h),
p2f(x) = p(pf(x)) = p
(f
(x +
h
2
)− f
(x− h
2
))= f(x + h)− 2f(x) + f(x− h).
35
U opstem slucaju, za k ≥ 2 prirodan broj, definisu se k-te razlike kao
∆kf(x) = ∆(∆k−1f(x)),
∇kf(x) = ∇(∇k−1f(x)),
pkf(x) = p(pk−1f(x)
),
(46)
sto je slicno kao kod izvoda viseg reda, gde je
Dkf(x) = D(Dk−1f(x)
)=
dkf(x)
dxk= f (k)(x).
Valja napomenuti da je kod operatora ∆, ∇ i p uvek potrebno znati parametar h (tzv.korak razlike), tj. operatori razlike ustvari zavise od h. Iz (8.13) indukcijom sledi:
∆kf(x) =k∑
m=0
(−1)m
(k
m
)f(x + (k −m)h) =
= f(x + kh)−(k
1
)f(x + (k − 1)h) +
+
(k
2
)f(x + (k − 2)h) + · · ·+ (−1)kf(x),
(47)
∇kf(x) =k∑
m=0
(−1)m
(k
m
)f(x−mh) =
= f(x)−(k
1
)f(x− h) +
+
(k
2
)f(x− 2h) + · · ·+ (−1)kf(x− kh),
(48)
gde je
(k
m
)=
k(k − 1)(k − 2) · · · (k −m + 1)
1· 2· 3 · · ·mbinomni koeficijent.
Ako se f(x) moze razloziti u Tejlorov red u tacki x, onda je
f(x + h) = f(x) +h
1!f′(x) +
h2
2!f′′(x) +
h3
3!f′′′(x) + · · · ,
f(x− h) = f(x)− h
1!f′(x) +
h2
2!f′′(x)− h3
3!f′′′(x) + · · · ,
36
odakle je
∆f(x) = f(x + h)− f(x) =h
1!Df(x) +
h2
2!D2f(x) +
h3
3!D3f(x) + · · · ,
∇f(x) = f(x)− f(x− h) =h
1!Df(x)− h2
2!D2f(x) +
h3
3!D3f(x)− · · · ,
sto se moze simbolicki napisati kao
∆ = ehD − 1, ∇ = 1− e−hD, (49)
gde eksponencijalna funkcija oznacava njen Tejlorov red.Logaritmovanjem (49) sledi
hD = ln(1 + ∆), hD = ln1
1−∇ . (50)
Koriscenjem redova
ln(1 + x) = x− x2
2+
x3
3− x4
4+ · · · ,
ln1
1− x= x +
x2
2+
x3
3+
x4
4+ · · · ,
koji vaze za −1 < x < +1, dobijaju se sledeci simbolicki (formalni) izrazi za operatorizvoda D i D2:
D =1
h
(∆− ∆2
2+
∆3
3− ∆4
4+ · · ·
), (51)
D2 =1
h2
(∆2 −∆3 +
11
12∆4 − 5
6∆5 +
137
180∆6 + · · ·
), (52)
D =1
h
(∇+
∇2
2+∇3
3+∇4
4+ · · ·
), (53)
D2 =1
h2
(∇2 +∇3 +
11
12∇4 +
5
6∇5 +
137
180∇6 + · · ·
). (54)
Slicno ovoj diskusiji nalazi se i
D =1
h
(p− 1
12p3 +
3
640p5 + · · ·
), (55)
D2 =1
h2
(p2 − 1
12p4 +
1
90p6 + · · ·
). (56)
37
Smisao ovih formula je u tome sto se uzimajuci nekoliko prvih calanova dobijaju dobrepriblizne vrednosti za operator D preko operatora razlike ∆, ∇ i p. Ako je fn = f(xn) =f(x0 + nh), onda se npr. dobija
dfn
dx=
fn+1 − fn
h+ O(h), (57)
d2fn
dx2=
fn+1 − 2fn + fn−1
h2+ O(h2), (58)
gde O(h) oznacava velicinu koja po apsolutnoj vrednosti nije veca od Ch za neku konstantuC > 0. Zanemarujuci clanove O(h) i O(h2) u (57) i (58), dobijaju se priblizni izrazi
dfn
dx≈ fn+1 − fn
h
d2fn
dx2≈ fn+1 − 2fn + fn−1
h2, (59)
dok se slicno preko formula za centralnu razliku dobija
dfn
dx≈ fn+1 − fn−1
2h
dfn
dx≈ −fn+2 + 8fn+1 − 8fn−1 + fn−2
12h(60)
d2fn
dx2≈ −fn+2 + 16fn+1 − 30fn + 16fn−1 − fn−2
12h. (61)
2.3 Priblizno resavanje parcijalnih diferencijalnih jednacina
Priblizne formule (59)–(61) omogucavaju dobijanje slicnih pribliznih formula za parcijalneizvode. Najcesce se posmatra sistem tacaka (xi, yj) u xOy ravni, gde je xi = x0 + ih,yj = y0 + jk (u praksi se najcesce uzima h = k), a i i j su prirodni brojevi. Tada seza priblizne vrednosti parcijalnih izvoda funkcije u = u(x, y) u tackama (xi, yj) najcescekoriste sledeci izrazi: ako je ui,j = u(xi, yj), onda je
∂ui,j
∂x≈ ui+1,j − ui,j
h,
∂ui,j
∂x≈ ui+1,j − ui−1,j
2h, (62)
∂ui,j
∂x≈ −ui+2,j + 8ui+1,j − 8ui−1,j + ui−2,j
12h, (63)
∂ui,j
∂y≈ ui,j+1 − ui,j
k,
∂ui,j
∂y≈ ui,j+1 − ui,j−1
2k, (64)
∂ui,j
∂y≈ −ui,j+2 + 8ui,j+1 − 8ui,j−1 + ui,j−2
12k, (65)
∂2ui,j
∂x2≈ ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j
h2, (66)
∂2ui,j
∂y2≈ ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1
k2,
∂2ui,j
∂x∂y≈ ui+1,j+1 − ui−1,j+1 − ui+1,j−1 + ui−1,j−1
4hk. (67)
38
U slucaju h = k Laplasova diferencijalna jednacina recimo postaje
0 =∂2u
∂x2+
∂2u
∂y2=
1
h2(ui−1,j + ui+1,j + ui,j−1 + ui,j+1 − 4ui,j) + O(h2),
a uz zanemarivanje ostatka O(h2) dobija se da se Laplasova jednacina moze zamenitipribliznom jednacinom
ui,j =1
4(ui−1,j + ui+1,j + ui,j−1 + ui,j+1) , (68)
a resenje jednacine (68) su onda priblizna resenja Lapalasove jednacine. Slican pos-tupak se primenjuje i na druge parcijalne diferencijalne jednacine: parcijalni izvodi sezamenjuju konacnim razlikama uz pomoc formula (62)–(67), te se resenja tako nastalejednacine u konacnim razlikama uzimaju kao priblizna resenja polazne parcijalne diferen-cijalne jednacine. U praksi se ovakav postupak najcesce izvodi na sledeci nacin:
1. Oblast G u xOy ravni u kojoj se trazi resenje se pokriva odgovarajucom mrezomtacaka (xi, yj), xi = x0 + ih, yj = y0 + jh, koja je kvadratne, a sa ui,j je oznacenavrednost funkcije u(x, y) za x = xi, y = yi i naneta u cvoru koji odgovara bas tacki(xi, yj).
2. Zadana parcijalna diferencijalna jednacina zamenjuje se u cvorovima mreze tj., utackama (xi, yj) odgovarajucim jednacinama u konacnim razlikama preko formula(62)–(67).
3. Na osnovu granicnih uslova utvr -duju se vrednosti resenja u granicnim cvorovima izatim se resava dobijeni sistem pribliznih jednacina, sto se svodi na algebarski sistemsa velikim brojem nepoznatih.
4. Resenja sistema parcijalnih jednacina se uzimaju za priblizna resenja parcijalnihdiferencijalnih jednacina, pri cemu valja napomenuti da su razra -deni i postupci zaprocenu greske kod ovakvog postupka, kao i njemu slicnih.
Primer:Naci resenje Laplasove diferencijalne jednacine za kvadrat, sa sledecim granicnim uslovima
(nepoznate vrednosti su obelezene znakom pitanja):
u0,0 = 0, u1,0 = 26, 15, u2,0 = 29, 34, u3,0 = 4, 31,
u0,1 = 0, u1,1 =?, u2,1 =?, u3,1 = 12, 38,
u0,2 = 0, u1,2 =?, u2,2 =?, u3,2 = 30, 10,
u0,3 = 0, u1,3 = 16, 18, u2,3 = 38, 53, u3,3 = 50, 00.
39
Priblizna formula (68) ustvari pokazuje da se ui,j dobija kao aritmeticka sredina vred-nosti u tackama neposredno oko (xi, yj). Tako se za cetiri nepoznate vrednosti u1,1, u2,1, u1,2, u2,2
dobijaju cetiri linearne jednacine:
u1,1 =1
4(u1,2 + u2,1 + 0, 00 + 26, 15) ,
u1,2 =1
4(u1,1 + u2,2 + 0, 00 + 16, 18) ,
u2,1 =1
4(u1,1 + u2,2 + 29, 34 + 12, 38) ,
u2,2 =1
4(u1,2 + u2,1 + 38, 53 + 30, 10) .
Resavanjem ovoga sistema bilo kojim postupkom za resavanje linearnih jednacina izaokruzivanjem dobijenih vrednosti na dva decimalna mesta, dobija se
u1,1 = 15, 20; u1,2 = 14, 12; u2,1 = 20, 53; u2,2 = 29, 09,
sto predstavlja priblizne vrednosti resenja u odgovarajucim tackama.
40
