Тема. Практичне застосування теорії ймовірностей, комбінаторики та статистики.

Мета: сформувати уміння працювати в інформаційному просторі, знаходити, аналізувати необхідну інформацію, відсіювати зайве та представляти результати досліджень,

розвивати уміння використовувати закони, формули теорії ймовірностей, комбінаторики, статистики для розв’язування задач генетики, історії, археології, побутових, економічних питань,

виховувати любов до математики як базової для інших наук, відповідальне ставлення до навчально-пізнавальної діяльності.

Тип уроку:

Обладнання: проектор , ноутбук, презентації, картки з завданнями та таблицями.

Хід уроку.

І. Вступне слово вчителя(Слайд 1, Презентація №1)

На протязі вивчення теми ми неодноразово говорили, що без мінімальної ймовірнісно-статистичної грамотності людині важко орієнтуватися в соціальній, політичній, економічній інформації та приймати на її основі обґрунтовані рішення. Сучасні фізика, хімія, біологія, медицина, інші галузі науки і виробництва побудовані та розвиваються на ймовірнісно-статистичних основах. Французький математик Б.Паскаль, на відповідь скептикам щодо науковості теорії ймовірності, писав : «…окремі знання є також знаннями, і неповна впевненість однаково має деяке значення, особливо коли мені відома ступінь цієї впевненості…ступінь цієї важливості, впевненості події я назвав імовірністю».

Сьогодні ми поговоримо про місце теорії ймовірності, статистики, комбінаторики в історії розвитку інших наук і,звичайно, за допомогою роз’язання відповідних задач ми на практиці подивимося чи дійсно «цифри правлять світом».

ІІ. Актуалізація опорних знань

Вправа «Не в брову, а в око»(Слайд2,3)

Добери математичний термін до слова, яке виражає основну суть його визначення чи характеристики :

слово Математичний термін формулаПодії

Обов’язковоНіколиМожливоНе разомБіле-чорне

СполукиШикуванняЛотереяВибір + «безлад»Центральні тенденціїстатистикиНавпілБрендочікуванняГеометрія+алгебраВійськовий майданчик

Вправа «Польотне повторення»

Біля дошки 3 учні.

За 2 хвилини учням необхідно написати якомога більше формул із однієї з тем, що обираються жеребкуванням(Статистика, комбінаторика, теорія ймовірностей).

Вправа « Правило 30 с»(Слайд 4) Поки учні працюють біля дошки, їх однокласники обирають одне із завдань, на обміркування дається 30 с. Потім кожен зачитує задачу, записує на дошці та усно пояснює рішення, наступний( по колу) слухає і оцінює правильність. Кожному учаснику на виступ знову ж таки дається 30 с.

Завдання

1.З натуральних чисел від 1 до 18 включно учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником 18?

2. У лотереї розігрувалось 16 грошових призів і 20 речових. Усього було випущено 1800 лотерейних білетів. Яка ймовірність, придбавши один білет, не виграти жодного призу?

3. З 4 студентів треба вибрати двох для поїздки за кордон. Скільки варіантів вибору цих двох студентів існує?

4. У шухляді лежать чотири картки, на яких написані числа 1,2,3,5. Яка ймовірність того, що добуток чисел, записаних на двох навмання обраних картках , є непарним числом?

5. У класній кімнаті знаходяться 20 дівчат і 5 хлопців. Двоє учнів вийшли один за одним з кімнати. Яка ймовірність того, що обидва учні були хлопцями?

6.Ск.трицифрових чисел з різними цифрами можна записати, використовуючи цифри 1,2,3,4,5,6?

7 У меню їдальні є 3 перших, 6 других і 4 треті страви. Ск. способами можна вибрати обід, який містить по одній страві кожного виду?

8.У кімнаті знаходилося 14 дітей, половина з яких - дівчата. Четверо дівчат вийшло з кімнати. Яка ймовірність того, що наступна дитина, яка вийде з кімнати , буде дівчиною?

9.Ск. існує всього двоцифрових непарних натуральних чисел, перша цифра яких є парною?

ІІІ. Узагальнення знань та розвиток умінь, навичок. Презентація досліджень

Теорія ймовірностей та комбінаторика

1.Історія виникнення та розвитку наук комбінаторики, теорії ймовірностей (Презентація №3, додаток №2)

2.Розв’язування задач(слайд 5)

№1. Букви азбуки Морзе складаються із символів тире і точка. Чи можна записати всі букви алфавіту, якщо вимагати, щоб кожна буква містила не більше 4 символів?

Розв’язування.

Буква може містити за умовою 1,2,3,4 символи, які можуть повторюватися. Отже , кількість усіх можливих букв можна порахувати п

за формулою N = N1+ N2+N3+N4 =2+22+23+24=29. В українському алфавіті 32 букви, отже, цієї умови недостатньо для запису всіх букв.

№2. Серед 25 фірм, з яких 5 російських і 10 українських, розігрується

4 урядових контракти. Вважається, що кожна фірма має рівні шанси на отримання контракту. Знайти ймовірність того, що

а)А – «дві українські фірми виграють контракт»;

б) В - «хоча б одна українська фірма виграє контракт».

Розв’язування.

Знайдемо ймовірність події А:

Р(А) =С10

2 × С52

С154 =0,33.

Нехай подія С – «всі контракти виграють російські фірми», тоді за властивістю ймовірності

Р(В)=1- Р(С)=1-С5

4

С154 =0,994.

3 .Презентація дослідження «Генетика та математика» (Додаток№1, презентація 2)

Історія виникнення та розвитку, цікаві факти.Математичні методи, що допомогли формуванню та розвитку генетики.

4. Розв’язування задач(слайд 6)

1.У карооких батьків є четверо дітей, з яких двоє блакитнооких мають І, ІV групи крові, а двоє карооких –І-ІІ. Карій колір очей домінує над блакитнооким і визначається аутосомним геном.

Яка ймовірність народження наступної блакитноокої дитини з І групою крові?

Дано: А – карі очі,а-блакитні очі

Р- Аа,F – I,IV-карі, II,III-блакитні

А - «народження блакитноокої дитини з І групою крові»

Знайти: Р(А)

Розв’язання

Розглянемо групи гамет, які утворяться від матері та батька, їх комбінації:

Р О А аІ А І О О А аІ В ІО

Можна порахувати число сполук за допомогою правила множення:

N= 4 × 4=16

Отже, ймовірність народження блакитноокої дитини з І групою крові можна порахувати за формулою:

Р(А)= 1÷16

2.Відомо, що трикольорові кішки – завжди самки. Яка ймовірність отримання трикольорових кошенят від схрещування кішки з чорним котом?

Дано: А'- рудий,

а- чорний,

ОХ А ' Х a

O Х aУ

А- «поява трикольорової кішки»

В - «поява трикольорового кота»

Знайти: Р(А), Р(В)

Розв’язування.

Р ОХ А ' Х a × O Х aУ

Р Х А ' Х a

Х a Х А ' Х a Х a Х a

У Х А ' У Х aУ

P(A)=1÷ 4=0,25

Р(В)=0, ця подія є неможливою за законами генетики(математика це підтверджує).

Р А І А А І О аІ А аІ О

АІВ А АІ А І В А АІ В ІО А аІ А І В А аІ В ІО

А І О А АІ А І О А АІ О І О А аІ А І О А аІ О ІО

аІВ А аІ А І В А аІ В ІО а аІ А І в а аІ В ІО

аІО А аІ А І О А аІ О І О а аІ А І О а аІ О І О

Статистика

5. Роль статистики соціально-політичному та економічному розвитку суспільства

- Історія розвитку статистики на Україні (Презентація №4)

- Відеофільм з історії комп’ютерної графіки

- Представлення статистичних досліджень

6. Розв’язування задач(слайд 7)

Задача. На тренуванні під час 10 пострілів 2 спортсмени показали результати, представлені в таблиці. Яку середню кількість очок вибив кожен спортсмен та хто з спортсменів має незадовільну підготовку

(Х<7,5, розмах складає вибірки більше 6 очок)?

спортсмен\ очки 4 5 6 7 8 9 10спортсмен А 3 3 4 6 4спортсмен В 1 1 5 3 3 7спортсмен С 2 5 4 2 3 4

Х А=18+21+32+54+4020 =8,25

Х В=4+6+35+24+27+70

20 =8,3

ХС❑=8+25+24+14+24+3620 =6,6

Висновок : незадовільну підготовку кожен за одним з критеріїв мають спортсмени В та С

ІV. Підбиття підсумків. Виставлення оцінок.

Д/з домашня к/р

Додаток №1

Закономірності спадковості. Закони Г. Менделя, їх статистичний

Основні закономірності спадковості встановив видатний чеський учений Грегор Мендель. Свої дослідження Г. Мендель розпочав з моногібридного схрещування, при якому батьківські особини відрізняються за станом однієї ознаки. Обраний ним горох посівний — самозапильна рослина, тому нащадки кожної особини є чистими лініями. Водночас горох можна штучно перехресно запилити, що робить можливим гібридизацію та одержання гетерозиготних (гібридних) форм. Як материнські (Р) були взяті рослини чистої лінії із жовтим кольором насіння, а батьківської (Р) — із зеленим кольором. У результаті такого схрещування насіння рослин (гібридів першого покоління — F1) виявилось одноманітним — жовтого кольору. Тобто у фенотипі гібридів F1 проявилися лише домінантні ознаки.

Перший закон Менделя

Одноманітність першого гібридного покоління та виявлення у гібридів тільки домінантної ознаки називається законом домінування або І законом Менделя.

Тобто самозапильні рослини F1 із жовтим насінням дають нащадків із жовтим та із зеленим насінням; рецесивна ознака не зникає, а тільки тимчасово пригнічується, знову з’являється у F2, у співвідношенні 1/4 частина зелених насінин та 3/4 – жовтих. Тобто точно — 3:1.

Другий закон Менделя

Прояв у фенотипі чверті гібридів другого покоління рецесивної ознаки, а трьох четвертих — домінантної, отримала назву закону розщеплення, ІІ закону Менделя.

Третій закон Менделя

На підставі отриманих результатів Г. Мендель сформулював закон незалежного комбінування станів ознак (закон незалежного успадкування ознак). Це ІІІ закон Менделя. При ди- чи полігібридному схрещуванні розщеплення станів кожної ознаки у нащадків відбувається незалежно від інших. Для дигібридного схрещування характерне розщеплення за фенотипом 9:3:3:1, причому з’являються групи з новими поєднанням ознак.

Статистичний характер законів генетики. Для встановлення деяких закономірностей біолог завжди має справу не з окремими одиночними фактами або об'єктами дослідження, а з сукупністю фактів або об'єктів. Кожний окремий представник цієї сукупності характеризується своїми властивостями, оскільки кожний із них підпадає під різноманітні впливи зовнішнього середовища.

Цих впливів може бути багато, і за своїми діями вони можуть бути настільки різноманітними, що знайти їх для кожного окремого випадку просто неможливо.

Не дивлячись на це, всі разом узяті об'єкти проявляють визначені, так звані статистичні, закономірності (встановлені при вивченні великого числа об'єктів), і біолог може передбачати наслідки масового явища в цьому. Відносно ж окремого факту або об'єкту сукупності можна говорити лише про вірогідність того, що він матиме місце, характеризуватиметься тими або іншими властивостями.

Всі явища в природі можна поділити на випадкові і закономірні. При закономірних явищах за явищем А слідуватиме явище В. При випадкових у відповідь на явище А може відбутися не тільки В, а і С, D тощо.

Саме тому в потомстві гібридів фактична кількість, одержувана в досліді, не завжди відповідає очікуваній. Оскільки генетичні співвідношення указують лише на вірогідність того, що при моногібридному схрещуванні в другому поколінні 3/4 особин повинні бути з домінантним станом ознак і 1/4 з рецесивними. При малій кількості нащадків фактичні числа можуть дуже відхилятися від очікуваних. Але, як витікає з теорії вірогідності: чим більший фактичний матеріал, тим він більше наближається до очікуваного відношення.

Решітка Пенне́та — двомірна таблиця, що використовується для передбачення результатів певного схрещування. Названа на честь Реджинальда Пеннета, який уперше запропонував таку форму запису. Для побудови решітки Пеннета у клітинках по горизонталі відкладаються всі можливі типи гамет одного із батьківських організмів, а по вертикалі — іншого. На перетині записують відповідні комбінації цих гамет, що відображають потенційні типи зигот, які можуть виникнути із однаковою імовірністю. Таким методом можна оцінити співвідношення генотипових і фенотипових класів у потомстві, за умови, що генотипи батьківських особин у схрещуванні відомі.

Додаток №2

1) Перша згадка про питання, близькі до комбінаторних, зустрічається в китайських рукописах, що відносяться до XII - XIII ст. до н.е. (точно датувати ці рукописи неможливо, тому що вони в 213 р. до н.е. імператор Цин Шихуан наказав спалити всі книги, тому до нас дійшли пізніше зроблені копії).   

                                         Магічний квадрат на гравюрі Дюрера " Меланхолія »

Комбінаторні мотиви можна помітити в символіці китайської "Книги Змін" (V століття до н. е..). На думку її авторів, все в світі комбінується з різних поєднань чоловічого і жіночого начал, а також восьми стихій: земля, гори, вода, вітер, гроза, вогонь, хмари і небо.Історики відзначають також комбінаторні проблеми в керівництві по грі в Го та інші ігри. Великий інтерес математиків багатьох країн з давніх часів незмінно викликали магічні квадрати.Античні греки також розглядали окремі комбінаторні задачі, хоча систематичний виклад ними цих питань, якщо воно й існувало, до нас не дійшло. Хрісіпп ( III століття до н.е..) і Гіппарх ( II століття до н.е..) підраховували, скільки наслідків можна отримати з 10 аксіом; методика підрахунку нам невідома, але у Хрісіппа вийшло більше мільйона, а у Гіппарха - більше 100000 [3]. Аристотель при викладі своєї логіки безпомилково перерахував всі можливі типи тричленних силогізмів. Аристоксен розглянув різні чергування довгих і коротких складів у віршованих розмірах. [3] Якісь комбінаторні правила піфагорійці, ймовірно, використовували при побудові своєї теорії чисел і нумерології ( вчинені числа, фігурні числа,Піфагорові трійки та ін.)

СередньовіччяВ XII столітті індійський математик Бхаскара у своїй основній праці "Лілаваті" докладно досліджував завдання, пов'язані з перестановками і поєднаннями, включаючи перестановки з повтореннями.У Західній Європі ряд глибоких відкриттів в області комбінаторики зробили два єврейських дослідника,Авраам ібн Езра ( XII століття) і Леві бен Гершем (він же Герсонід, XIV століття). Ібн Езра виявив симетричність біноміальних коефіцієнтів, а Герсонід дав явні формули для їх підрахунку і застосування в задачах обчислення числа розміщень і поєднань.Кілька комбінаторних задач містить " Книга абака "( Фібоначчі, XIII століття). Наприклад, він поставив завдання знайти найменше число гирь, достатнє для зважування будь-якого товару вагою від 1 до 40 фунтів.

Новий часДжероламо Кардано написав математичне дослідження ігри в кості, опубліковане посмертно. Теорією цієї гри займалися також Тарталья і Галілей. В історію зароджувалась теорії ймовірностей увійшла листування запеклого гравця шевальє де Мере з П'єром Ферма і Блез Паскаль, де були порушені кілька тонких комбінаторних питань. Крім азартних ігор, комбінаторні методи використовувалися (і продовжують використовуватися) в криптографії - як для розробки шифрів, так і для їх злому.

Трикутник ПаскаляБлез Паскаль багато займався біноміальних коефіцієнтів і відкрив простий спосіб їх обчислення: "трикутник Паскаля ". Хоча цей

спосіб був уже відомий на Сході (приблизно з X століття), Паскаль, на відміну від попередників, суворо виклав і довів

властивості цього трикутника. Поряд з Лейбніцем, він вважається основоположником сучасної комбінаторики. Сам

термін "комбінаторика" придумав Лейбніц, який в 1666 (йому було тоді 20 років) опублікував книгу

"Роздуми про комбінаторному мистецтві". Правда, термін "комбінаторика" Лейбніц розумів надмірно широко, включаючи в нього всю кінцеву математику і

навіть логіку [4]. Учень Лейбніца Якоб Бернуллі, один із засновників теорії ймовірностей, виклав у своїй книзі "Мистецтво припущень" ( 1713) безліч відомостей з комбінаторики.У цей же період формується термінологія нової науки. Термін " поєднання "(combination) вперше зустрічається у Паскаля ( 1653, опублікований в 1665). Термін " перестановка "(permutation) вжив у зазначеній книзі Якоб Бернуллі (хоча епізодично він зустрічався і раніше). Бернуллі використовував і термін " розміщення "(arrangement).Після появи математичного аналізу виявилася тісний зв'язок комбінаторних і ряду аналітичних задач.Абрахам де Муавр і Джеймс Стірлінг знайшли формули для апроксимації факторіала. [5]

Остаточно комбінаторика як самостійний розділ математики оформилася в працях Ейлера. Він детально розглянув, наприклад, такі проблеми.: Завдання про хід коня Завдання про сім мостах , з якої почалася теорія графів Побудова греко-латинських квадратів Узагальнені перестановки Крім перестановок і поєднань, Ейлер вивчав розбиття, а також поєднання і розміщення з умовами.Сучасний розвиток

На початку XX століття почала розвиватися комбінаторна геометрія: були доведені теореми Мінковського - Радону, Радону, Хеллі, Юнга, Бляшке, а також строго доведена изопериметрическая теорема. На стику топології, аналізу та комбінаторики були доведені теореми Борсука - Улама і Люстерник - Шнирельман. У другій чверті XX століття були поставлені проблема Борсука і проблема Нелсона - Ердеша - Хадвігера. В1940-х роках оформилася теорія Рамсея. Батьком сучасної комбінаторики вважається Пал Ердеш, який ввів в комбінаторику імовірнісний аналіз. Увага до кінцевої математики і, зокрема, до комбінаториці значно підвищилося з другої половини XX століття, коли з'явилися комп'ютери. Зараз це надзвичайно змістовна і швидко розвивається область математики.Список використаної літератури:

1.М.І. Бурда. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математика.11 клас - Харків «Гімназія», 2008

2. А.Істер. ДПА з математики, 11 клас - ТОВ «Центр навчально-методичної літератури», 2013

3. Методика вивчення елементів комбінаторики, початків теорії ймовірностей і вступу до статистики в загальноосвітніх навчальних закладах/ З.І.Слєпкань, І.С.Соколовська.- Шкільний світ: Математика,№29-30, 2004р.

4. Є.П.Нелін, О.Є.Долгова. Алгера 11 клас, підручник (профільний рівень)-Харків «Гімназія», 2011

5.kombinatoruka11/blogspot.com