OBJETIVO:

Demostrar que al realiza cortes transversales su un cono elíptico podemos encontrar diferentes

curvas tales como: parábola, hipérbolas, elipses, cuyas aplicaciones las podemos observar en

diferentes diseños arquitectónicos, maquinarias.

MARCO TEORICO:

Cono elíptico

La gráfica de la ecuación:

Es un cono elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales son elipses. Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.

A partir de un bicono el matemático griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C.) descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía. Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.

Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices.

Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (base y arista).

Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a una sola generatriz (arista).

Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas.

Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira. Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo

parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada.

Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física. Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. El astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón.. Más tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica.

Parábola

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una recta dada, llamada

directriz, y un punto fijo que se denomina foco.

De esta forma, una vez fija una recta y un punto se puede construir una parábola que los tenga

por foco y directriz de acuerdo a la siguiente construcción. Sea T un punto cualquiera de la recta

directriz. Se une con el foco dado F y a continuación se traza la mediatriz (o perpendicular por el

punto medio) del segmento TF. La intersección de la mediatriz con la perpendicular por T a la

directriz da como resultado un punto P que pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para

diferentes puntos T se puede aproximar tantos puntos de la parábola como sea necesario.

De la construcción anterior se puede probar que la parábola es simétrica respecto a la línea

perpendicular a la directriz y que pasa por el foco. Al punto de intersección de la parábola con

tal línea (conocida como eje de la parábola) se le conoce como vértice de la parábola y es el

punto cuya distancia a la directriz es mínima. La distancia entre el vértice y el foco se conoce

como Distancia focal o Radio focal.

Los puntos de la parábola están a la misma distancia del

foco F y de la recta directriz.

Ecuaciones de la parábola

Parábolas tipo y=ax2, con a=4, 1, 1/4 y 1/10.

Ecuación general de una parábola

Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de

coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una parábola puede

tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales.

La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano

es:

si y sólo si

y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos

Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos

puntos fijos llamados focos es una constante positiva.

Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano

oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de

revolución.1 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado,

mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

Elementos de una elipse

La elipse posee un «eje mayor», trazo AB (que equivale a ), y un «eje menor», trazo CD (que

equivale a ); la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal

manera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.

Sobre el «eje mayor» existen dos puntos y que se llaman «focos».

El punto es uno que pertenezca a la «elipse».

Ecuaciones de la elipse

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de

las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se

llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación es:

Hipérbola

Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas del cono.

Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del

problema de la duplicación del cubo,2 donde demuestra la existencia de una solución mediante

el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente

por Proclo yEratóstenes.3

Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su

tratado Cónicas,4 considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde

se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

Ecuaciones de la hipérbola

Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes

coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la

diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los

vértices, la cual es una constante positiva.

APLICACIONES DE LAS SUPERFICIES ASIGNADAS

Parábolas

Cualquier cuerpo lanzado al aire de forma oblicua u horizontal descrive un movimiento parabólico bajo la acción de la gravedad. Por ejemplo es el caso de una pelota que se desplaza botando.

También, es caso de los chorros y las gotas de agua que salen de los caños de las numerosas fuentes que podemos encontrar en las ciudades. El desplazamiento bajo la acción de la atracción gravitatoria de la Tierra permite obtener bonitos arcos parabólicos.

Trayectorias

parabólicas

en las

fuentes de

"Cibeles" y

"Neptuno"

en Madrid.

Arcos

parabólicos

en dos de

las fuentes

que pueden

encontrarse

en el Paseo

del Prado

de Madrid

También obtenemos formas parabólicas cuando un haz luminoso de forma cónica se proyecta sobre una pared blanca de manera que la pared sea paralela a la generatriz del cono. Es lo mismo que ocurre cuando cortamos un cono con un plano paralelo a cualquiera de las generatrices, tal como se muestra en el artículo.

Las líneas

parabólicas

de la

imagen se

han

obtenido

proyectando

un haz de

luz sobre

una pared

blanca. Una

generatriz

del cono es

paralela a

la pared.

Una de las propiedades más importantes de las formas parabólicas es que cualquier rayo que incida de forma paralela al eje de la parábola rebota en su superficie pasando por el foco. La parábola sirve para concentrar los rayos de luz en un punto, el foco, en el caso de la cocina solar, o las radiaciones electromagnéticas, en general, en las antenas parabólicas. Pero también sirve, como en el caso del faro de un coche, para conseguir que la luz que sale del foco se concentre en un haz más o menos cerrado.

Antena

parabólica

de

televisión

Antena

para el

seguimiento

de satélites

(Robledo de

Chavela)

Cocina solar

Faro de

coche

Elipses

La elipse es la curva que describen los planetas en su giro alrededor del Sol, pero, por razones obvias no podemos verla tal cual. Encontrar elipses a nuestro alrededor, aparentemente es difícil, pero sólo aparentemente. Vamos a ver a continuación algunos ejemplos.

En muchas ciudades es fácil encontrar plazas de planta elíptica, normalmente conocidas por el nombre de "plaza elíptica". Por ejemplo, en Madrid y Bilbao existen plazas de este tipo. Sin embargo, la plaza de planta elíptica más famosa en el mundo probablemente sea la Plaza de San Pedro en el Vaticano.

Plaza de San Pedro del Vaticano

También podemos encontrar edificaciones con planta elíptica. Un ejemplo es la iglesia del Monasterio de San Bernardo, más conocido por "Las Bernardas" en Alcalá de Henares. Un templo con una única nave y planta elíptica, con cúpula del mismo trazado. En sus muros se abren seis capillas, cuatro de ellas también de planta elíptica, con diferentes tamaños de sus portadas.

Monasterio de San Bernardo, "Las Bernardas", en Alcalá de Henares

Pero también podemos encontrar elipses en algunos objetos de uso más o menos cotidiano como los que se muestran a continuación.

Mesa elíptica Plantilla para elipses Altavoz de tres vías

Hipérbola

Propiedad Óptica

Consideremos un espejo que tenga forma de hipérbola. Si un rayo de luz que parta de uno de los focos choca contra el espejo, se reflejará alejandose directamente del otro foco.

Las propiedades ópticas de la parábola y de la hipérbola se combinan en el diseño del telescopio reflector (figura xxx) Los rayos paralelos de una estrella se enfocan finalmente en el ocular colocado en F .

Telescopio Reflector

Sistema de navegación LORAN

La propiedad de la definición de la hipérbola: la diferencia de las distancias de los puntos de la hipérbola a los focos es constante, se utiliza en la navegación. En el sistema de navegación LORAN, una estación radioemisora maestra y otra estación radioemisora secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en altamar. Puesto que un barco que monitoree las dos señales estará probablemente más cerca de una de las estaciones, habrá una diferencia entre las distancias recorridas por las dos señales, lo cual se registrará como una pequeña diferencia de tiempo entre las señales, En tanto la diferencia de tiempo permanezca constante, la difeerencia entre las dos distancias será también constante. Si el barco sigue la trayectoria correspondiente a una diferencia fija de tiempo, esta trayectoria será una hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos estaciones. Si se usan dos pares de transmisores, el barco deberá quedar en la intersección de las dos hipérbolas correspondientes.

Trayectorias de cometas.

Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar. Esto sucede con algunos cometas.

El reloj de sol

Cada día el Sol, desde que sale por el Este y se pone por el Oeste, describe sobre el cielo un arco de circunferencia. Este movimiento es aparente, porque, en realidad, es consecuencia del movimiento diario de rotación de la Tierra. Desde hace mucho tiempo se sabe que, cuando el Sol recorre el cielo a lo largo de un día, la sombra que proyecta un objeto fijo describe una curva cónica. Esto se puede comprobar experimentalmente si se va marcando, por ejemplo, cada media hora, sobre una superficie

plana el límite de la sombra que proyecta un objeto cualquiera. Los relojes de sol se fundamente en este hecho. Están provistos de un marcador o estilete, llamado gnomon, que proyecta su sombra sobre una superficie plana donde están señalizadas las horas. El extremo de la sombra indica la hora solar correspondiente. El sol, por lo lejano que está, se considera como un foco puntual de luz. La línea imaginaria que le une con el extremo del gnomon recorre a lo largo del día parte de la superficie de un cono, también imaginario. La superficie de este cono se corta por el plano del reloj donde se obseva la sombra del extremo del gnomon. Por eso, la trayectoria que sigue esa sombra es la de una cónica. En las latitudes de la Península Ibérica (de 38º a 42º) esa cónica es siempre una hipérbola, tanto más curvada cuanto más próximo esté el día 21 de Junio (solsticio de verano) o al 21 de Diciembre (solsticio de invierno). En dos días del año, la trayectoria de la sombra que proyecta el gnomon es una recta en todos los lugares de la Tierra. Esto ocurre en los días 21 de marzo (equinoccio de primavera) y 23 de septiembre (equinoccio de otoño). La razón es que , en esos días, la trayectoria del Sol y el extremo del gnomon están en un mismo plano que corta al plano de observación en una recta.

CONCLUSION:

Con la realización de este proyecto se pudo demostrar que realizando diferentes cortes al cono elíptico se obtuvo curvas tales como: elipse, hipérbola, parábola y circula. Dichas curvas antes mencionadas se las encuentra en varias aplicaciones en nuestro alrededor las cuales spn de mucha importancia.

Una de las propiedades más importantes de las formas parabólicas es que cualquier rayo que incida de forma paralela al eje de la parábola rebota en su superficie pasando por el foco. La parábola sirve para concentrar los rayos de luz en un punto, el foco, en el caso de la cocina solar, o las radiaciones electromagnéticas, en general, en las antenas parabólicas. Pero también sirve, como en el caso del faro de un coche, para conseguir que la luz que sale del foco se concentre en un haz más o menos cerrado.

Por su parte la elipse la vemos aplicada en la arquitectura, en la construcción de catedrales, estadios, etc. Cabe señalar que también la encontramos en mesa elíptica, plantilla para elipses y altavoz de tres vías.

Las propiedades ópticas de la parábola y de la hipérbola se combinan en el diseño del telescopio reflector. La propiedad de la definición de la hipérbola: la diferencia de las distancias de los puntos de la hipérbola a los focos es constante, se utiliza en la navegación.

BIBLIOGRAFIA:

http://es.wikipedia.org/wiki/Parábola_(matemática)#Propiedades_geom.C3.A9tricas http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Geometria/Diferencial/Curvas/E

nelplano/Conicas/Hiperbola.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Sección_cónica http://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(geometría)

ANEXOS

Construcción de la maqueta

Realizando los cortes de las superficies

Resultado Final