numerikus módszerek 5

1

Numerikus mdszerek 5. Kznsges differencilegyenletek numerikus megoldsa

Kezdeti s peremrtk feladatok

Az Euler-mdszer

Az Euler-mdszer javtsai

Runge-Kutta-mdszerek

Lineris tbblpses mdszerek

Peremrtk feladatok msodrend differencilegyenletekre

2

Kezdeti rtk feladatok

)()),(,()( 00 Axxxxyxfxy

00 )( yxy (kezdeti felttel)

(ahol f adott, ktvltozs fggvny, mely kielgti a Lipschitz-felttelt).

Plda (oldat hgtsa). Legyen egy V trfogat tartly valamilyen vzben oldott anyaggal (pl. sval). Kezdjnk el folyamatosan, egyenletesen tiszta vizet tlteni a tartlyba fell, s hagyjuk a ss vizet alul ugyanilyen temben tvozni. A tartlyban nyilvn egyre hgabb lesz a soldat. A hguls folyamatt akkor az albbi differencilegyenlet rja le:

)()( tcV

Qtc

ahol )(tc a t idpillanatban rvnyes skoncentrci a tartlyban, s Q a hozzfolys hozama,

(idegysg alatt a tartlyba beraml vz mennyisge (trfogata)). Kezdeti felttel:

0)0( cc

ahol 0c a kezdeti (a 0t idpillanatban rvnyes) skoncentrci.

3

Peremrtk feladatok

)()),(),(,()( 10 xxxxyxyxfxy

1100 )(,)( yxyyxy (peremfelttelek)

(ahol f adott, hromvltozs fggvny, mely kielgti a Lipschitz-felttelt). Peremfelttelknt a derivltrtkek is elrhatk a perempontokban, vagy az rtk s a derivlt adott lineris kombincija is.

Plda (elektromos ram vezetben). Tekintsnk egy vkony, hossz, de nem felttlen mindentt ugyanolyan vastagsg s/vagy anyageloszls elektromos vezetkdarabot. Kapcsoljunk ramforrst a vezetk kt vgpontjra. Az elektromos feszltsg eloszlst a vezetk hossza mentn ekkor az albbi differencilegyenlet rja le:

0)(( U

ahol )(xU az elektromos potencil a vezetk x pontjban, )(x a relatv vezetkpessg ugyanitt.

A peremfelttelek pl:

1100 )(,)( UxUUxU

ahol 10 ,UU a potencil a vezetk kt vgpontjban.

4

Kezdeti rtk feladatok megoldsi elvei

Hasznos segdeszkzk: Taylor-formula egyvltozs fggvnyekre:

0

)(32

!

)(...

!3

)(

!2

)(

!1

)()()(

k

kk

hk

xfh

xfh

xfh

xfxfhxf

Taylor-formula ktvltozs fggvnyekre:

jjk

jy

jkx

yxfk

k

k

jj

k

k

y

yxf

k

kk

yx

yxfkk

x

yxfk

y

yxf

yx

yxf

yx

yxf

x

yxf

y

yxf

yx

yxf

x

yxf

y

yxf

x

yxf

hk

hhk

hhh

hhhyxfyhxf

k

k

k

k

k

k

),(

0 0

),(1),(

1

),(

0

3),(2),(2),(3),(

2),(),(2),(),(),(

!

1

...!

1

...33!3

1

2!2

1

!1

1),(),(

1

3

3

2

3

2

3

3

3

2

22

2

2

5

Szmtsi rcs: ),...,1,0(: 0 Nkkhxxk , ahol h a lpskz.

Cl: az y megolds rtkeinek kzeltse a rcspontokban.

1. A derivltak kzeltse vges differencikkal Elsrend derivlt:

Elrelp sma: h

yyxy kkk

1~)( Hibja: )(hO ,

mert a Taylor-formulbl: )()()()( 211 hOhxyyhxyxyy kkkkk

Visszalp sma: h

yyxy kkk

1~)(

Hibja: )(hO ,

mert a Taylor-formulbl: )()()()( 211 hOhxyyhxyxyy kkkkk

Centrlis sma: h

yyxy kkk

2~)( 11

Hibja: )( 2hO ,

mert a Taylor-formulbl )()(2

1)()()( 3211 hOhxyhxyyhxyxyy kkkkkk

s hasonlan: )()(2

1)()()( 3211 hOhxyhxyyhxyxyy kkkkkk

6

Msodrend derivlt:

Centrlis sma: 2

11 2~)(h

yyyxy kkkk

Hibja: )( 2hO ,

mert a Taylor-formulbl:

)()(6

1)(

2

1)()()( 43211 hOhxyhxyhxyyhxyxyy kkkkkkk

)()(6

1)(

2

1)()()( 43211 hOhxyhxyhxyyhxyxyy kkkkkkk

sszeadva a kt egyenlsget, az llts addik.

2. A differencilegyenlet integrlsval

1

))(,()()( 1

k

k

x

x

kk dxxyxfxyxy

s a jobb oldali integrlt egy kzelt integrlformulval helyettestjk.

Plda (trapzformula alkalmazsa): )),(),((2

111 kkkkkk yxfyxfh

yy

7



Az Euler-mdszer





8

Az Euler-mdszer

Modellfeladat:

)()),(,()( 00 Axxxxyxfxy

00 )( yxy (kezdeti felttel)

Szmtsi rcs: ekvidisztns, h lpskz: Nxxxx ,...,,, 210 .

A megolds derivltjt a rcspontokban elsrend vges differencikkal kzeltjk.

Explicit sma (elrelp sma hasznlata):

),(:)( 1 kkkk

k yxfh

yyxy

)1,...,1,0(),(:1 Nkyxfhyy kkkk

Implicit sma (visszalp sma hasznlata):

),(:)( 111

1

kkkk

k yxfh

yyxy )1,...,1,0(),(: 111 Nkyxfhyy kkkk

9

Konzisztencia, stabilits, konvergencia

A loklis hibatagok: )1,...,1,0())(,()()(

: 1

Nixyxfh

xyxyg ii

iii

Egy mdszer p-edrendben konzisztens, ha )( pi hOg (i-tl fggetlenl).

A globlis hibatagok: )1,...,1,0()(: Niyxye iii

Egy mdszer p-edrendben konvergens, ha )( pi hOe (i-tl fggetlenl).

Azt mondjuk, hogy egy mdszer stabil, ha a globlis hiba a loklis hibval becslhet fellrl:

)1,...,1,0(||||||1

00

NigheCei

jji

Ha egy mdszer p-edrendben konzisztens, s stabil, akkor p-edrendben konvergens is.

Az Euler-mdszer elsrendben konvergens.

10



Az Euler-mdszer





11


Az eredeti differencilegyenletet trjuk a kvetkez alakba:

1

))(,()()( 1

k

k

x

x

kk dxxyxfxyxy

Trapzformula: Hasznlva az 2

)()()()(

bFaFabdxxF

b

a

integrlkzelt formult:

)),(,(),(2

: 11 kkkkkkkk yxhfyxfyxfh

yy

Mskpp felrva:

* 111

*1

,(),(2

:

),(:

kkkkkk

kkkk

yxfyxfh

yy

yxfhyy

A mdszer msodrendben konzisztens.

12

rintformula: Hasznlva az

2)()(

baFabdxxF

b

a

integrlkzelt formult:

)),(2

,(: 2/11 kkkkkk yxfh

yxfhyy

Mskpp felrva:

),(:

),(2

:

2/12/11

2/1

kkkk

kkkk

yxfhyy

yxfh

yy

A mdszer msodrendben konzisztens.

13

Az aszimptotikus stabilits rkldse

Tekintsk az Ayy

modellfeladatot ( 0A ), melynek azonosan 0 megoldsa aszimptotikusan stabil (tetszleges y

megoldsra teljesl, hogy 0)(lim

xyx

, mivel Axeyxy )0()( )

Legyen most h rgztett, s vizsgljuk, hogy a kzelt megoldsra 0ky mikor teljesl.

Explicit Euler-mdszer: kkk Ahyyy :1

Az aszimptotikus stabilits nem minden h mellett rkldik (feltteles stabilits), mert

022

111 )1(...)1()1( yAhyAhyAhAhyyyk

kkkkk .

gy 0ky akkor teljesl minden 0y mellett, ha 1|1| Ah , azaz 111 Ah .

Az aszimptotikus stabilits teht akkor rkldik, ha

Ah

20

14

Implicit Euler-mdszer: 11 : kkk Ahyyy

Az aszimptotikus stabilits minden pozitv h mellett rkldik (felttel nlkli stabilits), mert

kkk Ahyyy 1: miatt:

0221 )1(

1...

)1(

1

1

1y

Ahy

Ahy

Ahy

kkkk

gy 0ky minden (pozitv) h mellett teljesl.

15

A pozitivits megrzse

Tekintsk az Ayy

modellfeladatot ( 0A ), melynek minden pozitv kezdeti felttelhez tartoz megoldsa

mindentt pozitv (mert Axeyxy )0()( ).

Legyen most h rgztett, s vizsgljuk, hogy a kzelt megoldsra 0ky mikor teljesl, ha

00 y .

Explicit Euler-mdszer: kkk Ahyyy :1

A pozitivits nem rzdik meg minden h mellett, mert

022

111 )1(...)1()1( yAhyAhyAhAhyyyk

kkkkk .

gy 0ky akkor teljesl minden 00 y mellett, ha 110 Ah .

A pozitivits teht akkor rzdik meg, ha

Ah

10

16

Implicit Euler-mdszer: 11 : kkk Ahyyy

A pozitivits minden pozitv h mellett megrzdik, mert kkk Ahyyy 1: miatt:

0221 )1(

1...

)1(

1

1

1y

Ahy

Ahy

Ahy

kkkk

gy 0ky minden (pozitv) h mellett teljesl.

17



Az Euler-mdszer





18


)...(:

)...,(:

...

),(:

),(:

),(:

22111

11,2211

23213133

12122

1

ssii

sssssisis

ii

ii

ii

kckckchyy

kbhkbhkbhyahxfk

kbhkbhyahxfk

kbhyahxfk

yxfk

Egy-egy konkrt mdszert jellemz paramterek:

s

ssss

s

ccc

bbbbbbbbb

aaa

s

,...,,

,...,,...;,,;,;

,...,,

21

1,21434241323121

32

A paramterek gy vlasztandk meg, hogy a kplethiba tagjai, a

s

jjj

ii kch

xyxy

1

1 )()(

szmok )( phO nagysgrendek legyenek, ahol p adott szm (a mdszer rendje).

19

Specilis Runge-Kutta-mdszerek

Elsrend Runge-Kutta-mdszer: megegyezik az Euler-mdszerrel.

Msodrend Runge-Kutta-mdszerek: az rint- ill. a trapzformulval javtott Euler-mdszerek.

Egy harmadrend Runge-Kutta-mdszer:

)4(6

:

)2,(:),2

,2

(:),,(:

3211

213121

kkkh

yy

khkhyhxfkkh

yh

xfkyxfk

ii

iiiiii

Egy negyedrend Runge-Kutta-mdszer:

)22(6

:

),(:),2

,2

(:

),2

,2

(:),,(:

43211

3423

121

kkkkh

yy

khyhxfkkh

yh

xfk

kh

yh

xfkyxfk

ii

iiii

iiii

20

Runge-Kutta-mdszerek rendje

Adott s paramter mellett az elrhet legmagasabb rend:

)10(3

)9,8(2

)7,6,5(1

)4,3,2,1(

ss

ss

ss

ss

p

21



Az Euler-mdszer





22


A lineris k-lpses mdszerek ltalnos alakja:

),...,1,0(),(00

kNiyxfhyk

jjijij

k

jjij

0y a kezdeti felttelbl adott; 121 ,...,, kyyy meghatrozsa teljesen klnll mdszerrel kell,

hogy trtnjk (pl. egy Runge-Kutta-mdszer segtsgvel). Ez az indul eljrs feladata.

Egy-egy konkrt mdszert jellemz paramterek:

kkk ,...,,,,...,,, 1010 (ahol 0k ),

melyekkel definiljuk a mdszerre jellemz polinomokat:

k

j

jj

k

j

jj zzzz

00

:)(,:)(

23

Konzisztencia

A paramterek gy vlasztandk meg, hogy a kplethiba tagjai, azaz a

k

jjijij

k

jjiji xyxfxy

hg

00

))(,()(1

:

szmok )( phO nagysgrendek legyenek, ahol p adott szm (a mdszer rendje).

A mdszer rendje (legalbb) p, ha a kvetkez felttelek valamelyike teljesl:

(a) 0...210 pCCCC ,

ahol

k

jjC

00 : ,

k

jj

k

jjjC

001

!0

1

!1

1: ,

k

jj

k

jj jjC

00

22

!1

1

!2

1: ,,

k

jj

pk

jj

pp j

pj

pC

0

1

0 )!1(

1

!

1: (hibakonstansok)

(b) a )(/)( zz racionlis trtfggvny a z = 1 hely krl a (komplex vltozs) logaritmus-

fggvnyt (p +1)-edrendben kzelti, azaz ))1((log)(

)( 1 pzOzz

z

.

24

Stabilits s konvergencia

A mdszer stabil, ha a polinom kielgti a gykkritriumot, azaz ha minden gyknek abszolt

rtke legfeljebb 1, s minden 1 abszolt rtk gyke csak egyszeres gyk. Ekkor, amennyiben a mdszer rendje p, a mdszer p-edrendben konvergens is.

Ha a polinom kielgti a gykkritriumot, akkor az elrhet legmagasabb rend:

2 kp ha k pros, ill. 1 kp , ha k pratlan. (Dahlquist ttele)

25

Adams-tpus lineris k-lpses mdszerek

1)( kk zzz

Explicit, k-adrend mdszerek (Adams-Bashforth-mdszerek):

1k : ),(:1 iiii yxfhyy

2k :

)),(),(3(2

: 111 iiiiii yxfyxfh

yy

3k :

)),(5),(16),(23(12

: 22111 iiiiiiii yxfyxfyxfh

yy

4k :

)),(9),(37),(59),(55(24

: 3322111 iiiiiiiiii yxfyxfyxfyxfh

yy

26

Adams-tpus lineris k-lpses mdszerek

1)( kk zzz

Implicit, )1( k -edrend mdszerek (Adams-Moulton-mdszerek):

1k :

)),(),((2

: 111 iiiiii yxfyxfh

yy

2k :

)),(),(8),(5(12

: 11111 iiiiiiii yxfyxfyxfh

yy

3k :

)),(),(5),(19),(9(24

: 2211111 iiiiiiiiii yxfyxfyxfyxfh

yy

27



Az Euler-mdszer





28


Modellfeladat: Legyen mindentt pozitv, q mindentt nemnegatv adott fggvny:

buau

xxfxuxqxux

)1(,)0(

)10(),()()())()((

Szmtsi rcs: ),...,1,0(: Nkkhxk , ahol h a lpskz: Nh /1: . A msodrend tag

kzeltse centrlis smval trtnik:

1111211

1 )(11

~)()(

kkkkkkk

kkk

kkkk uuu

hh

uu

h

uu

hxu

Nuu ,0 adottak; a tbbi ku egy lineris egyenletrendszer megoldsval kaphat:

)1,...,2,1()( 2112

11 Nkfhuuqhu kkkkkkkkk

Az egyenletrendszer mtrixa 3-tls (st, ha mindegyik kq pozitv, akkor diagonlisan dominns

is), gy a megolds gazdasgosan elvgezhet (O(N) mveletignnyel).

Documents

numerikus módszerek 5