FAKULTET ELEKTROTEHNIKE STROJARSTVA I BRODOGRADNJE SPLIT

ZAVRŠNI RAD

ODREĐIVANJE YOUNGOVA MODULA ELASTIČNOSTI INVERZNOM ANALIZOM NA

TEMELJU VALNE JEDNADŽBE

Tonči Andrijić

Split, svibanj 2010.

1

o Uvodo Primjeri pojava koje se mogu opisati valnom jednadžbomo Analogija kod valnih jednadžbio Rješenja valnih jednadžbio Tumačenje rješenja valnih jednadžbio Analogija kod rješenja valnih jednadžbio Uvod u praktični dioo Opis mjerenjao Izračun modula elastičnostio Zaključak

2

Jedan od osnovnih i običajnih fenomena koji nastaju u prirodi je gibanje valova.

Postoji mnogo pojava u prirodi u kojima se pojavljuje gibanje valova.

Gibanja valova koja se pojavljuju mogu se opisati diferencijalnom jednadžbom koja se zove valna jednadžba. Osnovni oblik valne jednadžbe je:

gdje je:c – konstanta brzine valat – vrijemex, y, z – kartezijeve koordinateu – fizikalna veličina objekta pod razmatranjem

3

Pojave:1.Poprečne vibracije rastegnute žice2.Plimni valovi u kanalu3.Uzdužne vibracije štapa4.Oscilacije obješenog lanca5.Vibracije pravokutne membrane6.Vibracije kružne membrane7.Širenje vala kroz telegrafsku žicu8.Valovi zvuka u plinu9.…

4

1. Poprečne vibracije rastegnute žice

Početna jednadžba:

gdje je:Fy- sila u y smjeruT- napetost žicef(x,t)- nehomogeni dio

Izvedena valna jednadžba:

gdje je:

c- konstanta brzine valaT- napetost žicem- masa žice

5

2. Plimni valovi u kanalu

Početna jednadžba:

gdje je:Fx- sila na promatranu trakug- ubrzanje gravitacijeh- visina tekućineρ- gustoća tekućine f(x,t)- nehomogeni dio

gdje je:c- konstanta brzine valah- visina tekućineg- ubrzanje gravitacije

Izvedena valna jednadžba:

6

3. Uzdužne vibracije štapa

Početna jednadžba:

gdje je:N- uzdužna silan- sila u djeliću štapaA- površina pop. presjekaρ- gustoća tekućine f(x,t)- nehomogeni dio

Izvedena valna jednadžba:

gdje je:c- konstanta brzine valaE- modul elastičnostiρ- gustoća štapa

7

PRIRODNA

POJAVA

VALNA

JEDNADŽBA

VRIJEDNOST

KONSTANTEVELIČINE

Poprečne vibracije

rastegnute žice

T - napetost žice

m - masa žice

Plimni valovi u kanalug - gravitacija

h - visina vode

Uzdužne vibracija štapaE - modul elastičnosti

ρ - gustoća

8

Oblici rješenja valnih jednadžbi:1.Slobodne vibracije (homogena jednadžba)2.Vibracije uslijed početnih uvjeta3.Prisilne vibracije4.Vibracije uslijed promjenjivih rubnih uvjeta5.…

9

1. Slobodne vibracije (homogena jednadžba)

Pretpostavljeni oblik rješenja:

1) Slobodni štap:

Rubni uvjeti: Rješenje:

2) Štap učvršćen na oba kraja:Rješenje:Rubni uvjeti:

10

2. Vibracije uslijed početnih uvjeta

Kod ovog načina rješavanja rješenje se dobiva pomoću simboličke metode.Dobiveno rješenje je sljedećeg oblika:

Dokaz:

11

3. Prisilne vibracije

Oblik sile koja djeluje: Oblik sile za ovo rješenje:

Pretpostavljeni oblik rješenja:

Rješenje valne jednadžbe za pretpostavljanu silu i i=1:

12

4. Vibracije uslijed promjenjivih rubnih uvjeta

1) Štap je na jednom kraju učvršćen, a na drugom na njega djeluje sila

Pretpostavlja se da je štap učvršćen na kraju x=0, a da na drugom kraju djeluje sila X(l,t)=P(t). Određuju se aperiodičke oscilacije štapa pretpostavljajući homogene početne uvjete [u(x,0)=ủ(x,0)=0].

Rješenje:

2) Štap je slobodan na oba kraja, a na jednom kraju na njega djeluje sila

Pretpostavlja se da je štap slobodan, a da na jednom kraju djeluje sila X(l,t)=P(t). Određuju se aperiodičke oscilacije štapa pretpostavljajući homogene početne uvjete [u(x,0)=ủ(x,0)=0].

13

Prethodno prikazana rješenja daju matematičke odgovore, a za dublje praktično razumijevanje potrebno je dati fizikalno objašnjenje.

Prikazati će se tumačenje rješenja za sljedeće tri prirodne pojave:

1.Titranje napete žice2.Plimni valovi u kanalu3.Uzdužne vibracije štapa

14

1. Titranje napete žice (1)

Rješenje ovog problema da bi ono bilo što jasnije se može napisati na sljedeći način:

Gdje je:fn – vlastita frekvencija titranjaL – duljina žiceT – napetost žicem – masa žice

15

1. Titranje napete žice (2)

Svakoj vlastitoj frekvenciji titranja odgovara i posebni oblik (forma) titranja. Na formama titranja uočavamo čestice koje se gibaju i čestice koje miruju. Čestice koje miruju nazivamo čvorovima, a čestice koje se gibaju oblikuju „trbuhe“. Vlastite frekvencije i pripadne forme titranja imenujemo prema rednom broju n iz izraza za vlastitu frekvencijufn, pa se govori o prvoj, drugoj frekvenciji odnosno formi itd. Promatrajući forme na donjoj animaciji uočava se da svaka sljedeća forma ima po jedan čvor više.

16

2. Plimni valovi u kanalu

Rješenje ovog problema da bi ono bilo što jasnije se može napisati na sljedeći način:

Gdje je:fn – vlastita frekvencija titranjaL – duljina na koju djeluje plimni valh – visina (dubina) tekućineg – gravitacija

17

3. Uzdužne vibracije štapa

Rješenje ovog problema da bi ono bilo što jasnije se može napisati na sljedeći način:

Gdje je:fn – vlastita frekvencija titranjaE – modul elastičnostiρ – gustoćaL – duljina štapa

18

PRIRODNA

POJAVA

RJEŠENJE VALNE

JEDNADŽBE

VRIJEDNOST

KONSTANTEVELIČINE

Poprečne vibracije

rastegnute žice

T - napetost žice

m - masa žice

Plimni valovi u kanalug - gravitacija

h - visina vode

Uzdužne vibracija

štapa

E - modul elastičnosti

ρ - gustoća

19

U praktičnom dijelu završnog rada mjerene su uzdužne vibracije slobodnog štapa, da bi se dobila vrijednost Youngova modula elastičnosti.

Valna jednadžba koja opisuje uzdužne vibracije štapa:

Odakle je:

Dakle formula za izračun modula elastičnosti je:

Gdje je c zamijenjeno sa v jer c označava brzinu svjetlosti, a brzina uzdužnog vala u štapu je različita od brzine svjetlosti.

20

21

Princip rada Laser Doppler vibrometer-a (LDV-a)

Pokret objekta dodaje Dopplerov pomak koji je zadan formulom:

Gdje je:v(t) – brzina objekta zadana kao funkcija vremenaα – kut između laserske zrake i vektora brzineλ – valna duljina svjetlosti

22

Mjerenje modula elastičnosti se sastoji od 3 djela:

1.Mjerenje gustoće štapa2.Mjerenje konstante brzine vala3.Izračun modula elastičnosti

U ovom mjerenju uzeti će se u obzir moguća odstupanja i greške kod mjerenja pojedinih fizikalnih veličina, tako da će se dati najmanja i najveća moguća izračunata vrijednost. Tako će se dobiti moguća odstupanja od rješenja.

23

1. Mjerenje gustoće štapa (1)

Formula za gustoću:

Gdje je:m – masa štapaV – volumen štapa

Mjerenje mase štapa:

Volumen štapa se izračunava pomoću formule:

Gdje je:d – promjer štapaL – duljina štapa

24

1. Mjerenje gustoće štapa (2)

Mjerenje duljine štapa:

Mjerenje promjera štapa:

Izračun volumena štapa:

25

1. Mjerenje gustoće štapa (3)

Izračun gustoće štapa štapa:

26

2. Mjerenje konstante brzine vala (1)

Konstanta brzine vala se izračunava pomoću formule:

Gdje je:s – put kojega val prijeđet - vrijeme

Izračun puta kojega val prijeđe:

Izračun vremena koje treba valu da prijeđe zadani put:

27

2. Mjerenje konstante brzine vala (2)

Izračun konstante brzine vala:

28

3. Izračun modula elastičnosti

Modul elastičnosti dobiva se pomoću izraza:

Tablični iznos modula elastičnosti iznosi 210 GPa.Uočava se razlika od 1,618 GPa.

Točnost ovog postupka mjerenja iznosi ±0,8045 GPa.

29

• Mnoge prirodne pojave se mogu opisati valnom jednadžbom oblika:

gdje c za svaku prirodnu pojavu ima drugu vrijednost

• Svako rješenje valne jednadžbe za bilo koju prirodnu pojavu ima sličnu formu sljedećeg oblika:

gdje c za svaku prirodnu pojavu ima drugu vrijednost

30

Ovdje je mjerena brzina vala kod uzdužnih vibracija štapa, koja je primjerena za izračun modula elastičnosti. Prilikom mjerenja došlo se do sljedećih zaključaka:

•Točnost mjerenog postupka iznosi ±0,8045 Gpa

• Izračunata vrijednost modula elastičnosti se od tablične vrijednosti razlikuje za 1,618 GPa Razlozi mogu biti:

1. Drugačiji sastav materijala šipke za koju mjerimo modul elastičnosti u odnosu na materijal šipke za koju je mjerena tablična vrijednost modula elastičnosti

2. Drugačiji proizvođač šipke

•Pomoću ove mjerne metode može se provesti ispitivanje materijala bez razaranja

31