[МАТЕМАТИЧКА АНАЛИЗА] др.Драголјуб В.

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ

ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ

Београд

2014.

1

САДРЖАЈ

I. Увод .............................................................................................2

Историјат ...........................................................................2

Појам функције .................................................................3

Прираштај функције. Средња и тренутна брзина.

Проблем тангенте ..............................................................5

II. Извод функције .........................................................................8

Појам извода ......................................................................8

Извод неких елементарних функције.

Правила диференцирања ................................................10

III. Основне теореме о изводу .....................................................13

IV. Извод сложене функције .......................................................19

V. Изводи вишег реда .................................................................20

VI. Примене извода првог и другог реда

у испитивању тока функције .................................................21

Литература .....................................................................................22

2

I УВОД

Историјат

Појам извода настао је из проблема тангенте криве линије и проблема брзине

кретања. Проблем тангенте криве линије довео је Лајбница (1646-1716), а проблем

брзине кретања довео је и Њутна (1642-1727) истовремено до појма извода.

Многи математичари пре Лајбница су покушавали да реше проблем тангенте.

Декарт (Descartes 1596 – 1650) је један од њих. Он је засновао методу

координата, омогућивши тиме да се криве линије изражавају једначинама, односно да

се функција дефинисана једначином схвати као крива у равни xOy. Међутим, основни

проблем на који су претходници Лајбница наилазили када су покушали да реше

проблем тангенте, лежао је у природи рачуна са бескрајно малим величинама.

Схвативши значај и смисао Декартове променљиве, односно методе координата,

а при том овладавши у основи природног рачуна са бесконачно малим величинама,

Лајбницу је пошло за руком да реши проблем тангенте уводећи појам извода (Nova

Methodus pro maximus itenigue tangetibus et singulare pro illis calculi genus 1684).

Истовремено када и Ланбниц, Њутн је дошао до појма извода студирајући

проблем брзине кретања. У својој расправи Metod fluxia и бескрајних редова, Њутн се

најпре бави решавањем проблема проналажења брзине кретања у датом тренутку

времена када је пређени пут познат као функција времена. Величину која за њега

непрекидно зависи од времена Њутн назива fluentom (fluere = тећи), а брзину којом се

мења fluenta у току времена fluxia (fluxio = струјање, течење). Као типичан пример

Њутн узима покретне тачке. Дакле, Њутн је дошао то појма флуксије, односно извода,

студирајући проблем кретања, што је одговарало развоју механике током XVII и XVIII

века.

3

Појам функције

Функција је правило придруживања једног елемента из скупа X (домен

функције) другом скупу Y (кодомен функције). Функције записујемо тако што

користимо ознаке као што је f : X → Y или y = f(x), а природу скупова који учествују

описујемо фразама каква је на пример: функција реалне променљиве. Опсег, распон

или подручје дефиниције функције f је скуп вредности f(x), за x из домена f.

Дефиниције функције :

Функција је један од основних појмова математике. Дефиниција функције као

променљиве величине је несавршена јер се при томе користи нестроги појам

променљиве величине и зато се обично користи савременији приступ овом проблему,

преко теорије скупова.

Аналитичка дефиниција :

Ако две променљиве количине стоје у таквој вези да се мењањем вредности

једне количине мења вредност и друге, онда је друга функција прве.

Основна карактеристика функције је да се за једну улазну вредност добија највише

једна излазна вредност.

Функција може имати више променљивих.

Дефиниције из теорије скупова :

Нека су А и B непразни скупови. Тада се бинарна релација1 f A B зове

функција или пресликавање из А у B, ако важи ( )( ) ( ).

Друга, еквивалентна дефиниција: бинарна релација f из А у B је функција ако је

(( ) ( ) ) ( )).

Ова дефиниција поставља исти критеријум: ако су оригинали једнаки (x = x) тада су и

копије једнаке (y = z). Не може исти оригинал произвести различите копије!

Дефиниција :

1 Релација је непразан подскуп Декартовог призвода скупова. Функција је једна врста релације.

4

Функција f : A → B зове се сурјекција, или „на“ – пресликавање, ако је

кодомен функције ( ) . Помоћу квантора ту исту дефиницију пишемо:

( )( ) ( ).

Дефиниција :

Функција зове се инјенкција, или „1-1“ – пресликавање, ако важи

( 1 2 ) ( ( 1) ( 2)) ( 1 2 ).

То је дефиниција по форми обрнута оној другој дефиницији функције: иста копија не

може бити резултат копирања различитих оригинала.

Дефиниција :

Функција која је сурјекција и инјекција зове се бијекција. Бијекцију називамо и

обострано једнозначно пресликавање.

5

Прираштај функције. Средња и тренутна брзина.

Проблем тангенте.

1. Најпре посматрајмо тело (тачку) која се праволинијски креће. Нека је s = s(t)

функција која даје зависност пређеног пута од времена. Под прираштајем пута у

временском интервалу [t0, t1], у ознаци , подразумева се разлика s(t1) – s(t0)

(односно пређени пут у том временском интервалу).

∆s=s(t1) - s(t0)

Ако ставимо t1 – t0 = , добићемо t1 = t0 + , па је :

∆s=s(t0 + t) - s(t0)

2. Средња брзина кретања тела у временском интервалу [t0, t1] једнака је односу

пређеног пута , који одговара том временском интервалу и протеклог времена

t1 – t0 = , тј.

( ) ( )

Али вредност средње брзине кретања тела у интервалу [t0, t0 + t] не даје довољно

информација о карактеру кретања у том интервалу. Зато је од већег значаја

посматрати вредност средње брзине за мале промене времена . Ако , тада

можемо посматрати граничну вредност :

( ) ( )

Ако она постоји називамо је тренутна брзина тела у моменту t0 :

( )

Аналогно можемо посматрати и средњу брзину промене фнкције y = f(x) на

интервалу [x0, x0 + x] ( x може бити и негативна величина) као количник

прираштаја функције ( у тачки x0 ) y = f(x0 + x) – f(x0) и одговарајућег прираштаја

x независне променљиве:

6

( ) ( )

Слика 1.

3. Количнику можемо дати геометријско значење (Слика 1.):

Да бисмо дошли до дефиниције тангенте ма које криве у њеној тачки P (под

предпоставком да тангента у тој тачки постоји) поступићемо на следећи начин. Уочимо

на датој кривој (L) тачку P и близу ње тачку P1 и повуцимо кроз те две тачке сечицу2.

Ако пустимо да се тачка P1 креће правом (L) ка тачки P приближавајући се стално овој

тачки, сечица ће мењати свој положај и кад тачка P1 тежи тачки P, сечица тежи једном

граничном положају.

Дефиниција: Тангентом криве (L) у датој тачки P назива се гранични положај

сечице PP1 кад тачка P1 ове криве било с лева или с десна тежи, по кривој, тачки P.

Нека је крива (L) у равни координатног система xOy график непрекидне функције

y=f(x). Успон сечице која пролази кроз тачке P(x, y) и P1(x+ x, y+ y) криве је:

( ) ( )

2 Сечица криве је свака права која са кривом има бар две заједничке тачке.

7

где је угао сечице према оси Оx.

Ако пустимо да тачка P1 крећући се кривом (L) тежи тачки P, тада x→0 (јер је

по предпоставци функција f(x) непрекидна). При том сечица тежи граничном положају

(ако такав положај постоји) - тангента Т криве у тачки P, а нагибни угао сечице према

Оx тежи нагибном углу тангенте, тј.

( ) ( )

Дакле угаони коефицијент tg тангенте Т криве y=f(x) у тачки P(x,y) једнак је

граничној вредности количника

прираштаја функције y и прираштаја аргумента x

кад прираштај x тежи 0.

Пример : Одредити једначину тангенте криве y=x2

кроз тачку М0(2,4) на кривој.

Решење:

Једначина тангенте криве кроз тачку М0(2,4) има облик ( ), где је k=tg α

коефицијент правца који се израчунава по формули

( ) ( )

Зато је

α

( )

( )

па је једначина тангенте ( ) или . (Слика 2.)

8

Слика 2.

II Извод функције

Појам извода

Ако је

( ) ( )

коефицијент правца тангенте криве L у тачки М(x,y) , тај коефицијент правца тангенте

је први извод функције f(x) и обележава се са

или y’ или f’(x) итд.

Значи

( )

( ) ( )

Слика 3.

9

Дефиниција:

Извод функције је гранична вредност количника прираштаја функције и

прираштаја независно променљиве, кад прираштај независно променљиве тежи

нули.

Када се одређује први извод дате функције треба:

1. Одредити прираштај функције y,

2. Добијени прираштај y поделити са прираштајем независно променљиве x,

3. Израчунати граничну вредност количника

када x→0.

Пример: Наћи први извод функције y=x2.

Како је y=x2 то је и y+ y=(x+ x)

2, a y=(x+ x)

2 - x

2 или y=x

2+2x x+ x

2 – x

2

односно y=2x x+ x2.

После дељења са x добијамо

, па зато

( )

значи да је: y’=(x2)’=2x.

10

Извод неких елементарних функција.

Правила диференцирања.

ФУНКЦИЈА ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ

y=C=const. y’=0

y=x a (a R , a 0, x>0) y’=ax

a-1

y=√ (x>0) y’=

√

y=

(x>0) y’= -

y=ex y’= e

x

y= (0<a 1, x>0) y’=

y= ax (0<a≠1) y’=a

x

y= (x>0) y’=

y= y’=

y= y’= -

y= tg x (x≠π+kπ, k Z) y’=

y=ctg x (x≠kπ, k Z) y’= -

y= arcsin x (-1<x<1) y’=

√

y= arccos x (-1<x<1) y’= -

√

y= arctg x y’=

y= arcctg x y’= -

11

1. Извод константе

Теорема: Извод константе је нула

Доказ: Нека је y = C за свако x. Тада је y+ y = C, тако да је y = 0 и

= 0, па према

томе, заиста је

тј. C’= 0

Напомена: Ако је само у једној тачки неког интервала извод функције једнак 0, онда та

функција није константна.

2. Извод степена

Теорема: Ако је y = xn где је n било који природан број, тада је y’= (x

n)’= nx

n-1

Доказ: Образујмо најпре прираштај ∆y=(x+∆x)n-x

n и пошто израз (x+∆x)

n развијамо по

биномној формули: ( ) ( ) (

) , напишимо

прираштај y у облику :

( )

( )( )

па је :

( )

( )( )

тако да заиста, кад x→0 имамо извод:

3. Извод функције y= sin x и y= cos x

Теорема 1: Ако је y= sin x тада је y’=(sin x)’= cos x

Доказ: Прираштај y функције y= sin x је (

) (

), те је количник

прираштаја

(

)

(

)

,

тако да је

(

)

(

)

12

па је (sin x)’= cos x.

Теорема 2: Ако је y= cos x тада је y’=(cos x)’= - sin x

Доказ: Прираштај функције је ( ) (

) (

), а

количник прираштаја је:

(

)

( )

те је

[ (

)]

[ (

)

]

дакле заиста је (cos x)’ = -sin x.

13

III Основне теореме о изводу

1. Извод алгебарског збира функција

Теорема: Извод алгебарског збира двеју функција или уопште коначно много

диференцијабилних функција једнак је алгебарском збиру извода ових функција.

То значи да, ако је на пример y=u+v-w где су y= y, v= v и w= w диференцијабилне

функције од x, тада је y’=u’+v’-w’ .

Доказ:

Када x добије прираштај x, тада u, v и w добијају респективно прираштаје u, v и w

који теже 0 кад x→0.

Прираштај ( ) ( ) ( ) ( ) тј.

, те је према томе

, а

па је заиста (u+v-w)’=u’+v’-w’

Пример 1.

Извод функције y=x2-3x+4 је

y’=(x2)'-3(x)'+4'=2x-3

Пример 2.

Извод функције y= 3x4-5x

3+6x

2-9x+8 је

y’=3(x4)'-5(x

3)'+6(x

2)'-9x'+8'=34x

3-53x

2+62x-9=12x

3-15x

2+12x-9

Пример 3.

Извод функције y=√

√

је

(√

√

) (

)

(

)

√

14

2. Извод производа двеју функција

Теорема: Ако је дат производ двеју диференцијабилних функција y=u v [u=u(x),

v=v(x)], тада је извод овог производа y’= (u v)’= u’ ∙ v + v’ ∙ u

Доказ:

Образујмо најпре прираштај y имајући у виду да прираштаји u и v који функције u и v добијају редом кад x добија прираштај x, теже 0 кад x→0.

∆y=(u+∆u)(v+∆v) - uv=v∆u + u∆v +∆u∆v, па затим количник

x

vu

x

vu

x

uv

x

y

, кад x→0 биће

при чему u и v (тј. u(x) и v(x)) не зависе од x те је

Док је

Тако да је заиста (u ∙ v)’= u’ ∙ v + v’ ∙ u

Пример :

Извод функције y = (3x-7) ∙ x2 је

y’=((3x-7) ∙ x2)'=(3x-7)' ∙ x

2+(3x-7) ∙ (x

2)' =3x

2+(3x-7)2x=3x

2+6x

2-14x=9x

2-14x

15

3. Извод количника

Теорема: Ако је дат количник двеју диференцијабилних функција y=

(u=u(x),

v=v(x), v(x)≠0) тада је извод овог количника (

)

Доказ:

Нека су u, v и у прираштаји који добијају функције u(x), v(x) и y(x) када x добија прираштај x и који теже 0 када x→0. Прираштај дате функције je

( ) , тако да је

( )

( )

па је заиста (

)

Пример:

Извод функције y=1

22 x

x је y’=

22

2

22

2

)1(

12

)1(

2)1(12

x

x

x

xxx

Напомена: Ако је ( )

где је c константа, тада пишемо да је

( ) у облику

призвода константе

и функције u(x) – те имамо (

)

4. Извод логаритамске функције

Теорема: Ако је y= , где је x > 0, а ≠ 1 (и то 0 < a < 1 или а > 1) тада је

( )

.

Ако је пак y= , где је x > 0, тада је ( )

.

Доказ:

Образујмо прираштај фукције y = , а

( )

(

), a затим

(

)

(

)

Ако ставимо да је

видимо да кад те је

(

)

( )

16

и због тога је

Како је

можемо писати ( )

Ако је посебно a=e тј. ако имамо функцију y= ln x тада је због ln e= 1, (ln x)’=

5. Извод инверзне функције

Следећа теорема даје могућност да се налазе изводи функција које су инверзне

неким функцијама чији су нам изводи познати.

Теорема: Ако постоји извод функције y = f(x) у тачки x0 и при том је f ’(x0) ≠ 0, тада

постоји и извод инверзне функције x = f -1(y) у тачки y0 = f(x0) и једнак је

( ) .

Доказ:

Имајући у виду ознаке , и дефиницију извода функције, као и

(због непрекидности инверзне функције у тачки ( )), можемо писати

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

тј. ( ) ( )

( ) .

Напоменимо да се у доказу претпоставља да је . То следи из чињенице да је

( ) .

Наиме, ако је рецимо

( )

постоји околина тачке x0 таква да је

, што повлачи да је у тој околини.

Аналоган је случај ( ) .

Релација ( ) ( )

( ) има и једноставно геометријско тумачење. Наиме, у околини

тачке x0 графици функција y=f(x) и x=f -1(y) се поклапају.

Нека тангента (заједничка) за такве графике у тачки M (x0,y0) гради са x и y-осом редом

углове α и β. Тада је tgα = f’ (x0) и tgβ = (f -1)’ (y0).

Како је α+β =

(Слика 4.), то је

17

tgβ = ctgα =

α

тј. ( ) ( )

( ) .

Слика 4.

Пример: Функција је инверзна функцији x=ay (где је < а ≠ 0). Зато, применом

формуле ( ) ( )

( ) пишући при томе x и y уместо x0 и y0 имамо ( )

( )

.

Дакле,

( )

( ).

Специјално, за a = e добијамо

( )

18

6. Извод експоненцијалне функције

Експоненцијална функција y= ax (a>0 ≠ 1) инверзна је функцији x = , где је сада y

аргумент (и обрнуто функција x = инверзна функцији y= ax ). Добија се

=

,

=

,

где је y = ax , те је (а

x)’= a

xlna. Посебно ако је а=е, имамо (е

x)’ = е

x.

7. Изводи функција инверзних тригонометријских функција

а) Нека је дата функција y = arcsin x, инверзна функцији x = sin y (где је y аргумент) за

( π

π

). Извод функције биће

= (arcsin)’ =

( )

√ одакле после смене sin y = x добијамо

( )

√

б) Ако је y = arccosx (са инверзном функцијом x = cosx за ( π)) тада је

= (arccosx)

’ =

√ одакле после смене cos y= x добијамо

( )

√

в) Ако је y = arctg x (са инверзном функцијом x = tg y за (

) тада је

= (arctgx)

’ =

( )

па после смене tg y = x добијамо

( )

г) Ако је y = arcctg x (са инверзном функцијом x= ctg y за ( )),

= (arcctgx)

’ =

( )

па после замене ctgy = x добијамо

( )

19

IV Извод сложене функције

Теорема: Ако функција u има извод у (фиксираној) тачки x, а функција y=f(u) има

извод у тачки u=u(x), тада и функција y=(u(x)) има извод у тачки x и при том важи

формула

( ) ( )

Доказ:

Важно је напоменути да доказ ове теореме није строг. Означимо са u прираштај који одговара прираштају x у тачки x, тј. ( ) ( ), а са y прираштај функције ( ( )) који одговара прираштају x. Ако постоји околина тачке x у којој је u≠0, тада имамо:

( ( )) ( ( ))

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

јер u→0, када x→0, што следи из непрекидности функције u у тачки x. Ако је u=0

на бесконачно много места произвољно близу тачки x, тада је

( ( )) ( ( )) ( ) ( ) на бесконачно много места

произвољно близу тачке x, тј. и однос

би био једнак нули на бесконачно много места

произвољно близу тачки x, па је ( )

.

Формула ( ) ( ), често се пише у облику

.

У случају сложених функција, на пример ( ( ( ))), имамо сличну формулу:

.

Пример:

a) У случају функције y= , стављајући u= sin x, добија се да је

( ) ( )

.

б) Слично за функцију y=ln(3x2 – 1), стављајући u = 3x

2 – 1, имамо

( ) ( )

( )

.

20

V Изводи вишег реда

1. Други извод

Нека функција f има извод ( ) за свако ( ). Извод је сада функција од x, па можемо тражити извод функције .

Дефиниција:

Извод од извода функције називамо ДРУГИМ ИЗВОДОМ функције и означавамо

га са . По дефиницији је

( ) ( ) .

Пример:

Наћи други извод функције f(x) = x2.

f’ (x)= 2x, f” (x) = (2x)’ = 2

У физичком смислу други извод представља брзину примене тренутне брзине

праволинијског кретања. Другим речима, убрзање код праволинијског кретања, са

законом пута s = s(t), једнако је другом изводу пута по времену тј.

a = (s’(t))’ = s”(t) .

2. Изводи вишег реда

По аналогији са другим изводом, можемо дефинисати и извод трећег, четвртог, ....,

n-тог реда.

Дефиниција:

N-тим изводом функције f називамо извод извода (n – 1) – тог реда функције f.

Извод n-тог реда обележавамо са y(n)

или f(n)

(x). По дефиницији је y(n)

=(y(n-1)

)’ или

f(n)

(x) = (f(n-1)

(x))’ .

Пример:

За функцију y=xn, n N, имамо y’ = nxn-1

,

yn

= n(n-1)xn-2,…., y

(n-w) = n(n-1)…(n-w+1)x

n-w за w n. Тачност последње формуле

можемо проверити методом математичке индукције.

(xn)(n)

= n!, док је (xn)(w)

= 0 за w > n

21

VI Примене извода првог и другог реда у испитивању тока

функције

Изводи су користан алат за испитивање графика функција. Све тачке унутар домена

реалних функција које представљају локалне екстремуме имају за први извод нулу.

Међутим, нису све критичне тачке локални екстремуми.

На пример f (x) = x3 има критичну тачку у x = 0, али нема ни локални максимум, ни

локални минимум у овој тачки.

Други извод функције се може користити за испитивање конвексности функције.

Превојне тачке (тачке у којима функција прелази из конвексног у конкавни облик)

имају за други извод нулу.

22

Литература

1. Математика за 4. разред средње школе (Милутин Обрадовић, Душан Глигоријевић) 2. alas.matf.bg.ac.rs/~zlucic/view_doc.php?id=16 3. http://sr.wikipedia.org/sr/Извод

4. http://sr.wikipedia.org/sr/Функција_(математика) 5. Проф. Анђелковиц, Математика 1, Пољопривредни факултет Земун 2013

6. Др. Драгољуб В. Додатак за Математичку анализу

http://www.slideshare.net/drago011/matematicka-analiza