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Objetivos de aprendizaje1. Desarrollar procesos de solución de situaciones problema relacionadas con la forma, el área de la superficie y el volumen del cono.

Reconocer las formas cónicas a partir de los elementos que la componen.Caracterizar objetos con forma cónica a partir del área de su superficie.Caracterizar objetos con forma cónica a partir de la medida de su volumen.

Introducción El cono y sus aplicacionesPor su variedad en las formas y tamaños, las figuras geométricas las podemos encontrar en varios lugares y objetos de la vida cotidiana. En muchas situaciones de tu vida has utilizado y manipulado objetos que en su forma corresponde a figuras geométricas. Observa la figura 1.

Una de las tantas definiciones de cono puede ser: Cuerpo redondo limitado por una super-ficie curva y una base plana de forma circular

Por sus características en algunas ocasiones la forma del cono es utilizada en recipiente

Figura 2. Objetos en forma de cono Figura 3. Montaña

Otro ejemplo donde se presentan formas cónicas es en la naturaleza, donde se pueden hallar cantidad de montañas, árboles, volcanes y piedras cuya forma se asemeja a un cono.

Figura 1. Sombrero cónico

DESCUBRIENDO MEDIDAS A PARTIR DE LA FORMA

Resolución de problemas relacionados con formas cónicas

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Cada vez son más los arquitectos y diseñadores que usan diseños cónicos en sus estructuras, para darle otra perspectiva a sus diseños.

Figura 4. Los conos de Tlacoaleche

Los conos no sólo los vemos en la naturaleza y en las edificaciones de las ciudades, también los podemos ver en los lugares cotidianos cumpliendo una función de señal o aviso.

Figura 5. Tres conos

Guía de observación de la animación

Observa detenidamente la animación presentada por el docente. Luego responde.

¿Qué elementos se mostraron en la animación?

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Actividad 1

¿Podrías describir la forma de cada uno de ellos?

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Dibuja las figuras geométricas que componen la figura cónica.

Además dibuja algunos objetos cotidianos que tengan forma cónica.

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Actividad 2Observa la animación sobre la formación del cono.

Figura 6. Formación de cono Figura 7. Formación de cono

Describe el proceso de formación del cono y qué figuras geométricas forman parte de la construcción del cono.

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Da tu apreciación de la animación. Redacta tu propia definición de cono y en la siguiente cuadricula plasma lo visto en ella por medio de un dibujo.

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Actividad 3

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Participa de la socialización de las definiciones presentadas por tus compañeros.

A partir de la animación presentada en la actividad 2, completa los espacios para leer la definición completa del cono.

En _______________, un cono es un ___________________generado por el giro de un __________________

alrededor de uno de sus ________. El __________ que se forma a partir del giro del triángulo se

denomina base y al punto donde confluyen las ______________ se le llama _____________.

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Actividad 4Traza las líneas más importantes en el siguiente cono y una posible definición de cada una de ellas:

Figura 8. Cono recto

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Actividad 5Escribe la definición de cada uno de los tipos de conos que nos presentaron en el interactivo. Haz su respectivo dibujo:Tabla 1. Definición de tipos de conos

Definición de los tipos de cono Dibuja el cono respectivo

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Actividad 6Marca con una X a qué tipo de cono corresponde cada una de las imágenes. Justifica las razones de la elección. Tabla 2 . Tipos de conos

Figura Ángulos

Figura 9. Catedral metropolitana-Rio de Janeiro

Figura 10. Macetas minimalistas

Figura 11. Cono volcánico

RectoTruncadoOblicuoJustifica:

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RectoTruncadoOblicuoJustifica:

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RectoTruncadoOblicuoJustifica:

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Figura 13. Zona Trulli

Figura 14. Cono corneta

Actividad 7Utiliza materiales como cartulina, cartón, cartón paja, entre otros, y recorta las plantillas. Observa y analiza las partes que constituyen el desarrollo de cada cono. Luego aplica las fórmulas para el área de superficies planas.Arma los conos y con base en el análisis anterior, halla el área y deduce la fórmula de área total.

Figura 12. Iglesia Sagrado corazón de Jesús

RectoTruncadoOblicuoJustifica:

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RectoTruncadoOblicuoJustifica:

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RectoTruncadoOblicuoJustifica:

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hg

r

Figura 15. Desarrollo cono recto

CorteDoblez

R

rh

Recuerda que g= GENERATRIZg=√h2+r2

r= radio de la baseh=altura del cono

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CorteDoblez

R

rh

Figura 16. Desarrollo de cono truncado

Recuerda que g= GENERATRIZg=√h2+(R-r)2

r= radio de la baseh=altura del cono

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Área

Área

Figura 17. Desarrollo de un cono recto

Figura 18. Desarrollo de un cono truncado

R

r

h

h

r

g

Actividad 8Para hallar el volumen de un cono recto u oblicuo realiza la siguiente experiencia.Arma un cilindo de 9 cm de altura y 3cm de radio en la base. Con las mismas medidas desarrolla un cono,luego marca la altura del cilindro en tres partes iguales y vacia arena u otro material en este, hasta la primera division. Después pasa el contenido al cono, y saca tus conclusiones para hallar su volumen.

Figura 19.cilindro y cono recto

3cm

9cm

3cm

3cm

9cm

6cm

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3cm

9cm

3cm

9cm

3cm

9cm

3cm

9cm= + +

Área y volumen

Recuerda que las figuras geométricas que forman parte de un cono son: en su base una circunferencia y su cara lateral, es el área del sector circular. De ahí podemos concluir que:

El área del cono es: el área de su base + el área de la cara lateral.El volumen lo podemos tomar como la tercera parte del volumen del cilindro.

Con la información que posees, podrías expresar la fórmula para hallar el área total y el volumen del cono (recto)

Volumen del cilindro= π.r2.h Volumen del cono= π.r2.h3

Figura 20. Equivalencia del volumen entre el cilindro y el cono

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Actividad 9Con base en la experiencia de la actividad anterior, coloca atención a las instrucciones de tu docente, el cual a partir del interactivo presentará las fórmulas para hallar el volumen del cono. Compara, corrige e inicia el proceso para dar solución a los ejercicios propuestos en esta actividad.

Solución de ejerciciosSi un cono recto tiene una altura de 30cm y un radio de 22cm, ¿cuál será su área total y su volumen?

Recomendaciones para la solución de ejercicios:• Identificar cada uno de los datos que te presentan en el enunciado • Graficar para ilustrar la situación (en caso que no se presente el dibujo en el ejercicio)• Tener claridad sobre lo que te preguntan y que debes hallar• Aplicar las fórmulas teniendo en cuenta los datos que debes remplazar para no alterar la fórmula• Realizar las operaciones requeridas teniendo en cuenta los signos y unidades de las operaciones para no alterar las respuestas

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¿El volumen de un cono oblicuo que tiene de radio 5cm y una altura de 8cm es de?

Calcular el área lateral, área total y el volumen del tronco de cono de radios 12cm y 4cm y de altura 20cm

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Actividad 10Aplicación de la temática de los conos

1. La proyección de la luz de un faro tiene una generatriz de 13cm y el radio de la base es de 5cm. Calcula el área lateral, total y el volumen del cono formado

2. Un tanque tiene forma de cono oblicuo. Si el radio de la base es de 2m y su altura es de 6m, ¿cuál es el volumen del tanque?

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3. Un vaso de plástico con tapa tiene forma de cono truncado. Si su altura es de 10cm, su base tiene un radio de 2cm, y la tapa tiene como radio 4cm, ¿cuál es la cantidad de plástico utilizado para su producción?, ¿cuál es la capacidad del vaso?

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Tipos de conos El cono truncado o tronco de cono es el cuerpo geométrico que resulta al cortar un cono por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.

En geometría un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se le denomina base, y al punto donde confluyen las generatrices se le llama vértice.

Área de la superficie cónica

A= ABase+ALateral= πr2 + πrg

Donde r es el radio de la base y g la longitud de la generatriz del cono recto.

La generatriz de un cono recto equivale a la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma con la altura del cono y el radio de la base. Su longitud es:

g =√h2+r2

Elementos del cono

Vértice

Altura

Generatriz

Base

Eje

Eje: es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo.Base: es el círculo que forma el otro cateto.Altura: es la distancia del vértice a la base.Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Área lateral de un cono AL=π∙r∙g

Área de un cono AT=π∙r∙(g+r)

Volumen de un cono V= π∙r2∙h3

Figura 21. Elementos del cono

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r

gh

R-r

Base mayor: circunferencia paralela a la base generada por el corte.Base menor: la sección determinada por el corte es la base menor.La altura es el segmento que une perpendicularmente las dos basesLos radios son los radios de sus bases.La generatrizes el segmento que une dos puntos del borde de las dos bases..

Obtenemos la generatriz del cono truncado aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado

g2=h2+(R-r)2

g = √h2+(R-r)2

Elementos del cono truncado

Figura 22. Elementos del cono truncado

Área lateral de un cono truncado

AL= π∙(R+r)∙g

Área de un cono truncado

opcion 1AT= Al+π∙R2+π∙r2

opcion 2AT= π [g(R+r)+R2+r2]

Volumen de un cono truncado

V= π∙h∙(R2+r2+R∙r)

Se entiende R como el radio de la base mayor, y la r como el radio de la base menor.

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r

ah

La base es un círculo o una elipse, y la altura es el segmento que contiene al vértice; siendo perpendicular al plano de la base, pero no es coincidente con el eje del cono.

Superficie y desarrolloLa superficie lateral de un cono oblicuo es un triángulo curvilíneo, con dos generatrices por lados, y base semielíptica.La superficie de la base de un cono oblicuo es un círculo o una elipse.

VolumenLa ecuación empleada para hallar el volumen de un cono oblicuo de base circular es similar a la del cono recto:

v=Figura 23.cono oblicuo π∙r2∙h

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Cono oblicuoUn cono oblicuo es aquel cono cuyo eje de revolución no es perpendicular a su base.Pueden ser de dos tipos: de base circular o de base elíptica. El de base elíptica es el cuerpo geométrico resultante de cortar un cono recto mediante un plano oblicuo a su eje de revolución.

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1. Calcular el área y el volumen del cono recto, si la altura es de 7cm y el radio de la base es de 3cm

2. Calcula el área y el volumen de un tronco de cono sabiendo que el radio de la base mayor mide 5cm, el de la base menor 2cm y la altura es de 8cm

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3. Halla el volumen del cono oblicuo de 12cm de radio y altura de 5cm

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Lista de figurasFigura 1. Sombrero cónico.Recuperado de: http://blog.kuchi.fm/wp/wp-content/uploads/2013/03/3women-hats-4.jpg

Figura 2. Objetos en forma de cono

Figura 3. Montaña. Recuperado de: https://ramblingsabout.files.wordpress.com/2012/09/chocolate-hills_snapseed_snapseed.jpg

Figura 4. Los conos de Tlaco aleche. Javier96 (2011, Noviembre 01) Los conos de Tlaco aleche. JPG {Fotografía}. Obtenidode:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fe/Los_Conos_de_Tlacoaleche.jpg

Figura 5. Arango, Y. (2006, Agosto 17) Tres conos {Fotografías}. Obtenido de: https://www.flickr.com/photos/vladimix/222917711/in/photostream/

Figura 6. Formación del cono

Figura 7. Formación del cono Figura 8. Cono recto

Figura 9. Cono recto. Flickreview, R. (2010). Rio-Cathedral1. [Fotografía]. Brasil.Recuperado de: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Rio-Cathedral1.jpg

Figura 10. Fiberland. (2010). Macetas minimalistas. [Fotografía].Recuperado de: http://www.fiberland.com.mx/macetas-de-fibra-de-vidrio-conos.html

Figura 11. Geografía. La guía. (2006). Cono volcánico. [Fotográfico]. Recuperado de: http://geografia.laguia2000.com/wp-content/uploads/2012/02/cono-volcanico-300x197.jpg

Figura 12. Alvarado, R. (2008). Iglesia sagrado corazón de Jesús. [Fotografía]. Recuperado de:http://prismaing.com/wp-content/uploads/2013/08/1110.jpg

Figura 13. Llorca, P. (2013, Julio 29). Zona trulli. [Fotografía]. Recuperada de: http://sargantanaxpress.blogspot.com/2013/07/viaje-al-tacon-de-la-bota-1-parte-lecce.html

Figura 14. Openclips. (2013, Octubre 19) Cono corneta [Fotografía]. Recuperado de: http://pixabay.com/p-154663/?no_redirect

Figura 15. Desarrollo cono recto

Figura 16. Desarrollo cono truncado

Figura 17. Desarrollo cono recto

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Figura 18. Desarrollo de un cono truncado

Figura 19. Cilindro y cono recto

Figura 20. Equivalencia del volumen entre el cilindro y el cono

Figura 21. Elementos del cono

Figura 22. Elementos del cono truncado

Figura 23. Cono oblicuo

Tabla 1. Definición de tipos de conos

Tabla 2 . Tipos de conos