Kvantitatív módszerekKvantitatív módszerek

7. Becslés

Dr. Kövesi JánosDr. Kövesi János

Mintavételi alapelvek

Sokaság

Minta

Mintavétel

KövetkeztetésKövetkeztetés

E M L É K E Z T E T Ő

F(x), M(), D() …. g’(x),x,s, s*

Becslés

A becslés elmélete

Tulajdonságok

- Konzisztens- Torzítatlan

- Hatásos

- Elégséges

102-105

Torzítatlanság

Példa: Határozzuk meg hatoldalú szabályos dobókockával történő dobások várható értékét és szórását! = a dobott szám

pk=1/6, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6

M() = 1/6(1+2+3+4+5+6) = 21/6 = 3,5D2() = 1/6(1+4+9+16+25+36) – (21/6)2 == 91/6 - (21/6)2 = 546/36-441/36 = 105/36

D(D() ) 1,7078 1,7078

Példa: Határozzuk meg hatoldalú szabályos dobókockával történő dobások várható értékét és szórását! = a dobott szám

pk=1/6, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6

M() = 1/6(1+2+3+4+5+6) = 21/6 = 3,5D2() = 1/6(1+4+9+16+25+36) – (21/6)2 == 91/6 - (21/6)2 = 546/36-441/36 = 105/36

D(D() ) 1,7078 1,7078 T_SZ3

K_TSZ3

n=3 elemû minták szórásai

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

1,73

1,41

T_SZ3

K_TSZ3

n=3 elemû minták szórásai

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

1,73

1,41

103

Konzisztens becslésKockadobás szórása

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

T_SZ_

K_T_SZ

Kockadobás szórása

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

T_SZ_

K_T_SZ

Kockadobás szórása

0.8

1.2

1.6

2.0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

T_SZ_

K_T_SZ

Kockadobás szórása

0.8

1.2

1.6

2.0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

T_SZ_

K_T_SZ

Data: KOCKA.STA 6v * 150c

1.7

1.8

1.9

2.0

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

T_SZ_

K_T_SZ

Data: KOCKA.STA 6v * 150c

1.7

1.8

1.9

2.0

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

T_SZ_

K_T_SZ

104

Hatásosságn=5 elemû minták átlaga és mediánja

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

5.5

6.5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

ATL

MED

n=5 elemû minták átlaga és mediánja

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

5.5

6.5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

ATL

MED

105

Pontbecslés

Binomiális eloszlásBinomiális eloszlás

Poisson-eloszlásPoisson-eloszlás

Exponenciális eloszlásExponenciális eloszlás

Normális eloszlásNormális eloszlás

xexF 1)(

xexF )(1

xxF )(1ln

nk

p ˆ x̂lásd a következő oldalon

-ln[1-F(x)]

x

ˆtg

107

Gauss-papír

Pontbecslés folytatása

Normális eloszlásNormális eloszlás

4858 4858- 4565- 4565

293

293

107

Intervallum becslés

Minta-2

Minta-1

Minta-3

1x

2x

3x

mintáról mintára változikmintáról mintára változik

maga is valósz. változómaga is valósz. változó

adott elméleti eloszlással, szórással stb. jellemezhető

adott elméleti eloszlással, szórással stb. jellemezhető

108

Intervallum becslés

Az elméleti jellemzők ismeretében így a becslés egy Az elméleti jellemzők ismeretében így a becslés egy adott nagyságú értékközzel, intervallummal adható meg.adott nagyságú értékközzel, intervallummal adható meg.

Ez az un.Ez az un. konfidencia intervallumkonfidencia intervallum- megbízhatóság ill. kockázat- mintanagyság- ingadozás

Az intervallum többnyire kétoldalikétoldali, de ritkábban használjuk az egyoldaliegyoldali becslést is.

108

Várható érték becslése

nx

nx

x normális eloszlású

x x

Ha ismert az alapeloszlás szórása (), akkor

Ha nem ismert az alapeloszlás szórása (), akkor

x Student(t) eloszlású

n

ssx

*

n

ssx

*

DF szabadsági fokDF szabadsági fok

108-110

becslése ( ismert)

xx xx

u = a standard normális eloszlás értékenx

108

Feladat

Készítsünk becslést kétoldali esetben …. (EGIS)

n = 59 = 16.72% = 0,95 = 0,05 Kétoldali !Kétoldali !

/2 = 0,025/2 = 0,025

kétoldali

(u) = 0,975(u) = 0,975

96,12u 27,4

59

72,1696,1

2 xu

3,57 -4,27 < 3,57 -4,27 < < 3,57+4,27 < 3,57+4,27

-0,7% < -0,7% < < 7,84% < 7,84%

3,57 -4,27 < 3,57 -4,27 < < 3,57+4,27 < 3,57+4,27

-0,7% < -0,7% < < 7,84% < 7,84%

/2

111

Feladat folyt.

Adjunk Adjunk egyoldaliegyoldali becslést a hozam becslést a hozam várható értékére!várható értékére!

111

Feladat folyt.

xuxx

= 0,05 (u) = 0,95(u) = 0,95 645,1u

58,359

72,16645,1

< 3,57 + 3,58 = 7,15%< 3,57 + 3,58 = 7,15% < 3,57 + 3,58 = 7,15%< 3,57 + 3,58 = 7,15%

Tehát a hozam 95%-os valószínűséggel legfeljebb 7,15%.Tehát a hozam 95%-os valószínűséggel legfeljebb 7,15%.

111

becslése ( nem ismert)

tt xx tt xx

t = t-eloszlás értéke, amely -tól és DF-től függ

n

ssx

*

DF a szabadságfok, DF = n-1

111

Feladat

Az előző feladat adatai alapján …. (EGIS)

n = 59 s* = 16,72% s* = 16,72% DF= n-1= 58DF= n-1= 58 = 0,95 = 0,05

35,459

72,160,2

*

2/ n

st

3,57 -4,35 < 3,57 -4,35 < <3,57+4,35 <3,57+4,35

-0,78% < -0,78% < < 7,92% < 7,92%

3,57 -4,35 < 3,57 -4,35 < <3,57+4,35 <3,57+4,35

-0,78% < -0,78% < < 7,92% < 7,92%

t/2 = 2,0

112

Összehasonlítás

-0,7 < -0,7 < < 7,84 < 7,84-0,7 < -0,7 < < 7,84 < 7,84

ismertismert nem ismertnem ismert

-0,78 < -0,78 < < 7,92 < 7,92 -0,78 < -0,78 < < 7,92 < 7,92

8,54 % 8,7 %

Tehát pontatlanabb a becslés az ismeretlen Tehát pontatlanabb a becslés az ismeretlen miatt! miatt!

Feladat

Egyoldali intervallum….

n = 59 s* = 16,72%s* = 16,72% = 0,95 = 0,05 t = 1,671

Egyoldali

64,359

72,16671,1

112

Feladat

Készítsünk becslést kétoldali esetben ….

n = 9 = 2 mm = 0,95 = 0,05

Kétoldali !Kétoldali !

/2 = 0,025/2 = 0,025

kétoldali

(u) = 0,975(u) = 0,975

96,12u 3,1

9

296,1

2 xu

101,2 -1,3 < 101,2 -1,3 < <101,2+1,3 <101,2+1,3

99,9 < 99,9 < <102,5 <102,5

101,2 -1,3 < 101,2 -1,3 < <101,2+1,3 <101,2+1,3

99,9 < 99,9 < <102,5 <102,5

/2

2,101x

Feladat

Tegyük fel, hogy az alsó határ (A) végleges selejtet jelent. Becsüljük meg, a A értékét 95%-os valószínűséggel!

Egyoldali !!!Egyoldali !!!

Feladat

xuxxA = 0,05 (u) = 0,95(u) = 0,95 64,1u

1,19

264,1

A = 101,2 - 1,1 =100,1A = 101,2 - 1,1 =100,1 A = 101,2 - 1,1 =100,1A = 101,2 - 1,1 =100,1

Tehát Tehát 95%-os valószínűséggel legalább 100,1 mm. 95%-os valószínűséggel legalább 100,1 mm.

Feladat

Az előző feladat adatai alapján …

n = 9 s = 2 mms = 2 mm = 0,95 = 0,05

65,18

231,2

12/

n

st

101,2 -1,65 < 101,2 -1,65 < <101,2+1,65 <101,2+1,65

99,5 < 99,5 < < 102,85 < 102,85

101,2 -1,65 < 101,2 -1,65 < <101,2+1,65 <101,2+1,65

99,5 < 99,5 < < 102,85 < 102,85

t/2 = 2,312,101x

Összehasonlítás

99,9 < 99,9 < < 102,5 < 102,599,9 < 99,9 < < 102,5 < 102,5

ismertismert nem ismertnem ismert

99,5 < 99,5 < < 102,85 < 102,85 99,5 < 99,5 < < 102,85 < 102,85

2,6 mm 3,3 mm

Tehát kb. Tehát kb. 30%-kal30%-kal pontatlanabb a becslés az pontatlanabb a becslés az ismeretlen ismeretlen miatt! miatt!

Feladat

Egyoldali intervallum….

n = 9 s = 2 mms = 2 mm = 0,95 = 0,05 t = 1,86

Egyoldali

Feladat

A műanyagrudacskák n=25 elemű ….

n = 25 s = 0,06 mm = 0,05 mmx 31,8

xx stxstx xx stxstx

DF = n-1= = 24

t= 2,06(kétoldali)

Feladat

A műanyagrudacskák n=25 elemű ….

n = 25 s = 0,06 mm = 0,01 mmx 31,8

DF = n-1= = 24

tt= 2,8= 2,8(kétoldali)

Feladat

A szárazelemek behozatalára vonatkozó …

19, 18, 22, 20 és 17 órát működtek

n = 5 s = ? óra órax ?

órax 2,195

1720221819 órax 2,195

1720221819

órax 2,19

óras 7,15

84,464,084,744,104,0 óras 7,15

84,464,084,744,104,0

s = 1,7 óra

óran

ssx 85,0

4

7,1

1

óran

ssx 85,0

4

7,1

1

Feladat

órax 2,19 s = 1,72 óra órasx 85,0

= 0,05

= 0,01

= 0,001

t = 2,78

t = 4,60

t = 8,61

16,8 < 16,8 < < 21,6 < 21,6 16,8 < 16,8 < < 21,6 < 21,6

15,3 < 15,3 < < 23,1 < 23,1 15,3 < 15,3 < < 23,1 < 23,1

11,9 < 11,9 < < 26,5 < 26,5 11,9 < 11,9 < < 26,5 < 26,5

Ha csökkentjük értékét, azaz növeljük a megbízhatóságot, nő az intervallum,

de nő a is!

Feladat

Zománcedények peremezéséhez ….

az intervallum félszélessége

= 2 N/mm2 = 7 N/mm2

Ha = 99% =0,01 u/2=2,58

2

un

2

un

Feladat

8192

758,2 222

un

Ha = 90% =0,1 uu=1,64 !!=1,64 !!

332

764,12

n

db

db