Numeriˇcke metode u hidrotehnici - Грађевински ...mjovanovic/nm/SlabaResenja-II.pdf · Sheme zasnovane na razdvajanju ﬂuksa Sheme klase Godunova Literatura Numeriˇcke

Sheme zasnovane na razdvajanju fluksa Sheme klase Godunova Literatura

Numericke metode u hidrotehnici

Miodrag B. Jovanovic

Numericko modeliranje

talasa sa strmim celom

ili

Slaba resenja hiperbolickih jednacna

naglo promenljivih neustaljenih otvorenih tokova

Doktorske studije

Mart 2008. Doktorske studije 1


Deo Drugi



Sadrzaj

1 Sheme zasnovane na razdvajanju fluksa

Sopstvene vrednosti i sopstveni vektoriPrimene sopstvenih vrednostiAlgoritamski postupak

2 Sheme klase Godunova

3 Literatura



Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori

Definicije (1)

A · x = λ · x (1)

A – kvadratna matrica reda n

x – sopstveni vektor matrice A (,,eigenvector”)λ – sopstvena vrednost matrice A (,,eigenvalue”).

Jed. (1) je linearna transformacija – preslikavanje vektora x ukolinearni vektor λ · x; pravac ostaje invarijantan, sto znaci da

nema rotacije! (,,skaliranje” vektora u datom prostoru).




Definicije (2)

Iz (1) sledi: A · x − λ · x = 0, odnosno:

(A − λ · I) · x = 0, (2)

gde je I – jedinicna matrica. Matricna j-na (2) je ekvivalentnasistemu linearnih homogenih algebarskih jednacina; sistem imanetrivijalna resenja samo ako je njegova determinanta jednaka nuli:

|A − λ · I| = f(λ) = 0 (3)

Ovo je karakteristicna jednacina matrice A;f(λ) je njen karakteristicni polinom.

Koreni karakteristicnog polinoma su sopstvene vrednosti matrice A.

Skup svih sopstvenih vrednosti zove se ,,spektar” matirice.




Definicije (3)

Vektori-kolone x(i) = [x1i, x2i, . . . , xni]T moraju zadovoljiti uslov:

(A − λi · I) · x(i) = 0 (i = 1, 2, . . . , n) (4)

Ovo je sistem homogenih linearnih jednacina koje se dobijajuunosenjem vrednosti λi matricnog spektra.

Ako je svih n korena λ razlicito, odgovara im n jednacina i n linearno

nezavisnih vektora x – svakom korenu po jedan. Vektori x(i) u (4)zovu se ,,desni sopstveni vektori”. Resenje (4) bice i svaki vektorc · x(i), gde je c – proizvoljan broj.

Jednacine:x

T

(i) · (A − λi · I) = 0 (i = 1, 2, . . . , n) (5)

daju ,,leve sopstvene vektore”.




Dijagonalizacija matrice

Formira se matrica X cije su kolone sopstveni vektori matrice A:X = [x1, x2, . . . , xn].

Ako je X regularna matrica (det X 6= 0), moze se pokazati da je:

X−1 · A · X = DA, (6)

gde je DA – dijagonalna matrica kod koje su samo elementi duz

glavne dijagonale razliciti od nule i jednaki sopstvenim vrednostima λ

matrice A.



Primene sopstvenih vrednosti

Resavanje sistema jednacina (1)

U iterativnim metodama resavanja sistema algebarskih jednacina(metode najbrzeg spusta, konjugovanih gradijenata i dr.) sistematskise ponavlja mnozenje matrice A vektorom. Ako se pretpostavi da jeto sopstevni vektor matrice x, moguca su dva ishoda:

(i) Kada je |λ| < 1, proizvod (A · x)(A · x) . . . = Ai · x = λi · x daje

sve manje i manje vektore i tezi nultom vektoru kada i → ∞.Ako je kriterijum konvergencije uslovljen opadanjem intenzitetarezultujuceg vektora, resenje konvergira.





(ii) Kada je |λ| > 1, vektor Ai · x = λi · x se iz iteracije u iteraciju

uvecava. Resenje divergira.





Proizvod A · u?Vektor u se razlaze na pravce sopstvenih vektora matrice A: x1 i x2.Ponovljeno mnozenje:

Ai · u = A

i · (x1 + x2) = Ai · x1 + A

i · x2 = λi

1 · x1 + λi

2 · x2

(i) Ako su |λ1| < 1 i |λ2| < 1, proizvod Ai · u tezi nultom vektoru.

Resenje konvergira.(ii) Ako je samo jedna sopstvena vrednost, recimo |λ2| > 1, mnozenjedaje sve veci vektor. Resenje divergira.




Metoda karakteristika (1D)

1D tecenje (idealno): U t + A · Ux = 0

U =

hu

ff

; A =

»u hg u

–

,,Karakteristicni pravci” prostiranja malih talasnih poremecaja su odredjeni

sopstvenim vrednostima matrice fluksa A.

Duz ,,karakteristika” prostire sediskontinuitet izvoda.

Primer: neodredjenost izvoda dubine –nagiba nivoa. (Kada je poremecaj mali,karakteristika se ne uocava.)

Sistem 1D je hiperbolican, ako matrica A

ima paran broj razlicitih realnih

sopstvenih vrednosti.




Pravci prenosa poremecaja 2D (1)

2D tecenje (idealno): U t + E(U)x + F (U )y = 0

E(U )x =∂E

∂x=

∂E

∂U

∂U

∂x= A(U )

∂U

∂x

F (U)y =∂F

∂y=

∂F

∂U

∂U

∂y= B(U )

∂U

∂y

gde su A i B – Jakobijan matrice odgovarajucih flukseva.

A(U ) =∂E

∂U=

2

4

0 1 0c2 − u2 2u 0−uv v u

3

5

B(U ) =∂F

∂U=

2

4

0 0 1−uv v u

c2 − v2 0 2v

3

5

c =√

gh – brzina prostiranja talasnog poremecaja u plitkoj vodi.




Pravci prenosa poremecaja 2D (2)

Sopstvene vrednosti Jakobijan matrice traze se preko karakteristicnogpolinoma:

|A − λ I| = 0 ⇒ (u − λ)[−λ(2u − λ) − (c2 − u2)] = 0. Resenje:

λ1 = u − cλ2 = uλ3 = u + c

|B − λI | = 0 daje sopstvene vrednosti:

λ1 = v − cλ2 = vλ3 = v + c

Definisanje pravaca prenosa poremecaja (informacija) je nuzno za

formiranje numerickih shema koja daju slaba resenja.



Algoritamski postupak

Cilj

Hiperbolicki karakter jednacina namece potrebu definisanja pravaca

duz kojih se prostiru poremecaji. Ovi pravci (λ1, λ2 i λ3) su definisanisopstevnim vrednostima matrica fluksa.

Osnovna ideja: Konacne razlike se formiraju vodeci racuna o smeru

prenosenja informacija; u silovitom rezimu signal dolazi sa uzvodnog

kraja, a u mirnom rezimi, sa oba kraja.

Razdvajanje matrice fluksa omogucava da se istovremeno obuhvateoba rezima tecenja, kao i strmo celo koje ih razdvaja.

Jedini uslov je da operatori konacnih razlika budu jednosmerni i da se

tokom proracuna mogu automatski smenjivati.




Transformacija matrice fluksa

Primer: 1D tecenje (bez trenja): U t + A · Ux = 0

U =

hu

ff

; A =

»u hg u

–

Korak 1: odredjivanje matrica M i M−1 koje zadovoljavaju uslov:

M−1 · A · M = DA

M−1 – matrica ciji su redovi formirani od levih sopstvenih vektora matr. A

M – matrica cije su kolone formirane od desnih sopstvenih vektora matr. A

DA – dijagonalna matrica sopstvenih vrednosti matrice A:

»λ1 00 λ2

–

.

∴ Osnovna jednacina: U t + M · DA · M−1

| {z }

A

·Ux = 0




Rastavljanje po pravcima

Korak 2: Rastavljanje dijagonalne matrice: DA = D(+)A + D

(−)A

D(+)A – sadrzi samo pozitivne sopstvene vrednosti

D(−)A – sadrzi samo negativne sopstvene vrednosti.

Kriterijum za razdvajanje pozitivnih i negativnih vrednosti:

λi =

max(λi, 0)min(λi, 0)

(i = 1, 2)

Konacno:

A = A(+) + A

(−) = M · D(+)A · M−1 + M · D(−)

A · M−1

odnosno:

U t+A(+) ·Ux+A

(−) ·Ux = M ·D(+)A ·M−1 ·Ux+M ·D(−)

A ·M−1 ·Ux = 0 (7)




Formiranje konacnih razlika

U (3) pojedini clanovi se automatski iskljucuju u zavisnosti od znakasopstvenih vrednosti λ1 i λ2; na primer, clan A

(+) se javlja ako susopstvene vrednosti A pozitivne, dok se ,,doprinos” A

(−) iskljucuje.

Korak 3: Konacne razlike koje zamenjuju prostorni izvod, formiraju seprema tome kojom komponentom matrice fluksa, A

(+) ili A(−), se mnoze.

Primer: izvod Ux uz matricu A(+) se zamenjuje razlikom unazad:

A(+) · Ux ≈ A

(+) ·„

U i − U i−1

∆xi

«

a uz matricu A(−), razlikom unazad:

A(−) · Ux ≈ A

(−) ·„

U i+1 − U i

∆xi

«




Zakljucak

SCM sheme zasnovane na razdvajanju fluksa(,,SCM = Split Coefficient Matrix”)

Razdvajanjem fluksa se u mirnom rezimu koriste oba smera

informacija, a u burnom rezimu, samo iz jednog smera(uzvodnog). Mogu se ravnopravno koristiti eksplitini i

implicitne diferencni operatori prostorne diskretizacije(videti sheme Gabuttija i Beam i Warminga [1]).



Linearna aproksimacija (1)

Osnovna svojstva shema klase Godunova:

aproksimacija funkcija po poljima (,,peace-wise”)

uzvodne razlike prvog reda

Primer: ut + F (u)x = 0; konstantna aproksimacija po KZ daje:

dui

dt+

1

∆xi[F (ui+1 − F (ui)] = 0 (8)

F (u) = u, integracija po vremenu RK4: ,,Rasplinuto resenje”!!!




Bolja aproksimacija je linearni raspored po svakom polju:u(x) = ui + (x − xi)(ui+1 − ui)/(xi+1 − xi) x ∈ [xi, xi+1].

dui

dt+

1

∆xi

ˆF (ui+1/2 − F (ui−1/2)

˜= 0 (9)

Ukljucena 3 cvora – ekvivalent centralnih razlika, shema je drugog reda

tacnosti u prostoru. Numericke oscilacije (disperzija)! Nije TVD shema!




Numericka shema MUSCL (,,Monotone Upstream-centered Scheme for

Conservation Laws), Bram van Leer, 1979 [3].

Linearna aproksimacija po polju,ali sa ogranicenjem nagiba leve i desneekstrapolovane varijable stanja (u).

Brojne varijante u zavisnosti od oblikafunkcije f (na primer, Kurganov iTadmar, 2000 [3]).

dui

dt+

1

∆xi

ˆF (u∗

i+1/2 − F (u∗

i−1/2)˜

= 0

(10)



Nelinearna aproksimacija

Kvadratna aproksimacija kroz 3 cvora (parabola):



Teme za dopunsko ucenje

Priblizno resavanje Riemannovog problema pomocu shema iz

klase Godunova (,,approximate Reimann solvers”) [2, 3]:

Roe (1981)

Osher-Solomon (1982)

HLL (Harten, Lax, van Leer, 1983)

HLLC (Toro, 1994)

Problemi ,,kvasenja” i ,,isusivanja” polja (KZ)!!



Literatura

Jovanovic, M.Osnove numerickog modeliranja ravanskih otvorenih tokova,Gradjevinski fakultet, Beograd, 1998.

LeVeque, R. J.Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems,Cambridge University Press, 2002.http://www.amath.washington.edu/ claw/

Toro, F., E.Shock-Capturing Methods for Free-Surface Flows,John Wiley & Sons, Chichester, N.Y., 2001.http://www.numeritek.com


Documents

Numeriˇcke metode u hidrotehnici - Грађевински ...mjovanovic/nm/SlabaResenja-II.pdf · Sheme zasnovane na razdvajanju ﬂuksa Sheme klase Godunova Literatura Numeriˇcke