Oddelek za fiziko

Seminar

Oblike Bose-Einsteinove kondenzacije

Avtor: Jan Kogoj

Mentor: prof. dr. Janez Bonča

5. junij 2011

Povzetek

V seminarju predstavim Bose-Einsteinovo kondenzacijo s poudarkom na opazovanju le-tev različnih sistemih. Tako omenim kondenzacijo v razredčenem bozonskem plinu, v plinufermionov ter v fotonskem sistemu in nekatere eksperimentalne postopke za doseganje kon-denzacije v navedenih sistemih.

Kazalo

1 Uvod 1

2 Bose-Einsteinova kondenzacija 12.1 Bose-Einsteinova statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Bose-Einsteinova kondenzacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Bose-Einsteinova kondenzacija pri razredčenih bozonskih plinih 33.1 Hlajenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Pasti za atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Opazovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 BEC v plinu fermionov 8

5 Bose-Einsteinova kondenzacija v fotonskem sistemu 11

6 Zaključek 13

1 Uvod

Ena izmed najbolj osnovnih delitev gradnikov snovi je delitev na delce s polštevilčnim spinomin one s celoštevilčnim. Prvim pravimo fermioni, drugim pa bozoni. Sistem fermionov opišemoz valovno funkcijo, ki je antisimetrična na zamenjavo dveh delcev, kar ravno zadosti zahtevi, dase v enem kvantnem stanju nahaja največ en fermion. Slednja omejitev ne velja za bozone, takoda Bosejev plin opišemo s simetrično valovno funckijo.

Leta 1924 je Satyendranath Bose v upanju, da mu bo pomagal objaviti članek o izpeljavispektra črnega telesa, poiskal pomoč Alberta Einsteina. Ta je delo prevedel v nemščino inga poslal v objavo pod Bosejevim imenom [1], sam pa je razširil Bosejevo idejo iz fotonov šena atome [2]. V tako nastali Bose-Einsteinovi statistiki je Einstein kmalu opazil posebnost tedistribucije. Pri velikih gostotah in nizkih temperaturah se v sistemu bozonov izrazito mnogodelcev nahaja v osnovnem stanju - takemu kopičenju delcev pri najnižjem energijskem stanjupravimo danes Bose-Einsteinova kondenzacija [3].

Napoved je bila eksperimentalno potrjena šele čez približno 70 let, ko sta Eric Cornell inCarl Wiemann v NIST-JILA laboratoriju na Univerzi Colorado ohladila atome rubidija na okoli170 nK. Kmalu zatem so opazili Bose-Einsteinovo kondenzacijo tudi pri natrijevih atomih, dosedaj pa tudi pri sistemih kot so magnonski, fotonski in sistemih iz molekul fermionov. Bose-Einsteinova kondenzacija je prikladna za razlago pojavov superfluidnosti in superprevodnosti,zato je eksperimentalna potrditev še toliko pomembnejša [4].

V seminarju bom najprej predstavil Bose-Einsteinovo kondenzacijo in nekaj njenih lastnostiin nato opazovanja samega pojava v različnih sistemih.

2 Bose-Einsteinova kondenzacija

2.1 Bose-Einsteinova statistika

Z uporabo velekanoničnega formalizma pri statistični mehaniki, lahko hitro izračunamo statis-tično vsoto za idealni bozonski plin [5]. Upoštevamo, da vsak energijski nivo lahko zasede

1

poljubno mnogo delcev, in dobimo

βq =∑j

log [1− exp (β(µ− εj))], (1)

kjer εj označuje energijo j-tega nivoja, µ kemijski potencial in β = 1/kbT . Kot običajno privelekanoničnem formalizmu do povprečnega števila delcev v sistemu pridemo preko odvoda

N = −(∂βq

∂βµ

)β,V

=∑j

1

eβ(εj−µ) − 1. (2)

Vidimo, da mora biti kemijski potencial µ manjši kot najnižji energijski nivo, sicer bi dobilinegativna zasedbena števila. Rezultat enačbe 2 lahko razumemo tudi kot vsoto povprečnezasedenosti nivojev Nj , kjer zasedenost j-tega nivoja znaša

Nj =1

eβ(εj−µ) − 1. (3)

2.2 Bose-Einsteinova kondenzacija

Če si stacionarna stanja delcev predstavljamo kot stoječe valove, si v makroskopskih sistemihsledijo tako na gosto v primerjavi s kT, da je bolj smiselno energijo obravnavati kot zveznospremenljivko. V ta namen vpeljemo gostoto stanj D(ε)

D(ε) =V

4π2

(2m

h2

)3/2

ε1/2, (4)

kar se najlažje izpelje za kockasto posodo s stranico V 1/3 [6]. Sedaj lahko nadomestimo seštevanjepo vseh stanjih z integralom po energiji ε. Ker ponavadi energijo osnovnega stanja postavimona 0, moramo biti pri tej zamenjavi previdni, saj je gostota stanj pri energiji 0 enaka 0. Takomoramo integralu prišteti še povprečno število delcev v osnovnem stanju

N(T ) = N0(T ) +V

4π2

(2m

h2

)3/2 ∫ ∞0

ε1/2dε

eβ(ε−µ) − 1. (5)

Z integralom opišemo povprečno število vzbujeni stanj N ′(T ).Velikokrat je pri eksperimentih težko zagotoviti prosto izmenjavo snovi z okoljem ali pa take

izmenjave nočemo. V tem primeru namesto velekanoničnega formalizema uporabimo kanon-ičnega. Izpeljave se nekolike spremenijo, rezultati pa so na las podobni - zamenjati moramo lepovprečno število delcev N s številom delcev v sistemu N . To niti ni velika sprememba, saj prikoličkaj velikem povprečnem številu delcev v sistemu slednje le rahlo fluktuira [5].

Pri določeni temperaturi lahko število delcev v vzbujenih stanjih N ′ navzgor omejimo, saj jekemijski potencial največ 0. Izkaže se [6], da je največje število delcev v vzbujenih stanjih enako

N ′m(T ) = 2.612V

(mkBT

2πh2

)3/2

. (6)

Pri nižanju temperature in večanju gostote plina, se N ′m slej ko prej spusti pod število delcev vsistemu N . To pomeni, da se preostanek nabere v osnovnem nivoju. Definiramo lahko kritičnotemperaturo TB, kjer je N ′m ravno enako velik kot N , pod katero se prične kopičenje delcev v

2

najnižjem energijskem stanju sistema - pravimo, da se prične Bose-Einsteinova kondenzacija.Kritično temperaturo TB izračunamo z upoštevanjem definicije N ′m(TB) = N in dobimo

TB =2πh2

mkB

(N

2.612V

)2/3

. (7)

Iz enačb 6 in 7 lahko izrazimo delež vzbujenih delcev in tudi delež delcev v osnovnem nivoju.Slednji je za T < TB enak

N0(T )

N= 1−

(T

TB

)3/2

. (8)

Odvisnost števila delcev od temperature je prikazana na sliki 1.Zadnja enačba nam pove, da se pri temperaturi T = 0 vsi delci nahajajo v stanju z najnižjo

energijo in tudi, da so pri temperaturi T = TB vsi delci v vzbujenih stanjih, vendar se s tem neobremenjujemo preveč. To je namreč posledica naše približne definicije temperature TB.

Slika 1: Delež delcev v osnovnem stanju v odvisnosti od temperature. Krogci predstavljajoeksperimentalne vrednosti [7].

Za razliko od nam bolj poznane in domače kondenzacije plinov, pri Bose-Einsteinovi konden-zaciji ni mogoče opaziti dobro definirane meje med fazama delcev v vzbujenih stanjih in delcev vosnovnem stanju (slednjim pravimo tudi Bose-Einsteinov kondenzat ali s kratico BEC). Čepravmed BEC in vzbujenimi delci ni fizične ločnice, se fazi ločita v prostoru gibalnih količin.

3 Bose-Einsteinova kondenzacija pri razredčenih bozonskih plinih

Čeprav so raziskovalci v iskanju BEC začeli z vodikom, so rajši prešli na alkalne kovine, sajle-te lažje ohladijo na potrebne temperature. Elektroni, protoni in nevtroni imajo vsi spin 1/2.Ker imajo alkalne kovine liho število protonov in elektronov, njihovo statistiko določa številonevtronov. Za bozonski značaj tako potrebujemo sodo število nevtronov, oziroma liho masnoštevilo. Tako se uporabljajo na primer plini atomov 7Li, 23Na in 87Rb. V osnovem stanju

3

atomov alkalnih kovin vsi elektroni razen enega zapolnijo lupine, preostali valenčni elektron pazasede s orbitalo. V odsotnosti zunanjega polja so nivoji razcepljeni zaradi hiperfine sklopitvemed celotno vrtilno količino valenčnega elektrona in spinom jedra. Če je valenčni elektron vs orbitali je celotna vrtilna količina enaka kar spinu elektrona. Najpogostejše eksperimentalnevrednosti znašajo 1/2 za celotno vrtilno količino elektrona in 3/2 za jedrski spin. Magnetnimomenti omenjenih atomov se gibljejo od 2.2µN za 23Na do 3.3µN za 7Li [8].

Omenili smo že, da za BEC potrebujemo dovolj visoke gostote in nizke temperature. Pritakih pogojih pa plinsko stanje ni več termodinamsko stabilno. Zato prihaja do rekombinacijeatomov in tvorbe trdne faze. Prvi korak, tvorba dvoatomske molekule, je počasen, če ni prisotenše tretji atom, ki prevzame energijo, sproščeno pri rekombinaciji. Tako se izkaže, da večji delrekombinacije predstavljajo trodelčni procesi. Večja kot je gostota plina, večja je verjetnostza trodelčno rekombinacijo, kar skrajša življenjski čas metastabilnega plinastega stanja. Tonam predstavlja omejitev gostote, saj nas zanima sistem, v katerem lahko opazimo BEC, ki jeobstojen vsaj nekaj sekund. Tako za namene preučevanja Bose-Einsteinove kondenzacije atomovalkalnih kovin pogosto eksperimentirajo s plinom gostote reda ≈ 1011cm−3 do ≈ 1015cm−3 pritemperaturah reda nekaj deset nK do ≈ 50µK [9]. Plinu teh gostot pravimo, da je razredčen,saj je tipična medatomska razdalja ≈ 103a0, kjer je a0 Bohrov radij, mnogo večja od sipalnedolžine, ki znaša ≈ 102a0. Sipalna dolžina predstavlja merilo za sipanje pri nizkih energijah,kako daleč od sipalne tarče je interakcija še pomembna. Z drugimi besedami, za pline teh gostotje povprečna razdalja med atomi precej večja od dosega van der Waalsove sile, zato slednjoupoštevamo šele pri srečanju dveh atomov.

3.1 Hlajenje

Glede na to, da je v naravi najnižja temperatura 3K, je potrebnega precej napora, da atomeohladimo na temperaturo potrebno za prehod v režim BE kondenzacije. Temperature reda nKdosegajo s kombiniranjem dveh glavnih tehnik: laserskega hlajenja in hlajenja z izhlapevanjem.

Lasersko hlajenje lahko na kratko povzamemo z naslednjimi besedami. Če na atom plinaposvetimo z laserskim žarkom ravno prave frekvence proti smeri njegovega gibanja, mu bo fotonlaserske svetlobe predal gibalno količino in ga s tem upočasnil, ter vzbudil v vzbujeno stanje.Čez nekaj časa se bo foton izseval v poljubno smer, tako da v povprečju spremembe hitrosti natem koraku ne bo.

Hitrost s katero se fotoni s frekvenco ω absorbirajo v enem atomu znaša [8]

dNfoton

dt= CL(ω), (9)

kjer je C konstanta, odvisna od vrste atoma in intenzitete električnega polja, in L(ω) Lorentzovafunkcija

L(ω) =Γi/2π

(ω − ωi0)2 + (Γi/2)2. (10)

ωi0 je frekvenca, ki ustreza prehodu med osnovnim in vzbujenim stanjem, Γi pa predstavljaverjetnost za prehod med tema dvema stanjema. Vsak foton preda atomu gibalno količino hk,zato znaša sprememba gibalne količine atoma v smeri laserskega žarka

dpdt

=dNfoton

dthk = −γv, (11)

kjer je γ koeficient trenja.Gibajočim atomom se zaradi Dopplerjevega premika spremeni frekvenca fotonov. To pomeni,

da se atomi zavirajo različno hitro glede na njihovo hitrost, kar ponazori slika 2. Vkolikor

4

uporabimo dva laserja, obrnjena drug drugemu nasproti, lahko upočasnimo atome. S takopostavitvijo laserjev namreč dosežemo, da se mirujoči atomi ne pospešujejo, saj sta hitrostiabsorpcije fotonov iz obeh laserjev enaki zaradi enakih frekvenc fotonov. Za koeficient trenjagibajočih atomov v enačbo 11 vstavimo Dopplerjev premik za fotone obeh laserjev in seštejemoprispevka upoštevajoč smer širjenja laserskih žarkov. Tako za laserska žarka v smeri z osi dobimo

γ =hkC

vz[L(ω + vzk)− L(ω − vzk)] ' 2hk2C

dL(ω)

dω. (12)

Za ozke črte prehoda je lahko dL(ω)dω precej velik, kar se odraža v veliki zavorni sili. Na žalost je

tako zaviranje omejeno na ozek interval hitrosti.

Slika 2: Skica hitrosti absorbcije za fotone iz dveh nasproti postavljenih laserjev v atomu plina.

Kljub zaviranju se atom še vedno naključno giblje (foton izseva v naključno smer), karse odrazi v najnižji možni dosegljivi temperaturi ≈ 240µK. Izkaže se, da lahko dosežemobistveno nižje temperature, reda ≈ 1µK. Preveč smo namreč poenostavili sistem, saj meddrugim nismo upoštevali nehomogenosti električnega polja laserjev in zato nismo opazili takoimenovanega procesa Sizifovega hlajenja [8]. Pri slednjem postavimo dva usmerjena laserskasnopa s prekrižanima polarizacijama eden drugemu nasproti. Pri taki postavitvi laserskih snopovse v prostoru spreminjata tako potencial kot tudi polarizacija. Krožna polarizacija svetlobepospeši črpanje atomov med osnovnim in vzbujenim stanjem. Na področju z višjo potencialnoenergijo se zaradi ohranitve energije atomu zmanjša kinetična energija. Na istem področju je tudipospešeno črpanje v vzbujeno stanje. Obratno velja za področja z nižjo potencialno energijo.Korelacije med hitrostjo črpanja in spremembami v energiji stanj privedejo do neto zmanjšanjakinetične energije.

Ker tudi to še ni dovolj nizka temperatura za opazovanje Bose-Einsteinove kondenzacije, plinhladimo še z izhlapevanjem. Hlajenje z izhlapevanjem je konceptualno preprosto. Če poskrbimo,da iz vzorca izločimo atome z največjo energijo, kot je prikazano na sliki 3, se bo povprečnatemperatura sistema znižala.

Ta način hlajenja se ponavadi izvaja s pomočjo magnetne pasti. Zaradi Zeemanovega raz-cepa1 namreč stanja atoma delimo na tista, ki jim višanje magnetnega polja zvišuje energijo,

1razcep stanj po energiji v magnetnem polju zaradi hiperfine sklopitve med tirno vrtilno količino elektrona inspinom jedra

5

in tista, ki se jim pri tem energija zniža. Atomi v prvih stanjih (angl. low-field seekers) imajovečjo verjetnostno gostoto v področju nizkega polja, atomi v drugih (angl. high-field seekers)pa v področju močnega polja. Earnshaw-jev teorem pravi, da v statičnem magnetnem polju neobstajajo lokalni maksimumi v prostem prostoru. Če imamo časovno odvisno magnetno polje,lahko ustvarimo minimum, zaradi katerega lahko zadržimo atome v stanjih z večjo gostoto prinizkem polju. Stanja, z večjo gostoto v močnem polju, nam pobegnejo. Z RF sunkom lahkozavrtimo spin ujetega atoma, da preide v režim, kjer je njegova verjetnostna gostota v močnempolju velika, in posledično atom uide iz pasti. Zaradi nehomogenosti polja in Zeemanovega efektalahko izberemo frekvenco pulza tako, da uidejo le atomi z najvišjo energijo, s čimer se zmanjšapovprečna energija in s tem tudi temperatura vzorca.

Slika 3: Prikaz hlajenja z izhlapevanjem. Graf na levi prikazuje ravnovesno Maxwell-Boltzmannovo porazdelitev. Energija εev predstavlja mejno vrednost za izhlapevanje [8].

3.2 Pasti za atome

Pri prvih eksperimentih na tem področju so atome ujeli v delu prostora s pomočjo kombinacijemagnetnih in optičnih pasti [3], novejše raziskave pa potekajo z optičnimi rešetkami [10]. Slednjinačin si bomo pobližje ogledali.

V primeru plina atomov je poglavitna dipolna interakcija med električnim poljem laserskegasnopa in snovjo. Del Hamiltoniana, ki opisuje interakcijo s poljem, tako zapišemo

H ′ = −pE , (13)

kjer sta p dipolni moment atoma in E električno polje. Električno polje inducira električni dipol vatomu, kar opišemo s polarizabilnostjo α. Spremembo energije osnovnega nivoja lahko zapišemokot

∆E0 = −1

2α(ω) < E2 >t, (14)

pri čemer smo z 〈. . . 〉 označili časovno povprečje. V splošnem je α(ω) kompleksna količina, saj stem opišemo tako premik v energiji (realni del) kot tudi končen življenjski čas osnovnega stanja(imaginarni del). V Diracovi pisavi za osnovni nivo 0 in vzbujena stanja i realni del zapišemokot [8]

αr(ω) ≈ (Ei − E0 − hω)|〈i|p · e|0〉|2

(Ei − E0 − hω)2 + (hΓi/2)2, (15)

6

kjer kaže enotski vektor e v smeri zunanjega električnega polja in Γi označuje verjetnost zaprehod iz vzbujenega stanja nazaj v osnovno.

Definirajmo razglašenost (angl. detuning) kot

∆ = ω − ωi0 = ω − Ei − E0

h. (16)

Definirajmo še ∆ < 0 kot rdečo razglašenost in ∆ > 0 kot modro razglašenost. Iz enačbe 15razberemo, da laserski snop z rdečo razglašenostjo predstavlja privlačen potencial, snop z modrorazglašenostjo pa odbojnega. Ker na jakost potenciala vplivamo tudi z intenziteto laserskesvetlobe, povzroči stoječ val, zgrajen iz dveh nasproti obrnjenih laserjev, nastanek periodičnegapotenciala. Primer take optične rešetke z ujetimi atomi je prikazan na sliki 4. Če to storimotudi v preostalih smereh, dobimo dvo- ali tro- dimenzionalno optično rešetko.

Da bi zmanjšali segrevanje, je priporočljivo izbrati dovolj veliko razglašenost ∆, a to pomenitudi zmanjšanje globine privlačnega potenciala. Zaradi tega razloga, je treba atomski plinpredhodno dovolj shladiti, npr. z uporabo hlajenja z izhlapevanjem v magnetni pasti, in šelenato prenesti v optično past [10].

Slika 4: Slika porazdelitve A) intenzitete svetlobe in B) gostote atomov 87Rb za optično rešetkonarejena s CCD detektorjem. Svetlejše barve predstavljajo večjo intenziteto oziroma gostoto[11].

3.3 Opazovanja

Za opazovanje plina atomov uporabljajo optične metode, največkrat meritev absorpcije svetlobein meritev faznega zamika.

7

Pri prvi metodi v oblak atomov posvetijo s svetlobo pri frekvenci prehoda iz osnovnega vvzbujeno stanje in primerjajo intenziteto žarka na izhodu. Logaritem prepuščene intenzitete jenamreč sorazmeren z integrirano atomsko gostoto2. Ta metoda je destruktivna, saj absorpcijasvetlobe privede do nezaželenega gretja plina. Za meritev časovno odvisnih procesov je torej zavsako točko v času potrebno narediti nov vzorec.

Pri meritvi faznega zamika oziroma fazno-kontrastnem slikanju uporabijo svetlobo z velikorazglašenostjo, torej svetlobo, katere frekvence je daleč stran od frekvence prehoda. Tedaj jepoglavitni vir izgub sipanje svetlobe na atomih, ki zaradi manjšega prenosa energije omogočaveč slik istega vzorca. Sipani del svetlobe interferira z nesipanim, kar se odraža v spreminjanjuintenzitete. Iz izmerjenega profila intenzitete tako dobijo informacijo o gostoti atomov v oblaku.

Dosežene prostorske resolucije znašajo nekaj mikrometrov [9]. Pogosto pred meritvijo gostoteizklopijo pasti. Tako se v gostoti poleg same porazdelitve gostote atomov v pasti odraža tudiporazdelitev atomov po hitrosti. Prvi del se odraža v nesimetričnosti izmerjene porazdelitvegostote zaradi nesimetričnosti pasti, drug del pa v obliki porazdelitve gostote. Opazimo namrečozek vrh, ki ustreza atomom v osnovnem kvantnem stanju, naložen na mnogo nižji in širši del,ki ustreza atomom v vzbujenih stanjih. Rezultati meritev za spinsko polariziran plin atomov87Rb so prikazani na sliki 5.

Slika 5: Tri porazdelitve gostote za razširjajoče se oblake rubidijevih atomov pri treh različnihtemperaturah. Kondenzat se opazi na sredi vzorca kot ozek vrh [3].

4 BEC v plinu fermionov

V sistemu fermionov je lahko vsako kvantno stanje zasedeno največ z enim fermionom. Pritemperaturi 0 zato fermioni zasedajo energijska stanja po vrsti, od osnovnega nivoja pa dotako imenovanega Fermijevega nivoja. Očitno za fermione torej ne moremo dobiti analogaBose-Einsteinovemu kondenzatu. V kolikor nam uspe tvoriti pare fermionov oziroma v primeru

2integral atomske gostote v smeri poti svetlobe

8

alkalijskih plinov dvoatomne molekule, ki imajo torej celoštevilčni spin, pa bi kondenzacijo lahkoopazili.

Tvorjenje parov elektronov je tudi ideja v BCS teoriji, ki opisuje superprevodnost. Cooperje ugotovil, da v kolikor obstaja med elektroni neto privlačna interakcija, ne glede na jakostle-te, se bodo tvorili pari zaradi vpliva ostalih elektronov. Pri BCS teoriji je tvorba parov torejposledica večdelčnih interakcij.

Interakcije med delci oziroma sipanje pri nizkih energijah opišemo s sipalno dolžino a. Česipanje obravnavamo kot vpad ravnega val in odboj kot sferični val, lahko za velike r sipanjeosnovnega stanja zapišemo [9]

Ψ(r) ∝ (1− a/r) (17)

Pri tem smo pozabili upoštevati interakcije, ko sta delca bližje skupaj. To storimo z uvedboefektivnih interakcij ali z drugo besedo psevdopotencialov, ki opišejo vso dogajanje na kratkihrazdaljah. Efektivne interakcije so določene tudi s sipalno dolžino [8]. Negativna sipalna dolžinapoda privlačen psevdopotencial, pozitivna pa odbojnega. Pozitivna sipalna dolžina privede dodvodelčnega vezanega stanja z vezavno energijo h2/2Mra

2, kar se odraža v tvorbi molekul.Privlačna interakcija vodi pa do BCS nestabilnosti, torej do tvorbe Cooperjevih parov [12].

Sestavimo sistem tako, da imamo prisotni dve vrsti atomov, vsako s svojim spinom jedra,in obravnavajmo dvodelčno sipanje. Predpostavimo, da imamo dve možni kvantni stanji dvehdelcev - imamo dva sipalna kanala. Vsak kanal lahko opišemo s potencialom v odvisnosti odmedatomske razdalje. Zaprt kanal ima potencial tako visok, da delci, ki se sipljejo, tvorijo vezanostanje. Ravno nasprotno, pri odprtem kanalu vezanega stanja delcev z dano energijo ne dobimo.Za zgled je podana slika 6.

Sipajoče delce pripravimo tako, da so v odprtem kanalu. S pomočjo magnetnega polja sprem-injamo energijsko razliko med energijskimi nivoji kanalov. Če ima magnetno polje tako velikost,da se energija nekega nivoja v zaprtem kanalu ujema z energijo sipajočih delcev, lahko dosežemotako imenovano Feshbachovo resonanco. Pri tej resonanci se sipajoča delca začasno ujameta vvezano stanje v zaprtem kanalu, kar se odraža v sipalnem preseku, ki je oblike Lorenztove res-onance. Ker sta sipalni presek in sipalna amplituda povezana, se sipalna amplituda v okoliciresonance močno spreminja in je tako pozitivna kot negativna. Iz praktičnega stališča je takoobnašanje zelo ugodno, saj omogoča določanje meddelčne interakcije s pomočjo magnetnegapolja. Feshbachove resonance se pogosteje uporabljajo za fermione, saj so fermionska stanja vbližini resonance precej dolgoživa za razliko od bozonskih, saj Paulijev princip omejuje vezavov globoko vezana stanja [12].

Leta 2004 so bili opravljeni eksperimenti na 6Li [13] in 40K [14]. Vzorec fermionskega plinaso najprej v magnetni pasti ohladili do temperature, nekaj nižje od Fermijeve. Zatem so plinprenesli v optično past, kjer so pripravili enako mešanico dveh hiperfinih stanj. Določili so tudipoložaj Feshbachove resonance s preiskovanjem števila molekul v vzorcu v odvisnosti od jakostimagnetnega polja. S spreminjanjem jakosti polja so spreminjali moč in obliko interakcij meddelci. Z 6Li znašajo sipalne dolžine v bližini resonance več kot 1000nm. Nekajms pred slikanjemso ugasnili optično past, tako da se je lahko plin prosto razširil. V tem koraku je nastopila naBCS strani, torej na strani s privlačnimi interakcijami, težava. Zaradi širjenja plina atomovnamreč niso dobili več parjenja kot posledica večdelčnih efektov. Problem so rešili s spremembopolja v BEC režim s takšno hitrostjo, da so se tvorile molekule, a še ni prislo do zaznavnihpremikov znotraj vzorca. Na obeh straneh resonance so opazili močneje zaseden osnovni nivo,kar kaže na Bose-Einsteinovo kondenzacijo. Rezultati meritev enega izmed eksperimentov sopodani na slikah 7 in 8.

9

Slika 6: Model Feshbachove resonance. Z rdečo je označen potencial za odprti sipalni kanal, zmodro pa potencial za zaprtega. Vpadna energija jeder je označena z zeleno [12].

Slika 7: Stolpična gostota plina atomov 6Li pri treh temperaturah T/TF ≈ 0.2, 0.1 in 0.05.Modra črta prikazuje termalno komponento. Deleži kondenzata znaša 0.0, 0.1 in 0.6 [13].

10

Slika 8: Delež kondenzata v odvisnosti od odmika od Feshbachove resonance. Krogci zaznamujejozamik med izključitvijo pasti in slikanjem 2 ms, trikotniki pa 30 ms. Vložen graf prikazuje časovnipotek magnetnega polja pri meritvi [14].

5 Bose-Einsteinova kondenzacija v fotonskem sistemu

Klaers, Schmitt, Vewinger in Weitz so leta 2010 objavili članek, da so opazili BEC fotonov [15].Za plin fotonov, na primer sevanje v votlini, velja, da se pri izotermnem spreminjanju volumnatlak plina ohranja. Lahko rečemo, da smo v režimu kondenzacije plina fotonov. Zgoraj navedenipa so obravnavali sistem fotonov v mikroresonatorju napolnjenem z barvo, v katerem so fotonisklopljeni s stanji barvila. V takem sistemu so opazili kopičenje števila fotonov pri najnižjemdovoljenem valovnem načinu, kar so interpretirali kot BEC fotonov.

Optični mikroresonator, narejen iz dveh ukrivljenih dielektričnih zrcal na razdalji 3.5 valovnihdolžin, so napolnili z barvo rhodamine 6G. Tak resonator zaradi kratke razdalje med zrcali inabsorpcije ter fluorescence barve dopušča le določeno longitudinalno valovanje. V izrazu zaenergijo

E = hc√k2l + k2t , (18)

kjer sta kl in kt valovna vektorja longitudinalnega in transverzalnega načina valovanja. Vprimeru, ko je prva točno določena, lahko v obosni aproksimaciji na člen z kl gledamo kotna neko efektivno maso mf = hkl/c. Ta predstava ni zelo zgrešena, saj je disperzijska zveza vtakem sistemu kvadratna in nič več relativistična - glej Sliko 9 b. V celoti je sistem formalnoenak dvodimenzionalnemu sistemu bozonov z maso mf v harmoničnem potencialu Ω. Slednji jedoločen z geometrijo resonatorja.

Procesi absorpcije in izsevanja fotonov na molekulah barve poskrbijo tudi za termično ravnovesje.Tako je doseženo ravnovesje med transverzalnimi prostostnimi stopnjami fotonskega plina in ro-tavibracijsko temperaturo molekul barve (sobna temperatura) [15].

Število fotonov v resonatorju so spreminjali s črpanjem barve s pomočjo zunanjega laserja.Zaradi raznih izgub, kot so na primer končen kvantni izkoristek in izgube na zrcalih, je potrebnočrpanje ves čas vzdrževati. Ko je število fotonov v sistemu preseglo določeno število, se je prinajnižji frekvenci, torej frekvenci ki ustreza masi mf , oblikoval vrh, kar spominja na Bose-Einsteinovo kondenzacijo.

11

Slika 9: a) Shema spektra valovanja v mikroresonatorju. Prikazani sta absorpcijski koeficientα(ν) in moč flourescence f(ν) barve rhodamine 6G v odvisnosti od frekvence ν. b) Disperzijskazveza fotonov z določenim longitudinalnim načinom v votlini (neprekinjena črta) in disperzijskazveza prostih fotonov (prekinjena črta). c) Shema eksperimentalne postavitve. Na levi strani jeprikazan potencial, ki ga ustvarjajo ukrivljena zrcala [15].

Slika 10: a) Spektralna intenzitetna porazdelitev sevanja, prepuščenega skozi enega izmed zrcal,za različne moči črpanja (glej barvni ključ). Nad kritično močjo je opazen izrazit vrh pri najnižjizastopani frekvenci s končno širino zaradi resolucije mikroresonatorja. Prikazan je tudi teoretskiizračun na osnovi Bose-Einsteinove porazdelitve fotonov za različna števila fotonov pri sobnitemperaturi. b) Prostorska porazdelitev sevanja, prepuščenega skozi enega izmed zrcal, pod(zgornja slika) in nad (spodnja slika) kritično močjo [15].

12

Glavna razlika med takim kondenzatom in laserjem je v tem, da je pri laserju za makroskop-sko zastopanemu valovnemu načinu potrebno močno neravnovesno stanje, pri BEC fotonov pasmo ves čas v termičnem ravnovesju. Poleg tega so poskusi pokazali, da lahko vzbujevalni snopsvetlobe izmaknemo iz središča mikroresonatorja, pa tam vseeno dobimo najnižji valovni načinTEM00.

6 Zaključek

Čeprav so teoretske osnove za statistično fiziko bozonov in fermionov znane že dolgo, je prišlaeksperimentalna potrditev kondenzacije šele pred 16 leti. Za nastanek BEC so namreč potrebnezelo nizke temperature in pametno zgrajene pasti. Tekom iskanja izmuzljivega kondenzata sozato razvili tudi postopke za doseganje zelo nizkih temperatur in nekaj pasti za atome. BECje bil opažen že v razredčenem plinu bozonskih atomov, v fermionskem plinu, v fotonskemsistemu, v sistemu polaritonov in magnonov. Prav tako so preiskovali tudi vrtinčne niti v BECin večkomponentne kondenzate. Ena izmed glavnih motivacij za preiskave na tem področju paje prav gotovo bolj podroben vpogled v naravo superfluidnih in superprevodnih stanj.

Seznanili smo se z nekaj tehnikami in težavami opazovanja Bose-Einsteinove kondenzacije,od hlajenja in optičnih mrež, pa do slikanja in nastavljivih interakcij. Predstavljen je bil le delobsežnega področja, zato je priporočljivo, da se v branje vzame kakšnega izmed mnogih pregledovznanja na področju ultrahladnih razredčenih plinov ali Bose-Einsteinove kondenzacije.

Literatura

[1] S. Bose, Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese, Z. Phys., 1924, 26, 178

[2] A. Einstein, Quantentheorie des einatomigen idealen Gases, Sitzungsber. Kgl. Preuss. Akad.Wiss., 1924, 261; 1925, 3

[3] Eric. A. Cornell and Carl E. Wieman, Nobel lecture: Bose-Einstein condensation in adilute gas; the first 70 years and some recent experiments, Nobelprize.org, 17 Apr 2011http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2001/cornellwieman-lecture.pdf

[4] Bose-Einstein condensate, Wikipedia.org, 17 April, http://en.wikipedia.org/wiki/Bose-Einstein_condensate

[5] I. Kuščer in S. Žumer, Toplota Termodinamika, statistična mehanika, transportni pojavi(2. natis), DMFA - založništvo, 2006

[6] D. R. Tilley and J. Tilley, Superfluidity and Superconductivity, Second Edition, Adam HilgerLtd, 1986

[7] F. Dalfovo et al., Bose-Einstein condensation in trapped gases, Rev. Mod. Phys., 71, 463,1999

[8] C. J. Pethick, H. Smith, Bose-Einstein condensation in dilute gases, Cambridge UniversityPress, 2002

[9] A. J. Leggett, Bose-Einstein condensation in alkali gases: some fundamental concepts, Rev.Mod. Phys., 73, 307, 2001

[10] D. M. Stamper-Kurn, M. R. Andrews, A. P. Chikkatur,S. Inouye, H. J. Miesner, J. Stenger,and W. Ketterle, Phys. Rev. Lett., 80, 2027, 1998

13

[11] L. Fallani, C. Fort, J. E. Lye, and M. Inguscio, Bose-Einstein condensate in an opticallattice with tunable spacing: transport and static properties, Optics Express, 13, 4303, 2005

[12] I. Bloch, J. Dalibard, and W. Zwerger, Many-body physics with ultracold gases, Rev. Mod.Phys, 80, 885, 2008

[13] M.W. Zwierlein, C. A. Stan, C. H. Schunck, S.M. F. Raupach, A. J. Kerman, and W.Ketterle, Phys. Rev. Lett., 92, 120403, 2004

[14] C. A. Regal, M. Greiner, and D. S. Jin, Phys. Rev. Lett., 92, 040403, 2004

[15] J. Klaers, J. Schmitt, F. Vewinger & M. Weitz, Bose-Einstein condensation of photons inan optical microcavity, Nature, 468, 545, 2010

14