Oµογενής ράβδος BΓ βάρους ! w , ισορροπεί ώστε τα

άκρα της να εφάπτονται σε µια λεία και ακίνητη κοίλη σφαίρα ακτί νας R, όπως φαίνεται στο σχήµα (1). Eάν η κατακόρυφη δύναµη

!

F που εξασκείται στο άκρο Γ της ράβδου έχει µέτρο w/2, να βρεθεί η γωνία που σχηµατίζει η ράβδος µε την οριζόντια διεύθυνση. Tο µήκος της ράβδου είναι ίσο µε R 3. ΛYΣH: H ράβδος ΒΓ ισορροπεί µε την επίδραση του βάρους της

! w , της κατα

κόρυφης δύναµης !

F που εξασκείται στο άκρο της Γ και των αντιδράσεων

!

A 1,

!

A 2 στα σηµεία στήριξης B και Γ, των οποίων οι φορείς διέρχονται από το κέν

τρο O της σφαίρας, διότι αυτή είναι λεία. Eπειδή οι δυνάµεις !

F και ! w είναι

κατακόρυφες και η συνισταµένη τους !

F +

! w θα είναι κατακόρυφη, ο δε φορέας

της πρέπει, να διέρχεται από το σηµείο O. Eάν M είναι το σηµείο, όπου ο φορέ ας της

!

F +

! w τέµνει την ράβδο ΒΓ και C το µέσον (κέντρο µάζας) της ράβδου,

τότε πρέπει να ισχύει :

�

(CM)w = (M!)F

�

!

�

(CM)w = [R 3 /2 - (CM)]F (1)

Σχήµα 1 Eξάλλου από το ορθογώνιο τρίγωνο OMC έχουµε:

�

!µ" =C#

O#=

R 3/2

R=

3

2

�

! θ = π/3

Eπίσης από το ορθογώνιο τρίγωνο COM έχουµε: CM = (OC)εφφ

�

! CM = (OΓ) συνθ εφφ

�

! CM = Rσυν(π/3)εφφ = Rεφφ/2 (2) όπου φ η γωνία που σχηµατίζει η ράβδος µε την οριζόντια διεύθυνση, όταν ισορροπεί. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε την σχέση:

�

R!"#2

w =R 3

2-R!"#

2

$

% &

'

( ) F

�

!

�

(w + F)R!"#

2=

FR 3

2

�

!

�

!"# =F 3

w + F P.M. fysikos

Oµογενής πρισµατική ράβδος AB στηρίζεται µε το άκρο της A στο κατακόρυφο λείο τοίχωµα ενός οχήµατος και µε το άλλο της άκρο Β στο δάπεδο του οχήµατος, µε το οποίο η ράβδος παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής n (σχ. 2). Nα βρείτε την συν θήκη, ώστε όταν αυξάνεται η επιτάχυνση του οχήµατος, η ράβδος να χάνει την επαφή της µε το κατακόρυφο τοίχωµα πριν αρχίσει να ολισ θαίνει στο δάπεδο του σχήµατος. Δίνεται η γωνία φ της ράβδου µε το δάπεδο. ΛΥΣΗ: Ας δεχθούµε ότι µε την προοδευτική αύξηση της επιταχύνσεως του οχήµατος επίκειται κάποια στιγµή η απόσπασή του άκρου Α της ράβδου από το κατακόρυφο τοίχωµα του οχήµατος χωρίς το άκρο Β να ολισθαίνει πάνω στο δά πεδό του. Την στιγµή αυτή η ράβδος δέχεται το βάρος της

�

! w , την αντίδραση

του δαπέδου, που αναλύεται στην στατική τριβη

�

! T και στην κάθετη αντίδραση

�

! N , ενώ η οριζόντια αντίδραση

�

! F του λείου κατακόρυφου τοιχώµατος τείνει να

µηδενιστεί. Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας C της ράβδου τον δεύτερο νόµο

Σχήµα 2 κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση:

�

T = ma1 (1)

όπου

�

! a

1 η επιτάχυνση του οχήµατος κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή.

Όµως την στιγµή αυτή η ράβδος δεν περιστρέφεται της, που σηµαίνει ότι η συ νολική ροπή περί το κέντρο µάζας της των δυνάµεων που δέχεται είναι µη δενική, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

!" (C) = 0

�

!

�

TL!µ"/2 - NL#$%"/2 = 0

�

!

�

T!µ" - N#$%" = 0

�

!

�

T!µ" = mg#$%"

�

!

�

T = mg!"# (2) όπου τέθηκε Ν=mg, διότι το κέντρο µάζας της ράβδου δεν µετατοπίζεται κατα κόρυφα. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε:

�

ma1 = mg!"#

�

!

�

a1 = g!"# (3) Aς δεχθούµε την περίπτωση που επικρατούν συνθήκες, οι οποίες επιτρέπουν, καθώς αυξάνεται η επιτάχυνση του οχήµατος, το άκρο Α της ράβδου διατηρεί την επαφή του µε το κατακόρυφο τοίχωµα, ενώ κάποια στιγµή να επίκειται η ολίσθηση του άκρου Β πάνω στο δάπεδο του οχήµατος. Την στιγµή αυτή η τριβή

�

! T είναι οριακή στατική τριβή, ενώ η δύναµη

�

! F δεν είναι µηδενική. Εφαρ

µόζοντας πάλι για το κέντρο µάζας της ράβδου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση:

�

T - F = ma2

�

!

�

nN - F = ma2

�

!

�

nmg - F = ma2 (4) όπου

�

! a

2 η αντίστοιχη επιτάχυνση του οχήµατος. Επειδή κατα την θεωρούµενη

χρονική στιγµή η ράβδος δεν περιστρέφεται ισχύει:

�

!" (C) = 0

�

!

�

TL!µ"/2 - NL#$%"/2 + FL!µ" /2 = 0

�

!

�

nN!µ" - N#$%" + F!µ" = 0

�

!

�

nmg!µ" - mg#$%" + F!µ" = 0

�

!

�

F = mg!"#$ /%µ$ - nmg

�

!

�

F = mg(!"# - n) (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) έχουµε:

�

nmg - mg(!"# - n) = ma2

�

!

�

a2 = (2n - !"#)g (6) Aν ισχύει a1<a2 είναι προφανες ότι η ράβδος θα χάσει την επαφή της µε το κατα κόρυφο τοιχωµα του οχήµατος πριν ολισθήση στο δάπεδό του. Τότε µε βάση τις (3) και (6) θα πρέπει:

�

g!"# < (2n - !"#)g

�

!

�

!"# < n (7) H σχέση (7) αποτελεί την ζητούµενη συνθήκη. Παρατήρηση: Aν ισχύει σφφ>n είναι προφανές ότι η ράβδος µε την αυξηση της επιταχύνσε ως του οχήµατος θ΄ αρχίσει να ολισθαίνει στο δάπεδό του πριν το άκρο της Β

αποσπασθεί από το κατακόρυφο τοίχωµα. Τέλος στην περίπτωση που ισχύει σφφ=n, τότε την στιγµή που το µέτρο της επιτάχυνσης του οχήµατος γίνει ίσο µε ng θα επίκειται η απόσπαση του άκρου Α από το τοίχωµα καθώς και η ολίσθηση του άκρου Β στο δάπεδο.

P.M. fysikos

O λαιµός µιας τροχαλίας βάρους

�

! w , εφάπτεται

κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ, µε το οποίο η τροχαλία παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής n (σχ. 3). H τροχαλία συγκρατείται µε την βοήθεια αβαρούς και µη εκτατού νήµατος, το οποίο έχει περιτυλιχθεί στο αυλάκι της, ενώ στο άκρο του Α εφαρµό ζεται δύναµη

�

! F , της οποίας το µέτρο µπορεί να µεταβάλλεται.

i) Nα καθορίσετε την διεύθυνση του νήµατος για την οποία το µέτρο της δύναµης

�

! F παίρνει την ελάχιστη τιµή, ώστε η τροχαλία να ισορρο

πεί πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο µε το επιπεδό της κατακόρυφο ii) Nα υπολογίσετε την ελάχιστη αυτή τιµή και να βρείτε την συνθήκη που πρέπει να την συνοδεύει. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι η τροχαλία ισορροπεί επί του κεκλιµένου επι πέδου, όταν το νήµα σχηµατίζει γωνία θ µε την γραµµή µέγιστης κλί σεως του του επιπέδου και στο άκρο του εφαρµόζεται κατάλληλη δύναµη

�

! F . Η τροχαλία δέχεται το βάρος της

�

! w που αναλύεται στην κάθετη προς το

κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα

�

! w

y και την παράλληλη προς αυτό συνιστώσα

�

! w

x, την αντίδραση του κεκλιµένου επιπέδου που αναλύεται στην στατική τρι

βή

�

! T και στην κάθετη αντίδραση

�

! N και τέλος την τάση του νήµατος ίση προς

Σχήµα 3 την δύναµη

�

! F , που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο

συνιστώσα

�

! F

x και την κάθετη προς αυτό συνισώσα

�

! F y. Λόγω της ισορροπίας

της τροχαλίας θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

!F(x) = 0

!F(y) = 0

!" (C) = 0

#

$ %

& %

�

!

�

Fx + T - wx = 0

Fy + N - wy = 0

FR - TR = 0

!

" #

$ #

�

!

�

F!"#$ + T - w%µ& = 0

F%µ$ + N - w!"#& = 0

F - T = 0

'

( )

* )

�

!

�

T = w!µ" - F#$%&

N = w#$%" - F!µ&

F = T

'

( )

* )

(1)

Συνδυάζοντας την τρίτη µε την πρώτη από τις σχέσεις (1) παίρνουµε:

�

F = w!µ" - F#$%&

�

!

�

F(1+!"#$) = w%µ&

�

!

�

F =w!µ"

1+#$%& (2)

Από την (2) προκύπτει ότι για θ=0 (συνθ=1) το µέτρο της

�

! F γίνεται ελάχιστο µε

αντίστοιχη τιµή:

�

Fmin

=w!µ"

1+1=

w!µ"

2 (3)

Τότε το νήµα θα είναι παράλληλο προς το κεκλιµένο επίπεδο. ii) Eπειδή η τριβη

�

! T είναι στατική το µέτρο της ικανοποιεί την σχέση:

�

T ! nN

�

!

�

F ! nN Όµως, όταν F=Fmin η δευτερη εκ των (1) δίνει Ν=wσυνφ, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται:

�

Fmin

! nw"#$%

�

!

(3)

�

w!µ" /2 # nw$%&"

�

!

�

!µ" /#$%" & 2n

�

!

�

!"# $ 2n (4) H (4) αποτελεί την συνθήκη που απαιτείται, ώστε η τροχαλία να ισορροπεί µε την ελάχιστη τιµή του µέτρου της

�

! F .

P.M. fysikos

H τροχαλία του σχήµατος (4) έχει µάζα m και ακτίνα R παρουσιάζει δε µε το οριζόντιο επίπεδο συντελεστή τριβής ολίσθησης n. i) Nα βρεθεί η γωνία φ, ώστε η τροχαλία να περιστρέφεται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο, όταν η δύναµη

�

! F που εφαρµόζεται

στο άκρο A του νήµατος που περιβάλλει τον λαιµό της τροχαλίας πα ρουσιάζει το µικρότερο δυνατό µέτρο και να βρεθεί το µέτρο αυτό.

ii) Eάν n=

�

3/3 να βρεθεί η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση της περισ τρεφόµενης τροχαλίας. Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mR2/2 της τροχα λίας, ως προς τον γεωµετρικό της άξονα, που αποτελεί και τον άξονα περιστροφής της. ΛΥΣΗ: i) Έστω ότι η τροχαλία έχει γνήσια περιστροφή ως προς τον γεωµετρικό της άξονα. Τότε η τριβή

�

! T που δέχεται από το οριζόντιο έδα

φος είναι τριβή ολίσθησης και πρέπει να κατευθύνεται προς τα αριστερά για να αποφεύγεται η µεταφορική κίνηση της τροχαλίας (σχ. 4). Εάν

�

! F

x

είναι η οριζόντια συνιστώσα της

�

! F , τότε θα έχουµε την σχέση:

�

Fx= T

�

!

�

F!µ" = nN (1)

Σχήµα 4 όπου

�

! N η καθετη αντίδραση που ασκεί το έδαφος επί της τροχαλίας.

Όµως η τροχαλία δεν µετατοπίζεται κατακόρυφα, οπότε ισχύει:

�

N + Fy = w

�

!

�

N = mg - F!"#$ µε αποτέλεσµα η (1) να γράφεται:

�

F!µ" = n(mg - F#$%")

�

!

�

F(!µ" + n#$%")= nmg

�

!

�

F=nmg

!µ" + n#$%" (2)

Θέτοντας n=εφθ η (2) µετασχηµατίζεται ως εξής:

�

F=nmg

!µ" + #$%&'("

�

!

�

F=nmg

!µ" + !µ#$%&" /$%&#

�

!

�

F=nmg!"#$

%µ&!"#$ + %µ$!"#&=

nmg!"#$

%µ (& +$) (3)

Aπό την (3) προκύπτει ότι το µέτρο της

�

! F παίρνει την ελάχιστη τιµή του

Fmin, όταν ηµ(φ+θ)=1, δηλαδή όταν φ+θ=π/2. Τότε θα έχουµε: εφφ=εφ(π/2-θ)=σφθ=1/n

�

! φ=τοξεφ(1/n) και

�

Fmin = nmg!"#$ =nmg

1+ %&2$=

nmg

n2 +1 (4)

Aς δούµε όµως αν η ελάχιστη αυτή τιµή του µέτρου της

�

! F επιτρέπει

στην τροχαλία να διατηρεί την επαφή της µε το έδαφος. Αν δεχθούµε ότι η επαφή διατηρείται, τοτε θα έχουµε:

�

N = mg - Fmin!"#$ = mg -Fmin

1+ %&2$

�

!

�

N = mg -Fmin

1+!"2#

�

!

(4)

�

N = mg -nmg

n2 +1

1

1+1/n2= mg -

n2mg

n2 +1

�

!

�

N =mg(n2 +1) - n2mg

n2 +1=

mg

n2 +1> 0

δηλαδή η υπόθεση που κάναµε είναι σωστή. ii) Για να υπολογίσουµε την γωνιακή επιτάχυνση

�

! ! ' της τροχαλίας που

αντιστοιχεί στην ελάχιστη τιµή του µέτρου της

�

! F εφαρµόζουµε για την

τροχαλία τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, οπότε θα έχουµε:

�

Fmin

R+ TR = I!'

�

!

�

Fmin

R+ nNR = mR2! '/2

�

!

�

Fmin + n(mg - Fmin!"#$) = mR% '/2

�

!

�

Fmin(1- n!"#$) + nmg = mR% '/2

�

!

�

Fmin(1- n!µ") + nmg = mR# '/2

�

!

�

Fmin 1- n!"#

1+ !"2#

$

%

&

'

(

) + nmg = mR* '/2

�

!

�

Fmin 1-n2

1+ n2

!

" #

$

% & + nmg = mR' '/2

�

!

�

nmg

n2 +1

!

" #

$

% &

1+ n2 - n2

1+ n2

!

"

#

$

%

& + nmg = mR' '/2

�

!

�

2ng

R

1+ n2 - n2

1+ n2

!

"

#

$

%

& +2ng

R= ' '

�

!

�

!'=2ng

R

1+ n2 - n2

1+ n2+1

"

#

$

%

&

' (5)

Για

�

n= 3/3 η (5) δίνει:

�

!'=2 3g

3R

1+1/3 - 1/3

1+1/3+1

"

# $

%

& ' =

2 3g

3R

4/3 - 1/3

4/3+1

"

# $

%

& '

�

!

�

!'=2 3g

3R

2 3 - 1

4+1

"

# $

%

& ' =

3g

6R

2 3 + 3

4

"

# $

%

& ' =

g

2R2 + 3( ) (6)

P.M. fysikos

Στο καρούλι του σχήµατος (5) ενεργεί η δύναµη

�

! F , η οποία εφαρµόζεται στο άκρο A του νήµατος που περιβάλλει το κυλινδρικό σώµα του καρουλιού. To νήµα παρουσιάζει κλίση φ ως προς την οριζόντια διεύθυνση (0<φ<π/2), είναι αβαρές και µη εκτατο και δεν ολισθαίνει πάνω στο καρούλι. i) Nα βρείτε τις αναγκαίες συνθήκες ώστε να συµβεί έναρξη κύλισης χωρίς ολίσθηση του καρουλιού πάνω στο οριζόντιο επίπεδο µε µετα τόπιση του άξονά του προς τα δεξιά. ii) Tι συµβαίνει µε την κίνηση του καρουλιού, όταν ο φορέας της δύ ναµης

�

! F προεκτεινόµενος τέµνει την ευθεία επαφής του καρουλιού

µε το οριζόντιο έδαφος; iii) Nα βρείτε τις αναγκαίες συνθήκες ώστε το καρούλι να εκτελεί γνήσια περιστροφική κίνηση περί τον άξονά του. iv) Eάν F=mg και φ=0 για ποιες τιµές του συντελεστή οριακής τριβής µεταξύ του καρουλιού και του οριζόντιου επιπέδου είναι δυνατή η κύ λιση του; Δίνονται οι ακτίνες r και R του κυλινδρικού σώµατος και των κυκλικών βάσεων αντιστοίχως του καρουλιού (R>r), η ροπή αδράνειας I αυτού ως προς τον γεωµετρικό του άξονα και ο συντε λεστής οριακής τριβής n µεταξύ εδάφους και καρουλιού. ΛΥΣΗ i) Ας δεχθούµε ότι το µέτρο της δύναµης

�

! F και η τιµή της γωνίας φ

προκαλούν έναρξη κύλισης χωρίς ολίσθηση του καρουλιού µε µετατόπιση του γεωµετρικού του άξονα προς τα δεξιά. Τότε θα πρέπει το καρούλι να αρχίσει να περιστρέφεται περί τον άξονά του δεξιόστροφα, ώστε να είναι δυνατός ο µηδε

νισµός της εφαπτοµενικής επιτάχυνσης των σηµείων επαφής του Μ µε το οριζόντιο έδαφος. Στο καρούλι ενεργεί το βάρος του

�

! w , η δύναµη

�

! F που αναλύ

εται στην οριζόντια συνιστώσα

�

! F

x και στην κατακόρυφη συνιστώσα

�

! F y και η

δύναµη επαφής απο το έδαφος που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση

�

! N και

στην στατική τριβή

�

! T , η οποία πρέπει να έχει την κατεύθυνση µετατόπισης του

κέντρου µάζας του καρουλιού. Εάν

�

! a

C είναι η επιτάχυνση του κέντρου µάζας

του καρουλιού κατά την έναρξη της κύλισής του (t=0), σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα έχουµε την σχέση:

�

T - Fx

= maC

�

!

�

T = F!"#$ + maC (1)

Σχήµα 5 Εφαρµόζοντας εξάλλου για την περιστροφική κίνηση του καρουλιού τον θεµε λιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση:

�

Fr - TR = I!'

�

!

�

Fr - TR = IaC/R (2)

όπου

�

! ! ' η αντίστοιχη γωνιακή του επιτάχυνση, της οποίας το µέτρο λόγω της

κύλισης είναι ίσο µα aC/R. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

�

Fr - R(F!"#$ + maC) = IaC/R

�

!

�

F(r - R!"#$) = aC(mR + I/R)

�

!

�

aC =FR(r - R!"#$)

mR2+ I

(3)

Όµως πρέπει:

aC >0

�

!

(3)

�

r - R!"#$ > 0

�

!

�

!"#$ < r /R Για να εξασφαλίζεται η κύλιση πρέπει να συµβαίνουν τα εξής:

α) Το καρούλι να µη χάνει την επαφή του µε το έδαφος, δηλαδή πρέπει: N≥ 0

�

! mg-Fηµφ≥0

�

! F≤mg/ηµφ (4) β) Το καρούλι να µη ολισθαίνει, δηλαδή πρέπει:

�

T ! nN

�

!

�

T ! n(mg - F"µ#) (5) Εξάλλου διαιρώντας κατά µέλη τις (1) και (2) παίρνουµε:

�

T - F!"#$

Fr - TR=

mRaC

IaC

�

!

�

TI - FI!"#$ = FmRr - TmR2

�

!

�

T(I+ mR2) = F(mRr + I!"#$)

�

!

�

T = FmRr + I!"#$

I + mR2

%

& '

(

) * (6)

Aκόµη συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) έχουµε:

�

FmRr + I!"#$

I + mR2+ n%µ$

&

' (

)

* + , nmg

�

!

�

F!nmg

mRr + I"#$%

I + mR2+ n&µ%

�

!

�

F!nmg(I+ mR2)

mR(r + nR"µ#) + I(n"µ# +$%&#) (7)

Σχήµα 6 H σχέση συνφ<r/R σε συνδυασµό µε τις (4) και (7) εξασφαλίζουν την έναρξη κύλισης χωρίς ολίσθηση του καρουλιού, µε µετατόπιση του άξονά του προς τα δεξιά. ii) Eάν ο φορέας της δύναµης

�

! F προεκτεινόµενος συναντά την ευθεία επαφής

του καρουλιού µε το έδαφος (σχ. 6), τότε θα ισχύει συνφ=r/R και η σχέση (3) δίνει aC=0, µε αποτέλεσµα να είναι και ω’=0. Τότε η (2) επιβάλλει την σχέση:

�

Fr - TR = 0

�

!

�

T = Fr/R

�

!

�

T = F!"#$ (8) η οποία είναι συµβιβαστή µε την (1). Αν ακόµη απαιτήσουµε η τριβή να είναι στατική πρέπει:

�

T ! nN

�

!

(7)

�

Fr /R ! n(mg - F"µ#)

�

!

�

F(r /R + n!µ") # nmg

�

!

�

F(r + nR!µ") # nmRg

�

!

�

F !nmRg

r + nR"µ#

�

!

�

F !nmRg

r + nR 1- "#$2%

�

!

�

F !nmRg

r + nR 1- r2/R2

�

!

�

F !nmRg

r + n R2 - r2 (9)

Τέλος για να µη χάνει το καρούλι την επαφή του µε το έδαφος πρέπει:

�

N ! 0

�

!

�

w - F!µ" # 0

�

!

�

mg ! F 1- "#$2%

�

!

�

F !mg

1- r2 /R2

�

!

�

F !mgR

R2 - r2 (10)

Άρα όταν ο φορέας της δύναµης

�

! F προεκτεινόµενος διέρχεται από την ευθεία

επαφής του καρουλιού µε το έδαφος και το µέτρο της ικανοποιεί τις σχέσεις (9) και (10) το καρούλι θα ισορροπεί. Παρατήρηση 1η: Μπορούµε να καταλήξουµε στις σχέσεις (9) και (10) θέτοντας στις δεσµευτικές σχέσεις (4) και (7) του ερωτήµατος (i), όπου συνφ=r/R. iii) Όταν το καρούλι έχει γνήσια περιστροφική κίνηση περί τον άξονά του η τριβή

�

! T είναι τριβή ολισθήσεως και επί πλέον ισχύει

�

aC=0. Τότε θα έχουµε:

�

Fx- T = 0

�

!

�

F!"#$ = nN

�

!

�

F!"#$ = n(mg - F%µ$)

�

!

�

F(!"#$ + n%µ$) = nmg

�

!

�

F =nmg

!"#$ + n%µ$ (11)

Ακόµη θα ισχύει:

�

!'> 0

�

!

�

Fr - TR > 0

�

!

�

F > nNR/r

�

!

�

F > nR(mg - F!µ")/r

�

!

�

F 1+nR!µ"

r

#

$ %

&

' ( >

nRmg

r

�

!

(11)

�

nmg

!"#$ + n%µ$&

' (

)

* + 1+

nR%µ$r

&

' (

)

* + >

nRmg

r

�

!

Σχήµα 7

�

1+nR!µ"

r>

R(#$%" + n!µ")

r

�

!

�

r + nR!µ" > R#$%" + nR!µ"

�

!

�

!"#$ < r /R (12) Τέλος πρέπει να εξετάσουµε αν η τιµή που προκύπτει για το µέτρο της δύνα µης

�

! F από την σχέση (11) εξασφαλίζει ότι το καρούλι δεν χάνει την επαφή του

µε το έδαφος. Αν δεχθούµε ότι αυτό συµβαίνει, τότε το µέτρο της κάθετης αντίδρασης

�

! N θα είναι:

�

N = mg - F!µ"

�

!

(11)

�

N = mg -nmg!µ"

#$%" + n!µ"

�

!

�

N =mg!"#$ + nmg%µ$ - nmg%µ$

!"#$ + n%µ$=

mg!"#$

!"#$ + n%µ$> 0

δηλαδή το καρούλι δεν χάνει την επαφή του µε το έδαφος. Η παραπάνω ανάλυ ση µας επιτρέπει να συµπεράνουµε ότι, αν ισχύει:

�

!"#$ < r /R και

�

F =nmg

!"#$ + n%µ$

τότε το καρούλι θα έχει γνήσια περιστροφική κίνηση µε γωνιακή επιτάχυνση που καθορίζεται από τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, σε συνδυασµό βέβαια µε τις δύο προηγούµενες δεσµεύσεις.

Παρατήρηση 2η: Θέτοντας στην σχέση (11) όπου n=εφθ αυτή µετασχηµατίζεται ως εξής:

�

F =nmg

!"#$ + %$&'µ$=

nmg

!"#$ + 'µ&'µ$ /!"#&

�

!

�

F =nmg!"#$

!"#%!"#$ + &µ$&µ%=

nmg!"#$

!"#(% - $) (13)

Από την (13) παρατηρούµε ότι αν η γωνία φ λάβει την τιµή που ικανοποιεί την σχέση εφφ=εφθ=n, τότε το µέτρο της παίρνει την µικρότερη τιµή του:

�

Fmin = nmg!"#$ =nmg

1+ %&2$=

nmg

1+ n2

Αν λοιπόν ισχύει:

�

!"#$ < r/R ή

�

1

1+ n2

<r

R

τότε η γνήσια περιστροφή του καρουλιού επιτυγχάνεται µε την ελάχιστη τιµή του µέτρου της

�

! F .

iv) Ας δεχθούµε ότι το καρούλι υπό την επίδραση της οριζόντιας δύναµης

�

! F

µε µέτρο F=mg κυλίεται χωρίς ολίσθηση. Η κύλισή του ισοδυναµεί µε γνήσια περιστροφή αυτού περί τον στιγµιαίο άξονα περιστροφής που είναι η ευθεία επαφής του µε το έδαφος. Η περιστροφή αυτή είναι αριστερόστροφη και οφεί λεται µόνο στην δύναµη

�

! F , διότι οι ροπές των τριών άλλων δυνάµεων (

�

! w ,

�

! N ,

�

! T ) ως προς τον άξονα αυτόν είναι µηδενικές. Άρα η µετατόπιση του άξονα του καρουλιού κατευθύνεται προς τα αριστερά και µε τον τρόπο αυτόν είναι δυνα τός ο µηδενισµός της ταχύτητας των σηµείων επαφής Μ του µε το έδαφος.

Σχήµα 8 Εφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας του καρουλιού τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα και για την περιστροφική του κίνηση περί τον άξονά του τον θεµελιώδη νόµο της στροφική κίνησης, παίρνουµε τις σχέσεις:

�

F - T = maC

TR - Fr = I!'

"

#

$

�

!

�

F - T = maC

TR - Fr = IaC/R

!

"

#

�

!

(:)

�

F - T

TR - Fr=

Rm

I

�

!

�

mg - T

TR - mgr=

Rm

I

�

!

�

mgI - TI = TmR2 - m2gRr

�

!

�

mg(I+ mRr) = T(I+ mR2)

�

!

�

T =mg(I+ mRr)

I + mR2 (14)

Όµως η τριβή

�

! T είναι στατική οπότε ισχύει:

�

T ! nN

�

!

(14)

�

mg(I+ mRr)

I + mR2! nmg

�

!

�

I + mRr ! n(I + mR2)

�

!

�

n !I + mRr

I+ mR2

(15)

P.M. fysikos

Στην διάταξη του σχήµατος (9) η τροχαλία (τ) έχει µάζα Μ και ακτίνα R, ενώ η σταθερή τροχαλία (τ’) έχει αµελητέα µάζα. Το νήµα που έχει περιτυλιχθεί στο αυλάκι της τροχαλίας (τ) έχει αρκετά µεγάλο µήκος, είναι αβαρές και µη εκτατό διέρχεται δε από τον λαιµό της τροχαλίας (τ’) και στο άκρο του είναι δεµένο το σώµα Σ µάζας m<M. Αρχικά το σώµα Σ κρατείται ακίνητο µε την τροχαλία σε επαφή µε το οριζόντιο έδαφος και µε το επίπεδό της κατακόρυφο. Κάποια στιγµή το σώµα αφήνεται ελεύθερο και το σύ στηµα τίθεται σε κίνηση. i) Με την προυπόθεση ότι η τροχαλία κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο οριζόντιο έδαφος, να εκφράσετε την επιτάχυνση του κέντρου µάζας της σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχηµατίζει το νήµα µε την οριζόντια διεύθυνση. ii) Nα δείξετε ότι η τροχαλία δεν εγκαταλείπει το έδαφος. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=ΜR2/2

της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Να δεχθείτε ότι το νήµα δεν ολισθαί νει στα αυλάκια των δύο τροχαλιών. ΛΥΣΗ: i) Eξετάζουµε το σύστηµα κατά µια τυχαία στιγµή που το νήµα σχήµα τίζει γωνία φ µε την οριζόντια διεύθυνση. Η τροχαλία δέχεται το βάρος της

�

M! g , την αντιδραση του εδάφους που αναλύεται στην στατική τριβή

�

! T και

στην κάθετη αντίδραση

�

! N και τέλος την τάση

�

! F του νήµατος που αναλύεται

στην οριζόντια συνιστώσα

�

! F

x και στην κατακόρυφη συνιστώσα

�

! F y. Αν

�

! a

C είναι

η επιτάχυνση του κέντρου µάζας C της τροχαλίας, συµφωνα µε τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση:

�

T - Fx

= MaC

�

!

�

T - F!"#$ = MaC (1)

Σχήµα 9

Eξάλλου αν

�

! ! ' είναι η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας, σύµφω

να µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει:

�

FR - TR = I!'

�

!

�

FR - TR = MR2!'/2

�

!

�

F - T = MR! '/2 Όµως λόγω της κυλίσεως της τροχαλίας έχουµε aC=ω’R, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται:

�

F - T = MaC/2 (2)

Προσθέτοντας κατά µέλη τις (1) και (2) παίρνουµε:

�

F - F!"#$ = 3MaC/2

�

!

�

F =3MaC

2(1 - !"#$) (3)

To σώµα Σ που είναι στερεωµένο στο άκρο του νήµατος δέχεται το βάρος του

�

m! g και την τάση

�

! Q του νήµατος, η οποία έχει το ίδιο µέτρο µε την

�

! F , διότι η

τροχαλία (τ’) έχει αµελητέα µάζα. Εφαρµόζοντας για το σώµα τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα έχουµε την σχέση:

�

mg - Q = ma

�

!

�

mg - F = ma (4) όπου

�

! a η επιτάχυνση του σώµατος. Επειδή το νήµα είναι τεντωµένο η επιτά

χυνση του άκρου του Α κατά την διεύθυνση (ε) του νήµατος είναι ίση µε την επιτάχυνση του σηµείου επαφής του νήµατος µε την τροχαλία (τ’) και το γεγο νός αυτό µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση:

�

a = aE- a'

C= R! '- a

C"#$%

�

!

�

a = aC - aC!"#$ = aC(1 - !"#$) (5) όπου

�

! a

E η επιτρόχια επιτάχυνση του σηµείου Α στο σύστηµα αναφοράς του κέν

τρου µάζας της τροχαλίας και

�

! a '

C η προβολή της µεταφορικής επιτάχυνσης

�

! a

C

του σηµείου πάνω στην διεύθυνση (ε). Η σχέση (4) µε βάση την (3) και (5) παίρ νει την µορφή:

�

mg -3MaC

2(1 - !"#$)= maC(1 - !"#$)

�

!

�

2mg(1 - !"#$) - 3MaC = 2maC(1 - !"#$)2

�

!

�

2mg(1 - !"#$) = 3M + 2m(1- !"#$)2[ ]aC

�

!

�

aC =2mg(1 - !"#$)

3M + 2m(1- !"#$)2 (6)

Aπό την (6) παρατηρούµε ότι για όλες τις τιµές που παίρνει η γωνία φ κατά την διάρκεια της κύλισης της τροχαλίας προκύπτει aC>0, που σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας της µετατοπίζεται προς τα δεξιά. ii) Ας δεχθούµε ότι κατά την κίνηση του συστήµατος η τροχαλία δεν χάνει την επαφή της µε το έδαφος. Τότε το κέντρο µάζας δεν έχει κατακόρυφη κίνηση, οπότε µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

N + Fy = Mg

�

!

�

N = Mg - F!µ"

�

!

(3)

�

N = Mg -3MaC!µ"

2(1 - #$%")

�

!

(6)

�

N = Mg -3M!µ"

2(1 - #$%")

2mg(1 - &$%")

3M + 2m(1- &$%")2'

( )

*

+ ,

�

!

�

N = Mg -3Mmg!µ"

3M + 2m(1- #$%")2

�

!

�

N =Mg 3M + 2m(1- !"#$)2 - 3m%µ$[ ]

3M + 2m(1- !"#$)2

�

!

�

N =Mg 3(M - m!µ") + 2m(1- #$%")2[ ]

3M + 2m(1- #$%")2> 0 (7)

διότι Μ>m. H αρχική εποµένως παραδοχή ότι η τροχαλία δεν χάνει την επαφή της µε το έδαφος είναι σωστή.

P.M. fysikos

Εάν στην διάταξη της προηγούµενης άσκησης η τροχαλια (τ) αντικατασταθεί µε ένα καρούλι (κ) µάζας Μ (σχ. 10) του οποίου ο κυλινδρικός κορµός έχει ακτίνα r και οι κυκλικές του βάσεις ακτίνα R>r να µελετηθεί η κίνηση του κέντρου µάζας του καρουλιού, όταν το σώµα Σ αφεθεί ελεύθερο, µε την προυπόθεση ότι το καρούλι κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο έδαφος. Να δεχθείτε ότι η ροπή αδράνειας του καρουλιου ως προς τον γεωµετρι κό του άξονα είναι περίπου ίση µε ΜR2/2. ΛΥΣΗ: i) Eξετάζουµε το σύστηµα κατά µια τυχαία στιγµή που το νήµα σχήµα τίζει γωνία φ µε την οριζόντια διεύθυνση και ας δεχθούµε ότι την στιγµή αυτή η επιτάχυνση του κέντρου µάζας C του καρουλιού είναι

�

! a

C η δε γωνιακή

επιτάχυνση της περιστροφικής του κίνησης περί τον άξονά του είναι

�

! ! '. Το

καρούλι δέχεται το βάρος του

�

M! g , την αντιδραση του εδάφους που αναλύεται

στην στατική τριβή

�

! T και στην κάθετη αντίδραση

�

! N και τέλος την τάση

�

! F του

νήµατος που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα

�

! F

x και στην κατακόρυφη συ

Σχήµα 10 νιστώσα

�

! F y. Εφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας C τον δεύτερο

νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση:

�

T - Fx

= MaC

�

!

�

T - F!"#$ = MaC (1)

Εξάλλου σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει για την περιστροφή του καρουλιού περί τον γεωµετρικό του άξονα η σχέση:

�

Fr - TR = I!'

�

!

�

Fr - TR = MR2!'/2

Όµως λόγω της κύλισης του καρουλιού έχουµε aC=ω’R, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται:

�

Fr - TR = MRaC/2 (2)

Απαλοίφοντας το Τ µεταξύ των σχέσεων (1) και (2) παίρνουµε:

�

Fr - (MaC + F!"#$)R = MRaC/2

�

!

�

F(r - R!"#$) =3MRaC

2

�

!

�

F =3MRaC

2(r - R!"#$) (3)

To σώµα Σ που είναι στερεωµένο στο άκρο του νήµατος δέχεται το βάρος του

�

m! g και την τάση

�

! Q του νήµατος, η οποία έχει το ίδιο µέτρο µε την

�

! F , διότι η

τροχαλία (τ’) έχει αµελητέα µάζα. Εφαρµόζοντας για το σώµα τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα έχουµε την σχέση:

�

mg - Q = ma

�

!

�

mg - F = ma (4) όπου

�

! a η επιτάχυνση του σώµατος. Επειδή το νήµα είναι τεντωµένο η επιτά

χυνση του άκρου του Α κατά την διεύθυνση (ε) του νήµατος είναι ίση µε την επιτάχυνση του σηµείου επαφής του νήµατος µε την τροχαλία (τ’) και το γεγο νός αυτό µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση:

�

a = aE- a'

C= r! '- a

C"#$%

�

!

�

a = raC/R - aC!"#$ = aC(r/R - !"#$) (5) όπου

�

! a

E η επιτρόχια επιτάχυνση του σηµείου Α στο σύστηµα αναφοράς του κέν

τρου µάζας του καρουλιού και

�

! a '

C η προβολή της µεταφορικής επιτάχυνσης

�

! a

C

του σηµείου πάνω στην διεύθυνση (ε). Η σχέση (4) µε βάση την (3) και (5) παίρ νει την µορφή:

�

mg -3MRaC

2(r - R!"#$)= maC

r

R- !"#$

%

& '

(

) *

�

!

�

mg -3MaC

2 r /R - !"#$( )= maC r/R - !"#$( )

�

!

�

2mg r /R - !"#$( ) - 3MaC = 2maC r/R - !"#$( )2

�

!

�

2mg r /R - !"#$( ) = 3M + 2m r/R - !"#$( )2%

& ' ( ) * aC

�

!

�

aC =2mg r /R - !"#$( )

3M + 2m r/R - !"#$( )2 (6)

Aπό την (6) παρατηρούµε τα έξης: Α) Κατά τον χρόνο που η γωνία φ ικανοποιεί την σχέση συνφ<r/R είναι aC>0 δηλαδή κατά τον χρόνο αυτόν η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του καρουλιού κατευθύνεται προς τα δέξιά.

Β) Την χρονική στιγµή που ισχύει συνφ=r/R είναι aC=0. Γ) Κατά τον χρόνο που η γωνία φ ικανοποιεί την σχέση συνφ>r/R είναι aC<0 δηλαδή κατά τον χρόνο αυτόν η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του καρουλιού κατευθύνεται προς τα δέξιά. Με βάση τα παραπάνω αντιλαµβανόµαστε ότι το κέντρο µάζας του κυλιόµενου καρουλιού εκτελεί µια γραµµική ταλάντωση περί µια θέση ισορροπίας που καθο ρίζεται από την σχέση συνφ=r/R. H aναλυτική µελέτη της ταλάντωσης αυτής είναι εξαιρετικά δυσχερής διότι δύσκολα µπορεί να βρεθεί η συνάρτηση που παρέχει την µεταβολή της γωνίας φ µε τον χρόνο. Παρατήρηση: ii) Αν δεχθούµε ότι κατά την κίνηση του συστήµατος το καρούλι δεν χάνει την επαφή του µε το έδαφος, τότε το κέντρο µάζας του δεν έχει κατακόρυφη κίνη ση, οπότε µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

N + Fy = Mg

�

!

�

N = Mg - F!µ"

�

!

(3)

�

N = Mg -3MRaC!µ"

2(r - R#$%")= Mg -

3MaC!µ"

2(r /R - #$%")

�

!

(6)

�

N = Mg -3M!µ"

2 r /R - #$%"( )2mg r /R - #$%"( )

3M + 2m r/R - #$%"( )2

�

!

�

N = Mg -3mMg!µ"

3M + 2m r/R - #$%"( )2

�

!

�

N =Mg 3M + 2m(1- !"#$)2 - 3m%µ$[ ]

3M + 2m(1- !"#$)2

�

!

�

N =Mg 3(M - m!µ") + 2m(1- #$%")2[ ]

3M + 2m(1- #$%")2> 0 (7)

διότι Μ>m. H αρχική εποµένως παραδοχή ότι το καρούλι δεν χάνει την επαφή του µε το έδαφος είναι σωστή.

P.M. fysikos

Λεπτή οµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, ισορροπεί σε οριζόντια θέση µε την βοήθεια των κατακόρυφων νηµά των A1O1 και A2O2, όπως φαίνεται στο σχήµα (11). Eάν κόψουµε το νήµα O1A1, να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου µάζας της ράβδου και η τάση του νήµατος O2A2 αµέσως µετά την θραύση του νήµατος O1A1. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας

IC=mL2/12 της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της C και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛYΣH: Aµέσως µετά την θραύση του νήµατος O1A1 επί της ράβδου ενεργεί το βάρος της

�

! w και η τάση

�

!

T του νήµατος O2A2. Eάν

�

! a

C είναι η αντίστοιχη επι

τάχυνση του κέντρου µάζας της ράβδου, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα η επιτάχυνση αυτή θα είναι κατακόρυφη και η αλγεβρι κή της τιµή θα ικανοποιεί την σχέση: w – T = maC

�

! mg – T = maC

�

! T = mg - maC

�

! T = m(g - aC) (1) Eξάλλου η κίνηση της ράβδου αφότου κοπεί το νήµα µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία µιας µεταφορικής κίνησης κατά την οποία το κέντρο µάζας µετατο πίζεται ως υλικό σηµείο µάζας m δεχόµενο τις δυνάµεις

�

! w και

�

!

T και µιας περιστροφικής κίνησης περί το κέντρο µάζας. Έτσι την στιγµή που κόβεται το νήµα O1A1 το σηµείο A2 της ράβδου έχει στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους επι τάχυνση που προκύπτει από την σύνθεση της επιτάχυνσης

�

! a

C της µεταφορι

κής κίνησης της ράβδου και της επιτάχυνσης

�

! a ! λόγω της περιστροφής της

Σχήµα 11

ράβδου περί το κέντρο µάζας της. Την επιτάχυνση

�

! a ! αναγνωρίζει ένας παρα

τηρητής που είναι “κολληµένος” στο κέντρο µάζας και προκύπτει ως συνιστα µένη της επιτρόχιας και κεντροµόλου επιτάχυνσης του σηµείου στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας. Όµως αµέσως µετά την θραύση του νήµατος η κεντροµόλος επιτάχυνση του σηµείου Α2 είναι µηδενική, διότι µηδενική είναι η ταχύτητα του, οπότε η

�

! a ! συµπίπτει µε την αντίστοιχη επιτρόχια επιτάχυνσή

του που είναι κάθετη στην επιβατική ακτίνα

�

CA2, έχει φορά που ανταποκρίνε ται στον κανόνα του δεξιού χεριού (σχ. 11) το δε µέτρο της είναι ίσο µε ω’L/2, όπου

�

! ! ' η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου. Επειδή κατα την

στιγµή της θραύσεως του νήµατος Ο1Α1 το νήµα Ο2Α2 είναι τεντωµένο, οι επιταχύνσεις των άκρων του κατα την διεύθυνση του νήµατος αυτού είναι ίσες, δηλαδή µηδενικές αφού το άκρο Ο2 είναι ακλόνητο. Αυτό σηµαίνει ότι οι επιταχύνσεις

�

! a

C και

�

! a ! είναι αντίθετες και εποµένως ισχύει η σχέση:

�

aC= a

!

�

!

�

aC= !'L/2 (2)

οπότε η σχέση (1) παίρνει την µορφή:

�

T = m(g -!'L/2) (3) Εξάλλου σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει για την ράβδο η σχέση:

ΤL/2 = ICω΄

�

! ΤL/2 = mL2ω΄/12

�

! ω΄L = 6Τ/m (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε:

�

T = m(g - 6T/2m)

�

!

�

T = mg - 3T

�

!

�

T = mg/4 (5) Τέλος συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) έχουµε:

�

!'L = 6mg/4m = 3g/2

�

!

(2)

�

aC = 3g/4

P.M. fysikos