PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET U SPLITU

DIPLOMSKI RAD

PRIMJENA LEVEL SET METODA U PRIMJENA LEVEL SET METODA U TOPOLOŠKOM OPTIMIRANJU

KONSTRUKTIVNIH ELEMENATA

Mentor: Dr. sc. Željan LozinaStudent: Krešimir Ivišić

Split, srpanj 2012. godine

PRIMJENA LEVEL SET METODA U TOPOLOŠKOM OPTIRANJU KONSTRUKTIVNIH ELEMENATA

1. Uvod

2. Parcijalne diferencijalne jednadžbe

3. Level set metode

4. Princip virtualnog rada i minimuma ukupne potencijalne energije

5. Metode konačnih elemenata5. Metode konačnih elemenata

6. Optimiranje u tehnici

7. Optimiranje pomoću level set metoda

8. Primjeri

9. Zaključak

PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

• opći oblik PDJ za funkciju je

- - nezavisne varijable

- - nepoznata varijabla

- - označava parcijalnu derivaciju

( )1 2, ,..., nu x x x

( )1 2 1 2 11, ,..., , , , ,..., ,... 0n x xF x x x u u u u =

1 2, ,...,n

x x x

xiu /i

u x∂ ∂

u

- - označava parcijalnu derivaciju

• problem opisan ovakvim jednadžbama naziva se dobro definiranim ako zadovoljava sljedeće kriterije:

- egzistenciju

- jedinstvenost

- stabilnost

xi /i

u x∂ ∂

PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

• jednadžba titranja žice (Jean D’Alambert, 1752.g.)

• Poissonova jednadžba

• Laplaceova jednadžba (Pierre – Simon Laplace, 1780.g.)

( )2 1,

tt xxu c u f x t

ρ− =

2φ ρ∇ =

• jednadžba provođenja topline (Joesph Fourier, 1768.g.)

• Schrodingerova jednadžba (Ervin Schrodinger, 1926.g.)

2 0φ∇ =

( )tu k u= ∇ ∇ 2t

u k u= ∇

2

2

hV ih

m t

ψψ ψ

∂− ∇ + =

∂

PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

• početni uvjeti

• rubni uvjeti- Dirichletov rubni uvjet

- Neumannov rubni uvjet

- Robinov rubni uvjet

• linearna PDJ II. reda s dvije nezavisne varijable ima oblik

( ) ( )0, , ,0 , ,u x y z u x y z=

( ) ( )0, , , ,u x y z u x y z=

( ), ,nu E x y z∂ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , ,n

x y z u x y z x y z u x y z f x y zα β∂ + =

( ), ,x y z D∈∂

• linearna PDJ II. reda s dvije nezavisne varijable ima oblik

- A, B, C, D, E, F, G – f-je varijabli x i y

- glavni dio operatora L je

- glavnom dijelu operatora L pridružena je diskiminanta

hiperbolička u točki ako je

parabolična u točki ako je

eliptička u točki ako je

[ ] 2xx xy yy x yL u Au Bu Cu Du Eu Fu G= + + + + + =

[ ]0 2xx xy yyL u Au Bu Cu= + +

( ) ( ) ( ) ( )2, , , ,x y B x y A x y C x y∆ = −

( ),x y ( ), 0x y∆ >

( ),x y ( ), 0x y∆ =

( ),x y ( ), 0x y∆ <

• za f-ju jedne varijable , za koju vrijedi

kaže se da je implicitno zadana jednadžbom

RUB PODRUČJA

:f I → I ⊆

( )( ), 0F x f x = x I∀ ∈( ), 0F x φ =

2 1xφ = − 2 2 1x yφ = + −2 2 2 1x y zφ = + + −

• Gradijent pokazuje smjer u kojem funkcija najbrže raste i uvijek je okomit na izoliniju funkcije

• Vektor normale:

• Zakrivljenost ruba područja definirana je kao divergencija vektora normale

VEKTOR NORMALE I ZAKRIVLJENOST PODRUČJA

, ,x y z

φ φ φφ

∂ ∂ ∂∇ =

∂ ∂ ∂

Nφ

φ

∇=

∇

31 2 nn nNκ

∂∂ ∂= ∇ ⋅ = + + φ

κ ∇

= ∇ ⋅

( ) 2 2 1x x yφ = + −

31 2 nn nN

x y zκ

∂∂ ∂= ∇ ⋅ = + +

∂ ∂ ∂

φκ

φ

∇= ∇ ⋅ ∇

( )2 2 2 2 2 2

3

2 2 2x yy x y xy y xx x zz x z zz z xx y zz y z yz z yy

φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φκ

φ

− + + − + + − +=

∇

• James A. Sethian, Stanley Osher – kraj 1980-ih godina

• opisivanje krivulje pomoću

LEVEL SET METODE

Nφ

φ

∇=

∇

• opisivanje krivulje pomoću

level seta funkcije ( ), 0x yφ =

( ) 2 2, 5z x y x yφ= = + =

• funkcija udaljenosti

• brzina gibanja ruba područja

• jednadžba konvekcije

LEVEL SET METODE

( ),d x y 1d∇ =

, ,V u v w=

( ) 2 2,d x y x y r= + =2 2 2 2

,x y

dx y x y

∇ = + +

2 2 2 2, 1

x yd

x y x y

∇ = = + +

• jednadžba konvekcije

• LEVEL SET JEDNADŽBA

0Vt

φφ

∂+ ⋅∇ =

∂nV V V

φφ φ φ

φ

∇⋅∇ = ⋅ ∇ = ⋅ ∇

∇

0nVt

φφ

∂+ ⋅ ∇ =

∂

• Level set toolbox: http://barissumengen.com/level_set_methods

PRIMJENA LEVEL SET METODA

NS V bt

φφ φ κ φ

∂+ ⋅∇ + ∇ = ∇

∂

( ) 2 2, 5 0x y x yφ = + − =

• GIBANJE U SMJERU NORMALE

PRIMJENA LEVEL SET METODA

0NVt

φφ

∂+ ∇ =

∂

• GIBANJE U SMJERU ZAKRIVLJENOSTI

PRIMJENA LEVEL SET METODA

bt

φκ φ

∂= ∇

∂

• GIBANJE U VANJSKOM VEKTORSKOM

POLJU

PRIMJENA LEVEL SET METODA

0St

φφ

∂+ ⋅∇ =

∂

• KOMBINACIJA GIBANJA U SMJERU NORMALE I VANJSKOG VEKTORSKOG POLJA

0NS Vt

φφ φ

∂+ ⋅∇ + ∇ =

∂

PRINCIP VIRTUALNOG RADA I MINIMUM UKUPNE POTENCIJALNE ENERGIJE

1

0n

i i

i

W F uδ δ=

= =∑* *

* * * *B A

u uW F u dx F u dx dydz u dx dydzu

x x x

σδ σ σ

∂ ∂ ∂ = + − = + + −

∂ ∂ ∂

* * *

t

T T T

s vu f d u f d dε σ

Γ Ω Ω

Γ + Ω = Ω∫ ∫ ∫

( ) ( ) 0t

T T T

s vd d dδ δ δ

Ω Γ Ω

Ω − Γ − Ω =∫ ∫ ∫L u DLu u f u f

Π = U + VΠ = U + V

( ) 0δ δ =Π = U + V

*

t

T T

sd d dδ δ δ

Γ Ω Ω

Γ + Ω = Ω∫ ∫ ∫u f u f ε σ

t

T T

sd dδ δ

Γ Ω

= − Γ − Ω∫ ∫V u f u f

δ δ− =V U

0t

T T T

sd d dδ δ δ

Ω Ω Γ

Ω − Ω − Γ =∫ ∫ ∫vε Dε u f u f

METODE KONAČNIH ELEMENATA

q = Nu

ε = DNu = Bu

δ δ=q N u

δ δ=ε B u

T T T T T T Td u d dδ δ δ δ

Ω = Ω + Ω + ∫ ∫ ∫v s ku B DB u N f u N f u F

t

d u d dδ δ δ δΩ Ω Γ

Ω = Ω + Ω + ∫ ∫ ∫v s ku B DB u N f u N f u F

Td

Ω

Ω∫k = B DB

Td

Ω

= Ω∫v vF N f

t

Td

Γ

= Ω∫s sF N f

v s kku = F + F + F v s kF = F + F + F

ku = F [ ][ ] [ ]=K u F

OPTIMIRANJE

• Level set model specificira rub područja strukture kao nultu levelset razinu funkcije tako da je

• ukupna domena podijeljena je na tri područja:

• dinamički model:

• Hamilton – Jacobijeva jednadžba:

LEVEL SET MODEL

DΓ = ∂

: dφ → ( ) : 0x xφΓ = =

( ) ( ) ( )( ) : , 0t x t x t tφΓ = =

• Hamilton – Jacobijeva jednadžba:

0t

dxV

t dt

φφ φ φ

∂+ ∇ = + ∇ ⋅ =

∂

dxV

dt=

• funkcija cilja, odnosno funkcija koja se minimizira je podatljivost, odnosno energija, označena s u izrazu

• ograničenje volumena:

• matematički zapis problema:

FUNKCIJA CILJA I OGRANIČENJA LEVEL SET MODELA

( )F u

( ) ( ) ( ) ,D

J F H dφ φ= Ω∫u u

( ) ( ) ( ) ,D

G g H dφ φ= Ω∫u u

• formiranjem Lagrangeove funkcije

• kombinacijom prošlih jednadžbi dobiva se složena Lagrangeova funkcijakoja ovisi još i o level set funkciji tako da je ukupna funkcija cilja danaizrazom

( ) ( ) ( ), , ,L J Gφ λ φ λ φ= +u u

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0

1min. : , ,

2

T

xD D

L D H d H d Vφ

φ λ ε ε φ λ φ ζ= − Ω + − Ω −∫ ∫u u v

ALGORITAM OPTIMIRANJA

PRIMJER 1

Ulazni parametri:

1 1E = 0 0.001E =

Mreža konačnih elemenata: 80 40×

1F = − 100λ =

0.5α =

PRIMJER 1

PRIMJER 1

PRIMJER 2

Ulazni parametri:

1 1E = 0 0.001E =

Mreža konačnih elemenata: 80 40×

1F = − 100λ =

0.5α =

PRIMJER 2

PRIMJER 2

PRIMJER 3

Ulazni parametri:

1 1E = 0 0.001E =

Mreža konačnih elemenata: 100 50×

1F = − 100λ =

0.5α =

PRIMJER 3

PRIMJER 3

PRIMJER 4

Ulazni parametri:

1 1E = 0 0.001E =

Mreža konačnih elemenata: 80 40×

1F = − 20λ =

0.5α =

PRIMJER 4

PRIMJER 4

PRIMJER 5

Ulazni parametri:

1 1E = 0 0.001E =

Mreža konačnih elemenata: 40 80×

1F = − 20λ =

0.5α =

PRIMJER 5

PRIMJER 5

• Level set metode primijenjene na optimiranje topologije

• prikazano je u nekoliko primjera optimalan oblik konstrukcije za zadanerubne uvjete i odgovarajuće opterećenje konstrukcije. U procesuoptimiranja problema primijenjena je upwind metoda u kombinaciji s semi– Lagrangeovom metodom. Algoritam postupka napisan je u programskompaketu MATLAB 7.0.1. Koefijent alpha postavljen je na vrijednost 0.5 da seosigura stabilnost rješenja.

• cilj ovog rada bio je pronaći optimalan oblik konstrukcije, tj. optimalnu

ZAKLJUČAK

• cilj ovog rada bio je pronaći optimalan oblik konstrukcije, tj. optimalnuraspodjelu materijala, uz pripadne rubne uvijete i ograničenja koja pri tompostoje a da bi se pri tom zadvoljila nosivost konstrukcije. To je postignutoprimjenom level set metoda u kombinaciji s metodom konačnih elemenata.

• uz ovaj rad, sljedeći korak bi bio proširenje ove teorije za trodimenzionalnesustave te pisanje prikladnog programskog koda za vizualizaciju problema.Kako je potrebno relativno dosta vremena za računanje ovakvih problema,s obzirom na tehnologiju današnjih računala, daljnji rad bi u ovom područjutrebao svesti i na reduciranje vremena proračuna.

HVALA NA PAŽNJI !!!HVALA NA PAŽNJI !!!