XVI межрайонные соревнования юных исследователей

"Шаг в будущее"

Фрактальная графика

Секция: информационные технологии

Выполнили:

Кириленко Анастасия,

Бабицкая Ксения,

ученицы 9 «Б» класса

МБОУ "Таксимовская СОШ

№1 имени А.А. Мезенцева"

Руководитель проекта:

Бутакова Елена Георгиевна,

учитель информатики и ИКТ

МБОУ "Таксимовская СОШ

№1 имени А.А. Мезенцева"

г. Северобайкальск

2017 г.

2

Оглавление

Введение ................................................................................................................................................................... 3

Что такое фракталы ................................................................................................................................................. 4

Из истории фракталов .......................................................................................................................................... 5

Геометрические фракталы ................................................................................................................................... 5

Алгебраические фракталы ................................................................................................................................... 6

Стохастические фракталы .................................................................................................................................... 7

Компьютерная графика .......................................................................................................................................... 7

1. Программа Art Dabbler ..................................................................................................................................... 7

2. Программа Ultra Fractal .................................................................................................................................... 8

3. Программа Fractal Explorer............................................................................................................................... 8

4. Программа ChaosPro ........................................................................................................................................ 9

5. Программа Apophysis ....................................................................................................................................... 9

6. Программа Mystica ........................................................................................................................................... 9

7. Программа Fraqtive ........................................................................................................................................ 10

Создание фракталов для открыток и фонов презентаций ................................................................................ 10

Создание фракталов для дизайна интерьеров и одежды ................................................................................ 10

Заключение ............................................................................................................................................................ 10

Литература и источники в Интернете: ................................................................................................................. 11

Приложение 1 ........................................................................................................................................................ 12

Алгоритм создания фрактала в Apophysis: ....................................................................................................... 12

Приложение 2 ........................................................................................................................................................ 16

Алгоритм создания фрактала в графическом редакторе Fraqtive:.................................................................. 16

Приложение 3 ........................................................................................................................................................ 18

Работы Бабицкой Ксении, выполненные в графическом редакторе Apophysis ............................................ 18

Приложение 4 ........................................................................................................................................................ 19

Работы Кириленко Анастасии, выполненные в графическом редакторе Fraqtive......................................... 19

3

Введение

Актуальность проекта

Из уроков информатики мы знаем, что компьютерная графика бывает растровой,

векторной и фрактальной. Векторную и растровую графику мы подробно

рассматриваем на уроках в 7 и 8 классах при изучении темы «Компьютерная

графика», создаем растровые и векторные изображения в соответствующих

графических редакторах. А вот для описания фрактальной графики в учебнике

информатики отведено всего несколько строк1. Нас заинтересовали иллюстрации в

учебнике: фрактальный рисунок поражает своим сочетанием хаоса и системы,

порядка и беспорядка.

Поэтому мы решили изучить данный вид компьютерной графики, научиться самим

создавать такие красочные и интересные изображения, используя их в различных

областях нашей жизни, и рассказать о фракталах нашим сверстникам.

Изучение фракталов открывает замечательные возможности, как в исследовании

бесконечного числа приложений, так и в области математики. Применение

фракталов очень обширно! Ведь эти объекты настолько красивы, что их используют

дизайнеры, художники, с помощью них в графике рисуются многие элементы:

деревья, облака, горы и т.д. А ведь фракталы используются даже как антенны во

многих сотовых телефонах.

Проблема:

1.Какова роль фрактальных моделей в современном мире?

2.Почему наука о фракталах достаточно молода?

3.Возможно ли создать свои собственные фракталы?

Цель проекта:

Показать, что фракталы – удивительная область компьютерной графики, показать

красоту фрактальной графики

Объектом исследования выступают фракталы в компьютерной графике и в

реальном мире. В процессе работы нами были выделены следующие задачи

проекта:

1. Узнать, что такое фракталы.

1Информатика. 7 класс. Босова Л.Л. стр. 118.

4

2. Познакомиться с фракталами различных видов.

3. Выявить способы построения фрактальных изображений.

4. Найти и изучить графические редакторы для построения фрактальных

изображений.

5. Выяснить, как в жизни могут помочь знания по этой теме.

6. Научиться создавать фрактальные изображения и использовать фракталы для

создания открыток и в дизайне.

Что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют

многочисленные приложения в жизни. В основе этого явления лежит очень

простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно

получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух

операций — копирования и масштабирования.

«Фракталом» могут называть фигуры, обладающие какими-либо из перечисленных

свойств:

1) Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. Если мы рассмотрим

небольшой фрагмент регулярной фигуры (например, окружность, график какой-

либо функции) в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой.

Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению, на всех шкалах мы

увидим одинаково сложную картину.

2) Является самоподобным или приближенно самоподобным и имеет дробную

метричность. Можно считать, что самоподобие – один из видов симметрии. Т.е. в

этой рекурсивной модели каждая часть повторяет в своем развитии развитие всей

модели в целом.

Например, посмотрим на космический снимок береговой линии и увидим заливы и

полуострова, с высоты птичьего полета – нам будут видны мысы, бухты; теперь

представим, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся

камешки, которые дальше вдавливаются в воду, чем остальные. Т.е. береговая

линия при увеличении масштаба остается похожей на себя.

5

Из истории фракталов

Само слово «фрактал» появилось благодаря гениальному ученому Бенуа

Мандельброту. Он сам придумал этот термин в 1975 году, позаимствовав слово

fractus из латыни, где оно буквально означает «ломанный» или «дробленный».

Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну

странную закономерность — графики шумов в разном масштабе выглядели

одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график

шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина

каждый раз повторялась.

Фрактальный рисунок не имеет идентичных элементов,

но обладает подобностью в любом масштабе. Построить

такое изображение с высокой степенью детализации

вручную ранее было просто невозможно, на это

требовалось огромное количество вычислений. Например,

французский математик Пьер Жозе Луи Фату описал это

множество более чем за семьдесят лет до открытия Бенуа

Мандельбротом. Если же говорить про принципы

самоподобия, то о них упоминалось еще в трудах

Лейбница и Георга Кантора. Один из первых рисунков

фрактала был графической интерпретацией множества

Мандельброта, которое родилось благодаря

исследованиям Гастона Мориса Жюлиа.

Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время

будем видеть схожий рисунок.

В 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не

имеет касательной, причем ее довольно, просто нарисовать. Оказалось, что она

обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит

название «снежинка Коха».

Геометрические фракталы

Рисунок 2. Множество Мандельброта

Рисунок 1. Множество Жюлиа

6

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с

помощью некоторой ломаной (или поверхности в

трехмерном случае), называемой генератором. За один

шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих

ломаную,

заменяется на ломаную-генератор, в

соответствующем масштабе. В результате

бесконечного повторения этой процедуры,

получается геометрический фрактал.

Примеры геометрических фракталов:

1. Снежинка Коха

2. "дракон" Хартера-Хейтуэя

Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных

текстур (рисунка на поверхности обьекта).

Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных

процессов в n-мерных пространствах. Известно, что нелинейные динамические

системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором

оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее

начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят -

аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система

обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом,

фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов.

Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области

притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой

системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить

сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами.

Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных

алгоритмов порождать очень сложные структуры.

Рисунок 4. Построение снежинки Коха (кривой Коха)

Рисунок 5. Дракон Хартера-Хейтуэя

7

Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются

стохастические фракталы, которые получаются в том случае,

если в итерационном процессе случайным образом менять

какие-либо его параметры. При этом получаются объекты

очень похожие на природные - несимметричные деревья,

изрезанные береговые линии и т.д.

Типичным представителем этой группы фракталов является «плазма».

Компьютерная графика

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения

изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты,

поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для

генерации фрактальных изображений.

С использованием фракталов могут строиться не только ирреальные изображения,

но и вполне реалистичные (например, фракталы нередко используются при

создании облаков, снега, береговых линий, деревьев и кустов и др.). Поэтому

применять фрактальные изображения можно в самых разных сферах, начиная от

создания обычных текстур и фоновых изображений и кончая фантастическими

ландшафтами для компьютерных игр или книжных иллюстраций. А создаются

подобные фрактальные шедевры (равно как и векторные) путем математических

расчетов, но в отличие от векторной графики базовым элементом фрактальной

графики является сама математическая формула - это означает, что никаких

объектов в памяти компьютера не хранится, и изображение (как бы ни было оно

замысловато) строится исключительно на основе уравнений.

1. Программа Art Dabbler

Знакомство с основами фрактальной

графики предлагают начать с пакета Art Dabbler.

Этот редактор (созданный фирмой Fractal Design, а

теперь принадлежащий Corel) фактически

представляет собой усеченный вариант программы Painter. Это отличная

Рисунок 6. Фрактал "плазма"

8

программа для обучения не только компьютерной графике, но прежде всего азам

рисования. Малый объем требуемой памяти (для его установки необходимо всего

10 Мбайт), а также простой интерфейс, доступный даже ребенку, позволяют

использовать его в школьной программе. Как и растровый редактор MS Paint,

фрактальный редактор Art Dabbler особенно эффективен на начальном этапе

освоения компьютерной графики. К сожалению, данная программа не

модифицируется под современные операционные системы, поэтому мы не смогли

проверить ее на практике.

2. Программа Ultra Fractal

Ultra Fractal - лучшее решение для создания

уникальных фрактальных изображений

профессионального качества. Пакет отличается

дружественным интерфейсом, многие элементы

которого напоминают интерфейс Photoshop (что упрощает изучение), и

сопровождается невероятно подробной и прекрасно иллюстрированной

документацией с серией туториалов, в которых поэтапно рассматриваются все

аспекты работы с программой. Ultra Fractal представлен двумя редакциями:

Standard Edition и расширенной Animation Edition, возможности которой позволяют

не только генерировать фрактальные изображения, но и создавать анимацию на их

основе. Созданные изображения можно визуализировать в высоком разрешении,

пригодном для полиграфии, и сохранить в собственном формате программы или в

одном из популярных фрактальных форматов.

3. Программа Fractal Explorer

Fractal Explorer – программа для создания изображений фракталов и

трехмерных аттракторов с достаточно впечатляющими возможностями.

Генерация фракталов возможна двумя способами – на основе базовых фрактальных

изображений, построенных по входящим в поставку формулам, или с нуля. У

полученного таким путем фрактального изображения можно сменить цветовую

палитру, добавить к нему фоновое изображение и определить режим смешивания

фрактального и фонового слоев, а также степень прозрачности фрактального слоя.

Затем можно будет подвергнуть фрактальное изображение трансформации, при

9

необходимости масштабировать, определить размеры изображения и провести

рендеринг.

4. Программа ChaosPro

ChaosPro - один из лучших бесплатных генераторов фрактальных

изображений, с помощью которого нетрудно создать бесконечное

множество удивительных по красоте фрактальных изображений.

Программа имеет очень простой и удобный интерфейс и наряду с

возможностью автоматического построения фракталов позволяет

полностью управлять данным процессом за счет изменения

большого количества настроек (число итераций, цветовая палитра, степень

размытия, особенности проецирования, размер изображения и др.). Кроме того,

создаваемые изображения могут быть многослойными (режимом смешивания

слоев можно управлять) и к ним можно применить целую серию фильтров. Все

накладываемые на строящиеся фракталы изменения тут же отражаются в окне

просмотра.

5. Программа Apophysis

Apophysis - интересный инструмент для генерации фракталов на

основе базовых фрактальных формул. Созданные по готовым

формулам фракталы можно редактировать и неузнаваемо изменять,

регулируя разнообразные параметры. Так, например, в редакторе их

можно трансформировать, либо изменив лежащие в основе фракталов

треугольники, либо применив понравившийся метод преобразования:

волнообразное искажение, перспективу, размытие по Гауссу и др. Затем стоит

поэкспериментировать с цветами, выбрав один из базовых вариантов градиентной

заливки. Список встроенных заливок достаточно внушителен, и при

необходимости можно автоматически подобрать наиболее подходящую заливку к

имеющемуся растровому изображению, что актуально, например, при создании

фрактального фона в том же стиле, что и иные изображения некоего проекта.

6. Программа Mystica

Mystica - универсальный генератор уникальных фантастических двумерных и

трехмерных изображений и текстур, которые в дальнейшем можно использовать в

10

разных проектах, например в качестве реальных текстур для Web-страниц, фонов

Рабочего стола или фантастических фоновых изображений, которые могут быть

задействованы, например, при оформлении детских книг. Создаваемые

изображения могут иметь любой размер и затем экспортироваться в популярные

графические 2D-форматы. Встроенный трехмерный движок программы может

быть использован при создании трехмерных сцен для компьютерных игр,

например фантастических фонов и ландшафтов.

7. Программа Fraqtive

Эта программа работает исключительно с множеством

Мандельброта. Генератор использует быстрые алгоритмы

поддержки SSE2 и многоядерные процессоры.

Помимо фракталов возможно создание анимации. Отличительные особенности

программы:

1. Быстрые алгоритмы обработки изображений.

2. Навигация в реальном времени.

3. Высокое качество изображений.

4. Рендеринг 3D-сцен.

Создание фракталов для открыток и фонов презентаций

Чтобы создать фрактальные изображения для открыток и фонов презентаций мы

использовали графический редактор Apophysis (Приложение 1. Алгоритм создания

фрактала в графическом редакторе Apophysis).

Создание фракталов для дизайна интерьеров и одежды

При создании фракталов для дизайна интерьеров и одежды (ткани) мы использовали

графический редактор Fraqtive (Приложение 2. Алгоритм создания фракталов в

графическом редакторе Fraqtive)

Заключение

Фрактальные изображения применяются в самых разных сферах, начиная от

создания обычных текстур и фоновых изображений и кончая фантастическими

ландшафтами для компьютерных игр или книжных иллюстраций. Создаются

фрактальные изображения путем математических расчетов. Таинство фрактального

11

изображения не кроется лишь в одной удачной формуле. Не менее важны и иные

аспекты. Например, цветовая настройка, фильтры трансформации и др.

Данная работа является введением в мир фракталов. Мы рассмотрели только

самую малую часть того, какие бывают фракталы, на основе каких принципов они

строятся. В нашей работе приведены далеко не все области человеческих знаний,

где нашла свое применение теория фракталов. При подготовке данной работы нам

было очень интересно находить применения ТЕОРИИ на ПРАКТИКЕ. Потому что

очень часто возникает такое ощущение, что теоретические знания стоят в стороне

от жизненной реальности.

Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота

фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые

услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.

Литература и источники в Интернете:

1. А.И. Азевич. Симфония фракталов. //Газета Информатика, № 23-24 2008 г.

2. Фрактал// Википедия

https://ru.wikipedia.org/wiki/Фрактал#.D0.9A.D0.BE.D0.BC.D0.BF.D1.8C.D1.8

E.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.BD.D0.B0.D1.8F_.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84.D0.B8.D

0.BA.D0.B0

3. Программы для генерации фрактальных изображений

http://fraktalz.narod.ru/programs.html

4. Фрактальная графика художника Сильвии Кардудда

http://omiliya.org/gallery/fractal-graphic-by-silvia-cordedda

12

Приложение 1

Алгоритм создания фрактала в Apophysis:

Выбираем любой флейм (готовый фрактал, сохраненный в базе программы) из

предложенных программой.

Теперь переходим непосредственно к созданию фрактала. Переходим в редактор

треугольников – это кнопка 11.

Для начала нам надо создать новый документ, для этого совсем не обязательно

возвращаться в главное меню, достаточно в редакторе треугольников нажать на

кнопочку «создать новый документ» - (New blank flame). Вы видите, что у вас

пропали все треугольники кроме красного. Заходим в вкладку Variations, здесь

находятся наши плагины, с помощью которых мы будем создавать фрактал.

13

Значения Linear по умолчанию всегда равны единице. Поставим вместо единицы

ноль. Затем находим плагин с название julian и ставим против этого плагина

единицу.

Заходим во вкладку Variables и меняем значение julian power на 7. Далее, берем наш

треугольник и перетаскиваем примерно на 5/6 клеток, в любую сторону. Вот что

получилось у меня:

Создаем ещё один треугольник, нажав на кнопку Adds a new triangle . Опять

обнуляем Linear. Находим плагин blur и подбираем к нему значения, я поставила

0.192.

Создаём третий треугольник, но на этот раз не обнуляем Linear, оставляем единицу.

Попробуйте уменьшить третий треугольник. Смотрим как будет изменяться

фрактал, когда результат вам понравится, можно остановится.

14

Вот что получилось у меня:

Я предлагаю добавить финальный треугольник. Финальный треугольник

добавляется специальной кнопочкой Fx, он служит для объединения всех остальных

треугольников. Итак, добавили финальный треугольник, обнулить Linear. И теперь

идём плагину julian, ставим значения для этого плагина равные единице. Во вкладке

Variables я ставлю значения julian_power=2, но здесь вы можете выбрать любые

значения, в том числе и отрицательные. Опускаю финальный треугольник вниз

примерно на 3/4 клетки. Вот что у меня получилось:

В редакторе треугольников существует вкладка Colors, в которой можно каждому

треугольнику подобрать свой цвет. Для этого выходим из редактора треугольников

и обращаем свой взгляд на меню программы. Нам нужна вкладка Flame. В этой

вкладке выбираем Calculate colors.

15

Даём программе время просчитать цвет. Под окном

просмотра у вас есть строка Remaining, в ней будет отображаться время

необходимое программе для выполнения того или иного действия. Ну вот,

программа посчитала цвет. На самом деле программа для каждого треугольника

подобрала свой цвет, то, что я не сделала. Вот что у меня получилось:

Еще немного покрутив треугольники в редакторе, я получила вот такой фрактал:

16

Приложение 2

Алгоритм создания фрактала в графическом редакторе Fraqtive:

• Открываем программу Fraqtive. При открытии мы

видим наше рабочее поле.

Водим курсором по фракталу, выбирая наиболее

понравившийся нам вариант.

Затем мы можем приблизить фрактал для нашего

удобства, что я и сделала. И мне понравился этот вариант,

расположенный ниже в окошке. На нём я и решила

остановиться. Кликнув на место, где я выбрала 2 раза.

Чтобы выбрать более интересный для нас вариант, мы

можем приблизить или отдалить наш фрактал. Мне

приглянулся 2 вариант.

17

Затем можно изменить цвет фракталу. Выбрав в стандартной палитре или же

создать свой градиент

Вот я поэкспериментировала с градиентами.

Но более красивым мне показалось данное цветовое решение.

Вот и все, наш фрактал готов!

18

Приложение 3

Работы Бабицкой Ксении, выполненные в графическом редакторе Apophysis

19

Приложение 4

Работы Кириленко Анастасии, выполненные в графическом редакторе Fraqtive