OŠ Čavle, Ljerka Linićzsvmat.eu5.org/foto_zsv/Projekti kroz dvije skolske godine.pdf · 1. Matematika i umjetnost, šk. god. 2015./2016. – treća nagrada na natječaju DMF-Rijeka

Projekti kroz dvije školske godine: 1. Matematika i umjetnost, šk. god. 2015./2016. 2. Dobri pogodci, Turnir mladih istraživača, šk. god. 2016./2017. 3. Rješavanje 4 zadatka, DMF-Rijeka, šk. god. 2016./2017. 4. Festival Znanosti, manifestacija Škole za škole, šk. god. 2016./2017.

OŠ Čavle, Ljerka Linić

• Zašto projekti ?

• Dodatna nastava je u zaduženju.

• Učenici ne vole rješavati zadatke s natjecanja, izbjegavaju dodatnu nastavu ako spomenem natjecanje, kvizove, igre jer imaju puno drugih aktivnosti i ne stignu ili ne žele stići..

• Projekte vole!

1. Matematika i umjetnost, šk. god. 2015./2016.

– treća nagrada na natječaju DMF-Rijeka. Učenice: Ivana Linić, Korina Hlača, 8.b, Matea

Cico, 6.b Učitelji mentori:Ljerka Linić, Barbara Brnelić

Zakon proporcija, zlatni rez i točkanjem do umjetničkog djela

Tražili smo kako povezati matematiku i umjetnost

• Pa nam je palo na pamet da bi se mogli uhvatiti u koštac s Leonardom da Vincijem i njegovim svjetski poznatim crtežom Vitruvijev čovjek.

• Nastao je 1487 godine • Uz crtež se nalaze bilješke

temeljene na djelu starorimskog arhitekta Vitruvija.

• Crtež i tekst uz taj crtež ponekad se nazivaju Zakon proporcija, a ponekad Proporcijama čovjeka

• Leonardo se zanimao za proporcije, a ovaj crtež prikazuje povezanost idealnih ljudskih proporcija i geometrije.

Te proporcije glase: dio tijela u idealnom je odnosu ako je=

dlan = 4 prsta

stopalo = 4 dlana

visina = 24 dlana

raspon ruku =visina

razmak između početka kose na čelu i dna brade =1/10 visine

razmak između vrha glave i dna brade =1/8 visine

razmak između dna vrata i do početka kose =1/6 visine

širina ramena =1/4 visine

razmak između sredine prsa do vrha glave =1/4 visine

razmak od lakta do vrha šake =1/4 visine

razmak od lakta do pazuha =1/8 visine

duljina šake =1/10 visine

razmak između dna brade i nosa =1/3 visina glave

razmak između početka kose i obrva =1/3 dužine lica

duljina uha =1/3 dužine lica

duljina stopala = 1/6 visine

• Tako smo mi znajući za idealne proporcije provjerili mjerenjem koliko mi u timu imamo idealne proporcije.

I dobili smo rezultate:

1. osoba

dio tijela izmjereno u cm idealno

odstupanje od idealnog u cm

odstupanje od idealnog u postotku

u idealnom je odnosu ako je=

4 prsta 7 ideal dlan 8 7 1 12,5% = 4 prsta stopalo 24 28 8 33,3% = 4 dlana visina 154 168 14 9,1% = 24 dlana raspon ruku 154 154 0 0,0% =visina razmak između početka kose na čelu i dna brade 17 15,40 1,6 9,4% =1/10 visine

razmak između vrha glave i dna brade 18 19,25 1,25 6,9% =1/8 visine razmak između dna vrata i do početka kose 25 25,67 0,67 2,7% =1/6 visine širina ramena 35 38,50 3,5 10,0% =1/4 visine

razmak između sredine prsa do vrha glave 37 38,50 1,5 4,1% =1/4 visine razmak od lakta do vrha šake 40 38,50 1,5 3,8% =1/4 visine razmak od lakta do pazuha 20 19,25 0,75 3,8% =1/8 visine duljina šake 15 15,40 0,4 2,7% =1/10 visine visina glave 18 ideal razmak između dna brade i nosa 6 6,00 0 0,0% =1/3 visina glave dužina lica 17 ideal

razmak između početka kose i obrva 6 5,67 0,33 5,5% =1/3 dužine lica duljina uha 6 5,67 0,33 5,5% =1/3 dužine lica duljina stopala 24 25,67 1,67 7,0% = 1/6 visine

suma 596 610,48 36,5 116,1% prosječna vrijednost odstupanja 2,28125 7,26%

Najveće odstupanje od idealnog je 33,3% odstupanje duljina stopala u odnosu na 4 dlana koje smo uzeli kao ideal na temelju kojeg smo sve ostalo uspoređivali.

Prosječnu vrijednost odstupanja od idealnog dobili smo : 36,5:610,48= 7,26 %

2. osoba





4 prsta 6,5 ideal

dlan 8 6,5 1,5 18,8% = 4 prsta

stopalo 25 32 7 28,0% = 4 dlana

visina 164 192 28 17,1% = 24 dlana

raspon ruku 164 164 0 0,0% =visina

razmak između početka kose na čelu i dna brade 17 16,40 0,6 3,5% =1/10 visine

razmak između vrha glave i dna brade 18 20,50 2,5 13,9% =1/8 visine

razmak između dna vrata i do početka kose 24 27,33 3,33 13,9% =1/6 visine

širina ramena 36 41,00 5 13,9% =1/4 visine

razmak između sredine prsa do vrha glave 40 41,00 1 2,5% =1/4 visine

razmak od lakta do vrha šake 43 41,00 2 4,7% =1/4 visine

razmak od lakta do pazuha 22 20,50 1,5 6,8% =1/8 visine

duljina šake 16 16,40 0,4 2,5% =1/10 visine

visina glave 18 ideal

razmak između dna brade i nosa 7 6,00 1 14,3% =1/3 visina glave

dužina lica 17 ideal

razmak između početka kose i obrva 6 5,67 0,33 5,5% =1/3 dužine lica

duljina uha 6 5,67 0,33 5,5% =1/3 dužine lica

duljina stopala 25 27,33 1,67 6,7% = 1/6 visine

suma 627,5 663,3 56,16 157,4%

prosječna vrijednost odstupanja 3,51 9,84%

Najveće odstupanje od idealnog je 28% odstupanje duljina stopala u odnosu na 4 dlana koje smo uzeli kao ideal na temelju kojeg smo sve ostalo uspoređivali.


3. osoba





4 prsta 9 ideal

dlan 8,5 9 0,5 5,9% = 4 prsta

stopalo 26 34 8 30,8% = 4 dlana

visina 171 204 33 19,3% = 24 dlana





širina ramena 48 42,75 5,25 10,9% =1/4 visine

razmak između sredine prsa do vrha glave 42 42,75 0,75 1,8% =1/4 visine

razmak od lakta do vrha šake 45 42,75 2,25 5,0% =1/4 visine




razmak između dna brade i nosa 7 7,00 0 0,0% =1/3 visina glave

dužina lica 18 ideal

razmak između početka kose i obrva 5 6,00 1 20,0% =1/3 dužine lica

duljina uha 6,5 6,00 0,5 7,7% =1/3 dužine lica


suma 672 699,21 69,05 170,9%




4. osoba





4 prsta 8 ideal

dlan 8,5 8 0,5 5,9% = 4 prsta

stopalo 26 34 8 30,8% = 4 dlana

visina 172 204 32 18,6% = 24 dlana





širina ramena 50 43,00 7 14,0% =1/4 visine

razmak između sredine prsa do vrha glave 40 43,00 3 7,5% =1/4 visine

razmak od lakta do vrha šake 44 43,00 1 2,3% =1/4 visine




razmak između dna brade i nosa 9 7,33 1,67 18,6% =1/3 visina glave dužina lica 19 ideal

razmak između početka kose i obrva 6 6,33 0,33 5,5% =1/3 dužine lica

duljina uha 6 6,33 0,33 5,5% =1/3 dužine lica


suma 665,5 701,73 72,83 166,6%




Zaključili smo

• Najveće odstupanje od idealnih Leonardovih proporcija kod svih je odstupanje duljina stopala u odnosu na 4 dlana koje smo uzeli kao ideal na temelju kojeg smo ostalo uspoređivali.

• Nitko od nas u timu nije idealan po proporcijama tijela, odstupamo prosječno od 7,26 % do 10,68 %.

• Možda su u vrijeme kad je živio Leonardo ljudi bili malo drugačije građeni

S obzirom da raspon ruku treba biti jednak visini oko čovjeka idealnih proporcija treba se opisati

kvadrat kad stoji uspravno raširenih ruku.

• Fotografirali smo se u takvom položaju i opisali kvadrat tamo gdje smo mogli.

Korina fotografija , visina i raspon ruku

su jednaki.

Nacrtali smo pravac sredinom tijela, okomito na pod,

A zatim okomice na taj pravac

tako da dodiruju vrh glave i pete.

usporedno s njim dva pravca koja dodiruju

vrhove prstiju na rukama.

Crtanje pravaca

Rezultat je Korina u kvadratu.

Izmjerili smo duljine stranice kvadrata na

fotografiji, sve su bile iste duljine.

Na isti način nastala je Ivana u

kvadratu

Crtanje

Tako i Matea u kvadratu

Učiteljica Ljerka nije u kvadratu, već u pravokutniku jer je raspon ruku manji

od visine.

Ako raširimo noge tako da čine jednakostraničan trokut, tj ako se „spustimo” za 1/14 visine moći

će se opisati kružnica oko našeg tijela, sa središtem u pupku. Tako kaže Leonardo.

• Izračunali smo na temelju poznate visine 1/14 od visine za svaku osobu u timu i napravili fotografije tako da smo se „spustili„ za 1/14.

• I na tim fotografijama pokušali opisati kružnicu koja će dodirivati vrhove prstiju i noge

Ivana i njena visina i izračun 1/14 visine

Konstrukcija kružnice oko Ivane

Označili smo na zidu visinu Ivane umanjenu za 1/14 i napravili fotografiju nakon što se „spustila„ do te visine Izabrali smo tri točke i konstruirali kružnicu pomoću simetrala dužina, tako da te tri točke leže na kružnici. Izabrane točke su pete i vrh prstiju jedne ruke. Sjecište simetrala je točno u pupku. To je središte opisane kružnice.

Konstrukcija kružnice

Konstruirana kružnica na fotografiji.

Slijedi Korina i njena visina i 1/14 visine

Korina u kružnici

Matea i njena visina i 1/14 visine

Matea u kružnici

Učiteljica Ljerka i njena visina i 1/14 visine

Učiteljica Ljerka u kružnici

• Slijedeća zanimljivost koju smo pronašli je zlatni rez pa smo ga odlučili proučiti matematički , kako bi nacrtali nešto poštujući to pravilo.

• Saznali smo da se prema tom pravilu manji dio odnosi prema većem kao veći dio prema cjelini.

• Htjeli smo nacrtati kvadrate čije duljine stranica zadovoljavaju pravilo zlatnog reza

Htjeli smo hamer papir dimenzija 100 cm x 70 cm podijeliti prema pravilu zlatnog reza na kvadrate i onda nešto nacrtati u

tim kvadratima.

𝐴

𝐵=

𝐵

𝐴 + 𝐵

𝐴 ∗ 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 ∗ 𝐵

𝐴2 + 𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐵2

• Ako jednu od veličina npr. B postavimo kao poznatu veličinu shvatili smo da A možemo dobiti rješavanjem ove jednadžbe.

• Ali ta jednadžba će biti kvadratna.

• Pa smo vidjeli kako ju treba riješiti.

Rješenja opće kvadratne jednadžbe dobivamo po formuli

• 𝑥1,2 =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

Riješili smo jednu potpunu kvadratnu jednadžbu da vidimo način na koji se

rješava.

Vratili smo se na naš razmjer i postavili smo B=40

𝐴

40=

40

𝐴 + 40

𝐴 ∗ 𝐴 + 40 = 40 ∗ 40

𝐴2 + 𝐴 ∗ 40 = 402

𝐴2 + 40𝐴 − 1600 = 0

𝑨1,2 =−𝟒𝟎 ± 𝟒𝟎2 − 4 ∗ 𝟏 ∗ (−𝟏𝟔𝟎𝟎)

2 ∗ 𝟏

𝑨1,2 =−𝟒𝟎 ± 𝟖𝟎𝟎𝟎

2

𝑨1,2 =−𝟒𝟎 ± 𝟖𝟗. 𝟒𝟒𝟑

2

𝑨1 =−𝟒𝟎 + 𝟖𝟗. 𝟒𝟒𝟑

2

𝑨𝟐 =−𝟒𝟎 − 𝟖𝟗. 𝟒𝟒𝟑

2

𝑨1 = 𝟐𝟒. 𝟕𝟐𝟐

𝑨𝟐 = - 64.722 Stranica ne može biti negativna

Sada smo mogli na skici ispuniti sve dužine koje su nam trebale

A= 𝟐𝟒. 𝟕𝟐

𝟐𝟒. 𝟕𝟐 𝟐𝟒. 𝟕𝟐 40-24.2=15.28

15.28 15.28

15.28

Zatim smo provjerili da li su drugi i treći kvadrat u zlatnom rezu, tj. da li je omjer stranice trećeg kvadrata prema drugom kvadratu isti kao

omjer stranice drugog kvadrata prema prvom kvadratu.

Slijedi izračun stranica šest kvadrata za redom

40 cm 24.72 cm 15.28 cm 9.44 cm 5.84 cm 3.6 cm

Sve smo to i bilježili na

papiru i pažljivo računali.

Usput smo napravili skicu crteža koji bi

mogli napraviti

Nakon izračuna slijedi mjerenje. Podijelili smo hamer na dva dijela.

U gornjem i donjem dijelu smo nacrtali kvadrate kao na skici

U donjem dijelu smo crtali kružne lukove, koji spojeni daju izgled spirale.

A u gornjem dijelu u tehnici lavirani tuš crtan je pravi puž podijeljen na dijelove koji su smještani u pojedine kvadrate.

Nastalo je pravo remek djelo

Za crtanje tako velikog kružnog luka

poslužili smo se velikim šestarom

Spirala kružnih lukova

Djelo napravljeno prema pravilu zlatnog reza je

gotovo.

Konačan uradak

Kružni lukovi u kvadratima čije stranice slijede

pravilo zlatnog reza

Pravi puž nacrtan u tehnici lavirani tuš, podijeljen na dijelove koji su smještani u pojedine kvadrate

Spoj umjetnosti

i matematike

Matematika i umjetnost zajedno djeluju inspirativno tako da smo odlučili ih doslovno spojiti kroz još jedan

uradak - projekt

Dobili smo ideju da fotografiju ulaza u školu pretvorimo u mozaik kojeg bi složili od malih pravokutnika koje bi trebali napraviti učenici i djelatnici cijele škole.

• Zaposliti smo učenike i djelatnike cijele škole točkanjem brojeva

• Točkali su se flomasterom brojevi od 0 do 9 u pravokutnicima stranica 3 cm i 4 cm

• Papirić koji su učenici i djelatnici dobili izgledao je ovako

Ime i prezime:________________

U praznom pravokutniku

prikaži pomoću točkica broj 1

Koliko točkica si nabrojio dok si

točkao?_____________

Koliko vremena si utrošio za

točkanje?________________

Točkalo se i točkalo, brojile su se točkice

i mjerilo vrijeme potrebno za

točkanje.

Prvi razredi su točkali broj 1,

drugi razredi broj 2

Treći razredi su točkali

broj 3

Četvrti razredi su točkali broj 4, peti razredi su točkali broj 5.

Šesti razredi su točkali broj 6

Osmi razredi su točkali

broj 8.

Sedmi razredi su točkali broj 7.

Djelatnici škole točkali su brojeve 0 i 9

Nakon toga slijedi upisivanje u tablicu svih podataka

Podataka je bilo jako puno, tako da prikazujemo samo dio tablice s podatcima

1. razredi 2. razredi 3. razredi 4. razredi 5. razredi 6. razredi 7. razredi 8. razredi 0 i 9

Redni broj

broj točkica

vrijeme potrebno za točkanje

broj točkica


broj točkica


broj točkica


broj točkica


broj točkica


broj točkica


broj točkica


broj točkica


1 120 120 138 120 102 120 268 120 205 130 110 75 160 59 93 33 156 66

2 130 120 108 120 140 120 247 120 236 130 200 125 100 50 130 43 156 66

3 90 120 113 120 134 120 158 120 299 130 200 113 24 6 136 46 108 70

4 50 120 150 120 109 120 134 120 336 130 150 97 41 8 182 31 36 14

5 56 120 132 120 180 120 180 120 402 130 80 31 25 7 130 60 150 73

6 44 120 179 120 131 120 150 120 192 130 80 85 42 14 65 14 60 30

7 78 120 145 120 136 120 170 120 201 130 110 59 39 10 102 31 62 30

8 141 120 152 120 203 120 190 120 159 130 115 62 45 11 120 31 15 9

9 152 120 98 120 239 120 152 120 500 130 120 69 14 6 135 60 140 60

10 110 120 109 120 97 120 162 120 610 130 87 22 20 6 137 58 30 15

11 160 120 129 120 120 120 255 120 521 130 91 24 36 12 320 54 64 46

12 167 120 100 120 120 120 155 120 369 130 222 42 64 23 190 107 18 3

13 70 120 122 120 82 120 180 120 452 130 200 42 60 23 260 70 14 4

14 68 120 150 120 125 120 245 120 262 130 80 53 43 16 67 36 300 130

15 181 120 172 120 201 120 169 120 298 130 130 64 36 12 136 75 200 180

16 130 120 160 120 199 120 143 120 400 130 124 73 19 6 56 20 203 90

17 131 120 174 120 85 120 108 120 350 130 123 64 47 25 120 61 169 77

18 122 120 130 120 198 120 185 120 313 130 205 40 86 44 56 61 144 56

Izračunali smo pomoću Excela

• Ukupan broj točkica po razredima

• Ukupno vrijeme točkanja po razredima

• Prosječan broj točkica u broju po razredima

• Prosječno vrijeme točkanja po razredima

ukupan broj točkica po razredima i sumu svih vremena po razredima

ukupan broj točkica 1. razreda

suma svih vremena 1. razreda







suma 8344 9000 11134 9720 8859 7560 12426 8760









ukupan broj točkica u 0 i 9

suma svih vremena za 0 i 9

14427 7490 8346 3894 3856 1652 6701 2521 2260 1129

Prosječan broj točkica po učenicima u razredima

i prosječno vrijeme točkanja

Prosječan broj točkica po učeniku u 1. razredu

prosječno vrijeme


prosječno vrijeme


prosječno vrijeme


prosječno vrijeme

111,3 120,0 137,5 120,0 140,6 120,0 170,2 120,0


prosječno vrijeme


prosječno vrijeme


prosječno vrijeme


prosječno vrijeme

Prosječan broj točkica po učeniku u 0 i 9

prosječno vrijeme

197,6 102,6 130,4 60,8 59,3 25,4 124,1 46,7 113,0 56,5

Ukupan broj točkica i ukupno vrijeme točkanja

ukupan broj točkica: 76353

ukupno vrijeme točkanja 51811

Prosječan broj točkica u jednoj sekundi za prve razrede dobili smo tako da smo ukupan broj točkica prvih razreda podijelili s ukupnim

vremenom prvih razreda. I tako za svaki razred.

prosječan broj točkica u 1 sekundi- 1. razredi




0,9271111 1,145473 1,171825 1,418493





prosječan broj točkica u 1 sekundi- 0 i 9

1,926168 2,143297 2,33414 2,658072 2,001771

Prosječan broj točkica u jednoj sekundi po razredima

Prosječno vrijeme potrebno za jednu točkicu po razredima

prosječno vrijeme za jednu točkicu 1. razred




1,0786194 0,873002 0,853369 0,704973





prosječno vrijeme za jednu točkicu u 0 i 9

0,519165 0,466571 0,428423 0,376213 0,499558

Prosječan vrijeme potrebno za jednu točkicu za prve razrede dobili smo tako da smo ukupno vrijeme prvih razreda podijelili s brojem točkica prvih razreda. I tako za svaki razred.

Prosječno vrijeme potrebno za jednu točkicu u svim brojevima dobili smo tako da smo podijelili ukupno

vrijeme s ukupnim brojem točkica 51811:76353=0,678572

prosječno broj točkica u jednoj sekundi za sve brojeve: 1,473683

prosječno vrijeme potrebno za jednu točkicu u svim brojevima: 0,678572

Prosječan broj točkica dobili smo tako što smo podijelili ukupan broj točkica s ukupnim vremenom

76353:51811=1,473683

Onda smo s bojicama obojili male

pravokutnike s brojevima i izrezali ih

Obojano drvenom bojicom Izrezano

Broj u pravokutniku

Dobili smo 568 pravokutnika

Htjeli smo naše male pravokutnike smjestiti na hamer. Tako smo 100 cm : 3 = 33.3 cm

70 cm : 4 = 17,5 cm Dobili smo 33 pravokutnika u redu i 17 u stupcu.

33 x 17 = 561. Hamer papir dimenzija 100 cm x 70 cm podijelili smo

na 561 pravokutnik dimenzija 3 cm x 4 cm.

I počelo je lijepljenje malih pravokutnika prema fotografiji koju smo odabrali.

to je trajalo i trajalo…

Nakon 5 sati lijepljenja dobili smo mozaik

Slijedi dorada. Crnim flomasterom istaknuti su oblici

na mozaiku

I konačno djelo je gotovo

Gledano iz daljine vidimo prekrasnu sliku

Gledano izbliza vidimo prekrasnu matematiku.

Ovo naše djelo nama je lijepo jer se u njemu krije uradak skoro svakog djeteta i djelatnika iz naše škole, kojim je svatko dao mali doprinos ljepoti ove slike.

I tako zaključujemo:

Htjeli smo spojiti umjetnost i matematiku. Ovako smo to doslovno napravili.

Naša slika kazuje kako svako umjetničko djelo ako se bolje zagledamo u njegovu dubinu vidimo matematiku i neka matematička pravila.

2. Dobri pogodci, turnir mladih istraživača, šk. god. 2016./2017.

• Natjecanje organizira Istraživački centar mladih.

Nudi se 17 problema, učenik bira jedan od problema i radi na njemu. Do zadanog roka učenici šalju izvješće u obliku seminarskog rada. Na temelju ocjena 18 najbolje ocjenjenih učenika se poziva na Hrvatski turnir mladih prirodoslovaca.

• Odradili smo dva projekta : 1. Procjeni težinu i duljinu, 2. Procijeni obujam dvije posude

• Na turnir smo poslali samo prvi projekt, nismo prošli recenzije i došli do turnira, ali bez obzira na to projekti su bili zanimljivi, puno se novog naučilo.

• Paralelno s projektom smo napravili i dvije nagradne igre za učenike

Težinu valjka ( 0.862 kg): 8.b Prosječna vrijednost njihovih procjena težine je 0,83 kg i najbliža je stvarnoj težini. - dobili su vrećicu slatkiša.

U nagradnoj igri najbolje je pogodio duljinu štapa ( 0.72 m) 6.b razred. Prosječna vrijednost njihovih procjena duljine je točno 0,72 m.

Sve isto je odrađeno za procjenu obujma dviju posuda

• Kod procjene obujma posuda učenici su zapisivali na papiriće ime, prezime i razred tako da su podijeljene nagrade pojedinim učenicima koji su bili najbliže točnoj vrijednosti obujma posuda.

• Nagradnu igru i proračune provodili su: Goran Marković i Mateo Mostovac, 7.b.

• Obujam vaza je: 1. vaza: 0.2 l 2. vaza: 0.58 l

• Učenici koji su procijenili 1. vazu 0.2 l i 2. vazu 0.5 l najbliži su točnoj vrijednosti, a to su učenici:

• Lejla Redžaj, 5.a, Nika Zaharija, 6.a, Veronika Jovandić, 6.a, Danko Ramić, 7.c, Paola Glažar, 7.c, Anja Čargonja, 7.c i Antonio Žulić, 8.b razred.

3. Rješavanje 4 zadatka, natječaj DMF-Rijeka, šk.god. 2016./2017. – druga nagrada

• Ožujak 2017. DMF- objavljuje natječaj

• U timu koji je rješavao zadatke su Ema Silić, Laura Kondić, Matea Cico, Zara Sabalić, 7.b

• Zlatni rez je matematičko-strukturalni pojam kojeg se najčešće

veže za umjetnost, jer je u povijesti umjetnosti najčešće korišten.

To je način podjele neke vrijednosti s djeliteljem od približno

1,6. Poznat je i kao zlatna sredina te božanski ili zlatni omjer.

• ( a + b ) : a = a : b a b

a + b

Ako je b = 1

( a + 1 ) : a = a : 1

1 * ( a + 1 ) = a * a

a + 1 = a 2

a2 - a – 1 = 0

iz formule ( a + b ) : a = a : b slijedi

a1,2 =

1± (−1)2−4∗1∗(−1)

2∗1

a1,2 =1± 5

2

a1,2 =1+ 5

2= 𝟏, 𝟔𝟏𝟖

a1,2 =1− 5

2 = negativan broj

1 1,618

2,618

Na prethodnoj skici to

bi izgledalo ovako:

• Pronašli smo dosta predmeta , objekata koji imaju komponente

u omjeru zlatnog reza.

16cm

28cm

44cm

44 : 28 = 1.57

28 : 16 = 1.75

Odstupanje dobivenog omjera

i broja ϕ

1.618-1.57=0,048 =4.8%

1.618-1.75=-0,132= -13.2%

Negativna odstupanja

znače da je dobiven

omjer veći od 1.618

28cm

: : ≈

16 cm 28 cm

44 cm

44 : 28 = 1.57

28 : 16 = 1.75

Odstupanje dobivenog

omjera i broja ϕ

1.618-1.57=0,048 =4.8%

1.618-1.75=-0,132 =-13.2%

130 cm

85 cm

215 cm

130 : 85 = 1.53

215 : 130 = 1.65


i broja ϕ

1,618-1,65=-0,032 =-3.2%

1,618-1,53=0,088 = 8.8%

152 cm

203 cm

355 : 203 = 1.75

203 : 152 = 1.33

Odstupanje:

1,618-1,73=-0,112 = -11.2%

1,618-1,34=0,278 = 27.8%

355 cm

128 cm

82 cm

210 cm

210 : 128 = 1.64

128 : 82 = 1.56

Odstupanje:

1,618-1,64=-0,022= -2.2%

1,618-1,56=0,058 = 5.8%

40 cm

26 cm

120 cm

80 cm

200 cm

66 cm

200 : 120 =1,67

120 : 80 =1,5

66 : 40 = 1,65

40 : 26 =1,54


i broja ϕ

1,618-1,67= -0,052=-5.2%

1,618-1,5=0,118= 11.8%

1,618-1,65=-0,032= -3.2%

1,618-1,54=0,078= 7.8%

106 cm

42 cm 22 cm

42 cm

31 cm

46 cm

17 cm

29 cm

106 : 64 =1,66

64 : 42 =1,52

46 : 29=1,59

29 : 17=1,71


i broja ϕ

1,618-1,66=-0,042=-4.2%

1,618-1,52=0,098= 9.8%

1,618-1,59=0,028=2.8%

1,618-1,71=-0,092=-9.2%

64 cm

• Zaključili smo :

Ako pogledamo dobro oko sebe možemo uočiti jako puno

predmeta na kojima možemo mjerenjem duljina stanica pronaći

da cjelina u omjeru s većim dijelom i veći dio prema manjem

dijelu iznosi približno 1.618.

Ulazna vrata u kuću su imala najmanje odstupanje od vrijednosti

1.618.

Predsoblje s ogledalom ima tri veličine koje se nalaze u zlatnom

rezu, a komoda u izložbenom prostoru škole ima dvije veličine

koje se nalaze u zlatnom rezu.

2. Zadatak Koristeći se podacima Državnog zavoda za statistiku pratite broj stanovnika grada Rijeke od 1857 do 2001. godine. Podatke uPišite u tablicu te Potom izradite pripadni graf. Na temelju dobivenog grafa oPišite razdoblje rasta i pada broja stanovnika te zaključite u kojem razdoblju između 1857. i 2001. godine je grad Rijeka imao najveći broj stanovnika

Stanovništvo grada rijeke od

1857. godine do 2001. godine • Koristeći se podacima državnog zavoda za

stanovništvo Republike Hrvatske (DZZSRH)napravili smo tablicu u excel-u.

Broj stanovnika u Rijeci po godinama

godine 1857 1869 1880 1890 1900 1910 1921 1931 1948 1953 1961 1971 1981 1991 2001

broj stanovnika 18.597 23.880 27.904 38.959 51.419 66.042 61.157 72.111 67.088 73.718 98.759 129.173 158.226 165.904 144.043

porast i pad stanovništva u % 0 28,4% 16,9% 39,6% 32,0% 28,4% -7,4% 17,9% -7,0% 9,9% 34,0% 30,8% 22,5% 4,9% -13,2%

Na temelju tablice napravili smo linijski grafikon...

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

1857 1869 1880 1890 1900 1910 1921 1931 1948 1953 1961 1971 1981 1991 2001

Bro

j sta

no

vnik

a

Godine

Broj stanovnika u Rijeci po godinama

Te smo na temelju dobivenog grafikona zaključili da...

Promatrajući i koristeći se popisom broja stanovnika na službenoj stranici Hrvatskog zavoda za stanovništvo kroz rast i pad broja stanovnika grada Rijeke predočili smo bolje povijesna previranja i kako ona utječu na broj stanovnika.

Popis je pratio vremensko razdoblje od 1857. godine sve do 2001. U tom vremenskom periodu stanovništvo na području Rijeke se povećavalo ili smanjivalo kako zbog rata, kako zbog odlaska i dolaska ljudi zbog potrage za poslom te zbog izmjena vlasti. Od 1857 godine pa do 1869. godine broj stanovnika se povećao za 28,4% po našim pretpostavkama zbog austro –ugarske nagodbe (riječka krpica) dokumentom s kojim grad Rijeka pripada Ugarskoj (Mađarskoj) te je zbog mađarizacije Hrvatske i Rijeke mnogo Mađara migrira u Rijeku te se tamo stalno naseljava.

Od godine 1869. pa do 1880. godine, broj stanovnika porastao je za 16,9% , nema

nekog naglog porasta niti pada broja stanovnika...

.

Tek se od 1880. do 1890. godine porast broja stanovnika pojačao. Porastao je

čak za 39.6%. Od 1890. do 1900. porastao je broj

stanovnika za 32%. 1900. godine broj stanovnika u

odnosu na 1857. godinu gotovo se utrostručio.

Od 1900. do 1910. broj stanovnika je porastao za 28,4%.

Od 1910. godine do 1920. godine broj stanovnika opada za 7,4% kako zbog

raskida austro-ugarske 1918. godine u čijem je sastavu bila i Hrvatska s Rijekom te zbog Velikog ili Prvog

svjetskog rata (1914.-1918.)

Tek se 30-ih godina prošlog stoljeća broj stanovnika počeo povećavati.

Povećao se od 1921. do 1931. za 17,9%.

No povijesni događaji opet utječu na stanovništvo Rijeke...Adolf Hitler 30.siječnja

1933. godine postaje kancelar Reichstaga, te 1. rujna 1939. godine napada Poljsku izazivajući sukob tadašnjih država, bolje poznat kao Drugi

svjetski rat. Stanovništvo Rijeke, uglavnom muškarci, poslani su u rat te Rijeka pada pod jaki

politički utjecaj kako izvana tako iznutra.

Rijeka je pretrpila veliki poraz s padom broja stanovnika za 7% te je sa

72000 stanovnika ( 1931. g.) pala na 67000 ( 1948. g.).

Sve do devedeset-ih godina Rijeka se oporavlja te nema u tom razdoblju (1953-1990) zabilježenih padova broja stanovnika.

Od 1948. do 1953 rast je 9,9%. Od 1953. do 1961. rast je 34%.

Od 1961. do 1971. rast je 30,8%. Od 1971. do 1981. rast je 22,5%. Od 1981. do 1991. rast je 4.9%

1991. godine u Rijeci živi 165904 stanovnika.

Početak Domovinskog rata(1991-1995) bilježi pad broja stanovnika u Rijeci.

Od 1991. do 2001. pad broja stanovnika je 13,2%.

Rijeka i cijela Hrvatska gubi svoje stanovništvo te do 2001. godine kako zbog rata kako zbog potrage za poslom i boljom budućnosti ljudi se masivno iseljavaju te se broj stanovnika (samo Rijeke) smanjuje za

skoro 30.000 stanovnika

Kao što možemo vidjeti iz grafikona najveći broj stanovnika Rijeka je imala

1991. godine – 165 904

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

1857 1869 1880 1890 1900 1910 1921 1931 1948 1953 1961 1971 1981 1991 2001

Bro

j sta

no

vnik

a

Godine

Broj stanovnika u Rijeci po godinama 165904

Kriptografija se bavi proučavanjem metoda za slanje poruka u takvom obliku da ih samo onaj kojem je poruka namijenjena može pročitati.

To je postupak za čitanje skrivenih poruka bez poznavanja prave riječi.

Vizualnu kriptografiju su uveli Adi Shamir i Moni Naor (izraelski informatičari) 1994. god.

Slika se otkriva preklapanjem dvije folije, slika je crno-bijela, ali na folijama kada se preklope izgledati će kao crni i prozirni „pikseli ”.

Zadatak je bio vizualnom kriptografijom šifrirati

uz 50% gubitka kontrasta.

Najprije smo u excelu napravili tablicu s 19 stupaca i 7 redaka u kombinaciji s originalom koji je zadan.

Zatim smo napravili u excelu 2 tablice s 38 stupaca i 7 redaka. Stupci su grupirani po dva i tako čine jedno polje s oznakama 1,2,3...19. Retci su imenovani slovima A,B,C,D,E,F,G. Polja su imenovana nazivom retka i stupca.

Na taj način smo svako polje smo imenovali .

Npr. ovo je polje A9

A

B

C

D

E

F

G

71 2 3 4 5 6 168 9 10 11 19181715141312

POLJE BOJA POLJE BOJA POLJE BOJA EMA LAURA

A1 BIJELA B1 CRNA C1 CRNA

A2 BIJELA B2 CRNA C2 BIJELA


A4 BIJELA B4 BIJELA C4 BIJELA
















EMA LAURA EMA LAURAPOLJE BOJA EMA LAURA POLJE BOJA EMA LAURA POLJE BOJA EMA LAURA

D1 CRNA E1 CRNA F1 CRNA

D2 CRNA E2 BIJELA F2 CRNA

D3 BIJELA E3 BIJELA F3 CRNA

D4 BIJELA E4 BIJELA F4 BIJELA















D19 BIJELA E19 BIJELA F19 CRNA

POLJE BOJA EMA LAURA POLJE BOJA EMA LAURA

G1 BIJELA G13 BIJELA







G8 BIJELA

G9 BIJELA

G10 BIJELA

G11 BIJELA

G12 BIJELA

U excelu smo napravili tablice za upisivanje šifre za svako pojedino polje. Tablice su izgledale ovako.

Bacanje novčića i popunjavanje tablica

Bacanjem novčića za svako pojedino polje odredili smo koji dio se boji s obzirom je li polje bijelo ili crno.

Crno polje : ako je palo pismo Ema je bojala lijevi dio, a Laura desni dio, ako je pala glava suprotno. Ema Laura Pismo glava

Bijelo polje : ako je palo pismo Ema i Laura su bojale desni dio, a ako je pala glava bojale su lijevi dio. Ema Laura

Pismo

Glava

Ovako izgledaju popunjene tablice koje nam govore kako ćemo obojati pojedina polja na folijama:

Na temelju toga Ema i Laura obojile su ručno dvije folije .

Ovako izgledaju folije svaka zasebno:

Ovako izgledaju ručno preklopljene folije:

Na računalu smo napravili tablice i ispunili ih na temelju tablice sa šiframa.

Te tablice su isprintane.

Odvojene isprintane tablice

Iste tablice preklopljenje

Ovako izgleda u Power Pointu preklopljeno:

Literatura koju smo koristili:

Internet: Wikipedija, https://hr.wikipedia.org/wiki/,Zlatni_rez

https://hr.wikipedia.org/wiki/Kriptografijakriptografija

Internet: http://pitagora.mathos.hr/~middlemath/ppt/vizualna-kriptografija.pdf, Kako sakriti sliku? Franka Miriam Brueckler, CoolMath, 2. veljače 2011.

http://www.dzs.hr/, podatci o broju stanovnika grada Rijeke

https://hr.wikipedia.org/wiki/

https://hr.wikipedia.org/wiki/

http://pitagora.mathos.hr/~middlemath/ppt/vizualna-kriptografija.pdf








http://www.dzs.hr/

http://www.dzs.hr/

4. Festival znanosti, manifestacija Škole za škole

Stvarno i nestvarno vrijeme a)Općenito o vremenu b) Mjerenje ubrzanja sile teže pomoć njihala c) Kako očitati vrijeme na Sunčevom satu Učestvovali: Nika Butković, Tena Tomiša, Karin Volarić,8.b

Melisa Huskić, Laura Kondić, Ema Silić, Karla Ljubobratović,

Melanie Dragičević, Viktoria Mavrinac, 7.b

Učiteljice: Ljerka Linić i Martina Štefanac

Bez naprava kojima možemo mjeriti vrijeme, vrijeme bi bilo

nestvarno, neodređeno. Zato smo ovaj 1. dio nazvali

nestvarno vrijeme, gdje govorimo o

vremenu općenito.

Vrijeme Vrijeme nam omogućuje razlikovanje dvaju inače potpuno istih događaja u istoj

točki prostora.

Ukratko ćemo nešto reći o trenutku, vremenskom intervalu, vremenu u astronomiji, Sunčevom i zvjezdanom vremenu, Srednjem Sunčevom danu, jednadžbi vremena, srednjem Sunčevom vremenu, mjernim jedinicama...

Trenutak i vremenski interval • Termin vrijeme često se koristi kao da ne postoji razlika

između trenutka i vremenskog intervala.

• Trenutak je točka u vremenu, označava kada se nešto dogodilo

• Vremenski interval opisuje koliko je vremena proteklo između neka dva trenutka, koliko nešto traje.

Trenutak

Vremenski interval • Označava koliko nešto traje.

• Pokazuje koliko je vremena prošlo između neka dva trenutka npr. da neko tijelo prijeđe put od točke A do točke B.

A B

Vrijeme u astronomiji

• Je praćenje vremena uz pomoć položaja svemirskih tijela(Sunce, Mjesec i ostala nebeska tijela).

Sunčevo vrijeme • Položaj Sunca na nebu nam ukazuje na doba dana. • U ponoć Sunce se nalazi u donjoj kulminaciji, tada počinje računanje vremena. • U podne Sunce se nalazi u gornjoj kulminaciji. • Sunčev dan ( sinodički dan ) je vrijeme koje proteče između dvije Sunčeve

uzastopne istovjetne kulminacije. • Sunčeva godina iznosi 365 dana 5 sati 48 minuta i 46 sekundi

Zvjezdano vrijeme • Zvjezdano vrijeme određeno je Zemljinom vrtnjom u odnosu na zvijezde. • Zvjezdani dan( siderički dan) je vrijeme u kojemu puni okret učini neka

zvijezda. • Zvjezdani dan počinje kada se proljetna točka nalazi u gornjoj kulminaciji. • U jednoj Sunčevoj godini imamo jedan zvjezdani dan više nego sunčevih

dana, jer obilaženje oko Sunca čini jedan dodatni okret Zemlje prema sustavu zvijezda.

• 1 zvjezdani dan iznosi 23 sata 56 minuta i 4 sekunde.

Srednji sunčev dan • Sunce se ne giba jednolikom brzinom po ekliptici

• Zato pravi Sunčevi dani ne traju jednako dugo

• Srednji Sunčev dan je prosjek svih pravih Sunčevih dana u toku Sunčeve godine.

• Trajanje srednjeg Sunčevog dana prati se pomoću atomskih satova.

• Kao jedinica vremena koristi se atomska sekunda. To je razdoblje vremena koji je bio 31556925,9747 puta sadržan u Sunčevoj godini.

Jednadžba vremena • Da bi se trenutak dana povezao sa satnom

kružnicom na kojoj se nalazi Sunce, ustanovljena je razlika pravog i srednjeg Sunčevog vremena.

• Ta razlika naziva se jednadžba vremena

Srednje Sunčevo vrijeme • Na jednom mjestu (zbog Zemljine rotacije) vrijeme je drukčije nego na

drugom. • Svakih 15 o zemljopisne dužine donosi razliku mjesnih vremena od 1 sat. • Na zemljopisnoj dužini D srednje Sunčevo vrijeme je : • Tm = UT ± D

UT je srednje Sunčevo vrijeme na 0o meridijanu, D se izražava koristeći odnos 1 h = 15o

Koordinirano svjetsko vrijeme UTC • Dijeli Zemlju na 24 vremenske zone

• Unutar svake zone poštuje se jedinstveno vrijeme.

Datumska granica • Trenutak ponoći u nekoj vemenskoj zoni dijeli prošli dan od idućeg dana. • To je prirodna granica datuma koja se neprestano pokreće od vremenske zone do

zone. • Postavljena je još jedna čvrsta datumska granica ( u najmanje naseljenom području

Tihog oceana), tako da putujemo li na istok iz tog područja vraćamo datum unatrag, a putujemo li na zapad dodajemo jedan dan na datum.

Vrijeme u teoriji relativnosti • Sve do 20. stoljeća smatralo se da je vrijeme isto za svakoga i

na svakom mjestu, ali danas znamo da to nije točno.

• Albert Einstein u teoriji relativnosti pokazao je da vrijeme ovisi o brzini gibanja sustava: sat koji se giba većom brzinom ide sporije od sata koji se giba manjom brzinom.

Mjerne jedinice za vrijeme • Standardna mjerna jedinica za vrijeme je sekunda.

• Koriste se još: minuta, sat, dan, tjedan, mjesec, godina, desetljeće, stoljeće, tisućljeće.

U 2. dijelu govorimo o

stvarnim mjerenjima pa smo

ovaj dio nazvali

stvarno vrijeme.

Mjerenje ubrzanja sile teže pomoć njihala

- ubrzanje sile teže je posljedica privlačenja Zemlje

svih tijela na njezinoj površini ili blizu površine

- u Hrvatskoj je gravitacijska konstanta određena

kod Zagrebačke katedrale i iznosi g = 9,8067621

m/s2

- o čemu ovisi ubrzanje sile teže i kako ga

odrediti?

PRONAĐI SVOJE

VRIJEME

Ubrzanje sile teže g

- ubrzanje sile teže može se odrediti pomoću

matematičkog njihala

- matematičko njihalo je tijelo mase m obješeno o

nerastezljivu nit duljine l

- period njihanja (T) ovisi samo o duljini niti na koju je

tijelo ovješeno i ubrzanju sile teže

- period njihanja određen je izrazom:

T = 2π 𝑙

𝑔 , gdje je l - duljina niti

g - ubrzanje sile teže

PRONAĐI SVOJE

VRIJEME

ZADATAK: izračunati ubrzanje sile teže pomoću njihala

POTREBAN PRIBOR : metalni stalak, nit, tijelo male mase i

zaporna ura

POSTUPAK:

PRONAĐI SVOJE

VRIJEME

Mjerenje ubrzanja sile teže pomoć njihala

- nit smo zavezali za gornji dio stalka a duljinu od

0,3 m odredili pomoću ravnala mjereći udaljenost

od mjesta ovjesa do sredine tijela

- zanjihali smo tijelo i pomoću zaporne ure mjerili

vrijeme potrebno da ono učini određeni broj

njihanja

- mjerenje smo proveli na dvije različite lokacije

(kabinet fizike u Osnovnoj školi Čavle na

312,50 m nadmorske visine i dvorište Područne

škole Grad Grobnik na 510,17 m nadmorske

visine)

PRONAĐI SVOJE

VRIJEME

- mjerenje u

kabinetu fizike u

Osnovnoj školi

Čavle koji se nalazi

na nadmorskoj

visini od 312,50 m

- mjerili smo

vrijeme potrebno

da njihalo učini 10,

20 i 30 titraja

PRONAĐI SVOJE

VRIJEME

- mjerenje ispred

Područne škole

Grad Grobnik koja

se nalazi na

nadmorskoj visini

od 510,17 m

- mjerili smo

vrijeme potrebno

da njihalo učini 10,

20 i 30 titraja

- period njihanja odredili smo pomoću izraza:

T = 𝑡

𝑛 , gdje je n broj njihanja

t ukupno

vrijeme trajanja njihanja

- a ubrzanje sile teže g smo izveli iz izraza za period

njihanja:

T = 2π 𝑙

𝑔

T2 = 4π2 𝑙

𝑔

T2g = 4π2l

g = 4𝜋2𝑙

𝑇2

i dobivene podatke prikazali tablicama.

PRONAĐI SVOJE

VRIJEME

PRONAĐI SVOJE

VRIJEME

Tablica 1. Podaci mjerenja u Osnovnoj školi Čavle

na nadmorskoj visini od 312,50 m.

Duljina

niti

l/m

Broj

njihanja

n

Ukupno

vrijeme

t/s

Period

njihanja

T/s

Ubrzanje

sile teže

g/(m/s2)

0,3 10 11,24 1,124 9,37

0,3 20 22,69 1,135 9,18

0,3 30 33,94 1,131 9,25

PRONAĐI SVOJE

VRIJEME

Tablica 2. Podaci mjerenja ispred Područne škole

Grad Grobnik na nadmorskoj visini od 510,17 m.

Duljina

niti

l/m

Broj

njihanja

n

Ukupno

vrijeme

t/s

Period

njihanja

T/s

Ubrzanje

sile teže

g/(m/s2)

0,3 10 11,25 1,125 9,35

0,3 20 22,70 1,135 9,18

0,3 30 33,96 1,132 9,23

Zaključak:

Vidjeli smo da se ubrzanje sile teže može obaviti i

u školskim uvjetima.

Usporedbom naših rezultata sa poznatom

vrijednosti g = 9,8067621 m/s2 za područje

Republike Hrvatske, možemo zaključiti da smo

dobili približno jednake vrijednosti za iznos ubrzanja

sile teže.

PRONAĐI SVOJE

VRIJEME

3. Dio – radionica

Kako očitati vrijeme na Sunčevom satu

Najprije smo

pogledali

prezentaciju o

tome kako je

izgrađen

Sunčani sat u

mediteranskom

vrtu u školi.

Izgrađen je prije 4 godine kad su učiteljice Gordana Janeš i Anita Štimac vodile projekt s učenicima povodom Festivala znanosti u Puli

Kroz prezentaciju smo naučili nove

pojmove i što znače:

Gnomon-vertikalni

štap koji daje sjenu i

time određuje koliko

je sati

Analema – sunčeva

„osmica” pokazuje

putanje Sunca

Naučili smo oznake za sazvježđa

koja se nalaze na satu i kojem

razdoblju u godini pripada koja

oznaka.

Dobili smo

zadatak da

pokušamo

nacrtati svaki

simbol.

Zatim je učiteljica

pokazala kako

postaviti na temelju

zadanog datuma

gnomon na točnu

poziciju na

Sunčevom satu, da

bi se moglo očitati

vrijeme na temelju

sjene gnomona.

Odigrali smo igru: Na temelju dobivenog datuma

od susjedne učenice odredi kamo bi trebalo

postaviti gnomon na sunčevom satu.

Riješili smo kviz koji je obuhvaćao

pojmove o Sunčevom satu da

provjerimo koliko smo naučili.

Nakon toga u

mediteranskom

vrtu škole svaka

učenica je

izvukla jedan

datum i

pokušala

odrediti poziciju

gdje postaviti

gnomon.

I za kraj:

Koliko je sati bilo kad smo se nalazili u

vrtu 21.4.2017. Crvene brojke

označavaju ljetno računanje vremena.

Bilo je:

10 sati

i

6 minuta

Zaključak na kraju:

Problem kod projekata : zahtijevaju puno truda i

vremena.

Zato treba odraditi male projekte.

PRONAĐI SVOJE

VRIJEME

Hvala na pažnji!

Documents

OŠ Čavle, Ljerka Linićzsvmat.eu5.org/foto_zsv/Projekti kroz dvije skolske godine.pdf · 1. Matematika i umjetnost, šk. god. 2015./2016. – treća nagrada na natječaju DMF-Rijeka