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Com o avanço da miniaturização de componentes e dispositivos eletrônicos ocorridanos últimos anos, a utilização de materiais dielétricos e a necessidade de informaçõesprecisas sobre o comportamento dielétrico apresentado por estes materiais aumentouconsideravelmente.
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UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA
ELTRICA
JEAN CARLOS GENTILINI
O COMPORTAMENTO DE DIELTRICOS NA
PRESENA DE CAMPOS ELTRICOS E A SUA
DESCRIO EM TERMOS DA FUNO RESPOSTA
DIELTRICA
DISSERTAO
PATO BRANCO
2012
JEAN CARLOS GENTILINI
O COMPORTAMENTO DE DIELTRICOS NA
PRESENA DE CAMPOS ELTRICOS E A SUA
DESCRIO EM TERMOS DA FUNO RESPOSTA
DIELTRICA
Dissertao apresentada ao Programa de Ps-
graduao em Engenharia Eltrica da Univer-
sidade Tecnolgica Federal do Paran como
requisito parcial para obteno do ttulo de
Mestre em Engenharia Eltrica rea de
Concentrao: Sistemas e Processamento de
Energia.
Orientador: Prof. Dr. Adriano Do Sotta
Gomes
PATO BRANCO
2012
Ficha Catalogrfica elaborada por Sulem Belmudes Cardoso CRB9/1630 Biblioteca da UTFPR Campus Pato Branco
G338c Gentilini, Jean Carlos. O comportamento de dieltricos na presena de campos eltricos e a
sua descrio em termos da funo resposta dieltrica / Jean Carlos Gentilini. -- Pato Branco: UTFPR, 2012.
89 f. : il. ; 30 cm
Orientador: Prof. Dr. Adriano Doff Sotta Gomes Dissertao (Mestrado) - Universidade Tecnolgica Federal do Paran.
Programa de Ps-Graduao em Engenharia Eltrica. Pato Branco, PR, 2012.
Bibliografia: f. 81-83.
1. Polarizao. 2. Materiais dieltricos. 3. Funo resposta dieltrica. 4. Modelo de Dissado e Hill. I. Gomes, Adriano Doff Sotta, orient. II. Universidade Tecnolgica Federal do Paran. Programa de Ps-Graduao em Engenharia Eltrica. III. Ttulo.
CDD 22. ed. 621.3
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus.
A minha famlia, em especial a minha noiva Dulce, meus pais Jandir e
Terezina e meus irmos Jeana e Alan, pelo apoio, motivao e compreenso.
Ao meu orientador por acreditar que seria possvel chegar at aqui.
A todos os meus colegas e amigos do Mestrado, em especial ao Newton,
Zamadei, Jacson, Carlos, Heberty, Felipe, Alcio e Onerio por muitas vezes compar-
tilharmos as alegrias e superarmos os muitos problemas.
A todos os amigos que de uma forma ou outra me ajudaram nesse perodo.
A todos os professores do programa, em especial aos professores Mrio L-
cio da Silva Martins, Jean Carlos Cardozo da Silva e Ivo de Loureno Junior pela
disponibilidade e consideraes.
A CAPES pelo aporte nanceiro.
RESUMO
GENTILINI, Jean Carlos. O COMPORTAMENTO DE DIELTRICOS NA PRE-
SENA DE CAMPOS ELTRICOS E A SUA DESCRIO EM TERMOS DA
FUNORESPOSTA DIELTRICA. 89 f. Dissertao Programa de Ps-graduao
em Engenharia Eltrica, Universidade Tecnolgica Federal do Paran. Pato Branco,
2012.
Com o avano da miniaturizao de componentes e dispositivos eletrnicos ocorrida
nos ltimos anos, a utilizao de materiais dieltricos e a necessidade de informaes
precisas sobre o comportamento dieltrico apresentado por estes materiais aumentou
consideravelmente. Neste trabalho apresentado inicialmente as motivaes para o
estudo do comportamento dieltrico e da modelagem da funo resposta dieltrica.
A partir da teoria proposta por Debye e identicando suas peculiaridades, so explo-
radas algumas extenses deste modelo e analisada a interpretao da funo resposta
proposta por estes. Muitos modelos assumiam a existncia de mltiplas interaes
envolvendo os dipolos com o meio dieltrico, as quais contribuam para a dinmica
do comportamento dieltrico, somente mais tarde que estas mltiplas interaes
ganharam uma conexo entre a resposta dieltrica observada com as propriedades
intrnsecas do material. Por meio do modelo proposto por Dissado e Hill e assumindo
dados experimentais disponveis na literatura para alguns materiais, foi testada a
validade da funo resposta resultante do modelo, na qual vericou-se a capacidade
da mesma em ajustar as curvas para as componentes real e imaginria da permissi-
vidade para uma grande variedade de materiais dieltricos. A partir das simulaes
e anlises realizadas, cou evidente a dependncia do comportamento dieltrico com
a temperatura, fato este que dever ser abordado em trabalhos futuros.
Palavras-chave: Polarizao, Materiais Dieltricos, Funo Resposta Dieltrica,
Modelo de Dissado e Hill.
ABSTRACT
GENTILINI, Jean Carlos. THE BEHAVIOR OF DIELECTRICS IN THE PRE-
SENCE OF ELECTRIC FIELDS AND YOUR DESCRIPTION IN TERMS OF
DIELECTRIC RESPONSE. 89 f. Dissertao Programa de Ps-graduao em
Engenharia Eltrica, Universidade Tecnolgica Federal do Paran. Pato Branco,
2012.
With the improvement of miniaturization of electronic components and devices oc-
curred in recent years, the use of dielectric materials and the need for accurate
information about the dielectric behavior displayed by these materials has increased
considerably. In this work is initially presented the motivations for the study of
dielectric behavior and the modeling of the dielectric response function. From the
theory proposed by Debye and identifying its peculiarities, are exploited some exten-
sions of this model and analyzed the interpretation of response function proposed by
these. Many models used to assume the existence of multiple interactions involving
the dipoles with the dielectric medium, which contributed to the dynamics of the di-
electric behavior, only later the multiple interactions won a connection between the
dielectric response observed with the intrinsic properties of the materials. Through
the model proposed by Dissado and Hill and assuming experimental data available
in bibliography for some materials, was tested the validity of the response function
resulting from the model, in which was veried the ability of the same to adjust the
curves for the real and imaginary components of permittivity to a wide variety of
dielectric materials. From the simulations and analyzes performed, was evident the
dependence of dielectric behavior with temperature, a fact that should be discussed
in future works.
Keywords: Polarization, Dielectric Materials, Dielectric Response Function, Dis-
sado and Hill Model.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 2.1 (a) Representao da molcula de gua H2O, molcula polar(LABFILTER.COM, 2011). (b) Representao da molcula de
Triuoreto de Boro BF3, molcula apolar (COMMONS., 2011). 19FIGURA 2.2 Grco da variao da polarizao com relao a frequncia
(REZENDE, 2004). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
FIGURA 2.3 Grco da componente real e imaginria da permissividade
em funo da frequncia (BTTECHER; BORDEWIJK,1987). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
FIGURA 2.4 Grco da polarizao observada ao campo eltrico aplicado. 29
FIGURA 2.5 Grco de um campo descrito por meio de um pulso de onda
quadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
FIGURA 3.1 Grcos das componentes e para o modelo de Debye emfuno da frequncia do campo aplicado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
FIGURA 3.2 Comparativo entre os grcos da componente real da permis-
sividade com relao a frequncia para os modelos de Cole-Cole
e Cole-Davidson, onde c = 1 103Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37FIGURA 3.3 Comparativo entre os grcos da dependncia da componente
imaginria da permissividade com relao a frequncia para os
modelos de Cole-Cole e Cole-Davidson, onde c = 1 103Hz. . . 38FIGURA 3.4 Grco comparativo da tan() do Cloreto de Sdio 358, 15Kobtida experimentalmente segundo (HIPPEL, 1954), com as cur-
vas obtidas por meio dos modelos de Debye e Cole-Cole. . . . . . . 39
FIGURA 3.5 Grco da disperso dieltrica () e o espectro de perda() da gua 273, 35K(BUCHNER; STAUBER, 1999). . . . . . 40FIGURA 3.6 Grco com os valores experimentais para a tan() obtidosda Figura 3.5 e a curva da tan() por meio da Equao (3.20)da gua 273, 35K(BUCHNER; STAUBER, 1999), ambas emfuno da frequncia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
FIGURA 4.1 Grco da componente real e imaginria de z0 em funo dafrequncia da fora harmnica aplicada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
FIGURA 4.2 Fotograa do dispositivo composto por uma bssola e um
solenoide, utilizado para a aquisio dos dados. . . . . . . . . . . . . . . . 46
FIGURA 4.3 Grco do tempo de relaxao associado a bssola 1. . . . . . . 47
FIGURA 4.4 Grcos dos tempos de relaxao associado ao conjunto de
quatro bssolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
FIGURA 4.5 Grco do comportamento da componente , descrita naequao (4.18), para o conjunto de dados exibido na Tabela 4.1. 51
FIGURA 5.1 Disposio dos dipolos na ausncia de um campo aplicado
segundo a teoria de Debye. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
FIGURA 5.2 Comportamento dos dipolos frente a aplicao de um campo
magntico B(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56FIGURA 5.3 Disposio unidimensional dos dipolos na ausncia de um
campo aplicado segundo a teoria de Dissado e Hill. . . . . . . . . . . . 57
FIGURA 6.1 Grcos do comportamento da componente real e imagin-
ria da permissividade eltrica do Pentaclorotolueno tempera-tura de 246, 65K e os ajustes proporcionados pela equao (5.11),onde c = 3, 2 103Hz e k = 0, 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65FIGURA 6.2 Grcos do comportamento da componente real e imagin-
ria da permissividade eltrica do Pentaclorotolueno tempera-tura de 293, 15K e os ajustes proporcionados pela equao (5.11),onde c = 1, 2 105Hz e k = 0, 205. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66FIGURA 6.3 Grcos do comportamento da componente real e imagin-
ria da permissividade eltrica do Pentaclorotolueno tempera-tura de 333, 15K e os ajustes proporcionados pela equao (5.11),onde c = 1, 8 106Hz e k = 0, 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67FIGURA 6.4 Grco do comportamento da componente real da permissivi-
dade eltrica do Pentaclorotolueno e os ajustes proporcionadospela equao (5.11) para as temperaturas de 246, 65K, 293, 15K e333, 15K, em azul, vermelho e verde, respectivamente. Os dadosforam normalizadas em frequncia com c = 1, 2 105Hz. . . . . . . 67FIGURA 6.5 Grco do comportamento da componente imaginria da per-
missividade eltrica do Pentaclorotolueno e os ajustes propor-cionados pela equao (5.11) para as temperaturas de 246, 65K,293, 15K e 333, 15K, em azul, vermelho e verde, respectivamente.Os dados foram normalizadas com c = 1, 2 105Hz. . . . . . . . . . . 68FIGURA 6.6 Grcos do comportamento da componente real e imaginria
da permissividade eltrica e os ajustes proporcionados pela equa-
o (5.11) para o Cloroacetato de Polivinila 339, 15K, ondec = 350Hz e k = 1, 89. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69FIGURA 6.7 Grcos do comportamento da componente real e imaginria
da permissividade eltrica e os ajustes proporcionados pela equa-
o (5.11) para o Cloroacetato de Polivinila 343, 15K, ondec = 865Hz e k = 1, 84. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69FIGURA 6.8 Grco do comportamento da componente real da permissi-
vidade eltrica do Cloroacetato de Polivinila e os ajustes pro-porcionados pela equao (5.11) para as duas temperaturas, em
vermelho 339, 15K e em verde 343, 15K, normalizadas emc = 350Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70FIGURA 6.9 Grco do comportamento da componente imaginria da per-
missividade eltrica do Cloroacetato de Polivinila e os ajustesproporcionados pela equao (5.11) para as duas temperaturas,
em vermelho 339, 15K e em verde 343, 15K, normalizadas emc = 350Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70FIGURA 6.10 Grco do comportamento da componente imaginria da per-
missividade eltrica do Polipropileno e o ajuste proporcionadopela equao (5.11) para a temperatura de 290K, onde c =
2 103Hz e k = 6, 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71FIGURA 6.11 Grcos dos comportamentos da componente imaginria da
permissividade eltrica do Polipropileno e os ajustes proporcio-nados pela equao (5.11) para as temperaturas de 285K e 295K.Para a temperatura de 285K, c = 400Hz e k = 6, 24. Para atemperatura de 295K, c = 7, 5 103Hz e k = 6, 20. . . . . . . . . . . . 71FIGURA 6.12 Grco do comportamento da componente imaginria da per-
missividade eltrica do Polipropileno e o ajuste proporcionadopela equao (5.11) para as temperaturas de 285K, 290K e 295K,em azul, vermelho e verde, respectivamente. Os dados foram
normalizados em frequncia com c = 2 103Hz. . . . . . . . . . . . . . . 72FIGURA 6.13 Grco do comportamento da componente imaginria da per-
missividade eltrica temperatura de 273, 15K do Brometo ndocosil e o ajuste do modelo, para c = 5, 7109Hz e k = 0, 0032. 73FIGURA 6.14 Grcos do comportamento da componente imaginria da per-
missividade eltrica s temperaturas de 243, 15K e 293, 15K parao Brometo n docosil em conjunto com os ajustes do modelo.Para a temperatura de 243, 15K, c = 3, 9 109Hz e k = 0, 00241.Para a temperatura de 293, 15K, c = 6, 6109Hz e k = 0, 00407. 73FIGURA 6.15 Grco do comportamento da componente imaginria da per-
missividade eltrica do Brometo n docosil e os ajustes do mo-delo para as trs temperaturas, em azul 243, 15K, em verme-lho 273, 15K e em verde 293, 15K, normalizadas com c =5, 7 109Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74FIGURA 6.16 Grco do comportamento da componente imaginria da per-
missividade eltrica para o BaTi7MgO16 e a forma prevista pelomodelo para a temperatura de 230, 15K, onde c = 7, 5 105Hz ek = 2, 45. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75FIGURA 6.17 Grcos do comportamento da componente imaginria da per-
missividade eltrica s temperaturas de 213, 15K e 248, 15K parao BaTi7MgO16 e os ajustes do modelo. Para a temperatura de213, 15K, c = 3, 8 105Hz e k = 2, 35. Para a temperatura de248, 15K, c = 1, 45 106Hz e k = 2, 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75FIGURA 6.18 Grco do comportamento da componente imaginria da per-
missividade eltrica do BaTi7MgO16 e os ajustes do modelo paraas trs temperaturas, em azul 213, 15K, em vermelho 230, 15Ke em verde 248, 15K, normalizadas com c = 7, 5 105Hz. . . . 76FIGURA 6.19 Grcos do comportamento da componente imaginria da per-
missividade eltrica prevista pela equao (5.11) para dois casos
hipotticos em que n = 0, 40. Em azul o comportamento pre-visto para m = 0, 40 e em verde o comportamento previsto param = 0, 60. Em ambos o valor assumido por k foi o mesmo. . . . 77
LISTA DE TABELAS
TABELA 4.1 Resultados das medidas para de cada bssola obtidas apartir da Figura 4.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
TABELA 6.1 Valores dos parmetros m e n da equao (5.12) para algunsmateriais segundo (HILL, 1981). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
TABELA A.1 Valores para a tan() multiplicados por 104, em funo dafrequncia em Hz(HIPPEL, 1954). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84TABELA A.2 Tabela descrita por (HILL, 1981) com algumas modicaes,
apresenta os valores dos parmetros m e n da equao (5.12)para alguns materiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
TABELA A.3 Tabela descrita por (HILL, 1981) com algumas modicaes,
apresenta os valores dos parmetros m e n da equao (5.12)para alguns materiais. (Continuao) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
TABELA A.4 Tabela descrita por (HILL, 1981) com algumas modicaes,
apresenta os valores dos parmetros m e n da equao (5.12)para alguns materiais. (Continuao) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
LISTA DE SIMBOLOS
Q Fator de qualidade.q Vetor de onda.p Vetor momento de dipolo.q Carga positiva do dipolo.d Distancia entre as cargas positiva e negativa do dipolo.v Variacao de volume.N Numero de dipolos.n Numero de dipolos por unidade de volume. Susceptibilidade complexa.0 Susceptibilidade eletrica na ausencia de um campo eletrico. Susceptibilidade eletrica.() Componente real da Susceptibilidade eletrica com relacao a frequencia.() Componente imaginaria da Susceptibilidade eletrica com relacao a
frequencia. Permissividade eletrica complexa. Permissividade no equilbrio assintotico.0 Permissividade eletrica no vacuo. Permissividade eletrica.2 Permissividade eletrica em frequencias intermediarias.() Componente real da permissividade eletrica com relacao a frequencia.() Componente imaginaria da permissividade eletrica com relacao a
frequencia.k Constante de proporcionalidade entre e 0. Tempo de relaxacao dieletrica.1 Tempo de relaxacao dieletrica associado ao primeiro pico.2 Tempo de relaxacao dieletrica associado ao segundo pico. Constante de amortecimento ou tempo de relaxacao para um dado os-
cilador.c Raio de relaxacao constante do dieletrico.q Raio de relaxacao do dieletrico dependente do campo aplicado.l Raio de relaxacao do dieletrico dependente das interacoes com o meio.0 Frequencia natural de oscilacao. Frequencia angular.t Variacao de tempo.D0 Vetor deslocamento eletrico no vacuo.D(t) Vetor deslocamento eletrico.E0 Amplitude do campo eletrico aplicado no vacuo.E(t) Campo eletrico dependente do tempo.P Polarizacao Constante.P (t) Polarizacao dependente do tempo.
P (t) Potencia media no tempo.
P Polarizacao complexa.Z Impedancia.Y Admitancia. Defasagem entre o campo e a resposta do dieletrico.() Atraso da resposta dieletrica da aplicacao do campo dependente da
frequencia.tan() Perda dieletrica.S(t t) Funcao degrau unitario.fp(tt) Funcao resposta a aplicacao de campo da forma impulso.r Funcao resposta dieletrica.c(t) Valor esperado para a funcao resposta dieletrica.F (t) Forca dependente do tempo.F0 Amplitude da forca aplicada.A Amplitude de oscilacao.m Massa de uma particula acoplada a um oscilador harmonico.c Constante elastica de uma mola.
P (t) Potencia media dissipada.B0 Campo magnetico da terra.B(t) Campo magnetico harmonico dependente do tempo.Bs Campo magnetico no interior de um solenoide. Constante de fase no movimento harmonico. Posicao angular.0 Posicao angular de equilbrio.q(t) Termo responsavel pelo banho termico na forma classica da equacao de
Dissado-Hill.l Termo responsavel pelo banho termico na equacao quantica de Dissado-
Hill.
nr Indice de refracao. Parametro da equacao de Cole-Cole relacionada ao material dieletrico
com valor compreendido entre 0 e 1. Parametro da equacao de Cole-Davidson relacionada ao material
dieletrico com valor compreendido entre 0 e 1.aq Variavel responsavel pela evolucao da resposta dieletrica no modelo de
Dissado-Hill dependente do momento q transferido pelo campo aplicado.aq(t) Variavel responsavel pela evolucao dinamica da resposta dieletrica no
modelo de Dissado-Hill dependente do momento q transferido pelo campoaplicado.
al(t),aK
Variaveis responsaveis pela resposta dieletrica no modelo de Dissado-Hillrelacionadas a estados intermediarios K e l.
a0(t) Variavel responsavel pela evolucao dinamica da resposta dieletrica nomodelo de Dissado-Hill para q = 0.
k Constante multiplicativa responsavel pela amplitude da respostadieletrica no modelo de Dissado e Hill.
T Temperatura.m Parametro associado as interacoes extra-cluster no modelo de Dissado-
Hill.
n Parametro associado as interacoes intra-cluster no modelo de Dissado-Hill.
Infinito.e exponencial. Comprimento de correlacao. Frequencia de oscilacao do cluster.h Constante de Planck.VKq Intensidade de interacao entre os modos da rede.al Operador de aniquilacao.
al Operador de criacao.C(t) Funcao de correlacao.F Forca em Newtons, entre duas cargas puntiformes q1 e q2.C Capacitancia.R Resistencia eletrica.X Reatancia.
SUMRIO
1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1 OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.1 Objetivo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.2 Objetivos Especcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 REVISO BIBLIOGRFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 A POLARIZAO DOS MATERIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Polarizao Orientacional ou Dipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 A POLARIZAO E A SUA DEPENDNCIA COM O CAMPO EL-
TRICO APLICADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 A FUNO RESPOSTA DIELTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Funes Resposta Dieltricas: Casos Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 A FUNO RESPOSTA DIELTRICA: O MODELO DE DEBYE
E SUAS EXTENSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 O MODELO DE DEBYE PARA A POLARIZAO DE MEIOS DIEL-
TRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 AS EQUAES DE COLE-COLE E COLE-DAVIDSON PARA A DES-
CRIO DA RELAXAO DIELTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 DINMICA DE RELAXAO EMMEIOS DIELTRICOS: UMA
APLICAO ENVOLVENDO OSCILADORES HARMNICOS
42
4.1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 O OSCILADOR AMORTECIDO E FORADO REVISITADO . . . . . . . . . . 43
4.3 OSCILAES AMORTECIDAS E FORADAS DA AGULHA DE UMA
BSSOLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 A INTERPRETAO FSICA DOS PARMETROS DA EQUAO DE
DEBYE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 A DINMICA DE RELAXAO EMMEIOS DIELTRICOS: UM EXEM-
PLO ENVOLVENDO OSCILADORES HARMNICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5 O MODELO DE DISSADO E HILL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 OS PRINCIPAIS ASPECTOS DO MODELO DE DISSADO E HILL . . . . 55
5.3 A FUNO RESPOSTA DE DISSADO E HILL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 ALGUNS RESULTADOS DO MODELO DE DISSADO E HILL 63
6.1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 OS PARMETROS DO MODELO E A DESCRIO DA RESPOSTA
DIELTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7 CONCLUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.1 SUGESTO PARA TRABALHOS FUTUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
REFERNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Anexo A -- ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A.1 A EQUAO DE COLE-COLE PARA A DESCRIO DA RELAXAO
DIELTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
A.2 O MODELO DE COLE-DAVIDSON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
14
1 INTRODUO
Dentre os materiais disponveis para fabricao de dispositivos eletrnicos
destacam-se os chamados condutores, supercondutores, semicondutores e isolantes.
Uma distino mais precisa entre estes tipos de materiais segue a partir da anlise
do espectro de bandas de energia associada a tais materiais (REZENDE, 2004).
Materiais isolantes apresentam uma grande importncia para a eletrnica,
pois muitas vezes so utilizados para montar ou isolar eletricamente os e partes
de dispositivos e circuitos. Os materiais mais utilizados nestas aplicaes consistem
de cermicas, resinas e uma grande variedade de polmeros, os quais so materiais
formados por macromolculas compostas por muitas unidades de repetio denomi-
nadas meros, ligados por ligaes covalentes (CANEVAROLO, 2002).
Eltrons livres no so os nicos responsveis pela resposta dos materiais
frente a aplicao de um campo eltrico externo, alguns materiais assim como os
materiais isolantes possuem ons ou molculas que sob a ao de um campo eltrico
externo sofrem pequenos deslocamentos ou reorientaes, mesmo sem produzir cor-
rente eltrica estes materiais apresentam uma resposta a ao de um campo eltrico
aplicado, sendo assim classicados como materiais dieltricos.
Dentre as aplicaes mais tradicionais de materiais dieltricos esto a fabri-
cao dos mais variados tipos de capacitores, dentre eles os capacitores cermicos
multicamadas MLCC e os capacitores MOS, bastante empregados em circuitos inte-
grados. No entanto, dieltricos vm sendo muito utilizados em sistemas de comuni-
cao global e terrestre no desenvolvimento de componentes como ltros e antenas,
por meio da utilizao dos dieltricos ressonantes DRs. Devido s propriedades como
alto fator de qualidade Q, diretamente associado a tangente de perda, permissivi-
dade relativa r e frequncia de ressonncia termicamente estvel f apresentadas
por alguns destes dieltricos que os avanos na miniaturizao dos dispositivos
15
eletrnicos pde ocorrer (MAILADIL, 2008). Outras aplicaes consistem na fabri-
cao de dispositivos, dentre estes pode-se destacar aqueles baseados em materiais
piezoeltricos, sendo que a piezoeletricidade uma propriedade que alguns materiais
dieltricos apresentam quando submetidos a uma tenso mecnica ou eltrica (RE-
ZENDE, 2004). De forma geral, o potencial que estes materiais proporcionam para
a confeco dos mais variados tipos de sensores e componentes bastante grande.
No tocante das aplicaes, ocorre a necessidade de um conhecimento mais
elaborado do chamado processo de relaxao dieltrica que estes materiais podem
sofrer. Conforme MAILADIL (2008) e LICARI (2003) apontam, devido a mini-
aturizao de componentes como capacitores cermicos, que so empregados em
dispositivos eletrnicos de alta preciso, desejvel que estes materiais apresentem
uma perda dieltrica baixa. Como no possvel testar experimentalmente todos
os materiais dieltricos disponveis, torna-se interessante pelo menos a uma classe de
substncias polimricas ou cermicas um conhecimento mais detalhado a respeito
da resposta dieltrica frente a aplicao de um campo eltrico.
A determinao da resposta de um material dieltrico em funo do campo
aplicado um problema antigo, ainda em aberto e que tm levado a publicao de
muitos trabalhos cientcos. Inicialmente, DEBYE (1929) props que o movimento
orientacional dos dipolos pertencentes ao dieltrico, da aplicao de um campo el-
trico, poderia ser descrito por meio de uma equao diferencial de primeira ordem,
devido a sua suposio de que as interaes entre os dipolos eram desprezveis. Neste
sentido muitos modelos surgiram para descrever comportamentos no descritos pelo
modelo de Debye, em grande maioria estes modelos assumiam a existncia de inte-
raes envolvendo os dipolos. Sem identicar os signicados fsicos destas interaes
e as suas consequncias na resposta observada, os autores buscavam descrever os
comportamentos observados experimentalmente de forma adequada para classes de
materiais, devido a falta de realidade fsica, estes modelos eram considerados mode-
los empricos.
A proposta deste trabalho apresentar os conceitos e ferramentas necess-
rias para a anlise do problema descrito e por meio do modelo proposto por Dissado e
Hill descrever de forma adequada o comportamento dieltrico para alguns materiais,
de modo que posteriormente possa ser feira uma anlise detalhada do comporta-
mento dieltrico de materiais de interesse para a Eletrnica.
16
O presente trabalho segue organizado da seguinte forma. No Captulo 2,
so apresentados alguns conceitos e ferramentas necessrios para a caracterizao
da polarizao de materiais dieltricos e atravs de alguns exemplos introduzida a
noo de resposta dieltrica por meio da funo resposta dieltrica. No Captulo 3
apresentada uma breve reviso da literatura especializada com alguns dos modelos
propostos para a descrio da funo resposta dieltrica, onde so indicadas as prin-
cipais caractersticas e distines destes modelos. No Captulo 4, so apresentados
alguns resultados, em particular os resultados do trabalho (DOFF et al., 2011), onde
realizada uma discusso geral a respeito dos princpios fsicos envolvidos na elabo-
rao de funes resposta dieltrica e a inuncia de se considerar uma distribuio
de tempos de relaxao para a representao da polarizao e relaxao de um meio
dieltrico. O Captulo 5 destinado a apresentao do modelo de Dissado e Hill,
sendo apresentadas as motivaes para o desenvolvimento do modelo e as princi-
pais caractersticas e contribuies para o estudo do comportamento dieltrico dos
materiais. No Captulo 6, por meio de dados experimentais de alguns materiais so
apresentados resultados de simulao, as quais representam os ajustes previstos pelo
modelo de Dissado e Hill para as curvas das componentes real e imaginria da per-
missividade eltrica destes materiais. No Captulo 7, so apresentadas as concluses
da realizao deste trabalho e as sugestes para a realizao de trabalhos futuros,
as quais giram em torno da inuncia da temperatura na dinmica de relaxao de
materiais dieltricos de interesse para a Engenharia Eltrica e a Eletrnica e da des-
crio da resposta dieltrica de compostos dopados em relao ao comportamento
de cada composto.
1.1 OBJETIVOS
1.1.1 OBJETIVO GERAL
A proposta inicial deste trabalho apresentar os conceitos e ferramentas
necessrias para a anlise do problema da descrio da resposta dieltrica quando
da aplicao de um campo eltrico externo, visto a grande utilizao destes materiais
na indstria e que cujos comportamentos ainda carecem de estudos.
Num segundo momento o objetivo por meio da funo resposta dieltrica
17
proposta por (DISSADO; HILL, 1984) realizar simulaes de modo a vericar a
adequao da funo com os dados experimentais apresentados por alguns mate-
riais, dentre eles, polmeros e cermica. Percebidos os ajustes proporcionados e as
relaes envolvendo os parmetros desta funo, motivar um estudo elaborado envol-
vendo materiais empregados atualmente e sua dinmica de comportamento dieltrico
quando da variao da temperatura.
Os resultados deste trabalho visam proporcionar informaes do ponto de
vista acadmico e tecnolgico, visto que a permissividade e a perda dieltrica do ma-
terial em funo da frequncia em determinadas temperaturas so as caractersticas
principais observadas em um dieltrico para a aplicao dos mesmos na elaborao
de componentes e dispositivos eletrnicos.
1.1.2 OBJETIVOS ESPECFICOS
- Apresentar os conceitos e ferramentas necessrias para iniciar a anlise do
problema.
- Apresentar alguns dos modelos utilizados na literatura para a descrio da
resposta dieltrica, de modo que que claro quais os processos e fenmenos envolvidos
tanto na polarizao quanto na relaxao de um dieltrico e as suas inuncias na
resposta.
- Encontrar materiais dieltricos cujos dados experimentais quanto a res-
posta dieltrica so disponveis em publicaes, para que sejam feitas as simulaes.
- Por meio do modelo proposto por (DISSADO; HILL, 1984) realizar simu-
laes de modo a identicar os parmetros para a funo resposta dieltrica que
melhor se adequam aos dados experimentais dos materiais dieltricos encontrados.
- De posse das simulaes e dos parmetros da funo de Dissado e Hill
relacionados, classicar os materiais quanto ao comportamento dieltrico apresen-
tado.
18
2 REVISO BIBLIOGRFICA
2.1 INTRODUO
A mais importante caracterstica dos materiais dieltricos a propriedade de
se polarizarem sob a ao de um campo eltrico. A ideia de polarizao de dieltricos
surgiu pela primeira vez com Michael Faraday em meados de 1830. O processo
de polarizao de um material dieltrico frente a aplicao de um campo eltrico
externo, corresponde a um processo de interao entre as cargas eltricas presentes
no meio dieltrico e o campo aplicado, de certa forma pode-se resumir a polarizao
como sendo a mudana no arranjo ou posio das partculas eletricamente carregadas
que compem o material dieltrico.
A polarizao e a forma com que materiais dieltricos respondem frente a
aplicao de um campo eltrico, so questes de extrema importncia no estudo
dos materiais e das suas propriedades como componentes aplicados eletrnica e a
indstria em geral. Desta forma, um estudo detalhado da polarizao em dieltricos
e dos efeitos associados fazem-se necessrio.
Neste captulo so apresentados os principais tipos de polarizao, dando
enfoque a polarizao orientacional ou dipolar por ocorrer em frequncias de interesse
para a eletrnica. Neste mesmo momento iniciada a caracterizao da funo
resposta por meio de casos especcos visando a apresentao de uma descrio de
modelos mais complexos de funes resposta dieltrica a serem dadas posteriormente.
2.2 A POLARIZAO DOS MATERIAIS
Dentre os materiais disponveis para a elaborao de dispositivos eltricos
alm dos semicondutores e supercondutores, destacam-se os condutores e isolantes.
Os materiais isolantes de forma geral possuem ons ou molculas que quando expos-
19
tos a ao de um campo eltrico externo mesmo produzindo uma corrente eltrica
desprezvel sofrem pequenos deslocamentos ou reorientaes, tal efeito denominado
Polarizao e tais materiais so caracterizados como dieltricos.
Dentre os materiais dieltricos, existem aqueles formados por substncias
polares e os formados por substncias apolares. Substncias polares so aquelas
formadas por molculas polares, ou seja, que possuem um momento de dipolo per-
manente. O caso mais simples de molcula polar a gua H2O, a molcula de gua
formada por dois tomos de Hidrognio e um de Oxignio, devido a este ltimo
ser mais eletronegativo e das ligaes entre os tomos de Hidrognio e Oxignio
formarem um ngulo de aproximadamente 1050, tal separao representa um dipolo
eltrico, por ser intrnseco diz-se que a gua possui um momento de dipolo perma-
nente. Outras molculas como as de Fosgnio COCl2 e a Amnia NH3 tambm
so exemplos de molculas polares. Substncias apolares so aquelas que no apre-
sentam esta congurao dipolar, como exemplo, a molcula de Triuoreto de Boro
BF3, nesta molcula h trs tomos de Flor e um de Boro, sendo o Flor o mais
eletronegativo, porm como a congurao da molcula trigonal planar, onde as
ligaes entre os tomos de Flor e o de Boro formam ngulos de 1200, no h uma
separao de cargas congurando uma forma dipolar, sendo assim uma molcula
apolar. Nas partes (a) e (b) da Figura 2.1 so representadas as molculas de gua
H2O e a de Triuoreto de Boro BF3, representando uma molcula de congurao
polar e uma de congurao apolar, respectivamente.
(a) (b)
Figura 2.1: (a) Representao da molcula de gua H2O, molcula polar (LAB-FILTER.COM, 2011). (b) Representao da molcula de Triuoreto de Boro
BF3, molcula apolar (COMMONS., 2011).
Identicando o vetor deslocamento como
~d, orientado na direo de qpara +q, o vetor momento de dipolo ~p associado a cada molcula descrito pelo
20
produto
~p = q~d. (2.1)
Na ausncia de um campo eltrico aplicado, cada elemento de volume do dieltrico
no possui um momento de dipolo, uma vez que a soma algbrica de todas as cargas
zero (TAREEV, 1979). A aplicao de um campo eltrico provoca no dieltrico
uma reorganizao das molculas, neste caso, um elemento de volume do dieltrico
ter um momento de dipolo diferente de zero e igual a soma algbrica dos momentos
de dipolo de todas as molculas polarizadas neste elemento de volume. Se N o
nmero de dipolos em um volume v, ento n = N/v representa o nmero de
dipolos por unidade de volume no material considerado, considerando um volume
V , tem-se
ptotal =Ni=1
pi (2.2)
onde cada pi pode ser diferente. A polarizao P ento denida como o limite
descrito abaixo
P = limV0
1
V
Ni=1
pi (2.3)
cuja dimenso de Coulomb por metro quadrado (HAYT WILLIAM H., 1983).
Com relao ao campo eltrico aplicado a um material dieltrico, o processo
de polarizao tambm ir depender da intensidade e frequncia deste campo. De
acordo com a frequncia do campo que um determinado tipo de polarizao ir ser
predominante, pode se separar as contribuies dos tipos de polarizao em funo
da frequncia segundo a Figura 2.2.
Na Figura 2.2, P representa o tipo da polarizao predominante em um ma-
terial dieltrico em funo da frequncia. Como pode ser observado, existem vrias
faixas de frequncia em destaque, cada uma compreendendo um tipo de polarizao
em especial. Entre as frequncias f1 e f2 a polarizao predominante a dipolar, a
de interesse e que ser melhor descrita na sequncia. Entre as frequncias f2 e f3 (da
ordem de 1012 1015Hz) a polarizao identicada a inica, que consiste no des-
locamento mtuo dos ons que formam uma molcula heteropolar (Inica), ou seja,
21
Figura 2.2: Grco da variao da polarizao com relao a frequncia (RE-
ZENDE, 2004).
na presena do campo eltrico, os ons positivos e negativos sofrem deslocamentos
em relao uns aos outros, induzindo momentos de dipolos (HECHT, 1990). Em
frequncias acima de f3 (acima de 1015Hz) a polarizao a eletrnica, neste caso
o campo eltrico aplicado distorce a nuvem eletrnica, deslocando-a em relao aos
ncleos e assim produzindo um momento de dipolo (HECHT, 1990).
Pode ser observado que a contribuio proveniente da polarizao dipo-
lar ocorre em frequncias mais baixas, de certa forma necessitando menos energia
para ocorrer, alm de representar a contribuio mais signicativa da polarizao no
material dieltrico, nestas frequncias o campo orienta os dipolos que compem o
material na direo em que aplicado, por este motivo a polarizao denominada
orientacional ou dipolar. Em frequncias mais elevadas, h somente a ocorrncia da
polarizao inica e eletrnica, ditas polarizaes por deslocamento, visto que nestes
processos h separao ou transporte de cargas.
2.2.1 POLARIZAO ORIENTACIONAL OU DIPOLAR
Dieltricos polares possuem uma tendncia a polarizao orientacional quando
da aplicao de um campo eltrico, a qual pode ocorrer em frequncias at da or-
dem de 1012Hz. Se considerada uma molcula dipolar e um campo eltrico aplicado
perpendicularmente a linha imaginria que liga a carga positiva a negativa do di-
polo, devido a ao do campo sobre tal congurao dipolar a tendncia ocorrer
uma orientao ou deslocamento angular na direo em que o campo eltrico apli-
cado. sabido que uma substncia qualquer formada por molculas que esto em
22
constante movimento trmico, quando a polarizao dipolar ocorre, o movimento
associado as molculas tambm devido a estes movimentos trmicos. Desta forma
a polarizao em sua descrio completa esta diretamente ligada ao comportamento
trmico das molculas e a intensidade do campo eltrico aplicado, neste estudo no
ser considerada diretamente a contribuio dos efeitos trmicos para a polariza-
o, visto que para descrever estes fenmenos seriam necessrios muitas variveis e
tal problema seria extremamente complexo (BTTECHER; BORDEWIJK, 1987)
(TAREEV, 1979).
A polarizao em materiais dieltricos pode ainda ser dividida em dois ca-
sos com relao as caractersticas do campo aplicado, podendo ser dita Esttica ou
Dinmica. A Polarizao Esttica a polarizao provocada por um campo eltrico
externo constante ou que devido ao tempo que o material esta submetido aos efeitos
do campo, esta em equilbrio com o mesmo, ou seja, o campo eltrico j no causa
mais mudanas na ordem estrutural das molculas e ons do material dieltrico. A
Polarizao Dinmica por sua vez a polarizao resultante da aplicao de um
campo eltrico varivel no tempo, ou seja E = E(t), consequentemente a polariza-
o no estar necessariamente em equilbrio com o campo, sendo dependente do
tempo e dada por P = P (t).
2.3 A POLARIZAO E A SUA DEPENDNCIA COM O CAMPO ELTRICO
APLICADO
Como visto anteriormente, os vrios tipos de polarizao ocorrem predo-
minantemente em faixas de frequncias distintas. Nesta seo ser identicada a
conexo existente entre a polarizao observada e o campo eltrico aplicado. Inici-
almente o interesse descrever de forma simplicada os efeitos do campo eltrico
em um meio dieltrico, ou seja, a polarizao do dieltrico, para que posteriormente
seja feita uma descrio mais detalhada sobre este processo.
Uma vez denido o conceito de polarizao, como visto, consiste da reor-
ganizao espacial de cargas, ou seja, do somatrio dos momentos de dipolos por
unidade de volume resultante da aplicao de um campo, pode ser ento estabelecida
a relao entre a polarizao e o campo eltrico aplicado. Para isso deve-se notar que
os movimentos de reordenao associados as partculas microscpicas, necessitam de
23
um certo tempo para que ocorram, assim se a variao do campo eltrico se der de
forma mais rpida do que a resposta do meio, ento a polarizao deste meio ser
varivel com o tempo e dependente das propriedades de interao entre o campo
aplicado e as molculas do qual o meio dieltrico formado, pois cada uma apre-
senta um tempo de relaxao de resposta, estes ainda podendo variar de acordo
com as condies em que o dieltrico se encontra, bem como presso e temperatura.
Se as variaes do campo eltrico ocorrerem de forma mais lenta que o
movimento das partculas microscpicas, ento neste caso a polarizao e o campo
eltrico aplicado estaro em equilbrio em um dado instante t, dessa forma o estado
de polarizao do material quase esttico (BTTECHER; BORDEWIJK, 1987).
No caso de um dieltrico isotrpico linear, h uma proporcionalidade direta entre a
polarizao e o campo eltrico aplicado, fato este dado experimentalmente, podendo-
se assim expressar P em funo do campo por meio de uma equao linear
P (t) = E(t). (2.4)
Neste caso considerada a susceptibilidade eltrica 1 constante, porm se o interesse
fosse descrever de forma mais completa o processo, a mesma deveria ser descrita
levando-se em considerao algumas condies do material, bem como temperatura,
presso e composio, tornando a abordagem um tanto complexa.
Quando o interesse estudar as propriedades de um campo eltrico E(t)
em um dado material, como em um dieltrico por exemplo, introduzido o conceito
de vetor deslocamento eltrico D(t), este por sua vez representa o campo eltrico
aplicado no material. A relao entre o vetor deslocamento e o campo eltrico
aplicado pode ser descrita por meio da seguinte equao para o caso quase esttico
D(t) = E(t), onde = 4pi+ 1 (2.5)
e representa a permissividade eltrica relacionada diretamente com a susceptibili-
dade eltrica do material. Uma discusso a respeito da permissividade apresen-
tada na sequncia.
Em eletrosttica, a permissividade eltrica do vcuo 0, surge como uma
1
Representa o quo susceptivo um material aos efeitos de um campo eltrico, ou seja, o quo
polarizvel ele .
24
constante de proporcionalidade ao se introduzir a Lei de Coulomb entre duas cargas
eltricas no vcuo (HALLIDAY et al., 1996), que em unidades Gaussianas assumem
a forma
~F =1
4pi0
q1q2r3
~r (2.6)
onde
~F a fora em Newtons, 0 a permissividade eltrica no vcuo, r a distncia
entre as cargas puntiformes q1 e q2 e ~r o vetor que indica a direo da fora.
Entretanto, se as cargas esto imersas em um meio material, como em um dieltrico
por exemplo, a fora de interao entre as cargas diminui e este fato acomodado
pela denio de permissividade eltrica do meio, = k0. A medida da constante
k pode ser obtida de forma simples para campos eltricos estacionrios, uma vez que
um capacitor seja preenchido com um dado material dieltrico, a sua capacitncia
pode ser medida com o auxlio de um Capacitmetro, como C = k0F (g), onde
F (g) depende da forma do capacitor, possvel determinar k e consequentemente
a partir desta expresso para um dado material.
Todavia, se o campo aplicado varivel no tempo, em particular para al-
tas frequncias, no interior do capacitor (FEYNMAN; SANDS, 2008) existir alm
das caractersticas capacitivas, tambm a incluso de efeitos resistivos e indutivos,
de forma que neste caso o comportamento do capacitor mapeado pela chamada
admitncia Y (ALEXANDER; SADIKU, 2003), denida por
Y =1
Z=
1
R + iX(2.7)
Sendo que Z a impedncia, a qual ir apresentar componentes real e imaginria, R
e X, respectivamente. Sendo R a resistncia e X a reatncia, se X < 0 a reatncia
capacitiva, por outro lado se X > 0, a reatncia apresenta carter indutivo. Desta
forma, na situao mais geral possvel, a permissividade do dieltrico inserido em
um capacitor sujeito a ao de um campo varivel no tempo, a altas frequncias,
dever apresentar partes real e imaginria , sendo
= i (2.8)
onde se espera que para um campo eltrico aplicado constante, ou seja, = 0 se
tenha = 0.
25
Como o interesse estudar a polarizao dinmica, cuja variao do campo
eltrico se d de forma mais rpida que o tempo caracterstico dos movimentos
moleculares, ou seja, o movimento orientacional no sucientemente rpido para
acompanhar o campo. Considerando a aplicao em um material dieltrico de um
campo eltrico harmnico varivel no tempo, cuja forma representada por:
E(t) = E0 cos(t). (2.9)
Para o caso de um dieltrico isotrpico linear, o vetor deslocamento eltrico devido
a aplicao do campo harmnico, pode ser determinado considerando a frequncia
deste campo e uma constante de atraso representando o atraso entre a aplicao
e a resposta do meio ao campo. Neste caso pode-se escrever que
D(t) = D0 cos(t ) (2.10)
onde D0 a variao da amplitude do sinal cossenoidal. O termo que representa
o atraso entre a interao e a resposta do material, tambm apresenta dependncia
com a frequncia do campo aplicado. Como = (), a equao (2.10) pode ser
reescrita como:
D(t) = D0 cos () cos(t) +D0 sin () sin(t) (2.11)
introduzindo a notao:
cos () = ()E0/D0 (2.12)
sin () = ()E0/D0 (2.13)
as quais, () e () representam a parte real e imaginria da permissividade em
funo da frequncia, respectivamente. Das equaes (2.12) e (2.13), a equao
(2.11) pode ser reescrita da forma:
D(t) = ()E0 cos(t) + ()E0 sin(t) (2.14)
26
Das equaes (2.12) e (2.13) tem-se que:
tan () =sin ()
cos ()=()()
E0.D0E0.D0(2.15)
tan () =()()
. (2.16)
Das equaes (2.5) (2.16) sabe-se que:
E(t) = E0eit(2.17)
D(t) = D0ei(t)(2.18)
D(t) = E(t). (2.19)
Se considerado o vcuo, onde = 0 = 1 e
= i, onde = 0 e = 0. (2.20)
Pode ser observado que:
tan () =
= 0, no vcuo. (2.21)
Como no h interao do campo com o meio, no h energia do campo sendo
cedida, assim pode ser observado que () representa que o atraso entre a interao
do campo com o meio nula. Devido a este fato nota-se que a componente () esta
relacionada as perdas de energia do campo, tal perda diz respeito a energia cedida
pelo campo ao meio, a qual pode vir a polariz-lo, como no h meio, no caso do
vcuo, = 0. Em baixas frequncias, onde o processo de polarizao quasi-
esttico, se = 0, da equao (2.14) encontrado que D(t) = 0E0, comparando
com as equaes (2.11) e (2.12) percebido que (0) = e da equao (2.16)
conclui-se que (0) = 0.
Na Figura 2.3 apresentado o grco das componentes real e imaginria
da permissividade eltrica em funo da frequncia para um caso hipottico. Neste
grco possvel observar a permissividade eltrica de uma substncia polar hipo-
ttica em funo da frequncia do campo eltrico. A partir da Figura 2.3 pode ser
notado que a parte real da permissividade eltrica superior a imaginria ,
porm a medida que a frequncia torna-se maior, ocorrem picos de , picos estes,
ocorrendo em frequncias onde a tem forma varivel. De fato, a componente
27
descreve a absoro de energia do campo pelo dieltrico, como pode ser observado
na Figura 2.3 em duas regies de frequncias, ditas bandas de absoro, estes picos
de absoro podem ser identicados. A componente , neste caso pode ser utilizada
para a caracterizao das propriedades ticas do material, bem como o ndice de
refrao nr, uma vez que nr2 = 1
2( +
+ ), que como observado apresenta
comportamentos distintos para < 0 e > 0.
^
Figura 2.3: Grco da componente real e imaginria da permissividade emfuno da frequncia (BTTECHER; BORDEWIJK, 1987).
O interesse deste trabalho conforme citado anteriormente a anlise do
comportamento de dieltricos em frequncias onde a polarizao existente a ori-
entacional, visto que em frequncias mais elevadas os processos de polarizao pre-
dominantes, inica e eletrnica so de difcil caracterizao devido a complexidade
dos fenmenos envolvidos por se tratarem de processos de carcter atmico.
2.4 A FUNO RESPOSTA DIELTRICA
Em geral o comportamento da resposta dieltrica de um material a interao
com o campo aplicado ir depender alm das caractersticas do campo, das propri-
edades dos dipolos eltricos microscpicos que compem o material, que podem ser
permanentes ou induzidos pelo campo eltrico. Nesta seo sero descritas funes
resposta dieltrica hipotticas, descrevendo a polarizao orientacional de um meio
devido a aplicao do campo eltrico, de forma que posteriormente a utilizao de
28
modelos mais complexos se d de forma natural.
2.4.1 FUNES RESPOSTA DIELTRICAS: CASOS PARTICULARES
Considerando um determinado material dieltrico o qual est sob os efeitos
de um campo eltrico varivel no tempo descrito pela equao:
E(t) = E1 + (E2 E1)S(t t) (2.22)
onde S(t t) a funo degrau unitrio, sendo 1 quando t t e 0 quando t > t,ou seja, no instante de tempo t = t tem-se o campo constante E2 e para um tempo
t < t, o campo atuante E1. Tal comportamento pode ser descrito por meio da
ilustrao apresentada na Figura 2.4.
Como so considerados materiais dieltricos lineares
2
, a polarizao em um
determinado instante t0 devido a aplicao de um campo eltrico varivel no tempo
pode ser determinada pela combinao linear das contribuies anteriores da pola-
rizao. Assim P (t) = P (t) + P (t) e da mesma forma E(t) = E(t) + E (t), ou
seja, o campo eltrico num dado momento pode ser descrito por meio da combinao
linear:
E(t) = E2 + E(t), onde E (t) = (E1 E2)(1 S(t t)) (2.23)
Como a polarizao dada por P (t) = E(t), tem-se:
P (t) = E2 + (E1 E2)(1 S(t t)) (2.24)
desta forma para t < t, a polarizao constante e dada por P (t) = E1 e para
t t, S(t t) = 1, portanto P (t) = E2. Assim pode ser observado que a funo(1S(tt)) descreve o comportamento da polarizao frente a aplicao do campo,assim:
Fp(t t) = 1 S(t t) (2.25)
onde, Fp a funo resposta dieltrica para este caso hipottico. Sabe-se que o
campo eltrico determinado por S(t t), entretanto, a resposta da polarizao descrita pela funo Fp(t t) = 1 S(t t). Esta relao sugere que ocorreum atraso(delay) entre a aplicao do campo e a resposta da polarizao. Este
um resultado esperado, uma vez que o efeito de polarizao deve ser precedido pela
2
Dieltricos para os quais o princpio da superposio vlido.
29
causa, a aplicao do campo eltrico. Na Figura 2.4 pode ser observada a polarizao
P (t) em funo do tempo, frente a aplicao de um campo da forma degrau.
Figura 2.4: Grco da polarizao observada ao campo eltrico aplicado.
Como pode ser observado na Figura 2.4, a polarizao devida ao campo
E2 no se d de forma instantnea, havendo uma defasagem na polarizao em
relao ao campo. De igual maneira pode ser observado que para um tempo muito
grande sob os efeitos do campo a polarizao do material estar em equilbrio com
o campo, ou seja Fp() = 0.
Se ao invs de considerada a aplicao de um campo da forma degrau fosse
um campo cuja forma descrita por uma funo de onda quadrada denida por:
E(t) = E1S(t (t1 t)) E1S(t t1) (2.26)
neste caso E(t) ser E1 para tempos t tais que t1 t t < t1 e 0 para valor det tais que t < t1 t, ou t t1, conforme ilustrao na Figura 2.5.
Na Figura 2.5 pode-se observar que para t < t1 t o campo E(t) = 0,pois S(t (t1 t)) = S(t t1) = 0, de mesma forma E(t) = 0 para t t1, serdiferente de zero e no caso igual a E1 se t for tal que t1 t t < t1. Bem comono caso anterior havia um campo da forma degrau a partir do qual foi denida uma
30
Figura 2.5: Grco de um campo descrito por meio de um pulso de onda
quadrada.
funo resposta Fp(t t) = 1 S(t t), de maneira semelhante, neste caso tem-seque:
Fp(t t1) = 1 S(t t1) e Fp(t t1 + t) = 1 S(t t1 + t) (2.27)
Logo como a polarizao P denida P (t) = E(t), ento temos:
P (t) = E1(Fp(t t1 + t) + Fp(t t1)) (2.28)
Estes resultados podem ser expandido para uma situao envolvendo um
campo cuja forma uma srie de pulsos quadrados ocorrendo periodicamente, para
um caso deste a polarizao ser dada por:
P (t) = ni=1
E1(Fp(t ti + t) + Fp(t ti)) (2.29)
onde P (t) a combinao linear de todos os n campos E1 o qual o meio dieltrico
foi submetido. Pode-se ainda reescrever a equao anterior como:
P (t) = ni=1
E1t (Fp(t ti + t) + Fp(t ti))
t(2.30)
considerando o limite do contnuo, ou seja, t 0, obtido que:
P (t) =
t
E(t)[
limt0
(Fp(t ti + t) Fp(t ti))t
]dt (2.31)
31
como
limx0
f(x+ x) f(x)x
=df(x)
dx(2.32)
ento
limt0
Fp(t t + t) Fp(t t)t
= Fp(t t)
t(2.33)
denindo
fp(t t) = Fp(t t)
t(2.34)
conclui-se que:
P (t) =
t
E(t)fp(t t)dt (2.35)
Apesar da ltima igualdade ser o resultado de uma situao particular, ela ser
vlida para outras funes resposta na descrio da polarizao de um meio devido
a aplicao de um campo E(t) (BTTECHER; BORDEWIJK, 1987).
Nos captulos seguintes sero apresentados diversos modelos para a funo
resposta dieltrica fp(tt) = r propostos na literatura, tais funes visam descrevero comportamento do meio frente a aplicao do campo.
32
3 A FUNO RESPOSTA DIELTRICA: O MODELO DE DEBYE
E SUAS EXTENSES
3.1 INTRODUO
Na ltima seo do captulo anterior foi obtida a Equao (2.35), que es-
tabelece a relao entre a polarizao e o campo em termos da resposta do meio,
que pode ser parametrizada atravs da fp(t t) = r(t), chamada funo respostadieltrica.
No decorrer dos anos muitas funes resposta que so capazes de descrever o
comportamento dieltrico de alguns materiais foram propostas na literatura, dentre
estas podem ser citados (DEBYE, 1929), (FUOSS; KIRKWOOD, 1941), (HAVRI-
LIAK; NEGAMI, 1966), (WILLIAMS; WATTS, 1970), e (DISSADO; HILL, 1984),
na maioria das situaes estas funes foram obtidas a partir de ajustes numricos de
funes partindo de resultados experimentais. Neste Captulo sero apresentados al-
guns dos principais modelos propostos na literatura para a funo resposta dieltrica
e que se aplicam na descrio do comportamento dieltrico de alguns materiais.
3.2 O MODELO DE DEBYE PARA A POLARIZAO DE MEIOS DIELTRI-
COS
O primeiro modelo proposto para a descrio da polarizao de materiais
dieltricos foi desenvolvido por Peter Josephus Wilhelmus Debye, ganhador do pr-
mio Nobel de Qumica em 1936. Em Seu Livro Polar Molecules DEBYE (1929)
admitiu que em materiais formados por molculas contendo um momento de di-
polo permanente onde as molculas se encontravam afastadas umas das outras, no
apresentavam forte interao entre os dipolos e assim poderiam ser negligenciadas.
Neste sentido Debye props que na ausncia de um campo aplicado, o processo de
relaxao dieltrica poderia ser governado por uma equao diferencial de primeira
33
ordem do tipo
dP (t)
dt+ cP (t) = 0. (3.1)
Esta equao uma consequncia da suposio feita em desprezar as interaes entre
os dipolos, neste caso a polarizao do meio num instante futuro t proporcional a
polarizao do meio no instante anterior t, ou seja
dP
dt P (t). (3.2)
Para que a equao (3.1) seja consistente necessrio que a constante c tenha di-
menso de inverso de tempo, assim pode ser identicado que c = 1, onde o tempo
de relaxao caracterstico do dipolo. Consequentemente neste caso a soluo desta
equao assume a forma
P (t) = P0et/(3.3)
Na presena de um campo eltrico harmnico externo E(t) = E0 cos(t), o
processo de interesse deixa de ser a relaxao e passa a ser a polarizao induzida,
sendo descrita por
dP (t)
dt+P
=0E0 cos(t) (3.4)
onde 0 a susceptibilidade eltrica na ausncia de um campo externo. A m de
resolver esta equao diferencial foi utilizado um artifcio desenvolvido por (FEYN-
MAN; SANDS, 2008), por apresentar uma abordagem mais rpida e prtica do que
os mtodos de resoluo convencionais. Considerando que P pode ser representado
pelo equivalente complexo P , a equao acima assume a seguinte forma
dP
dt+P
=0E0e
it. (3.5)
Como a polarizao proporcional ao campo aplicado pode-se escrever que
P = E0eit(3.6)
assim substituindo a expresso acima na Equao (3.5) obtm-se
=0
1 + i(3.7)
A partir desta ltima equao pode-se identicar as componentes real e
34
imaginria da susceptibilidade como sendo
=0
(1 + 22)(3.8)
=0
(1 + 22)(3.9)
De forma que para = 0, ou seja, na ausncia de um campo aplicado = 0 e
= 0 = constante. Um outro limite que deve ser notado consiste em assumir o
limite assinttico, ou seja , neste caso = = 0. Esta situao caracterizao equilbrio intermolecular, no sentido que a polarizao induzida devido a ao do
campo aplicado por si s adaptar-se-a ao campo aplicado, nesta situao P 0.
Com a meta de efetuar a conexo entre a discusso apresentada e os resulta-
dos descritos no captulo 2, deve-se notar a existncia da seguinte relao por meio da
Transformada de Fourier entre a funo resposta dieltrica r(t) e a permissividade
eltrica complexa
= + ( )
0
eitr(t
)dt, (3.10)
sendo que esta relao segue a partir da equao (2.35), assumindo um campo el-
trico harmnico da forma descrita na equao (3.5) (BTTECHER; BORDEWIJK,
1987). Nesta expresso, designa a permissividade eltrica no equilbrio assint-
tico, ou seja, na situao em que a polarizao e o campo aplicado esto em equilbrio.
Nas linhas abaixo mostrado que a funo resposta dieltrica atribuda ao modelo
de Debye assume a forma
r(t) =et/
, (3.11)
considerando esta relao e tomando a Equao (3.10), obtem-se a seguinte expresso
para
= + ( ) 11 + i(3.12)
Como
= i
Podemos escrever que:
= +( )
(1 + 22)(3.13)
=( )(1 + 22)(3.14)
35
possvel ainda relacionar as componentes real e imaginria da suscepti-
bilidade em funo das componentes real e imaginria da permissividade eltrica
segundo (RAJU, 2003)
= (3.15) = (3.16)
Assumindo as equaes (3.15) e (3.16) pode ser vericado que a equao (3.11), de
fato representa a funo resposta dieltrica para o modelo de Debye. Se retomados
os limites discutidos, em = 0 so identicados = = constante e = 0, e da
equao (3.16), segue imediatamente a concordncia = 0 e = 0 = constante,
que foi o resultado que havia sido obtido anteriormente. Por outro lado, na situao
em que , ganha-se = 0 e = , caracterizando a situao de equilbrioassinttico da polarizao induzida com o campo aplicado, levando a um resultado
anlogo ao obtido anteriormente, uma vez que neste caso = constante assim
= = 0.
A partir das equaes (3.8), (3.9) e das equaes (3.13) (3.16), pode ser
identicado que na teoria de Debye a funo resposta dieltrica descrita pela
equao (3.11). Na literatura o mais usual apresentar a descrio da resposta
dieltrica em termos da equao (3.10) e efetuar o grco das componentes real e
imaginria da permissividade eltrica. No caso do modelo de Debye, as equaes
(3.13) e (3.14), fornecem o grco descrito na Figura 3.1.
Figura 3.1: Grcos das componentes e para o modelo de Debye emfuno da frequncia do campo aplicado.
O modelo de Debye capaz de descrever o comportamento da resposta
36
dieltrica de algumas substncias. Entretanto, o modelo no capaz de descrever
de forma adequada o comportamento da resposta dieltrica associado a maioria das
substncias slidas de interesse, bem como materiais polimricos e cermicas, uma
vez que estes materiais em sua maioria apresentam picos na componente imaginria
mais distribudos ou deslocados a mais altas frequncias, alm de em alguns casos
a existncia de mais de um pico, caractersticas estas no descritas pelo modelo.
Nas sees seguintes sero apresentados alguns modelos que foram propostos para
proporcionarem uma melhor descrio do comportamento dieltrico do que o modelo
de Debye e que se aplicam a alguns materiais slidos e lquidos. Conforme sero
observados, estes modelos descrevem para alguns casos especiais o comportamento
dieltrico semelhante ao observado experimentalmente.
3.3 AS EQUAES DE COLE-COLE E COLE-DAVIDSON PARA A DESCRI-
O DA RELAXAO DIELTRICA
Como comentado na seo anterior, o modelo de Debye no capaz de
descrever o comportamento da relaxao observada na maioria das substncias di-
eltricas. COLE; COLE (1941) e COLE; DAVIDSON (1952) buscando variaes
do modelo proposto por Debye de modo a descrever, ao menos empiricamente o
comportamento dieltrico observado em certas substncias, propuseram as seguin-
tes expresses empricas para
= + ( ) 1(1 + (i)1)(3.17)
= + ( ) 1(1 + i)
, (3.18)
onde as equaes (3.17) e (3.18) so as propostas por Cole-Cole e Cole-Davidson, res-
pectivamente. Sendo os parmetros e com valores compreendidos nos intervalos
0 < 1 e 0 < 1.
As equaes (3.17) e (3.18) foram propostas a m de ajustarem-se ao com-
portamento dieltrico observado para algumas substncias, os valores dos parmetros
e so escolhidos de forma a proporcionar um melhor ajuste para com os resulta-
dos experimentais das componentes real e imaginria da permissividade eltrica.
possvel ainda notar que para o modelo de Cole-Cole, quando assumido o limite em
que = 0 recuperado o modelo de Debye. De maneira semelhante para o modelo
37
de Cole-Davidson, quando o valor limite de = 1 assumido, o modelo de Debye
tambm recuperado. Como os parmetros e so nmeros fracionais, as equa-
es de Cole-Cole e Cole-Davidson so entendidas no sentido de uma distribuio de
tempos de relaxao molecular (BTTECHER; BORDEWIJK, 1987). Uma melhor
descrio de cada um destes modelos apresentada nas sees A.1 e A.2 dos anexos.
Nas Figuras 3.2 e 3.3 apresentada uma comparao entre os modelos pro-
postos por (COLE; COLE, 1941) e (COLE; DAVIDSON, 1952), onde pode ser ob-
servado claramente as distines com relao as componentes real e imaginria. O
modelo proposto por Cole-Davidson de certa forma considera uma distribuio de
tempos de relaxao deslocada a mais altas frequncias, diferentemente do caso de
Cole-Cole onde o pico ocorre em frequncias mais baixas. Apesar de tais peculiari-
dades os modelos no descrevem de forma correta o comportamento da maioria dos
materiais dieltricos.
Figura 3.2: Comparativo entre os grcos da componente real da permissivi-
dade com relao a frequncia para os modelos de Cole-Cole e Cole-Davidson,
onde c = 1 103Hz.
Para que fossem geradas as Figuras 3.2 e 3.3 foram considerados como pa-
rmetros de entrada, = 0, 3 e = 0, 5, estes valores foram assumidos para evi-
denciar a diferena entre os dois modelos. BTTECHER; BORDEWIJK (1987)
disponibilizam uma srie de valores para estes parmetros que so utilizados para
caracterizar a resposta de muitas substncias no estado lquido, como o 1-chloro-2-
methylpropano que bem descrito pelo modelo proposto por Cole-Davidson para
= 0, 5 T = 102, 15K e o 1-bromo-2-methyl-butano para = 0, 5 T = 116, 15K,
cabe lembrar porm que nestes materiais provavelmente o frequncia de pico c seja
38
Figura 3.3: Comparativo entre os grcos da dependncia da componente ima-
ginria da permissividade com relao a frequncia para os modelos de Cole-
Cole e Cole-Davidson, onde c = 1 103Hz.
diferente daquela considerada para a comparao dos modelos.
Como possvel notar nas Figuras 3.2 e 3.3 os comportamentos dieltricos
mapeados so distintos e ambos podem ser associados a distribuies de tempos de
relaxao distintas. Assim, a comparao entre as guras reforam o comentrio feito
no incio da segunda seo de que as diferentes interaes dos dipolos moleculares
com o meio material pertencente contribuem para a denio da resposta dieltrica
do material a aplicao do campo.
Para um melhor entendimento de que os modelos discutidos no indicam
uma resposta adequada do comportamento dieltrico para a maioria dos materiais,
podem ser considerados os valores da tan() em funo da frequncia do Cloreto de
Sdio temperatura de 358, 15K segundo (HIPPEL, 1954) descrito na tabela A.1
dos Anexos. De posse destes valores da tan(), pde ser feito na Figura 3.4 a curva
da tan() em funo da frequncia para tais dados e na mesma gura as curvas
para a tan() em funo de e considerando os modelos propostos por Debye e
Cole-Cole.
Para a obteno das curvas da tan() para os modelos de Debye e Cole-
Cole foi considerada a frequncia inicial de 100Hz e a de 1000Hz com os seus
correspondentes experimentais da tan() para assim serem obtidos os parmetros
e de cada um dos modelos propostos.
Com relao a curva dos dados experimentais e das curvas para a tan()
39
Figura 3.4: Grco comparativo da tan() do Cloreto de Sdio 358, 15Kobtida experimentalmente segundo (HIPPEL, 1954), com as curvas obtidas
por meio dos modelos de Debye e Cole-Cole.
propostas pelos modelos, ca evidente que ao considerar um nico tempo de rela-
xao associado ao material dieltrico, o modelo de Debye descreve que a tan()
tem comportamento linear em funo da frequncia, o que no ocorre. No modelo
proposto por Cole-Cole a curva determinada pelos parmetros e , onde ambos
so ajustados de modo a se obter um melhor ajuste aos dados experimentais, porm,
de mesma forma que no modelo de Debye, tal modelo no caracteriza materiais os
quais a tan() diminui com a frequncia como o caso considerado na Figura 3.4,
apesar de no modelo proposto por Cole-Cole a curva ter uma certa aproximao
com alguns dados experimentais, o seu comportamento no descreve por completo
o comportamento observado da tan() em funo frequncia para este material.
Das discusses anteriores surge naturalmente o questionamento sobre a apli-
cabilidade dos modelos de Debye e Cole-Cole para a descrio do comportamento
dieltrico de materiais dieltricos. Em estudo realizado sobre o processo de relaxao
da gua a temperaturas entre 273, 15K e 308, 15K, (BUCHNER; STAUBER, 1999)
identicaram por meio dos dados experimentais que o comportamento da permis-
sividade real () e imaginria e () com a frequncia variando de 0, 2GHz at
410GHz apresentavam um comportamento que poderia ser mapeado por meio de
um modelo o qual considera uma sobreposio de duas equaes de Debye, ou seja,
onde:
() = 2
1 + i1+2 1 + i2
+ (3.19)
A considerao de uma sobreposio de duas equaes de Debye de que
40
h dois picos de absoro na faixa de frequncia observada e consequentemente dois
tempos de relaxao 1 e 2 associados ao material. Na Figura 3.5 so apresentados
os grcos com as componentes real e a imaginria da permissividade eltrica de
acordo com a frequncia para a gua 273, 35K, na ilustrao os smbolos repre-
sentam os dados experimentais, a linha pontilhada a curva para o modelo de Debye
considerando um nico tempo de relaxao e a linha contnua a curva para o modelo
proposto na equao (3.19).
Figura 3.5: Grco da disperso dieltrica () e o espectro de perda ()da gua 273, 35K(BUCHNER; STAUBER, 1999).
A partir da equao (3.19) e do grco da Figura 3.5 foi possvel obter a
curva da tan() para os dados experimentais e compar-los com a curva da tan()
que pela equao (3.19) da forma:
tan() =(1 + 22
2)( 2)1 + (1 + 212)(2 )2( 2)(1 + 222) + (2 )(1 + 212) (3.20)
Neste caso 1 e 2 so os tempos de relaxao caractersticos aos dois picos de ab-
soro, , 2 e so a permissividade dieltrica da gua, a permissividade para
frequncias intermedirias entre um pico de absoro e outro e a permissividade no
equilbrio assinttico, respectivamente. Na Figura 3.6 pode ser observado o grco
da tan() com a frequncia dos dados experimentais obtidos pela Figura 3.5 e a
curva da tan() pela frequncia por meio da equao (3.20).
Neste ltimo exemplo pode ser observado que o comportamento dieltrico
da gua a baixas temperaturas pode ser mapeado por meio da equao Debye e
que o fato de no considerar uma distribuio de tempos de relaxao, pode mesmo
assim descrever o comportamento dieltrico de alguns lquidos e gases a baixas tem-
peraturas, como observado neste exemplo.
41
Figura 3.6: Grco com os valores experimentais para a tan() obtidos daFigura 3.5 e a curva da tan() por meio da Equao (3.20) da gua 273, 35K(BUCHNER; STAUBER, 1999), ambas em funo da frequncia.
Um ponto que deve ser frisado que estes modelos caracterizam bem al-
gumas substncias na fase lquida, porm conforme ser discutido posteriormente,
substncias slidas como cristais, cermicas e polmeros no so descritas adequa-
damente por este tipo de formalismo, uma vez que podem apresentar mais do que
um pico de absoro na componente imaginria da permissividade, algo que ambos
os modelos no conseguem descrever.
No captulo seguinte so apresentados os principais aspectos do modelo pro-
posto por MAKOSZ; URBANOWICZ (2002), o qual assume uma descrio baseada
na dinmica de um oscilador harmnico amortecido em conjunto com uma dis-
tribuio de tempos de relaxao para o comportamento dieltrico, descrevendo e
justicando a existncia de mais de um pico de absoro na componente imaginria
identicados em alguns materiais.
42
4 DINMICA DE RELAXAO EM MEIOS DIELTRICOS: UMA
APLICAO ENVOLVENDO OSCILADORES HARMNICOS
4.1 INTRODUO
Conforme discutido no captulo anterior, muitas funes resposta surgiram
ao longo dos anos com o objetivo de descrever de forma adequada o comportamento
dieltrico apresentado pelos materiais. Inicialmente com Debye, a funo assumia a
existncia de um nico tempo de relaxao e que a resposta dos dipolos ao campo
eltrico se dava de forma idntica e sem interao entre os mesmos. Com o passar
dos anos vrias outras funes foram propostas de modo a considerar ajustes no
modelo de Debye, sob a premissa fundamental de que a dinmica de polarizao e
relaxao no era governada por um nico tempo de relaxao, devido a inuncia
entre os dipolos e a existncia de fenmenos inerentes a matria. A considerao de
uma distribuio de tempos de relaxao para a funo resposta levou a uma melhor
descrio do comportamento dieltrico observado.
Fenmenos oscilatrios so de extremo interesse em todos os campos da En-
genharia e Fsica. A ttulo de exemplicao de sistemas fsicos que so governados
por uma equao do tipo oscilador harmnico amortecido e forado um circuito
RLC submetido a uma tenso peridica. Neste captulo ser explorado um modelo
para descrio da polarizao de alguns meios dieltricos baseado em uma distribui-
o de tempos de relaxao na dinmica de relaxao de um oscilador amortecido
sujeito a ao de uma fora harmnica.
O movimento da agulha da bssola sob o efeito da ao de um campo mag-
ntico harmnico pode ser utilizado para ilustrar o movimento orientacional de um
dipolo eltrico sujeito a ao de foras dissipativas, desta forma aproveitado os
tpicos abordados para que se promova a interpretao dos parmetros que surgem
na equao de Debye descrita no Captulo 3. Com o objetivo de ilustrar a aplicabili-
43
dade das ideias associadas as oscilaes harmnicas foradas na descrio de sistemas
mais complexos, so apresentados os aspectos gerais do modelo (MAKOSZ; URBA-
NOWICZ, 2002), onde assumido justamente uma descrio baseada na dinmica
de um oscilador harmnico amortecido para o comportamento da polarizao orien-
tacional de algumas substncias que apresentam propriedades dieltricas (DOFF et
al., 2011).
4.2 O OSCILADOR AMORTECIDO E FORADO REVISITADO
notada a importncia e o interesse de fenmenos oscilatrios em se tra-
tando de sistemas fsicos envolvendo foras harmnicas. Como nestes sistemas fsicos
h dissipao de energia, a equao responsvel pela dinmica do movimento ser a
de um oscilador harmnico amortecido sujeito a uma fora externa dependente do
tempo denotada por F (t), dada por:
x+ x+ 20x =F (t)
m(4.1)
onde pode ser identicado que = bm ,
20 =
cm , sendo 0 a frequncia natural
de oscilao do sistema, c a constante elstica da mola, m a massa acoplada ao
oscilador e b o coeciente de amortecimento. A soluo geral desta equao pode
ser escrita com uma combinao linear formada pela soluo homognea xh(t), ob-
tida assumindo F (t) = 0 e pela soluo particular x(t)p. Se considerada a fora
externa F (t) como sendo harmnica, ou seja, supondo F (t) = Fo cos(t), pode-se
obter uma forma para a soluo particular considerando o mtodo empregado por
(FEYNMAN; SANDS, 2008), substituindo na ltima expresso, x(t) pelo equiva-
lente complexo z(t), sendo ento a soluo da equao particular identicada como
xp(t) = Re[z(t)]. Neste caso, tem-se F (t) = Fo exp (it) e a equao (4.1) pode ser
reescrita na seguinte forma
z + z + 20z =F0meit. (4.2)
Propondo uma soluo da forma z(t) = z0eitsubstituindo na equao (4.2) obtido
z0 =
(F0m
)1
(20 2 + i)(4.3)
44
Portanto, a soluo para a equao (4.2) pode ser escrita na forma
z(t) =
(F0m
)eit
(20 2 + i). (4.4)
A introduo da fora harmnica externa F (t) dever compensar a dissipao devido
a atuao da fora de atrito e o sistema dever oscilar harmonicamente, todavia,
esperasse que o movimento resultante esteja defasado em relao a fora harmnica
aplicada ao oscilador, uma vez que os efeitos devido a dissipao resultaro em um
atraso do movimento frente a fora aplicada. A constante de fase pode ento
ser incorporada a soluo descrita na equao (4.4). Como a constante z0 pode ser
escrita em termos de uma nova constante, denida segundo z0 = Aei, da equao
(4.3) tem-se
Aei = A(cos() + i sin()) =
[(20 2)
((20 2)2 + ()2)i
((20 2)2 + ()2)](
F0m
). (4.5)
Desta ltima equao identicado que
tan() = (20 2)
. (4.6)
A partir da equao (4.5) possvel determinar |z0|2 = A2 e o quadrado daamplitude A2 assume a forma
A2 =
(F0m
)21
((20 2)2 + ()2), (4.7)
e nalmente, a soluo particular xp(t) = Re[z(t)] pode ser escrita como
xp(t) = A() cos(t+ ()). (4.8)
Na Figura 4.1, no quadro superior direita identicado o grco da com-
ponente real de z0, Re[z0] = A cos() em funo da frequncia , no quadro principal
descrito o comportamento da componente imaginria Im[z0] = A sin() em termos
da frequncia. Para obteno destes grcos foi considerada a seguinte troca de va-
rivel x = ln(), de modo a ser obtida uma melhor visualizao e os valores a seguir
foram os atribudos nos parmetros que surgem nestas expresses:
F0m = 1[m.s
2],
0 = 2[rad.s1] e = 2[s1].
45
Figura 4.1: Grco da componente real e imaginria de z0 em funo dafrequncia da fora harmnica aplicada.
De modo a interpretar os grcos obtidos, ser efetuado primeiramente o
clculo da potncia mdia fornecida pela fora F (t), que dissipada no meio onde
o oscilador est imerso devido a presena das foras de atrito, ou seja
P (t) = xp(t)F (t) = 2pi
2pi/0
xp(t)F (t)dt
= 2A()F0 sin(), (4.9)
como Im[z0] = A() sin(), a equao descrita pode ser rescrita na forma
P (t) = 2F0Im[z0] (4.10)
a qual leva a
P (t) =2F 20
2m((20 2)2 + ()2). (4.11)
O grco descrito na Figura 4.1 do painel central representa uma gura
tpica de ressonncia, se considerada a equao (4.10) possvel vericar que a com-
ponente imaginria de z0, A() sin() est associada a dissipao, uma vez que na
condio de ressonncia ( = 0) se tem a taxa mxima de energia sendo transfe-
rida para o oscilador e consequentemente dissipada no meio onde o oscilador est
imerso. Em contraste, o quadro exibido no canto superior direito da Figura 4.1,
mostra como se d a defasagem do movimento em relao a fora aplicada, como
possvel vericar, a partir desta gura para frequncias maiores que a frequncia de
ressonncia, > 0, h uma inverso na fase do movimento.
46
4.3 OSCILAES AMORTECIDAS E FORADAS DAAGULHADE UMABS-
SOLA
Antes de ser apresentada uma discusso a respeito de algumas ideias asso-
ciadas a dinmica do processo de relaxao em meios dieltricos, nesta seo ser
considerado o comportamento da agulha de uma bssola na presena de um campo
magntico harmnico como anlogo ao comportamento de um dipolo a aplicao de
um campo eltrico.
Na Figura 4.2, apresentada uma foto do dispositivo utilizado para aquisi-
o do dados, consistindo de uma bssola convencional disposta em um solenoide.
A agulha da bssola se orienta inicialmente de acordo com o campo magntico da
terra, designado B0.
Figura 4.2: Fotograa do dispositivo composto por uma bssola e um solenoide,
utilizado para a aquisio dos dados.
No procedimento experimental descrito por (DOFF et al., 2011), o solenoide orien-
tado perpendicularmente ao campo da terra conectado a um gerador de frequncias
produzindo um campo harmnico do tipo B(t) = Bs cos(t), fazendo com que a agu-
lha de bssola passasse a oscilar harmonicamente em funo deste campo B(t). Aps
desligado o gerador, a agulha da bssola passou ento a diminuir a sua amplitude de
oscilao retornando a posio de equilbrio, caracterizada por sua orientao com
os polos magnticos da terra na ausncia de algum outro campo externo.
Com base na gravao do experimento e por meio do programa Tracker
(BROWN, 2011) foi possvel gerar a Figura 4.3, a qual descreve o tempo de relaxao
associado a bssola 1. Na Figura 4.4, so apresentados os resultados obtidos para
quatro bssolas similares, de mesmas propores e visualmente idnticas, porm,
47
como possvel notar o tempo de relaxao obtido para as quatro bssolas no
o mesmo, uma vez que provavelmente o atrito associado ao movimento oscilatrio
de cada uma sobre seu eixo de rotao no o mesmo, tal fato ser discutido
posteriormente.
Figura 4.3: Grco do tempo de relaxao associado a bssola 1.
Figura 4.4: Grcos dos tempos de relaxao associado ao conjunto de quatro
bssolas.
48
4.4 A INTERPRETAO FSICA DOS PARMETROS DA EQUAO DE
DEBYE
Na seo 3.2, a equao (3.1) de primeira ordem, enquanto que a equao
(4.1) uma equao de segunda ordem, que como visto, rege o comportamento
de uma agulha de bssola sob a ao de um campo magntico harmnico. Este
movimento pode ainda ser entendido como o de um dipolo magntico sujeito a
ao das mesmas foras atuantes em um oscilador harmnico amortecido e forado,
se observada a similaridade existente entre os grcos exibidos nas Figuras 3.1 e
4.1, surge o questionamento se no seria possvel descrever a polarizao de um
determinado dieltrico assumindo uma equao na forma da equao (4.1).
No tratamento clssico da interao da radiao com a matria, uma boa
discusso apresentada por REZENDE (2004), o qual assume uma interao do tipo
oscilador harmnico amortecido para a descrio da polarizao atmica induzida
frente a aplicao de um campo eltrico harmnico, de forma que ento possvel
determinar neste caso a dependncia com a frequncia para a constante dieltrica
do material (). Com base na discusso apresentada nos dois ltimos pargrafos e
aproveitando os resultados descritos na seo 4.2, pode se fazer uma interpretao do
signicado fsico das componentes e da permissividade eltrica apresentadas
na Figura 3.1.
A componente complexa como j discutido anteriormente ir descrever
a absoro de energia do campo pelo dieltrico, isso pode ser facilmente percebido
comparando o pico descrito na Figura 4.1, que como visto na seo 4.2 corresponde
a situao onde se tem a mxima potncia sendo transferida pela fora externa ao
oscilador, com o pico descrito na Figura 3.1 chamado aqui de pico de absoro.
No caso da componente real conforme j comentado no Captulo 2, poder ser
usada para a caracterizao das propriedades ticas do material, o ndice de refrao
nr, uma vez que nr2 = 1
2( +
+ ), e notadamente a componente apresenta
comportamentos distintos para < 0 e > 0 .
Por m, deve-se notar que o equivalente da equao (4.6), obtida para a
descrio da polarizao de um meio
tan() =
(4.12)
49
pode ento ser utilizado para a caracterizao das propriedades dieltricas de um
dado material, conforme comentado no Captulo 2, uma vez que, como no caso do
oscilador a fase ir depender das interaes dos dipolos com o meio.
O modelo de Debye fornece uma descrio adequada para o comportamento
da polarizao orientacional de muitas substncias, porm, h o conhecimento da
existncia de uma gama de materiais dieltricos que no so caracterizados apenas
por um nico tempo de relaxao como proposto por Debye. Desta forma, na seo
seguinte ser ilustrada a situao considerando um modelo para a polarizao de
certas substncias que ento baseado em uma equao do tipo oscilador harmnico
amortecido forado.
4.5 A DINMICA DE RELAXAO EM MEIOS DIELTRICOS: UM EXEM-
PLO ENVOLVENDO OSCILADORES HARMNICOS
No Captulo 2 foi mostrado ser possvel de descrever a polarizao de
um material dieltrico em termos de uma funo r, denominada de funo resposta
dieltrica, que refere-se a resposta do meio frente a aplicao de um campo externo
E(t) segundo
P (t) =
t
r(t t)E(t)dt. (4.13)
A m de caracterizar as propriedades dieltricas de muitas substncias, v-
rias funes resposta foram propostas empiricamente no decorrer dos anos, tais quais
as descritas no Captulo 3. O comportamento orientacional da polarizao de mui-
tos dieltricos na fase condensada so bem descrito por distribuies de tempos de
relaxao e muitos dos resultados obtidos com o uso de funes resposta empri-
cas hoje so compreendidos neste contexto (BTTECHER; BORDEWIJK, 1987;
RAJU, 2003). Para ilustrar este fato, por convenincia ser assumida a descrio da
polarizao orientacional apresentada em (MAKOSZ; URBANOWICZ, 2002).
No modelo proposto por MAKOSZ; URBANOWICZ (2002), os autores as-
sumem uma equao do tipo oscilador harmnico amortecido forado para a descri-
o da polarizao orientacional associada a algumas substncias, dada por:
P + P + 20P = 020E(t). (4.14)
Esta equao pode ser resolvida empregando o mtodo apresentado na seo 4.2, de
50
forma que usando novamente a identicao P (t) = E(t), e E(t) = E0eit, tem-se
=0
20(
20 2)
((20 2)2 + ()2)(4.15)
=0
20
((20 2)2 + ()2). (4.16)
Porm, ao invs de considerar uma nica constante de amortecimento para todas as
molculas os autores supem uma distribuio de constantes de amortecimento, que
resultam nas seguintes expresses para e
=i
bi020(
20 2)
((20 2)2 + (i)2)(4.17)
=i
bii020
((20 2)2 + (i)2)(4.18)
onde bi uma constante de normalizao. Do exemplo envolvendo o oscilador harm-
nico foi visto que dene o tempo de relaxao para um dado oscilador, de forma
que a distribuio i ir estar associada a uma distribuio de tempos caractersticos
de relaxao. Neste trabalho so assumidas funes de distribuio Gaussianas para
as constantes