ИНТЕГРАЛНОСМЯТАНЕ · 16Неопределениинтеграли Използувамеформулата sin2 x = 1 cos2x 2: Втакъвслучай I = Z 1 cos2x

Проф. ЯРОСЛАВ ТАГАМЛИЦКИ

ИНТЕГРАЛНО СМЯТАНЕ

ШЕСТО ИЗДАНИЕ

ИЗДАТЕЛСТВО НАУКА И ИЗКУСТВО СОФИЯ 1978

ПРЕДГОВОР КЪМ ЧЕТВЪРТОТО ИЗДАНИЕ

В настоящето издание са направени някои малки изменения. Така нап-ример разгледан е въпросът за интегриране по затворен път и са включениформулите на Грин, Остроградски и Стокс.

Я. Тагамлицки

Част I

ИНТЕГРАЛНО СМЯТАНЕ—ПРОСТИ ИНТЕГРАЛИ

Глава I

НЕОПРЕДЕЛЕНИ ИНТЕГРАЛИ

§ 1. Увод

Читателят вече е имал случай да се запознае с някои от многобройнитеприложения на понятието производна. Сега ще направим още едно приложе-ние, във връзка с което ще повдигнем един основен въпрос. Задачата, коятоще решим, е следната: дадена е параболата

y2 = 2px, p > 0;

да се намери лицето на сегмента и, който се отсича от правата с уравнение

x = t,

където t е неотрицателна константа (вж. черт. 1).Да означим търсеното лице с F(t). Ние избираме това означение, защото

търсеното лице зависи от избора на t. Ще покажем, че функцията F(t) има

Черт. 1

5

6 Неопределени интеграли

производна при всяко неотрицателно t и ще пресметнем стойността на тазипроизводна. За тази цел фиксираме едно число t и избираме две неотрица-телни числа t′ и t′′ така, че да имаме

t′ ≤ t ≤ t′′

иt′ , t′′.

Очевидно лицето σ на ивицата, която е заградена от параболата и отправите x = t′ и x = t′′, има стойност

σ = F(t′′) − F(t′).

От друга страна, имаме неравенстваталицето на правоъгълника A1B1C1D1 ≤ σ < лицето на правоъгълника ABCD,т. е.

2√

2pt′(t′′ − t′) ≤ σ < 2√

2pt′′(t′′ − t′),

откъдето

(1) 2√

2pt′ ≤F(t′′) − F(t′)

t′′ − t′≤ 2√

2pt′′.

Да оставим t′ и t′′ да клонят към t чрез две произволни редици от стой-ности, като при това

t′ ≤ t ≤ t′′, t′′ , t′.

Като вземем предвид, че както 2√

2pt′, така и 2√

2pt′′ клонят към една исъща граница (тази обща граница има стойност 2

√2pt), заключаваме, че

отношениетоF(t′′) − F(t′)

t′′ − t′

също притежава граница, когато t′ → t и t′′ → t. С това ние показахме,че функцията F(t) има производна в разглежданата точка t. Извършвайкиграничния преход t′ → t и t′′ → t в неравенството (1), заключаваме, че

(2) F′(t) = 2√

2pt.

Нашата цел е да намерим функцията (лицето) F(t). Засега ние намерихмепроизводната на тази функция. И така пред нас изниква следната задача.Да се намери функцията F(t), когато е дадена производната и F′(t). Досега(в диференциалното смятане) се занимавахме главно с въпроса за намиранена производните на дадени функции. Сега ние за пръв път се натъкваме

§ 2. Неопределен интеграл 7

на обратната задача. Тази обратна задача представлява един от основнитевъпроси, с които се занимава така нареченото интегрално смятане.

Равенството (2) е установено при всички неотрицателни стойности на t.От друга страна, не е трудно да се види, че производната на функцията

4√

2p3

t32

е също 2√

2pt при t ≥ 0. Оттук заключаваме, че разликата

ϕ(t) = F(t) −4√

2p3

t32

е константа, защотоϕ′(t) = F(t) − 2

√2pt = 0.

И така при всички неотрицателни стойности на t имаме

ϕ(t) = ϕ(0).

Като вземем пред вид, че F(0) = 0, намираме

F(t) −4√

2p3

t32 = 0

или

F(t) =4√

2p3

t32 .

С това ние решихме поставената задача. При това решението на тазизадача се сведе съществено към въпроса за намиране на функцията F(t) вдаден интервал, когато е дадена производна F′(t) в този интервал.

§ 2. Неопределен интеграл

Нека функцията f (x) е дефинирана в един интервал ∆. Казваме, че еднадиференцуема функция F(x) е примитивна функция на f (x) (или неопреде-лен интеграл от f (x)) в този интервал, когато при всички стойности на x отразглеждания интервал имаме

F′(x) = f (x).

За да изразим, че F(x) е една примитивна функция на f (x), пишем обик-новено

F(x) =

∫f (x) dx


(четете — интеграл от еф икс де икс).Така например ∫

x2 dx =x3

3върху цялата ос x, защото (

x3

3

)′= x2.

С това обаче не се изчерпват примитивните функции на функцията x2. Такапри всеки избор на константа C имаме∫

x2 dx =x3

3+ C,

защото (x3

3+ C)′

= x2.

Изобщо, ако F(x) е една примитивна функция на f (x) в някой интервал∆, то F(x) + C е пак примитивна функция f (x) в този интервал, и то привсеки избор на константа C, защото

[F(x) + C]′ = F′(x) = f (x).

За нас обаче е особено важно, че функцията f (x) няма други примитив-ни функции в разглеждания интервал. И наистина, ако F1(x) е също еднапримитивна функция на f (x) в интервала ∆, то разликата на двете функцииF(x) и F1(x) е константа, защото функциите F(x) и F1(x) имат една и същапроизводна и следователно производната на разликите им е нула.

От дефиницията на понятието неопределен интеграл имаме

(1)

(∫f (x) dx

)′= f (x)

и следователно

(2) d∫

f (x) dx = f (x) dx,

защото

d∫

f (x) dx =

(∫f (x) dx

)′dx = f (x) dx.

Нека ϕ(x) е една диференцуема функция на x. В бъдеще вместо интег-рала ∫

f (x)ϕ′(x) dx

§ 2. Неопределен интеграл 9

ние често ще пишем символа ∫f (x) dϕ(x).

Освен това ние ще си служим и с други1 опростявания в означенията. Такапод ∫

dϕ(x)

ще разбираме ∫1 dϕ(x)

и пр. При този начин на означаване имаме

(3)∫

dF(x) = F(x) + C,

защото това равенство изразява, че

(4)∫

F′(x) dx = F(x) + C,

нещо, което е вярно, защото двете функции∫F′(x) dx и F(x)

имат една и съща производна и следователно се отличават с една адитивна(прибавъчна) константа.

Читателят трябва да помни равенствата (1), (2), (3) и (4), които изразяватв същност, че действията диференциране и интегриране са обратни едно надруго.

Разбира се, не всяка функция притежава неопределен интеграл. За да сеубедим в това, разглеждаме функцията f (x), дефинирана при всички стой-ност на x по следния начин: f (x) = 1 при x ≥ 0 и f (x) = −1 при x < 0. Акодопуснем, че функцията f (x) притежава неопределен интеграл F(x) (напри-мер върху цялата ос x), въз основа на теоремата за крайните нарастванияполучаваме

F(1) − F(0) = 1,

1Ще споменем още, че вместо∫

1f (x)

dx ние често ще пишем∫

dxf (x)

и пр. Най-сетне

налага се да споменем, че ако една примитивна функция F(x) се търси при всяко x,ние нямаизрично да посочваме интервала, в който тя се търси.


F(0) − F(−1) = −1,

откъдетоF(1) − F(−1) = 0.

Последното равенство обаче противоречи на теоремата на Рол, защото фун-кцията F′(x) = f (x) не се анулира никъде.

С оглед на нашите непосредствени цели е полезно да отбележим ощесега, че ако една функция f (x) е развиваема в степенен ред

f (x) =

∞∑ν=0

aνxν

в отворения интервал −a < x < a, то тя сигурно притежава примитивнафункция в този интервал. За да се убедим в това, достатъчно е да вземемпред вид, че редът

F(x) =

∞∑ν=0

aνν + 1

xν+1

е сходящ1 при −a < x < a и че теоремата за диференциране на степеннитередове ни дава F′(x) = f (x).

По-късно ще докажем една много по-обща теорема, според която, акоедна функция f (x) е непрекъсната в един интервал ∆, тя притежава прими-тивна функция в този интервал.

§ 3. Таблица на основните интеграли

Читателят лесно ще провери сам валидността на следните формули въввсеки интервал, в който е дефинирана подинтегралната2 функция (за целтае достатъчно да се използува дефиницията на понятието неопределен интег-рал, като се покаже, че производната на дясната страна във всяко едно отравенствата е равна на съответната подинтегрална функция):

1)∫

xn dx =xn+1

n + 1+ C при n , −1

във всеки интервал, в който xn има смисъл;

1Двата степенни реда∞∑ν=0

aνxν и∞∑ν=0

aνν + 1

xν+1,

както знаем, имат един и същ радиус на сходимост, защото първият ред може формално дасе получи от втория чрез почленно диференциране.

2Функцията f (x) в символа∫

f (x) dx се нарича подинтегрална функция.

§ 3. Таблица на основните интеграли 11

2)∫

dxx

= ln |x| + C

във всеки интервал, който не съдържа началото;

3)∫

ex dx = ex + Cвъв всеки интервал;

4)∫

sin x dx = − cos x + Cвъв всеки интервал;

5)∫

cos x dx = sin x + Cвъв всеки интервал;

6)∫

dxcos2 x

= tg x + C

във всеки интервал, в който cos x , 0;

7)∫

dxsin2 x

= − ctg x + C

във всеки интервал, в който sin x , 0;

8)∫

dx1 + x2 = arctg x + C

във всеки интервал;

9)∫

dx√

1 − x2= arcsin x + C

във всеки подинтервал на интервала −1 < x < 1;

10)∫

dx√

x2 − 1= ln

∣∣∣x +√

x2 − 1∣∣∣ + C

във всеки интервал, в който |x| > 1;

11)∫

dx√

x2 + 1= ln

(x +√

x2 + 1)

+ Cвъв всеки интервал.

За пример ще установим само формулата

(1)∫

dxx

= ln |x| + C,

която е валидна във всеки интервал ∆, който не съдържа началото.Нека интервалът ∆ е разположен вдясно от началото. Тогава |x| = x и

следователно

(ln |x|)′ = (ln x)′ =1x,

с което равенството (1) е установено в този случай. Нека интервалът ∆ еразположен отляво на началото. Тогава |x| = −x и следователно

(ln |x|)′ = (ln(−x))′ =1−x· (−x)′ =

1−x· (−1) =

1x,


с което равенството (1) е установено и за случая, когато интервалът ∆ сенамира вляво от началото.

Формулите, които разгледахме в този параграф, са основни и читате-лят трябва добре да ги помни.

§ 4. Елементарни свойства на обикновените интеграли

В този параграф ние ще разгледаме някои прости свойства на неопреде-лените интеграли.

I. Нека функциите f1(x) и f2(x) притежават неопределени интеграли внякой интервал ∆. В такъв случай функцията f1(x) + f2(x) също притежаванеопределен интеграл в ∆ и1

(1)∫

[ f1(x) + f2(x)] dx =

∫f1(x) dx +

∫f2(x) dx + C.

Доказателство. И наистина функцията∫f1(x) dx +

∫f2(x) dx

е един неопределен интеграл на функцията

f1(x) + f2(x),

защото (∫f1(x) dx +

∫f2(x) dx

)′=

(∫f1(x) dx

)′+

(∫f2(x) dx

)′= f1(x) + f2(x).

II. Нека функцията f (x) притежава неопределен интеграл в някой интер-вал ∆. В такъв случай функцията a f (x), където a е константа, също прите-жава неопределен интеграл в ∆ и∫

a f (x) dx = a∫

f (x) dx + C.

1Ние често няма да пишем интеграционните константи (но, разбира се, ще ги помним).Така ние често ще пишем равенството (1) във вида∫

[ f1(x) + f2(x)] dx =

∫f1(x) dx +

∫f2(x) dx

§ 4. Елементарни свойства на обикновените интеграли 13

Доказателство. И наистина функцията

a∫

f (x) dx

е един неопределен интеграл на функцията

a f (x),

защото (a∫

f (x) dx)′

= a(∫

f (x) dx)′

= a f (x).

Пример 1. 1∫(x3 + 5x2 − 4x + 7) dx =

∫x3 dx + 5

∫x2 dx − 4

∫x dx + 7

∫dx

=x4

4+

53

x3 − 2x2 + 7x + C.

Пример 2.∫(x2 − 1)2 dx =

∫(x4 − 2x2 + 1) dx =

∫x4 dx − 2

∫x2 dx +

∫dx

=x5

5−

23

x3 + x + C.

Пример 3.∫(x + 2)(x2 − 3)

2x2 dx =

∫x3 + 2x2 − 3x − 6

2x2 dx =

∫ (x2

+ 1 −32x−

3x2

)dx

=12

∫x dx +

∫dx −

32

∫dxx− 3∫

x−2 dx

=14

x2 + x −32

ln |x| + 3x−1 + C.

III. Нека функцията f (u) има примитивна функция в интервала ∆, некафункцията ϕ(x) е диференцуема в интервала ∆′ и нека стойностите на ϕ(x)не напускат интервала ∆, когато x се мени в ∆′. При тези предположения щепокажем, че функцията

f [ϕ(x)]ϕ′(x)

притежава неопределен интеграл в интервала ∆′ и ако положим

F(u) =

∫f (u) du,

1Читателят трябва да разгледа всички примери в този параграф и да запомни как ставаинтегрирането на по-сложните от тях.


то

(2)∫

f [ϕ(x)]ϕ′(x) dx = F[ϕ(x)] + C

при всички стойности на x от ∆′.Доказателство. Правилото за диференциране на функция от функция

ни дава при всеки избор на x от ∆′

ddx

F[ϕ(x)] = F′u[ϕ(x)]ϕ′(x) = f [ϕ(x)]ϕ′(x),

защотоF′u(u) = f (u).

Този резултат ни учи, че функцията

F[ϕ(x)]

е един неопределен интеграл на функцията f [ϕ(x)]ϕ′(x) в интервала ∆′.Забележка. Ние често ще записваме равенството (2) по-кратко така:

(3)∫

f [ϕ(x)] dϕ(x) = F[ϕ(x)] + C.

Пример 4. 1 Да се пресметне интегралът

I =

∫2xex2

dx.

Очевидно имаме

I =

∫ex2

dx2.

От друга страна ∫eu du = eu + C,

където u е независима променлива. Като се възползуваме от формулата (3), намираме∫ex2

dx2 = ex2+ C.

Пример 5. Да се пресметне интегралът

I =

∫ex

ex + 1dx.

Очевидно имаме ∫ex

ex + 1dx =

∫d(ex + 1)

ex + 1dx = ln(ex + 1) + C,

защото ∫duu

= ln u при u > 0.




I =

∫√

2x + 5 dx при x ≥ −52.

Очевидно имаме∫√

2x + 5 dx =12

∫√

2x + 5 d(2x + 1) =12

∫(2x + 5)

12 d(2x + 5) =

13

(2x + 5)32 + C,

защото ∫u

12 du =

23

u32 + C.


I =

∫x dx

a4 + x4 , a , 0.


∫x dx

a4 + x4 =12

∫dx2

a4 + x4 =1

2a4

∫dx2

1 +x4

a4

=1

2a4

∫dx2

1 +

(x2

a2

)2

=1

2a2

∫d

x2

a2

1 +

(x2

a2

)2 =1

2a2 arctgx2

a2 + C,

защото ∫du

1 + u2 = arctg u + C.


I =

∫x dx√

a4 − x4, a , 0, |x| < |a|.


∫x dx√

a4 − x4=

12

∫dx2

√a4 − x4

=1

2a2

∫dx2√1 −

x4

a4

=12

∫d

x2

a2√1 −(

x2

a2

)2

=12

arcsinx2

a2 + C,

защото ∫du

√1 − u2

= arcsin u + C.


I =

∫sin2 x dx.


Използуваме формулата

sin2 x =1 − cos 2x

2.

В такъв случай

I =

∫1 − cos 2x

2dx =

12

∫dx −

12

∫cos 2x dx

=12

x −14

∫cos 2x d2x =

12

x −14

sin 2x + C,

защото ∫cos u du = sin u + C.

Упражнение. Да се пресметне интегралът

I =

∫cos2 x dx

с помощта на тъждеството cos2 x =1 + cos 2x

2.


I =

∫dx

sin x

в кой да е интервал, в който sin x , 0.Очевидно имаме

∫dx

sin x=

12

∫dx

sinx2

cosx2

=12

∫ dx

cos2 x2

tgx2

=

∫d tg

x2

tgx2

= ln∣∣∣tg x

2

∣∣∣ + C,

защото ∫duu

= ln |u| + C.


I =

∫ √1 + x1 − x

dx, −1 < x < 1.

Очевидно имаме∫ √1 + x1 − x

dx =

∫1 + x√

1 − x2dx =

∫dx

√1 − x2

+

∫xdx√

1 − x2

= arcsin x −12

∫d(1 − x2)√

1 − x2= arcsin x −

√1 − x2 + C.

IV. Нека функцията f (x) е дефинирана в някой интервал ∆; нека функ-цията ϕ(t) е дефинирана и диференцуема в някой интервал ∆′ и нека стой-ностите на ϕ(t) принадлежат на ∆. Означаваме с N множеството от функци-оналните стойности на ϕ(t) (очевидно N е интервал, който се съдържа в ∆).


Нека функцията ϕ(t) притежава диференцуема обратна функция ψ(t) и некафункцията

f [ϕ(t)]ϕ′(t)

притежава неопределен интеграл в ∆′.Да положим

(4) g(t) =

∫f [ϕ(t)]ϕ′(t) dt.

Ще покажем, че функцията f (x) притежава примитивна функция поне в ин-тервала N и

(5)∫

f (x) dx = g[ψ(x)] + C.

Преди да постъпим към доказателството, нека да припомним, че съглас-но дефиницията на понятието обратна функция се иска:

1) дефиниционната област на ψ(x) да съвпада с множеството N от фун-кционалните стойности на ϕ(t);

2) стойностите на ψ(x) да не напускат дефиниционната област ∆′ на ϕ(t);3) при всички стойности на x от ∆ да е в сила равенството

ϕ[ψ(x)] = x.

В дефиницията на понятието за обратна функция не се поставят никаквиизисквания за диференцуемост. В нашия специален случай обаче се искафункцията ϕ(t) да притежава диференцуема обратна функция.

След тези предварителни бележки преминаваме към доказателството.Доказателство. Разглеждаме функцията

g[ψ(x)]

в интервала N. Тя е добре дефинирана в този интервал, защото функциятаψ(x) е дефинирана в него и стойностите и не напускат интервала ∆′.

Като вземем предвид, че

ddt

g(t) = f [ϕ(t)]ϕ′(t),

намираме

ddx

g[ψ(x)] = f [ϕ(ψ(x))]ϕ′[ψ(x)]ψ′(x) = f (x)ϕ′[ψ(x)]ψ′(x),

защото

(6) ϕ[ψ(x)] = x.


От друга страна, като диференцираме равенството (6) спрямо x, намира-ме

ϕ′[ψ(x)]ψ′(x) = 1,

т. е.ddx

g[ψ(x)] = f (x),

с което нашето твърдение е доказано.Забележка. Ако производната ϕ′(t) не се анулира никъде в интервала

∆′, а този интервал е краен и затворен, то функцията ϕ(t) сигурно притежа-ва диференцуема обратна функция. За да се убедим в това, ще вземем подвнимание, че функцията ϕ(t) е обратима (т. е. приема всяка стойност самоедин път). И наистина, ако допуснем противното, ще имаме поне две раз-лични точки t1 и t2 от ∆′, за които ϕ(t1) = ϕ(t2), и следователно съгласнотеоремата на Рол производната на ϕ(t) ще се анулира поне един път, коетопо допускане не е вярно. От друга страна, интервалът ∆′ е краен и затворени следователно ние можем да приложим познатата ни теорема за диферен-циране на обратни функции (вж. Диференциално смятане, част II, гл. III,§ 15).

Наблюдателният читател ще забележи, разбира се, че в случая предпо-ложението за компактност на ∆′ не е съществено. Ние го направихме, за даможем да се позовем на споменатата теорема от диференциалното смятане,която е доказана от нас при това предположение. Тази теорема е вярна обачеи в случая, когато разглежданият интервал не е компактен. Нека читателятсам обмисли доказателството.

В бъдеще вместо да казваме, че си служим с формулите (4) и (5), щеказваме накратко, че правим субституцията x = ϕ(t) в интеграла∫

f (x) dx.

Пример 12. 1 Да се пресметне интегралът

I =

∫x dx√

x2 + 1

в безкрайния интервал x > 0.Разглеждаме функцията

ϕ(t) =√

t − 1,

където t > 1. Множеството от функционалните стойности на тази функция съвпада точно синтересуващия ни интервал x > 0. Функцията

ψ(x) = x2 + 1,



където x > 0, е една обратна функция на ϕ(t), защото функцията ψ(x) е дефинирана при x > 0,стойностите и принадлежат на дефиниционната област на ϕ(t) и

ϕ[ψ(x)] =√

(x2 + 1) − 1 = |x| = x.

Образуваме си помощната функция

g(t) =

∫ϕ(t) dϕ(t)√ϕ2(t) + 1

=

∫ √t − 1 d

√t − 1√

(√

t − 1)2 + 1=

12

∫dt√

t=√

t + C.

Като приложим формулата (5), намираме∫x dx√

x2 + 1= g[ψ(x)] =

√ψ(x) + C =

√x2 + 1 + C.

На практика записваме пресмятанията обикновено по следния начин: полагаме

(7) x =√

t − 1

и пишем

I =

∫√

t − 1 d√

t − 1√(√

t − 1)2 + 1=

12

∫dt√

t=√

t + C;

като решим уравнението (7) относно t, получаваме

t = x2 + 1;

заместваме t с равното му; то ни дава

I =√

x2 + 1 + C.

Същата задача можем да решим и с помощта на формулата (2) по следния начин: оче-видно ∫

x dx√

x2 + 1=

12

∫d(x2 + 1)√

x2 + 1;

като вземем предвид, че ∫du√

u= 2√

u + C,

получавамеI =√

x2 + 1 + C.

Това решение има предимството, че се отнася за всички стойности на x, а не само заположителни стойности, както имахме в предишното решение.


I =

∫√

a2 − x2 dx, a > 0,

в интервала −a < x < a.Разглеждаме функцията

ϕ(t) = a cos t


при 0 < t < π. Множеството от функционалните стойности на ϕ(t) представлява точно инте-ресуващият ни интервал (−a, a). Функцията

ψ(x) = arccosxa, −a < x < a,

е една обратна функция на ϕ(t).Образуваме си помощната функция

g(t) =

∫ √a2 − ϕ2(t) dϕ(t) =

∫√

a2 − a2 cos2 t da cos t

= −a2∫ √

sin2 t sin t dt = −a2∫| sin t| sin t dt.

Тук имаме sin t > 0, защото 0 < t < π, и следователно

g(t) = −a2∫

sin2 t dt.

По-нататък получаваме

g(t) = −a2∫

1 − cos 2t2

dt =−a2t

2+

a2

4

∫cos 2t d2t

=−a2t

2+

a2

4sin 2t + C =

−a2t2

+a2

2sin t cos t + C.

Като се възползуваме от формулите (4) и (5), намираме

I = g(ψ(x)) = −a2

2arccos

xa

+12

x√

a2 − x2 + C.


I =

∫dx

(1 + x2)2

при произволни реални стойности на x.Разглеждаме функцията

ϕ(t) = tg t

при −π

2< t <

π

2. Множеството от стойностите на тази функция съвпада с множеството на

реалните числа.1 Функциятаψ(x) = arctg x

е обратна на функцията ϕ(t).Образуваме си помощната функция

g(t) =

∫dϕ(t)

[1 + ϕ2(t)]2 =

∫d tg t

(t + tg2 t)2 =

∫dt

(1 + tg2 t)2 cos2 t

=

∫dt(

1 +sin2 tcos2 t

)2

cos2 t

=

∫cos2 t dt =

∫1 + cos 2t

2dt

=12

t +14

∫cos 2t d2t + C =

t2

+14

sin 2t + C.

1Т. е. това е точно интервалът, в който искаме да пресметнем интеграла.


Като се възползуваме от формулите (4) и (5), намираме

I = g[ψ(x)] =arctg x

2+

14

sin(2 arctg x) + C

=arctg x

2+

14·

2 tg(arctg x)1 + tg2(arctg x)

+ C =arctg x

2+

12·

x1 + x2 + C.

Тук ние се възползувахме от формулата

sin x =2 tg

x2

1 + tg2 x2

.

Задачи

Да се пресметнат следните интеграли:

1. I =

∫5x3 dx. Отг. I =

54

x4 + C.

2. I =

∫(2x3 − 3x + 5) dx. Отг. I =

12

x4 −32

x2 + 5x + C.

3. I =

∫5x3 dx, x > 0. Отг. I = −

52x2 + C.

4. I =

∫2x3 − 5x + 3

xdx, x < 0. Отг. I =

23

x3 − 5x + 3 ln |x| + C.

5. I =

∫3√

x2 dx. Отг. I =35

x53 + C.

6. I =

∫dx√

x, x > 0. Отг. I = 2

√x + C.

7. I =

∫(2x + 1)2 dx. Отг. I =

43

x3 + 2x2 + x + C.

8. I =

∫√

2x + 3 dx, 2x + 3 ≥ 0. Отг. I =13

(2x + 3)32 + C.

9. I =

∫√

2 − x dx, 2 − x ≥ 0. Отг. I = −23

(2 − x)32 + C.

10. I =

∫(ax + b)n dx, ax + b ≥ 0, a , 0, n , −1. Отг. I =

1a(n + 1)

(ax + b)n+1 + C.

11. I =

∫dx

ax + b, a , 0, ax + b < 0. Отг. I =

1a

ln |ax + b| + C.

12. I =

∫arctg x1 + x2 dx. Отг. I =

12

(arctg x)2 + C.

13. I =

∫esin x cos x dx. Отг. I = esin x + C.

14. I =

∫sin (ln x)

dxx, x > 0. Отг. I = − cos(ln x) + C.

15. I =

∫dx

x2 + 6x + 10.

Решение.

I =

∫dx

(x + 3)2 + 1=

∫d(x + 3)

(x + 3)2 + 1= arctg (x + 3) + C.


16. I =

∫dx

2x2 + 4x + 5.

Решение.

I = 2∫

dx4x2 + 8x + 10

= 2∫

dx4x2 + 8x + 4 + 6

= 2∫

dx(2x + 2)2 + 6

=13

∫dx(

2x + 2√

6

)2

+ 1

=13·

√6

2

∫d

2x + 2√

6(2x + 2√

6

)2

+ 1

=1√

6arctg

2x + 2√

6+ C.

17. I =

∫dx

x2 − 5x + 6, 2 < x < 3.

Решение.

I =

∫dx

(x − 2)(x − 3)=

∫1

x − 3dx −

∫dx

x − 2= ln |x − 3| − ln |x − 2| + C.

18. I =

∫dx

ax2 + bx + c, a , 0, ax2 + bx + c , 0.

Упътване.

I =1a

∫dx(

x +b

2a

)2

+4ac − b2

4a2

.

Отговор.

1) Ако b2 − 4ac < 0, I =2

√4ac − b2

arctg2ax + b√

4ac − b2+ C.

2) Ако b2 − 4ac > 0, I =1

√b2 − 4ac

ln

[2ax + b −

√b2 − 4ac

2ax + b +√

b2 − 4ac

]+ C.

3) Ако b2 − 4ac = 0, I = −2

2ax + b+ C.

19. I =

∫dx

√2 + 2x − x2

, 2 + 2x − x2 > 0.

Решение.

I =

∫dx√

3 − (x − 1)2=

1√

3

∫dx√

1 −(

x − 1√

3

)2=

∫d

x − 1√

3√1 −(

x − 1√

3

)2

= arcsinx − 1√

3+ C.

20. I =

∫dx

√x2 + x + 1

.


Решение.

I =

∫dx√

x2 + 2 ·12

x +14

+34

=

∫dx√(

x +12

)2

+34

=2√

3

∫dx√(

2x + 1√

3

)2

+ 1

=

∫d

2x + 1√

3√(2x + 1√

3

)2

+ 1

= ln

2x + 1√

3+

√(2x + 1√

3

)2

+ 1

+ C

= ln(

x +12

+√

x2 + x + 1)

+ C1.

21. I =

∫dx

√ax2 + bx + c

, a , 0, ax2 + bx + c > 0.

Упътване. Разгледайте поотделно всичките случаи в зависимост от знаците на a и b2 −

4ac. Сравнете със задача 18.

22. I =

∫ √x2 − a2

xdx, x > a > 0.

Решение.

I =

∫ √x2 − a2

x·

√x2 − a2√

x2 − a2dx =

∫x2 − a2

x√

x2 − a2dx

=

∫x dx√

x2 − a2− a2

∫dx

x√

x2 − a2=

12

∫dx2

√x2 − a2

− a2

∫dx

x2

√1 −

a2

x2

=12

∫d(x2 − a2)√

x2 − a2+ a

∫d

ax√

1 −(a

x

)2=√

x2 − a2 + a arcsinax

+ C.

23. I =

∫ √x2 + a2

xdx, x > 0.

Решение.

I =

∫x2 + a2

x√

x2 + a2dx =

∫x dx√

x2 + a2+ a2

∫dx

x√

x2 + a2

=12

∫d(x2 + a2)√

x2 + a2+ a2

∫dx

x2

√1 +

a2

x2

=√

x2 + a2 − a

∫d

ax√

1 +a2

x2

=√

x2 + a2 − a ln

(ax

+

√1 +

a2

x2

)+ C.


24. I =

∫x dx√

(x2 − a2)(b2 − x2), b > a > 0, a < x < b.

Решение.

I =12

∫1

√b2 − x2

d(x2 − a2)√

x2 − a2=

∫1

√b2 − x2

d√

x2 − a2

=

∫1√

b2 − a2 + (a2 − x2)d√

x2 − a2 =

∫d

√x2 − a2

b2 − a2√√√√1 −

(√x2 − a2

b2 − a2

)2

= arcsin

(√x2 − a2

b2 − a2

)+ C.

25. I =

∫dx

√x + a +

√x + b

, x > −a, x > −b, a , b.

Решение.

I =

∫ (√x + a −

√x + b

)dx(√

x + a +√

x + b)(√

x + a −√

x + b)

=1

a − b

[∫√

x + a dx −∫√

x + b dx]

=2(x + a)

32

3(a − b)−

2(x + b)32

3(a − b)+ C.

26. I =

∫dx

(1 + x2)32, x > 0.

Решение.

I =

∫dx

x3(x−2 + 1)32

= −12

∫d(x−2 + 1)

(x−2 + 1)32

= (x−2 + 1)−12 + C.

27. I =

∫dx

(1 + x2)32, x < 0.

Решение.

I = −

∫dx

x3(x−2 + 1)32

=12

∫d(x−2 + 1)

(x−2 + 1)32

= −(x−2 + 1)−12 + C.

Забележка. Резултатите от задачите 26 и 27 могат да се представят още така:∫dx

(1 + x2)32

=x

√x2 + 1

+ C.

Този резултат е валиден за всички стойности на x, включително и за точката x = 0.

28. I =

∫dx

x2(1 − x2)12, 0 < x < 1. Отг. I = −

√1 − x2

x+ C.

29. I =

∫dx

(a + bxn)n+1

n, a , 0, a + bxn > 0. Отг. I =

x

a(x + bxn)1n

+ C.


30. I =

∫cos2 x dx. Отг. I =

x2

+sin 2x

4+ C.

31. I =

∫√

a2 − x2 dx, a > 0, −a < x < a. Отг. I = −a2

2arccos

xa

+12

x√

a2 − x2 + C.

32. I =

∫dx

(1 + x2)2 . Отг. I =x

2(1 + x2)+

12

arctg x + C.

33. I =

∫x dx

√2ax − x2

, a > 0, 2ax − x2 > 0. Отг. I = a arccosa − x

x−√

2ax − x2 + C.

34. I =

∫sin3 x dx.

Решение.

I = −

∫sin2 x d cos x = −

∫(1 − cos2 x) d cos x = − cos x +

cos3 x3

+ C.

35. I =

∫sin2 x cos3 x dx. Отг. I = −

15

sin5 x +13

sin3 x + C.

36. I =

∫cos x

2 − cos2 xdx. Отг. I = arctg(sin x) + C.

37. I =

∫dx

sin2 x cos2 x, sin x cos x , 0.

Решение.

I =

∫sin2 x + cos2 xsin2 x cos2 x

dx =

∫dx

cos2 x+

∫dx

sin2 x= tg x − ctg x + C.

38. I =

∫dx

sin x, 0 < x < π. Отг. I = ln tg

x2

+ C.

39. I =

∫dx

cos x, −

π

2< x <

π

2. Отг. I = ln tg

(π4

+x2

)+ C.

40. I =

∫tg x dx, −

π

2< x <

π

2. Отг. I = − ln cos x + C.

41. I =

∫dx

a sin x + b cos x, a sin x + b cos x , 0.

Упътване. Положете

a = ρ cos Θ, b = ρ sin Θ;

тогава

I =1ρ

∫dx

sin(x + Θ).

Отг. I =1ρ

ln∣∣∣∣tg x + Θ

2

∣∣∣∣ + C.

42. I =

∫dx

ex + e−x . Отг. I = arctg ex + C.

43. I =

∫dx

ex + 1. Отг. I = ln

ex

1 + ex + C.


§ 5. Интегриране по части

Нека функциите u(x) и v(x) са диференцуеми в някой интервал ∆ и некафункцията v(x)u′(x) има примитивна в този интервал. В такъв случай функ-цията u(x)v′(x) също има примитивна и

(1)∫

u(x)v′(x) dx = u(x)v(x) −∫

v(x)u′(x) dx + C.

За да установим това, достатъчно е да покажем, че функцията

u(x)v(x) −∫

v(x)u′(x) dx

е един неопределен интеграл за функцията u(x)v′(x). Това се вижда непос-редствено от следното равенство:[

u(x)v(x) −∫

v(x)u′(x) dx]′

= [u(x)v(x)]′ −[∫

v(x)u′(x) dx]′

= u′(x)v(x) + u(x)v′(x) − v(x)u′(x) = u(x)v′(x).

Ние обикновено ще пишем равенството (1) във вида

(2)∫

u(x) dv(x) = u(x)v(x) −∫

v(x) du(x) + C.

Равенството (2) се нарича формула за интегриране по части.Пример 1. 1 Да се пресметне интегралът

I =

∫ln x dx, x > 0.

Решение. Прилагаме формулата (2), като избираме

u(x) = ln x, v(x) = x.

Тази формула ни дава∫ln x dx = (ln x)x −

∫x d ln x = x ln x −

∫x ·

1x

dx

= x ln x −∫

dx = x ln x − x + C.


§ 5. Интегриране по части 27


I =

∫x ln x dx, x > 0.

Решение. Очевидно

I =12

∫ln x dx2.

Прилагаме формулата (2), като избираме

u(x) = ln x, v(x) = x2.

Това ни дава

I =12

(ln x)x2 −12

∫x2 d ln x =

x2 ln x2−

12

∫x2 dx

x

=x2 ln x

2−

12

∫x dx =

x2 ln x2−

14

x2 + C.


I =

∫x arctg x dx.

Решение. Очевидно

I =12

∫arctg x dx2 =

12

x2 arctg x −12

∫x2 d arctg x

=12

x2 arctg x −12

∫x2 dx

1 + x2 =x2 arctg x

2−

12

∫x2 + 1 − 1

1 + x2 dx

=x2 arctg x

2−

12

∫dx +

12

∫dx

1 + x2

=x2 arctg x

2−

12

x +12

arctg x + C.


I =

∫√

x2 − a2 dx, x > a > 0.


Решение. Като се възползуваме от формулата за интегриране по части,намираме

I = x√

x2 − a2 −

∫x d√

x2 − a2 = x√

x2 − a2 −

∫x2

√x2 − a2

dx

= x√

x2 − a2 −

∫x2 − a2 + a2√

x2 − a2dx

= x√

x2 − a2 −

∫√

x2 − a2 dx − a2∫

dx√

x2 − a2

= x√

x2 − a2 − I − a2 ln(

x +√

x2 − a2)

+ C.

Оттук получаваме

2I = x√

x2 − a2 − a2 ln(

x +√

x2 − a2)

+ C


I =x√

x2 − a2 − a2 ln(

x +√

x2 − a2)

+ C

2.

Забележка. Като приложихме формулата за интегриране по части, ниеизползувахме в същност, че функцията

ϕ(x) =x2

√x2 − a2

има примитивна в интервала x > a. Това обаче не се вижда непосредстве-но от изложеното досега, поради което решението не може да се счита зазавършено. След като обаче веднъж е получена функцията

F(x) =x√

x2 − a2 − a2 ln(

x +√

x2 − a2)

2,

ние можем да установим лесно, че тя наистина е една примитивна на фун-кцията

√x2 − a2 при x > a. За целта е достатъчно да покажем с директно

пресмятане, чеF′(x) =

√x2 − a2.

По-късно ще покажем, че ако една функция е непрекъсната в един ин-тервал, тя сигурно има примитивна в този интервал, нещо, което ще ниосвободи от необходимостта да прецизираме изложеното тук решение. Нека


отбележим обаче, че средствата, с които разполагаме досега, също ни да-ват възможност да установим (макар и по-сложно), че функцията ϕ(x) имапримитивна при x > a. Това може да стане например така: полагаме

x = a3 − t1 + t

,

където −1 < t < 1; в такъв случай интегралът∫x2

√x2 − a2

dx

се преобразува формално в интеграла

g(t) = −4a2√

8

∫(3 − t)2

(1 − t)4√

1 − tdt;

функцията

h(t) = −4a2√

8(3 − t)2

(1 + t)4√

1 − tобаче има примитивна в интервала −1 < t < 1, защото е развиваема в сте-пенен ред, както ни учи Нютоновият бином и правилото за умножаване наредове; след като е установено съществуването на една примитивна функ-ция на h(t) при −1 < t < 1, ние можем да твърдим въз основа на теоремата засмяна на променливите, че функцията ϕ(x) също има примитивна при x > a.


I =

∫√

a2 − x2 dx, a > 0, −a < x < a.

Решение. Като използуваме формулата за интегриране по части, нами-раме

I = x√

a2 − x2 −

∫x d√

a2 − x2 = x√

a2 − x2 +

∫x2

√a2 − x2

dx

= x√

a2 − x2 −

∫−a2 + a2 − x2√

a2 − x2dx

= x√

a2 − x2 + a2

∫dx

√a2 − x2

−

∫√

a2 − x2 dx

= x√

a2 − x2 + a2

∫ dxa√

1 −( x

a

)2− I

= x√

a2 − x2 + a2 arcsinxa− I + C.



2I = x√

a2 − x2 + a2 arcsinxa

+ C


I =x√

a2 − x2 + a2 arcsinxa

+ C

2.

Забележка 1. Сравнете с предната задача. Съществуването на неопреде-ления интеграл ∫

x2√

a2 − x2dx

при −a < x < a, което използувахме при интегрирането по части, следванапример от това, че подинтегралната функция е развиваема в степенен редпри −a < x < a. Както вече имахме случай да отбележим, това ще следваи от общата теорема (която ще докажем по-късно) за съществуване на не-определен интеграл във всеки интервал, в който подинтегралната функция енепрекъсната.1

Забележка 2. В пример 13, § 4 на тази глава е посочено как разглежда-ният тук интеграл може да се пресметне със субституция.


In =

∫xnex dx,

където n е цяло положително число.Решение. Очевидно

In =

∫xn dex = xnex −

∫ex dxn = xnex − n

∫xn−1ex dx

или

(3) In = xnex − nIn−1.

Така намерената рекурентна зависимост ни позволява да изразим In чрезIn−1. Прилагайки няколко пъти формулата (3), добиваме възможност да из-разим In чрез познатия интеграл

I0 =

∫ex dx = ex + C.

1В бъдеще често ще има място за подобни забележки, обаче ние повече няма да гиправим.


Така например, за да пресметнем интеграла

I3 =

∫x3ex dx,

използуваме равенствата

I3 = x3ex − 3I2,

I2 = x2ex − 2I1,

I1 = xex − I0,

I0 = ex + C.

Като елиминираме I2, I1, I0, получаваме

I3 = x3ex − 3x2ex + 6xex − 6ex + C1,

където сме положили −6C = C1.Пример 7. Да се пресметне интегралът

In =

∫dx

(1 + x2)n ,

където n е цяло положително число.Решение. При n = 1 имаме познат интеграл. Нека n > 1. В такъв случай

извършваме следните преобразувания:∫1

(1 + x2)n dx =

∫1 + x2 − x2

(1 + x2)n dx =

∫dx

(1 + x2)n−1 −

∫x2 dx

(1 + x2)n

= In−1 −12

∫x d(x2 + 1)(1 + x2)n = In−1 +

12(n − 1)

∫x d

1(1 + x2)n−1

= In−1 +1

2(n − 1)·

x(1 + x2)n−1 −

12(n − 1)

∫1

(1 + x2)n−1 dx

= In−1 +1

2(n − 1)·

x(1 + x2)n−1 −

12(n − 1)

· In−1.


In =x

2(n − 1)(1 + x2)n−1 +2n − 32n − 2

In−1.

Като продължим няколко пъти тази формула или като повторим няколкопъти разсъжденията, с помощта на които я получихме, стигаме до познатияинтеграл

I1 =

∫dx

1 + x2 = arctg x + C.


Като пример да пресметнем интеграла

I2 =

∫dx

(1 + x2)2 .

Очевидно имаме∫dx

(1 + x2)2 =

∫1 + x2 − x2

(1 + x2)2 dx =

∫dx

1 + x2 −

∫x2 dx

(1 + x2)2

= arctg x −12

∫x d(x2 + 1)(1 + x2)2 = arctg x −

12

∫x(1 + x2)−2 d(1 + x2)

= arctg x −12

∫x d

(1 + x2)−2+1

−2 + 1= arctg x +

12

∫x d

11 + x2

= arctg x +x

2(1 + x2)−

12

∫1

1 + x2 dx

= arctg x +x

2(1 + x2)−

12

arctg x + C


I2 =x

2(1 + x2)+

12

arctg x + C.

Сравнете с пример 14 към § 4 на тази глава.Пример 8. Да се пресметне интегралът

Im,n =

∫sinm x cosn x dx,

където числата m и n са цели (положителни, отрицателни или нули).Решение. При m , −1 имаме

Im,n =

∫sinm x cosn−1 x . cos x dx =

∫sinm x cosn−1 x d sin x

=1

m + 1

∫cosn−1 x d sinm+1 x

=cosn−1 x sinm+1 x

m + 1−

1m + 1

∫sinm+1 x d cosn−1 x


m + 1−

1m + 1

∫(sinm+1 x)(n − 1)(cosn−2 x)(− sin x) dx


m + 1+

n − 1m + 1

∫sinm+2 x cosn−2 x dx


m + 1+

n − 1m + 1

∫sinm x sin2 x cosn−2 x dx



m + 1+

n − 1m + 1

∫sinm x(1 − cos2 x) cosn−2 x dx


m + 1+

n − 1m + 1

∫sinm x cosn−2 x dx −

n − 1m + 1

∫sinm x cosn x dx


m + 1+

n − 1m + 1

Im,n−2 −n − 1m + 1

· Im,n.

Оттук намираме

(4) (n + m)Im,n = cosn−1 x sinm+1 x + (n − 1)Im,n−2.

Тази формула, която изведохме при предположение, че m , −1, е вярна и приm = −1, както това се вижда, като сравним производните на двете страни наравенството (4).

По същия начин получаваме при n , −1

Im,n =

∫sinm−1 x cosn x sin x dx = −

∫sinm−1 x cosn x d cos x

= −1

n + 1

∫sinm−1 x d cosn+1 x

= −sinm−1 x cosn+1 x

n + 1+

m − 1n + 1

∫cosn+2 x sinm−2 x dx


n + 1+

m − 1n + 1

∫cosn x(1 − sin2 x) sinm−2 x dx


n + 1+

m − 1n + 1

Im−2,nm − 1n + 1

Im,n.

Оттук намираме1

(5) (m + n)Im,n = − sinm−1 x cosn+1 x + (m − 1)Im−2,n.

С помощта на формулите (4) и (5) ние можем да изразим Im,n чрез Im,n−2и Im−2,n, стига да имаме m + n , 0. Ние имаме интерес да си служим сформулата (4), съответно (5), когато числото n, съответно m, е по-голямоот 1.

Ако числото n е отрицателно и n + 1 , 0, бихме могли да постъпим последния начин:∫

sinm x cosn x dx =

∫sinm+2 x cosn x

dxsin2 x

= −

∫sinm+2 x cosn x d ctg x

1Това равенство е валидно и при n = −1; в това се убеждаваме, като сравним производ-ните на двете му страни.


= −

∫sinm+n+2 x

cosn xsinn x

d ctg x = −

∫sinm+n+2 x(ctg x)n d ctg x

= −1

n − 1

∫sinm+n+2 x d(ctg x)n+1

= −1

n + 1sinm+n+2 x ctgn+1 x +

1n + 1

∫ctgn+1 x d sinm+n+2 x

=−1

n + 1sinm+n+2 x ctgn+1 x +

m + n + 2n + 1

∫ctgn+1 x sinm+n+1 x cos x dx

=− sinm+1 x cosn+1 x

n + 1+

m + n + 2n + 1

∫sinm x cosn+2 x dx,

откъдето1

(6) Im,n = −sinm+1 x cosn+1 x

n + 1+

m + n + 2n + 1

Im,n+2.

По този начин изразихме интеграла Im,n чрез Im,n+2. Аналогично при m+1 , 0намираме∫

sinm x cosn x dx =

∫sinm x cosn+2 x

dxcos2 x

=

∫ (sin xcos x

)m

cosn+m+2 x d tg x

=

∫(tg x)m cosn+m+2 x d tg x =

1m + 1

∫cosn+m+2 x d(tg x)m+1

=1

m + 1cosm+n+2 x tgm+1 x −

1m + 1

∫tgm+1 x d cosn+m+2 x

=cosn+1 x sinm+1 x

m + 1+

n + m + 2m + 1

∫tgm+1 x cosn+m+1 x sin x dx,

откъдето2

(7) Im,n =cosn+1 x sinm+1 x

m + 1+

n + m + 2m + 1

Im+2,n.

Ние използуваме формулата (7), когато числото m е отрицателно.Като приложим няколко пъти формулите (4), (5), (6) и (7) или още по-

добре, като повторим няколко пъти разсъжденията, с помощта на които гиполучихме, можем винаги да изразим интеграла Im,n чрез някой от следнитепознати интеграли:

I0,0 =

∫dx = x + C;

1Формулите (4) и (6) не са съществено различни. За да се убедим в това, достатъчно еда решим равенството (4) относно Im,n−2 и да заменим n с n + 2.

2Формулите (5) и (7) не са съществено различни.


I1,0 =

∫sin x dx = − cos x + C;

I0,1 =

∫cos x dx = sin x + C;

I1,1 =

∫sin x cos x dx =

∫sin x d sin x =

sin2 x2

+ C;

I1,−1 =

∫sin xcos x

dx = −

∫d cos xcos x

= − ln | cos x| + C;

I−1,1 =

∫cos xsin x

dx =

∫d sin xsin x

= ln | sin x| + C;

I−1,0 =

∫dx

sin x=

∫dx

2 sinx2

cosx2

=

∫ dx

2 cos2 x2

tgx2

=

∫d tg

x2

tgx2

= ln∣∣∣tg x

2

∣∣∣ + C;

I−1,−1 =

∫dx

sin x cos x=

∫dx

cos2 xtg x

=

∫d tg xtg x

= ln | tg x| + C;

I0,−1 =

∫dx

cos x=

∫d(

x + π2

)sin(π2 + x

) = ln∣∣∣tg(π

4+

x2

)∣∣∣ + C.

Така например ние можем да пресметнем интеграла

I2,0 =

∫sin2 x dx

по следния начин:

I2,0 =

∫sin x sin x dx = −

∫sin x d cos x = − sin x cos x +

∫cos x d sin x

= − sin x cos x +

∫cos2 x dx = − sin x cos x +

∫(1 − sin2 x) dx

= − sin x cos x + x − I2,0 + C,

откъдето2I2,0 = − sin x cos x + x + C



I2,0 =− sin x cos x + x + C

2.

Сравнете с пример 9 в § 4 на тази глава.Като втори пример ще разгледаме интеграла

I0,−3 =

∫dx

cos3 x, −

π

2< x <

π

2.

Очевидно имаме∫dx

cos3 x=

∫sin2 xcos3 x

dxsin2 x

= −

∫sin−1 x ctg−3 x d ctg x

=12

∫sin−1 x d ctg−2 x =

12

sin−1 x ctg−2 −12

∫ctg−2 x d sin−1 x

=12

sin xcos2 x

+12

∫dx

cos x=

12

sin xcos2 x

+12

ln tg( x

2+π

4

)+ C.

Разгледаните тук общи пътища за пресмятане на интеграли от вида

Im,n =

∫sinm x cosn x dx

не винаги са най-простите. Така например, за да пресметнем интеграла

I0,3 =

∫cos3 x dx,

по-добре е да постъпим така:∫cos3 x dx =

∫cos2 x d sin x =

∫(1 − sin2 x) d sin x = sin x −

sin3 x3

+ C.

Същото се отнася за интеграла∫dx

cos4 x=

∫cos2 x + sin2 x

cos4 xdx =

∫dx

cos2 x+

∫tg2 x

dxcos2 x

= tg x +

∫tg2 x d tg x = tg x +

13

tg3 x + C.

Пример 9. Да се пресметнат интегралите

I1 =

∫eax cos bx dx,


I2 =

∫eax sin bx dx

при a2 + b2 , 0.Решение. Формулата за интегриране по части ни дава при a , 0∫

eax cos bx dx =1a

∫cos bx deax =

eax

acos bx +

ba

∫eax sin bx dx,∫

eax sin bx dx =1a

∫sin bx deax =

eax

asin bx −

ba

∫eax cos bx dx

или по-кратко

I1 =eax

acos bx +

ba

I2,

I2 =eax

asin bx −

ba

I1.

(Ние не пишем интеграционните константи само за краткост.)Оттук намираме

I1 =eax[a cos bx + b sin bx]

a2 + b2 ,

I2 =eax[a sin bx − b cos bx]

a2 + b2 .

Ние получихме тези формули при предположението, че a , 0. Те савалидни обаче и при по-общото предположение, че имаме a2 + b2 , 0, коетосе вижда с директна проверка.

Задачи


1. I =

∫xn ln x dx, x > 0, n , −1. Отговор. I =

xn+1

n + 1ln x −

xn+1

(n + 1)2 + C.

2. I =

∫xn(ln x)2 dx, x > 0, x , −1.

Отговор. I =xn+1

n + 1(ln x)2 −

2(n + 1)2 xn+1 ln x +

2(n + 1)3 xn+1 + C.

3. I =

∫x3ex dx. Отговор. I = ex(x3 − 3x2 + 6x − 6) + C.

4. I =

∫x2 cos x dx. Отговор. I = (x2 − 2) sin x + 2x cos x + C.

5. I =

∫x2

√1 − x2

dx, −1 < x < 1. Отговор. I = −12

x√

1 − x2 +12

arcsin x + C.

6. I =

∫√

a2 + x2 dx. Отговор. I =12

[x√

a2 + x2 + a2 ln(

x +√

a2 + x2)

+ C].


7. I1 =

∫eax cos bx dx, I2 =

∫eax sin bx dx, a2 + b2 , 0.

Отговор. I1 = eax b sin bx + a cos bxa2 + b2 + C1, I2 = eax −b cos bx + a sin bx

a2 + b2 + C2.

8. I =

∫arcsin x dx, −1 < x < 1. Отговор. I = x arcsin x +

√1 − x2 + C.

9. I =

∫arctg x dx. Отговор. I = x arctg x −

12

ln(1 + x2) + C.

10. I =

∫x arcsin x dx, −1 < x < 1. Отговор. I =

2x2 − 14

arcsin x +x4

√1 − x2 + C.

11. I =

∫x2 arcsin x dx, −1 < x < 1. Отговор. I =

2 + x2

9

√1 − x2 +

x3

3arcsin x + C.

12. I =

∫x arctg x dx. Отговор. I =

12

(x2 arctg x − x + arctg x) + C.

13. I =

∫arctg x

x2 dx, x > 0. Отговор. I = −arctg x

x+ ln

x√

1 + x2+ C.

14. I =

∫cos2 x dx. Отговор. I =

x + sin x cos x2

+ C.

15. I =

∫sin2 x dx. Отговор. I =

x − sin x cos x2

+ C.

16. I =

∫cos4 x dx. Отговор. I =

14

cos3 x sin x +38

cos x sin x +38

x + C.

17. I =

∫dx

sin4 x, 0 < x < π. Отговор. I = − cotg x −

13

cotg3 x + C.

18. I =

∫dx

sin2 x cos4 x, 0 < x <

π

2. Отговор. I = tg x +

13

tg3 x − 2 cotg 2x + C.

19. I =

∫sinn−1 x cos(n + 1)x dx.

Отговор. I =

∫sinn−1 x(cos nx cos x − sin nx sin x) dx

=1n

∫cos nx d sinn x −

∫sinn x sin nx dx

=sinn x cos nx

n−

1n

∫sinn x d cos nx −

∫sinn x sin nx dx

=sinn x cos nx

n+ C.

20. I =

∫dx

(1 + x2)2 . Отговор. I =arctg x

2+

12·

x1 + x2 + C.

21. I =

∫dx

(1 + x2)3 . Отговор. I =38

arctg x +3x

8(1 + x2)+

x4(1 + x2)2 + C.

22. I =

∫arctg

√x dx, x > 0. Отговор. I = (x + 1) arctg

√x −√

x + C.

23. I =

∫arcsin x

(1 − x2)32

dx, −1 < x < 1.

Отговор. I =

∫arcsin x d

x√

1 − x2=

x√

1 − x2arcsin x −

∫x dx

1 − x2

=x

√1 − x2

arcsin x +12

ln(1 − x2) + C.

24. I1 =

∫xearcsin x√

1 − x2dx, I2 =

∫earcsin x dx, −1 < x < 1.

§ 6. Разлагане на дробни рационални функции 39

Отговор. I1 =x −√

1 − x2

2earcsin x + C1, I2 =

x +√

1 − x2

2earcsin x + C2.

25. I =

∫sin(ln x) dx, x > 0. Отговор. I = x

sin(ln x) − cos(ln x)2

+ C.

26. I =

∫eax cos2 x dx, a , 0. Отговор. I = eax

[sin 2xa2 + 4

+a2

cos 2xa2 + 4

+12a

].

27. I =

∫earctg x

(1 + x2)32

dx. Отговор. I =x + 1

2√

1 + x2earctg x + C.

28. I =

∫e2x√

ex − 1dx, x > 0. Отговор. I =

23

(ex + 2)√

ex − 1 + C.

29. I =

∫x arcsin x√

1 − x2dx, −1 < x < 1. Отговор. I = x −

√1 − x2 arcsin x + C.

30. I =

∫ln(

x +√

1 + x2)

dx.

Отговор. I = x ln(

x +√

1 + x2)−√

1 + x2 + C.

31. I =

∫ln(√

1 − x +√

1 + x)

dx, −1 < x < 1.

Отговор. I = x ln(√

1 − x +√

1 + x)

+12

(arcsin x − x) + C.

32. I =

∫xex cos x dx. Отговор. I =

12

xex(sin x + cos x) −12

ex sin x + C.

33. I =

∫x(arctg x)2 dx.

Отговор. I =12

(x arctg x)2 +12

(arctg x) − x arctg x +12

ln(1 + x2) + C.

§ 6. Разлагане на дробни рационални функции1

В този и следващите два параграфа ще изложим един общ метод запресмятане на интеграли от рационални функции. Една функция R(x) се

1В този параграф ние ще използуваме особено много познанията на читателя от висшатаалгебра. Така ние ще предполагаме, че читателят е запознат с комплексните числа и познаваосновните свойства на полиномите.


нарича рационална, когато тя може да се представи1 във вида2

R(x) =p0xn + p1xn−1 + · · · + pn

q0xm + q1xm−1 + · · · + qm, q0 , 0,

където коефициентите p0, p1, . . . , pn; q0, q1, . . . , qm и целите неотрицателничисла n и m не зависят от x. Ние ще разглеждаме само рационални функциис реални коефициенти.

Да разгледаме полинома

f (x) = q0xm + q1xm−1 + · · · + qm.

Нека a е корен на уравнението f (x) = 0. Както е известно от висшата алгеб-ра, полиномът f (x) може да се представи във вида3

f (x) = (x − a)αϕ(x),1В цялата дефиниционна област2Читателят знае, че ако m = 0, то R(x) се нарича полином. Тази терминология ни позво-

лява да изкажем по следния начин дефиницията на понятието (дробна) рационална функция.Една функция се нарича рационална, когато тя може да се представи като частно на дваполинома. (При това се иска, разбира се, полиномът в знаменателя да не се анулира тъждес-твено.)

3Доказателството може да се извърши например с помощта на формулата на Тейлор заполиноми, която, както е известно от висшата алгебра, е валидна и в областта на комплекс-ните числа. И наистина нека α е най-малкото цяло положително число, за което f α(a) , 0.Такова число сигурно съществува, защото

f (m)(a) = q0m! , 0.

Да разгледаме формулата на Тейлор

f (x) = f (a) +f ′(a)1!

(x − a) +f ′′(a)

2!(x − a)2 + · · · +

f m(a)m!

(x − a)m.

Като вземем под внимание, че

f (a) = · · · = f (α−1)(a) = 0,

намираме

f (x) =f (α)(a)α!

(x − a)α + · · · +f (m)(a)

m!(x − a)m.

Да положим

ϕ(x) =f (α)(a)α!

+ · · · +f (m)(a)

m!(x − a)m−α.

В такъв случайf (x) = (x − a)αϕ(x)

и

ϕ(a) =f α(a)α!, 0.


където ϕ(x) е полином, α— цяло положително число1 и ϕ(a) , 0. Ако коренътa е реален, то коефициентите на ϕ(x) са също така реални.

Да положим за краткост

g(x) = p0xn + p1xn−1 + · · · + pn.

Нека коренът a е реален. Ние ще покажем, че може да се намери едноз-начно реална константа A и полином с реални коефициенти h(x) по такъвначин, че да имаме

(1)g(x)f (x)

=A

(x − a)α+

h(x)(x − a)α−1ϕ(x)

.

Ще започнем с най-простия въпрос — с въпроса за единственост.Да допуснем за момент, че наистина съществува константа A и полином

h(x) с исканото свойство. В такъв случай имаме

(2) g(x) = Aϕ(x) + h(x)(x − a).

Равенството (1) има смисъл, разбира се, само при такива стойности наx, за които f (x) , 0. По-специално трябва да имаме x , a. Поне при тезистойности на x е валидно и равенството (2). По този начин е осигуренавалидността на равенството (2) при безбройно много стойности на x. Оттова обаче следва, че това равенство е валидно при всички стойности на xбез изключение.2 Специално при x = a получаваме

g(a) = Aϕ(a)


(3) A =g(a)ϕ(a)

и

(4) h(x) =ϕ(a)g(x) − g(a)ϕ(x)

(x − a)ϕ(a).

С това е показано, че константата A и полиномът h(x) не могат да бъдатдруги освен тези, които се дават от равенствата (3) и (4) (ако въобще ин-

тересуващата ни задача за представяне на функциятаg(x)f (x)

във вида (1) има

1Числото α се нарича кратност на корена a.2Ние знаем, че ако два полинома приемат една и съща стойност при безбройно много

стойности на независимата променлива, те са тъждествено равни помежду си.


решение). По този начин ние получихме (положителен) отговор на въпросаза единственост.

Преминаваме към въпроса за съществуване. Тук ще се ръководим отрезултатите, които добихме, изследвайки въпроса за единственост.

Разглеждаме помощния полином

(5) ψ(x) = g(x) − Aϕ(x),

където1

A =g(a)ϕ(a)

.

В такъв случай очевидно имаме

ψ(a) = g(a) −g(a)ϕ(a)

ϕ(a) = 0.

Въз основа на този резултат ние можем да твърдим (както ни учи висшатаалгебра2), че полиномът ψ(x) се дели без остатък на x − a. Това означава, чеполиномът ψ(x) може да се представи във вида

(6) ψ(x) = (x − a)h(x),

където h(x) е полином. Равенствата (5) и (6) ни дават

g(x) = Aϕ(x) + (x − a)h(x),

откъдетоg(x)f (x)

=Aϕ(x)f (x)

+(x − a)h(x)

f (x)и следователно

g(x)f (x)

=A

(x − a)α+

h(x)(x − a)α−1ϕ(x)

.

1При избора на константа A ние се ръководим от равенство (3).2Верността на това твърдение е очевидна, ако полиномът ψ(x) се анулира тъждествено.

Ако полиномът ψ(x) не се анулира тъждествено, ние ще означим с k неговата степен. Втакъв случай, като вземем под внимание, че ψ(a) = 0, получаваме от формулата на Тейлорравенството

ψ(x) =ψ′(a)

1!(x − a) +

ψ′′(a)2!

(x − a)2 + · · · +ψ(k)(a)

k!(x − a)k

или

ψ(x) = (x − a)[ψ′(a)

1!+ψ′′(a)

2!(x − a) + · · · +

ψ(k)(a)k!

(x − a)k−1].

С това твърдението е доказано.


С това ние доказахме, че е възможно да се намери по такъв начин еднаконстанта A и един полином h(x), че да имаме (1) при всички стойности наx, за които f (x) , 0.

Като приложим няколко пъти получения резултат, ние добиваме възмож-

ност да представим функциятаg(x)f (x)

във вида

(7)g(x)f (x)

=A1

(x − a)α+

A2

(x − a)α−1 + · · · +Aα

x − a+

p(x)ϕ(x)

,

където A1, A2, . . . , Aα са константи, а p(x) е полином на x. За да се убедим в

това, представямеg(x)f (x)

във вида

g(x)f (x)

=A1

(x − a)α+

g1(x)(x − a)α−1ϕ(x)

,

където A1 е константа, а g1(x) е полином. Както вече знаем от току-що дока-заната теорема, това може да се направи. Като приложим още веднъж тазитеорема, заключаваме, че функцията

g1(x)(x − a)α−1ϕ(x)

може да се представи във вида

g1(x)(x − a)α−1ϕ(x)

=A2

(x − a)α−1 +g2(x)

(x − α)α−2ϕ(x)

(разбира се, когато α − 1 > 0).Продължавайки тези разсъждения, намираме

g2(x)(x − a)α−2ϕ(x)

=A3

(x − a)α−2 +g3(x)

(x − a)α−3ϕ(x),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .gα−1(x)

(x − a)ϕ(x)=

Aαx − a

+gα(x)ϕ(x)

.

От тази верига равенства получаваме равенството (7), където

p(x) = gα(x).

Представянето (7) е валидно и тогава, когато a е комплексно число. Втакъв случай обаче ние не можем да твърдим изобщо, че коефициентите


A1, A2, . . . , Aα са реални. Но и в този случай ние можем да дадем едно раз-

лагане на рационалната функцияg(x)f (x)

, при което няма да става нужда да

напускаме областта на реалните числа.От висшата алгебра е известно следното: ако коефициентите на уравне-

ниетоf (x) = 0,

къдетоf (x) = q0xm + q1xm−1 + · · · + qm

са реални и a е един корен на това уравнение от кратност α, то числото aе също1 негов корен от кратност α. В случая, когато коренът a не е реален,ние можем (както знаем от висшата алгебра) да представим полинома f (x)във вида

f (x) = (x − a)α(x − a)αP(x),

където P(x) е полином с реални коефициенти и P(a) , 0. Разкривайки ско-бите, ние получаваме

(x − a)(x − a) = x2 − (a + a)x + aa.

Ако означим реалните числа −(a + a) и aa съответно с p и q, получаваме

f (x) = (x2 + px + q)α

P(x).

И така нека коренът a не е реален. Ще покажем, че е възможно да сеизберат (и то еднозначно) две реални константи M и N и полином с реалникоефициенти Q(x) по такъв начин, че при f (x) , 0 да имаме

(8)g(x)f (x)

=Mx + N

(x2 + px + q)α+

Q(x)

(x2 + px + q)α−1P(x).

Ние и тук, както по-горе, ще започнем с по-простия (и по-малко инте-ресния) въпрос за единственост. Ако допуснем, че съществуват две реалниконстанти M и N и полином Q(x) с реални коефициенти, за които е изпъл-нено (8) при f (x) , 0, то в такъв случай при всички стойности на x щеимаме

(9) g(x) = (Mx + N)P(x) + Q(x)(x2 + px + q).

1Нека a = u + iv, където u и v са реални числа. Със знака a се означава числото u − iv.Числото a се нарича конюговано или спрегнато на a.


Специално при x = a получаваме

(10) g(a) = (Ma + N)P(a).

Да представим комплексните числа a иg(a)P(a)

във вида

a = u + iv,g(a)P(a)

= r + is,

където u, v, r, s са реални числа. В такъв случай уравнението (10) приемавида

(11) r + is = M(u + iv) + N.

Като приравним реалните и имагинерните части от двете страни на равенс-твото (11), намираме

r = Mu + N,

s = Mv.(12)

От тази система получаваме еднозначно M и N, защото v , 0 (тук ние из-ползуваме същественото условието за нереалност на корена a). След катоса определени еднозначно константите M и N, добиваме възможност да оп-ределим еднозначно и полинома Q(x), като си послужим с равенството (9).С това е решен интересуващият ни въпрос за единственост. За нашите нуж-ди е по-важен обаче съответният въпрос за съществуване. Преминаваме къмразглеждането на този въпрос, като се ръководим от резултатите, които по-лучихме, изследвайки единствеността.

Образуваме си системата (12) и определяме от нея M и N (реалнитечисла u, v, r и s са познати, защото числото a и полиномите g(x) и P(x) сададени). Ние можем да определим M и N от тази система, защото v , 0.Пресметнатите по този начин числа M и N са реални, защото числата u, v, rи s са реални.

Разглеждаме помощния полином

H(x) = g(x) − (Mx + N)P(x).

Този полином се анулира при x = a, защото при направения избор на конс-тантите M и N са изпълнени равенствата (12).


И наистина от равенствата (12) следва, че е изпълнено равенството (11),а от последното равенство следва равенството (10). От друга страна, кое-фициентите на H(x) са реални. Това ни дава право1 да заключим, че тозиполином се анулира и при x = a. Числата a и a са обаче различни, защотокоренът a не е реален. Оттук заключаваме, че полиномът H(x) се дели безостатък на полинома

(x − a)(x − a) = x2 + px + q.

Това значи, че имаме

(13) g(x) − (Mx + N)P(x) = (x2 + px + q)Q(x),

където Q(x) е полином. Като вземем под внимание, че константите M, N, p иq, както и коефициентите на полиномите g(x) и P(x) са реални, заключаваме,че коефициентите на полинома Q(x) са също реални.

От равенството (13) намираме

g(x)f (x)

=Mx + N

(x2 + px + q)α+

Q(x)(x2 + px + q)α−1P(x)

.

С това е решен и интересуващият ни въпрос за съществуване.Получените дотук резултати ни позволяват да представим всяка дробна

рационална функция2

(14) R(x) =g(x)

(x − a)α(x − b)β · · · (x2 + px + q)λ · · ·

1Това е известно от висшата алгебра. Доказателството може да се извърши например,като се възползуваме от лесно проверимите равенства ξ + η = ξ + η, ξη = ξη. И наистина некачислата a0, a1, . . . , an са реални; разглеждаме числото

c = a0an + a1an−1 + · · · + an−1a + an;

в такъв случай очевидно

c = a0an + a1an−1 + · · · + an−1a + an = a0an + a1an−1 + · · · + an−1a + an;

от друга страна, при c = 0 имаме c = 0 и следователно, ако α e корен на уравнението

a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an = 0,

коефициентите на което са реални, то числото a e корен на същото уравнение.2Без да ограничаваме общността, можем да считаме, че коефициента q0 пред xm в поли-

номаf (x) = q0 xm + q1 xm−1 + · · · + qm−1 x + qm

е равен на единица.


във вида

R(x) =A1

(x − a)α+

A2

(x − a)α−1 + · · · +Aα

x − a

+B1

(x − b)β+

B2

(x − b)β−1 + · · · +Bβ

x − b+ · · ·

+M1x + N1

(x2 + px + q)λ+

M2x + N2

(x2 + px + q)λ−1 + · · · +Mλx + Nλ

x2 + px + q+ · · · + S (x),

където A1, A2, . . . ,Mλ,Nλ са константи и S (x) e полином.Да разгледаме като пример функцията

(15) R(x) =x4

(x − 1)2(x + 1)(x2 + x + 1)2

В такъв случай съгласно, това, което доказахме, ние можем да представим функцията R(x)във вида

(16) R(x) =A1

(x − 1)2 +A2

x − 1+

Bx + 1

+M1 x + N1

(x2 + x + 1)2 +M2 x + N2

x2 + x + 1+ S (x),

където A1, A2, M1, M2, N2 са константи и S (x) е полином. И наистина1, както знаем, ниеможем да представим функцията

R(x) =x4

(x − 1)2[(x + 1)(x2 + x + 1)2

]във вида

R(x) =A1

(x − 1)2 +g1(x)

(x − 1)[(x + 1)(x2 + x + 1)2],

където A1 е константа и g1(x) е полином. Като извършим аналогично разлагане на функцията

g1(x)(x − 1)[(x + 1)(x2 + x + 1)2]

въз основа на същата помощна теорема, получаваме

R(x) =A1

(x − 1)2 +A2

x − 1+

g2(x)(x + 1)(x2 + x + 1)2 ,

където A2 е константа и g2(x) е полином.Като разложим по аналогичен начин функцията

g2(x)(x + 1)(x2 + x + 1)2 ,

получаваме

R(x) =A1

(x − 1)2 +A2

x − 1+

Bx + 1

+g3(x)

(x2 + x + 1)2 ,

където B е константа и g3(x) е полином.

1Изводът на общата формула (14) става, разбира се, по същия начин. Нека читателят самобмисли подробностите.


По-нататък разлагаме функцията

g3(x)(x2 + x + 1)2 .


R(x) =A1

(x − 1)2 +A2

x − 1+

Bx + 1

+M1 x + N1

(x2 + x + 1)2 +g4(x)

x2 + x + 1,

където M1 и N1 са реални константи и g4(x) е полином. Като разложим най-сетне функцията

g4(x)x2 + x + 1

,


R(x) =A1

(x − 1)2 +A2

x − 1+

Bx + 1

+M1 x + N1

(x2 + x + 1)2 +M2 x + N2

x2 + x + 1+ S (x),

където M2 и N2 са реални константи и S (x) е полином. С това ние получаваме желанотопредставяне (16).

В нашия специален случай полиномът S (x) се анулира тъждествено. И наистина, катосе освободим от знаменателя, получаваме

(17) x4 = (x − 1)2(x + 1)(x2 + x + 1)2[

A1

(x − 1)2 +A2

x − 1+

Bx + 1

+M1 x + N1

(x2 + x + 1)2 +M2 x + N2

x2 + x + 1

]+ (x − 1)2(x + 1)(x2 + x + 1)2S (x).

Изразът

(x − 1)2(x + 1)(x2 + x + 1)2[

A1

(x − 1)2 +A2

x − 1+

Bx + 1

+M1 x + N1

(x2 + x + 1)2 +M2 x + N2

x2 + x + 1

]представлява полином1, чиято степен е сигурно по-малка2 от 7. Нека допуснем за момент, чеполиномът S (x) не се анулира тъждествено. В такъв случай произведението

S (x)(x − 1)2(x + 1)(x2 + x + 1)2

представлява полином, чиято степен сигурно не е по-малка3 от 7. От това заключаваме, чев дясната страна на равенството (17) имаме полином, чиято степен не е по-малка от 7. Това

1След разкриване на счупените скоби знаменателите се съкращават.2Нека обърнем внимание върху това, че степента на полинома

(x − 1)2(x + 1)(x2 + x + 1)2,

който фигурира в знаменателя на дробната рационална функция (15), е равна на 7.3Когато S (x) е (различна от нула) константа, степента на произведението

S (x)(x − 1)2(x + 1)(x2 + x + 1)2

е равна на 7. Когато S (x) е полином от по-висока степен, степента на разглежданото произ-ведение е по-голяма от 7.


обаче не е възможно, защото в лявата страна на това равенство имаме полином, чиято степене по-малка от 7.

Тези разсъждения могат да се извършат и в общия случай. Те ни позво-ляват да твърдим, че ако числителят g(x) на рационалната функция R(x) =g(x)f (x)

има степен, по-малка от степента на знаменателя

f (x) = (x − a)α(x − b)β · · · (x2 + px + q)λ · · · ,

то полиномът S (x) във формулата (14) сигурно се анулира тъждествено.1 Не-ка отбележим на това място, че извършвайки деление, ние можем да предс-тавим всяка дробна рационална функция като сума от един полином и единостатък, който представлява дробна рационална функция, при която степен-та на числителя е по-малка от степента на знаменателя. Поради това сепрепоръчва да се извърши делението, преди да се използува формулата (14).

Като пример да разгледаме функцията

R(x) =x5 + x4 − x2 − x + 1

x3 − 1.

Тук степента на числителя е по-висока от степента на знаменателя. Поради това ниепърво извършваме деление, което ни дава

R(x) = x2 + x +1

x3 − 1.

Като приложим формулата (14) към дробната рационална функция1

x3 − 1, при която степента

на числителя е вече по-малка от степента на знаменателя, получаваме2

1x3 − 1

=1

(x − 1)(x2 + x + 1)=

Ax − 1

+Mx + N

x2 + x + 1и следователно

R(x) = x2 + x +A

x − 1+

Mx + Nx2 + x + 1

.

Рационалните функции от вида

A(x − a)α

,Mx + N

(x2 + px + q)λ(p2 − 4q < 0),

1Нека читателят сам докаже това, като умножи двете части на равенството (14) с поли-нома

f (x) = (x − a)α(x − b)β · · · (x2 + px + q)λ · · ·

и сравни степените на полиномите, които ще получи по този начин от двете страни на товаравенство.

2Ние можем да твърдим сега, че полиномът S (x) от формулата (14) се анулира тъждест-

вено, защото степента на числителя на рационалната функция1

x3 − 1е по-малка от степента

на знаменателя и.


където A, M, N, a, p, q, α, λ са константи, от които константите α и λ са целии положителни, се наричат елементарни дроби. Използувайки тази термино-логия, ние можем да формулираме по следния начин резултата, до койтодостигнахме: всяка дробна рационална функция, при която степента начислителя е по-малка от степента на знаменателя, може да се представикато сума от елементарни дроби.

§ 7. Пресмятане на коефициентите(Продължение на § 6)

Пресмятането на коефициентите във формулата (14) от предния параг-раф може да се извърши по различни начини.

I. Ще разгледаме първо така наречения метод на сравняване на коефи-циентите (или както често се казва, метод на неопределените коефициенти).За целта се освобождаваме от знаменателите в равенството (14) от преднияпараграф и правим приведение на подобните членове. Като приравним кое-фициентите пред еднаквите степени на x в двете страни на така намереноторавенство, получаваме уравнения, от които определяме неизвестните коефи-циенти.1 Читателят най-добре ще разбере смисъла на това, което казахме,като проучи следващите примери.

Пример 1. Да се представи като сума от елементарни дроби следната рационална функ-ция:

R(x) =x3

(x − 1)(x3 − 1).

Решение. Разлагаме знаменателя на множители. Това ни дава

R(x) =x3

(x − 1)2(x2 + x + 1).

Степента на числителя на разглежданата рационална функция е по-малка от степента назнаменателя. Поради това ние можем да представим тази функция като сума от елементарнидроби така:

x3

(x − 1)2(x2 + x + 1)=

A(x − 1)2 +

Bx − 1

+Mx + N

x2 + x + 1.

По този начин задачата се свежда към пресмятането на коефициентите A, B, M и N, нещо,което може да стане, както казахме, по следния начин: освобождаваме се от знаменателите;това ни дава

x3 = A(x2 + x + 1) + B(x − 1)(x2 + x + 1) + (Mx + N)(x − 1)2

1Разбира се, тук е уместно да се постави въпросът, дали така получената система имарешение и дали това решение е единствено. Отговорът на този въпрос не е сложен. Твър-дението за съществуване и за единственост на решението на така получената система ееквивалентно с твърдението за съществуване (което ние доказахме) и за единственост (коетоние не доказахме, но което лесно се доказва) на представянето (14) от предния параграф иследователно е вярно. Ние тук изоставяме подробностите. Нека читателят сам ги обмисли.

§ 7. Пресмятане на коефициентите 51

или ощеx3 = (B + M)x3 + (A − 2M + N)x2 + (A + M − 2N)x + A − B + N;

приравняваме коефициентите пред съответните степени на x и получаваме

B + M = 1,

A − 2M + N = 0,

A + M − 2N = 0,

A − B + N = 0.

По този начин намерихме една линейна система относно неизвестните коефициенти A,B, M, N, от която получаваме

A =13, B =

23, M =

13, N =

13


x3

(x − 1)2(x2 + x + 1)=

13(x − 1)2 +

23(x − 1)

+x + 1

3(x2 + x + 1).


R(x) =1

x2(x − 1).

Решение. Съгласно формулата (14) от предния параграф имаме

1x2(x − 1)

=Ax2 +

Bx

+C

x − 1.

Оттук получаваме1 = A(x − 1) + Bx(x − 1) + Cx2

или1 = (C + B)x2 + (A − B)x − A.

Като приравним съответните коефициенти, намираме

C + B = 0,

A − B = 0,

−A = 1,

откъдетоA = −1, B = −1, C = 1.

II. Определянето на коефициентите във формулата (14) от предния па-раграф може да стане и по други начини. Ние ще изясним с няколко примерасъщността на един такъв начин.


R(x) =x + 2

x2 − 2x − 3.


R(x) =x + 2

(x + 1)(x − 3).


Степента на числителя в случая е по-малка от степента на знаменателя и следователно

x + 2(x + 1)(x − 3)

=A

x + 1+

Bx − 3

.

Освобождаваме се от знаменателя. Това ни дава

(1) x + 2 = A(x − 3) + B(x + 1).

Функцията R(x) е дефинирана, разбира се, само при онези стойности на x, за които x2 −

2x − 3 , 0. Напротив, равенството (1) е валидно при всички стойности на x без изключение.1

Специално при x = −1 намираме 1 = −4A, т. е. A = −14, а при x = 3 намираме 5 = 4B или

B =54.

И такаx + 2

(x + 1)(x − 3)=

−14(x + 1)

+5

4(x − 3).


(2) R(x) =x

x4 − 1.

Очевидно имамеx

x4 − 1=

x(x − 1)(x + 1)(x2 + 1)

.

Като вземем под внимание, че степента на числителя в случая е по-малка от степента назнаменателя, получаваме

x(x − 1)(x + 1)(x2 + 1)

=A

x − 1+

Bx + 1

+Mx + Nx2 + 1

.

Освобождаваме се от знаменателя. Това ни дава

(3) x = A(x + 1)(x2 + 1) + B(x − 1)(x2 + 1) + (Mx + N)(x − 1)(x + 1).

Функцията (2) е дефинирана само при онези стойности на x, при които x4 − 1 , 0. Притези стойности на x е валидно и равенството (3). В двете части на това равенство имамеобаче полиноми. Като вземем под внимание, че разглежданото равенство е валидно прибезбройно много стойности на x, заключаваме, че то е валидно при всички стойности на xбез изключение.2 Специално при x = 1 намираме

1 = 4A, A =14

;

при x = −1 намираме

−1 = −4B, B =14

;

1И наистина равенството (1) е сигурно валидно при x2 − 2x − 3 , 0, т. е. при безброй-но много стойности на x. Като вземем под внимание, че от двете страни на това равенствоимаме полиноми, заключаваме, че съответните им коефициенти са равни помежду си и сле-дователно равенството (1) е валидно при всички стойности на x без изключение.

2Това се отнася както за реални, така и за комплексни стойности на x. И наистина в дветестрани на равенството (3) имаме полиноми със съответно равни коефициенти.

§ 7. Пресмятане на коефициентите 53

при x = i получавамеi = (Mi + N)(i − 1)(i + 1)

или

(4) i = −2Mi − 2N.

Като сравним реалните и имагинерните части в двете страни на равенството (4), намираме

N = 0, M = −12.


R(x) =3x3 − 1

(x + 1)2(x − 1)3 .

Решение. Тъй като степента на числителя на R(x) е по-малка от степента на знаменателя,то имаме

3x3 − 1(x + 1)2(x − 1)3 =

A1

(x + 1)2 +A2

x + 1+

B1

(x − 1)3 +B2

(x − 1)2 +B3

x − 1.

Като се освободим от знаменателя, намираме

(5) 3x3 − 1 = A1(x − 1)3 + A2(x + 1)(x − 1)3 + B1(x + 1)2 + B2(x + 1)2(x − 1) + B3(x + 1)2(x − 1)2.

При x = −1 получаваме

−4 = −8A1, A1 =12.

При x = 1 получаваме

2 = 4B1, B1 =12.

Ние давахме на x тъкмо онези стойности, при които се анулира знаменателят на R(x), защотов такъв случай много от членовете в дясната страна на равенството (5) се анулират. Товаопростява значително пресмятанията.1 Ние можем да даваме на x, разбира се, и произволнизначения. В нашия специален случай ще получим обаче по този път уравнения с няколконеизвестни.2 За да избегнем необходимостта да решаваме система, ние ще предпочетем вслучая да постъпим другояче. За целта представяме равенството (5) във вида

3x3 − 1 − A1(x − 1)3 − B1(x + 1)2 = A2(x + 1)(x − 1)3 + B2(x + 1)2(x − 1) + B3(x + 1)2(x − 1)2.

Като вземем под внимание намерените стойности A1 и B1, получаваме

(5x + 2)(x + 1)(x − 1)2

= (x + 1)(x − 1)[A2(x − 1)2 + B2(x + 1) + B3(x + 1)(x − 1)

].

Съкращаваме на (x + 1)(x − 1) и намираме

5x + 22

= A2(x − 1)2 + B2(x + 1) + B3(x + 1)(x − 1).

Оттук при x = −1 получаваме

−32

= 4A2, A2 = −38

;

1По такъв начин определяме коефициентите от уравнения, които съдържат само по еднонеизвестно.

2Това, разбира се, не представлява никаква принципиална трудност.


при x = 1 намираме72

= 2B2, B2 =74.

Остана да се определи само коефициентът B3. Това може да стане например, като положимx = 0. В такъв случай получаваме

1 = A2 + B2 − B3,

т. е.

B3 = A2 + B2 − 1 = −38

+74− 1 =

38.

III. Да разгледаме рационалната функция

R(x) =g(x)f (x)

,

където f (x) и g(x) са полиноми. Нека x = a е един прост корен на уравне-нието f (x) = 0. Това значи, че f (x) може да се представи във вида

f (x) = (x − a)ϕ(x),

където ϕ(x) е полиномът на x и ϕ(a) , 0.Както знаем, ние можем да представим R(x) във вида

g(x)f (x)

=A

x − a+

h(x)ϕ(x)

,

където A е константа и h(x) е полином. Ние ще покажем, че1

A =g(a)f ′(a)

.

За тази цел ние се освобождаваме от знаменателя f (x). По такъв начин по-лучаваме

g(x) =A f (x)x − a

+ h(x)(x − a)

1Не е трудно да се види, че f ′(a) , 0. И наистина, като диференцираме равенството

f (x) = (x − a)ϕ(x),

получавамеf ′(x) = ϕ(x) + (x − a)ϕ′(x).

Специално при x = a намирамеf ′(a) = ϕ(a),

т. е.f ′(a) , 0.

§ 8. Интегриране на рационални функции 55

или още

g(x) = Af (x) − f (a)

x − a+ h(x)(x − a).

Като оставим x да клони към a чрез стойности, различни от a, получаваме

g(a) = A f ′(a),

откъдето

A =g(a)f ′(a)

.

§ 8. Интегриране на рационални функции(Продължение от § 6 и 7)

Ние видяхме, че всяка рационална функция може да се представи катосума от функции от вида

Axm,B

(x − a)a ,Mx + N

(x2 + px + q)n , (p2 − 4p < 0).

По този начин интегралите от рационални функции могат да се предс-тавят като суми от следните видове интеграли:

(1)∫

Axm dx,

където m е цяло неотрицателно число;

(2)∫

B dx(x − a)α

,

където α е цяло положително число, и

(3)∫

Mx + N(x2 + px + q)n dx, (p2 − 4q < 0),

където n е цяло положително число.Очевидно имаме ∫

Axm dx =Axm+1

m + 1+ C,∫

B dx(x − a)α

= B∫

(x − a)−α d(x − a) =B

(1 − α)(x − a)α−1 + C


при α > 1 и ∫B dxx − a

= B ln |x − a| + C.

Остава да разгледаме интеграла∫Mx + N

(x2 + px + q)n dx

при предположение, че корените на квадратното уравнение

x2 + px + q = 0

не са реални и числото n е цяло положително.Ние ще положим

x = u −p2.


∫Mx + N

(x2 + px + q)n dx =

∫M(

u −p2

)+ N(

u2 −p2

4+ q)n du.

Да положим за краткост √q −

p2

4= a.

Числото a е реално и различно от нула, защото корените на квадратнотоуравнение

x2 + px + q = 0

не са реални и следователно p2−4q < 0. Интересуващият ни интеграл приемавида ∫

Mx + N(x2 + px + q)n dx = M

∫u du

(u2 + a2)n +

(N −

pM2

)∫du

(u2 + a2)n .

От друга страна, очевидно имаме∫u du

(u2 + a2)n =12

∫d(u2 + a2)(u2 + a2)n =

12

∫(u2 + a2)−n d(u2 + a2)

=1

2(1 − n)·

1(u2 + a2)n−1 + C

§ 8. Интегриране на рационални функции 57

при n > 1 и ∫u du

u2 + a2 =12

∫d(u2 + a2)

u2 + a2 =12

ln(u2 + a2) + C.

Остава да се пресметне интегралът

In =

∫du

(u2 + a2)n .

При n > 1 правим следните преобразувания:

In =1a2

∫a2 du

(u2 + a2)n =1a2

∫a2 + u2 − u2

(u2 + a2)n du

=1a2

∫a2 + u2

(u2 + a2)n du −1a2

∫u2

(u2 + a2)n du

=1a2

∫du

(u2 + a2)n−1 −1

2a2

∫u d(u2 + a2)(u2 + a2)n

=1a2 In−1 +

12a2(n − 1)

∫u d

1(u2 + a2)n−1

=1a2 In−1 +

u2a2(n − 1)(u2 + a2)n−1 −

12a2(n − 1)

∫1

(u2 + a2)n−1 du

=1a2 In−1 +

u2a2(n − 1)(u2 + a2)n−1 −

12a2(n − 1)

In−1

=2n − 3

2a2(n − 1)In−1 +

u2a2(n − 1)(u2 + a2)n−1 .

По този начин изразихме In чрез In−1. Като извършим няколко пъти тезипресмятания, добиваме възможност да изразим интеграла In чрез познатияинтеграл

I1 =

∫du

u2 + a2 =1a

∫d

ua(u

a

)2+ 1

=1a

arctgua

+ C.

Задачи

Да се пресметнат следните интеграли (интегрирането се извършва в произволно избранинтервал, в който е дефинирана подинтегрална функция):

1. I =

∫2x3 + 7x2 + 4x + 2

2x + 3dx. Отговор. I =

x3

3+ x2 − x +

52

ln |2x + 3| + C.


2. I =

∫2x + 6

2x2 + 3x + 1dx. Отговор. I = 5 ln |2x + 1| − 4 ln |x + 1| + C.

3. I =

∫dx

x4 − 1. Отговор. I =

14

ln∣∣∣∣ x − 1

x + 1

∣∣∣∣ − 12

arctg x + C.

4. I =

∫x dx

x3 − 1. Отговор. I =

13

ln |x − 1| −16

ln(x2 + x + 1) +1√

3arctg

2x + 1√

3+ C.

5. I =

∫4x2 + 2

x3 − x2 + x − 1dx. Отговор. I = 3 ln(x − 1) +

12

ln(x2 + 1) + arctg x + C.

6. I =

∫4x2 − 15x + 19

x3 − 7x + 6dx. Отговор. I = 5 ln |x + 3| + ln |x − 2| − 2 ln |x − 1| + C.

7. I =

∫6x2 + 17x + 13

(x + 1)3 dx. Отговор. I =−1

(x + 1)2 −5

x + 1+ 6 ln |x + 1| + C.

8. I =

∫x2 − x + 14

(x − 4)2(x − 2)dx. Отговор. I = −

13x − 4

+ 4 ln |x − 2| − 3 ln |x − 4| + C.

9. I =

∫2x

(x2 + 1)(x2 + 3)dx. Отговор. I =

12

ln(x2 + 1) −12

ln(x2 + 3) + C.

10. I =

∫7x

x3 − 5x2 + 12x − 60dx. Отговор. I =

3537

ln|x − 5|√

x2 + 12+

4237√

3arctg

x

2√

3+ C.

11. I =

∫x2 − x + 1

(x2 + x + 1)2 dx. Отговор. I =23·

x + 2x2 + x + 1

+10

3√

3arctg

2x + 1√

3+ C.

12. I =

∫dx

x4 + 1. I =

1

4√

2ln

1 + x√

2 + x2

1 − x√

2 + x2+

1

2√

2arctg

x√

21 − x2 + C.

13. I =

∫x2 + 1

x4 + x2 + 1dx. Отговор. I =

1√

3arctg

2x + 1√

3+

1√

3arctg

2x − 1√

3+ C.

§ 9. Интегриране на ирационални функции

В предните три параграфа ние изложихме един общ метод за пресмятанена интеграли от рационални функции. Въпросът за пресмятане на интегра-ли от ирационални функции е много по-сложен. Ние не разполагаме с общметод, който да ни позволява да изразяваме интегралите от всякакви ирацио-нални функции чрез елементарни функции1 (без да прибягваме до граниченпреход). Дори ние знаем от работите на Лиувил, Чебишев и Абел, че такъвметод не съществува.

В този параграф ние ще разгледаме някои категории интеграли от ираци-онални функции, които могат да се преобразуват в интеграли от рационалнифункции с помощта на подходящи субституции.

1Тези думи се нуждаят очевидно от прецизиране. Ние няма да се спираме тук на тозивъпрос, защото това ще ни отведе твърде далеч.

§ 9. Интегриране на ирационални функции 59

I. Интегриране на рационални функции на радикали на x

Нека ни е даден интеграл от вида

(1)∫

R(

xp1q1 , x

p2q2 , . . . , x

pnqn

)dx,

където R(x1, x2, . . . , xn) е рационална1 функция на x1, x2, . . . , xn. Числатаp1, p2, . . . , pn са цели, а числата q1, q2, . . . , qn са цели и положителни.

Пресмятането на този интеграл може да се извърши така: означаваме сk най-малкото кратно на знаменателите q1, q2, . . . , qn; в такъв случай числата

kp1

q1,

kp2

q2, . . . ,

kpn

qn

ще бъдат цели; полагамеx = tk;

като вземем под внимание, че dx = ktk−1 dt, получаваме интеграла∫R(

tkp1q1 , t

kp2q2 , . . . , t

kpnqn

)ktk−1 dt.

По този начин приведохме дадения интеграл към интеграл от рационалнафункция.

Пример. Да се пресметне интегралът∫ √x − 1

3√x − 1dx, x > 0.

Интеграционната променлива x фигурира в степен с показатели13и

12. За да се осво-

бодим от тези ирационалности, полагаме x = t6 (тук най-малкото кратно на знаменателите е6). С помощта на тази субституция интегралът се преобразува в∫

t3 − 1t2 − 1

6t5 dt.

II. Интегриране на рационални функции на x и на радикали от една(дробна) линейна функция на x

Ние ще покажем как могат да се смятат интеграли от вида

(2)∫

R

[x(

ax + ba1x + b1

) p1q1, . . . ,

(ax + b

a1x + b1

) pnqn

]dx,

1Това значи, че функцията R(x1, x2, . . . , xn) представлява частно на два полинома.


където функцията R(x1, x2, . . . , xn) е рационална; числата p1, . . . , pn са цели;числата q1, . . . , qn са цели и положителни; a, b, a1, b1 са константи, подчине-ни на условието ab1 − a1b , 0.1

Функциите от вида

(3) y =ax + b

a1x + b1

се наричат дробни линейни. Това не изключва, разбира се, възможността даимаме, например a1 = 0, b1 = 1, т. е. функцията (3) да има вида

y = ax + b.

Специално при a = 1, b = 0, a1 = 0, b1 = 1 получаваме интеграла, койторазгледахме преди малко.

Пресмятането на интеграла (2) може да се извърши с помощта на субс-титуцията

ax + ba1x + b1

= tk,

където k означава най-малкото кратно на знаменателите q1, . . . , qn. В такъвслучай получаваме

(4) x =b1tk − ba − a1tk , dx = k

ab1 − ba1

(a − a1tk)2 tk−1 dt

и следователно (2) се преобразува в

(5)∫

R[

b1tk − ba − a1tk , t

kp1q1 , . . . , t

kpnqn

]· k

ab1 − ba1

(a − a1tk)2 tk−1 dt.

По този начин ние преобразувахме интеграла (2) в интеграл от рационална

функция

[числата

kp1

q1, . . . ,

kpn

qnса цели

].

1Ако ab1 − a1b = 0, то отношението

y =ax + b

a1 x + b1

не зависи от x, защото

y′ =ab1 − a1b

(a1 x + b1)2 = 0.

В такъв случай интегралът (2) е интеграл от рационална функция.Независимо от това, ако ab1−a1b = 0, то субституцията (4) въобще не може да се използува

за пресмятане на интеграли. Така например в този случай от дясната страна на равенство-то (5) имаме константа, поради което това равенство очевидно не е вярно. Не противоречили това на формулата (5), която ние доказахме в § 4 на тази глава?


Пример 1. Да се пресметне интегралът∫x dx

1 +√

1 + x, x > −1.

За да се освободим от радикала под знака на интеграла, полагаме

1 + x = t2, t > 0.

Това ни даваx = t2 − 1, dx = 2t dt.

По такъв начин даденият интеграл се преобразува в

2∫

(t2 − 1)t1 + t

dt = 2∫

(t − 1)t dt =23

t3 − t2 + C

и следователно ∫x dx

1 +√

1 + x=

23

(1 + x)32 − 1 − x + C.

Пример 2. Да се пресметне интегралът∫3

√2 − x2 + x

dx(2 − x)2 , −2 < x < 2.

За да се освободим от корена под знака на интеграла, полагаме

2 − x2 + x

= t3.


x = 21 − t3

1 + t3 , dx = −12t2 dt

(1 + t3)2 .

След тази субституция получаваме

−34

∫dtt3 =

38

t−2 + C

и следователно ∫3

√2 − x2 + x

dx(2 − x)2 =

38

3

√(2 + x2 − x

)2

+ C.

III. Субституции на Ойлер

Нека R(x, y) е рационална функция на x и y. Ще покажем как се пресмя-тат интеграли от вида

(6)∫

R(

x,√

ax2 + bx + c)

dx, a , 0.

При това ще предполагаме, че радикалът√

ax2 + bx + c е реален в ин-тервала, в който пресмятаме интеграла. В такъв случай, ако корените на


квадратното уравнение на ax2 +bx +c = 0 са комплексни или равни помеждуси, то непременно ще имаме a > 0. И наистина в противен случай квадрат-ният тричлен ax2 + bx + c = 0 би приемал само отрицателни стойности севентуално изключение на една точка противно на направеното допускане,според което радикалът

√ax2 + bx + c приема реални стойности в интегра-

ционния интервал.

1. Първа субституция на Ойлер (Euler)

Нека a > 0. В такъв случай, ако положим

√ax2 + bx + c = u + x

√a,

намираме

x =u2 − c

b − 2u√

aи следователно

dx = −2u2 √a − bu + c

√a(

b − 2u√

a)2 du.

От друга страна,

√ax2 + bx + c = u + x

√a =

u2 √a − bu + c√

a2u√

a − b.

По такъв начин интегралът (6) се преобразува в

−2∫

R(

u2 − cb − 2u

√a,

u2 √a − bu + c√

a2u√

a − b

)u2 √a − bu + c

√a

(b − 2u√

a)2 du,

т. е. в интеграл от рационална функция.

Пример. Да се пресметне интегралът∫dx

√x2 + x + 1

.

Полагаме √x2 + x + 1 = x + u.


x =u2 − 11 − 2u

,

dx =2(u − u2 − 1)

(1 − 2u)2 · du,


√x2 + x + 1 = x + u =

u − u2 − 11 − 2u

.

По такъв начин намираме∫dx

√x2 + x + 1

= 2∫

du1 − 2u

= − ln |1 − 2u| + C = ln1

|1 + 2x − 2√

x2 + x + 1|+ C.

2. Втора субституция на Ойлер

Нека корените на квадратното уравнение ax2 + bx + c = 0 са реални иразлични. В такъв случай интересуващият ни интеграл може да се пресметнес помощта на субституцията

√ax2 + bx + c = (x − α)u,

където α е един от корените на уравнението ax2 + bx + c = 0. Да означим с βдругия корен. В такъв случай получаваме

√ax2 + bx + c =

√a(x − α)(x − β) = (x − α)u


a(x − β) = (x − α)u2,

x =αu2 − βa

u2 − a, dx =

2au(β − α)(u2 − a)2 du,

и√

ax2 + bx + c =

(αu2 − βa

u2 − a− α

)u =

ua(α − β)u2 − a

.

По такъв начин интегралът (6) се преобразува в∫R[αu2 − βa

u2 − a,

ua(α − β)u2 − a

]2au(β − α)(u2 − a)2 du,

т. е. в интеграл от рационална функция.


(x + 4)√

x2 + 3x − 4, x > 1.

Полагаме √(x + 4)(x − 1) = u(x − 1).

Тази субституция ни дава

x =4 + u2

u2 − 1,


dx = −10u du

(u2 − 1)2 .

По такъв начин получаваме интеграла

−25

∫duu2 =

25u

+ C

и следователно ∫dx

(x + 4)√

x2 + 3x − 4=

25

√x − 1x + 4

+ C.

3. Трета субституция на Ойлер

Първите две субституции на Ойлер са напълно достатъчни, за да мо-жем да пресмятаме всякакви интеграли от вида (6). Така, ако корените наквадратното уравнение ax2 + bx + c = 0 не са реални (т. е. ако не може дасе използува втората субституция на Ойлер), то, както вече отбелязахме, си-гурно a > 0 и следователно можем да приложим първата субституция. Всепак ние ще посочим още следната субституция, която в някои случаи водипо-бързо до целта:

(7)√

ax2 + bx + c = xu +√

c.

Тази субституция може да се прилага при c > 0. От равенството (7) получа-ваме

x =b − 2u

√c

u2 − a,

dx = 2u2 √c − bu + a

√c

(a − u2)2 du

и√

ax2 + bx + c =b − 2u

√c

u2 − au +√

c =u2 √c − bu + a

√c

a − u2 ,

откъдето намираме интеграла

2∫

R[

2u√

c − ba − u2 ,

u2 √c − bu + a√

ca − u2

]u2 √c − bu + a

√c

(a − u2)2 du.

По такъв начин преобразувахме (6) в интеграл от рационална функция.Нека обърнем внимание на това, че един интеграл може да спада, разбира се,

едновременно към няколко от разгледаните типове. Така например към интеграла∫dx

√x2 − 5x + 4


могат да се приложат и трите субституции на Ойлер. Ще приложим третата от тях:

√x2 − 5x + 4 = xu + 2.

По такъв начин намираме

x =5 + 4u1 − u2 ,

dx =4 + 10u + 4u2

(1 − u2)2 du,

√x2 − 5x + 4 = xu + 2 =

2 + 5u + 2u2

1 − u2 ,

след което получаваме интеграла

2∫

du1 − u2 =

∫du

1 − u+

∫du

1 + u= − ln |1 − u| + ln |1 + u| + C

и следователно ∫dx

√x2 − 5x + 4

= ln

∣∣∣∣∣ x − 2 +√

x2 − 5x + 4

x + 2 −√

x2 − 5x + 4

∣∣∣∣∣ + C.

Накрая нека отбележим, че интегралът (6) може да се рационализира и с помощтана други субституции. Така например при a > 0 може да се използува субституцията

(8)√

ax2 + bx + c = u − x√

a,

а при c > 0 може да се използува субституцията

(9)√

ax2 + bx + c = xu −√

c

и пр. Покажете сами, че субституциите (8) и (9) наистина преобразуват интегра-ла (6) в интеграли от рационални функции.

IV. Абелеви интеграли

Нека R(x, y) е рационална функция на x и y и нека y = ϕ(x) е еднафункция, определена в някой интервал ∆, която удовлетворява уравнението

(10) F(x, y) = 0.

Да разгледаме интеграла

(11)∫

R(x, y) dx,


където y = ϕ(x) (под интеграла имаме по този начин функция само на x).Интеграл от този вид се нарича Абелев интеграл относно кривата (10).

Така например интегралът∫R(x,

√ax2 + bx + c) dx,

който ние разгледахме по-горе, може да се напише във вида∫R(x, y) dx,

къдетоy =√

ax2 + bx + c,

и следователно представлява един Абелев интеграл относно коничното се-чение

y2 = ax2 + bx + c.

Има случаи, при които кривата (10) притежава рационално параметрич-но представяне, т. е. такова параметрично представяне1

x = f (t), y = g(t),

при което f (t) и g(t) са рационални функции на t в някой интервал. В та-къв случай Абелевият интеграл (11) може да се преобразува в интеграл отрационална функция по следния начин:∫

R[ f (t), g(t)] d f (t) =

∫R[ f (t), g(t)] f ′(t) dt.

Кривата, която притежава рационално параметрично представяне, се на-рича уникурзална крива. Така например, както е известно от аналитична-та геометрия, всяко неизродено конично сечение представлява уникурзалнакрива. Кривата с уравнение

x3 + y3 − 3axy = 0, a , 01Казваме, че уравненията

(12) x = f (t), y = g(t),

където параметърът t се мени в някой интервал ∆, ни дават едно параметрично представянена кривата

(13) F(x, y) = 0,

когато при всеки избор на t от ∆ точката с координати [ f (t), g(t)] лежи върху кривата (13) и,обратно, всяка точка от кривата (13), с евентуално изключение на краен брой такива точки,може да се получи от уравненията (12) при подходяща стойност на параметъра t от ∆.


(тази крива се нарича Декартов лист) е също тъй уникурзална. И наистина,ако положим y = tx, получаваме

x3 + t3x3 − 3ax . tx = 0,

откъдето1

x =3at

1 + t3 , y =3at2

1 + t3 .

V. Диференциален бином

Изразът xm(a + bxn)p dx, в който m, n, p са рационални числа, а кое-фициентите a и b са произволни различни от нула константи, се наричадиференциален бином.

Ако поне едно от числата

p,m + 1

n,

m + 1n

+ p

е цяло, то интегралът

(15)∫

xm(a + bxn)p dx

може да се преобразува в интервал от рационална функция. Ще разгледамепоотделно всеки един от тези случаи.

1. Ако числото p е цяло, то имаме познатия случай, който разгледахме вт. I (интеграл от рационална функция на радикали).

2. Ако числотоm + 1

nе цяло, полагаме

a + bxn = u.

В такъв случай получаваме

x =(u − a

b

) 1n, dx =

1n

(u − a)1n−1

b1n

du

1При t , −1 точката с координати

(14) x =3at

1 + t3 , y =3at2

1 + t3

лежи върху Декартовия лист (това се вижда например с непосредствено заместване) и, об-ратно, всяка точка (x0, y0) от Декартовия лист може да се получи от уравненията (14) при

подходящ избор на t (за да се убедим в това, достатъчно е при x0 , 0 да изберем t =y0

x0, а

при x0 = 0 да изберем t = 0).


и следователно (15) се преобразува в

1n

b−m+1

n

∫up(u − a)

m+1n −1 du.

Като вземем под внимание, че числотоm + 1

nе цяло, заключаваме, че така

полученият интеграл спада към класата интеграли, които ние разгледахме вт. I (интеграл от рационална функция на радикали), и следователно може дасе преобразува в интеграл от рационална функция.

Пример. Да се пресметне интегралът

I =

∫ √1 +√

xx

dx, x > 0.

Тук имаме

m = −1, n =12, p =

12.

В този специален случай числотоm + 1

n= 0

е цяло. Поради това извършваме субституцията

1 +√

x = u

или, което е същото,x = (u − 1)2, u > 1.

Тази субституция ни даваdx = 2(u − 1) du

и по такъв начин получаваме интеграла

2∫ √

u(u − 1)(u − 1)2 du = 2

∫ √u

u − 1du.

Така получения интеграл преобразуваме в интеграл от рационална функция с помощта насубституцията

u = z2, z > 1.

Довършете сами пресмятанията!

3. Нека числотоm + 1

n+ p е цяло. В такъв случай правим следните пре-

образувания:∫xm(a + bxn)p dx =

∫xm+np

( axn + b

)pdx =

∫xm+np(b + ax−n)p dx.

По този начин получихме пак интеграл от диференциален бином, т. е. интег-рал от вида ∫

xm1(b + axn1)p1 dx,


къдетоm1 = m + np, n1 = −n, p1 = p.

В този случай имаме

m1 + 1n1

=m + np + 1−n

= −

[m + 1

n+ p]

и следователно числотоm1 + 1

n1е цяло. По този начин ние преобразувахме

интересуващия ни интеграл в интервал от познат тип. Съгласно това, коетоказахме по-горе, ние можем да пресметнем интеграла∫

xm+np(b + ax−n)p dx,

а следователно и интеграла ∫xm(a + bxn)p dx

с помощта на субституцията

b + ax−n = u.


x2√

1 + x2, x > 0.

Тук имаме интеграл от диференциален бином, където

m = −2, n = 2, p = −12.

В случая числотоm + 1

n+ p =

−2 + 12

−12

= −1

е цяло. Поради това правим преобразуванието∫dx

x2√

1 + x2=

∫dx

x3√

x−2 + 1и полагаме

x−2 + 1 = uили, което е същото,

x = (u − 1)−12 , u > 1.

Тази субституция ни дава

dx = −12

(u − 1)−32 du

и ни води до интеграла

−12

∫du√

u= −√

u + C,

откъдето ∫dx

x2√

1 + x2= −

√1 + x2

x+ C.


Разгледаните от нас три случая, при които интеграли от типа (15) могатда се изразят чрез познатите на нас елементарни функции, са били познатиотдавна. През миналия век П. Л. Чебишев доказа, че ако a , 0, b , 0 и никоеот трите числа

p,m + 1

n,

m + 1n

+ p

не е цяло, то интегралът ∫xm(a + bxn)p dx

не може да се изрази с помощта на елементарните функции, без да се из-вършва граничен преход.Така например интегралът

(16)∫

dx√

1 − x4, −1 < x < 1,

спада към интегралите от типа (15), като

m = 0, n = 4, p = −12.

В този случай обаче никое от числата

p = −12,

m + 1n

=14,

m + 1n

+ p = −14

не е цяло и следователно този интеграл не може да се представи с помощтасамо на елементарните функции (без граничен преход). Въпреки това функ-цията

f (x) =1

√1 − x4

, −1 < x < 1,

притежава неопределен интеграл в интервала, в който е дефинирана. Таканапример функцията

F(x) = x +

∞∑n=1

1 . 3 . 5 . . . (2n − 1)2 . 4 . 6 . . . 2n

x4n+1

4n + 1

е един неопределен интеграл на f (x) при −1 < x < 1, защото

F′(x) = 1 +

∞∑n=1

1 . 3 . 5 . . . (2n − 1)2 . 4 . 6 . . . 2n

x4n =

∞∑n=0

(−1)n(− 1

2n

)x4n = (1 − x4)−

12 .


VI. Елиптични и хиперелиптични интеграли

Интегралите от вида∫R(

x,√

a0xm + a1xm+1 + · · · + am

)dx,

където R(x, y) е рационална функция на x и y и цялото число m е по-голямоот 2, обикновено не могат да се представят с помощта само на елементарнифункции, без да се извършва граничен преход. Когато m = 3 или m = 4, тезиинтеграли се наричат елиптични. Когато m > 4, те се наричат хиперелиптич-ни. Така например интегралът (16) е елиптичен.

Задачи


1. I =

∫1 +√

x1 −√

xdx, 0 < x < 1. Отговор. I = −

[x + 4

√x + 4 ln

(1 −√

x)]

+ C.

2. I =

∫1 +√

x −3√

x2

1 + 3√xdx, x > 0.

Отговор. I = −34

x43 +

67

x76 + x −

65

x56 + 2x

12 − 6x

16 + 6 arctg 6√x + C.

3. I =

∫x dx

1 +√

1 + x, x > −1. Отговор. I =

23

(1 + x)32 − x + C.

4. I =

∫dx

√1 + x +

3√1 + x, x > −1.

Отговор. I = 2√

1 + x − 3 3√1 + x + 6 6√1 + x − 6 ln(

1 +6√1 + x

)+ C.

5. I =

∫ √1 − x1 + x

dxx, 0 < x < 1. Отговор. I = ln

√1 + x −

√1 − x

√1 + x +

√1 − x

+ 2 arctg

√1 − x1 + x

+ C.

6. I =

∫√

x2 + 2x − 1dxx, x > −1 +

√2.

Отговор. I =√

x2 + 2x − 1 + ln(

x + 1 +√

x2 + 2x − 1)− 2 arctg

(x +√

x2 + 2x − 1)

+ C.

7. I =

∫dx

(1 + x)√

1 − x − x2, −1 < x <

−1 +√

52

. Отговор. I = ln3 + x − 2

√1 − x − x2

1 + x.

8. I =

∫dx

(x + 4)√

x2 + 3x − 4, x > 1. Отговор. I =

25

√x − 1x + 4

+ C.

9. I =

∫dx

(x − 2)√−x2 + 4x − 3

, 2 < x < 3. Отговор. I = ln

√−x2 + 4x − 3 + x − 3√−x2 + 4x − 3 − x + 3

+ C.

10. I =

∫dx

(1 + x)√

1 + x + x2, x > −1. Отговор. I = ln

x +√

1 + x + x2

2 + x +√

1 + x + 22+ C.


11. I =

∫3√

1 + 4√x√

xdx, x > 0. Отговор. I =

37(4√

x + 4√x − 3) 3√

1 + 4√x + C.

12. I =

∫dx√

(1 + x2)3. Отговор. I =

x√

1 + x2+ C.

13. I =

∫dx

(1 + xα)α+1α

, x > 0, a , 0. Отговор. I =x

(1 + xα)1α

+ C.

14. I =

∫dx

x2√

1 − x2, 0 < x < 1. Отговор. I = −

√1 − x2

x+ C.

§ 10. Интегриране на трансцендентни функции

Както видяхме, не всички интеграли от алгебрични функции могат дасе изразят само с помощта на елементарните функции, без да се извършваграничен преход. Разбира се, същите трудности срещаме и при интегралитена трансцендентни функции. Така например интегралът

(1)∫

dxln x

, x > 1,

който често се среща в анализа и приложенията му, не може, както товадоказва строго Лиувил (J. Liouville), да се изрази с елементарните функциибез помощта на граничен преход. Въпреки това не е трудно да се убедим всъществуването на неопределения интеграл (1). За тази цел да разгледамебезкрайния ред

F(x) = ln(ln x) +

∞∑ν=1

(ln x)ν

ν!ν.

Този ред е сходящ при x > 1 и може почленно да се диференцира,както ни учи теоремата за почленното диференциране на степенните редовеи теоремата за диференциране на функция от функция. Като диференцираме,получаваме

F′(x) =1

x ln x+

∞∑ν=1

(ln x)ν−1

ν!x=

1x ln x

∞∑ν=0

(ln x)ν

ν!=

1x ln x

eln x =1

x ln x· x =

1ln x

.

Този резултат ни учи, че функцията F(x) е един неопределен интеграл на1

ln xв интервал x > 1.

Ние вече казахме по-горе, че функцията F(x) не може да се изрази само селементарни функции, без да се извършва граничен преход. По такъв начин

§ 10. Интегриране на трансцендентни функции 73

F(x) представлява нова трансцендентна функция. Тази функция се наричаинтегрален логаритъм.

Често срещаните в анализа и неговите приложения интеграли∫cos x

xdx,

∫sin x

xdx,

∫ex

xdx,

∫e−x2

dx

също тъй не могат да се изразят само с елементарни функции.Случаите, когато ние знаем да пресмятаме неопределените интеграли

само с помощта на елементарните функции, са, тъй да се каже,”редки“. Ние

ще разгледаме два случая, при които подинтегралната функция е трансцен-дентна, но интегралът може да се изрази с елементарни функции.

I. Нека R(u, v) е рационална функция на u и v. В такъв случай интегра-лът1 ∫

R(sin x, cos x ) dx

може да се преобразува в интеграл на рационална функция, грубо казано, спомощта на субституцията

tgx2

= t

във всеки интервал2 [a, b], в който двете функции

tgx2и R(sin x, cos x)

са дефинирани. Така например, ако −π < a < b < π , то функцията

x = 2 arctg t

е дефинирана и диференцуема при tga2≤ t ≤ tg

b2, притежава диференцуема

обратна функция и най-сетне множеството от стойностите и съвпада точнос интервала [a, b]. Това ни позволява да приложим теоремата за смяна напроменливите интеграли. По такъв начин, като вземем пред вид, че

dx =2 dt

1 + t2 ,

1Очевидно към този интеграл се свеждат всички интеграли от рационални функции наsin x, cos x, tg x, cotg x, защото

tg x =sin xcos x

, cotg x =cos xsin x

.

2В случая, разбира се, не е съществено дали интервалът [a, b] е затворен или отворен.


намираме1 ∫R(sin x, cos x) dx =

∫R[

2t1 + t2 ,

1 − t2

1 + t2

]2 dt

1 + t2 .


2 + cos x

при −π < x < π. Полагамеtg

x2

= t

или по-добре2

x = 2 arctg t,

откъдето

dx =2 dt

2 + t2 .

Като вземем пред вид още, че cos x =1 − t2

1 + t2 , получаваме

∫dx

2 + cos x=

∫2 dt

(1 + t2)(

2 +1 − t2

1 + t2

) = 2∫

dt3 + t3 =

2√

3

∫d

t√

3

1 +

(t√

3

)2

=2√

3arctg

(1√

3tg

x2

)+ C.

II. Нека R(x) е рационална функция на x. Интегралите от вида∫R′(x) ln x dx,∫R′(x) arctg x dx,∫R′(x) arcsin x dx

могат да се преобразуват в познати интеграли във всеки интервал, в койтое дефинирана подинтегралната функция, с помощта на едно интегриране почасти по следния начин:∫

R′(x) ln x dx =

∫ln x d R(x) = R(x) ln x −

∫R(x)

dxx,∫

R′(x) arctg x dx =

∫arctg x d R(x) = R(x) arctg x −

∫R(x)

dx1 + x2 ,

1Смисълът на този по същество неточен начин на записване е ясен.2С оглед на формула (5) от § 4 на тази глава, която ние сега ще приложим.

§ 10. Интегриране на трансцендентни функции 75∫R′(x) arcsin x dx =

∫arcsin x d R(x) = R(x) arcsin x −

∫R(x)

dx√

1 − x2.

По този начин преобразувахме първите два интеграла в интеграли от раци-онални функции, а третия интеграл — в Абелев интеграл, който може да серационализира с помощта на Ойлеровите субституции.


I =

∫2x

(1 + x2)2 arctg x dx.

Като вземем пред вид, че

R(x) =

∫2x

(1 + x2)2 dx =

∫d (x2 + 1)(1 + x2)2 =

−11 + x2

е рационална функция, получаваме

I =

∫arctg x d

−11 + x2 =

− arctg x1 + x2 +

∫1

1 + x2 d arctg x

= −arctg x1 + x2 +

∫dx

(1 + x2)2 = −arctg x1 + x2 +

∫1 + x2 − x2

(1 + x2)2 dx

= −arctg x1 + x2 + arctg x +

12

∫x d

11 + x2 =

− arctg x1 + x2 +

12

arctg x +x

2(1 + x2)+ C.

Задачи

Да се пресметнат следните интеграли в интервала 0 < x <π

2:

1. I =

∫dx

sin x + cos x. Отговор. I =

1√

2ln

tgx2− 1 +

√2

− tgx2

+ 1 +√

2+ C =

1√

2ln tg

( x2

+π

8

)+ C′.

2. I =

∫dx

4 − sin2 x. Упътване. Положете tg x = t. Отговор. I =

12√

3arctg

√3 tg x2

+ C.

3. I =

∫dx

2 + sin x + 2 cos x. Отговор. I = ln

(2 + tg

x2

)+ C.

4. I =

∫1 + sin x

sin x(1 + cos x)dx. Отговор. I = tg

x2

+14

tg2 x2

+12

ln tgx2

+ C.

5. I =

∫sin 2x

cos4 x + sin4 xdx.

Упътване. Използувайте формулите cos2 x =1 + cos 2x

2, sin2 x =

1 − cos 2x2

.

Отговор. I = − arctg(cos 2x) + C.

6. I =

∫dx

√cos x(1 − cos x)

. Отговор. I =√

2 ln1 −

√1 − tg2 x

2

tgx2

+ C.


7. I =

∫dx

sin x. Отговор. I = ln tg

x2

+ C.


8.∫

arctg xx2 dx, x > 0. Отговор. I = −

arctg xx

+ lnx

√1 + x2

+ C.

9.∫

arcsin x dx, −1 < x < 1. Отговор. I = x arcsin x +√

1 − x2 + C.

10.∫

x(1 + x2)2 ln x dx, x > 0. Отговор. I = −

12

ln x1 + x2 −

14

ln(1 + x2) +12

ln x + C.

Глава II

ОПРЕДЕЛЕНИ ИНТЕГРАЛИ

§ 1. Дефиниция на понятието определен интеграл

Нека f (x) е една функция, която е дефинирана и ограничена в единкраен1 и, да кажем, затворен интервал [a, b], където a < b. Ние ще разделиминтервала [a, b] на краен брой подинтервали2

[x0, x1], [x1, x2], . . . , [xn−1, xn]

с помощта на точкитеx0 < x1 < x2 < · · · < xn,

при което x0 = a, xn = b. Нека Mi е точната горна граница, a mi — точнатадолна граница3 на f (x) в i-тия подинтервал [xi−1, xi]. Образуваме двете суми

S =

n∑i=1

Mi(xi − xi−1),

s =

n∑i=1

mi(xi − xi−1).

Така образуваните суми се наричат съответно голяма и малка сума на Дарбу(Darboux). Ние можем очевидно да образуваме по безбройно много начинисумите на Дарбу в зависимост от начина на деление на интервала [a, b] наподинтервали. На всеки начин на делението отговаря обаче една единственаголяма и една единствена малка сума.

В случая, когато разглежданата функция приема само неотрицателнистойности, не е трудно да се даде геометрично тълкуване на сумите на Дар-бу. Така например на черт. 2 е изобразена графиката на една функция, стой-ностите на която са неотрицателни. Интервалът [a, b] в случая е разделенна 4 части. Не е трудно да се види, че малката сума на Дарбу, която от-говаря на избрания начин на деление на интервала [a, b] на подинтервали,представлява точно сумата от лицата на вписаните правоъгълници

A0A1C1B0, A1A2C2B1, A2A3C3B2, A3A4C4B3.

1В предположенията, които направихме, се иска интервалът [a, b] да бъде краен, за даможем да го разложим на краен брой подинтервали, всеки един от които има крайна дължина.Ние впоследствие многократно ще се ползуваме и от обстоятелството, че дължината на целияинтервал [a, b] е крайна. Предположението, че интервалът е затворен, не е съществено.

2Тези подинтервали не са задължени да бъдат равни помежду си.3В предположенията, които направихме за функцията f (x), ние искахме тя да бъде огра-

ничена, за да можем да говорим за горните граници Mi и долните граници mi.

77

78 Определени интеграли

Черт. 2

Черт. 3

Аналогично на черт. 3 е изобразена също функция, която приема самонеотрицателни стойности. Интервалът [a, b] е разделен на 3 подинтервала.Голямата сума на Дарбу, която отговаря на избрания начин на деление наинтервала [a, b] на подинтервали, представлява сумата от лицата на правоъ-гълниците

A0A1C1B0, A1A2C2B1, A2A3C3B2.

Не е трудно да се види, че множеството на всички суми на Дарбу (кактомалките, така и големите) е ограничено (и отгоре, и отдолу). И наистина некаM е една горна граница на функцията f (x), а m е една нейна долна границав интервала [a, b]. В такъв случай, като вземем пред вид неравенствата

m ≤ mi ≤ Mi ≤ M,

§ 1. Дефиниция на понятието определен интеграл 79


n∑i=1

m(xi − xi−1) ≤n∑

i=1

mi(xi − xi−1) ≤n∑

i=1

Mi(xi − xi−1) ≤n∑

i=1

M(xi − xi−1).


n∑i=1

m(xi − xi−1) = m[(x1 − x0) + (x2 − x1) + · · · + (xn − xn−1)]

= m(xn − x0) = m(b − a),n∑

i=1

M(xi − xi−1) = M[(x1 − x0) + (x2 − x1) + · · · + (xn − xn−1)]

= M(xn − x0) = M(b − a)

и следователноm(b − a) ≤ s ≤ S ≤ M(b − a).

По този начин ние установихме не само ограничеността на множеството отсумите на Дарбу, но показахме, че ако S и s са съответно голямата и малкатасума на Дарбу, които отговарят на един и същ начин на деление на интервала[a, b] на подинтервали, то

(1) s ≤ S .

Ние ще установим сега валидността на неравенството (1) и в случая, когатоголямата сума S и малката сума s са образувани с помощта на два каквида са (не непременно еднакви) начина на деление на интервала [a, b] на по-динтервали. За да се убедим в това, ние ще покажем предварително, че привъвеждане на нови точки на деление големите суми на Дарбу монотоннонамаляват, а малките суми монотонно растат. По-точно ние ще установимследното: нека

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

е едно произволно подразделяне на интервала [a, b] на подинтервали, некаMi е точната горна, а mi — точната долна граница на f (x) в подинтервала[xi−1, xi] и нека

S =

n∑i=1

Mi(xi − xi−1),

s =

n∑i=1

mi(xi − xi−1)


са съответните суми на Дарбу; въвеждаме нова точка на деление ξ и озна-чаваме с S ′ и s′ сумите на Дарбу, които получаваме, когато към точките наделение x0, x1, x2, . . . , xn причислим още и точката ξ; в такъв случай

s ≤ s′, S ′ ≤ S .

И наистина, ако ξ съвпада с някоя от точките x0, x1, . . . , xn, то новото делениене е различно от старото и следователно s′ = s и S ′ = S . За да установимверността на твърдението в общия случай, т. е. когато ξ не съвпада с някоя отточките x0, x1, . . . , xn означаваме с k най-малкото цяло положително число,за което ξ < xk. В такъв случай xk−1 < ξ. Нека L1 е точната горна границана f (x) в подинтервала [xk−1, ξ], а L2 е точната горна граница на f (x) вподинтервала [ξ, xk]. В такъв случай1

S ′ =

k−1∑i=1

Mi(xi − xi−1) + L1(ξ − xk−1) + L2(xk − ξ) +

n∑i=k+1

Mi(xi − xi−1).

Оттук, като вземем пред вид, че

S =

k−1∑i=1

Mi(xi − xi−1) + Mk(xk − xk−1) +

n∑i=k+1

Mi(xi − xi−1),

намираме

S ′ − S = L1(ξ − xk−1) + L2(xk − ξ) − Mk(xk − xk − 1).


L1 ≤ Mk,

L2 ≤ Mk,

защото Mk е горна граница на f (x) в целия подинтервал [xk−1, xk] и следова-телно е горна граница и във всеки един от подинтервалите [xk−1, ξ] и [ξ, xk],докато L1 и L2 са най-малките горни граници на f (x) в тези подинтервали.По такъв начин получаваме

S ′ − S ≤ Mk(ξ − xk−1) + Mk(xk − ξ) − Mk(xk − xk−1) = 0,1Разбира се, не е изключено някоя от сумите

k−1∑i=1

Mi(xi − xi−1),n∑

i=k+1

Mi(xi − xi−1)

да бъде празна.


с което е показано, че S ′ ≤ S . Неравенството s′ ≥ s се установява по ана-логичен начин. Сега не е трудно да се установи общата валидност на не-равенството (1) и в случая, когато голямата и малката сума са образуванис помощта на различни точки на деление. По-точно ние имаме пред видследното: нека разделим интервала [a, b] на подинтервали по два начина спомощта на двете системи от делящи точки

a = x′0 < x′1 < · · · < x′p = b;

a = x′′0 < x′′1 < · · · < x′′q = b

и нека s е малката сума на Дарбу, която отговаря на системата x′0, x′1, . . . , x

′p, а

S е голямата сума, която отговаря на системата x′′0 , x′′1 , . . . , x

′′q ; в такъв случай

s ≤ S . За да докажем това, ние означаваме с sk малката сума на Дарбу, коятополучаваме, когато делим интервала [a, b] с помощта на точките

x′0, x′1, . . . , x

′p; x′′1 , x

′′2 , . . . , x

′′k (1 ≤ k ≤ q),

а с S k означаваме голямата сума на Дарбу, която получаваме, когато делиминтервала [a, b] с помощта на точките

x′′0 , x′′1 , . . . , x

′′q ; x′1, x

′2, . . . , x

′k (1 ≤ k ≤ p).

Съгласно доказаното по-горе имаме

s ≤ s1 ≤ s2 ≤ · · · ≤ sq,

S ≥ S 1 ≥ S 2 ≥ · · · ≥ S p.

От друга страна, сумите sq и S p са образувани с помощта на едни и същиточки на деление, т. е.

sq ≤ S p,

и следователноs ≤ S .

С това неравенство (1) е установено в цялата му общност в смисъл, че сегавече не се иска голямата и малката сума да бъдат образувани с помощта наедин и същ начин на деление на интервала [a, b] на подинтервали.

Този резултат ни дава възможност да установим следното важно нера-венство, което свързва точната горна граница I на малките суми с точнатадолна граница I на големите суми на Дарбу:

I ≤ I.


За да докажем това, фиксираме една голяма сума S и разглеждаме мно-жеството на всичките малки суми s. Неравенството

s ≤ S .

ни учи, че голямата сума S е една горна граница на множеството на малкитесуми. Като вземем предвид обаче, че I е точната горна граница на товамножество, т. е. най-малката от всичките му горни граници, заключаваме,че

(2) I ≤ S .

И така неравенството (2) е установено при всеки избор на голямата сума S .Този резултат ни учи, че I е една долна граница на множеството на големитесуми. Като вземем предвид, че I е точната долна граница на това множество,т. е. най-голямата от всички долни граници, заключаваме, че

(3) I ≤ I.

С това интересуващото ни неравенство е установено.Точната горна граница I на множеството на малките суми на Дарбу

на една ограничена функция f (x) в един краен интервал [a, b], където a < b,се нарича долен интеграл на тази функция в разглеждания интервал и сеозначава със знака ∫ b

af (x) dx.

Аналогично точната долна граница I на множеството на големите сумина Дарбу се нарича горен интеграл и се означава със знака∫ b

af (x) dx.

При тези означения неравенството (3) може да се напише по следнияначин: ∫ b

af (x) dx ≤

∫ b

af (x) dx.

След тези предварителни бележки ние вече сме готови да дадем дефини-ция на понятието Риманов интеграл1 (или, както се казва често, определенинтеграл).

1В последно време след работите на Борел и Лебег теорията на интеграла е осъществилаважен напредък с въвеждането на понятието Лебегов интеграл, което е много по-общо отразглежданото тук класическо понятие Риманов интеграл.


Казваме, че една функция f (x), която е дефинирана и ограничена в единкраен интервал [a, b], е интегруема в Риманов смисъл в този интервал,когато горният и долният и интеграл са равни помежду си. Общата стой-ност на горния и долния интеграл на една интегруема функция се наричанеин Риманов (или определен) интеграл.

Римановият интеграл на една интегруема функция f (x) в интервала [a, b],където a < b, се означава обикновено със знака∫ b

af (x) dx.

Пример 1. Нека f (x) = 1 при всички стойности на x в интервала [a, b]. Делим интервала[a, b] на подинтервали с помощта на точките

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.

Във всеки един от тези подинтервали точната горна и точната долна граница на разглеждана-та функция е равна на 1. Поради това съответната голяма и съответната малка сума на Дарбуимат стойност

n∑i=1

1(xi − xi−1) = (x1 − x0) + (x2 − x1) + · · · + (xn − xn−1) = xn − x0 = b − a.

Оттук заключаваме, че както точната долна граница на големите суми, така и точната горнаграница на малките суми има също тъй стойността b − a. Това ни учи, че разглежданатафункция е интегруема и стойността на интеграла и в разглеждания интервал е b − a.

С помощта на въведените по-горе означения този резултат се записва по следния начин:∫ b

a1 dx = b − a.

Ние често ще си служим с по-краткото означение∫ b

adx = b − a.

Пример 2. Нека f (x) = x при a ≤ x ≤ b. Не е трудно да се покаже, че тази функция еинтегруема. За тази цел делим интервала [a, b] на подинтервали с помощта на точките

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

и означаваме с S и s съответната голяма и малка сума, т. е.

S =

n∑ν=1

xν(xν − xν−1),(4)

s =

n∑ν=1

xν−1(xν − xν−1).(5)

Изваждайки двете равенства (4) и (5), получаваме

S − s =

n∑ν=1

(xν − xν−1)2.


Оттук, като вземем предвид неравенствата

S ≥∫ b

ax dx, s ≤

∫ b

ax dx,

∫ b

ax dx ≤

∫ b

ax dx,


0 ≤∫ b

ax dx −

∫ b

ax dx ≤

n∑ν=1

(xν − xν−1)2.

Ние имаме свободата да делим интервала [a, b] на подинтервали по произволен начин.Специално, ако разделим този интервал на n равни части, ще получим

0 ≤∫ b

ax dx −

∫ b

ax dx ≤

(b − a

n

)2

n =(b − a)2

n.

В последното неравенство ние можем да даваме на цялото положително число n произволноголеми стойности. Като вземем предвид, че разликата∫ b

ax dx −

∫ b

ax dx

ни най-малко не зависи от n, заключаваме, че∫ b

ax dx −

∫ b

ax dx = 0.

С това е установена интегруемостта на разглежданата функция.За да пресметнем стойността на интеграла∫ b

ax dx,

събираме почленно двете неравенства (4) и (5). По този начин намираме

S + s =

n∑ν=1

(x2ν − x2

ν−1)

= b2 − a2,

откъдето ∫ b

ax dx + s ≤ b2 − a2,

S +

∫ b

ax dx ≥ b2 − a2


s ≤ b2 − a2 −

∫ b

ax dx,(6)


S ≥ b2 − a2 −

∫ b

ax dx.(7)

Неравенството (6) учи, че числото

b2 − a2 −

∫ b

ax dx

е една горна граница на множеството на малките суми. Като вземем предвид, че долният интеграл представлява точната, т. е. най-малката горна гра-ница на това множество, получаваме∫ b

ax dx ≤ b2 − a2 −

∫ b

ax dx

и следователно ∫ b

ax dx +

∫ b

ax dx ≤ b2 − a2

и още

(8) 2∫ b

ax dx ≤ b2 − a2.

Аналогично, изхождайки от неравенството (7), получаваме

(9) 2∫ b

ax dx ≥ b2 − a2.

Неравенствата (8) и (9) ни дават∫ b

ax dx =

b2 − a2

2.

Пример 3. Нека f (x) е функция, дефинирана в интервала a ≤ x ≤ b, където a < b, последния начин:

f (x) = 1 при рационални стойности на x;

f (x) = 0 при ирационални стойности на x.

Така дефинираната функция не е интегруема в разглеждания интервал. И наистина горнатаграница 1 на разглежданата функция се достига във всеки подинтервал на интервала [a, b]и следователно представлява точната горна граница на функцията във всеки подинтервал.Аналогично се убеждаваме, че точната долна граница на функцията във всеки един подин-тервал на интервала [a, b] е равна на нула. Оттук заключаваме, че при всеки избор на точките

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b


съответната голяма сума S има стойност

S =

n∑ν=1

1 (xν − xν−1) = xn − x0 = b − a

и съответната малка сума s има стойност

s =

n∑ν=1

0 (xν − xν−1) = 0.

Оттук заключаваме, че ∫ b

af (x) dx = b − a

и ∫ b

af (x) dx = 0,

което показва, че разглежданата функция не е интегруема.

§ 2. Достатъчни условия за интегруемост

В този параграф ще дадем няколко достатъчни условия за интегруемоств Риманов смисъл.

I. Всяка функция f (x), която е дефинирана и непрекъсната1 в един краени затворен интервал [a, b], е интегруема в него.

Доказателство. Избираме едно произволно положително число ε и де-лим интервала [a, b] на подинтервали

[x0, x1], [x1, x2], . . . , [xn−1, xn],

къдетоa = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,

по такъв начин, че осцилацията на f (x) във всеки един от тези подинтервалида бъде по-малка от ε. Това, както знаем, е възможно.

Нека Mi е точната горна и mi е точната долна граница на f (x) в по-динтервала [xi−1, xi]. Разглеждаме съответната голяма сума S и съответнатамалка сума s:

S =

n∑i=1

Mi (xi − xi−1) ,

1Тук не е нужно да предполагаме, че функцията f (x) е ограничена, защото, както знаем,това вече следва от непрекъснатостта и в крайния и затворен интервал [a, b].

§ 2. Достатъчни условия за интегруемост 87

s =

n∑i=1

mi (xi − xi−1) .


S − s =

n∑i=1

(Mi − mi) (xi − xi−1) .

Оттук, като вземем предвид неравенствата∫ b

af (x) dx ≤ S ,

∫ b

af (x) dx ≥ s,

∫ b

af (x) dx ≤

∫ b

af (x) dx,

намираме

0 ≤∫ b

af (x) dx −

∫ b

af (x) dx ≤

n∑i=1

(Mi − mi) (xi − xi−1) .

При избрания начин на делението на интервала [a, b] на подинтервали осци-лацията Mi − mi във всеки един от тях удовлетворява неравенството

Mi − mi ≤ ε


0 ≤∫ b

af (x) dx −

∫ b

af (x) dx ≤

n∑i=1

ε (xi − xi−1) = ε(b − a).

Като вземем пред вид, че положителното число ε е произволно, а числата∫ b

af (x) dx −

∫ b

af (x) dx

и b − a ни най-малко не зависят от ε, заключаваме, че∫ b

af (x) dx −

∫ b

af (x) dx = 0,

защото в противен случай неравенството∫ b

af (x) dx −

∫ b

af (x) dx ≤ ε(b − a)


сигурно ще бъде нарушено,1 ако направим положителното число ε доста-тъчно малко.

II. И така непрекъснатите функции (при наличността на останалите ус-ловия, които ние формулирахме в току-що доказаната теорема) са интегруе-ми. С непрекъснатите функции обаче съвсем не се изчерпва множеството наинтегруемите функции. Така например, ако една функция f (x) е дефиниранаи ограничена2 в интервала [a, b] и има само краен брой точки на прекъсване,тя е също интегруема.

Ние ще докажем тази теорема за случая, когато функцията f (x) имаедна единствена, и то вътрешна (по отношение на интервала [a, b]) точка напрекъсване c. Нека читателят сам обмисли общото доказателство.3

Избираме едно достатъчно малко (иначе произволно) положително чис-ло ε по такъв начин, че да имаме

a < c − ε, c + ε < b.

Делим интервалите [a, c−ε] и [c+ε, b] на подинтервали с помощта на точките

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xp = c − ε,

c + ε = y0 < y1 < y2 < · · · < yq = b

така, че осцилацията на функцията f (x) във всеки един от тях да бъде по-малка от ε. Това може да се направи, защото функцията f (x) е непрекъснатав затворените интервали [a, c − ε] и [c + ε, b].

Означаваме с Mi и mi съответно точната горна и точната долна границана f (x) в подинтервала [xi−1, xi]; с Ni и ni съответно точната горна и точнатадолна граница на f (x) в подинтервала [yi−1, yi]; с L и l съответно точнатагорна и точната долна граница на f (x) в подинтервала [c − ε, c + ε] и най-сетне с M и m една горна и една долна граница на f (x) в целия интервал[a, b].

В такъв случай голямата сума S и малката сума s имат съответно стой-ностите

S =

p∑i=1

Mi(xi − xi−1) + L . 2ε +

q∑i=1

Ni(yi − yi−1),

s =

p∑i=1

mi(xi − xi−1) + l . 2ε +

q∑i=1

ni(yi − yi−1).

1Нека припомним тук, че интервалът [a, b] е краен.2Тук се налага да предполагаме изрично ограничеността на функцията, защото тази фун-

кция притежава точки на прекъсване и следователно би могла да бъде неограничена.3Което, разбира се, става по същия начин.

§ 2. Достатъчни условия за интегруемост 89


S − s =

p∑i=1

(Mi − mi)(xi − xi−1) + (L − l) . 2ε +

q∑i=1

(Ni − ni)(yi − yi−1).

Като вземем пред вид неравенствата

S ≥∫ b

af (x) dx, s ≤

∫ b

af (x) dx,

∫ b

af (x) dx ≤

∫ b

af (x) dx,

намираме

0 ≤∫ b

af (x) dx −

∫ b

af (x) dx

≤

p∑i=1

(Mi − mi)(xi − xi−1) + (L − l) . 2ε +

q∑i=1

(Ni − ni)(yi − yi−1),

откъдето

0 ≤∫ b

af (x) dx −

∫ b

af (x) dx

≤

p∑i=1

ε(xi − xi−1) + (M − m) . 2ε +

q∑i=1

ε(yi − yi−1)

= ε[(c − ε − a) + 2(M − m) + (b − c − ε)] < ε[b − a + 2M − 2m].

Като вземем пред вид, че положителното число ε е подчинено на единстве-ното ограничение да бъде достатъчно малко, а числата∫ b

af (x) dx −

∫ b

af (x) dx и b − a + 2M − 2m

ни най-малко не зависят от ε, заключаваме, че∫ b

af (x) dx −

∫ b

af (x) dx = 0,


af (x) dx −

∫ b

af (x) dx ≤ ε(b − a + 2M − 2m)

сигурно ще бъде нарушено, ако дадем на положителното число ε достатъчномалка стойност.


III. В известни случаи дори наличието на безбройно много точки напрекъсване не е пречка за интегруемостта. Така ние ще видим сега, че мо-нотонните функции (при някои предположения относно дефиниционната имобласт) са също тъй интегруеми (дори ако притежават безбройно много точ-ки на прекъсване). По-точно ние ще докажем следната теорема:

Всяка функция f (x), която е дефинирана и монотонна в един краен изатворен интервал [a, b], е интегруема в него.1

Доказателство. Ние ще разгледаме само случая, когато ни е дадена еднамонотонно растяща функция. Нека читателят сам разгледа случая, когатофункцията монотонно намалява.

Избираме едно произволно число ε и делим интервала [a, b] на подин-тервали

[x0, x1], [x1, x2], . . . , [xn−1, xn]

с помощта на точките

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

по такъв начин, че дължината на всеки един от тези подинтервали да бъдепо-малка от ε. Разглеждаме съответната голяма сума S и съответната малкасума s. Очевидно имаме

S =

n∑ν=1

f (xν)(xν − xν−1),

s =

n∑ν=1

f (xν−1)(xν − xν−1).


S − s =

n∑ν=1

[ f (xν) − f (xν−1)](xν − xν−1).

1Тук не е необходимо да предполагаме, че функцията f (x) е ограничена, защото товавече следва от нейната монотонност: при монотонно растящи функции имаме

f (a) ≤ f (x) ≤ f (b),

а при монотонно намаляващи функции имаме

f (a) ≥ f (x) ≥ f (b).

§ 3. Основни свойства на определените интеграли 91


S ≥∫ b

af (x) dx, s ≤

∫ b

af (x) dx,

∫ b

af (x) dx ≤

∫ b

af (x) dx,

намираме

0 ≤∫ b

af (x) dx −

∫ b

af (x) dx ≤

n∑ν=1

[ f (xν) − f (xν−1)](xν − xν−1),

откъдето

0 ≤∫ b

af (x) dx −

∫ b

af (x) dx ≤

n∑ν=1

[ f (xν) − f (xν−1)]ε = ε[ f (b) − f (a)].

Като вземем пред вид още, че положителното число ε е произволно, ачислата ∫ b

af (x) dx −

∫ b

af (x) dx и f (b) − f (a)

не зависят ни най-малко от ε, заключаваме, че

(1)∫ b

af (x) dx −

∫ b

af (x) dx = 0,


af (x) dx −

∫ b

af (x) dx ≤ ε[ f (b) − f (a)]

сигурно ще бъде нарушено, ако изберем положителното числото ε достатъч-но малко.

Равенството (1) ни учи, че функцията f (x) е интегруема. С това интере-суващата ни теорема е доказана.

§ 3. Основни свойства на определените интеграли

I. Нека функцията f (x) e ограничена в интервала1 [a, b] и c е коя да евътрешна точка в този интервал. В такъв случай∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx =

∫ b

af (x) dx,(2)

1Нека припомним на това място, че интервалите, които разглеждаме, са крайни, акоизрично не е казано противното.


∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx =

∫ b

af (x) dx.(3)

Доказателство. Ние ще докажем само равенството (2). Равенството (3)се доказва по същия начин.

Делим интервалите [a, c] и [c, b] на подинтервали с помощта на точките

a = x′0 < x′1 < · · · < x′p = c,(4)

c = x′′0 < x′′1 < · · · < x′′q = b.(5)

Означаваме с mi точната долна граница на f (x) в подинтервала [x′i−1, x′i] и

с m′′i точната долна граница на f (x) в подинтервала [x′′i−1, x′′i ]. Разглеждаме

съответните малки суми

s′ =

p∑i=1

m′i(x′i − x′i−1),

s′′ =

q∑i=1

m′′i (x′′i − x′′i−1).

Очевидно числото

s′ + s′′ =

p∑i=1

m′i(x′i − x′i−1) +

q∑i=1

m′′i (x′′i − x′′i−1)

представлява една специална малка сума за функцията f (x) , отговаряща наинтервала [a, b]. От това заключваме1, че

s′ + s′′ ≤∫ b

af (x) dx,

откъдето

(6) s′ ≤∫ b

af (x) dx − s′′.

Ние сега ще фиксираме точките (5). С това не е направено никакво ог-раничение за точките (4). Неравенството (6) ни учи, че числото∫ b

af (x) dx − s′′

1Припомняме, че долният интеграл е (точната) горна граница на множеството на малкитесуми.


е една горна граница на малките суми s′. Като вземем пред вид, че∫ c

af (x) dx

е точната, т. е. най-малката горна граница на тези суми, намираме

(7)∫ c

af (x) dx ≤

∫ b

af (x) dx − s′′.

Неравенството (7) ни дава

(8) s′′ ≤∫ b

af (x) dx −

∫ c

af (x) dx.

Ние имахме свободата да фиксираме точките (5) произволно. Сега щесе възползуваме от тази свобода. И така неравенството (8) е установено завсичките малки суми s′′. От това заключаваме, че числото∫ b

af (x) dx −

∫ c

af (x) dx

е една горна граница за тези суми. Като вземем пред вид, че∫ b

cf (x) dx

е точната, т. е. най-малката им горна граница, намираме∫ b

cf (x) dx ≤

∫ b

af (x) dx −

∫ c

af (x) dx


(9)∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx ≤

∫ b

af (x) dx.

По-нататък делим интервала [a, b] по произволен начин на подинтервалис помощта на точките

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

и означаваме с mi точната долна граница на f (x) в подинтервала [xi−1, xi].Разглеждаме малката сума

s =

n∑i=1

mi(xi − xi−1).


Нека xp е най-голямото от числата1

x0 < x1 < x2 < · · · < xn,

което не надминава c. В такъв случай

xp ≤ c < xp+1.

Означаваме с m′ и m′′ точната долна граница на f (x) съответно в подинтер-валите [xp, c] и [c, xp+1]. Очевидно имаме2

m′ ≥ mp+1, m′′ ≥ mp+1,

т. е.m′(c − xp) + m′′(xp+1 − c) ≥ mp+1(xp+1 − xp).

От това заключаваме, че3

s =

p∑i=1

mi(xi − xi−1) + mp+1(xp+1 − xp) +

n∑i=p+2

mi(xi − xi−1)

≤

[ p∑i=1

mi(xi − xi+1) + m′(c − xp)

]+

m′′(xp+1 − c) +

n∑i=p+2

mi(xi − xi−1)

≤

∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx.

Това неравенство ни учи, че числото∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx

1Такова число сигурно има, защото x0 = a < c. Това число е по-малко от xn, защотоxn = b > c.

2Ние бихме могли да се убедим във валидността на тези неравенства така: mp+1 е долнаграница на f (x) в целия интервал [xp, xp+1], а следователно и в подинтервала [xp, c], докатоm′ е точната долна граница, т. е. най-голямата долна граница на f (x) в същия подинтервал,оттук заключаваме, че m′ ≥ mp+1. Аналогично се установява и неравенството m′′ ≥ mp+1.

3При p = 0 трябва да се разбираp∑

i=1

mi(xi − xi−1) = 0.

При p = n − 1 трябва да се разбираn∑

i=p+2

mi(xi − xi−1) = 0.


представлява една горна граница на малките суми s. Като вземем под вни-мание, че ∫ b

af (x) dx

представлява точната, т. е. най-малката им горна граница, получаваме

(10)∫ b

af (x) dx ≤

∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx.

Неравенствата (9) и (10) ни учат, че∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx =

∫ b

af (x) dx.

Следствие 1. Ако

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,

тоn∑

i=1

∫ xi

xi−1f (x) dx =

∫ b

af (x) dx,

n∑i=1

∫ xi

xi−1f (x) dx =

∫ b

af (x) dx.

Следствие 2. Ако функцията f (x) е интегруема в интервала [a, b], то тяе интегруема и във всеки подинтервал на [a, b]. И наистина нека a < c < b.В такъв случай∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx =

∫ b

af (x) dx =

∫ b

af (x) dx,∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx =

∫ b

af (x) dx =

∫ b

af (x) dx

и следователно(∫ c

af (x) dx −

∫ c

af (x) dx

)+

(∫ b

cf (x) dx −

∫ b

cf (x) dx

)= 0.

Като вземем пред вид, че∫ c

af (x) dx −

∫ c

af (x) dx ≥ 0 и

∫ b

cf (x) dx −

∫ b

cf (x) dx ≥ 0,


намираме∫ c

af (x) dx −

∫ c

af (x) dx = 0 и

∫ b

cf (x) dx −

∫ b

cf (x) dx = 0,

т. е. функцията f (x) е интегруема в двата подинтервала [a, c] и [c, b]. Оттукможе да се установи, че функцията f (x) е интегруема и във всеки подинтер-вал [c, d], където a < c < d < b. И наистина ние вече установихме, че тя еинтегруема в подинтервала [c, b], а от това и от доказаното по-горе следва,че тя е интегруема и в подинтервала [c, d].

Следствие 3. Ако функцията f (x) е интегруема както в интервала a ≤x ≤ c, така и в интервала c ≤ x ≤ b, то тя е интегруема и в интервалаa ≤ x ≤ b. И наистина от∫ b

af (x) dx =

∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx =

∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx

и ∫ b

af (x) dx =

∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx =

∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx

имаме ∫ b

af (x) dx =

∫ b

af (x) dx.

Следствие 4. Ако функцията f (x) е интегруема в интервала [a, b] и a <c < b, то ∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx =

∫ b

af (x) dx.

По-общо, акоa = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,

тоn∑

i=1

∫ xi

xi−1f (x) dx =

∫ b

af (x) dx.

II. Нека функцията f (x) е дефинирана и ограничена в интервала [a, b] иλ е една константа. В такъв случай при λ ≥ 0 имаме

(11)∫ b

aλ f (x) dx = λ

∫ b

af (x) dx

и ∫ b

aλ f (x) dx = λ

∫ b

af (x) dx,


а при λ ≤ 0 имаме ∫ b

aλ f (x) dx = λ

∫ b

af (x) dx

и ∫ b

aλ f (x) dx = λ

∫ b

af (x) dx.

Доказателство. Ние ще разгледаме само равенството (11) при λ > 0,защото останалите равенства се установяват по същия начин, а случаят λ = 0е тривиален.

Делим интервала [a, b] на подинтервали с помощта на точките

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

и означаваме с mi точната долна граница на f (x) в подинтервала [xi−1, xi].Очевидно1 точната долна граница на λ f (x) в същия подинтервал е λmi.

Разглеждаме двете малки суми

s =

n∑i=1

mi(xi − xi−1),

σ =

n∑i=1

λmi(xi − xi−1).

Явно е, че s =σ

λ.

Като вземем пред вид неравенството

s ≤∫ b

af (x) dx

(което изразява, че долният интеграл е една горна граница на малките суми),получаваме

σ

λ≤

∫ b

af (x) dx

1За да се убедим в това, означаваме с m′i точната долна граница на λ f (x) в подинтервала[xi−1, xi]. Очевидно имаме mi ≤ f (x), m′i ≤ λ f (x) при xi−1 ≤ x ≤ xi и следователно λmi ≤ λ f (x),m′iλ≤ f (x). Тези неравенства ни учат, че числата

m′iλ

и λmi са долни граници съответно на

функциите f (x) и λ f (x) в подинтервала [xi−1, xi]. Като вземем пред вид, че mi и m′i са точните,

т. е. най-големите им долни граници, намираме mi ≥m′iλи m′i ≥ λmi. Тези неравенства ни дават

m′i = λmi.


или

σ ≤ λ

∫ b

af (x) dx.

С това е установено, че числото

λ

∫ b

af (x) dx

е една горна граница на множеството на малките суми σ. Като вземем пред

вид, че∫ b

aλ f (x) dx е точната горна, т. е. най-малката горна граница на тези

суми, получаваме ∫ b

aλ f (x) dx ≤ λ

∫ b

af (x) dx.

Аналогично се установява неравенството

λ

∫ b

af (x) dx ≤

∫ b

aλ f (x) dx.

Оттук заключаваме, че ∫ b

aλ f (x) dx = λ

∫ b

af (x) dx.

Следствие. Ако функцията f (x) е интегруема в интервала [a, b] и λ еконстанта, то функцията λ f (x) е също тъй интегруема и∫ b

aλ f (x) dx = λ

∫ b

af (x) dx.

III. Ако функцията f (x) е интегруема в интервала [a, b], то и функцията| f (x)| е интегруема в този интервал.

Доказателство. Избираме ε > 0 и образуваме една голяма сума на ДарбуS ∗ и една малка сума s∗ за функцията f (x) по такъв начин, че да имаме

S ∗ <∫ b

af (x) dx + ε,

s∗ >∫ b

af (x) dx − ε.


Това е възможно да се направи, защото∫ b

aе най-голямата долна граница

на големите суми и∫ b

aе най-малката горна граница на малките суми на

Дарбу, т. е.∫ b

a+ε не е долна граница на големите суми, а

∫ b

a−ε не е горна

граница на малките суми.По-нататък делим интервала [a, b] на подинтервали с помощта на точ-

китеa = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

по такъв начин, че измежду точките x0, x1, x2, . . . , xn да се намират всичкитеточки на деление както на сумата S ∗, така и на сумата s∗. Означаваме с Mi

точната горна, с mi точната долна граница на f (x), а с M′i и m′i съответноточната горна и точната долна граница на | f (x)| в подинтервала [xi−1, xi] иразглеждаме сумите на Дарбу

S =

n∑i=1

Mi(xi − xi−1),

s =

n∑i=1

mi(xi − xi−1),

S ′ =

n∑i=1

M′i (xi − xi−1),

s′ =

n∑i=1

m′i(xi − xi−1).

ОчевидноS ∗ ≥ S , s∗ ≤ s

и

0 ≤∫ b

a| f (x)| dx −

∫ b

a| f (x)| dx ≤ S ′ − s′ =

n∑i=1

(M′i − m′i)(xi − xi−1).

От друга страна, както и да избираме точките ξ1 и ξ2 в подинтервала[xi−1, xi], имаме

f (ξ1) − f (ξ2) ≤ Mi − mi,

f (ξ2) − f (ξ1) ≤ Mi − mi,


т. е.| f (ξ1) − f (ξ2)| ≤ Mi − mi

и толкова повече| f (ξ1)| − | f (ξ2)| ≤ Mi − mi.

Оттук не е трудно да се установи, че

M′i − m′i ≤ Mi − mi.

За тази цел избираме произволно положително число δ и определяме ξ1 и ξ2така, че да имаме

| f (ξ1)| > M′i − δ, | f (ξ2)| < m′i + δ.

По такъв начин получаваме

M′i − m′i − 2δ < Mi − mi.

Като вземем пред вид, че положителното число δ е произволно, намираме

M′i − m′i ≤ Mi − mi.

Този резултат ни позволява да пишем

n∑i=1

(M′i − m′i)(xi − xi−1) ≤n∑

i=1

(Mi − mi)(xi − xi−1) = S − s


0 ≤∫ b

a| f (x)| dx −

∫ b

a| f (x)| dx ≤ S − s ≤ s ≤ S ∗ − s∗

<

∫ b

af (x) dx + ε −

(∫ b

af (x) dx − ε

)= 2ε.

Оттук, като вземем пред вид, че положителното число ε е произволно, анеотрицателната разлика ∫ b

a| f (x)| dx −

∫ b

a| f (x)| dx

не зависи от ε, заключаваме, че∫ b

a| f (x)| dx −

∫ b

a| f (x)| dx = 0,


т. е. функцията | f (x)| е наистина интегруема.IV. Нека функцията f (x) е дефинирана в интервала [a, b] и във всички

точки от този интервал удовлетворява неравенствата

m ≤ f (x) ≤ M,

където m и M са константи.В такъв случай

m(b − a) ≤∫ b

af (x) dx ≤ M(b − a),(12)

m(b − a) ≤∫ b

af (x) dx ≤ M(b − a).(13)

Доказателство. Ние ще докажем неравенството (12); неравенството (13)се доказва по същия начин.


a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

и означаваме с mi точната долна граница на f (x) в подинтервала [xi−1, xi].Очевидно имаме1

m ≤ mi ≤ M


m(b − a) =

n∑i=1

m(xi − xi−1) ≤n∑

i=1

mi(xi − xi−1) ≤n∑

i=1

M(xi − xi−1) = M(b − a).

От неравенствотоn∑

i=1

mi(xi − xi−1) ≤∫ b

af (x) dx,

което изразява, че долният интеграл е една горна граница на малките суми,получаваме

m(b − a) ≤∫ b

af (x) dx.

1И наистина от mi ≤ f (x) ≤ M при xi−1 ≤ x ≤ xi имаме mi ≤ M. От друга страна, m еедна долна граница на f (x) в целия интервал [a, b], а следователно и в подинтервала [xi−1, xi],докато mi е точната, т. е. най-голямата долна граница на функцията f (x) в същия подинтервал,т. е. m ≤ mi.


От друга страна, неравенството

n∑i=1

mi(xi − xi−1) ≤ M(b − a)

ни учи, че константата M(b−a) е една горна граница на множеството на мал-

ките суми. Като вземем пред вид, че∫ b

af (x) dx е точната, т. е. най-малката

горна граница на тези суми, намираме∫ b

af (x) dx ≤ M(b − a).

Следствие. Нека функцията f (x) е ограничена в интервала [a, b] и f (x) ≥0. В такъв случай ∫ b

af (x) dx ≥ 0,∫ b

af (x) dx ≥ 0.

Специално, ако функцията f (x) е интегруема, то∫ b

af (x) dx ≥ 0.

V. Нека f1(x) и f2(x) са две ограничени функции в интервала [a, b], коитопри всички стойности на x удовлетворяват неравенството

f1(x) ≤ f2(x).


(14)∫ b

af1(x) dx ≤

∫ b

af2(x) dx

и

(15)∫ b

af1(x) dx ≤

∫ b

af2(x) dx.

Доказателство. Ще докажем неравенството (14); неравенството (15) седоказва по същия начин. Делим интервала [a, b] на подинтервали с помощтана точките

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b


и означаваме с m′i и m′′i точните долни граници съответно на f1(x) и f2(x) вподинтервала [xi−1, xi]. Очевидно имаме1

m′i ≤ m′′i .

От това неравенство получаваме

n∑i=1

m′i(xi − xi−1) ≤n∑

i=1

m′′i (xi − xi−1),

т. е.2n∑

i=1

m′i(xi − xi−1) ≤∫ b

af2(x) dx.

Този резултат ни учи, че числото∫ b

af2(x) dx е една горна граница на

множеството на малките суми на f1(x). Като вземем в съображение, че∫ b

af1(x) dx

е точната, т. е. най-малката от горните граници на тези суми, получаваме∫ b

af1(x) dx ≤

∫ b

af2(x) dx.

Следствие. Ако функцията f (x) е ограничена в интервала [a, b], a < b,то ∣∣∣∣ ∫ b

af (x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a| f (x)| dx.

Следователно, ако функцията f (x) е интегруема, то∣∣∣∣∫ b

af (x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a| f (x)| dx.

1Като вземем пред вид неравенствата m′i ≤ f1(x) ≤ f2(x) при xi−1 ≤ x ≤ xi, получавамеm′i ≤ f2(x). Това неравенство ни учи, че m′i е една долна граница на f2(x) в подинтервала[xi−1, xi]. Като вземем пред вид още, че m′′i е точната, т. е. най-голямата долна граница наf2(x) в същия подинтервал, получаваме m′i ≤ m′′i .

2Тук ние се възползуваме от неравенството

n∑i=1

m′′i (xi − xi−1) ≤∫ b

af2(x) dx,

което изразява, че долният интеграл е една горна граница за малките суми.


Доказателство. От неравенствата

f (x) ≤ | f (x)|,

− f (x) ≤ | f (x)|

получаваме ∫ b

a| f (x)| dx ≥

∫ b

af (x) dx,∫ b

a| f (x)| dx ≥

∫ b

a| f (x)| dx ≥

∫ b

a[− f (x)] dx = −

∫ b

af (x) dx.

Но ∣∣∣∣ ∫ b

af (x) dx

∣∣∣∣е едното (по-голямото) от двете числа∫ b

af (x) dx и −

∫ b

af (x) dx,

тъй че ∫ b

a| f (x)| dx ≥

∣∣∣∣ ∫ b

af (x) dx

∣∣∣∣ .Забележка. Неравенството∣∣∣∣ ∫ b

af (x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a| f (x)| dx

не винаги е валидно. За да се убедим в това, разглеждаме функцията f (x),дефинирана с условията f (x) = −1 при рационални стойности на x и f (x) = 0при ирационални стойности на x.

§ 4. Интегриране на сума

Нека f (x) и g(x) са две ограничени функции в интервала [a, b]. В такъвслучай ∫ b

a[ f (x) + g(x)] dx ≥

∫ b

af (x) dx +

∫ b

ag(x) dx

и ∫ b

a[ f (x) + g(x)] dx ≤

∫ b

af (x) dx +

∫ b

ag(x) dx.

§ 4. Интегриране на сума 105

От това следва, че ако двете функции f (x) и g(x) са интегруеми, тосумата f (x) + g(x) е също така интегруема и∫ b

a[ f (x) + g(x)] dx =

∫ b

af (x) dx +

∫ b

ag(x) dx.

Ние ще извършим доказателството, като разгледаме първо специалнияслучай, когато g(x) е константа. Да означим с m тази константа. В такъвслучай ∫ b

a[ f (x) + m] dx =

∫ b

af (x) dx + m(b − a),(1) ∫ b

a[ f (x) + m] dx =

∫ b

af (x) dx + m(b − a).(2)

Доказателство.Ще докажем равенството (1); равенството (2) се доказвапо същия начин.


a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

и означаваме с mi и m′i съответно точната долна граница на f (x) и f (x) + m вподинтервала [xi−1, xi]. В такъв случай имаме

(3) m′i = mi + m.

И наистина от неравенството

mi ≤ f (x),

валидно при xi−1 ≤ x ≤ xi, получаваме

mi + m ≤ f (x) + m,

т. е. mi + m е една долна граница на f (x) + m в подинтервала [xi−1, xi]. Катовземем пред вид, че m′i е точната, т. е. най-голямата долна граница на тазифункция в същия подинтервал, намираме

(4) mi + m ≤ m′i .

Аналогично от неравенството

m′i ≤ f (x) + m,


валидно при xi−1 ≤ x ≤ xi, получаваме

m′i − m ≤ f (x),

т. е. числото m′i − m е една долна граница на функцията f (x) в подинтервала[xi−1, xi]. Като вземем пред вид, че mi е точната, т. е. най-голямата долнаграница на тази функция в същия подинтервал, намираме

m′i − m ≤ mi

или

(5) m′i ≤ mi + m.

Неравенствата (4) и (5) ни дават m′i = mi + m.Равенството (3) ни дава възможност да пишем

n∑i=1

m′i(xi − xi−1) =

n∑i=1

(mi + m)(xi − xi−1) =

n∑i=1

mi(xi − xi−1) + m(b − a)


n∑i=1

m′i(xi − xi−1) ≤∫ b

af (x) dx + m(b − a).

С това ние доказахме, че числото∫ b

af (x) dx + m(b − a)

е една горна граница на множеството на малките суми на функцията f (x)+m.Когато вземем пред вид, че числото∫ b

a[ f (x) + m] dx

е точната, т. е. най-малката им горна граница, намираме

(6)∫ b

a[ f (x) + m] dx ≤

∫ b

af (x) dx + m(b − a).

Аналогично, използувайки неравенството

n∑i=1

mi(xi − xi−1) ≤∫ b

a[ f (x) + m] dx − m(b − a),

§ 4. Интегриране на сума 107

доказваме, че

(7)∫ b

a[ f (x) + m] dx ≥

∫ b

af (x) dx + m(b − a).

Неравенствата (6) и (7) ни дават∫ b

a[ f (x) + m] dx =

∫ b

af (x) dx + m(b − a).

След всичко извършено ние сме готови вече да разгледаме общия слу-чай.

Нека f (x) и g(x) са две ограничени функции в интервала [a, b]. В такъвслучай ∫ b

a[ f (x) + g(x)] dx ≥

∫ b

af (x) dx +

∫ b

ag(x) dx,(8) ∫ b

a[ f (x) + g(x)] dx ≤

∫ b

af (x) dx +

∫ b

ag(x) dx.(9)

Доказателство. Ще докажем, неравенството (8); неравенството (9) седоказва по същия начин.


a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

и означаваме с mi точната долна граница на g(x) в подинтервала [xi−1, xi].Съгласно доказаните по-горе теореми∫ b

a[ f (x) + g(x)] dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

[ f (x) + g(x)] dx ≥n∑

i=1

∫ xi

xi−1

[ f (x) + mi] dx

=

n∑i=1

[∫ xi

xi−1

f (x) dx + mi(xi − xi−1)]

=

∫ b

af (x) dx +

n∑i=1

mi(xi − xi−1)

илиn∑

i=1

mi(xi − xi−1) ≤∫ b

a[ f (x) + g(x)] dx −

∫ b

af (x) dx.


С това доказахме, че числото∫ b

a[ f (x) + g(x)] dx −

∫ b

af (x) dx

е една горна граница на множеството на малките суми на g(x). Като вземемпред вид, че ∫ b

ag(x) dx

е точната, т. е. най-малката им горна граница, получаваме∫ b

ag(x) dx ≤

∫ b

a[ f (x) + g(x)] dx −

∫ b

af (x) dx,

с което неравенството (8) е установено.Следствие. Ако функциите f (x) и g(x) са интегруеми в интервала [a, b],

то функцията f (x) + g(x) е също тъй интегруема в този интервал и∫ b

a[ f (x) + g(x)] dx =

∫ b

af (x) dx +

∫ b

ag(x) dx.

Доказателство. От неравенствата∫ b

af (x) dx +

∫ b

ag(x) dx ≤

∫ b

a[ f (x) + g(x)] dx

≤

∫ b

a[ f (x) + g(x)] dx ≤

∫ b

af (x) dx +

∫ b

ag(x) dx

и от равенствата∫ b

af (x) dx =

∫ b

af (x) dx,

∫ b

ag(x) dx =

∫ b

ag(x) dx

получаваме∫ b

a[ f (x) + g(x)] dx =

∫ b

a[ f (x) + g(x)] dx =

∫ b

af (x) dx +

∫ b

ag(x) dx.

Първото равенство ни учи, че функцията f (x) + g(x) е интегруема, апоследното ни дава∫ b

a[ f (x) + g(x)] dx =

∫ b

af (x) dx +

∫ b

ag(x) dx.

§ 5. Произведение на две интегруеми функции 109

§ 5. Произведение на две интегруеми функции

Ще докажем, че произведението f (x)g(x) на две интегруеми в един ин-тервал a ≤ x ≤ b функции f (x) и g(x) е интегруема функция в този интервал.

Доказателство. Първо ще разгледаме случая, когато функциите f (x) иg(x) са неотрицателни. Избираме едно положително число ε. Означаваме сS ′ и s′ една голяма и една малка сума на Дарбу на функцията f (x), коитоудовлетворяват условията

S ′ <∫ b

af (x) dx + ε, s′ >

∫ b

af (x) dx − ε.

Означаваме с S ′′ и s′′ една голяма и една малка сума на Дарбу на функциятаg(x), които удовлетворяват условията

S ′′ <∫ b

ag(x) dx + ε, s′′ >

∫ b

ag(x) dx − ε.

В такъв случайS ′ − s′ < 2ε, S ′′ − s′′ < 2ε,

тъй като функциите f (x) и g(x) са интегруеми, т. е.∫ b

af (x) dx =

∫ b

af (x) dx,

∫ b

ag(x) dx =

∫ b

ag(x) dx.

Да разделим интервала a ≤ x ≤ b на подинтервали с помощта на точките

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,

които са избрани така, че между тях да фигурира всяка точка, която се из-ползва при образуването на сумите S ′, s′, S ′′, s′′. Означаваме с M′i , респек-тивно M′′i , точната горна граница на f (x), респективно g(x), в подинтервала[xi−1, xi], а с m′i , респективно m′′i , означаваме точната долна граница на f (x),респективно g(x), в този подинтервал. В такъв случай при xi−1 ≤ x ≤ xi

имамеm′im

′′i ≤ f (x)g(x) ≤ M′i M′′i

и следователно∫ b

af (x)g(x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x)g(x) dx ≤n∑

i=1

M′i M′′i (xi − xi−1),


∫ b

af (x)g(x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x)g(x) dx ≥n∑

i=1

m′im′′i (xi − xi−1),

откъдето получаваме∫ b

af (x)g(x) dx −

∫ b

af (x)g(x) dx ≤

n∑i=1

(M′i M′′i − m′im′′i )(xi − xi−1)

=

n∑i=1

M′′i (M′i − m′i)(xi − xi−1) +

n∑i=1

m′i(M′′i − m′′i )(xi − xi−1).

Да означим с M една обща горна граница на f (x) и g(x) в целия интервалa ≤ x ≤ b. В такъв случай ще имаме

m′i ≤ M и M′′i ≤ M


af (x)g(x) dx −

∫ b

af (x)g(x) dx

≤ Mn∑

i=1

(M′i − m′i)(xi − xi−1) + Mn∑

i=1

(M′′i − m′′i )(xi − xi−1).


n∑i=1

M′i (xi − xi−1) ≤ S ′,n∑

i=1

m′i(xi − xi−1) ≥ s′,

n∑i=1

M′′i (xi − xi−1) ≤ S ′′,n∑

i=1

m′′i (xi − xi−1) ≥ s′′.

По такъв начин получаваме∫ b

af (x)g(x) dx −

∫ b

af (x)g(x) dx ≤ M(S ′ − s′) + M(S ′′ − s′′) ≤ 4Mε,

което е достатъчно да можем да твърдим, че∫ b

af (x)g(x) dx =

∫ b

af (x)g(x) dx.

По такъв начин ние установихме интегруемостта на произведениетоf (x)g(x) в случая, когато функциите f (x) и g(x) са неотрицателни. За да се

§ 6. Интегралът като функция на една от интеграционните си . . . 111

освободим от това предположение, означаваме с m една обща долна границана f (x) и g(x). В такъв случай функциите

f (x) − m и g(x) − m

са неотрицателни и следователно въз основа на доказаното можем да твър-дим, че произведението

[ f (x) − m][g(x) − m]

е интегруемо. Това обаче ни позволява да твърдим, че функцията

f (x)g(x) = [ f (x) − m][g(x) − m] + m f (x) + mg(x) − m2

е също тъй интегруема, защото е сума на интегруеми функции. С това дока-зателството е завършено.

§ 6. Интегралът като функция на една от интеграционните сиграници. Теорема на Лайбниц и Нютон. Зависимост между

определени и неопределени интеграли

Нека функцията f (t) е интегруема в интервала a ≤ t ≤ b. В такъв случай,както видяхме по-горе, тази функция е интегруема и в подинтервала a ≤ t ≤x, където a < x ≤ b.

Стойността на интеграла ∫ x

af (t) dt

може, разбира се, евентуално да се мени когато x се мени. Тя обаче е едноз-начно определена, когато x е дадено, и следователно представлява функцияна x, дефинирана в интервала [a, b].

Ние ще пишем за краткост

F(x) =

∫ x

af (t) dt

и ще установим, че тази функция е непрекъсната. Ще докажем дори нещоповече: тази функция удовлетворява условието на Липшиц (вж. Диферен-циално смятане, част III, глава II, § 5).

За да се убедим в това, означаваме с M и m една горна и една долнаграница на f (t) в интервала [a, b].


Нека x1 < x2 са две точки от интервала [a, b]. В такъв случай

F(x2) =

∫ x2

af (t) dt =

∫ x1

af (t) dt +

∫ x2

x1

f (t) dt


F(x2) − F(x1) =

∫ x2

x1

f (t) dt.

Като се възползуваме от неравенството (12) от § 3, получаваме1

m(x2 − x1) ≤∫ x2

x1

f (t) dt ≤ M(x2 − x1)


(1) m(x2 − x1) ≤ F(x2) − F(x1) ≤ M(x2 − x1).

От това двойно неравенство се вижда непосредствено, че функциятаF(x) удовлетворява условието на Липшиц.2

За да се убедим, че функцията F(x) е непрекъсната във всяка точка x0на интервала (a, b], оставяме x1 и x2 да клонят към x0 чрез две произволниредици от стойности (лежащи, разбира се, в интервала (a, b]) по такъв начин,че да имаме

x1 ≤ x0 ≤ x2.

В такъв случай са валидни неравенствата3 (1). Като вземем предвид, че раз-ликата x2 − x1 клони към нула, заключаваме, че разликата

F(x2) − F(x1)1В случая функцията f (t) е интегруема и следователно, като приложим неравенство-

то (12) от § 3, можем да пишем

m(b − a) ≤∫ b

af (x) dx ≤ M(b − a)

(т. е. вместо долния интеграл вземаме редовния Риманов интеграл) или в нашия специаленслучай

m(x2 − x1) ≤∫ x2

x1

f (t) dt ≤ M(x2 − x1).

2Ако функцията f (t) не е задължена да бъде интегруема в интервала (a, b), но все пак еограничена, ние можем да приложим горните разсъждения за функциите

F1(x) =

∫ x

af (t) dt, F2(x) =

∫ x

af (t) dt

и да заключим, че те удовлетворяват условието на Липшиц и следователно са непрекъснати.3Дори при x1 = x2. В този случай валидността на тези неравенства не следва от нап-

равените по-горе разсъждения, обаче тя се вижда непосредствено, тъй като в този случайF(x1) = F(x2).


също клони към нула, което, както знаем, е достатъчно да твърдим, че фун-кцията F(x) е непрекъсната в точката x0.

След тези предварителни бележки ще докажем следната важна теорема,която е известна под името теорема на Лайбниц и Нютон:

Нека функцията f (x) е интегруема в интервала [a, b] и непрекъсната вточката x0, където a < x0 ≤ b. В такъв случай функцията

F(x) =

∫ x

af (t) dt

е диференцуема в точката x0 и

F′(x0) = f (x0).

Доказателство. Разглеждаме отношението

F(xn) − F(ξn)xn − ξn

,

където

x1, x2, . . . , xn, . . . ,(2)

ξ1, ξ2, . . . , ξn, . . . ,(3)

са две редици, удовлетворяващи условията

a < ξn ≤ x0 ≤ xn ≤ b, ξn , xn, limn→∞

ξn = limn→∞

xn = x0.


F(xn) − F(ξn)xn − ξn

=

∫ xn

af (t) dt −

∫ ξn

af (t) dt

xn − ξn

=

[∫ ξn

af (t) dt +

∫ xn

ξn

f (t) dt]−

∫ ξn

af (t) dt

xn − ξn=

1xn − ξn

∫ xn

ξn

f (t) dt.

Избираме едно произволно положително число ε и определяме δ > 0 потакъв начин, че при

|x0 − t| < δ, a ≤ t ≤ b,

да имаме| f (t) − f (x0)| < ε


или, което е същото,

(4) f (x0) − ε < f (t) < f (x0) + ε.

След това избираме едно толкова голямо ν, че при n > ν да имаме xn −

x0 < δ и x0 − ξn < δ. Това е възможно, защото редиците (2) и (3) клоняткъм x0 и защото δ > 0. В такъв случай при ξn ≤ t ≤ xn имаме |t − x0| < δ иследователно са в сила неравенствата (4).

Като използуваме неравенствата (12) от § 3, получаваме

[ f (x0) − ε](xn − ξn) ≤∫ xn

ξn

f (t) dt ≤ [ f (x0) + ε](xn − ξn)


f (x0) − ε ≤F(xn) − F(ξn)

xn − ξn≤ f (x0) + ε

или ∣∣∣∣F(xn) − F(ξn)xn − ξn

− f (x0)∣∣∣∣ ≤ ε,

нещо, което е достатъчно, както знаем, за да твърдим, че функцията F(x) едиференцуема1 в точката x0 и че

F′(x0) = f (x0).

Особено е важен случаят, когато подинтегралната функция f (x) е неп-рекъсната във всичките точки на интеграла a ≤ x ≤ b. В такъв случай въввсичките точки на интервала (a, b] имаме

F′(x) = f (x),

т. е. функцията F(x) представлява една примитивна функция на f (x) в ин-тервала (a, b]. Върху тази зависимост между определените и неопределените

1Ако функцията f (x) не е подчинена на условието да бъде интегруема, но все пак еограничена, то ние можем да приложим горните разсъждения за функциите

F1(x) =

∫ x

af (t) dt, F2(x) =

∫ x

af (t) dt

и да заключим, че във всяка точка x0, в която функцията f (x) е непрекъсната, двете функцииF1(x) и F2(x) са диференцуеми и

F′1(x0) = F′2(x0) = f (x0).


интеграли почива един важен метод за пресмятане на определените интег-рали. Ние ще изложим този метод.

Нека Φ(x) е една примитивна функция на функцията f (x) в интервала[a, b]. Това значи, че функцията Φ(x) е диференцуема в интервала a ≤ x ≤ bи

Φ′(x) = f (x).

Полагаме

F(x) =

∫ x

af (t) dt при a < x ≤ b

и разглеждаме разликата

(5) ϕ(x) = F(x) − Φ(x).


ϕ′(x) = F′(x) − Φ′(x) = f (x) − f (x) = 0,

т. е. функцията ϕ(x) е една константа. Да означим с C нейната стойност. Зада пресметнем стойността на тази константа, извършваме граничен преходx→ a.


m(x − a) ≤ F(x) ≤ M(x − a),

в които M е една горна, а m е една долна граница на f (x), получаваме

(6) limx→a

F(x) = 0.

От друга страна, функцията Φ(x) по предположение е диференцуема в зат-ворения интервал [a, b] и следователно е непрекъсната в него. Оттук полу-чаваме по-специално:

(7) limx→a

Φ(x) = Φ(a).

Като извършим граничния преход x→ a в равенството (5) и вземем предвид равенствата (6) и (7), получаваме

C = −Φ(a)

и следователноF(x) − Φ(x) = −Φ(a),


или още

(8)∫ x

af (t) dt = Φ(x) − Φ(a).

Така например, за да пресметнем интеграла∫ π2

0cos x dx,

вземаме пред вид познатия неопределен интеграл∫cos x dx = sin x.

Като приложим формулата (8), получаваме∫ π2

0cos t dt = sin

π

2− sin 0 = 1.

Накрая ще отбележим, че понякога формулата (8) се записва във вида∫ x

af (t) dt =

∣∣∣Φ(t)∣∣∣xa,

като се използува означението

Φ(x) − Φ(a) =

∣∣∣Φ(t)∣∣∣xa.

При този начин на писане имаме например∫ π2

0cos t dt =

∣∣∣ sin t∣∣∣ π20

= sinπ

2− sin 0 = 1.

§ 7. Допълнения към дефиницията на понятието интеграл

Ние дефинирахме символа

(1)∫ b

af (x) dx

само за случая, когато долната интеграционна граница a е по-малка от гор-ната b. Сега ще дефинираме символа (1) при a ≥ b по следния начин: приa = b полагаме

(2)∫ a

af (x) dx = 0,

§ 7. Допълнения към дефиницията на понятието интеграл 117

а при a > b полагаме

(3)∫ b

af (x) dx = −

∫ a

bf (x) dx

(ние знаем какво значи∫ a

bf (x) dx, защото b < a).

При дефиницията (2) се ръководим от следните съображения: нека f (x)е една интегруема функция в интервала [a, b], a < b; ако означим с M иm съответно една нейна горна и една нейна долна граница в разглежданияинтервал, то при a < x ≤ b имаме

m(x − a) ≤∫ x

af (t) dt ≤ M(x − a);

оттук заключаваме, че

limx→a

∫ x

af (t) dt = 0

(тук x клони към a чрез стойности, по-големи от a); като полагаме∫ a

af (t) dt = 0

ние си осигуряваме непрекъснатостта на функцията

F(x) =

x∫a

f (t) dt

в точката a (досега функцията F(x) беше дефинирана и непрекъсната самов интервала (a, b]).

При дефиницията (3) ние се ръководим от следните съображения: акофункцията f (x) е интегруема в интервала [a, c], a < c, и b е една вътрешнаточка в този интервал, то

(4)∫ b

af (x) dx +

∫ c

bf (x) dx =

∫ c

af (x) dx;

ние се стремим да нагодим дефиницията (3) така (ако това е възможно),че да осигурим валидността на равенството (4), каквото1 и да е взаимното

1Т. е. не само когато a < b < c.


разположение на точките a, b, c; специално при c = a получаваме от равен-ството (4) ∫ b

af (x) dx +

∫ a

bf (x) dx =

∫ a

af (x) dx = 0

или ∫ b

af (x) dx = −

∫ a

bf (x) dx.

И така, ако желаем да осигурим общата валидност на равенството (4),ние нямаме друг избор освен да възприемем дефиницията (3).

От направените дотук разсъждения обаче съвсем не е ясно дали притака дадените дефиниции (2) и (3) равенството (4) е действително вярно привсички взаимни разположения на точките a, b, c. Този въпрос се решава вположителен смисъл с непосредствена проверка, която ще предоставим начитателя.1 По такъв начин достигаме до следния резултат:

Ако функцията f (x) е интегруема в интервала ∆ и a, b, c са три точкиот този интервал, то∫ b

af (x) dx +

∫ c

bf (x) dx =

∫ c

af (x) dx

(каквото и да е взаимното разположение на точките a, b, c).В предния параграф ние доказахме следната теорема: ако функцията

f (x) е непрекъсната в интервала [a, b], a < b, то функцията

F(x) =

∫ x

af (t) dt, a < x ≤ b,

е диференцуема иF′(x) = f (x)

(теоремата на Лайбниц и Нютон). При тази теорема долната интеграционнаграница a е по-малка от независимата променлива x. Не е трудно да се види,че функцията

Φ(x) =

∫ x

cf (t) dt, където a ≤ c ≤ b,

1Читателят лесно ще даде сам доказателството, като разгледа поотделно случаите, коитомогат да се представят:

c < a < b, c = a < b, a < c < b, a < c = b, a < b < c,

c < b < a, c = b < a, b < c < a, b < c = a, b < a < c,

c < a = b, c = a = b, a = b < c.

§ 7. Допълнения към дефиницията на понятието интеграл 119

е също тъй диференцуема при a ≤ x ≤ b и

Φ′(x) = f (x).

Тази теорема се отличава от по-горната по това, че в случая независима-та променлива x може да приема както стойности, по-големи от c, така истойности, по-малки от c.

Доказателството се извършва без труд, като положим f (x) = f (a) приx < a и вземем пред вид, че

Φ(x) =

∫ p

cf (t) dt +

∫ x

pf (t) dt,

където p < a. И наистина ние знаем, че функцията∫ x

pf (t) dt

е диференцуема (защото тук имаме p < x ≤ b и функцията f (t) е непре-късната при p ≤ t ≤ b). Оттук заключаваме, че функцията Φ(x) е същодиференцуема и

Φ′(x) =

[∫ p

cf (t) dt +

∫ x

pf (t) dt

]′=

[∫ x

pf (t) dt

]′= f (x).

Досега разглеждахме определения интеграл като функция на горнатаму граница. Ние бихме могли обаче да направим аналогични разглеждания,като фиксираме горната граница и оставим да се мени долната граница. Таканапример, ако функцията f (x) е непрекъсната в интервала [a, b], a < b и c еедна точка от този интервал, то функцията

ϕ(x) =

∫ c

xf (t) dt

е диференцуема при a < x ≤ b и

ϕ′(x) = − f (x),

защото1 ∫ c

xf (t) dt = −

∫ x

cf (t) dt,

1При x > c това дава дефиницията (3); при x < c пак нямаме нищо ново, тъй катодефиницията (3) ни дава ∫ x

cf (t) dt = −

∫ c

xf (t) dt;

при x = c валидността на това равенство следва от дефиницията (2).



ϕ′(x) = −

(∫ x

cf (t) dt

)′= − f (x).

§ 8. Смяна на променливите

Нека функцията f (x) е дефинирана и непрекъсната в някой интервал∆; нека функцията ϕ(t) е дефинирана и притежава непрекъсната първа про-изводна в някой интервал1 [α, β]; нека всички стойности на ϕ(t) лежат винтервала ∆; нека най-сетне

(1) ϕ(α) = a, ϕ(β) = b.

При тези предположения ще докажем, че

(2)∫ b

af (x) dx =

∫ β

αf [ϕ(t)]ϕ′(t) dt.

Преди да пристъпим към доказателството, нека обърнем внимание върхутова, че ние можем да образуваме функцията f [ϕ(t)], защото стойностите нафункцията ϕ(t) не напускат дефиниционната област на f (x). Ние можем даобразуваме и интеграла ∫ β

αf [ϕ(t)]ϕ′(t) dt,

защото функцията f [ϕ(t)]ϕ′(t) е непрекъсната като произведение на две неп-рекъснати функции2 f [ϕ(t)] и ϕ′(t) и следователно е интегруема. Най-сетнение можем да образуваме и интеграла∫ b

af (x) dx,

защото функцията f (x) е непрекъсната.И така в двете части на равенството (2) имаме две добре дефинирани

числа. Остава да покажем, че те са равни помежду си. За тази цел полагаме

F(u) =

∫ u

af (x) dx

1Тук не трябва да се смята, че α е непременно левият край на този интервал, макар и дапишем [α, β].

2Функцията f [ϕ(t)] е непрекъсната, защото функциите f (x) и ϕ(t) са непрекъснати.

§ 8. Смяна на променливите 121

и образуваме двете помощни функции

Φ(s) = F[ϕ(s)],

ψ(s) =

∫ s

αf [ϕ(t)]ϕ′(t) dt

в интервала [α, β].Теоремата на Лайбниц и Нютон и правилото за диференциране на фун-

кция от функция ни дават

Φ′(s) = F′[ϕ(s)] . ϕ′(s) = f [ϕ(s)]ϕ′(s),

ψ′(s) = f [ϕ(s)]ϕ′(s).

Оттук заключаваме, че разликата

Φ(s) − ψ(s)

е една константа. Специално, като вземем пред вид, че ϕ(α) = a, получавамепри s = α

Φ(α) − ψ(α) = F[ϕ(α)] − ψ(α) = F(a) − ψ(α).


F(a) =

∫ a

af (x) dx = 0,

ψ(α) =

∫ α

αf [ϕ(t)]ϕ′(t) dt = 0,

намирамеΦ(α) − ψ(α) = 0

и следователно при всички стойности на s от интервала [α, β] имаме

Φ(s) − ψ(s) = 0.

Специално при s = β получаваме

Φ(β) − ψ(β) = 0

илиF[ϕ(β)] = ψ(β);

но ϕ(β) е равно на b, тъй чеF(b) = ψ(β)


или ∫ b

af (x) dx =

∫ β

αf [ϕ(t)]ϕ′(t) dt.

Ние често ще записваме формулата (2) във вида∫ b

af (x) dx =

∫ β

αf [ϕ(t)] dϕ(t)

и ще казваме, че интегралът ∫ β

αf [ϕ(t)]ϕ′(t) dt

е получен от интеграла ∫ b

af (x) dx

с помощта на субституцията x = ϕ(t).


I =

∫ 1

−1

√1 − x2 dx.

Решение. Полагаме x = cos t и решаваме уравненията1 −1 = cosα, 1 = cos β. Очевидноα = π и β = 0 са решения на тези уравнения (ние бихме могли да вземем обаче кои да садруги техни решения).

Като вземем пред вид, че функцията√

1 − x2 е непрекъсната в интервала [−1, 1], че фун-кцията cos t е диференцуема и има непрекъсната производна в интервала [π, 0], че стойнос-тите на функцията cos t не напускат интервала [−1, 1] и най-сетне, че −1 = cos π и 1 = cos 0,заключаваме, че ние можем да използуваме формулата (2). Това ни дава∫ 1

−1

√1 − x2 dx =

∫ 0

π

√1 − cos2 t d cos t

или

I = −

∫ 0

π

sin2 t dt =

∫ π

0sin2 t dt.

По-нататък пресмятанията се развиват по познатия начин:

I =

∫ π

0

1 − cos 2t2

dt =

∣∣∣∣ t2−

sin 2t4

∣∣∣∣π0

=π

2.

1Тези уравнения съответствуват на уравненията (1).

§ 9. Интегриране по части при определените интеграли 123

§ 9. Интегриране по части при определените интеграли

Нека функциите u(x) и v(x) са диференцуеми и производните им са не-прекъснати в интервала [a, b]. В такъв случай е валидна следната формула:∫ b

au(x)v′(x) dx = u(b)v(b) − u(a)v(a) −

∫ b

av(x)u′(x) dx.

И наистина, като вземем пред вид, че функцията u(x)v(x) е един неопре-делен интеграл на непрекъснатата функция u(x)v′(x)+u′(x)v(x), заключаваме,че ∫ b

a[u(x)v′(x) + u′(x)v(x)] dx = u(b)v(b) − u(a)v(a),

откъдето ∫ b

au(x)v′(x) dx +

∫ b

au′(x)v(x) dx = u(b)v(b) − u(a)v(a)

или още

(1)∫ b

au(x)v′(x) dx = u(b)v(b) − u(a)v(a) −

∫ b

av(x)u′(x) dx.

Ние често ще записваме формулата (1) по-кратко по следния начин:∫ b

au(x) dv(x) = u(b)v(b) − u(a)v(a) −

∫ b

av(x) du(x)

или още ∫ b

au(x) dv(x) =

∣∣∣u(x)v(x)∣∣∣ba−

∫ b

av(x) du(x).


I =

∫ π2

0x cos x dx.

Решение. Интегрираме по части:

I =

∫ π2

0x d sin x =

∣∣∣x sin x∣∣∣ π2

0−

∫ π2

0sin x dx =

π

2− 1.


I =

∫ 1

−1

√1 − x2 dx.


Решение. Тук непосредственото интегриране по части е възпрепятствувано от обстоя-телството, че функцията

√1 − x2

не е диференцуема при x = 1 и x = −1. За да отстраним тази трудност, прилагаме формулатаза интегриране по части към

F(ε) =

∫ 1−ε

−1+ε

√1 − x2 dx,

където 0 < ε < 1. Това ни дава

F(ε) =

∣∣∣∣x√1 − x2

∣∣∣∣1−ε−1+ε

−

∫ 1−ε

−1+ε

x d√

1 − x2 =

∣∣∣∣x√1 − x2

∣∣∣∣1−ε−1+ε

+

∫ 1−ε

−1+ε

x2

√1 − x2

dx

=

∣∣∣∣x√1 − x2

∣∣∣∣1−ε−1+ε

+

∫ 1−ε

−1+ε

x2 − 1 + 1√

1 − x2dx =

∣∣∣∣x√1 − x2

∣∣∣∣1−ε−1+ε

− F(ε) +

∫ 1−ε

−1+ε

dx√

1 − x2

=

∣∣∣∣x√1 − x2

∣∣∣∣1−ε−1+ε

− F(ε) +

∣∣∣∣ arcsin x∣∣∣∣1−ε−1+ε

.

Извършваме граничния преход ε→ 0. Това ни дава

F(0) =

∣∣∣∣x√1 − x2

∣∣∣∣1−1− F(0) +

∣∣∣∣ arcsin x∣∣∣∣1−1

= −F(0) + π,

защото функцията F(ε) е непрекъсната (дори удовлетворява условието на Липшиц), кактотова се вижда например от представянето

F(ε) =

∫ 1−ε

0

√1 − x2 dx −

∫ −1+ε

0

√1 − x2 dx.


F(0) =π

2и следователно

I =π

2.

Задачи


1. I =

∫ 2

1

dxx.

Решение. ∫ 2

1

dxx

=

∣∣∣ln x∣∣∣2

1= ln 2 − ln 1 = ln 2.

2. I =

∫ 1

−1x2dx. Отговор. I =

23.

3. I =

∫ 1

0

dx(1 + x2)2 . Отговор. I =

π

8+

14.

4. I =

∫ π2

0

dx3 + cos x

.

Упътване. Извършете субституцията tgx2

= t или по-точно x = 2 arctg t.

Отговор. I =1√

2arctg

1√

2.

§ 9. Интегриране по части при определените интеграли 125

5. I =

∫ a

−a

√a2 − x2dx. Отговор. I =

12

a2π.

6. I =

∫ π

0

dx(2 + cos x)2 .

Упътване. Тук е удобно да се извърши субституцията tg x2 = t или по-точно x = 2 arctg t.

Непосредственото използуване на тази субституция обаче среща една мъчнотия. Функцията2 arctg t не е способна да приема стойността π— нещо, което спъва използуването на теоре-мата за смяна на променливите при определените интеграли. Поради това нека читателятпресметне предварително помощния интеграл

ϕ(α) =

∫ α

0

dx(2 + cos x)2

при 0 < α < π и се възползува от зависимостта

I = limα→π

ϕ(α),

която следва от непрекъснатостта на функцията ϕ(α).


3√

3π.

7. I =

∫ π2

0

dxcos4 x + sin4 x

. Отговор. I =π√

2.

8. I =

∫ π

−π

dx1 − cosα sin x

, α , kπ, k = 0,±1,±2, . . . Отговор. I =2π| sinα|

.

9.∫ π

−π

dx2 + cos x + sin x

. Отговор. I = π√

2.

10. I =

∫ π2

− π2

sin2 x cos3 x dx. Отговор. I =4

15.

11. Да се пресметне интегралът

I =

∫ 1

0

ln (1 + x)1 + x2 dx.

Упътване. Като извършите субституцията x = tg t, ще получите

I =π

4ln√

2 +

∫ π4

0ln sin

(t +

π

4

)dt −

∫ π4

0ln cos t dt.

Покажете, че ∫ π4

0ln sin

(t +

π

4

)dt =

∫ π4

0ln cos t dt,

като преобразувате първия интеграл с помощта на субституцията t =π

4− z.

12. Нека функцията f (x) е дефинирана и непрекъсната в интервала −a ≤ x ≤ a и нечетнав този интервал, т. е. f (−x) = − f (x). Покажете, че∫ a

−af (x) dx = 0.

13. Нека функцията f (x) е дефинирана и непрекъсната в интервала −a ≤ x ≤ a и е четнав този интервал, т. е. f (−x) = f (x). Покажете, че∫ a

−af (x) dx = 2

∫ a

0f (x) dx.


14. Нека функцията f (x) е дефинирана, непрекъсната при всяко x и периодична с периодω, т. е. f (x + ω) = f (x). Покажете, че при всеки избор на числото a имаме∫ a+ω

af (x) dx =

∫ ω

0f (x) dx.

Упътване. Покажете, че ∫ a+ω

ω

f (x) dx =

∫ a

0f (x) dx

и използувайте равенството∫ a+ω

af (x) dx =

∫ 0

af (x) dx +

∫ ω

0f (x) +

∫ a+ω

ω

f (x) dx.

15. Нека функцията f (x) е дефинирана и непрекъсната при всяко x и при всички стой-ности на t удовлетворява равенството∫ t+ω

tf (x) dx =

∫ ω

0f (x) dx.

Покажете, че функцията f (x) е периодична с период ω.Упътване. Диференцирайте по t

ϕ(t) =

∫ t+ω

tf (x) dx.

§ 10. Теорема за средните стойности

Нека функцията f (x) е непрекъсната в интервала [a, b], а функцията ϕ(x)е интегруема и не си мени знака в този интервал. В такъв случай

(1)∫ b

af (x)ϕ(x) dx = f (ξ)

∫ b

aϕ(x) dx,

където ξ е една точка, подходящо избрана в затворения интервал [a, b].Доказателство. Ние ще разгледаме на първо време случая, когато

ϕ(x) ≥ 0 и a < b.Да означим с M точната горна граница на f (x), а с m точната и долна

граница в интервала [a, b]. В такъв случай, като се възползуваме от обстоя-телството, че ϕ(x) ≥ 0, получаваме

mϕ(x) ≤ f (x)ϕ(x) ≤ Mϕ(x).


(2) m∫ b

aϕ(x) dx ≤

∫ b

af (x)ϕ(x) dx ≤ M

∫ b

aϕ(x) dx,

§ 10. Теорема за средните стойности 127

тъй като a < b. От друга страна,∫ b

aϕ(x) dx ≥ 0

и следователно, ако ∫ b

aϕ(x) dx , 0,

ние можем да напишем

(3) m ≤

∫ b

af (x)ϕ(x) dx∫ b

aϕ(x) dx

≤ M.

По предположение функцията f (x) е непрекъсната в затворения интер-вал [a, b] и следователно тя приема в някоя точка x1 стойността M и в някояточка x2 — стойността m (теорема на Вайерщрас). От това заключаваме, четази функция приема в интервала [x1, x2] всички стойности, които се нами-рат между M и m. Като вземем пред вид, че числото∫ b

af (x)ϕ(x) dx∫ b

aϕ(x) dx

се намира между M и m, заключаваме, че има точка ξ в интервала [x1, x2], аследователно и в интервала [a, b], за която

f (ξ) =

∫ b

af (x)ϕ(x) dx∫ b

aϕ(x) dx

или ∫ b

af (x)ϕ(x) dx = f (ξ)

∫ b

aϕ(x) dx.

Ние не можем да направим тези разсъждения, ако∫ b

aϕ(x) dx = 0, за-

щото в такъв случай не можем да се ползуваме от неравенствата (3). Обаченеравенствата (2) ни учат, че и∫ b

af (x)ϕ(x) dx = 0,


и следователно равенството (1) е вярно при всеки избор на ξ.С това ние установихме валидността на теоремата при ϕ(x) ≥ 0 и a < b.

При a = b валидността на тази теорема е очевидна, защото в двете странина равенството (1) имаме нула. Останалите случаи се свеждат без труд къмразгледания случай, при който ϕ(x) ≥ 0 и a < b. Така например, ако ϕ(x) ≤ 0и a < b, ние можем да представим равенството (1) във вида∫ b

af (x)[−ϕ(x)] dx = f (ξ)

∫ b

a[−ϕ(x)] dx

и по този начин да получим познатия случай, защото −ϕ(x) ≥ 0. Аналогичносе разглеждат и другите случаи, които могат да се представят. По-специално,ако ϕ(x) = 1, равенството (1) добива вида

(4)∫ b

af (x) dx = f (ξ)(b − a).

Тук ние можем да изберем точката ξ в отворения интервал (a, b), когатоa , b. И наистина, ако положим

F(x) =

∫ x

af (t) dt,

равенството (4) ще добие вида

F(b) − F(a) = F′(ξ)(b − a)

и следователно то може да се разглежда като специален случай от теорематаза крайните нараствания. (Теоремата за крайните нараствания трябва да серазглежда като по-обща, защото при нея не се иска непрекъснатостта наF′(x).)

§ 11. Друга дефиниция на понятието определен интеграл

Дефиницията на понятието определен интеграл, която дадохме в § 1,произхожда от Дарбу. Сега ще разгледаме дефиницията, която дава Риман,и ще установим еквивалентността на двете дефиниции.

Нека функцията f (x) е дефинирана в крайния затворен интервал [a, b].Делим интервала [a, b] на подинтервали с помощта на точките

(1) a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

§ 11. Друга дефиниция на понятието определен интеграл 129

и във всеки един от тези подинтервали избираме по една точка. Нека ξi еточката, която избираме в i-тия подинтервал [xi−1, xi], така че

xi−1 ≤ ξi ≤ xi.

Сумата

σ =

n∑i=1

f (ξi)(xi − xi−1)

се нарича Риманова интегрална сума, която отговаря на избрания начин наделение на интервала [a, b] на подинтервали и на направения избор на меж-динните точки ξi. Тази сума ние можем да образуваме, без да има нужда дапредполагаме нещо за ограничеността на функцията f (x).

Ако съществува такова число I, че при всеки избор на положителноточисло ε може да се намери положително число δ така, че ако точките наделение (1) удовлетворяват условието xi−xi−1 < δ при всички цели стойностина i от 1 до n, то

|σ − I| < ε,

казваме, че сумите на Риман σ клонят към граница I, когато дължините наподинтервалите клонят към нула.

Риман дава следната дефиниция на понятието определен интеграл: каз-ваме, че функцията f (x) е интегруема в интервала [a, b], ако Римановитесуми σ клонят към някаква граница I, когато дължините на подинтервалитеклонят към нула. Границата I се нарича определен интеграл на f (x), разп-ространен върху интервала [a, b].

При дефиницията на Риман няма нужда да се предполага предвари-телно, че функцията f (x) е ограничена, обаче не е трудно да се види, чеот съществуването на определения интеграл според дефиницията на Риманследва, че функцията f (x) е ограничена. И наистина нека ε е произволноположително число и нека I е стойността на определения интеграл от f (x)върху интервала [a, b] според дефиницията на Риман. Делим интервала [a, b]на достатъчно дребни подинтервали с помощта на точките

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,

за да имаме ∣∣∣∣∣n∑

i=1

f (ξi)(xi − xi−1) − I

∣∣∣∣∣ < ε


при всеки избор на ξi, от подинтервала [xi−1, xi]. В такъв случай получаваме1

| f (ξk)(xk − xk−1)| ≤ ε +

∣∣∣∣∣k−1∑i=1

f (ξi)(xi − xi−1) +

n∑i=k+1

f (ξi)(xi − xi−1) − I

∣∣∣∣∣ .Фиксираме ξi при i , k и оставяме ξk да се мени в подинтервала [xk−1, xk].Полученото неравенство ни учи, че функцията f (x) е ограничена в подин-тервала [xk−1, xk]. Тъй като ние можем обаче да даваме на k всички целистойности от 1 до n, заключаваме, че f (x) е ограничена в целия интервал[a, b].

Не е трудно да се убедим, че ако функцията f (x) е интегруема в ин-тервала [a, b] според дефиницията на Риман, тя е интегруема и според де-финицията на Дарбу и интегралите в двата смисъла са равни помежду си.И наистина нека ε е произволно положително число и нека положително-то число δ е толкова малко, че ако точките на деление (1) удовлетворяватусловието xi − xi−1 < δ при всички цели стойности на i от 1 до n, да имаме∣∣∣∣∣

n∑i=1

f (ξi)(xi − xi−1) − I

∣∣∣∣∣ < εпри всеки избор на ξi от подинтервала [xi−1, xi]. Означаваме с Mi точнатагорна, а с mi точната долна граница на f (x) в подинтервала [xi−1, xi].

Ако оставим f (ξi) да клони2 към Mi, получаваме след съответния грани-чен преход ∣∣∣∣∣

n∑i=1

Mi(xi − xi−1) − I

∣∣∣∣∣ ≤ ε,откъдето

n∑i=1

Mi(xi − xi−1) ≤ I + ε

1Разбира се, някоя от сумитеk−1∑i=1

f (ξi)(xi − xi−1) иn∑

i=k+1f (ξi)(xi − xi−1) може евентуално да

бъде празна.2Каквото и да бъде положителното число η, числото Mi − η не е горна граница на f (x)

в подинтервала [xi−1, xi], тъй като Mi е най-малката горна граница в този подинтервал. Оттова заключаваме, че може да се избере точка ξi в подинтервала [xi−1, xi] така, че да имамеf (ξi) > Mi − η. Оттук, като вземем предвид, че f (ξi) ≤ Mi, получаваме Mi − η < f (ξi) ≤ Mi, т. е.функцията f (x) е способна да приема в подинтервала [xi−1, xi] стойности, произволно близкидо Mi. Аналогично се вижда, че тя е способна да приема в този подинтервал и стойности,произволно близки до mi.


и толкова повече ∫ b

af (x) dx ≤ I + ε.

Ако оставим f (ξi) клони към mi, получаваме∣∣∣∣∣n∑

i=1

mi(xi − xi−1) − I

∣∣∣∣∣ ≤ ε,откъдето

I − ε ≤n∑

i=1

mi(xi − xi−1)


I − ε ≤∫ b

af (x) dx.

По такъв начин намерихме

I − ε ≤∫ b

af (x) dx ≤

∫ b

af (x) dx ≤ I + ε

при всеки избор на положителното число ε и следователно∫ b

af (x) dx =

∫ b

af (x) dx = I.

С това ние доказахме, че ако една функция f (x) е интегруема според де-финицията на Риман, тя е интегруема и според дефиницията на Дарбу иинтегралите в двата смисъла са равни помежду си.

За да докажем, че и обратното е вярно, ние ще установим следната те-орема на Дарбу: когато дължините на подинтервалите клонят към нула, го-лемите суми на Дарбу на всяка ограничена функция клонят към горния, амалките суми на Дарбу клонят към долния интеграл на тази функция. Ниеняма да прецизираме точния смисъл на тези думи, понеже едно аналогичнопрецизиране ние вече направихме по-горе за Римановите суми.

Ще докажем теоремата на Дарбу за големите суми; за малките суми тясе доказва аналогично. За тази цел избираме произволно положително числоδ и делим интервала [a, b] на подинтервали с помощта на точките

a = ξ0 < ξ1 < ξ2 < · · · < ξn = b

по такъв начин, че да имаме

ξi − ξi−1 < δ


при всички цели стойности на i от 1 до n. Нека M е една горна границана f (x)1 в целия интервал [a, b], нека Mi е точната горна граница на f (x) вподинтервала [ξi−1, ξi] и нека

S =

n∑i=1

Mi(ξi − ξi−1)

е съответната голяма сума на Дарбу. Нека към точките на деление ξ0, ξ1,. . . , ξn причислим още една нова точка на деление ξ и да означим с S ′

съответната голяма сума на Дарбу. При тези условия ще покажем, че

(2) S − S ′ ≤ 2Mδ.

И наистина, ако ξ съвпада с някоя от точките ξ0, ξ1, . . . , ξn, то S − S ′ = 0, т. е.в този тривиален случай неравенството (2) е вярно. Ако ξ не съвпада с някояот точките ξ0, ξ1, . . . , ξn, ние ще означим с k най-малкото цяло положителночисло, за което ξ < ξk, т. е. ξk−1 < ξ < ξk. Нека L1 е точната горна границана функцията f (x) в подинтервала [ξk−1, ξ] и L2 е точната и горна граница вподинтервала [ξ, ξk]. В такъв случай

S − S ′ = Mk(ξk − ξk−1) − L1(ξ − ξk−1) − L2(ξk − ξ)


S − S ′ ≤ |Mk|(ξk − ξk−1) + |L1|(ξ − ξk−1) + |L2|(ξk − ξ)

≤ M(ξk − ξk−1) + M(ξ − ξk−1) + M(ξk − ξ) = 2M(ξk − ξk−1) ≤ 2Mδ.

Сега не е трудно да се докаже теоремата на Дарбу. Нека ε е произволноположително число и нека S ∗ е голяма сума на Дарбу, която удовлетворяванеравенството

S ∗ <∫ b

af (x) dx +

ε

2.

Такава сигурно има, защото∫ b

aс най-голямата долна граница на множест-

вото на големите суми на Дарбу и следователно∫ b

a+ε

2не е долна граница

на това множество.Означаваме с

a = x∗0 < x∗1 < x∗2 < · · · < x∗p = b

1В IV издание на учебника е | f (x)| (Бел. на Черногоров).


точките на деление, които отговарят на сумата S ∗.Да разгледаме една произволна голяма сума на Дарбу S , чиито точки на

делениеa = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

са подчинени на единственото условие да удовлетворяват неравенствата

xi − xi−1 < δ

при всички цели стойности на i от 1 до n, където δ =ε

4Mp.

Нека S k е голяма сума на Дарбу, която се получава, когато към точките наделение x0, x1, . . . , xn причислим още и точките x∗1, x

∗2, . . . , x

∗k. В такъв случай

съгласно доказаното имаме

S − S ′ ≤ 2Mδ,

S 1 − S 2 ≤ 2Mδ,

. . . . . . . . . . . . . . . . .

S p−1 − S p ≤ 2Mδ

и следователноS − S p ≤ 2Mδp =

ε

2.

От друга страна, всичките точки на деление на S ∗ участвуват при образуванена сумата S p, откъдето

S p ≤ S ∗

и следователноS − S ∗ ≤

ε

2,

което заедно с неравенствата

S ∗ −∫ b

af (x) dx <

ε

2,∫ b

af (x) dx ≤ S

ни дава

0 ≤ S −∫ b

af (x) dx < ε.

По такъв начин теоремата на Дарбу е доказана.Сега не е трудно да се покаже, че ако една функция f (x) е интегруема

според дефиницията на Дарбу, тя е интегруема и според дефиницията на


Риман. И наистина нека ε > 0 и нека σ е една сума на Риман. Ако S и s сасъответно голямата и малката сума на Дарбу, които са образувани с помощтана същите точки на деление, с които е образувана и сумата σ, то

s ≤ σ ≤ S .

От друга страна, теоремата на Дарбу ни учи, че ако дължините на подинтер-валите са достатъчно малки, то

S <

∫ b

af (x) dx + ε,

s >∫ b

af (x) dx − ε.

Нека функцията f (x) е интегруема според дефиницията на Дарбу. В такъвслучай ∫ b

af (x) dx =

∫ b

af (x) dx =

∫ b

af (x) dx


af (x) dx − ε < s ≤ σ ≤ S <

∫ b

af (x) dx + ε,

т. е. ∣∣∣∣σ − ∫ b

af (x) dx

∣∣∣∣ < ε,с което е показано, че сумите на Риман наистина клонят към общата стой-ност на горния и долния интеграл на разглежданата функция, когато дължи-ните на подинтервалите клонят към нула. По такъв начин ние установихмепълната еквивалентност на дефинициите на Дарбу и Риман.

§ 12. Едно обобщение на основната теорема на интегралнотосмятане и общото условие за интегруемост в Риманов смисъл

Казваме, че едно множество M от точки върху една права има мярканула в смисъл на Лебег—Борел, ако при всеки избор на положителното числоε множеството M може да се покрие1 с (евентуално безкрайна) редица от

1Това значи, че се иска всяка точка от M да принадлежи поне на един от интервалите ∆1,∆2, ∆3, . . .

§ 12. Едно обобщение на основната теорема на интегралното . . . 135

интервали1

∆1,∆2,∆3, . . . ,

сумата от дължините на които да е по-малка от ε.Ще казваме, че една функция удовлетворява някое условие (например

има производна или е непрекъсната и пр.) почти навсякъде в едно множест-во N, ако множеството от точките на N, където това условие не е изпълнено,има мярка нула или е празно.2

Ние ще установим следното обобщение на познатата на читателя ощеот диференциалното смятане теорема за монотонните функции.

Ако една функция F(x), удовлетворяваща условието на Липшиц в едининтервал ∆, е диференцуема почти навсякъде в този интервал и производна-та и е неотрицателна, то функцията е монотонно растяща.

Доказателство. Да допуснем противното. В такъв случай могат да сенамерят две числа α и β от интервала ∆, свързани с неравенството α < β, закоито

F(α) − F(β) > 0.

Означаваме с K една горна граница на израза∣∣∣∣F(x′) − F(x′′)x′ − x′′

∣∣∣∣ ,когато x′ и x′′ се менят в интервала ∆ така, че остават различни помеждуси. Такава горна граница съществува, защото функцията F(x) удовлетворяваусловието на Липшиц.

Нека G е множеството на точките от интервала ∆ , където F(x) няманеотрицателна производна. Покриваме G с редица от отворени интервали

∆1,∆2,∆3, . . .

и означаваме с ϕν(x) функция, равна на 1, когато x принадлежи на ∆ν, и на0, когато x не принадлежи на ∆ν. Нека pν и qν са съответно левият и деснияткрай на подинтервала ∆ν. В такъв случай, като означим с a по-малкото отчислата α и pν, а с b по-голямото от числата β и qν, ще имаме∫ β

αϕν(t) dt ≤

∫ b

aϕν(t) dt

=

∫ pν

αϕν(t) dt +

∫ qν

pνϕν(t) dt +

∫ b

qνϕν(t) dt = qν − pν.

1Без да ограничаваме общността, ние можем да считаме, че интервалите ∆1, ∆2, ∆3, . . .са отворени, като за целта, ако е необходимо, заменим всеки интервал с двойно по-голям,който го съдържа.

2Целесъобразно е празното множество да се разгледа като множество с мярка нула.


Да си изберем едно толкова малко положително число ε и една такавасистема от покриващи интервали

∆1,∆2,∆3, . . . ,

че да имаме

F(α) − F(β) > ε(β − α) + K∞∑ν=1

∫ β

αϕν(t) dt.

Това е възможно, защото, от една страна,

F(α) − F(β) > 0,

а, от друга,∞∑ν=1

∫ β

αϕν(t) dt ≤

∞∑ν=1

(qν − pν),

като при това сумата∞∑ν=1

(qν − pν)

може да се направи произволно малка, защото множеството G има мярканула.

Делим интервала [α, β] на две равни части и означаваме с [α1, β1] такаваполовина на [α, β], за която да имаме

F(α1) − F(β1) > ε(β1 − α1) + K∞∑ν=1

∫ β1

α1

ϕν(t) dt.

Не е трудно да се убедим, че поне едната от двете половини на интер-вала [α, β] удовлетворява това условие. И наистина в противен случай, ако

положим γ =α + β

2, ще имаме

F(γ) − F(β) ≤ ε(β − γ) + K∞∑ν=1

∫ β

γϕν(t) dt,

F(α) − F(γ) ≤ ε(γ − α) + K∞∑ν=1

∫ γ

αϕν(t) dt.

Като съберем почленно тези неравенства, ще получим

F(α) − F(β) ≤ ε(β − α) + K∞∑ν=1

∫ β

αϕν(t) dt,


което противоречи на неравенството

F(α) − F(β) > ε(β − α) + K∞∑ν=1

∫ β

αϕν(t) dt.

По-нататък делим интервала [α1, β1] на две равни части и означаваме с[α2, β2] сигурно съществуващата половина, за която

F(α2) − F(β2) > ε(β2 − α2) + K∞∑ν=1

∫ β2

α2

ϕν(t) dt,

и т. н. По този начин получаваме една Канторова система от интервали[αn, βn], подчинени на условието

(1) F(αn) − F(βn) > ε(βn − αn) + K∞∑ν=1

∫ βn

αn

ϕν(t) dt.

Нека x0 е точка, която принадлежи на всичките интервали [αn, βn]. Ще пока-жем, че x0 не принадлежи на G. И наистина в противен случай x0 ще бъдевътрешна точка за някой от интервалите ∆m и следователно при достатъчноголяма стойност на n интервалът [αn, βn] ще се съдържа изцяло в ∆m, порадикоето ще имаме ϕm(t) = 1 при всички стойности на t от [αn, βn], т. е.∫ βn

an

ϕm(t) dt = βn − αn.

От друга страна, неравенството (1) ни дава

F(αn) − F(βn) > K∫ βn

αn

ϕm(t) dt,

откъдетоF(αn) − F(βn) > K(βn − αn),

нещо, което противоречи на неравенството∣∣∣∣F(αn) − F(βn)αn − βn

∣∣∣∣ ≤ K.

И така x0 не принадлежи на G и следователно функцията F(x) е диференцу-ема в точката x0. Неравенството (1) ни дава обаче

F(αn) − F(βn)αn − βn

> ε.


Оттук, извършвайки граничен преход, намираме

−F′(x0) ≥ ε,

което не вярно, защото F′(x0) ≥ 0. С това доказателството е завършено.Въз основа на доказаното ние можем да установим следното обобщение

на основната теорема на интегралното смятане:Ако една удовлетворяваща условието на Липшиц функция F(x) е дифе-

ренцуема почти навсякъде в един интервал ∆ и производната и е равна нанула, то функцията F(x) е константа.

И наистина от доказаната по-горе теорема следва, че двете функции F(x)и −F(x) са монотонно растящи, т. е. функцията F(x) е наистина константа.

Като приложение ще докажем следната теорема на Лебег:За да бъде една функция f (x) интегруема в Риманов смисъл в един ин-

тервал [a, b], необходимо и достатъчно е тя да бъде ограничена и почтинавсякъде непрекъсната в интервала [a, b].

Доказателство. Ние първо ще покажем, че условието е достатъчно. Не-ка функцията f (x) е ограничена и почти навсякъде непрекъсната в интервала[a, b]. Разглеждаме двете функции

F1(x) =

∫ x

af (t) dt

и

F2(x) =

∫ x

af (t) dt

при a < x ≤ b. Тези функции удовлетворяват условието на Липшиц и вточките на непрекъснатост на f (x) (т. е. почти навсякъде в интервала [a, b])имаме

ddx

[F1(x) − F2(x)] = F′1(x) − F′2(x) = f (x) − f (x) = 0,

т. е. разликата F1(x) − F2(x) е една константа. От друга страна,

limx→a

F1(x) = limx→a

F2(x) = 0.

СледователноF1(x) = F2(x).

Оттук получаваме по-специално F1(b) = F2(b), т. е.∫ b

af (x) dx =

∫ b

af (x) dx,


което ни учи, че функцията f (x) е интегруема в Риманов смисъл в интервала[a, b].

Сега ще установим, че условието на Лебег е необходимо. За тази целна всяко положително число ε съпоставяме по едно разлагане на интервала[a, b] на подинтервали с помощта на точките на деление

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

по такъв начин, че разликата между съответната голяма и съответната малкасума на Дарбу да бъде по-малка от ε2. Нека

∆n1 ,∆n2 , . . . ,∆nk

са онези1 подинтервали (измежду подинтервалите, на които сме разделилиинтервала [a, b]), в които осцилацията на f (x) е по-голяма от ε. В такъвслучай сумата от дължините на подинтервалите

∆n1 ,∆n2 , . . . ,∆nk

е по-малка от ε. Нека A(ε) е множеството от точките, които принадлежатна поне един от интервалите ∆n1 , ∆n2 , . . ., ∆nk . Всяка вътрешна за интервала[a, b] точка ξ, която не принадлежи на A(ε), лежи в някой затворен подин-тервал2 (евентуално може да бъде и крайна точка на такъв подинтервал), вкойто осцилацията на f (x) е по-малка или равна на ε. Не е трудно обаче давключим точката ξ и в отворен подинтервал, където осцилацията на f (x) внай-неблагоприятния3 случай да не надминава 2ε.

Разглеждаме множеството Bn от точките, които принадлежат на понеедно от множествата

A(

12n+1

), A(

12n+2

), A(

12n+3

), . . .

Очевидно множеството Bn може да бъде покрито с редица от интервали,сумата от дължините на които е по-малка от

12n+1 +

12n+2 +

12n+3 + · · · =

12n .

1Ако изобщо има такива.2Този подинтервал избираме измежду подинтервалите, на които сме разделили интервала

[a, b]3Това е случаят, когато точката ξ съвпада с някоя от точките x1, x2, . . . , xn−1. Нека напри-

мер ξ = xk. В такъв случай включваме точката ξ в подинтервала [xk−1, xk+1].


Нека B е множеството на точките, които принадлежат на всичките множес-тва

B1, B2, B3, . . .

Очевидно множеството B се съдържа в Bn при всяка цяла положителнастойност на n и следователно може да се покрие с редица от интервали,

сумата от дължините на които е по-малка от12n , т. е. тази сума може да

се направи произволно малка, стига n да изберем достатъчно голямо. С тование показахме, че множеството B има мярка нула. По такъв начин доказател-ството на интересуващата ни теорема ще бъде завършено, ако ние покажем,че във всички вътрешни точки на интервала [a, b], които не принадлежат наB, функцията f (x) е непрекъсната. За да установим това, разглеждаме произ-волна точка x0, която не принадлежи на B. В такъв случай може да се намерицяло положително число n по такъв начин, че точката x0 да не принадлежина никое от множествата

A(

12n+1

), A(

12n+2

), A(

12n+3

).

Избираме едно положително число ε. Нека цялото положително число k

е толкова голямо, че да имаме1

2n+k <ε

2. Точката x0 не принадлежи на

A(

12n+k

), откъдето заключаваме, че около нея може да се построи окол-

ност, в която осцилацията е по-малка от2

2n+k , т. е. по-малка и от ε— нещо,

което е достатъчно да можем да твърдим, че функцията f (x) е непрекъсна-та в точката x0. С това ние показахме, че ако една функция е интегруема вРиманов смисъл, тя е непрекъсната почти навсякъде, и следователно завър-шихме доказателството, защото по-горе ние бяхме изяснили, че за да бъдеедна функция интегруема в Риманов смисъл, необходимо е тя да бъде огра-ничена.

Пример 1. Произведение на две функции, интегруеми в Риманов смисъл, е също интег-руема функция в Риманов смисъл, защото това произведение е ограничено и почти навсякъденепрекъснато.

Пример 2. Ако функцията f (x) е интегруема в Риманов смисъл в интервала a ≤ x ≤ b ипочти навсякъде f (x) ≥ 0, то ∫ b

af (t) dt ≥ 0.

И наистина функцията

F(x) =

∫ x

af (t) dt

§ 13. Точкови множества 141

е диференцуема и F′(x) = f (x) във всички точки, където f (x) е непрекъсната. По такъв начинза удовлетворяващата условието на Липшиц функция F(x) имаме почти навсякъде F′(x) ≥ 0,т. е. тази функция монотонно расте и следователно F(x) ≥ lim

x→aF(x) = 0.

Забележка. От доказаното се вижда, че ако за две интегруеми в Риманов смисъл функ-ции f (x) и g(x) имаме почти навсякъде f (x) ≥ g(x), то∫ b

af (x) dx ≥

∫ b

ag(x) dx;

ако ли пък почти навсякъде f (x) = g(x), то∫ b

af (x) dx =

∫ b

ag(x) dx.

§ 13. Точкови множества

Ще разгледаме в този параграф множеството от точки в една равнина.Всичко, което ще изложим обаче, се пренася без всякакъв труд за случаяна произволен брой измерения. Така ние бихме могли да пренесем всичкоказано за множеството от точки върху една права и пр.

Наред с истинските множества ние ще разгледаме и така нареченотопразно множество. Това е един помощен символ ∅, за който е казано, ченикоя точка от равнината не му принадлежи.1

Нека ни е дадено едно точково множество A. Една функция се наричахарактеристична функция на A, ако тя е дефинирана в цялата равнина (илисъответно върху цялата ос OX, или върху цялото пространство и пр. в зави-симост от броя на измеренията, които имаме пред вид) и приема стойностединица в точките, които принадлежат на A, и стойността нула в точките,които не принадлежат на A.

Нека ни са дадени две множества A и B. Под сума или обединение A + Bна тези множества разбираме множеството от точките, които принадлежатпоне на едно от тези множества.2 На черт. 4 е илюстрирана дефинициятана понятието сума. Под произведение или сечение AB на две множества A

1Казваме, че ни е дадено едно множество A в равнината, когато за всяка точка P отравнината е казано дали принадлежи на A или не. Две множества A и B от точки в равнинатанаричаме идентични, когато тези и само тези точки принадлежат на едното от тях, коитопринадлежат на другото. В този смисъл ∅ е едно добре дефинирано множество, защото завсяка точка е казано дали принадлежи, или не принадлежи на ∅ (именно казано е, че никояточка не принадлежи на ∅).

2По точно A+B е множеството, към което се причисляват онези и само онези точки, коитопринадлежат поне на едното от двете множества A и B. При тази редакция дефиницията можеда се прилага и тогава, когато имаме работа с празното множество.


и B се разбира множеството от общите им точки.1 Понятието сечение ABе добре дефинирано дори тогава, когато A и B нямат общи точки. В такъвслучай сечението е празното множество, за което говорихме по-горе. Начерт. 5 е илюстрирана дефиницията на понятието сечение. Понятията сумаи сечение на множествата имат смисъл, колкото и да бъдат множествата. Темогат да бъдат дори безбройно много.

Черт. 4 Черт. 5

При така дефинираните операции събиране и умножение са в сила ко-мутативният, асоциативният и дистрибутивният закон:

A + B = B + A, AB = BA,

(A + B) + C = A + (B + C), (AB)C = A(BC),

(A + B)C = AC + BC.

Доказателството не е сложно. Като пример ние ще докажем дистрибутивниязакон

(A + B)C = AC + BC

и ще предоставим останалите закони на читателя (проверката на които ставапо същия начин). Нека P е една точка, която принадлежи на (A + B)C. Втакъв случай тази точка принадлежи на A + B и на C. Щом P принадлежи наA + B, тя принадлежи поне на едното от двете множества A и B. Например2

нека тя принадлежи на A. Но като вземем пред вид, че P принадлежи ина C, заключаваме, че тази точка принадлежи на AC, а следователно и наAC + BC. И така всяка точка (ако има такава), която принадлежи на (A + B)C,принадлежи и на AC + BC.

1По-точно AB е множеството, към което се причисляват онези и само онези точки, коитоса причислени и към A, и към B. Тази редакция на дефиницията може да се използува итогава, когато имаме работа с празното множество.

2Аналогично се разглежда случаят, когато P принадлежи на B.

§ 13. Точкови множества 143

Нека Q е една точка, която принадлежи на AC + BC; в такъв случай тазиточка принадлежи или на AC, или на BC. Нека например1 тя принадлежина AC. В такъв случай точката Q принадлежи както на A, така и на C, аот това следва, че тя принадлежи на A + B и на C, т. е. тя принадлежи на(A + B)C. И така всяка точка, която принадлежи на AC + BC (ако има такава),принадлежи на (A + B)C. С това ние доказахме, че наистина

(A + B)C = AC + BC.

Понятието сума и произведение на множества, както вече казахме, сеобобщава по очевиден начин и за произволно (дори безкрайно) множествосъбираеми и множители. При това основните закони (комутативният, асо-циативният и дистрибутивният) запазват своята валидност (доказателствотоостава същото).

Черт. 6

Под разлика A − B на две множества A иB разбираме множеството2 от точките, коитопринадлежат на A, но не принадлежат на B. Начерт. 6 е илюстрирана дефиницията на поня-тието разлика. Специално, ако R означава мно-жеството от всичките точки на равнината, торазликата R − A се нарича допълнително мно-жество на A и се означава обикновено със сим-вола A.

Не е трудно да се покаже, че при всеки избор на множествата A и Bимаме

AB = A + B,

A + B = A B,

A − B = A + B.

Доказателството не представлява никаква трудност и може да се извър-ши, като покажем, че всяка точка, която фигурира в лявата страна на ин-тересуващите ни равенства, фигурира и в дясната страна на съответноторавенство и обратно. Нека читателят сам извърши за упражнение доказател-ството.

1Аналогично се разглежда случаят, когато Q принадлежи към BC.2По-точно A−B е множеството, към което са причислени онези и само онези точки, които

са причислени към A, но не са причислени към B. Тази редакция на дефиницията може дасе използува и тогава, когато имаме работа с празното множество.


Нека ни са дадени две множества A и B. Казваме, че A е едно подмно-жество на B, когато всяка точка, която принадлежи на A, принадлежи и наB. За да изразим, че A е едно подмножество на B, ние пишем кратко A ⊂ B.

В § 1, глава I, част III на диференциалното смятане ние дефинирахмепонятието вътрешна, външна и контурна точка на едно множество M. Мно-жеството на контурните точки на M ще означаваме със символа K(M) и щенаричаме контур на M.

Лесно е да се провери, че външните точки на A са вътрешни за A иобратно. Оттук заключаваме, че множествата A и A имат един и същ контур.Използувайки означенията, които ние току-що въведохме, можем да пишем

(1) K(A) = K(A).

Не е трудно да се докаже, че

K(A + B) ⊂ K(A) + K(B),(2)

K(AB) ⊂ K(A) + K(B),(3)

K(A − B) ⊂ K(A) + K(B).(4)

На черт. 7 са илюстрирани тези неравенства.Доказателство на неравенството (2). Нека P е една контурна точка на

A + B. Тя не може да бъде външна едновременно за A и B. И наистина, акодопуснем противното, ще можем около P да изберем (кръгова) околност G1,която няма общи точки с A, и (кръгова) околност G2, която няма общи точки

Черт. 7

§ 14. Преобразуване на точкови множества 145

с B. В такъв случай сечението G1G2 представлява (кръгова) околност на P,която няма общи точки нито с A, нито с B и следователно няма общи точкии с A + B. Оттук заключаваме, че P е една външна точка за множествотоA + B— нещо, което противоречи на допускането, че P е контурна точкана това множество. И така точката P не е външна поне за едното от дветемножества A и B. Нека например тя не е външна за множеството A. Точката Pобаче не е и вътрешна за A, защото в противен случай тя би била вътрешна иза A+B, което не е вярно, тъй като тя е контурна на A+B. И така точката P нее нито външна, нито вътрешна за A, т. е. тя е контурна. С това ние доказахме,че точката P принадлежи на K(A) и толкова повече на K(A) + K(B).

Доказателство на неравенството (3).

K(AB) = K(A B) = K(A + B) ⊂ K(A) + K(B) = K(A) + K(B).

Доказателство на неравенството (4).

K(A − B) = K(A − B) = K(A + B) ⊂ K(A) + K(B) = K(A) + K(B).

В заключение ще споменем следното:1. Каквото и да бъде множеството A, множеството A + K(A) е затворено,

а множеството A − K(A) е отворено.2. Ако множеството A е затворено, то множеството A е отворено. Ако

множеството A е отворено, то множеството A е затворено.3. Сума на краен брой затворени множества е затворено множество. Се-

чение на краен брой отворени множества е отворено множество.4. Всяка сума на отворени множества е отворено множество. Всяко се-

чение на затворени множества е затворено множество.5. Контурът на всяко множество е затворено множество (евентуално

празно).Ние няма да излагаме доказателствата, които са съвсем непосредствени

и могат да бъдат предоставени на читателя като упражнение.

§ 14. Преобразуване на точкови множества

Нека функциите:

x = f (u, v),

y = g(u, v),(1)

са дефинирани в едно равнинно точково множество R. Тези две функциище наричаме трансформация на R. С помощта на трансформацията (1) ние


можем на всяка точка P от R с координати (u0, v0) да съпоставим точка P′ скоординати (x0, y0), които се определят от равенствата

x0 = f (u0, v0),

y0 = g(u0, v0).

Така дефинираната точка P′ ще наричаме образ на P при трансформа-цията (1).

Когато точката P описва някакво подмножество A на R, образът и P′

описва някакво множество, което ще означаваме със символа A′ и ще нари-чаме образ на A. Така образа на R ще означаваме с R′.

В общия случай при една трансформация различни точки не са задъл-жени да се изобразят върху различни точки.

Да разгледаме като пример трансформацията

x = a11u + a12v + p,

y = a21u + a22v + q.(2)

Две точки (u1, v1) и (u2, v2) от равнината UOV се изобразяват върху една и съща точка тогаваи само тогава, когато

a11u1 + a12v1 + p = a11u2 + a12v2 + p,

a21u1 + a22v1 + q = a21u2 + a22v2 + q,т. е. когато

(3)a11(u1 − u2) + a12(v1 − v2) = 0,

a21(u1 − u2) + a22(v1 − v2) = 0.

Оттук се вижда, че в разглеждания случай съществуват различни точки в равнината UOV ,които при трансформацията (2) се изобразяват върху една и съща точка тогава и само тогава,когато системата (3) (където u1−u2 и v1− v2 се разглеждат като неизвестни) има нетривиалнорешение, т. е. когато ∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = 0.

Ще казваме, че трансформацията (1) е обратима в R, когато тя изоб-разява различни точки върху различни точки.

Така трансформацията (2) е обратима в равнината UOV тогава и само тогава, когато еизпълнено ∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ , 0.

Читателят знае от геометрията, че трансформация от вида (2) се нарича подобие с модулa, където a е положително число, ако са изпълнени условията

a211 + a2

12 = a2,

a221 + a2

22 = a2,

a11a21 + a12a22 = 0.


Специално, ако a = 1, подобието се нарича еднаквост.Подобието е една обратима трансформация, защото правилото за умножение на детер-

минанти ни дава ∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣∣a2 00 a2

∣∣∣∣∣ = a4 , 0.

Както и да избираме точка с координати (x, y) от R′, винаги съществуваточка P от R, чиито координати (u, v) удовлетворяват уравненията (1), защо-то всяка точка от R′ е образ на някоя точка от R. Ако трансформацията (1) еобратима, то точката P е еднозначно определена, когато точката (x, y) е даде-на, а с това еднозначно е определена както абсцисата и u, така и ординататаи v. По такъв начин получаваме две функции

u = F(x, y),

v = G(x, x),(4)

определени в R′, за които точката с координати

(F(x, y),G(x, y))

не напуска R, когато точката (x, y) се мени в R′, и които удовлетворяватусловията

x = f [F(x, y),G(x, y)],

y = g[F(x, y),G(x, y)].(5)

Така дефинираната трансформация (4) на R′ ще наричаме обратна тран-сформация на трансформацията (1).

Ще покажем, че ако трансформацията (1) е обратима, то нейната обратнатрансформация (4) удовлетворява условията

u = F( f (u, v), g(u, v)),

v = G( f (u, v), g(u, v)),(7)

където точката (u, v) се избира произволна в R.И наистина да положим

(8)x1 = f (u, v), u1 = F(x1, y1),

y1 = g(u, v), v1 = G(x1, y1).

Ще отбележим на това място, че ние можем да образуваме F(x1, y1) иG(x1, y1), защото точката с координати ( f (u, v), g(u, v)) принадлежи на R′, т. е.принадлежи на дефиниционната област на двете функции (4). Ние обаче


знаем, че точката с координати (F(x1, y1),G(x1, y1)) принадлежи на R и сле-дователно можем да образуваме

f (u1, v1) и g(u1, v1).


f (u1, v1) = f [F(x1, y1),G(x1, y1)],

g(u1, v1) = g[F(x1, y1),G(x1, y1)].

От друга страна, въз основа на (5) имаме

f [F(x1, y1),G(x1, y1)] = x1,

g[F(x1, y1),G(x1, y1)] = y1


f (u1, v1) = f (u, v),

g(u1, v1) = g(u, v).

Оттук като вземем под внимание, че трансформацията (1) е обратима, полу-чаваме u1 = u, v1 = v, което заедно с (8) дава (7).

Като пример да разгледаме трансформацията (2) при предположение, че∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ , 0.

В такъв случай, ако означим с Aik адюнгираното количество на aik и решим системата (2)относно u и v, ще получим

(9)u =

A11

Ax +

A21

Ay + p′,

v =A12

Ax +

A22

Ay + q′,

където

A =

∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣p′ = −

A11

Ap −

A21

Aq,

q′ = −A12

Ap −

A22

Aq.

Като изхождаме от дефиницията на понятието обратна трансформация, убеждаваме сес директна проверка, че трансформацията (9) е обратна на трансформацията (2).

Специално, ако трансформацията (2) е подобие, то Aik се изразяват просто чрез aik и A.И наистина, ако решим системата

a11a11 + a12a12 = a2,

a21a11 + a22a12 = 0


относно a11 и a12, ще получим

a11 =a2

AA11 и a12 =

a2

AA12.

Аналогично, ако решим системата

a11a21 + a12a22 = 0,

a21a21 + a22a22 = a2

относно a21 и a22, ще получим

a21 =a2

AA21, a22 =

a2

AA22,

т. е.

aik =a2

AAik

при i = 1, 2 и k = 1, 2.По такъв начин трансформацията (9) добива вида

u =a11

a2 x +a21

a2 y + p′,

v =a12

a2 x +a22

a2 y + q′.

Тази трансформация е подобие, чийто модул е1a, защото

a211

a4 +a2

21

a4 =a11A11 + a21A21

a2A=

1a2 ,

a212

a4 +a2

22

a4 =a12A12 + a22A22

a2A=

1a2 ,

a11a12

a4 +a21a22

a4 =a11A12 + a21A22

a4 = 0.

Нека C е отворен кръг с център в точката (α, β) и радиус r. Това значи, че точката с ко-ординати (u, v) се причислява към C тогава и само тогава, когато е изпълнено неравенството

(u − α)2 + (v − β)2 < r2.

Нека трансформацията (2) е подобие с модул α. В такъв случай образът C′ на C при тазитрансформация е отворен кръг с радиус ar. И наистина нека (u, v) е една точка от C. Даозначим с (x, y) координатите на образа и. Това значи че

x = a11u + a12v + p,

y = a21u + a22v + q.

Да положим

α′ = a11α + a12β + p,

β′ = a21α + a22β + q.

В такъв случай очевидно

x − α′ = a11(u − α) + a12(v − β),

y − β′ = a21(u − α) + a22(v − β).


Като повдигнем в квадрат двете страни на така получените равенства и съберем, ще получим

(x − α′)2 + (y − β′)2 = a2[(u − α)2 + (v − β)2]

и следователно(x − α′)2 + (y − β′)2 < a2r2.

Този резултат ни учи, че точката (x, y) принадлежи на отворения кръг с център в точката(α′, β′) и радиус ar.

Съвсем по аналогичен начин се вижда, че всяка точка на отворения кръг с център в(α′, β′) и радиус ar е образ на някоя точка от C. Нека читателят сам извърши пресмятанията.С това е установено, че C′ е отворен кръг с център в точката (α′, β′) и радиус ar.

От (5) се вижда, че обратната трансформация на една трансформация еобратима. И наистина нека

F(x1, y1) = F(x2, y2),

G(x1, y1) = G(x2, y2).

В такъв случай от (5) получаваме

x1 = f [F(x1, y1),G(x1, y1)] = f [F(x2, y2),G(x2, y2)] = x2,

y1 = g[F(x1, y1),G(x1, y1)] = g[F(x2, y2),G(x2, y2)] = y2.

Нека трансформацията (1) e дефинирана в R и нека A и B са две подм-ножества на R. В такъв случай1

(A + B)′ = A′ + B′,(10)

(AB)′ ⊂ A′B′,(11)

(A − B)′ ⊃ A′ − B′,(12)

ако A ⊂ B, то A′ ⊂ B′.(13)

Ще докажем само зависимостта (10). Зависимостите (11), (12) и (13) сеустановяват по същия начин.

Нека Q1 е една точка от (A+ B)′. Това значи, че тя е образ на някоя точкаP1 от A + B. Точката P1 принадлежи поне на едното от двете събираеми A иB. Нека например тя принадлежи на A (случаят, когато P1 принадлежи на B,се разглежда по същия начин). В такъв случай нейният образ Q принадлежина A′, а следователно и на A′ + B′. С това ние показахме, че

(A + B)′ ⊂ A′ + B′.

1Нека M и N са две множества. Ще пишем M ⊂ N или N ⊃ M, ако всяка точка на Mпринадлежи на N.


Нека Q2 е една точка от A′ + B′. В такъв случай тя принадлежи понена едното от двете множества A′ и B′. Нека например тя принадлежи на A′

(случаят, когато Q2 принадлежи на B′, се разглежда по същия начин). В та-къв случай Q2 е образ на някоя точка P2 от A. Точката P2 обаче принадлежина A + B и следователно нейният образ Q2 принадлежи на (A + B)′. С това епоказано, че

A′ + B′ ⊂ (A + B)′,

а следователно и равенството (10).Специално, ако трансформацията (1) е обратима в R, то зависимости-

те (11) и (12) приемат по-прецизен вид

(AB)′ = A′B′,(14)

(A − B)′ = A′ − B′.(15)

Ще покажем само равенството (14). Равенството (15) се доказва по съ-щия начин.

Нека Q е една точка от A′B′. В такъв случай Q принадлежи както на A′,така и на B′. Това обаче значи, че тя е образ както на една точка P1 от A, такаи на една точка P2 от B. Като вземем под внимание, че трансформацията (1)е обратима, заключаваме, че точките P1 и P2 съвпадат, т. е. Q е образ наточка P, която принадлежи както на A, така и на B, т. е. на точка от AB. Стова е показано, че Q принадлежи на (AB)′ и следователно

A′B′ ⊂ (AB)′,

което заедно с (11) ни дава (14).Нека (1) е една трансформация (не непременно обратима) на R. Ако

функциите f (u, v) и g(u, v) са непрекъснати в R, то всяко затворено и огра-ничено подмножество A на R се изобразява върху затворено и ограниченоподмножество на R′.

Първо ще покажем, че множеството A′ е затворено. За тази цел разглеж-даме редица от точки на A′

(16) Q1,Q2,Q3, . . .

с точка на сгъстяване Q0. Нашата цел ще бъде да установим, че точкатаQ0 принадлежи на A′. Означаваме с (x0, y0) координатите на Q0 и избирамеот (16) подредица

S 1, S 2, S 3, . . . ,


която клони към Q0. Да означим с (xn, yn) координатите на S n. В такъв случай

x0 = limn→∞

xn,

y0 = limn→∞

yn.

Точката S n е образ на някоя точка Pn от A. Да означим с (un, vn) коорди-натите на Pn. По такъв начин получаваме

xn = f (un, vn),

yn = g(un, vn).

РедицатаP1, P2, . . . , Pn, . . .

е ограничена, защото множеството A е ограничено. Да изберем от нея еднасходяща подредица

Pm1 , Pm2 , . . . , Pmn , . . .

и да означим с P0 нейната граница. Като вземем под внимание, че мно-жеството A е затворено, заключаваме, че точката P0 принадлежи на A. Даозначим с (u0, v0) координатите на P. В такъв случай

u0 = limn→∞

umn ,

v0 = limn→∞

vmn .

Да разгледаме равенствата

xmn = f (umn , vmn),

ymn = g(umn , vmn)

и да оставим n да расте неограничено. В такъв случай ще получим следграничния преход

x0 = f (u0, v0),

y0 = g(u0, v0),

с което е показано, че Q0 е образ на точка от A, т. е. Q0 принадлежи на A′

и следователно множеството A′ е затворено. Остава да покажем, че множес-твото A′ е ограничено. Това обаче е очевидно, защото функциите f (u, v) иg(u, v) са непрекъснати в ограниченото и затвореното множество A и следо-вателно са ограничени.

Ще казваме, че трансформацията (1) е регулярна, ако:


1. Множеството R, където се разглеждат функциите f (u, v) и g(u, v), еотворено.

2. Функциите f (u, v) и g(u, v) притежават непрекъснати частни производ-ни от първи ред във всички точки на R.

3. Трансформацията (1) е обратима.

4. Във всички точки на R имаме∣∣∣∣∣ f ′u f ′vg′u f ′v

∣∣∣∣∣ , 0.

Нека трансформацията (1) е регулярна в точковото множество R, некаA е едно подмножество на R и нека (u0, v0) е една вътрешна точка на A. Втакъв случай образът (x0, y0) на точката (u0, v0) е една вътрешна точка за A′.

И наистина очевидно имаме

x0 = f (u0, v0),

y0 = g(u0, v0).

От друга страна, като вземем под внимание, че трансформацията (1) е регу-лярна, заключаваме, че са налице условията, при които доказахме теорематаза съществуване на неявни функции. Това обстоятелство ни позволява датвърдим, че е достатъчно малка околност ∆ на точката (x0, y0) съществуватдве непрекъснати функции

ϕ(x1, x2) и ψ(x1, x2),

за които точката с координата [ϕ(x, y), ψ(x, y)] се намира в отнапред даденаоколност D на точката (u0, v0) (а следователно се намира в A, щом околносттаD е достатъчно малка, тъй като точката (u0, v0) е вътрешна за A), и коитоудовлетворяват условията

(17)

x = f[ϕ(x, y), ψ(x, y)

],

y = g[ϕ(x, y), ψ(x, y)

],

u0 = ϕ(x0, y0),

v0 = ψ(x0, y0).

Равенствата (17) ни учат обаче, че всяка точка от ∆ е образ на някояточка от A, т. е. точката (x0, y0) е вътрешна за A′. С това интересуващото


ни свойство е установено. От доказаното следва, че отворено множествосе преобразува при регулярна трансформация в отворено множество. По-специално множеството R′ е отворено.

Въз основа на изложеното не е трудно да се убедим, че ако една точкаP от R е външна за едно подмножество A на R, то точката P′ е външна заA′. И наистина, щом точката P принадлежи на отвореното множество R и евъншна за A, тя ще бъде вътрешна за множеството R − A и следователно P′

ще бъде вътрешна точка за (R − A)′ = R′ − A′, следователно ще бъде външназа A′.

Ще покажем, че обратната трансформация на регулярна трансформацияе също тъй регулярна трансформация.

И наистина нека (1) е регулярна трансформация на R и (4) е нейнатаобратна трансформация. От изложеното дотук се вижда, че множеството R′

e отворено. Нека (x0, y0) е коя да е точка от R′ и нека

u0 = F(x0, y0),

v0 = G(x0, y0).


x0 = f (u0, v0),

y0 = g(u0, v0).

При условията, в които се намираме, теорията на неявните функции ниосигурява съществуването на две функции ϕ(x, y) и ψ(x, y) във всяка доста-тъчно малка околност ∆ на точката (x0, y0), които имат непрекъснати частнипроизводни от първи ред в ∆, за които точката с координати [ϕ(x, y), ψ(x, y)]принадлежи към R и които удовлетворяват условията

x = f[ϕ(x, y), ψ(x, y)

],

y = g[ϕ(x, y), ψ(x, y)

],

u0 = ϕ(x0, y0),

v0 = ψ(x0, y0).

От друга страна, имаме

x = f[F(x, y),G(x, y)

],

y = g[F(x, y),G(x, y)

],

както и да избираме точката (x, y) в R′. Като вземем под внимание, че тран-сформацията (1) е обратима, получаваме

F(x, y) = ϕ(x, y), G(x, y) = ψ(x, y)


всеки път, когато точката (x, y) принадлежи на ∆R′. Така получените ра-венства ни учат, че функциите F(x, y) и G(x, y) имат непрекъснати частнипроизводни в достатъчно малка околност на всяка точка (x0, y0) от R′ и сле-дователно имат непрекъснати първи частни производни навсякъде в R′.

Ние вече видяхме, че обратната трансформация на една обратима тран-сформация е винаги обратима. Оттук заключаваме, че трансформацията (4)е обратима.

За да можем да твърдим, че трансформацията (4) е регулярна, остава дапокажем, че ∣∣∣∣∣F′x F′y

G′x G′y

∣∣∣∣∣ , 0.

Това може да се покаже така:∣∣∣∣∣F′x F′yG′x G′y

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ f ′u f ′vg′u g′v

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣F′x f ′u + F′yg′u F′x f ′v + F′yg′vG′x f ′u + G′yg′u G′x f ′v + G′yg′v

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣1 00 1

∣∣∣∣∣ = 1 , 0.

С това ние показахме, че обратната трансформация на регулярна трансфор-мация е също тъй регулярна трансформация.

Нека (1) е една регулярна трансформация на R и нека

s = ϕ(x, y),

t = ψ(x, y)(18)

е една регулярна трансформация R′. Да положим

f1(u, v) = ϕ[ f (u, v), g(u, v)],

g1(u, v) = ψ[ f (u, v), g(u, v)].(19)

Функциите (19) са добре дефинирани в R. Трансформацията на R

s = f1(u, v),

t = g1(u, v)(20)

се нарича произведение на двете трансформации (1) и (18). Не трудно дасе види, че тя е регулярна. И наистина множеството R е отворено, функ-циите (19) имат непрекъснати частни производни поне от първи ред в R,както това се вижда от правилото за диференциране на съставни функции,трансформацията (20) е обратима, защото от

f1(u1, v1) = f1(u2, v2),

g1(u1, v1) = g1(u2, v2),


получаваме последователно

ϕ[ f (u1, v1), g(u1, v1)] = ϕ[ f (u2, v2), g(u2, v2)],

ψ[ f (u1, v1), g(u1, v1)] = ψ[ f (u2, v2), g(u2, v2)];

f (u1, v1) = f (u2, v2),

g(u1, v1) = g(u2, v2)

и следователноu1 = u2, v1 = v2.

Остава да покажем, че ∣∣∣∣∣∣∣∣∂ f1∂u

∂ f1∂v

,

∂g1

∂u∂g1

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣ , 0.

Това може да се види така. Правилото за диференциране на съставни функ-ции ни дава

∂ f1∂u

=∂ϕ

∂x∂ f∂u

+∂ϕ

∂y∂g∂u,

∂ f1∂v

=∂ϕ

∂x∂ f∂v

+∂ϕ

∂y∂g∂v,

∂g1

∂u=∂ψ

∂x∂ f∂u

+∂ψ

∂y∂g∂u,

∂g1

∂v=∂ψ

∂x∂ f∂v

+∂ψ

∂y∂g∂v.

По такъв начин получаваме с помощта на правилото за умножение надетерминанти∣∣∣∣∣∣∣∣

∂ f1∂u

∂ f1∂v

∂g1

∂u∂g1

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ

∂x∂ f∂u

+∂ϕ

∂y∂g∂u

∂ϕ

∂x∂ f∂v

+∂ϕ

∂y∂g∂v

∂ψ

∂x∂ f∂u

+∂ψ

∂y∂g∂u

∂ψ

∂x∂ f∂v

+∂ψ

∂y∂g∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ

∂x∂ϕ

∂y∂ψ

∂x∂ψ

∂y

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂ f∂u

∂ f∂v

∂g∂u

∂g∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣ , 0.

Трансформация от вида

x = u,

y = g(u, v)

се нарича диагонална трансформация. Диагонални също се наричат и тран-сформациите ∣∣∣∣∣ x = v

y = g(u, v),

∣∣∣∣∣ x = f (u, v)y = u,

∣∣∣∣∣ x = f (u, v)y = v.


Нека (1) е една регулярна трансформация на R и нека (u0, v0) e една точ-ка от R. Ние ще покажем, че в достатъчно малка околност на (u0, v0) тран-сформацията (1) може да се представи като произведение на две регулярнидиагонални трансформации. И наистина условието∣∣∣∣∣ f ′u f ′v

g′u g′v

∣∣∣∣∣ , 0

се вижда, че поне едно от числата g′u(u0, v0) и g′v(u0, v0) e различно от нула.Нека например g′v(u0, v0) , 0 (случаят, когато g′u(u0, v0) , 0 се разглежда посъщия начин). Да изберем около (u0, v0) околност W, която се съдържа в Rи в която g′v(u, v) , 0. Това може да се направи, защото частната производнаg′v(u, v) е непрекъсната и различна от нула в точката (u0, v0).

Да разгледаме диагоналната трансформация

(21)ξ = u,

η = g(u, v).

Тази трансформация е регулярна в W. И наистина множеството W е отворе-но, функциите u и g(u, v) имат непрекъснати производни и детерминантата∣∣∣∣∣ 1 0

g′u(u, v) g′v(u, v)

∣∣∣∣∣е различна от нула. Остава да се убедим, че трансформацията (21) е обрати-ма. Това може да се види така. Нека двете точки (u1, v1) и (u2, v2) от W иматедин и същ образ при трансформацията (21). В такъв случай

u1 = u2,

g(u1, v1) = g(u2, v2)


0 = g(u2, v2) − g(u1, v1) = g(u1, v2) − g(u1, v1) = (v2 − v1)g′v(u1, v3),

където v3 е точка между v1 и v2. От друга страна точката (u1, v3) очевиднопринадлежи на W, поради което g′v(u1, v3) , 0 и следователно v2 = v1. С товаобратимостта на (21) е установена.

Да означим с W∗ образа W при трансформацията (21) и да положим

ξ0 = u0, η0 = g(u0, v0).


Точката (ξ0, η0) очевидно принадлежи на W∗.Нека

(22)u = p(ξ, η),

v = q(ξ, η)

е обратна трансформация на (21). В такъв случай съгласно дефиницията напонятието обратна трансформация имаме

ξ = p(ξ, η),

η = g[p(ξ, η), q(ξ, η)]


(23) η = g[ξ, q(ξ, η)].

Трансформацията (21) обаче е обратима, поради което

(24)u = p[u, g(u, v)],

v = q[u, g(u, v)].

Да разгледаме диагоналната трансформация

(25)x = ϕ(ξ, η),

y = η,

къдетоϕ(ξ, η) = f [ξ, q(ξ, η)].

Тази трансформация очевидно е добре дефинирана в W∗. Тя обаче е регу-лярна във всяка околност T на точката (ξ0, η0), която се съдържа в W∗. Втова ние можем да се убедим с помощта на същите разсъждения, които при-ложихме към трансформацията (21). За тази цел достатъчно е да покажем,че

ϕ′ξ(ξ, η) , 0,

което може да стане по следния начин. Очевидно

ϕ′ξ(ξ, η) = f ′u + f ′v q′ξ(ξ, η).

От друга страна, диференцирайки (23) спрямо ξ, получаваме

0 = g′u + g′vq′ξ(ξ, η),


т. е.

q′ξ = −g′ug′v,


ϕ′ξ = f ′u − f ′vg′ug′v

=1g′v

∣∣∣∣∣ f ′u f ′vg′u g′v

∣∣∣∣∣ , 0.

Образът на T при трансформацията (22) е някое отворено подмножествона W, което съдържа точката (u0, v0). Нека S е околност на (u0, v0), която сесъдържа в това подмножество. В такъв случай (21) е регулярна трансформа-ция на S . Образът на S при тази трансформация е едно отворено множествоS ∗, в което трансформацията (25) е регулярна. Да образуваме в S произве-дението на двете трансформации (21) и (25). След очевидни пресмятания,като се използува (24), това произведение добива вида

x = f [u, q(u, g(u, v))] = f (u, v),

y = g(u, v).

По такъв начин ние получихме трансформацията (1). С това е установе-но, че в достатъчно малка околност на точката (u0, v0) трансформацията (1)действително може да се представи като произведение на две диагоналнирегулярни трансформации.

Не е трудно да се установи, че ако трансформацията (1) е регулярна в Rи A е ограничено множество, което лежи в R заедно с контура си, то контурътна A′ лежи в R′ и

[K(A)]′ = K(A′).

Ще покажем първо, че контурът на A′ лежи в R′. И наистина множест-вото

A + K(A)

е ограничено и затворено и следователно образът му

[A + K(A)]′ = A′ + [K(A)]′

е ограничено и затворено подмножество на R′. Като вземем под вниманиенеравенството

A′ ⊂ A′ + [K(A)]′,

заключаваме, че всичките контурни точки на A′ също лежат в

(26) A′ + [K(A)]′,


защото множеството (26) е затворено, а всяка контурна точка на A′ е точкана сгъстяване на редица от точки на A′. От изложеното се вижда, че

K(A′) ⊂ A′ + [K(A)]′

и още повечеK(A′) ⊂ R′.

Ще покажем, че[K(A)]′ = K(A′).

И наистина нека P′ е една точка от [K(A)]′ и нека P е образ на P′ притрансформацията (4), т. е. P принадлежи на K(A). В такъв случай P′ не можеда бъде нито вътрешна, нито външна точка за A′, защото P като образ на P′

при регулярната трансформация (4) би била вътрешна или съответно външнаточка за A, което не е вярно. С това показахме, че

[K(A)]′ ⊂ K(A′).

Аналогично се вижда, чеK(A′) ⊂ [K(A)]′,

с което доказателството се завършва.Ще казваме, че трансформацията (1) e двойно регулярна в R, ако тя е

регулярна и функциите f (u, v) и g(u, v) притежават непрекъснати частни про-изводни в R поне до втори ред.

Ние вече видяхме, че щом трансформацията (1) е регулярна, то функции-те (4), които определят обратната трансформация, притежават непрекъснатипърви частни производни. Теорията на неявните функции ни учи, че

F′x =g′v∣∣∣∣∣ f ′u f ′v

g′u g′v

∣∣∣∣∣, F′y =

− f ′v∣∣∣∣∣ f ′u f ′vg′u g′v

∣∣∣∣∣,

G′x =−g′u∣∣∣∣∣ f ′u f ′v

g′u g′v

∣∣∣∣∣, G′y =

f ′u∣∣∣∣∣ f ′u f ′vg′u g′v

∣∣∣∣∣.

От тези равенства заключаваме, че щом трансформацията (1) е двойнорегулярна, то функциите

F′x, F′y,

G′x, G′y

§ 15. Основна теорема на интегралното смятане в равнината 161

притежават непрекъснати частни производни от първи ред в R′, т. е. функци-ите (4) притежават непрекъснати частни производни поне до втори ред в R′.От това заключаваме, че обратната трансформация на една двойно регулярнатрансформация е също тъй една двойно регулярна трансформация.

Понякога регулярните трансформации ще наричаме още еднократно ре-гулярни за разлика от двойно регулярните трансформации.

§ 15. Основна теорема на интегралното смятане в равнината

Да означим с ∆ правоъгълник, определен от неравенствата

(1)a ≤ x < b,

c ≤ y < d.

Това значи, че една точка с координати (x, y) се причислява към ∆ тогаваи само тогава, когато са изпълнени неравенствата (1). Такъв правоъгълникние ще наричаме полузатворен, без да посочваме изрично, че става дума заправоъгълник, чиито страни са успоредни на съответните координатни оси.

Нека числата a, b, c, d и p удовлетворяват неравенствата

a < p < b, c < d.

Да разгледаме двата полузатворени правоъгълника, определени съответно отнеравенствата

a ≤ x < p, p ≤ x < b,

c ≤ y < d, c ≤ y < d.

Такива правоъгълници ние ще наричаме съседни по x. Аналогично правоъ-гълниците, определени с неравенства от вида

a ≤ x < b, a ≤ x < b,

c ≤ y < q, q ≤ y < d,

където c < q < d ще наричаме съседни по y. В бъдеще, когато говоримза съседни правоъгълници, ще имаме пред вид или полузатворени право-ъгълници, съседни по x, или полузатворени правоъгълници, съседни по y.Очевидно, ако ∆1 и ∆2 са два съседни правоъгълника, те нямат обща точкаи сумата ∆1 + ∆2 е полузатворен правоъгълник.

С помощта на неравенствата (1) ние можем да образуваме безбройномного полузатворени правоъгълници в зависимост от избора на числата a,


b, c и d. Нека на всеки полузатворен правоъгълник ∆ съпоставим по едночисло ϕ(∆). Ще казваме, че ϕ(∆) е полуадитивна функция на ∆, ако всекипът, когато ∆1 и ∆2 са два съседни полузатворени правоъгълника, имаме

ϕ(∆1 + ∆2) ≤ ϕ(∆1) + ϕ(∆2).

Ще казваме, че функцията ϕ(∆) е неположителна около точката P, акоможе да се намери околност U(P) на точката P по такъв начин, че за всекиполузатворен правоъгълник ∆, който съдържа точка P или по контура, иливъв вътрешността си и който се съдържа в U(P), да имаме ϕ(∆) ≤ 0.

Теорема. Нека полуадитивната функция ϕ(∆) е неположителна околовсяка точка P на равнината. В такъв случай при всеки избор на полузатво-рен правоъгълник ∆ е в сила неравенството ϕ(∆) ≤ 0.

Доказателство. Да допуснем противното. Това значи, че има поне единполузатворен правоъгълник D1, за който ϕ(D1) > 0. Ние ще го разложим насума от два съседни по x правоъгълника D′ и D′′ с помощта на неговатасредна линия. В такъв случай е изпълнено поне едно от двете неравенства

ϕ(D′) > 0, ϕ(D′′) > 0.

И наистина в противен случай ще имаме ϕ(D′) ≤ 0 и ϕ(D′′) ≤ 0 и следова-телно

ϕ(D1) = ϕ(D′ + D′′) ≤ ϕ(D′) + ϕ(D′′) ≤ 0,

което не е вярно. Нека означим с D2 такъв измежду двата правоъгълника D′

и D′′, за койтоϕ(D2) > 0.

Разделяме D2 с помощта на неговата средна линия на два съседни поy полузатворени правоъгълника и означаваме с D3 такъв измежду тях, закойто ϕ(D3) > 0. Както по-горе се убеждаваме, че такъв сигурно има. Про-дължаваме този процес неограничено.

Така получаваме редицата

D1 ⊃ D2 ⊃ D3 ⊃ · · ·

от полузатворени правоъгълници, за които

(2) ϕ(Dn) > 0.

Съгласно теоремата на Кантор1 съществува точка P0, която принадлежи илина вътрешността, или на контура на всеки един от тези правоъгълници. Фун-кцията ϕ(∆) обаче е неположителна около всяка точка на равнината и сле-дователно тя е неположителна и около P0. Това значи, че съществува такава

1Теоремата на Кантор се прилага към редицата от затворени правоъгълници, които сеполучават от Dn чрез присъединяване на контурните им точки.

§ 16. Характеристични функции 163

околност U(P0) на точката P0, че за всеки полузатворен правоъгълник ∆,който съдържа точката P0 или по контура, или във вътрешността си и сесъдържа в U(P0), имаме ϕ(∆) ≤ 0. От друга страна, правоъгълниците Dn съ-държат точката P0 или във вътрешността, или по контура си, а диагоналитеим клонят към нула, когато n расте неограничено. Това ни дава право датвърдим, че при достатъчно голямо n полузатвореният правоъгълник Dn сесъдържа в U(P0) и следователно ϕ(Dn) ≤ 0, което противоречи на неравенс-твото (2). С това доказателството е завършено.

§ 16. Характеристични функции

Нека A е едно множество от точки в равнината. Характеристична функ-ция на A се нарича функцията ϕ(x, y), която има стойност единица в точки,които принадлежат на A, и стойност нула в точки, които не принадлежат наA.

Нека A е кръг, определен от неравенството

(1) (x − p)2 + (y − q)2 < r2,

и нека ϕ(x, y) е характеристичната му функция. Ние ще пресметнем израза

(2) I =

∫ b

a

[∫ b

aϕ(x, y) dy

]dx

при предположение, че квадратът, определен от неравенствата

(3)a ≤ x ≤ b,

a ≤ y ≤ b,

съдържа A, като същевременно се убедим, че (2) има смисъл.Ако точката в координати (x, y) удовлетворява неравенството (1), то

|x − p| < r

и следователноp − r < x < p + r.

От друга страна, имаме очевидно

(y − q)2 < r2 − (x − p)2,

т. е.q −

√r2 − (x − p)2 < y < q +

√r2 − (x − p)2.


По такъв начин ние виждаме, че ако точката (x, y) принадлежи на кръга A,нейните координати удовлетворяват неравенствата

(4)p − r < x < p + r,

q −√

r2 − (x − p)2 < y < q +√

r2 − (x − p)2.

Обратно, нека точката (x, y) удовлетворява неравенствата (4); в такъвслучай лесно се убеждаваме, че е изпълнено и неравенството (1). Оттукзаключаваме, че

ϕ(x, y) = 1

тогава и само тогава, когато са изпълнени неравенствата (4).Да разгледаме при фиксирано x интеграла

F(x) =

∫ b

aϕ(x, y) dy.

Когато x не принадлежи на интервала |x − p| < r, този интеграл съществуваи има стойност нула, защото в такъв случай ϕ(x, y) = 0. Когато |x − p| < r,интегралът пак очевидно има смисъл и

F(x) =

∫ q−√

r2−(x−p)2

aϕ(x, y) dy +

∫ q+√

r2−(x−p)2

q−√

r2−(x−p)2ϕ(x, y) dy

+

∫ b

q+√

r2−(x−p)2ϕ(x, y) dy

=

∫ q−√

r2−(x−p)2

a0 dy +

∫ q+√

r2−(x−p)2

q−√

r2−(x−p)21 dy +

∫ b

q+√

r2−(x−p)20 dy

= 2√

r2 − (x − p)2.

По такъв начинF(x) = 0

при |x − p| ≥ r иF(x) = 2

√r2 − (x − p)2

при |x − p| < r. Функцията F(x) е непрекъсната и следователно интегруема вразглеждания от нас интервал [a, b]. Очевидно имаме

I =

∫ b

aF(x) dx =

∫ p−r

aF(x) dx +

∫ p+r

p−rF(x) dx +

∫ b

p+rF(x) dx

= 2∫ p+r

p−r

√r2 − (x − p)2 dx.


Да направим субституцията

x = p + r cos t.

Това ще ни даде

I = 2r2∫ π

0sin2 t dt = πr2.

Нека читателят обърне внимание върху този резултат. Ние ще имаме нуждаот него.

Израз от вида (2) се нарича повторен интеграл. Ние ще имаме нужда отоще един повторен интеграл.

Нека ψ(x, y) е характеристичната функция на един полузатворен правоъ-гълник A, който се съдържа в множеството G, определено1 от неравенствата

(5)a ≤ x ≤ b

ϕ0(x) ≤ y ≤ ϕ1(x),

където ϕ0(x) и ϕ1(x) са непрекъснати функции в компактния интервал a ≤x ≤ b, удовлетворяващи условието ϕ0(x) ≤ ϕ1(x).

Ние ще покажем, че повторният интеграл

E =

∫ b

a

[∫ ϕ1(x)

ϕ0(x)ψ(x, y) dy

]dx

има смисъл, и ще пресметнем неговата стойност. Това ще извършим така.Нека правоъгълникът A се определя от неравенствата

p ≤ x < q,

r ≤ y < s.

В такъв случай a ≤ p < q ≤ b и ϕ0(x) ≤ r, s ≤ ϕ1(x). Да положим

(6) Φ(x) =

∫ ϕ1(x)

ϕ0(x)ψ(x, y) dy.

Ако x не принадлежи на интервала p ≤ x < q, то ψ(x, y) = 0 при всяко y. Втози случай Φ(x) очевидно има смисъл и Φ(x) = 0. Нека p ≤ x < q. Тогаваψ(x, y) = 1 при r ≤ y < s и ψ(x, y) = 0 при всички останали стойности на y.По такъв начин при фиксирано x ограничената функция ψ(x, y) има само две

1Това значи, че една точка (x, y) се причислява към G тогава и само тогава, когато саизпълнени неравенствата (5).


точки на прекъсване и следователно е интегруема в Риманов смисъл, т. е.Φ(x) съществува и в този случай и

Φ(x) =

∫ ϕ1(x)

ϕ0(x)ψ(x, y) dy =

∫ r

ϕ0(x)ψ(x, y) dy +

∫ s

rψ(x, y) dy +

∫ ϕ1(x)

sψ(x, y) dy

= 0 + (s − r) + 0 = s − r.

И така Φ(x) = s − r при p ≤ x < q и Φ(x) = 0 при всички останалистойности на x. От това виждаме, че функцията Φ(x) е интегруема в Римановсмисъл във всеки краен интервал и∫ b

aΦ(x) dx =

∫ p

aΦ(x) dx +

∫ q

pΦ(x) dx +

∫ b

qΦ(x) dx = (s − r)(q − p).

По такъв начин ние видяхме, че повторният интеграл E има смисъл и

(7) E = (s − r)(q − p).

По-общо, ако L е константа, то съгласно познатите ни правила имаме

(8)∫ b

a

[∫ ϕ1(x)

ϕ0(x)Lψ(x, y) dy

]dx =

∫ b

aL[∫ ϕ1(x)

ϕ0(x)ψ(x, y) dy

]dx

= L∫ b

a

[∫ ϕ1(x)

ϕ0(x)ψ(x, y) dy

]dx = L(s − r)(q − p),

като при това можем да твърдим въз основа на същите правила, че (8) съ-ществува.

Ние особено често ще прилагаме формулите (7) и (8) в случая, когатофункциите ϕ0(x) и ϕ1(x) са константи, т. е. когато множеството G е правоъ-гълник.

Ако множеството G не съдържа A, то равенството (7) не е вярно, но ниеможем да получим едно полезно неравенство по следния начин. Нека α, β,γ и δ са константи, избрани така, че правоъгълникът

α ≤ x ≤ β,

γ ≤ y ≤ δ

да съдържа A и освен това да са изпълнени неравенствата

α ≤ a, b ≤ β, γ ≤ ϕ0(x), ϕ1(x) ≤ δ.



E =

∫ b

a

[∫ ϕ1(x)

ϕ0(x)ψ(x, y) dy

]dx ≤

∫ β

α

[∫ δ

γψ(x, y) dy

]dx = (s − r)(q − p).

С помощта на характеристични функции могат да се образуват удобнополуадитивни функции по следния начин. Нека ψ(x, y) е ограничена функ-ция, дефинирана в цялата равнина, и нека ϕ(x, y) е характеристичната функ-ция на полузатворения правоъгълник ∆, определян от неравенствата

p ≤ x < q,

r ≤ y < s.

В такъв случай, ако a и b са произволни реални числа, свързани с нера-венството a < b, функциите

I(∆) =

∫ b

a

[ ∫ b

aϕ(x, y)ψ(x, y) dy

]dx,

H(∆) = −

∫ b

a

[ ∫ b

aϕ(x, y)ψ(x, y) dy

]dx

са полуадитивни. И наистина нека ∆1 и ∆2 са два съседни полузатворениправоъгълника. Да означим с ϕ1(x, y) и ϕ2(x, y) съответно техните характе-ристични функции. В такъв случай

I(∆1 + ∆2) =

∫ b

a

[ ∫ b

a(ϕ1 + ϕ2)ψ dy

]dx ≤

∫ b

a

[ ∫ b

aϕ1ψ dy +

∫ b

aϕ2ψ dy

]dx

≤

∫ b

a

[ ∫ b

aϕ1ψ dy

]dx +

∫ b

a

[ ∫ b

aϕ2ψ dy

]dx = I(∆1) + I(∆2)

и аналогично

H(∆1 + ∆2) = −

∫ b

a

[ ∫ b

a(ϕ1 + ϕ2)ψ dy

]dx ≤ −

∫ b

a

[ ∫ b

aϕ1ψ dy +

∫ b

aϕ2ψ dy

]dx

≤ −

∫ b

a

[ ∫ b

aϕ1ψ dy

]dx −

∫ b

a

[ ∫ b

aϕ2ψ dy

]dx = H(∆1) + H(∆2).

Като вземем под внимание, че сума от полуадитивни функции е полу-адитивна, добиване възможност да образуваме разнообразни полуадитивнифункции. Ние често ще се ползуваме от това обстоятелство.


§ 17. Горна мярка

Нека A е ограничено точково множество в равнината. Покриваме мно-жеството A със система от краен брой отворени кръгове

(1) C1,C2, . . . ,Cn.

Това значи, че кръговете Ck са избрани така, че

A ⊂ C1 + C2 + · · · + Cn.

Такива системи съществуват, защото множеството A е ограничено. Томоже да бъде покрито дори с помощта на един-единствен кръг.

Означаваме с rk радиуса на кръга Ck и разглеждаме сумата

S = r21 + r2

2 + · · · + r2n.

Такива суми могат да се образуват по безбройно много начини в зависимостот избора на покриващата система от кръгове (1). Множеството от тези сумиобаче е ограничено отдолу, защото те са неотрицателни. Ние ще означим сν(A) тяхната точна долна граница. Числото ν(A) се нарича горна мярка намножеството A. По такъв начин на всяко ограничено множество от точки вравнината ние съпоставихме по едно число ν(A), т. е. както често се казва,дефинирахме една функция в съвкупността от разглежданите от нас мно-жества. Нашата цел ще бъде да изучим свойствата на тази функция. Тование ще направим в следващите четири точки.

1. Стойностите на функцията ν(A) са неотрицателни.Доказателството, което е тривиално, ние ще предоставим на читателя.2. Ако A и B са две ограничени точкови множества в равнината и ако

A ⊂ B, то ν(A) ≤ ν(B).Доказателство. Да покрием B със система от краен брой отворени кръ-

гове

(2) C1,C2, . . . ,Cn

и да означим с S сумата от квадратите на техните радиуси. Очевидно систе-мата от кръговете (2) покрива и множеството A и следователно

ν(A) ≤ S ,

както това се вижда от дефиницията на ν(A). По такъв начин ν(A) е еднадолна граница на множеството, което описват сумите S , когато меним по

§ 17. Горна мярка 169

всевъзможни начини покриващата система от кръгове (2). Числото ν(B) еобаче точната долна граница на това множество, т. е. най-голямата от долни-те му граници и следователно

ν(B) ≥ ν(A).

С това доказателството е завършено.3. Ако A и B са две ограничени множества от точки в равнината, то

ν(A + B) ≤ ν(A) + ν(B).

Доказателство. Покриваме множеството A със система от кръгове

(3) C1,C2, . . . ,Cn,

а множеството B— със система от кръгове

(4) C′1,C′2, . . . ,C

′m.

Означаваме с S сумата от квадратите на радиусите на кръговете (3) ис S ′ — сумата от квадратите на радиусите на кръговете (4). Системата откръговете

C1,C2, . . . ,Cn,C′1,C′2, . . . ,C

′m

покрива множеството A + B и следователно

(5) ν(A + B) ≤ S + S ′,

както това се вижда от дефиницията на ν(A + B).Фиксираме системата (3). С това не е направено никакво ограничение

върху начина, по който можем да избираме кръговете (4). От неравенство-то (5) получаваме

ν(A + B) − S ≤ S ′,

което ни учи, че числото ν(A + B) − S е една долна граница на множествотоот сумите S ′. Числото ν(B) е обаче точната, т. е. най-голямата долна границана тези суми, и следователно

ν(A + B) − S ≤ ν(B)

или още

(6) ν(A + B) − ν(B) ≤ S .


Системата от кръговете (3) при нас обаче е фиксирана произволно. Товаобстоятелство ни позволява да заключим от неравенството (6), че числотоν(A + B) − ν(B) е една долна граница на множеството от сумите S от квадра-тите на радиусите на всевъзможните системи (3) от кръгове, които покриватA. От друга страна, числото ν(A) е най-голямата от долните граници на та-кива суми и следователно

ν(A + B) − ν(B) ≤ ν(A),

с което исканото неравенство е установено.Забележка. Ако A1, A2, . . . , An са краен брой ограничени точкови мно-

жества в равнината, то

ν(A1 + A2 + · · · + An) ≤ ν(A1) + ν(A2) + · · · + ν(An).

За да се убедим в това, достатъчно е да приложим краен брой пъти неравен-ството, което доказахме.

4. Нека A е ограничено множество от точки в равнината и нека τ еподобие с модул a. Ако A′ e образ на A при τ, то

ν(A′) = a2ν(A).

.От това следва, разбира се, че ако τ e еднаквост, т. е. ако a = 1, то

ν(A′) = ν(A).

Доказателство. Нека

(7) C1,C2, . . . ,Cn

е произволна система от отворени кръгове, която покрива A, и нека радиусътна Ck e rk. Нека образът на Ck при τ е C′k. Ние знаем (вж. § 14), че C′k еотворен кръг с радиус ark. Системата от кръговете C′1,C

′2, . . . ,C

′k покрива A′

и следователноν(A′) ≤ (ar1)2 + (ar2)2 + · · · + (arn)2,

или ощеν(A′)

a2 ≤ r21 + r2

2 + · · · + r2n.

Системата от покриващите кръгове (7) е избрана произволно, т. е.ν(A′)

a2 еедна долна граница на съвкупността на всевъзможните суми

r21 + r2

2 + · · · + r2n.

§ 18. Мярка на правоъгълник 171

Числото ν(A) обаче е точната, т. е. най-голямата долна граница на тези сумии следователно

ν(A′)a2 ≤ ν(A)

или още

(8) ν(A′) ≤ a2ν(A).

Като разгледаме обратната трансформация на τ, която, както знаем (вж.

§ 14), е подобие с модул1a, ще получим

ν(A) ≤1a2 ν(A

′),

което заедно с (8) ни даваν(A′) = a2ν(A).

С това доказателството е завършено.

§ 18. Мярка на правоъгълник

Нека t и s са две положителни числа и нека ∆ е правоъгълник, определенот неравенствата

(1)0 ≤ x < t,

0 ≤ y < s.

Това значи, че точката (x, y) се причислява към ∆ тогава и само тогава,когато са изпълнени неравенствата (1).

Ние ще фиксираме s. При всеки избор на t > 0 стойността на ν(∆)е еднозначно определена и следователно ν(∆) е функция на t. Ние ще яозначим с ϕ(t). Тази функция при нас е дефинирана при t > 0.

Да означим с ∆ik правоъгълника, определен от неравенствата

(i − 1)t ≤ x < it,

(k − 1)t ≤ y < ks.

Еднаквостта (относно терминологията вж. § 14)

x′ = x + (i − 1)t,

y′ = y + (k − 1)s


преобразува ∆ в ∆ik и следователно, както знаем (вж. § 17),

ν(∆ik) = ν(∆).

Да положим

∆k =

n∑i=1

∆ik.


ν(∆k) ≤n∑

i=1

ν(∆ik) = nν(∆)

и по-специално при k = 1 ще имаме

ν(∆1) ≤ nν(∆).

Не е трудно да се види, че ∆k е правоъгълник, определен от неравенствата

0 ≤ x < nt,

(k − 1)s ≤ y < ks.

Ние ще предоставим доказателството на читателя.Както се вижда съвсем просто, еднаквостта

x′ = x,

y′ = y + (k − 1)s

преобразува ∆1 в ∆k и следователно

ν(∆k) = ν(∆1).

Най-сетне да разгледаме сумата

D =

n∑k=1

∆k.

Както знаем,

ν(D) ≤n∑

k=1

ν(∆k)

и следователноν(D) ≤ nν(∆1).


От друга страна, съвсем просто се вижда, че D е множеството на онезии само онези точки (x, y) от равенствата, които удовлетворяват неравенствата

0 ≤ x < nt,

0 ≤ y < ns.

От друга страна, също тъй просто се вижда, че подобието

x′ = nx,

y′ = ny(2)

преобразува ∆ в D. Ние ще предоставим проверката на тези прости нещана читателя. Като вземем под внимание, че модулът на подобието (2) е n,получаваме

(3) ν(D) = n2ν(∆).

Да разгледаме неравенствата

ν(D) ≤ nν(∆1),

ν(∆1) ≤ nν(∆).

Ако допуснем за момент, че

ν(∆1) < nν(∆),

ще получимν(D) < n2ν(∆),

което противоречи на равенството (3). По такъв начин получаваме

ν(∆1) = nν(∆)

илиϕ(nt) = nϕ(t).

Това равенство, което засега е установено от нас само за цели положителнистойности на n, може да се обобщи така. Нека n и m са две произволни целиположителни числа. В такъв случай

ϕ(mt) = mϕ(t)

иϕ(mt) = ϕ

(n

mtn

)= nϕ

(mn

t)


и следователноmϕ(t) = nϕ

(mn

t),

илиϕ(rt) = rϕ(t),

където r =mn. Специално при t = 1 получаваме

ϕ(r) = rϕ(1),

където r е произволно рационално положително число.От друга страна, функцията ϕ(t) е монотонно растяща. И наистина да

разгледаме двата правоъгълника ∆′ и ∆′′, определени съответно от неравен-ствата

0 ≤ x < t′,

0 ≤ y < s,

и

0 ≤ x < t′′,

0 ≤ y < s,

където 0 < t′ ≤ t′′. В такъв случай, както това лесно се вижда, ∆′ ⊂ ∆′′ иследователно ν(∆′) ≤ ν(∆′′), т. е.

ϕ(t′) ≤ ϕ(t′′).

Сега вече не е трудно да се определи ϕ(t) при произволно реално и положи-телно t. За тази цел фиксираме t и избираме две положителни рационалничисла r1 и r2 по такъв начин, че да имаме

(4) r1 < t < r2.


(5) ϕ(r1) ≤ ϕ(t) ≤ ϕ(r2)


(6) r1ϕ(1) ≤ ϕ(t) ≤ r2ϕ(1).

От друга страна, ϕ(1) ≥ 0 и по такъв начин от (4) получаваме

r1ϕ(1) ≤ tϕ(1) ≤ r2ϕ(1),


което заедно с (6) ни дава

|ϕ(t) − tϕ(1)| ≤ (r2 − r1)ϕ(1).

Числата r1 и r2 обаче могат да се изберат произволно близо до t, а t, ϕ(t) иϕ(1) не зависят от избора на r1 и r2. Въз основа на това заключаваме, че

ϕ(t) = tϕ(1).

Да положим ϕ(1) = A. По такъв начин получаваме

ν(∆) = At,

където A не зависи от t.Съвсем по същия начин се вижда, че

ν(∆) = Bs,

където B не зависи от s. По такъв начин получаваме

At = Bs


(7)As

=Bt.

Да означим със σ общата стойност на двете отношенияAsи

Bt. Тъй като

лявата страна на (7) не зависи от t, а дясната не зависи от s, то σ не зависинито от t, нито от s. По такъв начин получаваме A = σs и следователно

ν(∆) = σst,

където σ не се мени, когато изменяме s и t. Засега се вижда, че σ е не-отрицателно число. Точната му стойност ние ще пресметнем по-късно (вж.§ 19).

Резултатът, който получихме, може да се обобщи. Нека G е правоъгъл-ник, определен от неравенствата

a ≤ x < b,

c ≤ y < d.

Не е трудно да се види, че еднаквостта

x′ = x − a, y′ = y − c


го преобразува в правоъгълник G′, определен от неравенствата

0 ≤ x′ < b − a,

0 ≤ y′ < d − c,

и следователноν(G) = ν(G′).

От друга страна, въз основа на това, което вече знаем, имаме

ν(G′) = σ(b − a)(d − c)

и по такъв начин намираме

ν(G) = σ(b − a)(d − c).

От получения резултат се вижда, че ако ∆1 и ∆2 са два съседни полузатво-рени правоъгълника, то

(8) ν(∆1 + ∆2) = ν(∆1) + ν(∆2).

И наистина нека ∆1 и ∆2 са съседни по x. Това значи, че те могат да сепредставят съответно с помощта на неравенства от вида

a ≤ x < p,

c ≤ y < d

и

p ≤ x < b,

c ≤ y < d,

където a < p < b, c < d. В такъв случай ∆1+∆2 е полузатворен правоъгълник,определен от неравенствата

a ≤ x < b,

c ≤ y < d

(нека читателят сам докаже това), и следователно съгласно доказаното щеимаме

ν(∆1 + ∆2) = σ(b − a)(d − c).

Остава да вземем под внимание, че

ν(∆1) = σ(p − a)(d − c),

§ 19. Измерими множества 177

ν(∆2) = σ(b − p)(d − c),

за да получим (8). Случаят, когато ∆1 и ∆2 са съседни по y, се разглежда посъщия начин.

От доказаното се вижда, че ν(∆) и −ν(∆) са полуадитивни функции наполузатворения правоъгълник ∆. Полуадитивността на ν(∆) е тривиална. Тяследва от неравенството, което ние установихме в точка 3 на § 17. От тованеравенство следва по-общо полуадитивността на функцията ν(∆G), къдетоG е фиксирано множество. Напротив, полуадитивността на −ν(∆) е нова занас. Ние ще използуваме този резултат.

§ 19. Измерими множества

Едно множество A се нарича измеримо в смисъл на Пеано—Жордан, акото е ограничено и горната мярка на контура му е нула.

Ако A и B са измерими множества, то множествата A + B, AB и A − B сасъщо измерими, защото са ограничени и както знаем (вж. § 13),

K(A + B) ⊂ K(A) + K(B),

K(AB) ⊂ K(A) + K(B),

K(A − B) ⊂ K(A) + K(B).

За да имаме примери на измерими множества, достатъчно е да забеле-жим, че горната мярка на всяка праволинейна отсечка L е нула. И наистинанека a е нейната дължина. Да разделим отсечката на n равни части и да пос-троим около всяка точка на деление отворен кръг с радиус

an. По този начин

получаваме n + 1 кръга, чиято сума покрива L. В такъв случай

ν(L) ≤ (n + 1)a2

n2 ,

откъдето получаваме, като оставим n да расте неограничено, ν(L) = 0.От доказаното заключаваме, че всяко ограничено множество, чийто кон-

тур е съставен от краен брой праволинейни отсечки, е измеримо, защото,както това се вижда от неравенството, което ние установихме в точка 3 на§ 17, сума от краен брой множества, чиято горна мярка е нула, е множество,чиято горна мярка е също нула.

За да имаме още по-общ пример на измерими множества, ще забележим,че графиката на всяка функция f (x), която е дефинирана и непрекъсната ведин краен и затворен интервал [a, b], представлява също тъй едно множес-тво, чиято горна мярка е нула. И наистина да изберем едно положително


число ε и да разделим интервала [a, b] на подинтервали с помощта на точ-ките

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

по такъв начин, че осцилацията на f (x) във всеки един от тези подинтервалида бъде по-малка от ε. Да означим с Mi и mi съответно точната горна и точ-ната долна граница на f (x) в подинтервала [xi−1, xi]. Нека f (x) е графикатана Γ и нека ∆i е правоъгълникът, определен от неравенствата

xi−1 ≤ x ≤ xi,

mi ≤ y < Mi + ε.

Да означим най-сетне с P множеството, съставено от единствената точка(b, f (b)). В такъв случай

Γ − P ⊂n∑

i=1

∆i

и следователно1

ν(Γ − P) ≤n∑

i=1

ν(∆i) =

n∑i−1

σ(Mi + ε − mi)(xi − xi−1) ≤n∑

i−1

2σε(xi − xi−1)

= 2σε(b − a),

откъдето получаваме ν(Γ − P) = 0. Като вземем под внимание още, че ν(P) =

0, получаваме ν(Γ) = 0, както това се вижда от неравенството

ν(Γ) ≤ ν(Γ − P) + ν(P).

С оглед на това, което ще следва по-късно, ще отбележим, че е измеримовсяко множество G, което се дефинира от неравенства от вида2

(1)a ≤ x ≤ b,

f (x) ≤ y ≤ g(x),

където f (x) и g(x) са непрекъснати функции в компактния интервал a ≤ x ≤ bи удовлетворяват неравенството f (x) ≤ g(x). И наистина, ако за някоя точка(x0, y0) имаме строги неравенства

a < x0 < b, f (x0) < y0 < g(x0),

1Относно дефиницията на σ вж. § 18.2Това значи, че една точка с координати (x, y) се причислява към G тогава и само тогава,

когато са изпълнено неравенствата (1).


то около точката (x0, y0) може да се избере достатъчно малка околност Uпо такъв начин, че за всяка точка (x, y) от U да са изпълнени неравенства-та (1) (нека читателят сам докаже това), и следователно такава точка (x0, y0)е вътрешна за G. По такъв начин, ако една точка (x, y) от G е контурна, в ус-ловията (1) трябва да имаме равенство поне на едно място, т. е. такава точкатрябва да принадлежи поне на едно от четирите множества, определени вусловията

x = a, f (a) ≤ y ≤ g(a),

x = b, f (b) ≤ y ≤ g(b),

a ≤ x ≤ b, y = f (x),

a ≤ x ≤ b, y = g(x).

От изложеното се вижда, че контурът на G се съдържа в сумата от тезичетири множества. Горната мярка обаче на всяко едно от тези множествае нула, защото първите две от тях са праволинейни отсечки, а третото ичетвъртото са графики на непрекъснати функции, чийто аргумент се мени вкомпактен интервал. От това се вижда, че горната мярка на контура на G енула. Остава да вземем под внимание, че множеството G е ограничено (не-що, което читателят сам може лесно да докаже, като вземе под внимание, чефункциите f (x) и g(x) са непрекъснати в компактен интервал и следователноограничени), за да можем да твърдим, че то е измеримо.

В бъдеще често ще срещаме множества, дефинирани с неравенства отвида (1). Ние ще ги наричаме криволинейни трапеци, чиито основи са пер-пендикулярни на оста x.

След тези предварителни бележки преминаваме към главните въпроси,които имаме да разгледаме в този параграф.

Лема 1. Нека A, B, C са измерими множества, сечението на всеки двеот които е празно, и нека сумата A + B + C е един полузатворен квадратD. В такъв случай

(2) ν(A) + ν(B) + ν(C) = ν(D).

Доказателство. Засега е ясно съгласно § 17, че

ν(D) ≤ ν(A) + ν(B) + ν(C).

За да установим равенството (2), избираме положително число ε и покри-ваме сумата от контурите на A, B и C със система от краен брой отвореникръгове

C1,C2, . . . ,Cn


по такъв начин, че сумата от квадратите на техните радиуси r1, r2, . . . , rn дабъде по-малка от ε.

Ще означим с ϕ(x, y) характеристичната функция на полузатворения пра-воъгълник ∆, определен от неравенствата

p ≤ x < q,

r ≤ y < s,

и с ψk(x, y)— характеристичната функция на Ck.Да образуваме спомагателната функция

(3) θ(∆) = ν(∆A) + ν(∆B) + ν(∆C) − ν(∆) − λ(∆),

където1

λ(∆) = 3σn∑

i=1

∫ b

a

[ ∫ d

cϕ(x, y)ψk(x, y) dy

]dx.

Ние ще изберем правоъгълника, определен от неравенствата

(4)a ≤ x ≤ b,

c ≤ y ≤ d,

по такъв начин, че да съдържа във вътрешността си всеки един от кръговетеC1,C2, . . . ,Cn.

Функцията θ(∆) е очевидно полуадитивна (вж. § 16 и § 18). Ние щепокажем, че тя е неположителна около всяка точка на равнината (относнотерминологията вж. § 15). И наистина нека точката P е външна за всякоедно от множествата A, B и C. В такъв случай около P може да се избереоколност U, която няма общи точки с никое от множествата A, B и C. Втакъв случай, ако ∆ ⊂ U, то сеченията ∆A, ∆B и ∆C са празни, поради което

ν(∆A) = ν(∆B) = ν(∆C) = 0

и следователно θ(∆) ≤ 0, както това се вижда от (3).Остава да разгледаме случая, когато P не е външна поне за едно от

множествата A, B и C. Нека например P не е външна за A (случаите, когатоP не е външна за B или за C, се разглеждат по същия начин). В такъв случайP е или вътрешна, или контурна за A.

Да разгледаме случая, когато P е вътрешна за A. В такъв случай околоP може да се избере околност U, която се съдържа в A и следователно няма

1Относно дефиницията на σ вж. § 18.


общи точки нито с B, нито с C (тук ние използуваме обстоятелството, чесечението на всеки две от множествата A, B и C е празно). В такъв случай,ако ∆ ⊂ U, ще имаме ∆A = ∆, ∆B = ∅ и ∆C = ∅ и следователно θ(∆) ≤ 0,както това се вижда от (3).

Остана да разгледаме случая, когато P е контурна за A. Но в такъв случайтя ще лежи поне в един от кръговете C1,C2, . . . ,Cn. Нека Ck е такъв кръг,който съдържа P. Тъй като кръгът Ck е отворен, ние можем да изберемоколност U около P, която да лежи в Ck. В такъв случай, ако ∆ ⊂ U, щеимаме

ϕ(x, y)ψk(x, y) = ϕ(x, y)

и следователно1

λ(∆) ≥ 3σ∫ b

a

[ ∫ d

cϕ(x, y)ψk(x, y) dy

]dx = 3σ

∫ b

a

[ ∫ d

cϕ(x, y) dy

]dx = 3ν(∆).

По такъв начин ние и в този случай получаваме θ(∆) ≤ 0, както се виждаот (3).

И така полуадитивната функция θ(∆) е неположителна около всяка точкана равнината. Това ни дава възможност да приложим основната теорема наинтегралното смятане от § 15. По такъв начин ние можем да твърдим, чеθ(∆) ≤ 0 при всеки избор на полузатворения правоъгълник ∆. Специалнопри ∆ = D получаваме

(5) ν(A) + ν(B) + ν(C) − ν(D) − λ(D) ≤ 0.

От друга страна,ϕ(x, y)ψk(x, y) ≤ ψk(x, y)

и следователно съгласно § 16 имаме

λ(D) ≤ 3σn∑

k=1

∫ b

a

[ ∫ d

cψk(x, y) dy

]dx = 3σ

n∑k=1

πr2k < 3σπε,

защото правоъгълникът (4) съдържа кръговете C1,C2, . . . ,Cn. По такъв начинполучаваме от (5)

ν(A) + ν(B) + ν(C) ≤ ν(D) + 3σπε

или след граничния преход ε→ 0

ν(A) + ν(B) + ν(C) ≤ ν(D),1Вж. § 16 и § 18. Тук ние използуваме обстоятелството, че правоъгълникът (4) съдържа

Ck, а следователно и ∆.


което заедно сν(A) + ν(B) + ν(C) ≥ ν(D)

ни дава (2).Теорема 1. Ако A и B са измерими множества без обща точка, то

(6) ν(A + B) = ν(A) + ν(B).

Доказателство. Избираме полузатворен квадрат D, който да съдържакакто A, така и B. Това може да се направи, защото множествата A и B саограничени. Да положим

C = D − (A + B).

В такъв случайA + B + C = D.

Множеството C очевидно е измеримо и сечението на всеки две от множест-вата A, B и C е празно. По такъв начин съгласно лема 1 имаме

ν(A) + ν(B) + ν(C) = ν(D).

От друга страна, имаме очевидно

(A + B) + C + ∅ = D,

където ∅ е празното множество. В такъв случай пак съгласно лема 1 имаме

ν(A + B) + ν(C) + ν(∅) = ν(D)

и следователноν(A + B) = ν(A) + ν(B),

защото ν(∅) = 0.Забележка. Равенството (6) е получено при предположение, че AB = ∅.

Не е трудно обаче да се покаже валидността на по-общото равенство

ν(A + B) = ν(A) + ν(B) − ν(AB)

при единственото предположение, че множествата A и B са измерими безоглед на това, дали те имат общи точки или не. И наистина, като вземемпред вид лесно доказуемите равенства

A + B = A + AB,

AB + AB = B


и се възползуваме от обстоятелството, че както множествата A и AB, така имножествата AB и AB нямат общи точки помежду си, получаваме

ν(A + B) = ν(A) + ν(AB),

ν(AB) + ν(AB) = ν(B)


ν(A + B) = ν(A) + ν(B) − ν(AB).

Така полученият резултат ни учи, че равенството

ν(A + B) = ν(A) + ν(B)

е валидно1 и тогава, когато ν(AB) = 0, макар сечението AB да не е празно.Така например, ако множествата A и B нямат общи вътрешни точки, то се-чението им има мярка нула, защото множествата A и B (по предположение)са измерими и следователно контурите им имат мярка нула.

Теорема 2. Ако C е отворен кръг с радиус r, то

ν(C) = r2.

Доказателство. Покриваме C по произволен начин със система от отво-рени кръгове C1,C2, . . . ,Cn. Нека радиусите им са r1, r2, . . . , rn. Означаваме сϕ(x, y) характеристичната функция на C, а с ϕk(x, y) характеристичната фун-кция на Ck. В такъв случай

ϕ(x, y) ≤n∑

k=1

ϕk(x, y)


(7)∫ b

a

[ ∫ d

cϕ(x, y) dy

]dx ≤

n∑k=1

∫ b

a

[ ∫ d

cϕk(x, y) dy

]dx,

където a < b, c < d. Да изберем правоъгълника, определен от неравенствата

a ≤ x ≤ b,

c ≤ y ≤ d

1Нека припомним, че множествата A и B са измерими.


по такъв начин, че да съдържа всичките кръгове C,C1,C2, . . . ,Cn. В такъвслучай неравенството (7) съгласно § 16 ще приема вида

πr2 ≤

n∑k=1

πr2k

или

r2 ≤

n∑k=1

r2k .

И така ние виждаме, че числото r2 е една долна граница на всевъзмож-ните суми r2

1 + r22 + · · ·+ r2

n. Като вземем под внимание, че ν(C) е точната, т. е.най-голямата от такива долни граници, получаваме r2 ≤ ν(C). От друга стра-на, системата, съставена от единствения кръг C, покрива C и следователносъгласно дефиницията на ν(C) имаме ν(C) ≤ r2, т. е. окончателно

ν(C) = r2.

Лема 2. Нека A е измеримо множество и ϕ(x, y) е неговата характеристичнафункция. Ако правоъгълникът, определен от неравенствата

a ≤ x ≤ b,

c ≤ y ≤ d,

съдържа A, то1

(8) ν(A) = σ

∫ b

a

[ ∫ d

cϕ(x, y) dy

]dx = σ

∫ b

a

[ ∫ d

cϕ(x, y) dy

]dx.

Доказателство. Избираме едно положително число ε и покриваме контура наA със система от краен брой отворени кръгове

C1,C2, . . . ,Cn

по такъв начин, че сумата от квадратите на техните радиуси да бъде по-малка от ε.Нека ∆ е произволен полузатворен правоъгълник и ψ(x, y) е неговата характе-

ристична функция. Да разгледаме двете полуадитивни функции

Θ1(∆) = ν(∆A) − σ∫ b

a

[ ∫ d

cψ(x, y)ϕ(x, y) dy

]dx −

n∑k=1

ν(∆Ck)

и

Θ2(∆) = σ

∫ b

a

[ ∫ d

cψ(x, y)ϕ(x, y) dy

]dx − ν(∆A) −

n∑k=1

ν(∆Ck).

1Относно дефиницията на σ вж. § 18.


Полуадативността на тези функции следва от теорема 1 на този параграф и от§ 16.

Тези две функции са неположителни около всяка точка P на равнината (относносмисъла на тези думи вж. § 15). Читателят сам може да се убеди в това, като разгледаотделно случаите, когато точката P е външна, вътрешна и контурна за A. Това нидава право да заключим с помощта на основната теорема на интегралното смятанев равнината от § 15, че Θ1(∆) ≤ 0, Θ2(∆) ≤ 0 при всеки избор на полузатворенияправоъгълник ∆. По такъв начин, ако изберем ∆ така, че да съдържа A + C1 + C2 +

· · · + Cn, ще получим

ν(A) − σ∫ b

a

[ ∫ d

cϕ(x, y) dy

]dx −

n∑k=1

ν(Ck) ≤ 0,(9)

σ

∫ b

a

[ ∫ d

cϕ(x, y) dy

]dx − ν(A) −

n∑k=1

ν(Ck) ≤ 0.(10)

От друга страна, ако означим с rk радиуса на Ck, ще имаме ν(Ck) = r2k и следователно

n∑k=1

ν(Ck) −n∑

k=1

r2k < ε.

По такъв начин получаваме от неравенствата (9) и (10)

ν(A) ≤ σ∫ b

a

[ ∫ d

cϕ(x, y) dy

]dx + ε,

σ

∫ b

a

[ ∫ d

cϕ(x, y) dy

]dx − ε ≤ ν(A),

което след граничния преход ε→ 0 ни дава

σ

∫ b

a

[ ∫ d

cϕ(x, y) dy

]dx ≤ ν(A) ≤ σ

∫ b

a

[ ∫ d

cϕ(x, y) dy

]dx.

От друга страна, очевидно

σ

∫ b

a

[ ∫ d

cϕ(x, y) dy

]dx ≤ σ

∫ b

a

[ ∫ d

cϕ(x, y) dy

]dx

и така получаваме окончателно (8).

Теорема 3. Числото σ, което е дефинирано в § 18, има стойност1π.

Доказателство. Нека C е кръг с радиус r и нека ϕ(x, y) е неговата характерис-тична функция. В такъв случай съгласно лема 2 и съгласно § 16 имаме

ν(C) = σ

∫ b

a

[ ∫ d

cϕ(x, y) dy

]dx = σπr2,

стига правоъгълникът a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d да съдържа C. От друга страна, теорема 2ни учи, че ν(C) = r2, т. е. σπ = 1.


Дефиниция. Нека A е ограничено точково множество в равнината.Числото πν(A) ще наричаме горна Пеано—Жорданова мярка на A и ще гоозначаваме със символа µ(A). Специално, ако множеството A е измеримо,ние ще наричаме това число накратко мярка или лице.

От равенствотоµ(A) = πν(A)

се вижда, че е в сила следното.

1. Ако A е ограничено множество, то

µ(A) ≥ 0.

2. Нека A и B са две ограничени множества и A ⊂ B. В такъв случайµ(A) ≤ µ(B).

3. Ако A и B са две ограничени множества, то

µ(A + B) ≤ µ(A) + µ(B).

4. Нека A е ограничено множество и τ е подобие с модула a. Нека A′ еобраз на A при τ. В такъв случай

µ(A′) = a2µ(A).

Специално, ако τ е еднаквост, то µ(A′) = µ(A).

5. Ако A и B са две измерими множества, то

µ(A + B) + µ(AB) = µ(A) + µ(B).

Специално, ако µ(AB) = 0, то

µ(A + B) = µ(A) + µ(B).

6. Ако ∆ е квадрат със страна 1, то

µ(∆) = 1.

Читателят сам лесно ще докаже тези свойства. По-специално пресмята-нето на лицето на квадрата се извършва с помощта на формула (8).

§ 20. Преобразуване на измерими множества 187

§ 20. Преобразуване на измерими множества

Нека A и B са две непразни множества в равнината. Да изберем точкаP от A и точка Q от B. Дължината на отсечката PQ зависи от избора наточките P и Q. Точната долна граница на тези дължини ще наричаме разс-тояние между множествата A и B и ще го означаваме със символа d(A, B).По-специално, ако едното от множествата, например B, съдържа само ед-на точка S , вместо d(A, B) ще пишем често пъти d(A, S ) и ще го наричамеразстояние от точката S до множеството A. С аналогични означения ще сеползуваме и тогава, когато двете множества A и B съдържат само по еднаточка.

Лема 1. Нека R е отворено точково множество в равнината и нека Aе затворено и ограничено непразно подмножество на R. В такъв случайможе да се избере такова положително число δ, че всяка точка, чиеторазстояние до A е по-малко от δ, да се съдържа в R.

Доказателство. Да допуснем противното. Това значи, че не съществува

положително число δ с исканото свойство. По-специално, ако изберем δ =1n,

ще може да се намери точка Pn, която не принадлежи на R и за която имаме

d(A; Pn) <1n.

Това от своя страна означава, че съществува точка Qn от A, за която

d(Qn, Pn) <1n.

Да разгледаме редицатаQ1,Q2, . . . ,Qn, . . .

Членовете и принадлежат на ограниченото множество A и следователно ниеможем да изберем сходяща подредица

Qm1 ,Qm2 , . . . ,Qmn , . . .

m1 < m2 < · · · < mn < · · ·

Множеството A обаче е затворено, поради което границата Q0 на избранатаподредица принадлежи на A. От друга страна,

d(Q0, Pmn) ≤ d(Q0,Qmn) + d(Qmn , Pmn) ≤ d(Q0,Qmn) +1

mn

и следователно редицата

Pm1 , Pm2 , . . . , Pmn , . . .


клони към Q0.Точката Q0 обаче принадлежи на A и следователно принадлежи на R. Да

изберем околност на Q0, която се съдържа в R. Това може да се направи,защото множеството R е отворено и следователно Q0 е негова вътрешнаточка. Тази околност ще съдържа точките Pmn , когато n е достатъчно голямо,защото Pmn → Q0. Това обаче не е възможно, защото никоя от точките Pn

не принадлежи на R. По такъв начин ние достигнахме до противоречие, скоето доказателството е завършено.

Лема 2. Нека A е едно ограничено точково множество в равнината и δе едно неотрицателно число. Множеството B от точките P на равнината,за които е изпълнено условието

d(A, P) ≤ δ,

е ограничено и затвореноДоказателство. Ще покажем първо, че множеството B е ограничено.

Нека O е началото на координатната система. Избираме кръг с център в Oи радиус r, който съдържа всичките точки на A. Това може да се направи,защото множеството A е ограничено. Нека P е произволна точка от B. Товазначи, че

d(A, P) ≤ δ

и следователно може да се избере точка Q от A, за която

d(Q, P) < δ + 1.


d(O, P) ≤ d(O,Q) + d(Q, P) ≤ r + δ + 1,

с което е установено, че множеството B е ограничено.Ще покажем сега, че множеството B е затворено. Нека P0 е контурна

точка на B и нека Un е кръгова околност на P0 с радиус1n. В такъв случай в

Un ще има поне една точка Pn от B, т. е.

d(A, Pn) ≤ δ.

Числото d(A, Pn) е точната (т. е. най-голямата) долна граница на множес-твото M от числата d(Q, Pn), които получаваме, когато Q описва A. Числото

d(A, Pn) +1n


е по-голямо от d(A, Pn) и следователно не е долна граница на M. Това нидава възможност да твърдим, че има точка Qn от A, за която

d(Qn, Pn) < d(A, Pn) +1n≤ δ +

1n.

От друга страна

d(A, P0) ≤ d(Qn, P0) ≤ d(Qn, Pn) + d(Pn, P0) ≤ δ +1n

+1n,

т. е.

d(A, P0) ≤ δ +2n,

откъдето след граничния преход n→ ∞ получаваме

d(A, P0) ≤ δ,

което ни учи, че точката P0 принадлежи на B. От тези разсъждения се вижда,че множеството B съдържа всичките си контурни точки и следователно езатворено. С това доказателството е завършено.

Лема 3. Нека C е отворен кръг с радиус r и нека функциите f (u, v)и g(u, v) са дефинирани в C и притежават непрекъснати първи частнипроизводни. Нека освен това в C са изпълнени неравенствата

| f ′u(u, v)| ≤ M, | f ′v (u, v)| ≤ M,

|g′u(u, v)| ≤ M, |g′v(u, v)| ≤ M,

където M е константа. В такъв случай диаметърът на образа C′ на C притрансформацията

x = f (u, v),

y = g(u, v)

не надминава 4Mr√

2.Доказателство. Нека (x1, y1) и (x2, y2) са две точки от C′. Това значи, че

съществуват две точки (u1, v1) и (u2, v2) от C, за които имаме

x1 = f (u1, v1), x2 = f (u2, v2),

y1 = g(u1, v1), y2 = g(u2, v2).

Според теоремата за крайните нараствания имаме

x2 − x1 = f (u2, v2) − f (u1, v1) = (u2 − u1) f ′u(u′, v′) + (v2 − v1) f ′v (u′, v′),


y2 − y1 = g(u2, v2) − g(u1, v1) = (u2 − u1)g′u(u′′, v′′) + (v2 − v1)g′v(u′′, v′′),

където точките (u′, v′) и (u′′, v′′) са избрани по подходящ начин върху отсеч-ката [(u1, v1), (u2, v2)]. По такъв начин получаваме

|x2 − x1| ≤ M[|u2 − u1| + |v2 − v1| ≤ 4Mr,

|y2 − y1| ≤ M[|u2 − u1| + |v2 − v1| ≤ 4Mr

и следователно √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 ≤ 4Mr

√2.

Точките (x1, y1) и (x2, y2) обаче са избрани произволно в C′ и следователнодиаметърът на C′ не надминава 4Mr

√2. С това доказателството е завършено.

Лема 4. Нека функциите f (u, v) и g(u, v) са дефинирани и притежаватнепрекъснати първи частни производни в някое отворено множество G вравнината. Ще покажем, че образът A′ на всяко затворено и ограниченоподмножество A на G с мярка нула при трансформацията

x = f (u, v),

y = x(u, v)

е също множество с мярка нула.Доказателство. Избираме положително число η по такъв начин, че точ-

ките, чието разстояние до A е по малко от η, да се намират в G. Това може дасе направи въз основа на лема 1, защото множеството G е отворено, а мно-жеството A е ограничено и затворено. След това означаваме с δ произволноположително число, строго по-малко от η, и разглеждаме множеството B отточките P на равнината, за които

d(A, P) ≤ δ.

Съгласно лема 2 това множество е ограничено и затворено. Освен това то сесъдържа изцяло в G, защото δ < η.

След направения избор на δ избираме положително число ε, по-малко

отδ2

4, и покриваме A със система от краен брой отворени кръгове

C1,C2, . . . ,Cn,

за които сумата от квадратите на радиусите е по-малка от ε. Това може дасе направи, защото A е множество с мярка нула. Очевидно ние можем дапредполагаме, че всеки един от кръговете C1,C2, . . . ,Cn има обща точка с A,


защото, ако това не е изпълнено, достатъчно е да премахнем онези кръгове,които нямат обща точка с A, за да получим нова система от покриващикръгове, за която сумата от квадратите на радиусите е още по-малка и коятопритежава исканото свойство. Тези кръгове се съдържат изцяло в B, защото

радиусите им са по-малки от√ε <

δ

2и следователно разстоянието от коя да

е точка от тях до A е по-малко от δ.Множеството B обаче е ограничено и затворено, а производните f ′u , f ′v ,

g′u, g′v са непрекъснати. Това ни дава възможност да твърдим, че тези произ-водни са ограничени. Да означим с M една обща горна граница на технитемодули в B. В такъв случай диаметърът на образа C′ν на Cv при разглеждана-та трансформация съгласно лема 3 няма да надминава 4Mrν

√2, където rν е

радиусът на Cν. Да построим отворен кръг Dν, чийто център е коя да е точкана C′ν и чийто радиус е 16Mrν. Този кръг съдържа всичките точки на C′ν.По такъв начин ние получаваме система от отворени кръгове D1,D2, . . . ,Dn,която покрива A′ и за която сумата от квадратите на радиусите е равна на

n∑ν=1

256M2r2ν

и следователно не надминава 256M2ε. Като вземем под внимание, че поло-жителното число ε е произволно, а M не зависи от ε, заключаваме, че A′ имамярка нула. С това доказателството е завършено.

Преминаваме към изследване на някои свойства на регулярните транс-формации.

Нека

(1)x = f (u, v),

y = g(u, v)

е регулярна трансформация на някое отворено точково множество G в рав-нината.

Лема 5. Ако трансформацията (1) е регулярна и множеството A еизмеримо и лежи в G заедно с контура си, то образът му е също тъйизмеримо множество.

Доказателство. И наистина контурът на всяко множество е затвореномножество. По такъв начин ние имаме в G ограничено и затворено множес-тво K(A), чиято мярка е нула. Въз основа на това, което доказахме, можем датвърдим, че мярката на образа му [K(A)]′ е нула. От друга страна, A лежи вG заедно с контура си и следователно контурът на образа A′ съвпада с мно-жеството [K(A)]′, т. е. има мярка нула. По такъв начин, за да се убедим, че


множеството A′ е измеримо, достатъчно е да покажем, че то е ограничено,нещо, което може да се види, като вземем под внимание, че множество-то A + K(A) е ограничено и затворено подмножество на G и следователнообразът му

[A + K(A)]′ = A′ + [K(A)]′

е ограничено (и затворено) множество. Това е достатъчно, за да можем датвърдим, че множеството A′ е също така ограничено. С това доказателствотое завършено.

Досега ние предполагахме, че трансформацията (1) е еднократно регу-лярна в G. От този момент ще предполагаме, че тя е двойно регулярна вG.

Ще докажем следната лема, която ще играе важна роля в по-нататъшни-те разсъждения.

Нека (u0, v0) е една точка от G и нека ∆ е един (отворен) квадрат съсстрани, успоредни на съответните координатни оси с център в точката(u0, v0), разположен заедно с контура си изцяло в G. Да означим с ∆′ образана ∆. Ние ще докажем следната лема: ако D е едно число, по голямо1 от 1,то всеки път, когато квадратът ∆ е достатъчно малък и вторите частнипроизводни остават ограничени, е изпълнено неравенството2

µ(∆′) ≤ D

∥∥∥∥∥ f ′u(u0, v0) f ′v (u0, v0)g′u(u0, v0) g′v(u0, v0)

∥∥∥∥∥ µ(∆).

Колко малък трябва да бъде квадратът ∆, зависи от трансформаци-ята (1) и от избора на числото D, обаче не зависи от положението наточката (u0, v0), стига квадратът ∆ да остава в едно фиксирано ограни-чено и затворено подмножество на G.

Доказателство. Нека

(2)u = F(x, y),

v = G(x, y)

1Тук се иска да имаме D > 1, т. е. равенството D = 1 се изключва.2Символът ∥∥∥∥∥ f ′u(u0, v0) f ′v (u0, v0)

g′u(u0, v0) g′v(u0, v0)

∥∥∥∥∥означава абсолютната стойност на детерминантата∣∣∣∣∣ f ′u(u0, v0) f ′v (u0, v0)

g′u(u0, v0) g′v(u0, v0)

∣∣∣∣∣ .


е трансформация, обратна на трансформацията (1). Полагаме за краткост

x0 = f (u0, v0), y0 = g(u0, v0),

a11 = f ′u(u0, v0), a12 = f ′v (u0, v0),

a21 = g′u(u0, v0), a22 = g′v(u0, v0),

A11 = F′x(x0, y0), A21 = F′y(x0, y0),

A12 = G′x(x0, y0), A22 = G′y(x0, y0).

В такъв случай, като вземем пред вид, че функциите (1) удовлетворяватуравненията (2), получаваме с помощта на теоремата за диференциране насъставни функции следните равенства:

(3)

a11A11 + a21A21 = 1,

a12A11 + a22A21 = 0,

a11A12 + a21A22 = 0,

a12A12 + a22A22 = 1.

Така например първото от тези равенства се получава, като диференцирамеспрямо u равенство

(4) u = F(x, y),

къдетоx = f (u, v), y = g(u, v).

Второто от равенствата (3) се получава, като диференцираме равенството (4)спрямо v и пр.

Разглеждаме помощната линейна трансформация1

(5)x − x0 = [a11(u − u0) + a12(v − v0)]

√D,

y − y0 = [a21(u − u0) + a22(v − v0)]√

D.

Тази трансформация преобразува квадрата ∆ (както това читателят знае отаналитичната геометрия) в някой успоредник ∆′′.

1Касае се тук за една афинна трансформация. Читателят е изучавал свойствата на такиватрансформации в аналитичната геометрия. В случая разглежданата от нас трансформация нее изродена, защото ∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ f ′u(u0, v0) f ′v (u0, v0)g′u(u0, v0) g′v(u0, v0)

∣∣∣∣∣ , 0.


Ако решим системите (5) относно u − u0 и v − v0, ще получим1

u − u0 = [A11(x − x0) + A21(y − y0)]1√

D,

v − v0 = [A12(x − x0) + A22(y − y0)]1√

D.

Да означим с 2d страната на квадрата ∆. Една точка с координати (u, v)принадлежи на ∆ тогава и само тогава,когато са изпълнени неравенствата

|u − u0| < d, |v − v0| < d.

Оттук заключаваме, че една точка с координати (x, y) принадлежи2 на ∆′′

тогава и само тогава, когато

|A11(x − x0) + A21(y − y0)| < d√

D,

|A12(x − x0) + A22(y − y0)| < d√

D.

Ние ще докажем, че множеството ∆′ лежи изцяло в ∆′′, когато d е достатъчномалко. За тази цел е достатъчно да покажем, че всичките точки с координати

[ f (u, v), g(u, v)]

лежат в ∆′′, когато |u − u0| < d и |v − v0| < d. Ние ще направим това, катопокажем, че са изпълнени неравенствата

|A11[ f (u, v) − x0] + A21[g(u, v) − y0]| < d√

D,(6)

1Ако умножим двете страни на равенствата (5) съответно с A11 и A21, съберем ги и вземемпред вид зависимостите (3), ще получим

u − u0 = [A11(x − x0) + A21(y − y0)]1√

D;

аналогично се получава и равенството

v − v0 = [A12(x − x0) + A22(y − y0)]1√

D.

2Нека припомним, че една точка (x, y) принадлежи на ∆′′ тогава и само тогава, когатоточката (u, v), където

u − u0 = [A11(x − x0) + A21(y − y0)]1√

D,

v − v0 = [A12(x − x0) + A22(y − y0)]1√

D

принадлежи на ∆.


|A12[ f (u, v) − x0] + A22[g(u, v) − y0]| < d√

D.(7)

Формулата на Тейлор ни дава

f (u, v) = f (u0, v0) + f ′u(u0, v0)(u − u0) + f ′v (u0, v0)(v − v0)(8)

+12

[ f ′′uu(u′, v′)(u − u0)2 + 2 f ′′uv(u′, v′)(u − u0)(v − v0)

+ f ′′vv(u′, v′)(v − v0)2],

g(u, v) = g(u0, v0) + g′u(u0, v0)(u − u0) + g′v(u0, v0)(v − v0)(9)

+12

[g′′uu(u′′, v′′)(u − u0)2 + 2g′′uv(u′′, v′′)(u − u0)(v − v0)

+ g′′vv(u′′, v′′)(v − v0)2],

където (u′, v′) и (u′′, v′′) са точки, подходящо избрани върху отсечката[(u, v), (u0, v0)]. Равенствата (8) и (9) могат да се напишат по-кратко така:

f (u, v) = x0 + a11(u − u0) + a12(v − v0) +12

[∂

∂u(u − u0) +

∂

∂v(v − v0)

]2

f (u′, v′),

g(u, v) = y0 + a21(u − u0) + a22(v − v0) +12

[∂

∂u(u − u0) +

∂

∂v(v − v0)

]2

f (u′′, v′′).

Като заместим оттук f (u, v) и g(u, v) в (6) и (7) и вземем пред вид зависи-мостите (3), ще получим∣∣∣∣u − u0 +

A11

2

[∂

∂u(u − u0) +

∂

∂v(v − v0)

]2

f (u′, v′)(10)

+A21

2

[∂

∂u(u − u0) +

∂

∂v(v − v0)

]2

g(u′′, v′′)

∣∣∣∣∣ < a√

D,∣∣∣∣v − v0 +A12

2

[∂

∂u(u − u0) +

∂

∂v(v − v0)

]2

f (u′, v′)(11)

+A22

2

[∂

∂u(u − u0) +

∂

∂v(v − v0)

]2

g(u′′, v′′)

∣∣∣∣∣ < d√

D.

Да означим с K една горна граница на абсолютната стойност на производ-ните f ′′uu, f ′′uv, f ′′vv. В такъв случай получаваме∣∣∣∣∣u − u0 +

A11

2

[∂

∂u(u − u0) +

∂

∂v(v − v0)

]2

f (u′, v′)


+A21

2

[∂

∂u(u − u0) +

∂

∂v(v − v0)

]2

g(u′′, v′′)

∣∣∣∣∣≤ |u − u0| +

∣∣∣∣∣A11

2

[∂

∂u(u − u0) +

∂

∂v(v − v0)

]2

f (u′, v′)

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣A21

2

[∂

∂u(u − u0) +

∂

∂v(v − v0)

]2

g(u′′, v′′)

∣∣∣∣∣< d +

|A11| + |A21|

2· 4Kd2 = d + 2K[|A11| + |A21|]d2

и аналогично∣∣∣∣∣v − v0 +A12

2

[∂

∂u(u − u0) +

∂

∂v(v − v0)

]2

f (u′, v′)

+A22

2

[∂

∂u(u − u0) +

∂

∂v(v − v0)

]2

g(u′′, v′′)

∣∣∣∣∣ < d + 2K[|A12| + |A22|]d2.

Оттук заключаваме, че неравенствата (10) и (11) сигурно ще бъдат изпълне-ни, ако

1 + 2K[|A11| + |A21|]d <√

D,

1 + 2K[|A12| + |A22|]d <√

D.

Последните неравенства обаче наистина са изпълнени, ако d е достатъчномалко, защото D > 1.

По този начин ние доказахме, че при всички достатъчно малки стойнос-ти на d имаме

∆′ ⊂ ∆′′


(12) µ(∆′) ≤ µ(∆′′).

Читателят знае от аналитичната геометрия, че лицето на триъгълника с вър-хове (ξ1, η1), (ξ2, η2), (ξ3, η3) е равно на абсолютната стойност на детерми-нантата

12

∣∣∣∣∣∣∣ξ1 η1 1ξ2 η1 1ξ3 η3 1

∣∣∣∣∣∣∣ ,


която може да се преобразува още по следния начин:

12

∣∣∣∣∣∣∣ξ1 η1 1ξ2 η2 1ξ3 η3 1

∣∣∣∣∣∣∣ =12

∣∣∣∣∣∣∣ξ1 − ξ3 η1 − η3 0ξ2 − ξ3 η2 − η3 0ξ3 η3 1

∣∣∣∣∣∣∣ =12

∣∣∣∣∣ξ1 − ξ3 η1 − η3

ξ2 − ξ3 η2 − η3

∣∣∣∣∣ .Ние можем да използуваме това, за да пресметнем лицето на успоредника∆′′, върховете1 на който имат следните координати:

(a11d√

D − a12d√

D, a21d√

D − a22d√

D, );(13)

(−a11d√

D + a12d√

D,−a21d√

D + a22d√

D, );(14)

(−a11d√

D − a12d√

D,−a21d√

D − a22d√

D, );(15)

(a11d√

D + a12d√

D, a21d√

D − a22d√

D).(16)

Оттук заключаваме, че лицето2 на успоредника ∆′′ има стойност∥∥∥∥∥2a11d√

D 2a21d√

D2a12d

√D 2a22d

√D

∥∥∥∥∥ = 4d2D

∥∥∥∥∥a11 a12

a21 a22

∥∥∥∥∥ = D

∥∥∥∥∥a11 a12

a21 a22

∥∥∥∥∥ µ(∆).

Този резултат ни дава възможност да представим неравенството (12) въввида

µ(∆′) ≤ D

∥∥∥∥∥a11 a12

a21 a22

∥∥∥∥∥ µ(∆),

с което интересуващата ни лема е установена.Ние ще използуваме доказаната лема, за да изведем следната теорема,

която ще ни бъде необходима по-късно:Ако (1) е една двойно регулярна трансформация, чиято функционална

детерминанта удовлетворява неравенствата

m ≤∣∣∣∣D(x, y)D(u, v)

∣∣∣∣ ≤ M

1Тези върхове са образи съответно на точките

(u0 + d, v0 − d), (u0 − d, v0 + d), (u0 − d, v0 − d), (u0 + d, v0 + d)

при трансформацията

x − x0 = [a11(u − u0) + a12(v − v0)]√

D,

y − y0 = [a21(u − u0) + a22(v − v0)]√

D.

2Това лице е два пъти по-голямо от лицето на триъгълника, който е образуван напримерот точките (13), (14) и (15).


във всички точки на едно измеримо множество A, което лежи в G заедно сконтура си1, то са изпълнени неравенствата2

(17) mµ(A) ≤ µ(A′) ≤ Mµ(A).

Доказателство. Достатъчно е да покажем валидността само на неравен-ството

µ(A′) ≤ Mµ(A),

защото оттук ще следва вече валидността и на неравенството

mµ(A) ≤ µ(A′).

За да се убедим в това, разглеждаме обратната трансформация

u = F(x, y),

v = G(x, y)

на трансформацията (1). В такъв случай от лесно проверимото тъждество3

D(x, y)D(u, v)

·D(u, v)D(x, y)

= 1

получаваме ∣∣∣∣D(u, v)D(x, y)

∣∣∣∣ ≤ 1m


µ(A) ≤1mµ(A′)

илиmµ(A) ≤ µ(A′).

И така въпросът се свежда към доказателство на неравенството

µ(A′) ≤ Mµ(A).

1Както казахме в началото на този параграф, с G е означено отвореното множество, вкоето са дефинирани функциите f (u, v) и g(u, v).

2Както винаги досега, в този параграф ние означаваме с A′ образа на A. С µ(A) и µ(A′)са означени съответните лица.

3Това тъждество може да се докаже така:

D(x, y)D(u, v)

·D(u, v)D(x, y)

=

∣∣∣∣∣ ∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣∣∣∣∣ .∣∣∣∣∣ ∂u∂x

∂u∂y

∂v∂x

∂v∂y

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ ∂x∂u

∂u∂x + ∂x

∂v∂v∂x

∂x∂u

∂u∂y + ∂x

∂v∂v∂y

∂y∂u

∂u∂x +

∂y∂v

∂v∂y

∂y∂u

∂u∂y +

∂y∂v

∂v∂y

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣1 00 1

∣∣∣∣∣ = 1.


Ние ще извършим това доказателство от противното. Да допуснем, че имаме

µ(A′) > Mµ(A).

Избираме едно число D > 1 толкова близо до 1, че да имаме все още

µ(A′) > DMµ(A).

Покриваме контура на A′ със сума R′ от краен брой отворени квадрати, коитолежат заедно с контура си в G′ по такъв начин, че да имаме

(18) µ(R′) + MDµ(A) < µ(A′).

Това може да се направи, защото множеството A′ е измеримо и следователноконтурът му има мярка нула.1

1Тук ние искаме всеки от покриващите квадрати да лежи в G′ заедно с контура си. Товасигурно ще бъде изпълнено, ако покриващите квадрати са достатъчно малки и всеки един оттях съдържа поне една контурна точка на A′, защото множеството G′ е отворено и съдържаконтура на A′. И наистина, ако допуснем противното, ще можем да изберем една редица отквадрати

C1,C2,C3, . . . ,

размерите на които клонят към нула, като при това всеки един от тези квадрати съдържа понеедна точка от контура на A′ и поне една точка, която не принадлежи на G′. Тази редица отквадрати ни дава възможност да дефинираме точка, която е контурна за A′ и не е вътрешназа G′. По този начин ние достигаме до исканото противоречие.Накрая нека отбележим, че действително можем да покрием контура на A′ със система от

краен брой квадрати по такъв начин, че размерите на всеки един от покриващите квадрати дане надминава едно отнапред избрано положително число δ. За целта е достатъчно да изберемедна каква да е система от покриващи квадрати B1, B2, . . . , Bp, да разделим всеки един от тях

на квадратчета със страни, по-малки отδ

2и да изхвърлим онези от тях, които нямат общи

точки с контура на A′. Така получената система от квадратчета

D1,D2,D3, . . . ,Dn

покрива целия контур на A′, но може да се случи евентуално някоя от контурните точки наA′ да не бъде вътрешна за някой от покриващите квадрати. За да имаме система от отворениквадрати, страните на които са по-малки от δ, която също тъй покрива контура на A′, заменя-ме всеки един от покриващите квадрати Dν с отворен квадрат Rν, центърът на който съвпадас центъра на Dν, а страните на който са успоредни на съответните страни на Dν и два пътипо-големи от тях. При това можем да си осигурим сумата от лицата на квадратите Rν дабъде произволно малка. И наистина, ако ε едно какво да е положително число, то избирайкиквадратите B1, B2, . . . , Bp така, че да имаме

p∑ν=1

µ(Bν) <ε

4,


Покриваме съвкупността A с квадрата ∆, страните на който са успореднина съответните координатни оси, като към този квадрат причисляваме самоонези контурни точки, които лежат върху най-долната му страна без деснияи край и най-лявата му страна без горния и край. Делим квадрата ∆ начетири равни части S 1, S 2, S 3, S 4 посредством средните линии, към коитосъщо тъй причисляваме само онези контурни точки, които лежат само върхунай-долните им страни без десните им краища и най-левите им страни безгорните им краища. По този начин ние си осигуряваме, че никои две отчетвъртинките S 1, S 2, S 3, S 4 нямат общи точки, но сумата им представляваквадрата ∆. Из между тези четвъртинки има поне една, да я означим с ∆1, закоято е валидно неравенството

µ[(R∆1)′] + MDµ(A∆1) < µ[(A∆1)′],

където R е множеството, което се изобразява върху R′ при трансформация-та (1). И наистина, ако допуснем противното, получаваме

µ[(RS 1)′] + MDµ(AS 1) ≥ µ[(AS 1)′],

µ[(RS 2)′] + MDµ(AS 2) ≥ µ[(AS 2)′],

µ[(RS 3)′] + MDµ(AS 3) ≥ µ[(AS 3)′],

µ[(RS 4)′] + MDµ(AS 4) ≥ µ[(AS 4)′]

и като съберем тези неравенства, намираме

µ(R′) + MDµ(A) ≥ µ(A′),

което противоречи на неравенството (18). Повтаряйки тези разсъждения, по-лучаваме безкрайна редица от квадрати

∆1 ⊃ ∆2 ⊃ ∆3 · · · ,

страните на които клонят към нула и за които са изпълнени неравенствата

(19) µ[(R∆n)′] + MDµ(A∆n) < µ[(A∆n)′].

получавамеn∑ν=1

µ(Dν) <ε

4,

и следователноn∑ν=1

µ(Rν) < ε.


Както знаем, има една точка P, която лежи във вътрешността или по кон-тура на всеки един от тези квадрати. Точката P не може да бъде външназа A, защото в противен случай сечението A∆n би било празно при всичкидостатъчно големи стойности на n и неравенството (19) би приело вида

µ[(R∆n)′] < 0,

което е абсурд. От друга страна, точката P не може да бъде контурна за A,защото в противен случай тя би била вътрешна1 за R и сечението R∆n би середуцирало на ∆n при всички достатъчно големи стойности на n и в такъвслучай неравенството (19) би приело вида

µ(∆′n) + MDµ(A∆n) < µ[(A∆n)′],

което не е възможно, защото

(A∆n)′ ⊂ ∆′n

и следователноµ[(A∆n)′] ≤ µ(∆′n).

От направените дотук разсъждения заключаваме, че точката P е непре-менно вътрешна за A. В такъв случай при достатъчно големи стойности наn сечението A∆n се редуцира на ∆n и неравенството (19) приема вида

µ[(R∆n)′] + MDµ(∆n) < µ(∆′n),

откъдето следваMDµ(∆n) < µ(∆′n)

и толкова повече

(20) D

∥∥∥∥∥ f ′u(u0, v0) f ′v (u0, v0)g′u(u0, v0) g′v(u0, v0)

∥∥∥∥∥ µ(∆n) < µ(∆′n),

където (u0, v0) са координати на центъра на ∆n. Ние обаче знаем от лемата,която доказахме по-горе, че неравенството (20) е сигурно нарушено, когаторазмерите на квадрата ∆n са достатъчно малки, защото вторите частни про-изводни на f (u, v) и g(u, v) са ограничени поне в A + K(A). Така достигнахмедо исканото противоречие и завършихме доказателството на интересуващатани теорема.

1Това множество е съставено само от вътрешни точки (т. е. отворено), защото множест-вото R′ е съставено само от вътрешни точки.


§ 21. Полярни координати

Нека (x, y) са декартовите координати на една точка P. Числата ρ и θ,които са свързани с x и y посредством зависимостите1

(1)

x = ρ cos θ,

y = ρ sin θ,

ρ ≥ 0,

се наричат полярни координати на точката P. Геометричният смисъл на тези

Черт. 8

координати е прост: ρ представлява раз-стоянието на точката P до началото O накоординатната система, а θ е така наре-ченият полярен ъгъл, т. е. кой да е от ъг-лите, на който трябва да се завърти поло-жителната част на оста Ox, за да се слеес лъча OP (вж. черт. 8).

Не е трудно да се убедим по чистоаналитичен път (т. е. без помощта на гео-метрични съображения), че системата (1)

има наистина решение2 при всеки избор на (x, y), като при това ρ е опре-делено еднозначно, а полярният ъгъл θ е определен многозначно. Ние щезапочнем с въпроса за единственост. Като повдигнем в квадрат и съберемпочленно равенствата

x = ρ cos θ,

y = ρ sin θ,

получавамеx2 + y2 = ρ2,

а като вземем пред вид още условието ρ ≥ 0, намираме

ρ =√

x2 + y2.

1По-общо, ако ни са дадени две функции

x = f (u, v),

y = g(u, v),(2)

то числата (u, v), които са свързани с (x, y) посредством равенството (2), се наричат кри-волинейни координати на точката, чиито декартови координати са (x, y). Равенствата (2) сенаричат трансформачни формули, които свързват криволинейните координати (u, v) с декар-товите координати (x, y).

2Т. е. че всяка точка има полярни координати.

§ 21. Полярни координати 203

При x2 + y2 = 0 можем да дадем на θ очевидно съвсем произволна стойност.При x2 + y2 , 0 имаме

cos θ =x√

x2 + y2.

Като се възползуваме от този резултат и от условието y = ρ sin θ, ние щепокажем, че θ може да се представи във вида1

(3) θ = 2kπ + ε arccosx√

x2 + y2,

където k е едно цяло число, а ε = 1 при y ≥ 0 и ε = −1 при y < 0. И наистинане е трудно да се покаже, че има цяло число k (зависещо, разбира се, от θ),за което са изпълнени неравенствата

−π < θ − 2kπ ≤ π

или, което е същото,θ − π

2π≤ k <

π + θ

2π.

За да се убедим в това, означаваме с k най-малкото цяло число, за което

θ − π

2π≤ k.


k − 1 <θ − π

2πили

k <θ − π

2π+ 1 =

θ + π

2π.

Полагамеα = |θ − 2kπ|.


0 ≤ α ≤ π,

cosα = cos |θ − 2kπ| = cos(θ − 2kπ) = cos θ =x√

x2 + y2

и следователноα = arccos

x√x2 + y2

.

1При y = 0 това представяне не е еднозначно, защото в този случай ние бихме могли давземем и ε = −1.



|θ − 2kπ| = arccosx√

x2 + y2

или ощеθ − 2kπ = ε arccos

x√x2 + y2

,

където ε = ±1, и най-сетне

θ = 2kπ + ε arccosx√

x2 + y2.

Като вземе пред вид уравнението y = ρ sin θ, намираме

y = ερ sin

(arccos

x√x2 + y2

)= ερ

√√√√1 −

[cos

(arccos

x√x2 + y2

)]2

= ερ

√1 −

x2

x2 + y2 = ε|y|.

Оттук заключаваме, че ε = 1, когато y > 0, и ε = −1, когато y < 0. При y = 0имаме или

arccosx√

x2 + y2= 0,

илиarccos

x√x2 + y2

= π

в зависимост от знака на x. От това заключаваме, че при y = 0 можем даизберем както ε = 1, така и ε = −1.

Сега вече не е трудно да се покаже, че всяка точка има полярни коорди-нати. И наистина при x2 + y2 , 0 числата

(4)ρ =

√x2 + y2,

θ = 2kπ + ε arccosx√

x2 + y2,

където k е произволно цяло число, ε = 1 при y ≥ 0 и ε = −1 при y < 0 садобре дефинирани, защото числото

x√x2 + y2

§ 21. Полярни координати 205

не надминава по абсолютна стойност единица и следователно принадлежина дефиниционната област на функцията arccos u. Със заместване се про-верява непосредствено, че числата (4) удовлетворяват системата (1). За даполучим едно решение при x2 + y2 = 0, избираме, както казахме по-горе,ρ = 0 и θ произволно.

Не е трудно да се покаже, че измежду полярните ъгли на една точка има(поне) един, който удовлетворява неравенствата

−π < θ ≤ π.

За да се убедим в това, достатъчно е в равенството (3) да изберем k = 0.Такъв полярен ъгъл има само един, когато x2 +y2 , 0, защото равенството (3)ни учи, че в този случай разликата на два полярни ъгъла на една и същаточка представлява целочислено кратно на 2π.

Аналогично може да се покаже, че при x2 + y2 , 0 има един и само единполярен ъгъл, който удовлетворява неравенствата

0 ≤ θ < 2π

и пр. Нека читателят сам си уясни геометричната страна на въпросите, коитоние разгледахме сега.

Задачи

1. Да се покаже, че една различна от началото точка (x, y) лежи върху кривата (Γ) суравнение

(5) (x2 + y2)2 = a(x2 − y2)

тогава и само тогава, когато полярните и координати удовлетворяват уравнението

(6) ρ2 = a cos 2θ.

Забележка. Уравнението (6) се нарича уравнение на кривата (Γ) в полярни координа-ти. Това уравнение се получава от уравнението (5), като заместим x и y с равните им оттрансформачните формули

x = ρ cos θ,

y = ρ sin θ.

2. Нека

x = x(t),

y = y(t)

са две диференцуеми функции на t с непрекъснати производни в интервала a ≤ t ≤ b,удовлетворяващи условието x2(t) + y2(t) , 0, и нека θ0 е (кой да е) полярен ъгъл на точката[x(a), y(a)]. Покажете, че двете функции

(7)θ(t) = θ0 +

∫ t

a

x(u)y′(u) − y(u)x′(u)x2(u) + y2(u)

du,

ρ(t) =√

x2(t) + y2(t)


удовлетворяват условията

(8)

x(t) = ρ(t) cos θ(t),

y(t) = ρ(t) sin θ(t),

θ(a) = θ0

и няма други диференцуеми функции, които да удовлетворяват тези условия в същия интер-вал.

Упътване. За да установите единствеността, покажете, че

x′ = ρ′ cos θ − ρ sin θθ′,

y′ = ρ′ sin θ + ρ cos θθ′


θ′ =xy′ − yx′

ρ2 ,

къдетоρ =

√x2 + y2.

За да покажете, че функциите (7) наистина удовлетворяват условията (8), образувайтепомощните функции

u = cos θ(t),

v = sin θ(t),(9)

ξ =x(t)√

x2(t) + y2(t),

η =y(t)√

x2(t) + y2(t)

(10)

и покажете, чеu′ = −vθ′,

v′ = uθ′,

ξ′ = −ηθ′,

η′ = ξθ′.

Използувайте този резултат, за да покажете, че двете функции

f (t) = uξ + vη,

g(t) = uη + vξ

са константи, като покажете, че f ′(t) = g′(t) = 0. За да пресметнете стойностите на тезиконстанти, положете t = a. Това ще ви даде

uξ + vη = 1,

uη − vξ = 0.

Като решите тази система относно u и v и вземете пред вид, че ξ2 + η2 = 1, ще получитеu = ξ, v = η, откъдето вече лесно се доказва с помощта на равенствата (7), (9), (10), че

x(t) = ρ(t) cos θ(t),

y(t) = ρ(t) sin θ(t),

θ(a) = θ0.

§ 22. Пресмятане на лица с помощта на определени интеграли 207

§ 22. Пресмятане на лица с помощта на определени интеграли

Нека функцията f (x) е дефинирана и непрекъсната в крайния и затворенинтервал [a, b] и приема само неотрицателни стойности в него. Ние ще сипоставим за задача да пресметнем лицето σ на частта G от равнината,1

която e заградена от графиката на функцията y = f (x) и от правите x = a,x = b, y = 0 (виж черт. 9). По-точно G е множеството на точките (x, y), коитоудовлетворяват неравенствата

a ≤ x ≤ b,

0 ≤ y ≤ f (x).

За да пресметнем лицето σ, делим интервала [a, b] на подинтервали спомощта на точките

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

и означаваме с Mν и mν съответно точната горна и точната долна граница на

1Нека читателят сам докаже, че множеството G е измеримо. За целта е достатъчно да сепокаже, че то е ограничено и контурът му има мярка нула. Това не е трудно да се направи.Така например, за да покажем, че графиката на функцията y = f (x) има мярка нула, бихмемогли да постъпим по следния начин: избираме едно положително число ε и делим интервала[a, b] на подинтервали с помощта на точките

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

по такъв начин, че осцилацията на f (x) във всеки един от тези подинтервали да бъде по-малка от ε; това, както знаем, може да се направи, защото функцията f (x) е непрекъсната вкрайния и затворен интервал [a, b]; означаваме с Mν и mν съответно точната горна и точнатадолна граница на функцията f (x) в подинтервала [xν−1, xν]; правоъгълниците

xν−1 ≤ x ≤ xν,

mν ≤ y ≤ Mν

очевидно покриват цялата графика Γ на функцията y = f (x) и следователно

(1) µ(Γ) ≤n∑ν=1

(Mν − mν)(xν − xν−1),

където µ(Γ) означава горната мярка на Пеано—Жордан на графиката Γ на функцията y = f (x).От неравенството (1) получаваме

µ(Γ) ≤n∑ν=1

ε(xν − xν−1) = ε(b − a).

Като вземем пред вид, че положителното число ε е произволно, а µ(Γ) е неотрицателно и независи от ε, получаваме µ(Γ) = 0.


Черт. 9

f (x) в подинтервала [xν−1, xν]. Да разгледаме съответната голяма и съответ-ната малка сума на Дарбу

S =

n∑ν=1

Mν(xν − xν−1),

s =

n∑ν=1

mν(xν − xν−1).


s ≤ σ ≤ S .

Неравенството

σ ≤ S

ни учи, че лицето σ е една долна граница на множеството от големите сумиS . Като вземем пред вид, че ∫ b

af (x) dx

е точната, т. е. най-голямата долна граница на тези суми, получаваме

σ ≤

∫ b

af (x) dx.


Аналогично намираме ∫ b

af (x) dx ≤ σ

или още ∫ b

af (x) dx ≤ σ ≤

∫ b

af (x) dx.

От друга страна, функцията f (x) е непрекъсната в затворения интервал [a, b]и следователно е интегруема в него, т. е.∫ b

af (x) dx =

∫ b

af (x) dx.

Това ни дава основание да заключим, че

σ =

∫ b

af (x) dx =

∫ b

af (x) dx

или още

σ =

∫ b

af (x) dx.

Пример. Да се намери лицето σ на елипсата

x2

a2 +y2

b2 = 1.

Ако означим с I лицето на половината от елипсата, която е разположена над оста x, имаме

σ = 2I


σ = 2∫ a

−ab

√1 −

x2

a2 dx.

Полагаме x = a cos t. Това ни дава

σ = 2ab∫ π

0sin2 t dt = 2ab

∫ π

0

1 − cos 2t2

dt = 2ab∣∣∣∣ t2−

sin 2t4

∣∣∣∣π0

= πab.

В някои случаи е по-удобно да се търсят лицата, като си служим с по-лярните координати. Така с помощта на интеграли ние можем да намеримлицето на сектор, дефиниран с неравенствата

α ≤ θ ≤ β,

ρ ≤ f (θ),



където ρ и θ са полярни координати, f (θ) е една непрекъсната и неотрица-телна функция в затворения интервал α ≤ θ ≤ β, дължината на който ненадминава 2π (вж. черт. 10).

Ще започнем с най-простия случай, когато имаме кръговия сектор

0 ≤ θ ≤ α,

ρ ≤ r,

където 0 < α <π

2(вж. черт. 11).

В декартови координати този сектор може да се дефинира с помощта нанеравенствата

0 ≤ x ≤ r,

0 ≤ y ≤ ϕ(x),

където1

ϕ(x) = x tgα

при 0 ≤ x ≤ r cosα иϕ(x) =

√r2 − x2

при r cosα ≤ x ≤ r. Това се вижда веднага геометрически2 (вж. черт. 11).Този резултат ни позволява да пресметнем лицето σ на разглеждания сектор

1Или другояче ϕ(x) е по-малкото от двете числа x tgα и√

r2 − x2.2Но може, разбира се, да се установи чисто аналитично например по следния начин: от


по следния начин:

σ =

∫ r

0ϕ(x) dx =

∫ r cosα

0ϕ(x) dx +

∫ r

r cosαϕ(x) dx

=

∫ r cosα

0x tgα dx +

∫ r

r cosα

√r2 − x2 dx =

r2 cosα sinα2

+

∫ r

r cosα

√r2 − x2 dx.

Полагайки x = r cos t, получаваме

σ =r2 cosα sinα

2+ r2

∫ α

0sin2 t dt =

r2 cosα sinα2

+r2

2

∫ α

0

1 − cos 2t2

dt =r2α

2.

неравенствата 0 ≤ θ ≤ α <π

2получаваме

y = ρ sin θ = x tg θ ≤ x tgα,

а от неравенството ρ ≤ r получаваме

y =√ρ2 − x2 ≤

√r2 − x2

и следователноy ≤ ϕ(x).

От друга страна, очевидно имаме x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ r, т. е.

(2)0 ≤ x ≤ r,

0 ≤ y ≤ ϕ(x).

Обратно, ако са ни дадени неравенствата (2), то

y ≤ x tgα,

y ≤√

r2 − x2,

откъдето намираме

(3)sin θ ≤ cos θ tgα,

ρ sin θ ≤√

r2 − ρ2 cos2 θ,

където можем да предполагаме, че 0 ≤ θ ≤ 2π. От друга страна, като вземем пред вид

неравенствата x ≥ 0, y ≥ 0, получаваме 0 ≤ θ ≤π

2. Този резултат и неравенствата (3) ни дават

tg θ ≤ tgα,

ρ2 sin2 θ ≤ r2 − ρ2cos2θ


θ ≤ α,

ρ ≤ r.


След всичко направено ние можем без труд да пресметнем и лицето Sна кръговия сектор

(4) α ≤ θ ≤ β,

стига да имаме β <π

2. И наистина

(5) S =r2β

2−

r2α

2=

r2

2(β − α).

При направения извод ние предполагахме, че секторът (4) е разположенв първия квадрант. Ние можем обаче да се освободим от това предположе-ние, като вземем пред вид, че от дефиницията, която дадохме на понятиетолице, се вижда, че всеки две сходни точкови множества имат една и същагорна мярка на Пеано—Жордан (и са едновременно измерими или едновре-менно неизмерими). По този начин ние виждаме, че формулата (5) е валиднаи тогава, когато секторът не е разположен в първия квадрант, обаче е налице

условието β − α <π

2. Най-сетне и това условие не е съществено, защото

какъвто и да бъде секторът (4), подчинен на единственото условие да имамеβ − α ≤ 2π, той може да бъде представен като сума от сектори, централнитеъгли на които са по-малки от

π

2. По този начин ние установихме общата

валидност на формулата (5).След тази подготовка ние можем да преминем към общата задача за

пресмятане на лицето σ на сектор, зададен в полярни координати с помощтана неравенствата

α ≤ θ ≤ β,

ρ ≤ f (θ),

където f (θ) е една непрекъсната и неотрицателна функция в затворения ин-тервал [α, β], дължината на който не надминава 2π (вж. черт. 10).

За тази цел делим интервала [α, β] на подинтервали с помощта на точ-ките

α = θ0 < θ1 < θ2 < · · · < θn = β

и означаваме с Rν и rν точната горна и точната долна граница на f (θ) вподинтервала [θν−1, θν]. Очевидно секторът

(6)θν−1 ≤ θ ≤ θν,

ρ ≤ f (θ)


лежи изцяло в сектора

(7)θν−1 ≤ θ ≤ θν,

ρ ≤ Rνи съдържа изцяло сектора

(8)θν−1 ≤ θ ≤ θν,

ρ ≤ rν

(вж. черт. 12).

Черт. 12

Да означим със σν лицето на сектора (6). В такъв случай, сравнявайкилицата на трите сектора (6), (7), (8), получаваме неравенствата

r2ν

2(θν − θν−1) ≤ σν ≤

R2ν

2(θν − θν−1)


(9)n∑ν=1

r2ν

2(θν − θν−1) ≤ σ ≤

n∑ν=1

R2ν

2(θν − θν−1).

От друга страна, не е трудно да се види, чеR2ν

2е точна горна, а

r2ν

2е

точна долна граница на функциятаf 2(θ)

2в подинтервала [θν−1, θν]. Неравен-

ствата (9) ни учат, че лицето σ е една долна граница на множеството на


големите суми на Дарбу за функциятаf 2(θ)

2. Като вземем пред вид, че

∫ β

α

f 2(θ)2

dθ

е точната, т. е. най-голямата долна граница на тези суми, получаваме

(10) σ ≤

∫ β

α

f 2(θ)2

dθ.

Аналогично намираме

(11)∫ β

α

f 2(θ)2

dθ ≤ σ.

От друга страна, функциятаf 2(θ)

2е непрекъсната и следователно е ин-

тегруема, т. е. ∫ β

α

f 2(θ)2

dθ =

∫ β

α

f 2(θ)2

dθ.

Това равенство и неравенствата (10) и (11) ни дават

σ =12

∫ β

αf 2(θ) dθ.

Пример 1. Да се намери лицето σ на кардиоидата

ρ = a(1 + cos θ), a > 0

(вж. черт. 13).Решение.

σ =12

∫ 2π

0ρ2 dθ =

a2

2

∫ 2π

0(1 + cos θ)2 dθ =

a2

2

∫ 2π

0(1 + 2 cos θ + cos2 θ) dθ

=a2

2

∣∣∣∣θ + 2 sin θ∣∣∣∣2π

0+

a2

2

∫ 2π

0

1 + cos 2θ2

dθ = a2π +a2

2

∣∣∣∣ θ2 +sin 2θ

4

∣∣∣∣2π0

= a2π +a2π

2=

3π2

a2.

Пример 2. Уравнението на Декартовия лист

x3 + y3 − 3axy = 0, a > 0

в полярна координатна система е

ρ =3α sin θ cos θsin3 θ + cos3 θ



и следователно лицето σ на сектора (вж. черт. 14)

0 ≤ θ ≤ α,

ρ ≤3a sin θ cos θ

sin3 θ + cos3 θ,

където 0 < α <π

2, ще бъде

σ =9a2

2

∫ α

0

sin2 θ cos2 θ

(sin3 θ + cos3 θ)2dθ =

9a2

2

∫ α

0

tg2 θ

(1 + tg3 θ)2 ·dθ

cos2 θ

=9a2

2

∫ α

0

tg2 θ d tg θ(1 + tg3 θ)2 =

3a2

2

∫ α

0

d tg3 θ

(1 + tg3 θ)2

=3a2

2

∫ α

0(1 + tg3 θ)−2 d(1 + tg3 θ) = −

3a2

2

∣∣∣∣ 11 + tg3 θ

∣∣∣∣α0

=3a2

2·

tg3 α

1 + tg3 α.

Специално при α =π

2получаваме, след като извършим граничен преход,

σ =3a2

2.

Задачи

1. Да се намери лицето на частта от равнината, заградена от параболата y2 = 2px, p > 0,и от правата y = ax, a > 0.

Отговор.23

p2

α3 .

2. Да се намери лицето на частта от равнината, заградена от параболата y2 = 2px, p > 0,

и кривата y2 =8(x − p)3

27p.

Отговор.8815

p2√

2.


3. Да се намери лицето на частта от равнината, заградена от астроидата

x23 + y

23 = a

23 , a > 0.

Отговор.38

a2π.

4. Да се пресметне лицето на частта от равнината, заградена от верижката

y =a2

(exa + e−

xa ), a > 0,

от абсцисната ос и от правите x = 0, x = p, където p > 0.

Отговор. a2 epa + e−

pa

2.

5. Да се пресметне лицето на частта от равнината, заградена от лемнискатата на Бернули(Bernoulli):

p2 = a2 cos 2θ.

Отговор. a2.6. Да се намери лицето на частта от равнината, заградена от кривата p = a sin 2θ, a > 0.

Отговор.a2π

4.

7. Да се намери лицето на частта от равнината, заградена от елипсата

x2

a2 +y2

b2 = 1

и от кривата(x2 + y2)2 − a2 x2 − b2y2 = 0, a > 0, b > 0.

Упътване. Въведете полярни координати.

Отговор.π

2(a − b)2.

8. Да се намери лицето на частта от равнината, заградена от един свод на циклоидата

x = a(t − sin t),

y = a(1 − cos t),

където 0 ≤ t ≤ 2π, и оста x.Отговор. 3πa2.

§ 23. Дефиниция на понятието дъга

Двойка функции

x = f (t),

y = g(t),(1)

които са дефинирани и непрекъснати в един и същ интервал α ≤ t ≤ β,се нарича дъга. Множеството от точките с координати [ f (t), g(t)], където tописва интервала α ≤ t ≤ β, се нарича графика на дъгата (1). Точката скоординати [ f (α), g(α)] се нарича начало на дъгата(1), а точката [ f (β), g(β)]се нарича неин край. Дъгата(1) се нарича гладка, ако функциите f (t) и g(t)са диференцуеми и производните им са непрекъснати в интервала α ≤ t ≤ β.

§ 23. Дефиниция на понятието дъга 217

Пример 1. Графиката на дъгата

x = x1 + t(x2 − x1),

y = y1 + t(y2 − y1),

0 ≤ t ≤ 1

е праволинейна отсечка, която съединява точките (x2, y2) и (x1, y1).


x = a + r cos t,

y = b + r sin t,

0 ≤ t ≤ π

е полуокръжност с център в точката (a, b) и радиус r.


x = t,

y = f (t),

a ≤ t ≤ b

съвпада с графиката на функцията f (x), където x се мени в интервала [a, b].

Пример 4. Възможно е две различни дъги да имат една и съща графика. Така дъгата

x = cos t,

y = sin t,

0 ≤ t ≤ 2π

и дъгата

x = cos t,

y = sin t,

0 ≤ t ≤ 4π

имат една и съща графика. Също тъй графиката на дъгата

x = cos t,

y = sin t,

0 ≤ t ≤π

2

съвпада с графиката на дъгата

x =1 − t2

1 + t2 ,

y =2t

1 + t2 ,

0 ≤ t ≤ 1.


§ 24. Дължина на дъга

Нека

x = f (t),

y = g(t),(1)

където α ≤ t ≤ β е една дъга Γ. Делим интервала [α, β] с помощта на точките

α = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = β.

На всяка една от делящите точки ti отговаря една точка Pi с координати

xi = f (ti),

yi = g(ti).

Съединявайки всеки две съседни точки от редицата

P0, P1, P2, . . . , Pn

с праволинейни отсечки, получаваме една начупена линия, за която ще каз-ваме, че е вписана в дъгата Γ. Дължината на разглежданата начупена линияе равна на

n∑i=1

√(xi − xi−1)2 + (yi − yi−1)2.

Ако се случи множеството от дължините на всичките вписани (в изясненияпо-горе смисъл) начупени линии да е ограничено отгоре, ние казваме, чедъгата Γ може да бъде ректифицирана (изправена). Под дължина на дъга,която може да бъде ректифицирана, ще разбираме точната горна граница надължините на вписаните в нея начупени линии. По този начин ние дефини-рахме понятието дължина само за ректифицируемите криви.

Нека (1) е една ректифицируема дъга и нека l е нейната дължина. Да из-берем един подинтервал [λ, µ] на интервала [α, β]. Дъгата, която се получаваот параметричните уравнения (1), когато t се мени в подинтервала [λ, µ], есъщо тъй ректифицируема. И наистина нека разделим подинтервала [λ, µ] наподинтервали с помощта на точките

λ = τ0 < τ1 < τ2 < · · · < τn = µ

и да означим с Pi точката [ f (τi), g(τi)]. Ако означим още с Q и R съответноточките [ f (α), g(α)], [ f (β), g(β)], то очевидно1

n∑i=1

Pi−1Pi ≤ QP0 +

n∑i=1

Pi−1Pi + PnR ≤ l,

1С AB означаваме дължината на отсечката между точките A и B.

§ 24. Дължина на дъга 219

което показва, че множеството от сумитеn∑

i=1Pi−1Pi е ограничено, т. е. че

разглежданата дъга е наистина ректифицируема.Да означим с lµλ дължината на дъгата

(2)x = f (t),

y = g(t),

където λ ≤ t ≤ µ. Не е трудно да се покаже, че при λ < ν < µ имаме

lνλ + lµν = lµλ.

И наистина да разделим по произволен начин подинтервала [λ, µ] на подин-тервали с помощта на точките

λ = t0 < t1 < · · · < tn = µ.

Винаги може да се избере измежду тези точки на деление такава точкаtk, че да имаме

tk−1 ≤ ν ≤ tk.

Да означим с Pi точката [ f (ti), g(ti)], а с Q точката [ f (ν), g(ν)]. Очевидноимаме1

n∑i=1

Pi−1Pi =

k−1∑i=1

Pi−1Pi + Pk−1Pk +

n∑i=k+1

Pi−1Pi.


Pk−1Pk ≤ Pk−1Q + QPk,


n∑i=1

Pi−1Pi ≤

(k−1∑i=1

Pi−1Pi + Pk−1Q

)+

(QPk +

n∑i=k+1

Pi−1Pi

)≤ lνλ + lµν .

С това ние показваме, че числото lνλ + lµν е една горна граница на дължинитена начупените линии, вписани в дъгата (2). Като вземем пред вид, че lµλ еточната, т. е. най-малката горна граница на тези дължини, получаваме

(3) lµλ ≤ lνλ + lµν .

1При k = 1 трябва да се четеk−1∑i=1

Pi−1Pi = 0, а при k = n трябва да се четеn∑

i=k+1Pi−1Pi = 0.


По подобен начин може да се установи неравенството

lµλ ≥ lνλ + lµν .

За тази цел ще разделим подинтервалите [λ, ν] и [ν, µ] по произволен начинна подинтервали с помощта на точките

λ = u0 < u1 < u2 < · · · < up = ν,(4)

ν = v0 < v1 < v2 < · · · < vp = µ(5)

и ще означим с Pi и Qi съответно точките [ f (ui), g(ui)] и [ f (vi), g(vi)]. В такъвслучай имаме

p∑i=1

Pi−1Pi +

q∑i=1

Qi−1Qi ≤ lµλ

и следователноp∑

i=1

Pi−1Pi ≤ lµλ −q∑

i=1

Qi−1Qi.

Като фиксираме точките (5) и оставим точките (4) да се менят, заключаваме,че числото

lµλ −q∑

i=1

Qi−1Qi

е една горна граница на сумитеp∑

i=1Pi−1Pi. Като вземем пред вид, че lνλ е

точната, т. е. най-малката от горните граници на тези суми, намираме

lνλ ≤ lµλ −q∑

i=1

Qi−1Qi

или още

(6)q∑

i=1

Qi−1Qi ≤ lµλ − lνλ.

Ние фиксирахме точките (5) произволно. Това обстоятелство и неравен-ството (6) ни позволяват да твърдим, че числото lµλ − lνλ е една горна границана сумите

q∑i=1

Qi−1Qi.

§ 25. Пресмятане дължините на дъгите с помощта на интеграли 221

Като вземем пред вид още, че lµν е точната, т. е. най-малката горна границана тези суми, получаваме

lµν ≤ lµλ − lνλ

или

(7) lµν + lνλ ≤ lµλ.

Неравенствата (3) и (7) ни учат, че

lνλ + lµν = lµλ.

§ 25. Пресмятане дължините на дъгите с помощта на интеграли

Нека

(1)x = f (t),

y = g(t),

където α ≤ t ≤ β е една дъга. Ако функциите f (t) и g(t) имат ограниченипърви производни в интервала α ≤ t ≤ β, то дъгата (1) е ректифицируема. Инаистина функцията

F(u, v) =√

f ′2(u) + g′2(v)

е ограничена в затворения квадрат

α ≤ u ≤ β,

α ≤ v ≤ β.

Да означим с M една нейна горна граница и да разделим по произволенначин интервала [α, β] на подинтервали с помощта на точките

α = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = β.

Теоремата за крайните нараствания ни дава

f (ti) − f (ti−1) = (ti − ti−1) f ′(τi),

g(ti) − g(ti−1) = (ti − ti−1)g′(τ∗i ),

къдетоti−1 < τi < ti, ti−1 < τ

∗i < ti



(2)n∑

i=1

√[ f (ti) − f (ti−1)]2 + [g(ti) − g(ti−1)]2

=

n∑i=1

√f ′2(τi) + g′2(τ∗i )(ti − ti−1) ≤

n∑i=1

M(ti − ti−1) = M(β − α).

С това ние показахме, че множеството от дължините на вписаните начупенилинии в дъгата (1) е ограничено, т. е. тази дъга е ректифицируема.

Неравенството (2) ни учи, че константата

M(β − α)

е една горна граница на дължините на начупените линии, които са вписанив дъгата (1). С това е доказано, че дъгата (1) е ректифицируема. Като вземемпред вид, че дължината l на разглежданата дъга е точната, т. е. най-малкатагорна граница на тези дължини, получаваме

(3) l ≤ M(β − α).

Ако означим с m една долна граница на F(u, v), получаваме аналогично

(4) m(β − α) ≤ l.

Неравенствата (3) и (4) могат да се използуват, за да се докаже следнататеорема.

Ако функциите f (t) и g(t) имат непрекъснати първи производни в ин-тервала α ≤ t ≤ β, то дължината l на дъгата

x = f (t),

y = g(t),

където α ≤ t ≤ β, се дава с формулата

(5) l =

∫ β

α

√f ′2(u) + g′2(u) du.

Доказателство. Да означим с l(t) дължината на дъгата

x = f (u),

y = g(u),


където α ≤ u ≤ t, и да изберем t0 произволно в интервала (α, β]. Нека ε еедно произволно положително число. Ние ще изберем числата t′ и t′′, коитоудовлетворяват неравенствата t′ ≤ t0 ≤ t′′, t′ , t′′, толкова близо до t0, че даимаме1

F(t0, t0) − ε ≤ F(u, v) ≤ F(t0, t0) + ε

приt′ ≤ u ≤ t′′, t′ ≤ v ≤ t′′.

Това може да се направи поради непрекъснатостта на функцията F(u, v).От доказаното по-горе имаме

[F(t0, t0) − ε](t′′ − t′) ≤ l(t′′) − l(t′) ≤ [F(t0, t0) + ε](t′′ − t′)

или

−ε ≤l(t′′) − l(t′)

t′′ − t′− F(t0, t0) ≤ ε.

Този резултат ни учи, че функцията l(t) е диференцуема в точката t0 и

(6) l′(t0) = F(t0, t0) =√

f ′2(t0) + g′2(t0),

т. е. функцията l(t) е една примитивна функция на непрекъснатата функция√f ′2(t) + g′2(t).

Това ни дава възможност да пишем

l(t) = C +

∫ t

α

√f ′2(u) + g′2(u) du,

където C е константа. За да пресметнем константата C, извършваме гранич-ния преход t → α. Като вземем предвид неравенствата 0 ≤ l(t) ≤ M(t−α), къ-дето M е една горна граница на функцията F(u, v), заключаваме, че lim

l→αl(t) =

0 и следователно C = 0. По този начин намираме

l(t) =

∫ t

α

√f ′2(u) + g′2(u) du


l = l(β) =

∫ β

α

√f ′2(u) + g′2(u) du.

1Нека припомним, че с F(u, v) ние сме означили функцията√f ′2(u) + g′2(v).


Забележка. Внимателният читател вероятно е забелязал, че от разсъжденията, коитоние направихме, може да се извлече повече, защото от тях се вижда, че функцията l(t) едиференцуема и равенството (6) е валидно във всяка точка, в която и двете производни f ′(t)и g′(t) са непрекъснати. Да допуснем, че тези производни са интегруеми в Риманов смисъл винтервала [α, β]. В такъв случай те ще бъдат непрекъснати почти навсякъде и следователноравенството (6) ще бъде валидно почти навсякъде. От друга страна, функциите

l(t) и∫ t

α

√f ′2(u) + g′2(u) du

удовлетворяват условието на Липшиц. Това ни дава възможност да приложим теоремата от§ 10 и да заключим, че

l(t) = C +

∫ t

α

√f ′2(u) + g′2(u) du,

където C не зависи от t.По такъв начин виждаме, че в разглежданата от нас теорема условието за непрекъсна-

тост на f ′(t) и g′(t) може да бъде заменено с по-общото условие за интегруемост в Римановсмисъл.

Ние често ще пишем формулата (5) във вида

l =

∫ β

α

√dx2 + dy2.

Изразът√

dx2 + dy2 обикновено се означава със знака ds и се нарича еле-мент на дъга.

В специалния случай, когато имаме дъгата

y = f (x), α ≤ x ≤ β,

или по-точно дъгата

x = t,

y = f (t),

където α ≤ t ≤ β, формулата (5) добива вида

l =

∫ β

α

√1 + f ′2(u) du.

Накрая нека отбележим, че под дъга, зададена в полярни координати с урав-нение

ρ = f (θ),


където α ≤ θ ≤ β, се разбира дъгата, дефинирана в декартови координатисъс следните уравнения1:

(7) x = f (θ) cos θ, y = f (θ) sin θ,

където α ≤ θ ≤ β.От (6) получаваме

dxdθ

= f ′(θ) cos θ − f (θ) sin θ,

dydθ

= f ′(θ) sin θ + f (θ) cos θ.

Това ни дава:√(dxdθ

)2

+

(dydθ

)2

=√

f ′2(θ) + f 2(θ) =√ρ′2 + ρ2

и следователно изразът за дължината l на дъгата (7) добива следния вид:

l =

∫ β

α

√ρ2 + ρ′2 dθ.

Пример 1. Да се намери дължината l на дъгата от циклоидата2

x = r(t − sin t), y = r(1 − cos t), r > 0,

където 0 ≤ t ≤ 2π (вж. черт. 15).

Черт. 15

1Ние получаваме тези уравнения от трансформачните формули

x = ρ cos θ, y = ρ sin θ,

като заместим ρ с f (θ).2Циклоида се нарича крива, описана от една точка, свързана с окръжност, която се тър-

каля без хлъзгане по една права.


Решение. Очевидно имаме

x′ = r(1 − cos t),

y′ = r sin t


ds =√

x′2 + y′2 dt =

√r2(1 − cos t)2 + r2 sin2 dt = r

√2(1 − cos t) dt = 2r sin

t2

dt.


l = 2r∫ 2π

0sin

t2

dt =

∣∣∣−4r cost2

∣∣∣2π0

= 8r.

Пример 2. Да се намери дължината на дъгата от параболата

x =t2

2p, y = t, p > 0,

където 0 ≤ t ≤ a.Решение. Очевидно имаме

x′ =tp,

y′ = 1

следователно

ds =1p

√t2 + p2 dt,

т. е.

l =1p

∫ a

0

√t2 + p2 dt.

Като интегрираме по части, ще получим

l =

∣∣∣∣ tp

√t2 + p2

∣∣∣∣a0−

1p

∫ a

0

t2√t2 + p2

dt =ap

√a2 + p2 −

1p

∫ a

0

t2 + p2 − p2√t2 + p2

dt

=ap

√a2 + p2 − l + p

∫ a

0

dt√t2 + p2

=ap

√a2 + p2 − l +

∣∣∣p ln(t +√

t2 + p2)∣∣∣a

0

=ap

√a2 + p2 − l + p ln(a +

√a2 + p2) − p ln p.

Оттук

2l =ap

√a2 + p2 + p ln

a +√

a2 + p2

pи следователно

l =a

2p

√a2 + p2 +

p2

lna +

√a2 + p2

p.

Пример 3. Да се намери дължината l на кардиоидата

ρ = a(1 + cos θ), a > 0,

където 0 ≤ θ ≤ 2π (черт. 13).Решение. Очевидно имаме

ρ′ = −a sin θ



ds =√ρ′2 + ρ2 dθ =

√a2 sin2 θ + a2(1 + cos θ)2 dθ

= a√

2(1 + cos θ) dθ = a

√4 cos2 θ

2dθ = 2a

∣∣∣∣cosθ

2

∣∣∣∣ dθ.


l = 2a∫ 2π

0

∣∣∣∣cosθ

2

∣∣∣∣ dθ = 2a∫ π

0

∣∣∣∣cosθ

2

∣∣∣∣ dθ + 2a∫ 2π

π

∣∣∣∣cosθ

2

∣∣∣∣ dθ

= 2a∫ π

0cos

θ

2dθ − 2a

∫ 2π

π

cosθ

2dθ =

∣∣∣∣4a sinθ

2

∣∣∣∣π0− 4a

∣∣∣∣sinθ

2

∣∣∣∣2ππ

= 8a.

Задачи

1. Да се намери дължината на астроидата

x23 + y

23 = a

23 , a > 0.

Отговор. 6a.2. Да се намери дължината на дъгата от семикубичната парабола ay2 = x3, a > 0, за

която 0 ≤ x ≤ p.Отговор.

(4a + 9p)32 − (4a)

32

27√

a.

3. Да се намери дължината на епициклоидата

x = (a + b) cos t + b cosa + b

bt,

y = (a + b) sin t + b sina + b

bt,

където a > 0, b > 0, 2a < b, 0 ≤ t ≤ 2π.

Отговор.8b(a + b)

a.

4. Да се намери дължината на кривата

x25 + y

25 = a

25 , a > 0.

Отговор. 5a[

1 +1

2√

3ln(2 +

√3)].

5. Да се намери дължината на дъгата от Архимедовата спирала

ρ = aθ, a > 0,

където 0 ≤ θ ≤ α.Отговор.

a2

[ln(α +

√1 + α2) + α

√1 + α2

].

6. Да се намери дължината на дъгата от логаритмичната спирала

ρ = eaθ, a > 0,

където θ1 ≤ θ ≤ θ2.

Отговор.eaθ2 − eaθ1

a

√1 + a2.


7. Да се намери дължината на дъгата

ρ =1

cos3 θ

3

,

където −π ≤ θ ≤ π.Отговор. 12

√3.

8. Да се намери дължината на дъгата от трактрисата

y =√

a2 − x2 − a lna +√

a2 − x2

x,

където 0 < p ≤ x ≤ q ≤ a.Отговор. a ln

qp.

§ 26. Криволинейни интеграли

Нека Γ е дъга, дефинирана с уравненията

x = f (t),

y = g(t),

където α ≤ t ≤ β. Ние ще разделим интервала [α, β] на подинтервали спомощта на точките

α = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = β,

ще означим с τi едно число от i-тия подинтервал [ti−1, ti] и ще положим закраткост

xi = f (ti), yi = g(ti);

ξi = f (τi), ηi = g(τi).

Ако функцията F(x, y) е дефинирана и непрекъсната върху графикатана Γ, а функцията f (t) има непрекъсната производна в интервала [α, β], тосумите

S =

∞∑i=1

F(ξi, ηi)(xi − xi−1)

клонят към някаква граница I, когато дължините на подинтервалите [ti−1, ti]клонят към нула. Това значи, че при всеки избор на положителното число εможе да се намери положително число δ по такъв начин, че ако дължинитена всички подинтервали [ti−1, ti] са по-малки от δ, да имаме

|I − S | < ε.

§ 26. Криволинейни интеграли 229

За да се убедим, че сумите S наистина имат граници, когато дължините наподинтервалите [ti−1, ti] клонят към нула, преобразуваме разликата xi − xi−1с помощта на теоремата за крайните нараствания по следния начин:

xi − xi−1 = f (ti) − f (ti−1) = (ti − ti−) f ′(θi),

където θi е някое число, избрано по подходящ начин в интервала (ti−1, ti). Потози начин ние добиваме възможност да представим сумата S във вида

S =

∞∑i=1

F[ f (τi), g(τi)] f ′(θi)(ti − ti−1).

От друга страна, функцията F[ f (t), g(t)] е непрекъсната в интервала[α, β] и следователно сумите

S ∗ =

n∑i=1

F[ f (τi), g(τi)] f ′(τi)(ti − ti−1)

клонят към интеграла

I =

∫ β

αF[ f (t), g(t)] f ′(t) dt,

когато дължините на подинтервалите [ti−1, ti] клонят към нула. Това значи,че при всеки избор на положителното число ε имаме

|I − S ∗| < ε,

когато подинтервалите [ti−1, ti] са достатъчно малки.Да разгледаме разликата

S − S ∗ =

n∑i=1

F[ f (τi), g(τi)]( f ′(θi) − f ′(τi))(ti − ti−1)

и да означим с M една горна граница на непрекъснатата функция|F[ f (t), g(t)]|. Ако разглежданите подинтервали [ti−1, ti] са достатъчно мал-ки, то

| f ′(θi) − f ′(τi)| < ε,

защото f ′(t) е равномерно непрекъсната1 функция, и следователно

|S − S ∗| ≤n∑

i=1

Mε(ti − ti−1) = M(β − α)ε.

1Функцията f ′(t) е равномерно непрекъсната, защото е непрекъсната в затворения ин-тервал [α, β].


Оттук, като вземем пред вид неравенството

|S − I| ≤ |S − S ∗| + |S ∗ − I|,

получаваме|S − I| < ε[M(β − α) + 1].

С това ние показахме, че сумите S наистина имат граница, когато дъл-жините на подинтервалите [ti−1, ti] клонят към нула, и дори показахме

’че тя

има стойност

I =

∫ β

αF[ f (t), g(t)] f ′(t) dt.

Тази граница се означава със символа∫Γ

F(x, y) dx

и се нарича криволинеен интеграл на функцията F(x, y), разпространен вър-ху кривата Γ.

От изложението по-горе е ясно, че∫Γ

F(x, y) dx =

∫ β

αF[ f (t), g(t)] f ′(t) dt.

Този резултат може да се използува за пресмятане на криволинейните ин-теграли.

Аналогично може да се дефинира криволинейният интеграл∫Γ

F(x, y) dy

като граница на сумите

n∑i=1

F(ξi, ηi)(yi − yi−1),

когато дължините на подинтервалите [ti−1, ti] клонят към нула. Най-сетнепод ∫

Γ

[P(x, y) dx + Q(x, y) dy]

се разбира ∫Γ

P(x, y) dx +

∫Γ

Q(x, y) dy.

§ 27. Криволинеен интеграл от тотален диференциал 231

Пример 1. Да се пресметне криволинейният интеграл∫A

y dxx2 + y2 ,

разпространен върху дъгата A, дефинирана с параметричните уравнения

(1)x = r cos t,

y = r sin t, r > 0,

където 0 ≤ t ≤ π.Решение. Очевидно имаме

dx = −r sin t dt.

Според установеното по-горе правило за пресмятане на криволинейни интеграли имаме∫A

y dxx2 + y2 =

∫ π

0

r sin t(−r sin t) dt(r cos t)2 + (r sin t)2 = −

∫ π

0sin2 t dt = −

∫ π

0

1 − cos 2t2

dt = −π

2.

Пример 2. Да се пресметне криволинейният интеграл∫

B

y dxx2 + y2 , разпространен върху

кривата B, дефинирана с параметричните уравнения

(2)x = −r cos t,

y = r sin t, r > 0,

където 0 ≤ t ≤ π.(Обърнете внимание върху това, че уравненията (1) и (2) представляват дъга от една и

съща окръжност. По какво се различава разглежданият сега пример от предния?)Решение.∫

B

y dxx2 + y2 =

∫ π

0

r sin t d(−r cos t)r2 cos2 t + r2 sin2 t

=

∫ π

0sin2 t dt =

∫ π

0

1 − cos 2t2

dt =π

2.

§ 27. Криволинеен интеграл от тотален диференциал

Нека са дадени краен брой гладки дъги Γν

(1)

x = fν(t),

y = gν(t),

αν ≤ t ≤ βν,

всяка една от които има номер. Нека броят на дъгите е n. Ще казваме, чедъгите Γν образуват път, ако началото на всяка дъга Γν+1, където ν ≤ n − 1,съвпада с края на Γν, т. е.

fν+1(αν+1) = fν(βν),

gν+1(αν+1) = gν(βν),ν = 1, 2, . . . , n − 1.


Началото на Γ1 ще наричаме начало на пътя, а края на Γn ще наричамекрай на пътя. Ако началото и краят на пътя съвпадат, ще казваме, че той езатворен. Да означим с Γ пътя, определен от дъгите (1). Нека P(x, y) и Q(x, y)са две функции, които са дефинирани и непрекъснати върху графиката навсяка една от дъгите Γν. По дефиниция ще положим∫

Γ

P(x, y) dx + Q(x, y) dy =

n∑ν=1

∫Γν

P(x, y) dx + Q(x, y) dy.

Нека е едно отворено множество G в равнината е дефинирана една функцияF(x, y), която в G притежава непрекъснати първи частни производни. Некамножеството G съдържа графиките на всичките дъги Γν. Нека най-сетне(x0, y0) е началото, (x1, y1) е краят на пътя Γ, който е определен от дъгите Γν.В такъв случай

(2)∫

Γ

F′x dx + F′y dy = F(x1, y1) − F(x0, y0).

И наистина∫Γ

F′x dx + F′y dy =

n∑ν=1

∫Γν

F′x dx + F′y dy

=

n∑ν=1

∫ βν

αν

[F′x( fν(t), gν(t)) f ′ν (t) + F′y( fν(t), gν(t))g′ν(t)] dt

=

n∑ν=1

[F( fν(βν), gν(βν)) − F( fν(αν), gν(αν))]

= F(x1, y1) − F(x0, y0).

Специално, ако пътят Γ е затворен, равенството (2) приема вида∫Γ

F′x dx + F′y dy = 0.

Нека в едно отворено множество G са дадени две функции P(x, y) иQ(x, y). Ако съществува функция F(x, y) с непрекъснати частни производнидо втори ред, за която

∂F∂x

= P(x, y),∂F∂y

= Q(x, y)

§ 27. Криволинеен интеграл от тотален диференциал 233

в G, то функциите P(x, y) и Q(x, y) имат непрекъснати първи частни произ-водни и

∂P∂y

=∂2F∂x∂y

,∂Q∂x

=∂2F∂y∂x

,

а следователно

(3)∂P∂y

=∂Q∂x

.

Когато множеството G е звездообразно относно някоя негова точка(x0, y0), т. е. когато заедно с всяка своя точка (x, y) то съдържа и праволиней-ната отсечка, която съединява точките (x, y) и (x0, y0), обратното на горнототвърдение е също тъй вярно. Това значи, че ако в едно отворено множествоG, което е звездообразно относно някоя негова точка (x0, y0), са дефиниранидве функции P(x, y) и Q(x, y), които имат непрекъснати частни производниот първи ред и удовлетворяват условието

∂P∂y

=∂Q∂x

съществува функция F(x, y) в G, която притежава непрекъснати частни про-изводни от втори ред и удовлетворява условията

∂F∂x

= P(x, y),∂F∂y

= Q(x, y).

И наистина да положим1

F(x, y) = (x − x0)∫ 1

0P(x0 + t(x − x0), y0 + t(y − y0)) dt

+ (y − y0)∫ 1

0Q(x0 + t(x − x0), y0 + t(y − y0)) dt.

Ние можем да направим това, защото точката (x0 + t(x − x0), y0 + t(y − y0))описва отсечката, която съединява точките (x0, y0) и (x, y), когато t се менив интервала 0 ≤ t ≤ 1, и следователно не напуска G поради условието зазвездообразност.

1С други думи,

F(x, y) =

∫L

P(ξ, η) dξ + Q(ξ, η) dη,

където криволинейният интеграл е разпространен върху отсечката L с уравнения ξ = x0 +

t(x − x0), η = y0 + t(y − y0), 0 ≤ t ≤ 1.


Очевидно

∂F∂x

=

∫ 1

0P dt + (x − x0)

∫ 1

0tP′x dt + (y − y0)

∫ 1

0tQ′x dt.

Като интегрираме по части, получаваме∫ 1

0P dt = P(x, y) −

∫ 1

0

[tP′x . (x − x0) + tP′y . (y − y0)

]dt


∂F∂x

= P(x, y) + (y − y0)∫ 1

0t(Q′x − P′y) dt = P(x, y).

Аналогично намираме∂F∂y

= Q(x, y).

От изложеното се вижда, че ако в едно звездообразно множество G,съдържащо графиките на гладките дъги Γν, които съставят затворен път Γ,имаме две функции P(x, y) и Q(x, y) с непрекъснати първи частни производ-ни, удовлетворяващи условието

∂P∂y

=∂Q∂x

,

то ∫Γ

P dx + Q dy = 0.

Това е едно важно равенство, което има многобройни приложения.Предложението за звездообразност на G може да се замени с по-общо.

Достатъчно е да се иска множеството G да бъде просто свързано, т. е. дасъдържа всяко компактно множество, чийто контур принадлежи на G. Натова обобщение няма да се спираме, защото няма да го използуваме.

§ 28. Приблизително пресмятане на интеграли

При някои задачи от приложната математика и физика се налага да поз-наваме поне приблизително (с една или с друга точност) стойността на даденинтеграл. Обаче методите, които ние разгледахме, не ни дават на ръка сред-ство за точното пресмятане на всякакви интеграли. Ето защо става нуждада прибягваме до приблизителни методи. Ние ще изложим в този параграфняколко такива метода.

§ 28. Приблизително пресмятане на интеграли 235

Ние можем да пресметнем интеграла

I =

∫ b

af (x) dx

с всякаква точност, като изхождаме от дефиницията на понятието определенинтеграл. Така, ако функцията f (x) е непрекъсната в интервала [a, b], токаквото и да е положително число ε, ние можем да изберем точките

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

по такъв начин, че осцилацията на функцията f (x) да бъде по-малка1 от ε въввсеки един от подинтервалите [xi−1, xi]. Да означим с Mi и mi точната горнаи точната долна граница на f (x) в подинтервала [xi−1, xi] и да разгледамеголямата и малката сума на Дарбу:

S =

n∑i=1

Mi(xi − xi−1),

s =

n∑i=1

mi(xi − xi−1).

Ние знаем, че при a < bs ≤ I ≤ S .

От друга страна, като вземем пред вид неравенството Mi −mi < ε, полу-чаваме

S − s =

n∑i=1

(Mi − mi)(xi − xi−1) <n∑

i=1

ε(xi − xi−1) = ε(b − a).

Този резултат ни учи, че като вземем било S , било s за приблизителна стой-ност на интеграла I, ние можем да постигнем всяка желана точност.

Но съществуват други методи, които се оказват по-удобни за практи-чески цели. Така например, ако функцията f (x) е два пъти диференцуема и

1Това ние може да направим за всяка непрекъсната функция. Специално, ако функциятаf (x) удовлетворява условието на Липшиц

| f (x′) − f (x′′)| ≤ k|x′ − x′′|,

достатъчно е да вземем xi − xi−1 <ε

k, за да сме сигурни, че осцилацията на f (x) е по-малка

от ε във всеки един от подинтервалите [xi−1, xi].


има ограничена втора производна в интервала [a, b], то целесъобразно е заприблизителна стойност на I да се вземе сумата

σ =

n∑i=1

f (xi) + f (xi−1)2

(xi − xi−1),

като при това интервалът [a, b] се дели на равни части.1

Като имаме пред вид неравенствата

mi ≤f (xi) + f (xi−1)

2≤ Mi,

получавамеs ≤ σ ≤ S ,

откъдето е ясно, че сумите σ също както сумите s и S могат да се използуватза приблизително пресмятане на интеграла I.

По-прецизна оценка на грешката може да се направи така. Полагаме заудобство

xi−1 + xi

2= c,

xi − xi−1

2= h,

разглеждаме двете функции

ψ(t) =

∫ c+t

c−tf (x) dx − t

[f (c + t) + f (c − t)

],

ϕ(t) = ψ(t) −t3

h3ψ(h)

при 0 ≤ t ≤ h. Очевидно имаме

ϕ′(t) =

[∫ c+t

c−tf (x) dx

]′−[

f (c + t) + f (c − t)]− t[

f ′(c + t) − f ′(c − t)]−

3t2

h3 ψ(h).

Като вземем пред вид, че[∫ c+t

c−tf (x) dx

]′=

[∫ c

c−tf (x) dx +

∫ c+t

cf (x) dx

]′= f (c − t) + f (c + t),

1В този случай грешката намалява особено бързо с растенето на n. Както ще видим след

малко, тази грешка при най-неблагоприятни обстоятелства е от порядъка на1n2 .



ϕ′(t) = −t[

f ′(c + t) − f ′(c − t)]−

3t2

h3 ψ(h)

или прилагайки теоремата за крайните нараствания,

(1) ϕ′(t) = −2t2 f ′′(ξi) −3t2

h3 ψ(h),

където ξi е число между c − t и c + t и следователно между xi−1 и xi.От друга страна, имаме ϕ(0) = ϕ(h) = 0 и следователно има точка τ

във вътрешността на интервала (0, h), за която ϕ′(τ) = 0. Специално, ако вравенството (1) поставим t = τ, ще получим

ψ(h) = −2h3

3f ′′(ξi),

откъдето ∫ xi

xi−1

f (x) dx −f (xi−1) + f (xi)

2(xi − xi−1) = −

(b − a)3

12n3 f ′′(ξi).

Като дадем на i стойностите 1, 2, . . . , n и съберем получените равенства, щенамерим

(2)∫ b

af (x) dx −

n∑i=1

f (xi) + f (xi−1)2

(xi − xi−1) = −

n∑i=1

(b − a3)12n3 f ′′(ξi).

Нека M е една горна граница на | f ′′(x)| в интервала [a, b]. В такъв случайот равенството (2) получаваме∣∣∣∣∣

∫ a

bf (x) dx −

n∑i=1

f (xi) + f (xi−1)2

(xi − xi−1)

∣∣∣∣∣ ≤ (b − a)3Mn12n3 =

(b − a)3M12n2 .

Оттук виждаме, че грешката, която правим при този метод, в най-неблаго-

приятния случай е от порядъка на1n2 .

При f (x) ≥ 0 може да се даде едно просто геометрично тълкуване наразгледания метод: изразът

f (xi) + f (xi−1)2

(xi − xi−1)

представлява лицето на трапеца PQRS , който е изобразен на черт. 16; по


Черт. 16

този начин в приложения метод интегралът∫ xi

xi−1

f (x) dx,

който представлява лицето на”криволинейния трапец“

xi−1 ≤ x ≤ xi,

0 ≤ y ≤ f (x),

се заменя с лицето на съответния праволинеен трапец PQRS . Поради товаразгледания метод се нарича често правило на трапеците.

Има методи, при които грешката намалява още по-бързо.1 Такова е нап-ример правилото на Симпсон (Simpson), което ще разгледаме сега. При товаправило делим интервала [a, b] на четен брой равни части с помощта наточките

a = x0 < x1 < x2 < · · · < x2n−1 < x2n = b

и заменяме функцията f (x) във всеки един от подинтервалите [x2i−2, x2i] сполином (най-много) от втора степен Pi(x), стойностите на който съвпадатсъс стойностите на функцията f (x) в точките x2i−2, x2i−1, x2i. Както знаем,такъв полином има и той е само един (касае се за една съвсем специалнаинтерполационна задача).

Ние ще представим за удобство полинома Pi(x) във вида

Pi(x) = αi0 + αi1(x − x2i−1) + αi2(x − x2i−1)2

1Поне когато подинтегралната функция f (x) е диференцуема достатъчен брой пъти.


(което, както знаем, е възможно). Коефициентите αi0, αi1, αi2 се определятот условията

Pi(x2i−2) = f (x2i−2), Pi(x2i−1) = f (x2i−1), Pi(x2i) = f (x2i)

или

y2i−2 = αi0 − αi1h + αi2h2, y2i−1 = αi0, y2i = αi0 + αi1h + αi2h2,

където сме положили f (xν) = yν иb − a

2n= h. Очевидно имаме∫ x2i

x2i−2

Pi(x) dx = αi0

∫ x2i

x2i−2

dx + αi1

∫ x2i

x2i−2

(x − x2i−1) dx + αi2

∫ x2i

x2i−2

(x − x2i−1)2 dx

=h3

(6αi0 + 2αi2h2) =b − a

6n(y2i−2 + 4y2i−1 + y2i);

така получаваме следната приблизителна стойност I∗ за интересуващия ниинтеграл:

I∗ =

n∑i=1

∫ x2i

x2i−2

Pi(x) dx =b − a

6n

n∑i=1

(y2i−2 + 4y2i−1 + y2i)

=b − a

6n[y0 + y2n + 4(y1 + y3 + · · · + y2n−1) + 2(y2 + y4 + · · · + y2n−2)].

За да оценим грешката |I − I∗|, която правим, когато прилагаме формулата наСимпсон, полагаме x2i−1 = c разглеждаме двете помощни функции

ψ(t) =

∫ c+t

c−tf (x) dx −

t3

[ f (c + t) + 4 f (c) + f (c − t)],

ϕ(t) = ψ(t) −t5

h5ψ(h)

при 0 ≤ t ≤ h. Като диференцираме три пъти ϕ(t) и след третото диференци-ране приложим теоремата за крайните нараствания, ще получим

ϕ′(t) =23

[ f (c + t) − 2 f (c) + f (c − t)] −13

t[ f ′(c + t) − f ′(c − t)] −5t4

h5 ψ(h),

ϕ′′(t) =13

[ f ′(c + t) − f ′(c − t)] −13

t[ f ′′(c + t) + f ′′(c − t)] −20t3

h5 ψ(h),

ϕ′′′(t) = −13

t[ f ′′′(c + t) − f ′′′(c − t)] −60t2

h5 ψ(h) = −23

t2 f IV (ξi) −60t2

h5 ψ(h).(3)


Като вземем пред вид, че ϕ(0) = ϕ(h) = 0, заключаваме с помощта на теоре-мата на Рол, че има число τ1 в отворения интервал (0, h), за което ϕ′(τ1) = 0.Като вземем пред вид още, че ϕ′(0) = 0, заключаваме, че има число τ2 вотворения интервал (0, τ1), за което ϕ′′(τ1) = 0. Най-сетне, като вземем предвид, че ϕ′′(0) = 0, заключаваме, че има число τ в отворения интервал (0, τ2),за което ϕ′′′(τ) = 0. Като поставим t = τ в равенството (3), ще получим

ψ(h) = −h5

90f IV (ξi)

или

(4)∫ x2i

x2i−2

f (x) dx −b − a

6n(y2i−2 + 4y2i−1 + y2i) = −

(b − a)5

2880n5 f IV (ξi).

Давайки на i стойностите 1, 2, . . . , n и събирайки получените неравенства,намираме∫ b

af (x) dx −

b − a6n

n∑i=1

(y2i−2 + 4y2i−1 + y2i) = −(b − a)5

2880n5

n∑i=1

f IV (ξi).

Нека K е една горна граница на | f IV (x)| в интервала [a, b]. В такъв случайравенството (4) ни дава∣∣∣∣∣

∫ b

af (x) dx −

b − a6n

n∑i=1

(y2i−2 + 4y2i−1 + y2i)

∣∣∣∣∣ ≤ (b − a)5K2880n4 .

Оттук ние виждаме, че грешката, която правим при метода на Симпсон, в

най-неблагоприятния случай е от порядъка на1n4 .

Накрая ще разгледаме метода на Котес (Cotes). При този метод избирамепроизволно n различни точки

(5) x1, x2, . . . , xn

от дефиниционната област на функцията f (x) и заменяме подинтегралнатафункция f (x) с полином ϕ(x) от възможно най-ниска степен, който съвпадас функцията f (x) в избраните точки (5). Такъв полином ние можем да конс-труираме например с помощта на интерполационната формула на Лагранж

ϕ(x) = f (x1)(x − x2)(x − x3) . . . (x − xn)

(x1 − x2)(x1 − x3) . . . (x1 − xn)

+ f (x2)(x − x1)(x − x3) . . . (x − xn)

(x2 − x1)(x2 − x3) . . . (x2 − xn)+ . . .

§ 29. Несобствени интеграли 241

+ f (xn)(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn−1)

(xn − x1)(xn − x2) . . . (xn − xn−1).

В такъв случай, разглеждайки∫ b

aϕ(x) dx като приближената стойност на

интересуващия ни интеграл I, получаваме приблизителното равенство

(6)∫ b

af (x) dx ≈ a1 f (x1) + a2 f (x2) + · · · + an f (xn),

където сме положили за краткост

(7)

a1 =

∫ b

a

(x − x2)(x − x3) . . . (x − xn)(x1 − x2)(x1 − x3) . . . (x1 − xn)

dx,

a2 =

∫ b

a

(x − x1)(x − x3) . . . (x − xn)(x2 − x1)(x2 − x3) . . . (x2 − xn)

dx,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an =

∫ b

a

(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn−1)(xn − x1)(xn − x2) . . . (xn − xn−1)

dx.

Пресмятането на коефициентите a1, a2, . . . , an не е свързано с никаквапринципиална трудност, защото в десните страни на равенствата (7) имамеинтеграли от полиноми. Тези коефициенти не зависят от функцията f (x),обаче зависят от избора на точките (5). Приближеното равенство (6) е на-пълно точно, когато f (x) е полином, чиято степен не надминава n − 1. Инаистина в такъв случай полиномът f (x) − ϕ(x), чиято степен не надминаваn−1, се анулира в n различни точки и следователно се анулира тъждествено.Оттук получаваме при всички стойности на x

f (x) = ϕ(x)


af (x) dx =

∫ b

aϕ(x) dx = a1 f (x1) + a2 f (x2) + · · · + an f (xn).

§ 29. Несобствени интеграли

I. Интеграли от неограничени функции

Ние дефинирахме понятието определен интеграл за ограничени функ-ции. В известни случаи обаче се оказва възможно да се разшири по един


целесъобразен начин това понятие. Така например да разгледаме функцията

f (x) =1

√1 − x

,

дефинирана с това условие при 0 ≤ x < 1. Тази функция не е интегруема винтервала [0, 1], защото не е ограничена. Напротив, каквото и да е числотоα, принадлежащо към отворения интервал (0, 1), интегралът

F(α) =

∫ α

0

(dx√

1 − x

е добре дефиниран, защото подинтегралната функция е непрекъсната в ин-тервала [0, α]. Очевидно имаме

F(α) = | − 2(1 − x)12

∣∣∣α0

= 2 − 2√

1 − α.

В разглеждания специален случай функцията F(α) има граница, когато α

клони към единица чрез стойности, по-малки от единица, и

limα→1

F(α) = 2.

Ние обикновено изразяваме този резултат, като казваме, че интегралът∫ 1

0

dx√

1 − x

съществува в несобствен смисъл, и пишем∫ 1

0

dx√

1 − x= 2.

Изобщо, ако функцията f (x) е интегруема1 във всеки подинтервал [a, α],където a < α < b, и интегралът

F(α) =

∫ α

af (x) dx, a < α < b,

има граница, когато α клони към b чрез стойности, по-малки от b, то ниенаричаме тази граница несобствен2 интеграл от f (x), разпространен върхуинтервала [a, b], и я означаваме със символа

(1)∫ b

af (x) dx,

1Тази функция може да бъде неограничена в интервала a ≤ x < b.2За разлика от определените интеграли, които ние разглеждахме досега и които се на-

ричат понякога интеграли в собствен смисъл. Нека припомним, че понятието интеграл всобствен смисъл се дефинира за ограничени функции и за крайни интеграционни интервали.


така че ∫ b

af (x) dx = lim

α→b

∫ α

af (x) dx.

Вместо да казваме, че съществува границата

limα→b

F(α),

ние често казваме, че интегралът (1) съществува в несобствен смисъл илиоще, че този интеграл е сходящ. В противен случай казваме, че интегралъте разходящ.

Много от свойствата на несобствените интеграли приличат на съответ-ните свойства на безкрайните редове. Така, ако интегралите∫ b

af1(x) dx,

∫ b

af2(x) dx

са сходящи, то интегралите

I1 =

∫ b

a[ f1(x) + f2(x)] dx, I2 =

∫ b

a[ f1(x) − f2(x)] dx

са също сходящи, като при това

I1 =

∫ b

af1(x) dx +

∫ b

af2(x) dx, I2 =

∫ b

af1(x) dx −

∫ b

af2(x) dx.

И наистина нека двете функции f1(x) и f2(x) са интегруеми във всекиподинтервал [a, α], където a < α < b. Полагайки

F1(α) =

∫ α

af1(x) dx,

F2(α) =

∫ α

af2(x) dx,

имаме ∫ α

a[ f1(x) + f2(x)] dx = F1(α) + F2(α),∫ α

a[ f1(x) − f2(x)] dx = F1(α) − F2(α).

От съществуването на границите

limα→b

F1(α), limα→b

F2(α)


обаче следва съществуването и на границите

limα→b

[F1(α) + F2(α)] = limα→b

F1(α) + limα→b

F2(α),

limα→b

[F1(α) − F2(α)] = limα→b

F1(α) − limα→b

F2(α),

с което твърдението е доказано.Ние ще дадем няколко достатъчни условия за сходимост на несобствени

интеграли. За целта ще забележим предварително, че ако функцията F(x)е дефинирана, монотонно растяща и ограничена при a ≤ x < b, то тя имаграница, когато x клони към b (чрез стойности, по-малки от b). И наистинанека l е точната горна граница на F(x). Избираме едно произволно положи-телно число ε. Като вземем под внимание, че l е най-малката горна границана F(x), заключаваме, че l − ε вече не е горна граница и следователно имапоне една точка x0, за която F(x0) > l−ε. Като вземем под внимание, че F(x)монотонно расте, получаваме при x ≥ x0

F(x) ≥ F(x0)

и следователноF(x) > l − ε.

От друга страна, l е една горна граница на F(x) и следователно

F(x) ≤ l,

т. е.0 ≤ l − F(x) < ε

при x ≥ x0. С това ние показахме, че F(x) клони към l, когато x клони към b.На това място ние ще отбележим още следното: ако функцията F(x) е

дефинирана при a ≤ x < b, монотонно расте и клони към l при x → b,то F(x) ≤ l. И наистина да допуснем, че в някоя точка x0 имаме F(x0) >l. От друга страна, имаме lim

x→bF(x) = l и следователно, като изберем едно

положително число ε, ще имаме

|F(x) − l| < ε

при всички стойности на x, които са достатъчно близко до b (и, разбира се,по-малки от него). Специално, ако изберем

ε = F(x0) − l,


ще получим|F(x) − l| < F(x0) − l

и толкова повечеF(x) − l < F(x0) − l,

откъдетоF(x) < F(x0),

което противоречи на условието за монотонното растене на F(x).Получените по този начин резултати ни позволяват да установим след-

ния принцип за сравняване на несобствени интеграли (аналогичен на прин-ципа за сравняване на редовете): ако двете функции f (x) и g(x) са интегруе-ми във всеки подинтервал [a, α], където a < α < b, ако

0 ≤ f (x) ≤ g(x)

и ако интегралът ∫ b

ag(x) dx

е сходящ, то интегралът ∫ b

af (x) dx

е също сходящ.И наистина функциите

F(α) =

∫ α

af (x) dx,

G(α) =

∫ α

ag(x) dx

са монотонно растящи при a < α < b, защото имаме

F(β) − F(α) =

∫ β

αf (x) dx ≥ 0,

G(β) −G(α) =

∫ β

αg(x) dx ≥ 0,

когато α ≤ β. От друга страна, неравенството f (x) ≤ g(x) ни дава

F(α) ≤ G(α)



F(α) ≤∫ b

ag(x) dx,

защото

G(α) ≤∫ b

ag(x) dx.

С това ние показахме, че монотонно растящата функция F(α) е ограни-чена и следователно има граница, когато α клони към b (чрез стойности,по-малки от b).

Нека функцията f (x) е интегруема във всеки подинтервал [a, α], къдетоa < α < b. Току-що установеният резултат ни позволява да покажем, че отсходимостта на интеграла ∫ b

a| f (x)| dx

следва сходимостта на интеграла1

(2)∫ b

af (x) dx.

За да покажем това, разглеждаме двата интеграла∫ b

a

| f (x)| + f (x)2

dx и∫ b

a

| f (x)| − f (x)2

dx.

Те са сходящи, защото

0 ≤| f (x)| + f (x)

2≤ | f (x)|,

0 ≤| f (x)| − f (x)

2≤ | f (x)|.


f (x) =| f (x)| + f (x)

2−| f (x)| − f (x)

2,

заключаваме, че интересуващият ни интеграл (2) е също сходящ.

1В случая, когато интегралът∫ b

a| f (x)| dx е сходящ, ние казваме, че интегралът

∫ b

af (x) dx

е абсолютно сходящ.


В много случаи е от полза следното достатъчно условие за сходимостили разходимост на несобствени интеграли. Нека функцията f (x) е интег-руема във всеки подинтервал [a, α], където a < α < b. Ако тази функцияудовлетворява неравенството

(3) | f (x)| ≤A

(b − x)λ,

където λ < 1 (A и λ са константи), то интегралът

(4)∫ b

af (x) dx

е сходящ; ако ли пък

(5) f (x) ≥A

b − x,

където A > 0, то интегралът (4) е разходящ.И наистина интегралът ∫ b

a

A(b − x)λ

dx

е сходящ при λ < 1, защото при a < α < b имаме∫ b

a

A(b − x)λ

dx =

∣∣∣∣ −A(1 − λ)(b − x)−1+λ

∣∣∣∣αa

=A

(1 − λ)(b − a)−1+λ−

A(1 − λ)(b − α)−1+λ

и следователно границата

limα→b

∫ α

a

A(b − x)λ

dx

съществува. Като вземем пред вид неравенството (3), заключаваме с помощ-та на принципа за сравняване на интегралите, че интегралът (4) е абсолютносходящ и следователно е сходящ.

От друга страна, интегралът

(6)∫ b

a

A dxb − x

, A > 0,

е разходящ, защото при a < α < b имаме∫ α

a

A dxb − x

=

∣∣∣∣ − A ln(b − x)∣∣∣∣αa

= A ln(b − a) − A ln(b − α)


и следователно интегралът ∫ α

a

A dxb − x

расте неограничено при α → b. Оттук заключаваме, че интегралът (4) същоне може да бъде сходящ, защото в противен случай от неравенството (5)и от принципа за сравняване на интегралите би следвала сходимостта наинтеграла (6), което, както видяхме, не е вярно.

Дотук ние предполагахме, че ни е дадена функция, която е дефинирана(поне) в интервала a ≤ x < b и е интегруема във всеки подинтервал [a, α],където a < α < b. В такъв случай ще казваме, че тази функция няма другаособеност освен евентуално около b. Ние ще предоставим на читателя сам дадефинира по този образец понятието функция, която няма други особеностив даден интервал освен евентуално около краен брой негови точки, и даобобщи за този случай понятието несобствен интеграл.

II. Интеграли с безкрайни интеграционни граници

Нека функцията f (x) е дефинирана при x ≥ a и интегруема в собственили несобствен смисъл във всеки интервал [a, p], където p > a. Ние можемда образуваме интеграла

F(p) =

∫ p

af (x) dx

при p > a, колкото и голямо да е числото p. Ако съществува границата

(7) limp→∞

F(p),

то тази граница се нарича несобствен интеграл на f (x), разпространен върхубезкрайния интервал a ≤ x, и се означава със символа

(8)∫ ∞

af (x) dx.

Аналогично се дефинира интегралът

(9)∫ a

−∞

f (x) dx,

като

(10) limq→−∞

∫ a

qf (x) dx.


Най-сетне под ∫ ∞−∞

f (x) dx

се разбира сумата ∫ 0

−∞

f (x) dx +

∫ ∞0

f (x) dx.

И тук, вместо да казваме, че съществува границата (7) или (10), ниечесто казваме съответно, че интегралът (8) или (9) е сходящ.

Пример. Очевидно имаме ∫ p

0e−x dx =

∣∣∣∣ − e−x

∣∣∣∣p0

= 1 − e−p


limp→∞

∫ p

0e−x dx = 1.

Използувайки въведената по-горе терминология, можем да кажем, че интегралът∫ ∞

0e−x dx

е сходящ и има стойност 1.

Не е трудно да се установи, че и тук е валиден принципът за сравняванена несобствени интеграли, който може да се формулира по следния начин:ако функциите f (x) и g(x) са дефинирани при x ≥ a и са интегруеми въввсеки интервал a ≤ x ≤ p, колкото и голямо да бъде числото p, ако 0 ≤f (x) ≤ g(x) и ако интегралът ∫ ∞

0g(x) dx

е сходящ, то интегралът ∫ ∞a

f (x) dx

е сходящ. Ние ще предоставим този път доказателството на читателя.Ако интегралът ∫ ∞

a| f (x)| dx

е сходящ, казваме, че интегралът

(11)∫ ∞

af (x) dx


е абсолютно сходящ. Нека читателят сам докаже, че всеки абсолютно сходящнесобствен интеграл от вида (11), където функцията f (x) е интегруема въввсеки интервал a ≤ x ≤ p, е сходящ.

В много случаи е от полза следното достатъчно условие за сходимостили разходимост на интеграли: ако функцията f (x) е дефинирана при x ≥ a,интегруема е във всеки интервал a ≤ x ≤ p и удовлетворява неравенството

(12) | f (x)| ≤Axλ

при всички достатъчно големи стойности на x, където λ > 1, то интегралът

(13)∫ ∞

af (x) dx

е сходящ; ако ли пък при достатъчно големи стойности на x е изпълненонеравенството

(14) f (x) ≥Ax,

където A > 0, то интегралът (13) е разходящ.И наистина при c > 0 и λ > 1 интегралът∫ ∞

c

A dxxλ

е сходящ, защото∫ p

c

A dxxλ

=

∣∣∣∣ A(1 − λ)xλ−1

∣∣∣∣pc

=A

(1 − λ)pλ−1 −A

(1 − λ)cλ−1

и следователно границата

limp→∞

∫ p

c

A dxxλ

съществува. Оттук и от неравенството (12) заключаваме с помощта на прин-ципа за сравняване на интегралите, че интегралът∫ ∞

a| f (x)| dx,

а оттук и интегралът (13) е сходящ.При A > 0 интегралът

(15)∫ ∞

c

A dxx


е разходящ, защото интегралът∫ p

c

A dxx

= A ln p − A ln c, c > 0,

расте неограничено заедно с p. Ако допуснем за момент, че интегралът (13) есходящ, бихме могли да заключим от неравенството (14), че интегралът (15)е също сходящ, което, както видяхме, не е вярно.

Пример 1. Да се покаже, че интегралът1

(16)∫ ∞

0

sin xx

dx

е сходящ.Решение. Разглеждаме функцията

F(p) =

∫ p

0

sin xx

dx.


F(p) =

∫ 1

0

sin xx

dx +

∫ p

1

sin xx

dx.

Интегрирайки по части, получаваме∫ p

1

sin xx

dx = −

∫ p

1

d cos xx

dx = cos 1 −cos p

p−

∫ p

1

cos xx2 dx.

Границата

limp→∞

∫ p

1

cos xx2 dx

съществува, защото ∣∣∣ cos xx2

∣∣∣ ≤ 1x2

и следователно интегралът ∫ ∞

1

cos xx2 dx

е сходящ. Като вземем предвид, че границата

limp→∞

cos pp

също съществува, заключаваме, че съществува и границата limp→∞

F(p), т. е. интегралът (16) есходящ.

Пример 2. Да се покаже, че интегралът:∫ ∞

0sin x2 dx

е сходящ.

1При x = 0 подsin x

xразбираме 1.


Упътване. Разгледайте функцията

F(p) =

∫ p

0sin x2 dx =

∫ 1

0sin x2 dx +

∫ p

1sin x2 dx.

Направете в интеграла ∫ p

1sin x2 dx

субституцията x =√

t и интегрирайте по части.

III. Интегрален критерий на Коши за сходимост

Нека функцията f (x) е дефинирана, монотонно намаляваща и неотрица-телна при x ≥ 0. В такъв случай редът

f (0) + f (1) + f (2) + · · ·

е сходящ тогава и само тогава, когато е сходящ интегралът∫ ∞0

f (x) dx.

Доказателство. При k − 1 ≤ x ≤ k имаме очевидно

f (k) ≤ f (x) ≤ f (k − 1)

и следователно ∫ k

k−1f (k) dx ≤

∫ k

k−1f (x) dx ≤

∫ k

k−1f (k − 1) dx

или още

f (k) ≤∫ k

k−1f (x) dx ≤ f (k − 1).

Давайки на k стойностите 1, 2, . . . , n и събирайки получените неравенства,намираме

f (1) + f (2) + · · · + f (n) ≤∫ n

0f (x) dx ≤ f (0) + f (1) + · · · + f (n − 1).

Ако допуснем, че интегралът∫ ∞0

f (x) dx


е сходящ, то от неравенството∫ n

0f (x) dx ≤

∫ ∞0

f (x) dx


f (1) + f (2) + · · · + f (n) ≤∫ ∞

0f (x) dx

или още

f (0) + f (1) + · · · + f (n) ≤ f (0) +

∫ ∞0

f (x) dx,

откъдето заключаваме, че редът

(17) f (0) + f (1) + f (2) + · · ·

е сходящ, защото членовете му са неотрицателни и редицата от частичнитему суми е ограничена.

Обратно, нека редът (17) е сходящ и S е неговата сума. Каквото и да еположителното число p, ние можем да изберем цяло число n, по-голямо отp. В такъв случай имаме ∫ p

0f (x) dx ≤

∫ n

0f (x) dx

и следователно ∫ p

0f (x) dx ≤ f (0) + f (1) + · · · + f (n − 1) ≤ S ,

нещо, което е достатъчно да твърдим, че интегралът∫ ∞0

f (x) dx

е сходящ.

Пример. Редът∞∑ν=2

1ν ln ν

е разходящ. И наистина функцията

1(x + 2) ln(x + 2)

е неотрицателна и монотонно намаляваща при x ≥ 0, а функцията

F(p) =

∫ p

0

dx(x + 2) ln(x + 2)

=

∫ p

0

d ln(x + 2)ln(x + 2)

= ln ln(p + 2) − ln ln 2

расте неограничено заедно с p, т. е. интегралът∫ ∞

0

dx(x + 2) ln(x + 2)

е разходящ.


§ 30. Граничен преход под знака на интеграла

Да разгледаме редицата

(1) f1(x), f2(x), . . .

с общ членfn(x) = n(n + 1)(1 − x)xn−1.

Очевидно имаме∫ 1

0fn(x) dx = n(n + 1)

∫ 1

0xn−1 dx − n(n + 1)

∫ 1

0xn dx = 1


limn→∞

∫ 1

0fn(x) dx = 1.

От друга страна, не е трудно да се види, че редицата (1) клони към нулапри 0 ≤ x ≤ 1. И наистина при x = 0 и x = 1 това е очевидно. За да се убедимв това и при 0 < x < 1, образуваме реда

∞∑n=1

fn(x)

и установяваме, като си послужим например с критерия на Даламбер, четози ред е сходящ. По такъв начин получаваме∫ 1

0limn→∞

fn(x) dx =

∫ 1

00 dx = 0.

От този пример виждаме, че може да се случи да имаме

limn→∞

∫ 1

0fn(x) dx ,

∫ 1

0limn→∞

fn(x) dx.

Толкова по-интересно е, че е в сила следната теорема:Ако функциите fn(x) са непрекъснати в крайния и затворен интервал

[a, b] и ако редицата

(2) f1(x), f2(x), f3(x), . . .

е равномерно сходяща, то границата

limn→∞

∫ b

afn(x) dx

§ 30. Граничен преход под знака на интеграла 255

съществува и

(3) limn→∞

∫ b

afn(x) dx =

∫ b

alimn→∞

fn(x) dx.

Доказателство. Ние ще пишем за краткост

limn→∞

fn(x) = f (x).

Функцията f (x) е непрекъсната в затворения интервал [a, b], защото фун-кциите fn(x) са непрекъснати и редицата (2) е равномерно сходяща. Товаобстоятелство ни позволява да образуваме интеграла∫ b

af (x) dx.

Избираме едно произволно положително число ε. В такъв случай ние можемда намерим число ν по такъв начин, че при n > ν и при всички стойности наx от интервала [a, b] да имаме

| fn(x) − f (x)| < ε.

Така получаваме при n > ν следните неравенства:∣∣∣∣∫ b

af (x) dx −

∫ b

afn(x) dx

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ b

a[ f (x) − fn(x)] dx

∣∣∣∣≤

∫ b

a| f (x) − fn(x)| dx ≤ ε(b − a),

с което интересуващата ни теорема е доказана.Нека обърнем внимание върху това, че при безкраен интеграционен ин-

тервал равномерната сходимост не е достатъчна за валидността на равенст-вото (3). Така например редицата с общ член

fn(x) =1n

e−xn

равномерно клони към нула при x ≥ 0, защото

| fn(x)| ≤1n

;

въпреки това∫ ∞0

fn(x) dx = limp→∞

∫ p

0

1n

e−xn dx = lim

p→∞

∣∣∣−e−xn

∣∣∣p0

= limp→∞

(1 − e−

pn

)= 1



limn→∞

∫ ∞0

fn(x) dx , 0.

Теоремата, която доказахме в този параграф, може да се редактира още итака:

Нека редътf (x) = u1(x) + u2(x) + · · · ,

членовете на който са непрекъснати функции на x в интервала [a, b], е рав-номерно сходящ в този интервал. В такъв случай редът

(4)∫ b

au1(x) dx +

∫ b

au2(x) dx + · · ·

е сходящ и ∫ b

af (x) dx =

∫ b

au1(x) dx +

∫ b

au2(x) dx + · · ·

За да докажем това, полагаме

fn(x) = u1(x) + u2(x) + · · · + un(x),

откъдето получаваме чрез почленно интегриране∫ b

afn(x) dx =

∫ b

au1(x) dx +

∫ b

au2(x) dx + · · · +

∫ b

aun(x) dx.

От друга страна, редицата с общ член fn(x) равномерно клони към f (x)и следователно∫ b

af (x) dx = lim

n→∞

∫ b

afn(x) dx = lim

n→∞

n∑ν=1

∫ b

auν(x) dx,

което означава, че редът (4) е сходящ и∫ b

af (x) dx =

∞∑ν=1

∫ b

auν(x) dx.

Във връзка с разглеждания в този параграф въпрос за граничен преходпод знака на интеграла ние ще докажем следната теорема, върху която можеда се изгради едно важно обобщение на понятието интеграл:

Некаf1(x), f2(x), f3(x), . . .


е една почти навсякъде сходяща в интервала a ≤ x ≤ b редица от интегруемив Риманов смисъл функции, за която съответната редица от интеграли∫ b

af1(x) dx,

∫ b

af2 dx, . . .

е ограничена; ако почти при всички стойности на x от интервала [a, b] тазиредица от функции монотонно намалява и lim

n→∞fn(x) ≤ 0, то

limn→∞

∫ b

afn(x) dx ≤ 0.

Доказателство. Ние ще извършим доказателството от противното. НекаG е множеството от точките от интервала [a, b], където е нарушено понеедно от условията:

1) Всичките функции fn(x) са непрекъснати.2) fn(x) ≥ fn+1(x) при всички цели положителни стойности на n.3) lim fn(x) съществува.4) lim fn(x) ≤ 0.Очевидно множеството G има мярка нула в смисъл на Лебег—Борел.Нека [c, d], където c < d, е кой да е подинтервал на интервала [a, b].

Очевидно ∫ d

cfn(x) dx =

∫ b

afn(x) dx −

∫ c

afn(x) dx −

∫ b

dfn(x) dx

≥ lim∫ b

afn(x) dx −

∫ c

af1(x) dx −

∫ b

df1(x) dx,

т. е. монотонно намаляващата редица∫ d

cf1(x) dx,

∫ d

cf2(x) dx,

∫ d

cf3(x) dx, . . .

е сходяща. Да положим

lim∫ d

cfn(x) dx = Id

c .

Според нашето допускане имаме

Iba > 0.

Да покрием множеството G с такава редица от отворени интервали(pν, qν), където pν < qν, че да имаме

M∞∑ν=1

∫ b

aϕν(x) dx < Ib

a ,


където M е една положителна горна граница на f1(x), a ϕν(x) е характерис-тична1 функция на интервала (pν, qν). Това е възможно да се направи, защотомножеството G има мярка нула и∫ b

aϕν(x) dx =

∫ pν

aϕν(x) dx +

∫ qν

pνϕν(x) dx +

∫ b

qνϕν(x) dx =

∫ qν

pνdx = qν − pν.

По такъв начин, ако положителното число ε е достатъчно малко, ще имаме

Iba > ε(b − a) + M

∞∑ν=1

∫ b

aϕν(x) dx.

Делим интервала [a, b] на две равни части и означаваме с [a1, b1] онази по-ловина, за която

Ib1a1> ε(b1 − a1) + M

∞∑ν=1

∫ b1

a1

ϕν(x) dx.

Такава половина сигурно съществува, защото в противен случай, полагайки

c =a + b

2, ще имаме

Ica ≤ ε(c − a) + M

∞∑ν=1

∫ c

aϕν(x) dx,

Ibc ≤ ε(b − c) + M

∞∑ν=1

∫ b

cϕν(x) dx,

откъдето чрез почленно събиране ще получим

Iba ≤ ε(b − a) + M

∞∑ν=1

∫ b

aϕν(x) dx,

което не е вярно.По-нататък делим интервала [a1, b1] на две равни части и означаваме с

[a2, b2] сигурно съществуващата половина, за която

Ib2a2> ε(b2 − a2) + M

∞∑ν=1

∫ b2

a2

ϕν(x) dx.

1Относно дефиницията вж. § 11 на тази глава.


Продължавайки този процес неограничено, получаваме една Канторова сис-тема от интервали [an, bn], подчинени на условието

Ibnan> ε(bn − an) + M

∞∑ν=1

∫ bn

an

ϕν(x) dx.

Нека x0 е точката, която принадлежи на всички интервали от система-та. Ще покажем, че x0 не принадлежи на G. И наистина в противен случайточката x0 ще бъде вътрешна за някой покриващ интервал (pk, qk) и сле-дователно при достатъчно голяма стойност на n интервалът [an, bn] ще сесъдържа изцяло в (pk, qk), поради което∫ bn

an

ϕk(t) dt =

∫ bn

an

dt = bn − an,

откъдетоIbnan> M(bn − an)

и толкова повече ∫ bn

an

f1(x) dx > M(bn − an);

а това не е възможно, защото

f1(x) ≤ M.

И така точката x0 не принадлежи на G и следователно lim fn(x0) ≤ 0. Оттукзаключаваме, че при достатъчно голяма стойност на m ще имаме fm(x0) < ε.Нека n е толкова голямо, че при всяко x от интервала [an, bn] да имамеfm(x) < ε. Това е възможно, защото функцията fm(x) е непрекъсната в точ-ката x0, а дължината на интервала [an, bn] клони към нула, когато n растенеограничено. По такъв начин получаваме∫ bn

an

fm(x) dx ≤ ε(bn − an)

и следователноIbnan≤ ε(bn − an),

което противоречи на неравенството

Ibnan> ε(bn − an) + M

∞∑ν=1

∫ bn

an

ϕν(t) dt.


С това доказателството е завършено.Преминаваме към обобщението на понятието интеграл, за което споме-

нахме по-горе. За тази цел ще дадем някои дефиниции.Интеграла ∫ b

a| f (x)| dx

ще наричаме първа1 интегрална норма на функцията f (x).Ще казваме, че една редица

f1(x), f2(x), . . .

от интегруеми в интервала (a, b) функции удовлетворява условието на Кошиотносно първата интегрална норма в този интервал, ако при всеки избор наположителното число ε е изпълнено неравенството∫ b

a| fn(x) − fm(x)| dx < ε

при всички достатъчно големи цели стойности на n и m.Ако редицата (3) от интегруеми в интервала (a, b) функции удовлетво-

рява условието на Коши относно първата интегрална норма, то редицата∫ b

af1(x) dx,

∫ b

af2(x) dx, . . .

е сходяща, защото∣∣∣∣∫ b

afn(x) dx −

∫ b

afm(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a| fn(x) − fm(x)| dx

и следователно каквото и да бъде положителното число ε, неравенството∣∣∣∣∫ b

afn(x) dx −

∫ b

afm(x) dx

∣∣∣∣ ≤ εе изпълнено при всички достатъчно големи цели стойности на n и m.

1По-общо n-та интегрална норма на функцията f (x) се нарича изразът

n

√∫ b

a| f (x)|n dx, където n ≥ 1.


Една функция f (x), дефинирана почти навсякъде в един интервал (a, b),ще наричаме сумируема, ако съществува редица от непрекъснати функции

(5) f1(x), f2(x), . . . ,

която удовлетворява условието на Коши относно първата интегрална нор-ма и клони почти навсякъде към f (x) в този интервал. В такъв случай гра-ницата на редицата ∫ b

af1(x) dx,

∫ b

af2(x) dx, . . .

(която, както видяхме, сигурно съществува) ще наричаме Лебегов интегрална функцията f (x) върху интервала (a, b).

За да се убедим в еднозначността на така дадената дефиниция, разглеж-даме още една редица

(6) g1(x), g2(x), . . .

от непрекъснати функции, която удовлетворява условието на Коши относнопървата интегрална норма и клони почти навсякъде към f (x).

Избираме редица от цели положителни числа

n1 < n2 < n3 < · · ·

по такъв начин, че да имаме∫ b

a

∣∣ fni+1(x) − fni(x)∣∣ dx ≤

12i (i = 1, 2, 3, . . . ),∫ b

a

∣∣gni+1(x) − gni(x)∣∣ dx ≤

12i (i = 1, 2, 3, . . . ).

Това е възможно да се направи, защото редиците (5) и (6) удовлетворяватусловието на Коши относно първата интегрална норма. Очевидно имамепочти при всяко x

fnp(x) +

∞∑i=p

[fni+1(x) − fni(x)

]= gnp(x) +

∞∑i=p

[gni+1(x) − gni(x)

]и следователно

fnp(x) − gnp(x) −∞∑

i=p

∣∣ fni+1(x) − fni(x)∣∣ − ∞∑

i=p

∣∣gni+1(x) − gni(x)∣∣ ≤ 0.


По такъв начин, като вземем под внимание, че редицата от непрекъснатифункции с общ член

ϕm(x) = fnp(x) − gnp(x) −p+m∑i=p

∣∣ fni+1(x) − fni(x)∣∣ − p+m∑

i=p

∣∣gni+1(x) − gni(x)∣∣

почти при всяко x, монотонно намалявайки, клони към граница, която е по-малка или равна на нула, а редицата от интегралите∫ b

aϕm(x) dx ≥

∫ b

afnp(x) dx −

∫ b

agnp(x) dx − 2

∞∑i=p

12i

е ограничена, заключаваме, че

lim∫ b

aϕm(x) dx ≤ 0,

т. е.∫ b

afnp(x) dx −

∫ b

agnp(x) dx −

∞∑i=p

∫ b

a

∣∣ fni+1(x) − fni(x)∣∣ dx

−

∞∑i=p

∫ b

a

∣∣gni+1(x) − gni(x)∣∣ dx ≤ 0


afnp(x) dx −

∫ b

agnp(x) dx ≤

∞∑i=p

12i +

∞∑i=p

12i ,

откъдето

limp→∞

∫ b

afnp(x) dx ≤ lim

p→∞

∫ b

agnp(x) dx.

Аналогично получаваме

limp→∞

∫ b

agnp(x) dx ≤ lim

p→∞

∫ b

afnp(x) dx,

което ни дава окончателно

limn→∞

∫ b

afn(x) dx = lim

n→∞

∫ b

agn(x) dx.

§ 31. Интеграли, зависещи от параметри. Диференциране под . . . 263

§ 31. Интеграли, зависещи от параметри. Диференциранепод знака на интеграла

Нека функцията f (x, α) е дефинирана в правоъгълника1

(1)a ≤ x ≤ b,

c ≤ α ≤ d.

Ако f (x, α) е интегруема функция на x в интервала [a, b] при всяко фик-сирано α от интервала [c, d], можем да образуваме интеграла∫ b

af (x, α) dx.

Стойността на този интеграл може евентуално да се мени, когато α се из-меня. Тя обаче е еднозначно дефинирана, когато α е дадено, и следователнопредставлява една функция на α, добре дефинирана в интервала [c, d]. Ниеще означим тази функция с F(α), така че

(2) F(α) =

∫ b

af (x, α) dx.

Пример. Интегралът∫ π

0cos(α + x) dx =

∣∣∣∣ sin(α + x)∣∣∣∣π

0= sin(α + π) − sinα = −2 sinα

представлява една функция на α (нека обърнем внимание обаче, че и неопределеният интег-рал ∫

cos(α + x) dx = sin(α + x)

зависи не само от α, но и от x).

Ако f (x, α) е непрекъсната функция на двата си аргумента в правоъгъл-ника (1), интегралът (2) е непрекъсната функция на α. И наистина нека α0 екоя да е точка от интервала [c, d] и ε е едно произволно положително чис-ло. Избираме положителното число δ по такъв начин, че при |α − α0| < δ иc ≤ α ≤ d да имаме

| f (x, α) − f (x, α0)| < ε

за всички стойности на x от интервала [a, b]. Това може да се направи, защо-то функцията f (x, α) е непрекъсната в крайния и затворен правоъгълник (1)и следователно е равномерно непрекъсната в същия правоъгълник.

1Тук се иска правоъгълникът да бъде затворен и краен.


При тези предположения очевидно

|F(α)−F(α0)| =∣∣∣∣∫ b

a[ f (x, α) − f (x, α0)] dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a| f (x, α)− f (x, α0)| dx ≤ ε(b−a),

с което е установена непрекъснатостта на функцията F(α) в точката α0.Не е трудно да се докаже и следната теорема, която има многобройни

приложения:Нека функцията f (x, α) е дефинирана в правоъгълника

(3)a ≤ x ≤ b,

c ≤ α ≤ d,

интегруема в интервала [a, b] при всяко фиксирано α и диференцуема час-тно спрямо α при всяко фиксирано x; нека освен това частната производнаf ′α(x, α) е непрекъсната в правоъгълника (3). При тези предположения функ-цията

F(α) =

∫ b

af (x, α) dx

е диференцуема в интервала [c, d] и при всяко α0 от този интервал

F′(α0) =

∫ b

af ′α(x, α0) dx.

И наистина при h , 0 и c ≤ α0 + h ≤ d имаме

F(α0 + h) − F(α0)h

=1h

∫ b

a[ f (x, α0 + h) − f (x, α0)] dx.

От друга страна, според теоремата за крайните нараствания

f (x, α0 + h) − f (x, α0) = h f ′α(x, α + θh),

където числото θ се намира в отворения интервал (0, 1) и може да се менизаедно с x и h. Оттук получаваме

F(α0 + h) − F(α0)h

−

∫ b

af ′α(x, α0) dx =

∫ b

a[ f ′α(x, α0 + θh) − f ′α(x, α0)] dx

и следователно∣∣∣∣F(α0 + h) − F(α0)h

−

∫ b

af ′α(x, α0) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

∣∣ f ′α(x, α0 + θh) − f ′α(x, α0)∣∣ dx.

§ 31. Интеграли, зависещи от параметри. Диференциране под . . . 265

От друга страна, функцията f ′α(x, α) е непрекъсната в крайния и затворенправоъгълник (3) и следователно е равномерно непрекъсната. Това обстоя-телство ни позволява да твърдим, че при всеки избор на положителноточисло ε може да се намери положително число δ по такъв начин, че при|k| < δ, c ≤ α0 + k ≤ d и при a ≤ x ≤ b да имаме∣∣ f ′α(x, α0 + k) − f ′α(x, α0)

∣∣ < εи следователно при |h| < δ∣∣∣∣F(α0 + h) − F(α0)

h−

∫ b

af ′α(x, α0) dx

∣∣∣∣ < ε(b − a),

с което доказателството е завършено.Доказаната теорема може да се обобщи. Така, ако функцията f (x, α) е

непрекъсната в правоъгълника (3), притежава непрекъсната частна произ-водна f ′α(x, α) и функциите ϕ(α) и ψ(α) са дефинирани, диференцуеми в ин-тервала [c, d] и удовлетворяват условията

a < ϕ(α) < b, α < ψ(α) < b,

функцията

Φ(α) =

∫ ψ(α)

ϕ(α)f (x, α) dx

е диференцуема в интервала (c, d) и

Φ′(α) =

∫ ψ(α)

ϕ(α)f ′α(x, α) dx + f [ψ(α), α]ψ′(α) − f [ϕ(α), α]ϕ′(α).

И наистина функцията

F(α, u, v) =

∫ u

vf (x, α) dx

на трите независими променливи α, u, v притежава непрекъснати частнипроизводни

F′u(α, u, v) = f (u, α),

F′v(α, u, v) = − f (v, α),

F′α(α, u, v) =

∫ u

vf ′α(x, α) dx.


Непрекъснатостта на производните F′u и F′v е очевидна, а непрекъснатосттана производната F′α може да се установи лесно. За тази цел избираме еднопроизволно положително число ε и означаваме с R една горна граница на∣∣ f ′α(x, α)

∣∣. Ние можем да изберем положителното число δ толкова малко, чепри |h| < δ, c ≤ α + h ≤ d, a ≤ x ≤ b да имаме∣∣ f ′α(x, α + h) − f ′α(x, α)

∣∣ < ε.В такъв случай получаваме при |h| < δ, |k| < ε, |l| < ε.

a ≤ u ≤ b, a ≤ u + k ≤ b,

a ≤ v ≤ b, a ≤ v + l ≤ b

следните неравенства:

∣∣F′α(α + h, u + k, v + l) − F′α(α, u, v)∣∣ =

∣∣∣∣∫ u+k

v+lf ′α(x, α + h) dx −

∫ u

vf ′α(x, α) dx

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ u

v[ f ′α(x, α + h) − f ′α(x, α)] dx +

∫ v

v+lf ′α(x, α + h) dx +

∫ u+k

uf ′α(x, α + h) dx

∣∣∣∣≤ ε|u − v| + |l|R + |k|R ≤ ε[b − a + 2R],

с което непрекъснатостта на производната е доказана.Този резултат ни позволява да приложим теоремата за диференциране

на съставни функции. И така функцията Φ(α) е наистина диференцуема и

Φ′(α) = F′α + F′uψ′(α) + F′vϕ

′(α)

или още

Φ′(α) =

∫ ψ(α)

ϕ(α)f ′α(x, α) dx + f [ψ(α), α]ψ′(α) − f [ϕ(α), α]ϕ′(α).

Пример. Видяхме в § 21 на тази глава, че интегралът

I =

∫ ∞

0

sin xx

dx

е сходящ. Сега ще пресметнем неговата стойност. За тази цел разглеждаме помощната фун-кция

F(α, p) =

∫ p

0e−αx sin x

xdx.

Доказаната по-горе теорема за диференциране под знака на интеграла ни дава

F′α(α, p) = −

∫ p

0e−αx sin x dx =

∣∣∣∣ e−αx(α sin x + cos x)α2 + 1

∣∣∣∣p0

=e−αp(α sin p + cos p)

α2 + 1−

1α2 + 1

Общи задачи 267


(4) F(α, p) = C −∫ ∞

α

e−tp(t sin p + cos p)t2 + 1

dt − arctgα,

където C не зависи от α. Като вземем пред вид неравенството

|F(α, p)| ≤∫ p

0e−αx | sin x|

xdx ≤

∫ p

0e−αx dx =

1 − e−αp

α<

1α,

заключаваме, че F(α, p) клони към нула, когато α расте неограничено. Извършвайки в нера-венството (4) граничния преход α→ ∞, получаваме

0 = C −π

2

и следователно C =π

2, откъдето

F(α, p) =π

2−

∫ ∞

α


dt − arctgα.

Специално при α = 0

F(0, p) =π

2−

∫ ∞

0


dt.

Според дефиницията на понятието несобствен интеграл

I = limp→∞

F(0, p).

По този начин въпросът за пресмятането на I се сведе към въпроса за намирането на грани-цата

l = limp→∞

∫ ∞

0


dt,

което може да стане по следния начин:∣∣∣∣∫ ∞

0e−tp t sin p + cos p

t2 + 1dt∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞

0e−tp t| sin p| + | cos p|

t2 + 1dt ≤

∫ ∞

0e−pt t + 1

t2 + 1dt

≤ 2∫ ∞

0e−pt dt =

2p,

и следователно интересуващата ни граница l е равна на нула. По такъв начин получавамеокончателно

l =π

2.

Общи задачи

1. Да се покаже, че редицата с общ член

an =1n

+1

n + 1+ · · · +

12n

клони към ln 2.Упътване. Покажете, че редицата клони към определения интеграл∫ 1

0

dx1 + x

.


2. Намерете границата на редицата с общ член

an =n

n2 + 1+

nn2 + 22 + · · · +

nn2 + (n − 1)2 .

3. Намерете границата с общ член

an =1

√n2 − 1

+1

√n2 − 22

+ · · · +1√

n2 − (n − 1)2.

4. Покажете, че несобственият интеграл

I =

∫ π2

0ln(sin x) dx

е сходящ и пресметнете неговата стойност.Упътване. Покажете предварително, че∫ π

2

0ln(sin x) dx =

∫ π2

0ln(cos x) dx =

12

∫ π2

0ln

sin 2x2

dx.

Отговор. I = −π

2ln 2.

5. Пресметнете интеграла

F(α) =

∫ π

0ln(1 − 2α cos x + α2) dx.

Упътване. Покажете, че функцията F(x) е четна, като преобразувате интеграла

F(−α) =

∫ π

0ln(1 + 2α cos x + α2) dx

с помощта на субституциятаx = π − y.

Покажете след това, че

2F(α) = F(α) + F(−α) =

∫ π

0ln(1 − 2α cos x + α2) dx

+

∫ π

0ln(1 + 2α cos x + α2) dx =

∫ π

0ln(1 − 2α2 cos 2x + α4) dx,

и направете субституцията 2x = y. Това ще ви даде

2F(α) =12

∫ π

0ln(1 − 2α2 cos y + α4) dy +

12

∫ 2π

π

ln(1 − 2α2 cos y + α4) dy.

Ако в последния интеграл направите субституцията y = 2π − z, ще получите∫ 2π

π

ln(1 − 2α2 cos y + α4) dy =

∫ π

0ln(1 − 2α2 cos z + α4) dz


2F(α) =12

F(α2) +12

F(α2) = F(α2).


Използувайте този резултат, за да покажете, че

F(α) =F(α2n

)2n .

От друга страна, очевидно

1 − 2|λ| + λ2 ≤ 1 − 2λ cos x + λ2 ≤ 1 + 2|λ| + λ2

и следователно при α , ±1

π ln(1 − α2n)2 ≤ F(α2n

) ≤ π ln(1 + α2n)2.

Използувайте този резултат, за да покажете, че при |α| < 1 имаме

limn→∞

F(α2n)

2n = 0

и следователно F(α) = 0. За да пресметнете стойността на F(α) при |α| > 1, положете α =1β

и използувайте равенството

F(α) =

∫ π

0ln(1 − 2β cos x + β2) dx − π ln β2.

Това ще ви дадеF(α) = π lnα2.

За да пресметнете интеграла при α = ±1, използувайте по-предната задача. Това ще ви дадеF(1) = F(−1) = 0.

6. Нека ϕ(x) е функция, дефинирана при 0 < x ≤ 1 по следния начин: ϕ =1q, когато

x =pq, където p и q са цели взаимно прости числа; ϕ(x) = 0, когато x е ирационално число.

Докажете, че функцията ϕ(x) е интегруема в Риманов смисъл в интервала [0, 1] (при все четя е прекъсната за всички рационални стойности на x от дефиниционния си интервал). Пока-жете, че функцията ϕ(x) е непрекъсната за всички ирационални стойности на x от интервала0 < x ≤ 1.

7. Нека функцията f (x) е неотрицателна и непрекъсната в интервала [a, b]. Покажете, черавенството ∫ b

af (x) dx = 0

е изпълнено само ако f (x) = 0 за всички стойности на x от интервала [a, b].Упътване. Нека a ≤ α < β ≤ b. Покажете, че

(1)∫ β

α

f (x) dx = 0,

като си послужите с равенството∫ α

af (x) dx +

∫ β

α

f (x) dx +

∫ b

β

f (x) dx = 0


и неравенствата ∫ α

af (x) dx ≥ 0,∫ β

α

f (x) dx ≥ 0,∫ b

β

f (x) dx ≥ 0.

Приложете за равенството (1) теоремата за средните стойности и покажете по този начин,че функцията f (x) се анулира поне веднъж във всеки подинтервал [α, β] на интервала [a, b].Използувайте този резултат, за да покажете, че непрекъснатата функция f (x) се анулиратъждествено.

8. Нека функциите f (x) и g(x) са непрекъснати в интервала [a, b]. Покажете, че е в силанеравенството [∫ b

af (x)g(x) dx

]2

≤

∫ b

af 2(x) dx

∫ b

ag2(x) dx.

При това равенството [∫ b

af (x)g(x) dx

]2

=

[∫ b

af 2(x) dx

] [∫ b

ag2(x) dx

]е изпълнено тогава и само тогава, когато

λ f (x) + µg(x) = 0

при подходящ избор на константите λ и µ, от които поне едната е различна от нула (Буня-ковски—Шварц).

Упътване. Квадратичната форма∫ b

a

[λ f (x) + µg(x)

]2 dx = λ2∫ b

af 2(x) dx + 2λµ

∫ b

af (x)g(x) dx + µ2

∫ b

ag2(x) dx

е способна да приема само неотрицателни стойности, когато a ≤ b, и следователно дискри-минантата и не е положителна.

9. Нека функцията F(x, y) е дефинирана и непрекъсната в затворения триъгълник

a ≤ x ≤ b,

a ≤ y ≤ x.

Покажете, че ∫ b

a

[∫ x

aF(x, y) dy

]dx =

∫ b

a

[∫ b

yF(x, y) dx

]dy

(Дирихле — Dirichlet).Упътване. Сравнете производните на двете функции

f (t) =

∫ t

a

[∫ x

aF(x, y) dy

]dx,

g(t) =

∫ t

a

[∫ t

yF(x, y) dx

]dy,

където a ≤ t ≤ b.


10. Да се пресметне интегралът

In =

∫ π2

0sinn x dx,

където n е цяло положително число.Упътване. Установете предварително следната редукционна формула:

In =n − 1

nIn−2.

Отговор. Ако n е четно, т. е. n = 2m, където m е цяло,

I2m =(2m − 1)(2m − 3) . . . 3 . 1

2m(2m − 2) . . . 4 . 2·π

2,

Ако n е нечетно, т. е. n = 2m + 1, където m е цяло,

I2m+1 =2m(2m − 2) . . . 4 . 2

(2m + 1)(2m − 1) . . . 5 . 3.

11. Докажете, че

(2)π

2= lim

n→∞

2 . 2 . 4 . 4 . 6 . 6 . . . 2n . 2n1 . 3 . 3 . 5 . 5 . 7 . . . (2n − 1)(2n + 1)

· · ·

(Формула на Джон Валис — J. Wallis).Забележка. Често формулата (2) се записва във вида

π

2=

2 . 21 . 3

·4 . 43 . 5

·6 . 65 . 7

· · ·2n . 2n

(2n − 1)(2n + 1)· · ·

Упътване. Послужете си с неравенствата∫ π2

0sin2n+1 x dx ≤

∫ π2

0sin2n x dx ≤

∫ π2

0sin2n−1 x dx

и използувайте предната задача.12. Да се докаже, че

1 +132 +

152 +

172 + · · · +

1(2n + 1)2 + · · · =

π2

8

(Л. Ойлер — L. Euler).Упътване. Използувайте развитието

arcsin x = x +

∞∑n=1

1 . 3 . 5 . . . (2n − 1)2 . 4 . 6 . . . 2n

·x2n+1

2n + 1,

което е равномерно сходящо при −1 ≤ x ≤ 1.Положете arcsin x = t. По такъв начин ще получите развитието

(3) t = sin t +

∞∑n=1

1 . 3 . 5 . . . (2n − 1)2 . 4 . 6 . . . 2n

·sin2n+1 t2n + 1

при −π

2≤ t ≤

π

2, което е също тъй равномерно сходящо. Интегрирайте двете части на

равенството (3) от 0 доπ

2и използувайте задача 10.


13. Докажете, че

1 +122 +

132 +

142 + · · · =

π2

6(Ойлер).

Упътване. Използувайте предната задача, като покажете, че

1 +122 +

132 +

142 + · · · =

[1 +

132 +

152 +

172 + · · ·

]+

14

[1 +

132 +

152 +

172 + · · ·

]+

142

[1 +

132 +

152 +

172 + · · ·

]+ · · ·

14. Нека функцията f (x) е дефинирана при x ≥ 0, има непрекъсната производна и некаинтегралът ∫ ∞

1

f (x)x

dx

е сходящ. Докажете, че ∫ ∞

0

f (x) − f (αx)x

dx = f (0) lnα,

където α > 0.Упътване. Разгледайте функцията

F(α, p) =

∫ p

0

f (x) − f (αx)x

dx,

където p > 0. Покажете, че

F′α(α, p) =f (0)α−

f (αp)α

,

и използувайте този резултат, за да получите равенството

F(α, p) = f (0) lnα −∫ α

1

f (tp)t

dt,

което след субституцията tp = u ще ви даде

F(α, p) = f (0) lnα −∫ pα

p

f (u)u

du.

Извършете в последното равенство граничния преход p→ ∞.15. Да се покаже, че ∫ ∞

0e−x2− α

2

x2 dx = e−2α∫ ∞

0e−x2

dx, α ≥ 0

(Лаплас — Laplace).Упътване. Разгледайте функцията

F(α, p) =

∫ p

αp

e−x2− α2

x2 dx,

където p > 0, α > 0, и използувайте равенството

F′α(α, p) = −2α∫ p

αp

e−x2− α2

x2dxx2 −

1p

e− α

2

p2 −p2

,


което след субституцията x =α

tще ви даде при α > 0

F′α(α, p) + 2F(α, p) = −1p

e− α

2

p2 −p2

.

Покажете, че при α ≥ 0

(4) e2αF(α, p) = C −e−p2

p

∫ α

0e

t2p +2t dt,

където C не зависи от α. За да пресметнете стойността на C, положете α = 0. Извършетеграничен преход p→ ∞ в равенството (4).

16. Да се покаже, че ∫ ∞

0e−x2

cos 2αx dx = e−α2∫ ∞

0e−x2

dx

(Лаплас).Упътване. Разгледайте функцията

F(α, p) =

∫ p

0e−x2

cos 2αx dx

и покажете ,че

F′α(α, p) = −2∫ p

0e−x2

x sin 2αx dx = e−p2sin 2αp − 2α

∫ p

0e−x2

cos 2αx dx

или ощеF′α(α, p) + 2αF(α, p) = e−p2

sin 2αp.

Използувайте този резултат, за да покажете, че

(5) eα2F(α, p) = C + e−p2

∫ α

0et2 sin 2pt dt,

където C не зависи от α. Пресметнете стойността на C, като поставите α = 0. Извършете вравенството (5) граничния преход p→ ∞.

Дефиниция. Казваме, че две функции f (x) и g(x) са ортогонални помежду си в интер-вала [a, b], когато ∫ b

af (x)g(x) dx = 0.

Разбира се, понятието ортогоналност има смисъл само когато произведението f (x)g(x) пред-ставлява интегруема (в собствен или несобствен смисъл) функция.

Казваме, че редицата от функциите

(6) f1(x), f2(x), f3(x), . . .

образува една ортогонална система в интервала [a, b], когато всеки две (различни по номер)функции от тази редица са ортогонални помежду си. Казваме, че ортогоналната система (6)е нормирана, когато квадратът на всяка една от функциите е интегруем в интервала [a, b] и∫ b

af 2k (x) dx = 1, k = 1, 2, 3, . . .


17. Покажете че функциите

1√

2π,

cos x√π,

sin x√π,

cos 2x√π,

sin 2x√π, . . . ,

cos nx√π,

sin nx√π, . . .

образуват ортогонална и нормирана система в интервала [0, 2π].18. Покажете, че функциите√

2π

sin x,

√2π

sin 2x, . . . ,

√2π

sin nx, . . .

образуват ортогонална и нормирана система в интервала [0, π].19. Покажете, че функциите

Tn(x)4√1 − x2

,

къдетоTn(x) = cos[n arccos x]

е n-ти полином на Чебишев, образуват ортогонална система в интервала [−1, 1].20. Покажете, че n-тият полином на Лежандър

Pn(x) =dn

dxn (x2 − 1)n

е ортогонален в интервала [−1, 1] на всички полиноми, чиято степен е по-ниска от n.Упътване. Покажете предварително чрез интегриране по части, че при k < n∫ 1

−1xk dn(x2 − 1)n

dxn dx = (−1)n∫ 1

−1(x2 − 1)n dn xk

dxn dx = 0.

21. Покажете, че полиномите

1n!2n

√2n + 1

2Pn(x), n = 1, 2, 3, . . . ,

където

Pn(x) =dn(x2 − 1)n

dxn

(вж. предната задача), образуват ортогонална и нормирана система.22. Нека непрекъснатите функции

(7) f1(x), f2(x), f3(x), . . .

образуват ортогонална и нормирана система в крайния интервал [a, b] и нека редът

(8) ϕ(x) = a1 f1(x) + a2 f2(x) + a3 f3(x) + · · ·

е равномерно сходящ. Покажете, че

ak =

∫ b

aϕ(x) fk(x) dx, k = 1, 2, . . .

Упътване. Умножете двете части на равенството (8) с fk(x) и интегрирайте от a до b.


23. Нека функциите

(9) f1(x), f2(x), . . .

образуват ортогонална и нормирана система в интервала [a, b] и нека f (x) е една функция, закоято интегралите ∫ b

af 2(x) dx,

∫ b

af (x) fk(x) dx, k = 1, 2, . . . ,

имат смисъл. Да се докаже, че при всички цели положителни стойности на n е в сила нера-венството

a21 + a2

2 + · · · + a2n ≤

∫ b

af 2(x) dx,

където

ak =

∫ b

af (x) fk(x) dx

(Бесел — Bessel).Упътване. Покажете, че∫ b

a

[f (x) −

n∑ν=1

aν fν(x)

]2

dx =

∫ b

af 2(x) dx −

n∑ν=1

a2ν .

24. Нека функцията f (x) и функциите (9) удовлетворяват условията на предната задача.Покажете, че интегралът1 ∫ b

a

[f (x) −

n∑ν=1

cν fν(x)

]2

dx

има най-малка стойност, когато

cν =

∫ b

af (x) fν(x) dx.

Упътване. Положете2

aν =

∫ b

af (x) fν(x) dx

1Стойността на този интеграл зависи от избора на константите

c1, c2, . . . , cn.

2Числата

aν =

∫ b

af (x) fν(x) dx

се наричат Фуриерови коефициенти на функцията f (x) по отношение на ортогоналната инормирана система (9).Редът

a1 f1(x) + a2 f2(x) + · · · + an fn(x) + · · ·

независимо от това, дали е сходящ, или не и независимо от стойността на неговата сума,се нарича Фуриеров ред на функцията f (x) по отношение на ортогоналната и нормиранасистема (9).


и използувайте тъждеството∫ b

a

[f (x) −

n∑ν=1

cν fν(x)

]2

dx =

∫ b

a

[f (x) −

n∑ν=1

aν fν(x)

]2

dx +

n∑ν=1

(cν − aν)2.

25. Нека x1, x2, . . . , xn са нулите на n-тия полином на Лежандър

Pn(x) =dn(x2 − 1)n

dxn .

Покажете, че:а) формулата на Котс

(10)∫ 1

−1f (x) dx = a1 f (x1) + a2 f (x2) + · · · + an f (xn),

където коефициентите a1, a2, . . . , an се определят от равенствата (7) от § 28 на тази глава, евярна, когато f (x) е полином, чиято степен не надминава 2n − 1;

б) коефициентите a1, a2, . . . , an са положителни;в) не е възможно да се изберат точките x1, x2, . . . , xn и коефициентите a1, a2, . . . , an така,

че равенството (10) да бъде вярно при всички полиноми, чиято степен не надминава 2n.(Гаус — C. F. Gauss). Упътване. а) Както е известно от алгебрата, полиномът f (x), чиятостепен не надминава 2n − 1, може да се представи във вида

f (x) = ϕ(x)Pn(x) + R(x),

където ϕ(x) и R(x) са полиноми, чиято степен не надминава n − 1. Използувайте задача 20 идокажете, че ∫ 1

−1f (x) dx =

∫ 1

−1ϕ(x)Pn(x) dx +

∫ 1

−1R(x) dx

=

∫ 1

−1R(x) dx =

n∑ν=1

aνR(xν) =

n∑ν=1

aν f (xν).

б) Разгледайте полиномите

ϕi(x) =P2

n(x)(x − xi)2 ,

чиято степен е равна на 2n − 2, и използувайте тъждеството∫ 1

−1ϕi(x) dx =

n∑ν=1

aνϕi(xν) = aiϕi(xi) = aiP′2n (xi).

в) Разгледайте полинома

F(x) = (x − x1)2(x − x2)2 . . . (x − xn)2.

В такъв случай формулата (10) приема вида∫ 1

−1F(x)dx =

n∑ν=1

aν fν(xν) = 0,

което не е възможно, защото полиномът F(x) приема само неотрицателни стойности, но несе анулира тъждествено.


26. Да разгледаме редицата от полиномите

B1(x), B1(x), B1(x), . . . ,

дефинирани с условията

B1(x) = x − 1,

Bn+1(x) = n∫ x

0Bn(t) dt − nx

∫ 1

0Bn(t) dt, n = 1, 2, . . .

(полиноми на Бернули), и да положим

Bn = B′n+1(1), n = 0, 1, 2, . . .

(числа на Бернули).Докажете, че

1) Bn(0) = 0, n = 2, 3, 4, . . . , Bn(1) = 0, n = 1, 2, 3, . . .

2) B′n+1(x) = nBn(x) − n∫ 1

0Bn(t) dt, n = 1, 2, 3, . . .

3) [Bn(x + 1) − Bn(x)]′ = (n − 1)[Bn−1(x + 1) − Bn−1(x)], n = 2, 3, . . .

4) Bn(x + 1) − Bn(x) = xn−1, n = 1, 2, 3, . . .Извършете доказателството индуктивно и използувайте равенствата Bn(0) = Bn(1) =

0 (при n = 2, 3, . . . ).

5) Bn(2) = 1, n = 1, 2, 3, . . .

6) [B2n+2(x) − B2n+2(2 − x)]′′ = (2n + 1)2n[B2n(x) − B2n(2 − x)], n = 1, 2, 3, . . .

7) B2n(x) − B2n(2 − x) = (x − 1)2n−1, n = 1, 2, . . .(Пресметнете стойността на разликата B2n(x)−B2n(2−x) при x = 0 и x = 1 и извършетедоказателството индуктивно.)

8) B′2n(x) + B′2n(2 − x) = (2n − 1)(x − 1)2n−2, n = 1, 2, . . .

9) B2n−1 = 0, n = 2, 3, 4, . . .

10) B′2(1) = −B′2(0) =12, B′n+1(0) = B′n+1(1), n = 0, 2, 3, 4, . . .

11) Bn = −n∫ 1

0Bn(t) dt, n = 1, 2, . . .

12) B′′n (x) = (n − 1)B′n−1(x), n = 2, 3, 4, . . .

13) B(k)n (x) = (n − 1)B(k−1)

n−1 (x), n = 2, 3, 4, . . . ; k = 2, 3, 4, . . .

14) B(k)n (x) = (n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)B′n−k+1(x), 2 ≤ k ≤ n.

15) B(k)n (1) = (n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)Bn−k, 2 ≤ k ≤ n.

16) B(k)n (1) =

k!n

(nk

)Bn−k, 1 ≤ k ≤ n.

17)

(11) Bn(x) =

n∑k=0

B(k)n (1)k!

(x − 1)k =1n

n∑k=1

(nk

)Bn−k(x − 1)k.


18) n =

n∑k=1

(nk

)Bn−k, n = 1, 2, 3, . . .

(положете x = 2 в равенството (11)).

19)n∑

k=1

(−1)k

(nk

)Bn−k = 0, n = 1, 2, 3, . . .

(положете в тъждеството (11) x = 0).

20) 1k + 2k + 3k + · · · + nk = Bk+1(n + 1).

21) |Bn(x)| ≤ (n − 1)! 2n−1, 0 ≤ x ≤ 1.

22) |Bn| ≤ n! 2n−1, n = 1, 2, 3, . . .

23)xex

ex − 1= B0 +

B1

1!x +

B2

2!x2 +

B3

3!x3 + · · · +

Bn

n!xn + · · ·

при достатъчно малки значения на |x|. Упътване. Покажете, че редът∞∑ν=0

Bν

ν!xν е

сходящ при достатъчно малки значения на |x| и

(ex − 1)∞∑ν=0

Bνxν

ν!= xex.

27. Нека Bn(x) е n-тият полином на Бернули1, a Bn е n-тото Бернулиево1 число. НекаPn(x) са периодични функции с период 1, дефинирани при 0 ≤ x < 1 с условието

Pn(x) =nBn(x) + Bn

n!.

Покажете, че2

1) P1(x) = x − [x] −12.

2) Функциите Pn(x), n = 2, 3, . . . , са непрекъснати дори тогава, когато x е цяло число.Упътване. Покажете, че

limx→1

Pn(x) = Pn(0).

3) Покажете, че функциите Pn(x), n = 3, 4, 5, . . . , са диференцуеми дори тогава, когатоx е цяло число.

4) P′n+1(x) = Pn(x), n = 2, 3, . . .

5) Pn(1) = Pn(0) =Bn

n!, n = 2, 3, . . .

28. Нека функцията f (x) диференцуема и има непрекъсната първа производна при x ≤ 0.Покажете, че3

(12) f (0) + f (1) + · · · + f (n) =

∫ n

0f (x) dx +

f (0) + f (n)2

+

∫ n

0

(x − [x] −

12

)f ′(x) dx

1Вижте предната задача.2Символът [x] означава най-голямото цяло число, което не надминава x.3Символът [x] означава най-голямото цяло число, което не надминава x.


(сумационна формула на Ойлер—Маклорен). Упътване. Използувайте равенството∫ n

0

(x − [x] −

12

)f ′(x) dx =

n−1∑k=0

∫ k+1

k

(x − k −

12

)f ′(x) dx

и интегрирайте по части.29. Нека функцията f (x) диференцуема 2k + 1 пъти при x ≥ 0 и производната и от ред

2k + 1 е непрекъсната. Да се докаже, че при означенията в задачи 26 и 27 имаме

f (0) + f (1) + · · · + f (n) =

∫ n

0f (x) dx +

f (0) + f (n)2

+B2

2![ f ′(n) − f ′(0)] +

B4

4![ f ′′′(n) − f ′′′(0)] + · · · +

B2k

(2k)![ f (2k−1)(n) − f (2k−1)(0)] + Rk,

където

Rk =

∫ n

0P2k+1(x) f (2k+1)(x) dx

(сумационна формула на Ойлер—Маклорен; обобщение на сумационната формула от пред-ната задача.)

Упътване. Извършете във формулата (12) неколкократно интегриране по части и изпол-зувайте задача 27.

30. Нека функцията f (x) е положителна и монотонно намаляваща при x ≥ 0. Ако привсички достатъчно големи стойности на x имаме

(13)ex f (ex)

f (x)≤ q < 1,

то редът

(14) f (0) + f (1) + f (2) + · · ·

е сходящ. Ако при всички достатъчно големи стойности на x имаме

(15)ex f (ex)

f (x)≥ 1,

то редът (14) е разходящ (критерий на Ермаков).Упътване. Ако е изпълнено условието (13), то при x ≥ x0, където x0 е достатъчно

голямо, имаме ∫ ex

ex0f (t) dt =

∫ x

x0

et f (et)(dt) ≤ q∫ x

x0

f (t) dt


(1 − q)∫ ex

ex0f (t) dt ≤ q

[∫ x

x0

f (t) dt −∫ ex

ex0f (t) dt

]

≤ q

[∫ ex0

x0

f (t) dt −∫ ex

xf (t) dt

]≤ q∫ ex0

x0

f (t) dt.

Заключете оттук, че интегралът∫ ∞

0f (t) dt е сходящ и приложете интегралния критерий

на Коши.


Ако е изпълнено условието (15), то при x ≥ x1, където x1 е достатъчно голямо, имаме∫ ex

ex1t f (t) dt =

∫ x

x1

et f (et) dt ≥∫ x

x1

f (t) dt

и следователно ∫ ex

xf (t) dt ≥

∫ ex1

x1

f (t) dt.

Заключете оттук, че интегралът∫ ∞

0f (t) dt е разходящ и приложете интегралния крите-

рий на Коши.31. Нека дефинираме функцията Γ(x) (четете — гама икс) при x > 0 по следния начин:

(16) Γ(x) =

∫ ∞

0e−ttx−1 dt.

Наричаме интеграла (16) сходящ, когато двата интеграла∫ 1

0e−ttx−1 dt,

∫ ∞

1e−ttx−1 dt

са сходящи, и полагаме по дефиниция∫ ∞

0e−ttx−1 dt =

∫ 1

0e−ttx−1 dt +

∫ ∞

1e−ttx−1 dt.

Забележка. Означенията, които ще въвеждаме в някои от точките, ще използуваме и вследните точки.

Да се докаже следното:

1) Интегралът ∫ ∞

0e−ttx−1 dt

е сходящ при x > 0.

2) Ако x е цяло положително число, то

Γ(x) = (x − 1)! .

3) Функцията Γ(x) е диференцуема безбройно много пъти.

4) Ако една функция ψ(x) е диференцуема два пъти в някой интервал ∆ и втората ипроизводна е неотрицателна, то при фиксирано x отношението

ψ(x + h) − ψ(x)h

е монотонно растяща функция на h, когато x и x + h принадлежат към ∆.

5) Функцията Γ(x) притежава следните свойства при всички положителни стойностина x:

а) Γ(x + 1) = xΓ(x);

б) Γ(x) > 0;

в)d2

dx2

[ln Γ(x)

]> 0;


г) Γ(1) = 1.

Тези условия ще наричаме кратко условия на Бор—Молеруп.

6) Ако една функция f (x) е дефинирана при x > 0, два пъти е диференцуема и удовлет-ворява при всички положителни стойности на x условията

а) f (x + 1) = x f (x);

б) f (x) > 0;

в)d2

dx2

[ln f (x)

]> 0;

г) f (1) = 1,

то f (x) = Γ(x).(H. Bohr и J. Mollerup; E. Artin).

Упътване. Като използуваме неравенствата

ln f (−1 + n) − ln f (n)(−1 + n) − n

≤ln f (x + n) − ln f (n)

(x + n) − n≤

ln f (1 + n) − ln f (n)(1 + n) − n

при цели, по-големи от 1 стойности на n и при 0 < x ≤ 1, покажете, че

(n − 1)x(n − 1)!x(x + 1) . . . (x + n − 1)

≤ f (x) ≤nxn!

x(x + 1) . . . (x + n)x + n

nи заключете оттук, че

nx + n

f (x) ≤nxn!

x(x + 1) . . . (x + n)≤ f (x).

Използувайте тези неравенства, за да установите, че

f (x) = limn→∞

nxn!x(x + 1) . . . (x + n)

и следователно f (x) = Γ(x) при 0 < x ≤ 1. Разпространете този резултат за всичкиположителни стойности на x, като използувате равенствата Γ(x+1) = xΓ(x) и f (x+1) =

x f (x).Забележка. Представянето

Γ(x) = limn→∞

nxn!x(x + 1) . . . (x + n)

произхожда от Гаус.

7) Нека при x > 0 положим

g(x) =

(x +

12

)ln(

1 +1x

)− 1.

Покажете, че

0 < g(x) <1

12x−

112(x + 1)

.

Упътване. Очевидно

g(x) =1

3(2x + 1)2 +1

5(2x + 1)4 +1

7(2x + 1)6 + · · ·

<1

3(2x + 1)2 +1

3(2x + 1)4 +1

3(2x + 1)6 + · · · =1

12(x + 1)=

112x−

112(x + 1)

.


8) Да се докаже, че редът

µ(x) =

∞∑n=0

g(x + n)

е сходящ при x > 0 и 0 < µ(x) <1

12x.

9) Да се покаже, чеΓ(x) = xx− 1

2 e−xeθ

12x√

2π,

където 0 < θ < 1 (θ изобщо зависи от x) (Стирлинг — Stirling).

Упътване. Покажете, че функцията

f (x) = Axx− 12 e−xeµ(x)

удовлетворява условията на Бор—Молеруп при подходящ избор на константата A.Пресметнете A от формулата на Валис, която може да се напише във вида

π = limn→∞

(2nn!)4

(2n!)2n

(вж. задача 11).

10) Да се покаже, че

Γ( x

2

)Γ

(x + 1

2

)=

√π

2x−1 Γ(x)

(Лежандр).

11) Покажете, че дефиницията на Γ(x) може еднозначно да се продължи и за отрицателнистойности на x, които не са цели, по такъв начин, че да имаме

Γ(x + 1) = xΓ(x).

12) Покажете, че при всички стойности на x, които не са цели, имаме

Γ(x)Γ(1 − x) =π

sin πx.

Упътване. Разгледайте функцията ϕ(x), дефинирана с условието

ϕ(x) = Γ(x)Γ(1 − x) sin πx,

при нецели стойности на x и с условието ϕ(x) = π, когато x е цяло. Покажете че

ϕ(x + 1) = ϕ(x) и ϕ(x) > 0.

Покажете, че функцията ϕ(x) е безбройно много пъти диференцуема, включителнои в целочислените точки, като вземете под внимание, че при −1 < x < 1 е валиднопредставянето

ϕ(x) = Γ(1 + x)Γ(1 − x)(π −

π3 x2

3!+π5 x4

5!− · · ·

)и като използувате периодичността на ϕ(x). Покажете с помощта на формулата наЛежандр от т. 10, че

ϕ( x

2

)ϕ

(x + 1

2

)= Cϕ(x),


където C e константа. Положете

g(x) =d2

dx2 lnϕ(x)

и покажете, че

(17)14

[g( x

2

)+ g(

x + 12

)]= g(x).

Установете, че функцията g(x) е периодична и непрекъсната и следователно е ог-раничена. Нека L е точната горна граница на |g(x)|. Покажете с помощта на (17),че

|g(x)| ≤12

L

и следователно L ≤12

L, т. е. L = 0. Установете с помощта на този резултат, че

функцията lnϕ(x) е линейна. Покажете, че тя е константа, като използувате нейнатапериодичност. Покажете, че при всяко x имаме ϕ(x) = π.

13) Покажете, че при всяко x имаме

sin πx = limn→∞

[πx(

1 −x2

12

)(1 −

x2

22

)· · ·

(1 −

x2

n2

)](Ойлер).Забележка. Често тази формула се записва във вида

sin πx = πx∞∏ν=1

(1 −

x2

ν2

).

Упътване. Използувайте, че при всяко x, което не е цяло,

sin πx =π

−xΓ(x)Γ(−x),

Γ(x) = limn→∞

nxn!x(x + 1) . . . (x + n)

.

По този начин ще получите исканото представяне на sin πx при нецели стойности наx. Когато x е цяло, направете директна проверка.

14) Да се покаже, че при x > 0 и y > 0∫ 1

0tx−1(1 − t)y−1 dt =

Γ(x)Γ(y)Γ(x + y)

.

Упътване. Покажете, че функцията

ϕ(x) =Γ(x + y)

Γ(y)

∫ 1

0tx−1(1 − t)y−1 dt

при фиксирано y удовлетворява условията на Бор—Молеруп.


32. Да се покаже, че Неперовото число е трансцендентно, т. е. че то не удовлетворяваникое алгебрично уравнение с цели коефициенти (Ермит — Hermite).

Упътване. Допуснете, че числото e удовлетворява уравнението

a0 + a1e + a2e2 + · · · + anen = 0,

чиито коефициенти са цели; положете

F(x) = f (x) + f ′(x) + · · · + f (m)(x),

където f (x) е полином от m-та степен, и като използувате, че

F(x) = exF(0) − ex∫ x

0f (t)e−t dt,

установете тъждеството

a0F(0) + a1F(1) + · · · + anF(n) +

n∑k=0

akek∫ k

0f (t)e−t dt = 0.

Изберете полинома f (x) по следния начин:

f (x) =1

(p − 1)!xp−1(1 − x)p(2 − x)p . . . (n − x)p.

Като вземете под внимание, че произведение на p последователни цели числа винаги седели на p!, покажете, че коефициентите на полиномите

f (p)(x), f (p+1)(x), . . . , f (pn+p−1)(x)

цели числа, които се делят на p. Като използувате това обстоятелство и обстоятелството, че

f (s)(1) = f (s)(2) = · · · = f (s)(n) = 0

при s = 0, 1, . . . , p − 1, покажете, че числата

F(1), F(2), . . . , F(n)

са цели и се делят на p. От друга страна, като вземем под внимание, че

f (0) = f ′(0) = · · · = f (p−2)(0) = 0

иf (p−1)(0) = (n!)p,

покажете, че числото

F(0) = f (0) + f ′(0) + · · · + f (p−2)(0) + f (p−1)(0) + f (p)(0) + · · · + f (pn+n−1)(0)

е цяло, но не се дели на p, ако p е просто число, по-голямо от n. Използувайте този резултати обстоятелството, че a0 , 0, за да покажете, че числото

a0F(0) + a1F(1) + · · · + anF(n)

е цяло и различно от нула, когато p е достатъчно голямо.След всичко това използувайте оценката∣∣∣∣∫ k

0f (t)e−t dt

∣∣∣∣ ≤ 1(p − 1)!

nnp+p−1∫ k

0e−t dt <

1(p − 1)!

nnp+p−1,

валидна при 0 ≤ k ≤ n, за да покажете, че числото p може да се избере толкова голямо, че даимаме

|a0F(0) + a1F(1) + · · · + anF(n)| < 1,което не е възможно.

Част II

ДВОЙНИ И ТРОЙНИ ИНТЕГРАЛИ

Глава I

ДВОЙНИ ИНТЕГРАЛИ

§ 1. Дефиниция на понятието двоен интеграл

Нека ни е дадена една функция f (x, y), дефинирана и ограничена в ед-но измеримо точково множество R. Делим множеството R на краен бройизмерими подмножества

(1) R1,R2,R3, . . . ,Rn

по такъв начин, че мярката на сечението на всеки две от тях да бъде нула исумата

R1 + R2 + · · · + Rn

да представлява точно множеството R. Нека σi е лицето на множеството Ri

и нека Mi и mi са съответно точната горна и точната долна граница на f (x, y)в множеството на Ri. Сумата

S =

n∑i=1

Miσi

се нарича голяма, а сумата

S =

n∑i=1

miσi

се нарича малка сума на Дарбу, която отговаря на избрания начин на де-ление на множеството R на измерими подмножества (1). Не е трудно да сеустановят неравенствата

(2) mσ ≤ s ≤ S ≤ Mσ,

където M и m означават съответно една горна и една долна граница на f (x, y)в множеството R, а σ е лицето на R.

И наистина неравенствата

m ≤ mi ≤ Mi ≤ M

285

286 Двойни интеграли

ни даватmσi ≤ miσi ≤ Miσi ≤ Mσi


mn∑

i=1

σi ≤

n∑i=1

miσi ≤

n∑i=1

Miσi ≤ Mn∑

i=1

σi,

откъдето получаваме веднага неравенствата (2), като вземем пред вид, че

n∑i=1

σi = σ.

Неравенствата (2) ни учат, че както множеството на малките, така имножеството на големите суми на Дарбу е ограничено (и отгоре, и отдолу).Точната горна граница на множеството на малките суми се означава съссимвола "

Rf (x, y) dx dy

и се нарича долен интеграл на функцията f (x, y), разпространен върху мно-жеството R, а точната долна граница на големите суми се означава със сим-вола "

Rf (x, y) dx dy

и се нарича горен интеграл на функцията f (x, y), разпространен върху мно-жеството R.

Не е трудно да се установи неравенството"R

f (x, y) dx dy ≤"

Rf (x, y) dx dy.

За тази цел делим множеството R по два произволни начина на измеримиподмножества

A1, A2, . . . , Ap

иB1, B2, . . . , Bq

така, че да имаме

R = A1 + A2 + · · · + Ap,

R = B1 + B2 + · · · + Bq

§ 1. Дефиниция на понятието двоен интеграл 287

иµ(AiAk) = 0, µ(BiBk) = 0

при i , k.Да означим с Mi точната горна граница на f (x, y) в Ai, a с mk — точната

долна граница на f (x, y) в Bk. Ще покажем, че между голямата сума

S =

p∑i=1

Miµ(Ai)

и малката сума

s =

q∑k=1

mkµ(Bk)

на Дарбу е в сила неравенството

(3) s ≤ S .

За да покажем това, означаваме с Mik и mik съответно точната горна иточната долна граница на f (x, y) в множеството1 AiBk и разглеждаме дветесуми на Дарбу

S ∗ =

p∑i=1

q∑k=1

Mikµ(AiBk),

s∗ =

p∑i=1

q∑k=1

mikµ(AiBk).

Не е трудно да се види, че

(4) mkµ(AiBk) ≤ mikµ(AiBk) ≤ Mikµ(AiBk) ≤ Miµ(AiBk).

И наистина, ако сечението AiBk не е празно, очевидно

mk ≤ mik ≤ Mik ≤ Mi

и следователно в този случай неравенството (4) е вярно. Ако ли пък сечени-ето AiBk е празно, µ(AiBk) = 0 и следователно неравенствата (4) са верни ив този случай, както и да избираме числата Mik и mik.

Като съберем почленно неравенствата (4), получаваме

(5)p∑

i=1

q∑k=1

mkµ(AiBk) ≤ s∗ ≤ S ∗ ≤p∑

i=1

q∑k=1

Miµ(AiBk).

1Ако сечението AiBk е празно, то с Mik и mik означаваме кои да са две числа.


От друга страна, като вземем пред вид, че

AiBk . AsBk ⊂ AiAs

и следователно при i , s

µ(AiBk . AsBk) = 0,

намираме

p∑i=1

q∑k=1

mkµ(AiBk) =

q∑k=1

mk

p∑i=1

µ(AiBk) =

q∑k=1

mkµ(Bk) = s.


p∑i=1

q∑k=1

Miµ(AiBk) =

p∑i=1

Mi

q∑k=1

µ(AiBk) =

p∑i=1

Miµ(Ai) = S .

По такъв начин неравенствата (5) приемат вида

s ≤ s∗ ≤ S ∗ ≤ S .

С това е установена валидността на неравенството (3).След всичко изложено не е трудно да се покаже, че"

Rf (x, y) dx dy ≤

"R

f (x, y) dx dy.

И наистина, като фиксираме в неравенството (3) една голяма сума S и оста-вим малката сума s да се мени, заключаваме, че S е една горна граница намножеството на малките суми. Като вземем пред вид, че"

Rf (x, y) dx dy

е точната, т. е. най-малката им горна граница, получаваме

(6)"

Rf (x, y) dx dy ≤ S .

Така полученото неравенство (6) ни учи, че"R

f (x, y) dx dy


е една долна граница на множеството от големите суми на Дарбу. Като взе-мем пред вид, че "

Rf (x, y) dx dy

е точната, т. е. най-голямата от долните граници на тези суми, получаваме"R

f (x, y) dx dy ≤"

Rf (x, y) dx dy.

Сега вече сме в състояние да дадем следната обща дефиниция на поня-тието двоен Риманов интеграл:

Една ограничена функция f (x, y), дефиниционната област R на коятое едно измеримо точково множество, ще наричаме интегруема в Римановсмисъл в R, когато "

Rf (x, y) dx dy =

"R

f (x, y) dx dy.

Общата стойност на горния и долния интеграл ще наричаме двоен Римановинтеграл и ще я означаваме със символа1"

Rf (x, y) dx dy.

Тук ще изброим по-важните основни свойства на двойните интеграли,които са съвсем аналогични на съответните свойства на простите интеграли.Доказателства този път обаче няма да даваме, защото те могат да се дадатпо същия начин, както при простите интеграли.

1. Ако функциите f1(x, y) и f2(x, y) са интегруеми в едно измеримо точ-ково множество R, сумата

f1(x, y) + f2(x, y)

е също тъй интегруема в R и"R[ f1(x, y) + f2(x, y)] dx dy =

"R

f1(x, y) dx dy +

"R

f2(x, y) dx dy.

1Понякога двойният интеграл се означава по-кратко така:∫R

f (x, y)dσ.


2. Ако функцията f (x, y) е интегруема в измеримото точково множествоR и a е константа, функцията a f (x, y) е също тъй интегруема в R и"

Ra f (x, y) dx dy = a

"R

f (x, y) dx dy.

3. Ако A и B са две измерими точкови множества, ако мярката на сече-нието AB е равна на нула и ако функцията f (x, y) е интегруема както в A,така и в B, тази функция е интегруема и в множеството A + B, като при това"

A+Bf (x, y) dx dy =

"A

f (x, y) dx dy +

"B

f (x, y) dx dy.

4. Ако функцията f (x, y) е интегруема в измеримото точково множествоR и удовлетворява неравенствата

m ≤ f (x, y) ≤ M,

то

mµ(R) ≤"

Rf (x, y) dx dy ≤ Mµ(R).

Следствие 5. Ако f (x, y) ≥ 0, то"R

f (x, y) dx dy ≥ 0.

Следствие 6. Ако µ(R) = 0, то"R

f (x, y) dx dy = 0.

Следствие 7. АкоR1,R2,R3, . . .

е една редица от измерими подмножества на R, за които

limn→∞

µ(Rn) = 0,

то

limn→∞

"Rn

f (x, y) dx dy = 0.

Следствие 8. "R

1 dx dy = µ(R).


5. Всяка функция f (x, y), която е дефинирана и непрекъсната в едноизмеримо и затворено точково множество R, е интегруема.

Доказателствата на горните твърдения протичат така, както при прости-те интеграли. Ще докажем за пример само петото твърдение.

Функцията f (x, y) е ограничена, защото тя е непрекъсната в едно огра-ничено и затворено точково множество. Поради това можем да говорим загорен и долен интеграл на тази функция. Нашата задача е да покажем, четези два интеграла са равни помежду си. За тази цел избираме едно произ-волно положително число ε и делим множеството R на подмножества

(7) R1,R2, . . . ,Rn,

подчинени на условието µ(Ri Rk) = 0 при i , k по такъв начин, че осци-лацията на f (x, y) във всяко от тези подмножества да бъде по-малка от ε.Това, както знаем, да се постигне, стига диаметрите на подмножествата (7)да бъдат достатъчно малки.1

Черт. 17

Означаваме с Mi и mi точнатагорна и точната долна граница наf (x, y) в множествата Ri и разглежда-ме съответната голяма и малка сумана Дарбу:

S =

n∑i=1

Miµ(Ri),

s =

n∑i=1

miµ(Ri).

Както знаем, неравенствата

s ≤"

Rf (x, y) dx dy

≤

"R

f (x, y) dx dy ≤ S

1Ние можем винаги да разделим множеството R на измерими подмножества с произволномалки диаметри, например с помощта на хоризонтални и вертикални прави, както това епоказано на черт. 17. Подмножествата, на които се разпада по този начин R, са измерими,защото те представляват сечения на измеримото множество R с правоъгълници (т. е. пак сизмерими множества).


са в сила и следователно

(8)

0 ≤"

Rf (x, y) dx dy −

"R

f (x, y) dx dy ≤ S − s

=

n∑i=1

(Mi − mi)µ(Ri) ≤ εn∑

i=1

µ(Ri) = εµ(R).

От друга страна, положителното число ε е произволно, а µ(R) и разликата"R

f (x, y) dx dy −"

Rf (x, y) dx dy

ни най-малко не зависят от ε. Това ни позволява да заключим,1 че"R

f (x, y) dx dy −"

Rf (x, y) dx dy = 0.

По този начин ние доказахме, че непрекъсната функция f (x, y) е интегруема.Доказателството запазва валидността си и в случая, когато измеримото мно-жество R не е непременно затворено, стига да знаем, че функцията f (x, y) еравномерно непрекъсната в него.

Нека функцията f (x, y) е дефинирана в едно измеримо точково множес-тво R. Да разделим множеството R на краен брой измерими подмножества

R1,R2, . . . ,Rn,

подчинени на условието µ(Ri Rk) = 0 при i , k, и да изберем във всяко едноот тези подмножества Ri по една точка (ξi, ηi). Сумите от вида

(9)n∑

i=1

f (ξi, ηi)µ(Ri)

се наричат Риманови интегрални суми на функцията f (x, y). Разбира се, ко-гато множеството R съдържа безбройно много точки, ние можем за даденафункция f (x, y) да образуваме безбройно много2 Риманови интегрални су-ми в зависимост от начина на деление на множеството R на подмножестваи в зависимост от избора на точките (ξi, ηi). Нека отбележим още, че за даобразуваме сумите от вида (9), няма нужда да предполагаме нищо за огра-ничеността на функцията f (x, y).

1В противен случай неравенството (8) сигурно би било нарушено, ако ε е достатъчномалко.

2Ние не твърдим обаче, че стойностите на тези суми са непременно различни.


Специално, ако функцията f (x, y) е интегруема, сумите (9) клонят къминтеграла1

I =

"R

f (x, y) dx dy,

когато диаметрите на подмножествата Ri клонят към нула. Това трябва дасе разбира така: каквото и да е положителното число ε, можем да изберемтакова положително число δ, че ако диаметрите на множествата Ri са по-малки от δ, да имаме ∣∣∣∣∣I −

n∑i=1

f (ξi, ηi)µ(Ri)

∣∣∣∣∣ < ε.Ние няма да даваме общото доказателство на това твърдение, а ще се

задоволим (с оглед на конкретните задачи, които ни предстоят) само съсслучая, когато множеството R е затворено, а функцията f (x, y) е непрекъсна-та. В такъв случай тази функция и е равномерно непрекъсната2 и можем даизберем положителното число δ по такъв начин, че ако диаметрите на подм-ножествата Ri са по-малки от δ, осцилацията на функцията f (x, y) във всякоедно от тези множества да бъде по-малка от ε. Означаваме с Mi и mi точнатагорна и точната долна граница на f (x, y) в подмножеството Ri и разглеждамеголямата сума

S =

n∑i=1

Miµ(Ri)

и малката сума

s =

n∑i=1

miµ(Ri).

Неравенстватаmi ≤ f (ξi, ηi) ≤ Mi

ни дават

s ≤n∑

i=1

f (ξi, ηi)µ(Ri) ≤ S .

1Често Римановият интеграл се дефинира с помощта на суми от вида (9) по следниятначин: казваме, че една функция f (x, y), дефинирана и ограничена в едно измеримо множес-тво R, е интегруема в Риманов смисъл, ако сумите (9) имат граница I, когато диаметрите наRi клонят към нула; числото I се нарича интеграл на f (x, y). Тази дефиниция е еквивалентнана дефиницията, която ние дадохме в текста, обаче ние няма да се спираме по-подробновърху този въпрос. Трудолюбивият читател нека сам го осмисли. Ние ще обърнем вниманиесамо върху обстоятелството, че за разлика от едноизмеримия случай тук от съществуване награницата на Римановите суми на една функция не следва ограничеността на тази функция.

2Нека припомним, че множеството R е измеримо и следователно е ограничено.


Като вземем пред вид още и неравенствата

s ≤ I ≤ S ,

получаваме∣∣∣∣∣I −n∑

i=1

f (ξi, ηi)µ(Ri)

∣∣∣∣∣ ≤ S − s =

n∑i=1

(Mi − mi)µ(Ri) ≤n∑

i=1

εµ(Ri) = εµ(R),

с което доказателството е завършено.Разбира се, доказателството запазва валидността си в случая, когато из-

меримото множество R не е непременно затворено, стига функцията f (x, y)да е равномерно непрекъсната в него.

Целесъобразно е дефиницията на понятието двоен интеграл малко да серазшири, като се съгласим под символа"

Af (x, y) dx dy,

когато A е празното множества, да разбираме нула, каквато и да бъде фун-кцията f (x, y). Свойствата 1, 2, 3, 4 и 5, които ние формулирахме в тозипараграф, запазват валидността си при така разширената дефиниция. Чита-телят, разбира се, сам може да провери това. Така например свойството 2може да се установи така: ако множеството A е празно, то, каквото и да бъдеизмеримото множество B, ще имаме"

A+Bf (x, y) dx dy =

"B

f (x, y) dx dy =

"A

f (x, y) dx dy +

"B

f (x, y) dx dy.

Ние често ще използуваме интеграли, разпрострени върху празното мно-жество. Това ще облекчи нашата работа.

§ 2. Пресмятане на двойни интеграли

Нека R е едно множество от точки в равнината, дефинирано с неравен-ствата

(1)a ≤ x ≤ b,

ϕ0(x) ≤ y ≤ ϕ1(x),

където ϕ0(x) и ϕ1(x) са две непрекъснати функции на x в компактния интер-вал a ≤ x ≤ b, удовлетворяващи условието

ϕ0(x) ≤ ϕ1(x).

§ 2. Пресмятане на двойни интеграли 295

Това значи, че една точка (x, y) се причислява към R тогава и само тогава, ко-гато координатите и удовлетворяват неравенствата (1). Тук се касае за едноточково множество от твърде специален вид1 (вж. черт. 18). Такова множес-тво, както вече имахме случай да споменем по-рано, се нарича криволинеентрапец, чиито основи са перпендикулярни на оста x. Ние знаем, че таковамножество е измеримо (вж. част I, глава II, § 19). Лесно се вижда, че тое и затворено, защото границата на редица от точки, които удовлетворяватнеравенствата (1), също удовлетворява тези неравенства.


Нека f (x, y) е функция, която е дефинирана и непрекъсната в R. В такъвслучай, както знаем, тя е интегруема, защото множеството R е затворено иизмеримо. Това ни дава възможност да образуваме интеграла"

Rf (x, y) dx dy.

Да фиксираме x в интервала a ≤ x ≤ b. В такъв случай f (x, y) ще бъдефункция на единствената променлива y, дефинирана и непрекъсната, а сле-дователно и интегруема в интервала [ϕ0(x), ϕ1(x)]. Това ни дава възможностда образуваме

F(x) =

∫ ϕ1(x)

ϕ0(x)f (x, y) dx dy.

1Ако областта R е дефинирана с неравенства от вида (1) , то всяка права, успоредна наоста y, или не съдържа повече от две контурни точки на R, или съдържа безкрайно многотакива точки. Ако следователно едно точково множество не удовлетворява това условие, тосигурно не представлява криволинеен трапец с вертикални основи. Така например кръгови-ят венец, който е изобразен на черт. 19, не представлява такъв трапец, защото има прави,успоредни на оста y, които секат контура му в 4 точки.


Теорема. Функцията F(x) е интегруема1 в интервала [a, b] и

(1′)"

Rf (x, y) dx dy =

∫ b

aF(x) dx.

Доказателство. Делим интервала [a, b] на подинтервали с помощта наточките

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

и разглеждаме кривите

ϕt(x) = ϕ0(x) + t[ϕ1(x) − ϕ0(x)],

където на t даваме стойностите

0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = 1.

Черт. 20

Правите x = xi, i = 0, 1, 2, 3, . . . , nи кривите y = ϕtk (x), k = 0, 1, 2, . . . , n,разделят криволинейния трапец R, оп-ределен с неравенствата

a ≤ x ≤ b,

ϕ0(x) ≤ y ≤ ϕ1(x),

на по-малки трапеци Gik, дефиниранис неравенствата

xi−1 ≤ x ≤ xi,

ϕtk−1(x) ≤ y ≤ ϕtk (x)

(вж. черт. 20) в смисъл, че R =n∑

i=1

n∑k=1

Gik, както това лесно се доказва.

Не е трудно да се види, че функциите

Fk(x) =

∫ ϕtk (x)

ϕtk−1 (x)f (x, y) dy

1Тя дори е непрекъсната. Нека читателят сам обмисли доказателството.


са ограничени в интервала a ≤ x ≤ b. И наистина, ако означим с M еднагорна граница на | f (x, y)|, ще получим

|Fk(x)| ≤ M[ϕtk (x) − ϕtk−1(x)] = M(tk − tk−1)(ϕ1(x) − ϕ0(x)).

Функциите ϕ1(x) и ϕ0(x) обаче са непрекъснати в компактния интервал a ≤x ≤ b и следователно ограничени. С това е установена и ограничеността наFk(x). По такъв начин добиваме възможност да образуваме горния и долнияинтеграл от Fk(x) във всеки подинтервал на интервала a ≤ x ≤ b.

Означавайки с Mik и mik точната горна граница и точната долна границана f (x, y) в множеството Gik, получаваме1∫ xi

xi−1

[∫ ϕtk (x)

ϕtk−1 (x)f (x, y) dy

]dx ≤ Mik

∫ xi

xi−1

[∫ ϕtk (x)

ϕtk−1 (x)dy

]dx

= Mik

∫ xi

xi−1

[ϕtk (x) − ϕtk−1(x)

]dx = Mikµ(Gik).

Фиксираме i, даваме на k стойности 1, 2, . . . , n и събираме получените нера-венства. По такъв начин намираме∫ xi

xi−1

[∫ ϕ1(x)

ϕ0(x)f (x, y) dy

]dx ≤

n∑k=1

Mikµ(Gik)

или още ∫ xi

xi−1

F(x) dx ≤n∑

k=1

Mikµ(Gik).

Като дадем на i в последното неравенство стойностите 1, 2, . . . , n и съ-берем получените неравенства, ще намерим∫ b

aF(x) dx ≤

n∑i=1

n∑k=1

Mikµ(Gik).


n∑i=1

n∑k=1

mikµ(Gik) ≤∫ b

aF(x) dx.

1Лицето на множеството Gik е равно на разликата на двата интеграла∫ xi

xi−1

ϕtk (x) dx −∫ xi

xi−1

ϕtk−1 (x) dx =

∫ xi

xi−1

[ϕtk (x) − ϕtk−1 (x)] dx.


От друга страна, сечението на всеки два различни трапеца Gik има мярканула, както това лесно се доказва. Въз основа на това заключаваме, че

n∑i=1

n∑k=1

mikµ(Gik) ≤"

Rf (x, y) dx dy ≤

n∑i=1

n∑k=1

Mikµ(Gik),

и следователно∣∣∣∣"R

f (x, y) dx dy −∫ b

aF(x) dx

∣∣∣∣ ≤ n∑i=1

n∑k=1

(Mik − mik)µ(Gik).

Функцията f (x, y) е обаче непрекъсната и следователно при всеки избор наположителното число ε можем да направим диаметрите на подмножестватаGik толкова малки,1 че да имаме

Mik − mik < ε.

Оттук получаваме следното неравенство:∣∣∣∣"R


aF(x) dx

∣∣∣∣ ≤ n∑i=1

n∑k=1

εµ(Gik) = εµ(R).

Положителното число ε обаче е произволно, а константите µ(G) и"R


aF(x) dx

не зависят от него. Това ни позволява да заключим, че"R


aF(x) dx = 0.

По аналогичен път получаваме"R

f (x, y) dx dy =

∫ b

aF(x) dx.

1За тази цел избираме както точките

x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn,

така и точкитеt0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tn

достатъчно близо една до друга.


От това следва, че ∫ b

aF(x) dx =

∫ b

aF(x) dx,

т. е. функцията F(x) е интегруема в интервала a ≤ x ≤ b и"R

f (x, y) dx dy =

∫ b

aF(x) dx.

С това доказателството е завършено.Ние можем да получим същия резултат и с помощта на основната теорема на

интегралното смятане в равнината по следния начин.Нека ∆ е полузатворен правоъгълник и ψ(x, y) е неговата характеристична фун-

кция. Избираме произволно положително число ε и покриваме контура на R съссистема от краен брой отворени кръгове C1,C2, . . . ,Cn по такъв начин, че сумата отквадратите на техните радиуси да бъде по-малка от ε.

Образуваме двете спомагателни полуадитивни функции:

θ1(∆) =

∫ b

a

[ ∫ ϕ1(x)

ϕ0(x)f (x, y)ψ(x, y) dy

]dx −

"∆R

f (x, y) dx dy − 2Mn∑

k=1

µ(∆Ck) − 2εµ(∆R),

(2)

θ2(∆) =

"∆R


a

[ ∫ ϕ1(x)

ϕ0(x)f (x, y)ψ(x, y) dy

]dx − 2M

n∑k=1

µ(∆Ck) − 2εµ(∆R),

(3)

където M е една горна граница на | f (x, y)|. Полуадитивността на тези функции еочевидна (вж. част I, глава II, § 16). Също тъй не е трудно да се види, че те санеположителни около всяка точка P на равнината (относно смисъла на тези думивж. част I, глава II, § 15). Ние ще покажем това за функцията θ1(∆). Читателят щеможе сам да извърши проверката за функцията θ2(∆).

Нека точката P е външна за R. В такъв случай, ако ∆ се намира в достатъчномалка околност на P, сечението на ∆ с R ще бъде празно и следователно в R щеимаме ψ(x, y) = 0. По такъв начин получаваме в този случай

θ1(∆) = −2Mn∑

k=1

µ(∆Ck) − 2εµ(∆R) ≤ 0.

Нека точката P е вътрешна за R. Да означим (x0, y0) нейните координати. Втакъв случай около P може да се избере достатъчно малка околност U, която сесъдържа в R и в която са изпълнени неравенствата

f (x0, y0) − ε ≤ f (x, y) ≤ f (x0, y0) + ε,

защото функцията f (x, y) е непрекъсната. По този начин всеки път, когато ∆ сесъдържа в U, ще имаме


θ1(∆) ≤∫ b

a

[ ∫ ϕ1(x)

ϕ0(x)( f (x0, y0) + ε)ψ(x, y) dy

]dx

−

"∆

( f (x0, y0) − ε) dx dy − 2Mn∑

k=1

µ(∆Ck) − 2εµ(∆)

≤ ( f (x0, y0) + ε) µ(∆) − ( f (x0, y0) − ε) µ(∆) − 2εµ(∆) = 0,

защото, както знаем (вж. част I, глава II, § 16),∫ b

a

[∫ ϕ1(x)

ϕ0(x)( f (x0, y0) + ε)ψ(x, y) dy

]dx = ( f (x0, y0) + ε) µ(∆).

Остана да разгледаме случая, когато точка P е контурна за R. В такъв случайP е вътрешна за някой от покриващите кръгове C1,C2, . . . ,Cn. Нека U е околностна P, която се съдържа в C1 + C2 + · · · + Cn. В такъв случай всеки път, когато ∆ сесъдържа в U, ще имаме

θ1(∆) ≤ M∫ b

a

[ ∫ ϕ1(x)

ϕ0(x)ψ(x, y) dy

]dx

+ M"

∆Rdx dy − 2Mµ(∆) − 2εµ(∆R)

≤ Mµ(∆) + Mµ(∆) − 2Mµ(∆) − 2εµ(∆R) ≤ 0,

защото, както знаем, ∫ b

a

[ ∫ ϕ1(x)

ϕ0(x)ψ(x, y) dy

]dx ≤ µ(∆)

(вж. част I, глава II, § 16).Този резултат ни дава възможност да приложим основната теорема на интег-

ралното смятане в равнината (вж. част I, глава II, § 15). По такъв начин имаме

θ1(∆) ≤ 0

при всеки избор на полузатворения правоъгълник ∆. Специално, ако изберем ∆

така, че да съдържа R, ще получим∫ b

aF(x) dx −

"R

f (x, y) dx dy − 2Mn∑

k=1

µ(Ck) − 2εµ(R) ≤ 0.

От друга страна,n∑

k=1

µ(Ck) < ε и следователно

∫ b

aF(x) dx ≤

"R

f (x, y) dx dy + 2Mε + 2εµ(R)


или след граничния преход ε→ 0

(4)∫ b

aF(x) dx ≤

"R

f (x, y) dx dy.

Като изучим по аналогичен начин функцията θ2(∆), ще получим

(5)"

Rf (x, y) dx dy ≤

∫ b

aF(x) dx.

От друга страна, очевидно ∫ b

aF(x) dx ≤

∫ b

aF(x) dx,

което заедно с (4) и (5) ни дава"R

f (x, y) dx dy =

∫ b

aF(x) dx =

∫ b

aF(x) dx.

По такъв начин ние виждаме, че функцията F(x) е интегруема и"R

f (x, y) dx dy =

∫ b

aF(x) dx.


Аналогично, ако интеграционната област R представлява криволинеентрапец с хоризонтални основи, т. е. ако тази област се определя с неравенс-тва от вида

c ≤ y ≤ d,

g0(y) ≤ x ≤ g1(y),

където функциите g0(y) и g1(y) са дефинирани и непрекъснати в интервала[c, d] и удовлетворяват неравенството

g0(y) ≤ g1(y),

имаме формулата

(6)"

Rf (x, y) dx dy =

∫ d

c

[∫ g1(y)

g0(y)f (x, y) dx

]dy.

Ще изясним с няколко примера как се използуват формулите (1′), респ. (6).


Пример 1. Да се пресметне двойният интеграл

I =

"R

x2 dx dy,

разпрострян върху трапеца R, заграден от правите x = 1, x = 2, y =x + 2

2, y =

3 − x2

(вж.

черт. 21).Решение. Една точка (x, y) принадлежи на R тогава и само тогава, когато координатите

и удовлетворяват неравенствата

1 ≤ x ≤ 2,3 − x

2≤ y ≤

x + 22

.

Оттук получаваме с помощта на формулата (1′)

I =

∫ 2

1

[∫ x+22

3−x2

x2 dy

]dx =

∫ 2

1x2

[∫ x+22

3−x2

dy

]dx =

∫ 2

1x2

∣∣∣∣y∣∣∣∣ x+22

3−x2

dx =

∫ 2

1x2 2x − 1

2dx

=

∣∣∣∣ x4

4−

x3

6

∣∣∣∣21

=3112.


I =

"R

√x + y dx dy,

разпространен върху триъгълника R, заграден от правите

x = 0, y = 0, x + y = 1

(вж. черт. 22).Решение. Една точка (x, y) принадлежи на интеграционната област R тогава и само то-

гава, когато координатите и удовлетворяват неравенствата

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x.



Оттук получаваме въз основа на формулата (2)

I =

∫ 1

0

[∫ 1−x

0

√x + y dy

]dx =

23

∫ 1

0

∣∣∣∣ (x + y)32

∣∣∣∣1−x

0dx

=23

∫ 1

0

(1 − x

32

)dx =

23

∣∣∣∣x − 25

x52

∣∣∣∣10

=23

(1 −

25

)=

25.


I =

"R

y dx dy,

разпространен върху полукръга R, който се намира над оста x и се загражда от окръжносттаx2 + y2 = r2 и оста x.

Решение. В този случай интеграционната област R представлява криволинеен трапец,определен от неравенствата

−r ≤ x ≤ r,

0 ≤ y ≤√

r2 − x2

(вж. черт. 23). Това ни позволява да пишем

I =

∫ r

−r

[∫ √r2−x2

0y dy

]dx =

∫ r

−r

∣∣∣∣ y2

2

∣∣∣∣√

r2−x2

0dx =

∫ r

−r

r2 − x2

2dx =

∣∣∣∣ r2 x2−

x3

6

∣∣∣∣r−r

=23

r3.

Черт. 23

Задачи

1. Да се пресметне двойният интеграл

I =

"R(x + y) dx dy,

разпространен върху областта R, заградена от правите x = 0, y = 0, x + y = 2.

Отговор. l =83.



I =

"R(x2 + y2) dx dy,

разпространен върху областта R, заградена от правите y = 0, x = y, x = 1.

Отговор. I =13.


I =

"R(x + y) dx dy,

разпространен върху областта R, заградена от правата x = y и от параболата y2 = x.


20.


I =

"R

x2 dx dy,

разпространен върху областта R, дефинирана с неравенството

|x| + |y| ≤ 1.

Отговор. I =13.


I =

"R

xy dx dy,

разпространен върху областта R, заградена от правата x = 2 и от параболата y2 = 2x.Отговор. I = 0.6. Да се пресметне двойният интеграл

I =

"R

y√

a2 − x2 dx dy,

разпространен върху областта R, определена от неравенствата

x ≥ 0, y ≥ 0,x2

a2 +y2

b2 ≤ 1.

Отговор. I =3πa2b2

32.

§ 3. Смяна на променливите при двойните интеграли

Нека двойно регулярната1 трансформация

x = f (u, v),

y = g(u, v)(1)

1Срв. с част I, глава II, § 14 и 20.

§ 3. Смяна на променливите при двойните интеграли 305

изобразява едно отворено точково множество R от равнината u, v върху едноточково множество R′ в равнината x, y. Знаем, че всяко измеримо множествоA, което лежи заедно с контура си в R, се изобразява върху измеримо точковомножество A′. Ще докажем, че

(2) µ(A′) =

"A

∆ du dv,

където ∆ означава абсолютната стойност на функционалната детерминанта

D(x, y)D(u, v)

=

∣∣∣∣∣∣∣∂ f∂u

∂ f∂v

∂g∂u

∂g∂v.

∣∣∣∣∣∣∣ .Доказателство. Делим множеството A на краен брой измерими подмно-

жестваA1, A2, . . . , An

по такъв начин, че мярката на сечението на всеки две от тях да бъде нула.Нека A′i е образът на Ai при трансформацията (1) и нека Mi и mi са съответноточната горна и точната долна граница на ∆ в множеството A′i . В такъвслучай, както знаем (вж. § 20, глава II, част I), са в сила неравенствата

miµ(Ai) ≤ µ(A′i) ≤ Miµ(Ai)

и следователноn∑

i=1

miµ(Ai) ≤n∑

i=1

µ(A′i) ≤n∑

i=1

Miµ(Ai)

или ощеn∑

i=1

miµ(Ai) ≤ µ(A′) ≤n∑

i=1

Miµ(Ai).

От друга страна, имаме

n∑i=1

miµ(Ai) ≤"

A∆ du dv ≤

n∑i=1

Miµ(Ai)

и следователно ∣∣∣∣"A

∆ du dv − µ(A′)∣∣∣∣ ≤ n∑

i=1

(Mi − mi)µ(Ai).


Избираме едно произволно положително число ε. Можем да направимдиаметрите на подмножествата Ai толкова малки,1 че да имаме

Mi − mi ≤ ε


(3)

∣∣∣∣"A

∆ du dv − µ(A′)∣∣∣∣ ≤ n∑

i=1

εµ(Ai) = εµ(A).

От това неравенство заключаваме, че"A

∆ du dv − µ(A′) = 0,

защото в противен случай неравенството (3) сигурно би било нарушено придостатъчно малки стойности на ε. С това равенството (2) е доказано.

Ние ще използуваме този резултат, за да установим следната важна фор-мула:

(4)"

A′F(x, y) dx dy =

"A

F[ f (u, v), g(u, v)]∆ du dv,

която е сигурно валидна поне когато функцията F(x, y) е непрекъсната в A′ иизмеримото множество A е затворено (това са, разбира се, само достатъчниусловия за валидността на формулата (4)).

Доказателство. Делим множеството A′ на краен брой измерими под-множества

A′1, A′2, . . . , A

′n

така, че сечението на всеки две от тях да има мярка нула. Означаваме с Ai

образа на A′i при обратната трансформация на трансформацията (1) и с Mi иmi съответно точната горна и точната долна граница на функцията

F[ f (u, v), g(u, v)]

в множеството Ai. В такъв случай

mi

"Ai

∆ du dv ≤"

Ai

F[ f (u, v), g(u, v)]∆ du dv ≤ Mi

"Ai

∆ du dv

1Това може да се направи, защото A лежи в R заедно с контура си и следователно непре-къснатата функция ∆ е равномерно непрекъсната в A.


или още

miµ(A′i) ≤"

Ai

F[ f (u, v), g(u, v)]∆ du dv ≤ Miµ(A′i).

Като дадем на i стойностите 1, 2, . . . , n и съберем получените неравенства,намираме

n∑i=1

miµ(A′i) ≤"

AF[ f (u, v), g(u, v)]∆ du dv ≤

n∑i=1

Miµ(A′i).

От друга страна, не е трудно да се види, че Mi и mi са точната горна иточната долна граница на F(x, y) в множеството A′i и следователно

n∑i=1

miµ(A′i) ≤"

A′F(x, y) dx dy ≤

n∑i=1

Miµ(A′i),

откъдето∣∣∣∣"A′

F(x, y) dx dy −"

AF[ f (u, v), g(u, v)]∆ du dv

∣∣∣∣ ≤ n∑i=1

(Mi − mi)µ(A′i).

Избираме произволно положително число ε. Ние можем да направимдиаметрите на множеството A′i толкова малки, че да имаме

Mi − mi ≤ ε


(5)

∣∣∣∣"A′

F(x, y) dx dy −"

AF[ f (u, v), g(u, v)]∆ du dv

∣∣∣∣ ≤ n∑i=1

εµ(A′i) = εµ(A′),

откъдето заключаваме, че"A′

F(x, y) dx dy −"

AF[ f (u, v), g(u, v)]∆ du dv = 0,

защото в противен случай неравенството (5) сигурно би било нарушено придостатъчно малки стойности на ε. С това формулата (4) е доказана.

** *


Сега ще изведем формулата (4) по друг път, като предполагаме, че тран-сформацията(1) е еднократно регулярна (относно терминологията вж. част I,глава II, § 14 и § 20).

Да разгледаме първо специалния случай, когато трансформачните фор-мули (1) имат вида

(6)x = u,

y = g(u, v),

т. е. разглежданата трансформация е диагонална. Освен това нека A е право-ъгълник, определен от неравенствата

(7)p ≤ u ≤ q,

r ≤ v ≤ s,

който лежи в R, и нека

(8) g′v(u, v) > 0

в A. В такъв случай A′ е криволинеен трапец, определен от неравенствата

(9)p ≤ x ≤ q,

g(x, r) ≤ y ≤ g(x, s).

И наистина нека (u0, v0) е точка от A и (x0, y0) е нейният образ. Това значи,че

p ≤ u0 ≤ q,

r ≤ v0 ≤ s

и

x0 = u0,

y0 = g(u0, v0).

В такъв случайg(u0, r) ≤ y0 ≤ g(u0, s),

защото функцията g(u0, v) монотонно расте, както това следва от условие-то (8). Като вземем под внимание още равенството x0 = u0, заключаваме,че точката (x0, y0) удовлетворява неравенствата (9). И така образът на всякаточка от A удовлетворява неравенствата (9).


Обратно, нека една точка (x1, y1) удовлетворява неравенствата (9). Щепокажем, че тя е образ на някоя точка от A. И наистина от неравенствата

g(x1, r) ≤ y1 ≤ g(x1, s)

заключаваме, че има число v1 в интервала [r, s], за което

g(x1, v1) = y1,

защото функцията g(x1, v) е непрекъсната в разглеждания интервал [r, s]. Даположим u1 = x1. В такъв случай

x1 = u1,

y1 = g(u1, v1)

и

p ≤ u1 ≤ q,

r ≤ v1 ≤ s,

т. е. точката (x1, y1) е образ на точката (u1, v1) от A. С това е показано, чеобразът на (A) при трансформацията (6) е криволиненият трапец (9).

Сега вече не е трудно да проверим верността на равенството (4) в раз-глеждания от нас специален случай. И наистина"

A′F(x, y) dx dy =

∫ q

p

[∫ g(x,s)

g(x,r)F(x, y) dy

]dx.

Да разгледаме интеграла

Φ(x) =

∫ g(x,s)

g(x,r)F(x, y) dy

и да направим смяна на интеграционната променлива y с помощта на суб-ституцията

y = g(x, v),

където x е фиксирано. Това ще ни даде

Φ(x) =

∫ s

rF[x, g(x, v)]g′v(x, v) dv


и следователно"A′

F(x, y) dx dy =

∫ q

pΦ(x) dx =

∫ q

p

[∫ s

rF[x, g(x, v)]g′v(x, v) dv

]dx

=

"A

F[x, g(x, v)]g′v(x, v) dv dx.

По такъв начин ние установихме равенството (4), когато трансформация-та (1) има вида (6), защото в този специален случай

∆ = g′v(u, v).

Със същата леснина се установява формулата (4) и в случая, когато тран-сформацията (6) удовлетворява условието

g′v(u, v) < 0

в A. Тогава A′ е криволинеен трапец, определен от неравенствата

p ≤ x ≤ q,

g(x, s) ≤ y ≤ g(x, r),

а∆ = −g′v(u, v).

Нека читателят сам обмисли подробностите.Също така не е съществено предположението, че нашата диагонална

трансформация има точно вида (6). Направените разсъждения са приложимии в случая, когато трансформацията (1) има вида

x = f (u, v),

y = v,

стига f ′u(u, v) да не си мени знака в A. Този случай не е съществено различенот разгледания и се свежда към него със смяна в означенията.

От доказаното следва също, че формулата (4) е валидна и тогава, когатотрансформацията (1) е диагонална и A е полузатворен правоъгълник, стига∆ да не си мени знака в A. И наистина да положим

B = K(A) − A.

В такъв случай мярката на B е нула (защото B ⊂ K(A)), множеството A + B езатворен правоъгълник и AB = 0. От доказаното имаме"

(A+B)′F(x, y) dx dy =

"(A+B)

F[ f (u, v), g(u, v)]∆ du dv,


защото A + B е затворен правоъгълник. От друга страна,"(A+B)′

F dx dy =

"A′+B′

F dx dy =

"A′

F dx dy +

"B′

F dx dy

=

"A′

F dx dy,

тъй като B′ е подмножество на множеството [K(A)]′, чиято мярка е нула иследователно µ(B′) = 0. Аналогично имаме"

A+BF( f , g)∆ du dv =

"A

F( f , g)∆ du dv +

"B

F( f , g)∆ du dv

=

"A

F( f , g)∆ du dv,

защото µ(B) = 0 и по такъв начин получаваме"A′

F(x, y) dx dy =

"A

F( f , g)∆ du dv.

Сега ще установим, че формулата (4) е валидна и тогава, когато (1) едиагонална регулярна трансформация (от кой да е вид), и A е произволнозатворено и измеримо подмножество на R. За тази цел избираме положи-телно число δ0 толкова малко, че всяка точка, която се намира на разстояние,по-малко от δ0 до A, да лежи в R. Това може да се направи съгласно лема 1от § 20, глава II, част I. Означаваме с δ положително число, по-малко от δ0.В такъв случай множеството L на точките, чието разстояние до A не надми-нава δ, ще бъде ограничено и затворено (вж. лема 2, § 20, глава II, част I) ище се съдържа изцяло в R, защото δ < δ0. Избираме положително число ε,

по-малко отδ2

4, и покриваме контура на A със система от отворени кръгове

C1,C2, . . . ,Cn по такъв начин, че сумата от квадратите на техните радиусида бъде по-малка от ε. Това може да се направи, защото контурът на A имамярка нула. Освен това ние можем да смятаме, че всеки един от кръговетеC1,C2, . . . ,Cn съдържа поне една точка от контура на A, защото, ако товане е изпълнено, ние можем да премахнем онези кръгове, които нямат общаточка с K(A), и по такъв начин ще получим нова система от кръгове, кои-то покриват K(A), притежават исканото свойство, а сумата от квадратите натехните радиуси е още по-малка. Радиусите на кръговете Cν са по-малки от

√ε <

δ

2


и следователно всяка тяхна точка се намира на разстояние, по-малко от δ доA. От това заключаваме, че кръговете Cν се съдържат в L, а следователно ив R.

Да образуваме спомагателната полуадитивна функция

(10) θ(D) =

∣∣∣∣"(DA)′

F(x, y) dx dy −"

ADF( f , g)∆ du dv

∣∣∣∣− M

n∑k=1

µ((ADCk)′

)− N

n∑k=1

µ(ADCk)

на полузатворения правоъгълник D, където M е една горна граница на|F(x, y)| в A′, а N е една горна граница на

|F[ f (u, v), g(u, v)]|∆

в A.Не е трудно да се види, че функцията θ(D) е неположителна около всяка

точка P на равнината (относно смисъла на тези думи вж. част I, глава II,§ 15).

Да разгледаме първо случая, когато точката P е външна за A. В такъвслучай, ако D се намира в достатъчно малка околност на P, сечението ADще бъде празно и следователно θ(D) = 0.

Нека точката P е контурна за A. В такъв случай тя е вътрешна за някойот кръговете C1,C2, . . . ,Cn, защото тези кръгове са отворени. Нека Cν е кръг,който съдържа P и нека U е околност на P, която се съдържа в Cν. В такъвслучай всеки път, когато D ⊂ U, ще имаме DCν = D, т. е.

Mn∑

k=1

µ((ADCk)′

)+ N

n∑k=1

µ(ADCk) ≥ Mµ((ADCν)′) − Nµ(ADCν)

= Mµ((AD)′

)+ Nµ(AD)


θ(D) ≤∣∣∣∣"

(DA)′F(x, y) dx dy

∣∣∣∣+∣∣∣∣"DA

F( f , g)∆ du dv∣∣∣∣−Mµ

((AD)′

)−Nµ(AD) ≤ 0.

Остава да разгледаме случая, когато точката P е вътрешна за A. Тогавание можем да изберем околност U на точката P, която лежи изцяло в A. НекаD ⊂ U. В такъв случай DA = D и следователно


θ(D) =

∣∣∣∣"D′

F(x, y) dx dy −"

DF( f , g)∆ du dv

∣∣∣∣− M

n∑k=1

µ((ADCk)′

)− N

n∑k=1

µ(ADCk).

Множеството D обаче е правоъгълник, а трансформацията (1) е диагоналнапо предложение. Този случай ние вече разгледахме и знаем, че"

D′F(x, y) dx dy =

"D

F( f , g)∆ du dv.


θ(D) = −Mn∑

k=1

µ((DCk)′

)− N

n∑k=1

µ(DCk) ≤ 0.

С това е установено, че функцията θ(D) е неположителна около всяка точ-ка на равнината. Тази функция удовлетворява всичките условия, при коитоние доказахме основната теорема на интегралното смятане в равнината (вж.част I, глава II, § 15). Това ни дава възможност да твърдим, че при всекиизбор на полузатворения правоъгълник D имаме θ(D) ≤ 0. Специално, акоизберем D така, че да съдържа A, ще получим∣∣∣∣"

A′F(x, y) dx dy −

"A

F( f , g)∆ du dv∣∣∣∣ − M

n∑k=1

µ((ACk)′

)− N

n∑k=1

µ(ACk) ≤ 0

и толкова повече∣∣∣∣"A′

F(x, y) dx dy −"

AF( f , g)∆ du dv

∣∣∣∣ ≤ Mn∑

k=1

µ(C′k) + Nn∑

k=1

µ(Ck).

Да означим с rk радиуса на кръга Ck и с H една обща горна граница на| f ′u |, | f

′v |, |g

′u|, |g

′v| в L. В такъв случай съгласно лема 3 от § 20 на глава II,

част I, диаметърът на C′k няма да надминава 4Hrk√

2. Да построим кръг Gk,чийто център се намира в коя да е точка C′k, а радиусът е 4Hrk

√2. Този кръг

съдържа всичките точки на C′k, поради което

µ(C′k) ≤ µ(Gk) = 32πH2r2k

и следователноn∑

k=1

µ(C′k) ≤ 32πH2n∑

k=1

r2k < 32πH2ε.


Като вземем под внимание още, че

n∑k=1

µ(Ck) = π

n∑k=1

r2k < πε,

получаваме∣∣∣∣"A′

F(x, y) dx dy −"

A′F( f , g)∆ du dv

∣∣∣∣ ≤ (32πH2M + πN)ε,

което след граничния преход ε→ 0 ни дава

(11)

∣∣∣∣"A′

F(x, y) dx dy −"

AF( f , g)∆ du dv

∣∣∣∣ ≤ 0


(12)"

A′F(x, y) dx dy =

"A

F( f , g)∆ du dv.

Тук ще направим следната забележка. Предположението, че множество-то A е затворено, може да се изостави, ако функцията F(x, y) е дефинирана инепрекъсната в A + K(A), стига множеството A да бъде измеримо и да лежив R заедно с контура си. И наистина множеството A + K(A) е затворено иизмеримо. Следователно съгласно с това, което доказахме, ще имаме"

[A+K(A)]′F(x, y) dx dy =

"A+K(A)

F( f , g)∆ du dv.

Да положимB = K(A) − A.

В такъв случай µ(B) = 0, защото B ⊂ K(A) и µ(B′) = 0, защото B′ ⊂ [K(A)]′.От друга страна, A + K(A) = A + B, AB = 0 и следователно"

A′F(x, y) dx dy =

"A′

F(x, y) dx dy+

"B′

F(x, y) dx dy=

"A′+B′

F(x, y) dx dy

=

"(A+B)′

F(x, y) dx dy =

"A+B

F( f , g)∆ du dv

=

"A

F( f , g)∆ du dv +

"B

F( f , g)∆ du dv

=

"A

F( f , g)∆ du dv.


Преминаваме към разглеждане на общия случай.Нека (1) е регулярна трансформация на отвореното множество R и A

е затворено и измеримо негово подмножество. Ще покажем, че равенство-то (4) е вярно и в този случай. За тази цел пак ще разгледаме спомага-телната полуадитивна функция (10). Тази функция и сега е неположителнаоколо всяка точка P на равнината. Случаят, когато точката P е външна иликонтурна за A, се разглежда по съшия начин, както в случая, когато тран-сформацията (1) е диагонална. По-интересен е случаят, когато точката P евътрешна за A. В такъв случай ние знаем, че в достатъчно малка околност Wна точката P трансформацията (1) може да се представи като произведениена две диагонални регулярни трансформации (вж. § 14, глава II, част I). Некатези трансформации са

(13)ξ = u,

η = ϕ(u, v)

и

(14)x = ψ(ξ, η),

y = η.

По такъв начин имаме

ψ(u, ϕ(u, v)) = f (u, v), ϕ(u, v) = g(u, v)


(15) ψ(u, g(u, v)) = f (u, v).

Нека околността W е толкова малка, че да се съдържа в A. Това може дасе постигне, тъй като точката P е вътрешна за A. В такъв случай, ако D ⊂ W,ще имаме AD = D и следователно

θ(D) =

"D′

F(x, y) dx dy −"

DF( f , g)∆ du dv

− Mn∑

k=1

µ((DCk)′

)− N

n∑k=1

µ(DCk).

Да разгледаме диагоналната трансформация (13) в W. Тя преобразуваW в някое отворено множество W∗, a D в някое измеримо множество D∗,което се съдържа W∗. Трансформацията (14) преобразува W∗ в отворено


множество W′, a D∗ в D′. Съгласно с това, което доказахме за диагоналнитетрансформации, ще имаме"

D′F(x, y) dx dy =

"D∗

F[ψ(ξ, η), η]|ψ′ξ(ξ, η)| dξ dη

и "D∗

F[ψ(ξ, η), η]|ψ′ξ | dξ dη =

"D

F[ f (u, v), g(u, v)]|ψ′ξϕ′v| du dv.

От друга страна, ако диференцираме равенството (15) частно по u и по v, щеполучим

ψ′ξ + ψ′ηg′u = f ′u ,

ϕ′ηg′v = f ′v


ψ′ξ = f ′u −g′u f ′vg′v

=f ′ug′v − g′u f ′v

g′v.

Като вземем под внимание още, че ϕ(u, v) = g(u, v) , намираме

ψ′ξϕ′v = f ′ug′v − g′u f ′v ,

т. е. "D′

F(x, y) dx dy =

"D

F( f , g)∆ du dv.


θ(D) = −Mn∑

k=1

µ[(DCk)′

]− N

n∑k=1

µ(DCk).

И така функцията θ(D) е неположителна около всяка точка на равнината.Това ни дава възможност да приложим основната теорема на интегрално-то смятане в равнината. По-нататък разсъжденията се извършват по съшияначин, както в случая на диагонална трансформация.

** *

Формулата (4) намира многобройни и важни приложения. Особено честосе използува трансформацията

x = ρ cos θ,

y = ρ sin θ,(16)


която е двойно регулярна в безкрайния правоъгълник, лежащ в равнината направоъгълната декартова координатна система θ, ρ, определен от неравенст-вата

−π < θ < π, ρ > 0.


D(x, y)D(ρ, θ)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∂x∂ρ

∂x∂θ

∂y∂ρ

∂y∂θ

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣cos θ −ρ sin θsin θ ρ cos θ

∣∣∣∣∣ = ρ

и формулата (4) добива вида"A′

F(x, y) dx dy =

"A

F[ρ cos θ, ρ sin θ]ρ dρ dθ.

Трансформачните формули (16) могат да се използуват с успех напри-мер в случай, когато интеграционната област A′ е дефинирана в полярникоординати с помощта на неравенствата

(17)α ≤ θ ≤ β,

f (θ) ≤ ρ ≤ g(θ),

където −π < α < β < π, а функциите f (θ) и g(θ) са непрекъснати в затворенияинтервал [α, β] и удовлетворяват неравенствата

0 < f (θ) ≤ g(θ).

В този случай ще казваме, че интеграционната област A′ е сектор, койтоняма общи точки с неположителната част на оста OX. Трансформачнитеформули (16) преобразуват този сектор в криволинеен трапец с основи, пер-пендикулярни на оста θ, лежащ в равнината на правоъгълната декартовакоординатна система θ, ρ, и следователно

(18)"

A′F(x, y) dx dy =

∫ β

α

[∫ g(θ)

f (θ)F[ρ cos θ, ρ sin θ]ρ dρ

]dθ.


I =

∫ ∞

0e−x2

dx.

Решение. Полагаме

I(p) =

∫ p

0e−x2

dx


и разглеждаме двойния интеграл "R

e−x2−y2dx dy,

разпространен върху квадрата R, определен от неравенствата

0 ≤ x ≤ p,

0 ≤ y ≤ p.

Очевидно имаме"R

e−x2−y2dx dy =

∫ p

0

[∫ p

0e−x2−y2

dy]

dx =

∫ p

0e−x2

[∫ p

0e−y2

dy]

dx

=

∫ p

0e−x2

I(p) dx = I(p)∫ p

0e−x2

dx = I2(p).

Въвеждаме полярни координати

x = ρ cos θ,

y = ρ sin θ.

Функционалната детерминанта ρ се анулира при x = y = 0. Поради това ние изолираменачалото с кръгова област ρ < r, където r < p, и разглеждаме интеграла"

A(r)e−x2−y2

dx dy,

където A(r) е частта от квадрата R, която се намира вън от кръга ρ < r. В такъв случай,полагайки

ρ(θ) =p

cos θпри 0 ≤ θ ≤

π

4и ρ(θ) =

psin θ

приπ

4≤ θ ≤

π

2,

получаваме1"A(r)

e−x2−y2dx dy =

∫ π2

0

[∫ ρ(θ)

re−ρ

2ρ dρ

]dθ =

∫ π2

0

∣∣∣∣∣−e−ρ2

2

∣∣∣∣∣ρ(θ)

r

dθ

=

∫ π2

0

e−r2− e−ρ

2(θ)

2dθ = e − r2 π

4−

12

∫ π2

0e−ρ

2(θ) dθ,

тъй като A(r) няма общи точки с неположителната част на оста OX. От друга страна, катоозначим с B(r) сектора 0 ≤ θ ≤

π

2, ρ < r, получаваме

I2(p) −"

A(r)e−x2−y2

dx dy =

"B(r)

e−x2−y2dx dy

и следователно ∣∣∣∣I2(p) −"

A(r)e−x2−y2

dx dy∣∣∣∣ ≤ µ(B(r)) =

πr2

4

1Областта A(r) може да се дефинира в полярни координати с помощта на неравенствата

0 ≤ θ ≤π

2,

r ≤ ρ ≤ ρ(θ).


или още ∣∣∣∣∣I2(p) − e−r2 π

4+

12

∫ π2

0e−ρ

2(θ) dθ

∣∣∣∣∣ ≤ πr2

4,

откъдето ∣∣∣I2(p) − e−r2 π

4

∣∣∣ ≤ πr2

4+

12

∫ π2

0e−ρ

2(θ) dθ

и следователно1 ∣∣∣I2(p) − e−r2 π

4

∣∣∣ ≤ πr2

4+

12

e−p2·π

2.

Като извършим граничния преход r → 0, намираме∣∣∣I2(p) −π

4

∣∣∣ ≤ π

4e−p2

,

откъдето

limp→∞

[I2(p) −

π

4

]= 0


I =

√π

2.

Не е трудно да се убедим, че формулата (18) запазва своята валидност итогава, когато интеграционната област A′ се определя в полярни координатис неравенствата (17), където α и β удовлетворяват неравенствата

−π ≤ α < β ≤ π,

функциите f (θ) и g(θ) са непрекъснати в затворения интервал [α, β] и удов-летворяват неравенствата

0 ≤ f (θ) ≤ g(θ)

и функцията F(x, y) е непрекъсната в A′.Тези условия са по-общи от разгледаните по-горе, защото сега не се

иска да имаме a , −π; β , π и f (θ) , 0. Читателят ще може сам да установивалидността на това обобщение, като проучи упътването на задача 1 къмтози параграф.

В разглежданията, които направихме, интервалът [−π, π] може очевиднода се замени с произволен интервал, чиято дължина е 2π.

Задачи

1. Нека A е едно измеримо и затворено множество от точки в безкрайния правоъгълник

0 ≤ u ≤ 2π,

v ≥ 0,(19)

1Тъй като ρ(θ) ≥ p.


който лежи в равнината с декартови координати u и v. Нека A′ е образ на A при трансформа-цията

x = v cos u,

y = v sin u.(20)

В такъв случай, ако F(x, y) е функция, която е непрекъсната в A′, е валидно равенството

(21)"

A′F(x, y) dx dy =

"A

F(v cos u, v sin u)v du dv.

Забележка. По такъв начин равенството (21) е валидно и в този случай, въпреки четрансформацията (20) не е регулярна в (19).

Упътване. Изберете едно положително число r толкова голямо, че правоъгълникът

0 ≤ u ≤ 2π,

0 ≤ v ≤ r

да покрива A. Нека B е сумата от правоъгълниците

(22) 0 ≤ u ≤ ε, 0 ≤ v ≤ r; 2π − ε ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ r; 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ ε,

и нека C е сумата от секторите в равнината XOY , които в полярни координати се определятот същите неравенства (22) (тук u е полярният ъгъл, а v е полярното разстояние).

Използувайте, че"A′

F(x, y) dx dy =

"A′−C

F(x, y) dx dy +

"A′C

F(x, y) dx dy,"A

F(v cos u, v sin u)v du dv =

"A−B

F(v cos u, v sin u)v du dv +

"AB

F(v cos u, v sin u)v du dv,"A′−C

F(x, y) dx dy =

"A−B

F(v cos u, v sin u)v du dv.

Нека M е една горна граница на |F(x, y)| в A′. В такъв случай∣∣∣∣"A′C

F(x, y) dx dy∣∣∣∣ ≤ Mµ(A′C) ≤ M(εr2 + πε2),∣∣∣∣"

ABF(v cos u, v sin u)v du dv

∣∣∣∣ ≤ Mrµ(AB) ≤ Mr(2εr + 2πε),

и следователно∣∣∣∣"A′

F(x, y) dx dy −"

AF(v cos u, v sin u)v du dv

∣∣∣∣≤

∣∣∣∣"A′C

F(x, y) dx dy∣∣∣∣ +

∣∣∣∣−"AB

F(v cos u, v sin u)v du dv∣∣∣∣

≤ M(εr2 + πε2) + Mr(2εr + 2πε).

Извършете в така полученото неравенство граничния преход ε→ 0.2. Да се пресметне двойният интеграл

I =

"R(x2 + y2) dx dy,

§ 4. Несобствени двойни интеграли от неотрицателни функции 321

разпространен върху областта R, определена от неравенствата

x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ a2.

Упътване. Въведете поляни координати.

Отговор. I =πa4

8.


I =

"R

√1 −

x2

a2 −y2

b2 dx dy,

разпространен във вътрешността R на елипсата

x2

a2 +y2

b2 = 1.

Упътване. Направете смяната на променливите

x = au,

y = bv

и след това въведете полярни координати.

Отговор. I =2πab

3.


I =

"R(x2 + y2) dx dy,

взет във вътрешността R на кръга

x2 + y2 − 2y = 0.

Упътване. Въведете полярни координати.

Отговор. I =3π2.


I =

"R

√1 + x2 + y2 dx dy,

разпространен върху частта R от първия квадрант, заградена от оста x и от кривата

ρ2 = 4 cos2 θ − 1.

Отговор. I =√

3 −π

9.

§ 4. Несобствени двойни интеграли от неотрицателни функции

Нека G е едно измеримо множество от точки в равнината и S е неговоподмножество с мярка нула. Нека f (x, y) е функция, дефинирана в G−S , коя-то приема само неотрицателни стойности. Нека най-сетне функцията f (x, y)е интегруема върху всяко измеримо подмножество A на G, чието разстояние


до S е различно от нула. Ще казваме, че функцията f (x, y) е интегруема внесобствен смисъл върху G, ако интегралът

(1)"

Af (x, y) dx dy

остава ограничен отгоре, когато A се мени. Точната горна граница на (1) щеозначаваме със символа

(2)"

Gf (x, y) dx dy.

НекаA1, A2, . . .

е редица от измерими подмножества на G, за които

d(An, S ) , 0, limn→∞

µ(G − An) = 0.

Не е трудно да се покаже, че ако редицата"A1

f (x, y) dx dy,"

A2

f (x, y) dx dy, . . .

е сходяща, то функцията f (x, y) е интегруема в несобствен смисъл върху Gи "

Gf (x, y) dx dy = lim

n→∞

"An

f (x, y) dx dy.

И наистина нека A е произволно измеримо подмножество на G, чието раз-стояние до S е различно от нула. Очевидно имаме

A ⊂ An + (A − An).

Оттук, като вземем под внимание, че функцията f (x, y) е неотрицателна,получаваме"

Af (x, y) dx dy ≤

"An

f (x, y) dx dy +

"A−An

f (x, y) dx dy.

Да означим с M една горна граница на f (x, y) върху A. В такъв случай"A

f (x, y) dx dy ≤"

An

f (x, y) dx dy + Mµ(A − An)

§ 4. Несобствени двойни интеграли от неотрицателни функции 323

и толкова повече"A

f (x, y) dx dy ≤"

An

f (x, y) dx dy + Mµ(G − An).

Като извършим граничен преход в последното неравенство, получаваме"A

f (x, y) dx dy ≤ limn→∞

"An

f (x, y) dx dy,

което ни учи, че функцията f (x, y) е интегруема върху G и"G

f (x, y) dx dy ≤ limn→∞

"An

f (x, y) dx dy.

От друга страна, съгласно дефиницията на (2) имаме"An

f (x, y) dx dy ≤"

Gf (x, y) dx dy,

което след граничен преход ни дава

limn→∞

"An

f (x, y) dx dy ≤"

Gf (x, y) dx dy

и следователно "G

f (x, y) dx dy = limn→∞

"An

f (x, y) dx dy.


Глава II

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ДВОЙНИТЕ ИНТЕГРАЛИ

§ 1. Дефиниция на понятието обем

Въвеждането на понятието обем може да стане строго, като се следвапътят, по който въведохме понятието лице. Тук няма да се спираме на под-робностите, а ще покажем само в общи черти как това може да се направи.

1. Нека ∆ е правоъгълен паралелепипед с измерения a, b и c. Ние щеозначаваме произведението abc накратко със символа m(∆).

2. Ако A е едно ограничено множество точки в пространството, можем(по безбройно много начини) да изберем система от краен брой отвореникубове ∆1,∆2, . . . ,∆n по такъв начин, че да имаме

A ⊂ ∆1 + ∆2 + · · · + ∆n.

Точната долна граница на числата

m(∆1) + m(∆2) + · · · + m(∆n)

ще наричаме горна Пеано—Жорданова мярка на множеството A и ще я озна-чаваме със символа µ(A).

3. Специално, ако A е едно ограничено точково множество и контурътму има мярка нула, ще казваме, че множеството A е измеримо в смисъл наПеано—Жордан.

Доказва се (по същия начин, както и в двуизмеримия случай), че:1. Каквото и да е ограниченото точково множество A в пространството,

имаме µ(A) ≥ 0.2. Ако двете точкови множества A и B в пространството са измерими и

мярката на сечението им е нула, то

µ(A + B) = µ(A) + µ(B).

3. Ако A и B са две сходни помежду си ограничени множества от точкив пространството, то

µ(A) = µ(B).

4. Ако ∆ е куб, чийто ръб има дължина 1, то

µ(∆) = 1

без оглед на това, дали към този куб са причислени или не едни или другиточки от контура му.

324

§ 2. Пресмятане на обеми с помощта на двойни интеграли 325

Специално, ако едно множество A от точки в пространството е измери-мо, то неговата горна Пеано—Жорданова мярка се нарича негов обем. Честоизмеримите точкови множества, за които ние говорим в този параграф (т. е.за които е дефинирано понятието обем), се наричат още кубируеми за раз-лика от измеримите точкови множества, за които е дефинирано понятиетолице и които се наричат квадрируеми.

2. Нека читателят сам докаже следното:1. Ако A и B са ограничени точкови множества в пространството и A ⊃

B, то µ(A) ≥ µ(B).Нека OXYZ е една произволна ортогонална координатна система и нека

R е едно квадрируемо множество от точки в равнината OXY . Нека G е едноизправено цилиндрично тяло с височина h > 0, за основа на което служимножеството R. Това значи, че една точка (x, y, z) е причислена към G тогаваи само тогава, когато (x, y) е точка, принадлежаща на R, и 0 ≤ z ≤ h. В такъвслучай множеството G е кубируемо и обемът му V се определя от формулата

V = S h,

където S е лицето на R и h, както казахме по-горе, е височината на G.

§ 2. Пресмятане на обеми с помощта на двойни интеграли

Нека функцията z = f (x, y) е дефинирана, непрекъсната и неотрицател-на в едно затворено и квадрируемо точково множество R в равнината XOY .Да разгледаме изправеното цилиндрично тяло G, което е заградено отгоре сповърхнината z = f (x, y), а долната основа на което представлява множест-вото R. Това цилиндрично тяло G може по-точно да се дефинира така: еднаточка с координати (x, y, z) се причислява към G тогава и само тогава, когатоточката с координати (x, y) принадлежи на R и

0 ≤ z ≤ f (x, z)

(вж. черт. 24).Не е трудно да се види, че множеството G е кубируемо.1 Тук ще си

поставим за задача да пресметнем обема V на тялото G. За тази цел изби-раме едно произволно положително число ε и делим множеството на R наизмерими подмножества

R1,R2, . . . ,Rn

1Т. е. то е ограничено и контурът му има мярка нула. Ние ще представим доказателствотона читателя.

326 Приложение на двойните интеграли

Черт. 24

без общи точки по такъв начин, че осцилацията на f (x, y) във всяко едноот тези подмножества да бъде по-малка от ε. Това може да се направи (сти-га да изберем диаметрите на Ri, i = 1, 2, . . . , n, достатъчно малки), защотофункцията f (x, y) е непрекъсната, а множеството R е ограничено и затво-рено. По такъв начин тялото G се разпада на по-малки цилиндрични телаG1,G2, . . . ,Gn с основи R1,R2, . . . ,Rn. Да означим с Mi и mi точната горна иточната долна граница на f (x, y) в множеството Ri, със σi лицето на Ri и с vi

обема на Gi. В такъв случай очевидно са в сила неравенствата

miσi ≤ vi ≤ Miσi,

защото miσi представлява обемът на цилиндър, вписан в Gi, а Miσi предс-тавлява обемът на цилиндър, описан около Gi. Оттук получаваме

n∑i=1

miσi ≤

n∑i=1

vi ≤

n∑i=1

Miσi

или ощеn∑

i=1

miσi ≤ V ≤n∑

i=1

Miσi.

От друга страна, функцията f (x, y) е непрекъсната в квадрируемото изатворено точково множество R и следователно е интегруема в това множес-тво. Това ни дава право да образуваме двойния интеграл

I =

"R

f (x, y) dx dy.

§ 2. Пресмятане на обеми с помощта на двойни интеграли 327

Този интеграл, както знаем, удовлетворява неравенствата

n∑i=1

miσi ≤ I ≤n∑

i=1

Miσi.


(1) |V − I| ≤n∑

i=1

(Mi − mi)σi < ε

n∑i=1

σi = εσ,

където σ е лицето на R, и следователно

V − I = 0,

защото в противен случай неравенството (1) сигурно би било нарушено придостатъчно малки стойности на ε. По такъв начин получихме

V =

"R

f (x, y) dx dy


V =

"R

z dx dy.

Пример. Да се пресметне обемът на триосния елипсоид

(2)x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 , a > 0, b > 0, c > 0.

Решение. Да означим с V обема на елипсоида. Този обем е два пъти по-голям от обемана частта на този елипсоид, която е разположена над равнината z = 0. По такъв начинполучаваме

V = 2"

Rz dx dy,

където R означава вътрешността на елипсата

(3)x2

a2 +y2

b2 = 1.

Уравнението на частта от елипсоида (2), която е разположена над равнината z = 0, е

z = c

√1 −

x2

a2 −y2

b2 .

По такъв начин намираме

V = 2c"

R

√1 −

x2

a2 −y2

b2 dx dy.

За да пресметнем този двоен интеграл, правим смяна на променливите

x = au,

y = bv.(4)


Като вземем пред вид, чеD(x, y)D(u, v)

= ab,

намираме

(5) V = 2abc"

A

√1 − u2 − v2 du dv,

където контурът на интеграционната област A представлява окръжността

(6) u2 + v2 = 1

(интеграционната област A е образът на интеграционната област R при трансформацията (4);уравнението (6) се получава от уравнението (3) с помощта на субституцията (4)).

Пресмятането на интеграла (5) може да се извърши с помощта на полярни координатипо следния начин:"

A

√1 − u2 − v2 du dv =

∫ 2π

0

[∫ 1

0

√1 − p2 ρ dρ

]dθ =

∫ 2π

0

∣∣∣∣−13

(1 − ρ2)32

∣∣∣∣10

dθ

=13

∫ 2π

0dθ =

2π3.


V =43πabc.

В специалния случай, когато a = b = c, получаваме познатата от елементарната геомет-рия формула за обема на сферата

V =43πa3.

§ 3. Обеми на ротационни тела

В предния параграф показахме как поне в някои случаи можем да нами-раме обемите на телата с помощта на двойни интеграли. Има обаче някоиспециални случаи, когато обемът може да се изрази с прост интеграл. Такъвслучай имаме например при ротационните тела.

Нека функцията y = f (x) е дефинирана, непрекъсната и неотрицателна винтервала a ≤ x ≤ b. Ако завъртим тази крива около оста x, ще получим еднаротационна повърхнина S (вж. черт. 25). Очевидно една точка P с абсцисаx лежи върху повърхнината S тогава и само тогава, когато разстоянието и rдо оста x е равно на f (x). Когато вземем пред вид, че

r =√

y2 + z2,

получаваме, че точка P лежи върху повърхнината S тогава и само тогава,когато координатите и удовлетворяват уравнението

f (x) =√

y2 + z2.

§ 3. Обеми на ротационни тела 329

Черт. 25

Когато решим така полученото уравнение относно z, заключаваме че урав-нението на частта от повърхнината S , която е разположена над равнинатаz = 0, е

z =√

f 2(x) − y2.

След всичко казано не е трудно да се намери обемът V на ротационнототяло, което е заградено от повърхнината S и от равнините x = a и x = b.Очевидно този обем е четири пъти по-голям от обема на частта от разг-лежданото ротационно тяло, която е разположена в първия октант. По такъвначин получаваме

V = 4"

Rz dx dy = 4

"R

√f 2(x) − y2 dx dy,

където интеграционната област R се определя от неравенствата

a ≤ x ≤ b,

0 ≤ y ≤ f (x),

откъдето

V = 4∫ b

a

[∫ f (x)

0

√f 2(x) − y2 dy

]dx.

Като положимy = f (x) cos t,

намираме∫ f (x)

0

√f 2(x) − y2 dy = f 2(x)

∫ π2

0sin2 t dt = f 2(x)

∫ π2

0

1 − cos 2t2

dt = f 2(x)π

4,


откъдето

V = 4π

4

∫ b

af 2(x) dx,

т. е.

(1) V = π

∫ b

af 2(x) dx.

Пример. В предния параграф пресметнахме обема на сферата, като използувахме двой-ни интеграли. Ние обаче можем да пресметнем обема на сферата с помощта на прости ин-теграли, като използуваме формулата (1). И наистина сферата

(2) x2 + y2 + z2 = R2

може да се получи от завъртване на окръжността

x2 + y2 = R2

около оста x. Това обстоятелство ни позволява да пресметнем обема V на сферата (2) последния начин:

V = π

∫ R

−R

(√R2 − x2

)2dx = π

∫ R

−R

(R2 − x2

)dx = π

∣∣∣∣R2 x −x3

3

∣∣∣∣R−R

=43πR3.

Задачи

1. Да се намери обемът на тялото, получено от въртенето на овала на строфоидата

(x2 + y2)x − a(x2 − y2) = 0; a > 0

около оста x.

Отговор. 2a3π

(ln 2 −

23

).

2. Да се намери обемът на тялото, получено от въртенето на дъгата от циклоидата

x = a(t − sin t),

y = a(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π; a > 0,

около оста x.Отговор. 5a3π2.3. Да се намери обемът на тялото, получено от въртенето на кардиоидата

ρ = a(1 + cos θ), a > 0,


Отговор.8πa3

3.

4. Да се намери обемът на триосния елипсоид

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1; a > 0, b > 0, c > 0,

с помощта само на прости интеграли.

Отговор.43πabc.

§ 3. Обеми на ротационни тела 331

5. Да се намери обемът на тялото, заградено от повърхнините

x2 + y2 = cz, c > 0, x4 + y4 = a2(x2 + y2), z = 0.

Отговор.3π

2√

2·

a4

c.

6. Да се намери обемът на тялото, определено от неравенствата

x2 + y2 + z2 ≤ a2,(

x2 + y2)2≤ a2

(x2 − y2

); a > 0.

Отговор.23πa3 −

89

(4√

2 − 5)

a3.


x2 + y2 + z2 ≤ a2, x2 + y2 ≤ ax; a > 0

(задача на Вивиани).

Отговор.23πa3 −

89

a3.

8. Да се намери обемът на тялото, заградено от повърхнината(x2

a2 +y2

b2

)2

+z2

c2 = 1; a > 0, b > 0, c > 0.

Отговор.π2

2abc.


x2

a2 +y2

b2 =zc,

x4

a4 +y4

b4 =x2

a2 +y2

b2 , z = 0; a > 0, b > 0, c > 0.

Отговор.3π

2√

2abc.


x2 + y2 + z2 ≤ a2, y2 + z2 ≤ ax; a > 0.


4

(1 −

√5

3

).


y2 + z2 = 2p(x + aq), y2 + z2 = −2q(x − ap); a > 0, p > 0, q > 0.

Отговор. πa2(p + q)pq.12. Да се намери обемът на тялото, заградено от повърхнините

x2

3+ y2 − 2z = 0,

2x2

3+ 3y2 + 2z − 4 = 0.

Отговор. 2π.13. Да се намери обемът на тялото, заградено от повърхнините

2z =x2

a+

y2

b, 2z = ab

bx2 + ay2

b2 x2 + a2y2 ; a > 0, b > 0.

Отговор.ab(a + b)

8π.



x23 + y

23 + z

23 = a

23 ; a > 0.


35.

§ 4. Допирателна равнина

Нека функцията

(1) z = f (x, y)

е дефинирана в някоя околност на точката (x0, y0) и притежава непрекъснатипърви частни производни в тази околност. Равнината с уравнение

(2) z − z0 = f ′x(x0, y0)(x − x0) + f ′y (x0, y0)(y − y0),

къдетоz0 = f (x0, y0)

се нарича допирателна (тангенциална) равнина към повърхнината (1) в точ-ката (x0, y0, z0).

На читателя е известно от аналитичната геометрия, че числата

f ′x(x0, y0), f ′y (x0, y0),−1

представляват директорните параметри1 на нормалата на равнината (2). От-тук заключаваме, че директорните косинуси на тази нормала са или

f ′x(x0, y0)√f ′2x (x0, y0) + f ′2y (x0, y0) + 1

,f ′y (x0, y0)√

f ′2x (x0, y0) + f ′2y (x0, y0) + 1,

−1√f ′2x (x0, y0) + f ′2y (x0, y0) + 1

,

или

− f ′x(x0, y0)√f ′2x (x0, y0) + f ′2y (x0, y0) + 1

,− f ′y (x0, y0)√

f ′2x (x0, y0) + f ′2y (x0, y0) + 1,

1Т. е. това са числа, пропорционални на косинусите (тези косинуси се наричат дирек-торни косинуси) на ъглите, които сключва коя да е от посоките на разглежданата права спосоките на координатните оси.

§ 5. Лица на повърхнини 333

1√f ′2x (x0, y0) + f ′2y (x0, y0) + 1

в зависимост от посоката, която сме избрали за положителна върху разглеж-даната нормала.

§ 5. Лица на повърхнини


(1) z = f (x, y)

е дефинирана и има равномерно непрекъснати първи частни производни ведно квадрируемо и отворено точково множество G чиято мярка е различнаот нула. Делим множеството G на квадрируеми подмножества

(2) G1,G2, . . . ,Gn

с различни от нула мерки по такъв начин, че мярката на сечението на всекидве от тях да бъде нула, и избираме във всяко от тези подмножества Gi поедна вътрешна точка (ξi, ηi). Разглеждаме допирателната равнина

(3) z − f (ξi, ηi) = f ′x(ξi, ηi)(x − ξi) + f ′y (ξi, ηi)(y − ηi)

и точката[ξi, ηi, f (ξi, ηi)]

към повърхнината (1) (вж. предния параграф). Не е трудно да се покаже,че частта Hi от допирателната равнина (3), която се проектира върху Gi, еквадрируема (ние ще предоставим доказателството на читателя). Нека σi енейното лице. Ще покажем, че сумите

(4) σ =

n∑i=1

σi

притежават граница, когато диаметрите на подмножествата (2) клонят къмнула. За да установим това, означаваме с S i лицето на множеството Gi. Катовземем пред вид, че Gi е ортогонална проекция на Hi върху равнината (3),получаваме

S i = σi |cos γi| ,


където γi e кой да е от ъглите, които нормалата на равнината (3) сключва соста OZ. От предния параграф имаме

cos γi =±1√

1 + f ′2x (ξi, ηi) + f ′2y (ξi, ηi)


σi =

√1 + f ′2x (ξi, ηi) + f ′2y (ξi, ηi)S i,

откъдето

σ =

n∑i=1

√1 + f ′2x (ξi, ηi) + f ′2y (ξi, ηi)S i.

По този начин ние представихме σ като Риманова интегрална сума нафункцията

ϕ(x, y) =

√1 + f ′2x (x, y) + f ′2y (x, y).

От друга страна, лесно се доказва, че тази функция е равномерно непрекъс-ната в G и следователно сумите σ клонят към интеграла"

Gϕ(x, y) dx dy =

"G

√1 + f ′2x (x, y) + f ′2y (x, y) dx dy,

когато диаметрите на подмножествата Gi клонят към нула. С това ние несамо установихме съществуването на интересуващата ни граница, но дориможахме да изразим тази граница с помощта на един двоен интеграл.

След тези предварителни бележки ще дефинираме понятието лице наповърхнината (1) така: границата на сумите (4), когато диаметрите на подм-ножествата (2) на G клонят към нула, се нарича лице на повърхнината (1).

Да означим с S лицето на повърхнината (1). От изложеното по-горе севижда, че

(5) S =

"G

√1 + f ′2x + f ′2y dx dy.

Целесъобразно е да се обобщи понятието лице по следния начин: некафункцията z = f (x, y) е дефинирана и притежава частни производни f ′x и f ′yнавсякъде в едно измеримо точково множество G с евентуално изключениена едно подмножество с мярка нула в смисъл на Пеано—Жордан; в такъвслучай ние под лице на повърхнината z = f (x, y) ще разбираме стойносттана интеграла (5) всеки път, когато този интеграл съществува (в собствен илинесобствен смисъл).

§ 6. Лица на ротационни повърхнини 335

§ 6. Лица на ротационни повърхнини

Нека функцията y = f (x) е дефинирана, положителна и има непрекъс-ната производна в интервала a ≤ x ≤ b. Ако завъртим тази крива околооста x, ще получим една ротационна повърхнина S (вж. черт. 25). Видяхмев § 3 на тази глава, че уравнението на частта S ′ от повърхнината S , която еразположена над равнината z = 0, е

z =√

f 2(x) − y2.

Тук оставяме точката (x, y) да се мени в отвореното множество G, определе-но от неравенствата

a < x < b,

− f (x) < y < f (x).

Ще пресметнем лицето σ′ на частта S ′. Очевидно имаме

z′x =f (x) f ′(x)√f 2(x) − y2

,

z′y =−y√

f 2(x) − y2.

По такъв начин формулата (5) от предния параграф ни дава

σ′ =

"G

√1 + z′2x + z′2y dx dy =

"G

√1 +

f 2(x) f ′2(x)f 2(x) − y2 +

y2

f 2(x) − y2 dx dy

=

"G

f (x)√

1 + f ′2(x)√f 2(x) − y2

dx dy,

където интегралът трябва да се разбира в несобствен смисъл.

Означаваме с G∗ произволно измеримо и затворено подмножество на G,което няма общи точки с контура на G. В такъв случай при всички доста-


тъчно малки положителни стойности на ε имаме"G∗

f (x)√

1 + f ′2(x)√f 2(x) − y2

dx dy ≤

∫ b

a

[f (x)

√1 + f ′2(x)

∫ f (x)−ε

− f (x)+ε

dy√f 2(x) − y2

]dx

=

∫ b

a

f (x)√

1 + f ′2(x)

∫ f (x)−ε

− f (x)+ε

dy

f (x)√1 −(

yf (x)

)2

dx

= 2∫ b

af (x)

√1 + f ′2(x) arcsin

f (x) − εf (x)

dx < π∫ b

af (x)

√1 + f ′2(x) dx,

защото arcsinf (x) − ε

f (x)<π

2. Така получената оценка ни позволява да твър-

дим, че интегралът "G

f (x)√

1 + f ′2(x)√f 2(x) − y2

dx dy

съществува в несобствен смисъл и"G

f (x)√

1 + f ′2(x)√f 2(x) − y2

dx dy ≤ π∫ b

af (x)

√1 + f ′2(x) dx.

От друга страна, горната граница

π

∫ b

af (x)

√1 + f ′2(x) dx

на интегралите "G∗

f (x)√

1 + f ′2(x)√f 2(x) − y2

dx dy

е точна, защото

limε→0

∫ b−ε

a+ε

[f (x)

√1 + f ′2(x)

∫ f (x)−ε

− f (x)+ε

dy√f 2(x) − y2

]dx

= limε→0

2∫ b−ε

a+εf (x)

√1 + f ′2(x) arcsin

f (x) − εf (x)

dx = π

∫ b

af (x)

√1 + f ′2(x) dx.

От това следва, че

(1)"

G

f (x)√

1 + f ′2(x)√f 2(x) − y2

dx dy = π

∫ b

af (x)

√1 + f ′2(x) dx.


Понятието лице може малко да се обобщи, като под лице σ на цялатаповърхнина S се условим да разбираме 2σ2. Обръщаме още веднъж внима-нието на читателя върху това, че тук се касае за едно малко обобщение наформула (5) от предния параграф, а не за едно нейно следствие. По такъвначин получаваме

(2) σ = 2π∫ b

af (x)

√1 + f ′2(x) dx


(3) σ = 2π∫ b

ay ds,

къдетоy = f (x) и ds =

√1 + f ′2(x) dx.

Целесъобразно е да се обобщи още повече понятието лице на ротацион-на повърхнина по следния начин: нека двете функции

x = x(t),

y = y(t),(4)

където a ≤ t ≤ b, са диференцуеми в интервала [a, b] с евентуално изк-лючение на краен брой точки и нека y(t) ≥ 0; уравненията (4) представятпараметрично някоя крива (Γ), върху която няма точки, лежащи под остаx, ще наричаме лице на ротационната повърхнина S , която се получава отвъртенето на кривата (Γ) около оста x, стойността на интеграла

σ = 2π∫ b

ay ds,

къдетоds =

√x′2 + y′2 dt

всеки път, когато този интеграл има (собствен или несобствен) смисъл.

Пример. Да се намери лицето σ на сферата

x2 + y2 + z2 = r2, r > 0.

Решение. Тази сфера може да се получи чрез завъртане на полуокръжността

y =√

r2 − x2, −r ≤ x ≤ r,

около оста x. Очевидно имаме

y′ =−x

√r2 − x2

, ds =r dx√

r2 − x2


σ = 2π∫ r

−ry ds = 2π

∫ r

−rr dy = 4πr2.


Задачи

1. Да се намери лицето на повърхнината, образувана от въртенето на дъгата

y = sin x, 0 ≤ x ≤ π,

около оста x.Отговор. 2π

[ln(

1 +√

2)

+√

2].

2. Да се намери лицето на повърхнината, образувана от въртенето на дъгата от циклои-дата

x = a(t − sin t),

y = a(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π, a > 0,



3.

3. Да се намери лицето на повърхнината, образувана от въртенето на трактрисата

a lna +

√a2 − y2

y= |x| +

√a2 − y2,

a > 0, 0 < y ≤ a,

около оста x.Забележка. Тази ротационна повърхнина се нарича псевдосфера.Отговор. 4πa2.4. Да се намери лицето на повърхнината, образувана от въртенето на астроидата

x23 + y

23 = a

23 , a > 0,

около абсцисната ос.

Отговор.125πa2.

5. Да се намери лицето на повърхнината, образувана от въртенето на кардиоидата

ρ = 2a(1 + cos θ), 0 ≤ θ ≤ π,

около оста x.Отговор.

1285πa2.

6. Да се намери лицето на повърхнината, образувана от въртенето на кривата

ρ = a2 cos2 θ + b2 sin2 θ, 0 ≤ θ ≤ π, a2 > b2 > 0,


Отговор. 2π

[a2 +

b4

a2 + b2 lna2 +

√a4 − b4

b2

].

7. Да се намери лицето на повърхнината, образувана от въртенето на кривата

ρ2 = a2 cos 2θ


Отговор. 4πa2

(1 −

1√

2

).


8. Да се намери лицето на повърхнината, образувана от въртенето на окръжността

(x − p)2 + (y − q)2 = r2,

където q > r > 0, около оста x.Забележка. Тази ротационна повърхнина се нарича тор.Отговор. 4π2qr.9. Да се намери лицето на частта от параболоида

z =xya, a > 0,

която се проектира върху равнината XOY в областта, ограничена от оста x и от частта откривата

ρ2 = a2(4 cos2 θ − 1),

която се намира в първия квадрант.

Отговор. a2√

3 −πa2

9.

10. Да се намери лицето на частта от параболоида

2z =x2

a+

y2

b, a > 0, b > 0,

която се намира във вътрешността на цилиндъра

x2

a2 +y2

b2 = c2.

Отговор.23πab

[(1 + c2)

32 − 1

].


x2 + y2 = 2az, a > 0,

която се намира във вътрешността на цилиндъра(x2 + y2

)2= a2

(x2 − y2

).

Отговор.a2

9(20 − 3π).


az = xy, a > 0,

която се намира във вътрешността на цилиндъра(x2 + y2

)2= 2a2 xy.

Отговор.a2

9(20 − 3π).

13. Да се намери лицето на повърхнината

z =x + y

x2 + y2 ,

където1 < x2 + y2 < 4, x > 0, y > 0.

Отговор.π

4

[√

18 −√

3 +√

2 ln(√

3 +√

2)−

ln 2√

2

].



2z =x2

a+

y2

b, a > 0, b > 0,

която се намира във вътрешността на цилиндъра(x2

a2 +y2

b2

)2

=x2

a2 −y2

b2 .

Отговор.20 − 3π

9ab.

Глава III

ТРОЙНИ ИНТЕГРАЛИ

§ 1. Тройни интеграли

Нека ни е дадена една функция f (x, y, z), която е дефинирана и ограни-чена в едно кубируемо точково множество R. Делим множеството R на краенброй кубируеми подмножества

(1) R1,R2, . . . ,Rn

по такъв начин, че мярката на сечението на всеки две от тях да бъде нула.Нека vi е обемът на множеството Ri и нека Mi и mi са съответно точнатагорна и точната долна граница на f (x, y, z) в множеството Ri. Сумата

S =

n∑i=1

Mivi

се нарича голяма, а сумата

s =

n∑i=1

mivi

се нарича малка сума на Дарбу, която отговаря на избрания начин на де-ление на множеството R на измерими подмножества (1). Не е трудно да сеустановят неравенствата

(2) mv ≤ s ≤ S ≤ Mv,

където M и m означават една горна и една долна граница на f (x, y, x) вмножеството R, a v е обемът на R.

И наистина неравенствата

m ≤ mi ≤ Mi ≤ M

ни даватmvi ≤ mivi ≤ Mivi ≤ Mvi


mn∑

i=1

vi ≤

n∑i=1

mivi ≤

n∑i=1

Mivi ≤ Mn∑

i=1

vi,

341

342 Тройни интеграли

откъдето получаваме веднага неравенствата (2), като вземем пред вид, че

n∑i=1

vi = v.

Неравенствата (2) ни учат, че както множеството на малките, така имножеството на големите суми на Дарбу е ограничено (и отгоре, и отдолу).Точната горна граница на множеството от малките суми се означава съссимвола $

Rf (x, y, z) dx dy dz

и се нарича долен интеграл на функцията f (x, y, z), разпространен върхумножеството R, а точната долна граница на големите суми се означава съссимвола $


и се нарича горен интеграл на функцията f (x, y, z), разпространен върху мно-жеството R.

Не е трудно да се установи неравенството$R

f (x, y, z) dx dy dz ≤$

Rf (x, y, z) dx dy dz.

Това може да стане по същия начин, както при двойните интеграли. Тозипът ние ще предоставим доказателството на читателя.

Една ограничена функция f (x, y, z), чиято дефиниционна област R е еднокубируемо точково множество, се нарича интегруема в Риманов смисъл в R,когато $

Rf (x, y, z) dx dy dz =

$R

f (x, y, z) dx dy dz.

В такъв случай общата стойност на горния и долния интеграл се наричатроен Риманов интеграл на функцията f (x, y, z), разпространен върху мно-жеството R, и се означава със символа1$

Rf (x, y, z) dx dy dz.

1Понякога тройният интеграл се означава по-кратко така:∫R

f (x, y, z) dv.

§ 1. Тройни интеграли 343

Тук ние ще изброим по-важните основни свойства на тройните интег-рали, които са съвсем аналогични на съответните свойства на простите и надвойните интеграли. Доказателствата ние няма да даваме, защото те могатда се дадат по същия начин, както при простите интеграли.

1. Ако функциите f1(x, y, z) и f2(x, y, z) са интегруеми в едно кубируемоточково множество R, то сумата

f1(x, y, z) + f2(x, y, z)

е също интегруема в R и$R

[f1(x, y, z) + f2(x, y, z)

]dx dy dz

=

$R

f1(x, y, z) dx dy dz +

$R

f2(x, y, z) dx dy dz.

2. Ако функцията f (x, y, z) e интегруема в кубируемото точково множес-тво R и a е една константа, то функцията a f (x, y, z) е също тъй интегруема вR и $

Ra f (x, y, z) dx dy dz = a

$R


3. Ако A и B са две кубируеми точкови множества, ако мярката на сече-нието AB е нула и ако функцията f (x, y, z) е интегруема както в A, така и вB, то тази функция е интегруема и в множеството A + B, то$

A+Bf (x, y, z) dx dy dz =

$A

f (x, y, z) dx dy dz +

$B


4. Ако функцията f (x, y, z) е интегруема в кубируемото точково множес-тво R и удовлетворява неравенствата

m ≤ f (x, y, z) ≤ M,

то

mv ≤$

Rf (x, y, z) dx dy dz ≤ Mv,

където v е обемът на R.5. Всяка функция f (x, y, z), която е дефинирана и непрекъсната в едно

кубируемо и затворено точково множество R, е интегруема.Ние бихме могли да продължим и по-нататък списъка на свойствата

на тройните интеграли, които са аналогични на съответните свойства напростите и двойните интеграли, но ще се ограничим с изброените дотук.

Накрая ще отбележим още, че понятието интеграл може да се дефинирабез труд в пространство с произволен брой измерения. Ние обаче няма данавлизаме в подробностите, още повече, че е ясно как това може да стане.


§ 2. Пресмятане на тройни интеграли

Нека G е едно затворено квадрируемо точково множество в равнинатаXOY и нека ϕ0(x, y) и ϕ1(x, y) са две функции, които са дефинирани, непре-къснати и удовлетворяват неравенството

ϕ0(x, y) ≤ ϕ1(x, y)

във всички точки на G. Да разгледаме точковото множество R, което е съста-вено от онези и само онези точки (x, y, z), за които точката (x, y) принадлежина G и

ϕ0(x, y) ≤ z ≤ ϕ1(x, y).

Не е трудно да се покаже, че множеството R е измеримо. Ние обаче щеизоставим доказателството.

Нека f (x, y, z) е една функция, която е дефинирана и непрекъсната вR. Функцията f (x, y, z) е интегруема в R, защото е непрекъсната и защотомножеството R е не само кубируемо, но и затворено. В разглеждания случайобаче интеграционната област R има твърде специален вид. Благодарение натова обстоятелство тройният интеграл$


може да се изрази с помощта на един двоен и един прост интеграл по след-ния начин:

(1)$

Rf (x, y, z) dx dy dz =

"G

[∫ ϕ1(x,y)

ϕ0(x,y)f (x, y, z) dz

]dx dy.

Доказателството може да се извърши по същия начин, както доказахме съот-ветната формула за пресмятане на двойните интеграли с помощта на прости.Ние няма да се спираме на доказателството, а ще се задоволим само с единпример, който ще ни илюстрира как се използува формулата (1).

Пример. Да се пресметне тройният интеграл

I =

$R

z2 dx dy dz,

разпространен в частта R от пространството, която е заградена от сферата

x2 + y2 + z2 = r2.

Решение. Да означим с G кръга, който се ограничава от окръжността

x2 + y2 = r2.

§ 3. Смяна на променливите при тройни интеграли 345

Една точка с координати (x, y, z) принадлежи на R тогава и само тогава, когато точката скоординати (x, y) принадлежи на G и освен това

−√

r2 − x2 − y2 ≤ z ≤√

r2 − x2 − y2.

Този резултат ни позволява да пишем$R

z2 dx dy dz =

"G

∫ √r2−x2−y2

−

√r2−x2−y2

z2 dz

dx dy

и следователно $R

z2 dx dy dz =23

"G

(r2 − x2 − y2)32 dz dy.

По този начин изразихме интересуващия ни интеграл I с помощта на един двоен интеграл.Пресмятането на този двоен интеграл може да се извърши по познати пътища. Въвеждамеполярни координати

x = ρ cos θ,

y = ρ sin θ.


I =23

∫ π

0

[∫ r

0(r2 − ρ2)

32 ρ dρ

]dθ =

415

r5π.

§ 3. Смяна на променливите при тройни интеграли

Нека

x = f (u, v,w),

y = g(u, v,w),

z = h(u, v,w)

(1)

е една двойно регулярна трансформация на едно отворено точково множес-тво R. Това значи, че функциите (1) удовлетворяват следните условия:

1. Функциите (1) са дефинирани в R и притежават непрекъснати частнипроизводни поне до втори ред включително.

2. Различните точки от R се изобразяват върху различни точки при тран-сформацията (1).

3. Функционалната детерминанта

D(x, y, z)D(u, v,w)

=

∣∣∣∣∣∣∣f ′u f ′v f ′wg′u g′v g′wh′u h′v h′w

∣∣∣∣∣∣∣не се анулира никъде в R.


При тези предположения може да се покаже по същия начин, както вдвуизмеримия случай, че всяко кубируемо точково множество A, което ле-жи в R заедно с контура си, се изобразява върху някое кубируемо точковомножество A′.

Нека A е едно кубируемо и затворено точково множество, което лежи вR, и нека F(x, y, z) е една непрекъсната функция в A′, където A′ е образът наA. В такъв случай е валидна следната важна формула:(2)$

A′F(x, y, z) dx dy dz =

$A

F[ f (u, v,w), g(u, v,w), h(u, v,w)]∆ du dv dw,

където ∆ е абсолютната стойност на функционалната детерминанта

D(x, y, z)D(u, v,w)

.

Ние няма да се спираме върху доказателството, защото то може да сеизвърши така, както в двуизмеримия случай.

Специално, ако (ρ, θ, ϕ) са сферични координати (или, както се казва по-някога, пространствени полярни координати) на точката P, чиито декартовикоординати са (x, y, z), то

x = ρ sin θ cosϕ,

y = ρ sin θ sinϕ,

z = ρ cos θ,

(3)

ρ ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ θ ≤ π

(вж. черт. 26). В такъв случай функционалната детерминантаD(x, y, z)D(ρ, θ, ϕ)

има

стойностD(x, y, z)D(ρ, θ, ϕ)

= ρ2 sin θ.

В специалния случай, когато извършваме смяна на променливите с по-мощта на трансформачните формули (3), равенството (2) добива следниявид:$

A′F(x, y, z) dx dy dz

=

$A

F[ρ sin θ cosϕ, ρ sin θ sinϕ, ρ cos θ]ρ2 sin θ dρ dθ dϕ.

§ 3. Смяна на променливите при тройни интеграли 347


Изразът ρ2 sin θ dρ dθ dϕ се нарича елемент на обем в полярни координати.Ние ще дадем едно просто геометрично тълкуване на този израз.

За тази цел да отбележим предварително следното: когато фиксираме ρи оставим ϕ и θ да се менят, то точката P, чиито пространствени полярникоординати са (ρ, ϕ, θ), ще описва сфера с център в началото и радиус ρ(вж. черт. 27); ако фиксираме ϕ, а оставим ρ и θ да се менят, точката Pс полярни координати (ρ, ϕ, θ), ще описва полуравнина, която минава презоста z (вж. черт. 28); ако фиксираме θ, а оставим ρ и ϕ да се менят, точкатаP, чиито полярни координати са (ρ, ϕ, θ), ще описва ротационен конус с връхв началото, чиято ротационна ос е оста z (вж. черт. 29).

Трите системни повърхнини

ρ = const,

ϕ = const,

θ = const

се наричат координатни повърхнини при сферична координатна система. Нее трудно да се види, че всеки две координатни повърхнини от различни сис-теми се пресичат под прав ъгъл. Това значи, че когато и да изберем еднаточка P върху пресечната крива Γ на две координатни повърхнини S 1 и S 2,които принадлежат на различни системи, допирателните равнини в точкатаP съответно към S 1 и към S 2 са перпендикулярни помежду си. Няма да до-казваме това твърдение, защото читателят е запознат с него от геометрията.



В бъдеще за краткост ще си служим със следната терминология: сферас център в началото и радиус ρ ще наричаме сфера ρ; полуравнина, коятоминава през оста z и сключва ъгъл ϕ с полуравнината +XOZ, ще нарича-ме полуравнина ϕ; ротационен конус с връх в началото, чиито образуващисключват ъгъл θ с положителната посока на оста z, ще наричаме конус θ.

Да разгледаме частта от пространството, заградена от сферите ρ и ρ+dρ,полуравнините ϕ и ϕ + dϕ и конусите θ и θ + dθ (вж. черт. 30).

Тук AB = dρ; страната AD като дъга от окръжност с радиус ρ, чийтоцентрален ъгъл е dθ, е равен на ρ dθ; най-сетне AE е дъга от окръжност срадиус

PA = ρ sin θ

и тъй като^APE = dϕ,

тоAE = ρ sin θ dϕ.

Ръбовете AB, AD и AE са взаимно перпендикулярни. Разглеждайки тялотоABCDEFGH (приближено) като правоъгълен паралелепипед, получаваме за

§ 4. Формули на Грин, Остроградски и Стокс 349

Черт. 30

обема му dv следния приблизителен израз:

dv = dρ . ρ dθ . ρ sin θ dϕ = ϕ2 sin θ d ρ dθ dϕ.

§ 4. Формули на Грин, Остроградски и Стокс

Нека цялото неотрицателно число k е по-малко от цялото число n и некафункциите

(1)

x1 = f1(t0, t1, . . . , tk),x2 = f2(t0, t1, . . . , tk),. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn = fn(t0, t1, . . . , tk)

са дефинирани и притежават непрекъснати първи частни производни в мно-жеството G, определено от неравенствата

t0 ≥ 0, t1 ≥ 0, . . . , tk ≥ 0, t0 + t1 + · · · + tk ≤ 1.

Системата от функциите (1) ще наричаме гладка k-повърхнина. При k = 0така дефинираната k-повърхнина ще наричаме дъга, а при k = 1 накратко щея наричаме повърхнина.


Да означим с Γ определената от (1) k-повърхнина. Множеството, коетосе описва от точката с координати

[ f1(t0, t1, . . . , tk), f2(t0, t1, . . . , tk), . . . , fn(t0, t1, . . . , tk)],

когато точката (t0, t1, . . . , tk) описва G, ще наричаме графика на k-повърх-нината Γ. Ако всяка от независимите променливи t0, t1, . . . , tk е снабдена сномер, както това е направено при нас, ще казваме, че повърхнината Γ еориентирана. Ако функциите (1) притежават непрекъснати частни произ-водни и от втори ред, ще казваме, че Γ е (двукратно) гладка k-повърхнина.Гладките (k − 1)-повърхнини Γν+1 при ν ≥ 0, определени от

x1 = f1(t0, t1, . . . , tν−1, 0, tν+1, . . . , tk),x2 = f2(t0, t1, . . . , tν−1, 0, tν+1, . . . , tk),. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn = fn(t0, t1, . . . , tν−1, 0, tν+1, . . . , tk),

t0 ≥ 0, t1 ≥ 0, . . . , tν−1 ≥ 0, tν+1 ≥ 0, . . . , tk ≥ 0,

t0 + t1 + · · · + tν−1 + tν+1 + · · · + tk ≤ 1,

както и (k − 1)-повърхнината Γ0, определена от

x1 = f1(1 − t1 − t2 − · · · − tk, t1, t2, . . . , tk),x2 = f2(1 − t1 − t2 − · · · − tk, t1, t2, . . . , tk),. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn = fn(1 − t1 − t2 − · · · − tk, t1, t2, . . . , tk),

t1 ≥ 0, t2 ≥ 0, . . . , tk ≥ 0, t1 + t2 + · · · + tk ≤ 1,

ще наричаме стени на Γ.За да получим по-прости резултати, ще превърнем Γν+1 при ν = 0, 1, . . . , k

в ориентирана (k − 1)-повърхнина, като номерираме независимите промен-ливи в следния ред:

t0, t1, t2, . . . , tν−1, tν+1, . . . , tk.

За (k − 1)-повърхнината Γ0 ще извършим номерирането в реда t1, t2, . . . , tk.Нека F(x1, x2, . . . , xn) е една функция, която е дефинирана и непрекъсна-

та върху графиката на k-повърхнината Γ. По дефиниция ще пишем1

1Тук знакът∫

G в дефиниционния израз на (2) представлява съкратено означение на ин-теграл в пространство с k + 1 измерения.


(2)∫

Γ

F(x1, x2, . . . , xn) dxα0 dxα1 . . . dxαk

=

∫G

F( f1, f2, . . . , fn)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂ fα0

∂t0

∂ fα0

∂t1· · ·

∂ fα0

∂tk∂ fα1

∂t0

∂ fα1

∂t1· · ·

∂ fα1

∂tk. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∂ fαk

∂t0

∂ fαk

∂t1· · ·

∂ fαk

∂tk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣dt0 dt1 . . . dtk.

По такъв начин стойността на интеграла (2) зависи от реда, в който пишемдиференциалите dxα0 , dxα1 , . . . , dxαk . Ако разменим местата на два диферен-циала, интегралът си сменя знака.

При тази дефиниция се позволява някои от индексите α0, α1, . . . , αk дасъвпадат. В такъв случай стойността на интеграла (2) ще бъде нула, защотонякои редове в детерминантата от дефиниционния му израз ще съвпадат.

Интегралът (2) зависи от ориентировката на Γ, т. е. от начина, по който саномерирани променливите на функциите (1), защото от това зависи в какъвред ще бъдат написани стълбовете на детерминантата, която ни интересува.

С оглед на нашите цели ще намерим някои изрази за интеграли върхустените Γ0,Γ1, . . . ,Γk,Γk+1 на една функция F(x1, x2, . . . , xn), която е дефи-нирана и непрекъсната върху графиките им. Поради това ще означим с Γνмножеството на точките

(t0, t1, . . . , tν−1, tν+1, . . . , tk),

които удовлетворяват неравенствата

t0 ≥ 0, t1 ≥ 0, . . . , tν−1 ≥ 0, tν+1 ≥ 0, . . . , tk ≥ 0,

t0 + t1 + · · · + tν−1 + tν+1 + · · · + tk ≤ 1.

Очевидно имаме∫Γ0

F(x1, x2, . . . , xn) dxα1 dxα2 . . . dxαk =

∫G0

(F∆)t0=v0 dt1 dt2 . . . dtk,

където

(3) v0 = 1 − t1 − t2 − · · · − tk


и

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂ fα1

∂t1−∂ fα1

∂t0· · ·

∂ fα1

∂tk−∂ fα1

∂t0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∂ fαk

∂t1−∂ fαk

∂t0· · ·

∂ fαk

∂tk−∂ fαk

∂t0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Да положим

(4) ∆s =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂ fα1

∂t0· · ·

∂ fα1

∂ts−1

∂ fα1

∂ts+1· · ·

∂ fα1

∂tk∂ fα2

∂t0· · ·

∂ fα2

∂ts−1

∂ fα2

∂ts+1· · ·

∂ fα2

∂tk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∂ fαk

∂t0· · ·

∂ fαk

∂ts−1

∂ fαk

∂ts+1· · ·

∂ fαk

∂tk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.


∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 · · · 0∂ fα1

∂t0

∂ fα1

∂t1−∂ fα1

∂t0· · ·

∂ fα1

∂tk−∂ fα1

∂t0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∂ fαk

∂t0

∂ fαk

∂t1−∂ fαk

∂t0· · ·

∂ fαk

∂tk−∂ fαk

∂t0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 · · · 1∂ fα1

∂t0

∂ fα1

∂t1· · ·

∂ fα1

∂tk. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∂ fαk

∂t0

∂ fαk

∂t1· · ·

∂ fαk

∂tk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

k∑s=0

(−1)s∆s.

Така получаваме∫Γ0


k∑s=0

(−1)s∫

G0

(F∆s)t0=v0 dt1 dt2 . . . dtk,

къдетоv0 = 1 − t1 − t2 − · · · − tk.

Да направим в интеграла∫G0

(F∆s)t0=v0 dt1 dt2 . . . dtk, s = 1, . . . , k,

смяната на променливите

t1 = u1

. . .


ts−1 = us−1

ts = 1 − u0 − u1 − · · · − us−1 − us+1 − · · · − uk

ts+1 = us+1

tk = uk.

По такъв начин, след като се върнем към старото означение на променливи-те, получаваме∫

G0

(F∆s)t0=v0 dt1 dt2 . . . dtk =

∫Gs

(F∆s)ts=vs dt0 . . . dts−1 dts+1 . . . dtk,

където сме положили

(5) 1 − t0 − · · · − ts−1 − ts+1 − · · · − tk = vs.


(6)∫

Γ0

F(x1, x2, . . . , xn) dxα1 dxα2 . . . dxαk

=

k∑s=0

(−1)s∫

Gs

(F∆s)ts=vs dt0 . . . dts−1 dts+1 . . . dtk.

При 0 ≤ s ≤ k получаваме непосредствено от дефиницията(7)∫

Γs+1


∫Gs

(F∆s)ts=0 dt0 . . . dts−1 dts+1 . . . dtk.

Теорема. Нека в някое отворено множество R в пространство с n из-мерения е дефинирана една функция P(x1, x2, . . . , xn), която притежава не-прекъснати първи частни производни. Нека Γ е една двукратно гладка k-повърхнина, определена от (1), чиято графика лежи в R. В такъв случайпри 1 ≤ k < n е валидна формулата

(8)n∑ν=1

∫Γ

∂P∂xν

dxν dxα1 . . . dxαk =

k+1∑ν=0

(−1)ν−1∫

Γν

P dxα1 dxα2 . . . dxαk .

Доказателство. Очевидно

n∑ν=1

∫Γ

∂P∂xν

dxν dxα1 . . . dxαk =

n∑ν=1

∫∂P∂xν

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂ fν∂t0

∂ fν∂t1

· · ·∂ fν∂tk

∂ fα1

∂t0

∂ fα1

∂t1· · ·

∂ fα1

∂tk. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∂ fαk

∂t0

∂ fαk

∂t1· · ·

∂ fαk

∂tk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣dt0 dt1 . . . dtk.


Като развием детерминантите по първия ред и използваме означението (4),ще получим

n∑ν=1

∫Γ

∂P∂xν

dxv dxα1 · · · dxαk =

∫G

n∑ν=1

∂P∂xν

k∑s=0

(−1)s ∂ fν∂ts

∆s dt0 dt1 · · · dtk

=

k∑s=0

(−1)s∫

G∆s

(n∑ν=1

∂P∂xν

∂ fν∂ts

)dt0 dt1 · · · dtk

=

k∑s=0

(−1)s∫

G∆s∂P∂ts

dt0 dt1 · · · dtk.

От друга страна∫G

∆s∂P∂ts

dt0 dt1 · · · dtk =

∫Gs

[∫ vs

0∆s∂P∂ts

dts

]dt0 dt1 · · · dts−1 dts+1 · · · dtk,

където vs се определят от (3) и (5). Следователно, като интегрираме по части,ще получим∫

G∆s∂P∂ts

dt0 dt1 · · · dtk =

∫Gs

∣∣∣∆sP∣∣∣ts=vs

ts=0dt0 · · · dts−1 dts+1 · · · dtk

−

∫Gs

[∫ vs

0P∂∆s

∂tsdts

]dt0 · · · dts−1 dts+1 · · · dtk

=

∫Gs

[(∆sP)t=vs − (∆sP)ts=0] dt0 · · · dts−1 dts+1 · · · dtk −∫

GP∂∆s

∂tsdt0 dt1 · · · dtk.

Така получаваме

n∑ν=1

∫Γ

∂P∂xν

dxν dxα1 · · · dxαk

=

k∑s=0

(−1)s∫

Gs

[(P∆s)ts=vs − (P∆s)ts=0] dt0 · · · dts−1 dts+1 · · · dtk−

−

∫G

P

(k∑

s=0

(−1)s ∂∆s

∂ts

)dt0 dt1 · · · dtk.

От друга страна,k∑

s=0

(−1)s ∂∆s

∂ts= 0,


както това се вижда, след като извършим групиране по вторите производни.Това ни дава

n∑ν=1

∫Γ

∂P∂xν

dxν dxα1 · · · dxαk =

k∑s=0

(−1)s∫

Gs

(P∆s)ts=vs dt0 · · · dts−1 dts+1 · · · dtk

+

k∑s=0

(−1)s−1∫

Gs

(P∆s)ts=0 dt0 · · · dts−1 dts+1 · · · dtk

и като вземем под внимание формулите (6) и (7), получаваме

n∑ν=1

∫Γ

∂P∂xν

dxν dxα1 · · · dxαk =

k+1∑s=0

(−1)s−1∫

Γs

P dxα1 · · · dxαk .

С това доказателството е завършено.При n = 2 и k = 1 формулата (8) се нарича формула на Грин. При n = 3

и k = 2 тя се нарича формула на Остроградски. При n = 3 и k = 1 тазиформула се нарича формула на Стокс. Тези три частни случая се използуватв хидродинамиката, електродинамиката и на много други места.

Общи задачи

1. Нека G е едно квадрируемо точково множество в равнината XOY . Да се докаже, челицето на G има стойност "

Gdx dy.

2. Нека R е едно кубируемо точково множество в пространството. Да се покаже, чеобемът на R има стойност $

Rdx dy dz.

3. Да се пресметне обемът на елипсоида

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1,

като се пресметне тройният интеграл $R

dx dy dz,

разпространен във вътрешността R на разглеждания елипсоид.4. Да се намери обемът на частта от първия октант, която е заградена от повърхнината

(x2 + y2 + z2)3 = a3 xyz, a > 0.

Отговор.a3

24.


5. Нека функцията p(x) е дефинирана и неотрицателна при всички стойности на x, некаинтегралите

a =

∫ ∞

−∞

p(x) dx,

b =

∫ ∞

−∞

xp(x) dx,

c =

∫ ∞

−∞

x2 p(x) dx

имат смисъл и нека a = 1. В такъв случай е валидно неравенството

c − b2 ≥ 0.

Забележка. Тази и следващите две задачи изясняват, че е възможно да се изгради теори-ята на вероятностите, без да се въвежда понятието вероятност. Читателят, който е изучавалтеорията на вероятностите, ще разпознае в следващите две задачи две теореми на Чебишев.

Упътване. Използвайте равенството∫ ∞

−∞

(x − b)2 p(x) dx =

∫ ∞

−∞

x2 p(x) dx − 2b∫ ∞

−∞

xp(x) dx + b2∫ ∞

−∞

p(x) dx = c − b2

или пък си послужете с неравенството на Буняковски—Шварц.6. Нека функцията p(x) е дефинирана и неотрицателна при всички стойности на x, нека

интегралите

a =

∫ ∞

−∞

p(x) dx,

b =

∫ ∞

−∞

xp(x) dx,

c =

∫ ∞

−∞

x2 p(x) dx

имат смисъл и нека a = 1. В такъв случай при всеки избор на положителното число ε евалидно неравенството ∫ b+ε

b−εp(x) dx ≥ 1 −

c − b2

ε2

(Чебишев).Упътване. Използувайте неравенството∫ ∞

−∞

(x − b)2 p(x) dx ≥∫ b−ε

−∞

(x − b)2 p(x) dx +

∫ ∞

b+ε

(x − b)2 p(x) dx ≥ ε2∫ b−ε

−∞

p(x) dx + ε2∫ ∞

b+ε

p(x) dx

или, което е същото,

c − b2 ≥ ε2[∫ b−ε

−∞

p(x) dx +

∫ ∞

b+ε

p(x) dx].

7. Нека е дадена една редица от функции

p1(x), p2(x), . . . , pn(x), . . . ,

които са дефинирани, непрекъснати и неотрицателни при всички стойности на x, нека ин-тегралите

an =

∫ ∞

−∞

pn(x) dx,


bn =

∫ ∞

−∞

xpn(x) dx,

cn =

∫ ∞

−∞

x2 pn(x) dx

имат смисъл и нека най-сетне са изпълнени следните условия:

a1 = a2 = · · · = 1,

b1 = b2 = · · · = b,

cn − b2n ≤ k,

където k е константа, която не зависи от n. Разглеждаме функциите

Pn(t) = n∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

· · ·

∫ ∞

−∞

p1(x1)p2(x2) · · · pn−1(xn−1)pn(nt − x1 − x2 − · · · − xn−1) dx1 dx2 · · · dxn−1,

които по този начин са добре дефинирани, когато многократният несобствен интеграл есходящ при всички стойности на t.

В такъв случай при всеки избор на положителното число ε имаме

limn→∞

∫ b+ε

b−εPn(t) dt = 1.

Упътване. Направете смяната на променливите

x1 = ξ1,

x2 = ξ2,

. . . . . . .

xn−1 = ξn−1,

nt − x1 − x2 − · · · − xn−1 = ξn

и покажете следното:

1) Pn(t) ≥ 0;

2) интегралите

An =

∫ ∞

−∞

Pn(t) dt

имат смисъл и тяхната стойност е равна на единица;


Bn =

∫ ∞

−∞

tPn(t) dt

имат смисъл и тяхната стойност е равна на b;


Cn =

∫ ∞

−∞

t2Pn(t) dt

имат смисъл и

Cn − B2n =

1n2

n∑ν=1

(cν − b2ν);


5) Cn−B2n ≤

kn. След тази предварителна работа използувайте неравенството на Чебишев∫ b+ε

b−εPn(t) dt ≥ 1 −

Cn − B2n

ε2

и очевидното неравенство ∫ b+ε

b−εPn(t) dt ≤ 1.

8. Нека функциите f (x) и g(x) са непрекъснати и монотонно растящи при a ≤ x ≤ b. Втакъв случай е валидно неравенството

(b − a)∫ b

af (x)g(x) dx ≥

[∫ b

af (x) dx

] [∫ b

ag(x) dx

](Чебишев).

Упътване. Използувайте тъждеството"R[ f (x) − f (y)][g(x) − g(y)] dx dy = 2(b − a)

∫ b

af (x)g(x) dx − 2

[∫ b

af (x) dx

] [∫ b

ag(x) dx

],

където R е квадрат, определен от неравенствата

a ≤ x ≤ b,

a ≤ y ≤ b.

9. Нека функцията f (x) е непрекъсната в интервала [a, b]. Да се покаже, че при a ≤ x ≤ b∫ x

adt1

∫ t1

adt2 · · ·

∫ tn−1

af (t) dt =

1(n − 1)!

∫ x

af (t)(x − t)n−1 dt

и ∫ x

at1 dt1

∫ t1

at2 dt2 · · ·

∫ tn−1

atn dtn

∫ tn

af (t) dt =

1n!2n

∫ x

af (t)(x2 − t2)n dt.

10. Да се покаже, че интегралите ∫ ∞

0sin x2 dx,∫ ∞

0cos x2 dx

са сходящи, и да се пресметне тяхната стойност (интеграли на Френел — Fresnel).Упътване. Разгледайте двете функции

u = ey2−x2cos 2xy,

v = −ey2−x2sin 2xy

и покажете, че

u′x = v′y,

u′y = −v′x.

Да означим с D триъгълника

0 ≤ x ≤ R, 0 ≤ y ≤ x.


Пресметнете интегралите

I1 =

"D

u′x dx dy,

I2 =

"D

v′x dx dy

при постоянно y и интегралите

I3 =

"D

v′y dx dy,

I4 =

"D

u′y dx dy

при постоянно x. Използувайте равенствата

I1 = I3,

I2 = −I4.

Това ще ви даде ∫ R

0ey2−R2

cos 2Ry dy −∫ R

0cos 2y2 dy = −

∫ R

0sin 2x2 dx,(A)

−

∫ R

0ey2−R2

sin 2Ry dy +

∫ R

0sin 2y2 dy = −

∫ R

0cos 2x2 dx +

∫ R

0e−x2

dx.(B)

Покажете, че

limR→∞

∫ R

0ey2−R2

cos 2Ry dy = 0,

limR→∞

∫ R

0ey2−R2

sin 2Ry dy = 0.

За целта си послужете с неравенствата

∣∣∣∣∫ R

0ey2−R2

cos 2Ry dy∣∣∣∣ ≤ ∫ R

0ey2−R2

dy =

∫ R

0ey2

dy

eR2 ,

∣∣∣∣∫ R

0ey2−R2

sin 2Ry dy∣∣∣∣ ≤ ∫ R

0ey2−R2

dy =

∫ R

0ey2

dy

eR2

и използувайте например правилото на Лопитал. Докажете с помощта на равенствата (A) и(B), че интегралите ∫ ∞

0cos t2 dt,∫ ∞

0sin t2 dt

са сходящи. Извършете граничния преход R→ ∞ в равенствата (A) и (B) и докажете, че∫ ∞

0sin t2 dt =

∫ ∞

0cos t2 dt,


∫ ∞

0sin t2 dt +

∫ ∞

0cos t2 dt =

√2∫ ∞

0e−x2

dx =

√2π2

.

Това ще ви даде ∫ ∞

0sin t2 dt =

∫ ∞

0cos t2 dt =

√2π4

.

11. Нека R е едно затворено и измеримо точково множество в пространство с n изме-рения и нека f (x1, x2, . . . , xn) е една непрекъсната в R функция. Да се покаже, че могат дасе намерят две неотрицателни числа p и q, подчинени на условието p + q = 1, и две точки(ξ1, ξ2, . . . , ξn) и (η1, η2, . . . , ηn) от R, всички зависещи от избора на f (x1, x2, . . . , xn), по такъвначин, че да е изпълнено равенството(

Rf (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2 . . . dxn =

[p f (ξ1, ξ2, . . . , ξn) + q f (η1, η2, . . . , ηn)

]µ(R).

Забележка. В случай, че множеството R е свързано, т. е. че всеки две негови точкимогат да се съединят с непрекъсната дъга, лежаща в R, то валидна е едночленната формулаза средните стойности(

Rf (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2 . . . dxn = f (ξ1, ξ2, . . . , ξn)µ(R),

където f (ξ1, ξ2, . . . , ξn) е точка от R. В общия случай такава едночленна формула за среднитестойности не съществува, както читателят лесно може сам да се убеди с пример.

Упътване. Нека M е най-голямата, а m е най-малката стойност на

f (x1, x2, . . . , xn) в R.

Да положим

l =

(R

f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2 . . . dxn.

Покажете, чеmµ(R) ≤ l ≤ Mµ(R).

След това разгледайте двете неотрицателни числа

α1 = Mµ(R) − l, α2 = l − mµ(R)

и покажете,че

l =

[α2

α1 + α2M +

α1

α1 + α2m]µ(R),

стига да имаме α1 + α2 , 0. Ако α1 + α2 = 0, то α1 = 0 и α2 = 0, откъдето

l = Mµ(R) = mµ(R)

и случаят е тривиален.

Част III

ПРИЛОЖЕНИЯ

Глава I

ПРИЛОЖЕНИЯ КЪМ ГЕОМЕТРИЯТА

§ 1. Тангента и нормала

Нека е дадена кривата

x = f (t),

y = g(t),(1)

където двете функции f (t) и g(t) са дефинирани в някой интервал ∆. Некаt0 и t са две точки от ∆. Очевидно уравнението на правата, която съединявадвете точки

[ f (t0), g(t0)] и [ f (t), g(t)],

стига те да са различни, може да се напише във вида

(2)g(t) − g(t0)

t − t0[x − f (t0)] −

f (t) − f (t0)t − t0

[y − g(t0)] = 0.

Ако двете функции f (t) и g(t) са диференцуеми в точката t0, можем да из-вършим граничен преход в равенството (2), като оставим t да клони към t0.След този граничен преход намираме

(3) g′(t0)[x − f (t0)] − f ′(t0)[y − g(t0)] = 0.

Така полученото уравнение представлява една права, ако от двете произ-водни f ′(t0) и g′(t0) поне едната е различна от нула. Тази права се наричадопирателна или тангента към кривата (1) в точката [ f (t0), g(t0)]. Очевиднотази права може да се представи параметрично по следния начин:

ξ = f (t0) + u f ′(t0),

η = g(t0) + ug′(t0).(4)

Дефиницията на понятието допирателна, която даваме сега, може да серазглежда като обобщение на познатата ни от по-рано дефиниция. И наис-тина ние знаем, че на функцията

(5) y = F(x)

361

362 Приложения към геометрията

могат да се съпоставят параметричните уравнения

x = t,

y = F(t).

В този специален случай уравненията (4) добиват вида

ξ = x0 + u,

η = F(x0) + uF′(x0)

при t0 = x0 и следователно декартовото уравнение на тангентата в разглеж-даната точка е

η − F(x0) = F′(x0)(ξ − x0).

Двете дефиниции на понятието допирателна обаче не са напълно еквивален-тни. Сега ние даваме една по-обща дефиниция. При тая дефиниция не сеизключва случаят, когато тангентата е успоредна на оста y.

Нека функциите (1) удовлетворяват уравнението

(6) ϕ(x, y) = 0,

когато t се мени в интервала ∆. Тук предполагаме, че функцията ϕ(x, y) едефинирана и притежава непрекъснати частни производни в някоя околностна точката (x0, y0), където x0 = f (t0), y0 = g(t0). В такъв случай, като дифе-ренцираме равенството

ϕ[ f (t), g(t)] = 0,

при t = t0 получаваме съгласно правилото за диференциране на съставнифункции

ϕ′x(x0, y0) f ′(t0) + ϕ′y(x0, y0)g′(t0) = 0

и следователно всички точки от тангентата (4) удовлетворяват уравнението

(7) (ξ − x0)ϕ′x + (η − y0)ϕ′y = 0,

което лесно се вижда, като заместим ξ и η с равните им от (4).Ако поне едната от частните производни ϕ′x(x0, y0) и ϕ′y(x0, y0) е различна

от нула, уравнението (7) представлява една права. Тази права не е нищодруго освен тангентата (4), защото видяхме, че всички точки от правата (4)лежат на правата (7).

Понякога уравнение от вида (6) се нарича крива. Това понятие е раз-лично от понятието дъга, което въведохме в § 16, глава II, част IV. Казваме,че една точка (x1, y1) лежи на кривата ϕ(x, y) = 0, когато ϕ(x1, y1) = 0. След

§ 1. Тангента и нормала 363

всичко изложено досега е естествено да дефинираме понятието тангента(допирателна) към кривата ϕ(x, y) = 0 в точката (x0, y0) като права с уравне-ние

(ξ − x0)ϕ′x(x0, y0) + (η − y0)ϕ′y(x0, y0) = 0,

стига точката (x0, y0) да лежи върху кривата ϕ(x, y) = 0, обаче поне една отчастните производни ϕ′x(x0, y0) и ϕ′y(x0, y0) да е различна от нула.

В специалния случай, когато

(8) ϕ′x(x0, y0) = 0, ϕ′y(x0, y0) = 0,

точката (x0, y0) се нарича особена. Нека припомним, че точката (x0, y0) леживърху кривата (6), т. е. че

ϕ(x0, y0) = 0.

По този начин понятието особена точка се дефинира с помощта на три урав-нения

ϕ′x(x0, y0) = 0, ϕ′y(x0, y0) = 0, ϕ(x0, y0) = 0,

а не само с помощта на двете уравнения (8). По-късно ще изучим особенитеточки по-подробно.

Права, която минава през точката M от една крива Γ и е перпендикуляр-на към тангентата на кривата Γ в тази точка, се нарича нормала към криватаΓ в точката M. Специално, ако кривата има уравнение

y = F(x),

където функцията F(x) е дефинирана в някоя околност на точката x0 и прите-жава различна от нула първа производна в тази точка, ъгловият коефициент

на нормалата е −1

F′(x0)и следователно уравнението на нормалата е

η − y0 =−1

F′(x0)(ξ − x0),

където y0 = F(x0).Нека

ρ = f (θ), f (θ) > 0, α ≤ θ ≤ β

е уравнение на една крива в полярни координати. По-точно тук се касае задъга, дефинирана с параметричните уравнения

x = f (θ) cos θ,

y = f (θ) sin θ.


Да разгледаме точката M върху тази крива, чиито полярни координатиса (θ0, f (θ0)). Ако функцията f (θ) е диференцуема при θ = θ0, кривата имадефинирана тангента. Тази тангента може да се представи в параметриченвид по следния начин:

x = f (θ0) cos θ0 + u[ f ′(θ0) cos θ0 − f (θ0) sin θ0],

y = f (θ0) sin θ0 + u[ f ′(θ0) sin θ0 + f (θ0) cos θ0].(9)

Тук не можем да имаме едновременно

f ′(θ0) cos θ0 − f (θ0) sin θ0 = 0,

f ′(θ0) sin θ0 + f (θ0) cos θ0 = 0,

защото от тези равенства би следвало f (θ0) = 0, което не е вярно.Уравненията (9) добиват особено прост вид, ако ги отнесем към ортого-

налната координатна система ξ∗Oη∗, която е еднакво ориентирана с коорди-натната система xOy и за която лъчът Oξ∗ съвпада с лъча OM (вж. черт. 31).

Черт. 31

За да се убедим в това, ще използуваме трансформачните формули

ξ∗ = x cos θ0 + y sin θ0,

η∗ = −x sin θ0 + y cos θ0,

които читателят познава от аналитичната геометрия. По такъв начин ниеполучаваме

ξ∗ = f (θ0) + u f ′(θ0),

η∗ = u f (θ0).

§ 2. Дължина на тангента, нормала, субтангента и субнормала 365

Елиминирайки параметъра u, намираме уравнението на тангентата в следниявид:

f ′(θ0)η∗ = f (θ0)ξ∗ − f 2(θ0).

Ако f ′(θ0) , 0, ние можем да представим това уравнение в декартов вид

η∗ =f (θ0)f ′(θ0)

ξ∗ −f 2(θ0)f ′(θ0)

и следователно ъгловият коефициент m на тангентата в избраната коорди-натна система има стойността

m =f (θ0)f ′(θ0)

.

§ 2. Дължина на тангента, нормала, субтангента и субнормала

Нека T Q е тангента и NS е нормалата в точката M към кривата y = f (x),която е изобразена на черт. 32. Дължината τ на отсечката1 MT се наричадължина на тангентата, а дължината ν на отсечката2 MN се нарича дължинана нормалата. Сегментът3 S τ = PT се нарича субтангента, а сегментът S ν =

PN се нарича субнормала.


1Т. е. на отсечката между допирната точка M и пресечната точка T на тангентата с остаx.

2Т. е. между допирната точка M на тангентата и пресечната точка на нормалата с оста x.3Нека припомним тук, че сегментът е дефиниран не само по абсолютна стойност, но и

по знак.


Нека (x, y) са координати на точката M. Уравненията на тангентата инормалата могат да се напишат съответно във вида

η − y = y′(ξ − x),

η − y = −1y′

(ξ − x)

(разбира се, ако y′ , 0) и следователно координатите на точка T са(

x − yy′ , 0

),

а на точка N са (x + yy′, 0). Оттук намираме

τ =

√y2 +

y2

y′2,

ν =√

y2 + y2y′2,

S τ = PT =

(x −

yy′

)− x = −

yy′,

S ν = PN = (x + yy′) − x = yy′.

Нека е дадена кривата

(1) ρ = f (θ), f (θ) > 0

в полярните координати (вж. черт. 33). Дължините1 на отсечките τ = T P иν = NP се наричат съответно дължина на тангентата и нормалата в полярникоординати, а сегментите S τ = TO и S ν = ON се наричат съответно суб-тангента и субнормала в полярни координати. Видяхме, че уравнението натангентата в координатната система ξ∗0η∗ може да се напише във вида

η∗ =ρ

ρ′ξ∗ −

ρ2

ρ′

(разбира се, когато ρ′ , 0). Като вземем пред вид, че координатите на P са(ρ, 0), заключаваме, че уравнението на нормалата е

η∗ = −ρ′

ρ(ξ∗ − ρ).

1Правата PT е тангента в точката P към кривата (1); правата PN е нормала към тазикрива. Координатната система ξ∗0η∗ е ортогонална и еднакво ориентирана с координатнатасистема XOY .

§ 3. Директорни косинуси на тангентата и нормалата 367

Координатите на точката T са

(0,−

ρ2

ρ′

), а на точката N са (0, ρ′). Като взе-

мем пред вид още, че координатите на точката P са (ρ, 0), получаваме

τ =

√ρ2 +

ρ4

ρ′2= ρ

√1 +

ρ2

ρ′2,

ν =√ρ2 + ρ′2,

S τ = TO =ρ2

ρ′,

S ν = ON = ρ′.

§ 3. Директорни косинуси на тангентата и нормалата

Нека функцията y = f (x) е дефинирана и диференцуема в някой интер-вал ∆. Ще положим

(1) α = arctg f ′(x).

По този начин ъгълът α е еднозначно определен (когато x е дадено) и удов-летворява неравенствата

(2) −π

2< α <

π

2.

Като вземем пред вид неравенствата (2), не е трудно да се убедим, че

cosα =1√

1 + tg2 α,(3)

sinα =tgα√

1 + tg2 α.(4)

Ще изведем например формулата (3):

1√1 + tg2 α

=1√

1 +sin2 α

cos2 α

=

√cos2 α

√cos2 α + sin2 α

= | cosα| = cosα.

Като вземем пред вид, чеtgα = f ′(x),



cosα =1√

1 + f ′2(x),(5)

sinα =f ′(x)√

1 + f ′2(x).(6)

Числата cosα и sinα, където α е определено от (1), се наричат дирек-торни косинуси на тангентата. Като вземем пред вид, че f ′(x) e ъгловияткоефициент на тангентата, заключаваме, че тези директорни косинуси пред-ставляват точно косинусите на ъглите, които сключва една подходящо из-брана посока върху тангентата с положителните посоки на координатнитеоси. Тази посока върху тангентата се нарича положителна.

За положителна посока на нормалата се избира онази посока, коятосключва с положителните посоки съответно на абсцисната и ординатнатаос ъгли, чиито косинуси са

− sinα, cosα.

Тези косинуси се наричат директорни косинуси на нормалата.Накрая ще отбележим, че ако дефинираме s като функция на x посредс-

твомds =

√1 + f ′2(x) dx,


dxds

= cosα,

dyds

= sinα.

§ 4. Асимптоти


(1) y = f (x)

е дефинирана при x > a. Ще казваме, че правата

(2) y = mx + l

е асимптота на кривата (1), ако разстоянието на точката (x, f (x)) до права-та (2) клони към нула, когато x расте неограничено. Да означим с δ(x) това

§ 4. Асимптоти 369

разстояние. За да пресметнем δ(x), представяме уравнението на правата (2)в нормален вид:

y − mx − l√

1 + m2= 0.

В такъв случай, както това е известно от аналитичната геометрия,

δ(x) =| f (x) − mx − l|√

1 + m2.

Нека допуснем, че правата (2) е асимптота на кривата (1). В такъв случай

(3) limx→∞

δ(x) = 0

и следователноlimx→∞

( f (x) − mx − l) = 0

и най-сетне

(4) l = limx→∞

( f (x) − mx).

И така, за да притежава кривата (1) асимптота, необходимо е да съществуваграницата (4) при някой избор на константата m. Не е трудно да се види, чеконстантата m е еднозначно определена от обстоятелството, че границата

(5) limx→∞

( f (x) − mx)

съществува. И наистина от съществуването на границата следва, че

limx→∞

f (x) − mxx

= 0

или

limx→∞

(f (x)

x− m)

= 0

и най-сетне

m = limx→∞

f (x)x.

Съществуването на границата (4) е не само необходимо, но и достатъчноза съществуването на асимптота. И наистина от условието (4) получаваме

limx→∞

( f (x) − mx − l) = 0


limx→∞

δ(x) = limx→∞

f (x) − mx − l√

1 + m2= 0.


По такъв начин не само получихме на ръка средство да познаем далидадена крива (1) има асимптота, или не, но добихме възможност да намеримуравнението на асимптотата (разбира се, в случай че тя съществува). Такаъгловият коефициент m в уравнението (2) се определя от формулата

m = limx→∞

f (x)x.

След като сме намерили m, определяме l от зависимостта

l = limx→∞

( f (x) − mx).

§ 5. Обвивки

Черт. 34

Нека функцията F(x, y, α) e дефинирана и притежа-ва непрекъснати частни производни до втори ред в някояоколност на точката (x0, y0, α0). При всяко фиксирано α

уравнението

(1) F(x, y, α) = 0

представлява една крива. Когато оставим α да се мени,получаваме една фамилия L от криви.

Една дъга Γ с уравнения

x = f (t), y = g(t),

където t се мени в достатъчно малка околност ∆ на α0, сенарича обвивка на фамилията L (когато α се мени в ∆), ако във всяка точкаP от Γ се допира1 към Γ по някоя крива от L (вж. черт. 34) и всяка крива отL се допира в някоя точка до Γ.

Ще докажем следната теорема: ако

F(x0, y0, α0) = 0,(2)

F′α(x0, y0, α0) = 0,(3) ∣∣∣∣∣ F′x(x0, y0, α0) F′y(x0, y0, α0)F′′αx(x0, y0, α0) F′′αy(x0, y0, α0)

∣∣∣∣∣ , 0,(4)

F′′αα(x0, y0, α0) , 0,(5)

1Това значи, че Γ и кривата от L имат обща тангента в точката P.

§ 5. Обвивки 371

фамилията криви, която се получава от (1), когато α се мени в някоя дос-татъчно малка околност на α0, има обвивка, която може да се представи впараметричен вид

x = f (α),

y = g(α),(6)

където функциите f (α) и g(α) се определят от системата

(7)F(x, y, α) = 0,

F′α(x, y, α) = 0.

Функциите f (α) и g(α) са диференцуеми и производните им не се анулиратедновременно.

Доказателство. Като вземем пред вид условията (2), (3) и (4), заключа-ваме с помощта на теоремата за съществуване на неявни функции, че въввсяка достатъчно малка околност на точката α0 има един и само един чифтнепрекъснати функции

x = f (α),

y = g(α),

които удовлетворяват системата (7) и за които

x0 = f (α0),

y0 = g(α0).

Като вземем пред вид още веднъж условието (4) и обстоятелството, че фун-кциите F(x, y, α) и F′α(x, y, α) притежават непрекъснати частни производни,заключаваме, че функциите f (α) и g(α) са диференцуеми.

Прилагаме правилото за диференциране на съставни функции към ра-венството

(8) F′α[ f (α), g(α), α] = 0.


(9) f ′(α)F′′αx + g′(α)F′′αy + F′′αα = 0.

Сега не е трудно да се покаже, че f ′(α) и g′(α) не се анулират едновре-менно, когато α се мени в някоя достатъчно малка околност на точката α0.


И наистина в противен случаи, като изхождаме от уравнението (9), бихмеполучили

F′′αα( f (α), g(α), α) = 0.

Това обаче не е вярно, когато α е достатъчно близо до α0, защото функциитеF′′αα(x, y, α), f (α) и g(α) са непрекъснати и

F′′αα(x0, y0, α0) , 0.

Ние ще покажем, че дъгата

x = f (α),

y = g(α)(10)

и криватаF(x, y, α1) = 0,

където α1 е коя да е константа, достатъчно близка до α0, се допират1 вточката

[ f (α1), g(α1)].

И наистина, като вземем пред вид, че f ′(α1) и g′(α1) не са едновременнонули, заключаваме, че допирателната към дъгата (10) може да се представивъв вида

ξ = f (α1) + u f ′(α1),

η = g(α1) + ug′(α1),(11)

където u е параметър. От друга страна, уравнението на допирателната къмкривата F(x, y, α1) = 0 може да се представи във вида

(12) [ξ − f (α1)]F′x + [η − g(α1)]F′y = 0.

(Тук двете частни производни F′x и F′y не могат да се анулират едновремен-но, когато α1 е достатъчно близо до α0, защото в противен случай би билонарушено условието (4).)

За да се убедим, че тангентите (11) и (12) се сливат, достатъчно е дапокажем, че всичките точки на правата (11) лежат върху правата (12). Зацелта заместваме в уравнението (12) текущите координати с

[ f (α1) + u f ′(α1), g(α1) + ug′(α1)].

1Това значи, че те имат обща тангента в тази точка.

§ 6. Център на кривината, радиус на кривината, кривина, . . . 373

Това ни даваu[ f ′(α1)F′x + g′(α1)F′y] = 0.

За да се убедим, че полученото равенство е удовлетворено, прилагамеправилото за диференциране на съставни функции към тъждеството

F[ f (α), g(α), α] = 0.

Това ни даваf ′(α)F′x + g′(α)F′y + F′α = 0.

Като вземем пред вид още зависимостта

F′α[ f (α), g(α), α] = 0,

получавамеf ′(α)F′x + g′(α)F′y = 0.

§ 6. Център на кривината, радиус на кривината, кривина,еволюта, еволвента

Нека ни е дадена кривата

(1) y = f (x).

Ще предполагаме, че функцията f ′(x) притежава производни до втори редв някой интервал ∆, като при това f ′(x) , 0 и f ′′(x) , 0. Да разгледаменормалите

(2) η − f (x) = −1

f ′(x)(ξ − x)

и

(3) η − f (x + h) = −1

f ′(x + h)(ξ − x − h)

в двете различни точки (x, f (x)) и (x + h, f (x + h)). Пресечната точка на тезинормали има координати

ξ = x − f ′(x)1 + f ′(x + h)

f (x + h) − f (x)h

f ′(x + h) − f ′(x)h

,

η = f (x) +1 + f ′(x + h)

f (x + h) − f (x)h

f ′(x + h) − f ′(x)h

.


Като извършим граничния преход h→ 0, получаваме

ξ = x − f ′(x)1 + f ′2(x)

f ′′(x),

η = f (x)1 + f ′2(x)

f ′′(x).

(4)

Точката с така получените координати се нарича пресечна точка на нор-малата (2) с безкрайно близката и съседна нормала или по-кратко — центърна кривината на кривата (1), която отговаря на точката [x, f (x)].

Разликата между точката [x, f (x)] и съответния и център на кривината сенарича радиус на кривината на кривата (1) в разглежданата точка. Очевидноза радиуса на кривината получаваме следния израз:√

(ξ − x)2 + [η − f (x)]2 =[1 + f ′2(x)]

32

| f ′′(x)|.

По този начин ние дефинирахме понятието радиус на кривината само поабсолютна стойност. Целесъобразно е обаче да се разглежда радиусът накривината като насочена отсечка, чиято алгебрична мярка представлява ре-лативно число. Това може да стане, като по дефиниция под радиус на кри-вината R разбираме

(5) R =[1 + f ′2(x)]

32

f ′′(x).

Реципрочната стойност на радиуса на кривината в дадена точка на криватасе нарича кривина в същата точка. Означавайки кривината с k, получаваме

(6) k =f ′′(x)

[1 + f ′2(x)]32.

Формулите

cosα =1√

1 + f ′2(x),

sinα =f ′(x)√

1 + f ′2(x)

(7)

от § 3 от тази глава (значението на буквите е дадено там) и формулата (5)ни позволяват да представим уравненията (4) в следния по-прост вид:

ξ = x − R sinα,

η = y + R cosα.(8)


На това място ние ще дадем една проста зависимост, която свързва кри-вината k с ъгъла α. За да получим тази зависимост, диференцираме равенс-твото

sinα =f ′(x)√

1 + f ′2(x)

спрямо x. Това ни дава

cosαdαdx

=f ′′(x)

[1 + f ′2(x)]32

или

(9) k = cosαdαdx.


cosα =dxds, където ds =

√1 + f ′2(x) dx

(вж. § 3 от тази глава), можем да запишем този резултат по-кратко така:

k =dαds.

Диференцирайки спрямо s равенствата

dxds

= cosα,

dyds

= sinα,

получаваме така наречените формули на Френе за равнинните криви

d2xds2 = −k

dyds,

d2yds2 = k

dxds.

Геометрично място на центровете на кривините, т. е. кривата с парамет-ричните уравнения (4), се нарича еволюта на кривата (1), а кривата (1) сенарича еволвента на кривата (4).


Черт. 35

Нека функцията f (x) е три пъти дифе-ренцуема и третата и производна е непре-късната в някоя околност на точката x0; не-ка освен това f ′(x0) , 0, f ′′(x0) , 0 и най-сетне нека производната на кривината k еразлична от нула при x = x0. В такъв слу-чай еволютата е обвивка за фамилията нор-мали, когато x се мени в достатъчно малкаоколност на x0 (вж. черт. 35).

За да се убедим в това, разглеждамефункцията

F(ξ, η, x) = η − f (x) +ξ − xf ′(x)

.

Очевидно

(10) F′x(ξ, η, x) = − f ′(x) −f ′(x) + (ξ − x) f ′′(x)

f ′2(x).

Решавайки относно ξ и η системата

η − f (x) +ξ − xf ′(x)

= 0,

− f ′(x) −f ′(x) + (ξ − x) f ′′(x)

f ′2(x)= 0,


ξ = x − f ′(x)1 + f ′2(x)

f ′′(x),

η = f (x) +1 + f ′2(x)

f ′′(x).

(11)

Така получените уравнения съвпадат точно с уравненията на еволютата (4).За да се убедим, че тези параметрични уравнения дават една обвивка нанормалите (2), достатъчно1 е да вземем пред вид, че функционалната детер-

1Ако положим

ξ0 = x0 − f ′(x0)1 + f ′2(x0)

f ′′(x0),

η0 = f (x0) +1 + f ′2(x0)

f ′′(x0),

очевидно ще имамеF(ξ0, η0, x0) = 0, F′x(ξ0, η0, x0) = 0.


минанта ∣∣∣∣∣ F′ξ F′ηF′′xξ E′′xη

∣∣∣∣∣ =f ′′(x)f ′2(x)

и производната

F′′xx(ξ, η, x)

приемат стойности, различни от нула, когато на ξ и η даваме стойности,определени от уравненията (11).

За функционалната детерминанта това е очевидно. За да покажем, четова е вярно и за производната F′′xx(ξ, η, x), елиминираме f ′′(x) от (10) и (6).Това ни дава

F′x(ξ, η, x) = −[1 + f ′2(x)]

32

f ′2(x)

[f ′(x)√

1 + f ′2(x)+ (ξ − x)k

]

или още

F′x(ξ, η, x) = −[1 + f ′2(x)]

32

f ′2(x)[sinα + (ξ − x)k].


F′′xx(ξ, η, x) = − [sinα + (ξ − x)k]ddx

[1 + f ′2(x)]32

f ′2(x)

−

[cosα

dαdx− k + (ξ − x)

dkdx

][1 + f ′2(x)]

32

f ′2(x)

или като вземем пред вид формулата (9),

F′′xx(ξ, η, x) = −[sinα + (ξ − x)k]ddx

[1 + f ′2(x)]32

f ′2(x)− (ξ − x)

dkdx·

[1 + f ′2(x)]32

f ′2(x).

При

ξ = x − f ′(x)1 + f ′2(x)

f ′′(x)= x − R sinα


F′′xx(ξ, η, x) =(1 + f ′2(x))

52

f ′(x) . f ′′(x)dkdx, 0.



§ 7. Особени точки на алгебричните криви

Нека F(x, y) е един полином от n-та степен на двете променливи x и y.Казваме, че (x0, y0) е една особена точка върху кривата

(1) F(x, y) = 0,

когато са изпълнени следните условия:

(2)F(x0, y0) = 0,

F′x(x0, y0) = F′y(x0, y0) = 0.

Теорема 1. Ако са изпълнени условията (2) и ако

F′′2xy (x0, y0) − F′′xx(x0, y0)F′′yy(x0, y0) > 0, F′′yy(x0, y0) , 0,

то във всяка достатъчно малка околност на точката x0 има две и самодве1 диференцуеми функции на x, които, поставени на мястото на y, удов-летворяват уравнението (1) и приемат стойност y0 при x = x0.

Доказателство. Да положим за краткост

∂i+k

∂xi∂yk F(x0, y0) = aik.

Като вземем пред вид условията (2), добиваме възможност да напишем Тей-лоровото развитие

F(x, y) = F(x0, y0) +11!

[(x − x0)F′x(x0, y0) + (y − y0)F′y(x0, y0)]

+12!

[(x − x0)2F′′xx(x0, y0) + 2(x − x0)(y − y0)F′′xy(x0, y0) + (y − y0)2F′′yy(x0, y0)]

+ · · · +1n!

[(x − x0)

∂

∂x+ (y − y0)

∂

∂y

]n

F(x0, y0)

във вида

F(x, y) =12!

[a20(x − x0)2 + 2a11(x − x0)(y − y0) + a02(y − y0)2]

+13!

[a30(x − x0)3 + 3a21(x − x0)2(y − y0)] + 3a12(x − x0)(y − y20) + a03(y − y0)3]

+ · · · +1n!

[an0(x − x0)n + nan−11(x − x0)n−1(y − y0) + · · · + a0n(y − y0)n].

1Точката (x0, y0) се нарича в този случай двойна точка.

§ 7. Особени точки на алгебричните криви 379

Полагамеy = y0 + u(x − x0).

В такъв случай уравнението F(x, y) = 0 добива вида

a20 + 2a11u + a02u2 + (x − x0)p(x, u) = 0,

където p(x, u) е полином на x и u. Да означим с α кой да е от двата коренана уравнението

(3) a20 + 2a11u + a02u2 = 0

и да разгледаме функцията

G(x, u) = a20 + 2a11u + a02u2 + (x − x0)p(x, u).


G(x0, α) = 0,∂

∂uG(x0, α) = 2a11 + 2a02α = ±2

√a2

11 − a02a20 , 0.

Този резултат ни позволява да приложим към уравнението

(4) G(x, u) = 0

теоремата за съществуване на неявни функции. И тъй във всяка околност наточката x0 има една (и само една) непрекъсната функция

u = ϕ(x),

която удовлетворява уравнението

G(x, u) = 0

и приема стойност α в точката x0. Теоремата за диференциране на неявнифункции ни учи, че функцията ϕ(x) е диференцуема. След като функциятаϕ(x) е дефинирана, разглеждаме функцията

f (x) = y0 + (x − x0)ϕ(x).

С непосредствена проверка се вижда, че функцията

y = f (x)


удовлетворява уравнението (1), тъй като функцията ϕ(x) удовлетворява урав-нението (4). Не е трудно да се убедим също така, че функцията f (x) е ди-ференцуема, като вземем пред вид, че функцията ϕ(x) е диференцуема. Най-сетне нека отбележим, че f ′(x0) = α. За да установим това, разглеждамеотношението

f (x) − y0

x − x0= ϕ(x),

което клони към ϕ(x0) = α (поради непрекъснатостта на ϕ(x)), когато x→ x0.Използувайки втория корен β на уравнението (3), можем да дефинираме

още една диференцуема функция g(x), която удовлетворява уравнението (1)и приема стойност y0 в точката x0. Тази функция g(x) е различна от функци-ята f (x), защото f ′(x0) = α, докато g′(x0) = β.

Не е трудно да се убедим, че в достатъчно малка околност на точката x0не може да да има трета диференцуема функция h(x), която да удовлетворявауравнението F(x, y) = 0 и за която h(x0) = y0. И наистина да допуснемпротивното. В такъв случай функцията ψ(x), дефинирана с условието

ψ(x) =h(x) − y0

x − x0

при x , x0 иψ(x0) = h′(x0)

е непрекъсната дори при x = x0. Не е трудно да се види, че функциятаu = ψ(x) удовлетворява уравнението

(5) G(x, u) = 0.

И наистина при x , x0 това се вижда непосредствено, а при x = x0 това сеполучава с граничния преход x→ x0 от равенството

G(x, ψ(x)) = 0

поради непрекъснатостта на ψ(x). Извършвайки този граничен преход, полу-чаваме

a20 + 2a11ψ(x0) + a02ψ2(x0) = 0.

Оттук заключаваме, че или

(6) ψ(x0) = α,

или

(7) ψ(x0) = β.


Непрекъснатата функция ψ(x) обаче е еднозначно определена с помощта наусловието (5) и едното от условията (6) или (7). От това следва, че функциятаh(x) съвпада или с f (x), или с g(x).

Пример. Да разгледаме функцията

F(x, y) = 6x2 − 5xy + y2 + x3 − x2y + y3.

Тук имаме

F(0, 0) = F′x(0, 0) = F′y(0, 0) = 0,

F′′xy2(0, 0) − F′′xx(0, 0)F′′yy(0, 0) = 1 > 0, F′′yy(0, 0) = 2 , 0

следователно през точката (0, 0) минават два клона от кривата

6x2 − 5xy + y2 + x3 − x2y + y3 = 0.

Теорема 2. Ако са изпълнени условията (2) и ако

F′′2xy (x0, y0) − F′′xx(x0, y0)F′′yy(x0, y0) < 0,

то (x0, y0) е една изолирана точка на кривата F(x, y) = 0. Това значи, чеоколо точката (x0, y0) може да се построи околност, която да не съдържадруга точка от кривата освен точката (x0, y0).

Доказателство. Като вземем пред вид условията (2), добиваме възмож-ност да напишем формулата на Тейлор

F(x, y) = F(x0, y0) +11!

[(x − x0)F′x(x0, y0) + (y − y0)F′y(x0, y0)]

+12!

[(x − x0)2F′′xx(x0 + θh, y0 + θk) + 2(x − x0)(y − y0)F′′xy(x0 + θh, y0 + θk)

+ (y − y0)2F′′yy(x0 + θh, y0 + θk)],

къдетоh = x − x0, k = y − y0, 0 < θ < 1,

във вида

F(x, y) =12!

[(x − x0)2F′′xx(x0 + θh, y0 + θk)

+ 2(x − x0)(y − yo)F′′xy(x0 + θh, y0 + θk) + (y − y0)2F′′yy(x0 + θh, y0 + θk)].

Ако точката (x, y) се намира достатъчно близо до точката (x0, y0), очевидно

F′′2xy (x0 + θh, y0 + θk) − F′′xx(x0 + θh, y0 + θk)F′′yy(x0 + θh, y0 + θk) < 0


и следователно квадратичната форма

λ2F′′xx(x0 + θh, y0 + θk) + 2λµF′′xy(x0 + θh, y0 + θk) + µ2F′′yy(x0 + θh, y0 + θk)

е дефинитна. Оттук заключаваме, че равенството

(x − x0)2F′′xx(x0 + θh, y0 + θk) + 2(x − x0)(y − y0)F′′xy(x0 + θh, y0 + θk)

+ (y − y0)2F′′yy(x0 + θh, y0 + θk) = 0

е изпълнено само когато x = x0 и y = y0.

Пример. Да разгледаме функцията

F(x, y) = (x2 + y2)2 − a2 x2 − b2y2, a , 0, b , 0.

Тук очевидно имаме

F(0, 0) = F′x(0, 0) = F′y(0, 0) = 0,

F′′2xy (0, 0) − F′′xx(0, 0)F′′yy(0, 0) = −4a2b2 < 0.

Оттук заключаваме,че (0, 0) е една изолирана точка на кривата

(x2 + y2)2 − a2 x2 − b2y2 = 0.

АкоF′′2xy (x0, y0) − F′′xx(x0, y0)F′′yy(x0, y0) = 0,

могат да се представят различни случаи.Така например при

F(x, y) = y2 − x3

имамеF(0, 0) = F′x(0, 0) = F′y(0, 0) = 0

иF′′2xy (0, 0) − F′′xx(0, 0)F′′yy(0, 0) = 0.

Видът на кривата y2 − x3 = 0 е изобразен на черт. 36. В този случай казваме, че в началотоимаме рог от първи вид (двата клона, които образуват рога, са разположени от различнистрани на общата си тангента).

Като втори пример ще разгледаме функцията

F(x, y) = (y − x2)2 − x5.

И тук имаме

F(0, 0) = F′x(0, 0) = F′y(0, 0) = 0,

F′′2xy (0, 0) − F′′xx(0, 0)F′′yy(0, 0) = 0.

Изследването на кривата F(x, y) = 0 е удобно да се извърши, като се реши уравнениетоотносно y. Това ще ни даде

y = x2 ± x52 .



Тази крива е изобразена на черт. 37.В началото имаме така наречен рог от втори вид (двата клон, които образуват рога, са

от една и съща страна на общата си тангента в съседство на допирната точка).Като трети пример ще разгледаме функцията

F(x, y) = x4 + x2y2 − 6x2y + y2.


F(0, 0) = F′x(0, 0) = F′y(0, 0) = 0,

F′′2xy (0, 0) − F′′xx(0, 0)F′′yy(0, 0) = 0.

Кривата F(x, y) = 0 се разпада на два клона

y =3x2 + x2

√8 − x2

1 + x2

и

y =3x2 − x2

√8 − x2

1 + x2 ,

които се допират в началото.Като четвърти пример ще разгледаме функцията

F(x, y) = y2 − 2xy + x2 + x4 − x6.


F(0, 0) = F′x(0, 0) = F′y(0, 0) = 0,

F′′2xy (0, 0) − F′′xx(0, 0)F′′yy(0, 0) = 0.

В този специален случай началото е една изолирана точка за кривата F(x, y) = 0. За да сеубедим в това, представяме уравнението във вида

(y − x)2 + x4(1 − x2) = 0.

Това уравнение е удововлетворено при |x| < 1 само когато y − x = 0, x = 0 и следователноx = 0, y = 0.


Повече няма да се задълбочваме в изследването на различните случаи,които могат да се представят.

Накрая ще отбележим, че само за простота се ограничихме със случаяна алгебрични криви. Методът, с който си послужихме, може да се използувапри много по-общи предположения.

Задачи

Да се построят следните криви:

1) y =x2 + 1

x2 − 3x + 2.

2) y =x3

x2 + 1.

3) y = x ln x.

4) y = ex+1x−1 .

5) y2 =x + 1x − 1

.

6) y2 =x − 11 + x

.

7) y2 =x2

x + 1.

8) y2 = x3(1 − x).

9) y2 = x(x − 1)2.

10) y2 = x2 1 + x1 − x

.

11) y2 = x2 1 − xx + 1

.

12) y2 = (x − a)(x − b)(x − c), c ≤ b ≤ a.

13) ρ = tg θ.

14) ρ = aθ.

15) ρ = eaθ.

16) ρ2 = cos 2θ.

17) ρ = tg θ.1

18) ρ =1θ, θ > 0.

19) ρ =1

4θ − π, θ >

π

4.

20) ρ =cos 2θcos θ

.

21) x4 + y4 = 8xy2.

22) (x2 + y2)2 = 2xy.

23) y2 = 2x2y + x5.

24) x3 + y3 − 3axy = 0.

25) x =t − t2

1 + t2 , y =t2 − t3

1 + t2 .

26) x =t

1 − t2 , y =t − 2t3

1 − t2 .

27) x =t2

t − 1, y =

tt2 − 1

.

28) x =t2 − 1t2 + 1

, y =t2 − 1t3 + t

.

1Това е задача 13.

Глава II

ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Дефиниции

Уравнение от вида

F(

x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0,

където y е неизвестна функция на x, се нарича обикновено1 диференциалноуравнение от n-ти ред.

Решенията на едно диференциално уравнение се наричат негови интег-рали.

Не всяко диференциално уравнение има решение. И наистина нека f (x)е функция, която приема както положителни, така и отрицателни стойностив един интервал ∆, но не се анулира.2 В такъв случай уравнението

y′ = f (x)

не притежава решение, защото в противен случай съгласно теоремата наДарбу (вж. задача 59 в края на част II на учебника по Диференциално смя-тане) би съществувала в ∆ поне една точка x0, в която y′, а следователно иf (x) се анулира, което не е вярно.

Има диференциални уравнения, които имат само едно решение. И на-истина нека ∆ е произволен интервал. Дефинираме една функция ϕ(x) в ∆

по следния начин: ако x е рационално, то ϕ(x) = 1; ако x е ирационално,ϕ(x) = −1. Разглеждаме уравнението

y′ = ϕ(x)y.

Очевидно константата нула е едно негово решение. Ще покажем, че товауравнение няма друго решение. За тази цел ще установим, че във всекиподинтервал на интервала ∆ функцията y се анулира поне един път. И наис-тина, ако допуснем, че в ∆ има подинтервал (p, q), където y не се анулира,ще имаме в този под интервал

y′

y= ϕ(x)

1За разлика от диференциалните уравнения, които съдържат частни производни. Таканапример диференциалното уравнение y′ − y = 0 е едно обикновено диференциално уравне-

ние, а уравнението∂2z∂x2 +

∂2z∂y2 = 0 е едно диференциално уравнение с частни производни.

2Тази функция, разбира се, притежава поне една точка на прекъсване.

385

386 Диференциални уравнения

или ощеd ln |y|

dx= ϕ(x).

От друга страна, функцията ϕ(x) приема в интервала (p, q) както положи-телни, така и отрицателни стойности и следователно съгласно теоремата наДарбу (вж. задача 59 в края на част II) трябва да се анулира поне един път,което не е вярно. С това ние доказахме, че функцията y се анулира във всекиподинтервал на ∆ и следователно се анулира тъждествено, защото е непре-късната.

Не е трудно да се покажат примери за диференциални уравнения, коитоимат безбройно много решения. Така, ако функцията g(x) е непрекъсната внякой интервал ∆, уравнението

y′ = g(x)

има безбройно много решения в ∆ и, както знаем, те се изчерпват от форму-лата

y = G(x) + C,

където G(x) е една примитивна функция на g(x) в разглеждания интервал.Последният пример, както ще се види от това, което следва, може да се

разглежда в известен смисъл като типичен. Към това ще прибавим още, чемогат да се дадат твърде общи достатъчни условия, при които може да сетвърди съществуването на безбройно много решения на диференциалнитеуравнения.

§ 2. Уравнение, в което променливите се отделят


(1) f (x) + g(y)y′ = 0

се нарича диференциално уравнение, в което променливите се отделят.Нека функцията f (x) е дефинирана и непрекъсната в някоя околност на

точката x0, а g(t) е дефинирана и непрекъсната в някоя околност на точкатаy0. Ако g(y0) , 0, то във всяка достатъчно малка околност на точката x0 съ-ществува една и само една диференцуема функция y(x), която удовлетворявадиференциалното уравнение (1) и за която y(x0) = y0.

За да докажем това, разглеждаме двете функции

F(x) =

∫ x

x0

f (u) du,

§ 2. Уравнение, в което променливите се отделят 387

G(t) =

∫ t

y0

g(u) du

и образуваме уравнението

(2) F(x) + G(y) = 0.

Като вземем пред вид, че функциите F(x) и G(t) притежават непрекъснатипроизводни и че

F(x0) + G(y0) = 0,

G′(y0) = g(y0) , 0,

заключаваме с помощта на теоремата за съществуване на неявни функции,че във всяка достатъчно малка околност на точката x0 съществува функцияy = ϕ(x), която удовлетворява уравнението (2) и условието ϕ(x0) = y0, и четази функция е диференцуема. Чрез диференциране намираме, че функциятаϕ(x) удовлетворява уравнението

F′(x) + G′(ϕ(x))ϕ′(x) = 0

или, което е същото,f (x) + g(ϕ(x))ϕ′(x) = 0.

По такъв начин ние намерихме функция y = ϕ(x) в достатъчно малка окол-ност на точката x0, която удовлетворява уравнението (2) и условието ϕ(x0) =

y0. За да установим, че такава функция има само една, означаваме с ψ(x)диференцуема функция, която е дефинирана в достатъчно малка околностна точката x0 и удовлетворява условията

f (x) + g(ψ(x))ψ′(x) = 0,

ψ(x0) = y0.

Разглеждаме функцията

p(x) = F(x) + G(ψ(x)).

В такъв случайp′(x) = f (x) + g(ψ(x))ψ′(x) = 0,

т. е. функцията p(x) e константа. Тази константа е равна на нула, защото

F(x0) + G(ψ(x0)) = F(x0) + G(y0) = 0.

И така непрекъснатата функция y = ψ(x) удовлетворява уравнението (2) иусловието ψ(x0) = y0. От това и от теоремата за единственост на неявнифункции следва, че функцията ψ(x) съвпада с разглежданата по-горе функ-ция ϕ(x), когато x е достатъчно близо до x0.


Забележка. От изложението се вижда, че диференциалното уравнение (1)при допълнителното условие y(x0) = y0 съществено се свежда към уравне-нието (2), което не съдържа производната на неизвестната функция.

§ 3. Хомогенни диференциални уравнения


(1) y′ = f( y

x

)се нарича хомогенно.

Нека функцията f (t) е дефинирана и непрекъсната в някоя околност наточката t0, нека f (t0)− t0 , 0 и нека x0 е произволно различно от нула число.Ние ще докажем, че във всяка достатъчно малка околност на точката x0има една и само една диференцуема функция y = ϕ(x), която удовлетворявауравнението (1) и приема стойността t0x0 в точката x0.

Доказателство. Полагаме

(2) u(x) =ϕ(x)

x.

В такъв случайϕ′(x) = u′x + u.

Очевидно функцията y = ϕ(x) удовлетворява уравнението (1) и условиетоϕ(x0) = t0x0 тогава и само тогава, когато функцията u(x) удовлетворява урав-нението

(3) u′x + u − f (u) = 0

и условието u(x0) = t0. От друга страна, уравнението (3) е еквивалентно науравнението

(4)1x

+u′

u − f (u)= 0,

което удовлетворява условията, при които разгледахме уравнението (1) отпредния параграф. И така във всяка достатъчно малка околност на точкатаx0 съществува една и само една функция u(x), която удовлетворява уравне-нието (3) и условието u(x0) = t0, и следователно съществува една и самоедна функция y = ϕ(x), която удовлетворява уравнението (1) и условиетоϕ(x0) = t0x0.

Забележка. Изложеното може да се резюмира кратко така: субституци-ята (2) ни позволява да преобразуваме уравнението (1) в уравнение, чиитопроменливи се отделят.

§ 4. Линейни диференциални уравнения 389

§ 4. Линейни диференциални уравнения

Нека функциите f (x) и g(x) са дефинирани и непрекъснати в някой ин-тервал ∆. Уравнение от вида

(1) y′ = f (x)y + g(x)

се нарича линейно диференциално уравнение.Да допуснем, че y е едно решение на уравнението (1). Разглеждаме по-

мощната функцияu = ye−

∫f (x) dx.


y = ue∫

f (x) dx,

y′ = u′e∫

f (x) dx + ue∫

f (x) dx f (x).

Оттук заключаваме, че функцията u удовлетворява уравнението

u′e∫

f (x) dx + ue∫

f (x) dx f (x) = f (x)ue∫

f (x) dx + g(x)

и следователноu′ = g(x)e−

∫f (x) dx.

Това ни позволява да пишем

u = C +

∫g(x)e−

∫f (x) dx dx

и следователно всяко решение y на уравнението (1) може да се представивъв вида

(2) y = e∫

f (x) dx[

C +

∫g(x)e−

∫f (x) dx dx

]при подходящ избор на константата C.

Обратното, каквато и да е константата C, функцията y, определена от (2),удовлетворява уравнението (1). Доказателството се извършва с непосредст-вена проверка, която предоставяме на читателя.

От равенството (2) се вижда, че каквато и да е точката x0 от ∆ и какватои да е константата a, уравнението (1) има едно и само едно решение y = y(x),което удовлетворява условието y(x0) = a.


§ 5. Уравнение на Бернули

Нека функциите f (x) и g(x) са дефинирани и непрекъснати в някой ин-тервал ∆. Уравнение от вида

(1) y′ = f (x)y + g(x)ym, където m , 1,

се нарича диференциално уравнение на Бернули (Bernoulli).Това уравнение може да се преобразува в линейно с помощта на подхо-

дяща субституция поне тогава, когато търсим1 негови решения, които не сеанулират.

И наистина нека y е едно решение на уравнението (1) и нека y , 0 привсички стойности на x от ∆. В такъв случай

y−my′ = f (x)y1−m + g(x)

и следователно функциятаu = y1−m

удовлетворява диференциалното уравнение

11 − m

·dudx

= f (x)u + g(x),

което е линейно.

§ 6. Уравнение на Рикати

Нека функциите f1(x), f2(x) и f3(x) са дефинирани и непрекъснати внякой интервал ∆. Уравнение от вида

(1) y′ = f1(x) + f2(x)y + f3(x)y2

се нарича диференциално уравнение на Рикати (Riccati).Ако u е един интервал на уравнението (1), т. е. ако

(2) u′ = f1(x) + f2(x)u + f3(x)u2,

уравнението на Рикати (1) може да се преобразува в уравнение на Бернулис помощта на субституцията

y = z + u,

1Разбира се, стойностите на търсената функция y трябва да принадлежат на дефиници-онната област на функцията tm.

§ 7. Уравнение на Лагранж 391

където z е нова неизвестна функция. И наистина

y′ = z′ + u′


z′ + u′ = f1(x) + f2(x)(z + u) + f3(x)(z + u)2,

откъдето, като вземем пред вид (2), намираме

z′ = [ f2(x) + 2 f3(x)u]z + f3(x)z2,

което е едно уравнение на Бернули.

§ 7. Уравнение на Лагранж


(1) y = f (y′)x + g(y′)

се нарича уравнение на Лагранж (Lagrange).Нека функциите f (x) и g(t) са дефинирани и имат непрекъснати първи

производни в някоя околност на точката t0. Ако f (t0) − t0 , 0 и f ′(t0)x0 +

g′(t0) , 0, то във всяка достатъчно малка околност на точката x0 има една исамо една функция y = y(x), която притежава непрекъснатата втора произ-водна, удовлетворява уравнението (1) и е подчинена на условието y′(x0) = t0.

Първо ще разгледаме въпроса за единственост. Нека функцията y = y(x)е дефинирана в достатъчно малка околност ∆ на точката x0, притежава не-прекъсната втора производна и удовлетворява условията (1) и y′(x0) = t0.Полагаме y′(x) = p(x). В такъв случай

(2) y(x) = f (p)x + g(p).

Диференцираме спрямо x. Това ни дава

p = f (p) + [ f ′(p)x + g′(p)]p′(x).

Специално при x = x0 получаваме

t0 − f (t0) = [ f ′(t0)x0 + g′(t0)]p′(x0)

и следователно p′(x0) , 0. Оттук, като вземем пред вид, че t0 − p(x0) = 0,заключаваме с помощта на теоремата за съществуване на неявни функции и


теоремата за съществуване на производни на неявни функции, че във всякадостатъчно малка околност на точката t0 има функция ξ(t) с непрекъснатапроизводна, която удовлетворява уравнението t − p[ξ(t)] = 0 и условиетоξ(t0) = x0.

Ако t е достатъчно близо до t0, то ξ(t) ще принадлежи на ∆ и следова-телно ще имаме

p[ξ(t)] = f{

p[ξ(t)]}

+[

f ′{

p[ξ(t)]}ξ(t) + g′

{p[ξ(t)]

}]p′[ξ(t)],

откъдето, като вземем пред вид, че

p[ξ(t)] = t и p′[ξ(t)]ξ′(t) = 1,

намираме

t = f (t) + [ f ′(t)ξ(t) + g′(t)]1ξ′(t)

или още

(3) ξ′(t) =f ′(t)

t − f (t)ξ(t) +

g′(t)t − f (t)

.

Така полученото уравнение (3) е линейно. То има само едно решение ξ(t),което удовлетворява условието ξ(t0) = x0. Ние ще използуваме това обстоя-телство, за да покажеш, че функцията p(x) е също тъй еднозначно опреде-лена в достатъчно малка околност на точката x0. За тази цел вземаме предвид, че x0 − ξ(t0) = 0. От друга страна, ξ′(t0) , 0, защото p′[ξ(t)]ξ′(t) = 1.Това ни позволява да заключим, че във всяка достатъчно малка околностна точката x0 съществува (непрекъсната) функция q(x), която удовлетворявауравнението x − ξ[q(x)] = 0 (и условието q(x0) = t0). По този начин дефи-ницията на функцията q(x) зависи от еднозначно определената функция ξ(t),но не зависи ни най-малко от функцията p(x). Полученият резултат ни да-ва възможност да пишем x = ξ[q(x)] при всички стойности на x, които садостатъчно близо до x0. Оттук получаваме

p(x) = p[ξ(q(x))] = q(x),

с което е показано, че функцията p(x) е наистина еднозначно определена вдостатъчно малка околност на точката x0. Най-сетне, като вземем пред видравенството

y(x) = f [p(x)]x + g[p(x)],

заключаваме, че функцията y(x) е също така еднозначно определена.

§ 7. Уравнение на Лагранж 393

За да установим, че във всяка достатъчно малка околност на точката x0разглежданото уравнение (1) наистина има решение y = y(x) с непрекъсна-та втора производна, което удовлетворява условието y′(x0) = t0, образувамеуравнението (3). Това уравнение е линейно и следователно притежава ре-шение ξ(t), което удовлетворява условието ξ(t0) = x0, стига t да се мени вдостатъчно малка околност G на точката t0. Равенството (3) ни позволява дазаключим, че ξ′(t) е непрекъсната функция на t. От друга страна, x0−ξ(t0) = 0и

ξ′(t0) =f ′(t0)ξ(t0) + g′(t0)

t0 − f (t0)=

f ′(t0)x0 + g′(t0)t0 − f (t0)

, 0.

Оттук, като използуваме теорията на неявните функции, заключаваме, че въввсяка достатъчно малка околност на точката x0 съществува функция ϕ(x) снепрекъсната производна, която удовлетворява условията

x − ξ(ϕ(x)) = 0,

ϕ(x0) = t0.

Ако x е достатъчно близо до x0, ϕ(x) принадлежи на G и следователно

ξ′[ϕ(x)] =f ′[ϕ(x)]

ϕ(x) − f [ϕ(x)]ξ[ϕ(x)] +

g′[ϕ(x)]ϕ(x) − f [ϕ(x)]

.

От друга страна,ξ[ϕ(x)] = x и ξ′[ϕ(x)]ϕ′(x) = 1


1ϕ′(x)

=f ′[ϕ(x)]

ϕ(x) − f [ϕ(x)]x +

g′[ϕ(x)]ϕ(x) − f [ϕ(x)]

,

откъдетоϕ(x) = f [ϕ(x)] +

{f ′[ϕ(x)] + g′[ϕ(x)]

}ϕ′(x)

или още

(4) ϕ(x) =ddx

{f [ϕ(x)]x + g[ϕ(x)]

}.

Да разгледаме функцията

(5) y(x) = f [ϕ(x)]x + g[ϕ(x)].

Равенството (4) ни учи, че y′(x) = ϕ(x). Оттук заключаваме следното:


1. Функцията y(x) притежава непрекъсната втора производна, защотофункцията ϕ(x) притежава непрекъсната първа производна.

2. y′(x0) = t0, защото ϕ(x0) = t0.

3. Равенството (5) ни дава

y(x) = f [y′(x)]x + g[y′(x)],

т. е. функцията y(x) удовлетворява уравнението (1).

По такъв начин показахме, че във всяка достатъчно малка околност наточката x0 уравнението (1) наистина има решение y(x) с непрекъсната вторапроизводна, което удовлетворява условието y′(x0) = t0.

§ 8. Уравнение на Клеро


(1) y = xy′ + g(y′)

се нарича уравнение на Клеро (Clairaut).Нека функцията g(t) притежава непрекъсната втора производна в някоя

околност на точката t0 и нека g′′(t0) , 0. Ще покажем, че във всяка доста-тъчно малка околност на точката x0 = −g′(t0) съществуват две и само двефункции y = ϕ(x) и y = ψ(x), които имат непрекъснати втори производни,удовлетворяват уравнението (1) и за които ϕ′(x0) = t0, ψ′(x0) = t0. И наистинанека y е едно такова решение. Полагаме y′ = p(x). Уравнението (1) добивавида

(2) y = xp + g(p).

Като диференцираме спрямо x, намираме

(3){

x + g′[p(x)]}

p′(x) = 0.

Ако p′(x0) , 0, то във всяка достатъчно малка околност на точката x0 имамеp′(x) , 0 и следователно

(4) x + g′[p(x)] = 0.

От друга страна, като вземем пред вид, че

x + g′(t0) = 0,(5)

§ 8. Уравнение на Клеро 395

g′′(t0) , 0,(6)

заключаваме от теорията на неявните функции, че във всяка достатъчно мал-ка околност на точката x0 има само една непрекъсната функция p(x), коятоудовлетворява уравнение (4) и условието p(x0) = t0. След като установих-ме, че функцията p(x) е еднозначно определена, заключаваме с помощта наравенството (2), че функцията y е също така еднозначно определена.

Преминаваме към случая, когато p′(x0) = 0. Да разгледаме функцията

ϕ(x) = x + g′[p(x)].

В такъв случайϕ′(x0) = 1 + g′′[p(x0)]p′(x0) = 1

и следователно в достатъчно малка околност на точката x0 имаме ϕ′(x) , 0.Оттук заключаваме, че функцията ϕ(x) приема всяка своя стойност самоедин път. По-специално тя не може да се анулира повече от един път. Товани позволява да заключим от равенство (3), че в достатъчно малка околностна точката x0 имаме p′(x) = 0, т. е.

p(x) = const = p(x0) = t0.

По такъв начин ние и в този случай виждаме от равенството (2), че функци-ята y е еднозначно определена. Тя има вида

y = t0x + g(t0).

От направените разсъждения се вижда, че в достатъчно малка околностна точката x0 не може да има повече от две решения с непрекъснати вторипроизводни, чиито първи производни приемат стойността t0 в точката x0.

За да покажем, че наистина съществуват две решения с интересуващитени свойства, разглеждаме уравнението (4). Като вземем пред вид услови-ята (5) и (6), заключаваме с помощта на теорията на неявните функции,че във всяка достатъчно малка околност на точката x0 има функция p(x) снепрекъсната производна, която удовлетворява уравнението (4) и условиетоp(x0) = t0.

Разглеждаме функцията

(7) y = xp(x) + g[p(x)],

която очевидно е добре дефинирана в достатъчно малка околност на точкатаx0 и притежава производна. В такъв случай

(8) y′ = p(x) +{

x + g′[p(x)]}

p′(x) = p(x).


Оттук заключаваме, че функцията y притежава непрекъсната втора произ-водна, защото функцията p(x) има непрекъсната първа производна. Най-сетне равенствата (7) и (8) ни дават y = xy′ + g(y′), т. е. функцията (7) еедно решение на уравнението (1). От друга страна, y′(x0) = p(x0) = t0. С то-ва е намерено едно решение на (1), което притежава всички свойства, коитони интересуват. Друго такова решение ни представя линейната функция

y = t0x + g(t0).

Двете намерени решения са сигурно различни, защото функцията (7) не елинейна, както това се вижда от равенството (4), което ни дава

1 + g′′[p(x)]p′(x) = 0,

откъдето p′(x) , 0 и следователно y′′ , 0.Забележка 1. С директна проверка се вижда, че линейните функции

(9) y = Cx + g(C)

представляват решения на (1) при всяко x и при всеки избор на константатаC от дефиниционната област на g(t).

Фамилията решения (9) се нарича общ интеграл на уравнението на Кле-ро.

Забележка 2. Кривата (7) представлява обвивка на фамилията (9), когатоC се мени в достатъчно малка околност на точката t0. За да се убедим в това,полагаме

y0 = t0x0 + g(t0)

и разглеждаме функцията F(x, y,C) = Cx + g(C) − y, която притежава неп-рекъснати частни производни до втори ред в съседство с точката (x0, y0, t0).Очевидно

F(x0, y0, t0) = 0,

F′C(x0, y0, t0) = x0 + g′(t0) = 0.

От друга страна, ∣∣∣∣∣ F′x F′yF′′Cx F′′Cy

∣∣∣∣∣ = 1 , 0,

F′′CC(x0, y0, t0) = g′′(t0) , 0.

§ 9. Интегриращ множител 397

Оттук заключаваме, че уравненията

F(x, y,C) = 0,

F′C(x, y,C) = 0

дават търсената обвивка. Последните две уравнения обаче са

Cx + g(C) − y = 0,

x + g′(C) = 0

и съвпадат с уравненията (4) и (7).Функцията (7) се нарича особен интеграл на уравнението на Клеро.Забележка 3. Ако x0 , −g′(t0), уравнението (3) ни дава p′(x0) = 0. В този

случай, както видяхме по-горе, уравнението на Клеро няма друго решение вдостатъчно малка околност на точката x0, което да притежава непрекъснатавтора производна и да удовлетворява условието y′(x0) = t0, освен решението

y = t0x + g(t0).

Забележка 4. Освен намерените два пъти диференцуеми решения изоб-що съществуват и други, които не притежават втора производна. Така нап-ример, означавайки с ϕ(x) функцията (7), можем да конструираме ново ре-шение, като положим

y(x) = ϕ(x),

когато x е достатъчно близо до x0, но е по-малко от x0 и

y(x) = t0x + g(t0),

когато x ≥ x0.

§ 9. Интегриращ множител

Нека P(x, y) и Q(x, y) са две функции, които са дефинирани и притежа-ват непрекъснати първи частни производни в някоя околност D на точката(x0, y0), и нека Q(x0, y0) , 0. Ще търсим диференцуема функция y = y(x)в достатъчно малка околност на точката x0, която при x = x0 да приемастойността y0 и която да удовлетворява уравнението

(1) P(x, y) + Q(x, y)y′ = 0.


Ако съществува в D функция F(x, y), която притежава непрекъснати про-изводни поне до втори ред и удовлетворява уравненията

(2)

∂F∂x

= P(x, y),

∂F∂y

= Q(x, y),

търсената функция може да се определи като неявна функция на x от урав-нението

F(x, y) = F(x0, y0),

тъй като уравнението (1) е удовлетворено тогава и само тогава, когато фун-кцията F(x, y(x)) е константа.

За да съществува функция F(x, y) с исканите свойства, необходимо е даимаме

(3)∂P∂y

=∂Q∂x

,

тъй като, от една страна,

∂P∂y

=∂2F∂x∂y

,∂Q∂x

=∂2F∂y∂x

,

а, от друга,∂2F∂x∂y

=∂2F∂y∂x

.

Ще покажем, че условието (3) е и достатъчно за съществуване на функцияF(x, y), която удовлетворява уравненията (2). За тази цел ще отбележим, чеуравнението

∂F∂x

= P(x, y)

е равносилно с уравнението

F(x, y) =

∫ x

x0

P(t, y) dt + ϕ(y),

където ϕ(y) е произволна два пъти диференцуема функция на y, която независи от x. Така определената функция F(x, y) удовлетворява условието

∂F∂y

= Q(x, y)

§ 9. Интегриращ множител 399

тогава и само тогава, когато∫ x

x0

∂P(t, y)∂y

dt + ϕ′(y) = Q(x, y)

или

ϕ′(y) = Q(x, y) −∫ x

x0

∂P(t, y)∂y

dt,

т. е. за да съществува функция F(x, y) с исканите свойства, необходимо идостатъчно е функцията

ψ(x, y) = Q(x, y) −∫ x

x0

∂P(t, y)∂y

dt

да не зависи от x, което е сигурно изпълнено, ако

(3)∂P∂y

=∂Q∂x

,

защото в такъв случай∂ψ

∂x=∂Q∂x−∂P∂y

= 0.

Условието (3) се нарича условие за интегруемост на уравнението (1).Една функция µ(x, y), която притежава непрекъснати частни производни

поне до втори ред и не се анулира в D, се нарича интегриращ множител науравнението (1), когато уравнението

µP + µQy′ = 0

удовлетворява условието за интегруемост, т. е. когато

∂(µP)∂y

=∂(µQ)∂x

или още

P∂µ

∂y+ µ

∂P∂y

= Q∂µ

∂x+ µ

∂Q∂x

.

За да притежава уравнението (1) интегриращ множител, зависещ самоот x, необходимо и достатъчно е да съществува функция µ = µ(x), която независи от y и за която е изпълнено уравнението

µ∂P∂y

= Qdµdx

+ µ∂Q∂x


или

µ′

µ=

∂P∂y−∂Q∂x

Q,

за тази цел пък необходимо и достатъчно е отношението

∂P∂y−∂Q∂x

Qда не зависи от y.

§ 10. Съществуване и единственост на решениятана линейните диференциални уравнения от n-ти

ред при дадени начални условия


(1) y(n) + p1(x)y(n−1) + p2(x)y(n−2) + · · · + pn(x)y = f (x),

където p1(x), p2(x), . . . , pn(x) и f (x) са дадени непрекъснати функции на x внякой интервал ∆, а y е неизвестна функция, се нарича линейно диференци-ално уравнение от n-ти ред. Нека x0 е произволна точка от ∆ и a0, a1, . . . , an−1са произволни константи. Ще покажем, че диференциалното уравнение (1)притежава едно и само едно решение y = y(x) в интервала ∆, което удовлет-ворява условията

(2) y(x0) = a0, y′(x0) = a1, . . . , y(n−1)(x0) = an−1.

Най-напред ще разгледаме въпроса за единственост. За целта ще допус-нем, че поставената задача има решение, и ще положим

(3) y(n)(x) = ϕ(x).


(4) y(x) =

n−1∑ν=0

aνν!

(x − x0)ν +1

(n − 1)!

∫ x

x0

ϕ(t)(x − t)n−1 dt,

което се вижда без всякакъв труд например индуктивно с интегриране почасти. Оттук получаваме при k = 0, 1, 2, . . . , n − 1

(5) y(k) =

n−k−1∑ν=0

ak+ν

ν!(x − x0)ν +

1(n − k − 1)!

∫ x

x0

ϕ(t)(x − t)n−k−1 dt.

§ 10. Съществуване и единственост на решенията на линейните . . . 401

Заместваме y(n), y(n−1), . . . , y′, y в (1) с равните им от (3) и (5). Това нидава

(6) ϕ(x) = g(x) +

∫ x

x0

K(x, t)ϕ(t) dt,

където

g(x) = f (x) −n∑λ=1

pλ(x)λ−1∑ν=0

an+ν−λ

ν!(x − x0)ν

и

K(x, t) =

n∑ν=1

pν(x)(x − t)ν−1

(ν − 1)!.

Очевидно g(x) и K(x, t) са непрекъснати функции.Ще покажем, че уравнението (6) не може да има повече от едно решение.

И наистина нека ψ(x) е още едно решение на уравнението (6), т. е.

ψ(x) = g(x) +

∫ x

x0

K(x, t)ψ(t) dt.


(7) ϕ(x) − ψ(x) =

∫ x

x0

K(x, t)[ϕ(t) − ψ(t)] dt.

От друга страна, функцията K(x, t) е непрекъсната и следователно функции-те ϕ(x) и ψ(x) са също тъй непрекъснати. Да означим с M една горна границана |K(x, t)|, а с A една горна граница на |ϕ(x) − ψ(x)|, когато x се мени в про-изволен краен1 и затворен подинтервал D на ∆ и t принадлежи на интервала[x0, x], респ. [x, x0]. В такъв случай уравнението (7) ни дава

(8) |ϕ(x) − ψ(x)| ≤ MA|x − x0|.

Като използуваме още веднъж уравнението (7) и като вземем пред вид оцен-ката (8), ще получим

|ϕ(x) − ψ(x)| ≤∣∣∣∣∫ x

x0

M . MA(t − x0) dt∣∣∣∣ =

M2A(x − x0)2

2!.

Като продължаваме тези разсъждения, получаваме изобщо

|ϕ(x) − ψ(x)| ≤MnA|x − x0|

n

n!1Самият интервал ∆ не е задължен да бъде нито краен, нито затворен.


и следователно ϕ(x) − ψ(x) = 0, защото

MnA|x − x0|n

n!

е общ член на един сходящ ред и следователно клони към нула, когато nрасте неограничено. И така уравнението (6) не може да има повече от еднорешение. Този резултат и равенството (4) ни учат, че и уравнението (1) неможе да има повече от едно решение, което удовлетворява условията (2).

Преминаваме към въпроса за съществуване на решение на уравнение (1)при допълнителните условия (2). За целта ще приложим към уравнението (6)метода на последователните приближения.

Разглеждаме редицата

ϕ0(x), ϕ1(x), ϕ2(x), . . . ,

за която ϕ0(x) е произволна непрекъсната функция в интервала ∆, а ϕn+1(x)се дефинира чрез ϕn(x) посредством равенството

(9) ϕn+1(x) = g(x) +

∫ x

x0

K(x, t)ϕn(t) dt.

В такъв случай,

ϕn+1(x) − ϕn(x) =

∫ x

x0

K(x, t)[ϕn(t) − ϕn−1(t)] dt.

Да означим с M една горна граница на |K(x, t)| и с A една горна граница на|ϕ1(x) − ϕ0(x)|, когато x се мени в кой да е краен и затворен подинтервал Dна интервала ∆. В такъв случай получаваме последователно

|ϕ2(x) − ϕ1(x)| ≤ MA|x − x0|,

|ϕ3(x) − ϕ2(x)| ≤∣∣∣∣∫ x

x0

M . MA(t − x0) dt∣∣∣∣ =

M2A(x − x0)2

2!,

|ϕ4(x) − ϕ3(x)| ≤∣∣∣∣∫ x

x0

MM2A(t − x0)2

2!dt∣∣∣∣ =

M3A|x − x0|3

3!,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

|ϕn+1(x) − ϕn(x)| ≤AMn|x − x0|

n

n!.

Тези неравенства ни осигуряват равномерната сходимост в D на реда

ϕ0(x) + [ϕ1(x) − ϕ0(x)] + [ϕ2(x) − ϕ1(x)] + · · · + [ϕn+1(x) − ϕn(x)] + · · · ,

§ 11. Фундаментална система на едно линейно диференциално . . . 403

а следователно и равномерната сходимост на редицата от частичните мусуми

ϕ0(x), ϕ1(x), ϕ2(x), . . .

Да положимϕ(x) = lim

n→∞ϕn(x).

В такъв случай, ако извършим граничен преход в уравнението (9), ще полу-чим

(6) ϕ(x) = g(x) +

∫ x

x0

K(x, t)ϕ(t) dt.

След като е дефинирана по такъв начин функцията ϕ(t), разглеждаме функ-цията

(10) y(x) =

n−1∑ν=0

aνν!

(x − x0)ν +1

(n − 1)!

∫ x

x0

ϕ(t)(x − t)n−1 dt.

Тази функция удовлетворява условията

y(x0) = a0, y′(x0) = a1, . . . , y(n−1)(x0) = an−1,

което се вижда с непосредствена проверка. Тя обаче удовлетворява и уравне-нието (1), защото, замествайки y с равното му от (10) в (1), ще получим (6),което е изпълнено съгласно дефиницията на ϕ(x). По такъв начин установих-ме съществуването на решението на уравнението (1) при допълнителнитеусловия (2).

Ако оставим произволните константи a0, a1, . . . , an−1 да се менят, полу-чаваме всичките решения на уравнението (1). Оттук става ясно, че общоторешение на уравнението (1) зависи от n произволни константи.

§ 11. Фундаментална система на едно линейно диференциалноуравнение от n-ти ред

Нека

(1) y(n) + p1(x)y(n−1) + p2(x)y(n−2) + · · · + pn(x)y = f (x)

е едно линейно диференциално уравнение, където p1(x), . . . , pn(x) и f (x) сададени непрекъснати функции в някой интервал ∆. Нека y0 е едно решениена уравнението (1), т. е.

y(n)0 + p1(x)y(n−1)

0 + · · · + pn(x)y0 = f (x).


Ако извършим субституцията

(2) y = z + y0

в уравнението (1), ще получим

(3) z(n) + p1(x)z(n−1) + p2(x)z(n−2) + · · · + pn(x)z = 0.

Това е пак едно линейно уравнение. То обаче е по-просто от уравнението (1)в това отношение, че дясната му страна е равна на нула. Такова линейноуравнение се нарича хомогенно.

Ако z1, z2, . . . , zk са решения на уравнението (3) и C1,C2, . . . ,Ck са конс-танти, функцията

z = C1z1 + C2z2 + · · · + Ckzk

е пак решение на уравнението (3), защото

z(n) + p1(x)z(n−1) + · · · + pn(x)z = C1(z(n)1 + p1(x)z(n−1)

1 + · · · + pn(x)z1)

+C2(z(n)2 + p1(x)z(n−1)

2 + · · ·+ pn(x)z2)+ · · ·+Ck(z(n)k + p1(x)z(n−1)

k + · · ·+ pn(x)zk) = 0.

Ще установим сега следното важно свойство на хомогенните линейниуравнения: ако z1, z2, . . . , zn, z са n + 1 решения на едно хомогенно линейноуравнение от n-ти ред, то могат да се намерят n+1 константи λ1, λ2, . . . , λn, λ,от които поне една е различна от нула, по такъв начин, че да имаме тъждес-твено

(4) λ1z1 + λ2z2 + · · · + λnzn + λz = 0.

За да докажем това, разглеждаме n + 1 решения z1, z2, . . . , zn, z на уравне-нието (3). Избираме произволно една точка x0 в интервала ∆ и означаваме сλ1, λ2, . . . , λn, λ едно нетривиално решение на системата

λ1z1(x0) + λ2z2(x0) + · · · + λnzn(x0) + λz(x0) = 0,

λ1z′1(x0) + λ2z′2(x0) + · · · + λnz′n(x0) + λz′(x0) = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

λ1z(n−1)1 (x0) + λ2z(n−1)

2 (x0) + · · · + λnz(n−1)n (x0) + λz(n−1)(x0) = 0.

Както е известно от алгебрата, такова решение сигурно съществува. Образу-ваме помощната функция

ϕ(x) = λ1z1(x) + λ2z2(x) + · · · + λnzn(x) + λz(x).

§ 11. Фундаментална система на едно линейно диференциално . . . 405

Тази функция удовлетворява уравнението

ϕ(n)(x) + p1(x)ϕ(n−1)(x) + · · · + pn(x)ϕ(x) = 0

и условията

(5) ϕ(x0) = ϕ′(x0) = · · · = ϕ(n−1)(x0) = 0.

Константата нула обаче също тъй удовлетворява уравнението (3) и условия-та (5) и следователно съгласно теоремата за единственост, която доказахме впредния параграф, функцията ϕ(x) се анулира тъждествено. Така ние успях-ме да намерим n+1 константи λ1, λ2, . . . , λn, λ, от които поне една е различнаот нула, по такъв начин, че да е изпълнено условието (4) при всяко x от ∆.

Ако функциите z1, z2, . . . , zn са линейно независими в ∆, т. е. ако не могатда се намерят n константи µ1, µ2, . . . , µn, от които поне едната е различна отнула, по такъв начин, че да имаме

µ1z1 + µ2z2 + · · · + µnzn = 0

при всяко x от ∆, коефициентът λ в зависимостта (4) е различен от нула.Това обстоятелство ни позволява да пишем

z = C1z1 + C2z2 + · · · + Cnzn,

където

C1 = −λ1

λ, C2 = −

λ2

λ, . . . , Cn = −

λn

λ.

Оттук и от (2) добиваме възможност да представим общото решение науравнението (1) във вида

y = y0 + C1z1 + C2z2 + · · · + Cnzn.

По такъв начин въпросът за намиране на общото решение на уравнението (1)се свежда към намирането на едно негово частно решение и на n линейнонезависими решения на хомогенното уравнение (3).

Една система от n линейно независими решения на едно хомогенно ли-нейно уравнение от n-ти ред се нарича негова фундаментална система. За даустановим съществуването на една фундаментална система от уравнение-то (3), избираме n2 на брой числа aik, където i и k приемат цели положителнистойности между 1 и n, по такъв начин, че

(6)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

a31 a32 a33 . . . a3n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 an3 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, 0.


След това, като се основаваме на доказаната по-горе теорема за съществува-не, построяваме n решения z1, z2, . . . , zn, които удовлетворяват условията

zν(x0) = a1ν, z′ν(x0) = a2ν, . . . , z(n−1)ν (x0) = anν

при ν = 1, 2, . . . , n, където x0 е точка от ∆. Така построените функцииz1, z2, . . . , zn са сигурно линейно независими в ∆. И наистина да допуснем,че съществуват такива n числа µ1, µ2, . . . , µn, от които поне едно е различноот нула, че да имаме

(7) µ1z1 + µ2z2 + · · · + µnzn = 0

при всяко x от ∆. Като диференцираме това равенство последователно n − 1пъти, ще получим

µ1z′1 + µ2z′2 + · · · + µnz′n = 0,

µ1z′′1 + µ2z′′2 + · · · + µnz′′n = 0,

µ1z(n−1)1 + µ2z(n−1)

2 + · · · + µnz(n−1)n = 0.

Тези уравнения заедно с уравнението (7) дават при x = x0

a11µ1 + a12µ2 + · · · + a1nµn = 0,a21µ1 + a22µ2 + · · · + a2nµn = 0,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1µ1 + an2µ2 + · · · + annµn = 0,

което не е възможно, защото детерминантата (6) е различна от нула.

§ 12. Линейни диференциални уравнения с постоянникоефициенти

Нека в линейното и хомогенно уравнение

(1) y(n) + p1y(n−1) + p2y(n−2) + · · · + pny = 0

коефициентите p1, p2, . . . , pn са константи. Ще търсим една негова фунда-ментална система. За тази цел ще се опитаме да го удовлетворим с функцииот вида

y = eαx,

където α е константа. Като заместим y с равното му, ще получим

eαx (αn + p1αn−1 + p2α

n−2 + · · · + pn)

= 0.

§ 12. Линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти 407

Това уравнение е удовлетворено тогава и само тогава, когато е удовлетворе-но уравнението

(2) αn + p1αn−1 + p2α

n−2 + · · · + pn = 0.

Така полученото уравнение (2) се нарича характеристично уравнение науравнението (1).

Да разгледаме случая, когато корените α1, α2, . . . , αn на уравнението (2)са реални и прости. Ще докажем, че решенията

eα1 x, eα2 x, . . . , eαn x

на уравнението (1) образуват една негова фундаментална система. И наис-тина да допуснем, че съществуват такива константи µ1, µ2, . . . , µn, от коитопоне едната, например µn, е различна от нула, така че да имаме тъждествено

µ1eα1 x + µ2eα2 x + · · · + µneαn x = 0.

Ако разделим с eα1 x и диференцираме спрямо x, ще получим

µ2(α2 − α1)e(α2−α1)x + µ3(α3 − α1)e(α3−α1)x + · · · + µn(αn − α1)e(αn−α1)x = 0.

Делим полученото равенство с e(α2−α1)x и пак диференцираме спрямо x. Втакъв случай получаваме

µ(α3 − α1)(α3 − α2)e(α3−α2)x + · · · + µn(αn − α1)(αn − α2)e(αn−α2)x = 0

и т. н. Продължаваме тези пресмятания и най-сетне получаваме

µn(αn − α1)(αn − α2) · · · (αn − αn−1)e(αn−αn−1)x = 0,

което очевидно не е вярно.И така функциите eα1 x, eα2 x, . . . , eαn x наистина образуват една фундамен-

тална система решения на уравнението (1) и следователно общото му реше-ние ще има вида

y = C1eα1 x + C2eα2 x + · · · + Cneαn x.

Характеристичното уравнение може да се използува, за да се намериедна фундаментална система за уравнението (1) и тогава, когато не всичкитему корени са реални и прости. За да съкратим изложението, ще изясним товав случая, когато уравнението (1) е от втори ред, т. е. когато то има вида

(3) y′′ + p1y′ + p2y = 0.


В този случай характеристичното му уравнение е

(4) α2 + p1α + p2 = 0.

По-горе разгледахме случая, когато корените α1 и α2 на това уравнение сареални и прости, и видяхме, че общото решение на уравнението (3) е

(5) y = C1eα1 x + C2eα2 x.

Сега ще разгледаме случая, когато корените на уравнението (4) не са реалнии прости, т. е. когато

p21 − 4p2 ≤ 0.

За да не напишем много, ще положим

p2 −p2

14

= a2

и ще направим субституцията

y = ze−p12 x.

В такъв случай уравнението (3) приема вида

(6) z′′ + a2z = 0.

Ако a = 0, то z′′ = 0 и следователно z има вида

z = C1x + C2,

където C1 и C2 са константи. По такъв начин намираме

y = (C1x + C2)e−p12 x.

Преминаваме към случая, когато a2 > 0. С непосредствена проверка севижда, че функциите

z1 = cos ax,

z2 = sin ax(7)

са две решения на уравнението (6). Ние ще покажем, че те са линейно неза-висими. И наистина, ако допуснем, че при някой избор на константите µ1 иµ2 имаме

µ1 cos ax + µ2 sin ax = 0

§ 12. Линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти 409

при всяко x, то чрез диференциране намираме

−aµ1 sin ax + aµ2 cos ax = 0.

От друга страна, ∣∣∣∣∣ cos ax sin ax−a sin ax a cos ax

∣∣∣∣∣ = a , 0

и следователно µ1 = µ2 = 0. С това е установено, че решенията (7) науравнението (6) образуват една негова фундаментална система. По такъвначин общото решение на уравнението (6) е

z = A cos ax + B sin ax,

където A и B са две произволни константи. Оттук заключаваме, че общоторешение на уравнението (3) е

y = e−p12 x(A cos ax + B sin ax).

Полученият резултат може да се представи в друга форма, като се дефи-нира показателната функция за комплексни стойности на показателя. Товаможе да стане, като положим по дефиниция

ex+iy = ex(cos y + i sin y)

при всички реални стойности на x и y. В такъв случай ще имаме

eα1 x = e−p12 x(cos ax + i sin ax),

eα2 x = e−p12 x(cos ax − i sin ax),

(8)

където

α1 = −p1

2+ ai,

α2 = −p1

2− ai

са двата корена на характеристичното уравнение (4). Равенствата (8) ни поз-воляват да представим общото решение на уравнението (3) във вида

y = C1eα1 x + C2eα2 x,

където

C1 =A − iB

2, C2 =

A + iB2

,


т. е. формулата (5) може да се използува и тогава, когато корените на харак-теристичното уравнение (4) не са реални.

Ние вече отбелязахме по-горе, че и в случая, когато разглежданото ли-нейно уравнение с постоянни коефициенти е от n-ти ред, може да се намериедна негова фундаментална система, каквито и да са корените на характе-ристичното му уравнение. Ние няма обаче да се спираме върху този въпрос,при все че решението му не е свързано с някакви трудности.

Използувана литература

[1] БРАДИСТИЛОВ, Г. — Сборник от задачи и теореми по диференциално иинтегрално смятане, част I и II, София, 1947.

[2] ГРЕБЕНЧА, М. К., С. И. НОВОСЕЛОВ—Курс математического анализа,т. I, Москва, 1948, т. II, Москва, 1949.

[3] ГЮНТЕР, Н.М. И Р. О. КУЗЬМИН—Сборник задач по высшей математи-ке, т. I и II. Москва — Ленинград, 1949.

[4] КОВАЛЕВСКИЙ, Г. — Основы дифференциального и интегрального ис-числений, Одесса, 1911.

[5] ЛУЗИН, Н. И. — Дифференциальное исчисление, Москва, 1946.

[6] ЛУЗИН, Н. И. — Интегральное исчисление, Москва, 1946.

[7] НЕМЫЦКИЙ, В., М. СЛУДСКАЯ, А. ЧЕРКАСОВ—Курс математическогоанализа, т. I и II, издание второе.

[8] ПОПОВ, К. — Учебник по диференциално и интегрални смятане, София.

[9] ФИХТЕНГОЛЬЦ, Г.М. — Курс дифференциалньного и интегрального ис-числения, т. I, II и III, Москва — Ленинград, 1948.

[10] ЧЕЗАРО, Э. — Элементарный учебник алгебрического анализа и исчис-ления бесконечно малых, часть I и II, Одесса, 1913.

[11] ШИФФ, В. — Сборник упражнений и задач по дифференциальному иинтегральному исчислениям, ч. I и II, Москва, 1910.

[12] BAIRE, R. — Lecons sur les theories generales de l’analyse, t. I, II, Paris,1908.

[13] BRAHY, M. — Exercices methodiques de calcul differentiel, Paris, 1895.

411

412 Използувана литература

[14] COURANT, R. — Vorlesungen uber Differential- und Integralrechnung, Bd. I,II, Berlin, 1929.

[15] FABRY, E. — Problemes et exercices de mathematiques generales, Paris,1918.

[16] GOURSAT, E. — Cours d’analyse mathematique, t. I, Paris, 1910.

[17] HARDY, G. H. — A course of pure mathematics.

[18] TISSERAND, F. — Recueil complementaire d’exercices sur le calcul infini-tesimal, Paris, 1933.

[19] KNOPP, K. — Theorie und Anwendung der unendichen Reinen, Berlin, 1931.

[20] LANDAU, E. — Einfuhrung in die Differentialrechnung und Integralrech-nung, 1934.

[21] MANGOLDT, H., K. KNOPP— Einfuhrung in die hohere Mathematik, Bd. I,II, III, Leipzig, 1942.

[22] POLYA, G., G. SZEGO—Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis, Bd. I, II,Berlin, 1925.

[23] JORDAN, C. — Cours d’analyse de l’ecole polytechnique, t. I, Paris, 1909.

[24] ARTIN, E. — Einfuhrung in die Theorie der Gammafunktion, Leipzig, 1931.

Съдържание

Предговор към четвъртото издание . . . . . . . . . . . . . . 3

Част IИНТЕГРАЛНО СМЯТАНЕ—ПРОСТИ ИНТЕГРАЛИ

Глава I. Неопределени интеграли . . . . . . . . . . . . . 5

§ 1. Увод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5§ 2. Неопределен интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . 7§ 3. Таблица на основните интеграли . . . . . . . . . . . . . 10§ 4. Елементарни свойства на обикновените интеграли . . . . . . 12

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21§ 5. Интегриране по части . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37§ 6. Разлагане на дробни рационални функции . . . . . . . . . 39§ 7. Пресмятане на коефициентите . . . . . . . . . . . . . . 50§ 8. Интегриране на рационални функции . . . . . . . . . . . 55

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57§ 9. Интегриране на ирационални функции . . . . . . . . . . . 58

I. Интегриране на рационални функции на радикали на x . . 59II. Интегриране на рационални функции на x и на радикали от

една (дробна) линейна функция на x . . . . . . . . . . 59III. Субституции на Ойлер . . . . . . . . . . . . . . . 61IV. Абелеви интеграли . . . . . . . . . . . . . . . . . 65V. Диференциален бином . . . . . . . . . . . . . . . 67VI. Елиптични и хиперелиптични интеграли . . . . . . . . 71Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

§ 10. Интегриране на трансцендентни функции. . . . . . . . . . 72Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

413

414 Съдържание

Глава II. Определени интеграли . . . . . . . . . . . . . . 77

§ 1. Дефиниция на понятието определен интеграл . . . . . . . . 77§ 2. Достатъчни условия за интегруемост . . . . . . . . . . . 86§ 3. Основни свойства на определените интеграли . . . . . . . . 91§ 4. Интегриране на сума . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104§ 5. Произведение на две интегруеми функции . . . . . . . . . 109§ 6. Интегралът като функция на една от интеграционните си грани-

ци. Теорема на Лайбниц и Нютон. Зависимост между определе-ни и неопределени интеграли . . . . . . . . . . . . . . 111

§ 7. Допълнения към дефиницията на понятието интеграл . . . . . 116§ 8. Смяна на променливите. . . . . . . . . . . . . . . . . 120§ 9. Интегриране по части при определените интеграли . . . . . . 123

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124§ 10. Теорема за средните стойности . . . . . . . . . . . . . . 126§ 11. Друга дефиниция на понятието определен интеграл . . . . . . 128§ 12. Едно обобщение на основната теорема на интегралното смятане

и общото условие за интегруемост в Риманов смисъл . . . . . 134§ 13. Точкови множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141§ 14. Преобразуване на точкови множества . . . . . . . . . . . 145§ 15. Основна теорема на интегралното смятане в равнината . . . . 161§ 16. Характеристични функции . . . . . . . . . . . . . . . 163§ 17. Горна мярка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168§ 18. Мярка на правоъгълник . . . . . . . . . . . . . . . . . 171§ 19. Измерими множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . 177§ 20. Преобразуване на измерими множества . . . . . . . . . . 187§ 21. Полярни координати . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205§ 22. Пресмятане на лица с помощта на определени интеграли . . . 207

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215§ 23. Дефиниция на понятието дъга . . . . . . . . . . . . . . 216§ 24. Дължина на дъга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218§ 25. Пресмятане дължините на дъгите с помощта на интеграли . . . 221

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227§ 26. Криволинейни интеграли . . . . . . . . . . . . . . . . 228§ 27. Криволинеен интеграл от тотален диференциал . . . . . . . 231§ 28. Приблизително пресмятане на интеграли . . . . . . . . . . 234§ 29. Несобствени интеграли . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

I. Интеграли от неограничени функции. . . . . . . . . . 241II. Интеграли с безкрайни интеграционни граници . . . . . 248

Съдържание 415

III. Интегрален критерий на Коши за сходимост . . . . . . . 252

§ 30. Граничен преход под знака на интеграла . . . . . . . . . . 254

§ 31. Интеграли, зависещи от параметри. Диференциране под знака наинтеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Общи задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Част IIДВОЙНИ И ТРОЙНИ ИНТЕГРАЛИ

Глава I. Двойни интеграли . . . . . . . . . . . . . . . . 285

§ 1. Дефиниция на понятието двоен интеграл . . . . . . . . . . 285

§ 2. Пресмятане на двойни интеграли . . . . . . . . . . . . . 294

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

§ 3. Смяна на променливите при двойните интеграли . . . . . . . 304

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

§ 4. Несобствени двойни интеграли от неотрицателни функции . . . 321

Глава II. Приложение на двойните интеграли . . . . . . . . 324

§ 1. Дефиниция на понятието обем . . . . . . . . . . . . . . 324

§ 2. Пресмятане на обеми с помощта на двойни интеграли. . . . . 325

§ 3. Обеми на ротационни тела . . . . . . . . . . . . . . . 328

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

§ 4. Допирателна равнина. . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

§ 5. Лица на повърхнини . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

§ 6. Лица на ротационни повърхнини . . . . . . . . . . . . . 335

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

Глава III. Тройни интеграли . . . . . . . . . . . . . . . . 341

§ 1. Тройни интеграли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

§ 2. Пресмятане на тройни интеграли . . . . . . . . . . . . . 344

§ 3. Смяна на променливите при тройни интеграли. . . . . . . . 345

§ 4. Формули на Грин, Остроградски и Стокс . . . . . . . . . . 349

Общи задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

416 Съдържание

Част IIIПРИЛОЖЕНИЯ

Глава I. Приложения към геометрията . . . . . . . . . . 361

§ 1. Тангента и нормала . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361§ 2. Дължина на тангента, нормала, субтангента и субнормала . . . 365§ 3. Директорни косинуси на тангентата и нормалата . . . . . . . 367§ 4. Асимптоти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368§ 5. Обвивки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370§ 6. Център на кривината, радиус на кривината, кривина, еволюта,

еволвента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373§ 7. Особени точки на алгебричните криви . . . . . . . . . . . 378

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

Глава II. Диференциални уравнения . . . . . . . . . . . . 385

§ 1. Дефиниции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385§ 2. Уравнение, в което променливите се отделят . . . . . . . . 386§ 3. Хомогенни диференциални уравнения . . . . . . . . . . . 388§ 4. Линейни диференциални уравнения . . . . . . . . . . . . 389§ 5. Уравнение на Бернули . . . . . . . . . . . . . . . . . 390§ 6. Уравнение на Рикати . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390§ 7. Уравнение на Лагранж . . . . . . . . . . . . . . . . . 391§ 8. Уравнение на Клеро . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394§ 9. Интегриращ множител . . . . . . . . . . . . . . . . . 397§ 10. Съществуване и единственост на решенията на линейните дифе-

ренциални уравнения от n-ти ред при дадени начални условия400

§ 11. Фундаментална система на едно линейно диференциално урав-нение от n-ти ред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

§ 12. Линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти . 406Използувана литература. . . . . . . . . . . . . . . . . 411

Ярослав Александров Тагамлицки

ИНТЕГРАЛНО СМЯТАНЕ

Шесто Издание

Художествен редактор Светлозар ПисаровТехнически редактор Стела Петрова

Коректор Биляна Василева

Дадена за набор на 26.VIII.1977 г. Подписана за печат на 10.II.1978 г.Излязла от печат на 28.II.1978 г. Формат 16/60/90 Печатни коли 28Издателски коли 28 Издателски № 23723 Литературна група I–4 Тираж 8076

Цена 1,68 лв. КОД 0295346 715114790-96-78

ДИ”Наука и изкуство“

ДП”Тодор Димитров“ кл. Лозенец

Documents

ИНТЕГРАЛНОСМЯТАНЕ · 16Неопределениинтеграли Използувамеформулата sin2 x = 1 cos2x 2: Втакъвслучай I = Z 1 cos2x