Oимия (направление)tulpar.kpfu.ru/pluginfile.php/98145/course/summary... · jуководство к решению задач по теории вероятностей

020100.62-Химия (направление); http://kpfu.ru/pdf/portal/oop/14853.pdf

020201.65 - Фундаментальная и прикладная химия (специальность).

Дисциплина: «Математика» (бакалавриат, специалитет, 2 курс, очное

обучение).

Количество часов: 82 ч. (в том числе: лекции – 32, практические занятия – 0,

самостоятельная работа – 50); форма контроля: дифференцированный зачет.

Темы:

1. Теория вероятностей. Случайные события. Элементы комбинаторики.

2. Случайные величины. 3. Функция распределения случайной величины.

4. Система 2-х случайных величин. 5. Математическая статистика и ее

приложение к обработке результатов измерений.

Ключевые слова: случайные величины, вероятность, закон распределения

вероятностей, математическое ожидание, дисперсия, линейная регрессия,

математическая статистика.

Дата начала эксплуатации: 1 сентября 2014 года.

Авторы курса:

Заботина Наталья Павловна, доцент кафедры общей математики, кандидат

физико - математических наук,

Тюленева Ольга Николаевна, доцент кафедры общей математики, кандидат

физико- математических наук.

Министерство образования и науки РФ

ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный

университет»

Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского

Н.П. Заботина, О.Н. Тюленева

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Конспект лекций

Казань – 2014

Н.П. Заботина

Элементы теории вероятностей и математической статистики / Заботина Н.П.,

Тюленева О.Н.; Каз. федер. ун-тет. – Казань, 2014, - 77с.

Аннотация

Электронный курс «Теория вероятностей и математическая статистика»

является составной частью курса «Математика», читаемого студентам химикам.

В нем содержится теоретический материал, примеры решения задач, задачи для

самостоятельного решения, тестовые задания для текущего контроля.

Электронный курс предназначен для работы на занятии и самостоятельно.

Принято на заседании кафедры общей математики

© Казанский федеральный университет

© Заботина Н.П., Тюленева О.Н.

Содержание

Тема 1: ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ............... 7

Лекция 1 ..................................................................................................... 7

Основные понятия. ..................................................................... 10

Виды случайных событий. ......................................................... 10

Классическое определение вероятности. .................................. 10

Элементы комбинаторики. ......................................................... 11

Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.12

Лекция 2 ................................................................................................... 12

Теорема сложения вероятностей. .............................................. 14

Противоположные события. ...................................................... 15

Теорема умножения вероятностей ............................................ 15

Вероятность появления хотя бы одного события ..................... 15

Лекция 3 ................................................................................................... 16

Формула полной вероятности .................................................... 18

Формула Байеса .......................................................................... 18

Лекция 4 ................................................................................................... 18

Схема Бернулли. ......................................................................... 20

Локальная теорема Лапласа ....................................................... 21

Интегральная теорема Лапласа .................................................. 21

Теорема Пуассона ....................................................................... 22

Тема 2: СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА ................................................................. 22

Лекция 5 ................................................................................................... 22

Дискретная случайная величина ................................................ 24

Математическое ожидание дискретной случайной величины . 25

Лекция 6 ................................................................................................... 26

Дисперсия дискретной случайной величины ............................ 28

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины,

распределенной по биноминальному закону ............................ 29

Лекция 7 ................................................................................................... 29

Одинаково распределенные взаимно независимые случайные

величины ..................................................................................... 31

Закон больших чисел .................................................................. 32

Неравенство Чебышева .............................................................. 32

Теорема Чебышева. .................................................................... 33

Теорема Бернулли ...................................................................... 33

Тема 3: ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ

ВЕЛИЧИНЫ ......................................................................................................... 33

Лекция 8 ................................................................................................... 33

Непрерывная случайная величина ............................................. 35

Свойства функции распределения ............................................. 36

Лекция 9 ................................................................................................... 36

Плотность распределения вероятностей непрерывной

случайной величины .................................................................. 39

Свойства плотности распределения .......................................... 39

Числовые характеристики непрерывных случайных величин. 39

Лекция 10 ................................................................................................. 40

Нормальное распределение........................................................ 42

Лекция 11 ................................................................................................. 42

Вероятность попадания в заданный интервал нормально

распределенной случайной величины ....................................... 45

Понятие о центральной предельной теореме ............................ 45

Тема 4:СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ................................... 46

Лекция 12 ................................................................................................. 46

Закон распределения вероятностей дискретной двумерной

случайной величины .................................................................. 48

Плотность совместного распределения вероятностей

непрерывной двумерной случайной величины ........................ 50

Условные законы распределения составляющих системы

дискретных величин ................................................................... 50

Условное математическое ожидание ........................................ 51

Лекция 13 ................................................................................................. 52

Зависимые и независимые случайные величины ..................... 54

Числовые характеристики системы двух случайных величин.

Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. ............. 54

Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической

регрессии. .................................................................................... 55

Тема 5: ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ .................... 56

Лекция 14 ................................................................................................. 56

Основные понятия ...................................................................... 59

Статистическое распределение выборки. ................................. 60

Эмпирическая функция распределения .................................... 61

Статистические оценки параметров распределения. ................ 61

Доверительный интервал. .......................................................... 62

Некоторые распределения, связанные с нормальным

распределением. ......................................................................... 63

Лекция 15 ................................................................................................. 64

Примеры нахождения доверительных интервалов. .................. 66

Лекция 16 ................................................................................................. 70

Критерий согласия 2 (критерий согласия Пирсона). ............. 71

Коэффициент линейной корреляции ......................................... 74

Список рекомендуемой литературы: ................................................................ 77

Тема 1: ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ.

Лекция 1

Аннотация. Данная тема раскрывает основные понятия теории вероятности и

элементов комбинаторики.

Ключевые слова. Случайные события, достоверные события, невозможные

события, классическое определение вероятности, относительная частота,

элементы комбинаторики, размещение, сочетания, перестановки.

Краткие обозначения

Гмурман(учебник) – Учебник рекомендуемый для лучшего усвоения курса:

«Теория вероятностей и математическая

статистика:Учеб. пособие для вузов»/ В. Е. Гмурман. - 9-

е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., 2003. - 479 с. –

http://bau-enginer.ru/u/66852438/Matematika/Gmurman.pdf

Гмурман(задачник) – Задачник рекомендуемый для лучшего усвоения курса:

«Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистики» / В.Е. Гмурман - М.: Высш.

школа, 1979, 400 с. –

http://postovalov.net/teaching/tv_ms/gmurman.pdf

Методические рекомендации по изучению темы

Тема содержит лекционную часть, где даются общие представления по

теме и приводятся примеры решения задач;

Для лучшего усвоения материала рекомендуется обратиться к Гмурман

(учебник) Ч.1 глава 1 (стр.17-31).

В качестве самостоятельной работы рекомендуется решить следующие

задачи: Гмурман (задачник). №№1-9; 11;12;14; 17-25

Для проверки усвоения темы имеются вопросы к каждой лекции и тесты



Рекомендуемые информационные ресурсы:

1. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической

статистики / В.Е. Гмурман - М.: Высш. школа, 1979, 400 с. -


2. Теория вероятностей и математическая статистика:Учеб. пособие для

вузов/ В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. -М.: ВЫСШ. ШХ., 2003. - 479 с. -


3. Теория вероятностей и математическая статистика / А.А. Туганбаев, В.Г.

Крупин - Изд-во "Лань", 2011. - 320 с. -

http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=652

4. Задачник по теории вероятностей и математической статистике / Г.В.

Емельянов, В.П. Скитович - Изд-во "Лань", 2007. - 336. с. -


5. Теория вероятностей и математическая статистика. Бояршинов Б.С. -

http://www.intuit.ru/shop/books/departments/mathematics/ptams/

Глоссарий

Достоверное событие - событие, которое обязательно произойдет, если

будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Невозможное событие - событие, которое заведомо не произойдет,

если будет осуществлена совокупность условий S.

Случайное событие - событие, которое при осуществлении совокупности

условий S может либо произойти, либо не произойти.

Несовместные события – группа событий, в которой появление одного

из них исключает появление других событий в одном и том же

испытании.

Полная группа событий – в результате испытания обязательно появится

хотя бы одно событие из этой группы.






Равновозможные события - ни одно из нескольких событий не является

более возможным, чем другое.

Вероятность события A – это отношение числа благоприятствующих

событию А элементарных исходов к их общему числу н и обозначают

n

mAP )( .

Относительная частота события А - отношение числа опытов, в

которых появилось событие А, к общему числу опытов:

Соединение - произвольная упорядоченная выборка из n различных

элементов a1, a2, … an.

Размещение из n элементов по m (m n) - соединения, каждое из

которых содержит ровно m различных элементов (выбранных из данных

n элементов) и которые отличаются либо самими элементами, либо

порядком элементов

)]1()...[1( mnnnAmn .

Перестановка из n элементов - соединение из n элементов, каждое из

которых содержит все n элементов

!)]1()...[2)(1( nnnnnnAP nnn

Сочетание из n элементов по m (m n) - соединения, каждое из

которых содержит ровно m данных элементов и которые отличаются хотя

бы одним элементом (порядок элементов не имеет значения)

)!(!

!

mnm

nC m

n

.

Вопросы для изучения:

1. Достоверные, невозможные и случайные события.

2. Виды случайных событий

3. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.

4. Относительная частота. Свойство устойчивости относительной частоты

5. Комбинаторика. Основные понятия.

Основные понятия.

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три

вида: достоверное, невозможное и случайное.Достоверным называют событие,

которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная

совокупность условий S. Невозможным называют событие, которое заведомо не

произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Случайным

называется событие, которое при осуществлении совокупности условий S

может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то

она может упасть так, что сверху будет либо «герб», либо «решетка». Каждое

случайное событие, в частности выпадение «герба», есть следствие действия

очень многих причин, которые также являются случайными. Поэтому теория

вероятностей не ставит задачу предсказать, произойдет единственное событие

или нет, но при многократном повторении одного испытания в одних и тех же

условиях, можно установить определенные закономерности. Установление этих

закономерностей и занимается теория вероятностей.

Виды случайных событий.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает

появление других событий в одном и том же испытании. Несколько событий

образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно

из них. Если события, образующие полную группу попарно несовместны, то в

результате испытания появится одно и только одно из этих событий. События

называют равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них

не является более возможным, чем другое.

Классическое определение вероятности.

Каждый из возможных результатов испытания называется элементарным

исходом. Элементарные исходы обозначим n. Те элементарные

исходы, в которых интересующее нас событие А наступает, называются

благоприятствующими этому событию. Таким образом, событие А наступает,

если результатом испытания является один безразлично какой из элементарных

исходов, благоприятствующих событию А.

Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их

общему числу называют вероятностью события А и обозначают Р(А).

Итак:n

mAP )( .

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства.

1) Вероятность достоверного события равна единице.

2) Вероятность невозможного события равно нулю.

3) Вероятность случайного события есть положительное число,

заключенное между нулем и единицей.

Элементы комбинаторики.

Рассмотрим совокупность n различных элементов a1, a2, … an. Произвольную

упорядоченную выборку из этих элементов называют соединением.

Размещениями из n элементов по m (m n) называют их соединения, каждое из

которых содержит ровно m различных элементов (выбранных из данных

элементов) и которые отличаются либо самими элементами, либо порядком

элементов )!(

!

mn

nAm

n

Соединение из n элементов, каждое из которых содержит все n элементов,

называются перестановками. Число перестановок из n элементов обозначим:

!nPn

Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, каждое из

которых содержит ровно m данных элементов и которые отличаются хотя бы

одним элементом. (Порядок элементов не имеет значения) )!(!

!

mnm

nCm

n

.

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности

объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то

выбрать либо А либо В можно n + m способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов

m способами, а объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В)

может быть выбрана mn способами.

Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.

Если определение множества пространства элементарных исходов испытания

затруднено, тогда вероятность события определяют как относительную частоту

появления события А в n испытаниях n

mAn )( .

Относительная частота обладает свойством устойчивости, колеблясь около

некоторого постоянного числа. Таким образом, это постоянное число и есть

вероятность появления события А: P(A) = W(A).

Лекция 2

Аннотация. Данной лекции приводятся основные теоремы теории .

Ключевые слова. Теорема сложения вероятностей, теорема умножения

вероятностей, условная вероятность, противоположные события.











школа, 1979, 400 с. –






(учебник) Ч.1 глава2 – глава3; Ч.1 глава 4 §1 (стр.31-50).


задачи: Гмурман (задачник). №№46-49,51-56,64, 69,71,80-86.























Глоссарий

Сумма двух событий - событие А+В, состоящее в появлении события А

или события В, или обоих этих событий.

Произведение двух событий - событие , состоящее в совместном

появлении этих событий.

Противоположные события - два единственно возможных события,

образующих полную группу. Если одно обозначено А, тогда другое

принято обозначать A .

Условная вероятность РА(В) - вероятность события В, вычисленную в

предположении, что событие А уже наступило.


1. Теорема сложения вероятностей.

2. Противоположные события.

3. Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность.

4. Вероятность появления хотя бы одного события.

Теорема сложения вероятностей.

Суммой двух событий называют событие, состоящее в появлении события А

или события В, или обоих этих событий.

Теорема. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих

событий минус вероятность произведения этих событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Если события А и В несовместны, т.е. одновременно произойти не могут, тогда:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Противоположные события.

Противоположными называют два единственно возможных события,

образующих полную группу. Если одно обозначено А, тогда другое принято

обозначать A .

Теорема. Вероятность противоположного события )(1)( APAP .

Теорема умножения вероятностей

Произведением двух событий А и В называют событие , состоящее в

одновременном появлении этих событий.

Случайное событие мы определили как событие, которое происходит или не

происходит при осуществлении определенного комплекса условий S. Если при

вычислении вероятности события никаких других условий кроме S не

налагается, то вероятность события называется безусловной.

Условной вероятностью РА(В) называют вероятность события В, вычисленную

в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного действия

появления двух событий равна произведению вероятностей одного из них на

условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое уже

наступило: Р() = Р(А)РА(В).

Если событие А и В независимы, то Р() = Р(А)Р(В).

Замечание. Легко доказать, что: Р() = Р(В)РВ(А). Таким образом:

Р(А)РА(В) = Р(В)РВ(А).

Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в

совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного),

причем вероятности появления каждого из этих событий известны.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, … Аn ,

независимых в совокупности, равно разности между единицей и произведением

вероятностей противоположных событий: )()...()(1)( 21 nAPAPAPAP .

Лекция 3

Аннотация. В данной лекции вводится понятие полной вероятности и

доказываются формулы вычисления полной вероятности и Байеса.

Ключевые слова. Полная вероятность, полная группа событий, условная

вероятность, формула Байеса.










школа, 1979, 400 с. –






(учебник) Ч.1 глава 4 §§2 - 3 (стр.50-55).




задачи:

Гмурман (задачник). №№89,91,92,96,97-101,102,105-108.

















Глоссарий

Полная группа событий – в результате испытания обязательно появится

хотя бы одно событие из этой группы.

Несовместные события – группа событий, в которой появление одного

из них исключает появление других событий в одном и том же

испытании.

Условная вероятность РH(A) - вероятность события A, вычисленную в

предположении, что событие H уже наступило.






Полная вероятность - вероятность события А, которое может произойти

лишь при условии появления одного из несовместных событий Н1, Н2, …,

Нn, образующих полную группу


1. Формула полной вероятности.

2. Формула Байеса

Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из

несовместных событий Н1, Н2, …, Нn , которые образуют полную группу. Пусть

известны вероятности этих событий и условные вероятности: )(APiH , где

ni ,1 .

Теорема. Вероятность события А, которое может произойти лишь при условии

появления одного из несовместных событий Н1, Н2, …, Нn, образующих полную

группу, вычисляется по формуле:

)()()...()()()()(21 21 APHPAPHPAPHPAP

nHnHH .

Формула Байеса

Рассмотрим ту же самую модель. Вероятность события определим по формуле

полной вероятности. Допустим, что произведено испытание, в результате

которого появилось событие А. Найдем условные вероятности:

n

kHk

Hi

iA

APHP

APHPHP

k

i

1

)()(

)()()( , ni ,1 .

Полученные формулы называют формулами Байеса.

Лекция 4

Аннотация. В данной лекции рассматривается схема Бернулли. Выводятся

формулы Бернулли, Лапласа и Пуассона.

Ключевые слова. Схема Бернулли, формула Бернулли, локальная теорема

Лапласа, интегральная теорема Лапласа, теорема Пуассона.










школа, 1979, 400 с. –








задачи: Гмурман (задачник). №№110-115,119-122,125,126.




















Глоссарий

Независимое событие – событие в данной системе испытаний,

вероятность которого в каждом из испытаний не зависит от исхода

других испытаний.

Схема Бернулли – Серия независимых повторных испытаний, в каждом

из которых данное событие А имеет одну и ту же вероятность Р(А) = р не

зависящую от номера испытания.


1. Схема и формула Бернулли.

2. Локальная теорема Лапласа

3. Интегральная теорема Лапласа

4. Теорема Пуассона

Схема Бернулли.

Событие А называется независимым в данной системе испытаний, если

вероятность этого события в каждом из них не зависит от исхода других





испытаний. Серия независимых повторных испытаний, в каждом из которых

данное событие А имеет одну и ту же вероятность Р(А) = р не зависящую от

номера испытания, называется схемой Бернулли. Вероятность появления

события А точно m раз при n испытаниях вычисляется формуле Бернулли:

mnmmnmmnn qp

mnm

nqpCmP

)!(!

!)( .

Локальная теорема Лапласа

Если число испытаний n велико, то вычисления становятся затруднительными.

Лаплас получил важную приближенную формулу для вероятностей Pn(m), если

n большое число.

Теорема. Пусть р = Р(А) – вероятность события А. Тогда вероятность того, что

в условиях схемы Бернулли событие А при n независимых испытаниях

появится точно m раз, выражается приближенной формулой Лапласа:

2

2

2

1)(

t

n enpq

mP

, где q = 1–p, npq

npmt

.

Интегральная теорема Лапласа

Поставлен вопрос: какова вероятность Pn(m1, m2) того, что в n независимых

испытаниях событие А появится не менее m1 раз и не более m2 раза?

Пусть n достаточно большое, тогда

Pn(m1,m2) (tm2)- (tm1),

где

npq

npmtm

1

1 , npq

npmtm

2

2 .

dtedttxx tx

0

2

0

0

2

2

1)()(

- интеграл вероятностей.

Функция х обладает следующими свойствами:

1) (0) = 0; 2) (+) = 1/2; 3) (–х) = – (х).

Теорема Пуассона

Пусть производится серия n независимых испытаний (n = 1, 2, 3…), причем

вероятность появления данного события А в этой серии pn = P(A) >0 зависит от

её номера n и стремится к нулю при n (последовательность «редких

событий»). Предположим, что для каждой серии среднее значение числа

появлений события А постоянно, т.е. pn = = const и «мало». Тогда вероятность

появления события А в n-ой серии равно m раз вычисляется по приближенной

формуле Пуассона: em

mPm

n!

)( .

Тема 2: СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Лекция 5

Аннотация. В данной лекции вводятся понятия случайной величины,

дискретной и закон распределения вероятностей дискретной случайной

величины. Рассматривается одна из характеристик дискретной случайной

величины - математическое ожидание.

Ключевые слова. Дискретная случайная величина, закон распределения

дискретной случайной величины, математическое ожидание, свойства

математического ожидания.











школа, 1979, 400 с. –






(учебник) Ч.2 глава 6 §§1-3 (стр.64-66), Ч.2 глава 7 (стр.75-83).


задачи:

Гмурман (задачник). №№164-167,170,172.173,175,188-192, 201.






















Глоссарий

Случайная величина – величина, которая принимает свои значения в

зависимости от исходов некоторого испытания (опыта), причем для

каждого элементарного исхода она имеет единственное значение.

Дискретная случайная величина - случайная величина, множество всех

возможных значений которой конечно (или счётно).

Закон распределения случайной величины - соответствие между всеми

возможными значениями дискретной случайной величины и их

вероятностями.

Независимые случайные величины - закон распределения одной из них

не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Математическое ожидание дискретной случайной величины - сумма

произведений всех её возможных значений на их вероятности:

n

iii pxXM

1

)( .


1. Дискретная случайная величина и ее закон распределения.

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его

свойства.

Дискретная случайная величина

Величина называется случайной, если она принимает свои значения в

зависимости от исходов некоторого испытания (опыта), причем для каждого

элементарного исхода она имеет единственное значение. Случайная величина

называется дискретной, если множество всех возможных значений её конечно


(или счётно). Геометрически множество всех возможных значений дискретной

случайной величины представляет конечную систему точек числовой оси.

пусть Х – дискретная случайная величина, возможными и единственно

возможными значениями которой являются числа x1, x2, …xn. Обозначим через

nixXPp ii ,1};{ . События ),1( nixX i , очевидно, образуют полную

группу событий, поэтому р1 + р2 +…+ рn = 1.

Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной

величины и их вероятностями называется законом распределения данной

случайной величины.

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения

одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая

величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму

произведений всех её возможных значений на их вероятности :

n

iii pxXM

1

)( .

Свойства математического ожидания

1. CCM )( , где C – постоянная величина;

2. )()( XCMCXM ;

3. M(X + Y) = M(X) + M(Y);

Следствие. Если C = const, то M(X+C) = M(X) + C.

4. M(XY) = M(X)M(Y)., где X и Y - независимые случайные величины;

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких независимых

случайных величин равно произведению математических ожиданий этих

величин.

Лекция 6

Аннотация. В данной лекции вводятся понятия дисперсии и

среднеквадратического отклонения случайной величины. Рассматривается

биноминальный закон распределения дискретной случайной величины.

Ключевые слова. Дискретная случайная величина, математическое

ожидание, дисперсия, свойства дисперсии, среднеквадратическое отклонение

случайной величины, биноминальный закон распределения.










школа, 1979, 400 с. –






(учебник) Ч.2 глава 8 §§1-5 (стр.85-92), Ч.2 глава 8 §7 (стр.94-95), Ч.2

глава 6 §4 (стр.66-68), Ч.2 глава 7 §5 (стр.83-84), Ч.2 глава 7 §6 (стр.92-94).


задачи:



Гмурман (задачник). №№ 195-197, 208-211, 213-216, 219.

















Глоссарий

Дискретная случайная величина - случайная величина, множество всех

возможных значений которой конечно (или счётно).

Дисперсия случайной величины Х - математическое ожидание квадрата

уклонения случайной величины Х: ii pmxmXMXD 22 )()()( .

Среднеквадратическое отклонение случайной величины Х - корень

квадратный из дисперсии )()( XDX .

Биноминальный закон распределения - распределение вероятностей

возможных чисел появления события А при n независимых испытаниях, в






каждом из которых событие А может осуществиться с одной и той же

вероятностью Р(А) = р = const. Кроме события А может произойти также

противоположное событие Ā, вероятность которого Р(Ā) = 1 - р = q..


1. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной

величины.

2. Биноминальный закон распределения случайной величины.

Дисперсия дискретной случайной величины

Зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить

ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они

рассеяны вокруг математического ожидания. Мерой рассеяния случайной

величины является дисперсия.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание

квадрата уклонения случайной величины Х:

ii pmxmXMXD 22 )()()(

Опираясь на свойства математического ожидания можно получить еще одну

формулу вычисления дисперсии: D(X) = M(X 2) - [M(X)]

2.

Свойства дисперсии:

1. D(C) = 0, где C – постоянная величина;

2. D(CX) = C2D(X);

3. D(X + Y) = D(X) + D(Y), где X и Y независимые случайные величины

Следствие. D(X + C) = D(X), где С = const.

4. D(X - Y) = D(X) + D(Y).

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины,

распределенной по биноминальному закону

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых

вероятность появления события А постоянна и равна p. Чему равно среднее

число появления события А в этих испытаниях. Рассмотрим случайную

величину Х – число появления события А в n независимых испытаниях.

Очевидно, в одном испытании X1 равно нулю или единице, а число Х

определяется количеством появлений события А в каждом из n испытаний.

Таким образом,

Х = X1 + X2 + …+ Xn; q + p = 1;

Xk 0 1

P Q p

M(Xk) = 0q+1p = p; nk ,1 ;

M(X) =M(X1 + X2 +…+ Xn) = M(X1) + M(X2) + …+ M(Xn) = np.

Аналогично рассуждая, получаем, что дисперсия равна D(X) = npq.

Среднеквадратическим отклонением случайной величины Х называется корень

квадратный из дисперсии )()( XDX .

Лекция 7

Аннотация. В данной лекции раскрывается понятие закона больших чисел.

Ключевые слова. Закон больших чисел, теорема Чебышева, теорема

Бернулли.










школа, 1979, 400 с. –






(учебник) Ч.2 глава 8 §§8-10 ( стр.95-98), Ч.2 глава 9 ( стр101-110).


задачи:

Гмурман (задачник). №№242-244.






















Глоссарий

Математическое ожидание среднего арифметического одинаково

распределенных взаимно независимых случайных величин равно

математическому ожиданию а каждой из величин:

Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных

взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии 2

каждой из величин:

n

nn

XDXDnn

XXXDXD n

n2

2

212

21 1)](...)([

1...)(

.

Закон больших чисел - это обобщенное название нескольких теорем, из

которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний

средние величины стремятся к некоторым постоянным. К ним относятся

теоремы Чебышева и Бернулли.


1. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные вкличины

2. Теоремы Чебышева и Бернулли.

Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин Х1, Х2,…Хn, которые

имеют одинаковые распределения, следовательно, и одинаковые

характеристики (математическое ожидание и дисперсию). Обозначим среднее

арифметическое рассматриваемых величин через X :



n

XXXX n

...21

Пусть aXMXMXM n )(...)()( 21 , 221 )(...)()( nXDXDXD .

1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково

распределенных взаимно независимых случайных величин равно

математическому ожиданию а каждой из величин:

aann

XMXMnn

XXXMXM n

n

1)](...)([

1...)( 1

21

2. Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно

независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии 2 каждой из

величин:

n

nn

XDXDnn

XXXDXD n

n2

2

212

21 1)](...)([

1...)(

.

Закон больших чисел

Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон,

связанный с большими числами. Закон больших чисел - это обобщенное

название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном

увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым

постоянным. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема

Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли

- простейшим.

Неравенство Чебышева

Теорема: Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от её

математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного

числа , не меньше, чем 2

)(1

XD , т.е.

2

)(1}{

XDmXP i

Теорема Чебышева.

Если Х1, Х2,…Хn – попарно независимые случайные величины, причем

дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянное число с), то,

как бы ни было мало положительное число , вероятность неравенства

n

XMXMXM

n

XXX nn )()...()(... 2121

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин велико.

Таким образом 1)()...()(...

lim 2121

n

XMXMXM

n

XXXP nn

n

Вывод: среднее арифметическое достаточно большого числа независимых

случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает

характер случайной величины.

Теорема Бернулли

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность р появления события

А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение

относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь

угодно малым, если число испытаний будет достаточно велико:

1

pn

mP .

Тема 3: ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ

ВЕЛИЧИНЫ

Лекция 8

Аннотация. В данной лекции вводятся понятия непрерывной случайной

величины и функции распределения, а также доказываются свойства функции

распределения.

Ключевые слова. Непрерывная случайная величина, функция распределения










школа, 1979, 400 с. –








задачи:

Гмурман (задачник). №№252-256,26-261.




















Глоссарий

Непрерывная случайная величина - случайная величина Х, возможные

значения которой заполняют сплошь интервал (a, b) или всю числовую

ось.

Функция распределения непрерывной случайной величины -

вероятность события, состоящего в том, что X примет значение меньше x,

т.е. }.{)( xXPxF


1. Непрерывная случайная величина и ее функция распределения.

Непрерывная случайная величина

Рассмотрим случайную величину Х, возможные значения которой заполняют

сплошь интервал (a, b) или всю числовую ось. Такая случайная величина

называется непрерывной. Очевидно, непрерывную случайную величину нельзя

задавать в виде перечня всех её значений и соответствующих вероятностей, как

для дискретной случайной величины. Поэтому возникает необходимость ввести

универсальный способ определения случайной величины.





Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х

примет значение меньшее х, т.е. вероятность события {X < x}, обозначим через

F(x). Разумеется, если х изменяется, то изменяется и F(x), т.е. F(x) является

функцией аргумента х: }.{)( xXPxF

Случайную величину называют непрерывной, если её функция распределения

есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной

производной.

Свойства функции распределения

1) F(x) ;

2) 12 ()( xFxF ), если х2 > x1.

3) F(x) = 0 при x a; F(x) = 1, при x b.

Следствие 1. Р{ a Х b} = F(b) - F(a).

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет

одно определенное значение равно нулю, т.е. 0}{ 1 xXP

Следствие 3. Если возможные значения непрерывной случайной величины

расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные

соотношения: 1)(lim;0)(lim

xFxFxx

.

Лекция 9

Аннотация. В данной лекции вводятся понятия плотности распределения,

математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины.

Ключевые слова. Непрерывная случайная величина, плотность

распределения, математическое ожидание, дисперсия.










школа, 1979, 400 с. –






(учебник) Ч.2 глава 11; Ч.2 глава 12 §1 (стр.116-127).


задачи:

Гмурман (задачник). №№262-269,275-280, 293, 296.






















Глоссарий

Непрерывная случайная величина - случайная величина Х, возможные

значения которой заполняют сплошь интервал (a, b) или всю числовую

ось.

Функция распределения непрерывной случайной величины -

вероятность события, состоящего в том, что X примет значение меньше x,

т.е. }.{)( xXPxF

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной

величины – первая производная от функции распределения

непрерывной случайной f(x)=F'(x).

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X,

возможные значения которой принадлежат интервалу [a, b], называют

определенный интеграл b

a

dxxfxxM )()( .

Дисперсией непрерывной случайной величины X называют

математическое ожидание её квадрата уклонения:

b

a

dxxfxMxxD )()]([)( 2;


1. Плотность распределения непрерывной случайной величины.

2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

(математическое ожидание и дисперсия)



Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной

величины

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины

называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):

F'(x) = f(x).

Зная плотность распределения, функцию распределения можно определить:

x

dttfxF )()( .

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет

значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от

плотности распределения в пределах от a до b, т.е. b

a

dxxfbXaP )(}{ .

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения неотрицательная функция: f(x) 0.

2.

1)( dxxf .

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X,

возможные значения которой принадлежат интервалу [a, b], называют

определенный интеграл b

a

dxxfxxM )()( .

2. Дисперсией непрерывной случайной величины X называют

математическое ожидание её квадрата уклонения: b

a

dxxfxMxxD )()]([)( 2;

Среднеквадратическое отклонение )()( xDx .

Замечание. Легко доказать, что свойства математического ожидания и

дисперсии дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных

случайных величин.

Лекция 10

Аннотация. В данной лекции рассматривается нормальное распределение.

Записывается его функция распределения и показывается, что параметры

функции распределения являются математическим ожиданием и

среднеквадратическим отклонением.

Ключевые слова. Нормальное распределение, плотность распределения,

математическое ожидание, дисперсия.










школа, 1979, 400 с. –






(учебник) Ч.2 глава 12 §§2-4 (стр.127-132).




задачи:

Гмурман (задачник). №№322-325.

















Глоссарий

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X,

возможные значения которой принадлежат всей числовой оси, называют

определенный интеграл

dxxfxxM )()( .

Дисперсией непрерывной случайной величины X называют

математическое ожидание её квадрата уклонения:

dxxfxMxxD )()]([)( 2 .






Нормальное распределение - распределение вероятностей непрерывной

случайной величины, которое описывается плотностью:

2

2

2

)(

2

1)(

ax

exf

, где a -математическое ожидание и –

среднеквадратическое отклонение


1. Нормальное распределение случайной величины.

Нормальное распределение

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной

величины, которое описывается плотностью: 2

2

2

)(

2

1)(

ax

exf

.

Мы видим, что нормальное

распределение определяется двумя

параметрами a -математическое

ожидание и – среднеквадратическое

отклонение.

При любых значениях параметров a и

площадь ограниченная нормальной кривой и осью O остается равной

единице.

Заметим, что при a = 0, = 1 нормальный закон распределения называется

основным.

Лекция 11

Аннотация. В данной лекции выводится формула вычисления вероятности

попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной

величины. Доказывается правило «трех сигм» и формулируется центральная

предельная теорема А.М.Ляпунова.

Ключевые слова. Нормальное распределение, функция Лапласа, правило «трех

сигм», центральная предельная теорема А.М.Ляпунова










школа, 1979, 400 с. –






(учебник) Ч.2 глава 12 §§5-8 ( стр стр.132-137).


задачи:

Гмурман (задачник). №№328-332,339, 340.




















Глоссарий

Нормальное распределение - распределение вероятностей непрерывной

случайной величины, которое описывается плотностью:

2

2

2

)(

2

1)(

ax

exf

, где a -математическое ожидание и –

среднеквадратическое отклонение.

Функция Лапласа - интеграл с переменным верхним пределом вида

x z

dzex0

2

2

2

1)

..

Правило «трех сигм»: Если случайная величина распределена

нормально, то абсолютная величина её отклонения от математического

ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического

отклонения с вероятностью близкой к единице или

9973,049865,02)3(23

2}3|{|

axP .

Центральная предельная теорема А.М.Ляпунова: Если случайная

величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно

независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю





сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к

нормальному.


1. Вероятность попадания в заданный интервал нормально

распределенной случайной.

2. Правило «трех сигм».

3. Понятие о центральной предельной теореме А.М. Ляпунова.

Вероятность попадания в заданный интервал нормально

распределенной случайной величины

Введем интеграл с переменным верхним пределом, который называется

функцией Лапласа:

x z

dzex0

2

2

2

1)

. Вероятность попадания случайной

величины в заданный интервал ( ,) вычисляется следующим образом:

aaxP }{ .

Правило «трех сигм»:

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина её

отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего

квадратического отклонения с вероятностью близкой к единице или

9973,049865,02)3(23

2}3|{|

axP .

Понятие о центральной предельной теореме

Известно, что нормально распределенные случайные величины широко

распространены на практике. Объяснение этому явлению было дано русским

математиком А.М. Ляпуновым (центральная предельная теорема):

Если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа

взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю

сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

Тема 4:СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 12

Аннотация. В данной лекции рассматривается закон распределения

вероятностей дискретной двумерной случайной величины и его

характеристики.

Ключевые слова. Двумерная случайная величина, закон распределения,

функция распределения, плотность совместного распределения, условное

распределение, условное математическое ожидание.











(учебник) Ч.2 глава 14 §§1-4 ( стр.155-161), Ч.2 глава 14 §§7-8 ( стр 163-

164), Ч.2 глава 14 §§11-15 (стр 167-174).


















Глоссарий

Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной

величины - перечень возможных значений этой величины, т.е. (хi, уj) и их

вероятностей pij = P(xi, yj), где i = 1,2,…n; j = 1,2,…m. Обычно закон

распределения задают в виде таблицы с двойным входом, причем

n

ijiji

m

jij

n

i

m

jij yYPPxXPPP }{};{;1 .

Функция распределения двумерной случайной величины ( ) -

функция F(x, y), определяющая для каждой пары чисел (х, у) вероятность

того, что примет значение, меньшее х, при этом примет значение

меньшее у: },{),( yxPyxF .






Плотность совместного распределения вероятностей ),( yxf

двумерной непрерывной случайной величины ( ) - вторая смешанная

частная производная от функции распределения: yx

yxFyxf

),(),(

2

.

Условное распределение составляющей Х при Y = yj - совокупность

значений P(x1/yj), P(x2/yj),… P(xn/yj); )(

),()/(

j

ji

jiyP

yxPyxP , i = 1,2,…n.

Условное математическое ожидание дискретной случайной

величины Y при Х = х - произведение возможных значений Y на их

условные вероятности )/()/( xyPyxXYM jj .


1. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной

случайной величины.

2. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной

двумерной случайной величины.

3. Условные законы распределения составляющих системы

дискретных величин.

4. Условное математическое ожидание.

Закон распределения вероятностей дискретной двумерной

случайной величины

Будем обозначать через (Х, Y) двумерную случайную величину. Каждую из

величин Х и Y называют составляющей (компонентой). Обе величины Х и Y

рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Законом распределения вероятностей дискретной двумерной случайной

величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. (хi, уj) и

их вероятностей pij = P(xi, yj), где i = 1,2,…n; j = 1,2,…m. Обычно закон

распределения задают в виде таблицы с двойным входом, причем

n

ijiji

m

jij

n

i

m

jij yYPPxXPPP }{};{;1 .

Y

X

x1 x2 … xi … xn

y1 p(x1,y1) p(x2,y1) p(xi ,y1) … p(xn ,y1)

… … … … … … …

yj p(x1,yj) p(x2,yj) p(xi,yj) … p(xn,yj)

… … … … … …

ym p(x1,ym) p(x2,ym) p(xi,ym) … p(xn,ym)

Функция распределения двумерной случайной величины

Функцией распределения двумерной случайной величины ( ) называют

функцию F(x, y), определяющую для каждой пары чисел (х, у) вероятность того,

что примет значение, меньшее х, при этом примет значение меньшее у:

},{),( yxPyxF .

Свойства функции распределения двумерной случайной величины

1. 1),(0 yxF .

2. F(x2, y) F(x1, y), если x2 > x1.

F(x, y2) F(x, y1), если у2 > у1.

3. Имеют место предельные соотношения:

а) F(-, y) = 0; б) F(x, -) = 0; в) F(-, -) = 0; г) F(+,+) = 1.

4) При у функция распределения не зависит от Y:

F(x, +) = P{X < x, Y< +} = F1(x); F(+, y) = P{X < +, Y < y}= F2(y).

5) Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник

P{x1 X < x2, y1 Y < y2}= [F(x2,y2) – F(x1,y2)] – [F(x2,y1) – F(x1,y1)].

Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной

двумерной случайной величины

Плотностью совместного распределения вероятностей ),( yxf двумерной

непрерывной случайной величины ( ) называют вторую смешанную

частную производную от функции распределения: yx

yxFyxf

),(),(

2

.

Тогда

x y

dxdyyxfyxF ),(),( .

Свойства функции ),( yxf :

1. 0),( yxf

2. 1),(

dxdyyxf

3. )(),();(),( 21 yfdxyxfxfdyyxf

Условные законы распределения составляющих системы дискретных

величин

Известно, что если события А и В зависимы, то условная вероятность события В

отличается от его безусловной вероятности. В этом случае

РА(В) = Р(АВ)/Р(А).

Аналогичное положение имеет место и для случайных величин. Для того,

чтобы охарактеризовать зависимость между составляющими двумерной

случайной величины, введем понятие условного распределения.

Допустим, что в результате испытания величина Y приняла значение

Y = yj, при этом X может принять одно из своих возможных значений x1, x2,…xn.

В этом случае условные вероятности составляющей будем обозначать P(xi/yj),

i = 1,2,…n. Условным распределением составляющей Х при Y = yj называют

совокупность значений:

P(x1/yj), P(x2/yj),… P(xn/yj); )(

),()/(

j

ji

jiyP

yxPyxP , i = 1,2,…n.

Пусть ( ) – непрерывная двумерная случайная величина. Условной

плотностью )/( yx распределения составляющих Х при данном значении Y = y

называют отношение плотности совместного распределения ),( yxf системы

( ) к плотности распределения )(2 yf составляющей Y:

)(/),()/( 2 yfyxfyx .

Аналогично,

)(/),()/( 1 xfyxfxy ;

dyyxf

yxfxy

dxyxf

yxfyx

),(

),()/(;

),(

),()/( .

При этом

1)/(,1)/( dyxydxyx .

Условное математическое ожидание

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при

Х = х (х – определенное возможное значение случайной величины Х) называют

произведение возможных значений Y на их условные вероятности

)/()/( xyPyxXYM jj .

Для непрерывных величин

dyxyYxXYM )/()/( .

)()/( xfxYM - функция от х, так как зависит от х, )(xf называют функцией

регрессии Y на X.

Лекция 13

Аннотация. В данной лекции вводятся числовые характеристики системы двух

случайных величин; а также рассматривается линейная регрессия.

Ключевые слова. Независимые и зависимые случайные величины,

корреляционный момент, линейная регрессия.











(учебник) Ч.2 глава 14 §§16-17 (стр.174-179), Ч.2 глава 14 §§20-21 (стр.182-

185).



















Глоссарий

Корреляционный момент xy случайных величин X, Y -

математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

)]}()][({[ YMYXMXMxy .

Коррелированные случайные величины – случайные величины,

корреляционный момент (или коэффициент корреляции) которых отличен

от нуля.

Некоррелированные случайные величины – случайные величины,

корреляционный момент (или коэффициент корреляции) которых равен

нулю.

Линейная регрессия— модель зависимости одной (объясняемой,

зависимой) переменной y от другой переменной (фактор, независимыя

переменная) x с линейной функцией зависимости.


1. Независимые и зависимые случайные величины.





https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F

2. Числовые характеристики системы двух случайных величин.

Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.

3. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии.

Зависимые и независимые случайные величины

Теорема. Для того, чтобы случайные величины X и Y были независимы,

необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы ( ) была

равна произведению функций распределения составляющих

)()(),( 21 yFxFyxF .

Следствие. Для того, чтобы непрерывные случайные величины были

независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного

распределения системы ( ) была равна произведению плотностей

распределений составляющих )()(),( 21 yfxfyxf .

Числовые характеристики системы двух случайных величин.

Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом xy случайных величин X, Y называют

математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

)]}()][({[ YMYXMXMxy .

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют

формулу ij

n

i

m

jjixy PYMyXMx

1 1

)]()][([ для непрерывных величин

dxdyyxfYMYXMXxy ),()]()][([

.

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами

X и Y.

Теорема. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y

равен нулю.

Если корреляционный момент xy не равен нулю, то его величина

характеризует степень зависимости случайных величин X, Y. Для удобства

сравнения вводят коэффициент корреляции

)/( yxxyxyr .

Свойства коэффициента корреляции

1. yxxy DD|| ;

2. 1|| xyr .

Две случайные величины X и Y называют коррелированными, если их

корреляционный момент (или коэффициент корреляции) отличен от нуля; X и Y

называют некоррелированными величинами, если их корреляционный момент

равен нулю. Если две величины зависимы, то они могут быть как

коррелированны, так и не коррелированны. Итак, из коррелированности двух

случайных величин следует их зависимость, но из зависимости ещё не следует

коррелированность.

Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии.

Рассмотрим двумерную случайную величину ( ), где X и Y - зависимые

случайные величины. Представим одну величину как функцию другой:

)(xgy ,

где - параметры, подлежащие определению. Это можно сделать с помощью

метода наименьших квадратов. Функцию )(g называют

«наилучшим приближением» Y в смысле метода наименьших квадратов, если

2)]([ gM принимает наименьшее значение, функцию )(g называют

регрессией Y на X.

Теорема. Линейная среднеквадратическая регрессия Y на X имеет вид

)()( x

x

y

y mrmg

,

где )(,)(),(),( yDxDMmMm yxyx , )/( yxxyMr -

коэффициент корреляции X и Y.

Тема 5: ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Лекция 14

Аннотация. В данной лекции вводятся основные понятия математической

статистики, в том числе раскрывается понятие доверительного интервала.

Рассматриваются распределение хи-квадрат и распределение Стьюдента

Ключевые слова. Выборка, генеральная совокупность, эмпирическая функция

распределения, выборочная средняя, выборочная дисперсия, исправленная

дисперсия, статистические оценки, доверительный интервал, распределение

хи-квадрат, распределение Стьюдента











школа, 1979, 400 с. –






(учебник) Ч.3 глава 15; Ч.3 глава 16 §§1-5, §§8-9, §§13-16 (стр.187-203,

205-207, 211-217), Ч.2 глава 12 §§13-14 (стр.145-146).

В качестве самостоятельной работы рекомендуется решить задачи:

Гмурман (задачник). №№441, 443,450,451, 455-459,501-502, 506-513.






















http://www.intuit.ru/shop/books/departments/mathematics/ptams

Глоссарий

Выборка - совокупность случайно отобранных объектов.

Объем выборки – количество случайно отобранных объектов.

Генеральная совокупность - совокупность объектов, из которых

производится выборка

Варианты - наблюдаемые значения kx

Вариационный ряд - последовательность вариант, записанных в

возрастающем порядке.

Частота - число наблюдений.

Относительная частота - отношение частот к объему выборки.

Эмпирическая функция распределения - функцию n

nxF x)(* , где xn -

число вариант xХ , n - объем выборки, х – произвольное значение

аргумента.

Выборочная средняя Bx - среднее арифметическое значение признака

выборочной совокупности n

xxxx nB

1)...( 21 , если же значение

признака kxxx ,...,, 21 имеют частоты knnn ,...,, 21 ,

k

ii nn

1

, тогда

nnxnxnxx kkB

1)...( 2211 .

Выборочная дисперсия BD - среднее арифметическое квадратов

отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего

арифметического значения n

xxDn

iBiB

1)( 2

1

. Если значения же

kxxx ,...,, 21 имеют частоты

k

iik nnnnn

121 ,,...,, , то

i

k

iBiB nxx

nD

2

1

)(1

.

Исправленная дисперсия - BDn

ns

1

2

, где BD - выборочная дисперсия.


1. Основные понятия математической статистики.

2. Эмпирическая функция распределения.

3. Статистические оценки параметров распределения. Выборочная

средняя, выборочная дисперсия, исправленная дисперсия.

4. Доверительные интервалы.

5. Распределение хи-квадрат.

6. Распределение Стьюдента.

Основные понятия

Математическая статистика – это прикладной раздел теории вероятностей,

занимающийся обработкой статистических данных, для того чтобы получить

научно-обоснованные выводы.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно

некоторого качественного или количественного признака, характеризующего

эти объекты. Иногда проводят сплошное обследование, т.е. обследуют каждый

из объектов совокупности относительно некоторого признака. Но сплошное

обследование сопряжено с определенными трудностями, например с большим

количеством объектов исследования или с уничтожением объекта в результате

исследования. Поэтому чаще проводят выборочное обследование, т.е. отбирают

случайным образом ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых

производится выборка.

Объемом совокупности называют число объектов данной совокупности.

Повторной называется выборка, при которой отобранный объект перед отбором

следующего возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в

генеральную совокупность не возвращается.

Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной

совокупности, выборка должна быть репрезентативной (представительной).

Сама выборка является случайной системой относительно генеральной

совокупности. Поэтому возникает проблема: как оценить параметры

распределения и как установить закон распределения случайной величины по

выборке. Для этого определяются характеристики выборки.

Статистическое распределение выборки.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем 1x

наблюдалось 1n раз, 2x - 2n раз,…, kx - kn раз и nnk

ii

1

- объем выборки.

Наблюдаемые значения kx называются вариантами, а последовательность

вариант, записанных в возрастающем порядке - вариационным рядом. Числа

наблюдений называются частотами, а отношение частот к объему выборки –

относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и

соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое

распределение может быть задано в виде последовательности интервалов и

соответствующих им частот (Таблица 1).

Таблица 1.

1x 2x … kx - варианты

1n 2n … kn - частоты

n

n1 n

n2

n

nm - относительные частоты

Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение частот количественного

признака Х . Эмпирической функцией распределения называют функцию

n

nxF x)(* , где xn - число вариант xХ , n - объем выборки, х –

произвольное значение аргумента.

Свойства функции )(* xF :

1. Значение функции )(* xF принадлежит интервалу [0;1].

2. )(* xF - неубывающая функция.

Статистические оценки параметров распределения.

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки

пxxx ,...,, 21 , полученные в результате n наблюдений. Через эти данные и

выражается оцениваемый параметр, который называют статистической оценкой

искомого параметра. Таким образом, статистической оценкой неизвестного

параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых

случайных величин, которая в свою очередь также является случайной

величиной.

Несмещенной называют статистическую оценку * , математическое ожидание

которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки

*)(M .

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме

выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называют оценку, которая при n стремится по вероятности

к оцениваемому параметру.

Выборочной средней Bx называют среднее арифметическое значение признака


xxxx nB

1)...( 21 ,

если же значение признака kxxx ,...,, 21 имеют частоты knnn ,...,, 21 ,

k

ii nn

1

,

тогда n

nxnxnxx kkB

1)...( 2211 .

Используя неравенство Чебышева, можно доказать, что оценка Bx является

состоятельной оценкой.

Выборочной дисперсией BD называется среднее арифметическое квадратов

отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего арифметического

значения n

xxDn

iBiB

1)( 2

1

.

Если значения же kxxx ,...,, 21 имеют частоты

k

iik nnnnn

121 ,,...,, , то

i

k

iBiB nxx

nD

2

1

)(1

.

Выборочным среднеквадратическим отклонением называется BB D .

Легко доказать, что 22 )( BBB xxD .

Выборочная оценка является смещенной оценкой генеральной дисперсии,

именно:

Dn

nDМ B

1)(

, где D - генеральная дисперсия.

Введем понятие исправленной дисперсии

1

1)(

1 1

22

nxxnD

n

ns

k

iBiiB .

Доверительный интервал.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. При выборке

малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого

параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине пользуются

интервальными оценками.

Пусть количественный признак X распределен нормально, причем

среднеквадратическое отклонение этого распределения известно. Требуется

оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней Bx .

Если случайная величина X распределена нормально, то выборочная средняя x ,

найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормально.

Искомая оценка имеет вид:

n

txa

n

tx

.

Здесь - заданная заранее вероятность, она является надежностью

полученного результата (обычно берут =0,95 или =0,99); число t

определяется из уравнения 2

t по таблице для функции Лапласа

Некоторые распределения, связанные с нормальным

распределением.

1. Распределение 2 (хи-квадрат).

Случайной величиной 2k (хи-квадрат с k степенями свободы) называется

сумма квадратов k независимых случайных величин kxxx ,...,, 21 с одним и тем

же простейшим нормальным распределением N(0,1). Плотность распределения

222

21

2 ... kxxxk зависит, очевидно, от числа k.

122

2

22

1)(2

ku

kue

kuP

k (u>0),

а центр распределения равен

kka

M k 21

2( )

2

,

где

0

1 dtet t - гамма функция Эйлера.

Это распределение введено Пирсоном. Оно применяется в качестве

критерия согласия Пирсона и в задачах математической обработки результатов

измерений.

2. Распределение Стьюдента.

Распределением Стьюдента называют распределение отношения

k

XT

k /2 , где величина X распределена нормально N(0,1), а независимая от

нее величина 2ku имеет плотность )(2 uP

k. Параметр k называется числом

степеней свободы, закон распределения:

tk

t

kГ

kГ

ktP

k

T ,1

2

2

1

1 2

12

, где 0)( TM .

Лекция 15

Аннотация. В данной лекции приводятся решенные задачи на определение

точечных оценок и доверительных интервалов.

Ключевые слова. Нормальный закон распределения, математическое

ожидание, исправленная дисперсия, точечные оценки, доверительный

интервал, таблица Стьюдента, распределение хи-квадрат.




















Глоссарий



xxxx nB



k

ii nn

1

, тогда

nnxnxnxx kkB

1)...( 2211 .




xxDn

iBiB

1)( 2

1








k

iik nnnnn

121 ,,...,, , то

i

k

iBiB nxx

nD

2

1

)(1

.


ns

1

2

, где BD - выборочная

дисперсия.


1. Получение навыка решения задач на определение точечных оценок

и доверительных интервалов.

Примеры нахождения доверительных интервалов.

Задача 1: Вычислить точечные оценки математического ожидания и

дисперсии, а также найти доверительный интервал, соответствующий

доверительной вероятности P=0,95 для распределения содержания железа в

руде по данным Таблицы 5. Допустить, что содержание железа подчиняется

нормальному закону.

Решение: Из значений случайной величины, распределенной по нормальному

закону с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией, сделана

выборка, представленная в виде интервалов и частот. Объем выборки равен

сумме всех частот 2579

1

i

imn . Для проведения статистических вычислений

определяем середины интервалов, и все промежуточные вычисления запишем в

Таблице 6.

Таблица 6.

Исходные данные Вычисления

№ Интервалы, % Частоты,

im 2

21 aaxi

ii mx ii mxx 2

1a 2a

1 28 32 1 30 30 251,54

2 32 36 9 34 306 1265,92

3 36 40 29 38 1102 1791,57

4 40 44 55 42 2310 819,44

5 44 48 72 46 3312 1,41

6 48 52 56 50 2800 959,85

7 52 56 27 54 1458 1789,04

8 56 60 7 58 406 1031,67

9 60 64 1 62 62 260,50

Объем выборки 2579

1

i

imn

Среднее значение 86,45

9

1

n

mx

x iii

Исправленная дисперсия

92,311

9

1

2

2

n

mxx

s iii

1) Для вычисления интервальной оценки математического ожидания a

используется случайная величина ns

axt

/

, подчиняющаяся распределению

Стьюдента со степенью свободы k = n–1 = 257–1 = 256.

Из таблиц Стьюдента для 95,0 (т.е. для 05,01 q ) и 256 степеней

свободы находим 96,1t .

Следовательно, доверительный интервал равен

.55,4617,45 a

2) Для вычисления интервальной оценки дисперсии с надежностью

95,0 используется случайная величина 2

22 )1(

sn , подчиняющаяся 2

распределению со степенями свободы k = n–1. Доверительные пределы

22

21 , интервала 2

222

1 находим из условия

,2

1)(,

2

1)(

22

2

21

2

0

dttРdttР

где )(2 tР

- плотность вероятности хи-квадрат распределения. Следовательно,

доверительный интервал с надежностью 95,0 для несмещенной

исправленной дисперсии 92,312 s будет равен

.912,38184,29 2

Задача 2: Для определения петрографического типа неогеновых лав одного из

районов России отобрано и проанализировано содержание SiO2 (%)30 образцов.

Содержание SiO2 приведено в Таблице 7.

Таблица 7

SiO2 SiO2 SiO2 SiO2 SiO2 SiO2 SiO2 SiO2 SiO2 SiO2

59,5 69,2 69,2 61,2 71,4 67,5 72,5 67,8 63,7 56,6

66,8 61,2 62,4 69,3 67,7 65,3 64,6 61,6 79,2 63,8

60,5 66,3 71,6 64,6 63,6 69,9 63,1 73,2 65,8 60,7

Как известно, вулканические породы классифицируются по содержанию SiO2

на типы пород Таблица 7а. Определить доверительный интервал

математического ожидания с доверительной вероятностью 0,95. По

доверительному интервалу отнести исследуемые лавы к определенному типу

пород.

Таблица 7а

Содержание SiO2 Типы пород Содержание SiO2 Типы пород

47,0 – 52,0 Бальзаты 63,0 – 68,5 Дациты

52,0 – 57,2 Андезито-

бальзаты

68,5 – 70,5 Липарито-дациты

57,2 – 62,1 Андезиты более 70,5 Липариты

62,1 –63,0 Андезит-дациты

Решение: Определяем статистические параметры

Таблица 8.

Из заданной вероятности

95,0 по таблице

Стьюдента для k = 29 и

05,01 q находим

05,2t , вычисляем

точность оценивания

математического ожидания,

подставляя значения

45,24s ; 385,530 n .

Следовательно,

доверительный интервал с

надежностью 95,0 равен

.03,6787,63 a

Этот интервал сравниваем с

интервалами Таблицы 7а и

устанавливаем, что наша

выборка относится к дацитам.

№ Интервалы

im 2

baxi

ii mx ii mxx

2

a b

1 47 52 0 49,5 0 0

2 52 57,2 1 54,6 54,6 117,72

3 57,2 63 6 59,65 357,9 201,84

4 63 68,5 14 65,75 920,5 1,26

5 68,5 70,5 4 69,5 278 65,61

6 70,5 5 73,6 352,5 127,51

309

1

i

imn

0,66

9

1

n

mx

x iii

45,24

1

9

1

2

2

n

mxx

s iii

Лекция 16

Аннотация. В данной лекции раскрывается вопрос проверки гипотезы о

нормальном распределении по критерию Пирсона. Рассматривается задача о

нахождении коэффициента линейной корреляции.

Ключевые слова. Критерий согласия Пирсона, гипотеза о нормальном

распределении, коэффициент линейной корреляции.

























Глоссарий



xxxx nB



k

ii nn

1

, тогда

nnxnxnxx kkB

1)...( 2211 .




xxDn

iBiB

1)( 2

1



k

iik nnnnn

121 ,,...,, , то

i

k

iBiB nxx

nD

2

1

)(1

.


ns

1

2

, где BD - выборочная дисперсия.


1. Критерий согласия Пирсона.

2. Коэффициент линейной корреляции.

Критерий согласия 2 (критерий согласия Пирсона).

Все рассмотренные выше задачи решались в предположении нормального

распределения результатов эксперимента. Но иногда это предположение

приходится подвергать сомнению. Если гистограмма эмпирического

распределения заметно отличается от кривых нормального распределения, то

возникает вопрос, можно ли объяснить это отличие случайными ошибками

эксперимента. В противном случае надо искать другой закон распределения,

более согласующийся с результатами эксперимента. Надежным способом

проверки соответствия результатов эксперимента предполагаемому

теоретическому распределению N(a, ) является критерий согласия 2 ,

разработанный английским ученым К. Пирсоном. Изложим этот критерий в

применении к проверке гипотезы о нормальном распределении.

Разобьем ось OX на l интервалов:

,...,,,,, 1211 lxxxx

и проведем n независимых измерений эмпирических значений исследуемой

величины. Подсчитаем число im результатов, попавших в i-тый интервал, и

вычислим по формуле:

)()(' 121

1 ttax

xax

PxxxPp iiiii

,

где

axt

axt

2

21

1 , , npm ii '' .

Таким образом, мы определили теоретические частоты. Теоретические частоты

также можно определить следующим образом:

)(' ii tfs

dnm

,

где d – длина интервала, s

xxt ii

,

2exp

2

1)(

2ttf

, x - выборочная

средняя и 2s - выборочная дисперсия.

Как следует из теоремы Муавра-Лапласа, при большом числе испытаний n

каждая величина im имеет асимптотически нормальное распределение с

центром inp и стандартом iiii pqqnp 1, . Поэтому распределение

нормированных величин

liqnp

npmy

ii

iii ,...,2,1,

будет близко к простейшему нормальному распределению. Если бы величины

lyyy ...,,, 21 были независимыми, то распределение суммы их квадратов было

бы близко 2 распределению. Но эти величины связаны линейной

зависимостью

0111

nnpnmqnpyl

ii

l

iiii

l

ii .

Оказывается, что если каждый квадрат 2iy умножить на iq , то распределение

суммы:

l

i i

iil

iii

np

npmqy

1

2

1

2 (*)

будет стремиться к 2 распределению с l 1 степенью свободы при n .

По распределению Пирсона находят критическое значение t , для

которого

)1(1)(21

lkduuPuuPt

,

где - заданная надежность вывода (и, значит, 1 - пренебрежимо малая

вероятность). Если сумма (*) окажется больше этого критического значения, то

с надежностью можно считать, что проверяемое нормальное распределение

не согласуется с результатами эксперимента, т.е. гипотезу о нормальном

распределении признака X следует отвергнуть. Число степеней свободы

находят по формуле rlk 1 , где l - число интервалов, r - число параметров

предполагаемого распределения, которые оцениваются по данным выборки.

Коэффициент линейной корреляции

Во многих задачах требуется установить и оценить зависимость изучаемой

случайной величины y от одной или нескольких случайных величин.

Пусть изучается система количественных признаков (X, Y). В результате n

независимых опытов получены n пар чисел nn yxyxyx ,,...,,,, 2211 . Найдем

по данным наблюдениям выборочное уравнение прямой линии

среднеквадратической регрессии.

Для определенности будем искать уравнение bkxyx регрессии Y на X.

Ищем выборочное уравнение регрессии y на X вида:

bxy xy .

Подберем параметры xy и b так, чтобы сумма квадратов отклонений была

минимальной. Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых

параметров, то и сумма квадратов отклонений есть функция F этих параметров

n

iiixy yybF

1

2)(),( или

n

iiixyxy ybxbF

1

2)(),(

Чтобы найти минимальное значение этой функции, приравняем к нулю частные

производные:

0)(21

n

iiiixy

xy

xybxF

,

0)(21

n

iiixy ybx

b

F .

Выполнив элементарные преобразования, получим систему двух линейных

уравнений относительно xy и b .

n

iii

n

iixy

n

ii yxbxx

111

2 ,

.11

n

iixy

n

ii ynbx

Решив эту систему, найдем xy и b :

2

11

2

1 11

n

ii

n

ii

n

i

n

iii

n

iiixy xxnyxyxn ,

2

11

2

1 111

2n

ii

n

ii

n

i

n

iiii

n

ii

n

ii xxnyxxyxnb .

Список рекомендуемой литературы:

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:

Высшая школа. -2001. -479 с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике. М.: Высшая школа. -2000. -400 с.

3. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука. -

1974. -117с.

4. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию

вероятностей. М.: Наука. -1970. -166с.

5. Методические указания по курсу: Теория вероятностей. Ч.1 – Казань:

Изд-во Казанского государственного университета, 2008. – 48с.

6. Боев Г.П. Теория вероятностей. М.: Государственное издательство

теоретической литературы. – 1950. – 368с.

Documents

Oимия (направление)tulpar.kpfu.ru/pluginfile.php/98145/course/summary... · jуководство к решению задач по теории вероятностей