Od preferencija do funkcije korisnosti

Od preferencija do funkcije korisnosti

Individualno odlučivanje

U apstraktnom okruženju promatra se individualni donosioc odluka i njegov/njezin problem izbora

Mi ćemo početi sa analizom izbora POTROŠAČA

Individualno odlučivanje: Teorija ponašanja potrošača

Glavne teme: Opis košare dobara koju potrošač bira

u određenim uvjetima. Kako će se optimalni izbor mijenjati

kada se mijenja skup mogućih izbora (ograničenja)?

Potrebna je funkcija potražnje


U analizi ponašanja potrošača dva pristupa:

1.Klasični - Polazi od preferencija (preference-based approach)

2.Polazi od ostvarenih izbora potrošača (choice-based approach)


Osnovna struktura teorije potrošačevog izbora temelji se na četiri konceptualno različita pojma: Skup mogućih (međusobno

isključivih) izbora Skup dostupnih izbora Relacija preferencije ≿ Pretpostavka ponašanja


U teoriji ponašanja potrošača skup mogućih izbora nazivat ćemo skupom moguće ili zamislive potrošnje X

Skup dostupnih izbora nazivat ćemo skupom dostupne potrošnje ili budžetskim skupom B

Teorija ponašanja potrošača

Potrošačev problem:

izbor kombinacije proizvoda i usluga (dobara) iz skupa moguće potrošnje

U modelu pretpostavljamo da je broj dobara konačan i jednak L (l = 1, 2, ...., L)


Kombinaciju (košaru) dobara prikazat ćemo kao vektor dobara

1

.

.

L

x

x

x

Teorija ponašanja potrošača Vektor dobara prikazuje razinu potrošnje

individualnog potrošača Svaki element l prikazuje količinu dobra l Zato ovaj vektor nazivamo i vektor

potrošnje Vektor potrošnje je točka u skupu moguće

potrošnje X odnosno u potprostoru dobara

L


Kako bi uvažili fizička ograničenja (npr. nemogućnost negativnih količina dobara) prostor dobara promatrat ćemo kao cijeli nenegativni ortant

(L je konačni broj!) Skup mogućih potrošnji X je

podskup prostora dobara X ⊆

L

L


Mi pretpostavljamo da je skup mogućih potrošnji jednak skupu svih nenegativnih košara dobara, ili : 0 1,...L LX x L x


Njegovi elementi su vektori potrošnji (košare dobara koje potrošač može potrošiti uz data fizička ili institucionalna ograničenja)

LX x

Svojstva skupa mogućih potrošnji

(skup X nije prazan) skup X je zatvoren skup X je konveksan (skup X sadrži 0)

LX

0 X

Pojašnjenje svojstva zatvorenosti skupa

Skup je zatvoren ako sadrži sve točke ruba

Skup mogućih potrošnji je konačan (sastoji se od L dobara, L je konačni broj)

Pojašnjenje svojstva konveksnosti skupa

Ako su vektori x i x’ (dvije košare ili kombinacije dobara) elementi skupa X, tada je i njihova konveksna kombinacija

x’’ = αx + (1-α)x’

također element od X

za svaki α ∊ [0,1]

Budžetski skup

Pored fizičkih i institucionalnih ograničenja, potrošač se suočava i sa ekonomskim ograničenjima

Ekonomska ograničenja određuju koje kombinacije dobara su potrošaču dostupne

Budžetski skup

Svako od L dobara na tržištu prodaje se po određenoj cijeni

Cijene prikazuje vektor cijena

1

.

.

L

p

p

p

Budžetski skup

Za vektor cijena pretpostavljamo

Dakle,

0p

0p

Budžetski skup Ključna pretpostavka potpune

konkurencije: potrošači nemaju utjecaja na cijene

Dostupnost određene košare dobara ovisi o: Tržišnim cijenama p (vektor!)

Potrošačevom bogatstvu (dohotku) w

1,..., Lp pp

Budžetski skup

Košara dobara (vektor potrošnje) je dostupna ako njen ukupni trošak nije veći od razine potrošačevog bogatstva (dohotka), ili

1 1 ... L Lp x p x w p x

Budžetski skup

Skup svih košara dobara (vektora potrošnje) koje su potrošaču dostupne uz date tržišne cijene p i dohodak w naziva se konkurentski (walrasovski) budžetski skup , :L

wB w p x p x

Potrošačev problem

Problem potrošačevog izbora svodi

se na problem odabira košare dobara x iz

Pretpostavlja se da je w > 0 jer bi inače potrošač mogao odabrati samo

x = 0

,wBp

Budžetsko ograničenje Skup

naziva se budžetska hiperravnina Kada je L = 2, tada je ograničenje

budžetski pravac Ovo ograničenje određuje gornji

rub budžetskog skupa

:L w x p x

Budžetsko ograničenje

U slučaju L = 2, nagib budžetskog pravca definira odnos zamjenjivosti između dva dobra u slučaju promjena njihovih cijena i nepromjenjivosti dohotka

Nagib budžetskog pravca = 1

2

p

p

Budžetsko ograničenje Odnos zamjenjivosti između dobara u

slučaju budžetske hiperravnine izvodi se iz geometrijskog odnosa nje i vektora cijena

Vektor cijena ortogonalan je (okomit) na svaki vektor dobara koji počinje u

i leži u budžetskoj hiperravnini Posljedica ovoga je što je

gornji rub budžetskog skupa.w p x

0x

Budžetsko ograničenje Slika 1: Ortogonalnost

vektora cijena u L = 2

01 1 02 2,x p x p p

x

0 x1

x2

Bp,w

x0

Budžetska hiperravnina T

0: 0L x x x p

0:L x x p x p

:L w x x p

0:LT x x x p

Budžetski skup

• Što je sa x “ispod” T?

Slika 2:

p

x0

0 x1

x2

Bp,w

x~

Budžetski skup-pojašnjenje slike Kut koji zatvaraju vektor cijena p i

0x x 090

0 0 0cos , 0 x x p x x p x x p 0 x x

0p

0cos , 0 x x p

Budžetski skup-pojašnjenje slike

Skup “ispod” T je:

0: 0L x x x p

0:L x x p x p

:L w x x p

Budžetski skup

Kao i skup mogućih potrošnji

budžetski skup

je konveksan

, :LwB w p x p x

LX

Budžetski skup

Konveksnost budžetskog skupa direktna je posljedica konveksnosti skupa moguće potrošnje (dokažite!)

Problem potrošačevog izbora

Glavni objekt istraživanja: Potrošačev izbor optimalne košare dobara

Za to nam je potrebna: Funkcija potražnje

Problem potrošačevog izbora Funkcija potražnje specificira za svaki

budžetski skup koje košare dobara će potrošač izabrati za svaku od cijena i uz dati dohodak

Promjene u ponašanju nastaju uslijed promjena u ograničenjima (dohodak, cijene)


Izbori (x, endogene varijable) tako postaju funkcije ograničenja (p, w; parametri)

Komparativna statika: kako endogene varijable ovise o parametrima?

Problem potrošačevog izbora Pretpostavljamo da u sustavu ima L roba

čije cijene potrošač uzima kao date i na koje ne može utjecati

Potrošačev problem izbora u klasičnom pristupu svodi se na problem maksimizacije KORISNOSTI unutar ograničenja koja definiraju Walrasovski budžetski skup

Dakle, treba nam funkcija korisnosti!

Teorija ponašanja potrošača Funkcija korisnosti u (x) pridružuje broj

svakoj košari dobara tako da bolje košare dobivaju veći broj (brojevi su sasvim proizvoljni)

Da li takva funkcija postoji? Da bismo to ispitali krenut ćemo od

potrošačevih preferencija.

Preferencije potrošača Preferencije daju informacije o

ukusima potrošača i dobro su definirane i stabilne

Shvaćamo ih kao sposobnost pojedinca da po poželjnosti rangira košare dobara

Preferencije potrošača Preferencije prikazujemo kao

binarne relacije “ ≿ “koje su definirane na skupu moguće potrošnje X

Ako je ≿ odnosno ako je

≿ kažemo da je barem jednako tako dobar kao

1 2,x x

1x 2x 1x2x

Preferencije potrošača Od potrošača se, dakle, traži samo da

radi binarne usporedbe to jest da istovremeno uspoređuje i odlučuje između samo dva dobra ili košare dobara

Da bismo mogli izgraditi teoriju, to jest doći do funkcije korisnosti , preferencijama moramo dati određenu strukturu/svojstva

( )u

Preferencije potrošača

Dakle, postavlja se pitanje kakva ograničenja moramo staviti na binarne izbore da bi mogli biti sigurni da funkcija korisnosti postoji, to jest da vrijedi ≿ x y ( ) ( )u x u y

Preferencije potrošača Preferencije se karakteriziraju

aksiomatski (uzima se najmanji broj pretpostavki koje će opisati strukturu i svojstva preferencija)

Osnovno svojstvo: RACIONALNOST (potrošač može i zna birati, izbori su razumni i konzistentni).

Preferencije potrošača (Aksiomi potrošačevog izbora)

Pretpostavka 1: Potpunost (uređenost) Za svaki u X vrijedi ili ≿

ili ≿ Dakle, potrošač MOŽE rangirati SVE

kombinacije košara dobara iz svog skupa mogućih potrošnji

1 2x x 1x 2x2x 1x


Pretpostavka 2: Refleksivnost Za sve , ≿ Dakle, ova pretpostavka zatijeva

samo najslabiju formu logičkog ponašanja

x X x x


Pretpostavka 3: Tranzitivnost Za svaka tri elementa

ako je ≿ i ≿ onda vrijedi i

≿

Dakle, ova pretpostavka zatijeva da potrošačevi izbori budu konzistentni.

1 2 3, ,x x x X1x 2x 2x 3x

1x 3x

Preferencije potrošača Najčešće se za opis racionalnosti

preferencija koriste pretpostavke 1 i 3 (potpunost i tranzitivnost)

Racionalnost znači da se preferencije mogu predstaviti relacijom preferencije ≿

Preferencije potrošača Binarna relacija " ≿ " na skupu X naziva

se relacija (blage) preferencije ako zadovoljava pretpostavke 1-3.

Definirat ćemo i dvije dodatne relacije određene relacijom blage preferencije: Relacija stroge preferencije " " Relacija indiferencije " "

Preferencije potrošača Relacija stroge preferencije

≿ ali ne i ≿

Relacija indiferencije ≿ i ≿

Obje su tranzitivne, ni jedna nije potpuna i samo je relacija indiferencije refleksivna

1 2 1x x x 2x 2x 1x

1 2 1x x x 2x 2x 1x

Preferencije potrošača Posljedica Pretpostavki 1-3:

uspostavlja se uredna hijerarhija od najpoželjnije varijante do najmanje poželjne (usput su moguće neke indiferencije)

Kažemo da je relacija blage preferencije racionalna ako su preferencije potpune i tranzitivne (racionalnost = konzistentnost).


Da bi se na bazi ovakvih preferencija mogla izvesti funkcija korisnosti potrebna je još jedna pretpostavka – ona o neprekidnosti preferencija.

Preferencije potrošača Pretpostavka 4: Neprekidnost

Matematički uvjet da bi preferencije mogle biti predstavljene funkcijom korisnosti

Ova pretpostavka stavlja odredjenu topološku regularnost na preferencije

Preferencije potrošača Relacija preferencije ≿ je neprekidna

ako se čuva limesom. To znači da za svaki niz parova

pri ≿ za sve n,

vrijedi da je x ≿ y.

1

,n n nx y

nx nylim limn n n nx x i y y


To znači da preferencije ne mogu imati skokove ili preokrete u točkama u kojima dosegnu limes.

Preferencije koje nisu neprekidne: leksikografske preferencije


Primjer preferencija koje nisu neprekidne: Uzmimo nizove parova

Za svaki n, ali tada y > x, dakle, dolazi do preokreta u

preferencijama (nisu neprekidne).

1 1(1 ,0); (1 ,1)n nx y

n n

n nx ylim (1,0); lim (1,1)n nx y


Pretpostavka neprekidnosti osigurava postojanje topološki poželjnih blago superiornih (“barem tako dobrih”) i blago inferiornih (“najmanje jednako tako dobrih”) nivo skupova

Preferencije potrošača Ako su date relacija preferencije ≿ i košara

dobara u skupu mogućih potrošnji, tada možemo definirati tri povezana skupa košara dobara: Skup indiferencije Gornji nivo skup Donji nivo skup

Za svaki vektor x, ova tri skupa čine particiju skupa mogućih potrošnji

Preferencije potrošača Skup indiferencije koji sadrži vektor x,

skup je svih košara dobara prema kojima je potrošač indiferentan u odnosu na taj x, ili

U slučaju L = 2, to je krivulja indiferencije.

:Xy y x

Preferencije potrošača Gornji nivo skup za x je skup svih

košara dobara koje su NAJMANJE jednako tako dobre kao x, ili

Napomena: Znak (iz tehničkih razloga) znači ≿ !

:X y y x

Preferencije potrošača Donji nivo skup za x je skup svih

košara dobara koje su NAJVIŠE jednako tako dobre kao x, ili

Napomena: Znak (iz tehničkih razloga) opet znači ≾ !

:X y x y

Preferencije potrošača Pretpostavke koje opisuju ukuse

potrošača reći će nam nešto više o obliku i položaju skupa indiferencije te gornjeg i donjeg nivo skupa

P a u z a

Preferencije potrošača Pretpostavka 5: Monotonost

Pretpostavka poželjnosti (“više je bolje”) Stroga monotonost: potrošač preferira veće

količine SVAKE robe Relacija preferencije ≿ na X je monotona ako

znači da je

Relacija preferencije ≿ je strogo monotona ako

znači da je

X ix y x y x

i y x y x y x

Preferencije potrošača Ako je relacija preferencije ≿ monotona,

može se pojaviti odnos indiferencije u odnosu na porast količine nekog ali ne svih proizvoda.

Stroga monotonost kaže da ako je y veći od x za neke proizvode a nije manji za neke druge, y se strogo preferira u odnosu na x.

Preferencije potrošača Važna je implikacija pretpostavke

monotonosti da ona isključuje mogućnost da, za poželjna dobra, krivulja indiferencije ima pozitivni nagib (zavija unatrag)

Ako se to desi, radi se o nepoželjnom dobru kojeg potrošač želi imati manje (npr. zagađenost, duhanski dim)

Preferencije potrošača Pretpostavka 5’: Lokalna

nezasićenost Blaže svojstvo od monotonosti Pretpostavlja da potrošač nikada ne

dosiže stanje potpune zasićenosti tako da za svaki izbor uvijek postoji alternativni izbor koji potrošač preferira


Relacija preferencije ≿ na X je lokalno nezasićena ako za svaki

i svaki postoji

tako da je

Xx 0 Xy

i y x y x


Slika 3: Lokalna nezasićenost

εy

x

x2

x1

y x

Preferencije potrošača Važna implikacija pretpostavke

lokalne nezasićenosti je da ona isključuje mogućnost postojanja “gustih” skupova indiferencije


Slika 4: (a) ”Gusti” skup indiferencije

x2

x1

x

Preferencije potrošačaSlika 5: (b) Preferencije koje zadovoljavaju pretpostavku lokalne

nezasićenosti

x2

x1

x

:L y y x

:L y y x :L

y x y ≿~

≿

Preferencije potrošača Pretpostavka 6: Konveksnost

Tiče se odnosa koje je potrošač voljan uspostaviti između različitih dobara

Relacija preferencije ≿ na X je konveksna ako je za svaki gornji nivo skup

konveksan, to jest ako je y ≿ x i z ≿ x, tada je ≿

x za svaki

Xx

(1 ) y z 0,1

Preferencije potrošača Konveksnost preferencija je jaka ali

važna pretpostavka u ekonomiji Može se interpretirati kao opadajuća

granična stopa supstitucije Potrošač preferira kombinaciju dobara u

odnosu na specijalizaciju u potrošnji (tendencija ka uravnoteženoj potrošnji)


Relacija preferencije ≿ na X je strogo konveksna ako za svaki x,

y ≿ x, z ≿ x, i

vrijedi

za sve

y z(1 ) y z x

0,1


Slika 6: (a) (strogo) konveksne peferencije

x2

x1

x

z

y

:L y y x

(1 ) y z

≿


Slika 7: (b) preferencije koje nisu konveksne

x2

x1

x

y

z

(1 ) y z

:L y y x ≿


Dakle, pretpostavke potpunosti, refleksivnosti i tranzitivnosti osiguravaju da su preferencije racionalne; zajedno sa njima pretpostavka neprekidnosti neophodna je za kostrukciju funkcije korisnosti.

Pretpostavke o nezasićenosti (monotonosti) i težnje ka uravnoteženoj potrošnji (konveksnost) kazuju više o ukusima potrošača


U ekonometrijskim aplikacijama često su zanimljive situacije u kojima je na bazi jednog skupa indiferencije moguće izvesti cijelu relaciju preferencije Homotetične preferencije Kvazilinearne preferencije


Monotona relacija preferencije ≿ na

je homotetična ako krivulje indiferencije ekspandiraju proporcionalno po zrakama iz ishodišta

To znači da ako je tada je i

za svaki

LX

x yx y 0.


Slika 8: Homotetične preferencije

x1

x2

x

2x

2y

y


Relacija preferencije ≿ je kvazilinearna u odnosu na dobro 1 ako su krivulje indiferencije paralelne (dobro 1 je poželjno)


Slika 9: Kvazilinearne preferencije

x1

x2

Funkcija korisnosti

Objedinjuje iste informacije o potrošačevim preferencijama kao i relacija preferencije ≿

Ponekad je lakše raditi sa ≿ i sa pripadajućim skupovima

Ponekad je prikladnija funkcija korisnosti (naročito kada se želi koristiti diferencijalni račun)

Funkcija korisnosti

U suvremenoj teoriji smatra se da je ≿ fundamentalniji način karakterizacije potrošačevih preferencija

U osnovi izvođenja funkcije korisnosti pretpostavlja se da potrošač košari dobara koju preferira u odnosu na neku drugu košaru dodjeljuje veći broj

Funkcija korisnosti

Dakle, preferencije se mogu predstaviti pomoću relacije preferencije, kategorijom iz teorije skupova i

Pomoću numeričke reprezentacije (neprekidne funkcije korisnosti)

Funkcija korisnosti

Definicija: Realna funkcija se naziva funkcijom korisnosti koja

predstavlja relaciju preferencije ≿ ako za sve

≿ Ova funkcija postoji i neprekidna je

ako su zadovoljene pretpostavke 1-3 i ≿ je neprekidna.

:u

, , ( ) ( )L u u x y x y x y

Funkcija korisnosti

Ove pretpostavke svode se na zahtjev da je potrošač u stanju uspoređivati dvije košare dobara i da je u tome konzistentan te da skupovi rješenja posjeduju određenu topološku strukturu

Napomena: reprezentabilnost (preferencija) ne ovisi o potrošačevim ukusima, konveksnosti pa čak ni o monotonosti

Funkcija korisnosti

Teorem o egzistenciji funkcije korisnosti tvrdi da u slučaju kada su zadovoljene navedene pretpostavke, postoji barem jedna funkcija korisnosti koja predstavlja potrošačeve preferencije (dokaz u knjizi)

Drugim riječima, svaka binarna relacija koja je potpuna, refleksivna, tranzitivna i neprekidna da se predstaviti funkcijom koju zovemo funkcija korisnosti

Funkcija korisnosti

Funkcija korisnosti mjeri razinu zadovoljstva povezanu sa određenom košarom dobara (sasvim proizvoljni brojevi)

Ipak, ovi brojevi nisu važni Važni su: nivo skupovi (skupovi

indiferencije), njihov oblik i položaj a ne brojevi koji su im pridruženi!

Funkcija korisnosti

Svojstvo funkcije korisnosti koje je određeno oblikom i položajem njenih nivo skupova = ORDINALNO svojstvo

Svojstvo funkcije korisnosti koje ovisi o broju kojeg ona dodjeljuje određenim nivo skupovima = KARDINALNO svojstvo

Funkcija korisnosti

Kada radimo sa funkcijama korisnosti, zanimaju nas nivo skupovi

Dvije funkcije su ekvivalentne ako imaju iste nivo skupove bez obzira na različite brojeve koje im dodjeljuju

Funkcija korisnosti

Na primjer,

Neka je funkcija u(x,y) funkcija korisnosti u Neka je v(x,y) = u(x,y) + 1 Ove dvije funkcije imaju iste nivo

skupove (krivulje indiferencije) samo im u pridružuje vrijednost za 1 manju nego v

Obje funkcije predstavljaju iste preferencije, dakle, ekvivalentne su

2

Funkcija korisnosti

Istu bi situaciju imali kada bi na funkciju korisnosti djelovali sa nekom drugom funkcijom, npr. 3z + 2, ili

3xy + 2, bile bi vrijednosti pozitivno transformirane funkcije korisnosti u(x,y)

Numeričke vrijednosti ovih funkcija su različite ali one pridružuju košarama brojeve na isti način kao i u.

2z2( )xy

Funkcija korisnosti

Što je monotona transformacija? Neka je ≿ relacija preferencije na X i

neka je u(x) funkcija korisnosti koja ju predstavlja.

Funkcija v(x) će isto predstavljati ovu relaciju preferencije ako i samo ako

v(x) = f(u(x)) za svaki x pri čemu je funkcija f strogo rastuća na skupu

vrijednosti koje poprima u.

Funkcija korisnosti

Bitno je napomenuti da monotona transformacije treba biti pozitivna, to jest da je funkcija korisnosti jedinstvena ili invarijantna do na pozitivnu monotonu transformaciju

Ovakve transformacije čuvaju isto rangiranje preferencija iako daju različite numeričke vrijednosti

Funkcija korisnosti

Dakle, ordinalna su ona svojstva funkcije koja ima i njena pozitivna monotona transformacija

Kardinalna svojstva se ne čuvaju pri monotonim transformacijama

Ova razlika bitna je kod funkcija korisnosti

Kod proizvodnih funkcija važna je i apsolutna razina proizvodnje

Funkcija korisnosti

Svojstva preferencija prenose se na svojstva funkcije korisnosti

Monotonost preferencija znači da je funkcija korisnosti rastuća

Konveksnost preferencija znači da je funkcija korisnosti kvazikonkavna

Funkcija korisnosti

Svojstva da je funkcija korisnosti rastuća i kvazikonkavna su ordinalna svojstva koja se ne mijenjaju pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija

Oblik funkcije korisnosti (da li je ona konkavna ili konveksna) je kardinalno svojstvo funkcije korisnosti koje se ne čuva pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija

Funkcija korisnosti

Zaključak: Funkcija korisnosti sadrži iste informacije o potrošačevim preferencijama kao i relacija preferencije ≿

Ona je praktičan način da se prikažu potrošačeve preferencije

Funkcija korisnosti

Ako se ukusi potrošača opisuju direktno putem preferencija primjerena analitička metoda: teorija skupova

Ako putem funkcije korisnosti: diferencijalni račun

Funkcija korisnosti

Funkcija korisnosti nam je potrebna jer se njenom maksimizacijom izvodi funkcija potražnje

Documents

Od preferencija do funkcije korisnosti