Embed Size (px)
Citation preview
Ì.Á.Àõóíäîâ ß.Ø.Ñàäàéåâ
NƏZƏRİ MEXAN İKADAN mühazirələr
Äÿðñ âÿñàèòè
1
ÀÇßÐÁÀÉÚÀÍ ÐÅÑÏÓÁËÈÊÀÑÛ ÒßÙÑÈË ÍÀÇÈÐËÈÉÈ ÁÀÊÛ ÄÞÂËßÒ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÈ
Ì.Á.Àõóíäîâ, ß.Ø.Ñàäàéåâ
NƏZƏRİ MEXANİKADAN mühazirələr
Äÿðñ âÿñàèòè
Àçÿðáàéúàí Ðåñïóáëèêàñû Òÿùñèë Íàçèðëèéèíèí Åëìè-Ìåòîäèê Øóðàñû Ìåõàíèêà áþëìÿñèíèí 05.04.2011—ci il òàðèõëè 39 ñàéëû ãÿðàðû ÿñàñûíäà Òÿùñèë íàçèðèíèí 03.05.2011-úè èë òàðèõëè 738 ñàéëû ÿìðè èëÿ äÿðñ âÿ-ñàèòè êèìè òÿñäèã åäèëìèøäèð.
ÁÀÊÛ - 2011
2
Е л м и р е д а к т о р : BDU-nun Nəzəri mexanika və bütöv mühit mexanikası kafedrasının müdiri, prof. R.Y.ƏMƏNZADƏ
Р я й в е р я н л я р :
– Azərbaycan Dövlət Dəniz Akademiyasının Elm və beynəlxalq əlaqələr üzrə prorektoru, AMEA-nın müxbir üzvi,
prof A.N.ƏLİZADƏ – BDU-nun Tətbiqi riyaziyyat və kibernetika fakültəsinin
dekanı, AMEA-nın müxbir üzvi, prof.M.F.MEHDİYEV – ADNA-nın Nəzəri mexanika kafedrasının müdiri, AMEA-nın
müxbir üzvü, prof. R.S.QURBANOV
Ахундов М.Б., Садайев Я.Ш. Нязяри механикадан мцщазиряляр. Дярс вясаити. Бакы, «Бакы Университети» няшриййаты, 2011, 197 с.
Təqdim olunan dərs vəsaiti BDU-nun mexanika-riyaziyyat fakültə-sində uzun illər tədris olunan mühazirələr əsasında qurulmuşdur. Dərs vəsaiti klassik nəzəri mexanikanın əsas mövzularını əhatə etməklə yığ-cam şəkildə tərtib olunmuş və əsasən mexanika-riyaziyyat fakültəsinin mexanika və riyaziyyat ixtisaslı tələbələri üçün nəzərdə tutulmuşdur. Həmçinin bu dərs vəsaiti klassik mexanikanın əsaslarını öyrənən texniki ali məktəblərin müvafiq ixtisaslı tələbələri və müəlliml əri üçün də faydalı ola bilər.
«Бакы Университети» няшриййаты, 2011
3
ÌÖÍÄßÐÈÚÀÒ Ýèðèø...................................................................................................... 7
ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÀ Ìàääè íþãòÿíèí ùÿðÿêÿòèíèí âåðèëìÿ öñóëëàðû ...................................... 8
Ìàääè íþãòÿíèí ñöðÿòè.......................................................................... 9
Ìàääè íþãòÿíèí òÿúèëè......................................................................... 12
Õöñóñè ùàëëàð ...................................................................................... 15
ßéðèõÿòëè êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ ìàääè íþãòÿíèí ñöðÿòè âÿ òÿúèëè ........ 17
Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí ôÿçà âÿçèééÿòèíèí òÿéèíè..................................... 23
Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí éåðäÿéèøìÿëÿðè .................................................. 26
Òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí ìöòëÿã áÿðê úèñìèí éåðäÿéèøìÿñè ùàããûíäà Åéëåð òåîðåìè................................................................................. 26
Ñÿðáÿñò ìöòëÿã áÿðê úèñìèí éåðäÿéèøìÿñè ùàããûíäà òåîðåì............. 27
Ñÿðáÿñò ìöòëÿã áÿðê úèñìèí öìóìè éåðäÿéèøìÿñè ùàããûíäà Ìîòñè òåî-ðåìè ............................................................................................... 28
Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòè.............................................. 31
Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí àíè êèíåìàòèê âÿçèééÿòè ..................................... 31
Ñÿðáÿñò ìöòëÿã áÿðê úèñìèí íþãòÿëÿðèíèí ñöðÿòëÿðè ............................ 31
Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí íþãòÿëÿðèíèí òÿúèëè .............................................. 34
Òÿðïÿíìÿç îõ ÿòðàôûíäà ôûðëàíàí ìöòëÿã áÿðê úèñìèí íþãòÿëÿðèíèí ñöðÿòëÿðè âÿ òÿúèëëÿðè ...................................................................... 36
Ìàääè íþãòÿ ö÷öí ñöðÿòëÿðèí òîïëàíìàñû ùàããûíäà òåîðåì................ 39
Ìàääè íþãòÿ ö÷öí òÿúèëëÿðèíèí òîïëàíìàñû ùàããûíäà òåîðåì ............. 41
Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí ìöñòÿâè-ïàðàëåë ùÿðÿêÿòè................................... 42
Ìöñòÿâè ôèãóðóí íþãòÿëÿðèíèí ñöðÿòëÿðè .............................................. 43
Àíè ñöðÿòëÿð ìÿðêÿçèíèí òÿéèíèíèí äèýÿð öñóëëàðû ............................... 45
Ìöñòÿâè ôèãóðóí íþãòÿëÿðèíèí òÿúèëëÿðè. Àíè òÿúèëëÿð ìÿðêÿçè ............ 48
Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí ùÿðÿêÿòëÿðèíèí òîïëàíìàñû ................................. 50
Ïàðàëåë ôûðëàíìà îõëàðû îëàí ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòëÿðèíèí òîïëàíìàñû: ôûð-ëàíìà èñòèãàìÿòëÿðè åéíè îëäóüó ùàë.............................................. 52
Ïàðàëåë ôûðëàíìà îõëàðû îëàí ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòëÿðèíèí òîïëàíìàñû: ôûð-ëàíìà èñòèãàìÿòëÿðè ÿêñ îëàí ùàë ................................................... 53
Àíè èðÿëèëÿìÿ âÿ ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòëÿðèíèí òîïëàíìàñû........................ 56
4
ÑÒÀÒÈÊÀ Ãöââÿëÿð ñèñòåìè. Áàø âåêòîð âÿ áàø ìîìåíò ................................... 57
Ãöââÿíèí ýþðäöéö èø. Ãöââÿ ñàùÿñè. Ïîòåíñèàë ãöââÿ ñàùÿñè ........... 59
Åêâèïîòåíñèàë ñÿòùëÿð. Ïîòåíñèàë åíåðæè. Ïîòåíñèàë åíåðæèíèí òÿéèíè (ìèñàëëàð)............................................................................. 61
Ðàáèòÿ. Ðàáèòÿíèí íþâëÿðè................................................................... 63
Ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿð âÿ ðàáèòÿëÿðèí îíëàðûí öçÿðèíÿ ãîéäóüó ìÿùäóäèééÿòëÿð.............................................................. 64
Ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿð ïðèíñèïè ....................................................... 65
Ìöòëÿã áÿðê úèñìÿ òÿòáèã îëóíàí ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí ýþðäöéö èø .... 67
Ñÿðáÿñò ìöòëÿã áÿðê úèñìèí òàðàçëûã òÿíëèêëÿðè .................................. 68
Ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí õöñóñè ùàëëàðû..................................................... 70
Ãåéðè-ñÿðáÿñò ìöòëÿã áÿðê úèñèì ö÷öí òàðàçëûã òÿíëèêëÿðèíèí éàçûëìàñû ....................................................................................... 71
Ìöòëÿã áÿðê úèñìÿ òÿñèð åäÿí ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí åêâèâàëåíòëèê øÿðòëÿðè ..................................................................... 71
Ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí áèð ìÿðêÿçÿ ýÿòèðèëìÿñè.................................... 72
Ïàðàëåë ãöââÿëÿðèí òîïëàíìàñû ........................................................... 76
×îõñàéëû ïàðàëåë ãöââÿëÿð ñèñòåìè...................................................... 79
Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí àüûðëûã ìÿðêÿçèíèí òÿéèíè................................... 80
ÄÈÍÀÌÈÊÀ
Äèíàìèêàíûí ÿñàñ àíëàéûøëàðû âÿ àêñèîìëàðû ..................................... 84
Êöòëÿëÿð ùÿíäÿñÿñè............................................................................. 86
Ïàðàëåë îõëàðà ýþðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðèíèí ùåñàáëàíìàñû .................... 90
Êÿñèøÿí îõëàðà ýþðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðè.............................................. 91
Êÿñèøÿí îõëàðà ýþðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðèíèí ïàéëàíìàñûíûí ùÿíäÿñè òÿñâèðè............................................................................... 94
Ìåõàíèêè ñèñòåìèí äèíàìèêàñû. Õàðèúè âÿ äàõèëè ãöââÿëÿð ................. 95
Ìåõàíèêè ñèñòåìèí ÿñàñ äèíàìèê êÿìèééÿòëÿðè âÿ îíëàðûí Êéîíèã êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ òÿñâèðè............................................. 97
Ùÿðÿêÿò ìèãäàðûíûí äÿéèøìÿñè ùàããûíäà òåîðåì............................... 99
Êèíåòèê ìîìåíòèí äÿéèøìÿñè ùàããûíäà òåîðåì ............................... 101
Êèíåòèê åíåðæèíèí äÿéèøìÿñè ùàããûíäà òåîðåì ................................. 101
5
Êéîíèã êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ ÿñàñ äèíàìèê êÿìèééÿòëÿðèí äÿéèøìÿëÿðè ùàããûíäà òåîðåìëÿðèí èôàäÿëÿðè ............................... 102
Ìàääè íþãòÿíèí äöçõÿòëè ùÿðÿêÿòèíèí çÿðóðè âÿ êàôè øÿðòëÿðè ........... 105
Ìöãàâèìÿòñèç, èäåàë ìöùèòäÿ ìàääè íþãòÿíèí äöçõÿòëè ñÿðáÿñò ðÿãñëÿðè ........................................................................................ 106
Èäåàë ìöùèòäÿ ìàääè íþãòÿíèí ìÿúáóðè ðÿãñëÿðè ............................. 108
Ìöãàâèìÿòëè ìöùèòäÿ ìàääè íþãòÿíèí ñÿðáÿñò ðÿãñëÿðè .................. 110
Ìöãàâèìÿòëè ìöùèòäÿ ìàääè íþãòÿíèí ìÿúáóðè ðÿãñëÿðè................. 114
Ñàáèò ãöââÿ îëàí ùàëäà ìàääè íþãòÿíèí ðÿãñè ùÿðÿêÿòè ................... 117
Ñöðòöíìÿ ãöââÿñè îëäóüó ùàëäà ìàääè íþãòÿíèí ðÿãñè ùÿðÿêÿòè..... 118
Äÿéèøÿí êöòëÿëè ìàääè íþãòÿíèí äèíàìèêàñû .................................... 120
Ñèàëêîâñêèíèí Û ìÿñÿëÿñè: ãöââÿ ñàùÿñè õàðèúèíäÿ ðàêåòèí äöçõÿòëè ùÿðÿêÿòè......................................................................... 122
Ñèàëêîâñêèíèí ÛÛ ìÿñÿëÿñè: àüûðëûã ãöââÿñè ñàùÿñèíäÿ ðàêåòèí ùÿðÿêÿòè....................................................................................... 123
Ìÿðêÿçè ãöââÿíèí òÿñèðè àëòûíäà ìàääè íþãòÿíèí ùÿðÿêÿòè .............. 126
Ýþé ìåõàíèêàñû. Êåïëåð ãàíóíëàðû. Íéóòîíóí öìóìäöíéà úàçèáÿ ãàíóíó ............................................................................. 129
Èêè úèñèì ìÿñÿëÿñè ............................................................................ 131
Ëàïëàñ èíòåãðàëû. Ëàïëàñ âåêòîðó....................................................... 133
Ïëàíåòëÿðèí îðáèòëÿðè. Îðáèò íþâëÿðè. Îðáèò áîéó ïëàíåòèí ùÿðÿêÿò ãàíóíó ........................................................................... 135
Òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí ìöòëÿã áÿðê úèñìèí êèíåòèê ìîìåíòè âÿ êèíåòèê åíåðæèíèí èôàäÿëÿðè ...................................................... 137
Òÿðïÿíìÿç îõ ÿòðàôûíäà ôûðëàíàí ìöòëÿã áÿðê úèñìèí òàì òÿíëèêëÿð ñèñòåìè ................................................................... 139
Òÿðïÿíìÿç îõ ÿòðàôûíäà ôûðëàíàí áÿðê úèñìèí ôûðëàíìà îõóíà ýþñòÿðèëÿí äèíàìèê òÿçéèãëÿðèí ñòàòèê òÿçéèãëÿðÿ áÿðàáÿð îëìàñû øÿðòè.................................................................................. 141
Òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí ìöòëÿã áÿðê úèñìèí äèíàìèêàñû. Åéëåðèí êèíåìàòèê òÿíëèêëÿðè ........................................................ 142
Åéëåðèí äèíàìèê òÿíëèêëÿðè ................................................................ 144
Òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí àüûð áÿðê úèñìèí ùÿðÿêÿòèíèí òàì òÿíëèêëÿð ñèñòåìè ......................................................................................... 146
Òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí àüûð ìöòëÿã áÿðê úèñìèí ùÿðÿêÿò
6
òÿíëèêëÿðè ñèñòåìèíèí òÿùëèëè.......................................................... 148
Àüûð áÿðê úèñìèí ùÿðÿêÿò òÿíëèêëÿðèíèí ö÷ òðèâèàë áèðèíúè èíòåãðàëëàðû ................................................................................... 150
Àüûð áÿðê úèñìèí òÿðïÿíìÿç íþãòÿ ÿòðàôûíäà ùÿðÿêÿò òÿíëèêëÿðèíèí èíòåãðàëëàíìàñûíûí Åéëåð õöñóñè ùàëû ...................... 155
Òÿðïÿíìÿç íþãòÿ ÿòðàôûíäà ôûðëàíàí áÿðê úèñìèí ùÿðÿêÿò
òÿíëèêëÿðèíèí áèðèíúè èíòåãðàëëàðûíûí ñàéúà äþðäöíúöíöí
òÿéèí îëóíìàñûíûí õöñóñè ùàëëàðû ................................................. 164
Ùèðîñêîïëàð íÿçÿðèééÿñèíèí öìóìè òÿíëèéè...................................... 166
Ùèðîñêîïëàðûí åëåìåíòàð íÿçÿðèééÿñè............................................... 169
Ùèðîñêîïèê ãöââÿ, ùèðîñêîïèê ìîìåíò............................................ 171
Ìåõàíèêè ñèñòåìèí äèíàìèêàñû. Äàëàìáåð-Ëàãðàíæ òåîðåìè ............ 171
Ëàãðàíæûí áèðèíúè íþâ òÿíëèêëÿðè........................................................ 173
Ëàãðàíæûí èêèíúè íþâ òÿíëèêëÿðè ......................................................... 175
Ëàãðàíæûí èêèíúè íþâ òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí ðèéàçè òÿùëèëè .................... 179
Ïîòåíñèàëëû ãöââÿ ñàùÿñèíäÿ Ëàãðàíæûí èêèíúè íþâ òÿíëèêëÿðè ........... 181
Ùàìèëòîíóí êàíîíèê òÿíëèêëÿðè......................................................... 185
Ùîëîíîì ìåõàíèêè ñèñòåìèíèí òàì ìåõàíèêè åíåðæèñèíèí äÿéèøìÿñè ùàããûíäà òåîðåì ........................................................ 188
Ìåõàíèêàíûí äèôåðåíñèàë âàðèàñèéà ïðèíñèïëÿðè.................................. 191
Ùàìèëòîí-Îñòðîãðàäñêè èíòåãðàë âàðèàñèéà ïðèíñèïè .......................... 195
7
ÝÈÐÈØ
Íÿçÿðè ìåõàíèêà êóðñóíäà ìàääè îáéåêòëÿðèí ãàðøûëûãëû òÿñèðè âÿ îí-
ëàðûí ùÿðÿêÿòè þéðÿíèëèð. Îíóí òÿäãèãàò îáéåêòëÿðè: ìàääè íþãòÿ, ìåõà-íèêè ñèñòåì âÿ ìöòëÿã áÿðê úèñèìäèð.
Ìàääè íþãòÿ åëÿ áèð úèñìÿ äåéèëèð êè, âåðèëìèø ùàëäà îíóí àéðû-àéðû ùèññÿëÿðèíèí âÿçèééÿòëÿðèíèí âÿ ùÿðÿêÿòëÿðèíèí ôÿðãëÿðèíè íÿçÿðÿ àëìà-ìàã ìöìêöí îëñóí. Ìàääè íþãòÿëÿð ÷îõëóüóíà ìàääè íþãòÿëÿð ñèñòåìè äåéèëèð. ßýÿð ìàääè íþãòÿëÿð ñèñòåìèíèí ùÿð áèð íþãòÿñèíèí âÿçèééÿòè âÿ ùÿðÿêÿòè áó ñèñòåìèí äèýÿð íþãòÿëÿðèíèí âÿçèééÿòëÿðèíäÿí âÿ ùÿðÿêÿòëÿ-ðèíäÿí àñûëûäûðñà, áåëÿ áèð ñèñòåì ìåõàíèêè ñèñòåì àäëàíäûðûëûð. Ìåõàíèêè ñèñòåìèí íþãòÿëÿðàðàñû ìÿñàôÿñè åéíè ãàëûðñà, áåëÿ áèð ñèñòåì äÿéèøìÿç ìåõàíèêè ñèñòåì àäëàíäûðûëûð. ßýÿð äÿéèøìÿç ìåõàíèêè ñèñòåìèí íþãòÿ-ëÿðè ìÿùäóä ôÿçà îáëàñòû áîéó êÿñèëìÿç ïàéëàíûáñà, áó ñèñòåìÿ ìöòëÿã áÿðê úèñèì äåéèëèð.
Íÿçÿðè ìåõàíèêàäà ö÷þë÷öëö Åâêëèä, áèðúèíñ, èçîòîï ôÿçà àíëàéûøûí-äàí èñòèôàäÿ îëóíóð. Çàìàí ôÿçàäàí àñûëû äåéèëäèð. Ôÿçàíûí ö÷þë÷öëö îë-ìàñû î äåìÿêäèð êè, ìàääè íþãòÿíèí âÿçèééÿòè ö÷ àñûëû îëìàéàí ïàðà-ìåòð âàñèòÿñèëÿ òÿéèí îëóíà áèëÿð. Ôÿçàíûí Åâêëèä ôÿçàñû îëìàñû î äå-ìÿêäèð êè, áó ôÿçàäà âàùèä Äåêàðò êîîðäèíàò ñèñòåìèíè äàõèë åòìÿê ìöìêöíäöð. Áèðúèíñ ôÿçàíûí õàññÿëÿðè áöòöí íþãòÿëÿðäÿ åéíèäèð. ßýÿð ôÿçàíûí õàññÿëÿðè áöòöí èñòèãàìÿòëÿð áîéó åéíè îëàðñà, áó ôÿçà èçîòðîï ôÿçà àäëàíûð.
8
ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÀ Êèíåìàòèêàäà ùÿðÿêÿò áó ùÿðÿêÿòè éàðàäàí ñÿáÿáëÿð íÿçÿðÿ àëûíìà-
äàí þéðÿíèëèð. Êèíåìàòèêàíûí èêè ÿñàñ ìÿñÿëÿñè âàð: 1. Ùÿðÿêÿòèí âåðèëìÿ öñóëóíóí òÿéèíè; 2. Ùÿðÿêÿòèí âåðèëìÿ öñóëó ìÿëóì îëäóãäà úèñìèí êèíåìàòèê õà-
ðàêòåðèñòèêàëàðûíûí òÿéèíè. Áöòöí ìàääè úèñèìëÿð ÿòàëÿòëèê õàññÿñèíÿ ìàëèêäèðëÿð. Áó õàññÿíèí
ÿäÿäè þë÷öñö êöòëÿ àäëàíäûðûëûð.
Ìàääè íþãòÿíèí ùÿðÿêÿòèíèí âåðèëìÿ öñóëëàðû I. Âåêòîð öñóëó. Áó ùàëäà àøàüûäàêûëàð âåðèëèð: 1. Òÿðïÿíìÿç ôÿçà ìÿðêÿçè; 2. Áàøëàíüûúû áó ìÿðêÿçäÿ îëàí ìàääè íþãòÿíèí
ðàäèóñ âåêòîðóíóí çàìàíäàí àñûëûëûüû: )(trrrr = .
II. Êîîðäèíàò öñóëó. Äàõèë åäèëÿí êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ ìàääè íþã-
òÿíèí êîîðäèíàòëàðûíûí çàìàíäàí àñûëûëûãëàðû âåðèëèð. Ìÿñÿëÿí, äàõèë åäè-ëÿí êîîðäèíàò ñèñòåìè Äåêàðä êîîðäèíàò ñèñòåìè îëàðñà, âåðèëÿí ìÿëóì ôóíêñèéàëàð àøàüûäàêûëàðäûð:
===
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
III. Òÿáèè öñóë. Áó ùàëäà âåðèëÿíëÿð àøàüûäàêûëàð-
äûð:
1. 0M íþãòÿñèíèí ùÿðÿêÿòèíèí òðàéåêòîðèéàñû, éÿ-
íè îíóí ùÿðÿêÿò çàìàíû ôÿçàäà úûçäûüû ÿéðè õÿòò; 2. Òðàéåêòîðèéà öçÿðèíäÿ ìàääè íþãòÿíèí áàø-
ëàíüûú âÿçèééÿòè âÿ ùÿðÿêÿòèí ìöñáÿò èñòèãàìÿòè; 3. Ìàääè íþãòÿíèí òðàéåêòîðèéà áîéó ùÿðÿêÿòèíèí
ãàíóíó: )(0 tfMMl ==∪
9
Ìàääè íþãòÿíèí ñöðÿòè Ìöõòÿëèô ùàëëàðû íÿçÿðäÿí êå÷èðÿê. Û. Ùÿðÿêÿò âåêòîð öñóëó èëÿ âåðèëÿí ùàë: Ìàääè íþãòÿíèí t âÿ tt ∆+
çàìàí ãèéìÿòëÿðèíÿ óéüóí âÿçèééÿòëÿðèíè ãåéä åäÿê. )()( trttrr
rrr −∆+=∆ , (1)
áóðàäà rr∆ [ ]ttt ∆+, çàìàí èíòåðâàëûíäà ìàääè íþãòÿíèí éåðäÿéèøìÿ-
ñèäèð. Éåðäÿéèøìÿíèí óéüóí çàìàí ìöääÿòèíÿ îëàí íèñáÿòè áàõûëàí çà-ìàí èíòåðâàëûíäà ìàääè íþãòÿíèí îðòà ñöðÿòèíè ìöÿééÿí åäèð:
t
rorta ∆
∆=r
rυ
Áó íèñáÿòèí 0→∆t ëèìèòèíÿ óéüóí îëàí ãèé-ìÿòÿ àíè ñöðÿò âÿ éà ñàäÿúÿ ñöðÿò äåéèëèð:
t
rt ∆
∆=→∆
rr
0limυ .
Áóðàäàí ôóíêñèéàíûí òþðÿìÿñèíèí òÿðèôèíÿ ýþðÿ àëûðûã:
dt
rdr
r =υ . (2)
Áåëÿëèêëÿ ñöðÿò âåêòîðó — ðàäèóñ âåêòîðóí çàìàíà ýþðÿ áèðèíúè òÿðòèá òþðÿìÿñèäèð.
Òóòàã êè, er ðàäèóñ âåêòîðóí âàùèä éþíÿëäèúè âåêòîðóäóð, îíäà
errrr ⋅= ; 1=e
r. (3)
Ðàäèóñ âåêòîð ôóíêñèéàñûíûí âåðèëìÿñè — ðàäèóñ âåêòîðóí ùÿì ìîäó-ëóíóí âÿ ùÿì äÿ èñòèãàìÿòèíèí âåðèëìÿñè äåìÿêäèð:
==
⇒=)(
)()(
tee
trrtrr rr
r (4)
(3)-ö (2)-äÿ éåðèíÿ éàçñàã, àëàðûã:
dt
edre
dt
dr
dt
erd
dt
rdr
rrr
r ⋅+⋅=⋅== )(υ . (5)
Âåêòîð àíàëèçèíäÿí ìÿëóìäóð êè, âàùèä âåêòîðóí òþðÿìÿñè àøàüûäàêû êèìè òÿéèí îëóíóð:
1||, =⋅= ppdt
d
dt
ed rrr ϕ
(6)
10
eprr − -éÿ ïåðïåíäèêóëéàð îëàí âàùèä âåê-
òîðäóð. ϕ — èñÿ ðàäèóñ âåêòîðóí äþíìÿ áóúàüû-
äûð. (6)-íû (5)-äÿ éàçñàã, àëàðûã:
pdt
dre
dt
dr rrr ⋅+⋅= ϕυ . (7)
Áó äöñòóð ñöðÿò âåêòîðóíóí ðàäèàë âÿ îíà ïåðïåíäèêóëéàð îëàí òðàíñâåð-ñèàë èñòèãàìÿòëÿðÿ àéðûëûøûäûð. Áó èñòèãàìÿòëÿð öçðÿ îëàí ïðîéåêñèéàëàð ö÷öí àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿëÿðè ãÿáóë åäÿê:
⋅=
⋅=
pdt
dr
edt
dr
p
r
rr
rr
ϕυ
υ (8)
Îíäà
pr υυυ rrr += (9)
àëûíûð. Àéäûíäûð êè, pr υυ rr⊥ .
Áåëÿëèêëÿ ùÿðÿêÿò ãàíóíó (4) øÿêëèíäÿ âåðèëäèêäÿ, ñöðÿò âåêòîðó àøàüûäàêû ìÿðùÿëÿëÿðëÿ òÿéèí îëóíóð:
ßââÿë ñöðÿòèí ðàäèàë âÿ òðàíñâåðñèàë ïðîéåêñèéàëàðû òÿéèí îëóíóð:
⋅=
=
dt
dr
dt
dr
p
r
ϕυ
υ (10)
Ñîíðà ñöðÿò âåêòîðóíóí ìîäóëó òÿéèí îëóíóð:
22pr υυυ += . (11)
Âÿ íÿùàéÿò ñöðÿò âåêòîðóíóí èñòèãàìÿòè òàïûëûð:
r
ptgυυ
α = . (12)
Éÿíè, ñöðÿò âåêòîðóíóí ðàäèàë èñòèãàìÿòëÿ ÿìÿëÿ ýÿòèðäèéè α áóúàüû-íûí òàíýåíñè òàïûëàðàã èñòèãàìÿò ìöÿééÿí îëóíóð. ÛÛ. Ùÿðÿêÿòèí êîîðäèíàò öñóëó èëÿ âåðèëÿí ùàëû. Áó ùàëäà êîîðäèíàò-
ëàðûí çàìàíäàí àñûëûëûüû âåðèëèð:
11
===
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
(13)
rr ðàäèóñ âåêòîðóí âÿ υr ñöðÿò âåêòîðóíóí
êîîðäèíàò îõëàðû öçðÿ àéðûëûøëàðûíû éàçàã:
⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
kji
kzjyixr
zyx
rrrr
rrrr
υυυυ (14)
Áóðàäà kjirrr
,, — âåêòîðëàðû Äåêàðò êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí âàùèä áàçèñ
âåêòîðëàðûäûð. Áó àéðûëûøëàðû (2) äöñòóðóíäà íÿçÿðÿ àëàã. Îíäà ÿââÿë ñöðÿò âåêòîðóíóí ïðîéåêñèéàëàðû òàïûëûð:
dt
dz
dt
dy
dt
dxzyx === υυυ ;; . (15)
Ñöðÿòèí ìîäóëó àøàüûäàêû äöñòóðëà òÿéèí îëóíóð: 222zyx υυυυ ++= . (16)
Âÿ ñîíäà ñöðÿò âåêòîðóíóí èñòèãàìÿòâåðèúè áóúàãëàðû òàïûëûð:
υυυ
υυ
υυυυ zyx zyx ===
∧∧∧),cos(;),cos(;),cos(
rrr. (17)
ÛÛÛ. Ùÿðÿêÿòèí òÿáèè öñóëëà âåðèëÿí ùàëû. Áó ùàëäà òðàéåêòîðèéà, éÿíè óéüóí ôÿçà ÿéðèñèíèí òÿíëèéè âåðèëèð.
)(lrrrr = , (18)
)(0 tfMMl ==∪
. (19)
Òðàéåêòîðèéà ÿéðèñèíèí âåðèëìÿ íþâëÿðèíäÿí áèðè (18) äöñòóðóäóð. (19)-à ÿñàñÿí íþãòÿíèí ðà-äèóñ âåêòîðóíóí ãþâñöí óçóíëóüóíäàí ïàðàìåòðèê àñûëûëûüû âåðèëèð. Åéíè çàìàíäà (19) ùÿðÿêÿò ãàíóíóíó ìöÿééÿí åäèð. (18)-è (2)-äÿ íÿçÿðÿ àëàã:
dt
dl
dl
rd
dt
rd ⋅==rr
rυ . (20)
Äèýÿð òÿðÿôäÿí, äèôåðåíñèàë ùÿíäÿñÿäÿí ìÿëóìäóð êè,
dl
rdr
r =τ (21)
12
òðàéåêòîðèéà ÿéðè õÿòòèíèí âàùèä òîõóíàí âåêòîðóäóð. Îíäà àëàðûã:
τυ rr ⋅=dt
dl. (22)
1=τr îëäóüóíà ýþðÿ ñöðÿòèí ãèéìÿòè àøàüûäàêû êèìè àëûíûð:
dt
dl=υ , (23)
τυυ rr⋅= . (24)
Áåëÿëèêëÿ (23) âÿ (24)-ÿ ÿñàñÿí ñöðÿò âåêòîðó òðàéåêòîðèéàéà òîõó-íàí èñòèãàìÿòäÿ éþíÿëèð, îíóí ÿäÿäè ãèéìÿòè èñÿ ùÿìèí òðàéåêòîðèéà áîéó êå÷äèéè éîëóí çàìàíà ýþðÿ áèðèíúè òÿðòèá òþðÿìÿñèíÿ áÿðàáÿðäèð.
Ìàääè íþãòÿíèí òÿúèëè
Û. Ùÿðÿêÿòèí âåêòîð öñóëó èëÿ âåðèëÿí ùàëû. Ñöðÿò âåêòîðóíóí
],[ ttt ∆+ çàìàí èíòåðâàëûíäà àðòûìûíà áàõàã:
)()( ttt υυυ rrr−∆+=∆ . (1)
Îíóí ìöâàôèã çàìàí àðòûìûíà îëàí íèñáÿòè, ],[ ttt ∆+ çàìàí èíòåðâà-
ëûíäà îðòà òÿúèë àäëàíäûðûëûð:
tworta ∆
∆= υrr (2)
Áó èôàäÿíèí ëèìèòè àíè òÿúèë âÿ éà ñà-äÿúÿ òÿúèë àäëàíûð:
tw
t ∆∆=
→∆
υrr
0lim . (3)
Òÿúèë âåêòîðó òðàéåêòîðèéàíûí ÷þêöíòö èñòèãàìÿòèíÿ éþíÿëèð. (3)-ÿ ÿñàñÿí àëûðûã:
dt
dw
υrr = . (4)
Òÿúèë âåêòîðó ñöðÿò âåêòîðóíóí çàìàíà ýþðÿ áèðèíúè òÿðòèá òþðÿìÿñè-äèð. Áóðàäà ñöðÿò âåêòîðóíóí òÿðèôèíäÿí èñòèôàäÿ åòñÿê, àëàðûã:
2
2
dt
rdw
rr = . (5)
Òÿúèë âåêòîðó ðàäèóñ âåêòîðóí çàìàíà ýþðÿ èêèíúè òÿðòèá òþðÿìÿñèäèð. Ñöðÿò âåêòîðóíóí ðàäèàë âÿ òðàíñâåðñàë èñòèãàìÿòëÿð öçðÿ àéðûëûøûíûí
èôàäÿñèíè (4)-äÿ éåðèíÿ éàçàã:
13
=
⋅+⋅== pdt
dre
dt
dr
dt
d
dt
dw
rrr
r ϕυ
dt
pd
dt
drp
dt
drp
dt
d
dt
dr
dt
ed
dt
dre
dt
rdr
rrr
rr
⋅+⋅+⋅⋅+⋅+= ϕϕϕ2
2
2
2
(6)
Âåêòîð àíàëèçèíäÿí ìÿëóì îëàí äöñòóðëàðäàí èñòèôàäÿ åäÿê:
−=−⋅=
=
edt
de
dt
d
dt
pd
pdt
d
dt
ed
rrr
rr
ϕϕ
ϕ
)( (7)
(7)-íè (6)-äà éåðèíÿ éàçàã âÿ ãðóïëàøäûðàã:
pdt
dr
dt
d
dt
dre
dt
dr
dt
rdw
rrr
r
+⋅
+
−=2
22
2
2
2ϕϕϕ
. (8)
(8) òÿúèë âåêòîðóíóí ðàäèàë âÿ òðàíñâåðñàë èñòèãàìÿòëÿðÿ àéðûëûøûäûð. Îíóí ïðîéåêñèéàëàðû àøàüûäàêûëàðäûð:
pr WWWrrr
+=
2
22
2
2
2;dt
dr
dt
d
dt
drw
dt
dr
dt
rdw pr
ϕϕϕ +⋅=
−= (9)
Òÿúèë âåêòîðóíóí ãèéìÿòè âÿ èñòèãàìÿòè àøàüûäàêû äöñòóðëàðëà òÿéèí îëóíóðëàð:
.
;22
r
p
pr
w
wtg
www
=
+=
α
ÛÛ. Ùÿðÿêÿòèí êîîðäèíàò öñóëó èëÿ âåðèëÿí ùàëû. Òÿúèë âåêòîðóíóí äà-
õèë åäèëìèø Äåêàðò êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí îõëàðû öçðÿ àéðûëûøûíû éàçàã:
kwjwiww zyx
rrrr ⋅+⋅+⋅= .
Áó èôàäÿíè ñöðÿò âÿ ðàäèóñ âåêòîðóíóí àéðûëûøëàðû èëÿ áèðýÿ (4) âÿ (5) äöñòóðëàðûíäà éåðèíÿ éàçàã, îíäà òÿúèë âåêòîðóíóí ïðîéåêñèéàëàðû ö÷öí àëìûø îëàðûã:
2
2
2
2
2
2
;;dt
zd
dt
dw
dt
yd
dt
dw
dt
xd
dt
dw z
zy
yx
x ====== υυυ. (11)
14
Áó ïðîéåêñèéàëàðà ÿñàñÿí òÿúèë àøàüûäàêû êèìè òÿéèí îëóíàð: 222zyx wwww ++= , (12)
w
wzw
w
wyw
w
wxw zyx ===
∧∧∧),cos(;),cos(;),cos(
rrr. (13)
(12) òÿúèëèí ãèéìÿòèíè, (13) èñÿ îíóí èñòèãàìÿòèíè ìöÿééÿí åäèð. ÛÛÛ. Ùÿðÿêÿòèí òÿáèè öñóë èëÿ âåðèëÿí ùàëû. (4) èôàäÿñèíäÿ ñöðÿòèí
τυυ rr⋅= äöñòóðóíäàí èñòèôàäÿ åäÿê. Îíäà àëìûø îëàðûã:
ndt
d
dl
d
dt
d
dt
dl
dl
d
dt
d
dt
d
dt
dw
rrr
rr
rrr
r
ρυτυτυτυτυτυτυυ 2
2)( +⋅=⋅+⋅=⋅⋅+⋅=⋅== .
Éÿíè:
ndt
dw
rrr
ρυτυ 2
+⋅= . (14)
Áóðàäà áèç äèôåðåíñèàë ùÿíäÿñÿíèí ìÿ-ëóì
ndl
d rr
ρτ 1= ; τrr ⊥n ; 1=n
r.
äöñòóðóíäàí èñòèôàäÿ åòìèøèê. nr òðàéåê-
òîðèéàíûí íîðìàëû, ρ èñÿ òðàéåêòîðèéàíûí áàõûëàí íþãòÿäÿ ÿéðèëèê ðàäèó-
ñóäóð. (14) òÿúèë âåêòîðóíóí òðàéåêòîðèéàíûí òîõóíàí âÿ íîðìàë èñòèãàìÿò-
ëÿðÿ àéðûëûøûíûí èôàäÿñèäèð. Òîõóíàí âÿ íîðìàë òÿúèë àøàüûäàêû äöñòóðëàð èëÿ òÿéèí îëóíóðëàð:
⋅==
==
22
2
2
1dt
dlw
dt
ld
dt
dw
n ρρυ
υτ
(15)
Òàì òÿúèëèí ãèéìÿòè 22nwww += τ (16)
äöñòóðó èëÿ ùåñàáëàíûð, èñòèãàìÿòè èñÿ
nw
wtg τα = (17)
êèìè òÿéèí îëóíóð.
15
Õöñóñè ùàëëàð
Û. Äöçõÿòëè ùÿðÿêÿò à) Ùÿðÿêÿòèí âåêòîð öñóëó èëÿ âåðèëÿí ùàëû.
constconste =⇒= ϕr
e
dt
dr
dt
dr
r
p
r rr ⋅=⇒
=⋅=
=υυϕυ
υ
0,
eww
dt
dr
dt
d
dt
drw
dt
rd
dt
dr
dt
rdw
r
p
r rr ⋅=⇒
=+⋅=
=
−=
022
2
2
22
2
2
ϕϕ
ϕ
.
Ùÿì ñöðÿò, ùÿì äÿ òÿúèë âåêòîðëàðû äöçõÿòëè òðàéåêòîðèéà áîéó éþíÿ-ëèáëÿð.
0>⋅ rr wυ îëàðñà, ùÿðÿêÿò éåéèíëÿøÿí ùÿðÿêÿòäèð.
0<⋅ rr wυ îëàðñà, ùÿðÿêÿò éàâàøûéàí ùÿðÿêÿòäèð.
á) Ùÿðÿêÿòèí êîîðäèíàò öñóëó èëÿ âåðèëÿí ùàëû. Õ îõóíó äöçõÿòëè òðàéåêòîðèéà áîéó éþíÿëäÿê.
Îíäà íþãòÿíèí êîîðäèíàòëàðû îëàúàã: 0;0);( === zytxx .
Áó ùàëäà ñöðÿò âÿ òÿúèëèí ïðîéåêñèéàëàðû ö÷öí àëûíàúàã:
=
⋅=⇒=
=
0
0
z
xy
x
i
dt
dx
υυυυ
υrr,
=
⋅=⇒=
==
0
0
2
2
z
xy
xx
w
iwww
dt
xd
dt
dw
rr
υ
16
Áóðàäàí ýþðöíöð êè, ñöðÿò âÿ òÿúèë âåêòîðëàðû òðàéåêòîðèéà áîéó — õ îõó áîéó éþíÿëèáëÿð.
0>⋅ xx wυ îëàðñà, ùÿðÿêÿò éåéèíëÿøÿí ùÿðÿêÿò, 0<⋅ xx wυ îëàðñà,
ùÿðÿêÿò éàâàøûéàí ùÿðÿêÿòäèð. Ùÿðÿêÿò èñòèãàìÿòèíè àíúàã ñöðÿò âåêòîðó ìöÿééÿí åäèð. ú) Ùÿðÿêÿòèí òÿáèè öñóëëà âåðèëÿí ùàëû. Äöçõÿòëè ùÿðÿêÿò ö÷öí
01 =⇒∞=ρ
ρ . Áóíëàðû ìÿëóì äöñòóðëàðäà éåðèíÿ éàçàã:
=⋅=
=
ττυ
τυ
rrr
rr
2
2
dt
ld
dt
dw
dt
dl
ÛÛ. Äàèðÿâè ùÿðÿêÿò
Áó ùàëû ùÿðÿêÿòèí òÿáèè öñóë èëÿ âåðèëÿí ùà-
ëûíà óéüóí äöñòóðëàð ÿñàñûíäà àðàøäûðàã. Äàè-ðÿâè òðàéåêòîðèéà ö÷öí constR ==ρ .
Ùÿíäÿñÿäÿí ìÿëóìäóð: ϕ⋅= Rl . Áó
èôàäÿíè ñöðÿòèí äöñòóðóíäà éàçàã:
dt
dR
dt
Rd
dt
dl ϕϕυ ⋅=⋅== )(.
Áåëÿ áèð èøàðÿëÿìÿ ãÿáóë åäÿê:
dt
dϕω = (18)
Áóíó áóúàã ñöðÿòè àäëàíäûðàã. Îíäà ñöðÿò ö÷öí àëìûø îëàðûã: ωυ ⋅= R (19)
Òîõóíàí âÿ íîðìàë òÿúèëëÿð ö÷öí àëûíûð:
Rw
dt
dR
dt
Rd
dt
dw
n
22
)(
υρ
υ
ωωυτ
==
⋅=⋅==
Àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿíè äàõèë åäÿê:
17
εω =dt
d (20)
âÿ áóíà áóúàã òÿúèëè äåéèðëÿð. Îíäà òîõóíàí âÿ íîðìàë òÿúèë ö÷öí àëà-ðûã:
22
; ωυετ ⋅==⋅= RR
wRw n . (21)
Òàì òÿúèëèí ãèéìÿòè: 24 εω +⋅= Rw . (22)
Îíóí èñòèãàìÿòè èñÿ áó äöñòóðëà òÿéèí îëóíóð:
2ωε
α =tg . (23)
ßéðèõÿòëè êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ ìàääè
íþãòÿíèí ñöðÿòè âÿ òÿúèëè Ö÷þë÷öëö ôÿçàäà ìàääè íþãòÿíèí âÿçèééÿòè àñûëû îëìàéàí èõòèéàðè ö÷
ïàðàìåòð âàñèòÿñèëÿ òÿéèí îëóíà áèëÿð. Áó ïàðàìåòðëÿðè ,, 321 qqq èëÿ
èøàðÿ åäÿê. Îíäà íþãòÿíèí ðàäèóñ âåêòîðó áó ö÷ ïàðàìåòðäÿí àñûëû îëàúàã.
),,( 321 qqqrrrr = . (1)
Õöñóñè ùàëäà áó ö÷ ïàðàìåòð Äåêàðò êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí êîîðäèíàò-
ëàðû îëà áèëÿð. Íþãòÿíèí òóòäóüó âÿçèééÿòäÿ ,, 321 qqq ïàðàìåòðëÿðÿ
óéüóí ìöâàôèã ÿéðèõÿòëè êîîðäèíàò ñèñòåìèíè ãóðìàã îëàð. Áàõûëàí íþã-
òÿíèí êîîðäèíàòëàðûíû );;( 3020100 qqqM èëÿ èøàðÿ åäÿê. (1) äöñòóðóíäà
303202 ; qqqq == ãÿáóë åòñÿê
);;( 30201 qqqrrrr = (2)
âåêòîð òÿíëèéèíè àëìûø îëàðûã. Áóðàäà 1q äÿéèøÿíäèð âÿ áó òÿíëèê ìöÿé-
éÿí ôÿçà ÿéðèñèíè òÿéèí åäèð. Áó ÿéðèíè 1q êîîðäèíàò ÿéðèñè àäëàíäûðàã.
Ñîíðà (1)-äÿ 303101 , qqqq == ãÿáóë åòñÿê, íÿòèúÿäÿ
);;( 30210 qqqrrrr = (3)
ôÿçà ÿéðèñèíèí òÿíëèéèíè àëìûø îëóðóã. Áó ÿéðèíè 2q êîîðäèíàò ÿéðèñè àä-
ëàíäûðàã. Âÿ íÿùàéÿò 202101 , qqqq == ãÿáóë åòñÿê,
18
);;( 32010 qqqrrrr = (4)
ôÿçà ÿéðèñèíèí òÿíëèéèíè àëìûø îëóðóã âÿ áóíó 3q
êîîðäèíàò ÿéðèñè àäëàíäûðàã. Àëûíàí ÿéðèëÿð ÿéðè-õÿòëè êîîðäèíàò ñèñòåìèíè òÿøêèë åäèð.
Áàõûëàí M íþãòÿñèíäÿ êîîðäèíàò ÿéðèëÿðèíÿ òîõóíàí âåêòîðëàðû àøàüûäàêû äöñòóðëàðëà ìöÿééÿí îëóíóðëàð:
___
3,1, =∂∂= kq
rэ
kk
rr
(5)
Áó âåêòîðëàðûí óçóíëóãëàðû öìóìèééÿò-ëÿ âàùèäÿ áÿðàáÿð äåéèë. Îíäà âàùèä áàçèñ âåêòîðëàðû àøàüûäàêû êèìè ãóðóëóð:
___
3,1, == kээ
ek
kk r
rr
(6)
___
3,1,1 === kээ
ek
kk r
rr
(7)
Ôÿðç åäÿê êè, ÿéðèõÿòëè êîîðäèíàò ñèñòåìè îðòîãîíàëäûð, éÿíè áàçèñ âåêòîð-ëàð áèð-áèðèíÿ ïåðïåíäèêóëéàðäûð.
≠=
==nk
nkee knnk 0
,1),( δrr
(8)
,, 321 qqq ÿéðèõÿòëè êîîðäèíàò ñèñòåìè èëÿ éàíàøû ,, zyx Äåêàðò
êîîðäèíàò ñèñòåìèíè äÿ äàõèë åäÿê. Áó èêè ñèñòåìèí êîîðäèíàòëàðû àðàñûíäà áèðãèéìÿòëè àñûëûëûãëàð ìþâúóääóð:
===
),,(
),,(
),,(
321
321
321
qqqzz
qqqyy
qqqxx
(9)
Ðàäèóñ âåêòîðóí
kzjyixrrrrr ++= (10)
øÿêëèíäÿ àéðûëûøûíû (5)-äÿ éåðèíÿ éàçàã:
kq
zj
q
yi
q
xэ
kkkk
rrrr
∂∂+
∂∂+
∂∂= .
19
Áóðàäàí àëûíûð: 222
∂∂+
∂∂+
∂∂==
kkkkk q
z
q
y
q
xэHr
. (11)
Áóíëàðà Ëàìå ÿìñàëëàðû äåéèëèð. (6)-éà ÿñàñÿí àëûíûð êè,
kkk eHэrr ⋅= . (12)
Ñöðÿòèí òÿðèôèíÿ ýþðÿ éàçìàã îëàð:
kk
kk
k
kk
k
k
k
edt
dqH
dt
dqэ
dt
dq
q
r
dt
rd rrrr
r∑∑∑
===⋅=⋅=⋅
∂∂==
3
1
3
1
3
1
υ . (13)
Áåëÿ áèð èøàðÿëÿìÿäÿí èñòèôàäÿ åäÿúÿéèê:
kk q
dt
dq&= . (14)
Îíäà
eqHk
kk
r&
r∑
==
3
1
υ . (15)
Ñöðÿò âåêòîðóíóí ÿéðèõÿòëè êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí âàùèä áàçèñ âåêòîð-ëàðûíà ýþðÿ àéðûëûøûíû éàçàã:
kk
q ek
rr∑
=⋅=
3
1
υυ . (16)
Áóðàäà kqυ — ñöðÿò âåêòîðóíóí ìöâàôèã ke
r âåêòîðóíóí èñòèãàìÿòè öçðÿ
ïðîéåêñèéàñûäûð. (15) âÿ (16)-íû ìöãàéèñÿ åäÿðÿê áó ïðîéåêñèéàëàð ö÷öí òàïàðûã:
kkq qHk
&⋅=υ . (17)
Ñöðÿòèí þçö èñÿ àøàüûäàêû äöñòóðëà ìöÿééÿí îëóíóð:
∑∑==
⋅==3
1
223
1
22
kkk
kq qH
k&υυ . (18)
Òÿúèë ö÷öí àëûíûð:
dt
dw
υrr = , (19)
kk
q ewwk
rr ⋅=∑=
3
1
, (20)
kqw òÿúèë âåêòîðóíóí ÿéðèõÿòëè êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ ïðîéåêñèéàëàðûäûð.
(19) âÿ (20)-äÿí àëûíûð:
20
kk
q ewdt
dk
rr
⋅=∑=
3
1
υ.
Áó èôàäÿíèí ùÿð èêè òÿðÿôèíè ñêàëéàð îëàðàã ier áàçèñ âåêòîðóíà âóðàã:
___3
1
3,1),( =⋅=
⋅ ∑=
ieewdt
de ik
kqi k
rrr
r υ.
Îíäà (8)-ÿ ÿñàñÿí àëûíûð êè,
⋅=dt
dew iqi
υrr. (21)
(12)-éÿ ÿñàñÿí:
dt
dэ
Hw i
iqi
υrr ⋅⋅= 1.
Áóðàäà (5)-äÿí èñòèôàäÿ åäÿê:
∂∂⋅−
∂∂⋅=⋅
∂∂⋅=
iiiiiq q
r
dt
d
q
r
dt
d
Hdt
d
q
r
Hw
i
rr
rr
rr
υυυ 11 (22)
Ñöðÿò âåêòîðóíóí òÿðèôèíÿ ÿñàñÿí:
∑=
⋅∂∂==
3
1ii
i
r
dt
rd&
rrrυ
Ñîí èôàäÿíèí ùÿð èêè òÿðÿôèíäÿí iq& -éÿ ýþðÿ õöñóñè òþðÿìÿ àëàã:
ii q
r
q ∂∂=
∂∂ r
&
rυ (23)
Ùÿì÷èíèí:
iii qdt
rd
r
dt
d
∂∂=
∂∂=
∂∂ υrrr
(24)
(23) âÿ (24)-ö (22)-äÿ éåðèíÿ éàçñàã, àëàðûã:
∂∂⋅−
∂∂⋅=
iiiq qqdt
d
Hw
i
υυυυr
rr
r1. (25)
Áó èôàäÿíè ñàäÿëÿøäèðÿê. Áóíóí ö÷öí íÿçÿðÿ àëàã êè,
iiii q
T
qqqq ∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂⋅∂=
∂∂⋅
2)(
21)(
21 22 υυυυυυ
rrrr
. (26)
Áóðàäà
21
2
2υ=T (27)
âàùèä êöòëÿíèí êèíåòèê åíåðæèñèäèð. (26)-éà ÿñàñÿí (25) èôàäÿñèíè éàçìàã îëàð:
∂∂−
∂∂=
kkkq q
T
q
T
dt
d
Hw
k &
1. (28)
(20)-éÿ ÿñàñÿí òÿúèë âåêòîðóíóí ãèéìÿòè àøàüûäàêû äöñòóðëà òÿéèí îëóíàð:
23
12
3
1
22 1∑∑
==
∂∂−
∂∂==
k kkkkq q
T
q
T
dt
d
Hww
k &. (29)
Äåéèëÿíëÿðè ñèëèíäðèê êîîðäèíàò ñèñòåìè ö÷öí íöìàéèø åòäèðÿê. Ì1 — Ì íþãòÿñèíèí ÕÉ êîîðäèíàò ìöñòÿâèñèíÿ îëàí ïðîéåêñèéàñûäûð.
1Mr − íþãòÿñè èëÿ êîîðäèíàò áàøëàíüûúû àðàñûíäàêû ìÿñàôÿäèð.
ϕ — Õ îõó èëÿ ÎÌ1 îõóíóí ÿìÿëÿ ýÿòèðäèéè áóúàãäûð. Ñèëèíäðèê êî-
îðäèíàò ñèñòåìè àøàüûäàêû êèìè äàõèë îëóíóð:
zqqrq === 321 ;; ϕ (30)
Øÿêèëäÿí ýþðöíöð êè,
⋅=⋅=
ϕϕ
sin
cos
ry
rx
(30)-ó äà íÿçÿðÿ àëñàã:
=⋅=⋅=
3
21
21
sin
cos
qz
qqy
qqx
(31)
Áó àñûëûëûãëàð (9) àñûëûëûãëàðûíà ìöâàôèãäèð. Áóíëàðäàí èñòèôàäÿ åäÿðÿê (11)-ÿ ÿñàñÿí Ëàìå ÿìñàëëàðû, (17) âÿ (18)-ÿ ÿñàñÿí ñöðÿò, ñîíðà èñÿ (27)-éÿ ÿñàñÿí Ò ôóíêñèéàñû òÿéèí îëóíóð âÿ íÿùàéÿò (28) âÿ (29)-à ÿñàñÿí òÿúèë ùåñàáëàíûð.
Áàõûëàí ñèëèíäðèê êîîðäèíàò ñèñòåìè ö÷öí àëûíûð:
=
∂∂
+
∂⋅∂+
∂⋅∂=
2
1
3
2
1
21
2
1
211
)sin()cos(
q
q
q
q
qqH
1sincos 22
22 =+= qq ;
22
=
∂∂
+
∂⋅∂+
∂⋅∂=
2
2
3
2
2
21
2
2
212
)sin()cos(
q
q
q
q
qqH
1222
1222
1 cossin qqqqq =+= ;
1)sin()cos(
2
3
3
2
3
21
2
3
213 =
∂∂
+
∂⋅∂+
∂⋅∂=
q
q
q
q
qqH ;
1111qqHq && =⋅=υ ; 21222
qqqHq && ⋅=⋅=υ ; 3333qqHq && =⋅=υ
222223
22
21
21
2 zrrqqqq &&&&&& ++=+⋅+= ϕυ
−
∂++∂⋅=
∂∂−
∂∂=
1
23
22
21
21
111
)(
2
111 q
qqqq
dt
d
q
T
q
T
dt
d
Hwq
&
&&&
&
( ) 22211
221
1
1
23
22
21
21 2
2
12
2
1)(
2
1 ϕ&&&&&&&&&&&
rrqqqqqdt
qd
q
qqqq −=⋅−=⋅⋅−=∂
++∂⋅−
−
∂++∂⋅=
∂∂−
∂∂=
2
23
22
21
21
1222
)(
2
1112 q
qqqq
dt
d
T
q
T
dt
d
Hwq
&
&&&
&
( ) ϕϕ &&&&&&&&&&&&
&&&&
rrqqqqqqqqqq
qqdt
d
qqqq
+=+=+=
=
⋅⋅⋅⋅=
∂++∂
⋅−
2221
22
11)(
2
1
2121221211
1
221
12
23
22
21
21
−
∂++∂⋅=
∂∂−
∂∂=
3
23
22
21
21
3333
)(211
q
qqqq
dt
d
q
T
q
T
dt
d
Hwq
&
&&&
&
;)2(
2
1)(
2
13
3
3
23
22
21
21 zq
dt
qd
q
qqqq&&&&
&&&&==⋅=
∂++∂⋅−
23
( )( ) ( ) 2222
23
2
212122
2112222
2
2)(321
zrrrr
qqqqqqqqwwww qqq
&&&&&&&&&
&&&&&&&&&
+++−=
=+++⋅−=++=
ϕϕϕ
Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí ôÿçà âÿçèééÿòèíèí òÿéèíè
Àøàüûäàêû êîîðäèíàò ñèñòåìëÿðèíè äàõèë åäÿê:
1) Òÿðïÿíìÿç ìöòëÿã ;; mmm ZYX êîîðäèíàò ñèñòåìèíè;
2) Áàøëàíüûúû úèñìèí ùÿð ùàíñû áèð íþãòÿñèíäÿ îëàí âÿ ìöòëÿã êîîð-
äèíàò ñèñòåìèíÿ ýþðÿ èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòè åäÿí ZYX ;; êîîðäèíàò ñèñ-
òåìèíè 3) Úèñìèí ùÿìèí íþãòÿñèíäÿ áàøëàíüûúû îëàí âÿ úèñèìëÿ ñÿðò ÿëàãÿëè
îëàí ìÿõñóñè ;; zyx êîîðäèíàò ñèñ-
òåìèíè;
OX || mmXO ,
OY || mmYO ,
OZ || mmZO ,
Ìÿõñóñè ;; zyx êîîðäèíàò ñèñòå-
ìèíèí îõëàðû úèñìèí åéíè íþãòÿëÿðèí-äÿí êå÷èð. Áó êîîðäèíàò ñèñòåìè úèñèì-ëÿ áèðëèêäÿ ùÿðÿêÿòäÿäèð âÿ îíóí ôÿçà âÿçèééÿòè úèñìèí ôÿçà âÿçèééÿòèíè òÿé-èí åäèð.
M úèñìèí èõòèéàðè íþãòÿñè, Rr ùÿìèí íþãòÿíèí ðàäèóñ âåêòîðó, 0R
r
èñÿ Î íþãòÿñèíèí ðàäèóñ âåêòîðóäóð. Rr âÿ 0R
r âåêòîðëàðû ;; mmm ZYX
êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ, éà äà ;; ZYX êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ ïðîéåê-
ñèéàëàðëà âåðèëÿí âåêòîðëàðäûð. OM âåêòîðó ùÿì ìöòëÿã ;; mmm ZYX
êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ ïðîéåêñèéàëàðëà, ùÿì äÿ ìÿõñóñè ;; zyx êîîð-
äèíàò ñèñòåìèíäÿ ïðîéåêñèéàëàðëà âåðèëÿ áèëÿð. Áó òÿñâèðëÿðè ôÿðãëÿíäèð-ìÿê ö÷öí àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿëÿðäÿí èñòèôàäÿ åäÿê:
=
=
zyx
ZYX
OM
OMr mmm
;;
;;
ρr
r
(1)
24
Øÿêëÿ ÿñàñÿí éàçìàã îëàð:
rRRrrr
+= 0 . (2)
Åéíè âåêòîðóí èêè ôÿðãëè, àíúàã åéíè áàøëàíüûú íþãòÿñè îëàí îðòîãîíàë êîîðäèíàò ñèñòåìëÿðèíäÿ îëàí ïðîéåêñèéàëàðû àðàñûíäàêû àñûëûëûã àøàüûäàêû êå÷èä äöñòóðó èëÿ ìöÿééÿí îëóíóð:
ρrrAr = . (3)
Áóðàäà
3,1,, == jiaA ij (4)
êå÷èä ìàòðèñèäèð. (3)-ö (2)-äÿ éàçñàã, àëàðûã:
ρrrr
ARR += 0 . (5)
(5) úèñìèí ôÿçà âÿçèééÿòèíè òÿéèí åäÿí äöñòóðäóð. Áó äöñòóðà äàõèë îëàí âÿ áèð-áèðèíäÿí àñûëû îëìàéàí ïàðàìåòðëÿðèí ñàéûíû òàïàã. Íÿçÿðÿ àëàã êè, (4) ìàòðèñè îðòîãîíàë ÷åâðèëìÿ ìàòðèñè îëäóüóíäàí àøàüûäàêû àñûëûëûãëàð äîüðóäóð:
___3
1
3,1,, ==∑=
jiaan
ijjnin δ . (6)
Áóðàäà
≠=
=ji
jiij ,0
,1δ Êðîíåêåð ñèìâîëëàðûäûð. (6) øÿðòëÿðèíèí ñàéû àë-
òûäûð. Îíäà À ìàòðèñèíèí ija åëåìåíòëÿðèíèí àíúàã ö÷ö áèð-áèðèíäÿí àñûëû
äåéèëäèð. Îíäà (5) äöñòóðóíäà àñûëû îëìàéàí ïàðàìåòðëÿðèí ñàéû 6-éà
áÿðàáÿð îëàúàãäûð. Áóíëàð );;( 0000 ZYXRr
âåêòîðóíóí ö÷ ïðîéåêñèéàñû-
äûð âÿ À ìàòðèñèíèí ö÷ àñûëû îëìàéàí åëåìåíòèäèð. Áåëÿëèêëÿ ìöòëÿã áÿðê úèñìèí ôÿ-
çà âÿçèééÿòèíè òÿéèí åäÿí ïàðàìåòð-ëÿðèí ñàéû 6-éà áÿðàáÿðäèð. À ìàòðè-ñèíèí àñûëû îëìàéàí ïàðàìåòðëÿðèíè àøàüûäàêû êèìè òÿéèí åòìÿê îëàð.
ÎÊ, õÎé âÿ ÕÎÉ ìöñòÿâèëÿðèíèí êÿñèøìÿ õÿòòèäèð âÿ äöéöíëÿð îõó àäëàíûð. ψ — ïðåñåñèéà áóúàüû; θ —
íóòàñèéà áóúàüû; ϕ — ìÿõñóñè äþí-
ìÿ áóúàüû àäëàíûð. Áó áóúàãëàð Åé-ëåð áóúàãëàðûäûð.
À ìàòðèñèíèí åëåìåíòëÿðè ìÿùç Åéëåð áóúàãëàðû èëÿ èôàäÿ îëóíóðëàð:
25
),,( θψϕijij aa = .
Ìÿõñóñè ;; zyx êîîðäèíàò ñèñòåìè ZYX ;; êîîðäèíàò ñèñòåìèí-
äÿí ö÷ àðäûúûë äþíìÿ èëÿ àëûíà áèëÿð: 1) ÎÇ îõó ÿòðàôûíäà ψ áóúàüûíà ýþðÿ äþíìÿ. Áó ùàëäà äþíìÿ ìàò-
ðèñè àøàüûäàêû êèìè îëàúàã:
−=
100
0cossin
0sincos
1 ψψψψ
A . (7)
Áó äþíìÿ çàìàíû ÎÕ îõó ÎÊ äöéöíëÿð îõóíà êå÷ÿúÿê. 2) ÎÊ äöéöíëÿð îõó ÿòðàôûíäà θ áóúàüûíà ýþðÿ äþíìÿ. Áó äþí-
ìÿéÿ óéüóí îëàí ìàòðèñ àøàüûäàêû øÿêèëäÿäèð:
−=θθθθ
cossin0
sincos0
001
2A . (8)
Áó äþíìÿ íÿòèúÿñèíäÿ ÎÇ îõó Îç îõóíà êå÷ÿúÿê. 3) Îç îõó ÿòðàôûíäà ϕ áóúàüûíà ýþðÿ äþíìÿ. Áó äþíìÿéÿ óéüóí
îëàí ìàòðèñ àøàüûäàêû øÿêèëäÿäèð:
−=
100
0cossin
0sincos
2 ϕϕϕϕ
A . (9)
Áó äþíìÿ íÿòèúÿñèíäÿ ÎÊ Îõ îõóíà êå÷ÿúÿê. Áåëÿëèêëÿ
OzOZ
OyOY
OxOX
→→→
;;;; zyxZYX →⇒ . (10)
(10) êå÷èäèíèí À äþíìÿ ìàòðèñè (7), (8), (9) ìàòðèñëÿðèíèí ùàñèëèäèð.
321 AAAA ⋅⋅= (11)
(11)-ÿ ÿñàñÿí À ìàòðèñèíèí ___
3,1, =ijaij åëåìåíòëÿðè Åéëåðèí ψθϕ ,,
èëÿ èôàäÿ îëóíóð.
26
Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí éåðäÿéèøìÿëÿðè Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí ÿñàñ ö÷ éåðäÿéèøìÿëÿðè àøàüûäàêûëàðäûð: 1. Èðÿëèëÿìÿ éåðäÿéèøìÿñè; 2. Ôûðëàíìà éåðäÿéèøìÿñè; 3. Âèíòâàðû éåðäÿéèøìÿñè. ßýÿð úèñìèí éåðäÿéèøìÿñè çàìàíû îíóí áöòöí íþãòÿëÿðèíèí éåðäÿé-
èøìÿëÿðè åéíèäèðñÿ, áó éåðäÿéèøìÿ èðÿëèëÿìÿ éåðäÿéèøìÿñè àäëàíûð. ßýÿð úèñìèí éåðäÿéèøìÿñè çàìàíû îíóí âÿ éà îíóíëà ñÿðò áàüëû îëàí
ôÿçà ùÿúìèíèí èõòèéàðè èêè íþãòÿñè òÿðïÿíìÿç ãàëàðñà, áåëÿ éåðäÿéèøìÿ ôûðëàíìà éåðäÿéèøìÿñè àäëàíûð. Ùÿìèí òÿðïÿíìÿç èêè íþãòÿäÿí êå÷ÿí äöç õÿòò ôûðëàíìà îõó àäëàíäûðûëûð.
ßýÿð úèñìèí éåðäÿéèøìÿñè ôûðëàíìàäàí âÿ ôûðëàíìà îõóíà ïàðàëåë îëàí èðÿëèëÿìÿ éåðäÿéèøìÿñèíäÿí èáàðÿòäèðñÿ, áåëÿ éåðäÿéèøìÿ âèíòâàðû éåðäÿéèøìÿ àäëàíäûðûëûð.
Òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí ìöòëÿã áÿðê úèñìèí éåðäÿéèøìÿñè ùàããûíäà Åéëåð òåîðåìè
Òåîðåì: Òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí ìöòëÿã
áÿðê úèñìèí èõòèéàðè éåðäÿéèøìÿñè òÿðïÿíìÿç íþãòÿäÿí êå÷ÿí ùÿð ùàíñû áèð îõ ÿòðàôûíäà ôûð-ëàíìà èëÿ àëûíà áèëÿð.
Òåîðåìÿ ÿñàñÿí ôûðëàíìà îõó öçÿðèíäÿ éåð-ëÿøÿí íþãòÿëÿð òÿðïÿíìÿçäèð âÿ îíà ýþðÿ äÿ ôûð-ëàíìà îõó öçÿðèíäÿ éåðëÿøÿí èõòèéàðè B íþãòÿ-ñèíèí r
r ðàäèóñ âåêòîðó äÿéèøìÿç îëàðàã ãàëûð..
Éÿíè, rrArr = . (1)
Äþíìÿ çàìàíû âåêòîð þçöíÿ êå÷èð. Áó úöð âåêòîð ôûðëàíìà îõóíó ìöÿééÿí åäèð. Îíóí òÿéèíè ôûðëàìà îõóíóí òÿéèíè äåìÿêäèð. (1)-ÿ ÿñà-ñÿí r
r âåêòîðó À ìàòðèñèíèí ìÿõñóñè åëåìåíòèäèð âÿ áó åëåìåíòÿ óéüóí
îëàí ìÿõñóñè ÿäÿä 1=λ -äèð. Áåëÿëèêëÿ, òåîðåìèí èñáàòû À äþíìÿ ìàò-ðèñèíèí 1=λ ìÿõñóñè ÿäÿäèíèí îëìàñûíûí èñáàòûíäàí èáàðÿòäèð.
Ðèéàçèééàòäàí ìÿëóìäóð êè, aaArr ⋅=⋅ λ (2)
þäÿíèðñÿ, ar — ìÿõñóñè åëåìåíò, λ — ìÿõñóñè ÿäÿääèð:
( ) 0det =− EA λ . (3)
(3) òÿíëèéèíÿ ÿñàñÿí λ òÿéèí îëóíóð. Áåëÿëèêëÿ, èñáàò îëóíìàëûäûð êè,
27
0)det( =− EA . (4)
Áóðàäà À — îðòîãîíàë ìàòðèñèíèí àøàüûäàêû õàññÿëÿðèíäÿí èñòèôàäÿ îëó-íàúàã:
TAAAA === −− 11 ,1detdet .
Àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿíè ãÿáóë åäÿê: )det()( EAf λλ −= . (5)
Îíäà )det()1( EAf −= . (6)
Àøàüûäàêû ÷åâèðìÿëÿðè àïàðàã:
=−⋅=−⋅=−= −− ))(det()det(det)det()1( 11 EAAEAAEAf
=−=−=⋅−⋅= −−−− 1111 )det()det()det( AEAEEAAA
)1()det()1())(det()det( 3 fEAEAAE −=−⋅−=−−=−= (7)
Áåëÿëèêëÿ, )1()1( ff −= âÿ áóðàäàí äà àëûíûð êè, 0)1( =f .
Èíäè èñÿ äþíìÿ áóúàüûíû À ìàòðèñèíèí åëåìåíòëÿðè èëÿ èôàäÿ åäÿê:
3,1 ==
ijijaA . (8)
ßýÿð êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí ç îõóíó ôûðëàíìà îõó èñòèãàìÿòèíäÿ éþ-íÿëòñÿê, îíäà äþíìÿ ìàòðèñè àøàüûäàêû øÿêëÿ äöøÿð:
−=
100
0cossin
0sincos
αααα
B . (9)
(8) âÿ (9)-ëà òÿéèí îëóíàí ìàòðèñëÿð îõøàð îëäóãëàðûíà ýþðÿ îíëàðûí äèàãîíàë åëåìåíòëÿðèíèí úÿìëÿðè åéíèäèð:
1cos2332211 +=++ αaaa
Áóðàäàí äþíìÿ áóúàüû òÿéèí îëóíóð:
12
cos 332211 −++= aaaα (10)
Ñÿðáÿñò ìöòëÿã áÿðê úèñìèí éåðäÿéèøìÿñè ùàããûíäà òåîðåì
Òåîðåì: Ñÿðáÿñò ìöòëÿã áÿðê úèñìèí èõòèéàðè éåðäÿéèøìÿñè èêè éåð-
äÿéèøìÿíèí úÿìè êèìè òÿéèí îëóíà áèëÿð: úèñìèí èõòèéàðè íþãòÿñèíèí (ãöòáöí) éåðäÿéèøìÿñèíÿ óéüóí îëàí èðÿëèëÿìÿ éåðäÿéèøìÿñè âÿ áó íþã-òÿäÿí êå÷ÿíîõ ÿòðàôûíäà ôûðëàíìà éåðäÿéèøìÿñè. Èðÿëèëÿìÿ éåðäÿéèøìÿñè
28
ãöòáöí ñå÷èëìÿñèíäÿí àñûëûäûð, ôûðëàíìà èñÿ ãöòáäÿí àñûëû äåéèë. Úèñìèí ñå÷èëìèø ãöòáöíö Î íþãòÿñè èëÿ èøàðÿ åäÿê. Îíäà úèñìèí èõ-
òèéàðè íþãòÿñè ö÷öí éàçûëà áèëÿð:
ρrrr
ARR += 0 . (1)
Áó èôàäÿ òåîðåìèí áèðèíúè ùèññÿñèíèí èñáàòûíû òÿøêèë åäèð. Òåîðåìèí èêèíúè ùèññÿñèíè èñáàò åòìÿê ö÷öí ãöòáö äèýÿð Î1 íþãòÿñèíäÿ ýþòöðÿê.
,, zyx ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèäèð. Îíäà
zyxzyx MOOOOMzyx ,,11,,
,,+==ρr . (2)
(2)-íè (1)-äÿ éåðèíÿ éàçàã:
=++=
=⋅+=+=
zyx
zyx
MOAOOAR
OMARARR
zyx ,,110
,,00
,,
r
rrrrρ
ZYXMOAOORZYX ,,110 ,,
++=r
(3)
Íÿçÿðÿ àëñàã êè,
1010 ,,ROOR
ZYX
rr=+ , (4)
1,,1 ρr=zyxMO , (5)
àëàðûã:
110 ρrr
ARR += . (6)
(6)-éà ÿñàñÿí ãöòá äÿéèøèëäèêäÿ 100 RRrr
→ , èðÿëèëÿìÿ éåðäÿéèøìÿñè
äÿéèøèëèð. Ôûðëàíìà îõó âÿ äþíìÿ áóúàüû èñÿ À ìàòðèñèíèí åëåìåíòëÿðè èëÿ òÿéèí îëóíäóüóíà ýþðÿ äÿéèøìèðëÿð.
Ñÿðáÿñò ìöòëÿã áÿðê úèñìèí öìóìè éåðäÿéèøìÿñè ùàããûíäà Ìîòñè òåîðåìè
Òåîðåì: Ñÿðáÿñò ìöòëÿã áÿðê úèñìèí öìóìè éåðäÿéèøìÿñè âèíòâàðû
éåðäÿéèøìÿäèð. Âèíòâàðû éåðäÿéèøìÿíèí òÿðèôèíÿ ýþðÿ áóíó èñáàò åòìÿê ö÷öí úèñìèí
åëÿ áèð íþãòÿñèíèí âàðëûüûíû ýþñòÿðìÿê ëàçûìäûð êè, îíóí éåðäÿéèøìÿñè ôûðëàíìà îõó áîéó éþíÿëñèí. Îíäà ùÿìèí íþãòÿíè ãöòá ñå÷ÿðÿê úèñìèí âèíòâàðû ùÿðÿêÿòèíè àëìûø îëàðûã. Áåëÿ áèð íþãòÿíèí âàðëûüûíûí èñáàòûíû âåðÿê.
Òÿðïÿíìÿç êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí mZ îõóíó ôûðëàíìà îõó áîéó
29
éþíÿëäÿê. Èëêèí àíäà ;; 000 zyx ìÿõ-
ñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí ìöòëÿã êîîð-äèíàò ñèñòåìè èëÿ öñò-öñòÿ äöøäöéöíö ãÿáóë åäÿê. Äþíìÿ áóúàüûíû α èëÿ èøàðÿ åòñÿê, äþíìÿ ìàòðèñèíè àøàüûäàêû êèìè éàçìàã îëàð:
−=
100
0cossin
0sincos
αααα
A (1)
Òóòàã êè, ∗M åëÿ áèð íþãòÿäèð êè, îíóí MM ∗ éåðäÿéèøìÿñè ôûðëàí-
ìà îõóíà ïàðàëåëäèð. Øÿêëÿ ýþðÿ àøàüûäàêû èêè âåêòîð àñûëûëûüûíû éàçìàã îëàð:
mmm zyxMMRR ;;∗∗ +=rr
, (2)
mmm zyxOMRR ;;0 +=rr
. (3)
(3)-ö àøàüûäàêû êèìè äÿ éàçìàã îëàð:
zyxOMARR ;;0 ⋅+=rr
. (4)
Êîîðäèíàò ñèñòåìëÿðèíèí ñå÷èìèíÿ ÿñàñÿí àéäûíäûð êè,
zyxOMR ;;=∗
r (5)
(5)-è (4)-äÿ éåðèíÿ éàçñàã:
∗⋅+= RARRrrr
0 (6)
àëìûø îëóðóã. (2) âÿ (6)-äàí àëûíûð:
∗∗∗ +=+ RARMMRmmm zyx
rrr
0;; . (7)
Î íþãòÿñèíäÿ îëàí ãöòáöí 0Rr éåðäÿéèøìÿñèíè èêè òîïëàíàíà àéûðàã:
⊥ΙΙ += 000 RRRrrr
. (8)
Áóðàäà ΙΙ0Rr
Î íþãòÿñèííèí ôûðëàíìà îõó áîéó îëàí éåðäÿéèøìÿñè, ⊥0Rr
èñÿ ôûðëàíìà îõóíà ïåðïåíäèêóëéàð îëàí éåðäÿéèøìÿñèäèð. Áó éåðäÿéèø-ìÿëÿðè óéüóí ïðîéåêñèéàëàðëà èøàðÿ åäÿê:
=
=
= ⊥ΙΙ
0;0
0; 0
0
0
0
0
0
0
0
0 YX
RZ
RZYX
Rrrr
(9)
Úèñìèí áöòöí íþãòÿëÿðèíèí ôûðëàíìà îõó èñòèãàìÿòèíäÿ ( mZ îõó
30
áîéó) éåðäÿéèøìÿëÿðè åéíè îëäóüóíà ýþðÿ éàçìàã îëàð:
ΙΙ
→
∗ = 0;; RMMmmm zyx
r. (10)
(10)-ó (7)-äÿ éåðèíÿ éàçàã:
∗ΙΙ
∗ +=+ RARRRrrrr
00 . (11)
Áó òÿíëèêäÿí (8)-ÿ ÿñàñÿí àõòàðäûüûìûç ìÿúùóë ∗Rr âåêòîðó òàïûëûð:
⊥∗ =− 0)( RRAE
rr, (12)
áóðàäà Å âàùèä ìàòðèñäèð:
=100
010
001
E . (13)
Ìÿúùóë ∗Rr âåêòîðóíóí êîîðäèíàòëàðûíû àøàüûäàêû êèìè èøàðÿ åäÿê:
=
∗
∗
∗
∗
ZYX
Rr
. (14)
(1), (9), (13) âÿ (14) èôàäÿëÿðèíè (12)-äÿ éåðèíÿ éàçàã:
=
⋅
−−
−∗
∗
∗
0000
0cos1sin
0sincos1
0
0
YX
ZYX
αααα
(15)
Ìàòðèñëÿðèí ùàñèëëÿðèíè ùåñàáëàéàðàã àëûðûã:
=−+⋅−=⋅+⋅−
∗∗
∗∗
0
0
)cos1(sin
sin)cos1(
YYX
XYX
αααα
(16)
00 =⋅ ∗Z (17)
(17)-éÿ ÿñàñÿí ìÿúùóë íþãòÿëÿðèí ÷îõëóüó ôûðëàíìà îõóíà ïàðàëåë îëàí äöç õÿòòè âåðèð. Îíëàðû ìöÿééÿí åäÿí àíúàã (16) òÿíëèêëÿð ñèñòå-ìèíäÿí òÿéèí îëóíàí ∗X âÿ ∗Y êîîðäèíàòëàðäûð. Áó òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí
áàø äåòåðìèíàíòû ñûôûðäàí ôÿðãëè îëäóüóíäàí îíóí ùÿëëè éåýàíÿäèð:
=−−
−=∆
αααα
cos1sin
sincos1
______222 2;0;0)2(sin4)cos1(2sin)cos1( πααααα ≠≠=−=+−= .
31
Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòè Áàõûëàí ];[ 10 tt çàìàí èíòåðâàëûíäà ìöòëÿã áÿðê úèñìèí áó èíòåðâàëà
äàõèë îëàí èõòèéàðè çàìàí ïàð÷àñûíà óéüóí îëàí éåðäÿéèøìÿñè èðÿëèëÿìÿ éåðäÿéèøìÿñèäèðñÿ, îíäà îíóí ùÿðÿêÿòè èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòè àäëàíäûðûëûð.
Èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòèíäÿ ùÿð áèð çàìàí ïàð÷àñûíäà áöòöí íþãòÿëÿðèí éåðäÿéèøìÿëÿðè åéíè îëäóüóíà ýþðÿ îíëàðûí ñöðÿòëÿðè âÿ òÿúèëëÿðè äÿ åéíè îëàúàã.
Òóòàã êè, À âÿ Á úèñìèí èêè èõòèéàðè íþãòÿñèäèð âÿ Arr∆ âÿ Br
r∆ îíëà-
ðûí t∆ çàìàí èíòåðâàëûíäà ìöâàôèã éåðäÿéèøìÿëÿðèäèð. Òÿðèôÿ ýþðÿ
Arr∆ = Br
r∆ . (1)
Îíäà t
r
t
r B
t
A
t ∆∆=
∆∆
→∆→∆
rr
00limlim âÿ áóðàäàí BA υυ rr
= . Òþðÿìÿ àëìàãëà òÿúèë-
ëÿð ö÷öí äÿ óéüóí BA wwrr = ìöíàñèáÿòèíè àëàðûã.
Áåëÿëèêëÿ, àíúàã úèñìèí èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòè ö÷öí îíóí âàùèä ñöðÿòè âÿ âàùèä òÿúèëè ùàããûíäà ñþùáÿò àïàðìàã îëàð.
Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí àíè êèíåìàòèê âÿçèééÿòè ßýÿð áàõûëàí àíäà úèñìèí áöòöí íþãòÿëÿðèíèí ñöðÿòëÿðè åéíè îëàðñà,
îíäà äåéèëèð êè, úèñèì àíè èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòè åäèð. ßýÿð áàõûëàí àíäà åéíè áèð äöç õÿòò öçÿðèíäÿ éåðëÿøÿí íþãòÿëÿðèí
ñöðÿòëÿðè ñûôûðà áÿðàáÿðäèðñÿ, îíäà äåéèëèð êè, úèñèì àíè ôûðëàíìà ùÿðÿ-êÿòè åäèð; ùÿìèí äöç õÿòò èñÿ àíè ôûðëàíìà îõó àäëàíûð.
Çàìàí êå÷äèêúÿ àíè ôûðëàíìà îõó ùÿì ôÿçàäà âÿ ùÿì äÿ úèñèìäÿ þç âÿçèééÿòèíè äÿéèøÿ áèëÿð.
Àíè èðÿëèëÿìÿ âÿ àíè ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòëÿðèíèí úÿìè î âàõò àíè âèíòâàðû ùÿðÿêÿò òÿøêèë åäÿúÿê êè, àíè èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòèíèí èñòèãàìÿòè àíè ôûð-ëàíìà îõó áîéó éþíÿëñèí.
Ñÿðáÿñò ìöòëÿã áÿðê úèñìèí íþãòÿëÿðèíèí ñöðÿòëÿðè
Òóòàã êè, 0υr ñå÷èëìèø Î ãöòáöíöí ñöðÿòèäèð, r
r èñÿ
úèñìèí èõòèéàðè íþãòÿñèíèí Î íþãòÿñèíÿ ýþðÿ ðàäèóñ âåêòî-ðóäóð. Îíäà àøàüûäàêû òåîðåì äîüðó îëàð. Òåîðåì: ßýÿð àíè ùÿðÿêÿò èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòè äåéèëñÿ,
îíäà åëÿ áèð ωr âåêòîðó âàð êè, úèñìèí èõòèéàðè íþãòÿñèíèí
32
ñöðÿòè àøàüûäàêû äöñòóð èëÿ òÿéèí îëóíóð: )(0 rrrrr
×+= ωυυ . (1)
ωr âåêòîðó áóúàã ñöðÿòè âåêòîðó àäëàíäûðûëûð. Ãàáàã îëäóüó êèìè òÿðïÿíìÿç âÿ
ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíè äàõèë åäÿê âÿ ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí áàø-ëàíüûúûíû, éÿíè Î íþãòÿñèíè ãöòá ñå÷ÿê.
=
=
zyx
zyx
OM
OMr mmm
;;
;;
ρr
r
(2)
ρrrAr = (3)
Øÿêèëäÿí ýþðöíöð êè,
ρrrrr
ARrRR +=+= 00 (4)
(4) àñûëûëûüûíäàí çàìàíà ýþðÿ òþðÿìÿ àëàã. Îíäà const=ρr (5)
îëäóüóíó íÿçÿðÿ àëàðàã, òàïûëûð:
ρr&&r&r ARR += 0 . (6)
Òÿðèôÿ ýþðÿ
υrr
&r ==dt
RdR (7)
áàõûëàí íþãòÿíèí ñöðÿòèäèð. Ñå÷èëìèø ãöòáöí ñöðÿòè èñÿ:
00 υrr
&r ==dt
RdR . (8)
(3)-äÿí àëûíûð:
rArr ⋅= −1ρ . (9)
Áóðàäà 1−A — A ìàòðèñèíèí òÿðñ ìàòðèñèäèð. (7), (8), (9)-ó (6)-äà éåðèíÿ éàçàã:
rAAr&rr ⋅+= −1
0υυ . (10)
Àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿíè ãÿáóë åäÿê: 1−= AAB & (11)
âÿ ýþñòÿðÿê êè, áó ìàòðèñ ãåéðè-ñèììåòðèêäèð,
3,1 ==
ijijbB , (12)
éÿíè
33
ijji bb −= (13)
âÿ éà ìàòðèñ äèëèíäÿ
BBT −= . (14) (14)-ö èñáàò åòìÿê ö÷öí àøàüûäàêû ìÿëóì àñûëûëûüû éàçàã:
EAA =⋅ −1 . Ùÿð èêè òÿðÿôäÿí çàìàíà ýþðÿ òþðÿìÿ àëàã:
011 =⋅+⋅ −− AAAA && . Ñîíðà àøàüûäàêû ÷åâðèëìÿíè àïàðàã:
11 −− ⋅−=⋅ AAAA && ,
=⋅−=⋅−= −−− TTTT AAAAAA )()()( 111 &&& 11)( −− ⋅−=⋅−= AAAA TT && . (15)
Áó èñÿ î äåìÿêäèð êè, (14) äîüðóäóð. Áåëÿëèêëÿ äÿ (13) àñûëûëûüû ìþâú-óääóð âÿ (11) ìàòðèñè ö÷öí éàçà áèëÿðèê:
−−−=⋅ −
0
0
0
2313
2312
13121
bb
bb
bb
AA& . (16)
Áó åëåìåíòëÿðè àøàüûäàêû êèìè èøàðÿ åäÿê:
−=
=−=
x
y
z
b
b
b
ωω
ω
23
13
12
(17)
Áåëÿëèêëÿ
−−
−=⋅ −
0
0
01
xy
xz
yz
AA
ωωωω
ωω& (18)
(17)-äÿ âåðèëìèø ö÷ ïàðàìåòð ÿñàñûíäà âåêòîð ãóðìàã îëàð. Áó âåê-òîðó àøàüûäàêû êèìè éàçàã:
),,( zyx ωωωωω rr= . (19)
Ýþñòÿðÿê êè,
)(1 rrAArrr& ×=⋅ − ω . (20)
ßââÿë ñîë òÿðÿôäÿ îëàí âåêòîðó òÿéèí åäÿê:
34
−−
−
=
⋅
−−
−=⋅ −
xy
zx
yz
z
y
x
rAA
yx
xz
zy
xy
xz
yz
ωωωωωω
ωωωω
ωω
0
0
01r& (21)
(20)-íèí ñàü òÿðÿôè ö÷öí àëìûø îëóðóã:
==×zyx
kji
r zyx ωωωω
rrr
rr)(
kxyjzxiyz yxxzzy
rrr)()()( ωωωωωω −+−+−= , (22)
áóðàäà kjirrr
,, — áàçèñ âåêòîðëàðäûð.
(21) âÿ (22)-íè ìöãàéèñÿ åòäèêäÿ ýþðöðöê êè, áó èêè âåêòîðóí óéüóí ïðîéåêñèéàëàðû áèð-áèðèíÿ áÿðàáÿðäèð. Éÿíè (20) áÿðàáÿðëèéè äîüðóäóð. (20)-íè (10)-äà éàçñàã (1)-è àëûðûã.
Ãåéä: (3) âÿ (20)-äÿí àëûíûð êè,
)(1 rrAAAdt
rdr
rrr&r&
r
&r ×=⋅=== − ωρ . (23)
Éÿíè constr =r îëäóãäà
)( rdt
rd rrr
×= ω . (24)
Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí íþãòÿëÿðèíèí òÿúèëè
Ñöðÿò äöñòóðóíäàí çàìàíà ýþðÿ òþðÿìÿ àëàã:
×+
×+=dt
rdr
dt
d
dt
d
dt
dr
rrrrr
ωωυυ 0 . (25)
Òÿðèôÿ ýþðÿ
wdt
d rr
=υ (26)
áàõûëàí íþãòÿíèí òÿúèëè,
00 w
dt
d rr
=υ (27)
èñÿ ñå÷èëìèø ãöòáöí òÿúèëèäèð.
35
εω rr
=dt
d (28)
èøàðÿëÿìÿñèíè ãÿáóë åäÿê âÿ áó âåêòîðó áóúàã òÿúèëè âåêòîðó àäëàíäûðàã (24), (26), (27) âÿ (28) èôàäÿëÿðèíè (25)-äÿ éåðèíÿ éàçàã:
))(()(0 rwwrwwrrrrrrr ××+×+= ε . (29)
(29) ñÿðáÿñò ìöòëÿã áÿðê úèñìèí èõòèéàðè íþãòÿñèíèí òÿúèëèíèí äöñòó-ðóäóð.
Òóòàã êè, Á úèñìèí èõòèéàðè íþãòÿñèäèð. Îíäà îíóí ñöðÿòè âÿ òÿúèëè àøàüûäàêû êèìè òÿéèí îëóíàúàã:
)(0 OBB ×+= ωυυ rrr, (30)
))(()(0 OBOBwwB ××+×+= ωωε rrrrr. (31)
ßýÿð ãöòá òÿðïÿíìÿç íþãòÿ îëàðñà, éÿíè
00 =υr âÿ 00 =wr
, (32)
îíäà Á ãöòá ÿòðàôûíäà àíè ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòè åäÿúÿêäèð âÿ áó ùÿðÿêÿò-äÿí éàðàíàí ñöðÿò âÿ òÿúèë äöñòóðëàðû (30) âÿ (31)-äÿí (32)-íè íÿçÿðÿ
àëìàãëà àëûíàúàãëàð. Ùÿìèí ñöðÿòè BOυr èëÿ, òÿúèëè èñÿ BOwr
èëÿ èøàðÿ
åäÿê. Äåéèëÿíëÿðÿ ÿñàñÿí àëìûø îëóðóã:
××+×=
×=
))(()(
)(
OBOBw
OB
BO
BO
ωωε
ωυrrrr
rr
(33)
Áåëÿëèêëÿ BOυr âåêòîðó áàõûëàí íþãòÿíèí ãöòá ÿòðàôûíäà ôûðëàíìà ùÿ-
ðÿêÿòèíäÿí éàðàíàí ñöðÿòèäèð. BOwr
áàõûëàí íþãòÿíèí ãöòá ÿòðàôûíäà ôûð-
ëàíìà ùÿðÿêÿòèíäÿí éàðàíàí òÿúèëäèð. (33)-ö (30) âÿ (31)-äÿ éàçàã:
BOB υυυ rrr+= 0 , (34)
BOB wwwrrr += 0 . (35)
(34)-ÿ ÿñàñÿí ñÿðáÿñò ìöòëÿã áÿðê úèñìèí èõòèéàðè íþãòÿñèíèí ñöðÿòè, ñå÷èë-ìèø ãöòáöí ñöðÿò âåêòîðóíóí âÿ ãöòá ÿòðàôûíäà ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòèíäÿí éàðàíàí ñöðÿò âåêòîðóíóí úÿìèíÿ áÿðàáÿðäèð:
→⊥ OBBOυr ; OBBO ⋅= ωυ .
Ãåéä: Úèñìèí èõòèéàðè èêè íþãòÿñèíèí ñöðÿò âåêòîðóíà áó íþãòÿëÿðè áèðëÿøäèðÿí äöç õÿòò öçÿðèíÿ îëàí ïðîéåê-
36
ñèéàëàðû áÿðàáÿðäèðëÿð. Áó èêè íþãòÿíè À âÿ Á èëÿ èøàðÿ åäÿê. Îíäà À íþãòÿñèíè ãöòá ñå÷ÿðÿê Á íþãòÿñè ö÷öí (34)-ÿ ÿñàñÿí éàçìàã îëàð:
BAAB υυυ rrr+= (36)
(36)-íû ÀÁ äöç õÿòò ïàð÷àñû öçðÿ ïðîéåêñèéàëàéàã:
BAABAABBAB prprpr υυυ rrr+= .
Íÿçÿðÿ àëñàã êè,
0=⇒⊥→
BAABBA prAB υυ rr
âÿ îíäà
AABBAB prpr υυ rr= . (37)
(35)-ÿ ÿñàñÿí úèñìèí èõòèéàðè íþãòÿñèíèí òÿúèëè ñå÷èëìèø ãöòáöí òÿúèëè èëÿ ãöòá ÿòðàôûíäà ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòèíäÿí éàðàíàí òÿúèëèí úÿìèíÿ áÿðà-áÿðäèð.
Òÿðïÿíìÿç îõ ÿòðàôûíäà ôûðëàíàí ìöòëÿã áÿðê úèñìèí íþãòÿëÿðèíèí ñöðÿòëÿðè âÿ òÿúèëëÿðè
Î âÿ À òÿðïÿíìÿç íþãòÿëÿðäèð. Áó íþãòÿëÿðäÿí êå÷ÿí ÎÀ äöç õÿòòè
ôûðëàíìà îõóäóð. Ìöòëÿã âÿ ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìëÿðèíèí áàø-
ëàíüûúëàðûíûåéíè áèð Î íþãòÿñèíäÿ éåðëÿøäèðÿê âÿ mZ âÿ z îõëàðûíû ôûð-
ëàíìà îõó áîéó éþíÿëäÿê. mX âÿ x îõëàðû àðàñûíäà äÿéèøÿí ϕ áóúàüû äþí-
ìÿ áóúàüûäûð. M úèñìèí èõòèéàðè íþãòÿ-ñèäèð. Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí òÿðèôèíÿ ýþðÿ
AM âÿ OM ìÿñàôÿëÿðè äÿéèøìÿç-
äèð. constAM = , constOM = .
Áó î äåìÿêäèð êè, áèð òÿðÿôäÿí M íþãòÿñèíèí òðàéåêòîðèéàñû ìÿðêÿçè O íþãòÿñèíäÿ îëàí âÿ ðàäèóñó OM îëàí êöðÿ öçÿðèíäÿ éåðëÿøìÿëèäèð. Äèýÿð òÿ-ðÿôäÿí èñÿ M íþãòÿñèíèí òðàéåêòîðèéàñû ìÿðêÿçè A íþãòÿñèíäÿ îëàí âÿ ðàäèóñó AM îëàí êöðÿ öçÿðèíäÿ éåðëÿøìÿëèäèð. Îíäà M íþãòÿñèíèí òðàéåêòî-ðèéàñû áó èêè êöðÿíèí êÿñèøìÿ õÿòòèäèð. Áó èñÿ ìÿëóì îëäóüóíà ýþðÿ
37
÷åâðÿäèð. ×åâðÿíèí ìöñòÿâèñè êöðÿëÿðèí O âÿ A ìÿðêÿçëÿðèíè áèðëÿøäè-ðÿí OA äöç õÿòò ïàð÷àñûíà ïåðïåíäèêóëéàðäûð âÿ ÷åâðÿíèí ìÿðêÿçè ùÿ-
ìèí äöç õÿòò ïàð÷àñû öçÿðèíäÿ éåðëÿøèð; áó 1O íþãòÿñèäèð. Áåëÿëèêëÿ úèñ-
ìèí ùÿð áèð íþãòÿñèíèí òðàéåêòîðèéàñû ÷åâðÿäèð âÿ îíóí ñöðÿòè, ùÿðÿêÿòè âÿ òÿúèëè ìàääè íþãòÿíèí äàèðÿâè ùÿðÿêÿòäÿ îëäóüó ùàëäàêû êèìèäèð. Áóúàã ñöðÿòè âåêòîðóíóí ïðîéåêñèéàëàðûíû òÿéèí åäÿê. Áóíóí ö÷öí
−=
100
0cossin
0sincos
ϕϕϕϕ
A (1)
äþíìÿ ìàòðèñèíäÿí èñòèôàäÿ åäÿê âÿ àøàüûäàêû ìÿëóì èôàäÿëÿðè íÿçÿðÿ àëàã:
3,1,
1 =− =⋅
jiijbAA& , (2)
−=
=−=
x
y
z
b
b
b
ωω
ω
23
13
12
(3)
Àøàüûäàêû ÿìÿëèééàòëàðû àïàðàã:
−==−
100
0cossin
0sincos1 ϕϕ
ϕϕTAA ,
−−
=000
0sincos
0cossin
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
&&
&&
&A .
Áóíëàðû (2)-äÿ íÿçÿðÿ àëàã:
==
−=−−=
0
0
sincos
23
13
2212
b
b
b ϕϕϕϕϕ &&&
⇒
=
==
ϕωωω&z
yx 0 (4)
);0,0( ϕω &r
(5)
Áó î äåìÿêäèð êè, ωr âåêòîðó Oz îõó áîéó éþíÿëèá. Áóúàã òÿúèëè èñÿ: ),0,0( ϕωε &&
rr== (6)
êèìèäèð âÿ î äà ôûðëàíìà îõó áîéó éþíÿëÿúÿê.
38
(4)-ÿ ÿñàñÿí áóúàã ñöðÿòè âåêòîðó ôûðëàíìà îõó áîéó åëÿ éþíÿëìÿëèäèð êè, îíóí óúóíäàí áàõäûãäà ôûðëàíìà ñààò ÿãðÿáèíèí ÿêñ èñòèãàìÿòèíäÿ ýþðöíñöí.
ßýÿð ωε rr↑↑ , éà äà 0>ϕϕ &&& îëàðñà, îíäà ôûð-
ëàíìà ùÿðÿêÿòè éåéèíëÿøÿí ùÿðÿêÿòäèð.
ßýÿð ωε rr↑↓ , éà äà 0<ϕϕ &&& îëàðñà, îíäà ôûð-
ëàíìà ùÿðÿêÿòè éàâàøûéàí ùÿðÿêÿòäèð. Ãåéä: Ôûðëàíìà èñòèãàìÿòèíè àíúàã áóúàã ñöðÿòè
âåêòîðó ìöÿééÿí åäèð. Ãåéä åòäèéèìèç êèìè
⋅=
⋅=
⋅=
MOw
MOw
MO
n 12
1
1
ω
εωυ
τ (7)
áóðàäà dt
dϕϕω == & . (7) èôàäÿëÿðè ñöðÿò âÿ òÿúèë ö÷öí îëàí öìóìè èôà-
äÿëÿðäÿí àëûíà áèëÿð. Ãöòáö òÿðïÿíìÿç O íþãòÿñèíäÿ ãÿáóë åòñÿê, îíäà
0,0 00 == ωυ rr îëàð âÿ ñöðÿò âÿ òÿúèë ö÷öí àëûíàð:
)( rrrr ×= ωυ , (8)
)()())(()( υωεωωε rrrrrrrrrr ×+×=××+×= rrrw . (9)
(8)-ÿ ÿñàñÿí ñöðÿò âåêòîðó MOO1∆ ö÷áóúàüûíûí ìöñòÿâèñèíÿ ïåð-
ïåíäèêóëéàðäûð: =⊥υr MOO1∆ âÿ øÿêèëäÿ ýþñòÿðèëäèéè êèìè éþíÿëèð:
MOrr 1sin ⋅=⋅=×== ωαωωυυ rrr.
Òîõóíàí òÿúèë ö÷öí àëûíûð:
)( rwrrr ×= ετ . (10)
Áó âåêòîð äà ; rrrε âåêòîðëàðûíûí òÿøêèë åòäèéè ìöñòÿâèéÿ ïåðïåíäè-
êóëéàðäûð. Éÿíè, MOO1∆ ö÷áóúàüûíûí ìöñòÿâèñèíÿ ïåðïåíäèêóëéàðäûð:
MOrrw 1sin ⋅=⋅=×= εαεετrrr
.
Íîðìàë òÿúèë ö÷öí àëûíûð:
)( υω rrr ×=nw . (11)
(11)-ÿ ÿñàñÿí nwr âåêòîðó ; υω rr
âåêòîðëàðûíûí òÿøêèë åòäèéè ìöñòÿ-
âèéÿ, éÿíè υr âåêòîðóíäàí êå÷ÿí øàãóëè ìöñòÿâèéÿ ïåðïåíäèêóëéàðäûð.
39
Áó èñòèãàìÿò 1MO äöç õÿòòèíèí èñòèãàìÿòèäèð. Áåëÿëèêëÿ →
↑↑ 1MOnωr .
Áó î äåìÿêäèð êè, nwr âåêòîðó
→
1MO âåêòîðóíà êîëëèíåàðäûð, 1MO áîéó
ìÿðêÿçÿ äîüðó éþíÿëèð.
MOwn 12090sin ⋅=⋅=⋅=×= ωυωυωυω rr
.
Ìàääè íþãòÿ ö÷öí ñöðÿòëÿðèí òîïëàíìàñû ùàããûíäà òåîðåì
Òóòàã êè, ìàääè íþãòÿ ùÿð ùàíñû áèð ùÿðÿêÿòäÿ îëàí B ùåñàáëàìà
ñèñòåìèíÿ íÿçÿðÿí ìöÿééÿí ùÿðÿêÿò åäèð. Áó ùÿðÿêÿò íèñáè ùÿðÿêÿò àä-ëàíäûðûëûð âÿ îíóí ñöðÿòè rυr èëÿ, òÿúèëè èñÿ rw
r èëÿ èøàðÿ îëóíóð. Äèýÿð òÿ-
ðÿòôäÿí òóòàã êè, B ùåñàáëàìà ñèñòåìè òÿðïÿíìÿç D ùåñàáëàìà ñèñòå-ìèíÿ íÿçÿðÿí ìöÿééÿí ùÿðÿêÿò åäèð. Áó ùÿðÿêÿòäÿ B ùåñàáëàìà ñèñ-òåìèíèí íþãòÿëÿðèíèí ñöðÿòëÿðèíè eυr èëÿ, òÿúèëëÿðèíè èñÿ ew
r èëÿ èøàðÿ åäÿê.
Áóíëàð ìöâàôèã îëàðàã êþ÷öðìÿ ñöðÿò âÿ êþ÷öðìÿ òÿúèë àäëàíûð. Ùÿðÿêÿ-òèí þçö èñÿ êþ÷öðìÿ ùÿðÿêÿò àäëàíäûðûëûð. Áàõûëàí ìàääè íþãòÿíèí òÿð-ïÿíìÿç D ùåñàáëàìà ñèñòåìèíÿ íÿçÿðÿí ùÿðÿêÿòè ìöòëÿã ùÿðÿêÿò àä-ëàíäûðûëûð. Áó ùÿðÿêÿòäÿ ìàääè íþãòÿíèí ñöðÿòè aυr , òÿúèëè èñÿ aw
r èëÿ èøà-
ðÿ îëóíóð âÿ ìöâàôèã îëàðàã ìöòëÿã ñöðÿò âÿ ìöòëÿã òÿúèë àäëàíäûðûëûð. Ñöðÿòëÿðèí òîïëàíìàñû ùàããûíäà òåîðåì aυr , eυr âÿ rυr ñöðÿòëÿðè àðàñûíäà
àñûëûëûüû, Òÿúèëëÿðèí òîïëàíìàñû ùàããûíäà òåîðåì èñÿ awr, ewr
âÿ rwr àðà-
ñûíäàêû àñûëûëûüû èôàäÿ åäèð. Á ùåñàáëàìà ñèñòåìè èëÿ ,, zyx êîîðäèíàò ñèñòåìèíè ÿëàãÿëÿíäèðÿê
âÿ áó êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ áàõûëàí ìàääè íþãòÿíèí ðàäèóñ âåêòîðóíó ρr èëÿ èøàðÿ åäÿê. Ãåéä åäÿê êè, ρr äÿéèøÿí âåêòîðäóð:
)(tρρ rr= . (1)
Òÿðïÿíìÿç Ä ùåñàáëàìà ñèñòåìè èëÿ ,, mmm ZYX êîîðäèíàò ñèñòå-
ìèíè ÿëàãÿëÿíäèðÿê âÿ áó êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ ìàääè íþãòÿíèí ðàäèóñ
âåêòîðóíó Rr èëÿ èøàðÿ åäÿê. ,, zyx êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí áàøëàíüûú
íþãòÿñèíèí ðàäèóñ âåêòîðóíó 0Rr èëÿ èøàðÿ åäÿê. Ùÿìèí êîîðäèíàò ñèñòå-
ìèíäÿ OM âåêòîðóíó ρr èëÿ èøàðÿ åäÿê. ßýÿð OM âåêòîðó òÿðïÿí-
ìÿç ,, mmm ZYX êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿêè ïðîéåêñèéàëàðû èëÿ èôàäÿ îëó-
40
íàðñà, ùÿìèí âåêòîðó rr èëÿ èøàðÿ åäÿê. Áó èêè âåêòîð àðàñûíäàêû àñûëûëûã
àøàüûäàêû êèìè îëàð: ρrr
Ar = . (2)
Áóðàäà À êå÷èä ìàòðèñèäèð. Øÿêèëäÿí ýþðöíöð êè,
Rr= 0Rr+ rr, (3)
Rr= 0Rr+ ρrA . (4)
(4)-äÿí òþðÿìÿ àëàã:
Rr= 0Rr+ ρr&A + ρ&rA (5)
(2)-äÿí àëûíûð:
rArr ⋅= −1ρ (6)
(6)-íû (5)-äÿ éàçàã:
R&r= 0R&r+ A& rA
r⋅−1 + ρ&r⋅A . (7)
Òÿðèôÿ ýþðÿ:
=
=
00 υ
υr&r
r&r
R
R a (8)
Éóõàðûäà ýþñòÿðèëìèøäèð êè:
A& rAr⋅−1 =( r
rr×ω ). (9)
(8) âÿ (9)-ó (7)-äÿ éàçàã:
ρωυυ &rrrrrAra +×+= )(0 . (10)
Íèñáè ùÿðÿêÿòèí ñöðÿòèíè ãåéä åòìÿê ö÷öí õÿéàëÿí êþ÷öðìÿ ùÿðÿêÿ-
òèíè äîíäóðóá, 0υr =0 âÿ 0=ωr àëûðûã. Îíäà (10)-íóí ñàü òÿðÿôèíäÿ ãà-
ëàí èôàäÿ íèñáè ñöðÿòè èôàäÿ åäèð, éÿíè:
=rυr ρ&rA . (11)
Êþ÷öðìÿ ùÿðÿêÿòèíèí ñöðÿòèíè òÿéèí åòìÿê ö÷öí õÿéàëÿí íèñáè ùÿðÿ-
êÿòè äîíäóðàã, éÿíè: const=ρr ãÿáóë åäÿê, îíäà 0=ρ&r îëàð.
(10)-íóí ñàü òÿðÿôèíäÿ ãàëàí ùÿäëÿð êþ÷öðìÿ ñöðÿòèíè òÿéèí åäèð, éÿ-íè:
0=ρ&r ⇒ eυr = +0υr )( rrr
×ω . (12)
(11) âÿ (12)-íè (10)-äà éàçàã:
aυr = re υυ rr+ . (13)
41
(13) ñöðÿòëÿðèí òîïëàíìàñû ùàããûíäà òåîðåìèí ðèéàçè èôàäÿñèäèð. Òåîðåì: Ìàääè íþãòÿíèí ìöòëÿã ùÿðÿêÿòèíèí ñöðÿòè êþ÷öðìÿ âÿ íèñáè
ùÿðÿêÿòëÿðèí ñöðÿò âåêòîðëàðûíûí úÿìèíÿ áÿðàáÿðäèð. Ìàääè íþãòÿ ö÷öí òÿúèëëÿðèíèí òîïëàíìàñû ùàããûíäà òåîðåì (10)-äàí òþðÿìÿ àëàã:
0υυ &r&r =a + )( rr&r ×ω + ρρω &&r&r&&rr
AAr ++× )( (14)
Òÿðèôÿ ýþðÿ:
=
=
00 w
waa
r&r
r&r
υυ
(15)
Áóíäàí áàøãà:
εωω rr
&r ==dt
d, (16)
áóðàäà εr — êþ÷öðìÿ ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòèíèí áóúàã òÿúèëèäèð.(7)-éÿ ÿñà-ñÿí:
rrArAAAAAr υωρρρρ rrr&rr&&rr&r&r +×=+=+== −• )()( 1 , (17)
( ) )(1rAAAAA υωρωρρ rr&rr&r&&r& ×=×== − . (18)
(15)-(18)-è (14)-äÿ éàçàã:
0wwa
rr = + )( rrr×ε + ρυωωω &&rrrrrr
Ar r +×+×× )(2))(( . (19)
Íèñáè òÿúèëè òÿéèí åòìÿê ö÷öí õÿéàëÿí êþ÷öðìÿ ùÿðÿêÿòèíè äîíäóðàã, éÿíè:
0,0,00 === ωε rrrw
ãÿáóë åäÿê. Îíäà (19)-óí ñàü òÿðÿôèíäÿ ãàëàí ùÿää íèñáè òÿúèëè òÿéèí åäèð:
ρ&&rrAwr = . (21)
Êþ÷öðìÿ òÿúèëèíè òÿéèí åòìÿê ö÷öí õÿéàëÿí íèñáè ùÿðÿêÿòè äîíäóðàã,
éÿíè const=ρr ãÿáóë åäÿê, îíäà 00 =⇒= rυρ r&r .
(19)-óí ñàü òÿðÿôèíäÿ ãàëàí ùÿäëÿð êþ÷öðìÿ òÿúèëèíè òÿéèí åäèð:
0wwrr
l= + )( r
rr ×ε + ))(( rrrr ×× ωω (20)
(20) âÿ (21)-è (19)-äà éàçàã:
ea wwrr = + 2+rw
r)( rυω rr
× . (22)
(22)-íèí ñàü òÿðÿôèíèí àõûðûíúû ùÿääè Êîðèîëèñ òÿúèëèíè òÿéèí åäèð:
42
2=cwr
)( rυω rr× . (23)
(23)-äÿ ωr - êþ÷öðìÿ ùÿðÿêÿòèíèí áóúàã ñöðÿòèäèð:
eωω rr= (24)
2=cwr
)( re υω rr× . (25)
Êîðèîëèñ òÿúèëè êþ÷öðìÿ ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòè-íèí áóúàã ñöðÿòè âåêòîðóíóí íèñáè ùÿðÿêÿòèí ñöðÿò âåêòîðóíà îëàí âåêòîð ùàñèëèíèí èêè ìèñëè-íÿ áÿðàáÿðäèð.
(25)-è (22)-äÿ éàçàã:
crea wwwwrrrr ++= . (26)
(26) òÿúèëëÿðèí òîïëàíìàñû ùàããûíäà òåîðåìèí ðèéàçè èôàäÿñèäèð. Òåîðåì: Ìàääè íþãòÿíèí ìöòëÿã ùÿðÿêÿòèíèí òÿúèëè êþ÷öðìÿ,Êîðèîëèñ
òÿúèëëÿðèíèí âåêòîð úÿìèíÿ áÿðàáÿðäèð.
Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí ìöñòÿâè-ïàðàëåë ùÿðÿêÿòè ßýÿð ìöòëÿã áÿðê úèñìèí áöòöí íþãòÿëÿðèíèí éåðäÿéèøìÿëÿðè ùÿð
ùàíñû áèð òÿðïÿíìÿç Q ìöñòÿâèñèíÿ ïàðàëåë îëàðñà âÿ áó ìöñòÿâèéÿ
ãÿäÿð îëàí ìÿñàôÿäÿí àñûëû îëìàçñà, áåëÿ ùÿðÿêÿò ìöñòÿâè-ïàðàëåë ùÿ-ðÿêÿò àäëàíäûðûëûð.
Òÿðèôäÿí íÿòèúÿ êèìè àëûíûð êè, Q ìöñòÿâèñèíÿ ïåðïåíäèêóëéàð îëàí
äöç õÿòò öçÿðèíäÿ éåðëÿøÿí áöòöí íþãòÿëÿðèí éåðäÿéèøìÿëÿðè åéíèäèð:
EkDa rrrrrrrr ∆==∆=∆=∆ .... . (1)
(1)-è t∆ -éÿ áþëñÿê âÿ t∆ 0→ îëìàãëà ëèìèòÿ êå÷ñÿê, îíäà àëàðûã êè, áó íþãòÿëÿðèí ùÿì ñöðÿòëÿðè, ùÿì äÿ òÿúèëëÿðè åéíèäèð:
EKDA υυυυ rrrr==== .... ,
EKDA wwwwrrrr ==== .... .
Îíäà ìöòëÿã áÿðê úèñìèí ìöñòÿâè-ïàðàëåë ùÿðÿêÿòèíèí þéðÿíèëìÿñè úèñìèí Q ìöñòÿâèñè-
íÿ ïàðàëåë îëàí èõòèéàðè êÿñèéèíèí þç ìöñòÿâè-ñèíäÿ ùÿðÿêÿòèíèí þéðÿíèëìÿñèíÿ ýÿòèðèëèð:
Qα ,
QQ∗ ,
∗⊂Qα .
cwr
ωr
М
rυr
43
Áåëÿëèêëÿ, ìÿñÿëÿ ìöñòÿâè ôèãóðóí þç ìöñòÿâèñèíäÿ ùÿðÿêÿòèíèí þéðÿíèëìÿñèíÿ ýÿòè-ðèëèð. Áó ìöñòÿâèäÿ xOy êîîðäèíàò ñèñòåìèíè
äàõèë åäÿê. Ãåéä åäÿê êè, ìöñòÿâè ôèãóðó îíóí þç
ìöñòÿâèñè èëÿ ÿâÿç åòìÿê îëàð. Îíäà ìÿñÿëÿ ôèãóðóí ìöñòÿâèñèíèí òÿðïÿíìÿç ìöñòÿâèéÿ íÿçÿðÿí ùÿðÿêÿòè ìÿñÿëÿñèíÿ ýÿòèðèëèð. Áó áà-õûìäàí ìöñòÿâè ôèãóðà ñÿðò áàüëû ùÿð ùàíñû áèð îáëàñò ÿëàâÿ åòñÿê, áó ÿëàâÿ ôèãóðóí íþãòÿëÿðè-íèí êèíåìàòèê õàññÿëÿðèíÿ ùå÷ áèð òÿñèð ýþ-ñòÿðìÿéÿúÿê. Áåëÿ ÿëàâÿ ôèãóðóí ñÿðò ýåíèøëÿíäèðèëìÿñè àäëàíûð.
Ùÿì÷èíèí îíó äà ãåéä åòìÿê ëàçûìäûð êè, ÿýÿð úèñìèí ùÿðÿêÿòèíèí ôûðëàíìà ùèññÿñè âàðäûðñà, îíäà ôûðëàíìà îõó α ìöñòÿâèñèíÿ, éÿíè ∗Q
ìöñòÿâèñèíÿ ïåðïåíäèêóëéàðäûð. Íÿçÿðÿ àëñàã êè, ωr âÿ εr âåê-òîðëàðû ôûðëàíìà îõó áîéó éþíÿ-ëèð, ìöñòÿâè ôèãóðóíóí èñÿ ùÿð áèð íþãòÿñèíèí ωυ rrr
,,r âåêòîð-
ëàðû ùÿìèí ìöñòÿâèäÿ éåðëÿøèð-ëÿð, îíäà ωr âÿ εr âåêòîðëàðû
ωυ rrr,,r âåêòîðëàðûíà ïåðïåíäè-
êóëéàðäûð.
Ìöñòÿâè ôèãóðóí íþãòÿëÿðèíèí ñöðÿòëÿðè Ìöñòÿâè ôèãóðóí íþãòÿëÿðèíèí ñöðÿòëÿðè ìöòëÿã áÿðê úèñìèí íþãòÿëÿ-
ðèíèí ñöðÿòëÿðè ö÷öí îëàí äöñòóðóí ÿñàñûíäà ùåñàáëàíûð, éÿíè:
44
BAAB υυυ rrr += , (1)
)( ABBA ×= ωυ rr, (2)
⋅=
⊥
AB
AB
BA
BA
ωυ
υr (3)
Øÿêèëäÿ A ñå÷èëìèø ãöòá, B áàõûëàí íþãòÿäèð. (1)-ÿ ÿñàñÿí ìöñòÿâè ôèãóðóí èõòèéàðè íþãòÿñèíèí ñöðÿòè ñå÷èëìèø ãöòáöí ñöðÿò âåêòîðóíóí âÿ áó ãöòá ÿòðàôûíäà ôûð-ëàíìà ùÿðÿêÿòèíäÿí éàðàíàí ñöðÿò âåêòî-ðóíóí úÿìèíÿ áÿðàáÿðäèð. Òÿðèô: Ìöñòÿâè ôèãóðóí áàõûëàí çàìàí àíûíäà ñöðÿòè ñûôûðà áÿðàáÿð
îëàí íþãòÿñèíÿ àíè ñöðÿòëÿð ìÿðêÿçè, éà äà àíè ôûðëàíìà ìÿðêÿçè àäëàí-äûðûëûð.
Ýþñòÿðìÿê îëàð êè, ÿýÿð áàõûëàí çàìàí àíûíäà ùÿðÿêÿò èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòè äåéèëñÿ, îíäà ìöñòÿâè ôèãóðóí, éà äà îíóí ñÿðò ýå-íèøëÿíìÿñèíèí åëÿ áèð íþãòÿñè âàð êè, îíóí ñöðÿòè ñûôûðà áÿðàáÿðäèð.
Ãåéä: ßýÿð ôèãóðà ñÿðò îëàðàã ùÿð ùàíñû áèð ùèññÿ ÿëàâÿ îëóíóðñà, α ìöñòÿâè ôèãó-ðóí íþãòÿëÿðèíèí ñöðÿòëÿðè âÿ òÿúèëëÿðè äÿé-èøìèð.
Àíè ñöðÿòëÿð ìÿðêÿçèíèí âàðëûüûíû ýþñòÿðÿê âÿ òÿéèí öñóëóíó âåðÿê. Òóòàã êè, C íþãòÿñè àíè ñöðÿòëÿð ìÿðêÿçèäèð:
0=Cυr . (4)
Ùÿð ùàíñû áèð A íþãòÿñèíèí Aυr ñöðÿòè âÿ ωr áóúàã ñöðÿòè âåêòîðó ìÿëóì îëäóãäà A íþãòÿñèíè ãöòá ñå÷ÿðÿê, C íþãòÿñè ö÷öí éàçìàã îëàð:
)( ACAC ×+= ωυυ rrr. (5)
Áóðàäàí (4)-ÿ ÿñàñÿí
)(0 ACA ×+= ωυ rr. (6)
Àõòàðäûüûìûç C íþãòÿñèíèí ðàäèóñ âåêòîðó AC -äèð âÿ áó (6)-éà íàìÿëóì ìÿúùóë êèìè äàõèë îëóð. Áó ìÿúùóëó (6)-äàí òàïàã. Áóíóí ö÷öí (6)-íûí ùÿð èêè òÿðÿôèíè ñîëäàí ωr âåêòîðóíà âåêòîðèàë îëàðàã âóðàã:
45
))(()(0 ACA ××+×= ωωυω rrrr. (7)
Èêèãàò âåêòîðèàë ùàñèëèí )()()(( baccabcbarrrrrrrrr ⋅−⋅=×× õàññÿñèí-
äÿí èñòèôàäÿ åäÿê. Îíäà
ACACACAC ⋅−=⋅−⋅=×× 2)()())(( ωωωωωωω rrrrrr (8)
(8)-è (7)-äÿ éåðèíÿ éàçàã:
ACA ⋅−×= 2)(0 ωυω rr,
2
)(
ωυω AACrr
⋅= . (9)
(9)-äàí àëûíûð:
ωυ
ωυω
ωυω
AAAAC =⋅=×
=22
rr
. (10)
Ýþñòÿðèëÿí øÿêèë (9) äöñòóðóíà ÿñàñÿí ãóðóëìóøäóð. (9)-à ÿñàñÿí àíè ôûðëàíìà ìÿðêÿçèíèí òÿéèíèíèí àøàüûäàêû àëãîðèòìèíè àëìûø îëó-ðóã:
1. Aυr âåêòîðó ôûðëàíìà îõó
ÿòðàôûíäà, ôûðëàíìà èñòèãàìÿòèíäÿ 090 äþíäÿðèëèð; 2. Àëûíàí AK éàðûìîõó öçÿ-
ðèíäÿ ìÿñàôÿñè (10)-ëà ìöÿééÿí îëóíàí C íþãòÿñè ãåéä îëóíóð. Áó íþãòÿ àíè ôûðëàíìà ìÿðêÿçè-äèð.
Àíè ñöðÿòëÿð ìÿðêÿçèíèí òÿéèíèíèí äèýÿð öñóëëàðû ßýÿð ωr áóúàã ñöðÿòè âåêòîðó ìÿëóì äåéèëñÿ, àíè ñöðÿòëÿð ìÿðêÿçèíè
ìöñòÿâè ôèãóðóí ùÿð ùàíñû èêè íþãòÿñèíèí ñöðÿòëÿðèíÿ ýþðÿ òÿéèí åòìÿê ìöìêöíäöð. Ùÿìèí íþãòÿëÿðè A âÿ B èëÿ èøàðÿ åäÿê. Ùÿì÷èíèí áó íþãòÿëÿðèí Аυr âÿ Вυr ñöðÿò
âåêòîðëàðûíûí éåðëÿøäèêëÿðè äöç õÿòëÿðè ìöâàôèã îëàðàã α âÿ β èëÿ èøàðÿ åäÿê. Àíè ñöðÿòëÿð ìÿð-
êÿçè Аυr âÿ Вυr ñöðÿò âåêòîðëàðûíûí ãàðøûëûãëû âÿ-
çèééÿòèíäÿí âÿ îíëàðûí ãèéìÿòëÿðèíäÿí àñûëû îëàðàã
46
ìöõòÿëèô úöð òÿéèí îëóíà áèëÿð. Áó âàðèàíòëàðû àðàøäûðàã:
Û. Аυr âÿ Вυr ñöðÿòëÿðè ïàðàëåë äåéèëäèð: Аυr Вυr , éÿíè α β . Îí-
äà α âÿ β äöç õÿòëÿðèíÿ áàõûëàí A âÿ B
íþãòÿëÿðèíäÿí éþíÿëìèø ïåðïåíäèêóëéàðëàðûí êÿ-ñèøìÿñè àíè ñöðÿòëÿð ìÿðêÿçè îëàð. ßýÿð áó èêè íþãòÿäÿí áèðèíèí ñöðÿòèíèí èñòèãàìÿòè ìÿëóì îëàðñà, îíäà äþíìÿ èñòèãàìÿòè òàì ìöÿééÿíäèð.
Ùÿì÷èíèí ñöðÿòèí ãèéìÿòè ìÿëóì îëàðñà, áóúàã ñöðÿòè òÿéèí îëóíóð:
ACAυω =
Áóíóíëà äèýÿð íþãòÿëÿðèí ñöðÿòëÿðè äÿ áèðãèéìÿòëè òÿéèí îëóíóð:
ωυυυ ==⋅⋅⋅==DCBCAC
DBA .
ÛÛ. Аυr âÿ Вυr âåêòîðëàðû ïàðàëåëäèðëÿð, éÿíè α β . Áóðàäà áèð íå-
÷ÿ ùàë îëà áèëÿð:
1) BABA υυυυ ≠↑↑ ;rr
, éÿíè ñóðÿòëÿð åéíè èñòèãàìÿòäÿäèðëÿð âÿ ãèé-
ìÿòúÿ ôÿðãëÿíèðëÿð;
2) BABA υυυυ =↑↑ ;rr
, éÿíè ñóðÿòëÿð åéíè èñòèãàìÿòäÿäèðëÿð âÿ ãèé-
ìÿòúÿ åéíèäèðëÿð;
3) BA υυ rr ↑↓ , éÿíè ñóðÿòëÿðèí èñòèãàìÿòëÿðè ôÿðãëèäèðëÿð.
Áó ùàëëàðû àðàøäûðàã: 1) Ùÿð ùàíñû èêè íþãòÿíèí ñöðÿò âåêòîðëàðû ïàðàëåëäèð, åéíè èñòèãàìÿò-
äÿäèð âÿ ãèéìÿòúÿ ôÿðãëèäèðëÿð.
BABA υυυυ ≠↑↑ ;rr
(1)
Áóðàäà íÿçÿðèúÿ ýóéà èêè âàðèàíò îëà áèëÿð: à) A âÿ B íþãòÿëÿðè åéíè ïåðïåíäèêóëéàð
öçÿðèíäÿ éåðëÿøìÿéèá. Àììà àñàíëûãëà ýþñ-
òÿðìÿê îëàð êè, áåëÿ ùàë BA υυ ≠ øÿðòè ÷ÿð÷è-
âÿñèíäÿ áàø âåðÿ áèëìÿç. Îíà ýþðÿ êè, A íþã-òÿñèíè ãöòá ñå÷ÿðÿê
BAAB υυυ rrr+= (2)
äöñòóðó ÿñàñûíäà BA υυ rr= àëûíûð.
ßñëèíäÿ äÿ (2)-äÿ ABBA ⊥υr îëäóüóíó íÿçÿðÿ àëàðàã òàïûðûã êè,
47
AABBAB prpr υυ rr= . (3)
Éÿíè, èêè íþãòÿíèí ñöðÿò âåêòîðëàðûíûí áó íþãòÿëÿðè áèðëÿøäèðÿí äöç õÿòò öçÿðèíÿ îëàí ïðîéåêñèéàëàðû áÿðàáÿðäèð.
αυαυ coscos AB = .
Áóðàäà 0cos ≠α îëäóüóíà ýþðÿ
AB υυ = . (4)
Ñöðÿòëÿð áÿðàáÿð îëàí ùàëäà (2)-äÿí àëûíûð êè, 0=BAυ . Îíäà
ABA ⋅= ωυ -éÿ ÿñàñÿí 0=ω àëûíûð. Éÿíè áó ùàëäà ùÿðÿêÿò àíè èðÿëè-
ëÿìÿ ùÿðÿêÿòèäèð, éÿíè áöòöí íþãòÿëÿðèí ñöðÿòëÿðè åéíèäèð. á) A âÿ B íþãòÿëÿðè åéíè ïåðïåíäèêóëéàð öçÿðèíäÿ éåðëÿøèáëÿð.
BA υυ ≠ îëäóüóíäàí ãÿáóë åäÿê êè, BA υυ > .
Ñöðÿò âåêòîðëàðûíûí óú íþãòÿëÿðèíäÿí äöç õÿòò ÷ÿ-êÿê. Áó äöç õÿòòèí ïåðïåíäèêóëéàðëà C êÿñèøìÿ íþãòÿñè àíè ñöðÿòëÿð ìÿðêÿçèäèð. ßñëèíäÿ äÿ äöç áóúàãëû ö÷áóúàãëàðûí îõøàðëûüûíäàí éàçìàã îëàð:
ACBCAB υυ = .
Áó èñÿ C íþãòÿñèíèí àíè ôûðëàíìà ìÿðêÿçèíèí îë-äóüóíó ýþñòÿðèð.
ωυυ ==ACBC
AB (5)
2) ;BA υυ rr ↑↑ BA υυ rr= . Áó ùàë ÿââÿëêè 1á ùàëûíäàí
AB υυ rr → , (6)
éÿíè, (5)-ÿ ÿñàñÿí AB υυ rr → éþíÿëòäèêäÿ àëûíûð êè, ∞→BC . ßñëèí-
äÿ äÿ
1
1
1 →+
=+
==
BC
ABBCAB
BC
AC
BC
A
B
υυ
. (7)
Áóðàäàí 0→BC
AB, âÿ constAB = îëäóãäà ∞→BC . Îíäà (5)-ÿ
ÿñàñÿí
48
0→ω . (8) (7) âÿ (8)-ÿ ÿñàñÿí áó ùàëäà ùÿðÿêÿò àíè
èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòèäèð.
3) .BA υυ rr ↑↓
Ñöðÿòëÿð èñòèãàìÿòúÿ ôÿðãëÿíèðëÿð. Áó ùàë-äà àíè ñöðÿòëÿð ìÿðêÿçè ñöðÿò âåêòîðëàðûíûí ö÷ íþãòÿñèíäÿí êå÷ÿí äöç õÿòòèí AB äöç õÿòòè èëÿ êÿñèøìÿ íþãòÿñèäèð.
ωυυ ==BCAC
BA .
Ìöñòÿâè ôèãóðóí íþãòÿëÿðèíèí òÿúèëëÿðè.
Àíè òÿúèëëÿð ìÿðêÿçè Ìöñòÿâè ôèãóðóí íþãòÿëÿðèíèí òÿúèëëÿðè ìöòëÿã áÿðê úèñìèí íþãòÿëÿðè
ö÷öí îëàí äöñòóð ÿñàñûíäà ùåñàáëàíûð. Áó äöñòóðóí ñàäÿëÿøäèðèëìÿñè áóúàã òÿúèëè âÿ áóúàã ñöðÿòè âåêòîðëàðûíûí ùÿðÿêÿò ìöñòÿâèñèíÿ ïåðïåí-äèêóëéàð îëìàñûíà ÿñàñëàíûð. Òóòàã êè, ùÿð ùàíñû áèð A íþãòÿñèíèí Aw
r
òÿúèëè ìÿëóìäóð. Áó íþãòÿíè ãöòá ñå÷ÿðÿê ôèãóðóí äèýÿð èõòèéàðè áèð íþãòÿñèíèí òÿúèëè àøàüûäàêû äöñòóð ÿñàñûíäà òÿéèí îëóíóð:
BAAB wwwrrr += , (1)
nBABABA wwwrrr += τ , (2)
nBABAAB wwwwrrrr ++= τ , (3)
⋅=
⋅=
BAw
BAw
BA
nBA
ε
ωτ
2
(4)
Áàõûëàí àíäà ìöñòÿâè ôèãóðóí, éà äà îíóí ñÿðò ýåíèøëÿíìÿñèíèí òÿúèëè ñûôûðà áÿðàáÿð îëàí íþãòÿñè àíè òÿúèëëÿð ìÿðêÿçè àäëàíûð. Òóòàã êè, áó íþãòÿ C íþãòÿñè-äèð âÿ
0=Cwr
. (5)
ßýÿð ôèãóðóí ùÿð ùàíñû A íþãòÿñèíèí Awr
òÿúèëè, ωr áóúàã ñöðÿòè, εr áóúàã òÿúèëè âåêòîðëàðû âåðèëÿðñÿ, îíäà àíè òÿúèëëÿð ìÿðêÿçè áèðãèéìÿòëè òÿéèí îëóíóð. (3) äöñòóðóíó C íþãòÿñè ö÷öí éàçàã:
))(()( ACACww AC ××+×+= ωωε rrrrr. (6)
49
Àõûðûíúû ùÿää ö÷öí AC⊥ωr îëìàñûíû íÿçÿðÿ àëìàãëà, òàïûðûã êè,
ACACACAC 2)()(())(( ωωωωωωω −=⋅⋅−⋅⋅=×× rrrrrr.
Îíäà (6) èôàäÿñè (5)-è íÿçÿðÿ àëìàãëà, áåëÿ éàçûëàð:
ACACwA ⋅−×+= 2)(0 ωεrr. (7)
Áó èôàäÿíè ñîëäàí εr âåêòîðóíà âåêòîðèàë âóðàã: )())(()(0 2 ACACwA ×⋅−××+×= εωεεε rrrrr. (8)
Áóðàäà
ACACACAC 2)()())(( εεεεεεε −=⋅−⋅⋅−×× rrrrrr.
Îíäà
)()(0 22 ACACwA ×−⋅−×= εωεε rrr. (9)
(7) äöñòóðóíäàí àëûíûð êè,
ACwAC A2)( ωε +−=× rr
. (10)
Áóíó (9)-äà íÿçÿðÿ àëñàã, àëûíàð:
ACwACw AA ⋅−−⋅−×=→
422)(0 ωωεε rrr.
Áóðàäàí àíè òÿúèëëÿð ìÿðêÿçè ö÷öí òàïûëûð:
42
2)(
ωεωε
++×= AA ww
ACrrr
. (11)
Àøàüûäàêû êèìè èøàðÿëÿìÿ ãÿáóë åäÿê:
AA wb
wa
rrrr
r ⋅+
=+×=
42
2
42;
)(
ωεω
ωεε
(12)
baACrr +=
→; ba
rr ⊥ (13)
AAA wbb
wwaa ⋅
+==
+=
+×
==42
2
4242;
ωεω
ωεε
ωεε r
rrr
(14)
22 baAC +=→
,
42 ωε += Aw
ACr
, (15)
2ωε
α =tg . (16) A
50
Éàçûëàí äöñòóðëàð ÿñàñûíäà àíè òÿúèëëÿð ìÿðêÿçèíèí òÿéèíèíèí àëãîðèò-ìèíè àøàüûäàêû êèìè éàçìàã îëàð:
1) 16-éà ÿñàñÿí α áóúàüû òÿéèí îëóíóð; 2) Aw
r âåêòîðó: ÿýÿð ùÿðÿêÿò éåéèíëÿ-
øÿí ùÿðÿêÿòäèðñÿ, ôûðëàíìà èñòèãàìÿòèíäÿ; ÿýÿð ùÿðÿêÿò éàâàøûéàí ùÿðÿêÿòäèðñÿ, ôûð-ëàíìàíûí ÿêñèíÿ α áóúàüû ãÿäÿð äþíäÿðè-ëèð.
3) Àëûíàí éàðûìîõ öçÿðèíäÿ (15)-ëÿ ìöÿééÿí îëóíàí ìÿñàôÿäÿ C íþãòÿñè ãåéä åäèëèð. Áó íþãòÿ àíè òÿúèëëÿð ìÿðêÿçè îëàúàã.
(16)-éà ýþðÿ ìöñòÿâè ôèãóðóí áöòöí íþãòÿëÿðèíèí òÿúèë âåêòîðëàðû áó íþãòÿëÿðè àíè òÿúèëëÿð ìÿðêÿçè èëÿ áèðëÿøäèðÿí äöç õÿòò ïàð÷àëàðû èëÿ åéíè α áóúàüû òÿøêèë åäèð.
Òÿúèëëÿðèí ãèéìÿòëÿðè óéüóí íþãòÿëÿð-äÿí àíè òÿúèëëÿð ìÿðêÿçèíÿ ãÿäÿð îëàí ìÿñàôÿëÿðëÿ äöç ìöòÿíàñèáäèðëÿð:
.... 42 ωε +=====KC
w
EC
w
BC
w
AC
w KEBA (17)
Áåëÿëèêëÿ, ìöñòÿâè ôèãóðóí íþãòÿëÿðèíèí òÿúèëëÿðè áó íþãòÿíèí òÿð-ïÿíìÿç ìÿðêÿç êèìè áàõûëàí àíè òÿúèëëÿð ìÿðêÿçè ÿòðàôûíäà ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòûíÿ óéüóí îëàðàã ïàéëàíûðëàð. Ãåéä åäÿê êè, ùÿãèãÿòäÿ ìöñòÿâè ôèãóðóí àíè ôûðëàíìàñû àíè ñöðÿòëÿð ìÿðêÿçè ÿòðàôûíäà áàø âåðèð, îíà ýþðÿ áó ìÿðêÿç ùÿì÷èíèí àíè ôûðëàíìà ìÿðêÿçè àäëàíûð. Àíè òÿúèëëÿð ìÿðêÿ-çèíèí àíè ñöðÿòëÿð ìÿðêÿçè èëÿ öñò-öñòÿ äöøìÿñè àíúàã õöñóñè ùàëëàðäà áàø âåðèð.
Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí ùÿðÿêÿòëÿðèíèí òîïëàíìàñû
Ùÿðÿêÿòëÿðèí òîïëàíìàñû äåäèêäÿ àíè ùÿðÿêÿòëÿðèí òîïëàíìàñû áàøà äöøöëöð. Ùÿð áèð ùÿðÿêÿò àéðû-àéðûëûãäà úèñìèí íþãòÿëÿðè áîéó ñöðÿòëÿðèí òîïëàíìàñû íÿòèúÿñèíäÿ àëûíàí ñöðÿòëÿð ñàùÿñèíÿ ýþðÿ ìöÿééÿí îëóíóð. Û. Èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòëÿðèíèí òîïëàíìàñû. Áèðèíúè òîïëàíàí ùÿðÿêÿòèí
ñöðÿòèíè 1υr èëÿ, èêèíúè òîïëàíàí ùÿðÿêÿòèí ñöðÿòèíè èñÿ 2υr èëÿ èøàðÿ åäÿê.
Îíäà ñöðÿòëÿðèí òîïëàíìàñû ùàããûíäà òåîðåìÿ ÿñàñÿí öìóìè ùÿðÿêÿò ö÷öí úèñìèí ùÿð áèð íþãòÿñè ö÷öí àëûíûð:
51
21 υυυ rrr+= . (1)
Ñàü òÿðÿô áöòöí íþãòÿëÿð ö÷öí åéíè îëäóüóíäàí, ñîë òÿðÿô äÿ áöòöí íþãòÿëÿð ö÷öí åéíèäèð. Áóíà ÿñàñÿí äåìÿê îëàð êè, éåêóí ùÿðÿêÿò èðÿëè-ëÿìÿ ùÿðÿêÿòèäèð. ÛÛ. Ôûðëàíìà îõëàðû êÿñèøÿí èêè ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòèíèí òîïëàíìàñû.
α âÿ β ôûðëàíìà îõëàðûäûð. 1ωr âÿ 2ωr áóúàã ñöð-
ÿòëÿðè âåêòîðëàðûäûð. A ôûðëàíìà îõëàðûíûí êÿñèøìÿ íþãòÿñèäèð. Áóúàã ñöðÿòè âåêòîðëàðûíû êÿñèøìÿ íþã-òÿñèíÿ êþ÷öðÿê âÿ îíëàðûí öçÿðèíäÿ ïàðàëåëîãðàì ãóðàã. Ùÿð èêè ùÿðÿêÿò ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòè îëäóüóí-äàí áó ùÿðÿêÿòëÿðäÿ íþãòÿëÿðèí ñöðÿòëÿðè àøàüûäàêû êèìè òÿéèí îëóíàð:
×=×=
)(
)(
22
11
r
rrrr
rrr
ωυωυ
(2)
Öìóìè ñöðÿò (1) äöñòóðó èëÿ òÿéèí îëóíóð. A âÿ B -íèí öìóìè ñöðÿòëÿðèíè òàïàã. A íþãòÿñè ö÷öí:
00;021
=⇒== AAA υυυ rrr. (3)
B íþãòÿñè ö÷öí:
)();( 21 21ABAB BB ×=×= ωυωυ rrrr
)()( 21 ABABB ×+×= ωωυ rrr (4)
AKBSABABAB ∆
∧
=⋅⋅=× 2);sin( 111 ωωω rr,
ANBSABABAB ∆
∧
=⋅⋅=× 2);sin( 222 ωωω rr.
Áóðàäàí: ABABSS ANBAKB ×=×⇒= ∆∆ 21 ωω rr (5)
âÿ )()( 21 ABAB ×−=× ωω rr. (6)
Îíäà (4)-ÿ ÿñàñÿí 0=Bυr . (7)
Áó î äåìÿêäèð êè, öìóìè ùÿðÿêÿò ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòèäèð âÿ ôûðëàíìà îõó A âÿ B íþãòÿëÿðèíäÿí êå÷èð. Áó ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòèíèí áóúàã ñöðÿòè
âåêòîðóíó òÿéèí åäÿê. Îíó ωr èëÿ èøàðÿ åäÿê. Îíäà ðàäèóñó ADr =r
îëàí èõòèéàðè D íþãòÿñè ö÷öí ñöðÿò àøàüûäàêû øÿêèëäÿ éàçûëà áèëÿð:
52
)()( 21 ADAD ×+×= ωωυ rrr. (8)
Äèýÿð òÿðÿôäÿí öìóìè ùÿðÿêÿò ôûðëàíìà ùÿ-ðÿêÿòè îëäóüóíäàí ñöðÿò ö÷öí éàçà áèëÿðèê:
)( AD×= ωυ rr. (9)
Áóíëàðû áÿðàáÿðëÿøäèðñÿê, àëàðûã:
)()()( 21 ADADAD ×+×=× ωωω rrr,
))(()( 21 ADAD ×+=× ωωω rrr. (10)
Áóðàäàí àëûðûã:
21 ωωω rrr+= (11)
Ïàðàëåë ôûðëàíìà îõëàðû îëàí ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòëÿðèíèí òîïëàíìàñû: ôûðëàíìà èñòèãàìÿòëÿðè åéíè îëäóüó ùàë
Ôûðëàíìà îõëàðà ïàðàëåë îëàí äöç õÿòò öçÿðèíäÿ éåðëÿøÿí íþãòÿëÿðèí ñöðÿòëÿðè âÿ òÿúèëëÿðè åéíè îëäóüóíà ýþðÿ ùÿðÿêÿò ìöñòÿâèéÿ ïàðàëåë ùÿðÿ-êÿò îëàúàã. Áó ñÿáÿáäÿí ôûðëàíìà îõëàðûíà ïåð-ïåíäèêóëéàð îëàí êÿñèéèí ùÿðÿêÿòèíè èçëÿéÿê. Áó ìöñòÿâè ôèãóðäà ñöðÿòè ñûôûðà áÿðàáÿð îëàí íþãòÿíè òÿéèí åäÿê. Áó íþãòÿ òÿáèè êè, èêè ôûð-ëàíìà îõëàðû àðàñûíäàêû äöç õÿòò öçÿðèíäÿ éåð-ëÿøìÿëèäèð. 1υr — α îõó ÿòðàôûíäà ôûðëàíìà ùÿðÿ-
êÿòèíäÿí éàðàíàí ñöðÿòäèð. βυ −2
r îõó ÿòðàôûí-
äà ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòèíäÿí éàðàíàí ñöðÿòäèð.
⋅=⊥
AC
AB
11
1
ωυυr
(1)
⋅=⊥
BC
AB
22
2
ωυυr
(2)
1υr âÿ 2υr âåêòîðëàðûíûí èñòèãàìÿòëÿðè áèð-áèðèíèí ÿêñèíÿäèð. Áóíà ýþ-
ðÿ äÿ ÿýÿð îíëàðûí ãèéìÿòëÿðè áÿðàáÿð îëàðñà, îíäà C íþãòÿñèíèí éåêóí ñöðÿòè ñûôûðäûð. Îíà ýþðÿ êè,
21 υυυ rrr +=C . (3)
Áåëÿëèêëÿ òÿëÿá åäÿðÿê êè, 0=Cυr , àëìûø îëóðóã:
BCAC ⋅=⇒= 2121 ωωυυ rr, (4)
53
1
2
ωω=
BC
AC. (5)
Áó î äåìÿêäèð êè, öìóìè ùÿðÿêÿò ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòèäèð âÿ áó ùÿðÿ-êÿòèí γ ôûðëàíìà îõó α âÿ éà β îõëàðûíûí ìöñòÿâèñèíäÿ éåðëÿøèð, îí-
ëàðà ïàðàëåëäèð. γ îõó α âÿ β îõëàðû àðàñû ìÿñàôÿíè áóúàã ñöðÿòëÿðèíèí
ãèéìÿòëÿðèíÿ òÿðñ ìöíàñèáÿò îëàðàã áþëöð. Éåêóí ùÿðÿêÿòèí ωr áóúàã ñöðÿòè âåêòîðóíó òÿéèí åäÿê. Áóíóí ö÷öí B íþãòÿñèíèí ñöðÿòèíè èêè éîë-ëà òÿéèí åäÿê:
1) )()()( 121 ABBBABB ×=×+×= ωωωυ rrr;
2) )( CBB ×= ωυ r.
Áó èôàäÿëÿðè áÿðàáÿðëÿøäèðÿê: )()( 1 ABCB ×=× ωω rr
Áóðàäàí ABCB↑↑ îëäóüóíäàí àëûíûð êè, 1ωω rr ↑↑ . Éÿíè öìóìè ôûð-
ëàíìà ùÿðÿêÿòèíèí èñòèãàìÿòè òîïëàíàí ùÿðÿêÿòëÿðèí èñòèãàìÿòè èëÿ åéíè-äèð. Äèýÿð òÿðÿôäÿí
=⋅=⇒⋅=⋅⇒×=×CB
ABABCBABCB 111 ωωωωωω rrr
BC
BCAC += 1ω 12
1
211 11 ωω
ωωωω +=
+=
+=
BC
AC.
Éÿíè, 21 ωωω += . (6)
Öìóìè ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòèíèí áóúàã ñöðÿòè òîïëàíàí ôûðëàíìà ùÿðÿ-êÿòëÿðèíèí áóúàã ñöðÿòëÿðèíèí úÿìèíÿ áÿðàáÿðäèð.
Ïàðàëåë ôûðëàíìà îõëàðû îëàí ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòëÿðèíèí òîïëàíìàñû: ôûðëàíìà èñòèãàìÿòëÿðè ÿêñ îëàí ùàë
Áóðàäà äà ùÿðÿêÿò ìöñòÿâè ïàðàëåë ùÿðÿêÿòäèð âÿ öìóìè ùÿðÿêÿò áóúàã ñöðÿòëÿðèíèí ãèéìÿòëÿðèíäÿí àñûëû îëàðàã èêè úöð îëà áèëÿð:
Û. 21 ωω ≠ . Ìöÿééÿíëèê ö÷öí ãÿáóë åäÿê êè,
21 ωω > . (7)
Òÿáèè êè, ñöðÿòè ñûôûðà áÿðàáÿð îëàí íþãòÿ áóúàã ñöðÿòè ãèéìÿòúÿ áþéöê îëàí ôûðëàíìà îõó êÿíàðûíäà éåðëÿøÿúÿêäèð. Áó ùàëäà òîïëàíàí ñöðÿòëÿð ö÷öí (1) âÿ (2) äîüðó îëàð âÿ C -íèí ñöðÿòèíèí 0-à áÿðàáÿð îë-ìàñû ö÷öí (1) âÿ (2) åéíè îëìàëûäûð. Áóðàäàí C íþãòÿñèíèí òÿéèíè ö÷öí
54
(5)-è àëìûø îëóðóã. Öìóìè ùÿðÿêÿò ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòèäèð âÿ îíóí γ ôûðëàíìà îõó úÿìëÿ-
íÿí ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòëÿðèíèí îõëàðûíà ïàðàëåë-äèð âÿ îíëàðûí ìöñòÿâèñèíäÿ éåðëÿøèð. ωr áó-úàã ñöðÿòèíè òÿéèí åòìÿê ö÷öí B ö÷öí èêè ùàëäà éàçûëìûø ñöðÿò èôàäÿëÿðèíè áÿðàáÿðëÿø-äèðÿê:
)()( 1 ABCB ×=× ωω rr. (8)
Áóðàäàí 1ωω rr ↑↑⇒↑↑ ABCB . (9)
Öìóìè ùÿðÿêÿòèí ôûðëàíìà èñòèãàìÿòè áóúàã ñöðÿòè ãèéìÿòúÿ áþéöê îëàí òîïëàíàí ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòèí èñòèãàìÿòèíäÿ îëàúàã. ωr -íèí ãèéìÿòèíè òàïìàã ö÷öí (8)-äÿ ìîäóëëàðà êå÷ÿê:
,11 211
21
)5(
1
111
ωωωωωω
ωωωωω
−=
−=
−−=
=−
⋅=⋅=⇒⋅=⋅
CB
CA
CB
CACB
CB
ABABCB
21 ωωω −= (10)
Öìóìè ùÿðÿêÿòèí áóúàã ñöðÿòè òîïëàíàí ùÿðÿêÿòëÿðèí áóúàã ñöðÿòëÿ-ðèíèí ôÿðãèíÿ áÿðàáÿðäèð. ÛÛ. 21 ωω = . (11)
Áó ùàëû ÿââÿëêè ùàëäàí 12 ωω → ëèìèò ùàëûíà êå÷ìÿêëÿ àëàã. Îíäà (5)-
äÿí àëûíûð êè, 1limlim1212 1
2 ==→→ BC
ACωωωω ω
ω ,
BC
AB
BC
AB
BC
ABBC
BC
AC
12121212
lim11limlimlim1ωωωωωωωω →→→→
−=
−=
−==
BC
AB
12
limωω →
=0 ⇒ ∞→BC . (12)
Äèýÿð òÿðÿôäÿí (10) äöñòóðóíäàí àëûíûð êè,
0)(limlim 121212
=−=→→
ωωωωωωω
. (13)
Áåëÿëèêëÿ, (12) âÿ (13) ÿñàñ âåðèð êè, öìóìè ùÿðÿêÿòèí ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòè
55
îëìàäûüû ãÿíàÿòèíÿ ýÿëÿê. Ýþñòÿðÿê êè, ÿñëèíäÿ ùÿðÿêÿò èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòèäèð. Áóíóí ö÷öí áöòöí íþãòÿëÿðèí ñöðÿòëÿðèíèí åéíè îëäóüóíó ýþñòÿðìÿê êèôàéÿòäèð. Úèñìèí èõòèéàðè D íþãòÿñèíèí ñöðÿòèíè òàïàã:
)()(
)()(
ABBDAD
BDADD
×=−×=
=×−+×=
ωω
ωωυrr
rrr
(14)
Áåëÿëèêëÿ úèñìèí èõòèéàðè D íþãòÿñèíèí ñöðÿòè îíóí òóòäóüó âÿçèééÿòäÿí àñûëû äåéèë, éÿíè áöòöí íþãòÿëÿðèí ñöðÿòëÿðè åéíèäèð âÿ îíäà àðàøäûðäûüû-ìûç öìóìè ùÿðÿêÿòèí àíè èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòè îë-äóüóíó ñþéëÿìÿê îëàð.
Úÿìëÿíÿí ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòëÿðèíèí áèðëèéè ôûð-ëàíìà úöòö àäëàíûð.
(14)-ÿ ÿñàñÿí èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòèíèí ñöðÿòè ôûð-ëàíìà úöòöíöí ìöñòÿâèñèíÿ ïåðïåíäèêóëéàðäûð. Ñöðÿò âåêòîðóíóí óúóíäàí áàõäûãäà ôûðëàíìà úöòö ñààò ÿãðÿáèíèí ÿêñ èñòèãàìÿòèíäÿ ýþðöíìÿëèäèð. Ãèéìÿòúÿ èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòèíèí ñöðÿòè àøàüûäàêû êèìè òÿéèí îëóíóð:
a⋅= ωυ . (15) ßëàâÿ: Ùÿð áèð àíè èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòè, ôûðëàí-
ìà úöòöíÿ ïàð÷àëàíà áèëÿð. Àíúàã áó òÿðñ êå÷èä áèðãèéìÿòëè äåéèë. ×öíêè, 1) ôûðëàíìà úöòö υr âåêòîðóíà ïåðïåíäèêóëéàð èõòèéàðè ìöñòÿâèäÿ éåðëÿøäèðèëÿ áèëÿð.
2) ôûðëàíìà úöòö þç ìöñòÿâèñèíäÿ èõòèéàðè îëàðàã éåðëÿøäèðèëÿ áèëÿð.
3) ôûðëàíìà îõëàðû àðàñû a ìÿñàôÿñè âÿ ω áóúàã ñöðÿòèíèí ãèéìÿòè äÿéèøäèðèëÿ áèëÿð î øÿðò-ëÿ êè, àøàüûäàêû äöñòóð àñûëûëûã þäÿíèëñèí:
2211 aa ωω = .
56
Àíè èðÿëèëÿìÿ âÿ ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòëÿðèíèí òîïëàíìàñû
Òóòàã êè, àíè èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòèíèí ñöðÿòè υr , àíè ôûðëàíìà ùÿðÿêÿ-òèíèí áóúàã ñöðÿòè èñÿ ωv - äèð âÿ îíëàð α áóúàüû òÿøêèë åäèðëÿð (øÿê.1). Ìöðÿêêÿá ùÿðÿêÿòèí õàññÿñèíè ìöÿééÿí åòìÿê ö÷öí υr ñöðÿò âåêòîðó-íó èêè îðòîãîíàë 1υr âÿ 2υr òîïëàíàíëàðà àéûðàã. Áèðèíúè 1υr òîïëàíàí ωv áóúàã ñöðÿòè âåêòîðó áîéó éþíÿëèð, èêèíúè èñÿ îíà ïåðïåíäèêóëéàðäûð
(øÿê. 2): .sin;cos 21 αυυαυυ ==
Àíè èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòèíè áèð ôûðëàíìà úöòö èëÿ ÿâÿç åäèëìÿñè ìöìêöíëöéöíö íÿçÿðÿ àëàðàã, 2υr - ñöðÿò âåêòîðó ωωω vvv −=−= 21 ôûð-
ëàíìà úöòö èëÿ (øÿê.3) ÿâÿç åäÿê. Áóðàäà ω
αυωυ sin2 ==d . À íþãòÿ-
ñèíäÿí êå÷ÿí åéíè ôûðëàíìà îõó ÿòðàôûíäà ÿêñ èñòèãàìÿòäÿ áÿðàáÿð áóúàã ñöðÿòëÿðè èëÿ áàø âåðÿí ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòëÿðè áèðè î áèðèíè ñþíäöðÿ-ðÿê èõòèñàð îëóíóðëàð. Îíäà Á íþãòÿñèíäÿí êå÷ÿí 2υr áóúàã ñöðÿòè èëÿ áàø
âåðÿí àíè ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòè âÿ áó îõ áîéó 1υr ñöðÿòè èëÿ áàø âåðÿí àíè
èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿò ãàëûð (øÿê.4). Áó èñÿ òÿðèôÿ ýþðÿ àíè âèíòâàðè ùÿðÿêÿò-äèð.
A
α
ω
υ
ω2
A
ωυ1
ω1
Bd•
ABd
••
ωυ1
A
ω
υ
υ1
υ2
•A
α
ω
υ
A
α
ωω
υυ
ω2
A
ωυ1
ω1
Bd•
ω2
A
ωωυ1υ1
ω1
Bd•
ABd
••
ωυ1
ABd
••
ωωυ1υ1
A
ω
υ
υ1
υ2
•A
ωω
υυ
υ1υ1
υ2υ2
•
Øÿêèë 1. Øÿêèë 2. Øÿêèë 3. Øÿêèë 4. Áåëÿëèêëÿ àíè ôûðëàíìà âÿ èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòëÿðèí úÿìè öìóìè ùàëäà
àíè âèíòâàðè ùÿðÿêÿòäèð. Õöñóñè ùàëäà, 090=α îëäóãäà, ìöðÿêêÿá ùÿ-ðÿêÿò, ωv áóúàã ñöðÿòè èëÿ áàø âåðÿí àíè ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòè îëàúàã âÿ áó
ùÿðÿêÿòèí ôûðëàíìà îõó èëêèí ôûðëàíìà îõóíäàí ωυ
ìÿñàôÿñèíäÿ éåðëÿ-
øÿúÿê.
57
ÑÒÀÒÈÊÀ
Ãöââÿëÿð ñèñòåìè. Áàø âåêòîð âÿ áàø ìîìåíò Òóòàã êè, ìåõàíèêè ñèñòåìÿ í ñàéäà ãöââÿ òÿòáèã îëóíìóøäóð:
nkkF,1
=
r.
Áó ãöââÿëÿð ÷îõëóüó ãöââÿëÿð ñèñòåìè àäëàíäûðûëûð. Áó ãöââÿëÿð ñèñ-òåìèíèí áàø âåêòîðó àøàüûäàêû êèìè òÿéèí îëóíóð:
∑=
=n
kkFR
1
rr. (1)
Ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí ñå÷èëìèø Î ìÿðêÿçèíÿ ýþðÿ áàø ìîìåíòè àøàüû-äàêû øÿêèëäÿ òÿéèí îëóíóð:
)(1
0 ∑=
×=n
kkk FrMrrr
. (2)
Áóðàäà krr kFr ãöââÿñèíèí òÿòáèã íþãòÿñèíèí Î ìÿðêÿçèíÿ ýþðÿ ðàäèóñ
âåêòîðóäóð.
O ìÿðêÿçèíè êîîðäèíàò áàøëàíüûúû êèìè ãÿáóë åòñÿê, àëàðûã:
);;( kkkkk zyxrrrr = (3)
Ãöââÿëÿðè ïðîéåêñèéà âàñèòÿñè èëÿ èôàäÿ åäÿê:
);;( kzkykxkk FFFFFrr
= (4)
Áàø âåêòîðóí âÿ áàø ìîìåíòèí ïðîéåêñèéàëàðû ö÷öí àëìûø îëàðûã:
=
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
n
kkzz
n
kkyy
n
kkxx
FR
FR
FR
1
1
1
(5)
58
−=
−=
−=
∑
∑
∑
=
=
=
n
kkxkkykoz
n
kkzkkxkoy
n
kkykkzkox
FyFxM
FxFzM
FzFyM
1
1
1
)(
)(
)(
(6)
kzkykx
kkk
FFF
zyx
kji
M
rrr
r=0
Ãöââÿíèí îíóí ìöñòÿâèñèíäÿ éåðëÿøÿí íþãòÿéÿ ýþðÿ ìîìåíòèíèí ãèéìÿòè àøàüûäàêû êèìè éàçûëûð:
hFM ⋅±= . (7) Áóðàäà h íþãòÿíèí ãöââÿíèí òÿñèð õÿòòèíÿ ãÿäÿð îëàí ìÿñàôÿñèäèð.
Ãöââÿíèí íþãòÿéÿ ýþðÿ ìîìåíòè âåêòîðäóð âÿ áó âåêòîð ãöââÿíèí íþãòÿ èëÿ òÿøêèë åòäèéè ìöñòÿâèéÿ ïåðïåíäè-êóëéàðäûð. Èñòèãàìÿò îíóíëà ìöÿééÿí îëóíóð
êè, Mr-ìîìåíò âåêòîðóí óúóíäàí áàõäûãäà
ãöââÿíèí äþíìÿñè ñààò ÿãðÿáèíèí ÿêñ èñòèãà-ìÿòèíäÿ ýþðöíñöí.
Ãöââÿíèí îõà ýþðÿ ìîìåíòè áó ãöââÿíèí îõóí ùÿð ùàíñû áèð íþãòÿéÿ ýþðÿ ìîìåíò âåê-òîðóíóí áó îõà ïðîéåêñèéàñûíà áÿðàáÿðäèð:
)()()( 0 FMprFmomFM lll
rrr== (8)
Áó èôàäÿíèí îõ öçÿðèíäÿ ýþòöðöëÿí ìÿð-êÿçäÿí àñûëû îëìàìàñûíû ýþñòÿðÿê:
×=×=
)()(
)()(
10
0
1FBOFM
FOBFMrr
rr
(9)
er èëÿ l îõóíóí âàùèä éþíÿëäèúè âåêòîðóíó èøàðÿ åäÿê. Îíäà:
×⋅==
×⋅==
)()()(
)()()(
100
00
11FBOeFMeFMpr
FOBeFMeFMpr
l
lrrrrr
rrrrr
(10)
Áóðàäàí àëûíûð:
59
0)()(
)()())((
)()()()(
11
111
100 1
=×⋅⋅−=×⋅⋅−=
=×⋅−=×=×−=
=×⋅−×⋅=−
eeFOOFeeOO
FeOOeFOOeFBOOBe
FBOeFOBeFMprFMpr ll
rrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrrr
âÿ éåêóí íÿòèúÿäÿ
).()(100 FMprFMpr ll
rrr= (11)
Ãöââÿíèí ýþðäöéö èø. Ãöââÿ ñàùÿñè.
Ïîòåíñèàë ãöââÿ ñàùÿñè
Fr ãöââÿñèíèí òÿòáèã íþãòÿñèíèí ðàäèóñ âåêòîðóíó r
r èëÿ èøàðÿ åäÿê.
Áó íþãòÿíèí ãöââÿ òÿñèðè àëòûíäà àëäûüû åëåìåíòàð éåðäÿéèøìÿíè rdr èëÿ
èøàðÿ åäÿê. Ãöââÿíèí áó éåðäÿéèøìÿ çàìàíû ýþðäöéö åëåìåíòàð èø áó âåêòîðëàðûí ñêàëéàð ùà-ñèëè èëÿ òÿéèí îëóíóð.
rdFArr
⋅=∆ . (1) Ïðîéåêñèéàëàðëà áó èôàäÿ àøàüûäàêû êèìè éàçû-
ëûð:
dzFdyFdxFA zyx ++=∆ . (2)
Ãöââÿíèí îíóí òÿòáèã íþãòÿñèíèí êå÷äèéè éîë áîéó ýþðäöéö èø àøàüûäàêû êèìè òÿéèí îëóíóð:
∫∫∫ ++==∆=BB
zyx
BBL
dzFdyFdxFrdFAA00
)(rr
. (3)
ßýÿð ôÿçàíûí ùÿð ùàíñû áèð ùèññÿñèíèí èõòèéàðè íþãòÿñèíäÿ éåðëÿøäèðè-ëÿí ìàääè ùèññÿúèéÿ àíúàã òóòäóüó âÿçèééÿòäÿí àñûëû îëàí ãöââÿ òÿñèð åäèðñÿ, îíäà äåéèëèð êè, áó ôÿçà ùèññÿñèíäÿ ãöââÿ ñàùÿñè ìþâúóääóð. ßýÿð åëÿ áèð êîîðäèíàòëàðäàí âÿ îëà áèëÿð çàìàíäàí àñûëû îëàí ),,,( tzyxU
ñêàëéàð ôóíêñèéà âàðñà êè, ãöââÿ áó ôóíêñèéà èëÿ àøàüûäàêû êèìè òÿéèí îëóíóð:
UgradF =r
, (4)
îíäà äåéèëèð êè, ãöââÿ ñàùÿñè ïîòåíñèàë ãöââÿ ñàùÿñèäèð, ãöââÿëÿð èñÿ ïîòåíñèàëëû ãöââÿëÿð àäëàíäûðûëûð.
),,( zyxf ôóíêñèéàñûíûí grad îïåðàòîðó àøàüûäàêû êèìè òÿéèí îëóíóð:
kz
fj
y
fi
x
fzyxfgrad
rrr⋅
∂∂+
∂∂+
∂∂=),,(
60
(4) òÿðèôèíè ïðîéåêñèéàëàðëà àøàüûäàêû êèìè éàçìàã îëàð:
∂∂=
∂∂=
∂∂=
z
UF
y
UF
x
UF
z
y
x
(5)
U ôóíêñèéàñû ïîòåíñèàë ôóíêñèéà àäëàíäûðûëûð. ßýÿð ïîòåíñèàë ôóí-êñèéà çàìàíäàí àøêàð àñûëû äåéèëñÿ ),,( zyxUU = , îíäà ãöââÿíèí éîë
áîéó ýþðäöéö èø áó éîëäàí àñûëû äåéèë âÿ àíúàã áàøëàíüûú âÿ ñîí âÿ-çèééÿòëÿðëÿ ìöÿééÿí îëóíóð:
∫∫
∂∂+
∂∂+
∂∂=++=
BBBB
zyx dzz
Udy
y
Udx
x
UdzFdyFdxFA
00
)( (6)
∫ −=BB
BUBUdU0
)()( 0
Òóòàã êè, nkkF,1
=
r ãöââÿëÿð ñèñòå-
ìèäèð. krr — kF
r ãöââÿñèíèí òÿòáèã íþã-
òÿñèíèí ðàäèóñ âåêòîðóäóð, rdr — åëå-
ìåíòàð éåðäÿéèøìÿäèð. Îíäà ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí ýþðäöéö åëåìåíòàð èø îëàúàã:
( )kkzkky
n
kkkx
n
kkk dzFdyFdxFrdFA ++==∆ ∑∑
== 11
r. (7)
Ñèñòåìèí êå÷äèéè éîë áîéó öçÿðèíäÿ ýþðäöéö èø îëàúàã:
∫ ∑=
=BB
n
kkk rdFA
01
rr. (8)
ßýÿð åëÿ áèð ,,....,,,( nxzyxU ),, tzy nn ñêàëéàð ôóíêñèéàñû âàð êè,
krk r
UUgradF
kr
rr
∂∂== (9)
øÿêëèíäÿ éàçìàã ìöìêöí îëñóí, îíäà ãöââÿëÿð ïîòåíñèàëëû àäëàíäûðûëûð. (9) èôàäÿñè ñêàëéàð øÿêèëäÿ àøàüûäàêû êèìè éàçûëûð:
61
∂∂=
∂∂=
∂∂=
kkz
kky
kkx
z
UF
y
UF
x
UF
Òÿáèè êè, ïîòåíñèàëëû ãöââÿëÿð ñèñòåìè ö÷öí äÿ ïîòåíñèàë ôóíêñèéàíûí çàìàíäàí àøêàð àñûëû îëìàäûüû ùàëäà ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí ýþðäöéö èø êå÷äèéè éîëäàí àñûëû äåéèë âÿ àíúàã áàøëàíüûú âÿ ñîí âÿçèééÿòëÿðëÿ òÿéèí îëóíóð.
Åêâèïîòåíñèàë ñÿòùëÿð. Ïîòåíñèàë åíåðæè. Ïîòåíñèàë åíåðæèíèí òÿéèíè (ìèñàëëàð)
Åéíè ïîòåíñèàëà ìàëèê îëàí íþãòÿëÿð ÷îõëóüó ôÿçàäà ùÿð ùàíñû áèð
ñÿòù òÿøêèë åäèðëÿð. Áó ñÿòù åêâèïîòåíñèàë ñÿòù àäëàíäûðûëûð. Áó ñÿòùëÿðèí òÿíëèéè àøàüûäàêû êèìèäèð:
consttrU k =),(r
. (1)
Éà äà ìèñàë ö÷öí Äåêàðò êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ:
consttzyxzyxU nnn =),,,,...,,,( . (2)
Îíëàðûí ñàéû ñîíñóçäóð. Ñòàñèîíàð ùàëäà åêâèïîòåíñèàë ñÿòùëÿðèí òÿíëèéè áó úöðäöð:
constccrU iik == ,)(r
. (3)
ic ñàáèòëÿðèíèí àíúàã áèðèíè
èõòèéàðè ñå÷ìÿê îëàð, äèýÿðëÿðè òÿéèí îëóíàí ñàáèòëÿðäèð. Ìèñàë ö÷öí, ýþñòÿðèëÿí øÿêèëäÿ ãÿáóë
åòìÿê îëàð êè, 02 =c . Ïîòåí-
ñèàëû ñûôûðà áÿðàáÿð îëàí ñÿòù ñûôûð ñÿâèééÿëè åêâèïîòåíñèàë ñÿòù àäëàíûð. Áàõûëàí íþãòÿíè òóòäóüó âÿçèééÿòäÿí ñûôûð ñÿâèééÿëè åêâèïîòåíñèàë ñÿòùÿ êþ÷öðìÿê ö÷öí ýþðöëÿí èø áó íþãòÿíèí òóòäóüó âÿçèééÿòäÿ ïîòåíñèàë åíåðæèñèíè òÿéèí åäèð. Ïîòåíñèàë åíåðæèíè V èëÿ èøàðÿ åäÿê âÿ îíäà òÿðèôÿ ýþðÿ àëìûø îëà-ðûã:
62
∫∫ =∆=M
M
M
M
rdFAV00
rr. (4)
Ñòàñèîíàð ãöââÿ ñàùÿñèíäÿ (4) èôàäÿñè ñàäÿëÿøäèðèëèð:
UMUMUMUAVM
M
−=−=−=∆= ∫ )()()( 00
0
(5)
Áåëÿëèêëÿ ïîòåíñèàë åíåðæè ÿêñ èøàðÿ èëÿ ïîòåíñèàë ôóíêñèéàíûí ãèéìÿ-òèíÿ áÿðàáÿðäèð.
Ïîòåíñèàë ôóíêñèéàíûí ùåñàáëàíìàíìàñûíà äàèð áèð íå÷ÿ ìèñàëëû àðàø-äûðàã. 1) Ìàääè íþãòÿíèí àüûðëûã ãöââÿ ñàùÿñèíäÿ ïîòåíñèàë åíåðæèñè. Äå-
êàðò êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí Z îõóíó Éåð ñÿòùèíÿ ïåðïåíäèêóëéàð âÿ éó-õàðû éþíÿëäÿê. Ìàääè íþãòÿéÿ éåýàíÿ òÿñèð åäÿí ãöââÿ àüûðëûã ãöââÿñèäèð:
gmFrr
= .
Îíóí ïðîéåêñèéàëàðû:
0=xF , 0=yF , mgFz −= . (6)
Éåð ñÿòùèíè âÿ îíóíëà ÿëàãÿëÿíäèðè-ëÿí XY ìöñòÿâèñèíè ñûôûð ñÿâèééÿëè åêâèïîòåíñèàë ñÿòù ãÿáóë åäÿê:
0)0,,( =yxU . (7)
Íþãòÿíèí XY ìöñòÿâèñèíÿ ãÿäÿð îëàí ìÿñàôÿñèíè h èëÿ èøàðÿ åäÿê, îíäà áàøëàíüûú àíäà:
hz =0 (8)
Òÿðèôÿ ýþðÿ ïîòåíñèàë åíåðæè àøàüûäàêû êèìè îëóð:
mghmgdzdzmgdzFdyFdxFrdFVh
h
M
M
zyx
M
M∫∫∫∫ ==−=++==0
0
)()(00
rr (9)
2) Ìàääè íþãòÿíèí ãðàâèòàñèéà ñàùÿñèíäÿ ïîòåíñèàë åíåðæèñèíèí ùå-ñàáëàíìàñû. Ìàääè 0M íþãòÿñè ìÿðêÿçè O íþãòÿñèíèí ãðàâèòàñèéà ñà-
ùÿñèíäÿ éåðëÿøäèðèëèá. Áó ãðàâèòàñèéà ñàùÿñèíäÿ éåð-ëÿøäèðèëÿí ùÿð áèð íþãòÿéÿ àøàüûäàêû ãöââÿ òÿñèð åäèð:
rr
kmF
rr
3−= . (10)
Áó úàçèáÿ ãöââÿñèäèð. Áóðàäàêû m áàõûëàí íþãòÿíèí
63
êöòëÿñèäèð. Ãöââÿíèí òÿéèíèíèí äöñòóðóíà ÿñàñÿí òÿáèè êè, ñûôûð ñÿâèééÿ-ëÿðè ïîòåíñèàë ñÿòù êèìè ñîíñóç ðàäèóñëó êöðÿ ñÿòùèíè ãÿáóë åäÿê, éÿíè:
0)( =∞U . (11)
Ïîòåíñèàë ôóíêñèéà ðàäèóñ âåêòîðäàí àñûëû îëàí ôóíêñèéàäûð. )(rUUr= . (12)
Òÿðèôÿ ýþðÿ áàõûëàí íþãòÿíèí òóòäóüó âÿçèééÿòäÿ ïîòåíñèàë åíåðæèñè áÿðàáÿðäèð:
∫ ∫∫∫∞ ∞∞∞
=−=−=−==r rrr
drr
kmrdr
r
kmrdr
r
kmrdFV
233
rrrr
r
km
r
km
r
drkm
rr
−==−=∞∞
∫ 2 . (14)
Îíäà
r
kmV −= . (15)
Ðàáèòÿ. Ðàáèòÿíèí íþâëÿðè
Òÿðèô: Ìåõàíèêè ñèñòåìèí íþãòÿëÿðèíèí éåðäÿéèøìÿëÿðèíÿ âÿ ñöðÿòëÿ-
ðèíÿ ãîéóëàí ìÿùäóäèééÿòëÿð ðàáèòÿëÿð àäëàíäûðûëûð. Ðèéàçè áàõûìäàí ðàáèòÿëÿð áÿðàáÿðëèê âÿ éà áÿðàáÿðñèçëèê øÿêëèíäÿ
èôàäÿ îëóíóðëàð. Áÿðàáÿðëèê øÿêëèíäÿ èôàäÿ îëóíàí ðàáèòÿëÿð áóðàõìàéàí âÿ éà ñàõëàéàí ðàáèòÿëÿð àäëàíûð. Áÿðàáÿðñèçëèê øÿêëèíäÿ èôàäÿ îëóíàí ðàáèòÿëÿð áóðàõàí âÿ éà ñàõëàìàéàí ðàáèòÿëÿð àäëàíûð. Ùÿìèí èôàäÿëÿðÿ çàìàí àøêàð äàõèë îëàðñà, áåëÿ ðàáèòÿëÿð ãåéðè-ñòàñèîíàð âÿ éà ðåîíîì ðàáèòÿëÿð àäëàíäûðûëûð. Ðàáèòÿëÿðèí èôàäÿëÿðèíÿ çàìàí àøêàð äàõèë äåéèëñÿ, áåëÿ ðàáèòÿëÿð ñòàñèîíàð âÿ éà ñêëåðîíîì ðàáèòÿëÿð àäëàíäûðûëûð.
ßýÿð ðàáèòÿëÿð ìåõàíèêè ñèñòåìèí íþãòÿëÿðèíèí àíúàã òóòäóüó âÿ-çèééÿòëÿðèíÿ ìÿùäóäèééÿòëÿð ãîéàðñà, áåëÿ ðàáèòÿëÿð ñîíëó âÿ éà ùÿí-äÿñè ðàáèòÿëÿð àäëàíûð.
ßýÿð ðàáèòÿëÿð ìåõàíèêè ñèñòåìèí íþãòÿëÿðèíèí ùÿì òóòäóüó âÿ-çèééÿòëÿðèíÿ, ùÿì äÿ ñöðÿòëÿðèíÿ ìÿùäóäèééÿòëÿð ãîéàðñà, áåëÿ ðàáèòÿ-ëÿð êèíåìàòèê âÿ éà äèôåðåíñèàë ðàáèòÿëÿð àäëàíûð. Ìÿñÿëÿí,
0),( =trf k
r —ùÿíäÿñè, ðåîíîì, áóðàõìàéàí ðàáèòÿ;
0);( ≥trf k
r —ùÿíäÿñè, ðåîíîì, áóðàõàí ðàáèòÿ;
0)( =krfr
—ùÿíäÿñè, ñêëåðîì, áóðàõìàéàí ðàáèòÿ;
64
0),,( ≥trf kk υrr —êèíåìàòèê, ðåîíîì, áóðàõàí ðàáèòÿ.
Ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿð âÿ ðàáèòÿëÿðèí îíëàðûí öçÿðèíÿ ãîéäóüó ìÿùäóäèééÿòëÿð
Ìàääè íþãòÿíèí áàõûëàí àíäà ðàáèòÿëÿðè ïîçìàäàí áàø òóòà áèëÿí
éåðäÿéèøìÿëÿðè ÷îõëóüóíà ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿð äåéèëèð. Ìöìêöí
éåðäÿéèøìÿëÿð ùÿãèãè krdr éåðäÿéèøìÿëÿðèíäÿí ôÿðãëè îëàðàã kr
rδ èëÿ èøà-
ðÿ åäèëèð. Ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿðÿ áàõàðêÿí çàìàí äÿéèøìÿç îëàðàã ãÿáóë îëóíóð. Éÿíè, ÿýÿð ùÿãèãè rd
r éåðäÿéèøìÿñè dt çàìàí èíòåðâà-
ëûíäà áàø âåðèáñÿ, ìöìêöí rrδ éåðäÿéèøìÿñè ö÷öí åéíèëÿ 0≡tδ ãÿáóë
îëóíóð. Ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿðÿ ùÿì÷èíèí âèðòóàë éåðäÿéèøìÿëÿð äÿ äåéèëèð. Ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿðèí ïðîéåêñèéàëàðû àøàüûäàêû êèìè éàçûëûð:
);;( kkkkk zyxrr δδδδδ rr = . (1)
Òóòàã êè, ìåõàíèêè ñèñòåìèí öçÿðèíÿ ñîíëó m ñàéäà ùÿíäÿñè ðàáèòÿ-ëÿð ãîéóëìóøäóð:
____
,1;0),( mitrf ki ==r. (2)
Éàçûëàí ðàáèòÿ ãåéðè-ñòàñèîíàð âÿ áóðàõìàéàí ðàáèòÿäèð. (2)-íèí âà-ðèàñèéàñûíû àëàã:
0=ifδ . (3)
(3)-ö à÷ûã øÿêèëäÿ àøàüûäàêû êèìè éàçìàã îëàð:
01
=∂∂
∑=
k
N
k k
i rr
f rr δ . (4)
Áóðàäà N ìåõàíèêè ñèñòåìÿ äàõèë îëàí íþãòÿëÿðèí ñàéûäûð. Ïðîéåêñèéà-ëàðëà (4) àøàüûäàêû øÿêèëäÿ îëàð:
____
1
,1;0 mizz
fy
y
fx
x
fN
kk
k
ik
k
ik
k
i ==
∂∂+
∂∂+
∂∂
∑=
δδδ . (5)
(4) âÿ éà (5)-ÿ ÿñàñÿí ìåõàíèêè ñèñòåìèí krrδ ( nk ,1= ) ìöìêöí
éåðäÿéèøìÿëÿðè àðàñûíäà m ñàéäà àñûëûëûã âàð. (5) øÿðòëÿðè îíëàðûí öçÿ-ðèíäÿ ìÿùäóäèééÿòëÿð ãîéäóüóíäàí áó àñûëûëûãëàð èõòèéàðè îëà áèëìÿçëÿð. Åéíè úöð ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿðèí öçÿðèíÿ êèíåìàòèê ðàáèòÿëÿð âàñèòÿ-ñèëÿ äÿ ìÿùäóäèééÿòëÿð ãîéóëóð. Òóòàã êè, ìåõàíèêè ñèñòåìèí öçÿðèíÿ s ñàéäà êèíåìàòèê ðàáèòÿëÿð ãîéóëìóøäóð âÿ áó ðàáèòÿëÿð ñöðÿòëÿðÿ ýþðÿ õÿòòèäèð. Áó ðàáèòÿëÿðèí òÿíëèêëÿðè àøàüûäàêû øÿêèëäÿ éàçûëà áèëÿð:
65
____
01
,1;0 siaa ik
N
kik ==+∑
=
υrr. (6)
Áóðàäà ikar
âÿ 0iar
êîîðäèíàòëàðûí âÿ çàìàíûí ìÿëóì ôóíêñèéàëàðûäûð.
Ñöðÿò áÿðàáÿðäèð:
dtrddt
rdkk
kk υυ rr
rr =⇒= . (7)
(6)-íû dt -éÿ âóðàã âÿ (7)-äÿí èñòèôàäÿ åäÿê:
001
=+∑=
dtarda ik
N
kik
rr. (8)
Áó äöñòóð ùÿãèãè krdr éåðäÿéèøìÿëÿðè öçÿðèíÿ ãîéóëàí ìÿùäóäèééÿòëÿðè
èôàäÿ åäèð. Áóðàäàí àñàíëûãëà ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿð öçÿðèíÿ ãîéóëàí ìÿùäóäèééÿòëÿð àëûíûð:
01
=⋅∑=
k
N
kik ra
rr δ . (9)
Ïðîéåêñèéàëàðëà èôàäÿ åòñÿê:
sidzadyadxa kikzkikyk
N
kikx ;1,0)(
1
==++∑=
. (10)
Ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿð ïðèíñèïè
Òåîðåì: Òóòàã êè, ìåõàíèêè ñèñòåìèí öçÿðèíÿ èäåàë, áóðàõìàéàí ðà-
áèòÿëÿð ãîéóëìóøäóð. Áó ùàëäà ìåõàíèêè ñèñòåìèí òàðàçëûüûíûí çÿðóðè âÿ êàôè øÿðòè áó ñèñòåìÿ òÿñèð åäÿí ãöââÿëÿðèí îíëàðûí òÿòáèã íþãòÿëÿðèíèí ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿðè çàìàí ýþðäöéö èøèí ñûôûðà áÿðàáÿð îëìàñûäûð:
01
=⋅=∑=
k
n
kk rFA
rrδδ . (1)
Òÿðèô: èäåàë ðàáèòÿ Òóòàã êè, k íþìðÿëè íþãòÿéÿ òÿñèð åäÿí ðàáèòÿ
ãöââÿëÿðèíèí ÿâÿçëÿéèúèñè kNr
-äûð. ßýÿð
−=−≥
=⋅=∑=
δδцчцнrabitялярburaxmayan0
цчцнrabitялярburaxan0rNA k
n
1kkN
rrr (2)
øÿðòè þäÿíèëÿðñÿ, îíäà áåëÿ ðàáèòÿëÿð èäåàë ðàáèòÿëÿð àäëàíäûðûëûð. Áó-ðàõìàéàí èäåàë ðàáèòÿëÿð ö÷öí äîüðóäóð:
66
01
=⋅=∑=
k
n
kkN
rNArr
r δδ (3)
Òåîðåìèí èñáàòû: 1) Çÿðóðèëèê. Òóòàã êè, ìåõàíèêè ñèñòåì òàðàçëûãäàäûð. Îíäà îíóí ùÿð
áèð íþãòÿñèíÿ òÿñèð åäÿí àêòèâ ãöââÿíèí âÿ ðàáèòÿ ãöââÿñèíèí úÿìè ñûôûðà áÿðàáÿðäèð:
0=+ kk NFrr
(4)
(4) èôàäÿñèíè ñêàëéàð îëàðàã krrδ -éà âóðàã âÿ k èíäåêñèíÿ ýþðÿ úÿì-
ëÿéÿê:
⇒=+⇒=⋅+ ∑∑∑===
00)(111
k
n
kkk
n
kkk
n
kkk rNrFrNF
rrrrrrrδδδ
k
n
kkk
n
kk rNrF
rrrr
∑∑==
⋅−=⇒11
δδ . (5)
Áóðàäàí (3)-ÿ ÿñàñÿí (1) àëûíûð. 2) Êàôèëèê. Ôÿðç åäÿê êè, (1) þäÿíèëèð. Àììà îíà áàõìàéàðàã ùÿð
ùàíñû áèð ∗k íþìðÿëè íþãòÿ ùÿðÿêÿòÿ ýÿëèð. Áó î äåìÿêäèð êè, îíó ùÿðÿ-
êÿòÿ âàäàð åäÿí ãöââÿ ñûôûðäàí ôÿðãëèäèð:
∗∗∗+= kkk NFR
rrr. (6)
Ùÿðÿêÿò ñöêóíÿò âÿçèééÿòèíäÿí áàø âåðäèéèíÿ ýþðÿ ùÿãèãè krdr éåð-
äÿéèøìÿñè ∗kR
r ãöââÿñè èñòèãàìÿòèíäÿ îëàúàã. Îíäà éàçìàã îëàð:
0>⋅∗∗ kk rdR
rr. (7)
Ðàáèòÿëÿð áóðàõìàéàí îëäóüóíäàí ùÿãèãè éåðäÿéèøìÿëÿð ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿð ÷îõ-ëóüóíà äàõèëäèðëÿð. Îíà ýþðÿ äÿ éàçìàã îëàð:
∗∗= kk rrd
rr δ . (8)
Îíäà (7) îëàúàã:
0>⋅∗∗ kk rR
rrδ . (9)
Éà äà (6)-íû íÿçÿðÿ àëàðàã éàçà áèëÿðèê:
0)( >⋅+∗∗∗ kkk rNF
rrrδ . (10)
Ìåõàíèêè ñèñòåìÿ äàõèë îëàí äèýÿð íþãòÿëÿð òàðàçëûãäà îëäóüóíà ýþðÿ îíëàð ö÷öí (4) äîüðóäóð:
67
∗≠=+ kkNF kk ;0rr
. (11)
(11)-è krrδ -éà âóðàã âÿ k èíäåêñèíÿ ýþðÿ úÿìëÿéÿê:
∑∗≠
=
=⋅+n
kkk
kkk rNF1
0)(rrr
δ . (12)
(10) âÿ (12)-íè úÿìëÿéÿðÿê àëìûø îëóðóã:
∑=
>⋅+n
kkkk rNF
1
0)(rrr
δ , (13)
∑∑==
>+n
kkk
n
kkk rNrF
11
0rrrr
δδ . (14)
Áóðàäà (3)-ö íÿçÿðÿ àëàã, îíäà òàïûëûð êè:
01
>∑=
n
kkk rFrr
δ . (15)
Áó èñÿ ÿââÿë ãÿáóë åòäèéèìèç (1) øÿðòèíÿ çèääèð. Éÿíè (1) øÿðòè þäÿíèðñÿ, ùå÷ áèð íþãòÿ ùÿðÿêÿòÿ ýÿëÿ áèëìÿç. Íÿòèúÿ: ßýÿð èêè àéðû-àéðû ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí ìöìêöí éåðäÿéèø-
ìÿëÿð çàìàíû ýþðäöéö èøëÿð åéíèäèðñÿ, áó ãöââÿëÿð ñèñòåìè åêâèâàëåíò àäëàíäûðûëûð:
)1(1 kF
r=ℑ ∼
21 )2(
2 ℑℑ =⇔=ℑ AAFk δδr
.
Òÿðèô: ßýÿð ãöââÿëÿð ñèñòåìè áèð ãöââÿéÿ åêâèâàëåíòäèðñÿ, ùÿìèí ãöââÿ áàõûëàí ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí ÿâÿçëÿéèúèñè àäëàíäûðûëûð.
Ìöòëÿã áÿðê úèñìÿ òÿòáèã îëóíàí ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí ýþðäöéö èø
Ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí ýþðäöéö åëåìåíòàð èøè àøàüûäàêû êèìè éàçìàã
îëàð:
∑=∆k
kk rdFArr. (1)
Áóðàäà
dtrd kk υrr = . (2)
Îíäà (1)-è éàçìàã îëàð:
dtFAk
kk∑=∆ υrr
. (3)
68
Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí íþãòÿëÿðèíèí ñöðÿòëÿðè ö÷öí
)(0 kk rrrrr
×+= ωυυ . (4)
äöñòóðóíäàí èñòèôàäÿ åäÿê. Áóðàäà 0υr — ñå÷èëìèø ãöòáöí ñöðÿòèäèð. krr
áàõûëàí íþãòÿíèí ãöòáÿ íÿçÿðÿí ðàäèóñ âåêòîðóäóð. (4)-ö (3)-äÿ éåðèíÿ éàçàã:
=×+=
=×+==∆
∑∑
∑∑
dtrFdtF
dtrFdtFA
kkk
kk
kkk
kkk
)(
))((
0
0
rrrrr
rrrrrr
ωυ
ωυυ
dtFrdtFk
kkk
k ωυ rrrrr⋅
×+
= ∑∑ )(0 . (5)
Òÿðèôÿ ÿñàñÿí
RFk
k
rr=∑ (6)
— ãöââÿëÿð ñèñòåìèí áàø âåêòîðóäóð.
0)( MFrk
kk
rrr =×∑ (7)
— ñå÷èëìèø íþãòÿéÿ ýþðÿ ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí áàø ìîìåíòèäèð. (6) âÿ (7)-íè (5)-äÿ éàçàðàã ìöòëÿã áÿðê úèñìÿ òÿòáèã îëóíìóø ãöââÿëÿð ñèñ-òåìèíèí ýþðäöéö åëåìåíòàð èøèí èôàäÿñèíè àëìûø îëóðóã:
dtMdtRA ωυ rrrr
00 +=∆ . (8)
Ñÿðáÿñò ìöòëÿã áÿðê úèñìèí òàðàçëûã òÿíëèêëÿðè
Òóòàã êè, ñÿðáÿñò ìöòëÿã áÿðê úèñìÿ òÿñèð åäÿí ãöââÿëÿð ñèñòåìè
kFr
-äûð âÿ áó ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí áàø ìîìåíòè âÿ áàø âåêòîðó (6) âÿ
(7) äöñòóðëàðû èëÿ èôàäÿ îëóíóðëàð. Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí íþãòÿëÿðè àðàñûíäàêû ìÿñàôÿëÿð äÿéèøìÿçäèð. Áó
î äåìÿêäèð êè, äàõèëè ðàáèòÿëÿð èäåàë âÿ áóðàõìàéàí ðàáèòÿëÿðäèð. Áó áàõûìäàí ìöòëÿã áÿðê úèñèì ö÷öí ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿð ïðèíñèïèíäÿí èñòèôàäÿ åòìÿê îëàð. Éÿíè ñÿðáÿñò ìöòëÿã áÿðê úèñìèí òàðàçëûüûíûí çÿðóðè âÿ êàôè øÿðòè îíà òÿñèð åäÿí ãöââÿëÿðèí òÿòáèã íþãòÿëÿðèíèí ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿðèíäÿ ýþðöëÿí èøèí ñûôûðà áÿðàáÿð îëìàñûäûð:
∑ ⋅=k
kk rFArr
δδ . (9)
Ðàáèòÿëÿð áóðàõìàéàí îëäóüóíà ýþðÿ ùÿãèãè éåðäÿéèøìÿëÿð ìöì-
69
êöí éåðäÿéèøìÿëÿð ÷îõëóüóíà äàõèëäèðëÿð. Îíäà ãöââÿëÿðèí ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿðäÿ ýþðäöéö èø (8) äöñòóðó èëÿ ùåñàáëàíà áèëÿð:
000 =+⋅= dtMdtRA ωυδ rrrr. (10)
Áóðàäà ãöòáöí 0υr ñöðÿòèíèí âÿ ωr áóúàã ñöðÿòèíèí áèð-áèðèíäÿí àñûëû îëìàìàñûíû âÿ èõòèéàðè îëìàñûíû (10)-äà íÿçÿðÿ àëñàã, àëàðûã:
=
=
0
0
0M
Rr
r
(11)
Éÿíè ñÿðáÿñò ìöòëÿã áÿðê úèñìèí òàðàçëûãäà îëìàñûíûí çÿðóðè âÿ êàôè øÿðòëÿðè (11)-äèð. Ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí áàø âåêòîðó âÿ ùÿð ùàíñû áèð ìÿð-êÿçÿ ýþðÿ áàø ìîìåíòè ñûôûðà áÿðàáÿðäèð. Áó øÿðòëÿðè ïðîéåêñèéàëàðäà éàçàã:
==
==
==
∑
∑
∑
kkzz
kkyy
kkxx
FR
FR
FR
0
0
0
(12)
=−==
=−==
=−==
∑∑
∑∑
∑∑
0)(
0)(
0)(
0
0
0
kkxkkykk
kzz
kkzkkxkk
kyy
kkykkzkk
kxx
FyFxFmomM
FxFzFmomM
FzFyFmomM
r
r
r
(13)
(12)-éÿ ÿñàñÿí ãöââÿëÿðèí ùÿð áèð êîîðäèíàò îõóíà ïðîéåêñèéàëàðû-íûí úÿìè ñûôûðà áÿðàáÿðäèð.
(13)-ÿ ÿñàñÿí ãöââÿëÿðèí ùÿð áèð êîîðäèíàò îõóíà ýþðÿ ìîìåíòëÿðè-íèí úÿìè ñûôûðà áÿðàáÿðäèð.
(12) âÿ (13)-ÿ ÿñàñÿí òàðàçëûã òÿíëèêëÿðèí ñàéû 6-äàí ÷îõ äåéèë. Áó î äåìÿêäèð êè, òàðàçëûã òÿíëèêëÿðèíäÿí òÿéèí îëóíàí ìÿúùóëëàðûí ñàéû 6-äàí ÷îõ îëìàìàëûäûð. Áó ùàëäà ãöââÿëÿð ñèñòåìè ñòàòèêè ùÿëë îëóíàí àä-ëàíäûðûëûð. Úèñìèí þçöíÿ äÿ ñòàòèêè ìöÿééÿí ñèñòåì äåéèëèð. Êëàññèê íÿ-çÿðè ìåõàíèêàäà ÿñàñÿí ñòàòèêè ìöÿééÿí ñèñòåìëÿðÿ áàõûëûð.
70
Ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí õöñóñè ùàëëàðû 1) Áèð íþãòÿäÿ êÿñèøÿí ãöââÿëÿð ñèñòåìè. Éÿíè ãöââÿëÿðèí òÿñèð õÿò-
ëÿðè åéíè áèð íþãòÿäÿ êÿñèøèðëÿð. Áó íþãòÿíè Î ìÿðêÿçè êèìè ãÿáóë åò-ñÿê, (13) òÿíëèêëÿð ñèñòåìè åéíèëèêëÿ þäÿíèëÿúÿê âÿ òàðàçëûã òÿíëèêëÿðè (12) òÿíëèêëÿðèíäÿí èáàðÿò îëàúàãäûð.
2) Ö÷ ãöââÿ ñèñòåìè: ;; 321 FFFrrr
. ßýÿð èêè
ãöââÿ áèð ìöñòÿâèäÿ éåðëÿøèðñÿ âÿ îíëàðûí òÿñèð õÿò-ëÿðè Î íþãòÿñèíäÿ êÿñèøèðñÿ, îíäà ö÷öíúö ãöââÿ äÿ ùÿìèí ìöñòÿâèäÿ éåðëÿøèð âÿ îíóí òÿñèð õÿòòè ùÿìèí Î íþãòÿñèíäÿí êå÷èð. 3) Ìöñòÿâè ãöââÿëÿð ñèñòåìè. Áó ùàëäà áöòöí
ãöââÿëÿð åéíè áèð ìöñòÿâèäÿ éåðëÿøèð. Áó ìöñòÿâèíè ÕÉ ìöñòÿâèñè êèìè ãÿáóë åòñÿê, àëìûø îëàðûã:
0;0 == kzk Fz (14)
(14)-ö (12) âÿ (13)-äÿ éåðèíÿ éàçñàã, ìöñòÿâè ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí òàðàçëûã òÿíëèêëÿðèíè àëìûø îëàðûã:
=−==
==
==
∑∑
∑
∑
0)(
0
0
kkxkkykk
kooz
kkyy
kkxx
FyFxFmomM
FR
FR
r
(15)
Ìöñòÿâè ãöââÿëÿð ñèñòåìè ö÷öí òàðàçëûã òÿíëèêëÿðèíèí ñàéû ö÷äÿí àðòûã
äåéèë. (15)-ÿ ÿñàñÿí èêè áèð-áèðèíÿ ïåðïåíäèêóëéàð îëàí îõëàðà ýþðÿ ïðîéåêñèéàëàðûí úÿìëÿðè âÿ èõòèéàðè íþãòÿéÿ ýþðÿ ãöââÿëÿðèí ìîìåíòëÿ-ðèíèí úÿìè ñûôûðà áÿðàáÿðäèð.
71
Áóíà åêâèâàëåíò îëàí äèýÿð øÿêèëäÿ éàçûëàí òàðàçëûã òÿíëèêëÿðèíè ýþ-ñòÿðÿê:
=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
kk
A
kko
kkx
Fmom
Fmom
F
r
r (16)
(16)-éà ÿñàñÿí ùÿð ùàíñû áèð ñå÷èëìèø îõà ýþðÿ ãöââÿëÿðèí ïðîéåê-ñèéàëàðûíûí úÿìè âÿ èõòèéàðè èêè íþãòÿéÿ ýþðÿ ãöââÿ ìîìåíòëÿðèíèí úÿìëÿðè ñûôûðà áÿðàáÿðäèð.
Äèýÿð âàðèàíò:
=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
kk
B
kkA
kko
Fmom
Fmom
Fmom
r
r
r
(17)
Åéíè äöç õÿòò öçÿðèíäÿ éåðëÿøìÿéÿí Ùÿð ùàíñû ö÷ íþãòÿéÿ ýþðÿ ãöââÿ ìîìåíòëÿðèíèí úÿìëÿðè ñûôûðà áÿðàáÿðäèð.
Ãåéðè-ñÿðáÿñò ìöòëÿã áÿðê úèñèì ö÷öí
òàðàçëûã òÿíëèêëÿðèíèí éàçûëìàñû ßýÿð ìöòëÿã áÿðê úèñèì ãåéðè-ñÿðáÿñòäèðñÿ, éÿíè îíóí öçÿðèíÿ ðàáè-
òÿëÿð ãîéóëóáñà, îíäà òàðàçëûã òÿíëèêëÿðèíèí éàçûëìàñûíäàí ãàáàã áó úèñìè õÿéàëÿí ðàáèòÿëÿðäÿí àçàä åäÿðÿê îíëàðûí ÿâÿçèíÿ óéüóí ðàáèòÿ ãöââÿëÿðèíè äàõèë åòìÿê ëàçûìäûð. Ñîíðà áó ðàáèòÿ ãöââÿëÿðèíè úèñìÿ òÿñèð åäÿí ãöââÿëÿð ñèñòåìèíÿ äàõèë åäÿðÿê, ýåíèøëÿíìèø ãöââÿëÿð ñèñ-òåìè ö÷öí (12) âÿ (13) òàðàçëûã òÿíëèêëÿðèíè éàçìàã ëàçûìäûð.
Ìöòëÿã áÿðê úèñìÿ òÿñèð åäÿí ãöââÿëÿð
ñèñòåìèíèí åêâèâàëåíòëèê øÿðòëÿðè Ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿð ïðèíñèïèíÿ ÿñàñÿí ÿýÿð èêè ãöââÿëÿð ñèñòå-
ìèíèí ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿð çàìàíû ýþðäöéö èøëÿð áÿðàáÿðäèðñÿ, îíäà áåëÿ ñèñòåìëÿð åêâèâàëåíòäèðëÿð (áÿðàáÿðäèðëÿð):
72
)1(1 kF=ℑ , )2(
2 kF=ℑ ; 1ℑ ∼ 2ℑ ⇒ 21 AA δδ = . (1)
Òÿðèôÿ ýþðÿ ìöòëÿã áÿðê úèñèì ö÷öí éàçûëûð:
+=
+=
dtMdtRA
dtMdtRA
o
o
ωυδωυδrrrr
rrrr
)2(0
)2(2
)1(0
)1(1
Òÿðÿô-òÿðÿôÿ ÷ûõñàã âÿ (1)-è íÿçÿðÿ àëñàã, òàïàðûã:
0)()( )2()1(0
)2()1( =−+− dtMMdtRR oo ωυ rrrrrr (2)
Áóðàäà 0υr âÿ ωr èõòèéàðè âÿ àñûëû îëìàéàí âåêòîðëàð îëäóüóíà ýþðÿ (2)-
äÿí àëûíûð:
=−
=−
0
0)2()1(
)2()1(
oo MM
RRr
rr
→
=
=)2()1(
)2()1(
oo MM
RRrr
rr
(3)
Áåëÿëèêëÿ ìöòëÿã áÿðê úèñìÿ òÿñèð åäÿí åêâèâàëåíò ãöââÿëÿð ñèñòåì-ëÿðèíèí áàø âåêòîðëàðû âÿ áàø ìîìåíòëÿðè àéðû-àéðûëûãäà áÿðàáÿðäèðëÿð.
Ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí áèð ìÿðêÿçÿ ýÿòèðèëìÿñè
Ãöââÿíè òÿòáèã íþãòÿñèíäÿí äèýÿð íþãòÿéÿ êþ÷öðÿðêÿí îíóí òÿñèðè-
íèí äÿéèøìÿìÿñè ö÷öí áó ãöââÿéÿ îíóí éåíè òÿòáèã íþãòÿñèíÿ ýþðÿ ìîìåíòè ÿëàâÿ îëóíìàëûäûð.
~)();()(~)( BFBFAFAF kkkk
rrrr−∪
)();();(~ BFBFAF kkk
rrr− ∼
∼ =−∪ )();()( BFAFBF kkk
rrr
)()( AFmomBF kBk
rr∪= (1)
(1)-ÿ ÿñàñÿí ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí áöòöí ãöââÿëÿðèíè åéíè áèð ìÿðêÿçÿ êþ÷öðÿðêÿí îíëàðà ùÿìèí ìÿðêÿçäÿ òÿòáèã îëóíàí áó ãöââÿëÿðèí ìî-ìåíòëÿðè ÿëàâÿ îëóíìàëûäûð. Êîîðäèíàò áàøëàíüûúûíû ùÿìèí ìÿðêÿçäÿ ýþòöðÿê:
73
Ñîíðà èñÿ ñå÷èëìèø ìÿðêÿçäÿ àéðû-àéðûëûãäà ãöââÿëÿðè âÿ ìîìåíòëÿ-ðè òîïëàéàðàã, áèð ìÿðêÿçÿ ýÿòèðèëìèø ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí áàø âåêòîðóíó âÿ áàø ìîìåíòèíè àëìûø îëóðóã:
×=
=
∑
∑
kkko
kk
FrM
FR
)(rrr
rr
(2)
(2)-ÿ ÿñàñÿí ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí Rr áàø âåêòîðó
ìÿðêÿçèí ñå÷èìèíäÿí àñûëû äåéèë. Àíúàã áàø ìî-ìåíò òÿáèè êè, ìÿðêÿçèí ñå÷èìèíäÿí àñûëûäûð. Ìÿð-êÿçè äÿéèøÿðÿê áàø ìîìåíòèí íåúÿ äÿéèøìÿñèíè òÿéèí åäÿê. Òóòàã êè, Î1 íþãòÿñè éåíè ìÿðêÿçäèð. Øÿêèëäÿí ýþðöíöð êè:
kk OOr ρrr += 1 (3)
=×+=×= ∑∑k
kkk
kkO FOOFrM ))(()( 1
rrrrrρ
+×=×+×= ∑∑ )()()( 11 ROOFFOOk
kkk
k
rrrrρ
⇒+×=×+∑ 1)()( 1 O
kkk MROOF
rrrrρ (4)
⇒ )( 11
ROOMM OO
rrr×−= . (5)
Éàõóä äà
)( 11
ROOMM OO
rrr×+= . (6)
Ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí éåíè ìÿðêÿçÿ ýþðÿ áàø ìîìåíòè áó ãöââÿëÿðèí êþùíÿ ìÿðêÿçÿ ýþðÿ áàø ìîìåíòè èëÿ êþùíÿ ìÿðêÿçäÿ éåðëÿøäèðèëÿí áàø âåêòîðóí éåíè ìÿðêÿçÿ ýþðÿ ìîìåíòèíèí úÿìèíÿ áÿðàáÿðäèð.
Ãåéä åòäèéèìèç êèìè ìÿðêÿçèí äÿéèøìÿñèíÿ ýþðÿ áàø âåêòîð èíâàðè-àíòäûð. Áó áàõûìäàí áèðèíúè ñêàëéàð èíâàðèàíò êèìè ùÿìèí áàø âåêòîðóí ãèéìÿòèíèí êâàäðàòû ãÿáóë îëóíóð:
21 RJ = . (7)
Èêèíúè èíâàðèàíò êèìè èñÿ áàø âåêòîðóí âÿ áàø ìîìåíòèí ñêàëéàð ùàñèëè ãÿáóë îëóíóð:
OMRJrr
⋅=2 . (8)
Áó êÿìèééÿòèí ìÿðêÿçèí ñå÷èìèíäÿí àñûëû îëìàìàñûíû ýþñòÿðÿê. Áóíóí ö÷öí (6)-íû áàø âåêòîðà ñêàëéàð îëàðàã âóðàã:
74
)( 11ROORMRMR OO
rrrrrr×⋅+⋅=⋅ . (9)
Íÿçÿðÿ àëàã êè, 0)()( 11 =×⋅×=× RROOROORrrrr
. Îíäà (9)-äàí àëûðûã:
OO MRMRrrrr
⋅=⋅1
. (10)
Éÿíè (8) êÿìèééÿòè ìÿðêÿçèí ñå÷èëìÿñèíäÿí àñûëû äåéèë. (10) èôàäÿñèíè àøàüûäàêû êèìè éàçàã:
OROOO MprReMRMR
RRMR
rrrrr
rrr⋅=⋅⋅=
⋅⋅=⋅ )( , (11)
1; == eR
Re
rr
r. (12)
Îíäà (10) ÿñàñÿí àëûíûð êè,
oRoRMprMprrr
rr =1
. (13)
Áàø ìîìåíò âåêòîðóíó èêè îðòîãîíàë òîïëà-íàíà àéûðàã:
⊥+= oIIoo MMM
rr.
Áóðàäà IIoM
r — òîïëàíàí R
r áàø âåêòîðó èñòèãà-
ìÿòèíäÿ îëàí ïðîéåêñèéà âåêòîðóäóð, ⊥oM
r èñÿ
îíà ïåðïåíäèêóëéàð îëàí ïðîéåêñèéà âåêòîðóäóð:
oRIIo MprM
rr=
Ùÿì÷èíèí,
11
111
oRIIo
oIIoo
MprM
MMMr
rrr
r=
+= ⊥
(13)-ÿ ÿñàñÿí ìÿðêÿç äÿéèøäèêäÿ áàø ìî-ìåíòèí äÿéèøìÿñèíÿ áàõìàéàðàã, îíóí áàø âåêòîðóí èñòèãàìÿòèíÿ îëàí ïðîéåêñèéàñû äÿéèø-ìÿç îëàðàã ãàëûð:
constM IIo = . (14)
Áó î äåìÿêäèð êè, áàø ìîìåíòèí äÿéèøìÿñè îíóí äèýÿð ïðîéåêñèéàñû ùåñàáûíà áàø âåðèð. Éÿãèí êè, ìÿðêÿçè åëÿ ñå÷ìÿê îëàð êè, ùÿìèí ìÿð-
êÿçÿ íÿçÿðÿí áàø ìîìåíòèí ⊥oM
r ïðîéåêñèéàñû ñûôðà áÿðàáÿð îëñóí. Éÿ-
íè, ìîìåíò þçöíöí ÿí êè÷èê ãèéìÿòèíè àëñûí. Ùÿìèí íþãòÿäÿ áàø ìî-
75
ìåíò âåêòîðó áàø âåêòîðëà êîëëèíåàðäûð. Áåëÿ áèð ìÿðêÿçè òÿéèí åäÿê. Òóòàã êè, ñå÷èëìèø Î ìÿðêÿçèíÿ ýþðÿ áàø ìîìåíò âÿ áàø âåêòîð ìÿ-ëóìäóð:
),,( zyx RRRRr
,
),,(zyx oooo MMMM
r.
Êîîðäèíàò áàøëàíüûúûíû áó ìÿð-êÿçäÿ ãÿáóë åòñÿê, îíäà éàçìàã îëàð:
),,( ∗∗∗∗∗ = zyxOOOO
∗O ìÿðêÿçèíèí òÿéèíè ö÷öí àøàüûäàêû Rr âÿ
*oMr
âåêòîðëàðûíûí êîë-
ëèíåàðëûã øÿðòèíäÿí èñòèôàäÿ åäÿê:
RMo
rrλ=
∗. (15)
Áóðàäà λ ñêàëéàð ïàðàìåòðäèð. (5)-ÿ ÿñà-ñÿí éàçìàã îëàð:
)( ROOMM oo
rrr×−= ∗
∗ (16)
(16)-íû (15)-äÿ éàçàã:
RROOMo
rrrλ=×− ∗ )( .
Îíäà ìÿúùóë ∗∗∗ zyx ,, ö÷öí àøàüûäàêû òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíè àëìûø îëàðûã:
=⋅−⋅−
=⋅−⋅− ∗∗∗∗
y
zxoy
x
yzox
R
RxRzM
R
RzRyM )()(
λ=⋅−⋅−
= ∗∗
z
xyoz
R
RyRxM )(. (18)
(18) èêè õÿòòè úÿáðè òÿíëèêëÿð ñèñòåìèäèð. Ìÿúùóëëàðûí ñàéû ö÷ îëäóüóíäàí îíëàð áóðàäàí áèðãèéìÿòëè òÿéèí îëóíà áèëìÿç. Áóðàäàí àíúàã îíëàðûí íèñáÿòëÿðè òÿéèí îëóíà áèëÿð. Ìÿñÿëÿí,
bz
ya
z
x ==∗
∗
∗
∗ ; . (19)
(19) èñÿ äöç õÿòòèí òÿíëèéèäèð. Áåëÿëèêëÿ àõòàðäûüûìûç ∗O ìÿðêÿçëÿð
÷îõëóüó åéíè áèð äöç õÿòò öçÿðèíäÿ éåðëÿøèðëÿð âÿ áó äöç õÿòòèí òÿíëèéè (18)-äÿí àëûíûð. Áó äöç õÿòò äèíàìèê âèíòèí îõó àäëàíäûðûëûð. Áàø âåêòîð
âÿ îíà ïàðàëåë îëàí áàø ìîìåíò ;∗oMR
rr áèðëèêäÿ äèíàìèê âèíò àäëà-
76
íûð. (15)-äÿí λ ïàðàìåòðèíè àøàüûäàêû êèìè òÿéèí åòìÿê îëàð:
⇒⋅=⋅∗
RRMR o
rrrrλ
1
212 J
JJJ =⇒⋅=⇒ λλ . (20)
ßýÿð 0>λ îëàðñà, îíäà äèíàìèê âèíò ñàü âèíò àäëàíûð. ßýÿð 0<λ îëàðñà, îíäà äèíàìèê âèíò ñîë âèíò àäëàíûð.
Ïàðàëåë ãöââÿëÿðèí òîïëàíìàñû
Û. Åéíè èñòèãàìÿòäÿ îëàí èêè ïàðàëåë ãöââÿíèí òîïëàíìàñû. ßââÿëúÿ
îíó ãåéä åäÿê êè, ìöòëÿã áÿðê úèñìÿ òÿñèð åäÿí ãöââÿíè îíóí òÿñèð õÿòòè áîéó èõòèéàðè ñöðöøäöðìÿê îëàð. Áóíäàí èñòèôàäÿ åäÿðÿê èêè ïàðàëåë ãöââÿíè þç òÿñèð õÿòëÿðè áîéó åëÿ ñöðöøäöðìÿê îëàð êè, áó ãöââÿëÿðèí òÿòáèã íþãòÿëÿðèíè áèðëÿøäèðÿí äöç õÿòò ïàð÷àñû áó ãöââÿëÿðÿ ïåðïåíäè-êóëéàð îëñóí:
Ýþñòÿðÿê êè, åéíè èñòèãàìÿòäÿ îëàí èêè ïàðàëåë ãöââÿëÿð ñèñòåìè îíëà-
ðà ïàðàëåë âÿ åéíè èñòèãàìÿòäÿ îëàí åëÿ áèð ãöââÿéÿ åêâèâàëåíòäèð êè, áó ãöââÿíèí ãèéìÿòè òîïëàíàí ãöââÿëÿðèí ãèéìÿòëÿðèíèí úÿìèíÿ áÿðàáÿðäèð âÿ áó ãöââÿíèí òÿñèð õÿòòè òîïëàíàí ãöââÿëÿðèí òÿñèð õÿòëÿðè àðàñû ìÿñà-ôÿíè ãöââÿëÿðèí ãèéìÿòëÿðèíÿ ýþðÿ òÿðñ ìöòÿíàñèá áþëöð:
21 FFRrrr
+= , (1)
1
2
F
F
BC
AC= , (2)
21 FFRrrr
↑↑↑↑ . (3)
Ìÿëóìäóð êè, ìöòëÿã áÿðê úèñìÿ òÿñèð åäÿí ãöââÿëÿð ñèñòåìè åêâè-
77
âàëåíòäèðñÿ, îíëàðûí áàø âåêòîðëàðû âÿ èõòèéàðè íþãòÿéÿ íÿçÿðÿí áàø ìî-ìåíòëÿðè åéíèäèð.
(1) âÿ (3) øÿðòëÿðèíäÿí ; 21 FFrr
ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí âÿ Rr ãöââÿñè-
íèí áàø âåêòîðëàðûíûí åéíè îëìàñû àëûíûð. (2) øÿðòèíè þäÿéÿí ÀÁ ïàð÷àñûí-äà Ú íþãòÿñèíè ãåéä åäÿê âÿ áó íþãòÿéÿ ýþðÿ ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí áàø
ìîìåíòèíè ùåñàáëàéàã. ; 21 FFrr
ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí áàø ìîìåíòè áÿ-
ðàáÿðäèð:
BCFACFMC ⋅−⋅= 21)1( . (4)
(2)-éÿ ÿñàñÿí áó ìîìåíò ñûôûðà áÿðàáÿðäèð:
0)1( =CM . (5)
Rr ãöââÿñèíèí C íþãòÿñèíÿ ýþðÿ ìîìåíòè:
0)()2( == RMM CC
r. (6)
(5) âÿ (6)-íûí ìöãàéèñÿñèíäÿí ýþðÿðèê êè, áàø ìîìåíòëÿð åéíèäèð. ÛÛ. Èêè ïàðàëåë îëàí ÿêñ èñòèãàìÿòëÿíäèðèëìèø ãöââÿëÿðèí òîïëàíìàñû.
Áóðàäà 2 ùàëà áàõàã:
1) 2121 , FFFFrr
↓↑≠ . (7)
Ìöÿééÿíëèê ö÷öí ôÿðç åäÿê êè,
21 FF > . (8)
Èêè àíòèïàðàëåë âÿ ãèéìÿòúÿ áÿðàáÿð îëìàéàí ; 21 FF
rr ãöââÿëÿð ñèñ-
òåìè åëÿ áèð Rr ãöââÿñèíÿ åêâèâàëåíòäèð êè, áó ãöââÿ òîïëàíàí ãöââÿëÿ-
ðÿ ïàðàëåëäèð, ãèéìÿòúÿ áó ãöââÿëÿðèí ôÿðãèíÿ áÿðàáÿðäèð, áþéöê îëàí ãöââÿ èñòèãàìÿòèíäÿ éþíÿëèð âÿ îíóí àðõàñûíäà éåðëÿøèð. Éåðëÿøìÿ ìÿ-ñàôÿñè (2) ìöíàñèáÿòè èëÿ ìöÿééÿí åäèëèð. Áóíó èñáàò åòìÿê ö÷öí ãåéä îëóíàí ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí áàø âåêòîðëàðûíûí âÿ áàø ìîìåíòëÿðèíèí åéíè
78
îëìàñûíû ýþñòÿðÿê. Ãåéä åòäèéèìèç êèìè
21 FFR −= . (9)
Áó äà
21 FFrr
↓↑ (10)
øÿðòè èëÿ áèðëèêäÿ áàø âåêòîðëàðûí åéíè îëìàñûíû ýþñòÿðèð. (2) øÿðòèíè þäÿé-ÿí Ú íþãòÿñèíè ãåéä åäÿê âÿ áó íþãòÿéÿ ýþðÿ ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí áàø ìîìåíòèíè ùåñàáëàéàã:
BCFACFMC ⋅+⋅−= 21)1( . (11)
(2)-éÿ ÿñàñÿí:
0)1( =CM . (12)
Rr ãöââÿñèíèí Ú íþãòÿñèíÿ ýþðÿ ìîìåíòè åéíèëèêëÿ:
0)()2( == RMM CC
r. (13)
2) Èíäè
21 FF = (14)
îëàí ùàëà áàõàã. (9)-äàí àëûíûð êè: 0=R .
21 FF → éþíÿëäÿíäÿ (2)-äÿí àëûíûð: ∞→AC . Áó î äåìÿêäèð êè,
(10) âÿ (14) èëÿ ìöÿééÿí îëóíàí ãöââÿëÿð ñèñòåìè áèð ìîìåíòÿ åêâèâà-ëåíòäèð âÿ áó ìîìåíò
aFM ⋅±= (15)
áÿðàáÿðäèð. Áóðàäà
21 FFF == , (16)
a — èñÿ ãöââÿëÿð àðàñû ìÿñàôÿäèð. (10) âÿ (14) èëÿ ìöÿééÿí îëóíàí ãöââÿëÿð ñèñ-
òåìè ; FFrr
− — ãöââÿëÿð úöòö àäëàíûð. Îíëàð àøàüûäàêû õàññÿëÿðÿ ìàëèêäèðëÿð:
à) Ãöââÿ úöòöíö áèð ìöñòÿâèäÿí îíà ïàðàëåë îëàí äèýÿð ìöñòÿâèéÿ êþ÷öðìÿê îëàð:
79
á) Ãöââÿ úöòöíö þç ìöñòÿâèñèíäÿ èõòèéàðè îëàðàã éåðëÿøäèðìÿê îëàð:
ú) Ãöââÿ úöòöíöí ãöââÿñèíè âÿ ãöââÿëÿðàðàñû ìÿñàôÿíè èõòèéàðè äÿéèøäèðìÿê îëàð, î øÿðòëÿ êè, îíëà-ðûí ùàñèëè äÿéèøìÿç îëàðàã ãàëñûí:
2211 aFaF = .
×îõñàéëû ïàðàëåë ãöââÿëÿð ñèñòåìè Áóíäàí ÿââÿëêè ìþâçóíóí áèðèíúè áÿíäèíÿ àèä îëàí ùàëû ýåíèøëÿíäè-
ðÿðÿê, åéíè èñòèãàìÿòäÿ îëàí èêè ïàðàëåë ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí ÿâÿçåäèúè-
ñèíèí êå÷äèéè Ú íþãòÿñèíèí crr ðàäèóñ-âåêòîðó ö÷öí äöñòóð àëàã.
Òóòàã êè, ðàäèóñ-âåêòîðëàðû );;( 1111 zyxrr
âÿ );;( 2222 zyxrr
îëàí À âÿ
Á íþãòÿëÿðèíäÿ åéíè èñòèãàìÿòäÿ îëàí 1Fr âÿ 2F
r ãöââÿëÿðè òÿòáèã îëó-
íóáëàð.
x
A
yB
z
crr
2rr
1rr
C
1Fr
2Fr
Rv
x
A
yB
z
crr
2rr
1rr
C
1Fr
2Fr
Rv
Øÿêèëäÿí ýþðöíöð êè,
;1rrAC c
rr −= crrCBrr −= 2 . (17)
Äèýÿð òÿðÿôäÿí (2)-éÿ ÿñàñÿí éàçìàã îëàð:
80
12 F
CB
F
AC= âÿ éà .
12 F
CB
F
AC =
Áóðàäà (17)-íè íÿçÿðÿ àëñàã, òàïàðûã:
.1
2
2
1
F
rr
F
rr cc
rrrr −=−
Áóðàäàí èñÿ àëìûø îëóðóã:
.21
2211
FF
rFrFrc +
+=rr
r (18)
Òÿáèè êè, Rr ÿâÿçåäèúè ãöââÿíè Ú íþãòÿñèíäÿí êå÷ÿí îõ áîéó èõòèéà-
ðè îëàðàã ñöðöøäöðìÿê îëàð. ×îõ ñàéäà åéíè èñòèãàìÿòëè ãöââÿëÿð ñèñòåìè ö÷öí òÿäðèúÿí èêè
ãöââÿíè òîïëàéàðàã âÿ ùÿð ìÿðùÿëÿäÿ (18) äöñòóðóíäàí èñòèôàäÿ åäÿðÿê, àøàüûäàêû äöñòóðó àëìûø îëàðûã:
∑
∑
=
==n
kk
n
kkk
c
F
rFr
1
1
r
r . (19)
Áó äöñòóðëà èôàäÿ îëóíàí íþãòÿ ïàðàëåë ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí ìÿðêÿçè àäëàíûð.
Ìöòëÿã áÿðê úèñìèí àüûðëûã ìÿðêÿçèíèí òÿéèíè
×îõ ñàéäà ïàðàëåë ãöââÿëÿðèí ÿâÿçåäèúèñèíèí òÿòáèã íþãòÿñèíèí éåð-ëÿøìÿñè (19) âåêòîð äöñòóðó èëÿ ìöÿééÿí îëóíóð:
Áÿðê úèñìè êè÷èê åëåìåíòëÿðèíèí úÿìè êèìè ýþñòÿðÿê. kPr èëÿ ùÿìèí
åëåìåíòëÿðèí àüûðëûã ãöââÿëÿðèíè èøàðÿ åäÿê. Úèñìèí þë÷öëÿðè éåð êöðÿñèíèí þë÷öñöíÿ ýþðÿ ãàò-ãàò êè÷èê îëäóüóíà
ýþðÿ áó ãöââÿëÿðè áèð-áèðèíÿ ïàðàëåë ãÿáóë åòìÿê îëàð. Îíäà áó ãöââÿ-ëÿðèí ìÿðêÿçè (19)-à óéüóí îëàí äöñòóðëà ýþñòÿðèëÿ áèëÿð:
∑
∑=
kk
kkk
c P
rPr
r
r. (20)
Áóðàäà kkkk VgP ∆⋅= ρ , (21)
áóðàäà kρ — úèñìèí ùèññÿúèéèíèí ñûõëûüû, kg — ñÿð-
81
áÿñòäöøìÿ òÿúèëè, kV∆ — ùèññÿúèê åëåìåíòèíèí ùÿúìèäèð. Éåíÿ äÿ úè-
ñèìëÿðèí þë÷öëÿðèíèí éåð êöðÿñèíÿ ýþðÿ êè÷èê îëìàñûíû íÿçÿðÿ àëñàã,
ggk = ãÿáóë åäÿ áèëÿðèê. (20) èëÿ ìöÿééÿí îëóíàí íþãòÿ àüûðëûã ìÿð-
êÿçèíè òÿéèí åäèð. Àüûðëûã ìÿðêÿçèíè êîîðäèíàòëàðëà èôàäÿ åäÿðêÿí àëìûø îëóðóã:
∑
∑
∑
∑
∑
∑===
kk
kkk
c
kk
kkk
c
kk
kkk
c P
zPz
P
yPy
P
xPx ;; . (22)
Ñÿðáÿñòäöøìÿ òÿúèëè ñàáèò îëàí ùàëäà áó àñûëûëûãëàð àøàüûäàêû øÿêëÿ äöøöðëÿð:
∑
∑=
kk
kkk
c m
rmr
r
r, (23)
kkk Vm ∆= ρ , (24)
∑
∑
∑
∑
∑
∑===
kk
kkk
c
kk
kkk
c
kk
kkk
c m
zmz
m
ymy
m
xmx ;; , (25)
Áó úöð òÿéèí îëóíàí ìÿðêÿç — êöòëÿëÿð ìÿðêÿçè àäëàíûð. Êöòëÿ úèñèì áîéó êÿñèëìÿç ïàéëàíàðñà, àüûðëûã ìÿðêÿçè àøàüûäàêû êèìè òÿéèí îëóíàð:
∫
∫=
V
Vc
gdV
dVrg
rρ
ρ r
r .
Îíóí ïðîéåêñèéàëàðû èñÿ
∫
∫
∫
∫
∫
∫===
V
Vc
V
Vc
V
Vc
gdV
gzdV
zgdV
gydV
ygdV
gxdV
xρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ;; .
Ñÿðáÿñòäöøìÿ òÿúèëè ñàáèò ãÿáóë îëóíàí ùàëäà àüûðëûã ìÿðêÿçè âÿ êöòëÿëÿð ìÿðêÿçè öñò-öñòÿ äöøöð âÿ îíëàð àøàüûäàêû êèìè òÿéèí îëóíóð:
∫
∫=
V
Vc
dV
dVrg
rρ
ρ r
r
82
âÿ éà
∫
∫
∫
∫
∫
∫===
V
Vc
V
Vc
V
Vc
dV
zdV
zdV
ydV
ydV
xdV
xρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ;; .
Ùÿì÷èíèí úèñèì áèðúèíñ îëàðñà, éÿíè, const=ρ îëàðñà, îíäà àüûðëûã
ìÿðêÿçè (êöòëÿëÿð ìÿðêÿçè) àøàüûäàêû êèìè òÿéèí îëóíàð:
V
dVr
r Vc
∫=
r
r
âÿ éà
V
zdV
zV
ydV
yV
xdV
x Vc
Vc
Vc
∫∫∫=== ;; .
83
Ãåéä: Úèñèìäÿ áîøëóãëàð âàðñà, áó úèñìÿ òàì êÿñèëìÿç êöòëÿñè îëàí úèñèì êèìè áàõìàã îëàð, î øÿðòëÿ êè, áîøëóãäà íÿçÿðäÿ òóòóëàí êöòëÿ ìÿíôè êöòëÿ êèìè ãÿáóë îëóíñóí. Áó öñóë ìÿíôè êöòëÿëÿð öñóëó àäëàíûð. Ìèñàë ö÷öí r -ðàäèóñëó äàèðÿâè áîøëóüó îëàí R — ðàäèóñëó áèðúèíñ äàè-ðÿíèí àüûðëûã ìÿðêÿçèíè ùåñàáëàéàã. Ñèììåòðèéàéà ýþðÿ àüûðëûã ìÿðêÿçè
x îõó öçÿðèíäÿ éåðëÿøèð âÿ 0=cy . Îíäà (25) äöñòóðóíà ÿñàñÿí àëìûø
îëóðóã:
22
2
22
2
22
22
)()(
)(0
rR
ar
rR
ar
rR
arRxc −
−=−
−=−+
⋅−+⋅=ρπ
ρπρπρπρπρπ
.
84
ÄÈÍÀÌÈÊÀ
Динамиканын ясас анлайышлары вя аксиомлары
Динамиканын ясас анлайышлары – кцтля вя гцввя анлайышларыдыр. Бцтцн ъисимляр яталятлилик хассясиня маликдирляр, беля ки, ъисимляр юз сцкунят вязиййятлярини, йахуд да щярякят щалларыны ани олараг дяйишмирляр. Кянар мцдахиля нятиъясиндя ъисмин гейд олунан щярякят дяйишмялярин тез вя йа эеъ баш вермясини характеризя едян кямиййятя кцтля дейилир. Башга сюзля, кцтля – ъисмин яталятлилик юлчцсцдцр; кцтляси чох олан ъисмин яталятлилийи бюйцк, кцтляси аз олан ъисмин яталятлилийи ися кичик олур.
Ъисимлярин бири-бириня олан тясири щям истигамяти, щям дя ядяди гиймяти иля характеризя олунур. Бу ъцр тяйин олунан кямиййятя гцввя дейилир. Беляликля, демяк олар ки, гцввя ъисми юз сцкунят щалыны, йа да щярякятини дяйишмяйя мяъбур едян сябябин характеристикасыдыр вя бу характеристика векториал кямиййятидир.
Динамиканын ясасыны Нйутонун цч гануну (аксиомлар) тяшкил едир.
Нйутонун биринъи гануну. Мадди нюгтяйя гцввя тясир етмядикдя о йа сцкунятдя галыр, йа да дцзхятли бярабярсцрятли щярякятини давам етдирир.
Бу ганун юзцнц мцтляг, тярпянмяз щесаблама системиндя, йа да бу щесаблама системиня нязярян бярабярсцрятли ирялилямя щярякяти едян щесаблама системляриндя доьрулдур. Беля системляр инерсиал щесаблама системляри адланыр. Яксиня, инерсиал щесаблама ситемлярини мящс Нйутонун биринъи ганунунун йериня йетирилмяси иля тяйин етмяк олар: инерсиал щесаблама системляри адланан еля бир щесаблама системляри вардыр ки, бу системлярдя азад мадди нюгтя йа сцкунятдя олур, йа да дцзхятли бярабярсцрятли щярякят едир. Инерсиал щесаблама системляри механики нюгтейи-нязярдян бири-бириня еквивалентдирляр, йяни механиканын бцтцн ганунлары вя тянликляри беля системлярин конкрет сечиминдян асылы дейилдир. Беля ифадя олунан принсип Галилейин нисбилик принсипи адланыр.
Нйутонун икинъи гануну. Сярбяст мадди нюгтянин гцввянин тясири алтында алдыьы тяъил истигамятъя бу гцввя бойу йюнялир вя онунла дцз мцтянасибдир. Мцтянасиблик ямсалынын тярс гиймяти – кцтлядир:
m
Fw
rr = .
85
Nyutonun ikinci qanununa görə sərbəst maddi nöqtənin təcil vektoru ilə radius vektoru arasında
wr
=2
2
dt
rdr
münasibəti mövcuddur. Əgər nöqtə sərbəst deyilsə, onda onun təcilinin üzərinə müəyyən məhdudiyyətlər qoyulur. Bunun nəticəsində
wr
≠2
2
dt
rdr
olur. Bu o deməkdir ki, rw &&rr − əlavə təcili yaranır və bu
əlavə təcilin yaranmasının səbəbi nöqtənin üzərinə qoyulan rabitələrin reaksiya qüvvələridir. Rabitə qüvvələrini digər qüvvələrdən fərqlən-dirmək üçün həmin digər qüvvələri aktiv qüvvələr adlandıracağıq. Bəzi hallarda rabitə qüvvələrini passiv qüvvələr də adlandırırlar. Bu qüvvələr əvvəlcədən məlum olmurlar və onlar rabitə qurğularının növlərindən, aktiv qüvvələrdən və hərəkətdən asılıdırlar.
Nöqtəyə təsir edən rabitə qüvvələrinin əvəzedicisini Nr
ilə işarə etsək, onda almış olarıq:
rw &&vr − =
m
Nr
.
Burada sərbəst maddi nöqtənin təcilinin m
Fr
r
&&r = olduğunu nəzərə alsaq,
yazmaq olar:
NFwmrrr += .
Bu tənlik onu göstərir ki, sərbəst olmayan maddi nöqtəyə aktiv qüvvələrin və reaksiya qüvvələrinin təsiri altında hərəkət edən sərbəst nöqtə kimi baxmaq olar.
Нйутонун цчцнъц гануну. Ики мадди нюгтя бири-бириня бу нюгтя-ляри бирляшдирян дцзхятт бойу якс истигамятдя йюнялмиш вя гиймят-ъя ейни олан гцввялярля тясир едир-
ляр: 1,22,1 FFrr
−= .
Гцввялярин хятти суперпозисийа принсипи. Яэяр мадди нюгтяйя бир нечя гцввя тясир едирся, онда щяр бир гцввя нятиъясиндя йаранан тяъил диэяр гцввялярин тясириндян асылы дейил вя цмуми тяъил бцтцн гцввя-лярин щесабына йаранан тяъиллярин векториал ъяминя бярабярдир.
1m 1,2Fr
2,1Fr
2m
86
Nkm
Fw k
k ;1; ==r
r (1)
∑∑
=
= ===N
k
N
kk
k m
F
m
Fww
1
1
rr
rr (2)
−= NkkF ;1
r гцввяляр системинин йаратдыьы гядяр w
r тяъилини
йарадан Fr
гцввясиня бу гцввяляр системинин явязляйиъиси дейилир. Динамиканын биринъи мясяляси: бурада мялум щярякятя эюря
мцвафиг гцввяляр тяйин едилир. Динамиканын икинъи мясяляси: бурада ися тясир едян гцввяляр
системи верилир вя щярякяти характеризя едян кинематик кямиййятляр тяйин олунур.
Êöòëÿëÿð ùÿíäÿñÿñè
Ìåõàíèêè ñèñòåìèí êöòëÿñèíèí ùÿúì áîéó ïàéëàíìàñûíû õàðàêòåðèçÿ åäÿí êÿìèééÿòëÿðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðè äåéèëèð. Áó êÿìèééÿòëÿð ìåõàíèêè ñèñòåìèí êöòëÿñèíèí àéðû-àéðû ìöñòÿâèëÿðÿ ýþðÿ, àéðû-àéðû îõëàðà ýþðÿ âÿ íþãòÿëÿðÿ ýþðÿ ïàéëàíìàñûíû õàðàêòåðèçÿ åäèðëÿð.
Òóòàã êè, ôÿçàäà éåýàíÿ äåêàðò êîîðäèíàò ñèñòåìè äàõèë îëóíóá. Îíäà èõòèéàðè «í» òÿðòèáëè ÿòàëÿò ìîìåíòè àøàüûäàêû êèìè éàçûëàð:
( )
=++
=∑=
n
zyxmJN
iziiin
γβα
γβα
1 (1)
Íÿçÿðè ìåõàíèêàäà áèðèíúè âÿ èêèíúè òÿðòèá ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðèíäÿí èñòèôàäÿ îëóíóð. Áèðèíúè òÿðòèá ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðè ùÿì äÿ ñòàòèê ìîìåíò-ëÿð àäëàíûð. Îíëàð àøàüûäàêûëàðäûð:
=
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
N
iiiz
N
iiiy
N
iiix
zmS
ymS
хmS
1
1
1
(2)
ßýÿð Ú àüûðëûã ìÿðêÿçèíèí crr ðàäèóñ âåêòîðó ö÷öí ìÿëóì
87
=
=
∑
∑
=
=
N
ii
c
N
iii
mm
rmrm
1
1
rr
(3)
äöñòóðóíäàí èñòèôàäÿ åòñÿê, ñòàòèê ìîìåíòëÿðè àøàüûäàêû êèìè äÿ èôàäÿ åäÿ áèëÿðèê:
.;; czcycx mzSmySmхS === (4)
Èêèíúè òÿðòèá ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðèíè íÿçÿðäÿí êå÷èðÿê. Áó ìîìåíòëÿðÿ îõëàðà ýþðÿ îëàí ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðè äÿ äàõèëäèð:
( )
( )
( )
−+=
−+=
−+=
∑
∑
∑
=
=
=
N
iiiizz
N
iiiiyy
N
iiiixx
zyxmJ
yzxmJ
хzymJ
1
22
1
22
1
22
моментияталят эюряохунакоординат
моментияталят эюряохунакоординат
моментияталят эюряохунакоординат
(5)
Öìóìèééÿòëÿ, èõòèéàðè ë îõóíà ýþðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòè àøàüûäàêû êèìè èôàäÿ îëóíóð:
∑=
⋅=n
iiil hmJ
1
2 . (6)
Áóðàäà ih — íþãòÿíèí l îõóíäàí îëàí ìÿñàôÿñèäèð.
Ãàðûøûã ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðè àøàüûäàêû êèìè éàçûëûð:
=
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
N
iiiiyz
N
iiiixz
N
iiiixy
zymJ
zxmJ
yxmJ
1
1
1
(7)
Áó úöð ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðè ìåõàíèêè ñèñòåìèí êöòëÿñèíèí êîîðäèíàò ìöñòÿâèëÿðèíÿ íÿçÿðÿí ãåéðè-ñèììåòðèêëèéèíè ìöÿééÿí åäÿí êÿìèééÿòëÿðäèð. Íþãòÿéÿ ýþðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòè ïîëéàð ÿòàëÿò ìîìåíòè àäëàíûð. Êîîðäèíàò áàøëàíüûúûíà ýþðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòè àøàüûäàêû êèìè éàçûëûð:
∑=
++=N
iiiii zyxmJ
1
2220 )( . (8)
ihiA l
88
ßýÿð ìåõàíèêè ñèñòåìèí êöòëÿñè ùÿúì áîéó êÿñèëìÿç ïàéëàíûáñà, î çàìàí éóõàðûäà éàçûëàí ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðèíèí èôàäÿëÿðèíäÿêè úÿì ùÿúì öçðÿ èíòåãðàëëà ÿâÿç îëóíóð. Éÿíè:
+=
+=
+=
∫
∫
∫
dVyxJ
dVzxJ
dVzyJ
zz
yy
xx
)(
)(
)(
22
22
22
ρ
ρ
ρ
(9)
=
=
=
∫
∫
∫
dVzxJ
dVzyJ
dVyxJ
xz
yz
xy
ρ
ρ
ρ
,
∫ ++= dVzyxJ )( 2220 ρ .
Ìèñàë êèìè äöçáóúàãëû ïàðàëåëåïèïåäèí ìÿðêÿçè îõóíà ýþðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòèíè ùåñàáëàéàã. Êîîðäèíàò áàøëàíüûúûíû ïàðàëåëåïèïåäèí ìÿðêÿ-çèíäÿ ýþñòÿðÿê, êîîðäèíàò îõëàðûíû èñÿ ïàðàëåëåïèïåäèí òèëëÿðèíÿ ïàðàëåë éþíÿëäÿê. zyx ;; êîîðäèíàò îõëàðû áîéó þë÷öëÿðè cba ;; èëÿ èøàðÿ åäÿê.
Òÿðèôÿ ýþðÿ é îõóíà ýþðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòè àøàüûäàêû êèìè éàçûëûð:
∫∫∫−−−
+=2
2
222
2
2
2
.)(
c
c
b
b
a
ayy dzdydxzxJ ρ .
Ãÿáóë åäÿê êè, êöòëÿ úèñèì áîéó áÿðàáÿð ïàéëàíûá, éÿíè ñûõëûã ñàáèò-
äèð. Îíäà: abc
m
V
m ==ρ âÿ
=+⋅=+= ∫ ∫∫ ∫ ∫− −− − −
dxdzzxbabc
mdxdydzzxJ
a
a
c
c
a
a
b
b
c
cyy
2
2
2
2
222
2
2
2
2
2
22 )()(ρ
=⋅+
⋅⋅=
+⋅=−−
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫ 2
2
32
2
32
2
2
2
2
2
2
2
22
33
c
c
a
a
a
a
c
c
a
a
c
c
za
xc
ac
mdxdzzdxdzx
ac
m
89
( )1224
2
24
2 2233 camaa
ac
ac
m +=
⋅+⋅⋅= .
Óéüóí îëàðàã äèýÿð îõëàðà ýþðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðèíè äÿ éàçìàã îëàð:
+=
+=
+=
12
)(12
)(
12
)(
22
22
22
bamJ
camJ
cbmJ
zz
yy
xx
(10)
Áó äöñòóðëàðà ÿñàñÿí l óçóíëóãëó ÷óáóüóí ìÿðêÿçè îõóíà ýþðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòèíèí èôà-äÿñèíè éàçìàã îëàð. Áóíóí ö÷öí (10)-óí èêèíúè äöñòóðóíäà lac == ;0 ãÿáóë åäÿê.
Îíäà:
12
2mlJyy = . (11)
Èíäè èñÿ äèýÿð ìèñàëà áàõàã: áèðúèíñ ñèëèí-äðèê úèñìèí ìÿðêÿçè ñèììåòðèéà îõóíà ýþðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòèíè ùåñàáëàéàã. Òÿðèôÿ ýþðÿ:
∫ ∫=+=V V
yy dVrdVzxJ 222 )( ρρ
lRRVV
mrldrdV ⋅−=== )(;;2 2
122πρπ ,
=⋅−
= ∫ rldrrlRR
mJ
R
R
yy ππ
2)(
221
22
2
12
)(
)(
2 21
223
21
22
2
1
RRmdrr
RR
mR
R
+=− ∫ . (11)
Õöñóñè ùàëäà, áöòþâ ñèëèíäð ö÷öí RRR == 21 ;0 ãÿáóë åäÿðÿê, ñè-
ëèíäðèí îõóíà íÿçÿðÿí ÿòàëÿò ìîìåíòè ö÷öí àëìûø îëàðàã:
2
2mRJyy = . (13)
Ñèëèíäðèê þðòöê ùàëûíäà: RRR == 21 âÿ îíäà: 2mRJyy = . (14)
y
l
dr
y
y
y
l
dr
y
y
90
Ïàðàëåë îõëàðà ýþðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðèíèí ùåñàáëàíìàñû Òóòàã êè, ùÿð ùàíñû ë îõóíà ýþðÿ Æë — ÿòàëÿò ìîìåíòè ìÿëóìäóð. Äå-
êàðò êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí ç îõóíó ùÿ-ìèí ë îõó áîéó éþíÿëäÿê. y îõóíó Ú
êöòëÿëÿð ìÿðêÿçèíäÿí éþíÿëäÿê. Òóòàã
êè 1l îõó l îõóíà ïàðàëåë îëàí âÿ êöòëÿ-ëÿð ìÿðêÿçèíäÿí êå÷ÿí îõäóð. Áàø-ëàíüûúû Ú — êöòëÿëÿð ìÿðêÿçèíäÿ îëàí
111 ,, zyx — äåêàðò êîîðäèíàò ñèñòåìèíè
äàõèë åäÿê âÿ 1y êîîðäèíàò îõóíó y
îõó áîéó, 1z îõóíó èñÿ 1l îõó áîéó
éþíÿëäÿê. Îíäà zyx ,, âÿ 111 ,, zyx êîîðäèíàò ñèñòåìëÿðèíèí ìöâàôèã
îõëàðû ïàðàëåë îëàúàãëàð âÿ îíäà:
=+=
=
1
1
1
yy
x
zz
a
x
(1)
Áóðàäà a — ç âÿ ç1 îõëàðû àðàñûíäàêû ìÿñàôÿäèð. Òÿðèôÿ ýþðÿ:
+===
+==
∑
∑
iiiizzlc
iiiizzl
yxmJJJ
yxmJJ
)(
)(
21
21
22
111
(2)
(1) àñûëûëûãëàðûíû íÿçÿðÿ àëàðàã òàïàðûã:
=++=+== ∑∑ ])([)( 21
21
22
iiii
iiiizzl ayxmyxmJJ
∑∑∑ +++=i
ii
iii
iii maymayxm 21
21
21 2)( . (3)
Áóðàäà ìåõàíèêè ñèñòåìèí úÿì êöòëÿñè:
∑ =i
i mm . (4)
Áóíäàí áàøãà êöòëÿëÿð ìÿðêÿçèíèí òÿðèôèíÿ ÿñàñÿí:
0111===∑
iciy myymS
i. (5)
(4), (5) âÿ (2)-èí èêèíúè èôàäÿñèíè (3)-äÿ éåðèíÿ éàçàðàã, àëìûø îëóðóã:
l1 l1l l1 l1l
91
2mcJJ Cl += (6)
Áó èôàäÿ Ùöéýåíñ-Øòåéíåð òåîðåìèíè èôàäÿ åäèð. Áó òåîðåìÿ ÿñàñÿí âåðèëìèø îõà ýþðÿ ìåõàíèêè ñèñòåìèí ÿòàëÿò ìîìåíòè, ùÿìèí îõà ïàðàëåë îëàí âÿ êöòëÿëÿð ìÿðêÿçèíäÿí êå÷ÿí îõà ýþðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòè èëÿ ìåõàíè-êè ñèñòåìèí úÿì êöòëÿñèíèí îõëàð àðàñû ìÿñàôÿ-íèí êâàäðàòûíà îëàí ùàñèëèíèí úÿìèíÿ áÿðà-áÿðäèð. ßýÿð 1l âÿ 2l ïàðàëåë îõëàðûíèí ùå÷
áèðè êöòëÿëÿð ìÿðêÿçèíäÿí êå÷ìèðñÿ, îíëàðûí ùÿð áèðè ö÷öí (6) èôàäÿñèíè éàçûá, îíëàðû òÿðÿô-òÿðÿôÿ ÷ûõìàãëà áó ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðè àðàñûí-äàêû àñûëëûüû òàïìàã îëàð:
+=
+=22
21
2
1
maJJ
maJJ
cl
cl
( )21
2212
aamJJ ll −+= .
Êÿñèøÿí îõëàðà ýþðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðè
Îõëàðûí êÿñèøìÿ íþãòÿñèíè Äåêàðò êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí áàøëàíüûúû
êèìè ãÿáóë åäÿê. Òóòàã êè, l — èõòèéàðè îõäóð. n — îíóí âàùèä éþíÿë-äèúè âåêòîðóäóð:
1=n . (1)
),,( zyx nnnnn = (2)
=
==
γβα
cos
cos
cos
z
y
x
n
n
n
(3)
1222 =++ zyx nnn (4)
iM — êöòëÿñè im îëàí ìåõàíèêè ñèñòåìèí èõòèéàðè íþãòÿñèäèð. Îíóí
ðàäèóñ âåêòîðóíó ir èëÿ èøàðÿ åäÿê. Ùÿìèí íþãòÿíèí l îõóíäàí îëàí
ìÿñàôÿñèíè ih èëÿ èøàðÿ åäÿê. Òÿðèôÿ ýþðÿ l îõóíà ýþðÿ ìåõàíèêè ñèñòå-
ìèí ÿòàëÿò ìîìåíòè
∑=i
iil hmJ 2 (5)
1l 2l
a1 a2
C
1l 2l
a1 a2
C
92
èëÿ òÿéèí îëóíóð. Øÿêëÿ ÿñàñÿí éàçìàã îëàð:
( )2222
iniiii rprrOKOMhrr
r−=−= , (6)
ieiii rprrOMOKrr
r=== ϕϕ coscos .
Òóòàã êè, ),,( iiiii zyxMM = -äèð. Îíäà
);;( iiiii zyxrrrr = . (7)
Áó ùàëäà àëìûø îëàðûã:
ziyixiiie nznynxnrrpr ++=⋅= rrr. (8)
Èíäè èñÿ (7) âÿ (8)-è (6)-äà, (6)-íû èñÿ (5)-äÿ éàçàã:
)()( 22222xixixiiii
i iiiil nznynxzyxmhmJ ++−++==∑ ∑ .
Èôàäÿíè ñàäÿëÿøäèðñÿê, àëàðûã:
∑ −−+−+−=i
iyiyixil znynxnmJ 222222 )1()1()1(
222 zyiizxiiyxii nnzynnzxnnyx −−− .
Èëê ö÷ òîïëàíàíäà (4)-ö íÿçÿðÿ àëàã âÿ zyx nnn ,, -ÿ ýþðÿ ãðóïëàø-
äûðìà àïàðàã:
∑∑ ++++=i
iiiyi
iiixl zxmnzymnJ )()( 222222
∑∑∑ −−++i
iiii
zyiiiyxi
iiiz zymnnzxmnnyxmn 22)( 222 . (9)
ßòàëÿò ìîìåíòèíèí òÿðèôèíäÿí èñòèôàäÿ åäÿðÿê (9)-ó éàçìàã îëàð:
zyyzzxxzyxxyzzzyyyxxx nnJnnJnnJnJnJnJJ 2222221 −−−++= . (10)
(10) äöñòóðóíà ÿñàñÿí êîîðäèíàò áàøëàíüûúûíäàí ÷ûõàí îõóí èñòèãà-
ìÿòè ìÿëóì îëàðñà ),,( zyx nnn âÿ êîîðäèíàò îõëàðûíà ýþðÿ ÿòàëÿò ìî-
ìåíòëÿðè âÿ ãàðûøûã ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðè âåðèëÿðñÿ, ùÿìèí îõà ýþðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòè ùåñàáëàíà áèëÿð. Ëàçûì îëàí ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðèíè áèð ìàòðèñ øÿêëèíäÿ òÿñâèð åòìÿê ìöìêöíäöð:
−−−
−−−
−−
=
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
JJJ
JJJ
JJJ
J~
. (11)
Áó ìàòðèñ ÿòàëÿò òåíçîðóíó òÿøêèë åäèð. Êîîðäèíàò áàøëàíüûúûíû äÿéèøìÿ-äÿí êîîðäèíàò ñèñòåìèíè ùÿð ùàíñû áèð áóúàã ãÿäÿð äþíäÿðäèêäÿ ÿòàëÿò
93
òåíçîðóíóí êîìïîíåíòëÿðèíèí ãèéìÿòè äÿéèøèð. Úÿáðäÿí ìÿëóìäóð êè, êîîðäèíàò îõëàðû ö÷öí åëÿ èñòèãàìÿòëÿð ñå÷ìÿê îëàð êè, (11) ìàòðèñè ùÿ-ìèí êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ äèàãîíàë øÿêèëäÿ òÿñâèð îëóíñóí. Òóòàã êè, áó
îõëàð 321 ,, ξξξ -äöð. Áó îõëàðûí èñòèãàìÿòëÿðè ÿòàëÿò òåíçîðóíóí áàø èñòè-
ãàìÿòëÿðè àäëàíûð. Áó èñòèãàìÿòëÿðäÿ ÿòàëÿò òåíçîðó àøàüûäàêû êèìè éàçû-ëûð:
=
33
22
11
00
00
00~
ξξ
ξξ
ξξ
J
J
J
J (12)
ßòàëÿò òåíçîðóíóí äèàãîíàë áîéó éåðëÿøÿí êîìïîíåíòëÿðèíÿ áó òåí-çîðóí áàø ãèéìÿòëÿðè äåéèëèð. Òÿáèè êè, áàø èñòèãàìÿòëÿðäÿ (10) êâàäðàòèê ôîðìà êàíîíèê øÿêèëäÿ éàçûëûð:
222
333222111 ξξξξξξξξξ nJnJnJJl ++= . (13)
(11) ÿòàëÿò òåíçîðó âåðèëäèêäÿ áàø èñòèãàìÿòëÿð, èëêèí ãÿáóë îëóíàí äåêàðò êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ, àøàüûäàêû áèðúèíñ õÿòòè úÿáðè òÿíëèêëÿð ñèñ-òåìèíäÿí òÿéèí îëóíóð:
=−+−−
=−−+−
=−−−
0)(
0)(
0)(
zzzyyzxxz
zyzyyyxxy
zxzyxyxxx
mJmJmJ
mJmJmJ
mJmJmJ
λλ
λ (14)
Áóðàäà ),,( zyx mmmm =r áàø èñòèãàìÿòè òÿéèí åäÿí ìÿúùóë âåêòîðäóð.
Òÿáèè êè, áóðàäà
1222 =++ zyx mmm (15)
àñûëûëûüû þäÿíèëèð. Áóíà ÿñàñÿí (14) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí ùÿëëè ãåéðè-òðèâèàë îëìàëûäûð. Áó èñÿ î äåìÿêäèð êè, (14)-öí áàø äåòåðìèíàíòû ñûôûðà áÿðàáÿðäèð:
0=−−−
−−−−−
λλ
λ
zzyzxz
yzxyxy
xzxyxx
JJJ
JJJ
JJJ
(16)
Áó äåòåðìèíàíòû à÷àðàã àøàüûäàêû êóáèê òÿíëèê àëìûø îëóðóã:
0322
13 =−+− III λλλ . (17)
Áó òÿíëèéèí ÿìñàëëàðû ÿòàëÿò òåíçîðóíóí èíâàðèàíòëàðû àäëàíûð. Îíëàð (11) ÿòàëÿò òåíçîðóíóí êîìïîíåíòëÿðè èëÿ áó úöð èôàäÿ îëóíóð:
94
=
−−−++=
++=
JI
JJJJJJJJJI
JJJI
yzxzxyzzyyzzxxyyxx
zzyyxx
~det3
2222
1
(18)
(17) òÿíëèéèíèí êþêëÿðè 321 ,, λλλ ÿòàëÿò òåíçîðóíóí áàø ãèéìÿòëÿðè-
äèð:
...,3,2,1, == kJkkλ (19)
kλ -ëàð òÿéèí îëóíäóãäàí ñîíðà îíëàð òÿäðèúÿí (14) ñèñòåìèíäÿ éåðèíÿ
éàçûëûð âÿ (15) òÿíëèéè èëÿ áèðýÿ ùÿëë åäèëÿðÿê zyx mmm ,, áàø èñòèãàìÿò-
ëÿðèí éþíÿëäèúè âåêòîðóíóí êîìïîíåíòëÿðè òÿéèí îëóíóð:
,...3,2,1);,,( )()()()( =→ kmmmm kz
ky
kx
kk
rλ (20)
Õöñóñè ùàëëàðà áàõàã:
1) .321 λλλ ≠≠ Îíäà (14) âÿ (15) òÿí-
ëèêëÿðèíèí ùÿëëè íÿòèúÿñèíäÿ ö÷ áèð-áèðèíÿ ïåðïåíäèêóëéàð îëàí áàø èñòèãàìÿòëÿð àëûíûð:
)3()2()1( mmmrrr ⊥⊥
2) .321 λλλ ≠= Îíäà )3(mr
áàø èñòèãà-
ìÿò áèðãèéìÿòëè òÿéèí îëóíóð âÿ áó èñòèãà-ìÿòÿ ïåðïåíäèêóëéàð îëàí ìöñòÿâèäÿ èõ-òèéàðè èñòèãàìÿò áàø èñòèãàìÿò îëóð.
)3()2()1( ; mmmrrr ⊥ .
3) 321 λλλ == . Îíäà áöòöí èñòèãàìÿò-
ëÿð — áàø èñòèãàìÿòëÿð îëóð.
Êÿñèøÿí îõëàðà ýþðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðèíèí
ïàéëàíìàñûíûí ùÿíäÿñè òÿñâèðè Åéíè áèð íþãòÿäÿ êÿñèøÿí îõëàðà ýþðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòèíèí èôàäÿñè
àøàüûäàêû êèìè îëóð:
−++= 2221 zzzyyyxxx nJnJnJJ
zyyzzxxzyxxy nnJnnJnnJ 222 −−− . (1)
−l îõó öçÿðèíäÿ N íþãòÿñèíè ãåéä åäÿê. Áåëÿ êè, íþãòÿíèí êîîð-
)3(m
95
äèíàòëàðû ),,( zyxN îëóð. Òÿáèè êè,
zyx nONznONynONx === ;; (2)
(1) èôàäÿñèíèí ùÿð èêè òÿðÿôèíè 2ON -à âóðàðàã îíóí ñàü òÿðÿôèíäÿ (2) äöñòóðëàðûí-äàí èñòèôàäÿ åäÿê, îíäà àëìûø îëàðûã:
−++=⋅ 2222zJyJxJONJ zzyyxxl
xzJxzJxyJ yzxzxy 222 −−− (3) Ùÿð áèð ë îõó öçÿðèíäÿ Í íþãòÿñèíèí ñå-
÷èìèíè åëÿ åäÿê êè,
constkONJl ==⋅ 22 (4)
øÿðòè þäÿíèëñèí. Îíäà (3) àñûëûëûüû áó úöð éàçûëàúàã: 2222 222 kyzJxzJxyJzJyJxJ yzxzxyzzyyxx =−−−++ . (5)
Áó èñÿ åëëèïñîèäèí òÿíëèéèäèð. Áó åëëèïñîèäÿ ÿòàëÿò åëëèïñîèäè äåéèëèð. Åë-ëèïñîèäèí îõëàðû ÿòàëÿò òåíçîðóíóí áàø èñòèãàìÿòëÿðèíè ìöÿééÿí åäèð. Áàø îõëàðäà ÿòàëÿò åëëèïñîèäèíèí òÿíëèéè áåëÿ îëàúàã:
2222
33132212111knJnJnJ =++ ξξξξξξξξξ . (6)
ßòàëÿò åëëèïñîèäè âåðèëäèêäÿ (4)-ÿ ÿñàñÿí
lJ
kON = . (7)
Áó èôàäÿ áèð ìÿðêÿçäÿí ÷ûõàí îõëàðà ýþðÿ ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðèíèí ïàé-ëàíìàñûíûí ùÿíäÿñè òÿñâèðèíè ìöÿééÿí åäèð.
Ìåõàíèêè ñèñòåìèí äèíàìèêàñû. Õàðèúè âÿ äàõèëè ãöââÿëÿð
Òóòàã êè, Í ìåõàíèêè ñèñòåìÿ äàõèë îëàí íþãòÿëÿðèí ñàéûäûð. ê —
íþìðÿëè ìàääè íþãòÿíèí êöòëÿñè ìê, ðàäèóñ âåêòîðóíó krr, ñöðÿò âåêòîðó-
íó kυr , òÿúèë âåêòîðóíó èñÿ kWr èëÿ èøàðÿ åäÿê. Íþãòÿéÿ òÿñèð åäÿí õàðèúè
ãöââÿëÿðèí ÿâÿçëÿéèúèñèíè )(ekFr
èëÿ, äàõèëè ãöââÿëÿðèí ÿâÿçëÿéèúèñèíè
)(ikFr
èëÿ èøàðÿ åäÿê. Áöòöí ñèñòåìÿ òÿñèð åäÿí õàðèúè ãöââÿëÿðèí áàø âåê-
òîð )(eRr
èëÿ, ùÿìèí ãöââÿëÿðèí áàø ìîìåíòèíè )(0eM
r èëÿ èøàðÿ åäÿê.
96
Äàõèëè ãöââÿëÿðèí áàø âåêòîðóíó )(iRr
èëÿ âÿ îíëàðûí áàø ìîìåíòèíè )(
0iM
r èëÿ èøàðÿ åäÿê. Òÿðèôÿ ýþðÿ:
×=
=
∑
∑
=
=
N
k
ekk
e
N
k
ek
e
FrM
FR
1
)()(0
1
)()(
)(rrr
rr
(1)
( )
×=
=
∑
∑
=
=
N
k
ikk
i
N
k
ik
i
FrM
FR
1
)()(0
1
)(
)(rrr
r
(2)
Òóòàã êè, ìåõàíèêè ñèñòåìèí íþãòÿëÿðè àðàñûíäàêû òÿñèð ãöââÿëÿðè Íéóòîíóí ö÷öíúö ãàíóíóíà òàáå îëàí ìÿðêÿçè òÿñèð ãöââÿëÿðäèð:
ikn
ink FF ,,
rr−= (3)
Áóðàäà inkF ,
r — n íþìðÿëè íþãòÿ òÿðÿ-
ôèíäÿí k íþìðÿëè íþãòÿéÿ îëàí òÿñèð ãöââÿñèäèð. Îíäà,
∑≠=
=N
knn
ink
ik FF
1
)(,
)(rr
(4)
(4)-ö (2)-äÿ éåðèíÿ éàçñàã âÿ (3)-ö íÿçÿðÿ àëñàã, äàõèëè ãöââÿëÿðèí áàø âåê-òîðóíóí âÿ áàø ìîìåíòèíèí ñûôðà áÿðàáÿð îëäóüóíó àëàðûã:
=
=
0
0)(
0
)(
i
i
M
Rr
r
(5)
ßñëèíäÿ áó íÿòèúÿíè (2)-éÿ ÿñàñÿí äÿ àëìàã îëàð:
0)(1,
)(,
)(,
1 1
)(,
1
)()( =+=== ∑∑∑∑>
==≠==
N
nknk
ikn
ink
N
k
N
knn
ink
n
k
ik
i FFFFRrrrrr
,
∑ ∑∑=
≠==
=×=×=N
k
N
knn
inkk
ink
n
kk
i FrFrM1 1
)(,
)(,
1
)(0 )()(
rrrrr
k )(,inkF )(
,iknF n
krnr
O
kB )(,inkF )(
,iknF nB
97
.0)(])[(
)]()[(
1,
)(,
1,
)(,
1,
)(,
)(,
==×−=
=×+×=
∑∑
∑
=≠
=
>=
N
nk
inkkn
N
nknk
inknk
N
nknk
iknn
inkk
FBBFrr
FrFr
r
rrrr
Ìåõàíèêè ñèñòåìèí ÿñàñ äèíàìèê êÿìèééÿòëÿðè âÿ îíëàðûí Êéîíèã êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ òÿñâèðè
Ìåõàíèêè ñèñòåìèí ö÷ ÿñàñ äèíàìèê êÿìèééÿòè âàð: Û) Ùÿðÿêÿò ìèãäàðû:
∑=
==N
kkkmQ
1
υrr
, (1)
ΙΙ) Ùÿðÿêÿò ìèãäàðû ìîìåíòè âÿ éà êèíåòèê ìîìåíò:
)(1
0 ∑=
×=N
kkkk mrG υrrr, (2)
ÛÛÛ) Êèíåòèê åíåðæè:
∑=
==N
k
kkmT
1
2
2
υ. (3)
Òÿðïÿíìÿç ìöòëÿã êîîðäèíàò ñèñòåìè èëÿ éàíàøû, áàøëàíüûúû êöòëÿëÿð ìÿðêÿçèíäÿ îëàí âÿ ìöòëÿã êîîðäèíàò ñèñòåìèíÿ íÿçÿðÿí èðÿëèëÿìÿ ùÿ-ðÿêÿòè åäÿí êîîðäèíàò ñèñòåìèíè äàõèë åäÿê. Áåëÿ êîîðäèíàò ñèñòåìè Êéî-íèã êîîðäèíàò ñèñòåìè àäëàíäûðûëûð. Êöòëÿëÿð ìÿðêÿçèíèí ìöòëÿã êîîðäè-íàò ñèñòåìèíäÿ ðàäèóñ âåêòîðó àøàüûäàêû øÿêèëäÿäèð:
∑∑
=
= ==N
kk
N
kkk
c mmm
rmr
1
1 ,
r
r. (4)
Ñöðÿòè èñÿ
m
mN
kkk
c
∑== 1
υυ
r
r (5)
êèìè òÿéèí îëóíóð. ê èíäåêñëè ìàääè íþãòÿíèí ìöòëÿã êîîðäèíàò ñèñòå-ìèíäÿ ðàäèóñó kr
r, Êéîíèã êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ kρr -äûð. Ñöðÿòëÿðè èñÿ
98
ìöòëÿã êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ ,kυr Êéîíèã êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ èñÿ kvr-
äûð.
ckk rrrrr += ρ (6)
èôàäÿñèíäÿí çàìàíà ýþðÿ òþðÿìÿ àëàã âÿ Êéî-íèã êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí ìöòëÿã êîîðäèíàò ñèñ-òåìèíÿ ýþðÿ ùÿðÿêÿòèíèí èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòè îë-äóüóíó íÿçÿðÿ àëàðàã ñöðÿòëÿð ö÷öí àøàüûäàêû ìöíàñèáÿòè éàçà áèëÿðèê:
ckk v υυ rrr+= . (7)
(6) âÿ (7)-äÿí èñòèôàäÿ åäÿðÿê ÿñàñ äèíàìèê êÿìèééÿòëÿðèí Êéîíèã âÿ ìöòëÿã êîîðäèíàò ñèñòåìëÿðèíäÿ éàçûëìûø èôàäÿëÿðè àðàñûíäà ÿëàãÿëÿðè ìöÿééÿí åäÿê.
Òÿðèôÿ ýþðÿ Êéîíèã êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ ÿñàñ äèíàìèê êÿìèééÿòëÿð àøàüûäàêû êèìè éàçûëûð:
∑=
=N
kkkc vmQ
1
rr, (8)
( )∑=
×=N
kkkkc vmG
1
rrrρ , (9)
∑=
=N
k
kkc
vmT
1
2
2. (10)
ßââÿëúÿ (8) ùÿðÿêÿò ìèãäàðûíûí èôàäÿñèíè àðàøäûðàã. Áóíóí ö÷öí Êéîíèã êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ (4) âÿ (5)-ÿ óéüóí èôàäÿëÿðè éàçàã:
m
mN
kkk
c
∑== 1
ρρ
r
r, (11)
m
vmN
kkk
c
∑== 1
r
rν . (12)
Òÿáèè êè,
00 =⇒= cc vrrρ . (13)
Îíäà (12)-éÿ ÿñàñÿí àëûíûð êè, ∑=
=N
kkkvm
1
0r
âÿ éà (8)-äÿí:
0=cQr
. (14)
99
Éÿíè, ìåõàíèêè ñèñòåìèí êöòëÿëÿð ìÿðêÿçèíÿ ýþðÿ îëàí cQr ùÿðÿêÿò ìè-
ãäàðû åéíèëèêëÿ ñûôûðà áÿðàáÿðäèð. (5)-ÿ ÿñàñÿí èñÿ (1) èôàäÿñèíè áó úöð éàçìàã îëàð:
∑=
==N
kckk mmQ
1
υυ rr. (15)
(9) âÿ (2) èôàäÿëÿðè àðàñûíäàêû àñûëûëûãëàðû ìöÿééÿí åòìÿê ö÷öí (2)-äÿ (6) âÿ (7)-íè íÿçÿðÿ àëàã, îíäà:
( ) ( ) ( )[ ]
( )
( ) ( ) ( ).1111
110
ccccccc
c
N
kkc
N
kkkc
N
kckk
N
kkkk
N
kckkck
N
kkkk
mrmrmG
mrmrmvm
vmrmrG
υνυρ
υνυρρ
υρυ
rrrrrrr
rrrrrrrr
rrrrrrr
×+×+×+=
=
×+
×+
×+×
=+×+=×=
∑∑∑∑
∑∑
====
==
Îíäà (13)-ÿ ÿñàñÿí àëàðûã:
)(0 ccc mrCC υrrrr×+= . (16)
Ìöòëÿã âÿ Êéîíèã êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ êèíåòèê åíåðæèëÿðèí èôàäÿëÿðè àðàñûíäà ÿëàãÿíè ìöÿééÿí åòìÿê ö÷öí (3) äöñòóðóíäà (7) àñûëûëûüûíäàí èñòèôàäÿ åäÿê:
.222
))((2
1
2
)(
222
111
2
111
2
0
cccc
cN
kkc
N
kkk
N
k
kk
ckc
N
kkk
N
k
kkkN
k
kk
mvmTmvm
m
vvmmm
T
υυυυν
υυυυυ
+⋅+=
+
+=
=++===
∑∑∑
∑∑∑
===
===
rrrr
rrrrrr
Áåëÿëèêëÿ, (13)-ÿ ÿñàñÿí àëìûø îëóðóã:
2
2c
c
mTT
υ+= . (17)
Ùÿðÿêÿò ìèãäàðûíûí äÿéèøìÿñè ùàããûíäà òåîðåì
Ìåõàíèêè ñèñòåìèí ùÿð áèð íþãòÿñè ö÷öí Íéóòîíóí èêèíúè ãàíóíóíó
éàçàã:
)()( ik
ekk FF
dt
dm
rrr
+=υ. (1)
100
Áó òÿíëèêëÿðè áöòöí íþãòÿëÿð öçðÿ úÿìëÿéÿê:
∑∑∑==
+=N
k
ik
N
k
ek
k
kk FF
dt
dm
1
)(
1
)(rr
rυ, (2)
∑∑=
==N
kkk
k
kk dt
Qdm
dt
d
dt
dm
1
rr
r
υυ. (3)
áóðàäà Qr — ùÿðÿêÿò ìèãäàðûäûð.
∑=
=N
k
ek
e FR1
)()(r
(4)
õàðèúè ãöââÿëÿðèí áàø âåêòîðóäóð, äàõèëè ãöââÿëÿðèí ( )iRr
áàø âåêòîðó èñÿ åéíèëèêëÿ ñûôûðäûð:
01
)()( ==∑=
N
k
ik
i FRrr
. (5)
(3), (4) âÿ (5)-è (2)-äÿ éåðèíÿ éàçàðàã, àëàðûã:
)(eRdt
Qd rr
= . (6)
Áó ùÿðÿêÿò ìèãäàðûíûí äÿéèøìÿñè ùàããûíäà òåîðåìèí ðèéàçè èôàäÿñèäèð. Áó òåîðåìÿ ÿñàñÿí ìåõàíèêè ñèñòåìèí ùÿðÿêÿò ìèãäàðûíûí çàìàíà ýþðÿ òþðÿìÿñè, ìåõàíèêè ñèñòåìÿ òÿñèð åäÿí õàðèúè ãöââÿëÿðèí áàø âåêòîðóíà áÿðàáÿðäèð. Ùÿðÿêÿò ìèãäàðûíûí êöòëÿëÿð ìÿðêÿçèíèí ñöðÿòè èëÿ îëàí èôà-äÿñèíè (6)-äà éåðèíÿ éàçñàã, àëìûø îëàðûã:
)(ec Rdt
dm
rr
=υ, (7)
( )ec RWm
rr=⋅ , (8)
dt
dW c
c
υrr= . (9)
(8) âÿ éà (9) äöñòóðëàðû êöòëÿëÿð ìÿðêÿçèíèí ùÿðÿêÿòè ùàããûíäà òåî-ðåìè èôàäÿ åäèð. Áó òåîðåìÿ ÿñàñÿí êöòëÿëÿð ìÿðêÿçè êöòëÿñè ìåõàíèêè ñèñòåìèí úÿì êöòëÿñèíÿ áÿðàáÿð îëàí âÿ ìåõàíèêè ñèñòåìÿ òÿñèð åäÿí õàðèúè ãöââÿëÿðèí áàø âåêòîðóíà áÿðàáÿð îëàí ãöââÿíèí òÿñèðè àëòûíäà ìàääè íþãòÿ êèìè ùÿðÿêÿò åäèð.
101
Êèíåòèê ìîìåíòèí äÿéèøìÿñè ùàããûíäà òåîðåì (1) òÿíëèéèíè ñîë òÿðÿôäÿí âåêòîðèàë îëàðàã kr
r ðàäèóñ âåêòîðóíà âóðàã
âÿ úÿìëÿéÿê:
( )( ) ( )∑∑∑===
×+×=
×N
kkk
N
k
ekk
N
k
kkk
i
FrFrdt
dmr
111
)(rrrrr υ. (10)
Ñîë òÿðÿôè àðàøäûðàã:
( ) =
×−×=
× ∑∑∑===
N
kkk
kN
kkkk
N
k
kkk m
dt
rdmr
dt
d
dt
dmr
111
υυυ rr
rrr
r
( )dt
Gdm
dt
Gd N
kkkk
0
1
0
rrr
r
=×−= ∑=
υυ . (11)
Ñàü òÿðÿôäÿêè èôàäÿ
( )( )∑=
×=N
k
ekk
e FrM1
)(0
rrr (12)
õàðèúè ãöââÿëÿðèí áàø ìîìåíòèäèð, äàõèëè ãöââÿëÿðèí áàø ìîìåíòè èñÿ åéíèëèêëÿ ñûôûðäûð:
( )( )∑=
×=N
k
ikk
i FrM1
)(0
rrr=0. (13)
(11), (12) âÿ (13) äöñòóðëàðûíû (10)-äà éàçàðàã àëìûø àëàðûã.
( )eMdt
Cd0
0r
r
= (14)
Ìåõàíèêè ñèñòåìèí ùÿð ùàíñû áèð ìÿðêÿçÿ íÿçÿðÿí êèíåòèê ìîìåíòèíèí çàìàíà ýþðÿ òþðÿìÿñè áó ñèñòåìÿ òÿñèð åäÿí õàðèúè ãöââÿëÿðèí ùÿìèí ìÿðêÿçÿ íÿçÿðÿí áàø ìîìåíòèíÿ áÿðàáÿðäèð.
Êèíåòèê åíåðæèíèí äÿéèøìÿñè ùàããûíäà òåîðåì
(1) èôàäÿñèíè ñêàëéàð îëàðàã dtrd kk υrr = âåêòîðóíà âóðóá úÿìëÿìÿ
àïàðàã. Îíäà àøàüûäàêû èôàäÿíè àëàðûã:
k
N
k
ikk
N
k
ek
N
kkkk rdFrdFdm
rrrrrr∑∑∑
===+=
1
)(
1
)(
1
υυ . (15)
Èôàäÿíèí ñîë òÿðÿôèíè àðàøäûðàã:
102
( ) =⋅= ∑∑==
N
kkkk
N
kkkk dmdm
11 2
1 υυυυ rrrr
( ) dTm
ddmN
k
kkk
N
kk =
== ∑∑
== 1
22
1 22
1 υυ . (16)
Ò — êèíåòèê åíåðæèäèð. Ñàü òÿðÿôÿ ýÿëäèêäÿ èñÿ
k
N
k
ek
e rdFArr
∑=
=∆1
)()( (17)
— õàðèúè ãöââÿëÿðèí ýþðäöéö åëåìåíòàð èøäèð. Äàõèëè ãöââÿëÿðèí ýþðäöéö åëåìåíòàð èø èñÿ
k
N
k
ik
i rdFArr
∑=
=∆1
)()( . (18)
Ãåéä åäÿê êè, äàõèëè ãöââÿëÿðèí ýþðäöéö èø àíúàã äÿéèøìÿç ìåõà-íèêè ñèñòåì ö÷öí ñûôûðà áÿðàáÿðäèð. (16), (17) âÿ (18)-è (15)-äÿ éåðèíÿ éàçñàã, êèíåòèê åíåðæèíèí äÿéèøìÿñè ùàããûíäà òåîðåìèí èôàäÿñèíè àëìûø îëàðûã:
)()( ie AAdT ∆+∆= . (19) Ìåõàíèêè ñèñòåìèí êèíåòèê åíåðæèñèíèí äèôåðåíñèàëû áó ñèñòåìÿ òÿñèð
åäÿí õàðèúè âÿ äàõèëè ãöââÿëÿðèí ýþðäöêëÿðè åëåìåíòàð èøëÿðèí úÿìèíÿ áÿðàáÿðäèð.
Êéîíèã êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ ÿñàñ äèíàìèê êÿìèééÿòëÿðèí
äÿéèøìÿëÿðè ùàããûíäà òåîðåìëÿðèí èôàäÿëÿðè Ãåéä åäÿê êè, Êéîíèã êîîðäèíàò ñèñòåìè åëÿ áèð éåýàíÿ êîîðäèíàò
ñèñòåìèäèð êè, îðàäà ÿñàñ äèíàìèê êÿìèééÿòëÿðèí äÿéèøìÿëÿðè ùàããûíäà òåîðåìëÿðèí èôàäÿëÿðè ìöòëÿã, òÿðïÿíìÿç, êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ îëäóüó øÿêèëäÿäèð. Òÿðïÿíìÿç âÿ Êéîíèã êîîðäèíàò ñèñòåìëÿðèíäÿí ÿñàñ êÿ-ìèééÿòëÿðèí èôàäÿëÿðè àðàñûíäàêû ìöíàñèáÿòëÿðè éàçàã:
cmQ υrr
= , (1)
0=cQr
, (2)
( )ccc mrGG υrrrr×+=0 , (3)
2
2c
c
mTT
υ+= . (4)
Êöòëÿëÿð ìÿðêÿçèíèí ùÿðÿêÿòè ùàããûíäà òåîðåìÿ ýþðÿ:
103
)(ec Rdt
dm
rr
=υ. (5)
Áó èôàäÿíè ñîë òÿðÿôäÿí âåêòîðèàë îëàðàã cr âåêòîðóíà âóðñàã, àëìûø îëó-
ðóã:
( ) ( )( )eccc Rrmr
dt
d rrrr ×=× υ . (6)
Äèýÿð òÿðÿôäÿí (5) èôàäÿñèíè ñêàëéàð îëàðàã cc rddtrr
=υ âåêòîðóíà âóð-
ìàãëà àëàðûã:
( )c
ec rdRm
drr
=
2
2υ. (7)
Òÿðïÿíìÿç ìöòëÿã êîîðäèíàò ñèñòåìèí-äÿ ÿñàñ äèíàìèê êÿìèééÿòëÿðèí äÿéèøìÿ-ëÿðè ùàããûíäà òåîðåìëÿðè éàçàã:
( )eMdt
Gd0
0r
r
= , (8)
( ) ( )ie AAdT ∆+∆= . (9) Øÿêèëäÿí ýþðöíöð êè,
ckk rr += ρr . (10)
Áó èôàäÿíè ( )eM 0
r õàðèúè ãöââÿëÿðèí áàø ìîìåíòèíèí èôàäÿñèíäÿ éåðèíÿ
éàçàã:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )∑∑==
=×+=×=N
k
ekck
N
k
ekk
e FrFrM11
0
rrrrrρ
( )( ) ( )
×+×= ∑∑
==
N
k
ekc
N
k
ekk FrF
11
rrrrρ , (10)
( ) ( ) ( )( )ec
ec
e RrMMrrrr
×+=0 . (11)
Áóðàäà
( ) ( )( )∑=
×=N
k
ekk
ec FM
1
rrrρ (12)
õàðèúè ãöââÿëÿðèí êöòëÿëÿð ìÿðêÿçèíÿ ýþðÿ îëàí áàø âåêòîðóäóð. (9)-óí ñàü òÿðÿôèíäÿ îëàí èôàäÿíè àðàøäûðàã:
104
( ) ( ) ( ) ( )c
N
k
N
k
ekk
ek
N
kk
ek
e rdFdFrdFArrrrrr
∑ ∑∑= ==
+==∆1 11
ρ ;
( ) ( ) ( )c
eec
e rdRAArr
⋅+= ∆∆ (13)
Áóðàäà
( ) ( )∑=
=N
kk
ek
ec dFA
1
ρ∆ rr (14)
— õàðèúè ãöââÿëÿðèí îíëàðûí òÿòáèã íþãòÿëÿðèíèí êöòëÿëÿð ìÿðêÿçèíÿ íÿ-çÿðÿí éåðäÿéèøìÿëÿðèíäÿ ýþðäöéö åëåìåíòàð èøäèð.
Äàõèëè ãöââÿëÿðèí ýþðäöéö åëåìåíòàð èø ö÷öí éàçà áèëÿðèê:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) .1
1 1 1
∑
∑ ∑ ∑
>
= = =
⋅+=
=
+==∆
N
kc
ik
ik
c
N
k
N
k
N
k
ikk
ikk
ik
i
rdRdF
drFdFrdFA
rrrr
rrrrr
ρ
ρ
Íÿçÿðÿ àëñàã êè, ( ) 0=iRr
, îíäà: ( ) ( )i
ci AA ∆=∆ . (15)
Áóðàäà ( )icA∆ — äàõèëè ãöââÿëÿðèí êöòëÿëÿð ìÿðêÿçèíÿ ýþðÿ îëàí éåðäÿé-
èøìÿëÿðäÿ ýþðäöêëÿðè åëåìåíòàð èøäèð. Èíäè èñÿ (3) âÿ (11) èôàäÿëÿðèíè (8)-äÿ éåðèíÿ éàçìàãëà àøàüûäàêû èôà-
äÿíè àëàðûã:
( ) ( ) ( )( )ec
eccc
c RrMmrdt
d
dt
Gd rrrrrr
×+=×+ υ .
(6)-éà ÿñàñëàíàðàã, åéíè èôàäÿëÿðè èñëàù åäÿê. Îíäà àëàðûã:
( )ec
c Mdt
Gd rr
= . (16)
Èíäè èñÿ (4), (13) âÿ (15) èôàäÿëÿðèíè (9)-äà éåðèíÿ éàçàã:
( ) ( ) ( )icc
eec
cc ArdRA
mddT ∆++∆=
+ rr
2
2υ.
(7)-éÿ ÿñàñÿí áÿðàáÿð îëàí èôàäÿëÿðè èñëàù åäÿê, îíäà òàïàðûã êè: ( ) ( )i
cc
cc AAdT ∆+∆= . (17)
(8) âÿ (16)-íû, (9) âÿ (17)-íè ìöãàéèñÿ åäÿðÿê ýþðöðöê êè, äèíàìè-êàíûí ÿñàñ òåîðåìëÿðè ìöòëÿã òÿðïÿíìÿç êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ âÿ Êéîíèã
105
êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ åéíè øÿêëÿ ìàëèêäèðëÿð.
Ìàääè íþãòÿíèí äöçõÿòëè ùÿðÿêÿòèíèí çÿðóðè âÿ êàôè øÿðòëÿðè
Ìàääè íþãòÿíèí ùÿðÿêÿòèíèí äöçõÿòëè îëìàñûíûí çÿðóðè âÿ êàôè øÿðò-
ëÿðè àøàüûäàêûëàðäûð: Û. Ãöââÿíèí òÿñèð õÿòòè äÿéèøìÿç îëìàëûäûð. ÛÛ. Áàøëàíüûú ñöðÿò éà ñûôûðà áÿðàáÿð îëìàëû, éà äà ãöââÿíèí òÿñèð
õÿòòè áîéó éþíÿëìÿëèäèð. Çÿðóðèëèéèí èñáàòû: Òóòàã êè, ùÿðÿêÿò áèðîõëóäóð. õ îõóíó ùÿðÿêÿòèí
òðàéåêòîðèéàñû áîéóíúà éþíÿëäÿê. Îíäà íþãòÿíèí êîîðäèíàòëàðû çàìàí-äàí àñûëû îëàðàã àøàüûäàêû êèìè éàçûëàð:
0;0);( === zytxx . (1)
Áóðàäàí òþðÿìÿ àëàðàã, òàïàðûã:
0;0; =====dt
dz
dt
dy
dt
dxzyx υυυ . (2)
Éÿíè, )0;0;( xυυυ rr = . Áóðàäàí ýþðöíöð êè, ñöðÿò âåêòîðó õ îõó áîéó
éþíÿëèá. Îíäà áàøëàíüûú ñöðÿò äÿ õ îõó áîéóíúà éþíÿëÿúÿê. Íéóòîíóí ÛÛ ãàíóíóíó ïðîéåêñèéàëàðëà éàçàã:
=⋅
=⋅
=⋅
zz
yy
xx
Fdt
dm
Fdt
dm
Fdt
dm
υ
υ
υ
(3)
Áóðàäà (2)-íè íÿçÿðÿ àëñàã, àëàðûã:
0;0);( === zyxx FFtFF . (4)
Éÿíè,
( )0;0;xFFFrr
= . (5)
Áó î äåìÿêäèð êè, ãöââÿ âåêòîðó äà õ îõó áîéó éþíÿëèð.
106
Êàôèëèéèí èñáàòû: Òóòàã êè, ãöââÿíèí òÿñèð õÿòòè äÿéèøìÿçäèð. õ îõó-íóíó áó ãöââÿ áîéó éþíÿëäÿê. Ãöââÿ âåêòîðóíóí ïðîéåêñèéàëàðû ö÷öí (4) àñûëûëûüûíû (3)-äÿ éåðèíÿ éàçìàãëà àëàðûã:
0;0 ==dt
d
dt
dzy υυ
. (6)
Áóðàäàí àëûíûð êè:
21; cc zy == υυ , (7)
1c âÿ 2c — ñàáèòëÿðè áàøëàíüûú øÿðòäÿí òÿéèí åäèëèð.
Òóòàã êè, áàøëàíüûú ñöðÿò âåêòîðó ãöââÿíèí òÿñèð õÿòòè áîéó, éÿíè õ îõó áîéó éþíÿëèð. Îíäà 021 == cc âÿ (2) àñûëûëûãëàðû àëûíûð. (2) àñûëûëûã-
ëàðûíû èíòåãðàëëàéàðàã òàïûðûã:
43; czcy == . (8)
x îõóíóí áàøëàíüûú íþãòÿñèíè ìàääè íþãòÿíèí áàøëàíüûú íþãòÿñèíäÿ
ýþòöðñÿê, 043 == cc éàçà áèëÿðèê.
Îíäà ìàääè íþãòÿíèí êîîðäèíàòëàðû ö÷öí (1) àñûëûëûãëàðûíû àëûðûã. Áó èñÿ î äåìÿêäèð êè, ùÿðÿêÿò äöçõÿòëè ùÿðÿêÿòäèð.
Ìöãàâèìÿòñèç, èäåàë ìöùèòäÿ ìàääè íþãòÿíèí äöçõÿòëè ñÿðáÿñò ðÿãñëÿðè
Òóòàã êè, ìàääè íþãòÿéÿ Fr åëàñòèêè áÿðïà ãöââÿñè òÿñèð åäèð âÿ áàø-
ëàíüûú ñöðÿò ãöââÿíèí òÿñèð õÿòòè áîéó éþíÿëèð. Îíäà ìàääè íþãòÿíèí ùÿðÿêÿòè äöçõÿòëè ùÿðÿêÿò îëóð. õ-îõóíó ùÿðÿêÿòèíè òðàéåêòîðèéà áîéó éþíÿëäÿê âÿ êîîðäèíàò áàøëàíüûúûíû ãöââÿíèí ìÿðêÿçèíäÿ ýþòöðÿê.
Îíäà øÿêèëÿ ÿñàñÿí éàçìàã îëàð:
0; >=⋅−= constkrkFrr
, (1)
=
=
00 OMr
OMrr
r
(2)
(1) àñûëûëûüû èëÿ èôàäÿ îëóíàí ãöââÿ åëàñòèêè áÿðïà ãöââÿñè àäëàíûð. Ìàääè íþãòÿ ö÷öí Íéóòîíóí ΙΙ ãàíóíóíó éàçàã:
107
Fdt
dm
rr
=⋅ υ. (3)
(1)-ÿ ÿñàñÿí (3)-äÿí àëìûø îëóðóã:
rkdt
dm
rr
⋅−=⋅ υ; 0=⋅+⋅ rk
dt
dm
rrυ
.
Íÿçÿðÿ àëñàã êè,
dt
rdr
r =υ , (4)
îíäà
02
2
=⋅+⋅ rkdt
rdm
rr
. (5)
Àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿëÿðè ãÿáóë åäÿê:
m
kc =2 . (6)
Îíäà (5) òÿíëèéèíè ì-ÿ áþëÿðÿê àëàðûã:
022
2
=+ rcdt
rd rr
. (7)
(7) äöñòóðó ùÿðÿêÿò òÿíëèéèäèð. Áó àäè òþðÿìÿëè èêèíúè òÿðòèá õÿòòè áèðúèíñ, ñàáèò ÿìñàëëû äèôåðåíñèàë òÿíëèêäèð. Áó òÿíëèéÿ èêè ñàéäà áàøëàíüûú øÿðòè ÿëàâÿ îëóíìàëûäûð. Áóíëàð àøàüûäàêûëàðäûð:
=
=
=
=
00
00
υrr
rr
t
t
dt
rd
rr
(8)
Éÿíè, ìÿëóì îëàí — âåðèëÿí íþãòÿíèí áàøëàíüûú âÿçèééÿòè âÿ áàøëàíüûú ñöðÿòèäèð. (7) äèôåðåíñèàë òÿíëèéè (8) áàøëàíüûú øÿðòëÿðèëÿ áèðýÿ áàõûëàí ìÿ-ñÿëÿíèí ìöâàôèã ðèéàçè ìÿñÿëÿñèíè òÿøêèë åäèð. Áó ìÿñÿëÿíè ùÿëë åòìÿê ö÷öí (7) òÿíëèéèíè âÿ (8) áàøëàíüûú øÿðòëÿðèíè õ îõóíà ïðîéåêñèéàëàéàã:
022
2
=+ xcdt
xd, (9)
=
=
=
=
00
00
υt
t
dt
dx
xx
(10) t
a
-a
x
x0
108
(9) òÿíëèéèí öìóìè ùÿëëè àøàüûäàêû øÿêèëäÿ àõòàðûëûð:
( )α+⋅= ctax cos , (11)
áóðàäà a âÿ α ñàáèòëÿðè (10) áàøëàíüûú øÿðòëÿðèíäÿí òÿéèí îëóíóð. Áó-íóí ö÷öí (11) èôàäÿñèíè (10) ñèñòåìèíäÿ éåðèíÿ éàçàã:
=−=
0
0
sin
cos
υαα
ac
xa
Áóðàäàí àëûðûã:
0
020
202
0 ;cx
tgc
xaυαυ −=+= . (12)
(11)-äÿí àëûíûð êè, ùÿðÿêÿò ïåðèîäèê, éÿíè ðÿãñè ùÿðÿêÿòäèð. Áóðàäà à — ùÿðÿêÿòèí àìïëèòóäóäóð, (6) èëÿ èôàäÿ îëóíàí c êÿìèééÿòè èñÿ — äàèðÿ-
âè òåçëèêäèð: c
Tπ2= — ùÿðÿêÿòèí ïåðèîäóäóð.
πν
2
1 c
T== — ùÿðÿêÿòèí
òåçëèéèäèð. −+ )( αct ðÿãñè ùÿðÿêÿòèí ôàçàñû, −α áàøëàíüûú ôàçàäûð,
−a àìïëèòóä ñàáèòè îëäóüóíà ýþðÿ ðÿãñè ùÿðÿêÿò ñþíìÿéÿíäèð. Áåëÿ ùÿðÿêÿò ñÿðáÿñò ðÿãñè ùÿðÿêÿò àäëàíûð. (6) èëÿ èôàäÿ îëóíàí ú — ñÿðáÿñò ùÿðÿêÿòèí òåçëèéè âÿ éà ìÿõñóñè òåçëèê àäëàíûð.
Èäåàë ìöùèòäÿ ìàääè íþãòÿíèí ìÿúáóðè ðÿãñëÿðè
Òóòàã êè, ìàääè íþãòÿéÿ Fr åëàñòèêè áÿðïà ãöââÿñè èëÿ éàíàøû, çà-
ìàíäàí àñûëû îëàðàã ùàðìîíèê ãàíóíëà äÿéèøÿí Qr ãöââÿñè òÿñèð åäèð.
Áàøëàíüûú ñöðÿò ãöââÿëÿðèí òÿñèð õÿòòè áîéó éþíÿëèð. Îíäà ùÿðÿêÿò áè-ðîõëó ùÿðÿêÿòäèð. õ êîîðäèíàò îõóíó áó õÿòò áîéó éþíÿëäÿê âÿ áàøëàíüûú íþãòÿíè åëàñòèêè áÿðïà ãöââÿñèíèí ìÿðêÿçèíäÿ ýþòöðÿê.
Îíäà
0; >=⋅−= constkrkFrr
, (1)
OMr =r ,
ptQQ sin0= , (2)
−0Q ùàðìîíèê ãöââÿíèí àìïëèòóäó, ï — èñÿ òåçëèéèäèð. Ìàääè íþãòÿ
109
ö÷öí Íéóòîíóí ÛÛ ãàíóíóíó éàçàã:
QFdt
rdm
rrr
+=2
2
(3)
Áó òÿíëèéè x îõóíà ïðîéåêñèéàëàéàðàã éàçà áèëÿðèê:
Qkxdt
xdm +−=
2
2
âÿ éà
ptQkxdt
xdm sin02
2
=+ , (4)
mQPmkc 02 ; == èøàðÿëÿìÿëÿðèíè (4)-äÿ íÿçÿðÿ àëñàã, àëìûø îëó-
ðóã êè:
ptPxcdt
xdsin2
2
2
=+ . (5)
Áó òÿíëèéÿ áàøëàíüûú øÿðòëÿðè òÿòáèã åäÿê:
==
=
=
=
0000
00
; OMxxx
dt
dx
t
t
υ (6)
(5) òÿíëèéèíèí — õÿòòè, ñàáèò ÿìñàëëû, ãåéðè-áèðúèíñ, èêèíúè òÿðòèá, àäè äèôåðåíñèàë òÿíëèéèí öìóìè ùÿëëè óéüóí áèðúèíñ òÿíëèéèí öìóìè ùÿëëè èëÿ ãåéðè-áèðúèíñ òÿíëèéèí õöñóñè ùÿëëèíèí úÿìèíäÿí èáàðÿòäèð:
Xxx += ~ . (7) Áèðúèíñ òÿíëèéèí öìóìè ùÿëëè ìÿëóìäóð âÿ î áåëÿäèð:
( )α+⋅= ctax cos~ (8)
Áóðàäà à âÿ α ñàáèòëÿðè òàì ùÿëäÿí èñòèôàäÿ åäèëìÿêëÿ (6) áàøëàíüûú øÿðòëÿðè ÿñàñûíäà òÿéèí îëóíóð. Õöñóñè ùÿëë èêè ùàë ö÷öí ôÿðãëè îëàðàã òÿéèí îëóíóð: Ι. cp ≠ . (2) ãöââÿñèíèí äÿéèøìÿ òåçëèéèíèí ìÿõñóñè òåçëèéÿ áÿðàáÿð
îëìàéàí ùàëû. Áó ùàëäà õöñóñè ùÿëë àøàüûäàêû êèìè àõòàðûëà áèëÿð: ptAX sin⋅= (10)
À ñàáèòèíè òÿéèí åòìÿê ö÷öí (10) èôàäÿñèíè (5)-äÿ éåðèíÿ éàçàã âÿ ñàáèòè òÿéèí åäÿê:
22c
P
pA
−= . (11)
110
Éÿíè,
ptpc
PX sin
22 −= . (12)
Îíäà (7)-éÿ ÿñàñÿí òàì ùÿëë àøàüûäàêû øÿêèëäÿ îëàúàã:
ptpc
Pctax sin)cos(
22 −++⋅= α . (13)
Ùÿðÿêÿò ìöðÿêêÿá ôîðìàëû ñþíìÿéÿí ðÿãñè ùÿðÿêÿòäèð. Ãöââÿíèí òåç-ëèéè ìÿõñóñè òåçëèéÿ éàõûíëàøäûãäà áó ðÿãñèí àìïëèòóäó ñîíñóç àðòûð. Áó ùàäèñÿéÿ ðåçîíàíñ äåéèëèð.
ΙΙ. cp = . (2) ãöââÿñèíèí òåçëèéèíèí ìÿõñóñè òåçëèéÿ áÿðàáÿð îëàí ùà-
ëû. Òÿáèè êè, õöñóñè ùàë (6) øÿêëèíäÿ àõòàðûëà áèëìÿç. Îíäà (5) òÿíëèéèí õöñóñè ùÿëëèíè àøàüûäàêû øÿêèëäÿ àõòàðàã:
( )ctptpc
PX
cpsinsinlim
22−
−=
→. (14)
Áó èôàäÿ (13)-ÿ ÿñàñÿí ãóðóëóá. ßñëèíäÿ (13) èôàäÿñè cp ≠ îëàí ùàëäà,
èõòèéàðè à âÿ α ö÷öí (5) òÿíëèéèíè þäÿéèð. Îíäà 2
;22
πα =−
=pc
Pa
ýþòöðÿðÿê. (14) èôàäÿñèíèí ëèìèòàëòû èôàäÿñèíè àëìûø îëàðûã. (15)-äÿ ëèìèòè Ëîïèòàë ãàéäàñû èëÿ ùåñàáëàéàðàã, àëàðûã:
p
pttPX
cp 2
coslim
−=
→, (15)
ctc
PtX cos
2−= . (16)
Áó õöñóñè ùÿëë îëóð âÿ (7)-éÿ ÿñàñÿí öìóìè ùÿëëè éàçà áèëÿðèê:
ctc
Ptctax cos
2)cos( −+⋅= α . (17)
(17)-äÿí ýþðöíöð êè, ìÿúáóðè ãöââÿíèí òåçëèéè ìÿõñóñè ðÿãñèí òåçëèéè-íÿ áÿðàáÿð îëàðñà, ðÿãñè ùÿðÿêÿòèí àìïëèòóäó çàìàí àðòäûãúà ñîíñóç àðòûð. Áåëÿ ùàë ðåçîíàíñ àäëàíûð.
Ìöãàâèìÿòëè ìöùèòäÿ ìàääè íþãòÿíèí ñÿðáÿñò ðÿãñëÿðè
Òóòàã êè, ìàääè íþãòÿéÿ Fr åëàñòèêè áÿðïà ãöââÿñè èëÿ éàíàøû, ñöðÿò-
ëÿ äöç ìöòÿíàñèá îëàí Rr ìöãàâèìÿò ãöââÿñè òÿñèð åäèð. Áàøëàíüûú ñöðÿò
111
òÿñèð åäÿí ãöââÿëÿðèí õÿòòè áîéó éþíÿëèá. Îíäà ùÿðÿêÿò äöçõÿòëè ùÿðÿ-êÿòäèð. õ îõóíó ùÿðÿêÿò èñòèãàÿòèíäÿ éþíÿëäÿê. Êîîðäèíàò áàøëàíüûúûíû åëàñòèêè áÿðïà ãöââÿñèíèí ìÿðêÿçèíäÿ ýþòöðÿê.
Îíäà
0; >=⋅−= constkrkFrr
, (1)
00; OMrOMr == rr, (2)
0; >=⋅−=−= constdt
rdR µµυµ
rvr
(3)
(3) àñûëûëûüû — ñöðÿòÿ äöç ìöòÿíàñèá îëàí ìöùèòèí ìöãàâèìÿò ãöââÿ-ñèíè èôàäÿ åäèð. Íéóòîíóí ΙΙ ãàíóíóíà ÿñàñÿí éàçìàã îëàð:
RFdt
rdm
rrr
+=⋅2
2
âÿ éà
dt
rdrk
dt
rdm
rr
r
⋅−−=⋅ µ2
2
âÿ éà 02
2
=+⋅+⋅ rkdt
rd
dt
rdm
rrr
µ . (4)
Áó òÿíëèéè ì êöòëÿñèíÿ áþëÿê âÿ àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿëÿðè ãÿáóë åäÿê:
mb
m
kc
µ== 2,2 . (5)
Îíäà (4) òÿíëèéè áó øÿêèëäÿ îëàð:
02 22
2
=+⋅+ rcdt
rdb
dt
rd rrr
. (6)
Àëûíàí òÿíëèê àäè òþðÿìÿëè, èêèíúè òÿðòèá, õÿòòè, áèðúèíñ, ñàáèò ÿìñàëëû äè-ôåðåíñèàë òÿíëèêäèð. Áó òÿíëèéÿ èêè áàøëàíüûú øÿðòè ÿëàâÿ åäÿê:
00
00; υr
rrr ==
==
tt dt
rdrr . (7)
Àëûíàí ðèéàçè ìÿñÿëÿíè âÿ (6) âÿ (7) èôàäÿëÿðèíè õ îõóíà ïðîéåêñèéà-ëàéàã:
02 22
2
=+⋅+ xcdt
dxb
dt
xd, (8)
112
00
00; υ==
==
tt dt
dxxx . (9)
(8) äèôåðåíñèàë òÿíëèéèíèí õàðàêòåðèñòèê òÿíëèéèíè éàçàã:
02 22 =++ cbλλ . Îíóí êþêëÿðè îëàúàã:
222,1 cbb −±−=λ . (10)
Áóðàäà 3 ùàë ìþâúóä îëà áèëÿð: Ι. ìöãàâèìÿòèí êè÷èê îëàí ùàëû, éÿíè
á<ú. (11) ΙΙ. ìöãàâèìÿòèí áþéöê îëàí ùàëû, éÿíè
á>ú. (12) ΙΙΙ. á=ú (13) Ι. á<ú ùàëû. Îíäà àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿíè ãÿáóë åòìÿê îëàð:
22 bcn −= . (14) (10) äöñòóðóíäàí àëûíûð:
1; 22,1 −=±−= iinbλ . (15)
Îíäà ùÿëë àøàüûäàêû êèìè îëóð:
)cos()(2
)(121
21 αλλ +⋅=+=+= −−−+− ntaeececececx bttinbtinbtt .
à âÿ α ñàáèòëÿðè (9) áàøëàíüûú øÿðòëÿðè ÿñàñûíäà òÿéèí îëóíóðëàð. Áåëÿëèêëÿ, éåêóí ùÿëë àøàüûäàêû êèìè îëóð:
)cos( α+= − ntaex bt . (16)
Áóðàäà ðÿãñèí àìïëèòóäó bt
am aea −= (17)
çàìàí êå÷äèêúÿ àçàëûð. Áó î äåìÿêäèð êè, ùÿðÿêÿò ñþíÿí ðÿãñè ùÿðÿêÿòäèð. Ìöãàâèìÿ-òèí äèýÿð òÿñèðè îíäàí èáàðÿòäèð êè, ðÿãñè ùÿ-ðÿêÿòèí òåçëèéè ìÿõñóñè òåçëèêäÿí êè÷èêäèð:
cn < . (18) Ùÿðÿêÿòèí ñþíìÿ ãàíóíóíó ìöÿééÿí
åäÿê. Íþãòÿíèí àðäûúûë îëàí ÿí êöíú âÿ-çèééÿòëÿðèíÿ óéüóí îëàí òè âÿ òè+1 çàìàíëàð àðàñû àñûëûëûüû éàçàã:
Ttt ii +=+1 . (19)
Áóðàäà −= nT π2 ðÿãñèí ïåðèîäóäóð.
113
(16)-éà ÿñàñÿí éàçìàã îëàð:
)cos( α+= ⋅−i
tbi ntaex i (20)
)cos( 111 α+= +
⋅−+
+i
tbi ntaex i (21)
(21)-äÿ (19)-äàí èñòèôàäÿ åäÿðÿê âÿ (20)-íè íÿçÿðÿ àëàðàã òàïàðûã:
ibT
ibTtb
i xenTnteaex i ⋅=++= −−⋅−+ )cos(1 α .
Áóðàäàí àìïëèòóäóí ñþíìÿ ãàíóíóíó òÿéèí åäèðèê:
bT
i
i ex
x −+ =1 . (22)
(22)-éÿ ÿñàñÿí àìïëèòóä åêñïîíåíñèàë ãàíóí öçðÿ àçàëûð. å-áÒ — ðÿã-ñèí äåêðåìåíòè àäëàíûð. áÒ — èñÿ ðÿãñèí ëîãàðèôìèê äåêðåìåíòè àäëàíûð.
ΙΙ. Èíäè èñÿ ìöãàâèìÿòèí áþéöê îëàí ùàëûíà áàõàã: á>ú. (23)
Îíäà (10) àñûëûëûãäàí àëìûø îëóðóã:
mb ±−=2,1λ , (24)
22 cbm −= . (25) Áó ùàë ö÷öí (8) äèôåðåíñèàë òÿíëèéèíèí ùÿëëè àøàüûäàêû êèìè éàçûëûð:
)chsh( mtBmtAex bt ⋅+⋅= − , (26)
2;
2
mtmtmtmt eechmt
eeshmt
−− +=−= .
ñùìò — ùèïåðáîëèê ñèíóñ, úùìò — ùèïåðáîëèê êîñèíóñäóð. à âÿ á ñàáèòëÿðè (9) áàøëàíüûú øÿðòëÿðè èëÿ òÿéèí îëóíóð. (26)-éà ÿñàñÿí ùÿðÿêÿò ìîíîòîí
õàðàêòåð äàøûéàí, ñþíÿí ùÿðÿêÿòäèð: .0∞→
→t
x
Ùÿðÿêÿòèí ñþíìÿ íþâëÿðèíè àøàüûäàêû øÿêèëëÿð âàñèòÿñèëÿ ýþñòÿðìÿê îëàð:
0υ kiçikdir
=>
=>
114
ΙΙΙ. á=ú. (27)
Îíäà λ1=λ2=-á âÿ (8) äèôåðåíñèàë òÿíëèéèí ùÿëëèíè àøàüûäàêû êèìè éàç-ìàã îëàð:
)( 21 ctcex bt += − . (28)
Àëûíàí ùÿëëÿ ÿñàñÿí äåìÿê îëàð êè, ùÿðÿêÿò ìîíîòîí õàðàêòåðëè, ñþ-íÿí ùÿðÿêÿòäèð. Ùÿðÿêÿòèí õàðàêòåðè êåéôèééÿòúÿ èêèíúè ùàëà óéüóíäóð.
Ìöãàâèìÿòëè ìöùèòäÿ ìàääè íþãòÿíèí ìÿúáóðè ðÿãñëÿðè
Òóòàã êè, ìàääè íþãòÿéÿ àøàüûäàêû ãöââÿëÿð òÿñèð åäèð:
0; >=⋅−= constkrkFrr
(1)
—åëàñòèêè áÿðïà ãöââÿñè;
ptQQ sin0= (2)
—çàìàí áîéó ùàðìîíèê ãàíóíëà äÿéèøÿí õàðèúè ãöââÿ âÿ:
0; >=−=−= constdt
rdR µµυµ
rrr
(3)
— ìöùèòèí ìöãàâèìÿò ãöââÿñè. Áàøëàíüûú ñöðÿò — ãöââÿíèí òÿñèð õÿòòè áîéó éþíÿëèð, îíäà ùÿðÿêÿò
áèðîõëóäóð. Áó õÿòò áîéó õ êîîðäèíàò îõóíó éþíÿëäÿê, îõóí áàøëàíüûú íþãòÿñèíè åëàñòèêè áÿðïà ãöââÿñèíèí ìÿðêÿçèíäÿ ýþòöðÿê. Íéóòîíóí èêèíúè ãàíóíóíà ÿñàñÿí àëàðûã:
QRFdt
rdm
rrrr
++=2
2
.
Éàõóä (1) âÿ (3) èôàäÿëÿðèíäÿí èñòèôàäÿ åäÿðÿê:
Qrkdt
rd
dt
rdm
rrrr
=++ µ2
2
.
Áó òÿíëèéè õ îõóíà ïðîéåêñèéàëàéûá àëàðûã:
0υ böyükdür
=>
115
ptQkxdt
dx
dt
xdm sin02
2
=++ µ . (4)
m
Qf
mb
m
kc 02 ;2; === µ
(5)
— èøàðÿëÿíìÿëÿðèíè êþìÿéèëÿ òÿíëèéè àøàüûäàêû øÿêèëäÿ éàçìàã îëàð:
ptfxcdt
dxb
dt
xdsin2 2
2
2
=+⋅+ . (6)
Áó òÿíëèéÿ áàøëàíüûú øÿðòëÿð ÿëàâÿ îëóíìàëûäûð:
0000
; xxdt
dxt
t
===
=
υ (7)
Ïðàêòèêè ÿùÿìèééÿò êÿñá åäÿí ìöãàâèìÿòèí êè÷èê îëàí ùàëûíà áàõàã: á<ú (8).
(6)-íûí öìóìè ùÿëëè àøàüûäàêû øÿêèëäÿ îëàð: Xxx += ~ . (9)
Áóðàäà x~ — ìöâàôèã áèðúèíñ òÿíëèéèí öìóìè ùÿëëèäèð âÿ (8) øÿðòè ÷ÿð÷è-âÿñèíäÿ áó øÿêèëäÿ îëàð:
)(cos~ 22 α+⋅−⋅= − tbceax bt . (10)
(6) òÿíëèéèíèí õöñóñè ùÿëëèíè àøàüûäàêû êèìè àõòàðàã: )sin( β−= ptAX , (11)
áóðàäà À âÿ β òÿéèí îëóíàúàã ñàáèòëÿðäèð. Áóíóí ö÷öí (11)-è (6)-äà éå-ðèíÿ éàçàã âÿ áåëÿ áèð èøàðÿëÿìÿ ãÿáóë åäÿê: βθβθ +=−= ptpt , .
Îíäà (6) éàçûëûð:
=++− AAcbpAAp sincos2sin 22 θθ
)sincoscos(sin βθβθ += f . (12)
(12)-äÿ ñîë âÿ ñàü òÿðÿôäÿ ñèíθ âÿ úîñθ-ûí ÿìñàëëàðûíû áÿðàáÿðëÿø-äèðñÿê, àëàðûã:
==−
ββ
sin2
cos)( 22
fpbA
fpcA
Áóíëàðû êâàäðàòà éöêñÿëäèá òîïëàéàðàã À-íû òÿéèí åäÿê:
2222 4)( bppc
fA
+−= . (13)
Ñîíðà èñÿ òÿíëèêëÿðè òÿðÿô-òÿðÿôÿ áþëÿðÿê àëìûø îëóðóã.
116
22
2
pc
pbtg
−=β . (14)
Áåëÿëèêëÿ, (9)-à ÿñàñÿí (6) äèôåðåíñèàë òÿíëèéèíèí öìóìè ùÿëëè áó úöð éàçûëûð:
)sin(4)(
)cos(2222
22 βα −+−
++−⋅= − ptbppc
ftbceax bt (15)
Áóðàäàí ýþðöíöð êè, çàìàí êå÷äèêúÿ ùÿëëèí áèðèíúè òîïëàíàíû àçàëàðàã èòèð. Îíäà çàìàíûí áþéöê ãèéìÿòëÿðèíäÿ ùÿëë ÿñàñÿí àøàüûäàêû êèìè îëàð:
)sin(4)( 2222
β−+−
→ ∞→ ptbppc
fx
t. (16)
Éÿíè áèð ìöääÿòäÿí ñîíðà ìàääè íþãòÿ ìÿúáóðè ãöââÿíèí òåçëèéè èëÿ ðÿãñ åòìÿéÿ áàøëàéûð âÿ ðÿãñèí àìïëèòóäó (13) äöñòóðó èëÿ èôàäÿ îëóíóð. Áåëÿëèêëÿ, ìöãàâèìÿòëè ìöùèòäÿ ìÿúáóðè ðÿãñëÿð ñþíìÿéÿí ðÿãñëÿðäèð. Îíëàðûí À — àìïëèòóäó áàøëàíüûú øÿðòëÿðäÿí àñûëû äåéèë. Ìöâàôèã ðåçî-íàíñ òåçëèéèíè ìöÿééÿí åòìÿê ö÷öí áó àìïëèòóäóí ÿí áþéöê ãèéìÿòè-íèí òÿéèíèíÿ áàõàã. Àøàüûäàêû þë÷öñöç êÿìèééÿòëÿðÿ êå÷ÿê:
=== 2;;
c
fB
c
bh
c
pλ (17)
Áó äÿéèøÿíëÿðäÿ (13) àøàüûäàêû øÿêèëäÿ éàçûëàð:
)(λg
BA= , (18)
2222 4)1()( λλλ hg +−= .
(19)
minmax fA ⇒ — äåìÿêäèð. (19) èôàäÿñèíèí ìèíèìóì íþãòÿñèíè òàïìàã
ö÷öí îíäàí òþðÿìÿ àëàã:
)21(424)2()1(2)( 2222 hλ-λ λ·hλ- -λλg ++=+=′ .
Òóòàã êè, ìöùèòèí ìöãàâèìÿòè ÷îõ áþéöê äåéèë: .12 2 <<h Îíäà éàçìàã îëàð:
;00)( 1 =⇒=′ λλg 22 21 h−=λ . (20)
Àñàíëûãëà ýþðìÿê îëàð êè, 01 == λλ ãèéìÿòèíäÿ ý ôóíêñèéàñû
0<h1<h2<...
117
þçöíöí ÿí áþéöê ãèéìÿòèíè, 22 21 h−== λλ ãèéìÿòèíäÿ èñÿ ÿí êè-
÷èê ãèéìÿòèíè àëûð. Áåëÿëèêëÿ, (20) èëÿ èôàäÿ îëóíàí 2λ êÿìèééÿòè — ðå-
çîíàíñ òåçëèéèäèð. ù àðòäûãúà (ìöãàâèìÿò àðòäûãúà), 221 hrez −=λ — ðå-
çîíàíñ òåçëèê àçàëûð, Ààìï - àçàëûð.
Ñàáèò ãöââÿ îëàí ùàëäà ìàääè íþãòÿíèí ðÿãñè ùÿðÿêÿòè
Òóòàã êè, ìàääè íþãòÿéÿ Fr åëàñòèêè áÿðïà
ãöââÿñè èëÿ éàíàøû ñàáèò Qr ãöââÿñè äÿ òÿñèð
åäèð.
0; >=⋅−= constkrkFrr
, (1)
Ã=úîíñò. (2) Áàøëàíüûú ñöðÿò ãöââÿëÿðèí òÿñèð õÿòòè áîéó éþíÿëèá, îíäà ùÿðÿêÿò áè-ðîõëó ùÿðÿêÿòäèð. õ âÿ õ1 êîîðäèíàò îõëàðûíû äöçõÿòëè òðàéåêòîðèéà áîéó
éþíÿëäÿê. õ îõóíóí áàøëàíüûúûíû Fr åëàñòèêè áÿðïà ãöââÿñèíèí ìÿðêÿ-
çèíäÿ ýþòöðÿê. õ1 — êîîðäèíàò îõóíóí Î1 — áàøëàíüûúû-íû ìàääè íþãòÿíèí ñòàòèê âÿçèééÿòèíÿ óéüóí îëàí íþã-òÿäÿ ýþòöðÿê:
QF = , Qk =δ âÿ k
Q=δ . (3)
Ìàääè íþãòÿ ö÷öí Íéóòîíóí èêèíúè ãàíóíóíó éàçàã:
QFdt
rdm
rrr
+=2
2
âÿ Qrkdt
rdm
rrr
+−=2
2
.
Èôàäÿíè õ îõóíà ïðîéåêñèéàëàéàã:
Qkxdt
xdm +−=
2
2
. (4)
õ âÿ õ1 êîîðäèíàòëàðû àðàñûíäà àøàüûäàêû àñûëûëûã âàð: δ+= 1xx (5)
(5) èôàäÿñèíè (4)-äÿ éåðèíÿ éàçàã:
( ) Qxkdt
xdm +−−= δ12
12
.
(3)-ÿ ÿñàñÿí ñàü òÿðÿôäÿ èñëàù ÿìÿëèééàòûíû àïàðàðàã àëàðûã:
118
11
2
kxdt
xdm −= .
Òÿíëèéè ê-éà áþëöá, íÿçÿðÿ àëñàã êè,
m
kc =2 (6)
íÿòèúÿ àøàüûäàêû øÿêèëäÿ îëàð:
012
21
2
=+ xcdt
xd. (7)
Éÿíè, ùÿðÿêÿò )cos(1 α+= ctax (8)
èôàäÿñè èëÿ òÿéèí îëóíóð. Áåëÿëèêëÿ, àëûíûð êè, ùÿðÿêÿò ñþíìÿéÿí ðÿãñè ùÿðÿêÿòäèð âÿ áó ðÿãñëÿð ú — ìÿõñóñè òåçëèéè èëÿ áàø âåðèð. Îíäà áåëÿ áèð
íÿòèúÿéÿ ýÿëìÿê îëàð êè, ñàáèò Qr ãöââÿñèíèí òÿñèðè ñÿðáÿñò ðÿãñëÿðèí
ìÿðêÿçèíèí ãöââÿ èñòèãàìÿòèíäÿ ñöðöøìÿñèíäÿí èáàðÿòäèð. Áó ñöðöøìÿ-íèí ìÿñàôÿñè (3) äöñòóðó èëÿ òÿéèí îëóíóð. Ðÿãñèí àïëèòóäóíà, òåçëèéèíÿ âÿ ïåðèîäóíà ñàáèò ãöââÿíèí ùå÷ áèð òÿñèðè éîõäóð.
Ñöðòöíìÿ ãöââÿñè îëäóüó ùàëäà ìàääè íþãòÿíèí ðÿãñè ùÿðÿêÿòè
Òóòàã êè, ìàääè íþãòÿéÿ Fr —
åëàñòèêè áÿðïà ãöââÿñè èëÿ éàíàøû
sFr — ñöðòöíìÿ ãöââÿñè òÿñèð åäèð:
0; >=⋅−= constkrkFrr
, (1)
OMr =r , Ôñ= ô·Í. (2)
Áóðàäà ô — äèíàìèê ñöðòöíìÿ ÿìñàëû, Í — íîðìàë òÿçéèãäèð, õ îõóíó äöçõÿòëè ùÿðÿêÿòèí òðàéåêòîðèéàñû áîéó éþíÿëäÿê, êîîðäèíàò áàøëàíüûúûíû åëàñòèêè áÿðïà ãöââÿñèíèí ìÿðêÿçèíäÿ ýþòöðÿê. Òóòàã êè, ùÿðÿêÿò ðÿãñè ùÿðÿêÿòèí ñàü êöíú òÿðÿôèíäÿí áàøëàéûð. Îíäà ñöðòöíìÿ ãöââÿñè ñàüà äîüðó éþíÿëèð âÿ ÿââÿëêè ìþâçóéà ýþðÿ áó ðÿãñèí ìÿðêÿçè ñöðòöíìÿ ãöââÿñè èñòèãàìÿòèíäÿ, éÿíè ñàüà äîüðó
k
Nf
k
Fs ⋅==δ (3)
ìÿñàôÿñè ãÿäÿð êþ÷öðöëöð. Íþãòÿíèí òóòäóüó ñîë êöíú âÿçèééÿòèíèí Î-
119
ìÿðêÿçäÿí îëàí ìÿñàôÿñèíè òàïàã. Áó ìÿñàôÿíè àøàüûäàêû àñûëûëûãäàí òàïàã:
|Ì1Î1|=|ÌîÎ1|, δδ −=+ 01 aa ,
δ201 −= aa (4)
Ñîíðàêû ìöääÿòäÿ ìàääè íþãòÿ 1M âÿçèééÿòèíäÿí ñàüà äîüðó ùÿ-
ðÿêÿò åäÿúÿê. Îíäà sFr ãöââÿñèíèí èñòèãàìÿòè äÿéèøÿúÿê âÿ ñîëà äîüðó
éþíÿëÿúÿê. Áó î äåìÿêäèð êè, áó ìÿðùÿëÿäÿ ðÿãñèí ìÿðêÿçè Î íþãòÿ-ñèíäÿí ñîëà äîüðó, éÿíè ãöââÿ èñòèãàìÿòèíäÿ δ-ìÿñàôÿñè ãÿäÿð ñöðöøÿúÿê. Òóòàã êè, Ì2 íþãòÿíèí òóò-äóüó ñàü êöíú âÿçèééÿòäèð. Áó íþãòÿ-íèí Î ìÿðêÿçèíäÿí îëàí ìÿñàôÿñèíè ùåñàáëàéàã:
2221 OMOM = ; δδ +=− 21 aa
δ212 −= aa , (5)
éàõóä áóðàäà (4)-ö íÿçÿðÿ àëñàã:
δ2202 ⋅−= aa . (6)
Îíäà í — ðÿãñèí ñàéû ö÷öí ìöâàôèã àí — àìïëèòóäó àøàüûäàêû äöñòóðëà èôàäÿ îëóíàúàã:
δ20 ⋅−= naan . (7)
Áó úöð ðÿãñ î âàõòà ãÿäÿð áàø âåðÿúÿê êè, íþãòÿíèí ñàü âÿ éà ñîë êöíú âÿçèééÿòèíèí Î ìÿðêÿçèíÿ ýþðÿ ìÿñàôÿñè ñòàòèê âÿçèééÿòèí Î-ìÿðêÿ-çèíäÿí îëàí ìÿñàôÿñèíäÿí êè÷èê îëàúàã.
stnstn aa δδ <>− ; 1 , (8)
δδδ >⋅= stst k
Nf;0 . (9)
Áóðàäà 0f — ñòàòèê ñöðòöíìÿ ÿìñàëûäûð:
ff >0 .
Áó áÿðàáÿðñèçëèê ñèñòåìè îëàðàã íþãòÿíèí äàé-àíàíà ãÿäÿð ðÿãñèí äþâðëÿðèíèí ñàéûíû ìöÿééÿí åäèð. Áóðàäà (7)-íè (8)-äÿ íÿçÿðÿ àëàðàã, òàïàðûã:
δδδ
δδ
2
2
200 stst a
na −+
<<−
(10)
120
Äÿéèøÿí êöòëÿëè ìàääè íþãòÿíèí äèíàìèêàñû Òóòàã êè, äÿéèøÿí êöòëÿëè úèñìè ìàääè íþãòÿ êèìè ãÿáóë åòìÿê îëàð.
Áó íþãòÿíèí äÿéèøÿí êöòëÿñèíè )(tM èëÿ, íþãòÿéÿ äàõèë îëàí ùèññÿúèê-
ëÿðèí êöòëÿñèíè )(1 tM èëÿ, íþãòÿíè òÿðê åäÿí ùèññÿúèêëÿðèí êöòëÿñèíè èñÿ
)(2 tM èëÿ èøàðÿ åäÿê. Äèýÿð òÿðÿôäÿí, t çàìàí àíûíäà áàõûëàí ìàääè
íþãòÿíèí ñöðÿòè — υr âÿ t∆ çàìàí èíòåðâàëûíäà ìàääè íþãòÿéÿ äàõèë
îëàí ùèññÿúèêëÿðèí êöòëÿñè èñÿ 1M∆ îëñóí. Îíëàðûí ñöðÿòèíè 1ur èëÿ èøàðÿ
åäÿê. Òóòàã êè, tt ∆+ çàìàí àíûíäà ìàääè íþãòÿíèí ñöðÿòè υυ rr∆+ -
äèð. t∆ çàìàí èíòåðâàëûíäà íþãòÿíè òÿðê åäÿí ùèññÿúèêëÿðèí êöòëÿñèíè
2M∆ èëÿ âÿ áó ùèññÿúèêëÿðèí ñöðÿòèíè 2ur èëÿ èøàðÿ åäÿê. t çàìàí àíûí-
äà ìàääè íþãòÿíèí âÿ îíà äàõèë îëàí ùèññÿúèêëÿðèí öìóìè ùÿðÿêÿò ìè-ãäàðû
111 uMMQrrr
∆+= υ . (1)
îëàúàã. tt ∆+ çàìàí àíûíäà ìàääè íþãòÿíèí âÿ îíó òÿðê åäÿí ùèñ-ñÿúèêëÿðèí öìóìè ùÿðÿêÿò ìèãäàðû ö÷öí éàçà áèëÿðèê:
( )( ) 22212 uMMMMQrrrr
∆+∆+∆−∆+= υυ . (2)
Ìàääè íþãòÿ îíà äàõèë îëàí âÿ òÿðê åäèëÿí ùèññÿúèêëÿð ìåõàíèêè ñèñ-òåì 0→∆t ùàëäà òÿøêèë åäèð. Îíà ýþðÿ ìåõàíèêè ñèñòåì ö÷öí ìþâúóä îëàí ùÿðÿêÿò ìèãäàðûíûí äÿéèøìÿñè ùàããûíäà òåîðåì áàõûëàí ìÿñÿëÿ ö÷öí àøàüûäàêû øÿêèëäÿ éàçûëàð:
Ft
QQt
rrr
=∆−
→∆
12
0lim . (3)
(3)-äÿ (1) âÿ (2)-íè éåðèíÿ éàçàã: ( )
Ft
uMuMMMMM
t
rrrrrr
=∆
∆+∆−−∆+∆−∆+→∆
221121
0
)(lim
υυυ (4)
Ñîë òÿðÿôè ñàäÿëÿøäèðÿê: ( )
Ft
MMMuMMuMM
t
rrrrrrrrr
=∆
∆∆−∆+∆−−−∆−+∆+→∆
υυυυυυ 212211
0
)()(lim (5)
Òÿáèè êè, 01 >∆M âÿ 02 <∆M îëóð. Îíäà
11 MM ∆=∆ ; 22 MM ∆−=∆ .
Áóíó (5)-äÿ íÿçÿðÿ àëñàã, òàïàðûã:
121
( ) ( ) ( )F
t
MMMuMuMt
rrrrrrr
=∆
∆∆+∆+∆−+∆−+∆→∆
υυυυ 212211
0lim ,
( ) ( )
Ft
MM
t
Mu
t
Mu
tM
tt
ttt
rr
rrrrr
=
∆∆⋅
∆+∆+
+
∆∆−+
∆∆−+
∆∆⋅
→∆→∆
→∆→∆→∆
υ
υυυ
limlimlim
limlimlim
20
10
2
02
1
01
0
Éàõóä:
( ) ( ) Fdt
dMu
dt
dMu
dt
dM
rrvrrr
=−+−+⋅ 22
11 υυυ
. (6)
Áó òÿíëèéè àøàüûäàêû êèìè éàçàã:
( ) ( )dt
dMu
dt
MduF
dt
dM 2
21
1 υυυ rrrrrr
−+−+=⋅ . (7)
Éàçûëàí òÿíëèê äÿéèøÿí êöòëÿëè ìàääè íþãòÿíèí ùÿðÿêÿò òÿíëèéèäèð. Áó öìóìèëÿøìèø Ìåøøåðñêè òÿíëèéè àäëàíûð. Àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿíè ãÿáóë åäÿê:
−=−=
υυrrr
rrr
22
11
uu
uu
r
r. (8)
Ôèçèêè ìÿíàúà áóíëàð ìàääè íþãòÿíè òÿðê åäÿí âÿ îíà äàõèë îëàí ùèñ-ñÿúèêëÿðèí ìàääè íþãòÿéÿ íèñáÿòÿí îëàí ñöðÿòëÿðèäèð, éÿíè, ùÿìèí ùèñ-ñÿúèêëÿðèí íèñáè ñöðÿòëÿðèäèð. Îíäà (7)-íè àøàüûäàêû êèìè éàçìàã îëàð:
dt
dMu
dt
dMuF
dt
dM rr
22
11
rrrr
++=⋅ υ. (9)
ßýÿð ìàääè íþãòÿíèí êöòëÿñèíèí äÿéèøìÿñè àíúàã îíó òÿðê åäÿí ùèñ-ñÿúèêëÿðèí êöòëÿñèíèí ùåñàáûíà áàø âåðÿðñÿ, îíäà:
dt
dM
dt
dM =2
îëàð âÿ áó ùàë ö÷öí òÿíëèê àøàüûäàêû øÿêèëäÿ éàçûëàð:
dt
dMuF
dt
dM r
rrr
+=⋅ υ. (10)
Áóðàäà rr uu 2
rr = . ßýÿð ìàääè íþãòÿíèí êöòëÿñè îíà äàõèë îëàí ùèññÿúèê-
ëÿðèí êöòëÿñèíèí ùåñàáûíà äÿéèøèðñÿ, îíäà
dt
dM
dt
dM =1 âÿ rr uurr =1 .
122
Áó èøàðÿëÿìÿëÿðè ãÿáóë åäÿðÿê éåíÿ äÿ (10) äöñòóðóíó àëìûø îëàðûã. (10) òÿíëèéè — Ìåøøåðñêè òÿíëèéè àäëàíûð. Öìóìè ùàëäà (9) òÿíëèéèíäÿ àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿíè ãÿáóë åòìÿêëÿ:
⋅=Φ
⋅=Φ
dt
dMu
dt
dMu
rr
rr
222
111
rr
rr
(11)
àëàðûã êè:
rrFdt
dM 21 Φ+Φ+=⋅
rrrrυ
. (12)
Áó î äåìÿêäèð êè, ìàääè íþãòÿíè òÿðê åäÿí âÿ îíà äàõèë îëàí ùèññÿúèê-
ëÿðèí ùåñàáûíà àêòèâ Fr ãöââÿñèíÿ ðåàêòèâ — rr 21 , ΦΦ
rr ãöââÿëÿðè éàðà-
íàðàã, ÿëàâÿ îëóíóðëàð.
Ñèàëêîâñêèíèí Û ìÿñÿëÿñè: ãöââÿ ñàùÿñè õàðèúèíäÿ ðàêåòèí äöçõÿòëè ùÿðÿêÿòè
Òóòàã êè, ðàêåòÿ äÿéèøÿíêöòëÿëè ìàääè íþãòÿ êèìè áàõìàã îëàð. Ãÿ-
áóë åäÿê êè, ùÿðÿêÿò áèðîõëó ùÿðÿêÿòäèð âÿ ðàêåòè òÿðê åäÿí éàíàúàüûí ùèññÿúèêëÿðèí íèñáè ñöðÿòëÿðè ñàáèòäèð:
óð=úîíñò. (1) Äèýÿð òÿðÿôäÿí, ôÿðç åäÿê êè, ðàêåò ãöââÿò ñàùÿñèíäÿí
êÿíàðäàäûð, îíäà:
0=Fr
. (2) õ îõóíó ðàêåòèí äöçõÿòëè òðàéåêòîðèéàñû áîéó éþíÿë-
äÿê. (2) øÿðòèíè íÿçÿðÿ àëìàãëà Ìåøøåðñêè òÿíëèéèíè éàçàã âÿ õ îõóíà ýþðÿ ïðîéåêñèéàëàéàã:
dt
dMu
dt
dM
dt
dMu
dt
dM rr −=⇒⋅=⋅ υυ r
r
.
Áó òÿíëèéè àøàüûäàêû êèìè éàçàã M
dMud r−=υ âÿ (1) øÿðòèíäÿí èñòèôà-
äÿ åäÿðÿê èíòåãðàëëàéàã:
( )
+=tM
Mur
00 lnυυ . (3)
123
dt
dx=υ îëäóüóíó íÿçÿðÿ àëàðàã (3)-ö éåíÿ èíòåãðàëëàéàã:
ττ
υ dM
Mutx
t
r ∫+=0
00 )(
ln . (4)
Ì=Ì(ò) ìîíîòîí àçàëàí ôóíêñèéà îëäóüóíäàí (3)-äÿí àëûíûð êè, ñöðÿò àðòûð. Îíóí ìöìêöí îëàí ÿí áþéöê ãèéìÿòè êöòëÿíèí ÿí êè÷èê ãèéìÿòèíÿ óéüóíäóð:
min
00max ln
M
Mur+= υυ . (5)
Òóòàã êè,
yk MMM +=0 . (6)
Áóðàäà kM — ðàêåòèí êîðïóñóíóí âÿ àâàäàíëûüûíûí öìóìè êöòëÿñè, yM
— èñÿ éàíàúàüûí öìóìè êöòëÿñèäèð. Îíäà
kMM =min . (7)
(5)-äÿ (7)-íè íÿçÿðÿ àëñàã,
)1ln(0max zur ++=υυ (8)
k
y
M
Mz = .
ç — éàíàúàüûí íèñáè ìèãäàðûäûð. (8)-ÿ ÿñàñÿí ðàêåòèí ÿëäÿ åòäèéè ÿí áþéöê ñöðÿò àíúàã éàíàúàüûí íèñáè ìèãäàðûíäàí àñûëûäûð, éàíàúàüûí èñòè-ôàäÿ îëóíìà ãàíóíóíäàí àñûëû äåéèë. Àíúàã (4)-ÿ ÿñàñÿí èñÿ ãÿò åòäèéè ìöâàôèã ìÿñàôÿ éàíàúàüûí èñòèôàäÿ îëóíìà ãàíóíóíäàí àñûëûäûð.
Ñèàëêîâñêèíèí ÛÛ ìÿñÿëÿñè: àüûðëûã ãöââÿñè
ñàùÿñèíäÿ ðàêåòèí ùÿðÿêÿòè Ðàêåòèí ùÿðÿêÿòèíèí áàøëàíüûú ùèññÿñèíÿ áàõàã (ñòàðò âÿçèééÿòè). Òó-
òàã êè, ðàêåòÿ éåýàíÿ òÿñèð åäÿí ãöââÿ àüûðëûã ãöââÿñèäèð âÿ èñòèôàäÿ îëóíàí éàíàúàüûí — ãàçûí ðàêåòè òÿðê åòìÿñèíèí íèñáè ñöðÿòè ñàáèòäèð.
óð=úîíñò; (1)
gMFrr
= . (2)
Áó ùàëäà Ìåøøåðñêè òÿíëèéè àøàüûäàêû êèìè éàçûëàð:
gMdt
dMu
dt
dM r
rrr
+=⋅ υ. (3)
124
(3) òÿíëèéèíè øàãóëè éþíÿëäèëìèø õ îõóíà ïðîéåêñèéàëàéàã:
dt
dMuMg
dt
dM r−−=⋅ υ
.
Áó òÿíëèéèí ùÿð òÿðÿôèíè Ì-ÿ áþëÿê:
M
dMugdt
dt
dr−−=υ
Áóðàäàí òàïûëûð êè:
)(ln 0
tM
Mugt r+−=υ . (4)
Áóðàäà áàøëàíüûú ñöðÿòèí ñûôûð îëìàñû íÿçÿðÿ àëûíûá:
00
==t
υ . Òóòàã êè, êöòëÿ àøàüûäàêû ãàíóí èëÿ àçàëûð:
0,)( 0 >= − ααteMtM . (5)
(5)-è (4)-äÿ éåðèíÿ éàçàðàã àëìûø îëóðóã:
tgur )( −= αυ , (6)
rr uW α= (7)
ðåàêòèâ ãöââÿíèí ùåñàáûíà éàðàíàí òÿúèëäèð. Ðàêåòèí ðåàêòèâ ãöââÿñèíè
dt
dMur ⋅=Φ rr
2 . (8)
Èôàäÿíè õ îõóíà ïðîéåêñèéàëàñàã, àëàðûã:
dt
dMur ⋅−=Φ2 ,
MueMu rt
r αα α ==Φ −02 .
Áóðàäàí ýþðöíöð êè, (7) èëÿ èôàäÿ îëóíàí òÿúèë ðåàêòèâ ãöââÿíèí éàðàòäûüû òÿúèëäèð. Îíäà (6)-íû àøàüûäàêû øÿêèëäÿ éàçìàã îëàð:
tgWr )( −=υ . (9)
Áóðàäàí ýþðöíöð êè, ðàêåòèí ùÿðÿêÿòè àíúàã ðåàêòèâ ãöââÿíèí éàðàòäûüû òÿúèëèí ñÿðáÿñòäöøìÿ òÿúèëèíäÿí áþéöê îëäóüó ùàëäà áàø âåðèð. Òóòàã êè, Ù — éàíàúàüûí òàì èñòèôàäÿ îëóíäóüó ùàëà óéüóí îëàí òàì ãàëõìà ùöíäöðëöéöäöð. Áó ùöíäöðëöéö òàïìàã ö÷öí êöòëÿíè àøàüûäàêû êèìè òÿñ-âèð åäÿê:
yk MMM += , (10)
áóðàäà Ìê — ðàêåòèí êîðïóñóíóí âÿ àâàäàíëûüûíûí áèðýÿ êöòëÿñè, Ìé — èñÿ
125
éàíàúàüûí êöòëÿñèäèð. Éàíàúàüûí òàì èñòèôàäÿ îëóíäóüó ùàëà óéüóí 1t
çàìàíû àøàüûäàêû êèìè òÿéèí îëóíóð:
1)( tykk eMMM α−+= ,
αn
t =1 (11)
k
y
M
Mzzn =+= );1ln( . (12)
Áó çàìàíà óéüóí îëàí ñöðÿò èñÿ
ααυ nguk )(
1
−= (13)
îëàúàã. (9)-äà dt
dx=υ îëäóüóíó íÿçÿðÿ àëàðàã éàçìàã îëàð:
2
)( 2tgux r −= α
.
Áóðàäà αn
tt == 1 éàçàðàã Ù ùöíäöðëöéöíö òàïìûø îëàðûã:
2
2
2
)(
αα ngu
H r −= . (14)
Áó àíäàí ñîíðà ðàêåò ñÿðáÿñò îëàðàã ùÿðÿêÿòèíè äàâàì åòäèðèð. Îíóí ãàëõäûüû ÿëàâÿ ù ùöíäöðëöéö îëàúàã:
g
ngu
gh r
2
2221
2
)(
2 ααυ −== . (15)
Îíäà ìàêñèìàë ùöíäöðëöê hHH +=max îëàð. Ïðàêòèêè îëàðàã òÿëÿá
îëóíóð êè, ùÿðÿêÿòèí áèðèíúè àêòèâ ùèññÿñèíÿ óéüóí îëàí Ù ùöíäöðëöéö ìàêñèìàë îëñóí. Áó òÿëÿáàòà óéüóí îëàí éàíàúàüûí èñòèôàäÿ ãàíóíóíó Ù=Ùìàõ øÿðòèíäÿí ìöÿééÿí åäÿê:
02
)2(3
2 =−=∂∂
αα
αrug
nH
. (16)
Áóðàäàí òàïàðûã:
guW rr 2== α . (17)
Éÿíè ðåàêòèâ òÿúèë ñÿðáÿñòäöøìÿ òÿúèëèí èêè ìèñëèíÿ áÿðàáÿð îëìàëûäûð.
126
Ìÿðêÿçè ãöââÿíèí òÿñèðè àëòûíäà ìàääè íþãòÿíèí ùÿðÿêÿòè Ñåêòîðèàë ñöðÿò. t∆ ñîíñóç êè÷èê çàìàí ìöääÿòèíäÿ ðàäèóñ âåêòî-
ðóí ôÿçàäà úûçäûüû ñÿòùèí ñàùÿñè òÿãðèáè îëàðàã MOM ′∆ ö÷áóúàüûíûí ñàùÿñèíÿ áÿðàáÿðäèð. Áó ñàùÿíè σr∆ âåêòîðó èëÿ ìöÿééÿí åäÿê. Áåëÿ êè, áó âåêòîð MOM ′∆ ö÷áóúàüûíûí ìöñòÿâèñèíÿ ïåðïåíäèêóëéàð îëñóí âÿ ãèéìÿòúÿ îíóí ñàùÿñèíÿ áÿðà-áÿð îëñóí; σr∆ âåêòîðóíóí óúóí-äàí áàõäûãäà ùÿðÿêÿò ñààò ÿãðÿáè-íèí ÿêñ èñòèãàìÿòèíäÿ ýþðöíñöí. Äåéèëÿíÿ óéüóí îëàðàã éàçìàã îëàð:
( )rrrrr ∆×=∆
21σ . (1)
Àøàüûäàêû èôàäÿéÿ ñåêòîðèàë ñöðÿò äåéèëèð:
tt ∆∆=
→∆
συσ
rr
0lim . (2)
Ñåêòîðèàë ñöðÿò — ðàäèóñ âåêòîðóí ôÿçàäà úûç-äûüû ñÿòùèí ñàùÿñèíèí àðòìà ñöðÿòèäèð. (1)-è (2)-äÿ éåðèíÿ éàçàã:
( )υυσrr
rrr
×=
∆∆×=
→∆r
t
rr
t 21
lim21
0.
Áåëÿëèêëÿ ñåêòîð ñöðÿò ö÷öí àøàüûäàêû äöñòóð àëìûø îëàðûã:
( )υυσrrr ×= r
2
1. (3)
Ñöðÿòèí ðàäèàë âÿ òðàíñâåðñàë èñòèãàìÿòëÿðÿ àéðûëûø äöñòóðóíó éàçàã:
pdt
dre
dt
dr rrr ϕυ += . (4)
⋅=
=
dt
dr
dt
dr
p
r
ϕυ
υ
peperrrr ⊥== ;1
errrr ⋅= . (5)
(4) âÿ (5)-è (3)-äÿ éåðèíÿ éàçñàã ñåêòîð ñöðÿòèíèí ãèéìÿòè ö÷öí àëû-ðûã:
127
dt
dr
ϕυσ2
2
1= . (6)
Ñàùÿëÿð ãàíóíó. ßýÿð ãöââÿíèí òÿñèð õÿòòè ôÿçàíûí åéíè áèð íþãòÿ-ñèíäÿí êå÷èðñÿ, áåëÿ ãöââÿ ìÿðêÿçè ãöââÿ, ùÿìèí íþãòÿ èñÿ áó ãöââÿíèí
ìÿðêÿçè àäëàíûð. Òóòàã êè, Î íþãòÿñè Fr ìÿðêÿçè ãöââÿíèí ìÿðêÿçèäèð:
eFF r
rr⋅= (7)
0<rF îëàðñà áåëÿ ãöââÿ úàçèáÿ ãöââÿñè
àäëàíûð. −rF ãöââÿíèí rr ðàäèóñ âåêòîðó
èñòèãàìÿòèíäÿ îëàí ïðîéåêñèéàñûäûð. Ùÿðÿ-êÿò ìèãäàðû ìîìåíòèíèí äÿéèøìÿñè ùàããûí-äà òåîðåìäÿ:
0)()()( =×⋅=×=× eeFreFerFr rr
rrrrrr (8)
îëäóüóíó íÿçÿðÿ àëñàã, òàïàðûã:
( ) 0=× υrrmr
dt
d.
Áóðàäà êöòëÿíèí ñàáèò îëìàñûíû íÿçÿðÿ àëàðàã, éàçìàã îëàð:
( ) crrrr =×υ . (9)
Áó constc =r ñàáèò âåêòîðó áàøëàíüûú øÿðòëÿðè ÿñàñûíäà òÿéèí îëóíóð:
⋅⋅=
×=∧
)sin(
)(
0000
0
υυ
υrr
rrr
rrc
rc (10)
−cr
âåêòîðó ñàùÿëÿð âåêòîðó àäëàíûð. (3)-ÿ ÿñàñÿí éàçìàã îëàð êè,
2
cr
r =συ . (11)
Áóðàäàí ãèéìÿòúÿ 2c=συ âÿ éà
constctc
dt
d +=⇒=22
σσ. (12)
Áó î äåìÿêäèð êè, ðàäèóñ âåêòîðóí úûçäûüû ñÿòùèí ñàùÿñè çàìàí áîéó õÿòòè àðòûð. Ùÿì÷èíèí (9)-äàí àëûíûð êè, íþãòÿíèí òðàéåêòîðèéàñû ìöñòÿâè ÿéðèõÿòäèð. (9)-à äàõèë îëàí âåêòîðëàðû Äåêàðò êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ ïðîéåêñèéàëàð âàñèòÿñèëÿ èôàäÿ åäÿê:
);;(;);;(;);;( zyxzyx cccczyxrr === rrrrr υυυυυ ,
128
constc =r îëäóüóíäàí, îíóí −zyx ccc ;; ïðîéåêñèéàëàðû äà ñàáèòäèð. (9)
äöñòóðóíó ïðîéåêñèéàëàð âàñèòÿñèëÿ àøàüûäàêû êèìè éàçìàã îëàð:
=−
=−
=−
zxy
yzx
xyx
cyx
cxz
cxy
υυυυυυ
Áèðèíúè òÿíëèéè õ-à, èêèíúè òÿíëèéè é-ÿ, ö÷öíúö òÿíëèéè èñÿ ç-ÿ âóðóá òÿ-ðÿô-òÿðÿôÿ òîïëàéàã:
0=⋅+⋅+⋅ zcycxc zyx .
Àëûíàí òÿíëèê — ìöñòÿâèíèí òÿíëèéèäèð. Áåëÿëèêëÿ òðàéåêòîðèéà ìöñòÿâè ÿéðèõÿòëèäèð. Äåéèëÿíëÿðè öìóìèëÿøäèðÿðÿê áó íÿòèúÿéÿ ýÿëìÿê îëàð êè, ìÿðêÿçè ãöââÿíèí òÿñèðè àëòûíäà ùÿðÿêÿò åäÿí ìàääè íþãòÿíèí òðàéåêòî-ðèéàñû ìöñòÿâè ÿéðèõÿòäèð; íþãòÿíèí ðàäèóñ âåêòîðó åéíè çàìàí ïàð÷àëàð-äà áÿðàáÿð ñàùÿëè ñÿòùëÿð úûçûð. Äåéèëÿí ôèêèðëÿð ñàùÿëÿð ãàíóíóíó òÿø-êèë åäèð. Áèíå òÿíëèéè (ìÿðêÿçè ãöââÿíèí òÿñèðè àëòûíäà îëàí ìàääè íþãòÿíèí
ùÿðÿêÿò òÿíëèéè). Ïîëéàð êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿí èñòèôàäÿ åäÿðÿê ñöðÿòèí ãèéìÿòè ö÷öí àøàüûäàêû èôàäÿíè éàçìàã îëàð:
22
22
⋅+
=dt
dr
dt
dr ϕυ . (13)
(6) âÿ (11) äöñòóðëàðû ÿñàñûíäà éàçûðûã:
dt
drc
ϕ⋅= 2 . (14)
Áóðàäàí
2r
c
dt
d =ϕ. (15)
Éåíè äÿéèøÿí äàõèë åäÿê:
r
1=υ . (16)
Îíäà
2cudt
d =ϕ. (17)
Äèýÿð òÿðÿôäÿí
129
( )ϕ
ϕϕ
ϕϕ d
duc
dt
d
d
ud
dt
d
d
dr
dt
dr ⋅−=⋅=⋅= /1.
Áóíëàðà ÿñàñÿí (13)-ö àøàüûäàêû øÿêèëäÿ éàçà áèëÿðèê:
+
= 2
2
22 ud
duc
ϕυ . (18)
Èíäè èñÿ êèíåòèê åíåðæèíèí äÿéèøìÿñè ùàãäà òåîðåìè éàçàã:
rdFm
drr
⋅=
2
2υ. (19)
Áóíó ôîðìàë îëàðàã ϕd -éÿ áþëÿðÿê, àëàðûã:
ϕυ
ϕ d
rdF
m
d
dr
r⋅=
2
2
.
Èíäè èñÿ ñîë òÿðÿôè ñàäÿëÿøäèðÿê:
+⋅⋅=⋅=
u
d
ud
d
dumc
d
dmm
d
d2
22
22
22 ϕϕϕυυ
ϕ. (20)
Ñàü òÿðÿôè èñÿ àøàüûäàêû øÿêèëäÿ éàçìàã îëàð:
ϕϕϕϕ d
du
uF
u
t
d
dF
d
rdF
d
rdF rrr ⋅⋅−=
⋅=⋅=⋅2
1rr
r. (21)
Áóíëàðû íÿçÿðÿ àëàðàã òàïàðûã:
rFud
udumc −=
+2
222
ϕ. (22)
Àëäûüûìûç òÿíëèê — Áèíå òÿíëèéèäèð.
Ýþé ìåõàíèêàñû. Êåïëåð ãàíóíëàðû. Íéóòîíóí öìóìäöíéà úàçèáÿ ãàíóíó
Àñòðîíîìèê ìöøàùèäÿëÿðèí íÿòèúÿëÿðèíÿ ÿñàñëàíàðàã Êåïëåð ïëàíåò-
ëÿðèí ýöíÿø ÿòðàôûíäà ùÿðÿêÿòëÿðèíÿ àèä ö÷ ãàíóí ìöÿééÿí åòìèøäèð: Û. Ïëàíåòëÿð ýöíÿø ÿòðàôûíäà ñàùÿëÿð ãàíóíó öçðÿ ìöñòÿâè òðàéåêòî-
ðèéàëàð (îðáèòëÿð) áîéó ùÿðÿêÿò åäèð. ÛÛ. Ïëàíåòëÿðèí îðáèòëÿðè — ôîêóñëàðûí áèðèíäÿ ýöíÿø îëàí êîíèê êÿñèê-
ëÿðäèð. ÛÛÛ. Ïëàíåòëÿðèí ýöíÿø ÿòðàôûíäà äþâð ïåðèîäóí êâàäðàòû îðáèòëÿðèí
130
áþéöê éàðûìîõóíóí êóáó èëÿ äöç ìöòÿíàñèáäèð: consta
T =3
2
.
Êåïëåðèí ãàíóíëàðû ÿñàñûíäà Íéóòîí þç öìóìäöíéà úàçèáÿ ãàíóíó àëìûøäûð. Êåïëåðèí áèðèíúè ãàíóíóíäàí èðÿëè ýÿëèð êè, ïëàíåòëÿðÿ òÿñèð åäÿí ãöââÿ ìÿðêÿçè ãöââÿäèð âÿ áó ãöââÿíèí ìÿðêÿçè Ýöíÿøäèð. Òÿñèð ãöââÿñè ìÿðêÿçè ãöââÿ îëäóüóíäàí îíëàðûí ùÿðÿêÿòëÿðèíèí òÿùëèëè Áèíå òÿíëèéè ÿñàñûíäà àïàðûëà áèëÿð. Êåïëåðèí èêèíúè ãàíóíóíà ÿñàñÿí ïëàíåòëÿ-ðèí òðàéåêòîðèéàñû ö÷öí àøàüûäàêû òÿíëèéè éàçìàã îëàð:
p
e
ru
ϕcos11 +== . (23)
Áóðàäà −e òðàéåêòîðèéàíûí åêñåíòðèñèòåòè, ï — èñÿ ïàðàìåòðäèð. Ìèñàë
ö÷öí, åëëèïòèê òðàéåêòîðèéà ö÷öí ;2
a
bp = áóðàäà à âÿ á — ìöâàôèã îëà-
ðàã áþéöê âÿ êè÷èê éàðûìîõëàðûí óçóíëóãëàðûäûð. Òÿñèð ãöââÿñèíèí èôàäÿñèíè àëìàã ö÷öí (23)-ö (22)-äÿ éåðèíÿ éàçà-
ðàã, àëàðûã:
p
umcFr
22−= . (24)
Àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿëÿðäÿí èñòèôàäÿ åäÿê:
µ=p
c2
. (25)
Îíäà
2r
mFr
µ−= . (26)
Êåïëåðèí ö÷öíúö ãàíóíóíäàí èñòèôàäÿ åäÿðÿê ýþñòÿðìÿê îëàð êè, const=µ . (27)
Ãöââÿ ìÿðêÿçè ãöââÿ îëäóüóíäàí ñåêòîð ñöðÿòè ñàáèòäèð:
.2
constc ==συ
Ò èëÿ ïëàíåòèí äþâð çàìàí ìöääÿòèíè éàí ïåðèîäóíó èøàðÿ åäÿê. Îíäà:
Tab συπ = âÿ éà 2
cTab=π
Êâàäðàòà éöêñÿëäÿðÿê éàçûðûã: 222224 Tcba =π . (28)
131
Åëëèïñ ö÷öí apb ⋅=2 îëäóüóíó íÿçÿðÿ àëñàã: 22324 Tcpa =π .
Ùÿð èêè òÿðÿôè ï-éÿ áþëÿê âÿ (25)-äÿí èñòèôàäÿ åäÿê, îíäà àëàðûã 2324 Ta µπ = ,
éàõóä äà
2
324
T
a⋅= πµ . (29)
Êåïëåðèí ö÷öíúö ãàíóíóíà ÿñàñÿí: constT
a =2
3
. Áóíó (29)-äà íÿ-
çÿðÿ àëñàã (27)-íè àëàðûã. Áåëÿëèêëÿ, −µ Ýöíÿøèí ãðàâèòàñèéà ñàáèòèäèð.
Öìóìèééÿòëÿ, ùÿð áèð ìàääè úèñìèí þç ãðàâèòàñèéà ñàáèòè âàð. Òóòàã êè, −λ ùÿð ùàíñû áèð ïëàíåòèí ãðàâèòàñèéà ñàáèòèäèð, −M èñÿ Ýöíÿøèí êöòëÿ-
ñèäèð. Îíäà Íéóòîíóí ö÷öíúö ãàíóíóíà ÿñàñÿí ïëàíåò òÿðÿôèíäÿí ýöíÿ-øÿ îëàí òÿñèð ãöââÿñè îëàúàã:
2r
MFr
λ−= . (30)
(26) âÿ (30)-ó áÿðàáÿðëÿøäèðÿðÿê éàçìàã îëàð: Mm λµ = .
Áóðàäàí
constfmM
−== λµ. (31)
Éÿíè ùÿð áèð ìàääè îáéåêòèí ãðàâèòàñèéà ñàáèòèíèí îíóí êöòëÿñèíÿ îëàí íèñáÿòè áöòöí îáéåêòëÿð ö÷öí åéíè îëàí ñàáèòäèð. Áó f ñàáèòè — óíèâåðñàë ãðàâèòàñèéà ñàáèòè àäëàíäûðûëûð. (31)-äÿí àëûíûð êè:
Mf ⋅=µ . (32)
Áóíó (26)-äà éåðèíÿ éàçàðàã Íéóòîíóí öìóìäöíéà úàçèáÿ ãàíóíóíó àëìûø îëóðóã:
2r
MmfFr −= . (33)
Èêè úèñèì ìÿñÿëÿñè
Òóòàã êè, ìåõàíèêè ñèñòåì èêè ìàääè íþãòÿäÿí èáàðÿòäèð âÿ áó íþãòÿ-
ëÿð áèð-áèðèíÿ Íéóòîíóí úàçèáÿ ãàíóíóíà òàáå îëàí ãöââÿ èëÿ òÿñèð åäèð-
132
ëÿð. Òÿäãèã ö÷öí àøàüûäàêû øÿðòëÿð äàõèëèíäÿ èêè êîîðäèíàò ñèñòåìèíè äà-õèë åäÿê:
1) òÿðïÿíìÿç 1111 ZYXO êîîðäèíàò ñèñòåìèíè âÿ áó êîîðäèíàò ñèñ-
òåìèíÿ íèñáÿòÿí èðÿëèëÿìÿ ùÿðÿêÿòè åäÿí âÿ áàøëàíüûúû íþãòÿëÿðèí áèðèíäÿ îëàí
−OXYZ êîîðäèíàò ñèñòåìè. O âÿ P
ìàääè íþãòÿëÿðèí êöòëÿëÿðèíè óéüóí îëàðàã Ì âÿ ì èëÿ èøàðÿ åäÿê. Î íþãòÿñè òÿðôèíäÿí Ï íþãòÿñèíÿ îëàí òÿñèð ãöââÿñè îëàúàã:
31 r
rMmfF
rr
⋅−= . (1)
P íþãòÿñè òÿðÿôèíäÿí O íþãòÿñèíÿ îëàí òÿñèð ãöââÿñè ö÷öí èñÿ éàçìàã îëàð:
32 r
rmMfF
rr
= . (2)
Ùÿð èêè íþãòÿ ö÷öí Íéóòîíóí èêèíúè ãàíóíóíó éàçàã:
=⋅
=⋅
22
2
12
2
Fdt
RdM
Fdt
dm
rr
rrρ
(1) âÿ (2) àñûëûëûãëàðûíû áóðàäà éàçàã:
=⋅
⋅−=⋅
rr
Mmf
dt
RdM
rr
Mmf
dt
dm
rr
rr
32
2
32
2ρ
Êöòëÿëÿðÿ èõòèñàð åäÿðÿê âÿ òÿðÿô-òÿðÿôÿ ÷ûõàðàã àëìûø îëàðûã:
32
2 )()(
r
rmMf
dt
Rdrrr +−=−ρ. (3)
Øÿêèëäÿí ýþðöíöð êè:
rRrRrrrrrr =−=>+= ρρ . (4)
Áóíó âÿ )( Mmfk += (4)
— èøàðÿëÿìÿñèíè (3)-äÿ íÿçÿðÿ àëàðàã, èêè úèñèì ìÿñÿëÿñèíèí ÿñàñ òÿíëèé-
133
èíè àëìûø îëóðóã:
32
2
r
rk
dt
rdrr
−= . (5)
Äÿãèã îëàðàã äåìÿê îëàð êè, (5) òÿíëèéè Ï íþãòÿñèíèí Î íþãòÿñè ÿòðà-ôûíäà ùÿðÿêÿòèíè ìöÿééÿí åäèð. Áó òÿíëèêëÿðäÿí )(trr
rr = ôóíêñèéàñû
òÿéèí îëóíàíäàí ñîíðà, ùÿð èêè íþãòÿíèí ìöòëÿã 111 ZYX êîîðäèíàò
ñèñòåìèíÿ íÿçÿðÿí ùÿðÿêÿòëÿðèí òÿéèíè àñàíëûãëà òàïûëûð. Òóòàã êè, Ï âÿ Î íþãòÿëÿðèíèí êöòëÿ ìÿðêÿçè Ú íþãòÿñèäèð. Ï âÿ Î
íþãòÿëÿð ñèñòåìè ãàïàëû ñèñòåì òÿøêèë åòäèêëÿðèíÿ ýþðÿ, êöòëÿëÿð ìÿðêÿçè-íèí ùÿðÿêÿòè ùàããûíäà òåîðåìÿ ÿñàñÿí Ú íþãòÿñè äöçõÿòëè âÿ áÿðàáÿðñö-ðÿòëè ùÿðÿêÿò åäÿúÿê. Áó ùÿðÿêÿòèí ñöðÿòè Ï âÿ Î íþãòÿëÿðèíèí áàøëàíüûú
ñöðÿòëÿðè èëÿ ìöÿééÿí îëóíóð. Òóòàã êè, cRr êöòëÿëÿð ìÿðêÿçèíèí ðàäèóñ
âåêòîðóäóð. Òÿðèôÿ ýþðÿ
mM
RmMRc +
+=rr
r ρ.
Áóðàäà (4)-ÿ ÿñàñÿí òÿäðèúÿí éà cRr, éà äà ρr âåêòîðëàðûíû ÿâÿç åäÿðÿê
rmM
mRRr
mM
MR cc
rrrrrr
+−=
++= ;ρ (6)
îëóð. Áó àñûëûëûãëàðà ÿñàñÿí )(trrrr = âåêòîð ôóíêñèéàñû ìÿëóì îëäóãäà,
ìÿúùóë )(tρρ rr = âÿ )(tRRrr
= âåêòîðëàðû òÿéèí îëóíóðëàð.
Èêè úèñèì ìÿñÿëÿñèíèí öìóìèëÿøìÿñè îëàí 2>n ñàéäà úèñèì ìÿñÿ-ëÿñè èíäèéÿ ãÿäÿð þç ùÿëëèíè òàïìàìûøäûð. Ùÿòòà ö÷ úèñìèí ìÿùäóä ìÿ-ñÿëÿñè äÿ èíòåãðàëëàíìàìûø ãàëìûøäûð. Áó ìÿñÿëÿ êè÷èê êöòëÿëè úèñìèí èêè ñîíëó úèñìèí ãðàâèòàñèéà ñàùÿñèíäÿ ùÿðÿêÿòè ìÿñÿëÿñèäèð. Ñîíëó êöòëÿëè èêè úèñìèí ùÿðÿêÿòè èñÿ ìöâàôèã îëàðàã èêè úèñèì ìÿñÿëÿñè èëÿ ìöÿééÿí îëóíàí ùÿðÿêÿòè åäèðëÿð. Áó ùÿðÿêÿòäÿ êè÷èê êöòëÿëè ö÷öíúö úèñìèí òÿñèðè íÿçÿðÿ àëûíìûð.
Ëàïëàñ èíòåãðàëû. Ëàïëàñ âåêòîðó Èêè úèñèì ìÿñÿëÿñèíèí ÿñàñ òÿíëèéèíè éàçàã:
32
2
r
rk
dt
rdrr
−= . (1)
Áó òÿíëèéèí ùÿð èêè òÿðÿôèíè ñîëäàí âåêòîðèàë îëàðàã )( υrrr ×= rc — ñàáèò
134
âåêòîðóíà âóðàã. Îíäà àëìûø îëóðóã:
( )
××−=
×
32
2
r
rrk
dt
rdc
rrrrr υ
. (2)
Ñîë òÿðÿôè cr âåêòîðóíóí ñàáèò îëìàñûíû íÿçÿðÿ àëàðàã éàçìàã îëàð:
( )dt
cd
dt
dc
dt
rdc
υυ rrrr
rr ×=
×=
×
2
2
. (3)
Èíäè èñÿ ñàü òÿðÿôè ñàäÿëÿøäèðÿê: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) =−−⋅−=××−=××
333 r
rrrr
r
rr
r
rrrrrrrrrrrrrr υυυυ
=⋅−⋅
=⋅−⋅−=−⋅−=r
r
dt
d
rdt
drr
dt
rdr
r
rr
r
rrrr
rr
rrrr
223
2 υυυυ. (4)
(3) âÿ (4)-ö (2)-äÿ éåðèíÿ éàçàã:
( )
−=×r
r
dt
dk
dt
cdrrr υ
.
constk = îëäóüóíäàí éàçìàã îëàð:
( ) 0=
+×r
rkc
dt
dr
rr υ .
Áóðàäàí èíòåãðàëëàéàðàã òàïûðûã êè:
( ) fr
rkc
rr
r −=+×υ , (5)
tonscf =r
. (6)
(5) Ëàïëàñ èíòåãðàëû, (6) èñÿ Ëàïëàñ âåêòîðó àäëàíûð. Áó âåêòîð áàøëàíüûú øÿðòëÿð ÿñàñûíäà òÿéèí îëóíóð. Îíóí ãèéìÿòèíèí èôàäÿñèíè àëàã. Áóíóí ö÷öí (5) èôàäÿñèíè þçö-þçöíÿ ñêàëéàð îëàðàã âóðàã, îíäà àëàðûã:
22
22 )()(2
)( fr
rrk
r
crkc =⋅+×+×
rrrrrrr υυ . (7)
Òÿáèè êè, υrr ⊥c îëäóüóíäàí:
υυ ⋅=× cc )(rr
, (8)
( )12
2
2 ==⋅r
r
r
rrrr
, (9)
135
( ) ( ) ( ) 2cccrcrccr −=⋅−=×−=×=× rrrrrrrrrrr υυυ . (10)
(8), (9) âÿ (10)-ó (7)-äÿ éåðèíÿ éàçàã:
222
22 2fk
r
kcc =+−υ . (11)
Àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿíè ãÿáóë åäÿê:
r
kh
22 −= υ . (12)
Îíäà àëìûø àëàðûã: 222 fhck =+ . (13)
Ýþñòÿðìÿê îëàð êè, ù — êÿìèééÿòè ñàáèòäèð âÿ áàøëàíüûú øÿðòëÿð èëÿ — áàøëàíüûú âÿçèééÿòèíÿ óéüóí ð0 ðàýèóñ âåêòîðëà âÿ áàøëàíüûú 0υ ñöðÿòè
èëÿ èôàäÿ îëóíóðëàð. Áåëÿ êè, ù — Ï íþãòÿñèíèí ñàáèò îëàí òàì ìåõàíèêè åíåðæèñèíÿ ñàáèò ÿìñàë äÿãèãëèéè èëÿ áÿðàáÿðäèð.
Ìàääè íþãòÿ ö÷öí òàì ìåõàíèêè åíåðæè îëàúàã:
22
2 mh
r
kmmVTE =−=+= υ
. (14)
Õàðèúè ãöââÿëÿð îëìàäûüûíäàí èêè íþãòÿäÿí èáàðÿò îëàí ñèñòåì êîí-ñåðâàòèâ ìåõàíèêè ñèñòåìäèð âÿ îíóí òàì ìåõàíèêè åíåðæèñè ñàáèòäèð:
constEE == 0 .
Îíäà (13)-ÿ ÿñàñÿí ,consth = éàõóä
0
20
0 22
r
k
m
Eh −== υ . (15)
Ïëàíåòëÿðèí îðáèòëÿðè. Îðáèò íþâëÿðè. Îðáèò áîéó ïëàíåòèí ùÿðÿêÿò ãàíóíó
Ùÿðÿêÿòèí òðàéåêòîðèéàñûíû òÿéèí åòìÿê ö÷öí
(5) èôàäÿñèíè ñêàëéàð îëàðàã ð-ðàäèóñ âåêòîðóíà âóðàã:
)()(
)( rfr
rrkcr
rrrrrrr ⋅−=+×υ .
Èíäè èñÿ (9) âÿ (10)-äàí èñòèôàäÿ åäÿê:
ϕcos2 frkrc −=+−
Áóðàäàí àëàðûã:
φ
fr
rr
P
136
ϕcos
2
fk
cr
+= . (16)
Àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿëÿðäÿí èñòèôàäÿ åäÿê:
pk
c =2
; ek
f = . (17)
Îíäà (16)-íû éàçìàã îëàð:
ϕcos1 e
pr
+= . (18)
Áó òðàéåêòîðèéàíûí òÿíëèéèäèð âÿ èôàäÿäÿí ýþðöíöð êè, òðàéåêòîðèéà êîíèê êÿñèê ÿéðèñèäèð. Áóðàäà å<1 îëàíäà — òðàéåêòîðèéà åëëèïñ, å=1 îëàíäà — ïàðàáîëà âÿ å>1 îëäóãäà — ùèïåðáîëàäûð. Áàøëàíüûú øÿðòëÿðäÿí àñûëû îëà-ðàã òðàéåêòîðèéàíûí ùàíñû ôîðìàäà îëìàñûíû ìöÿééÿí åòìÿê ö÷öí (11) èôàäÿñèíè ê2-íà áþëÿê âÿ (17) èøàðÿëÿìÿëÿðèíäÿí âÿ (15)-äÿí èñòèôàäÿ åäÿê:
2
0
20
2 21 k
r
kce
−+= υ . (19)
Áóðàäàí ýþðöíöð êè, 0
0
2
r
k<υ — áàøëàíüûú øÿðòèíè þäÿéèðñÿ, å<1 âÿ
òðàéåêòîðèéà åëëèïñ îëàúàãäûð. ßýÿð áàøëàíüûú ñöðÿò 0
0
2
r
kII ==υυ
îëàðñà, å=1 âÿ òðàéåêòîðèéà ïàðàáîëà îëàúàãäûð, 0
0
2r
kII => υυ îëàðñà,
å>1 âÿ òðàéåêòîðèéà ùèïåðáîëà îëàúàãäûð. Áóðàäà −IIυ èêèíúè êîñìèê
ñöðÿòäèð. Áèðèíúè êîñìèê ñöðÿò, òðàéåêòîðèéà ÷åâðÿ îëàí ùàëà óéüóíäóð âÿ
mgr
m =0
20υ
øÿðòèíäÿí áó úöð òÿéèí îëóíóð:
0grI =υ .
(18) äöñòóðóíäàí ýþðöíöð êè, îðáèòèí úàçèáÿ ìÿðêÿçèíÿ ýþðÿ ïåðè-
ñåíòð àäëàíäûðûëàí ÿí éàõûí íþãòÿñè fr âåêòîðóíóí îõó öçÿðèíäÿ éåðëÿ-
øèð. P íþãòÿñèíèí îðáèò áîéó ùÿðÿêÿò ãàíóíóíó òÿéèí åòìÿê ö÷öí (8)
137
äöñòóðóíó ìÿëóì îëàí
cdt
dr =ϕ2
òÿíëèéèíäÿ éåðèíÿ éàçàðàã ùÿëë åòìÿê ëàçûìäûð. Áåëÿ êè,
( )∫ −=+
ϕ
ϕϕ
0
022).(
cos1tt
p
c
e
d (20)
Áóðàäà (17)-éÿ âÿ åëëèïòèê îðáèò ö÷öí )1( 2eap −= îëäóüóíà ýþðÿ:
( ) 2/3221 e
n
p
c
−= ;
2/3a
kn = . (21)
Àøàüûäàêû
21
1
2
ϕtg
e
eEtg
+−= (22)
ÿâÿçëÿìÿíè àïàðàðàã âÿ (21)-è íÿçÿðÿ àëàðàã, (20) òÿíëèéèíè èíòåãðàëëà-íàí øÿêëÿ ýÿòèðìÿêëÿ, íÿòèúÿäÿ òàïûðûã êè,
)(sin 0ttnEeE −=− . (23)
Áó òÿíëèê Êåïëåð òÿíëèéè àäëàíäûðûëûð âÿ îðáèò áîéó ùÿðÿêÿòèí ãàíóíóíó ìöÿééÿí åäèð.
Òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí ìöòëÿã áÿðê úèñìèí êèíåòèê ìîìåíòè âÿ êèíåòèê åíåðæèíèí èôàäÿëÿðè
Òÿðïÿíìÿç êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí áàø-
ëàíüûúûíû úèñìèí òÿðïÿíìÿç íþãòÿñèíäÿ ýþòö-ðÿê. Úèñìèí èõòèéàðè íþãòÿñèíèí ðàäèóñ âåêòî-ðóíó r
r èëÿ, ñöðÿòèíè èñÿ υr èøàðÿ åäÿê. Êèíå-
ìàòèêàäàí ñöðÿò ö÷öí ìÿëóì îëàí èôàäÿíè éà-çàã:
)( rrrr
×= ωυ . (1)
Áóðàäà ωr — áàõûëàí úèñìèí àíè áóúàã ñöðÿòè âåêòîðóäóð. (1) äöñòóðóíóí êèíåòèê ìîìåíòèí èôàäÿñèíäÿ éàçàã:
∑∑ =××=×=k
kkkk
kkk rmrmrG ))(()(0
rrrrrrωυ
138
∑∑ ⋅−=××=k
kkkkk
kkk rrrmrrm )())((2 rrrrrrrr ωωω . (2)
(2)-éÿ äàõèë îëàí âåêòîðëàðû ïðîéåêñèéàëàðëà èôàäÿ åäÿê:
=
==
);;(
);;(
);;;(
00 ozoyox
kkkkk
GGGGG
rqp
zyxrr
rr
rr
rr
ωω (3)
Îíäà (2) èôàäÿñèíè àøàüûäàêû êèìè éàçìàã îëàð:
)()( 2220 nzqypxrzyxmG kkkkkkk
kk ++−++=∑
rrrω (4)
Êèíåòèê ìîìåíòèí ïðîéåêñèéàñû ö÷öí èñÿ áó úöð èôàäÿëÿð àëûíûð:
=++−++=∑ )()( 222kkkkkkk
kkox rzqypxxpzyxmG
kkk
kkkk
kkkk
k zxmryxmqzymp ∑∑∑ −−+= )( 22
âÿ éà: Ýîõ=Æõõï-Æõéã-Æõçð.
Óéüóí îëàðàã äèýÿð ïðîéåêñèéàëàð ö÷öí äÿ éàçìàã îëàð:
+−−=
−+−=
−−=
rJqJpJG
rJqJpJG
rJqJpJG
zzyzxzoz
yzyyxyoy
xzxyxxox
(5)
ßòàëÿò ìîìåíòè òåíçîðóíóí
−−−−−−
=
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
JJJ
JJJ
JJJ
J~
(6)
èôàäÿñèíäÿí èñòèôàäÿ åäÿðÿê, (5) äöñòóðóíó ãûñà øÿêèëäÿ éàçìàã îëàð:
ωrr
⋅= JGo
~ (7)
Áó éàçûéà äàõèë îëàí âåêòîðëàðû ìàòðèñ øÿêëèíäÿ éàçìàã îëàð:
;
=
oz
oy
ox
G
G
G
Gr
=r
q
p
ωr (8)
Òÿáèè êè, ÿòàëÿò òåíçîðóíóí áàø îõëàðûíäà (5) äöñòóðëàðû ñàäÿ ôîðìàéà
139
äöøöðëÿð:
⋅=
⋅=
⋅=
0
0
0
333
222
111
r JG
q JG
p JG
ξξoξ
ξξoξ
ξξoξ
(9)
Èíäè èñÿ êå÷ÿê Ò êèíåòèê åíåðæèíèí èôàäÿñèíèí àëûíìàñûíà. Òÿðèôÿ ýþðÿ:
∑∑∑ =⋅⋅=⋅==k
kkkk
kkk
k
kk rmmm
T ))((21
2)(
2
2rrr
rr
ωυυυυ
∑∑ ×=×⋅=k
kkkk
kkk mrrm )(2
1))((
2
1 υωυω rrrrrr
âÿ éà
)(21
)(21
rGqGpGGT ozoyoxo ++=⋅= ωrr
. (10)
Èíäè èñÿ (5)-äÿí èñòèôàäÿ åäÿê:
2221 222 qrJprJpqJrJqJpJT yzxzxyzzyyxx −−−++= . (11)
Áàø ÿòàëÿò îõëàðûíäà êèíåòèê åíåðæèíèí èôàäÿñè áåëÿ îëóð:
2
1 222
332211 oξξoξξoξξ rJqJp JT ⋅+⋅+⋅= .
Òÿðïÿíìÿç îõ ÿòðàôûíäà ôûðëàíàí
ìöòëÿã áÿðê úèñìèí òàì òÿíëèêëÿð ñèñòåìè Òÿðèôÿ ýþðÿ ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòè çà-
ìàíû úèñìèí ùÿð ùàíñû èêè íþãòÿñè òÿð-ïÿíìÿç îëàðàã ãàëûð. Ùÿìèí èêè íþã-òÿäÿí êå÷ÿí äöç õÿòò ôûðëàíìà îõó-äóð. Èêè êîîðäèíàò ñèñòåìè äàõèë åäÿê:
Û. Áàøëàíüûúû À òÿðïÿíìÿç íþãòÿ-ñèíäÿ îëàí âÿ Çì îõó ôûðëàíìà îõó áîéó éþíÿëìèø ìöòëÿã Õì; Éì; Çì êîîðäèíàò ñèñòåìè.
ÛÛ. Úèñèìëÿ ñÿðò áàüëû îëàí ìÿõñóñè õ; é; ç êîîðäèíàò ñèñòåìè. Áó êîîð-äèíàò ñèñòåìèíèí áàøëàíüûúûíû À íþãòÿ-ñèíäÿ ýþòöðÿê âÿ ç îõóíó ôûðëàíìà
140
îõó áîéó éþíÿëäÿê.
Øÿêëÿ ýþðÿ ANr
âÿ BNr
— òÿðïÿíìÿç À âÿ Á äàéàãëàðûíûí ðåàêñèéà
ãöââÿëÿðè, ωr — áóúàã ñöðÿòè âåêòîðó, Ú íþãòÿñè — úèñìèí êöòëÿëÿð ìÿð-
êÿçèäèð, crr — îíóí ðàäèóñ âåêòîðóäóð. Ùÿðÿêÿò òÿíëèêëÿðè êöòëÿëÿð ìÿð-
êÿçèíèí ùÿðÿêÿòè ùàããûíäà òåîðåìäÿí âÿ êèíåòèê ìîìåíòèí äÿéèøìÿñè ùàããûíäà òåîðåìäÿí àëûíûðëàð. Áó òåîðåìëÿðè ìÿõñóñè (õ; é; ç) êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ éàçàã:
BAe
cc NNRm
dt
dm
rrrrrr
++=×+ )()( υωυ, (1)
)()( )(B
eA
o NABMGdt
Gd rrrrr
×+=×+ ω , (2)
áóðàäà )(eRr
— õàðèúè ãöââÿëÿðèí áàø âåêòîðóäóð: ∑=k
ek
e FR )()(rr
, )(eAM
r —
èñÿ õàðèúè ãöââÿëÿðèí òÿðïÿíìÿç À íþãòÿñèíÿ ýþðÿ îëàí áàø ìîìåíòèäèð: )(e
AMr
=∑ ×k
ekk Fr ).( )(rr
(1) âÿ (2) òåîðåìëÿðèíèí ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí îõëàðûíà ïðîé-åêñèéàëàðûíû éàçàã. ßââÿëúÿ áó êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ äàõèë åäèëÿí âåê-òîðëàðûí ïðîéåêñèéàëàðûíû ãåéä åäÿê:
=
=
==
);0;0(
);0;0(
);;(
);;(
hABAB
zyxrr
czcycxcc
ccccc
ωωωυυυυυ
rr
rr
rr
(3)
Êöòëÿëÿð ìÿðêÿçèíèí cυr ñöðÿòè ö÷öí Åéëåð òåîðåìèíÿ ÿñàñÿí éàçûëûð:
)( cc rrrr
×= ωυ . (4)
Áóðàäàí ïðîéåêñèéàëàð ö÷öí àëìûø îëóðóã:
0;; =⋅=⋅−= czccyccx xy υωυωυ . (5)
Êèíåòèê ìîìåíòèí ïðîéåêñèéàëàðû ö÷öí àëûíûð:
=
−=−=
ωωω
zzAz
yzAy
xzAx
JG
JG
JG
(6)
141
(5)-äÿí èñòèôàäÿ åäÿðÿê −zzyzxzccc JJJzyx ;;:;; êÿìèééÿòëÿðèíèí
ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ ñàáèò îëìàñûíû íÿçÿðÿ àëàðàã, (1) äöñòóðó-íó ïðîéåêñèéàëàðëà àøàüûäàêû êèìè éàçìàã îëàð:
++=
++=−+
++=−−
BzAze
z
ByAye
ycc
BxAxe
xcc
NNR
NNRmymx
NNRmxmy
)(
)(2
)(2
0
ωωωω
&
&
(7)
(6)-äàí èñòèôàäÿ åäÿðÿê (2)-íè éàçìàã îëàð:
=
⋅+=−−
⋅−=+−
)(
)(2
)(2
eAzzz
Bxe
Ayxzyz
Bye
Axyzxz
MJ
NhMJJ
NhMJJ
ω
ωω
ωω
&
&
&
(8)
2
2
dt
d
dt
d ϕωω ==& , (9)
(7) âÿ (8) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíÿ éåääè ìÿúùóë ôóíêñèéà äàõèëäèð, áóí-ëàð: φ(ò) — äþíìÿ áóúàüû ôóíêñèéàñû âÿ éà ω(ò) — áóúàã ñöðÿòè ôóíêñèéàñû âÿ äàéàã ðåàêñèéàëàðûíûí ïðîéåêñèéàëàðûäûð: ÍÀõ(ò); ÍÀé(ò); ÍÀç(ò); ÍÁõ(ò); ÍÁé(ò); ÍÁç(ò). (8) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí ö÷öíúö èôàäÿñèíäÿí ω(ò) âÿ éà φ(ò) ôóíêñèéàñû òÿéèí îëóíóð. Ùÿìèí ôóíêñèéàäàí (7) âÿ (8) òÿíëèêëÿð ñèñòå-ìèíèí ñîë òÿðÿôèíäÿ èñòèôàäÿ åäèëÿðÿê áèðèíúè ìÿðùÿëÿäÿ (8) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí áèðèíúè âÿ èêèíúè òÿíëèêëÿðèíäÿí ÍÁõ
âÿ ÍÁé òàïûëûð, ñîíðà èñÿ (7) òÿíëèê ñèñòåìèíèí áèðèíúè âÿ èêèíúè èôàäÿñèíäÿí AxN âÿ AyN òÿéèí
îëóíóð. ÍÀç âÿ ÍÁç ìÿúùóëëàðû èñÿ öìóìèééÿòëÿ àéðû-àéðû òÿéèí îëóíà áèëèíìèð: (7) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí ö÷öíúö èôàäÿñèíäÿí àíúàã îíëàðûí úÿ-ìè òÿéèí îëóíà áèëÿð. Îíëàðûí àéðû-àéðûëûãäà òÿéèíè ö÷öí ÿëàâÿ îëàðàã À âÿ Á íþãòÿëÿðèíäÿ îëàí äàéàã íþâëÿðè ìöÿééÿíëÿøäèðèëìÿëèäèð.
Òÿðïÿíìÿç îõ ÿòðàôûíäà ôûðëàíàí áÿðê úèñìèí ôûðëàíìà îõóíà ýþñòÿðèëÿí äèíàìèê òÿçéèãëÿðèí
ñòàòèê òÿçéèãëÿðÿ áÿðàáÿð îëìàñû øÿðòè Äàéàãëàðûí èø ìöääÿòèíèí àðòûðûëìàñû ö÷öí îíëàðà ýþñòÿðèëÿí òÿçéèã
ìöìêöí ãÿäÿð êè÷èê îëìàëûäûð. Úèñèì ôûðëàíäûãäà î äàéàãëàðà ÿëàâÿ òÿçéèã ýþñòÿðèð. Áó ÿëàâÿ òÿçéèãèí éàðàíìàìàñûíûí øÿðòëÿðèíè ìöÿééÿí åäÿê.
Ðèéàçè áàõûìäàí áó î äåìÿêäèð êè, ñòàòèê âÿ äèíàìèê ùàëëàðäà äàéàã ðåàêñèéàëàðû ö÷öí åéíè òÿíëèêëÿð ñèñòåìè ìþâúóä îëìàëûäûð. Ñòàòèê ùàëäà,
142
éÿíè φ=úîíñò; ω=0 ùàëûíäà (7) âÿ (8) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí ñîë òÿðÿôëÿðè åéíèëÿ ñûôûðäûð. Òÿëÿá îëóíóð êè, ùÿðÿêÿò îëàí ùàëäà, éÿíè ;0≠ω& ω≠0; (7) âÿ (8) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí ñîë òÿðÿôëÿðè åéíèëÿ ñûôûð îëñóí:
=−
=−−
0
02
2
ωωωω
cc
cc
mymx
mxmy
&
& (10)
=−−
=+−
0
02
2
ωω
ωω
xzyz
yzxz
JJ
JJ
&
&
(11)
Áó òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíè ñàäÿëÿøäèðÿê:
=−
=+
0
02
2
cc
cc
yx
yx
ωωωω
&
& (12)
=+
=+−
0
02
2
yzxz
yzxz
JJ
JJ
ωω
ωω&
&
(13)
(12) ñèñòåìè õú âÿ éú — ìÿúùóëëàðûíà ýþðÿ õÿòòè áèðúèíñ úÿáðè òÿíëèêëÿð ñèñòåìèäèð. Îíóí áàø äåòåðìèíàíòû ñûôûðäàí ôÿðãëè îëäóüóíäàí:
0)( 24
2
2
≠+−=−
=∆ ωωωωωω
&
&
ùÿëëè òðèâèàëäûð. õú= éú=0. (14)
Ùÿìèí ñÿáÿáÿ ýþðÿ äÿ (13) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíäÿí àëûíûð êè, Æõç=Æéç=0. (15)
(14) âÿ (15) øÿðòëÿðè òÿðïÿíìÿç îõ ÿòðàôûíäà ôûðëàíàí áÿðê úèñìèí ôûð-ëàíìà îõóíà ýþñòÿðèëÿí òÿçéèãëÿðèí òàðàçëûã ùàëûíäà îëàí òÿçéèãÿ áÿðà-áÿð îëìàñûíû òÿìèí åäèð. Áó øÿðòëÿðÿ ÿñàñÿí êöòëÿëÿð ìÿðêÿçè ôûðëàíìà îõó öçÿðèíäÿ éåðëÿøìÿëèäèð âÿ ôûðëàíìà îõó òÿðïÿíìÿç íþãòÿëÿðèí áèðè ö÷öí áàø ÿòàëÿò îõëàðûíäàí áèðè îëìàëûäûð.
Òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí ìöòëÿã áÿðê úèñìèí äèíàìèêàñû. Åéëåðèí êèíåìàòèê òÿíëèêëÿðè
ßíÿíÿâè îëàðàã áàøëàíüûúëàðû òÿðïÿíìÿç íþãòÿäÿ îëàí èêè êîîðäèíàò
ñèñòåìè äàõèë åäÿê. Áèðèíúè mmm ZYOX — ìöòëÿã, òÿðïÿíìÿç êîîðäè-
íàò ñèñòåìè âÿ èêèíúè Oxyz — úèñèìëÿ ñÿðò áàüëû îëàí âÿ îíóíëà ùÿðÿ-
143
êÿòäÿ îëàí ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìè. Áó ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí ìöòëÿã òÿðïÿíìÿç êîîðäèíàòà ýþðÿ òóòäóüó âÿçèééÿò úèñìèí ôÿçàäà òóò-äóüó âÿçèééÿòè ìöÿééÿí åäèð âÿ î Åéëåðèí ,,ψϕ θ áóúàãëàðû èëÿ òÿéèí
îëóíà áèëÿð. Êèíåìàòèêàäàí ìÿëóìäóð êè, òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí ìöòëÿã áÿðê úèñìèí éåðäÿéèøìÿñè ö÷ äþíìÿ éåðäÿéèøìÿñèíèí úÿìè øÿê-ëèíäÿ òÿñâèð îëóíà áèëÿð.
1. Ìöòëÿã mZ îõó ÿòðàôûíäà ψ áóúàüû ãÿäÿð äþíìÿ: áó çàìàí
mX îõó ÎÊ äöéöíëÿð îõóíà êå÷èð.
2. ÎÊ äöéöíëÿ îõó ÿòðàôûíäà θ áóúàüû ãÿäÿð äþíìÿ: îíäà mZ îõó
ìÿõñóñè ç îõóíà êå÷èð. 3. Ìÿõñóñè ç îõó ÿòðàôûíäà ϕ áóúàüû ãÿäÿð äþíìÿ.
Áóðàäà ψ — ïðåñåññèéà áóúàüû, θ — íóòàñèéà áóúàüû, ϕ — ìÿõñóñè
äþíìÿ áóúàüû àäëàíäûðûëûð. Áóíëàðà ÿñàñëàíàðàã àíè äþíìÿ ùÿðÿêÿòèíè ö÷ àíè äþíìÿ ùÿðÿêÿòèíèí
úÿìè êèìè òÿñâèð åòìÿê îëàð. Áèðèíúè àíè äþíìÿ ùÿðÿêÿòèíèí áóúàã ñöðÿòè ψ& -äèð âÿ îíà óéüóí
îëàí ψr& áóúàã ñöðÿòè âåêòîðó mZ îõó áîéóíúà éþíÿëèð;
Èêèíúè àíè äþíìÿ ùÿðÿêÿòèíèí áóúàã ñöðÿòè θ& -äèð âÿ θr& áóúàã ñöðÿòè
âåêòîðó ÎÊ äöéöíëÿð õÿòòè áîéó éþíÿëèð.
Ö÷öíúö àíè äþíìÿ ùÿðÿêÿòèíèí áóúàã ñöðÿòè ϕ& -äèð âÿ îíà óéüóí ϕr&
áóúàã ñöðÿòè âåêòîðó Îç ìÿõñóñè îõó áîéó éþíÿëèð. Öìóìè àíè ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòèíèí ωr áóúàã ñöðÿòè âåêòîðó éóõàðûäà
ýþñòÿðèëÿí àíè ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòëÿðèíèí áóúàã ñöðÿòëÿðè âåêòîðëàðûíûí úÿìèíÿ áÿðàáÿðäèð.
ωr =ψr& +θ
r& +ϕ
r& (1)
(1) âåêòîðó áÿðàáÿðëèéèíèí ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí îõëàðûíà ïðîéåê-ñèéàëàíäûðàã. Áóðàäà ωr áóúàã ñöðÿòè âåêòîðóíóí ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìè-íèí îõëàðûíà îëàí ïðîéåêñèéàëàðûíû
rqp ,, èëÿ èøàðÿ åäÿê. Îíäà àëûíûð:
p =ψ& cossinsin ϕθϕθ &+
q=ψ& ϕθϕθ sincossin &− (2)
144
r =ψ& ϕθ &+cos
Àëûíàí òÿíëèêëÿð ñèñòåìè — Åéëåðèí êèíåìàòèê òÿíëèêëÿðè àäëàíûð.
Åéëåðèí äèíàìèê òÿíëèêëÿðè Ìöòëÿã êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ êèíåòèê ìîìåíòèí äÿéèøìÿñè ùàããûíäà
òåîðåìè éàçàã.
00 M
Dt
GD rr
= . (3)
Áóðàäà Dt
D èëÿ ìöòëÿã êîîðäèíàò ñèñòåìèíÿ àèä òàì òþðÿìÿ èøàðÿ îëóí-
ìóøäóð. Áó âåêòîð òÿíëèéèíè ñêàëéàð øÿêèëäÿ éàçìàçäàí ÿââÿë èêè ñàäÿ-ëÿøäèðìÿäÿí èñòèôàäÿ åäÿê:
1) ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí îõëàðûíû úèñìèí òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè ö÷öí îëàí áàø ÿòàëÿò îõëàðû áîéó éþíÿëäÿê;
2) ÿñàñ âåêòîð òÿíëèéèíè ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí îõëàðûíà ïðîé-åêñèéàëàíäûðàã.
oGr
êèíåòèê ìîìåíòèí ïðîéåêñèéàëàðû àøàüûäàêû äöñòóðëàðëà èôàäÿ îëó-
íóðëàð.
⋅−⋅−⋅=
⋅−⋅−⋅=
⋅−⋅−⋅=
rJqJpJG
rJqJpJG
rJpJpJG
zzyzxzoz
yzyyxyoy
xzxyxxox
(4)
Áèðèíúè ñàäÿëÿøìÿéÿ ÿñàñÿí ãàðûøûã ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðè åéíèëèêëÿ ñûôû-ðà áÿðàáÿðäèðëÿð:
0=== xyyzxz JJJ . (5)
Îíäà àëûíûð:
⋅=
⋅=⋅=
rJG
qJG
pJG
zzoz
yyoy
xxox
(6)
Èêèíúè ñàäÿëÿøäèðìÿäÿí èñòèôàäÿ åòìÿêëÿ (3) âåêòîð òÿíëèéèíè ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ éàçàã:
ooo MG
dt
Gd rrrr
=×+ )(ω . (7)
145
Áóðàäà ωr ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí ìöòëÿã êîîðäèíàò ñèñòåìèíÿ
ýþðÿ îëàí àíè ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòèíèí áóúàã ñöðÿòè âåêòîðóäóð. (7) òÿíëèéè-íèí ñîë òÿðÿôèíèí èêèíúè òîïëàíàíûíû ìàòðèñ øÿêëèíäÿ éàçàã:
rJqJpJrqpkji
G
zzyyxx
o
rrr
rr =× )(ω
Íÿçÿðÿ àëàðàã êè, (6)-äà ìÿõñóñè ÿòàëÿò îõëàðûíà ýþðÿ ìîìåíòëÿð ñàáèòäèð, (7) òÿíëèéèíè ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí îõëàðûíà ïðîéåêñèéà-ëàðäà àøàüûäàêû øÿêèëäÿ éàçìàã îëàð:
=−+⋅
=−+⋅
=−+⋅
ozxxyyzz
oyzzxxyy
oxyyzzxx
MpqJJdt
drJ
MprJJdt
dqJ
MqrJJdt
dpJ
)(
)(
)(
(8)
Ìÿõñóñè îõëàðà ýþðÿ ñàáèò ÿòàëÿò ìîìåíòëÿðèíè àøàüûäàêû êèìè èøàðÿ åäÿê: CJBJAJ zzyyxx === ;; . (9)
Îíäà (8) òÿíëèêëÿðè àøàüûäàêû øÿêèëäÿ éàçûëàð:
( )
( )
( )
=−+⋅
=−+⋅
=−+⋅
oz
oy
ox
MpqABdt
drC
MprCAdt
dqB
MqrBCdt
dpA
(10)
(8) âÿ éà (10) òÿíëèêëÿð ñèñòåìè — Åéëåðèí äèíàìèê òÿíëèêëÿðè àäëàíäû-ðûëûð. Åéëåðèí êèíåìàòèê âÿ äèíàìèê òÿíëèêëÿðè òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí ìöòëÿã áÿðê úèñìèí ùÿðÿêÿòèíèí òàì òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíè òÿøêèë åäèð. Òÿí-ëèêëÿðèí ñàéû àëòûäûð. Ìÿúùóë ôóíêñèéàëàð áóíëàðäûð:
)();(),();();(),( trtqtpttt ψθϕ . (11)
(2) âÿ (10) òÿíëèêëÿð ñèñòåìè áèðòÿðòèáëè, ãåéðè-õÿòòè àäè äèôåðåíñèàë òÿíëèêëÿð ñèñòåìèäèð. (10) òÿíëèêëÿðèíèí ñàü òÿðÿôèíäÿ îëàí õàðèúè ãöââÿ-ëÿðèí òÿðïÿíìÿç íþãòÿéÿ ýþðÿ îëàí áàø ìîìåíòèíèí ïðîéåêñèéàëàðû öìóìè ùàëäà (11) ìÿúùóë ôóíêñèéàëàðûíäàí âÿ îíëàðûí òþðÿìÿëÿðèíäÿí àñûëûäûð.
146
Òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí àüûð áÿðê úèñìèí ùÿðÿêÿòèíèí òàì òÿíëèêëÿð ñèñòåìè
Òóòàã êè, òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí ìöòëÿã áÿðê úèñèì àíúàã þç àüûðëûã
ãöââÿñè íÿòèúÿñèíäÿ ùÿðÿêÿò åäèð. Áó ùÿðÿêÿòèí òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíè àëìàã ö÷öí ùÿìèí àüûðëûã ãöââÿñèíè
ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí îõëàðûíà îëàí ïðîéåêñèéàëàðûíû ùåñàáëàéûá, Åéëåðèí äèíàìèê òÿíëèêëÿðèíèí ñàü òÿðÿôèíäÿ éàçìàã êèôàéÿòäèð. Áó éàçû-ëàðû ñàäÿëÿøäèðìÿê îëàð; áèðèíúè ìÿðùÿëÿäÿ ψθϕ ,, Åéëåð áóúàãëàðû
ÿâÿçèíÿ òÿðïÿíìÿç øàãóëè îõóí âàùèä íîðìàëàðûíûí ìÿõñóñè êîîðäèíàò
ñèñòåìèíèí îõëàðûíà îëàí 321 ;; γγγ ïðîéåêñèéà ôóíêñèéàëàðû äàõèë åäèëèð.
Åéëåðèí êèíåìàòèê âÿ äèíàìèê òÿíëèêëÿðèíè éàçàã:
ϕ+θψ=ϕθ−ϕθψ=
ϕθ+ϕθψ=
&&
&&
&&
cosr
sincossinq
cossinsinp
(1)
( )
( )
( )
=−+⋅
=−+⋅
=−+⋅
oz
oy
ox
MpqABdt
drC
MprCAdt
dqB
MqrBCdt
dpA
(2)
Ú íþãòÿñè àüûðëûã ìÿðêÿçèäèð. Ìöòëÿã êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí øàãóëè mZ
îõóíóí âàùèä éþíÿëäèúè nr âåêòîðóíóí ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí
îõëàðûíà ïðîéåêñèéàëàðû ö÷öí éàçà áèëÿðèê:
);;( 321 γγγnn =r. (3)
Áó ïðîéåêñèéàëàðûí Åéëåð áóúàãëàðû èëÿ ÿëàãÿñè àøàüûäàêû àñûëûëûãëàðëà èôàäÿ îëóíóð:
θ=γϕθ=γϕθ=γ
cos
cossin
sinsin
3
2
1
(4)
1=n îëäóüóíà ýþðÿ:
147
123
22
21 =++ γγγ . (5)
Àüûðëûã ãöââÿñè ö÷öí éàçà áèëÿðèê:
nPPrr
−= . (6) Îíäà òÿðïÿíìÿç íþãòÿéÿ ýþðÿ îëàí ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí áàø ìîìåíòè áåëÿäèð:
)()()()( cccco rnPnrPnPrPrMrrrrrrrrr
×=×−=×−=×= . (7)
Àüûðëûã ìÿðêÿçèíèí crr ðàäèóñ âåêòîðóíó ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòå-
ìèíäÿ ïðîéåêñèéàëàðûíû ccc zyx ,, èëÿ èøàðÿ åäÿê:
),,( ccccc zyxrrrr = (8)
âÿ íÿçÿðÿ àëàã êè, îíëàð ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ ñàáèòäèðëÿð:
constz;y;x ccc = . (9)
(7)-éÿ ÿñàñÿí oMr
áàø ìîìåíòèí ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíÿ
ïðîéåêñèéàëàðûíû ùåñàáëàéàðàã, àëìûø îëóðóã:
−=
−=−=
)(
)(
)(
21
13
32
ccoz
ccoy
ccox
xyPM
zxPM
yzPM
γγγγγγ
(10)
(10)-ó (2)-íèí ñàü òÿðÿôèíäÿ éàçàðàã, òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí àüûð áÿðê úèñìèí áèðèíúè ö÷ òÿíëèéèíè àëìûø îëóðóã:
( )
( )
( )
−=−+⋅
−=−+⋅
−=−+⋅
)(
)(
)(
21
13
32
cc
cc
cc
xyPpqABdt
drC
zxPprCAdt
dqB
yzPqrBCdt
dpA
γγ
γγ
γγ
(11)
Äèýÿð ö÷ òÿíëèéè nr âåêòîðóíóí ìöòëÿã êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ ñàáèò
îëìàñû øÿðòèíäÿí àëìàã îëàð. Ìöòëÿã êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ nr âåêòîðó-
íóí çàìàíà ýþðÿ òþðÿìÿñè ñûôûðäûð:
0=dt
nDr
.
Áó òþðÿìÿíè ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ òþðÿìÿ èëÿ ÿâÿç åòñÿê, àëû-íàð:
148
0)( =×+= ndt
nd
Dt
nD rrrr
ω .
Áóðàäàí òàïûëûð:
)( ndt
nd rrr
×−= ω
âÿ éà
)( ωrrr
×= ndt
nd. (12)
Áó âåêòîð àñûëûëûüûíû ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí îõëàðûíà ïðîéåêñèéà-ëàéàðàã òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí àüûð áÿðê úèñìèí ùÿðÿêÿòèíèí äèýÿð ö÷ òÿíëèéèíè àëìûø îëóðóã:
γ−γ=γ
γ−γ=γ
γ−γ=γ
pqdt
d
rpdt
d
qrdt
d
213
132
321
(13)
(11) âÿ (13) òÿíëèêëÿðè-òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí àüûð ìöòëÿã áÿðê úèñìèí ùÿðÿêÿòèíèí òàì òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíè òÿøêèë åäèðëÿð.
Òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí àüûð ìöòëÿã áÿðê úèñìèí ùÿðÿêÿò òÿíëèêëÿðè ñèñòåìèíèí òÿùëèëè
(11) âÿ (13) òÿíëèêëÿð ñèñòåìè áèðèíúè òÿðòèá, ãåéðè-õÿòòè, àäè òþðÿìÿëè
äèôåðåíñèàë òÿíëèêëÿð ñèñòåìèäèð. Áó ñèñòåì àëòû äèôåðåíñèàë òÿíëèêäÿí èáà-ðÿòäèð. Ìÿúùóë ôóíêñèéàëàðûí ñàéû àëòûäûð:
)(),(),(),(),(),( 321 ttttrtqtp γγγ . (14)
(11) âÿ (13) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíäÿí áó ìÿúùóëëàð òÿéèí îëóíäóãäà, (4) àñûëûëûãëàðûíäàí )(tθ âÿ )(tϕ Åéëåð áóúàãëàðû âÿ (1) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèí-
äÿí )(tψ Åéëåð áóúàüû òÿéèí îëóíóð.
Ýþñòÿðìÿê îëàð êè, (11) âÿ (13) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí öìóìè ùÿëëèíè òàïìàã ö÷öí áó ñèñòåìèí àíúàã äþðä ñàéäà áèðèíúè èíòåãðàëëàðûíûí ìÿ-ëóì îëìàñû êèôàéÿòäèð. Áóíó ýþñòÿðìÿê ö÷öí ÿââÿëúÿ àøàüûäàêû èøàðÿ-ëÿìÿëÿðè ãÿáóë åäÿê:
149
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]
−−−=
−−−=
−−−=Π
pqABxyPC
R
prCAzxPB
Q
qrBCyzPA
cc
cc
cc
)(1
)(1
)(1
21
13
32
γγ
γγ
γγ
(15)
γ−γ=Γγ−γ=Γγ−γ=Γ
pq
rp
qr
213
132
321
(16)
Áó èøàðÿëÿìÿëÿð âàñèòÿñèëÿ (11) âÿ (13) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíè êàíîíèê øÿ-êèëäÿ éàçàã:
dtddd
R
dr
Q
dqdp =Γ
=Γ
=Γ
===Π 3
3
2
2
1
1 γγγ. (17)
Áó ñèñòåìèí áèðèíúè áåø òÿíëèéèíÿ çàìàí àøêàð äàõèë îëìàäûüûíà ýþðÿ îíóí èëê áåø áèðèíúè èíòåãðàëûíû òàïìàã êèôàéÿòäèð:
3
3
2
2
1
1
Γ=
Γ=
Γ===
Πγγγ ddd
R
dr
Q
dqdp. (18)
(18)-èí áåø ñàéäà áèðèíúè èíòåãðàëû ìÿëóì îëàðñà, ñàéúà àëòûíúû áèðèíúè èíòåãðàëû (17)-äÿí àäè èíòåãðàëëàìà èëÿ òàïûëûð. Ìèñàë ö÷öí:
dtdp =Π
âÿ îíäà
∫Π=
p
p p
dpt
0)(. (19)
Íÿçÿðÿ àëñàã êè, Π ôóíêñèéàñû p -äÿí àñûëû äåéèë, Ã — ã-äÿí àñûëû
äåéèë, ….., 33 Γ−γ -äÿí àñûëû äåéèë, îíäà éàçìàã îëàð:
3
3
2
2
1
1
γγγ ∂Γ∂=
∂Γ∂=
∂Γ∂=
∂∂=
∂∂=
∂Π∂
r
R
q
Q
p. (20)
Áó àñûëûëûüà ÿñàñÿí Éàêîáèíèí ñîí ÿìñàëûíûí ãèéìÿòè áèðÿ áÿðàáÿðäèð âÿ (18) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí äþðä ñàéäà áèðèíúè èíòåãðàëû ìÿëóì îëàðñà, áå-øèíúè áèðèíúè èíòåãðàë Éàêîáèíèí ñîí ÿìñàë öñóëó èëÿ òàïûëà áèëÿð.
Áåëÿëèêëÿ, ýþñòÿðèëäè êè, (11) âÿ (13) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí ùÿëëè ö÷öí
150
úÿìè îíóí äþðä ñàéäà áèðèíúè èíòåãðàëûíûí ìÿëóì îëìàñû êèôàéÿòäèð. Áóíëàðûí ö÷ö ÷îõ ñàäÿ òÿéèí îëóíóðëàð âÿ òðèâèàë áèðèíúè èíòåãðàëëàð àä-ëàíûð. Ñàéúà äþðäöíúö îëàí áèðèíúè èíòåãðàë öìóìè áàøëàíüûú øÿðòëÿð äà-õèëèíäÿ âÿ ìÿñÿëÿíèí ïàðàìåòðëÿðèíÿ ùå÷ áèð ìÿùäóäèééÿò ãîéóëìàäàí èíäèéÿ êèìè òàïûëìàéûá. Àíúàã ö÷ õöñóñè ùàë ö÷öí ñàéúà äþðäöíúö áè-ðèíúè èíòåãðàë èíäèéÿ ãÿäÿð òÿéèí îëóíóá:
I. Åéëåð ùàëû: áó ùàëà óéüóí ìÿùäóäèééÿò îíäàí èáàðÿòäèð êè, àüûðëûã
ìÿðêÿçè òÿðïÿíìÿç íþãòÿ èëÿ öñò-öñòÿ äöøöð: 0)(0 =PMr
. Îíäà (11)
ñèñòåìèíèí ñàü òÿðÿôëÿðè ñûôûðà áÿðàáÿðäèð. II. Ëàãðàíæ ùàëû: áóðàäà îëàí ôÿðçèééÿëÿð
àøàüûäàêûëàðäûð: à) úèñèì äèíàìèê ñèììåòðèéà îõóíà ìàëèê-
äèð, éÿíè òÿðïÿíìÿç íþãòÿ ö÷öí ãóðóëàí ÿòàëÿò-ëÿð åëëèïñîèäè ôûðëàíìà åëëèïñîèäèäèð. Ùÿð èêè îõà
ýþðÿ îëàí ÿòàëÿò ìîìåíòè áÿðàáÿðäèð: yyxx JJ =
éÿíè À=Á. á) àüûðëûã ìÿðêÿçè úèñìèí äèíàìèê ñèììåòðèéà îõó öçÿðèíäÿ éåðëÿøèð:
0== cc yx .
ÛÛÛ. Ñ.Êîâàëåâñêàéà ùàëû: áó ùàëà óéüóí ôÿðçèééÿëÿð áóíëàðäûð: à) òÿðïÿíìÿç íþãòÿ ö÷öí ãóðóëàí ÿòàëÿò åëëèïñîèäè ôûðëàíìà åëëèïñîè-
äèäèð. Îíóí éàðûìîõëàðû àðàñûíäà àøàüûäàêû àñûëûëûãëàð ìþâúóääóð: À=Á=2Ú.
á) úèñìèí àüûðëûã ìÿðêÿçè òÿðïÿíìÿç íþãòÿ ö÷öí ãóðóëàí ÿòàëÿò åë-
ëèïñîèäèíèí äèàìåòðàë ñèììåòðèéà ìöñòÿâèñèíäÿ éåðëÿøèð: 0=cz
Àüûð áÿðê úèñìèí ùÿðÿêÿò òÿíëèêëÿðèíèí
ö÷ òðèâèàë áèðèíúè èíòåãðàëëàðû Áÿðê úèñìèí òÿðïÿíìÿç íþãòÿ ÿòðàôûíäà ùÿðÿêÿò òÿíëèêëÿðèíè éàçàã:
−=−+
−=−+
−=−+
)()(
)()(
)()(
21
13
32
cc
cc
cc
xyPpqABdt
drC
zxPprCAdt
dqB
yzPqrBCdt
dpA
γγ
γγ
γγ
(1)
151
γ−γ=γ
γ−γ=γ
γ−γ=γ
pqdt
d
rpdt
d
qrdt
d
213
132
321
(2)
(2) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí áèðèíúèñèíè 1γ -ÿ, èêèíúèñèíè 2γ -éÿ, ö÷öíú-
öñöíö èñÿ 3γ -ÿ âóðàðàã òîïëàéàã. Îíäà àëìûø îëóðóã:
pqrprqrdt
d
dt
d
dt
d
231312323121
33
22
11
γγγγγγγγγγγγ
γγγγγγ
−+−+−=
=++
Ñàü òÿðÿô åéíèëèêëÿ ñûôûðäûð âÿ îíäà:
033
22
11 =++
dt
d
dt
d
dt
d γγγγγγ .
Àëûíàíû àøàüûäàêû øÿêèëäÿ éàçàã:
0)(2
1 23
22
21 =++ γγγ
dt
d.
Áóðàäàí àëìûø îëóðóã:
const=++ 23
22
21 γγγ . (3)
Áó òðèâèàë áèðèíúè èíòåãðàëëàðûí ñàéúà áèðèíúèñèäèð. Îíà ùÿíäÿñè áèðèíúè èíòåãðàë äåéèëèð. (3) áèðèíúè èíòåãðàëûí ñàáèòè áàøëàíüûú øÿðòëÿð ÿñàñûíäà òÿéèí îëóíóð. ßñëèíäÿ áó èíòåãðàëûí ùÿíäÿñè ìÿíàñû âàð. Áèëäèéèìèç êèìè
321 ,, γγγ âàùèä nr íîðìàëûíûí ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí îõëàðûíà
ïðîéåêñèéàëàðûäûð. Áó âåêòîðóí âàùèä âåêòîð îëäóüóíó áèëÿðÿê, éàçìàã îëàð:
123
22
21
2 =++= γγγnr
. (4)
(4) èëÿ (3)-ö ìöãàéèñÿ åòäèêäÿ (3)-öí áèðèíúè èíòåãðàëûíûí ùÿíäÿñè ìÿíàñû àøêàð ýþðöíöð. Éÿíè áó òðèâèàë èíòåãðàë n
r âåêòîðóíóí óçóíëóüó-
íóí âàùèäÿ áÿðàáÿð îëìàñûíû ýþñòÿðèð.
Èíäè èñÿ (1) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí áèðèíúè òÿíëèéèíè 1γ -ÿ, èêèíúèíè 2γ -
éÿ, ö÷öíúöñöíö 3γ -ÿ âóðàðàã òÿðÿô-òÿðÿôÿ òîïëàéàã:
152
.)()()(
)()(
)(
321213132
32
1321
γγγγγγγγγγγ
γγγγ
pqrpqrP
pqABprCA
qrBCdt
drC
dt
dqB
dt
dpA
−+−+−==−+−+
+−+++
Ñàü òÿðÿôèí ìþòÿðèçÿëÿðèíè à÷àðàã âÿ åéíè èôàäÿëÿðè èñëàù åäÿðÿê, òà-ïûðûã êè, ñàü òÿðÿô åéíèëèêëÿ ñûôûðà áÿðàáÿðäèð. Îíäà ñîë òÿðÿôè àøàüûäàêû êèìè éàçà áèëÿðèê:
.0)()()(
)(
211332
321321
=−+−+−+
+−−−++
pqCrrpBqqrApdt
dCr
dt
dBq
dt
dApCrBqAp
dt
d
γγγγγγ
γγγγγγ
Éàõóä äà:
.0)()(
)()(
213
132
321
321
=
−−−
−−+
+
−−+++
pqdt
dCrrp
dt
dBq
qrdt
dApCrBqAp
dt
d
γγγγγγ
γγγγγγ
Áóðàäà (2) òÿíëèêëÿðèíè íÿçÿðÿ àëàðàã, èêèíúè, ö÷öíúö âÿ äþðäöíúö òîïëà-íàíëàðûí åéíèëÿ áÿðàáÿð îëìàñûíû ýþðÿðèê. Âÿ îíäà àëûíûð êè:
0)( 321 =++ γγγ CrBqApdt
d.
Íÿòèúÿäÿ áóðàäàí
constCrBqAp =++ 321 γγγ . (5)
Áó òðèâèàë áèðèíúè èíòåãðàëëàðûí ñàéúà èêèíúèñèäèð. (5)-ÿ äàõèë îëàí ñàáèò áàøëàíüûú øÿðòëÿð ÿñàñûíäà òÿéèí îëóíóð. Áó áèðèíúè èíòåãðàëûí ôèçèêè ìÿ-íàñû âàð. Áóíó ìöÿééÿí åòìÿê ö÷öí êèíåòèê ìîìåíòèí äÿéèøìÿñè ùàã-ãûíäà òåîðåìè ìöòëÿã êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ éàçàã:
PmomDt
GD0
0r
r
= (6)
âÿ áó èôàäÿíè òÿðïÿíìÿç øàãóëè mZ îõóíà ïðîéåêñèéàëàíäûðàã. Íÿçÿðÿ
àëàðàã êè, nPPrr
−= ãöââÿñè ùÿìèí îõà ïàðàëåëäèð, ýþðÿðèê êè, àüûðëûã
ãöââÿñèíèí øàãóëè mZ îõóíà íÿçÿðÿí ìîìåíòè ñûôûðà áÿðàáÿðäèð:
.0)( 0 =PmomprZm
r Îíäà (6)-íûí ñîë òÿðÿôèíèí mZ îõóíà ïðîéåêñèéàñû
äà ñûôûðà áÿðàáÿðäèð:
153
00 =Dt
DGmZ
.
Áóðàäàí àëûíûð êè, êèíåòèê ìîìåíòèí òÿðïÿíìÿç øàãóëè îõà îëàí ïðîéåê-ñèéàñû äÿéèøìÿçäèð:
constGmZ0 = . (7)
Ùÿìèí ïðîéåêñèéà ö÷öí éàçìàã îëóð:
nGG 0Z0 m
rr⋅= . (8)
Áó èôàäÿíèí ñàü òÿðÿôèíè âóðüó âåêòîðëàðûíûí ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìè îõëàðûíà ïðîéåêñèéàëàðû âàñèòÿñèëÿ èôàäÿ åäÿê. Ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòå-ìèíäÿ
);;(00 CrBqApGGrr
= ,
),,( 321 γγγnnrr = .
Îíäà àëàðûã:
constCrBqApnGGmZ =⋅+⋅+⋅=⋅= 32100 γγγrrr
. (9)
Áó èôàäÿ èñÿ (5) èëÿ öñò-öñòÿ äöøöð. Áåëÿëèêëÿ, (5) òðèâèàë áèðèíúè èíòåãðàëû êèíåòèê ìîìåíò âåêòîðóíóí òÿðïÿíìÿç øàãóëè îõ öçÿðèíÿ ïðîéåêñèéàñû-íûí äÿéèøìÿç îëìàñûíû èôàäÿ åäèð.
Êå÷ÿê ñàéúà ö÷öíúö îëàí áèðèíúè òðèâèàë èíòåãðàëûí àëûíìàñûíà. (1) ñèñòåìèíèí áèðèíúè òÿíëèéèíè ï-éÿ, èêèíúè òÿíëèéèíè ã-éÿ, ö÷öíúöíö
ð-ÿ âóðàðàã òÿðÿô-òÿðÿôÿ òîïëàéàã:
=−+−+−++⋅+⋅ pqrABCABCdt
drCr
dt
dqBqp
dt
dpA )(
)()()( 212332 rxyqzxpyzP cccccc γγγγγγ −+−+⋅−= .
Ñîë òÿðÿôäÿ èñëàù ÿìÿëèééàòûíû, ñàü òÿðÿôäÿ ccc zyx ,, -éÿ ýþðÿ
ãðóïëàøäûðìà àïàðàðàã, éàçà áèëÿðèê:
=+⋅+⋅dt
drCr
dt
dqBqp
dt
dpA
)()()( 123123 qpzpryrqxP ccc γγγγγγ −+−+−= .
Ñîë òÿðÿôè òàì òþðÿìÿ èëÿ èôàäÿ åòìÿêëÿ, ñàü òÿðÿôäÿ èñÿ (2) òÿíëèêëÿðèíè íÿçÿðÿ àëìàãëà, éàçìàã îëàð:
++−=
++
dt
dr
dt
dy
dt
dxPCrBqAp
dt
dccc
321222 )(2
1 γγγ. (10)
154
Ãåéä åäÿê êè, dt
d ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíÿ àèä îëàí òþðÿìÿäèð.
Éÿíè, áó òþðÿìÿéÿ ýþðÿ, ìöâàôèã ôóíêñèéàíûí ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñ-
òåìèíäÿ äÿéèøìÿñè èçëÿíèëèð, äèýÿð òÿðÿôäÿí ccc zyx ,, àüûðëûã ìÿðêÿçè-
íèí ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ êîîðäèíàòëàðûäûð. Áóíëàð äÿéèøìÿçäèð.
0,0,0 ===dt
dz
dt
dy
dt
dx ccc .
Áóíó âÿ constP = îëäóüóíó íÿçÿðÿ àëñàã, (10)-óí ñàü òÿðÿôèíè òàì òþðÿìÿ øÿêëèíäÿ éàçìàã îëàð.
)()(2
1321
222 γγγ ccc zyxPdt
dCrBqAp
dt
d ++−=
++ .
Ñîëà êå÷èðèá éàçàã:
( ) 0)(21
321222 =
+++++ γγγ ccc zyxPCrBqAp
dt
d.
Áóðàäàí òðèâèàë èíòåãðàëëàðûí ñàéúà ö÷öíúöñöíö àëûðûã:
constzyxPCrBqAp ccc =+++++ )()(2
1321
222 γγγ (11)
Ñàáèò — áàøëàíüûú øÿðòëÿð ÿñàñûíäà òàïûëûð. (11) àñûëûëûüûíûí ôèçèêè ìÿíàñû-íû àðàøäûðàã. Áó ìÿíà îíäàí èáàðÿòäèð êè, áó èíòåãðàë òàì ìåõàíèêè åíåðæèíèí äÿéèøìÿìÿñèíè èôàäÿ åäèð, êèíåòèê âÿ ïîòåíñèàë åíåðæèëÿðèí úÿ-ìèíèí çàìàí áîéó åéíè îëìàñûíû ýþñòÿðèð. Êèíåòèê åíåðæèíèí äÿéèøìÿñè òåîðåìèíÿ ÿñàñÿí éàçìàã îëàð:
)()( ie AAdT ∆+∆= . Áÿðê úèñèì äÿéèøìÿç ìåõàíèêè ñèñòåì îëäóüóíà ýþðÿ äàõèëè ãöââÿ-
ëÿðèí ýþðäöéö èø ñûôûðäûð:
0=∆ iA . Îíäà àëûíûð:
)(eAdT ∆= . (12) Áó ùàëäà õàðèúè ãöââÿíèí ýþðäöéö èø ïîòåíñèàë åíåðæè âàùèäè èëÿ èôàäÿ îëóíóð:
dVA e −=∆ )( . (13) Áóðàäàí
0)( =+VTd
âÿ éà constVT =+ . (14)
155
Áàõûëàí òÿðïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí áÿðê úèñèì ö÷öí êèíåìàòèê åíåðæèíèí èôàäÿñèíè àøàüûäàêû êèìè éàçìàã îëàð:
)(21 222 CrBqApT ++= . (15)
Ïîòåíñèàë åíåðæè èñÿ
)()(rP 321 ccccc zyxPrnPV γγγ ++=⋅=−= rrr. (16)
(15) âÿ (16)-íû (14)-äÿ éàçàðàã (14) åíåðæè èíòåãðàëûíûí èôàäÿñèíèí (11) áèðèíúè èíòåãðàëûí èôàäÿñè èëÿ öñò-öñòÿ äöøäöéöíö ýþðöðöê.
Àüûð áÿðê úèñìèí òÿðïÿíìÿç íþãòÿ ÿòðàôûíäà ùÿðÿêÿò òÿíëèêëÿðèíèí èíòåãðàëëàíìàñûíûí Åéëåð õöñóñè ùàëû
Áó ùàëà óéüóí ñàäÿëÿøäèðèúè ôÿðçèééÿ — õàðèúè ãöââÿëÿðèí òÿðïÿíìÿç
íþãòÿéÿ ýþðÿ áàø ìîìåíòèíèí ñûôûðà áÿðàáÿð îëìàñûäûð:
00 =Mr
. (1)
Áó ùàëäà Åéëåðèí êèíåìàòèê âÿ äèíàìèê òÿíëèêëÿðè áèðè-áèðèíäÿí àñûëû îëìàéàí òÿíëèêëÿð ñèñòåìèäèð. Éÿíè ÿââÿë Åéëåðèí äèíàìèê òÿíëèêëÿðè ùÿëë îëóíàðàã ìÿõñóñè áóúàã ñöðÿòè âåêòîðóíóí ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèí-äÿ )(),(),( trtqtp ïðîéåêñèéà ôóíêñèéàëàðû òÿéèí îëóíóð, ñîíðà Åéëåðèí
êèíåìàòèê òÿíëèêëÿðèíäÿí )();();( ttt ϕθψ áóúàã ôóíêñèéàëàðû òàïûëûð.
Áàõäûüûìûç ùàëà óéüóí Åéëåðèí êèíåìàòèê âÿ äèíàìèê òÿíëèêëÿðèíè éà-çàã:
=−+
=−+
=−+
0)(
0)(
0)(
pqABdt
drC
prCAdt
dqB
qrBCdt
dpA
(2)
+=−=
+=
ϕθψϕθϕθψϕθϕθψ
&&
&&
&&
cos
sincossin
cossinsin
r
q
p
(3)
Ùÿðÿêÿòè êåéôèééÿòúÿ òÿùëèë åòìÿê ö÷öí éåíè ñàäÿëÿøäèðèúè ôÿðçèééÿ ãÿáóë åäèëèð (Åéëåð ùàëûíûí õöñóñè ùàëû). Òóòàã êè, úèñèì äèíàìèê ñèì-ìåòðèéàéà ìàëèêäèð. Îíäà ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí ç îõóíó ùÿìèí
156
äèíàìèê ñèììåòðèéà îõó áîéó éþíÿëäÿðÿê éàçìàã îëàð: BA = . (4)
Îíäà (2) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí ö÷öíúöñöíäÿí àëûíûð:
constrr == 0 . (5)
Áóðàéà äàõèë îëàí ñàáèò áàøëàíüûú øÿðòëÿð ÿñàñûíäà òÿéèí îëóíóð. Ìöòëÿã êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ êèíåòèê ìîìåíòèí äÿéèøìÿñè ùàããûíäà òåîðåìè éàçàã.
00 M
Dt
GD rr
= .
(1)-ÿ ÿñàñÿí àëûðûã êè,
constG0Dt
Gd0
0 =⇒=r
r
. (6)
Ìöòëÿã êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ êèíåòèê ìîìåíò âåêòîðóíóí ùÿì èñòèãàìÿòè, ùÿì óçóíëóüó äÿéèøìÿçäèð. Áó ùàëäà ÿâ-
âÿëúÿäÿí ìöòëÿã êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí mZ îõóíó 0Gr
— êèíåòèê ìîìåíò
âåêòîðó áîéó éþíÿëäÿê. Îíäà 0Gr êèíåòèê ìîìåíò âåêòîðóíóí ìÿõñóñè
êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí îõëàðûíà îëàí ïðîéåêñèéàëàðû ö÷öí àøàüûäàêû èôàäÿ-ëÿðè àëìûø îëóðóã:
===
θϕθϕθ
cos
cossin
sinsin
00
0
0
GCr
GAq
GAp
(7)
Áóðàäà
CrGBqGApG ozoyox === ;; .
(5) èôàäÿñèíè (7)-äÿ éåðèíÿ éàçìàã âÿ constG =0 îëäóüóíó íÿçÿðÿ
àëñàã, àëûíûð êè,
const== 0θθ . (8)
Ñàáèò áàøëàíüûú øÿðòëÿðäÿí òàïûëûð. Îíäà
0
00cos
G
Cr=θ . (9)
(8) èôàäÿñèíè (3) âÿ (7)-äÿ íÿçÿðÿ àëàã:
ϕθψ=ϕθψ=
cossinq
sinsinp
0&
& (10)
157
==
ϕθϕθ
cossin
sinsin
00
00
GAq
GAp (11)
(10)-ó (11)-äÿ éàçàðàã, àëìûø îëóðóã:
constA
G === 02ωψ& . (12)
Éÿíè, ïðåñåññèéà ùÿðÿêÿòè 2ω ñàáèò áóúàã ñöðÿòè èëÿ áàø âåðÿí ôûðëàíìà
ùÿðÿêÿòèäèð. (8)-ÿ ÿñàñÿí èñÿ äåìÿê îëàð êè, íóòàñèéà áóúàüû äÿéèøìÿç-äèð. Ïðåñåññèéà áóúàüû (12)-éÿ ÿñàñÿí òÿéèí îëóíóð:
122 Ct += ωψ . (13)
1C ñàáèòè áàøëàíüûú øÿðòëÿð ÿñàñûíäà òÿéèí îëóíóð.
(3) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí ö÷öíúöñöíäÿí ìÿõñóñè ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòèíèí áóúàã ñöðÿòèíè òàïàã:
=−=−== 020001 coscos θωθψϕω rr &&0
0
00 r
A
CA
G
Cr
A
Gr
−=⋅− . (14)
Éÿíè ìÿõñóñè ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòè äÿ ñàáèò 1ω áóúàã ñöðÿòè èëÿ áàø âå-
ðèð. (14)-ÿ ÿñàñÿí ϕ òàïûëûð.
=ϕ 21 Ct +ω . (15)
2C áàøëàíüûú øÿðòëÿð ÿñàñûíäà òàïûëûð. Áå-ëÿëèêëÿ òàì ùÿðÿêÿòè àøàüûäàêû êèìè òÿñâèð åòìÿê îëàð:
1) Úèñèì ç — äèíàìèê ñèììåòðèéà îõó ÿòðàôûíäà −1ω ñàáèò áóúàã ñöðÿòèëÿ ôûðëàíûð.
2) ç — äèíàìèê ñèììåòðèéà îõó îíóíëà êÿñèøÿí âÿ ôÿçàäà òÿðïÿíìÿç îëàí Çì îõó ÿòðàôûíäà −2ω ñàáèò áóúàã ñöðÿòèëÿ ôûðëà-íàðàã ôÿçàäà êîíèê ñÿòù úûçûð.
3) Îõëàðàðàñû θ0 áóúàüû äÿéèøìÿçäèð. Áåëÿ ùÿðÿêÿò ðåãóëéàð ïðåñåññèéà ùÿðÿêÿòè àäëàíûð. Åéëåð ùàëûíûí öìóìè ùàëû. Áó ùàëäà À≠Á≠Ú îëóð. Òóòàã êè,
À>Á>Ú. (16) ,, rqρ ôóíêñèéàëàðûí òÿéèíè àøàüûäàêû ñõåì öçðÿ àïàðûëûð:
1) ßââÿë (2) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíäÿí òðèâèàë áèðèíúè èíòåãðàëëàð òÿéèí îëóíóð. Îíëàð ñàéúà èêèäèðëÿð;
2) Ùÿìèí áèðèíúè èíòåãðàëëàðäàí ï âÿ ð ôóíêñèéàëàðû ã-ôóíêñèéà âàñè-
O
Zm
Z
θ0θ0
2ωr
1ωr
O
Zm
Z
θ0θ0
2ωr
1ωr
158
òÿñèëÿ èôàäÿ îëóíóð; 3) Áó èôàäÿëÿð (2) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí èêèíúèñèíäÿ éåðèíÿ éàçûëàðàã
áó òÿíëèê èíòåãðàëëàíûð. Òÿéèí îëóíàí ã-ôóíêñèéàñû âàñèòÿñèëÿ ï âÿ ð òàïûëûð âÿ (3) òÿíëèêëÿð
ñèñòåìèíäÿ Åéëåðèí −θψϕ ,, áóúàãëàðû òÿéèí îëóíóð.
(2) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí òðèâèàë áèðèíúè èíòåãðàëûíû àëàã. ßââÿë (2) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí áèðèíúèñèíè Àï-éÿ, èêèíúèñèíè Áã-éÿ,
ö÷öíúöñöíö Úð-ÿ âóðóá òîïëàéàã. Îíäà àëìûø îëóðóã:
( ) .0
222
=−+−+−+
+++
ACBCBCABABACdt
darC
dt
daqB
dt
dppA
Áóíëàðû òàì òþðÿìÿ øÿêëèíäÿ éàçàã:
0)( 222222 =++ rCqBpAdt
d.
Áóðàäàí:
constrCqBpA =++ 222222 . (17)
(17)-éÿ äàõèë îëàí ñàáèò áàøëàíüûú øÿðòëÿð ÿñàñûíäà òàïûëûð. (17) áèðèíúè èíòåãðàë êèíåòèê ìîìåíò âåêòîðóíóí ãèéìÿòèíèí äÿéèøìÿç îëäóüóíó èôàäÿ åäèð:
=
==
CrG
BqG
ApG
oz
oy
ox
(18)
2oz
2oy
2ox
20 GGGG ++= (19)
(18)-è (19)-äà éàçäûãäà (17)-èí ñîë òÿðÿôèíè àëìûø îëóðóã, éÿíè:
==++
constG
GrCqBpA
0
20
222222
(20)
Èíäè èñÿ (2) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí áèðèíúèñèíè ï-éÿ, èêèíúèñèíè ã-éÿ, ö÷öíúöñöíö èñÿ ð-ÿ âóðóá, òîïëàéàã:
( ) 0=−+−+−+++ ABCABCpqrdt
drCr
dt
dqBq
dt
dpAp .
Áóðàäà åéíè ùÿäëÿðè èñëàù åäÿðÿê âÿ áèðèíúè ö÷ òîïëàíàíû òàì äèôåðåíñèàë øÿêèëäÿ ýþñòÿðÿðÿê àëàðûã:
159
0)(2
1 222 =
++ CrBqApdt
d.
Îíäà òàïûëûð:
constCrBqAp =++ )(2
1 222 . (21)
Áó áèðèíúè èíòåãðàëûí ôèçèêè ìÿíàñû òàì àøêàðäûð, ÷öíêè ñîë òÿðÿô — òÿð-ïÿíìÿç íþãòÿñè îëàí ìöòëÿã áÿðê úèñìèí êèíåòèê åíåðæèñèíèí èôàäÿñèäèð. Éÿíè (21)-èí áèðèíúè èíòåãðàëû úèñìèí êèíåòèê åíåðæèñèíèí äÿéèøìÿç îë-äóüóíó èôàäÿ åäèð:
)(2
1 222 CrBqApT ++= , (22)
==++
constT
TCrBqAp 2222
(23)
(20) âÿ (23) àñûëûëûãëàðûíäàí ï âÿ ð äÿéèøÿíëÿðèíè ã äÿéèøÿíèëÿ èôàäÿ åäÿê. ßââÿë (22)-íè Ú-éÿ âóðóá (20)-äÿí ÷ûõàã:
( ) ( ) TCGqCBBpCAA 220
22 −=−+− .
Áóðàäàí:
( ) ( ) ( )[ ]220
2 21
qCBBTCGCAA
p −−−−
= (24)
âÿ éàõóä
( )( ) ( )
−
−−
−−= 2
202 q
CBB
TC2G
CAA
CBBp .
Àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿíè ãÿáóë åäÿê:
( )CBB
TC2G202
1 −−=λ . (25)
Îíäà ( )( ) ( )22
12 q
CAA
CBBp −
−−= λ . (26)
Èíäè èñÿ (22)-íè À-éà âóðóá (20)-äÿí ÷ûõñàã, àëàðûã:
( ) ( ) 20
22 GTA2rCACqBAB −=−+− ,
( ) ( ) ( )[ ]220
2 qBABGTA2CAC
1r −−−
−= ,
160
( )( ) ( )
−
−−
−−= 2
202 q
BAB
GTA2
CAC
BABr .
Àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿíè ãÿáóë åòñÿê:
( )BAB
GTA2 202
2 −−=λ , (27)
éàçìàã îëàð: ( )( ) ( )22
22 q
CAC
BABr −λ
−−= . (28)
(26)-íûí âÿ (28)-èí ñîë òÿðÿôëÿðè òàì ìöñáÿò îëäóüóíäàí ñàü òÿðÿô-ëÿðè äÿ ìöñáÿòäèð, îíäà:
≥λ
≥λ22
2
221
q
q (29)
Èíäè èñÿ (26) âÿ (28)-äÿí òÿéèí îëóíàí ï âÿ ð èôàäÿëÿðèíè (2) ñàéëû Åéëåð äèíàìèê òÿíëèéèíèí èêèíúèñèíäÿ éåðèíÿ éàçàã:
( ) 0=−+ prCAdt
dqB .
ï âÿ ð-èí ãàðøûñûíäà îëàí èøàðÿíèí ÿùÿìèééÿòè îëìàäûüû ö÷öí îíëàðû ìöñáÿò ýþòöðÿê:
( )
( )( )
( )( ) ( )( ),22
222
1 qqCAC
CAB
CAA
CBB
B
CAprCA
dt
dq
−−⋅−−⋅
−−×
×−=−−=
λλ
( )( ) ( )( )222
221 qq
AC
BACB
dt
dq −−⋅−−= λλ . (30)
Áóíäàí ñîíðà 21
22 λ≤λ (31)
îëäóüó ùàëà áàõàã âÿ (29)-ó íÿçÿðÿ àëàðàã àøàüûäàêû ÿâÿçëÿìÿíè ãÿáóë åäÿê:
ϕλ sin2=q . (32)
ßêñ ùàëäà 22
21 λλ ≤ îëäóãäà ϕλ= sinq 1 ÿâÿçëÿìÿñèíè àïàðàðäûã. (32)
äÿí àëûíûð êè:
161
22 sin λϕλ ≤=q .
(32) ÿâÿçëÿìÿñèíè (30) äà éåðèíÿ éàçàã:
×−−=AC
BACB
dt
d ))((cos2
ϕϕλ
)sin1()sin( 222
222
21 ϕλϕλλ −⋅−× (33)
Áåëÿ áèð ÿâÿçëÿìÿ àïàðàã:
( )( )
BA
CB
TC2G
GTA2
TC2G
CBB
BAB
GTA2k 2
0
20
20
20
2
1
22
−−⋅
−−=
−−⋅
−−=
λλ= . (34)
Îíäà (33)-ö àøàüûäàêû øÿêèëäÿ éàçìàã îëàð:
( )( ) ϕλλϕλ 22212 sin1 k
AC
BACB
dt
d −⋅−−= . (35)
Àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿíè ãÿáóë åäÿê:
( )( ) ( )( ) =−
−⋅−−=⋅+−=
)(
220
1 CBB
TCG
AC
BACB
AC
BACB λη
( )( )ABC
TGBB 220 −−= . (36)
Îíäà (35) àøàüûäàêû øÿêëÿ äöøÿð:
ϕϕη
22 sin11
kdt
d −=⋅ . (37)
Þë÷öñöç çàìàí tη=τ (38)
äàõèë åäÿê. Îíäà (37) òÿíëèéè áåëÿ îëàúàã:
ϕϕ 22 sin1 kdt
d −= . (39)
Áóíó èíòåãðàëëàéàðàã, òàïàðûã:
∫ −=
ϕ
ϕξτ
022 sin1 k
d. (40)
(40) äöñòóðóíóí ñàü òÿðÿôè Éàêîáóí áèðèíúè íþâ åëëèïòèê èíòåãðàëûäûð. (40) ôóíêñèéàñûíà óéüóí îëàí òÿðñ ôóíêñèéàéà
τϕ am= (41)
τ -óí àìïëèòóäó äåéèëèð. Òÿáèè êè, áó ôóíêñèéà ïåðèîäèê ôóíêñèéàäûð. Áå-
162
ëÿëèêëÿ, (41)-ÿ ÿñàñÿí ñîí äàõèë åòäèéèìèç ϕ-ôóíêñèéàñû, −τ þë÷öñöç çàìàíûí àìïëèòóä ôóíêñèéàñûäûð. (41)-ÿ ÿñàñëàíàðàã ìÿúùóë ï, ã, ð ôóí-êñèéàëàðûíû òàïàã. ßââÿë (41)-è (31)-äÿ éåðèíÿ éàçàðàã, àëìûø îëóðóã:
)sin(sin 22 τλϕλ amq ==
τλ snq 1= . (42)
Áóðàäà )sin( ττ amsn = -éà åëëèïòèê ñèíóñ äåéèëèð.
τ2220 sin1
)(2
)()(
kCBB
TCG
CAA
CBBp −⋅
−−⋅
−−= ,
ττ 2221 dnsnk =− ,
τdnCAA
TCGp
)(
220
−−
= (43)
( )( )
( )( ) ττλ cn
BAB
GTA
CAC
BABsn
CAC
BABr
−−
⋅−−=−⋅
−−=
202
2
2
)(1
( ) τ−−= cn
CAC
GTA2r
20 . (44)
Áóðàäà úíτ — åëëèïòèê êîñèíóñ àäëàíûð. Áåëÿëèêëÿ, ï, ã, ð äÿéèøÿíëÿðè (42), (43) âÿ (44) äöñòóðëàðû ÿñàñûíäà òÿéèí îëóíóð.
Èíäè èñÿ êå÷ÿê Åéëåð áóúàãëàðûíûí òÿéèíèíÿ. Áóíóí ö÷öí êèíåòèê ìî-ìåíòèí äÿéèøìÿñè ùàããûíäà òåîðåìèí ìöòëÿã êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ îëàí èôàäÿñèíÿ
000 == M
Dt
GD rr
ÿñàñÿí àëìûø îëóðóã:
constG0 =r
. (45)
−0Gr
êèíåòèê ìîìåíòèí âåêòîðó äÿéèøìÿçäèð.
Îíäà ùÿì÷èíèí áó âåêòîðóí ìöòëÿã ôÿçàäà èñòèãàìÿòè äÿéèøìÿçäèð.
Áóíäàí èñòèôàäÿ åäÿðÿê ÿââÿëäÿí ìöòëÿã êîîðäèíàò îõóíóí mZ — îõó-
íó áó 0Gr âåêòîðóí èñòèãàìÿòè áîéó éþíÿëäÿê. Îíäà êèíåòèê ìîìåíò
âåêòîðóíóí ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíèí îõëàðûíà ïðîéåêñèéàëàðû àøàüû-äàêû êèìè éàçûëàúàã:
163
===
θϕθϕθ
cos
cossin
sinsin
0
0
0
GCr
GBq
GAp
(46)
áóðàäà ï, ã, ð ôóíêñèéàëàðû ìÿëóìäóð âÿ îíëàð (42), (43), (44) øÿêèëäÿ òÿéèí îëóíóð. Ìÿúùóë θ-ôóíêñèéàñûíû (46)-íûí ö÷öíúö äöñòóðóíäàí òàïû-ðûã:
0
cosG
Cr=θ . (47)
(46)-ûí áèðèíúè âÿ èêèíúè òÿíëèêëÿðèíè òÿðÿô-òÿðÿôÿ áþëÿðÿê ϕ-òÿíëèéè ö÷öí äöñòóð àëìûø îëóðóã:
Bq
Aptg =ϕ . (48)
Ñîíäàêû −ψ ôóíêñèéàñûíû Åéëåðèí êèíåìàòèê òÿíëèêëÿðè ÿñàñûíäà òàïûðûã:
+=−=
+=
ϕθψϕθϕθψϕθϕθψ
&&
&&
&&
cos
sincossin
cossinsin
r
q
p
(49)
Áèðèíúè òÿíëèéè ñèí ϕ-éÿ, èêèíúèñèíè úîñϕ-éÿ âóðóá òÿðÿô-òÿðÿôÿ òîï-ëàéàã:
θψϕϕ sinsinsin &=+ qp .
Áóðàäàí
θϕϕψ
sin
cossin qp +=& . (50)
(46)-äàí ñèíϕ âÿ úîñφ-íè òàïàðàã (50)-äÿ éåðèíÿ éàçàã:
θψ
220
22
sinG
BqAp +=& . (51)
Èíäè èñÿ (46)-ûí ö÷öíúö òÿíëèéèíè −=20
222cos
G
rCθ øÿêëèíäÿ éàçàã.
Áóðàäàí àëûðûã:
=−=−=−=20
2220
20
2222 1cos1sin
G
rCG
G
rCθϕ
164
20
2222
20
22222222 )(
G
qBpA
G
rCrCqBpA +=−++= . (52)
(52)-íè (51)-äÿ éåðèíÿ éàçàðàã, òàïìûø îëàðûã:
2222
22
0 qBpA
BqApG
++=ψ& . (53)
Áóðàäàí àäè èíòåãðàëëàìà èëÿ −ψ ôóíêñèéàñû òàïûëûð.
Òÿðïÿíìÿç íþãòÿ ÿòðàôûíäà ôûðëàíàí áÿðê úèñìèí ùÿðÿêÿò òÿíëèêëÿðèíèí áèðèíúè èíòåãðàëëàðûíûí ñàéúà äþðäöíúöíöí
òÿéèí îëóíìàñûíûí õöñóñè ùàëëàðû Åéëåðèí õöñóñè ùàëû áóíäàí ÿââÿë òàì àðàøäûðûëûðìûøäû. Ëàãðàíæûí
õöñóñè ùàëû: À=Á âÿ õú=éú=0 îëàí ùàëäà Åéëåðèí äèíàìèê òÿíëèêëÿðèíèí
ö÷öíúöñöíäÿí 0=dt
dr àëìûø îëóðóã. Áóðàäàí òàïûëûð êè,
constrr == 0 . (54)
Ñîíðàêû èíòåãðàëëàíìà ùÿëëè õöñóñè ôóíêñèéàëàð âàñèòÿñèëÿ èôàäÿ åäèð. Ñîôéà-Êîâàëåâñêàéà ùàëû
CBA 2== , (55)
0=cz (56)
âÿ ÿëàâÿ îëàðàã õ — ìÿõñóñè êîîðäèíàò îõóíóí àüûðëûã ìÿðêÿçèíäÿí êå-÷äèéèíè ùåñàá åäÿðÿê
0=cy (57)
ôÿðçèééÿëÿð ÷ÿð÷èâÿñèíäÿ àëûíûð. Åéëåðèí äèíàìèê òÿíëèêëÿðèíèí áèðèíúè èêè òÿíëèéèíè àøàüûäàêû øÿêèëäÿ éàçûëûð:
=+
=−
cxPCprdt
dqC
Cqrdt
dpC
32
02
γ (58)
Áóðàäà òÿíëèêëÿðèí ùÿð èêè òÿðÿôèíè Ú-éÿ áþëÿê âÿ
C
Pxn c= (59)
èøàðÿëÿìÿñèíè ãÿáóë åäÿê, îíäà àëìûø îëóðóã:
165
=+
=−
32
02
γnprdt
dq
qrdt
dp
(60)
Áó òÿíëèêëÿðÿ öìóìè òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí àøàüûäàêû òÿíëèêëÿðèíè ÿëàâÿ åäÿê:
γ−γ=γ
γ−γ=γ
rpdt
d
qrdt
d
132
321
(61)
(60) òÿíëèéèíèí èêèíúèñèíè è-éÿ âóðàã ( 12 −=i ) âÿ áèðèíúè òÿíëèêëÿ òÿ-ðÿô-òÿôÿðÿ òîïëàéàðàã. Ùÿì÷èíèí (61) ñèñòåìèíèí èêèíúè òÿíëèéèíè è-éÿ âóðóá áèðèíúè èëÿ òîïëàéàã:
( )
+−+−=+
=+−++
)()(
)()(
2
31221
3
ipqirdt
id
inipprdt
iqpd
γγγγγ
γ
Áóíëàðû àøàüûäàêû êèìè äÿ éàçìàã îëàð:
( )
+++−=+
=+++
)()(
)()(
2
32121
3
iqpiiirdt
id
iniqpirdt
iqpd
γγγγγ
γ
Àëûíàí ñèñòåìèí áèðèíúè òÿíëèéèíè ï+èã-éÿ, èêèíúèñèíè (-í)-ÿ âóðàðàã, òÿðÿô-òÿðÿôÿ òîïëàéàã, îíäà àëàðûã:
( ) )()(
)()(
2 21212 γγγγ
iirndt
idniqpir
dt
iqpdiqp +=+−++++
âÿ éàõóä
[ ] [ ])()()()( 212
212 γγγγ iniqpiriniqp
dt
d +−+−=+−+ (62)
Áåëÿ áèð èøàðÿëÿìÿíè ãÿáóë åäÿê:
)()( 212 γγ iniqp +−+=Ω . (63)
Îíäà (62)-è àøàüûäàêû øÿêëÿ äöøöð:
166
Ω−=Ωir
dt
d,
irdt
d1 −=ΩΩ
,
( ) irdt
d −=Ωln . (64)
Ñàü òÿðÿô òàì õÿéàëè èôàäÿ îëóíäóüóíà ýþðÿ ñîë òÿðÿô òàì õÿéàëè èôà-äÿäèð, éÿíè ñîë òÿðÿôèí ùÿãèãè ùèññÿñè ñûôûðà áÿðàáÿð îëóð:
0ln
Re =Ωdt
d,
Ω+Ω=Ω arglnln i .
Îíäà
( ) 0ln =Ωdt
d,
constln =Ω ,
const=Ω . (65)
(63)-äÿí èñòèôàäÿ åäÿðÿê (65)-è àøêàð øÿêèëäÿ éàçàã:
constnpqnqp =−+−− 22
21
22 )2()( γγ . (66)
Áó èôàäÿ Ñ. Êîâåëåâñêàéà òÿðÿôèíäÿí àëûíàí ñàéúà äþðäöíúö îëàí áèðèíúè èíòåãðàëäûð.
Ùèðîñêîïëàð íÿçÿðèééÿñèíèí öìóìè òÿíëèéè Òÿðïÿíìÿç íþãòÿ ÿòðàôûíäà àüûð áÿðê úèñìèí ùÿðÿêÿòèíè þéðÿíÿðêÿí
ìÿëóì îëìóøäóð êè, õàðèúè ãöââÿëÿðèí òÿðïÿíìÿç íþãòÿéÿ ýþðÿ áàø ìîìåíòè ñûôûðà áÿðàáÿð îëàðñà âÿ úèñèì ùÿìèí òÿðïÿíìÿç íþãòÿäÿí êå-÷ÿí äèíàìèê ñèììåòðèéà îõóíà ìàëèêäèðñÿ, îíäà ùÿðÿêÿò ðåãóëéàð ïðå-ñåññèéà ùÿðÿêÿòè îëàúàã. Éÿíè ìÿõñóñè ôûðëàíìà ùÿðÿêÿòèíèí áóúàã
ñöðÿòè const== ϕω &1 ñàáèòäèð. Äèýÿð òÿðÿôäÿí ïðåñåññèéà ôûðëàíìà ùÿ-
ðÿêÿòèíèí áóúàã ñöðÿòè äÿ const==ψω &2 ñàáèòäèð âÿ íóòàñèéà áóúàüû
äÿéèøìÿçäèð:
const== 0θθ .
167
Áåëÿ áèð ñóàëà úàâàá àõòàðàã: ùàíñû ñûôûðäàí ôÿðãëè îëàí áàø ìîìåíò ö÷öí ðåãóëéàð ïðåñåññèéà ùÿðÿêÿòè ìöìêöíäöð?
Áóíóí ö÷öí éóõàðûäà ãåéä îëóíàí øÿðòëÿðè Åéëåðèí äèíàìèê âÿ êèíå-ìàòèê òÿíëèêëÿðèíäÿ íÿçÿðÿ àëàã. ßââÿëúÿ Åéëåðèí êèíåìàòèê òÿíëèêëÿðè-íÿ ìöðàúèÿò åäÿê:
+=−=
+=
ϕθψϕθϕθψϕθϕθψ
&&
&&
&&
cos
sincossin
cossinsin
r
q
p
(1)
Áó òÿíëèêëÿð ðåãóëéàð ïðåñåññèéà ùÿðÿêÿòè ö÷öí àøàüûäàêû øÿêèëäÿ îëóð:
+===
1020
02
02
cos
cossin
sinsin
ωθωϕθωϕθω
r
q
p
(2)
Áó èôàäÿëÿðè Åéëåðèí äèíàìèê òÿíëèêëÿðèíäÿ éåðèíÿ éàçàðàã, áàø ìîìåí-òèí ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ ïðîéåêñèéàëàðû ö÷öí ìöâàôèã èôàäÿëÿð àëìûø îëóðóã. Áèðèíúè òÿíëèêäÿí òàïûëûð:
=+−+
+=−+=
)cos(cossin)(
cossin)(
10202
012
ωθωϕθω
ϕθωω
AC
AqrACdt
dpAM ox
021 sinθωωC=
⋅−+⋅ 0
1
2 cos1cos θωωϕ
C
AC. (3)
Åéëåðèí äèíàìèê òÿíëèêëÿðèíèí èêèíúèñèíäÿí òàïûëûð:
=+−+
+−=−+=
)cos(sinsin)(
sinsin)(
10202
012
ωθωϕθω
ϕθωω
CA
AprACdt
dqAM oy
−+−= 01
2021 cos1sinsin θ
ωωϕθωω
C
ACC . (4)
Âÿ íÿùàéÿò Åéëåðèí äèíàìèê òÿíëèêëÿðèíèí ö÷öíúöñöíäÿí òàïûðûã êè:
00 ==dt
drCM oz . (5)
Áåëÿëèêëÿ,
168
=
−+−=
−+=
0
cos1sinsin
cos1cossin
01
2021
01
2021
oz
oy
ox
M
C
ACCM
C
ACCM
θωωϕθωω
θωωϕθωω
(6)
(3), (4) âÿ (5) èôàäÿëÿðè ÿñàñûíäà áàø ìîìåíòè áèð âåêòîð áÿðàáÿðëèéè èëÿ èôàäÿ åòìÿê îëàð.
Ìÿëóìäóð êè, ìÿõñóñè êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ 1ωr
âÿ 2ωr
âåêòîðëàðû
àøàüûäàêû ïðîéåêñèéàëàðà ìàëèêäèðëÿð:
)cos;cossin;sinsin(
);0;0(
0202022
11
θωϕθωϕθωωωω
r
r
Îíäà ( 2ωr × 1ωr ) âåêòîð ùàñèëèíèí ïðîéåêñèéàëàðû ö÷öí (7)-éÿ ÿñàñÿí
àøàüûäàêû èôàäÿëÿðè àëìûø îëóðóã.
=×
−=×=×
0)(
sinsin)(
cossin)(
12
02112
02112
z
y
x
ωωϕθωωωω
ϕθωωωω
rr
rr
rr
(8)
(8)-è (6)-äà èñòèôàäÿ åòñÿê, (6)-íû àøàüûäàêû êèìè éàçìàã îëàð:
⋅−+×=
⋅−+×=
⋅−+×=
01
212
01
212
01
212
cos1)(
cos1)(
cos1)(
θωωωω
θωωωω
θωωωω
C
ACCM
C
ACCM
C
ACCM
zoz
yoy
xox
vr
rr
rr
(9)
Áåëÿëèêëÿ ðåãóëéàð ïðîñåññèéà ùÿðÿêÿòè àøàüûäàêû äöñòóð èëÿ ìöÿééÿí îëóíàí ñûôûðäàí ôÿðãëè îëàí õàðèúè ãöââÿëÿð ñèñòåìèíèí áàø ìîìåíòèíèí òÿñèðè àëòûíäà áàø âåðÿ áèëÿð:
169
⋅−+×= 0
1
212 cos1)( θ
ωωωω
C
ACCM o
rrr.
Áó òÿíëèê ùèðîñêîïëàð íÿçÿðèééÿñèíèí ÿñàñ òÿíëèéèäèð.
Ùèðîñêîïëàðûí åëåìåíòàð íÿçÿðèééÿñè Ùèðîñêîïëàðûí åëåìåíòàð, éà äà òåõíèêè íÿçÿðèééÿñè àøàüûäàêû ôÿð-
çèééÿ öçÿðèíäÿ ãóðóëóð:
11
2 <<ωω
. (1)
Áó ôÿðçèééÿéÿ ÿñàñÿí ùèðîñêîïëàðûí ÿñàñ òÿíëèéèíäÿ
⋅−+×= 0
1
212 cos1)( θ
ωωωω
C
ACCM o
rrr (2)
ìþòÿðèçÿäÿêè èêèíúè òîïëàíàíû íÿçÿðÿ àëìàìàã îëàð. Îíäà àëûíûð:
)( 12 ωω rrr×= CM o . (3)
(1)-ÿ ÿñàñÿí êèíåòèê ìîìåíò âåêòîðó ö÷öí éàçìàã îëàð:
1o CG ω⋅=rr
. (4)
(4)-ö (3)-äÿ éåðèíÿ éàçñàã, àëìûø îëóðóã.
)( 20 oGMrrr
×= ω . (5)
(4)-ÿ ÿñàñÿí àëûíûð êè, êèíåòèê ìîìåíò âåêòîðó úèñìèí ñèììåòðèéà
îõó — ôûðëàíìà îõó áîéó éþíÿëèð. 0Gr êèíåòèê ìîìåíòèí A óú íþãòÿñè-
íèí ñöðÿòè ö÷öí Åéëåðèí äöñòóðóíó éàçàã.
)( 2 OAA ×= ωυ rr. (6)
Áóðàäà
0GOAr
= (7)
îëäóüóíà ýþðÿ (6)-äàí àëìûø îëóðóã:
)( 02 GA
rrr ×= ωυ . (8)
Îíäà (5)-äÿí àëûíûð.
A0M υ=rr
(9)
Áó äöñòóð — Ðåçàë äöñòóðó àäëàíûð. Éÿíè òÿðïÿíìÿç íþãòÿéÿ ýþðÿ áàø ìîìåíò âåêòîðó ãèéìÿòúÿ âÿ èñòèãàìÿòúÿ ôûðëàíìà îõó öçÿðèíäÿ éåðëÿ-øÿí êèíåòèê ìîìåíò âåêòîðóíóí óú íþãòÿñèíèí ñöðÿò âåêòîðóíà áÿðàáÿð-
A
170
äèð. Áó äöñòóðà ÿñàñÿí àëûíàí ùèðîñêîïëàðûí òåõíèêàäà èñòèôàäÿ îëóíàí ö÷
õöñóñèééÿòèíè ãåéä åäÿê: 1. Ôûðëàíìà îõóíóí ÿòàëÿòñèçëèéè; 2. Ôûðëàíìà îõóíà ùÿð ùàíñû áèð ãöââÿ òÿòáèã îëóíàðñà, áó îõóí ùÿ-
ðÿêÿò èñòèãàìÿòè ãöââÿ èñòèãàìÿòèíäÿ éîõ, îíà ïåðïåíäèêóëéàð èñòèãà-ìÿòèíäÿ îëóð. 3. Ôûðëàíìà îõóíà çÿðáÿ åíäèðèëäèêäÿ, ôûðëàíìà îõóíóí òóòäóüó ôÿçà
âÿçèééÿòè ïðàêòèêè äÿéèøìÿçäèð. Áó ö÷ õöñóñèééÿòèí îëìàñûíû ýþñòÿðÿê.
Û õöñóñèééÿò: Õàðèúè ãöââÿíèí òÿñèðè áèòÿí àíäà 00 =M îëóð. Âÿ
ùÿìèí àíäà (9)-à ÿñàñÿí 0=Aυr îëóð. Éÿíè ùÿìèí àí ôûðëàíìà îõó
äàéàíûð. Áó äà ôûðëàíìà îõóíóí ÿòàëÿòñèçëèéèíè ýþñòÿðèð.
ÛÛ õöñóñèééÿò: Òóòàã êè, ôûðëàíìà îõóíà Fr ãöââÿñè òÿñèð åäèð. Áó
ãöââÿíèí òÿðïÿíìÿç îõà ýþðÿ 0Mr
ìîìåíòè ãöââÿ ìöñòÿâèñèíÿ ïåð-
ïåíäèêóëéàðäûð. (9)-à ÿñàñÿí A íþãòÿñèíèí ñöðÿòè ùÿìèí
ìöñòÿâèéÿ, Fr-ÿ ïåðïåíäèêóëéàðäûð. Îõóí áèð íþãòÿñè òÿð-
ïÿíìÿç îëäóüóíà ýþðÿ äèýÿð A íþãòÿñèíèí ñöðÿòè îõóí ùÿðÿêÿò èñòèãàìÿòèíè ìöÿééÿí åäèð. Áåëÿëèêëÿ îõóí ùÿðÿ-êÿò èñòèãàìÿòè ãöââÿ ìöñòÿâèñèíÿ ïåðåïåíäèêóëéàðäûð. ÛÛÛ õöñóñèééÿò: ßââÿë çÿðáÿ ãöââÿñèíèí òÿðèôèíè âåðÿê.
Ãöââÿ çÿðáÿ ãöââÿñè àäëàíûð, ÿýÿð: à) îíóí ãèéìÿòè êèôàéÿò ãÿäÿð áþéöêäöð: 1>>F . á) îíóí τ òÿñèð ìöääÿòè êèôàéÿò ãÿäÿð êè÷èêäèð: 1<<τ ú) ãöââÿíèí èìïóëñó ñîíëóäóð: τ⋅F ∼0. À íþãòÿñèíèí éåðäÿéèøìÿñè τυAAA =' îëàúàã. Áóðàäà (9)-ó íÿçÿðÿ
àëñàã, ;' 0 τ⋅= MAA hFM ⋅=0 âÿ îíäà
τ⋅⋅= hFAA' . (10)
Äèýÿð òÿðÿôäÿí øÿêëÿ ÿñàñÿí 'OAA∆ öñáóúàüûíäàí òàïìûø îëóðóã:
αtgOAAA ⋅=' .
Áóðàäà (7) âÿ (4)-ö íÿçÿðÿ àëñàã, íÿòèúÿäÿ éàçà áèëÿðèê:
αωα tgCtgGAA 10' == (11)
171
(10) èëÿ (11)-è áÿðàáÿðëÿøäèðÿê. Áó áÿðàáÿðëèêäÿí àëûíûð êè,
ταω ⋅= FhtgC 1 .
Áóðàäàí
1ωτα
C
hFtg
⋅⋅= .
Áóíó àøàüûäàêû øÿêèëäÿ äÿ éàçìàã îëàð:
1
)(ωτα
C
hFtg
⋅⋅= . (12)
Áó äöñòóðäàí ýþðöíöð êè, ìÿõñóñè áóúàã ñöðÿòèíè êèôàéÿò ãÿäÿð àðòûð-ìàãëà α -íû ñîíñóç êè÷èê áóúàã ùÿääèíÿ ãÿäÿð ÷àòäûðìàã îëàð:
11 >>ω , (13)
1)(
1
<<⋅=ωτα
C
hF. (14)
Áó èñÿ ôûðëàíìà îõóíóí âÿçèééÿòèíèí ïðàêòèêè äÿéèøäèðèëìÿìÿñèíè ýþ-ñòÿðèð.
Ùèðîñêîïèê ãöââÿ, ùèðîñêîïèê ìîìåíò ßýÿð ãöââÿíèí ùÿð àí ýþðäöéö èø ñûôûðà áÿðàáÿð îëàðñà, áåëÿ ãöââÿ
ùèðîñêîïèê ãöââÿ àäëàíûð. (3) èëÿ ìöÿééÿí îëóíàí õàðèúè ãöââÿëÿðèí áàø ìîìåíòèíèí òÿñèðè àëòûíäà ùèðîñêîï ðåãóëéàð ïðåñåññèéà ùÿðÿêÿòè åòìÿê-äÿäèð. Ðåàëëûãäà áó ïðåñåññèéà ùÿðÿêÿòèíÿ úèñìè ìÿúáóð åäÿí äèýÿð úè-ñèì — äàéàã òÿðÿôèíäÿí éàðàíàí áàø ìîìåíò (3) äöñòóðó èëÿ èôàäÿ îëó-íóð. Îíäà Íéóòîíóí ö÷öíúö ãàíóíóíà ÿñàñÿí ùèðîñêîï òÿðÿôèíäÿí äàé-àüà òÿñèð åäÿí áàø ìîìåíò îëàúàã:
)( 120 ωω rrrr×−=−= CMM gir ,
)( 21 ωω rrr×= CM gir . (15)
Áóíà ùèðîñêîïèê ìîìåíò äåéèëèð.
Ìåõàíèêè ñèñòåìèí äèíàìèêàñû. Äàëàìáåð-Ëàãðàíæ òåîðåìè
Äàëàìáåð-Ëàãðàíæ òåîðåìè ìåõàíèêàíûí ÿñàñ òåîðåìëÿðèíäÿí âÿ äè-
ôåðåíñèàë âàðèàñèéà ïðèíñèïëÿðäÿí áèðèäèð. Âàðèàñèéà ïðèíñèïè êèìè áó òåî-ðåì àøàüûäàêû êèìè èôàäÿ îëóíóð: öçÿðèíÿ èäåàë, áóðàõìàéàí ðàáèòÿëÿð ãîéóëìóø ìåõàíèêè ñèñòåìèí ùÿãèãè ùÿðÿêÿòè, ãîéóëìóø ðàáèòÿëÿðè ïîç-
172
ìàéàí äèýÿð ìöìêöí ùÿðÿêÿòëÿðäÿí îíóíëà ñå÷èëèð êè, àíúàã âÿ àíúàã ùÿãèãè ùÿðÿêÿò ö÷öí ìåõàíèêè ñèñòåìÿ òÿñèð åäÿí õàðèúè âÿ ÿòàëÿò ãöââÿ-ëÿðèíèí îíëàðûí òÿòáèã íþãòÿëÿðèíèí ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿðèíäÿ ýþðäöéö èø ñûôûðà áÿðàáÿðäèð:
0)(1
=−∑=
n
kkkkk rWmF δ , (1)
Áóðàäà nkkF,1
=
r — õàðèúè ãöââÿëÿð ñèñòåìè, kkk WmJ −= — ÿòàëÿò
ãöââÿëÿðè, krrδ — ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿðäèð.
Èñáàòû. Çÿðóðèëèê. Òóòàã êè, kNr
ðàáèòÿ ðåàêñèéàëàðûäûð. Èäåàë ðàáèòÿ
ö÷öí àøàüûäàêû àñûëûëûã äîüðóäóð:
01
=∑=
n
k
kk rN δ — áóðàõìàéàí ðàáèòÿëÿð ö÷öí, (1)
01
≥∑=
n
kkk rNrδ — áóðàõàí ðàáèòÿëÿð ö÷öí. (2)
Èíäè èñÿ ìåõàíèêè ñèñòåìèí èõòèéàðè íþãòÿñè ö÷öí ùÿãèãè ùÿðÿêÿòÿ óéüóí îëàí Íéóòîíóí èêèíúè ãàíóíóíó éàçàã:
kkkk NFWm += . (3)
(3)-ö àøàüûäàêû êèìè éàçàã:
kkkk NWmF −=− . (4)
Áó àñûëûëûüûí ùÿð èêè òÿðÿôèíè ñêàëéàð âèðòóàë krrδ éåðäÿéèøìÿñèíÿ âóðàã
âÿ úÿìëÿéÿê:
∑∑==
⋅−=−n
kkk
n
kkkkk rNrWmF
11
)(rr δδ . (5)
(1) âÿ (2) øÿðòëÿðèíè (5)-äÿ éåðèíÿ éàçìàãëà àëàðûã:
0)(1
=−∑=
n
kkkk rWmFrδ — áóðàõìàéàí ðàáèòÿëÿð ö÷öí, (6)
0)(1
≤−∑=
n
kkkk rWmFrδ — áóðàõàí ðàáèòÿëÿð ö÷öí. (7)
Êàôèëèéèí èñáàòû: Áó èñáàòû áóðàõìàéàí ðàáèòÿëÿð ö÷öí àïàðàã. Òóòàã êè, (6) øÿðòè þäÿíèëèð âÿ ðàáèòÿëÿð èäåàë, áóðàõìàéàíäûð. Éÿíè ðàáèòÿëÿð ö÷öí (1) øÿðòè þäÿíèëèð. (1) øÿðòèíè (6)-éà ÿëàâÿ åòìÿêëÿ àëûðûã:
173
0)(1
=⋅+−∑=
n
kkkkk rNWmFrr
δ . (8)
Òóòàã êè, ðàáèòÿëÿð ùÿíäÿñè ðàáèòÿëÿðäèð. Îíäà áöòöí âèðòóàë éåðäÿé-èøìÿëÿð áèðè-áèðèíäÿí àñûëû äåéèëëÿð âÿ (8)-èí ÿìñàëëàðû åéíèëÿ ñûôûðà áÿ-ðàáÿð îëìàëûäûðëàð. Áóðàäàí (3) òÿíëèêëÿðè àëûíûð. Áóíëàð ùÿãèãè ùÿðÿêÿòÿ óéüóí îëàí ùÿðÿêÿò òÿíëèêëÿðèäèð.
Ëàãðàíæûí áèðèíúè íþâ òÿíëèêëÿðè Òóòàã êè, ìåõàíèêè ñèñòåìèí öçÿðèíÿ ï ñàéäà ùÿíäÿñè, áóðàõìàéàí
âÿ Ñ ñàéäà êèíåìàòèê, ñöðÿòëÿðÿ ýþðÿ õÿòòè, áóðàõìàéàí ðàáèòÿëÿð ãîé-óëìóøäóð. Ãÿáóë åäÿê êè, áöòöí ðàáèòÿëÿð èäåàëäûð. Ãåéä îëóíàí ðàáèòÿ-ëÿðèí òÿíëèêëÿðè àøàüûäàêû êèìè éàçûëûð:
____
,1,0);( pitrf ki ==r, (1)
____
1)0()( ,1, siaa
N
jijij =+∑
=
rrr υ . (2)
Áóðàäà −)()( , ioij aarr
ìÿëóì âåêòîðëàðäûð.
(1) âÿ (2) ðàáèòÿ øÿðòëÿðèíèí Äåêàðò êîîðäèíàò ñèñòåìèíäÿ âàðèàñèéà-ñûíû àëàã:
∑=
=
∂∂+
∂∂+
∂∂N
kk
k
ik
k
ik
k
i zz
fy
y
fx
x
f
1
0δδδ , (3)
( )∑=
=++N
kkkikkikki zayaxa
zyx1
),(),(),( 0δδδ . (4)
Äàëàìáåð-Ëàãðàíæ òåîðåìèíèí èôàäÿñèíè éàçàã:
0)(1
=−∑=
n
kkkkk rWmFrδ (5)
âÿ éà ïðîéåêñèéàëàðà êå÷ñÿê, àëàðûã:
0)()()(1
=−+−+−∑=
kkkkzkkkky
n
kkkkkx zzxmFyymFxxmF δδδ &&&&&& . (6)
Àøàüûäà, ùÿëÿëèê íàìÿëóì îëàí, ôóíêñèéàëàðû äàõèë åäÿê:
pktkk ,1);( == λλ , (7)
sktkk ,1);( == µµ . (8)
174
(3) àñûëûëûüûíû iλ -ÿ âÿ (4) àñûëûëûãëàðûíû iµ -ÿ âóðóá úÿìëÿéÿê. Àëû-
íàíëàðû (6) èëÿ òîïëàéàã âÿ kkk zyx δδδ ,, -éà ýþðÿ ãðóïëàøäûðàã. Íÿòèúÿ-
äÿ àëàðûã:
+
+
∂∂+−+
+
+
∂∂+−
∑∑
∑ ∑∑
==
= ==
k
s
iiki
p
i k
iikkky
N
kk
s
iiki
p
i k
iikkkx
yay
fymF
xax
fxmF
y
x
δµλ
δµλ
1)(
1
1 1)(
1
&&
&&
01
)(1
=
+
∂∂+−+ ∑∑
==k
s
iiki
p
i k
iikkkz za
z
fzmF
zδµλ&& . (9)
3Í ñàéäà kkk zyx δδδ ,, nk ,1= âàðèàñèéàëàðû àðàñûíäà ï+ñ ñàéäà (3)
âÿ (4) àñûëûëûãëàðû âàð. Áó î äåìÿêäèð êè, kkk zyx δδδ ,, àðàñûíäà àíúàã
3Í-(Ï+Ñ) ñàéäà àñûëû îëìàéàí âàðèàñèéà âàð. Äèýÿð Ï+Ñ ñàéäà âàðèàñèéà èñÿ îíëàðëà èôàäÿ îëóíà áèëÿð. Èíäèéÿ ãÿäÿð íàìÿëóì îëàí kk µλ , — ôóí-
êñèéàëàðûíû åëÿ ñå÷ÿê êè, ùÿìèí (Ï+Ñ) ñàéäà àñûëû îëàí âàðèàñèéàíûí ÿì-ñàëëàðû ñûôûðà áÿðàáÿð îëñóí. Îíäà (9) èôàäÿñèíäÿ àíúàã àñûëû îëìàéàí âàðèàñèéàëàð ãàëàúàã âÿ îíëàðûí ÿìñàëëàðû äà çÿðóðè îëàðàã ñûôûðà áÿðàáÿð îëìàëûäûðëàð. Áåëÿëèêëÿ àøàüûäàêû ö÷ òÿíëèéè àëìûø îëóðóã:
.
,
,
1)(
1
1)(
1
1)(
1
∑∑
∑∑
∑∑
==
==
==
+∂∂+=
+∂∂+=
+∂∂+=
s
iiki
p
i k
iikzkk
s
iiki
p
i k
iikykk
s
iiki
p
i k
iikxkk
z
y
x
az
fFzm
ay
fFym
ax
fFxm
µλ
µλ
µλ
&&
&&
&&
(11)
Áó òÿíëèêëÿð Ëàãðàíæûí áèðèíúè íþâ òÿíëèêëÿðè àäëàíûð. Áó òÿíëèêëÿðèí ñàéû 3Í-äèð. Ìÿúùóë ôóíêñèéàëàð áóíëàðäûð:
nkkkk tztytx,1
)(),(),( = âÿ sitpit iii ,1),(;,1),( === µµλ .
Ìÿúùóë ôóíêñèéàëàðûí ñàéû 3Í+Ï+Ñ-äèð. (11) òÿíëèêëÿðèíèí ñàéû èñÿ 3Í-äèð. Îíà ýþðÿ (11) ñèñòåìèíèí òàìàìëàíìàñû ö÷öí îíà Ï+Ñ ñàéäà ðàáèòÿ òÿíëèêëÿðè ÿëàâÿ îëóíìàëûäûð. Âÿ áåëÿëèêëÿ ùÿëë îëóíàí òÿíëèêëÿð ñèñòåìè (1), (2), (11) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèäèð.
175
(11) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíè Íéóòîíóí èêèíúè ãàíóíóíà ÿñàñÿí éàçûëàí ùÿðÿêÿò òÿíëèêëÿðè èëÿ ìöãàéèñÿ åòäèêäÿ (11)-èí ñàü òÿðÿôèíäÿêè úÿìëÿ-ðèí ìöâàôèã ðàáèòÿëÿðèí ðåàêñèéà ãöââÿëÿðèíèí ïðîéåêñèéàëàðûíûí èôàäÿëÿ-ðèíèí îëìàñû ýþðöíöð:
kzkz
kyky
kxkx
dhkzkk
dhkykk
dhkxkk
RRFzm
RRFym
RRFxm
)()(
)()(
)()(
++=
++=
++=
&&
&&
&&
(12)
Áóðàäà k)h(R — ùÿíäÿñè ðàáèòÿëÿðèí ðåàêñèéà ãöââÿëÿðè, kdR )( — êèíå-
ìàòèê ðàáèòÿëÿðèí ðåàêñèéà ãöââÿëÿðèäèð. (12) âÿ (11)-è ìöãàéèñÿ åòäèê-äÿ áó ãöââÿëÿðèí ïðîéåêñèéàëàðû ö÷öí àëìûø îëóðóã:
∂∂=
∂∂=
∂∂=
∑
∑
∑
=
=
=
p
i k
iikzh
p
i k
iikyh
p
i k
iikxh
z
fR
y
fR
x
fR
1)(
1)(
1)(
λ
λ
λ
(13)
=
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
s
iikikzd
s
iikikyd
s
iikikxd
z
y
x
aR
aR
aR
1)()(
1)()(
1)()(
µ
µ
µ
(14)
Ëàãðàíæûí èêèíúè íþâ òÿíëèêëÿðè
Òóòàã êè, ìåõàíèêè ñèñòåìèí öçÿðèíÿ ùÿíäÿñè, áóðàõìàéàí, èäåàë ðà-
áèòÿëÿð ãîéóëìóøäóð. Ùÿíäÿñè ðàáèòÿëÿð, éà äà èíòåãðàëëàíàí äèôåðåíñèàë ðàáèòÿëÿð ùîëîíîì
ðàáèòÿëÿð àäëàíûð. ßýÿð ìåõàíèêè ñèñòåìèí öçÿðèíÿ ùîëîíîì ðàáèòÿëÿð ãîéóëóáñà, áåëÿ ìåõàíèêè ñèñòåì ùîëîíîì ñèñòåì àäëàíûð.
176
Áåëÿëèêëÿ, ùåñàá îëóíóð êè, ìåõàíèêè ñèñòåìèí öçÿðèíÿ ùîëîíîì, èäå-àë áóðàõìàéàí ðàáèòÿëÿð ãîéóëóá:
mktrf ik ,1;0),( ==r. (1)
Òóòàã êè, ìåõàíèêè ñèñòåìÿ äàõèë îëàí íþãòÿëÿðèí ñàéû Í-äèð. Îíäà 3Í êîîðäèíàòäàí 3Í—ì ñàéäàñû áèð-áèðèíäÿí àñûëû äåéèëäèð. Ðàáèòÿëÿð
ùîëîíîì îëäóüóíà ýþðÿ Nzyx iii 3,,, −δδδ ñàéäà êîîðäèíàòëàðûí
âàðèàñèéàëàðûíäàí, ùÿì÷èíèí 3Í—ì ñàéäà âàðèàñèéàëàð ìöñòÿãèëäèð. Áó î äåìÿêäèð êè, ìåõàíèêè ñèñòåìèí ñÿðáÿñòëèê äÿðÿúÿñè 3Í—ì-ÿ áÿðàáÿðäèð. Áåëÿëèêëÿ, ìåõàíèêè ñèñòåìèí âÿçèééÿòèíè òàì ìöÿééÿí åäÿí ìöñòÿãèë ïàðàìåòðëÿðèí ñàéû 3Í-ì-äèð. Áó ñàéû
í=3Í-ì (2) èëÿ, ùÿìèí ïàðàìåòðëÿðè èñÿ
...,,, 21 nqqq (3)
èëÿ èøàðÿ åäÿê. (3) èëÿ èôàäÿ îëóíàí ïàðàìåòðëÿðÿ öìóìèëÿøìèø êîîðäè-íàòëàð äåéÿê. Òÿáèè êè, àäè Äåêàðò êîîðäèíàòëàðû áó öìóìèëÿøìèø êîîð-äèíàòëàð èëÿ èôàäÿ îëóíóð.
===
),...,,,(
),...,,,(
),...,,,(
21
21
21
tqqqzz
tqqqyy
tqqqxx
nkk
nkk
nkk
(4)
Âåêòîð øÿêëèíäÿ áó àñûëûëûãëàð àøàüûäàêû êèìè éàçûëàð:
),( tqrr ikk
rr = . (5)
(5)-äÿí àëûíûð:
i
n
i i
kk q
q
rr δδ ∑
= ∂∂=
1
rr
. (6)
Äàëàìáåð-Ëàãðàíæ òåîðåìèíè éàçàã:
0)(1
=−∑=
N
kkkkk rWmFrδ (7)
âÿ áóðàäà (6)-äàí èñòèôàäÿ åäÿê
∑∑ ∑ ∑
∑ ∑∑
== = =
= ==
=∂∂−
∂∂⋅=
=∂∂−=−
N
ii
i
kN
k
N
i
N
kkki
i
kk
N
k
N
ii
i
kkkk
N
kkkkk
rWmq
q
rF
rWmFrWmF
11 1 1
1 11
)()(
δδ
δδ
rr
rr
rrrrrr
177
01 1 11
=
∂∂−
∂∂=∑ ∑ ∑∑
= = ==i
N
i
N
i
N
k i
kkki
N
k i
kk q
q
rWmq
q
rF δδ
rr
rr
. (8)
Àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿíè äàõèë åäÿê:
∑∑==
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂=
n
k i
kkz
i
kky
i
kkx
n
k i
kki q
zF
q
yF
q
xF
q
rFQ
11
r
. (9)
Áó èôàäÿéÿ öìóìèëÿøìèø ãöââÿ äåéèëèð. (8)-èí èêèíúè òîïëàíàíûíû àðàøäûðàã:
∑∑==
=∂∂=
∂∂ N
k i
kkk
N
k i
kkk q
r
dt
dm
q
rWm
11
rrrr υ
∑∑==
∂∂−
∂∂=
N
k i
kkk
N
k i
kkk q
r
dt
dm
q
rm
dt
d
11
rr
rr υυ . (10)
(5) èôàäÿñèíè äèôåðåíñèàëëàéàã:
dtt
rdq
q
rrd k
n
1ii
i
kk ∂
∂+∂∂=∑
=
rrr
.
Ìöâàôèã îëàðàã çàìàíà ýþðÿ òþðÿìÿ ö÷öí:
t
r
dt
dq
q
r
td
rd kn
1i
i
i
kk
∂∂+⋅
∂∂=∑
=
rrr
. (11)
ii q
dt
dq&= (12)
èøàðÿ åäÿðÿê, (11)-è àøàüûäàêû êèìè éàçà áèëÿðèê:
t
rq
q
r
td
rd kn
1ii
i
kk
∂∂+⋅
∂∂=∑
=
r
&
rr
. (13)
Íþãòÿíèí ñöðÿòèíèí òÿðèôèíÿ ýþðÿ:
kk
td
rd υ= rr
. (14)
Áóíà ÿñàñÿí (13)-ö àøàüûäàêû êèìè éàçìàã îëàð:
t
rq
q
r kn
1ki
i
kk ∂
∂+⋅∂∂=υ ∑
=
r
&
rr
. (15)
178
Áóðàäàí iq& -éÿ ýþðÿ õöñóñè òþðÿìÿ àëàðàã, òàïàðûã:
i
k
i
k
q
r
q ∂∂=
∂υ∂ r
&
r
, (16)
iq& öìóìèëÿøìèø ñöðÿò àäëàíûð. Ùÿì÷èíèí ìÿëóìäóð êè,
i
kk
ii
k
qdt
rd
r
dt
d
∂υ∂=
∂∂=
∂∂
rrr
. (17)
(16) èëÿ (17)-íè (10)-äà íÿçÿðÿ àëàã:
i
kn
kkk
N
k i
kkk
N
k i
kkk q
mq
mdt
d
q
rWm
∂∂⋅−
∂∂=
∂∂
∑∑∑===
υυυυr
r
&
rr
rr
111
. (18)
Êèíåòèê åíåðæèíèí èôàäÿñèíè éàçàã:
( )kk
n
1k
kn
1k
2kk
2
m
2
mT υ⋅υ=υ= ∑∑
==
rr. (19)
Áóðàäàí iq âÿ iq& -éÿ ýþðÿ àðäûúûë òþðÿìÿ àëàã:
i
kN
ikk
ii
kN
ikk
i qm
q
T
qm
q
T
∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂
∑∑==
υυυυr
r
&
rr
& 11
; . (20)
Áóíëàðû (18)-äÿ éåðèíÿ éàçàðàã, òàïàðûã:
iii
kN
i
kk q
T
q
T
dt
d
q
rWm
∂∂−
∂∂=
∂∂
∑= &
r
1
(21)
Ñîíäà (9) âÿ (21)-è (8)-äÿ éåðèíÿ éàçàã:
01
=
∂∂−
∂∂−∑
=i
n
i iii q
q
T
q
T
dt
dQ δ
&. (22)
Öìóìèëÿøìèø êîîðäèíàòëàðûí iqδ âàðèàñèéàëàðûíûí ùàìûñû ìöñòÿãèë
îëäóãëàðûíà ýþðÿ (22) èôàäÿñèíäÿ îíëàðûí ÿìñàëëàðû åéíèëèêëÿ ñûôûðà áÿðà-áÿð îëóð. Áóðàäàí àøàüûäàêû òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíè àëìûø îëóðóã:
niQq
T
q
T
dt
di
ii
,1; ==∂∂−
∂∂&
. (23)
Áó òÿíëèêëÿð ñèñòåìè Ëàãðàíæûí èêèíúè íþâ òÿíëèêëÿð ñèñòåìè àäëàíûð.
179
Ëàãðàíæûí èêèíúè íþâ òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíèí ðèéàçè òÿùëèëè Ëàãðàíæûí èêèíúè íþâ òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíè éàçàã:
niQq
T
q
T
dt
di
ii
,1; ==∂∂−
∂∂&
(1)
Áó òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíè àðàøäûðìàã ö÷öí êèíåòèê åíåðæèíèí èôàäÿñèíè õöñó-ñè øÿêèëäÿ éàçìàüà ÷àëûøàã:
( )t,qrr tkk
rr = , (2)
t
rq
q
r ki
n
i i
kk ∂
∂+∂∂=∑
=
r
&
rr
1
υ . (3)
Áóíà ÿñàñÿí êèíåòèê åíåðæèíèí èôàäÿñèíè àøàüûäàêû êèìè éàçìàã îëàð:
( )
=
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂=
=⋅==
∑∑∑
∑∑
===
==
n
j
kj
j
kn
i
ki
i
kN
k
k
kk
N
k
kN
k
kk
t
rq
q
r
t
rq
q
rm
mmT
111
11
2
2
22r
&
rr
&
r
rr υυυ
+
∂∂⋅
∂∂= ∑∑ ∑
= = =ji
n
i
n
j
N
k j
k
i
kk qq
q
r
q
rm &&
rr
1 1 12
1
∑∑ ∑== = ∂
∂∂∂+
∂∂⋅
∂∂+
N
k
k
i
kki
n
i
N
k
k
i
kk t
r
q
rmq
t
r
q
rm
11 1 2
1rr
&
rr
. (4)
Àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿíè ãÿáóë åäÿê:
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂
=
∂∂⋅
∂∂=
∑
∑
∑
=
=
=
N
k
kkk
N
k
k
i
kki
N
k j
k
i
kkij
t
r
t
rmc
t
r
q
rmb
q
r
q
rma
1
1
1
rr
rr
rr
(5)
Îíäà (4)-ö àøàüûäàêû øÿêèëäÿ éàçìàã îëàð:
∑∑==
++=n
iiij
n
jiiij cqbqqaT
11,2
1&&& (6)
180
(2)-éÿ ÿñàñÿí (5)-äÿí àëûíûð êè, (5) ÿìñàëëàðû öìóìèëÿøìèø ñöðÿòëÿð-äÿí àñûëû äåéèëëÿð:
( )( )
( )
==
=
tqcc
tqbb
tqaa
k
kii
kijij
,
,
,
(7)
Îíäà ýþðöíöð êè, (6) èëÿ èôàäÿ îëóíàí êèíåòèê åíåðæè −iq& öìóìèëÿøìèø
ñöðÿòëÿðÿ ýþðÿ èêèíúè òÿðòèá ÷îõùÿäëèäèð âÿ îíó ö÷ òîïëàíàíûí úÿìè êèìè òÿñâèð åòìÿê îëàð:
012 TTTT ++= , (8)
=
=
=
∑
∑
=
=
cT
qbT
qqaT
n
iii
n
jijiij
0
11
1,2 2
1
&
&&
(9)
iqT &−2 öìóìèëÿøìèø ñöðÿòëÿðÿ ýþðÿ èêèíúè òÿðòèá, áèðúèíñ ôóíêñèéà-
äûð, éÿíè êâàäðàòèê ôîðìàäûð, −1T öìóìèëÿøìèø ñöðÿòëÿðÿ ýþðÿ áèðèíúè
òÿðòèá áèðúèíñ ôóíêñèéàäûð — öìóìèëÿøìèø ñöðÿòëÿðèí õÿòòè ôóíêñèéàñûäûð,
−0T öìóìèëÿøìèø ñöðÿòëÿðÿ ýþðÿ ñûôûð òÿðòèáëè áèðúèíñ ôóíêñèéàäûð, éÿíè
iq& -äÿí àñûëû îëìàéàí ôóíêñèéàäûð. (6)-äàí èñòèôàäÿ åäÿðÿê, (1) Ëàãðàí-
æûí èêèíúè íþâ òÿíëèéèíèí ñîë òÿðÿôëÿðèíè àøàüûäàêû øÿêèëäÿ èôàäÿ åäÿê:
ii
j
n
j i
jjk
n
ji i
kjn
jijij Q
q
cq
q
bqq
q
abqa
dt
d =
∂∂+
∂∂
+∂∂
−
+ ∑∑∑
===
&&&&
11,1 2
1.
Áó èôàäÿíè àøàüûäàêû êèìè éàçìàã îëàð:
nitqQtqqfqa ki
n
jkkijij ,1);,(),,(
1
==+∑=
&&& . (10)
Áóðàäàí ýþðöíöð êè, Ëàãðàíæûí èêèíúè íþâ òÿíëèêëÿðè, àäè òþðÿìÿëè, èêèíúè òÿðòèá ãåéðè-õÿòòè äèôåðåíñèàë òÿíëèêëÿð ñèñòåìèäèð.
181
Ïîòåíñèàëëû ãöââÿ ñàùÿñèíäÿ Ëàãðàíæûí èêèíúè íþâ òÿíëèêëÿðè Ïîòåíñèàëëû ãöââÿ ñàùÿñèíäÿ öìóìèëÿøìèø ãöââÿíèí èôàäÿñèíè àëàã.
Òÿðèôÿ ýþðÿ öìóìèëÿøìèø ãöââÿ ö÷öí àøàüûäàêû èôàäÿ ìþâúóääóð:
i
kN
kki q
rFQ
∂∂
=∑=
rr
1
(1)
âÿ éà ïðîéåêñèéàëàðëà éàçûëûø ö÷öí:
∑=
∂∂
+∂∂
+∂∂
=N
k i
kkz
i
kky
ii
kkxi q
zF
q
yF
q
xFQ
1
. (2)
Ãöââÿ ïîòåíñèàëà ìàëèê îëäóüóíäàí îíóí ö÷öí éàçìàã îëàð:
kk r
UF
∂∂=
r. (3)
Éàõóä äà ïðîéåêñèéàëàð âàñèòÿñè èëÿ:
∂∂=
∂∂=
∂∂=
kkz
kky
kkx
z
UF
y
UF
x
UF
(4)
(4)-ö (2)-äÿ éåðèíÿ éàçàðàã àëàðûã:
i
N
k i
k
ki
k
ki
k
ki q
U
q
z
z
U
q
y
y
U
q
x
x
UQ
∂∂=
∂∂⋅
∂∂+
∂∂⋅
∂∂+
∂∂⋅
∂∂=∑
=1
. (5)
Áóðàäàí àëûíûð êè, öìóìèëÿøìèø ãöââÿ — U ãöââÿ ïîòåíñèàëûíûí ìöâà-ôèã öìóìèëÿøìèø êîîðäèíàòà ýþðÿ õöñóñè òþðÿìÿñèäèð:
ii q
UQ
∂∂= . (6)
(6) èôàäÿñèíäÿí èñòèôàäÿ åäÿðÿê, Ëàãðàíæûí èêèíúè íþâ òÿíëèêëÿðèíè àøàüûäàêû øÿêèëäÿ äÿ éàçìàã îëàð:
iii q
U
q
T
q
T
dt
d
∂∂=
∂∂−
∂∂&
. (7)
Ñàüäàêû èôàäÿíè ñîëà êå÷èðÿê âÿ áèðèíúè ìþòÿðèçÿéÿ åéíèëèêëÿ ñûôûðà
182
áÿðàáÿð îëàí
0=∂∂
iq
U&
(8)
òîïëàíàíûíû ÿëàâÿ åäÿê, îíäà àëìûø îëóðóã:
0=∂∂−
∂∂−
∂∂+
∂∂
iiii q
U
q
T
q
U
q
T
dt
d&&
. (9)
(8) áÿðàáÿðëèéè ãöââÿ ïîòåíñèàëûíûí òÿðèôèíÿ ýþðÿ àíúàã öìóìèëÿøìèø êîîðäèíàòëàðäàí âÿ çàìàíäàí àñûëû îëìàñûíäàí àëûíûð.
),( tqUU i= . (10)
Àøàüûäàêû ôóíêñèéàíû äàõèë åäÿê âÿ îíà Ëàãðàíæ ôóíêñèéàñû äåéÿê. UTL += . (11)
Íÿçÿðÿ àëñàã êè, U ïîòåíñèàë ôóíêñèéàñû èëÿ V ïîòåíñèàë åíåðæè àðà-ñûíäà àøàüûäàêû àñûëûëûã âàð:
VU −= . (12) Îíäà Ëàãðàíæ ôóíêñèéàñûíûí êèíåòèê âÿ ïîòåíñèàë åíåðæèëÿðèí ôÿðãèíÿ áÿ-ðàáÿð îëìàñûíû ýþðöðöê:
VTL −= . (13) (9) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíè Ëàãðàíæ ôóíêñèéàñû âàñèòÿñèëÿ àøàüûäàêû êèìè
éàçìàã îëàð. _____
,1,0 niq
L
q
L
dt
d
ii
==∂∂−
∂∂&
. (14)
Áó òÿíëèêëÿð — ïîòåíñèàë ãöââÿëÿð ñàùÿñèíäÿ Ëàãðàíæûí èêèíúè íþâ òÿíëèê-ëÿðèíèí éàçûëûøûäûð.
Àëûíàí (14) òÿíëèêëÿð ñèñòåìè ìåõàíèêè ñèñòåìëÿð ö÷öí öìóìè õàðàê-òåð äàøûéûð. Éÿíè áó òÿíëèêëÿð ñèñòåìè (13) òÿñâèðè îëìàäûãäà äà ïîòåíñèàë ãöââÿ ñàùÿñèíäÿ ìåõàíèêè ñèñòåìèí ùÿðÿêÿòèíè ìöÿééÿí åäÿí òÿíëèêëÿð ñèñòåìèäèð. Áó ùàëäà Ëàãðàíæ ôóíêñèéàñû öìóìèëÿøìèø êîîðäèíàòëàðûí, ñöðÿòëÿðèí âÿ çàìàíûí öìóìè ôóíêñèéàñûäûð, éÿíè
);;( tqqLL ii &=
âÿ îíäà ìåõàíèêè ñèñòåì — Ëàãðàíæ ñèñòåìè àäëàíûð. Ëàãðàíæ ôóíêñèéàñû (13) äöñòóðó èëÿ èôàäÿ îëóíàí ìåõàíèêè ñèñòåì — äèíàìèê ñèñòåì àäëàíûð.
Äèíàìèê ñèñòåì ö÷öí Ëàãðàíæ ôóíêñèéàñû äà, êèíåòèê åíåðæè êèìè ö÷ òîïëàíàíà àéðûëà áèëÿð:
012 LLLL ++= , (15)
183
−=+=
==
==
∑
∑
=
=
VTUTL
qbTL
qqaTL
n
iii
j
n
jiiij
010
111
1,22 2
1
&
&&
(16)
iqL &−2 -éÿ ýþðÿ èêèíúè òÿðòèá áèðúèíñ ôóíêñèéà; iqL &−1 -éÿ ýþðÿ áè-
ðèíúè òÿðòèá áèðúèíñ ôóíêñèéà, éÿíè öìóìèëÿøìèø ñöðÿòëÿðÿ ýþðÿ õÿòòè
ôóíêñèéà, 0L — öìóìèëÿøìèø ñöðÿòëÿðäÿí àñûëû îëìàéàí ôóíêñèéàäûð.
Ëàãðàíæûí èêèíúè íþâ òÿíëèêëÿðèíäÿí åíåðæè èíòåãðàëû àëûíûð.
(14) øÿêëèíäÿ îëàí Ëàãðàíæûí èêèíúè íþâ òÿíëèêëÿðèíè iq& -éÿ âóðàðàã
úÿìëÿéÿê:
01
=
∂∂−
∂∂
∑=
i
n
i ii
L
q
L
dt
d& .
Éàõóä äà
01 1
=∂∂−
∂∂
∑ ∑= =
n
i
n
ii
ii
i
Lq
q
L
dt
d&& . (17)
Áèðèíúè ùÿääè àøàüûäàêû øÿêèëäÿ òÿñâèð åäÿê:
Lq
q
L
dt
dq
q
L
dt
d
ii
ii
i
&&&
&&
&& ∂
∂−
∂∂=
∂∂
. (18)
(18)-è (17)-äÿ éåðèíÿ éàçàã:
011
=
∂∂+
∂∂−
∂∂
∑∑==
n
ii
ii
i
n
ii
i
Lq
q
Lq
q
L
dt
d&&&
&&
&. (19)
Ëàãðàíæ ôóíêñèéàñû çàìàíäàí àøêàð àñûëû äåéèëñÿ:
);( ii qqLL &&& = . (20)
Îíäà
∑=
⋅
∂∂+
∂∂=
n
ii
ii
i
Lq
q
L
dt
dL
1
&&&
& . (21)
(21)-è (19)-äà éåðèíÿ éàçàðàã âÿ òþðÿìÿëÿðè áèðëÿøäèðÿðÿê, àëìûø
184
îëàðûã:
01
=
−
∂∂
∑=
n
ii
i
Lqq
L
dt
d&
&. (22)
Áóðàäàí èíòåãðàëëàéàðàã, àëàðûã:
constLqq
Ln
ii
i
=−∂∂
∑=1
&&
. (23)
Áóíà Ëàãðàíæûí èêèíúè íþâ òÿíëèêëÿðèíäÿí àëûíàí åíåðæè èíòåãðàëû äåéèëèð. (23)-äÿ (15)-äÿí èñòèôàäÿ åäÿê
0)( 0121
0
1
1
1
2 =++−∂∂+
∂∂+
∂∂
∑∑∑===
LLLqq
Lq
q
Lq
q
L n
ii
i
n
ii
i
n
ii
i
&&
&&
&&
. (24)
Áèðúèíñ ôóíêñèéàëàðûí õàññÿëÿðèíäÿí èñòèôàäÿ åäÿðÿê, áèðèíúè ö÷ òîïëà-íàí ö÷öí éàçà áèëÿðèê:
=∂∂
=∂∂
=∂∂
∑
∑
∑
=
=
=
0
2
1
0
11
1
21
2
n
ii
i
n
ii
i
n
ii
i
L
Lqq
L
Lqq
L
&&
&&
&&
(25)
(25)-è (24)-äÿ éåðèíÿ éàçàã:
constLLLLL =++−+ )()2( 01212
âÿ éàõóä
constLL =− 02 . (26)
Íÿçÿðÿ àëñàã êè, VTLTL −== 0022 ; , îíäà (26)-íû àøàüûäàêû øÿ-
êèëäÿ éàçìàã îëàð:
constVTT =+− 02 . (27)
Áó èñÿ äèíàìèê ñèñòåìèí öìóìèëÿøìèø åíåðæè èíòåãðàëûäûð. Òóòàã êè, ìå-õàíèêè ñèñòåì — ñêëåðîíîì ñèñòåìäèð:
)( ikk qrrrr = (28)
âÿ
0=∂∂
t
rk
r
. (29)
185
Îíäà
=∂∂⋅
∂∂=
=∂∂⋅
∂∂=
∑
∑
=
=
0
0
1
1
N
k
k
i
kk
N
k
k
i
kki
t
r
q
rmc
t
r
q
rmb
rr
rr
(30)
01
1 == ∑=
n
iii qbT & ,
j
n
jiiij qqaTTcT &&∑
=====
1,20 2
1,0 . (31)
Áóíëàðû (27)-äÿ íÿçÿðÿ àëñàã, òàïàðûã: constVT =+ . (32)
Áàõäûüûìûç õöñóñè ùàë ö÷öí (23) åíåðæè èíòåãðàëû, òàì ìåõàíèêè åíåð-æèíèí
VTE += äÿéèøìÿçëèéèíè èäàðÿ åäèð.
Ùàìèëòîíóí êàíîíèê òÿíëèêëÿðè
Ëàãðàíæûí èêèíúè íþâ òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíè éàçàã:
____
,1,0 niq
L
q
L
dt
d
ii
==∂∂−
∂∂&
. (1)
Ìÿëóì îëäóüóíà ýþðÿ áó ñèñòåì èêèíúè òÿðòèá, àäè òþðÿìÿëè, í ñàéäà äèôåðåíñèàë òÿíëèêäÿí èáàðÿò ñèñòåìäèð. Áó ñèñòåìè 2í ñàéäà òÿíëèêäÿí èáàðÿò áèðèíúè òÿðòèá äèôåðåíñèàë òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíÿ ýÿòèðìÿê ìöìêöí-äöð. Àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿíè ãÿáóë åäÿê:
ii q
Lp
&∂∂= . (2)
Áóíëàðû öìóìèëÿøìèø èìïóëñ àäëàíäûðàã. Òóòàã êè, iq äÿéèøÿíëÿðèíÿ
áÿðàáÿð ip -ëÿð äÿ ñèñòåìèí äÿéèøÿíëÿðèíè òÿøêèë åäèðëÿð âÿ îíëàð áèðè
áèðèíäÿí àñûëû äåéèëëÿð. Éÿíè ñèñòåìèí âÿçèééÿòèíè ìöÿééÿí åäÿí 2í ñàéäà ,...;,..., 11 nn ppqq äÿéèøÿíëÿðäèð. (2)-íè íÿçÿðÿ àëàðàã (1) òÿí-
ëèêëÿð ñèñòåìèíè àøàüûäàêû êèìè éàçìàã ìöìêöíäöð:
186
i
i
q
L
dt
dp
∂∂= . (3)
ßýÿð
0det2
≠
∂∂∂
ji qq
L&&
øÿðòè þäÿíèðñÿ, (2) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíäÿí iq& öìóìèëÿøìèø ñóðÿòëÿðè
ii pq , — öìóìèëÿøìèø êîîðäèíàò âÿ öìóìèëÿøìèø èìïóëñëàðëà èôàäÿ åò-
ìÿê îëàð. Áó àñûëûëûãëàðû àøàüûäàêû êèìè éàçàã:
),,( tpqq kkii ϕ=& . (4)
Éàõóä äà àøêàð øÿêèëäÿ:
),,( tpqdt
dqkki
i ϕ= . (5)
L — Ëàãðàíæ ôóíêñèéàñû öìóìè ùàëäà iq , iq& -äÿí âÿ çàìàíäàí àñû-
ëûäûð.
),,( tqqLL ii &= . (6)
Áó àñûëûëûãäà (4) ÿâÿçëÿìÿñèíè àïàðàðàã Ëàãðàíæ ôóíêñèéàñûíû t,p,q ii
èëÿ èôàäÿ åòìèø îëóðóã:
),,(~
),,(),,(
tpqLtqqL iitpqqiikkii
==ϕ&
& . (7)
Áóíëàðà ÿñàñÿí (3) òÿíëèéèíè àøàüûäàêû êèìè éàçàã:
i
i
q
L~
dt
dp
∂∂= . (8)
(5) âÿ (8) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíè í ñàéäà (1) Ëàãðàíæûí èêèíúè íþâ òÿíëèê-ëÿðèíè ÿâÿç åäÿí ñèñòåìäèð. (5) âÿ (8)-ÿ äàõèë îëàí òÿíëèêëÿðèí ñàéû 2í-äèð. Áó òÿíëèêëÿð — áèðèíúè òÿðòèá, àäè òþðÿìÿëè äèôåðåíñèàë òÿíëèêëÿðäèð.
(5) âÿ (8)-è êàíîíèê øÿêèëäÿ èôàäÿ åòìÿê ìöìêöíäöð. Áóíóí ö÷öí éåíè ôóíêñèéà äàõèë åäÿê. Áåëÿ êè, áó ôóíêñèéàíû L — Ëàãðàíæ ôóíêñèéà-ñûíûí Ëåæàíäð ÷åâèðìÿñè êèìè äàõèë åäÿê:
),,( tpqHH ii= , (9)
LqpHn
iii −=∑
=1
& . (10)
Áó ôóíêñèéà Ùàìèëòîí ôóíêñèéàñû àäëàíäûðûëûð. (9)-äàí ÷îõäÿéèøÿíëè ôóíêñèéà êèìè äèôåðåíñèàëûí èôàäÿñèíè éàçàã.
187
dtt
Hdp
p
Hdq
q
HdH
n
ii
ii
i ∂∂+
∂∂+
∂∂=∑
=1
. (11)
(10) èôàäÿñèíèí ñîë âÿ ñàü ùèññÿëÿðèíè äèôåðåíñèàëëàéàã:
( )∑=
=−+=n
iiiii dLdpqqdpdH
1
&&
( ) dtt
Lqd
q
Ldq
q
Ldpqqdp
n
ii
ii
i
n
iiiii ∂
∂−
∂∂+
∂∂−+= ∑∑
== 11
&&
&& . (12)
(2)-äÿí èñòèôàäÿ åäÿðÿê, (12)-íèí ñàü òÿðÿôèíäÿ îëàí åéíè òîïëàíàíëà-ðû èñëàù åäÿê. Îíäà àëàðûã:
dtt
Ldq
q
LdpqdH
n
ii
iii ∂
∂−
∂∂−=∑
=1
& . (13)
(11) âÿ (13)-ö ìöãàéèñÿ åäÿê. Åéíè äèôåðåíñèàëëàðûí ÿìñàëëàðûíû áÿ-ðàáÿðëÿøäèðÿðÿê àëìûø îëóðóã êè,
∂∂=
∂∂−=
∂∂
ii
ii
p
Hq
q
H
q
L
&
(14)
t
L
t
H
∂∂−=
∂∂
. (15)
(14) ñèñòåìèíèí áèðèíúè òÿíëèéèíäÿ (3)-ö íÿçÿðÿ àëàã. Îíäà (14)-ö àøàüûäàêû øÿêèëäÿ éàçìàã ìöìêöíäöð:
____
,1,
,
ni
p
H
dt
dq
q
H
dt
dp
i
i
i
i
=
∂∂=
∂∂−=
(16)
(16) òÿíëèêëÿð ñèñòåìèíÿ Ùàìèëòîíóí êàíîíèê òÿíëèêëÿð ñèñòåìè äåéè-ëèð.
(15) àñûëûëûüûíäàí ýþðöíöð êè, ÿýÿð Ëàãðàíæ ôóíêñèéàñû ò çàìàíäàí àøêàð àñûëû äåéèëñÿ, Ùàìèëòîí ôóíêñèéàñû äà çàìàíäàí àøêàð àñûëû îëìàé-àúàã:
),(),( iiii pqHHqqL =⇒& .
188
Ùàìèëòîí ôóíêñèéàñûíûí áèð õöñóñèééÿòè — îíóí çàìàíà ýþðÿ òàì òþ-ðÿìÿñèíèí, çàìàíà ýþðÿ õöñóñè òþðÿìÿñèíÿ áÿðàáÿð îëìàñûäûð.
t
H
dt
dH
∂∂= . (17)
Áóíó ýþñòÿðìÿê ö÷öí (9)-äàí èñòèôàäÿ åäÿê. Ùàìèëòîíóí ÷îõäÿéèøÿíëè ôóíêñèéà êèìè òàì òþðÿìÿñèíèí èôàäÿñèíè éàçàã:
t
H
dt
dp
p
H
dt
dq
q
H
dt
dH n
i
i
i
i
i ∂∂+
⋅
∂∂+⋅
∂∂=∑
=1
. (18)
Áóðàäà Ùàìèëòîíóí (16) êàíîíèê òÿíëèêëÿðèíäÿí èñòèôàäÿ åäÿðÿê, (17)-íè àëìûø îëàðûã:
t
H
t
H
q
H
p
H
dp
H
q
H
dt
dH n
i iiii ∂∂=
∂∂+
∂∂−⋅
∂∂+∂⋅
∂∂=∑
=1
.
(17)-éÿ ÿñàñëàíàðàã, Ëàãðàíæ ôóíêñèéàñûíûí çàìàíäàí àøêàð àñûëû îë-
ìàéàí ùàëû ö÷öí åíåðæè èíòåãðàëûíû àëìàã ìöìêöíäöð. Éàëíûç 0=∂∂
t
L
îëäóãäà 0=∂
∂t
H àëûíûð. Îíäà (17)-äÿí íÿòèúÿ êèìè àëûíûð êè,
constpqHdt
dHii =⇒= ),(0 . (19)
Ùîëîíîì ìåõàíèêè ñèñòåìèíèí òàì ìåõàíèêè åíåðæèñèíèí äÿéèøìÿñè ùàããûíäà òåîðåì
Ãöââÿ ñàùÿñèíèí öìóìè ùàëû ö÷öí Ëàãðàíæûí èêèíúè íþâ òÿíëèêëÿð ñèñ-
òåìèíè éàçàã:
iii
T
q
T
dt
d =∂∂−
∂∂&
. (1)
Ùÿð òÿðÿôè iq& -éÿ âóðóá, úÿìëÿìÿ àïàðàã:
∑∑ ∑== =
=∂∂−
∂∂ n
iii
n
i
n
ii
ii
i
qQqq
Tq
q
T
dt
d
11 1
&&&&
. (2)
Òóòàã êè, ãöââÿëÿðèí áèð ùèññÿñè ïîòåíñèàëà ìàëèêäèð, îíäà
189
ii
iii q
VQ
q
UQQ
∂∂−=
∂∂+= ** . (3)
Áóðàäà *iQ — ãåéðè-ïîòåíñèàë ãöââÿëÿðÿ óéüóí öìóìèëÿøìèø ãöââÿ,
ii q
V
q
U
∂∂−=
∂∂
èñÿ ïîòåíñèàëà ìàëèê îëàí ãöââÿëÿðÿ óéüóí öìóìèëÿøìèø
ãöââÿäèð. (3)-ö (2)-íèí ñàü òÿðÿôèíäÿ éàçàã:
∑∑∑ ∑=== = ∂
∂−=∂∂−
∂∂ n
ii
i
n
iii
n
i
n
ii
ii
i
VqQq
q
Tq
q
T
dt
d
11
*
1 1
&&&&&
. (4)
Áóðàäà V — ïîòåíñèàë åíåðæèñè U ïîòåíñèàë ôóíêñèéà êèìè iq — öìóìè-
ëÿøìèø êîîðäèíàòëàðäàí âÿ çàìàíäàí àñûëûäûð: ),( tqVV i= . Îíäà îíóí
çàìàíà ýþðÿ òþðÿìÿñè îëàúàã:
t
Vq
q
V
dt
dV n
ii
i ∂∂+
∂∂=∑
=1
& .
Áóðàäàí àëìûø îëóðóã:
t
V
dt
dVq
q
Vn
ii
i ∂∂−=
∂∂
∑=1
& . (5)
(5)-è (4)-äÿ éàçûá âÿ ñîë òÿðÿôè ñàäÿëÿøäèðÿðÿê, íÿòèúÿäÿ:
t
V
dt
dVqQq
q
Tq
q
Tq
q
T
dt
d n
iii
n
ii
ii
i
n
ii
i ∂∂+−=
∂∂+
∂∂−
∂∂
∑∑∑=== 1
*
11
&&&&
&&
&&
. (6)
),,( tqqTT ii &= îëäóüóíà ýþðÿ
∑= ∂
∂+
∂∂+
∂∂=
n
ii
ii
i t
Tq
q
Tq
q
T
dt
dT
1
&&&
& .
Áóðàäàí
∑= ∂
∂−=
∂∂+
∂∂n
ii
ii
i t
T
dt
dTq
q
Tq
q
T
1
&&&
& . (7)
(7)-íè (6)-äà éåðèíÿ éàçàã:
t
V
dt
dVqQ
t
T
dt
dTq
q
T
dt
d n
iii
n
ii
i ∂∂+−=
∂∂+−
∂∂
∑∑== 1
*
1
&&&
(8)
Êèíåòèê åíåðæèíèí ìÿëóì àéðûëûø èôàäÿñèíè éàçàã:
190
012 TTTT ++= . (9)
Áóðàäà 2T iq& -éÿ ýþðÿ èêèíúè òÿðòèá áèðúèíñ ôóíêñèéà, 1T — áèðúèíñ, áè-
ðèíúè òÿðòèá ôóíêñèéà, Ò0 — èñÿ iq& -äÿí àñûëû îëìàéàí ôóíêñèéàäûð. Áó ôóí-
êñèéàëàð ö÷öí áèðúèíñ ôóíêñèéàëàðûí õàññÿëÿðèíäÿí èñòèôàäÿ åäÿðÿê éàç-ìàã îëàð:
=∂∂
=∂∂
=∂∂
∑
∑
∑
=
=
=
0
2
1
0
11
1
21
2
n
ii
i
n
ii
i
n
ii
i
T
Tqq
T
Tqq
T
&&
&&
&&
(10)
Îíäà
=∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂
∑∑∑∑====
n
ii
i
n
ii
i
n
ii
i
n
ii
i
Tq
q
Tq
q
Tq
q
T
1
0
1
1
1
2
1
&&
&&
&&
&&
010101212 222)(22 TTTTTTTTTT −−=−−++=+= . (11)
(11) èôàäÿñèíè (8)-äÿ éåðèíÿ éàçàã:
0221
*01 =∂∂−+−
∂∂+−−− ∑
= t
V
dt
dVqQ
t
T
dt
dT
dt
dT
dt
dT
dt
dT n
iii & (12)
Èíäè èñÿ òàì ìåõàíèêè åíåðæèíèí VTE += (13)
ôóíêñèéàñûíû äàõèë åäÿê. Áó ôóíêñèéà ö÷öí (12)-éÿ ÿñàñÿí éàçìàã îëàð:
t
V
t
T
dt
TTdqQ
dt
VTd n
iii ∂
∂+∂∂−++=+
∑=
)2()( 01
1
*& . (14)
Àøàüûäàêû èøàðÿëÿìÿëÿðè ãÿáóë åäÿê:
∑=
=n
iii qQN
1
**& (15)
éàçûëàí ãåéðè-ïîòåíñèàë ãöââÿëÿðèí ýöúöäöð. (13) âÿ (15)-è (14)-äÿ íÿçÿðÿ àëàã:
t
V
t
T
dt
TTdN
dt
dE
∂∂+
∂∂−++= )2( 01* . (16)
(16) äöñòóðó ùàëîíîì ìåõàíèêè ñèñòåìèí òàì ìåõàíèêè åíåðæèñèíèí
191
äÿéèøìÿñè ùàããûíäà òåîðåìè èôàäÿ åäèð. Õöñóñè ùàëëàðà áàõàã. 1) Òóòàã êè, ìåõàíèêè ñèñòåì ñòàñèîíàðäûð, éÿíè ñêëåðîíîìäóð. Îíäà
001 == TT âÿ áó ùàë ö÷öí (16) èíòåãðàëû àøàüûäàêû øÿêèëäÿ éàçûëûð:
t
VN
dt
dE
∂∂+= * . (17)
2) Òóòàã êè, ìåõàíèêè ñèñòåì ñòàñèîíàðäûð: 001 == TT âÿ ïîòåíñèàë
åíåðæè çàìàíäàí àøêàð àñûëû äåéèë. )( iqVV = . Îíäà (17)-äÿí àëûíûð:
*Ndt
dE = . (18)
3) Òóòàã êè, ìåõàíèêè ñèñòåì ñêëåîíîìäóð: 001 == TT , ïîòåíñèàë
åíåðæè çàìàíäàí àøêàð àñûëû äåéèë: )( iqVV = âÿ áöòöí ãöââÿëÿð ïîòåí-
ñèàëà ìàëèêäèð: 0* =iQ . Áó øÿðòëÿðè þäÿéÿí ñèñòåì êîíñåðâàòèâ ñèñòåì
àäëàíûð. Îíäà àëìûø îëóðóã:
0=dt
dE. (19)
Áóðàäàí àëûíûð êè, constVTE =+= . (20)
Éÿíè, êîíñåðâàòèâ ìåõàíèêè ñèñòåìèí òàì ìåõàíèêè åíåðæèñè äÿéèøìÿçäèð.
Ìåõàíèêàíûí äèôåðåíñèàë âàðèàñèéà ïðèíñèïëÿðè Áàõûëàí àíäà ùÿãèãè ùÿðÿêÿòèí, ðàáèòÿëÿðëÿ ìÿùäóäëàøäûðûëàí
ìöìêöí ùÿðÿêÿòëÿðäÿí ôÿðãëÿíäèðÿí ñå÷èì øÿðòëÿðè äèôåðåíñèàë âàðèà-ñèéà ïðèíñèïëÿðèíè òÿøêèë åäèð. ßýÿð áó ñå÷èì ìöÿééÿí çàìàí èíòåðâà-ëûíäà àïàðûëàðñà, áåëÿ øÿðòëÿð èíòåãðàë âàðèàñèéà ïðèíñèïëÿðèíè òÿøêèë åäèð. Äèôåðåíñèàë âàðèàñèéà ïðèíñèïëÿðèíèí ÿñàñûíû Äàëàìáåð-Ëàãðàíæ, Æóðäåí âÿ Ãàóññ ïðèíñèïëÿðè òÿøêèë åäèð. Äàëàìáåð-Ëàãðàíæ äèôåðåíñèàë ïðèíñèïè àøàüûäàêû êèìè éàçûëûð:
0)(1
=−∑=
i
N
iiii rWmF
rrrδ . (1)
Áó ïðèíñèïÿ ÿñàñÿí: öçÿðèíÿ èäåàë áóðàõìàéàí ðàáèòÿëÿð ãîéóëìóø ìåõà-íèêè ñèñòåìèí ùÿãèãè ùÿðÿêÿòè, ðàáèòÿëÿðëÿ óçëàøàí ìöìêöí ùÿðÿêÿòëÿðäÿí îíóíëà ñå÷èëèð êè, àíúàã âÿ àíúàã ùÿãèãè ùÿðÿêÿò ö÷öí ãöââÿëÿðèí âÿ ÿòàëÿò ãöââÿëÿðèíèí ìöìêöí éåðäÿéèøìÿëÿðäÿ ýþðäöêëÿðè èø ñûôðà áÿðàáÿðäèð. Æóðäåí äèôåðåíñèàë âàðèàñèéà ïðèíñèïè. Òóòàã êè, åéíè áèð ìöìêöí
192
âÿçèééÿòäÿí ôÿðãëè ñöðÿòëÿðëÿ áàø âåðÿí ùÿðÿêÿòëÿð ìöãàéèñÿ îëóíóð. Îíäà ìöìêöí éåðäÿéèøìÿ ö÷öí éàçìàã îëàð:
∑=
=−n
iiii rWmF
11 0)(
rrδ , (1)
tr ii ∆= υδδ rr. (2)
(2)-íè (1)-äÿ íÿçÿðÿ àëûá t∆ -éÿ èõòèñàð åòñÿê, òàïàðûã:
0)(1
=−∑=
i
N
i
iii WmF υδ rr. (3)
(3) äöñòóðó Æóðäåí âàðèàñèéà ïðèíñèïèíèí èôàäÿñèäèð. Áó ïðèíñèïÿ ýþðÿ ÿñà-ñÿí åéíè ìöìêöí âÿçèééÿòäÿí áàø âåðÿí ùÿðÿêÿòëÿð àðàñûíäà ùÿãèãè ùÿðÿ-êÿòÿ óéüóí îëàí ñöðÿòëÿð ñàùÿñè äèýÿð ìöìêöí ñöðÿòëÿð ñàùÿñèíäÿí îíóíëà ñå÷èëèð êè, àíúàã âÿ àíúàã ùÿãèãè ùÿðÿêÿò ö÷öí (3) àñûëûëûüû þäÿíèëèð. Ãàóññ-äèôåðåíñèàë âàðèàñèéà ïðèíñèïè. Ãàóññ âàðèàñèéà ïðèíñèïèíÿ
ÿñàñÿí åéíè ìöìêöí âÿçèééÿòäÿí åéíè ìöìêöí ñóðÿòëÿ, àíúàã ôÿðãëè òÿúèëëÿðëÿ áàø âåðÿí ùÿðÿêÿòëÿð ìöãàéèñÿ îëóíóð. Áó ùàë ö÷öí ìöìêöí éåðäÿéèøìÿ âåêòîðó àøàüûäàêû êèìè éàçûëûð:
2)(2
1tWr ii ∆=
rr δδ . (4)
(4)-ö (1)-äÿ éåðèíÿ éàçàã âÿ ( )2
21
t∆ -à èõòèñàð åäÿê. Îíäà àëìûø
îëóðóã:
0)(1
=−∑=
i
N
iiii WWmF
rrrδ . (5)
Áó äöñòóð Ãàóññ âàðèàñèéà ïðèíñèïèíèí èôàäÿñèäèð. Ãàóññ âàðèàñèéà ïðèí-ñèïè äèýÿð âàðèàñèéà ïðèíñèïëÿðèíäÿí îíóíëà ôÿðãëÿíèð êè, áó éåýàíÿ îëàí åêñòðåìàë âàðèàñèéà ïðèíñèïèäèð: (5)-è ùÿð ùàíñû ôóíêñèéàíûí ñòàñèîíàð øÿðòè êèìè éàçìàã îëàð. Àøàüûäàêû ôóíêñèéàíû äàõèë åäÿê:
∑=
−=
N
i i
iii m
FWmZ
1
2
2
1. (6)
Áó êÿìèééÿò ìÿúáóðèééÿò þë÷öñö àäëàíûð. (6)-äàí âàðèàñèéà àëàðàã, òàïàðûã:
=−=
−= ∑∑
==i
N
i
iiii
N
i i
iii WFWmW
m
FWmZ δδδ
11
)(22
1
193
i
N
i
ii WWmF δ∑=
−−=1
)( . (7)
(5)-è (7)-äÿ íÿçÿðÿ àëñàã, (5) øÿðòèíè àøàüûäàêû êèìè éàçìàã îëàð: 0=Zδ . (8)
Áåëÿëèêëÿ, ùÿãèãè òÿúèëëÿð ñàùÿñè ö÷öí Ãàóñóí (6) ìÿúáóðèééÿò þë÷öñö ñòàñèîíàð ãèéìÿòÿ ìàëèêäèð. Ýþñòÿðìÿê îëàð êè, áó ãèéìÿò áó þë÷öíöí ìèíèìóì ãèéìÿòèäèð, éÿíè (8) øÿðòè (6) ôóíêñèîíàëûíûí ìèíè-ìàëëûã øÿðòèäèð.
Òóòàã êè, ioWr
ùÿãèãè òÿúèëëÿð ñàùÿñèäèð. Äèýÿð ìöìêöí òÿúèëëÿð ñà-
ùÿñèíè iWr
èëÿ èøàðÿ åäÿê. Ùÿãèãè òÿúèëëÿð ñàùÿñè ö÷öí Ãàóññ ìÿúáó-
ðèééÿò þë÷öñöíöí èôàäÿñèíè éàçàã:
∑=
−=
N
i i
iioi m
FWmZ
1
2
0 2
1. (9)
(6) äöñòóðóíäà 00 iii WWWrrr
δ+= àñûëûëûüûíû íÿçÿðÿ àëàã, îíäà
.)(2
1)(
2
1
2
1
2
1
1
20
100
1
2
0
1
2
001
∑∑∑
∑∑
===
==
+−−
−=
=
−+=
−=
N
iii
N
iiiii
N
i i
iii
N
i i
iiii
N
i i
iii
WmWWmFm
FWm
m
FWWm
m
FWmZ
rrrrr
r
rrr
rr
δδ
δ
Ñàü òÿðÿôèí èêèíúè òîïëàíàíû (5) Äàëàìáåð-Ëàãðàíæ òåîðåìèíÿ ÿñàñÿí ñûôûðà áÿðàáÿðäèð. Îíäà (9)-äàí èñòèôàäÿ åäÿðÿê éàçìàã îëàð:
∑=
=−N
iioi WmZZ
1
20 )(
2
1 rδ .
Ñàü òÿðÿôäÿêè èôàäÿ ìÿíôè îëà áèëìÿäèéèíÿ ýþðÿ àëûíûð êè, 0ZZ ≥ ,
éÿíè ùÿãèãè ùÿðÿêÿò ö÷öí ìÿúáóðèééÿò þë÷öñöíöí ãèéìÿòè ÿí êè÷èê
ãèéìÿòäèð: ZZ min0 = .
Ãàóññ âàðèàñèéà ïðèíñèïèíèí ìåõàíèêè ìÿíàñû. Òóòàã êè kA — íþã-
òÿíèí ìöìêöí âÿçèééÿòèäèð. kkBA âåêòîðó — íþãòÿíèí ùÿãèãè éåðäÿé-
èøìÿñèäèð. kkCA âåêòîðó èñÿ — ñÿðáÿñò íþãòÿíèí, éÿíè ðàáèòÿëÿðäÿí àçàä
îëàí ùàëà óéüóí éåðäÿéèøìÿñèäèð.
194
2)(2
1tWtBA kkkk ∆+∆=υr , (1)
2)( 2
1t
m
FtCA
k
kkkk ∆+∆=
rrυ . (2)
Ðàáèòÿëÿð îëàí ùàëäà éåðäÿéèøìÿíèí ñÿð-áÿñò îëàí ùàë ö÷öí óéüóí éåðäÿéèøìÿäÿí
îëàí ôÿðãè kkBC âåêòîðó èëÿ ìöÿééÿí îëóíóð.
kkkkkk BCCABA =− .
(1) âÿ (2)-íè áóðäà íÿçÿðÿ àëàã:
kkBC = 2
2
1t
m
FW
k
kk ∆
−
r
. (3)
Ùÿðÿêÿòëÿðèí ôÿðãè íþãòÿíèí êöòëÿñèíÿ ìöòÿíàñèáäèð. Ùÿðÿêÿòëÿðèí ôÿðã þë÷öñö ö÷öí àøàüûäàêû êÿìèééÿòè äàõèë åäÿê:
∑=
N
ikkk BCm
1
2
. (4)
Áóðàäà (3)-ö éåðèíÿ éàçàã.
∑∑==
∆
−=
n
i k
kkk
n
ikkk t
m
FWmBCm
1
4
22
1
)( 4
1r
. (5)
Áó èôàäÿíè 4)(21
t∆ -ÿ áþëñÿê, ìÿúáóðèééÿò þë÷öñöíöí èôàäÿñèíè àëàðûã:
∑=∆
=N
ikkk BCm
tZ
1
2
4)(
2. (6)
Ãàóññ ïðèíñèïèíÿ ÿñàñÿí ùÿãèãè ùÿðÿêÿò ö÷öí áó ôóíêñèéà þçöíöí ÿí êè÷èê ãèéìÿòèíè àëûð. Îíäà (6)-äàí Ãàóññ ïðèíñèïèíèí àøàüûäàêû ìåõàíèêè ìÿíàñû àëûíûð: ùÿãèãè ùÿðÿêÿò ö÷öí — ñÿðáÿñò ùÿðÿêÿòäÿí îëàí ôÿðã ãèé-ìÿòè ìèíèìóìäóð. Éÿíè öçÿðèíÿ ðàáèòÿëÿð ãîéóëìóø ãåéðè-ñÿðáÿñò ìå-õàíèêè ñèñòåì ñÿðáÿñò ùàëà óéüóí îëàí ùÿðÿêÿòÿ ÿí éàõûí îëàí ùÿðÿêÿò åäèð. Ãàóññ âàðèàñèéà ïðèíñèïèíÿ äèýÿð ìåõàíèêè ìÿíà äà âåðìÿê îëàð. Áóíóí ö÷öí ìÿúáóðèééÿò þë÷öñöíöí èôàäÿñèíäÿ Íéóòîíóí èêèíúè ãàíó-íóíäàí àëûíàí èôàäÿíè éàçàã:
kkkk RFWm += ,
195
k
k
k
kk
m
R
m
FW =− ,
∑∑∑===
=
=
−=
N
i k
kN
i k
k
k
kk
N
ik m
R
m
R
m
FWmZ
12
2
1
22
1 2
1
2
1
2
1.
Áóðàäàí àëûíûð êè, ñèñòåìèí ùÿãèãè ùÿðÿêÿòè ö÷öí ðàáèòÿëÿð òÿðÿôèíäÿí éàðàíàí ðàáèòÿ ãöââÿëÿðè ìèíèìóìäóð.
Ùàìèëòîí-Îñòðîãðàäñêè èíòåãðàë âàðèàñèéà ïðèíñèïè
Äèôåðåíñèàë âàðèàñèéà ïðèíñèïëÿðèíäÿí ôÿðãëè îëàðàã, áó èíòåãðàë âàðèà-
ñèéà ïðèíñèïèíäÿ áàøëàíüûú âÿ ñîí âÿçèééÿòëÿðè öñò-öñòÿ äöøÿí ìöìêöí ùÿðÿêÿòëÿð åéíè âàùèä çàìàí ïàð÷àñûíäà ìöãàéèñÿ îëóíóðëàð. Ùàìèëòîí-Îñòîãðàäñêè âàðèàñèéà ïðèíñèïèíè Ëàãðàíæûí ïîòåíñèàë ãöââÿëÿð ñàùÿñèíäÿ îëàí òÿíëèêëÿðè ÿñàñûíäà ÷ûõàðàã. Ëàãðàíæûí èêèíúè íþâ òÿíëèêëÿðèíè éàçàã:
0=∂∂−
∂∂
ii q
L
q
L
dt
d&
. (1)
Áó òÿíëèéè iqδ -éÿ âóðóá úÿìëÿéÿê:
∑ ∑= =
=∂∂−
∂∂n
i
n
ii
ii
i
Lq
q
L
dt
d
1 1
δδ&
011
=
∂∂+
∂∂−
∂∂= ∑∑
==
n
ii
ii
i
n
ii
i
Lq
q
Lq
q
L
dt
d&
&&δδδ . (2)
),,( tqqLL ii &= Ëàãðàíæ ôóíêñèéàíûí âàðèàñèéàñû îëàúàã:
∑=
δ
∂∂+δ
∂∂=δ
n
1ii
ii
i
Lq
q
LL &
& (3)
(3)-ö (2)-äÿ éåðèíÿ éàçàã:
Lqq
L
dt
d n
1ii
i
δ=
δ
∂∂
∑=
(4)
í-þë÷öëö iq ôÿçàñûíû äàõèë åäÿê. Áó ôÿçàäà À âÿ Á íþãòÿëÿðèíè ñèñ-
òåìèí èëêèí âÿ ñîí âÿçèééÿòëÿðèíÿ óéüóí íþãòÿëÿð êèìè ãÿáóë åäÿê. Îíäà:
196
==
0
0
Bi
Ai
q
q
δδ
(5)
Ñèñòåìèí À èëêèí âÿçèééÿòèíÿ óéüóí îëàí çàìàí ò0-ëà, ñîí Á âÿ-çèééÿòèíÿ óéüóí îëàí çàìàí ò1 èëÿ èøàðÿ åäÿê. Îíäà (5)-è àøàüûäàêû êèìè éàçìàã îëàð:
010
== == ttitti qq δδ . (6)
(4) àñûëûëûüûíûí ùÿð èêè òÿðÿôèíè ];[ 10 tt çàìàí èíòåðâàëûíäà èíòåãðàëëàé-
àã:
dtLdtqq
L
dt
dt
t
n
ii
i
t
t∫∑∫ =
∂∂
=
1
0
1
01
δδ&
. (7)
Ñîë òÿðÿô òàì èíòåãðàëëàíûð:
∫∑ =∂∂
=
==
1
0
1
01
t
t
tt
tt
n
ii
i
Ldtqq
L δδ&
. (8)
Áóðàäà (6) øÿðòëÿðèíè íÿçÿðÿ àëñàã, àëìûø îëàðûã:
∫ =1
0
0t
t
Ldtδ . (9)
Âàðèàñèéà èçîõðîí âàðèàñèéà îëäóüóíäàí (9)-ó àøàüûäàêû êèìè éàç-ìàã îëàð:
∫ =1
0
0t
t
Ldtδ . (10)
Áóðàäà Ùàìèëòîí-Îñòðîãðàäñêè âàðèàñèéà ïðèíñèïèíÿ óéüóí îëàí ôóí-êñèîíàë ö÷öí àøàüûäàêû èôàäÿ àëûíûð:
( )dttqqLSt
t
ii∫=1
0
,, & . (11)
Îíäà (10)-äàí àëûíûð: 0=Sδ . (12)
Áåëÿëèêëÿ, Ùàìèëòîí-Îñòðîãðàäñêè ïðèíñèïèíÿ ýþðÿ ãöââÿëÿð ïîòåí-ñèàëà ìàëèê îëàí ùàëäà ùàëîíîì ìåõàíèêè ñèñòåìèí ùÿãèãè ùÿðÿêÿòè ö÷öí (11) ôóíêñèîíàëû þç ñòàñèîíàð ãèéìÿòèíè àëûð.
197
Ədəbiyyat
1. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М., Наука, 1990,
416с. 2. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М.,
Наука, 1972, т.1, 468 с., т.2, 332 с. 3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика, М., Наука, 1965,
204с. 4. Бекташи Т.Г. Основной курс теоретической механики. Баку,
Элм, 1999, 692с. 5. Bəktaşi T.H. Nəzəri mexanika. Bakı, 1981, 515s.
![kolaÄ iky final 1 · 2017-09-20 · -2+$1,1( .2/Éÿ( 352'8.7< 6, 0Ðä7( &(/,$7,&.e ',$%(7,&.e 1Ì=.278ÿ1e 3527(,129e 2emhgqiynd plqlpioqh )rwn\ surgxnwry vl p{åhwh sr]ulh " qd](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5e33b26be4553b1fc338825b/kola-iky-final-1-2017-09-20-211-2-35287-6-07-7e.jpg)
